1

INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

DECANATURA DE CIENCIAS JEFATURA DE CIENCIAS BÁSICAS

NIVELATORIO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS

Guía 6

Razones Proporciones y

Porcentajes.

COMPETENCIA Utilizar adecuadamente las reglas de proporcionalidad en las aplicaciones a problemas del mundo real. INDICADORES DE LOGRO Interpreta, plantea y resuelve situaciones problema relacionadas con proporciones.

RAZONES Y PROPORCIONES.

Una razón es la comparación de dos números por medio de un cociente. Se expresa como:

0con b,b

a aquí, a se llama antecedente y b , consecuente.

Ejemplo: Carlos compra una docena de naranjas y observa que hay 4 malas.

La razón que se obtiene es 12

4, simplificando la razón, queda:

3

1

y se interpreta como: una

naranja de cada tres esta mala.

Una proporción es la equivalencia entre dos o más razones. 0y ,,con fdb,f

e

d

c

b

a

En la proporción 0,con db,d

c

b

a, y da son los extremos y y cb son los medios.

En la proporción 0,con db,d

c

b

a, el producto de los extremos es igual al producto de los

medios. Es decir: bcad,d

c

b

a si sóloy si

Ejemplo: Roberto compró 3.5 m. de tela y pagó por ella $ 28000. Si necesita 2 m. de la misma tela, ¿cuánto deberá pagar?

2

Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y efectuando las operaciones se

tiene: x

m2

28000$

m5.3 x3.5m)28000$m(2 Los 2m de tela cuestan $ 32000

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes entre la

suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones, es decir:

fdb

eca

f

e

d

c

b

a

En una proporción, el cuarto proporcional es uno cualquiera de los términos de una

proporción, ejemplo: 3.383

)23(5)23(53

23

5

3 xxx

x ó

3.383

)23(5)23(53

3

23

5 xxx

x ó

5.102

)7(32)7(3

7

23 xxx

x

Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio

proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los

extremos, es decir; 321212.)3(43

4 2 xxxxx

x

En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos

desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido

por el término desigual, es decir; 7

4

7

)2(2

7

2

2 x

x

Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes son directamente proporcionales

cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda

multiplicada o dividida por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando:

A más corresponde más y a menos corresponde menos

Ejemplo: Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio.

Si una docena de naranjas cuesta $1000, 2 docenas costarán $2000 y ½ docena costará

$500.

Es decir: A más docenas de naranjas más pesos. A menos docenas de naranjas menos

pesos.

También son magnitudes directamente proporcionales: el espacio recorrido por un móvil y el

tiempo empleado, el volumen de un cuerpo y su peso, la longitud de los lados de un polígono

y su área.

3

Dentro de las aplicaciones de la proporcionalidad directa, tenemos la regla de tres simple, los

repartos directamente proporcionales y los porcentajes.

La regla de tres simple y directa consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a

magnitudes directamente proporcionales, hay que calcular la cantidad de una de estas

magnitudes correspondientes a una cantidad dada de la otra magnitud.

Ejemplo de magnitudes directamente proporcionales.

Jaime recorre en su automóvil 360 km en 2 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 3

horas?

h 3 km

h2 km 360

x

D

3

2360

x km. 540

2

)3(360x

Los repartos directamente proporcionales, consisten en que dadas unas magnitudes de un

mismo tipo y una magnitud total, hay que calcular la perte correspondiente a cada una de las

magnitudes dadas. ...3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

b

a

bbbb

aaaa

...

...

321

321

.

b

aba n

n

Ejemplo Un abuelo reparte $450.000 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad;

proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Definimos zyx ,, a las cantidades que le corresponde a cada uno.

El reparto proporcional es 16128

zyx

Por la propiedad de las razones iguales 36

450000

16128

zyx

16128

zyx

Cada nieto recibirá

200000$36

)16(450000

36

450000

16

150000$36

)12(450000

36

450000

12

100000$36

)8(450000

36

450000

8

zz

yy

xx

SITUACIONES DE APLICACIÓN

4

1. Cuál es el precio de 340 Kg de café a 178 dólares 85 kilos A. $145 B. $268 C. $712 D. $44.5

2. Sabiendo que 162 litros de vino

cuestan 324 dólares,¿cuál es el valor de 285 litros de la misma calidad?. A. $144.2 B. $420 C. $285 D. $570

3. Para hacer una obra, 28 obreros

han empleado 45 días. ¿Cuántos días emplearán para hacer otra obra semejante a la anterior 15 obreros? A. 84 B. 45 C. 63 D.110

