MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH TIẾP THU TỐT KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

(GIẢI TÍCH LỚP 12) GIÁO VIÊN : NGUYỄN KIM DOANH

 -----------------------------------

1. THỰC TRẠNG :Qua giảng dạy Toán lớp 12 trong nhiều năm qua. Ở chương ứng dụng của đạo

hàm vào khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, đây là một trong các câu hỏi của đề thi Tốt nghiệp hằng năm, gắn liền với nó có rất nhiều kiến thức như : tìm diện tích hình phẳng, giải phương trình bằng đồ thị ... Do đó yêu cầu học sinh phải nắm vững và thành thạo vấn đề khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, muốn đạt được điều này đòi hỏi giáo viên bộ môn phải chọn lọc, lựa chọn và sử dụng phương pháp ... thích hợp nhằm học sinh dễ tiếp thu, khả năng tự kiểm tra đồ thị, kích thích sự tò mò, phát triển tư duy, mở rộng kiến thức, khả năng lập luận ... phù hợp với đối tượng từ học sinh yếu kém đến cả những học sinh khá, giỏi 2. LÝ DO :

Qua các tiết dạy, bài thi học kỳ, bài thi Tốt nghiệp không loại trừ học sinh trung bình đến trung bình khá, các em có thể bị lúng túng, khảo sát và vẽ không được, không đúng đồ thị, không nắm rõ các khái niệm cơ bản, khái niệm bản chất của vấn đề và mở rộng thêm vấn đề, kiến thức đã học, sự liên quan của các kiến thức ... Xuất phát từ những thiếu sót, nhược điểm này mà bản thân tôi trong các năm qua đã cải tiến và áp dụng biện pháp thích hợp nhằm mục đích cuối cùng là nâng lên thêm phần nào chất lượng học tập của học sinh của mình, sự cải tiến này được thể hiện qua phần trình bày sau : 3. BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH :

I./ CHUẨN BỊ :Tài liệu : Sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, đề kiểm tra ở

trường, đề thi tốt nghiệp các năm trước ...Vẽ một số dạng đồ thị (kể cả dạng đồ thị của các hàm số khác có liên quan

để học sinh nhận dạng của bài đồ thị hàm số đang học, để làm đồ dùng dạy học) 

a./ VỀ GIÁO VIÊN : - Chuẩn bị các câu hỏi cho từng phần với các tình huống có thể

xãy ra (nêu tình huống có vấn đề) - Lựa chọn các thí dụ : tình huống đặc biệt, tổng quát, hướng mở

rộng vấn đề ...- Hướng dẫn học sinh : nhận dạng, trước mắt phải lưu nhớ kiến

thức (qua đồ dùng dạy học) 

b./ VỀ HỌC SINH :- Nắm các kiến thức cơ bản đã học trước như : tính đơn điệu, cực

trị của hàm số ...- Các kiến thức liên quan đến hàm số, đến đồ thị ...

 II./ TIẾN HÀNH :A. Đặt vấn đề vẽ đồ thị (kể cả vấn đề khảo sát) đã biết ở các lớp dưới, đã học :

lớp 9, lớp 10, lớp 11

 B. Nêu câu hỏi và hướng dẫn học sinh thực hiện các vấn đề có liên quan và sau

đó Giáo viên hướng dẫn học sinh điều chỉnh lại các bước cho thích hợp, theo trình tự lo-gic

+ Lưu nhớ các bước khảo sát - vẽ đồ thị (qua đồ dùng dạy học) 

C. Tiến hành vào việc khảo sát - vẽ đồ thị của các hàm số 1. Chọn thí dụ cụ thể

+ Có thể gọi học sinh cho thí dụ ( tạo niềm tin cho các em )+ Gọi học sinh tiến hành theo các bước+ Cho học sinh nhận xét+ Giáo viên điều chỉnh ( sai sót nếu có )+ Lưu dạng qua thí dụ cụ thể

 2. Tổng quát dạng đồ thị của hàm số đã khảo sát - vẽ

( qua đồ dùng dạy học ) 

3. Chọn các thí dụ khác có liên quan như :+ Tìm các hệ số của hàm số đã cho+ Điều kiện để có cực trị ...+ Đồ thị có liên quan đến đồ thị đã vẽ .... . . . . . . .

