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Monitoria de Discreta:
Aula de Revisão
Mini-prova 3
Temas:
- Primos e Máximo Divisor Comum;
- Inteiros e Algoritmos;
- Aplicações de Teoria dos Números e
- Prova por Indução
Monitores: Flávia Porto / Gibson Nunes / Hugo Rafael / Ismar Pereira / João
Paulo / José Eduardo / Justan Luiz / Luciano Farias / Pamela Thays/ Tiago
Neves
Primos
- Dizemos que um número inteiro é primo quando ele só
é divisível por 1 e por ele próprio;
- Um número inteiro é composto se existe um número
entre um e ele mesmo que o divide;
- Se n é composto então n possui um divisor primo entre
1 e a raiz quadrada de n;
- A quantidade de números primos menores que x,
quando x tende ao infinito, é aproximadamente x/ln(x).
Máximo Divisor Comum(MDC) e
Mínimo Múltiplo Comum(MMC)
- Seja a e b inteiros, o MDC entre a e b é o maior número que
divide a e também divide b;
- Seja a e b inteiros, o MMC entre a e b é o menor número
que é dividido por a e por b
- Exercicio:
- Sejam mdc(p, q) = 45, mmc(g,q) = 270 e q = 90 .
- A) Fatore os números;
- B) utilize a definição de mdc em termos de fatores
primos para encontrar p, que deve estar fatorado.
- C) utilize a definição de mmc em termos de fatores
primos para encontrar g, que deve estar fatorado.
Inteiros e Algoritmos
- Algoritmo de Euclides: método para encontrar o MDC
de dois números inteiros diferentes de 0.
- Exercicio
- Utilizando o algoritmo de euclides encontre o
MDC(112,68)
Teorema Chinês do Resto
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Exemplo 1
Exemplo 1(continuação)
Exemplo 1(continuação)
Exemplo 1(continuação)
Exemplo 1(continuação)
Prova por Indução
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Prove que (n²-1) é divisível por 8, onde n é um número ímpar positivo (Capítulo 4, Questão 35, Rosen, 6ª edição em inglês)
Para n ser ímpar deve haver um m tal que:
n = 2*m+1 Caso base:
((2*0+1)² - 1) mod 8 = 0 ok! Obs: n tem que ser positivo (n>0), por
isso m tem que ser maior ou igual a 0
Exemplo 2
Hipótese de Indução
Consideraremos igualdade consistente para m=k
((2*k+1)² - 1) mod 8 = 0
(4*k² + 4*k + 1 - 1) mod 8 = 0
(4*k² + 4*k) mod 8 = 0 ok!
Exemplo 2(continuação)
Passo Indutivo Verificaremos se a equação é válida para m=k+1
(4*(k+1)² + 4*(k+1)) mod 8 = 0 (4*(k²+2*k+1) + 4*k + 4) mod 8 = 0 (4*k² + 8*k + 4 + 4*k + 4) mod 8 = 0 (4*k² + 4*k + 8*k + 8) mod 8 = 0 (((4*k² + 4*k) mod 8) + ((8*k + 8) mod 8)) mod
8 = 0 Usando a hipótese de indução temos que :
((4*k² + 4*k) mod 8) = 0
(0 + (8*(k+1) mod 8)) mod 8 = 0 (0 + 0) mod 8 = 0
0 = 0 ok!
Exemplo 2(continuação)