4. Una cuadrilla de obreros emplea 14

días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Si hubieran trabajado una hora menos al día, ¿En cuántos días habrán terminado la obra? A. 12.25 B. 16 C. 18 D.11.5

5. Ganando $3.15 en cada metro de tela, ¿Cuántos metros se han vendido si la ganancia ha sido $945? A. 300 m B. 645 m C. 315 m D. 945 m

6. A la velocidad de 30 Km por hora,

un automóvil emplea 418 horas en ir

de una ciudad a otra. ¿Cuánto

tiempo menos se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido el triple? A. 24,7 B. 51/2 C. 11/4 D. 15/4

7. Dos piezas de paño de la misma

calidad cuestan, una $450 y otra $300. si la primera tiene 15M más que la segunda, ¿Cuál es la longitud de cada pieza? A. 45m y 30m B. 55m y 5 m C. 25m y 10m D. 30m y 15m

8. Una fuente da 120 decalitros de

agua en 10 minutos. ¿Cuántos

litros más dará en 12112

minutos? A. 250

B. 350 C. 1.200

D.145

9. Una guarnición de 1.300 hombres tiene víveres para 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 10 días mas, ¿cuántos hombres habrá que rebajar de la guarnición? A. 1.200

B. 100 C. 1.400 D.1.250

10. Un ganadero compra 1.140 reses

con la condición de recibir 13 por cada 12 que compre. ¿Cuántas reses debe recibir? A.1.235 B.1.400 C.1.350 D.1.150

11. Al vender cierto número de

caballos por $4.500 gano $6 en

5

cada $100. ¿Cuánto me costaron los caballos? A.4.230 B.3.450 C.1.350 D.4.350

12. Al vender cierto número de

caballos por $960 pierdo $8 en cada $100. ¿Cuánto me costaron los caballos? A. $1.130 B. $1.036.80 C. $1.450 D. $2.450

13. Dos números están en razon de 5 a 3. Si el mayor es 655, ¿Cuál es el menor? A. 325 B. 225 C. 393 D. 232

14. Dos números están en relación de

19 a 17. Si el menor es 289 ¿Cuál es el mayor? A. 289 B. 323 C. 232 D. 982

PORCENTAJES.

Se llama tanto por ciento de un número, a una o varias de las cien partes iguales en que se

puede dividir dicho número, es decir, un o varios centésimos de un número. El signo de

tanto por ciento es “%”.

Así: El 4% de 80, o 4/100 de 80, equivale a cuatro centésimas partes de 80, es decir, que

80 se divide en cien partes iguales y de ellas se toman cuatro.

Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.

Ejemplo. El precio de un ordenador es de 1200000 sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si

el IVA es del 16%?

x

2000001

116 001

x

116

1200000

100 .1392000

100

)116(1200000x

100

)%100( cos cos

incrementoinicialtofinalto

15. El 75%. ¿Qué fracción representa?

A. 1/4 B. 1/5 C. 3/25 D. 3/4

16. ¿Cuál es la quinta parte de los 5/6 de los 3/4 del doble de la tercera parte del 30% de 200?

A. 20 B. 10 C. 5 D. 25

6

17. Luís ganó el 35% al cobrar una deuda de $18400. ¿Cuánto ganó? A. $3540 B. $5784 C. $6440 D. $9721

18. Al pagar una factura de $6890 me

han descontado el 3.75% ¿Qué rebaja he obtenido? A. $720.3 B. $840.5 C. $258.375 D. $572.7

19. En una finca se han plantado

18900 cafetos, habiéndose perdido el 16%. ¿Cuántos quedaron? A. 15876 B. 10734 C. 8964 D. 13521

20. Un hato contiene 25560 reses,

debido a una epidemia murió el 15%. ¿Cuántas reses quedaron? A. 18324 B. 11700 C. 21726 D. 20831

21. Al pagar una factura de $7894 me

dieron el descuento de un 5.16%. ¿Cuánto tuve que pagar?

