modulo matematica 1

Matemática I

Docente

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

ESCUELA DE ADMINISTRACION DE EMPRESAS Y MARKETING

Msc. Roberth Patricio Pérez Quiroz

Tulcán – Ecuador

SEPTIEMBRE 2010 – FEBRERO 2011

ÍNDICE

I INTRODUCCIÓN

II OBJETIVO GENERAL

III NODO PROBLEMATIZADOR

III PRODUCTO FINAL

IV COMPETENCIAS

a. General

b. Global

c. Específica

V CONTENIDO

UNIDAD Nº I

NÚMEROS REALES.

Conjunto de números reales, términos y propiedades de las

operaciones.

Fracciones y exponentes.

Operaciones con expresiones algebraicas.

Descomposición de factoriales.

Funciones algebraicas.

Aplicaciones.

UNIDAD Nº II

ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.

Propiedades

Ecuaciones lineales con una variable.

Ecuaciones cuadráticas con una variable.

Aplicaciones.

UNIDAD Nº III

DESIGUALDADES LINEALES Y CUADRÁTICAS.

Conjunto e intervalos

Desigualdades lineales.

Desigualdades cuadráticas.

Aplicaciones

UNIDAD Nº IV

FUNCIONES Y GRÁFICAS.

Definiciones básicas.

Coordinadas rectangulares

Funciones lineales y cuadráticas.

Dominios y rangos.

Operación y combinación de funciones.

Traslación de gráficas.

Relaciones implícitas y funciones inversas.

Punto de equilibrio de aplicaciones.

UNIDAD Nº V

FUNCIÓN LINEAL Y SISTEMA DE ECUACIONES.

Estudio de la línea recta.

Ecuaciones de la línea recta.

Líneas paralelas y perpendiculares.

Sistema de ecuaciones lineales.

Análisis de aplicación administrativo.

UNIDAD Nº VI

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA.

Función exponencial, aplicaciones.

Función logarítmica, aplicaciones.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Aplicaciones.

VII GUÍA DE APRENDIZAJE

ELEMENTOS DE COMPETENCIA 1

Nivel de logro Teórico Básico (comprensión)

ELEMENTO DE COMPETENCIA 2

Nivel de logro Teórico Superior (Análisis Crítico)


Nivel de logro Teórico Práctico Aceptable ( Mínimo acreditable)


Nivel de logro Teórico Práctico Avanzado ( Acreditable)

ELEMENTO DE COMPETENCIAS 5

Nivel de logro Teórico Práctico Innovador (Acreditable)

VIII BIBLIOGRAFÍA

I. INTRODUCCIÓN

La matemática es una de aquellas materias básicas que nos permite

generalizar y particularizar fenómenos técnicos, sociales y económicos.

Encaminándonos a ser concretos y facilitándonos la cuantificación de lo que

observamos y hacemos en nuestras actividades diarias; sin la matemática, la

retórica sería la forma de vivir, el denominador común, pero sin oportunidades

de producción y evolución.

En los aspectos tangibles, cuando no se puede sostener con números lo que

aseguramos al decir, es porque el conocimiento de lo que decimos es escaso o

insuficiente. El manejo racional de los números facilita la toma de decisiones al

desarrollar la capacidad de expresión concreta basada en logros medibles,

minimizando el riesgo del fracaso. La matemática le permite actuar con

conocimiento, ética y amor a hacer bien las cosas. Sólo imaginémonos vivir en

un mundo abstracto, sin definiciones, sin rumbo, sin objetivos, sin esfuerzo, sin

disciplina, sin objetivos de excelencia, sería un mundo indiferente y poco

equilibrado.

Todo logro que nos llene de satisfacción interior es porque se ha obtenido con

esfuerzo, porque realmente se ha querido, porque aunque difícil, se ha podido

vencer la impotencia, el cansancio, la distancia y la mediocridad. La

matemática requiere constancia en el propósito, como todo en la vida, pero con

persistencia y aprovechando de nuestras capacidades, lograremos aprenderla

significativamente.

II. OBJETIVO GENERAL

Experimentar, Reflexionar, Conceptualizar y Aplicar las bases del álgebra

mediante el manejo sistemático y razonado de operaciones numéricas, para

asimilar mejor los conocimientos de asignaturas afines en cursos superiores

para facilitar su influencia en las actividades cotidianas y las relacionadas con

la formación profesional para el diseño, gestión y evaluación de los procesos

educativos.

III. NODO PROBLEMATIZADOR

Deficiente aplicación del conocimiento de las Matemáticas como herramienta

para apoyar la toma de decisiones en el manejo de situaciones administrativas

o Financieras.

IV. PRODUCTO FINAL

Lograr que el estudiante conozca y aprenda a utilizar las matemáticas,

reflexionando sobre las ventajas de encontrar soluciones algebraicas

elementales a fin de conceptualizar y profundizar las distintas aplicaciones de

orden administrativas.

V. COMPETENCIAS

a. GÉNERICA

Analizar, resolver problemas e interpretar la información que aparece en el

Lenguaje matemático utilizando correctamente algoritmos matemáticos con

solvencia y seguridad.

b. GLOBAL

Diseñar y desarrollar proyectos empresariales, aplicando métodos de

investigación con soporte científico y tecnológico, para ser aplicados en los

campos administrativos, financieros, económicos y del marketing con eficiencia,

eficacia, legalidad y ética.

c. ESPECÍFICA

Conocer y aplicar las bases algebraicas y aritméticas como herramienta para la

solución de problemas que conllevan su uso dentro de las distintas

aplicaciones en el ámbito financiero y administrativo.

V. CONTENIDOS

COMPETENCIA 1º UNIDAD

Utilización de números reales que nos permitan desarrollar

operaciones algebraicas con exactitud y el manejo de un

buen fundamento teórico.

1era Unidad

Operaciones con números reales

Conjunto de los números reales, términos y

propiedades de las operaciones

Fracciones y exponentes

Operaciones con expresiones algebraicas

Descomposición factorial y fracciones algebraicas

Aplicaciones


Conocimiento y aplicación correcta de ecuaciones lineales

y cuadráticas que nos permitan tener aprendizajes

significativos mediante su resolución.

2da Unidad

Ecuaciones lineales y cuadráticas

Propiedades

Ecuaciones lineales con una variable

Ecuaciones cuadráticas con una variable

Aplicaciones


Conocimiento y aplicación correcta de desigualdades

lineales y cuadráticas que nos permitan tener aprendizajes

significativos mediante su resolución de problemas

matemáticos.

Desigualdades lineales y cuadráticas

Conjuntos e intervalos

Desigualdades lineales

Desigualdades cuadráticas

Aplicaciones


Conocimiento y aplicación correcta de funciones y graficas

que nos permitan tener aprendizajes significativos mediante

la creación de graficas que nos servirán para realizar tabla

de valores.

