La evaluacin de proyectos por medio de mtodos matemticos- Financieros es una herramienta de gran utilidad para la toma de decisiones por parte de los administradores financieros, ya que un anlisis que se anticipe al futuro puede evitar posibles desviaciones y problemas en el largo plazoMTODO DEL VALOR PRESENTE NETO (VPN) El mtodo del Valor Presente Neto es muy utilizado por dos razones, la primera porque es de muy fcil aplicacin y la segunda porque todos los ingresos y egresos futuros se transforman a pesos de hoy y as puede verse, fcilmente, si los ingresos son mayores que los egresos. Cuando el VPN es menor que cero implica que hay una prdida a una cierta tasa de inters o por el contrario si el VPN es mayor que cero se presenta una ganancia. Cuando el VPN es igual a cero se dice que el proyecto es indiferente. La condicin indispensable para comparar alternativas es que siempre se tome en la comparacin igual nmero de aos, pero si el tiempo de cada uno es diferente, se debe tomar como base el mnimo comn mltiplo de los aos de cada alternativaRelevanteEn la aceptacin o rechazo de un proyecto depende directamente de la tasa de inters que se utilice. Por lo general el VPN disminuye a medida que aumenta la tasa de inters, de acuerdo con la siguiente grfica:

En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa de inters, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a rechazarlo o aceptarlo segn sea el caso.Al evaluar proyectos con la metodologa del VPN se recomienda que se calcule con una tasa de inters superior a la Tasa de Inters de Oportunidad (TIO), con el fn de tener un margen de seguridad para cubrir ciertos riesgos, tales como liquidez, efectos inflacionarios o desviaciones que no se tengan previstas. EJEMPLO 1A un seor, se le presenta la oportunidad de invertir $800.000 en la compra de un lote, el cual espera vender, al final de un ao en $1.200.000. Si la TIO es del 30%. Es aconsejable el negocio?SOLUCINUna forma de analizar este proyecto es situar en una lnea de tiempo los ingresos y egresos y trasladarlos posteriormente al valor presente, utilizando una tasa de inters del 30%.

Si se utiliza el signo negativo para los egresos y el signo positivo para los ingresos se tiene:VPN = - 800.000 + 1.200.000 (1.3)-1

VPN = 123.07Como el Valor Presente Neto calculado es mayor que cero, lo ms recomendable sera aceptar el proyecto, pero se debe tener en cuenta que este es solo el anlisis matemtico y que tambin existen otros factores que pueden influir en la decisin como el riesgo inherente al proyecto, el entorno social, poltico o a la misma naturaleza que circunda el proyecto, es por ello que la decisin debe tomarse con mucho tacto.EJEMPLO 2Se presenta la oportunidad de montar una fbrica que requerir una inversin inicial de $4.000.000 y luego inversiones adicionales de $1.000.000 mensuales desde el final del tercer mes, hasta el final del noveno mes. Se esperan obtener utilidades mensuales a partir del doceavo mes en forma indefinida, deA) $2.000.000B) $1.000.000Si se supone una tasa de inters de 6% efectivo mensual, Se debe realizar el proyecto?Las inversiones que realiza la empresa deben ser constantemente vigiladas y supervisadas por los responsables del rea financiera sin excepcinSOLUCINEn primera instancia se dibuja la lnea de tiempo para visualizar los egresos y los egresos.

A) Se calcula el VPN para ingresos de $2.000.000.VPN = -4.000.000 - 1.000.000 a76% (1.06)-2 + 2.000.000/0.06 *(1.06)-11VPN = -4.000.000 - 4.968.300 + 17.559.284VPN = 8.591.284En este caso el proyecto debe aceptarse ya que el VNP es mayor que cero.B) Se calcula el VNP para ingresos de $1.000.000VPN = -4.000.000 - 1.000.000 a76% (1.06)-2 + 1.000.000/0.06 *(1.06)-11VPN = -188.508En esta situacin el proyecto debe ser rechazado.MTODO DEL VALOR PRESENTE NETO INCREMENTAL (VPNI)El Valor Presente Neto Incremental es muy utilizado cuando hay dos o ms alternativas de proyectos mutuamente excluyentes y en las cuales solo se conocen los gastos. En estos casos se justifican los incrementos en la inversin si estos son menores que el Valor Presente de la diferencia de los gastos posteriores.Para calcular el VPNI se deben realizar los siguientes pasos:1. Se deben colocar las alternativas en orden ascendente de inversin. 2. Se sacan las diferencias entre la primera alternativa y la siguiente. 3. Si el VPNI es menor que cero, entonces la primera alternativa es la mejor, de lo contrario, la segunda ser la escogida. 4. La mejor de las dos se compara con la siguiente hasta terminar con todas las alternativas. 5. Se deben tomar como base de anlisis el mismo periodo de tiempo. Para analizar este tipo de metodologa se presenta el siguiente ejercicio prcticoEJEMPLO 1Dadas las alternativas de inversin A, B y C, seleccionar la ms conveniente suponiendo una tasa del 20%.Alternativas de inversinABC