 4. KẾT QUẢ :

- Đa số học sinh nắm được dạng đồ thị đã khảo sát - vẽ- Tự kiểm tra được dạng đồ thị trước hoặc sau khi vẽ xong- Thấy được đặc trưng riêng của từng hàm số và mối liên hệ với các kiến thức

cơ bản khác đã học5. NGUYÊN NHÂN THÀNH CÔNG :

- Do chọn lựa các thí dụ, bài tập : hợp lý , tăng dần mức độ từ dễ đến khó, mở rộng vấn đề

- Luôn tiến hành việc so sánh, tổng hợp, tổng quát hóa vấn đề - Luôn tạo tình huống gây tính tò mò, tìm tòi của học sinh- Thường xuyên cũng cố dạng đồ thị

 6. BÀI HỌC KINH NGHIỆM :

- Cho học sinh yếu, kém chấp nhận dạng đồ thị qua các thí dụ cụ thể ( sẽ cũng cố và tổng quát lại dạng )

- Trong việc xét tính tăng giảm, lồi lõm ở bảng biến thiên đã cho học sinh xét dấu trong bảng chung có đạo hàm y’ và y’’ ( đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương ) để học sinh sẽ vẽ đồ thị chính xác hơn, nếu không học sinh thường xuyên không xác định hoặc vẽ đồ thị không qua điểm uốn (nếu có)

- Phối hợp với các kiến thức cơ bản khác để tránh bài học khô khan và kích thích tư duy của các học sinh khá, giỏi ( tránh chán nản )

- Không chỉ lấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập mà phải cần chuẩn bị các bài tập khác, các đề thi ... nhằm tạo niềm tin cho học sinh trong học tập

- Thường xuyên cũng cố và lưu dạng đồ thị các hàm số đã học 

&&& 

                   

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỤ THỂ QUA PHẦN DẠY KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA

y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ¹ 0 ) 

&&& 

1. Nêu tình huống a = 0 : cho học sinh suy nghĩ - Giáo viên : + Gọi học sinh trả lời

+ Giáo viên giải thích lại điều kiện của hệ số a 2. Xét a 0 :a. Cho ví dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x3

- Giáo viên hỏi học sinh+ nêu lại các bước theo trình tự đã biết+ cho biết các hệ số a, b, c, d

- Gọi học sinh tiến hành khảo sát-vẽ đồ thị- Giáo viên cho học sinh nhận xét và điều chỉnh các sai sót

y

y=x3

1

x‘ x

-1 0 1

-1 

y ’ 

** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải đồ thị chỉ có điểm uốn, không có cực trị hay không ?

 b. Cho thí dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x ( 3 - x )2

- Giáo viên hỏi học sinh : cho biết các hệ số a, b, c, d ( Giáo viên giải thích lại nếu có học sinh nêu sai hoặc không biết )

- Gọi học sinh tiến hành theo trình tự ( điều chỉnh sai sót )       

y y=x(3-x)2

 

4 CĐ

2 I

Đ/U 

x’ 0 1 2 3 4 x CT

  

y’

** Đặt vấn đề hàm số có thể chỉ có 1 cực trị hay không ? c. Tổng quát hóa dạng đồ thị : qua đạo hàm, dấu đạo hàm cấp 1 và cấp 2 ...

+ Nêu câu hỏi có liên quan cho học sinh khá giỏi trả lời- Số nghiệm của phương trình y ‘ = 0- Khả năng hàm số có bao nhiêu cực trị ?- Khả năng đồ thị có bao nhiêu điểm uốn ? - Có phải đồ thị luôn luôn có điểm uốn hay không ?- Đồ thị có đường tiệm cận hay không ? Tại sao ?........ 

d. Lưu dạng đồ thị : căn cứ vào a và số nghiệm của phương trình y’ = 0+ Nêu câu hỏi : Hàm số có cực trị hay không ? Khi nào ( điều kiện ) ? Bao nhiêu

điểm cực trị ? Đồ thị có điểm uốn hay không ? Bao nhiêu điểm uốn ?

