Modulo_2_ Fundamentos Sobre Vectores

7/26/2019 Modulo_2_ Fundamentos Sobre Vectores

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLNFACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FSICA

FSICA MECNICAMDULO #2: FUNDAMENTOS SOBRE VECTORESDiego Luis Aristizbal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muoz H.

Profesores, Escuela de !sica de la "ni#ersidad $acional de %olo&bia 'ede Medell!n

(lti&a re#isi)n en *unio + de -+/

Te&as Magnitudes #ectoriales 0 escalares. %lasificaci)n de #ectores. 'u&a de #ectores por los &1todos2 paralelogra&o, tringulo, pol!gono. %o&ponentes rectangulares de un #ector2 en el plano 0 en el espacio. 'u&a de #ectores por el &1todo de las co&ponentes rectangulares. Producto escalar por #ector. Producto escalar de #ectores.

Producto #ectorial de #ectores. Deri#ada de un #ector

Nota2 En el desarrollo de este &)dulo se asu&e 3ue los estudiantes 0a cursaron 4eo&etr!a 5ectorial. Esdecir, el &)dulo considera s)lo un bre#e REPA'6.

I. Qu !" u $!%to&' Las &agnitudes f!sicas se pueden clasificar en escalares0 #ectoriales.

Las &agnitudes escalares tienen s)lo ta&ao 73ue de a8ora en adelante se deno&inar &)dulo osi&ple&ente &agnitud9. 'on e*e&plos de estas2 el tie&po, la &asa, la rapidez, la longitud de unrecorrido, la energ!a, el traba*o, el #olta*e, la potencia.

Las &agnitudes #ectoriales poseen ade&s de &)dulo, direcci)n0 sentido. 'e representan &ediante unseg&ento orientado 7flec8a9, co&o lo indica la figura .

igura

La direcci)n de la cantidad #ectorial, est dada por el #alor del ngulo 3ue define la pendiente de larecta sobre la cual se :apo0a: la :flec8a: 3ue la representa. El sentido 3ueda definido por la:cabeza: o :punta: de la &is&a. El ta&ao 7&)dulo o &agnitud9 del #ector lo da el ta&ao de dic8a


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:flec8a:. As! por e*e&plo, si la cantidad #ectorial se duplica, la :flec8a: 3ue la representa se deberdibu*ar de doble ta&ao.

'on e*e&plos de &agnitudes #ectoriales2 la posici)n, el desplaza&iento, la #elocidad, la aceleraci)n,la fuerza, la cantidad de &o#i&iento 7&o&entu&9, la elongaci)n, el peso, el ca&po el1ctrico, elca&po &agn1tico.

Algebraica&ente los #ectores se representan con letras del alfabeto castellano, &a0;sculas o&in;sculas< usual&ente en un te=to i&preso se utiliza la letra en negrita, por e*e&plo (, 3uesignifica a&bas propiedades del #ector, &agnitud 0 direcci)n 7inclu0endo el sentido dentro de la

direcci)n9. En la escritura &anual se suele poner una flec8a sobre la letra,b

.

La &agnitud o longitud de un #ector se representa colocando el #ector entre barras o si&ple&ente

la letra,

b = b

.

II. C)a"*+*%a%*, ! $!%to&!"

L!nea de acci)n de un #ector es la recta a la 3ue pertenece el #ector, igura -.

igura -

V!%to&!" a&a)!)o"

'on a3uellos 3ue tienen sus l!neas de acci)n paralelas e igual sentido, igura /.

igura /


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V!%to&!" at*a&a)!)o"

'on a3uellos 3ue tienen sus l!neas de acci)n paralelas 0 sentido opuesto, igura >.

igura >

V!%to&!" */ua)!"

'on a3uellos #ectores 3ue tienen la &is&a &agnitud, direcci)n 0 sentido aun3ue no tengan el &is&o puntode aplicaci)n, igura ?.

igura ?

V!%to& ou!"to ! u $!%to&

Es a3uel 3ue tiene la &is&a &agnitud del #ector, pero est rotado @+ respecto a 1ste, igura B.

igura B

V!%to&!" +*0o"


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'on a3uellos #ectores 3ue no pueden deslizarse sobre su l!nea de acci)n. 'u origen est anclado al punto deaplicaci)n. E*e&plos son2 el #ector posici)n 7igura C9, la #elocidad 7igura C9, el ca&po el1ctrico.

igura C

V!%to&!" !")*1at!"'on a3uellos #ectores 3ue pueden &o#erse sobre su l!nea de acci)n sin ca&biar su &agnitud 0 direcci)n.E*e&plo. Las fuerza 3ue act;an sobre los cuerpos r!gidos, igura @.

igura @

V!%to&!" )*(&!"