Costo inicial-100.000-120.000-125.000

Costa anual de operacin Ao 1-10.000-12.000-2.000

Costa anual de operacin Ao 2-12.000-2.000-1.000

Costa anual de operacin Ao 3-14.000-2.0000

SOLUCINAqu se debe aplicar rigurosamente el supuesto de que todos los ingresos se representan con signo positivo y los egresos como negativos.1.A) Primero se compara la alternativa A con la BAlternativas de inversinABB-A

Costo inicial-100.000-120.000-20.000

Costa anual de operacin Ao 1-10.000-12.000-2.000

Costa anual de operacin Ao 2-12.000-2.000+10.000

Costa anual de operacin Ao 3-14.000-2.000+12.000

B) La lnea de tiempo de los dos proyectos seria:

C) El VPNI se obtiene:VPNI = -20.000 - 2.000 (1+0.2)-1 + 10.000 (1+0.2)-2 + 12.000 (1+0.2)-3 VPNI = -7.777,7Como el VPNI es menor que cero, entonces la mejor alternativa es la A.

2.A) Al comprobar que la alternativa A es mejor, se compara ahora con la alternativa C.Alternativas de inversinACC-A

Costo inicial-100.000-125.000-25.000

Costa anual de operacin Ao 1-10.000-2.000+8.000

Costa anual de operacin Ao 2-12.000-1.000+11.000

Costa anual de operacin Ao 3-14.0000+14.000

B) La lnea de tiempo para los dos proyectos A y C seria:

B) El VPNI se calcula como en el caso anteriorVPN = -25.000 + 8.000 (1+0.2)-1 + 11.000 (1+0.2)-2 + 14.000 (1+0.2)-3 VPN = -2.593Como el Valor Presente Neto Incremental es menor que cero, se puede concluir que la mejor alternativa de inversin es la A, entonces debe seleccionarse esta entre las tres.MTODO DEL VALOR ANUAL EQUIVALENTE (VAE).Este mtodo consiste en convertir en una Anualidad con pagos iguales todos los ingresos y gastos que ocurren durante un perodo. Cuando dicha anualidad es positiva, entonces es recomendable que el proyecto sea aceptado.El mtodo se utiliza comnmente para comparar alternativas. El VAE significa que todos los ingresos y desembolsos (irregulares y uniformes) son convertidos en una cantidad uniforme anual equivalente, que es la misma cada perodo. Por lo tanto, si: VAE 0 Acptese la inversin.VAE 0Rechcese la inversin.

COSTO DE CAPITAL O TASA MNIMA ACEPTABLE DE RENDIMIENTO (TMAR) Existe el caso cuando el capital proviene de varias fuentes.Ejemplo:Supngase que para llevar a cabo un proyecto, se requiere de un capital de $200,000,000. Los inversionistas aportan 50%, otras empresas aportan 25%, y una institucin financiera aporta el resto. Las TMAR de cada uno son:Inversionistas: TMAR= 60% inflacin+10% premio al riesgo+(0.6*0.1)= 0.76Otras empresas TMAR= 60% inflacin+12 % premio al riesgo+(0.6*0.12)= 0.792Banco: TMAR= 35%La TMAR de los inversionistas y otras empresas que aportarn capital son muy similares, ya que consideran la inversin desde un punto de vista privado, esto es la TMAR que exigen para su horizonte de planeacin, que es de 5 aos, prevn compensar la inflacin; para ello el ndice inflacionario fue calculado a un 60%. El premio al riesgo de las empresas es ligeramente mayor que el premio exigido por los inversionistas mayoritarios. Lo cual es normal ya que el financiamiento privado siempre es ms costoso que el bancario. La TMAR bancaria es el inters que la institucin cobra por hacer un prstamo. TMAR Global del capital total, se ha calculado en el siguiente Cuadro:

MTODO DE LA TASA INTERNA DE RENDIMIENTO (TIR).En todos los criterios de decisin, se utiliza alguna clase de ndice, medida de equivalencia, o base de comparacin capaz de resumir las diferencias de Importancia que existen entre las alternativas de inversin. Es importante distinguir entre criterio de decisin y una base de comparacin. Esta ltima es un ndice que contiene cierta clase de informacin sobre la serie de ingresos y gastos a que da lugar una oportunidad de inversin. La tasa interna de rendimiento (TIR), como se le llama frecuentemente, es un ndice de rentabilidad ampliamente aceptado. Est definida como la tasa de inters que reduce a cero el valor presente, el valor futuro, o el valor anual equivalente de una serie de ingresos y egresos. Es decir, la tasa interna de rendimiento de una propuesta de inversin, es aquella tasa de inters i* que satisface cualquiera de las siguientes ecuaciones: donde: St = Flujo de efectivo neto del perodo t.n = Vida de la propuesta de inversin.En la mayora de las situaciones prcticas es suficiente considerar el intervalo -1< i*< como mbito de la tasa interna de rendimiento, ya que es muy poco probable que en un proyecto de inversin se pierda ms de la cantidad que se invirti. Por otra parte, la figura 3.2 ilustra la forma ms comn de las grficas de valor presente, valor futuro y valor anual equivalente, en funcin de la tasa de inters. En esta figura, se puede apreciar que todas estas curvas cortan al eje horizontal en el mismo punto, es decir, todas ellas pasan a travs del punto que corresponde a la tasa interna de rendimiento del proyecto de inversin.

FIGURA 3.2 Grficas del valor presente, valor futuro y valor anual equivalente, en funcin de la tasa de Inters. En trminos econmicos la tasa interna de rendimiento representa el porcentaje o la tasa de inters que se gana sobre el saldo no recuperado de una inversin. El saldo no recuperado de una propuesta de inversin en el tiempo t, es el valor futuro de la propuesta en ese tiempo. Una de las equivocaciones ms comunes que se cometen con el significado de la TIR, es considerarla como la tasa de inters que se gana sobre la inversin inicial requerida por la propuesta. Sin embargo, lo anterior es correcto solamente en el caso de propuestas cuyas vidas sean de un perodo. En conclusin la TIR: "Es la tasa de inters que se gana sobre el saldo no recuperado de una inversin, de tal modo que el saldo al final de la vida de la propuesta es cero". Para tratar de comprender mejor esta definicin; 1.- Determine la tasa de inters que se gan sobre el saldo no recuperado de una inversin de $ 1000, que genero un flujo anual de $ 225 por 5 aos.i = ? VPN = -1000 + 225(P/A, i , 5) i = 10%-147.07 = -1000 + 225 ( 3.7907 )i = 6% -52.21 = -1000 + 225 ( 4.2123 )i = 4% 1.660 = -1000 + 225 ( 4.4518 )i = 4.5%-52.218 = -1000 + 225 ( 4.2123 )

.040 - 1.6600 X - 0.045 - -12.2552

x = 4.0596

TIR 4.06% Comprobando:

Por lo tanto, si: TIR TMAR Acptese la inversin.TIR TMAR Rechcese la inversin.2.- Se han invertido $32 000 en un negocio que, segn los clculos, proporcionar ingresos de $7500 el primer ao, con un incremento de $500 anualmente, durante 5 aos. Al final de este tiempo , los activos que queden de la inversin podran venderse en $5000. Si la TMAR del inversionista es 15% anual determnese el VPN de los flujos de efectivo.SOLUCION A:P= 32000 n=5 A=7500 G=500 VS=5000VPN=-32000+7500(P/A,15%,5) + 500(P/G,15%,5) + 5000(P/F,15%,5)= -1485.38Por lo tanto la inversin no es aceptable.

9500+500

90008500 SOLUCION B:

80007500

32000VPN= -32000+7500(P/F,15%,1)+ 8000(P/F,15%,2)+ 8500(P/F,15%,3) +9000(P/F,15%,4)+(9500+500)(P/F,15%,5)= -1485

EJERCICIOS PROPUESTOS18.- Una institucin educativaha invertido $328 130 en equipos de impresin. Su proyecto consiste en reproducir textos que se impartira en la escuela y venderlos a bajo costo a sus estudiantes. Pienza hacer un tiraje anual de 25000 ejemplares al principio de cada ciclo escolar. Se calula que al trmino del primer semestre se hayan vendido el 70% de los ejemplares y al final del segundo se hayan agotado los inventarios de textos, ciclo que se repetira ao con ao. Cada texto tiene un costo de $8 y los costos de produccin son de $3.5 por ejemplar. Calcule la TIR de la inversin de la escuela para un periodo de 5 aos , si los equipos de impresin tienen un valor de salvamento de $20 000 al final de los 5 aos.