Mõistete vahelistest seostest õpilase mõtlemises

Märten KarmTartu Ülikool

1. november 2013

Mõistete olulisusest

• Mõisted matemaatikas palju kasutuses• Matemaatika oskamise üheks eelduseks

orienteerumine mõistetes• Milline on mõistete vaheliste seoste hulga

struktuur e mõistete seostumise struktuur? Toetume mõnede autorite käsitlustele.

Mõtteskeemid (1)

• Chinnappan, M., & English, L. (1995). Students’ mental models and schema activation during geometric problem solving. MERGA, 18, 156–162.

• Õpilastel lasti lahendada üht geomeetria ülesannet ja samal ajal mõttekäiku valjult kommenteerida

• Ülesandes mitu geomeetrilisest objekti; mitmeti lahendatav

• Analüüsiti, milliseid skeeme õpilased kasutasid.• Skeem – ühe mõistega seotud informatsiooni

organiseerimiseks kasutatav andmete struktuur

Mõtteskeemid (2)

• Õpilased jaotati enne lahendamist kõrge ja madala sooritusvõimega õpilasteks

• Aktiveeritud skeemide arv oli kõrgema sooritusvõimega õpilastel kõrgem

• Madala sooritusvõimega õpilased rakendasid skeeme juhuslikult, ülesande püstitust silmas pidamata

• Võimekamate õpilaste käsutuses rohkem skeeme ja need on keerukamad – mõistete vahelised seosed tähenduslikumad ja nad on suutelised ülesandeid sügavamalt analüüsima

Mõistekaart ja mõistete seostumise struktuurid

• Mida kujutab endast üks keerukas mõistete seostumise struktuur? Kuidas välja selgitada?

• Hay, D. B., & Kinchin, I. M. (2006). Using concept maps to reveal conceptual typologies. Education+ Training, 48(2/3), 127–142.

• Mõistekaart – joonis, kus mõisted on kirjutatud kastide sisse ja omavahel ühendatud joontega, millele on kirjutatud mõisteid siduvad fraasid

• Hay ja Kinchin jaotasid mõistete seostumise struktuurid kolmeks:– Kodarad (spokes)– Ahelad (chains)– Võrgustikud (networks)

Kodar

Jada

Jada üldliige

Aritmeetiline jada

Geomeetriline jada

Aritmeetilise jada summa

Geomeetrilise jada summa

Kahanev jada

Kasvav jada

Konstantne jada

Hääbuv geomeetriline jada

Ahel

Jada Jada üldliige Aritmeetiline jada

Geomeetriline jada

Aritmeetilise jada summa

Geomeetrilise jada summa

Hääbuv geomeetriline jada

Hääbuva geom jada summa

Võrgustik

JADA

Jada üldliige

Jada n esimese liikme summa

Aritmeetiline jada – Iga liikme ja talle eeleva

liikme vahe jääv (d)

Geomeetriline jada – Iga liikme ja talle eelneva

liikme jagatis jääv (q)

Aritm jada üldliige

Aritm jada summa

Geom jada üldliige

Geom jada summa

Hääbuv geom jada:

Hääbuva geom jada summa

Muu jada

Mõistete seostumise struktuuri tüüpide iseloomustus

• Kodar– Õppeprotsessi alguse struktuur– Lihtne täiustada

• Ahel– Uued mõisted lisatavad vaid ahela lõppu– Keskelt mõistete kustutamine lõhub struktuuri– Ei ole hästi üldistatav ega ülekantav

• Võrgustik– Eksperttase– Sügav arusaamine avaldub seoste paljususes– Stabiilne struktuur – lihtne täiustada üldist struktuuri muutmata

Üleminek ühelt struktuuri tüübilt teisele

• Õppimisprotsessi käigus teadmisi viimistletakse, seega struktuur täiustub

• Kodar soodne pinnas õppimiseks – saab üle minna nii ahelale kui võrgustikule

• Ahelalt võrgustikule on raske minna• Ahel → kodar → võrgustik

• Õpitakse siinus- ja koosinusteoreemi, uut pindala valemit

Kolmnurgalahendamine

sin𝛼=vastashü pot cos𝛼=

l ähishü pot tan𝛼=

vastasl ähis 𝑆=

𝑎𝑏2

Kolmnurgalahendamine

sin𝛼=vastashü pot

cos𝛼=l ähishü pot tan𝛼=

vastasl ähis

𝑆=𝑎𝑏2Siinusteoreem

Koosinusteoreem

𝑆=12 𝑎𝑏sin𝛾

Pyth teor

Pyth teor

Kolmnurgalahendamine

sin𝛼=vastashü pot

cos𝛼=l ähishü pot

tan𝛼=vastasl ähis

𝑆=𝑎𝑏2

Siinusteoreem

Koosinusteoreem

𝑆=12 𝑎𝑏sin𝛾

Pythagorase teoreem

Täisnurkne kolmnurk

Suvaline kolmnurk

Kui

Kui

Mõistekaartide kasutamine• Hay, D., Kinchin, I., & Lygo Baker, S. (2008). Making learning ‐

visible: the role of concept mapping in higher education. Studies in Higher Education, 33(3), 295–311.

