Momento de fuerzaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegación, búsquedaPara otros usos de este término, véase Par motor.

En mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

Ocasionalmente recibe el nombre de torque a partir del término inglés (torque), derivado a su vez del latín torquere (retorcer). Este término intenta introducirse en la terminología española, bajo las formas de torque o torca, aunque con escasa fortuna, ya que existe la denominación par que es la correcta en español.

Contenido

[ocultar]

1 Definición 2 Interpretación del momento 3 Unidades 4 Cálculo de momentos en el plano 5 Véase también 6 Referencias

o 6.1 Bibliografía 7 Enlaces externos

[editar] Definición

Definición de momento de una fuerza con respecto a un punto.

El momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto O viene

dado por el producto vectorial del vector por el vector fuerza; esto es,

Donde

es el vector que va desde O a P.

Por la propia definición del producto vectorial, el momento es un vector perpendicular al plano determinado por los vectores y .

La definición de momento se aplica a otras magnitudes vectoriales. Así, por ejemplo, el momento de la cantidad de movimiento o momento lineal, , es el momento cinético o momento angular, , definido como

El momento de fuerza conduce a los concepto de par, par de fuerzas, par motor, etc.

[editar] Interpretación del momento

Relación entre los vectores de fuerza, momento de fuerza y vector de posición en un sistema rotatorio.

El momento de una fuerza con respecto a un punto da a conocer en qué medida existe capacidad en una fuerza o sistema de fuerzas para cambiar el estado de la rotación del cuerpo alrededor de un eje que pase por dicho punto.

El momento tiende a provocar una aceleración angular (cambio en la velocidad de giro) en el cuerpo sobre el cual se aplica y es una magnitud característica en elementos que trabajan sometidos a torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas).

[editar] Unidades

El momento dinámico se expresa en unidades de fuerza por unidades de distancia. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad se denomina newton metro o newton-metro, indistintamente. Su símbolo debe escribirse como N m o N•m (nunca mN, que indicaría milinewton).

Si bien, dimensionalmente, N·m parece equivaler al julio, no se utiliza esta unidad para medir momentos, ya que el julio conceptualmente es unidad de trabajo o energía, que son conceptualmente diferentes a un momento de fuerza. El momento de fuerza es una magnitud vectorial, mientras que la energía es una magnitud escalar.

No obstante, la equivalencia dimensional de ambas magnitudes no es una mera coincidencia. Un momento de 1 N•m aplicado a lo largo de una revolución completa ( radianes) realiza un trabajo igual a julios, ya que , donde es el trabajo, es el momento y es el ángulo girado (en radianes). Es esta relación la que podría motivar el nombre de “julios por radián” para la unidad de momento, aunque no es correcto.

[editar] Cálculo de momentos en el plano

Momento es igual a fuerza por su brazo.

Cuando se consideran problemas mecánicos bidimensionales, en los que todas las fuerzas y demás magnitudes vectoriales son coplanarias, el cálculo de momentos se simplifica notablemente. Eso se debe a que los momentos serían perpendiculares al plano de coplanariedad y, por tanto, sumar momentos se reduciría a sumar tan sólo sus componentes perpendiculares al plano, que son magnitudes escalares.

Si se considera una fuerza aplicada en un punto P del plano de trabajo y otro punto O sobre el mismo plano, el módulo del momento en O viene dado por:

siendo el módulo de la fuerza, el brazo de momento, es decir, la distancia a la que se encuentra el punto O (en el que tomamos momento) de la recta de aplicación de la fuerza, y el suplementario del ángulo que forman los dos vectores.

La dirección de un momento es paralela al eje de momento, el cual es perpendicular al plano que contiene la fuerza F, y por su brazo de momento d. Para establecer la dirección se utiliza la regla de la mano derecha.