+ Dùng đồ dùng dạy học đã chuẩn bị để củng cố lại lần nữa e. Dạng bài tập liên quan - cũng cố dạng đồ thị như :

+ Tìm tham số để hàm số có cực trị

+ Chứng minh ( tìm ) tâm đối xứng của đồ thị+ Chứng minh phương trình bậc 3 luôn có 1 nghiệm ?+ Định tham số để đồ thị tiếp xúc với trục hoành ( hay một đường nào đó )+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ ......

 Thí dụ : Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 vẽ đồ thị của hàm số y = x3 + 1. . . . . . . . .

 && Cũng cố đồ thị hàm số đã học :

1. Đồ thị không có đường tiệm cận2. Đồ thị :

a. Có 1 điểm uốn , 1 điểm cực đại , 1 điểm cực tiểub. Có 1 điểm uốn

 &&&

                             

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỤ THỂ QUA PHẦN DẠYKHẢO SÁT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

y = ax4 + bx2 + c ( a ¹ 0 ) 

&&& 1. Nêu tình huống a = 0 : cho học sinh suy nghĩ

- Giáo viên : + Gọi học sinh trả lời+ Giáo viên giải thích lại điều kiện của hệ số a

 2. Xét a 0 :a. Cho ví dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x4 + x2 – 2 

- Giáo viên hỏi học sinh+ nêu lại các bước theo trình tự đã biết+ cho biết các hệ số a, b, c

- Gọi học sinh tiến hành khảo sát-vẽ đồ thị- Giáo viên cho học sinh nhận xét và điều chỉnh các sai sót

y 

    

x -1 0 1 x’ 

-2 y’  

** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải hàm số chỉ có 1 cực trị, đồ thị không có điểm uốn hay không ?

 b. Cho thí dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x2 – x4

- Giáo viên hỏi học sinh : cho biết các hệ số a, b, c ( Giáo viên giải thích lại nếu có học sinh nêu sai hoặc không biết )

- Gọi học sinh tiến hành theo trình tự ( điều chỉnh sai sót ) 

   y

1

 

x’ -1 0 1 x

   y’

** Đặt vấn đề hàm số có thể bao nhiêu cực trị, đồ thị hàm số có thể có bao nhiêu điểm uốn ? c. Tổng quát hóa dạng đồ thị : qua đạo hàm, dấu đạo hàm cấp 1 và dấu của đạo hàm cấp 2 ...

+ Nêu câu hỏi có liên quan cho học sinh khá giỏi trả lời- Số nghiệm của phương trình y ’ = 0- Hàm số có thể có bao nhiêu cực trị ?- Đồ thị có thể có bao nhiêu điểm uốn ?

- Có phải hàm số luôn luôn có cực trị hay không ?- Đồ thị có đường tiệm cận hay không ? Tại sao ?........ 

d. Lưu dạng đồ thị : căn cứ vào a và số nghiệm của phương trình y’ = 0+ Nêu câu hỏi : Hàm số có cực trị hay không ? Có bao nhiêu điểm cực trị ? Khi

nào ? Đồ thị có điểm uốn hay không ? Bao nhiêu điểm uốn ? Khi

nào ? Nếu hàm số có 1 cực trị thì đồ thị có bao nhiêu điểm uốn ? Hay

là nếu đồ thị có 2 điểm uốn thì hàm số có bao nhiêu cực trị ?+ Dùng đồ dùng dạy học đã chuẩn bị để củng cố lại lần nữa

 e. Dạng bài tập liên quan - cũng cố dạng đồ thị như :

+ Tìm tham số để hàm số chỉ có 1 cực trị hoặc có 3 cực trị + Tìm tham số để đồ thị của hàm số không có điểm uốn hoặc có 2 điểm uốn + Tìm tham số để đồ thị luôn lồi hoặc lõm

+ Chứng minh ( tìm ) trục đối xứng của đồ thị+ Định tham số để đồ thị tiếp xúc với trục hoành ( hay một đường nào đó )+ Bài toán giải phương trình bằng đồ thị+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ ......

 Thí dụ : Dựa vào đồ thị hàm số y = 2x2 - x4 vẽ đồ thị của hàm số

y = 2x2 – x4

. . . . . . . . .