• Mõistekaartide kasutamine:– Õpilaste eelteadmiste väljaselgitamine– Mõistete seostumise struktuuri muutumise vaatlemine

• Mehaaniline õppimine struktuuri ei muuda, mõttega õppimisel võib näiteks muutuda ahel võrgustikuks

• Struktuuri kadumise hetke äratabamine– Õpetajapoolne teadmiste esitamine

Mõiste pildid• Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept

definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational studies in mathematics, 12(2), 151–169.

• Mõistete vaheliste seoste matemaatiline rangus ei kajastu alati inimeste mõtlemises

• Mõtlemises tekivad seosed eelkõige kogemuslikul baasil• Ühe mõistega assotsieerub (lisaks teistele mõistetele) hulk eri

nähtusi – tegevused, protsessid, vaimsed pildid, ülesanded jpm

• Kogu seda tunnetuslikku struktuuri, mis inimesel ühe mõistega seostub, nimetavad Tall ja Vinner mõiste pildiks

Väärarusaamad mõiste piltides• Paljude mõistetega on kokkupuuteid juba enne formaalset

defineerimist – see vormib mõiste pilti• Nii võivad tekkida väärarusaamad. Näiteks lahutamise

mõiste pildis• Ka definitsioonist alustades võivad tekkida väärarusaamad.

Näiteks pidevuse mõiste pildi osa ilmselt paljudel joonise tegemise võimalikkus pastakat paberilt tõstmata. Aga funktsioon y = 1/x

• Õpetaja saab vääritimõistmise vältimiseks kohe alguses pidada silmas tekkivad mõiste pilti kui tervikut ning juhtida tähelepanu potentsiaalsetele väärarusaamadele

Näide funktsiooni mõiste pildi kohta

• Funktsiooni mõiste pildi üheks osaks funktsiooni definitsioon

• Õpilasele võivad funktsiooniga seoses meenuda hoopis teised mõiste pildi tahud – et esitatakse valemi abil, et graafikuid saab joonistada, et väärtuseid saab kanda tabelisse, et tunnis leitakse nullkohti jne

• Mõistega tegeledes on korraga aktiivne vaid see osa mõiste pildi tahkudest, millega parajasti tegeletakse

• Kui õpetaja tegeleb mõiste pildi kujunedes ainult ühe tahuga (nt funktsiooni õppides ainult esitusega valemi kujul), võib õpilasel mõiste pilt aheneda

Väärarusamad jada piirväärtuse mõiste pildis (1)

• Talli ja Vinneri katse• Testisid kõrgkooli matemaatikat õppima asuvaid

õpilasi• Muuhulgas küsisid:– Kas 0,(9) on sama, mis 1?– Millised on murdude 0,5; 0,25; 0,(3); 0,(9) esitused

harilike murdudena?• Suur hulk vastas esimesele küsimusele valesti,

aga teisele õigesti

Väärarusamad jada piirväärtuse mõiste pildis (2)

• Mõiste pildi erinevad tahud olid vastuolus.• Esimeses ülesandes nähti arvu 0,(9) kui ühe lõpmatu

arvjada piirväärtust, teises kui üht konkreetset arvu (murdu)

• Jada piirväärtuse mõiste pildiga tugevalt seotud arusaam, et piirväärtus on arv, milleni jada liikmed kunagi ei jõua

• Koolis leitakse ka enamasti just selliste jadade piirväärtuseid

• Aitab õpetajapoolne ennetav potentsiaalsete veakohtade selgitamine

Kokkuvõte• Mõistetevahelisi seoseid saab iseloomustada mitmest

aspektist: nt lähtudes struktuuri keerukuse astmest või tähenduslike seoste hulgast

• Õpetaja omab kindlasti rikkalikku võrgustikukujulist struktuuri

• Õpilastel ilmselt lihtsam ja põhineb assotsiatsioonidel• Õpetaja saab õpilast toetada valede assotsiatsioonide

tekkimise ära hoidmisega ning toetada rikkaliku struktuuri tekkimist, kus oleks palju tähenduslikke seoseid

• Sellised õpilased on suurema üldistamisvõimega ja tõenäoliselt ka ülesannete lahendamisel edukamad

Kasutatud kirjandus• Chinnappan, M., & English, L. (1995). Students’ mental models

and schema activation during geometric problem solving. MERGA, 18, 156–162.

• Hay, D. B., & Kinchin, I. M. (2006). Using concept maps to reveal conceptual typologies. Education+ Training, 48(2/3), 127–142.

• Hay, D., Kinchin, I., & Lygo Baker, S. (2008). Making learning ‐visible: the role of concept mapping in higher education. Studies in Higher Education, 33(3), 295–311.

• Tall, D., & Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational studies in mathematics, 12(2), 151–169.