Funciones y graficas

Definiciones generales

Coordenadas

Rangos y dominios

Funciones lineales y cuadráticas

Combinaciones de funciones

Traslación de gráficas

Sistema de gráficas

Relaciones implícitas y funciones inversas

NNúúmmeerrooss rreeaalleess ((RR))

Es un conjunto o colección de todos los grupos numéricos conocidos que

tienen por objetivo hacer operaciones y manipular métodos en el manejo de

las matemáticas.

PPrrooppiieeddaaddeess ddee llooss nnúúmmeerrooss rreeaalleess

11.. PPrrooppiieeddaadd ttrraannssiittiivvaa ddee llaa iigguuaallddaadd

22.. PPrrooppiieeddaadd ccoonnmmuuttaattiivvaa ((ssuummaa yy mmuullttiipplliiccaacciióónn))

33.. PPrrooppiieeddaadd AAssoocciiaattiivvaa.. ((SSuummaa yy MMuullttiipplliiccaacciióónn))

LLaa aassoocciiaacciióónn nnooss ddaa eell mmiissmmoo rreessuullttaaddoo..

((++))

((**)) aa.. ((bb..cc)) == ((aa..bb))..cc == ((aa..bb..cc))

44.. PPrrooppiieeddaadd IInnvveerrssaa

IInnvveerrssoo AAddiittiivvoo == ((--aa)) == 00

IInnvveerrssoo MMuullttiipplliiccaattiivvoo == aa..aa--11

== 11

55.. PPrrooppiieeddaadd DDiissttrriibbuuttiivvaa

aa..((bb++cc++dd)) == aa..bb ++ aa..cc ++ aa..dd

EEjjeemmppllooss::

((yy -- 33zz ++ 22ww)) xx

((--33zz)) ++ xx ((22ww)) PPrrooppiieeddaadd ddiissttrriibbuuttiivvaa

ZZ ZZ ZZ--

PPrrooppiieeddaadd aassoocciiaattiivvaa

++ 22ww}} PPrrooppiieeddaadd AAllggeebbrraaiiccaa

PPrrooppiieeddaadd CCoonnmmuuttaattiivvaa

1122xx ++ 66yy ++ 2244

33.. ((22yy)) ++ 33.. ((88)) PPrrooppiieeddaadd DDiissttrriibbuuttiivvaa

++ ((33..22)) yy ++ ((33..88)) PPrrooppiieeddaadd aassoocciiaattiivvaa

PPrrooppiieeddaadd AAllggeebbrraaiiccaa..

zz qq

DDeeffiinniicciióónn ddee MMuullttiipplliiccaacciióónn



PPrrooppiieeddaadd aassoocciiaattiivvaa


ZZ QQ

-- DDeeffiinniicciióónn ddee MMuullttiipplliiccaacciióónn

PPrrooppiieeddaadd DDiissttrriibbuuttiivvaa

OOppeerraacciióónn AAllggeebbrraaiiccaa

PPrrooppiieeddaadd DDiissttrriibbuuttiivvaa

++ ((55..33))..aa PPrrooppiieeddaadd aassoocciiaattiivvaa

OOppeerraacciioonneess AAllggeebbrraaiiccaass

VVEERRDDAADDEERROO YY FFAALLSSOO

--33 eess uunn nnuummeerroo nnaattuurraall ((FF)) llooss nnúúmmeerrooss nnaattuurraalleess ssoonn {{11,, 22,,33,,……..αα}}

TTooddoo eenntteerroo eess ppoossiittiivvoo oo nneeggaattiivvoo ((VV))

NUMEROS REALES (R)

NATURALES (N)

1,2,3....α

2-5

ENTEROS (Z)

Z- 0 Z+

RACIONALES (Q)

a/b , b≠0

IRRACIONALES (I)

√ / a/b; b≠0

decimales

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS

REALES

PROPIEDAD TRANSITIVA DE LA IGUALDAD

Tiene una igualdad

a=b y b=c

PROPIEDAD CONMUTATIVA

El orden no altera resultados

a+b=b+a a.b=b.a

PROPIEDAD ASOCIATIVA

La asociación nos da un mismo

resultado

a+c+b= (a+b)+c

a.b.c= (a.b).c

PROPIEDAD INVERSA

Cambiar, alterar, opuesto

a.a-1 = 1 a+(-a) = 0

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

Dividir , repartir dar una cosa una

colocación

a.(b+c+d) = a.b + a.c + a.d

OOppeerraacciioonneess CCoonn NNúúmmeerrooss RReeaalleess

LLaass pprriinncciippaalleess pprrooppiieeddaaddeess ddee llooss nnúúmmeerrooss rreeaalleess ppeerrmmiitteenn uunn bbuueenn mmaanneejjoo

ddee llaass ooppeerraacciioonneess eennttrree eellllooss ssuuppoonniieennddoo ssee tteennggaa eenn ccuueennttaa eell ccoonnoocciimmiieennttoo

pprreevviioo ddee ooppeerraacciioonneess bbáássiiccaass ddee ssuummaa yy mmuullttiipplliiccaacciióónn.. AAssoocciiaaddoo aa eessttaass

pprrooppiieeddaaddeess eexxiisstteenn vvaarriiaass lleeyyeess ffuunnddaammeennttaalleess qquuee ppeerrmmiitteenn eenntteennddeerr eell

ccoonncceeppttoo aaddiicciioonnaall ddee uunnaa ppootteenncciiaa yy uunnaa rraaddiiccaacciióónn..

EEnnttrree llaass mmááss pprriinncciippaalleess tteenneemmooss::

11)) ** ,, ++

22)) PPrrooppiieeddaaddeess--lleeyyeess

33)) EExxppoonneennttee

11//nn vveecceess

LLeeyyeess PPootteenncciiaacciióónn..

11))

22))

33))

44))

55))

66))

77))

88))

LLeeyyeess ddee llooss RRaaddiiccaalleess

11))

22))

33))

44))

1

8

7

6

5

4

3

2

1

4

3

2

OOppeerraacciioonneess ccoonn EExxpprreessiioonneess AAllggeebbrraaiiccaass

CCuuaannddoo ssee ccoommbbiinnaann nnúúmmeerrooss rreepprreesseennttaaddooss ppoorr ssíímmbboollooss mmeeddiiaannttee

ooppeerraacciioonneess aarriittmmééttiiccaass aa llaa eexxpprreessiióónn rreessuullttaannttee ssee llaa llllaammaa eexxpprreessiióónn

aallggeebbrraaiiccaa..

PPaarrttee eexxppoonneennttee

SSiiggnnoo ±± PPaarrttee lliitteerraall

PPaarrttee nnuummeerraall

aa)) MMOONNOOMMIIOOSS..-- SSoonn aaqquueellllooss qquuee ssee ffoorrmmaann ppoorr uunnaa ssoollaa eexxpprreessiióónn

aallggeebbrraaiiccaa..

bb)) PPOOLLIINNOOMMIIOOSS..-- ssoonn aaqquueellllooss qquuee ssee ffoorrmmaann ppoorr ddooss oo mmááss eexxpprreessiioonneess

aallggeebbrraaiiccaass..