'on a3uellos #ectores 3ue pueden &o#erse libre&ente en el espacio con sus l!neas de acci)n paralelas.E*e&plo. El tor3ue de una cupla 7ta&bi1n deno&inado par de fuerzas9, igura .


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igura

V!%to& u*ta&*o $!&"o& ! u $!%to&3

Es un #ector de &agnitud 0 de igual direcci)n del #ector dado, igura +. 'e obtiene

di#idiendo el #ector entre su &agnitud,

au = [1]

a

igura +

E*e&plos de #ersores son los 3ue representan las direcciones de los e*es cartesianos 7e*e =,i

< e*e 0,j

+,+ocon el #ector resultante 7#ector su&a9 de los dos. Encontrar la &agnitud del segundo #ector 0 la del#ector su&a.

'oluci)n2


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igura ?

En la igura ? se ilustra la su&a de estos dos #ectores e&pleando el &1todo del paralelogra&o. 'ea bI -+u, aplicando le0 de senos,

s b=

sen sen

Pero

o = 70,0

0a 3ue es el suple&ento de +,+o7esta es una propiedad de los paralelogra&os9, 0 co&o

los ngulos interiores de un tringulo su&an @+o,

o = 70,0

, entonces,

b sens =

sen

( ) 0

o

20,0 u !sen70,0s =

sen70,0

s = 20,0 u

Aplicando le0 de cosenos,

2 2 2 oa = s + b - 2sbcos40,0

( ) ( ) ( ) ( )2 22 oa = 20,0 u + 20,0 u - 2 20,0 u 20,0 u cos40,0

a = 13,7 u

Mtoo !) t&*6/u)o

En este &1todo, los #ectores se deben trasladar 7sin ca&biarle sus propiedades9 de tal for&a 3ue la:cabeza: del uno se conecte con la :cola: del otro 7el orden no interesa, pues la su&a es con&utati#a9. El#ector resultante se representa por la :flec8a: 3ue une la :cola: 3ue 3ueda libre con la :cabeza: 3ueta&bi1n est libre 7es decir se cierra un tringulo con un :c8o3ue de cabezas:9. En la igura B se ilustra el&1todo.


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igura B

En la igura B el #ector de color #erde es la su&a #ectorial de los #ectores de color ro*o 0 de color azul.

'i la operaci)n se 8ace grfica&ente con el debido cuidado, s)lo bastar!a &edir con una regla el ta&ao del#ector de color #erde utilizando la &is&a escala 3ue se utiliz) para dibu*ar los #ectores su&andos 7el ro*o 0el azul9. Esa ser!a la &agnitud de la su&a. La direcci)n se podr!a a#eriguar &idiendo con un transportador elngulo 3ue for&a la resultante con una l!nea 8orizontal.

Pero no basta con saberlo 8acer grfica&ente. 'e debe aprender a realizar anal!tica&ente. Para ello sedeben utilizar los teore&as del seno 0 del coseno, 0 si es un tringulo rectngulo se utilizar el teore&a dePitgoras 0 las definiciones de las funciones seno 0 coseno.

E*e&plo /2

Resol#er el e*e&plo usando el &1todo del tringulo.

'oluci)n2

igura C

En la igura C se ilustra la su&a de los dos #ectores e&pleando el &1todo del tringulo. Aplicando le0 decosenos,

2 2 2 os = a + b - 2abcos36


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( ) ( ) ( ) ( )2 22 os = 6,00 u + 7,00 u - 2 6,00 u 7,00 u cos36,0

s = 4,13 u

La direcci)n se obtiene calculando el ngulo 3ue for&a con el e*e . Aplicando le0 de senos,

o

s a=

sen36,0 sen

oa sen36,0sen =

s

( )

( )

o6,00 u !sen36,0sen=

4,13 u

sen = 0,84

o = 8,6

Por lo tanto el ngulo 3ue for&a el #ector resultante con el e*e es igual a,

o o o = 180 - 8,6 121

Mtoo !) o)7/oo

%uando se #an a su&ar &s de dos #ectores, se puede su&ar dos de ellos por el &1todo del tringulo. Luegoel #ector resultante su&arlo con otro #ector ta&bi1n por el &1todo del tringulo, 0 as! sucesi#a&ente8asta llegar a obtener la resultante final2 la su&a de #ectores es con&utati#a 0 asociati#a.