&& Cũng cố đồ thị hàm số đã học :1. Đồ thị không có đường tiệm cận2. Đồ thị :

a. Có 3 điểm cực trị , 2 điểm uốn( 1 CĐ , 2 CT ; hoặc 2 CĐ , 1 CT )

b. Có 1 điểm cực trị ( 1 CĐ ; hoặc 1 CT )

 &&&

            

       

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỤ THỂ QUA PHẦN DẠYKHẢO SÁT HÀM SỐ NHẤT BIẾN

ax + b y = cx + d

 &&&

 1. Nêu tình huống c = 0 hay ad - bc = 0: cho học sinh suy nghĩ

- Giáo viên : + Gọi học sinh trả lời+ Giáo viên giải thích lại điều kiện của c , ad - bc

 2. Xét a 0 và ad – bc 0 : a. Cho ví dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số x - 1 y = -------------- x + 1  

- Giáo viên hỏi học sinh+ nêu lại các bước theo trình tự đã biết+ cho biết các hệ số a, b, c, d

- Gọi học sinh tiến hành khảo sát-vẽ đồ thị- Giáo viên cho học sinh nhận xét và điều chỉnh các sai sót

y

 

3

I 1 y = 1

x’ -2 -

1 0 1 x -1 

y ‘

x= -1 

** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải đồ thị luôn luôn có tiệm cận dứng và tiệm cận ngang ? Đồ thị không điểm uốn ? Hàm số không có cực trị phải không ?

b. Cho thí dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 y = 1 + --- x

- Giáo viên hỏi học sinh : cho biết các hệ số a, b, c, d ( Giáo viên giải thích lại nếu có học sinh nêu sai hoặc không biết )

- Gọi học sinh tiến hành theo trình tự ( điều chỉnh sai sót ) y

  

2 I

1 y=1

x’ -1 0 1 x  

y ’ x=0

** Đặt vấn đề hàm số có thể có cực trị hay không ? c. Tổng quát hóa dạng đồ thị : qua đạo hàm cấp 1 ...

+ Nêu câu hỏi có liên quan cho học sinh khá giỏi trả lời- Số nghiệm của phương trình y ‘ = 0- Hàm số có cực trị hay không ?- Đồ thị có điểm uốn hay không ? - Đồ thị có đường tiệm cận hay không ?........ 

d. Lưu dạng đồ thị : căn cứ vào ad - bc+ Nêu câu hỏi : Hàm số có cực trị hay không ? Tại sao ?

Đồ thị có điểm uốn hay không ? Tại sao ? Đồ thị có đường tiệm cận hay không ? Tiệm cận gì ?

+ Dùng đồ dùng dạy học đã chuẩn bị để củng cố lại lần nữa e. Dạng bài tập liên quan - cũng cố dạng đồ thị như :

+ Tìm tham số để hàm số tăng trên miền xác định của nó, hay tăng trong ( a ; b ) nào đó cho trước

+ Chứng minh ( tìm ) tâm đối xứng của đồ thị+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ ......Thí dụ : Dựa vào đồ thị hàm số 1

y = 1 + --- x vẽ đồ thị của hàm số 1

y = 1 + --- x

. . . . . . . . . 

&& Cũng cố đồ thị hàm số đã học :1. Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang2. Đồ thị : không có cực trị , không có điểm uốn

&&&                              MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỤ THỂ QUA PHẦN DẠY

KHẢO SÁT HÀM SỐ HỮU TỈ

ax2 + bx + c y =

a’x + b’ 

1. Nêu tình huống a.a’ = 0 hay tử và mẫu có nghiệm chung : cho học sinh suy nghĩ - Giáo viên : + Gọi học sinh trả lời

+ Giáo viên giải thích lại điều kiện  2. Xét ( a 0 ) và ( tử và mẫu không có nghiệm chung ) :a. Cho ví dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

x2

y = -------- x - 1

 - Giáo viên hỏi học sinh

+ nêu lại các bước theo trình tự đã biết+ cho biết các hệ số a, b, c, a’, b’

- Gọi học sinh tiến hành khảo sát-vẽ đồ thị- Giáo viên cho học sinh nhận xét và điều chỉnh các sai sót

y

y=x+1

4  

2 I 1 x’ -1 0 1 2 x

     y’ x=1 

** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải hàm số luôn luôn có điểm cực trị hay không ? Đồ thị luôn luôn không có điểm uốn hay không ?

  b. Cho thí dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1 y = x + 1 - ------- x – 1 

- Giáo viên hỏi học sinh : cho biết các hệ số a, b, c, a’, b’ ( Giáo viên giải thích lại nếu có học sinh nêu sai hoặc không biết )

- Gọi học sinh tiến hành theo trình tự ( điều chỉnh sai sót ) 

y

y=x+1

   2

I 1

  x’ -1 0 1 2 x   

  y’    

** Đặt vấn đề hàm số có thể chỉ có 1 cực trị hay không ? c. Tổng quát hóa dạng đồ thị : qua đạo hàm, dấu đạo hàm cấp 1 ...