;;

OOppeerraacciioonneess AAllggeebbrraaiiccaass

aa)) TTéérrmmiinnooss sseemmeejjaanntteess ddee llaass ooppeerraacciioonneess ((++,, **))

bb)) SSíímmbboollooss ddee aaggrruuppaacciióónn {{(())}}

cc)) lleeyyeess ddee ssiiggnnooss

dd)) pprroodduuccttooss eessppeecciiaalleess

SSiimmpplliiffiiqquuee::

++ ((--22++66)) xx ++ ((11--33))

33 }}}}

33

+3

DIVIDIR

- + 6 +6X+4

7 R=

TALLER EN CLASE

11)

( ) ( ) ( ) ( )

-6)

29) √

√

2y + 9

28) (√ ) √

(√ ) √

38) {(2z+1) (2z-1)}( )

{((2.2) (z. z)) } + (2(-1)z+((2-1)z))+((1-(-1))} ( )

}

54) ( )

2x + 4

R= 2X + 4 + 5/ (2X-1)

Operaciones con

Expresiones Algebraicas

MONOMIOS

Son aquellos que se forman por una

sola expresión algebraica.

0,05 x2y3

Son aquellos que se forman por dos o más expresiones

algebraicas.

x5+3x3-5x2+8

POLINOMIOS

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

Es un proceso aritmético inverso a operaciones algebraicas y que proviene de

factores o productos especiales dentro del conjunto de números reales.

a) FACTOR COMÚN

z)

b) DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a+ )(a- )

(a+b)(a-b)

EJEMPLOS:

√

(√

) (√

)

c) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

d) TRINOMIO 1ERA FORMA

e) TRINOMIO 2DA FORMA

EJEMPLOS:

(X+3) (X+2)

2

f) SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

√

(

) (

)

FRACCIONES ALGEBRAICAS

+27

54x+27

Por medio del principio fundamental de fracciones podríamos realizar

operaciones básicas de suma y multiplicación y luego realizar un proceso de

simplificación, dando origen a una fracción resultante que será equivalente a la

original. Ciertas expresiones podemos encontrar polinomios con raíces; para

ello utilizaremos la racionalización a fin de convertir a una diferencia de

cuadrados y eliminar las raíces del denominador.

Finalmente en la adición de fracciones es necesario encontrar un mínimo

común denominador (m.c.d) con sus exponentes de mayor valor entre las

expresiones resultantes. Ejemplos:

(

)

(

)

((

(

√

√ √√ √

√ √ √

√ √

(3 √ √

3 √ √

3

[ ]

[ ]

75(15+uv)+ (15+uv)

√

√

√

√

√ √

√

√

FRACCIONES Y DESIGUALDADES LINEALES

Ecuaciones lineales: una ecuación es una afirmación de que dos expresiones

son iguales, resolver, una ecuación significa encontrar su solución es decir su

raíz además una ecuación se llama identidad cuando todos los números del

dominio satisfacen a la ecuación propuesta.

Existen diferentes clases de ecuaciones

a) Ecuación lineal / entera

2x +25 = 6x -42

b) Ecuación fraccionaria / racional

c) Ecuación irracional

√ √

d) Ecuación literal

3ª +8x -25c =√

D= vo.6 + ½ a t2; a

e) Ecuación decimal

0.5x + 2.5 = 6.8

f) Ecuación de orden superior

X2 +6x -8 =0

X3 –x = 10

X 3/2 +5x 1/2 -8 =0

ECUACIÓN LINEAL

8x +16 -5x = 2x +3

(8-5) x+16=2x+3

3x+16=2x+3 Prop. Asociativa

3x+16+(2x)=2x+3+(-2x) Operac. Algebraica

X+16 = 3 Prop. Inverso Aditivo

X+16 +(-16)=3+(16) Oper. Algebraica

X=-13// Prop. del Inverso A.

8x +16-8x=2x+3

8x-5x-2x=3-16

8x-7x=3-16

X=-13

PASOS

1. Identificación de la incógnita o variables

2. Separamos la parte literal de la numérica

3. Reducción de términos semejantes

(26-1)2= 462+1 * 4.5x-1.5x = 0.3 (2-x)

462-46+1=462+1 4.5x -1.5x = 0.6 -0.3 x

-46+1=1 30x +3x =6

-16=0 33x =6

6=0 x=

X= 11//

3x+0.3x =0.6 *

-

=

3.3x = 0.6 D.C = (x+5)(x-2)

X=

3(x-2)-1(x+5)=7

X= 0.18 3x-6-x-5=7

X=

X=4//

√ √ √

(√ √ √

4x+13-2 √

4x+10=2√

(2x+5)= √

(2x+5)2= (√ )2

4x2 +20x+25 =4x2+21x+26

-1=x

-1=x

X= -1

S=

[ ]

d

d=

C2 =a2 +b2 R=

C2-a2=b2 R.(R1+R2)=R1.R2

B=√ (R.R1)+(R1.R2)= R1.R2

RR1=R1.R2-R1.R2

RR1=R=(R1-R)

R2

C2 6a(x+3a)-1/2 – (x+3a)1/2 = x1/2

√ – √ √ D.C √

6a –(x+3a)= √

6a –x-3a =√

(3a-x)2 = (√ )2

9a2 -6ax +x2= x2+3ax

9a2= 3ax+6ax

9a2=9ax

X=a//

–

D.C x(3x-1)

X(2-3x+a)= (3x-1)(1-a-x)

2X-3x2+ax=3x-3ax-3x2-1+a+x

2x+ax-4x+3ax=-1+a

1-a=2x-4ax

1-a=x(2-4a)

X=

//

PARA ESTE TIPO DE EJERCICIOS Y POR LA FACILIDAD QUE ELLA NOS

PRESTA, UTILIZAREMOS LA ESTRATEGIA DE LA INVESTIGACION EN EL

AULA.

TEMA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES.

OBJETIVO: RESOLVER DE UNA MANERA ANALITICA UN PROBLEMA DE

ECUACION LINEAL.

ACTIVIDADES A REALIZARSE: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Un almacén anuncia que por liquidación el precio de todas sus

mercaderías fueron rebajadas en un 30%, si el precio de un artículo es

de 48$ Cuál es el precio antes de la liquidación

a) Identificación de la incógnita x-0.3x=48

b) Plantear el problema 0.7x=48

c) Resolución del ejercicio x=48/0.7

Precio anterior x x=68,57//

Descuento 30% x

Una Mujer de Empresa planea invertir un total de 24000$ parte de él se

pondrá en un certificado de ahorros que paga el 9% de interés simple y

el resto en un fondo de inversión que produce el 12% de interés simple

cuanto debe invertir en cada una para obtener una ganancia de 10%

sobre su dinero.