6tra for&a de 8acer la su&a, es utilizando el lla&ado &1todo del pol!gono. Este &1todo es si&ple&ente lae=tensi)n del &1todo del tringulo. Es decir, se #an desplazando los #ectores para colocarlos la :cabeza:

del uno con la :cola: del otro 7un :trencito:9 0 la resultante final es el #ector 3ue cierra el pol!gono desde la:cola: 3ue 3uedo libre 8asta la :cabeza: 3ue 3uedo ta&bi1n libre 7cerrar con un :c8o3ue de cabezas:9.$ue#a&ente el orden en 3ue se realice la su&a no interesa, pues aun3ue el pol!gono resultante tiene for&adiferente en cada caso, la resultante final conser#a su &agnitud, su direcci)n 0 su sentido.

Este &1todo s)lo es eficiente desde punto de #ista grfico, 0 no co&o un &1todo anal!tico. En la igura @se ilustra la su&a de cuatro #ectores.


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igura @

'i&ulaci)n2

Analizar la si&ulaci)n de S*4u)89"*%"correspondiente a la su&a de #ectores por el &1todo del pol!gono.Para acceder a ella 8acer clic con el &ouse en el !te& sealado en la igura . En 1sta 8acer las#ariaciones per&itidas 0 obser#ar detenida&ente los resultados.

8ttp2ludifisica.&edellin.unal.edu.coinde=.p8psoftareF8ardaresi&ulp80sics

igura

IV. Co4o!t!" ! u $!%to&

Todo #ector se puede e=presar co&o la su&a de otros dos #ectores a los cuales se les deno&inaco&ponentes. En la igura -+ se ilustra esto.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysicshttp://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics


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igura -+

En esta figura el #ector #erde tiene co&o co&ponentes los #ectores azul 0 ro*o. Estos ;lti&os su&adosco&ponen al #ector #erde.

Co4o!t!" &!%ta/u)a&!" ! u $!%to& ! !) )ao

%uando las co&ponentes for&an un ngulo recto, se les lla&a co&ponentes rectangulares. En la igura - seilustran las co&ponentes rectangulares del #ector #erde.

igura -

Las co&ponentes rectangulares cu&plen las siguientes relaciones2

"a = a cos [4-a]

#a = a sen [4-b]

2 2

" #a = a +a []

#

"

a$an = [6]

a

Estas co&ponentes se pueden escribir en funci)n de los #ersores correspondientes a los e*es cartesianos,

" # a = a i + a j [7]

Co4o!t!" &!%ta/u)a&!" ! u $!%to& ! !) !"a%*o


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%o&ponentes rectangulares Jngulos directoresigura --

De la igura -- se puede concluir 3ue,

" # % a = a i + a j + a k [8]

" "a = a cos& [9-a]

# #a = a cos& [9-b]

% %a = a cos& [9-c]

En donde"

cos&

,#cos&

0%

cos&

se deno&inan %o"!o" *&!%to&!" 0 cu&plen,

2 2 2

" # %cos& + cos & + cos & 1 [10]

es decir los cosenos directores no son independientes.

E*e&plo >2

"na fuerza'

tiene &agnitud igual a +,+ $ 0 direcci)n igual a ->+,+K. Encontrar las co&ponentesrectangulares 0 representarlas en un plano cartesiano.

'oluci)n2

%alcular las respecti#as co&ponentes2


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( )( )o"' = 10,0( cos240,0 = -,00 (

( )( )o#' = 10,0( sen240,0 = -8,66 (

El resultado lle#a a concluir 3ue la co&ponente de la fuerza en tiene &)dulo igual a ?,++ $ 0 apunta endirecci)n negati#a del e*e . La co&ponente en tiene &)dulo igual a @,BB $ 0 apunta en el sentidonegati#o del e*e . Esto se ilustra en la igura -/.

igura -/

Adicional&ente el #ector se puede escribir en funci)n de sus co&ponentes rectangulares,

' = -,00 i - 8,66 j (

E*e&plo ?2

En la igura -> se ilustra un poste #ertical AE 3ue est su*etado por cables 7tensores9 A, A% 0 AD. 'i la

fuerza de tensi)n'

en el cable AD tiene una &agnitud igual a -++ $, escribir esta fuerza en for&a#ectorial.