A. $3541 B. $6936.7 C. $3936.93 D. $7486.7

22. Compré 90 libros, vendí el 60%.

¿Cuántos me quedan? A. 36 B. 45 C. 15 D. 16

23. Un objeto fue vendido por $9000, habiendo obtenido un 26% de beneficio. ¿Cuál es el precio total del objeto?

A. 10023 B. 8511.7 C. 7142.8 D. 9598.5

24. Una deuda de $850 se reduce a 816. ¿Qué porcentaje se ha descontado?

A. 96% B. 4% C. 18% D. 25%

25. ¿Qué número aumentado en su

32% equivale a 792? A. 800 B. 250 C. 600 D. 850

26. ¿Qué número disminuido en su

38% equivale a 372? A. 1200 B. 900 C. 500 D. 600

27. Vendiendo un libro por $1.12 se

pierde el 30% del costo. ¿Cuánto costó el libro?

A. $1.20 B. $1.60 C. $3.20 D. $2.50

28. ¿A cómo hay que vender lo que ha

costado $2.38 para ganar el 15% de la venta?

A. $2.20 B. $3.40 C. $2.80 D. $3.6

7

Dentro de las aplicaciones de la proporcionalidad inversa, tenemos la regla de tres simples

inversas y los repartos inversamente proporcionales.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. Hay una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando:

A más corresponde menos y a menos corresponde más .

Ejemplo: la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales

A más velocidad corresponde menos tiempo.

A menos velocidad corresponde más t iempo .

Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si

doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120

km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.

La regla de tres simple inversa consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a

magnitudes inversamente proporcionales, hay que calcular la cantidad de una de estas

magnitudes correspondientes a una cantidad dada de la otra magnitud.

xa

aaI

2

1 x

a

a

a

1

2 2

1

a

aax

Ejemplo: Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito.

¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto tardará más

en llenar el depósito.

hl/min 7

h14l/min 81

x

I

x

14

18

7 h36

7

)14(18x

Ejemplo: Para construir un muro, 3 obreros requieren 12 horas, ¿cuánto tardarán en

construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

h obreros 6

h12 obreros 3

x

I

x

12

3

6 h6

6

)3(12x

8

Los repartos inversamente proporcionales, consisten en que dadas unas magnitudes de un

mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las

inversas de las magnitudes.

Ejemplo: Carlos, Héctor y David ayudan al mantenimiento familiar entregando diariamente

$5900. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente

proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

Para resolver el problema tomamos los inversos de las edades 32

1,

24

1,

20

1

y lo llevamos a

común denominador 480

15,

480

20,

480

24

y realizamos el reparto directamente proporcional a los

numeradores: 24, 20 y 15. 59

5900

152024152024

zyxdhc

59

5900

24

c

2400

59

)24(5900c

; Carlos aporta $2400

59

5900

20

h

2000

59

)20(5900h ; Héctor aporta $2000 y

59

5900

15

d

1500

59

)15(5900d ; David aporta $1500

La regla de tres compuesta se usa cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo

que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la

desconocida. Una regla de tres compuesta tiene varias reglas de tres simples aplicadas

sucesivamente.

Entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa,

por lo que podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:

Regla de tres compuesta directa

xcba

dcba DDD

222

111

x

d

c

c

b

b

a

a

2

1

2

1

2

1

111

222

cba

dcbax

Ejemplo: Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de

agua por valor de 20 € (euros). Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas

durante los mismos días.

A más grifos, más euros Directa .

A más horas, más euros Directa .

x

DD

1215

20109

)12(15

)10(920

x €40

90

)180(20x

Regla de tres compuesta inversa

9

xcba

dcba III

222

111

x

d

c

c

b

b

a

a

1

2

1

2

1

2

222

111

cba

dcbax

Ejemplo: 5 obreros, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto

tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

A menos obreros, más d ías Inversa .

A más horas, menos días Inversa .

días horas 7obreros 4

días 2horas 6obreros 5

x

II

xx

2

30

282

6

7.

5

4

14.2

28

)30(2x

Regla de tres compuesta mixta

1.

xcba

dcba DID

222

111

x

d

c

c

b

b

a

a

1

1

1

2

2

1

121

212

cba

dcbax

Ejemplo: Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de

30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50

m de muro que faltan?

A más obreros, menos días Inversa .

A más horas, menos días Inversa .

A más metros, más días Directa .

m50horas 8 días obreros 10

m30horas 6días 9obreros 8 D

x

II

x

9

50

30.

6

8.

8

10

9x

29. Ocho hombres han cavado en 20 días una zanja de 50 m de largo, 4m de ancho y 2

m de profundidad. ¿En cuánto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres menos?

A. 5 días B. 5/4 días C. 50 días D. 80 días

30. Una calle de 50 metros de largo y 8 metros de ancho se halla pavimentada con

20.000 adoquines. ¿Cuántos adoquines serán necesarios para pavimentar otra calle

del doble de largo y cuyo ancho es los ¾ del ancho interior?