9% 12%

8000

Ahorros Fondos de Inversión

24000

X

16000

24000-x

0.09x+0.12(24000-x)= 0.10(24000)

0.09x+2880 -0.12x = 2400

0.09x-0.12x=2400-2880

-0.03x=-480

X=

X= 16000//

Halle cuantos litros de alcohol debe añadirse a 15 litros de solución que

contiene 20% de alcohol para que la mescla resultante sea del 30% de

alcohol.

Alcohol puro = x 15(0.2) +x= 0.3(15+x)

Solución = 15 litros 3+x=4.5+03x

Alcohol= 20% x-0.03x= 4.5-3

30%= de alcohol 0.7x= 1.5

X=

X = 2.14

2 autos de línea salen simultáneamente desde 2 ciudades Ay B que

distar entre sí 600 kl, si el que sale de A lleva una velocidad de 56 Km/h

y el otro de 64Km/h después de cuánto tiempo ya que distancia de A se

encontraron.

1) Distancia 2) Tiempo

61=62

64x=56(600-x)

//

64x= 33.600-56x

64x +56x =33.600

120x=33.600

X=

X=280

Un trabajador realiza una obra en 8 días, un trabajador contratado puede

hacerlo en 12 días con maquinaria pequeña en que tiempo realiza la

obra conjuntamente.

A 8 días 1/8 3x+2x=24

B 12 días 1/12 5x=24

A y B x

x=

DC 24x x= 4,8

Usted tiene 3 inversiones de las que recibe un ingreso anual de 2780$,

una inversión de 7000 aun interés anual del 8%, otra inversión de

10000$ a una tasa del 9% ¿Cuál es la tasa de interés anual que recibe

sobre la tercera inversión de 12000$?

7000 8%

2780 10000 9%

12000 x 0.11(12000)= 1320//

278000.08 (7000) +0.09 (10000) +x(12000)

2780=560 +900 +12000x

2780-560 -900=12000x

1320= 12000x

X =

X = 11%

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación es cuadrática en la variable x y se escribe de la forma a +bx+c

en donde A,B,C pertenecen a los números reales y a va hacer diferente de cero

(a =/= 0 ).

En ecuaciones de orden superior será conveniente reducirlas a expresiones

cuadráticas, en algunas ocasiones con la ayuda de auxiliares (U, V,W ).

Existen ecuaciones:

Ecuaciones cuadráticas enteras

5 +8x-16=0

Ecuaciones fraccionarias

=

Ecuaciones racionales

=

Ecuaciones cuadráticas irracionales

√ +√ = 8

Ecuaciones incompletas

-25=0

6 -2x = 0

Su proceso de resolución se da a través de:

a) Por factorización

b) Por fórmula general

c) Por completación a un trinomio

d) Discriminación mayor que cero o raíz entera

e) Discriminación menor que cero o raíz irracional / imaginaria.

f) Discriminante igual a cero

Ejercicios de aplicación:

1) 2 -x = 3 + x

3 -2 + x+x=0

+2x = 0

X = 0

X+2=0

X= -2

2) – 25 = 0

−5) ( x+5) = 0

−5 = 0

X+5 = 0

X= -5

3)

+

= 0

= 4

−6x+9+x+6x+9 = 4 (x-9)

−6x+9+x+6x+9 = 4x-36

−x+6x-x-6x

2x-54 = 0

x-27 = 0

x = √

4) 2√ - √ = √

(2√ - √ ) = (√

4x+8-4√ + 3x-5 = x-3

4x+8+3x-5-x+3 = 4√

6x+6 = 4√

(3x+3) = (2√

9x+18x+9 = 12x+4x-40

9+40= 12x+4x-9x-18x

49 = 3x-14x

3x-1 4x-49 = 0

(x-7) (3x+7) = 0

X = 0

3x+7 = 0

EJERCICIOS:

+

=

DC: (X+2) (X-2) (X+1)

(X-2) (X+1)+(X+2) (X+1) (X-1) = (X+2) (X-2) (2X+1)

(X-2) (X+2X+1) + (X+2)(X-1) = (X-4)(2X+1)

X+2X+X-2X-4X-2+X-X+2X-2 = 2X+X-8X-4

X+4X = 0

X(X+4) = 0

X = 0

X+4 = 0

X = -4

2) (

+x) (

-

) = 6x+7

(

) (

) = 6x+7

(

) (

) = 6x+7

X(1+a) (

) = 6x+7

= 6x+7

x-6x-7 = 0

(x-7) (x+1) = 0

X = 7

X = -1

TEMA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO

GRADO.

OBJETIVO: RESOLVER DE UNA MANERA ANALITICA UN PROBLEMA DE

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.

ACTIVIDADES A REALIZARSE: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se construirá una plataforma rectangular de observación dominara un valle

sus dimensiones serán de 6 x 12m.

Un convertido rectangular de cuarenta metros cuadrados de área estará en el

centro de la plataforma y la parte no cubierta será un pasillo de anchura

uniforme. ¿Cuál debe ser el ancho de este pasillo?

40 = (12-2x) (6-2x)

40 = 72 -36x+4x

4x+36x+32 = 0

x-5x+8 = 0

(x-8) (x-1) = 0

x-8 o x=1

Un cobertizo rectangular de cuarenta metros cuadrados de área estará en el

centro de la plataforma y la parte no cubierta será un pasillo de anchura

uniforme. ¿Cuál debe ser el ancho de este pasillo?

40 = (12-2x) (6-2x)

40 = 72 -36x+4x

4x+36x+32 = 0

x-5x+8 = 0

(x-8) (x-1) = 0

x-8 o x=1

ECUACIONES DE VALOR ABSOLUTO

Un valor absoluto para cualquier número real está definido por:

/a/ = a; a = 0

/a/ = a SSI SI a = x

Ejemplo:

/5x-3/ = 8

5x-3=8

5x= 11

X = 11/5

NOTA: Cuando un valor absoluto es igual a un elemento definido no existe

solución, puesto que el valor absoluto de un número real es positivo.

EJEMPLO:

/2X+81 = -3 ) = NO TIENE SOLUCIÓN

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

DESIGUALDADES: Son expresiones algebraicas que se relacionan con

valores de desigualdad (mayor menor, menor igual, mayor igual) que están

relacionados con los números reales que tienen infinitas raíces.

Una solución de una inecuación es cualquier número que cuando se lo

sustituye por la variable hace que el enunciado sea verdadero.

EJEMPLOS:

Inecuación entera

2x+6 4

Inecuación fraccionaria

+

5y +

Inecuación irracional

√ 6x+4

Inecuación de valor absoluto

/18x+6/ 4

PROCESO ALGEBRAICO

a) 2x+6 4

2x+6+ (-6) 4+ (-6)

2x -2

2x.