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igura ->

'oluci)n2

A2 7+,+ &,+,+ &,/,B &9

D2 7,- &,,@ &, +,+ &9

Nota2 Dado un siste&a de coordenadas, a cada punto del espacio se le puede asignar un #ector posici)n 0solo uno 7es decir un #ector cu0a NcolaO est anclada en el origen del siste&a de coordenadas elegido 0 cu0a

NcabezaO est ubicada en dic8o punto9. Por lo tanto al punto A se le asigna el #ector posici)n)

0 al punto

D se le asigna el #ector posici)n

*

. Las co&ponentes rectangulares de estos #ectores corresponden a lasrespecti#as coordenadas de los puntos,

) = 3,6 k

* = 1,2 i + 1,8 j

El #ector )* es igual a la diferencia de los #ectores posici)n * 0 ) 7FINAL 4!o" INICIAL9,

( ) ( ) ( ) )* *-)= 1,2 0,0 i 1,8 0,0 j 0 3,6 k = + +

)* = 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k


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La fuerza de tensi)n en el cable AD se escribe,

( )( ) ( ) ( )

'2 22

)* 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k ' = 'u = ' = 1 200 (

)* 1,2 + 1,8 + -3,6

uuurr

' = 342,86 i + 14,29 j - 1 028,7 k (

2 2 3 ' = 3,4"10 i + ,1"10 j - 1,0"10 k (

V. Su4a ! $!%to&!" !4)!ao !) 4too ! )a" Co4o!t!" R!%ta/u)a&!"

%uando se su&an #ectores, se puede optar por desco&ponerlos en sus co&ponentes rectangulares 0 luegorealizar la su&a #ectorial de estas. El #ector resultante se lograr co&poni1ndolo a partir de lasresultantes en las direcciones = e 0.

A continuaci)n se ilustra este &1todo &ediante un e*e&plo. Este ser en la &a0or parte de los casos el&1todo 3ue se usar a tra#1s del curso.

E*e&plo B2

'u&ar los #ectores de la igura -? &ediante el &1todo de las co&ponentes rectangulares2 aI@,++ u,

bIC,?+ u, cI >,/+ u, dIC,@+ u.

igura -?

Lo pri&ero 3ue se debe 8acer es lle#arlos a un plano cartesiano para de esta for&a orientarse &e*or 7lascolas deben anclarse al origen9. Esto se ilustra en la igura -B.


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igura -B

%alcular las co&ponentes rectangulares2

( )( )

o

"a = 8,00 u cos0,0 = ,14 u

( )( )

o

#a = 8,00 u sen0,0 = 6,13 u

( )( )o"b = 7,0 u cos 0 = 7,0 u ( )( )o

#b = 7,0 u sen0 = 0 u

( )( )o"c = 4,30 u cos120,0 = -2,1 u ( )( )o

#c = 4,30 u sen120,0 = 3,72 u

( )( )o" = 7,80 u cos200,0 = -7,33 u ( )( )o

# = 7,80 u sen200,0 = -2,67 u

A continuaci)n se realiza la su&a de las co&ponentes en 0 de las co&ponentes en 2

" = ,14 u + 7,0 u - 2,1 u - 7,33 u = 3,16 u

# = 6,13 u + 0 u + 3,72 u - 2,67 u = 7,18 u

'e representa estos dos #ectores en el plano cartesiano 0 de una #ez se 8ace la co&posici)n 7su&a

#ectorial de las co&ponentes"

0#

9, igura -C


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igura -C

'e calcula a8ora el &)dulo de la resultante 0 su direcci)n2

( ) ( )2 22 2

" # = + = 3,16 u + 7,18 u = 7,84 u

#-1 -1 o

"

7,18 u = $an = $an = 66,2

3,16 u

'i&ulaci)n2

Analizar la si&ulaci)n de S*4u)89"*%" correspondiente a la su&a de #ectores por el &1todo de lasco&ponentes rectangulares. Para acceder a ella 8acer clic con el &ouse en el !te& sealado en la igura [email protected] 1sta 8acer las #ariaciones per&itidas 0 obser#ar detenida&ente los resultados.