A. 45.000

B. 19.200

C. 3.750

10

D. 30.000

31. Diez hombres, trabajando en la construcción de un puente, hacen 3/5 de la obra en 8

días. Si se retiran 8 hombres, ¿Cuánto tiempo emplearan los restantes para terminar

la obra?

A. 16

B. 3226

C. 60

D. 315

32. Dos hombres han cobrado 350 bolivares por un trabajo realizado por los dos. El

primero trabajó durante 20 días a razón de 9 horas diarias y recibió 150 bolívares.

¿Cuántos días a razón de 6 horas diarias, trabajó el segundo?

A. 19 días B. 40 días C. 45 días D. 35 días

33. Dos gallinas ponen dos huevos en dos días; 10 gallinas. ¿Cuántos huevos ponen 10

días?

A. 2 huevos B. 10 huevos C. 100 huevos D. 50 huevos

34. Se emplean 14 hombres en hacer 45 m de una obra, trabajando durante 20 días.

¿Cuánto tiempo empleará la mitad de esos hombres en hacer 16 m de la misma obra,

habiendo en esta obra triple dificultad que en la anterior?

A. 20

B. 3138

C. 45

D. 3242

35. 15 hombres han sembrado en 20 días un terreno de 50 km de largo por 15 km de

ancho. ¿En cuanto tiempo hubieran sembrado el mismo terreno 6 hombres menos?

A. 33 B. 32

C. 3133

D. 31

36. Un parqueadero de 300 m de largo y 160 m de ancho se halla pavimentado con

35.000 adoquines. ¿Cuántos adoquines serán necesarios para pavimentar otra calle

del doble de largo y cuyo ancho es la mitad del ancho anterior?

A. 35.000 B. 2.500

11

C. 32.140 D. 8.430

37. 12 hombres han sembrado en 15 días un terreno de 30 km de largo por 15 km de

ancho. ¿En cuanto tiempo hubieran sembrado otro terreno de 22 km de largo por 11

km. De ancho 4 hombres menos?

A. 14.5 B. 9 C. 12.1 D. 8.3

38. Pedro tenía $80. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto. ¿Cuánto le

queda?

A. 52 B. 53.4 C. 54.4 D. 52.3

39. De una finca de 50 hectáreas se vende el 16% y se alquila el 14%. ¿Cuántas

hectáreas quedan?

A. 25 B. 30 C. 35 D. 41.2

40. Se incendia una casa que estaba asegurada por el 86% de su valor y se cobran

$4300 por el seguro. ¿Cuál era el valor de la casa?

A. 5.500 B. 6.000 C. 5.000 D. 3.500

41. Una piscina se gasta 3340m de agua para llenarla en un tiempo de 3 horas, utilizando

4 mangueras. ¿Cuántas mangueras se necesitan para llenar la mitad de la piscina

con 2 horas?

A. 3 B. 18 C. 16 D. 9

42. 8 hombres, trabajando en la construcción de un puente hacen 5/8 de la obra en 12

días. Si se añaden 3 hombres más. ¿Cuánto tiempo empleará la nueva cantidad de

hombres para terminar la obra?

A. 5.2 B. 3 ½ C. 7.7 D. 8.4

12

43. Un hombre dispuso de $600 invirtiendo el 30% en libros, el 12% en paseos, el 18%

en ropa, el 15% en limosnas y el resto lo dividió en partes iguales entre los parientes.

¿Cuánto recibió cada uno de éstos?

A. $150 B. $100 C. $300 D. $50

44. ¿Qué porcentaje del costo se gana cuando se vende en $8 lo que ha costado $6?

A. 15% B. 27% C. 35% D. 18 ½%

45. ¿Qué % de la venta se gana cuando se vende en $8 lo que ha costado $6?

A. 30% B. 25% C. 50% D. 70%

46. Un comerciante compra artículos con un descuento del 25% sobre el precio de lista y

lo vende en un 25% más que el precio de lista. ¿Cuál es su % de ganancia sobre el

costo?

A. 3% B. 45% C. 3 2/3% D. 50%

47. No quise vender una casa cuando me ofrecían por ella $3840, por lo cual hubiera

ganado el 28% del costo y algún tiempo después tuve que venderla por $3750. ¿Qué

porcentaje del costo gané al hacer la venta?

A. 38% B. 10% C. 15% D. 25%