Momento de una fuerza con respecto a un eje dado

Considérese la fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y el momento

Mo de dicha fuerza con respecto a O (figura 3.27). Sea OL un eje a

través de O; el momento MOL de F con respecto a OL se define como la

proyección OC del momento Mo sobre el eje OL. Representando el

vector unitario a lo largo de OL como λ, se tiene

MOL = λ . MO = λ . (r x F)

lo cual demuestra que el momento MOL de F con respecto al eje OL es el

escalar que se obtiene formando el producto triple escalar de λ, r y F.

Que es el MOMENTO ESTATICO???Momento es la denominación que recibe una fuerza actuando con un punto de apoyo (como una palanca). Si se modifica la distancia desde el punto de apoyo hasta el punto donde se efectua la fuerza, el momento se modifica. Y si se cambia la fuerza sin cambiar la distancia al punto de apoyo, tambien se modifica el momento. Podemos decir entonces aque momento es F x D=M.Momento estático es una fuerza aplicada con un punto de apoyo en un sistema estatico, es decir que no está en traslacion o rotacion. Por ejemplo: Una gran piedra está siendo inclinada por una palanca hecha con un palo, pero todo el sistema está quieto. Si suelto la fuerza, la piedra se vuelve, pero si continúo sosteniendo la fuerza hay un equilibrio "estático" por dos momentos.Uno el de su peso y en sentido contrario el de la palanca.

Momento de una fuerza

Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil

contestar a las siguientes preguntas:

¿En qué situaciones se enrosca el tornillo? ¿En que situaciones se desenrosca el tornillo? ¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.

En la primera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El módulo del momento es F·d.

En la segunda figura, el tornillo avanza en la misma dirección y sentido. El módulo del momento es F/2·(2d)=F·d. Con una llave más larga estamos en una situación más favorable que con una llave más corta.

En la tercera figura, el tornillo avanza en la misma dirección pero en sentido contrario.

Un momento se considera positivo, si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.

Un momento se considera negativo, si el tornillo entra, la llave gira en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.

M=rF

El vector M tiene

Por módulo, M=F·r·senθ=F·d. Siendo d el brazo de la fuerza (la distancia desde el punto O a la dirección de la fuerza)

Dirección, perpendicular al plano determinado por la fuerza F y el punto O. Sentido, la aplicación de la regla del sacacorchos

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza:

El módulo es el producto de la fuerza F por la longitud d de la llave. M=F·r·senθ=F·d

La dirección, es la del eje del tornillo, eje Z El sentido viene determinado por el avance

del tornillo (hacia dentro, negativo) cuando hacemos girar a la llave.

Varilla que pende de dos muelles

La varilla delgada de masa m kg y longitud L pende de dos muelles elásticos verticales de constantes k1 y k2 y de longitudes l01 y l02 sin deformar, situados a una distancia d1 y d2 a uno y otro lado del c.m de la varilla

La fuerza que ejerce el muelle situado a la izquierda del c.m. es F1=k1x1, donde x1 es la deformación del muelle

La fuerza que ejerce el muelle situado a la derecha del c.m. es F2=k2x2, donde x2 es la deformación del muelle

Cuando la varilla está en equilibrio en posición horizontal. La resultante de las fuerzas sobre la varilla debe ser cero y el momento resultante respecto del c.m. debe ser cero.

k1x1+ k2x2=mg-k1x1·d1+ k2x2·d2=0

Despejamos x1 y x2

El muelle de la izquierda se ha de colgar de un punto situado a l1=l01+x1 por encima de la varilla horizontal

El muelle de la derecha se ha de colgar de un punto situado a l2=l02+x2 por encima de la varilla horizontal

Ejemplo:

Constantes elásticas de los muelles: k1=50 N/m, k2=25 N/m Masa de la barra, m=1 kg Longitud de los muelles sin deformar, l01=l02=0.5 m

Cuando d1=75 cm, d2=90 cm, las deformaciones son

El muelle de la izquierda se ha de colgar de un punto situado a l1=50+10.7=60.7 cm por encima de la varilla horizontal

El muelle de la derecha se ha de colgar de un punto situado a l2=50+17.8=67.8 cm por encima de la varilla horizontal

Actividades

Se introduce

La constante elástica k1 del muelle de la izquierda en N/m, en el control de edición titulado Cte. elástica k1.