8ttp2ludifisica.&edellin.unal.edu.coinde=.p8psoftareF8ardaresi&ulp80sics

igura -@

R!"ta ! V!%to&!"
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysicshttp://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics


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Para restar #ectores se apro#ec8a del ele&ento in#erso de la su&a. As! la resta de dos #ectores se puede#er co&o una su&a2

( )a - b = a + -br r

El negati#o de un #ector es otro #ector con sentido contrario. De a8! en adelante la operaci)n sigue co&ouna su&a de #ectores.

En la igura - se ilustra un e*e&plo de una resta.

igura -

E*e&plo C2

Para los #ectores del e*e&plo encontrar

b - ar

.

'oluci)n2

En la igura /+ se ilustra la operaci)n( ). = b - a = b + -a

r r

usando el &1todo del tringulo.

igura /+

Aplicando la le0 de cosenos,


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2 2 2 o. = a + b - 2abcos144,0

( ) ( ) ( ) ( )2 22 o. = 6,00 u + 7,00 u - 2 6,00 u 7,00 u cos144,0

. = 12,37 u

Aplicando le0 de senos,

o

. b=

sen144,0 sen

0b sen144,0sen =

.

( ) ( )

( )

7,00 u 0,88en =

12,37 us

o = 19,44

o

= 196,6

Por lo tanto.

&ide -,> u 0 for&a un ngulo igual a Cocon el e*e .

VI. 8&ou%to ! u E"%a)a& o& u V!%to&

El producto de un escalar por un #ector da co&o resultado otro #ector 3ue tiene la &is&a direcci)n 3ue el#ector factor. 'i el n;&ero 3ue &ultiplica al #ector es positi#o, conser#ar el sentido 0 si es negati#oin#ertir su sentido. 'i el n;&ero ade&s es &a0or 3ue uno el #ector resultante ser proporcional&ente&a0or 3ue el #ector factor. 'i el n;&ero es &enor 3ue uno el #ector resultante ser proporcional&ente&enor 3ue el #ector factor. En la igura / ilustra&os #arios e*e&plos de producto de escalares por#ectores.


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igura /

VII. 8&ou%to E"%a)a& ! o" V!%to&!"

Al producto escalar entre dos #ectoresa

0b

se denota co&oa bg

. Por definici)n es el resultado de la

&agnitud del #ectora

por la &agnitud del #ectorb

por el coseno del ngulo 3ue for&an entre ellos,

a b abcos [11]

El resultado de este producto es una cantidad escalar. 'i se obser#a la igura /- se puede interpretar

esta operaci)n #ectorial co&o el producto de la pro0ecci)n del #ectora

sobre el #ectorb

por la &agnitud

deb

0 #ice#ersa.

Muc8as relaciones f!sicas se pueden e=presar co&o este producto 7por e*e&plo, el concepto de traba*o9.Para operar, se lle#an los dos #ectores a un origen co&;n, siendo el ngulo 3ue for&an entre s! los

#ectoresa

0b

.

igura /-

El producto escalar es un n;&ero, no es un #ector 0 puede ser positi#o, negati#o o nulo.

'i el ngulo entre los #ectores es &enor 3ue +K el producto escalar es positi#o, si es &a0or 3ue +K pero

&enor 3ue @+K el producto es negati#o 0 si es igual a + el producto escalar es nulo.

At!%*,:

El producto escalar de dos #ectores perpendiculares es cero.


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Producto escalar de los #ersores 3ue dan las direcciones de los e*es cartesianos,

i i = 1 i j = 0 i k = 0

j i = 0 j j = 1 j k = 0

k i = 0 k j = 0

O

k k = 1

E*e&plo @2

Dos #ectores a 0 b cu0as &agnitudes son iguales a -+,> unidades 7u9 0 /+,B unidades 7u9 for&an unngulo de B+,+K, calcular su producto escalar.