+ Nêu câu hỏi có liên quan cho học sinh khá giỏi trả lời- Số nghiệm của phương trình y ‘ = 0- Khả năng hàm số có bao nhiêu cực trị ?- Đồ thị có điểm uốn hay không ? - Có phải đồ thị luôn luôn có đường tiệm cận hay không ? Đường tiện

cận nào ?........ 

d. Lưu dạng đồ thị : căn cứ vào a.a’ và số nghiệm của phương trình y’ = 0+ Nêu câu hỏi : Hàm số có cực trị hay không ? Khi nào (điều kiện) ? Bao nhiêu

điểm cực trị ? Đồ thị có điểm uốn hay không ? Bao nhiêu điểm uốn ? Đồ thị có bao nhiêu đường tiện cận ? Tiệm cận nào +

Dùng đồ dùng dạy học đã chuẩn bị để củng cố lại lần nữa 

e. Dạng bài tập liên quan - cũng cố dạng đồ thị như : + Tìm tham số để hàm số có cực trị hay không có cực trị+ Chứng minh ( tìm ) tâm đối xứng của đồ thị+ Tìm tham số để đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt+ Định tham số để đồ thị tiếp xúc với trục hoành ( hay một đường nào đó )+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ ......

 Thí dụ : Dựa vào đồ thị hàm số x2

y = -------- x – 1

 vẽ đồ thị của hàm số x2

y = -------- x - 1

. . . . . . . . . 

&& Cũng cố đồ thị hàm số đã học :1. Đồ thị có tiệm cận dứng và tiệm cận xiên2. Đồ thị : không có điểm uốn

a. Có 2 điểm cực trị ( 1 CĐ , 1 CT )

b. Không có cực trị  

&&&

            

 ĐỒ DÙNG DẠY HỌC

PHẦN KHẢO SÁT - VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ-----

- Đặt câu hỏi :+ Hãy cho biết dạng của hàm số tương ứng với dạng đồ thị đã vẽ + Điều kiện để được dạng đồ thị đó ? ( hệ số, số nghiệm của phương trình y’= 0 )

 

y y

  

  

x’ 0 x x’ 0 x

   

y’ y’

 y y

 

   

x’ 0 x x’ 0 x

y’ y’    

y y

      

x’ 0 x x’ 0 x

y’ y’        

y y

      

x’ 0 x x’ 0 x

y’ y’            

y y

     

  

x’ 0 x x’ 0 x

y’ y’     

                        y y

        

  x’

0 x x’ 0 x

    y’ y’    

y y

         

x’0 x x’ 0 x

    y’ y’  

Trên đây là một số kinh nghiệm đã áp dụng trong quá trình tiến hành giảng dạy ở lớp, ở trường chúng tôi và một phần vì tình hình chất lượng học tập không đều ở các học sinh, ở các lớp. Mặt khác chủ quan tôi thấy được khi áp dụng học sinh của lớp mình ít bị, tránh được sai sót và có tiến bộ. Trong phần trình bày có gì không phù hợp mong được các đồng nghiệp góp ý, phê bình xây dựng thêm để bản thân tôi rút kinh nghiệm nhằm thực hiện ngày càng tốt hơn nhiệm vụ giảng dạy và thành thật biết ơn                                   

    

TRƯỜNG TRUNG HỌC CHÂU VĂN LIÊM   

---O---   

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM     

MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH TIẾP THU TỐTVẤN ĐỀ KHẢO SÁT - VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

( GIẢI TÍCH LỚP 12 PTTH ) 

     

& 

GIÁO VIÊN : NGUYỄN KIM DOANH 

* aùp dúng : 1998-1999 * Giại B caâp tưnh : 2001-2002