-2. (

)

x -1

1) 2x+6=4

2x=4-6

2x= -2

X=

X=-1

b) Proceso gráfico

2(x)+6 4

206 4 (v)

6,4 4 (v)

c) Proceso de intervalos:

S=)-1, (

INTERVALOS

Definición: El conjunto de todos los números comprendidos entre 2 números

dados A Y B se denomina un intervalo y estos valores A YB son los extremos

de un intervalo.

La notación de intervalos se da en la forma:

Abiertas

Cerradas

Semiabiertas

INTERVALOS INFINITOS

Son aquellos que tienen soluciones infinitas y dados de la siguiente manera:

Intervalo

Notación

nombre

gráfico

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Un valor absoluto para cualquier número real está definido por:

| |

| |

| |

Nota: Cuando un valor absoluto es igual a un elemento negativo no existe

solución, puesto que el valor absoluto de un número real es positivo.

| |

|

|

|

|

|

|

| |

| |

a b c a b c

√

√

√

√

DESIGUALDADES CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Son expresiones algebraicas que se relacionen con valores de desigualdad (<,

>, =) y que están relacionadas con los números reales y que tienen infinitas

soluciones o raíces.

Una solución de una inecuación es cualquier número que cuando se lo

sustituye por la variable hace que el enunciado sea verdadero.

Ejemplos:

Inecuación entera

Inecuación fraccionaria (Q)

Inecuación irracional √

Inecuación valor absoluto | |

(

)

INTERVALOS

Definición El conjunto de todos los números comprendidas entre dos números

dados ay b se denominan un intervalo y estos valores (a, b) son los extremos

del intervalo.

La notación del intervalo se da (abiertos, cerrados, semiabiertos)

Intervalo Notación Nombre Grafico

[a, b] I. Cerrada a b

]a, b[ I. Abierta a b

[a, b[ I. Semiabierta a b

]a, b] I. Semiabierta

Inecuaciones abiertas > ] [

>

Inecuaciones Cerradas

INTERVALO INFINITO

Aquellos que tienen soluciones infinitas y dados de la siguiente manera:

Intervalo Notación Nombre Grafico

[a, ] I. infinita Cerrada D. a

]a, [ I. infinita Abierta D. a

[ , a [ I. Inf. Semiabierta Izq. a

] ] I. Inf. Semiabierta Izq. a

OPERACIONES CON INTERVALOS

Dados los intervalos son conjuntos de números entre ellos existen operaciones

dentro de la teoría de conjuntos (la unión, la intersección, la diferencia y el

complemento).

a) ] ] [ [

-3 -1 0 1 4

S = ]-3, 1[ ] 0, 5]

b) ] [ ] ]

-3 0 4 5

S = ]-3, 5]

c) ] ] [ [

0 z

S= ] [

d) ] [ ] ]

-4 -2 0 2 3

S=]-2, 2[

e) ] [ ] [ ] [

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

S=]-1, 2]

DESIGUALDADES DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Inecuación valor absoluto

Inecuación irracional Inecuación

entera

Inecuación fraccionaria (Q)

Son expresiones algebraicas que se relacionen con valores de desigualdad (<, >, =) y que

están relacionadas con los números reales y que tienen infinitas soluciones o raíces.

Funciones Especiales

Son aquellas que tienen formas y representaciones especiales, entre las más

importantes tenemos:

a) Función compuesta.- aquella que en sus términos tiene un elemento

constante en el elemento de los números reales.

√

b) Función polinómica.- aquella que tiene una clase más amplia con

expresiones algebraicas y cuyo dominio son todos los números reales.

c) Función Racional.- Aquella función donde el numerador y

denominador tienen valores en funciones polinomiales. Toda función

(polinomiales) racional es polinómica.

d) Función Compuesta.- aquellas que están formadas por más de una

expresión polinómica o algebraica, en cuyos términos existen varios

dominios.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Aquella función que puede considerase como una función definida por

parte.

|x|= x; x>=0

-x; <0

f(2) = |x|

=|2|=2

(

) | |

|

|

Dentro de esta función se hace necesario el uso de la notación factorial;

factorial representa al producto de los n primeros enteros positivos.

Factorial (!)

Nota: el elemento cero en factorial es igual a uno (0!=1)

OPERACIONES CON FUNCIONES

Existen diferentes formas de combinar funciones al fin de crear nueva

función, estas funciones están definidas de las siguientes formas.

Combinación de Funciones.- sean f (x) y g (x)

a) (f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x )

b) (f - g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x )

c) (f . x ) ( x ) = f ( x ) . g ( x )

d) (

)

Ley de composición interna.

e) ( f o g )( x ) = f(g(x))

f) ( g o f )( x ) = g(f(x))

1)

a)

b)

c)

d) (

)

e)

f) (g o f)(x) = ( )

2)

√

a)

√

2

1 2

1 1

x

x

=2

2

1 ( 1) 2

1

x x

x

b)

2

2

2

1 2

1 1

1 ( 1) 2

1

x

x

x x

x

c)

2

2

1 2*

1 1

2

1

x

x

x

x

d) (

)

2

2

2

1

1

2

1 2*

( 1) 2 2

2

( 1)( 2)

x

x

x

x x x

x

x x

e)

2

( 2)

1

( 2) 1

1

2 1

1

3

f x

x

x

x

f) (g o f)(x) = ( )

2

2

2

2

2

2

1( )

1

1( ) 2

1

1 2 2(

1

2 3(

2

gx

x

x

x

x

x

GRAFICAS DE FUNCIONES

Graficar ecuaciones y funciones es determinar intersecciones determinando

dominios y rangos de una función a partir de una grafica, la misma que se la

realizara en función de un sistema de coordenadas rectangulares, el mismo

que permite especificar y localizar puntos en el plano y representar de manera

geométrica a dos variables ( x , y ).

El plano sobre el cual están los ejes de coordenadas se denomina plano x o

plano de coordenadas rectangulares, los ejes coordenados dividen al plano en

regiones llamadas cuadrantes en los cuales geométricamente los representa a

un par ordenado.

Principales Graficas de Funciones.

Un enfoque general para graficar se basa en el uso del punto y simetrías que

existen, no necesarios en muchos casos, sin embargo algunas funciones

requieren de graficas base útiles memorísticamente visuales y que cumplen los

propósitos establecidos.