'oluci)n2

'eg;n la definici)n,

a b abcos [11]

por lo tanto2

( ) ( ) o 2a b 20,4 u 30,6 u cos60,0 = 312 u

Producto escalar en co&ponentes rectangulares

'ean,

" # % a = a i + a j + a k

" # % b = b i + b j + b k

entonces,


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( ) ( )" # % " # % a b = a i + a j + a k b i + b j + b k r

" " " # " # " # # #

% " % # %

a b = a b i i + a b i j + a b i k + a b j i + a b j j + a b j k +

+ a b k i + a b k j + a b k k

z z

z

r

" " # # %a b = a b + a b + a b [12]

z

E) 6/u)o !t&! o" $!%to&!"se puede calcular e&pleando el producto escalar,

" " # # %a b = a b + a b + a b = abcos

zg

" " # # % %a b + a b + a ba bcos = [13]

ab ab

=r

en donde,

2 2 2

" # %a = a +a +a

2 2 2

" # %b = b +b +b

E*e&plo @2

%alcular el ngulo 3ue for&an las cuerdas A% 0 AD de la igura //.


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igura //

'oluci)n2

) = 3,6 k

/ = 0,9 i - 1,2 j

* = 1,2 i + 1,8 j

'i

es el ngulo entre a&bas cuerdas, seg;n la ecuaci)n /Q se obtiene,

)/ )*cos =

)/ )*

uuur uuur

co&o,


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)/ = / - ) = 0,9 i - 1,2 j - 3,6 k

)* = * - ) = 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k

( ) ( ) ( )2 2 2

)/ 0,9 1,2 3,6 3,9 = + + =uuur

( ) ( ) ( )2 2 2

)* 1, 2 1,8 3,6 4, 2 = + + =uuur

Por lo tanto,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0,9 1,2 + -1,2 1,8 + -3,6 -3,6

cos = 3,9 4,2

o = 43,

o = 44

VIII. 8&ou%to V!%to&*a) ! o" V!%to&!"

Al producto #ectorial entre dos #ectoresa

0b

se denota co&oa ! b

. E*e&plos de la f!sica 3ue e&pleanesta operaci)n son el tor3ue 0 la fuerza &agn1tica.

Para definirlo se lle#a a&bos #ectores a un origen co&;n. A diferencia con el producto escalar, el resultado

de este producto es un #ector, cu0a direcci)n es perpendicular al plano 3ue contiene a los #ectoresa

0b

,cu0o sentido se obtiene aplicando la deno&inada regla de la &anoderec8a 0 cu0o &)dulo 7&agnitud9 es igualal producto entre las &agnitudes de los #ectores por el seno del ngulo 3ue for&an, igura />,

a!b absen [14]r

Regla de la &ano derec8a2

El sentido del producto #ectoriala ! b

se obtiene aplicando la regla de la &ano derec8a2 se coloca la pal&a

de la &ano derec8a en la direcci)n del #ectora

0 se en#uel#en los dedos en el sentido de rotaci)n 8acia el


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#ectorb

eligiendo sie&pre el &enor ngulo posible &anteniendo erecto el pulgar. El sentido en 3ue apunta

el pulgar, es el sentido del producto #ectoriala ! br

, igura />.

%o&o se puede obser#ar no es lo &is&o 8acer el producto #ectorial de

a ! b

3ue el de

b ! a

. "n #ector sedefine por2 el &)dulo, la direcci)n 0 el sentido. En los dos casos tanto el &)dulo co&o la direcci)n noca&bian pero el sentido es opuesto, igura />.

El producto #ectorial es anticon&utati#o. Es decir 3ue2

a ! b = - b a

igura />

At!%*,:

'i los #ectoresa

0b

son paralelos 7ngulo entre ellos igual a +K9 o antiparalelos 7ngulo entre ellosigual a @+K9 el producto #ectorial ser nulo. En particular, el producto #ectorial de un #ector por s!&is&o es cero.

Producto escalar de los #ersores 3ue dan las direcciones de los e*es cartesianos,

i ! i = 0 i ! j = k i ! k = - j


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j ! i = - k j ! j = 0 j ! k = i

k ! i = j k ! j = - i k ! k = 0

Regla ne&ot1cnica2 El producto de dos de los #ectores da co&o resultado el otro, con signo positi#o si es enel sentido indicado por la igura /? 0 negati#o en el sentido contrario.

igura /?