La constante elástica k2 del muelle de la derecha en N/m, en el control de edición titulado Cte. elástica k2.

La masa de la varilla se ha fijado en m=1 kg Las longitudes de los mulles sin deformar se ha fijado en l0=50 cm

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Con el puntero del ratón se arrastra los pequeños círculos de color rojo, para establecer la posición de enganche de los muelles a la varilla, es decir las distancias d1

y d2 de los muelles al c.m.

Pulsar el botón Nuevo, arrastrar con el puntero del ratón los pequeños círculos de color rojo

Equilibrio de una barra

Supongamos una barra de masa despreciable, que está sujeta por su extremo O.

Si colocamos un peso P a una distancia x del origen. El momento de esta fuerza respecto del origen O es +P·x.

Atamos una cuerda a una distancia y del origen, y tiramos de ella haciendo un ángulo θ con la vertical, tal como se muestra en la figura. El momento de la fuerza F respecto del origen es -F·y·cosθ.

Para que la barra esté en equilibrio, el momento total deberá ser nulo.

-F·y·cosθ+P·x=0

Actividades

Sea una barra de 50 cm de longitud, de masa despreciable, dispone de ganchos situados en las divisiones 0, 5, 10, ... 50 cm. La barra está sujeta por uno de sus extremos O.

Se introduce

La posición y de la cuerda, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Posición cuerda

El ángulo θ que forma la cuerda con la vertical, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Angulo cuerda.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Aparecen pesas de distintos colores de 10 g, 25 g y 50 g . Con el puntero del ratón arrastramos una pesa y la colgamos de la barra en alguno de los ganchos.

Cogemos otra pesa y la colgamos de otro gancho de la barra y así, sucesivamente, hasta un máximo de seis pesas (dos de cada tipo). Podemos colgar más de una pesa en la misma posición, una debajo de la otra.

Un dinamómetro nos mide la tensión F de la cuerda necesaria para mantener la barra horizontal y en equilibrio. La fuerza viene expresada en Newton (N).

Primero, establecemos el ángulo de la cuerda θ=0, y probamos con una sola pesa colocándola en varias posiciones y anotamos la fuerza que señala el dinamómetro.

Se pulsa el botón titulado Nuevo, se coloca una pesa colgada de un gancho, se apunta el valor de la fuerza F que marca el dinamómetro. Se pulsa el botón Nuevo,

se elige la misma pesa y se coloca en otro gancho y así sucesivamente.

Fijarse que las pesas situadas en el origen no ejercen momento alguno. Y aquellas que están situadas en el otro extremo de la barra ejercen un momento máximo.

Después, probamos con varias pesas en distintas posiciones coincidentes o no.

Ejemplo:

Colocamos las seis pesas tal como se muestra en la figura. Atamos un extremo de la cuerda en la posición y=30, formando un ángulo θ=60º con la vertical. Calcular la tensión F de la cuerda para que la barra se mantenga en posición horizontal y en equilibrio.

Pesa (g) Posición (cm) Momento (g·cm)

10 35 10 450

25 50 20 1750

50 25 20 2250

Total 4450

El momento de la fuerza que ejerce la cuerda es

-F·y·cosθ=-F·30·cos60º=-F·15

La condición de equilibrio se escribe

-F·15+4450=0 F=296.67 g

Expresamos la fuerza en N multiplicando por 9.8 y dividiendo por 1000

F=2.91 N

Arrastrar las pesas con el puntero del ratón y situarlas en las posiciones señaladas en la regla

FUERZAS ESTRUCTURALES

Cuando hablamos de fuerzas estructurales, nos referimos al esfuerzo que debe soportar la estructura de una Montaña Rusa. En una estructura predeterminada, se analizan muchos esfuerzos, pero los esfuerzos estructurales que más se consideran son los esfuerzos de compresión, y el esfuerzo de flexión de los materiales.