Las principales graficas son:

a) ( )f x x b) 2( )f x x c) 3( )f x x

2 2

2 2 2

d) ( )f x x e) ( ) | |f x x f)1

( )f xx

2 2

2 2

Función Transformar

1) y = f ( x ) + c Desplazar c unidad arriba

2) y = f ( x ) - c Desplazar c unidad abajo

3) y = f ( x + c ) Desplazar c unidad Izquierda

4) y = f ( x - c ) desplazar c unidad derecha

5) y = - f ( x ) Reflejar con respecto eje x

6) y = f - ( x ) reflejar con respecto eje y

7) y = c f ( x )

c ≥ 1 Alargar vertical dejando eje x por el factor c

c ≤ 1 Comprimir vertical hacia eje x para el factor c

3( ) ( 1)f x x 1

( )2

f x x

1( )

2f x

x

2( ) 2f x x 1

( )f xx

1

( )1

f xx

2( ) 2f x x

2( )f x x

| 1| 2y x

( ) | |f x x

| 1| 2y x

21 ( 1)y x

2( )f x x

2( ) 1 ( 1)f x x

2

3y

x

1( )f x

x

2( )

3f x

x

( )f x x

x x

SIMETRÍA DE FUNCIONES

Un análisis fundamental en el grafico es determinar su simetría aspecto

esencial y de gran ayuda en la graficación de funciones.

La simetría se da atreves de prueba para la simetría con respecto al eje x, eje

y. y al origen.

Simetría con respecto al eje x. Una grafica es simétrica con respecto al eje y

Ss ( - xo , Yo ), pertenece a la grafica cuando:

2y x

(-x,y) (x,y)

Simetría con respecto al eje y. Una grafica es simétrica con respecto al eje x

Ss ( x , y ).

2x y

( , )x y

( , )x y

Simetría Origen. Una grafica es simétrica con respecto al origen ss ( - x – y )

Pertenece a la grafica y ( x y) pertenece a la grafica.

2y x

( , )x y

( , )x y

La tabla siguiente resume a las pruebas de simetría al eje x, y , origen

Prueba Simétrica

Simetría eje x Remplazo y por - y la exp. No se modifica

Simetría eje y Remplazo x por - x la expresión no se modifica.

Simetría origen Remplazo x por - x ; y por - y la exp. no se modifica

Determine intersecciones con el eje x , y, determine pruebas de simetría y aga

el bosquejo de la grafica.

Intersectos: son valores definidos punto de corte en los ejes cartesianos

estos son:

2( ) 4f x x

a) 0x 4y

b) 0y 20 4x

4x

2x

a) Simetría eje x 2

2

2

4

4

4

y x

y x

y x

No existe simetría eje x

b) Simetría eje y 2

2

2

4

( ) 4

4

y x

y x

y x

Hay simetría eje y

c) Simetría origen 2

2

2

4

( ) 4

4

y x

y x

y x

No hay simetría origen

Gráfica

2( ) 4f x x

2 24 9 36x y

a) 0x

2

2

36

9

4

2

y

y

y

b) 0y

2

2

36

4

9

3

x

x

x

a) Simetría eje x

2 2

2 2

2 2

4 9 36

4 9( ) 36

4 9 36

x y

x y

x y

Si hay simetría eje x

b) Simetría eje y

2 2

2 2

4( ) 9 36

4 9 36

x y

x y

Si hay simetría eje y

c) Simetría origen

2 2

2 2

4( ) 9( ) 36

4 9 36

x y

x y

Si hay simetría origen

Gráfica

2 24 9 36x y

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución

MÉTODO DE IGUALACIÓN

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en

las que aparecía despejada la otra incógnita. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2. Igualamos ambas expresiones:

3. Resolvemos la ecuación:

4. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5. Solución:

MÉTODO DE REDUCCIÓN

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se

resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Ejemplo

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

MÉTODO DE GAUSS

Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el cómo coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

Ejemplo

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

− y + 4 ·1 = −2 y = 6

x + 6 −1 = 1 x = −4

http://www.vitutor.net/algebra/sistemas%20I/esc.html

Resolución y representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales

Resolvemos gráficamente el sistema x + y = 6; x - y = 2}

1. o Despejamos y en las dos ecuaciones.

x + y = 6 → y = 6 - x

x - y = 2 → y = x - 2

2. o Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos ecuaciones.

y = 6 - x

x 0 1 2 3 4

y 6 5 4 3 2

y = x - 2

x 0 1 2 3 4

y -2 -1 0 2 2

1. o Representamos estos puntos sobre un sistema de ejes.

Uniendo los puntos de cada ecuación, obtenemos dos rectas que representan todas las soluciones de cada una de las ecuaciones

1. Puede ocurrir uno de los siguientes casos:

Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solución.

Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solución única. Decimos que es compatible determinado.

http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Uniendo+los+puntos+de+cada+ecuaci%F3n%2C+obtenemos+dos+rectas+que+representan+todas+las+soluciones+de+cada+una+de+las+ecuaciones&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/algebra/20070926klpmatalg_74_Ges_LCO.png




http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Uniendo+los+puntos+de+cada+ecuaci%F3n,+obtenemos+dos+rectas+que+representan+todas+las+soluciones+de+cada+una+de+las+ecuaciones&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/algebra/20070926klpmatalg_74_Ges_LCO.png

Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado.

En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solución del sistema es x = 4 e y = 2.

Clasificamos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

a) 2 x + y = 6 2 x - y = 2 } b) x + y = 3 2 x + 2 y = 6 } c) x + y = 3 x + y = - 1 }

a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 1, y = 4; x = 2, y = 2

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 1, y= 0; x = 2, y = 2

Las rectas se cortan en un punto que será la solución = 2, y = 2. Por tanto, el sistema será compatible determinado. Vemos la representación en el margen.

b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 0, y = 3; x = 3, y = 0


x = 1, y = 2; x = 2, y = 1

Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la representación en el margen.

c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 0,y = 3; x = 3,y = 0


x = 0, y =-1; x = -2, y = 1

Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la representación siguiente:

Representación gráfica de los tres sistemas

http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Representaci%F3n+gr%E1fica+de+los+tres+sistemas&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/algebra/20070926klpmatalg_75_Ges_LCO.png

REGLAS, PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Muchas relaciones entre cantidades pueden representarse de manera

adecuada por medio de rectas, una característica de una recta es su inclinación

a la cual utilizaremos la noción dependiente, es una razón entre el cambio de la

variable y y el cambio de la variable x

2 5 4x

y2

y1

x1 x2 x1 x2

2 1

2 1

y ym

x x

El análisis de una recta permite identificar relaciones como precio y cantidad

como número de elementos precio, oferta y demandas, niveles de producción

entre otros.

En resumen se puede caracterizar la orientación de una recta por su pendiente.

