UNIVERSIDAD INCA GARCILASO DE LA VEGAFacultad de Ingeniera Administrativa

Alumna:Vargas Texi Guadalupe

Docente:Ing. Mximo Angeles

Curso:Introduccin de anlisis matematico

Lima - Per 2011

SISTEMA DE COORDENADAS

Existen tres diferentes tipos de sistemas coordenados. El sistema coordenado cartesiano, bidimensional o plano, el cual consta de dos ejes, X y Y; el sistema coordenado unidimensional, el cual slo consta de un eje y el sistema coordenado tridimensional, el cual, consta de 3 ejes coordenados, X, Y y Z.Sistema coordenado unidimensional o lineal.

Vamos a determinar la longitud de un segmento que une a dos puntos dados cualesquiera, tales que P(x) y P(x) por tanto x y x son nmeros conocidos. Por la relacin fundamental.

La longitud del segmento P (x) P (x) se obtiene en magnitud y signo, restando la coordenada del punto final.La distancia entre dos puntos se define como el valor numrico de la longitud del segmento rectilneo que une esos dos puntos.

d==EJERCICIO N 1

Hallar la distancia entre los puntos P(3) Y P(-8)

PP = - 8- 3= -11

d= =11EJERCICIO N 2

Hallar la distancia entre los puntos P(6) Y P(-3)

PP = - 3- 6= -9

d= = 9EJERCICIO N 3

Hallar la distancia entre los puntos P(4) Y P(-6)

PP = - 6- 4= -10

d= = 10

SISTEMA DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL

Sea un punto P(x; y) en el plano, (x; y) se llama par ordenado en que "x"

es el primer elemento del par e "y" el segundo, por tanto; (x; y) (y; x).Sean dos rectas perpendiculares en el plano, su punto de interseccin se acostumbra a llamar origen O, dichas rectas las llamaremos eje X y eje Y .Sobre el eje X, considrese nmeros reales y diremos que hay correspondencia biunvoca con los puntos de dicho eje, anlogamente sobre el eje Y.Sea el O (0; 0) el origen O, en el eje X a la derecha de O colocamos los nmeros reales positivos y su izquierda los negativos, con respecto al eje Ylos reales positivos por encima del origen O(0; 0) y los reales negativos pordebajo.La interseccin del eje X y eje Y definen 4 cuadrantes que se acostumbrana denotar como: I, II, III y IV.

Utilizando este esquema podemos asociar un par ordenado de nmeros reales(x; y) a cada punto P del plano y viceversa (correspondencia biunvoca entrelos puntos del plano y los pares ordenados (x; y)).Por tanto para todo P(x; y) del plano cartesiano"x" se acostumbra a llamar abscisa del punto P"y" se acostumbra a llamar ordenada del punto P(x; y) se acostumbran a llamar coordenadas de PDel punto P(x; y) se trazan perpendiculares a ambos ejes, que definen: laabscisa OA y de P igual a x y la ordenada OB de P igual a y.

Distancia entre dos puntos

Dados los puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2) la distancia entre P1 y P2 esta dada

Por d =

Divisin de un Segmento en una razn dada

Dados los puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2) que definen el segmento P1P2 y sea

dada la razn -1entonces P(x; y)

x=

y=

Coordenadas del Punto medio de un trazo

Notemos que si m = n o bien = 1; P(x; y) representa a las coordenadasdel punto medio del trazo P1P2, que es:

P

Pendiente

Dado un segmento P1P2 mediante los puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2) la pendientedel segmento P1P2 esta dada por

m = tg =si x2 = x1 se dice que el segmento no tiene pendiente.

EJERCICIO 1

Determine un punto P(x; y) tal que equidiste de tres puntos _jos dadospor: A(-3; 2);B(1; 3) y C(0;-3)Solucin:Se debe tener:PA = PC = PB

PA =

PC =

PB =

se obtienen3x - 5y = -22x + 12y = 1cuyas soluciones son:

x=y=

EJERCICIO 2

Probar que el punto cuyas coordenadas son x = x1 + t(x2 - x1) ey = y1 + t (y2 - y1) divide el segmento que une P1(x1; y1) y P2(x2; y2)

en la razn ;;

Solucin:Sabemos que

x=y=

x1 + t(x2 - x1) =

[(x1 - x2) + t(x2 - x1)] = -t(x2 - x1) como x1 x2

(-1 + t) = -t=,t1resulta lo mismo si se toma y.