El esfuerzo de compresión se calcula con la siguiente fórmula:

e = F / A

Dónde:

e = Esfuerzo (Ej. Newton sobre metro cuadrado, Kilogramo fuerza sobre milimetro cuadrado, etc.)

F = Fuerza (Ej. Newtons o Kilogramo Fuerza. 1 Newton = 1 Kilogramo por metro sobre segundo al cuadrado, y 1 Kilogramo Fuerza = 9.81 Newtons)

A = Área (Ej. metro cuadrado, pié cuadrado, centimetro cuadrado, etc.)

El cálculo de los esfuerzos de compresión, se utilizará para los casos en que la fuerza se aplica sobre el eje de la estructura. En este caso, vemos una columna que sostiene la vía de una Montaña Rusa. En el momento que el tren pasa por la columna, el peso ejerce una fuerza sobre el eje de la columna. El área que se tiene que considerar, es área que tenga la sección de la columna. En este caso es una sección circular cómo se muestra en el círculo con la A.

El esfuerzo de flexión máxima es el esfuerzo que se aplica sobre alguna de las caras laterales de una viga. Este esfuerzo se calcula con diferentes fórmulas según diferentes casos. Pero antes de analizar cada caso, es importante mencionar el concepto de momento de inercia:

El momento de inercia es una propiedad geométrica de un área con respecto a un eje de referencia. La explicación de este concepto requiere de conocimientos matemáticos

medianamente elevados, por lo que nada más se mencionará su uso práctico aplicado a las Montañas Rusas.

El cálculo del momento de inercia depende de la forma que tenga la sección del material que se esté analizando. En el caso de las montañas rusas, se cuentan con 3 tipos de secciones. La circular, la cilíndrica, y la rectangular. Aquí se muestran las secciones con sus respectivas fórmulas. I = Momento de inercia.

Otro concepto importante es el momento flexionante que al igual que el momento de inercia requiere una explicación matemática compleja. Por este motivo nos limitaremos a mencionar los casos que más se aplican a las Montañas Rusas. M = Momento máximo Flexionante, y P = Fuerza aplicada.

Una vez analizados estos conceptos encontramos que el esfuerzo de flexión se calcula con la siguiente fórmula:

e = Mc / I

Dónde

e = Esfuerzo de flexión (Ej. libras sobre pulgadas al cuadrado, o Pascales)

M = Momento flexionante (Ej. Libras por pulgadas, o Newton por metro)

c = Distancia desde el centro hasta un extremo de una sección de una viga (Ej. Pulgadas, o Metros)

I = Momento de inercia (Ej. Pulgadas a la cuarta, o Metros a la cuarta)

Es importante resaltar que en el cálculo de este esfuerzo se debe calcular adecuadamente el momento de inercia y el momento flexionante, ya que de esto depende que nuestro valor sea correcto.

EJEMPLO 6.1

Dibujar los diagramas de fuerzas internas del pórtico mostrado.

Figura 6.20.

En este ejemplo se muestra el proceso general para analizar un pórtico plano, obtener las reacciones, dibujar los diagramas decuerpo libre de cada uno de los miembros y dibujar los diagramas de momento, cortante y fuerza axial. Se usará el elemento gráfico de la fibra a tensión y la convención de dibujar el diagrama de momentos del lado de la fibra a tensión.

El primer paso en el análisis de una estructura es la determinación de las reacciones. Aunque esta estructura tiene cuatro reacciones (incógnitas) y solo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio estático, se puede suponer con razonable lógica que las reacciones horizontales en los apoyos son iguales, es decir que:

Ax = Dx = 10/2 = 5 kN

Esta hipótesis, que se podrá comprobar más adelante cuando se presente el método de las fuerzas para el análisis de estructuras hiperestáticas, permite analizar la estructura sin mayores problemas.

