Monotoninės funkcijos

nn ,...,,,,...,, 2121 Tarkime, kad

yra du bulinių kintamųjų rinkiniai.

Rašysime α ≤ β, kai αj ≤ βj su visais j=1,2,…,n.

Pavyzdys.

(0,0) ≤ (0,1) ≤ (1,1);

(0,0) ≤ (1,0) ≤ (1,1);

Negalima rašyti:

(0,1) ≤ (1,0) arba (1,0) ≤ (0,1).

Jeigu

α ≤ β f(α) ≤ f(β),

tai Bulio funkcija vadinama monotonine

x y f8 x y f9 x y f15

0 0 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

monotoninėnėra

monotoninėmonotoninė

x y z f(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

f(1,0,0)

f(0,1,0)

f(0,0,1)

f(1,1,1)

f(1,1,0)

f(1,0,1)f(0,0,0)

f(0,1,1)

0

1

0

1

1

10

1

Funkcijos reikšmes iš lentelės surašome tokia tvarka:

Patikrinsime, ar funkcija f(x,y,z) yra monotoninė.

Matome, kad funkcijos reikšmės šiomis kryptimis nemažėja, t.y. ji monotoninė.

Tiesinės funkcijos

Funkcija f(x1,x2,...,xn) yra tiesinė, jeigu

f(x1, x2, ... , xn) = c0 c1 & x1 c2 & x2 … cn & xn

čia c0, c1, c2, …, cn yra konstantos, lygios 0 arba 1.

Pavyzdys. Ar funkcija f(x,y) = x y yra tiesinė?

x y x y0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

x y = c0 c1 & x c2 & y

1 = 0 0 = c0 c1 & 0 c2 & 0 = с0 0 0 = с0

0 = 0 1 = 1 c1 & 0 c2 & 1 = 1 0 с2 = ¬с2

c2 = 1

c0 = 1

0 = 1 0 = 1 c1 & 1 1 & 0 = 1 с1 0 = ¬с1

c1 = 1

Tada gauname prieštaravimą: 0 = 1 1 = 1 1 & 1 1 & 1 = 1 1 1 = 1

Dviejų kintamųjų funkcijai: f(x, y) = c0 c1 & x c2 & y

f(0, 0) = c0 c1 & 0 c2 & 0 = с0 0 0 = с0

f(0,1) = c0 c1 & 0 c2 & 1 = c0 0 с2 .

Jeigu c0=0, tai c2=f(0,1). Jeigu c0=1, tai c2= ¬f(0,1)

f(1,0) = c0 c1 & 1 c2 & 0 = c0 с1 0 .

Jeigu c0=0, tai c1=f(1,0). Jeigu c0=1, tai c1= ¬f(1,0)

c0 f(0,0)

c0 0 1

c1 f(1,0) ¬ f(1,0)

c2 f(0,1) ¬ f(0,1)

Dviejų kintamųjų funkcijai

c0 f(0, 0, 0)

c0 0 1

c1 f(1,0,0) ¬ f(1,0,0)

c2 f(0,1,0) ¬ f(0,1,0)

c3 f(0,0,1) ¬ f(0,0,1)

Analogiškai gaunamos formulės trijų kintamųjų funkcijai:

Fiktyvieji kintamieji

Bulio funkcijos f(x1,x2, ..., xn) kintamasis xj (0 ≤ j ≤ n) vadinamas fiktyviuoju, jei

f( ... , xj-1, 0, xj+1, … ) = f( ... , xj-1, 1, xj+1, … )

Kintamieji, kurie nėra fiktyvieji, vadinami esminiais.

Jeigu funkcija yra tiesinė, t.y. ją galima užrašyti

f(x1, x2, ... , xn) = c0 c1 & x1 c2 & x2 … cn & xn

tai kintamasis, kurio atitinkamas koeficientas cj, yra lygus nuliui, bus fiktyvus. Fiktyvius kintamuosius galima rasti naudojant Karno kortas ir t.t.

Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)?

x y z f(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

1. Tikriname, ar x yra fiktyvus kintamasis

x y z f(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Matome, kad f(0,0,1)=1, o f(1,0,1)=0. Tai reiškia, kad x nėra fiktyvus.

x y z f(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

2. Tikriname, ar y yra fiktyvus kintamasis

Matome, kad f(1,0,0)=0, o f(1,1,0)=1. Tai reiškia, kad y nėra fiktyvus.

3. Tikriname, ar z yra fiktyvus kintamasis

x y z f(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Matome, kad f(0,0,0)=0, o f(0,0,1)=1. Tai reiškia, kad z nėra fiktyvus.

Funkcija neturi fiktyvių kintamųjų

Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)?

x y z f(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

1. Tikriname, ar funkcija yra tiesinė

c0 = 0, c1 = 0, c2 = 1, c3 = 1 ir tada

f(x,y,z) = 0 0&x 1&y 1&z =

= 0 0 y z = y z

2. Tikriname, ar tai tiesa (įstatome y ir z reikšmes ir sulyginame su lentele)

f(0,1,1) = 1 1 = 0;

f(1,0,1) = 0 1 = 1;

f(1,1,0) = 1 0 = 1;

f(1,1,1) = 1 1 = 0.

3. Matome, kad visos reikšmės sutapo, t.y. funkcija yra tiesinė. Koeficientas prie x lygus 0, t.y. x – fiktyvus kintamasis

Pavyzdys. Kiek fiktyvių kintamųjų turi funkcija f(x,y,z)?

x y z f(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

1. Sudarome disjunkcinę formą:

f (x,y,z) = (¬x&¬y&z) v (¬x&y&¬z) v (¬x&y&z) v (x&y&z).

2. Užpildome Karno kortą:

Supaprastiname reiškinį: ( y & ¬ z ) v ( ¬ x & z ).

Matome, kad visi kintamieji liko. T.y. fiktyvių kintamųjų nėra.

y y ¬ y ¬ y

x X

¬ x X X X

z ¬ z ¬ z z

Funkcijų klasės. Pilnosios funkcijų sistemos

(T0) Bulio funkcija f(x1, x2, ..., xn) vadinama nekeičiančia nulio, jei

f(0, 0, ... , 0)=0.

(T1) Bulio funkcija f(x1, x2, ..., xn) vadinama nekeičiančia vieneto, jei

f(1, 1, ... , 1)=1.

(T*) Savidualiosios funkcijos

(T≤) Monotoninės funkcijos

(TL) Tiesinės funkcijos

Apibrėžimas. Funkcijų sistema F={f1, f2, … , fm} yra vadinama pilnąja, jei bet kurią bulinę funkciją galima išreikšti šios sistemos funkcijomis.

Pavyzdys. Bet kuri bulinė funkcija išreiškiama disjunkcine arba konjunkcine normaliąja forma. Sistema {¬, &, V} yra pilnoji.

Taikydami de Morgano dėsnius, galime disjunkciją pakeisti konjunkcija ir atvirkščiai. Todėl sistemos {¬, V} ir {¬, &} – irgi pilnosios.

Posto teorema. Bulio funkcijų sistema F yra pilnoji tada ir tik tada, kai ji turi bent po vieną funkciją, nepriklausančią kiekvienai klasei T0, T1, T*, T≤, TL; t.y. galima nurodyti bent vieną funkciją, kuri nėra nekeičianti nulio, nekeičianti vieneto, savidualioji, monotoninė ir tiesinė.

Funkcijų sistemos {¬, }, {|}, {} – irgi pilnosios.