EJERCICIO 3

Dos vrtices consecutivos de un cuadrado son los puntos O(0; 0) yA(-2;-3). Determine las coordenadas de los otros vrtices.Solucin.Notemos que hay dos soluciones posibles, y tambin que el cuadrado

es de lado l = Sea el vrtice B(x; y), se debe tener:

AB=

OB=

AB=

OB=

x + y = 262x + 3y = -13

cuyas soluciones son: B(1;-5) y E(-5;-1) anlogamente el vrtice C(x; y), debe cumplir

OC =x + y= 13

AC=(x + 2) + (y + 3) = 26de donde resolviendo se obtienen C(3;+2) y D(-3; 2)

TRANSFORMACIN DE COORDENADAS

Una transformacin es una operacin por la cual una relacin, expresin o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.Analticamente, la ley se expresa por una o mis ecuaciones llamadasecuaciones de transformacin.

TRASLACION DE LOS EJES

Sea un punto P de coordenadas (x,y) con respecto de los ejes rectangulares X,Y. Vamos a obtener las ecuaciones que relacionan las coordenadas (x`,y) delmismo punto P con respecto al nuevo referencial tambin rectangular X, YSean los nuevos ejes X, Y obtenidos por una traslacin paralela y en el mismo sentido con respecto a los ejes X,Y al nuevo origen (h,k).

x= x+hy= y+k

EJERCICIO 1

Dada la recta 3x+2y+5=0 determine la ecuacin de ella referida a los nuevosejes X, Y y con el nuevo origen en el punto (2-3)

SolucinDe inmediato las ecuaciones de traslacin son:x=x+2 e y=y+3

luego resulta 3(x+2)+2 (y-3)+5=0

3x+2y+5=0

EJERCICIO 2

Dadas las rectas 2x-3y+6=0 y 4x+3y-12=0 determine el nuevoorigen donde se deben trasladar los ejes X e Y de modo que las ecuaciones de las rectas dadas carezcan de trminos libres.Solucin:El nuevo origen se obtiene resolviendo el sistema formado por las rectas dadas, as las nuevas ecuaciones en este nuevo sistema, sern dos rectas por el origen y carecern de trminos libres.Al resolver el sistema indicado, resultan:

x=1 y= luego las ecuaciones de traslacin son x=x+1 e y=y+de donde se obtienen 2x-3y=0 y 4x+3y=0

EJERCICIO 3

Transformar por giro la ecuacin x+y-1=0 referida a un nuevo sistemaortogonal de modo que el nuevo sistema ortogonal tenga el mismo origen que elanterior y sus ejes dimidian los ngulos formados por los ejes anteriores.

Ntese que el giro es de 45, con lo que, las ecuaciones de rotacin son:

x=y y=

y reemplazando en x+y-1=0 resulta x=

LINEA RECTA

Llamamos lnea recta al lugar geomtrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P (x, y) P (x , y) del lugar.En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuacin:

m=

Se puede obtener la ecuacin de la recta a partir de la frmula de la pendiente (ecuacin punto-pendiente):

y-y= m (x-x)

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuacin general de la recta, y y1 = m(x x1):

y-b=m(x-0)y- b=mxy=mx+ b

Esta es la segunda forma de la ecuacin de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. Tambin se puede utilizar esta ecuacin para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuacin dada.As como a la ordenada al origen se le puede llamar b, a la abscisa al origen se le puede llamar a. Si se plantea como problema encontrar la ecuacin de una recta, conocidos a y b (la abscisa y ordenada al origen), se conocen dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:(0,b) y (a,0)Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuacin, pero primero se debe calcular la pendiente:

m= (= Despus se sustituye en la ecuacin y y1 = m(x x1), usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a, 0):

y-0=(x-a)ay=-bx+abbx+ay=abPor ltimo se tiene que dividir toda la ecuacin entre el trmino independiente ab:

+ =

+=1

Ecuacin simtrica de la rectaSe obtiene la ecuacin de la recta en su forma simtrica. Esta ecuacin se suele utilizar para obtener la ecuacin de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuacin de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.Ecuacin Normal de la rectaEsta es la forma normal de la recta:

xcos +ysen -d=0 Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ngulo omega es el ngulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.Donde k que es una constante que nos ayudar a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.Ax+By+C=0Extrayendo la raz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B. Como sigue:

K=

Con el nmero k podemos obtener a cos y a sen de la misma ecuacin general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular d dividimos a C entre k.Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y ser el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuacin), cuando C