Para las demás reacciones, se plantea la sumatoria de momentos en A, en la estructura (ver figura):

SMA = 0

10x4 - 10xDy = 0

Dy = 4 kN

Con los valores de las reacciones encontrados, se dibujan los diagramas de cuerpo libre de cada uno de los miembros y se usan las condiciones de equilibrio para cada elemento; para ello se hacen cortes en los miembros

Figura 6.21: diagramas de cuerpo libre con incógnitas, según convención general de signos

en las proximidades de los nudos y se colocan las incógnitas internas de M, V, N, siguiendo las convenciones adoptadas, teniendo en cuenta que la fibra (+) quede siempre abajo, tanto para columnas como para vigas (ver figura 6.21).

Se muestran en la figura 6.22 los diagramas de cuerpo libre con los valores de las fuerzas internas en los extremos de cada elemento, obtenidos mediante las ecuaciones de equilibrio de la Estática, aplicadas en cada miembro.

Figura 6.22: diagramas de cuerpo libre de los miembros del pórtico

Con los valores obtenidos de las fuerzas internas en los extremos de los miembros del pórtico se pueden dibujar los diagramas de cortante, momento y el nuevo diagrama de fuerza axial (que no existía en las vigas); las ordenadas en las vigas se miden verticalmente y en las columnas horizontalmente; para evitar confusiones se recomienda el uso de colores diferentes para las vigas y las columnas.

Figura 6.23: diagramas de fuerzas internas del pórtico

El estudio de las otras formas de masa activa: emparrillados y losas se hará en otros cursos.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Encontrar las reacciones y dibujar los diagramas de momento flector, cortante, axial y elástica aproximada, del pórtico triarticulado mostrado.

Figura 6.24

Analizar y construir los diagramas del pórtico del ejercicio anterior, reemplazando la carga uniforme por una puntualde 15 KN, que actúa verticalmente hacia abajo, en el vértice C (articulado).

Analizar y dibujar los diagramasen el pórtico anterior, colocando la fuerza de 15 kN en el punto B, horizontalmente, de izquierda aderecha.

Encontrar las reacciones y dibujar los diagramas de fuerzas internas y elástica aproximada del pórtico mostrado.

Fuerza Cortante (V) y Momento Flector (M)

Todo análisis estructural se realiza para:

a)Determinar la capacidad de soportar las cargas para las cuales fue diseñada la estructura ,

b)Determinar las dimensiones más adecuadas para resistir , (comparar los esfuerzos que soporta el material contra los esfuerzos actuantes o los previstos.).

Elemento estructural viga•VIGA: es un elemento estructural donde una de sus dimensiones es mucho mayor que las otras dos, y a través de uno o más apoyos transmiten a la fundación u otros elementos estructurales las cargas aplicadas transversalmente a su eje, en algunos casos cargas aplicadas en la dirección de su eje.WL = longitud (LUZ)NNhb

Elemento estructural viga

Clasificacion de las vigas

Por su forma

De alma llena

Por sus caracteristicas estaticas

Isostaticas

Hiperestaticas.

Porticos

Porticos se puede definir como un conjunto de elementos estructurales unidos en sus extremos mediante juntas rigidas o pernos, ademas se cumple que los ejes de las vigas no esta alineado.

Fuerza cortante (v)

Es la suma algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje de la viga ( o elemento estructural) que actuan a un lado de la seccion considerada.

La fuerza cortante es positiva cuando la parte situada a la izquierda de la seccion tiende a subir con respecto a la parte derecha.

Momento flector (m)

Es la suma algebraica de los momentos producidos por todas las fuerzas externas a un mismo lado de la seccion respecto a un punto de dicha seccion.

El momento flector es positivo cuando considerada la seccion a la izquierda tiene una rotacion en sentido horario.

Convenio de signo para V yM

Seccion considerada

Diagramas de fuerza cortante y momento flector

•Estos permiten la representación grafica de los valores de “V”y “M”a lo largo de los ejes de los elementos estructurales.