Producto #ectorial de dos #ectores en co&ponentes rectangulares

'ean,

" # % a = a i + a j + a k

" # % b = b i + b j + b k

entonces,

( ) ( )" # % " # % a b = a i + a j + a k b i + b j + b k r

" " " # " # " # # # % "

% # %

a b = a b i i + a b i j + a b i k + a b j i + a b j j + a b j k + a b k i +

+ a b k j + a b k k

z z

z

( ) ( ) ( )" # % # % % # " % % " " # # "" # %

i j k

a!b = a a a = a b - a b i - a b - a b j + a b - a b k [1]

b b b

rr


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E*e&plo 2

%alcular un #ersor ortogonal 0 saliente al plano al cual pertenecen las cuerdas AD 0 A de la igura /?.%alcular a8ora el #ersor ortogonal a ese plano pero entrante.

igura /?

'oluci)n2

) = 3,6 k

= - 2,7 i

* = 1,2 i + 1,8 j

El #ersor ortogonal saliente es,


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s

)*!)u =

)*!)uuur uuur

pero,

)* = * - ) = 1,2 i + 1,8 j - 3,6 k

) = - ) = - 2,7 i - 3,6 k

( ) ( ) ( )2 2 2

)* 1, 2 1,8 3,6 4, 2 = + + =uuur

( ) ( )2 2

) 2,7 + 3,6 4, = =uuur

El #ersor ortogonal entrante es,

( ) ( )

2

s

1,2 i + 1,8 j - 3,6 k ! - 2,7 i -3 ,6 k u =

4,2 4,

( ) ( )

2

s

- 6,48 i +14,04 j + 4,86 k u =

4,2 4,

s u = - 0,34 i + 0,74 j + 0,26 k

Este resultado se ilustra en la igura /B


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igura /B

El #ersor ortogonal entrante,

s s u = - u 0,36 i - 0,74 j - 0,026 k =

I;. D!&*$aa ! u $!%to&

%asi en la totalidad de los casos, en f!sica, los #ectores #an a #ariar con respecto al tie&po, en otraspalabras son #ectores 3ue dependen del tie&po. Antes de continuar es &u0 i&portante recordar 3ue un#ector se co&pone de &)dulo 0 direcci)n 7inclu0endo el sentido dentro de esta9, 0 3ue por lo tanto 1stepuede #ariar, en &)dulo o en direcci)n o en a&bas cosas a la #ez, 0 3ue en todos los casos ad&itir!aderi#ada.

igura /C


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Teniendo en cuenta 3ue un #ector puede e=presarse en funci)n de su #ector unitario de la for&a, igura/C2

aa = au

si se deri#a esa e=presi)n,

aa

ua a= u + a

$ $ $

Como,

( ) ( )a u = cos i + sen j

Entonces,

( ) ( )au = -sen i + cos j

$ $ $

( ) ( )au = -sen i + cos j

$ $

6bser#ar 3ue,

( ) ( )n u = -sen i + cos j

En dondenu

es ortogonal aau

, igura /@,


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igura /@

Por lo tanto,

an

u = u [16]

$ $

6bteni1ndose,

a n

a a = u + a u [17]

$ $ $

%o&o se obser#a, la deri#ada de un #ector puede desco&ponerse en dos #ectores2

El pri&er su&ando es un #ector en la direcci)n 0 sentido dea

, 0a 3ue tiene la direcci)n 0 sentido de su

#ector unitario.

El segundo su&ando es un #ector nor&al al #ectora

.

'i s)lo ca&bia la direcci)n del #ector solo per&anece la segunda co&ponente 0 si s)lo ca&bia la &agnitudper&anece la pri&era co&ponente.

E*e&plo +2

El #ector

tiene su &)dulo constante pero su direcci)n ca&bia con el tie&po. De&ostrar 3ue$

es

ortogonal a

.

'oluci)n2

'eg;n la ecuaci)n CQ,

n

= u + u

$ $ $

En donde

es el ngulo 3ue for&a

. %o&o este #ector &antiene su &agnitud constante, esta e=presi)nse reduce a,


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n

= u

$ $

quecorresponde a un #ector ortogonal a

.

Ta))!&

. Dos #ectores de B 0 unidades de longitud, for&an un ngulo entre ellos de 7a9 +o, 7b9 B+o, 7c9 +o, 7d9?+o 0 7e9 @+o. Encontrar la &agnitud de su resultante 0 su direcci)n respecto al #ector &s pe3ueo.

Rp2 7a9 ? unidades, +o< 7b9 /, unidades, /?o-CS< 7c9 +,@ unidades, ?BoS< 7d9 >,@ unidades, o/BSo< 7b9 -,@ unidades, F/@o>+S< ?,B unidades, F-Bo.

