8/19/2019 Modus Tollens

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Modus tollendo tollensEn lógica proposicional, el 'modus tollens' (o modus tollendo tollens 1 2 3 4 o también negacióndel consecuente)5 (en latín significa "el camino que niega al negar")6 es una forma de argumentoválida y una regla de inferencia.

Los primeros en declarar explícitamente la forma de argumento modus tollens  fueron los estoicos.7

La regla de inferencia modus tollens , también conocida como la ley de la contraposición, valida la

forma de inferencia  implica y la contradictoria de , a la contradictoria de .

La regla modus tollens  se puede afirmar formalmente como:

donde significa "P implica Q", significa "no es el caso de que Q" (o en resumen "no Q").

Entonces, cada vez " " y " " cada una parece por sí mismas como una línea de una prueba, "" se puede colocar válidamente en una línea posterior. La historia de la regla modus tollens  se

remonta a la antigüedad.8

El modus tollens  está estrechamente relacionado con el modus ponens . Hay dos formas similares,pero no válidas, de argumento: afirmación del consecuente y negación del antecedente.

Índice

1 Notación formal2 Explicación

3 Relación con el modus ponens4 Justificación vía tabla de verdad5 Prueba formal

5.1 Vía silogismo disyuntivo5.2 Vía reductio ad absurdum 

6 Véase también7 Referencias8 Enlaces externos

Notación formal

La regla del modus tollens  puede escribirse en subsiguiente notación:

donde es un símbolo metalógico que significa que es una consecuencia sintáctica de y

en algún sistema lógico;

o como la afirmación de una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

donde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

o incluyendo supuestos:

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aunque dado que la regla no cambia el conjunto de suposiciones, esto no es estrictamente necesario.

Muchas veces, se ven reescrituras más complejas que involucran modus tollendo, por ejemplo, en lateoría de conjuntos:

("P es un subconjunto de Q. x no está en Q. Por lo tanto, x no está en P.")

También en la lógica de predicados de primer orden:

("Para todo x si x es P entonces x es Q. Existe algún x que no es Q. Por lo tanto, existe algún x que noes P.")

En sentido estricto no se trata de instancias de tollendo modus , pero podrán derivarse utilizandomodus tollens  utilizando algunas medidas adicionales.

Explicación

El argumento tiene dos premisas. La primera premisa es un condicional o sentencia "si-entonces", porejemplo que si P entonces Q. La segunda premisa es que no es el caso de Q. A partir de estas dos

premisas, se puede concluir lógicamente que no es el caso de P.Veamos un ejemplo:

Si el perro guardián detecta un intruso, el perro guardián ladra.El perro guardián no ladró.Por lo tanto, el perro guardián no detectó ningún intruso.

Suponiendo que las premisas son verdaderas (el perro ladra si detecta un intruso, y de hecho no ladra),se deduce que ningún intruso ha sido detectado. Este es un argumento válido, ya que no es posible quela conclusión sea falsa si las premisas son verdaderas. (Es concebible que haya habido un intruso que elperro no detectó, pero eso no invalida el argumento; la primera premisa es "Si el perro detecta un

intruso"). El hecho importante es que el perro detecta o no detecta un intruso, no si este existe.

Otro ejemplo:

Si yo soy el asesino del hacha, entonces puedo usar un hacha.No puedo usar un hacha.Por lo tanto, yo no soy el asesino del hacha.

Relación con el modus ponens

Cada uso de modus tollens  se puede convertir a un uso de modus ponens  y un uso de la

transposición de la premisa de que es una implicación material. Por ejemplo:

Si P, entonces Q (premisa - implicación material)Si no Q, entonces no P. (derivado mediante transposición)No Q. (premisa) Por lo tanto, no P. (derivado por modus ponens )

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Del mismo modo, cada uso de modus ponens  se puede convertir a un uso de modus tollens ytransposición.

Justificación vía tabla de verdad

La validez del modus tollens  pueda demostrar claramente a través de una tabla de verdad.

p q p → qT T T

T F F

F T T

F F T

En los casos de modus tollens  asumimos como premisas que p → q es verdadero y q es falso. Solohay una línea de la tabla—la cuarta línea—que satisface estas dos condiciones verdaderas. En estalínea, p es falsa. Por lo tanto, en todos los casos en los que p → q es verdadero y q es falso, p tambiéndebe ser falso.

Prueba formalVía silogismo disyuntivo

Paso Proposición Derivación  

1 Premisa

2 Premisa

3 Implicaciónmaterial (1)

4Silogismodisyuntivo

(2,3)

Vía reductio ad absurdum 

Paso Proposición Derivación  

1 Premisa

2 Premisa

3 Asunción

4 Modus ponens(1,3)

5

Introducción de

la conjunción(2,4)

6 Reductio ad absurdum  (3,5)

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