Pendiente

a) Línea horizontal m=0

b) Línea vertical m=

c) Línea que sube de izquierda a derecha m=+

d) Línea que sube de derecha a izquierda m= -

1

2m m

1

2m

0m

ECUACIONES EN LA RECTA

Una recta puede ser determinada a partir de ciertas características o de unas

informaciones disponibles dadas de las siguientes maneras:

a) Punto – pendiente

1 1 2 2

1 1

( , )

( , )( , )

( )

x y

x y x y

y y m x x

y2 n2

x2 n1

x1 y2

b) Forma pendiente orientada al origen

y mx b

y a2

b

x

c) Forma general

0Ax By C

Ejemplo: 3 5 7 0x y

d) Forma horizontal

a l1

e) Recta vertical

a y=a

RECTAS PARALELAS PERPENDICULARES

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente

l1

l2

m1

m2

m1=m2

3=3

Dos rectas son paralelas perpendiculares si las pendientes son inversas

l2 l1

m1 m2

12

1

13

3

mm

EJERCICIOS

Dados los siguientes valores encuentre las ecuaciones de la recta

1 1

(4,2)( 6,3)

( )

0

3 2

6 4

5

10

1

2

y y m x x

y mx b ax by c

ym

x

m

m

12 ( 4)

2

2 4 4

2 0

0

0

y x

y x

x y

x

y

X 2

y -1

2 2 0

2 2

1

y

y

y

(x+2y)=0

m 2

-1

5( ,5)

2

1

3m

1 1( )y y m x x

1 53 15 ( )

3 2y x

353 0

2x y

353 0

2x y 5.8

0

0

x

y

35;5.8

6

35; 17.5

2

y

x

-17.5

- 9 = 5y + a

x - 12 = 5y

5y = x - 12

12y = -

5 5

x

x

120 y=- -2.4

5

y = 0 x = 12

x

1

5m

12

5b

12y = -

5 5

x

12

-2.4

2 5 ; 5 3 0

5 2 5 2

y x x y

y x y x

Aplicación y funciones lineales

Existen muchas situaciones

Utilizando rectas para el respectivos análisis de un tema específico y

representará es el análisis de demanda y oferta.

Por lo general a mayor precio la cantidad demandada es menor; cuando el

precio baja la cantidad demandad aumenta, esta relación representa la idea

de demanda.

Y también en general existe otro fenómeno en el mercado en donde el mayor

precio x unidad mayor es la cantidad que los productos están dispuestos a

proveer cuando el precio disminuye también lo hace el precio a esta

disminución

p

n

m

Para efectos de este tema se analizará entonces el fenómeno de oferta y

demanda a través de funciones lineales

Curva demanda

p

Curva demanda lineal

q

(m,n)

Precio n

m

cantidad

(x,y)

(q,p)

q

p

n

m

Curva

oferta

n

m

Curva demanda

lineal

EJEMPLO:

Su ponga que la demanda por semana de un producto es de 100 u. cuando

el precio es de $ 50 por unidad y de 200 u. de un precio de $51. Determine la

ecuación de demanda suponiendo que es lineal

( ) (

)

P= f (q)

P=

q + 67 m=

=

=

y - y1 = m( x-x1)

y - 58= -

(x-100)

100y – 5800 = -7x +700

1000y= -7x + 6500

P = -

q +65

q = 300

p =

(300) +65

p= -21 +65

p= 44

En pruebas hechas para dieta experimental para gallinas se determinó el precio promedio de un gallina fue según estadísticas una función lineal del

número de días después que se inició la dieta en donde 0 d 50 , suponen que el precio promedio de una gallina al iniciar la dieta fue de 40 gramos y 25 días después de 675 gramos. Determine el peso con una función de los días cuando d= 10

( ) p = f (d)

Unidad precio y x

3

( ) (

)

P =

d +40

P =

(10 ) +40

P = 25.40 (10) +40

P= 254+40 P= 294

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática describe situaciones particulares como la oferta y la

demanda. Y que como función se la representará a fin de determinar ingresos

máximos y valores mínimos de situaciones que se presentarán durante una

experimentación para graficar una ecuación cuadrática será necesario:

Dado a + bx +c = 0

a , b, c R

z 0

a) a > 0 arriba

a < 0 abajo

b) vértice (

)

c) y = c

GRAFICAR LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUADRÁTICAS

y = f (x) = - 4x +12

a) a < 0 abajo

b) v -2 ;

=

= -2

f (-2) = - -4 (-2) +12

= -4+8 +12

=16

c) y= 12

0 = -4x +12

+4x -12 =0

( x+6 ) ( x-2 ) = 0

X = 6 ; x= 2

El ingreso máximo para un producto es p= 1000-2q donde p es precio y q

unidad, encontrar el nivel de producción que maximicé el ingreso total del

producto, y determine ese ingreso

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

Intersección en y

Intersección x

Y=0

Eje simétrico

Vértice

Y= - -4x +12

P = 1000- 2q

I = p.q

I = ( 1000-2q ) q f (250 ) = 1000 (250 ) -2 (250)

I = 1000 q -2 = 250000 – 125000

= 125000

a) a < 0 abajo

b) V (250;

= -

= 250

c) y= 0 0 = 1000q – 2

( -500 q = 0

q( q -500) = 0

q = 0 ; q = 500

0

25000

50000

75000

100000

125000

0 125 250 375 500

-------------------------------------------------- -----------------------------------------------

Vértice

Eje

Corte x

Aplicaciones de sistema de ecuación

Una parte importante en el análisis de sistema de ecuaciones es el encontrar

puntos de equilibrio que linealmente relaciona una cantidad de equilibrio y un

ingreso de equilibrio.

Análisis que permite determinar la relación existente en el mercado de la oferta

y demanda.

Obtener utilidades y pérdidas en este tipo de ejercicios existen nomenclaturas

usadas con frecuencia estas son:

= Ing. Total

= Costo Total

= Costo variable

= Costo fijo

P =

q +50 para el producto de un fabricante y suponga que la ecuación de

demanda sea igual p =

q +65

Se cobra al fabricante un impuesto de 1.50 por unidad como se afectará el

punto de equilibrio original si la demanda permanece igual.

Determinar el ingreso total obteniendo x el fabricante en el punto de equilibrio

antes y después del impuesto.

P =

q + 50 Oferta YTR = YTC

P=

q + 65 Demanda Punto

equilibrio

Ing = Costo

a) Original

P = P

q +50 =

q + 65

Dc = 100

Y T R

Y T C

Y V C

Y V F

8q + 5000 = -7 + 6500 p =

( 100 )

+ 50

15 q = 1500 p = 8 +50

q = 100 p = 58

P =

q + 51.5

P =

q + 65

PE= (90, 57.20) impuesto.

b) Y + R = pq

Antes

YTR = (100) (58)

= 5800

Después

YTR = (90) (57,20)

YTR = 5142

p

q

------------------------------ --------------------

-------------------

--

---------------------------------

100

0

PE

PE2

Por precio se mantiene igual las variables de adquisición bajan y precio se

mantiene igual.

Función exponencial y logarítmica

Función Exponencial.- Es una función muy importante no sólo en

matemáticas si no que también tiene mucha aplicación en temas como interés

compuesto, crecimiento poblacional, decaimiento radioactivo, finanzas,

economía y otras áreas de estudio.