7To&ado de Alonso, M., inn, E., !sica 5olu&en , ondo Educati#o ntera&ericano, '.A., CB.9

>. Tres #ectores situados en un plano, tienen B, ? 0 > unidades de longitud. El pri&ero 0 el segundofor&an un ngulo de ?+o, &ientras 3ue el segundo 0 tercero for&an un ngulo de C? o. Encontrar la&agnitud del #ector resultante 0 su direcci)n con respecto al #ector &a0or 7e&plear el &1todo de las

co&ponentes rectangulares9.

Rp2 ,- unidades, >?o>?S.

7To&ado de Alonso, M., inn, E., !sica 5olu&en , ondo Educati#o ntera&ericano, '.A., CB.9

?. %onsiderar los #ectores2


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ji1 += j-i2=

%alcular2

7a9

21 10

7b9

21

7c9

21

B. %onsiderar el #ector #elocidad

[ ]s

k-ji2 +=

7a9 %alcular la longitud del #ector

7b9 Hallar el #ector unitario en la direcci)n de

C. 'ean k

j

2i

21 ++= 0 k

11j

10i

22 +=

7a9 Encontrar la pro0ecci)n del #ector1

sobre el #ector2

. lustrarla grfica&ente.

7b9 Encontrar la pro0ecci)n del #ector2

sobre el #ector1

. lustrarla grfica&ente.

7c9 Encontrar las pro0ecciones del #ector1

sobre los #ersoresi

,j

0k

. lustrar los resultados

grfica&ente.

@. 'in e#aluar cada cantidad en detalle, de&ostrar 3ue cada una de las siguientes cantidades es igual acero o al #ector nulo2

7a9( ) ( )121 10

7b9( (

2121

7c9( ) ( )jij-i10

. Encontrar el rea del paralelogra&o cu0os lados son los #ectores2

ckj2i21

++=

ck11j10i22 +=

lustrar esto grfica&ente.

+. Encontrar el #olu&en de un paralelep!pedo cu0as aristas son los #ectores2


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( ) cji101 +=

cj10i22 = ( ck123=

lustrar esto grfica&ente.

. %onsiderar el #ector

( ) ( )[ ]s

10$senj10$cosi +=

en donde t es tiempo:

7a9 Mostrar 3ue

tiene longitud constante.

7b9 %alcular$

a

=

7c9 5erificar 3ue$

es ortogonal a

.

7d9 UA 3u1 &agnitudes f!sicas se refieren

0$

V

-. %alcular los cosenos directores del #ector fuerza2

( (kj2i2' ++=

/. Dados los puntos A 7/ &, + &, F- &9< 7 &, F &, / &9< %7F- &, /&, F> &9 obtener2

7a9 el &)dulo del #ectorBCAB +=

7b9 el &)dulo del #ectorCACB =*

7c9 el ngulo entre los #ectores

0

*

.

$ota2AB

en negrillas significa el #ector 3ue #a desde el punto A 8asta el punto 7anloga&enteBC

,

CB

,CA

9.

Rp. 7a9 B,B & 7b9 ?,>@ & 7c9 ?,o.


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>. En la cua de la igura / obtener un #ector unitario saliente 0 nor&al al rectngulo A%D.

igura /

Rp2k0,8i0,6 +

?. En la igura >+ las longitudes estn e=presadas en &. %alcular2 7a9 la longitud de la #iga, 7b9 el nguloentre los cables A 0 A%, 7c9 un #ersor ortogonal al plano donde se encuentran los cables A 0 A%7discutir posibles soluciones9, 7d9 si la &agnitud de la fuerza 3ue e*erce el cable A% sobre la barra PAes igual a ++ $, e=presar esta fuerza #ectorial&ente 7a0uda2 calcular el #ersor 3ue e=presa laorientaci)n A% 0 &ultiplicarlo por la &agnitud de la fuerza9.


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igura >+

$

REERE$%A'2

Londoo M., ntroducci)n a la Mecnica, "ni#ersidad $acional de %olo&bia, Medell!n, -++/.

'inger ., Mecnica para ngenieros, Esttica, Ed Harla, M1=ico, C.

inn E., Alonso M., !sica, 5ol. 2 Mecnica, ondo Educati#o ntera&ericano, '.A., @+.

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Modulo_2_ Fundamentos Sobre Vectores