•Se construyen dibujando una línea de base que corresponde en longitud al eje de la viga (Elemento Estructural, ee) y cuyas ordenadas indicaran el valor de “V” y “M” en los puntos de esa viga.

Diagramas de fuerza cortante y momento flector

•La Fuerza cortante (V) se toma positiva por encima del eje de referencia.

Los valores de momento flector (M) se consideran positivos por debajo del eje de referencia, es decir los diagramas se trazan por el lado de la tracción.

Diagramas de fuerza cortante y momento flector

Los maximos y minimos de un diagrama de momento flector corresponden siempre a secciones de fuerza cortante nula. Para poder obtener la distancia ( X, Y o d ) donde el momento flector es maximo o minimo se igualara a cero la expresión de fuerza cortante, luego se despeja dicha distancia ( X, Y o d ).

Los puntos donde el momento flector es nulo se denominan los puntos de inflexión sobre la elastica.

Relaciones entre Carga y Fuerza Cortante

El incremento de la fuerza cortante con respecto a la distancia(X, Y o d) en una sección cualquiera de una viga o elemento estructural(situada a una distancia, x, y o d, de su extremo izquierdo) es igual al valor del área de la carga de dicha sección.

Diagrama de Fuerza Cortante (V)

Si en un tramo del elemento estructural (viga, columna, inclinado) no actúa ninguna carga la curva de la fuerza cortante permanecerá recta y paralela al eje del elemento estructural.

Diagrama de fuerza cortante (V)

Cuando en un tramo del elemento estructural se aplique una carga distribuida uniformemente, la línea de la fuerza cortante será inclinada, o sea tendrá una pendiente constante con respecto al eje del elemento.

Para Carga distribuida con variación lineal de su intensidad, la curva de fuerza cortante será una línea curva de segundo grado.

•En los puntos de aplicación de cargas concentradas (puntuales) EXISTIRÁ una discontinuidad en el diagrama de fuerza cortante.

Relación entre Fuerza Cortante y Momento Flector

El incremento del momento flector con respecto a la distancia(X, Y o d) en una sección cualquiera del elemento estructural situada a una distancia (X, Y o d) de su extremo izquierdo es igual al valor del área del diagrama de fuerza cortante en la correspondiente seccionsección.

Tipos de indeterminación de estructuras.

INDETERMINACION ESTATICA Y CINEMATICA

A) INDETERMINACION ESTATICA

(grados de indeterminación o número de redundantes)

Se refiere al número de acciones (fuerza axial, cortante o momento) externos y/o internos que deben

liberarse a fin de transformar la estructura original en una estructura estable y determinada.

B) INDETERMINACION CINEMATICA

(grados de libertad)

Se refiere al número de componentes de desplazamiento de nudo (traslación, rotación) que son

necesarios para describir la respuesta del sistema. Define la configuración deformada del sistema.

METODOS DE ANALISIS

A) METODO DE LAS FUERZAS O FLEXIBILIDADES

(grado de indeterminación estática)

En este método se modifica la estructura original hasta convertirla en una estructura estática

determinada y estable.

Luego, se obtienen soluciones complementarias que permiten restablecer la continuidad del sistema y

debe resolverse un sistema de ecuaciones igual al número de fuerzas redundantes. En este método se

aplica la condición de equilibrio y luego, la condición de compatibilidad.

B) METODO DE LAS RIGIDECES O DESPLAZAMIENTOS

(grado de indeterminación cinemática)

En este método se obtiene, primero, una estructura modificada, bloqueando los desplazamientos de

todos los nudos que son fáciles de analizar. Luego, se superponen otras soluciones complementarias

para determinar los verdaderos desplazamientos que ocurren en los nudos. El número de ecuaciones a

resolver es igual al número del grado de indeterminación cinemática. Primero se aplica el principio de

compatibilidad y luego el de equilibrio.