La función exponencial está definida por f (x )=

b>0 b 1

y el exponente es cualquier número real.

En funciones exponenciales es necesario aplicar las reglas de los exponentes:

a) = 1 d) . . =

b) =

e)

=

c) ( ) = f) = ) . .

Existen las siguientes propiedades:

El dominio de una función exponencial son todos los números reales y

el rango los números positivos

La intersección de una función exponencial en el eje y es 0.1

Eje y (0.1 )

Eje x no tiene intersección

b > 1 La gráfica asciende de derecha a izquierda

0 < b < 1

La gráfica desciende de derecha a izquierda

b > 1 La gráfica se aproxima al eje x conforme x toma los valores

negativos.

0 < b < 1 La gráfica se aproxima al eje x conforme x toma

valores positivos

EJERCICIOS

F ( x ) =

b > 1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

(0,1) (0,1)

F (x )

F ( x) = (

)

0 < b < 1

( 0,1 )

X Y

2 4

(-2) (0,5)

X y

2 0,05

(-2) 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

F (x ) =

x

( f (x ) =

Una aplicación práctica es el interés compuesto de una función exponencial en

donde el interés genera una cantidad de dinero invertido en un lapso de tiempo

y que tiene la siguiente ecuación: M = C S = P

NOTA: Fórmula que es aplicada para efectos de crecimiento poblacional,

decaimiento radioactivo

I = S -P

EJERCICIO

4000 a 15 años al 8.5% compuesto trimestralmente

a) S = 4000

S = 14124, 86

b) I = S - P

14124,86 -4000 = 10124,86

La población de una ciudad de 5000 habitantes crece a razón del 3 % anual.

Determine en ecuación que proporción la población después de T años. Halle

la población 5 años después.

P F = PA

P I = 5000

PF= 5796

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4

VII. GUÍA DE APRENDI ZAJE

NIVEL DE LOGRO ELEMENTO DE COMPETENCI A

Teórico Básico (comprensión)

Analizar los conceptos elementales de matemática básica.

APRENDIZAJE MEDIADO

Actividad 1

1. Revisión de definiciones de números reales

Guía de estudio para la actividad 1:

a) Lectura a las pág. 2 - 3

b) Resaltar las definiciones esenciales

Actividad 2

1. Revisión de propiedades de los números reales


a) Lectura de las pág, 3 – 6


Actividad 3

1. Revisión de operaciones con números reales


a) Lectura de las pág, 6 - 9


Actividad 4

1. Revisión de operaciones con expresiones algebraicas




Actividad 5

1. Revisión de factorización




APRENDIZAJE AUTÓNOMO

1.-Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de

números reales, presentar en organizadores gráficos.

2. Realice los ejercicios Nro.0.2; Nº. 03; Nº. 04 Nº. 05 del texto Haussler Paul

(elija pares o impares)

3. Realice los ejercicios Nro.0.6; Nº. 0.7; Nº. 0.8 del texto Haussler Paul (elija

impares)

NIVEL DE LOGRO ELEMENTO DE COMPETENCIA

Teórico Superior

(Análisis Crítico)

Analizar los conceptos, crear sus propias definiciones y deducir fórmulas y sus

aplicaciones algebraicas

APRENDIZAJE MEDIADO

Actividad 6

1. Revisión de definiciones de ecuaciones lineales




Actividad 7

1. Revisión de definiciones de ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales




Actividad 8

1. Revisión de definiciones de ecuaciones cuadráticas




Actividad 9

1. Revisión de definiciones y fórmula general de ecuación cuadrática





1. Establezca la diferencia de los elementos constitutivos de la matemática

básica utilizando ordenadores gráficos.

2. Realice los ejercicios Nro.1.1 Nº. 1.2; Nº. 1.3; Nº. 1.4; del texto de Arya (elija

pares o impares)

3.-Realice los ejercicios Nro. 2.1; Nº. 2.2., Nº. 2.3; Nº. 2.4 del texto de Arya

(elija los impares)


Teórico Práctico Aceptable

( Mínimo acreditable)

Utilizar organizadores gráficos para el proceso de resolución de problemas de

matemática básica

APRENDIZAJE MEDIADO

Actividad 10

1. Revisión de definiciones para la aplicación de ecuaciones




Actividad 11

1. Revisión de definiciones de desigualdades lineales




Actividad 12

1. Revisión de definiciones de valor absoluto





1. Relacione los diferentes modelos de ordenadores gráficos: mentefactos,

mapas conceptuales, etc.

2. Resolver los ejercicios Nro. 3.1.; Nº. 3.2; Nº. 3.3; Nº 3.4; Nº 3.5. ; Nº 3.6. del

texto de Vicente Matamoros.

3. Resolver modelos del modulo Básico entregado por el docente.


Teórico Práctico Avanzado

(acreditable)

Aplicar técnicas de resolución de problemas de matemática básica

APRENDIZAJE MEDIADO

Actividad 13

1. Revisión de definiciones de funciones




Actividad 14

1. Revisión de definiciones de funciones especiales




Actividad 15

1. Revisión de definiciones de combinación de funciones




Actividad 16

1. Revisión de graficas en coordenadas rectangulares




Actividad 17

1. Revisión de definiciones de simetría




Actividad 18

1. Revisión de definiciones de traslaciones y reflexiones




Actividad 19

1. Revisión de definiciones y formulas de rectas y sistemas lineales y no

lineales





1. Desarrolle los diversos modelos financieros: Diversidad de ejercicios para su

resolución: ejercicios de aplicación en grupo.

2. Resolver los modelos matemáticos del ejercicio Nro.4.1; Nº 4.2; Nº. 4.3;

Nº 4.4. del texto de Haeussler Paul ( escoja los impares)

3. Resolver los modelos de oferta demanda y depreciación del ejercicio Nro.

4..5 del texto de Haeussler Paul (escoger los pares)

4. Resolver los modelos de punto de equilibrio de mercado del ejercicio Nro.

4.6 del texto de Haeussler Paul (escoger los impares.

5. Resolver los ejercicios Nro. 5.1.; Nº. 5.2; Nº. 5.3; Nº 5.4; del texto de

Haeussler Paul (Números impares)

VIII. REFERENCIAS

a. BIBLIOGRÁFICA

HAEUSSLER PAUL, Matemáticas para administración y economía

ARYA Y LADNER. Matemática Aplicada a la Administración y economía

JEAN WEBER. Matemática Aplicada para la Administración y

Economía.

DEWAR Y ZILL. Algebra y trigonometría.

GARCIA ARDURA. Matemática superior.

MATAMOROS VICENTE. Algebra Básica.

b. LINKOGRÁFICA

www.matemáticabasica.com

www.eneayudas.com

www.elmundodelasmatematicas.com

http://www.matemáticabasica.com/

http://www.eneayudas.com/

http://www.elmundodelasmatematicas.com/

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modulo matematica 1