Moldeamiento y simulacion

MODELAMIENTO Y

SIMULACION DE

PROCESOSM.S. MIGUEL ANGEL CARDENAS MALAGA

MIGUEL ANGEL CARDENAS MALAGA

METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES

ALGEBRAICAS


Solución de una Ecuación Algebraica

F(X)

F(X)

X1 X2

X3 X4

X5 X6X0

La ecuación se debe expresar como:

F(x) = 0

Se buscan valores de X que hagan que se cumpla

F(x) = 0

Gráficamente se busca las intersecciones con el eje X


InicioIngreso de datos

iniciales

Asumir una o más aproximaciones de

la raíz

Procedimiento para calcular una mejor

aproximaciónn de la raíz

Uso de fórmulas iterativas

Error actual esmenor o igual

que la Tolerancia?

Solución aceptable

Fin

Nro. iteraccioneses menor o igual

que el Nro. máximo permitido

Método no converge

Fin

Actualizar variables

Si

No

Si

No

Algoritmo General


Biseccion

En cada iteración el intervalo de búsqueda se reduce a la mitad

La ecuación se escribe en la forma: F(x) = 0.

La raiz se busca en el intervalo [xi, xs].

La formula recursiva es:

2

XSXIXR


F(x)

Xv

Se ha graficado F(x) Vs X

Se busca el valor que corresponde a Xv


F(x) F(xi)

F(xs)Xi

Xs

Se asumen valores para xi, y xs de modo que F(xi) y F(xs) tengan signos opuestos.


F(x) F(xi)

F(xs)Xi

Xs

Xr

F(xr)

Con la formula recursiva se calcula Xr

El intervalo inicial ha sido dividido en dos segmentos iguales


F(x)

F(xi)

F(xs)Xi

Xs

Se desecha el segmento que tenga funciones con signos iguales

Xi toma el valor de XrF(xi) toma el valor de F(xr)

Segmento desechado


F(x)

F(xi)

F(xs)Xi

XsXr

F(xr)

Se calcula nuevamente Xr


Se desechó el segmento con funciones de signos iguales

Nuevamente se calculó Xr

F(x)

F(xi)

F(xs)Xi

XsXr

F(xr)


F(x)

F(xi)

F(xs)Xi

Xs

Se desechó el segmento con funciones de signos iguales y se actualizó variables


Se repite hasta que se cumpla:

ABS(ABS(F(xr)F(xr))) < TOL< TOL


AlgoritmoInicio

IngresarNumero Máximo de iteraciones (maxite),

Tolerancia

Ingresar XI, XS

HallarF(XI), F(XS)

F(XI)*F(XS) > 0

A

SI

NO


1

Fin

Fin

contador = 1, maxite

ABS(F(XR)<=Tol

F(XR)*F(XI)>0

XS = XRF(XS) = F(XR)

1

PrintMétodo no converge

XI = XRF(XI) = F(XR)

PrintXR es la respuesta

XR =XI + XS

2

SI

NO

SI

NO

A

HALLAR F(XR)

1


Ejemplo 052)( 2 xxxF

Visual Basic

Excel

A mano

G:\IQ-UNSA\ACADEMICA\MSP-2105\TEORIA\ARCHIVOS-EX\BISECCION.xls

G:\IQ-UNSA\ACADEMICA\MSP-2105\TEORIA\ARCHIVOS-EX\Biseccion.exe

G:\IQ-UNSA\ACADEMICA\MSP-2105\TEORIA\ARCHIVOS-EX\MANUALBIS.exe


Newton Raphson

Requiere de un solo valor inicial

Su fórmula recursiva tiene la forma:

La ecuación debe escribirse en la forma:

Facil de programar

Es uno de los más usados

F(x) = 0

)('

)(1

XiF

XiFXi


F(X)

X

Se desea hallar el valor de Xv ( la intersección)

Xv


Secuencia gráfica

Xo

F(Xo)

X1X2

F(X1)

X

F(X)


Se repite hasta que se cumpla que:

ABS(ABS(F(XF(Xi+i+11)))) < TOL< TOL


DivergenciaEl método de Newton podría no mostrar convergencia cuando la derivada sea próxima a ceroo se tengan puntos de inflexion

X0

X1

F(X0)

F(X1)

X0 X1X2

F(X0)

F(X1)


Inicio

Fin

Fin

IngresarNumero Máximo de iteraciones (maxite)

Tolerancia: TolValor Inicial : XI

HallarF(XI), F'(XI)

contador = 1, maxite

ImprimirMETODO NO CONVERGE

ABS(F(XI+1)<=Tol

Print

XI+1 es la respuesta

XI= XI +1

1

1

XI+1= XI - F(XI)

F'(XI)

SI

NO

Algoritmo


Ejemplo052)( 2 xxxF

Visual Basic

Excel

A mano

D:\Migueldoc\Iqmsp\Iqmsp-2009\cd-iqmsp2009\teoria2009\newton.xls

D:\Migueldoc\Iqmsp\Iqmsp-2009\cd-iqmsp2009\teoria2009\Newton.exe

D:\Migueldoc\Iqmsp\Iqmsp-2009\cd-iqmsp2009\teoria2009\MANUALBIS.exe


Punto Fijo

)(xgx

)(1 ii xgx

La ecuación se escribe como:

La fórmula recursiva es:

Se requiere un solo valor inicial

Pueden haber varias funciones g(x)

Converge rápidamente


Raíces de la ecuación

Xv

F1 = X

F2 = G(X)

)(xgx


Raíces de la ecuación

Xv

F1 = X F2 = G(X)

F(x) = 0

)(xgx

0)( xF


Múltiples funciones g(x)

052 2 xx

52 2 xx

2

5

xx

12

5

x

x

No todas convergen


Convergencia Monótona

X0X1X2X3

f1 = X f2 = g(X)

1)('0 xg


Convergencia Oscilatoria

X0X1 X2X3

f1 = Xf2 = g(X)

0)('1 xg


Divergencia Monótona

X0 X1 X2

f1 = X

f2 = g(X)

1)(' xg


X0

f1 = Xf2 = g(X)

)('1 xg

Divergencia Oscilatoria


Criterio de Finalización

Se repite hasta que se cumpla que:

ABS(XABS(Xi+i+1 - 1 - XXii)) < TOL< TOL


Ejemplo 052)( 2 xxxF

Visual Basic

Excel

A mano

D:\Migueldoc\Iqmsp\Iqmsp-2009\cd-iqmsp2009\teoria2009\PUNTOFIJO.xls

D:\Migueldoc\Iqmsp\Iqmsp-2009\cd-iqmsp2009\teoria2009\puntofijo.exe

D:\Migueldoc\Iqmsp\Iqmsp-2009\BISECCION.xls


Otros Métodos

• Regla falsa

• Secante

• Acelerados


AUTOESTUDIO 2Ver archivo: Autoestudio(1).doc

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