MOSE FLATO - Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Τίτλος πρωτοτύπου: Le pouvoir des Mathematiques Copyright © 1990, Hachette Copyright © για την ελληνική γλώσσα: Εκδόσεις ΚΑΤΟΠΤΡΟ —

Αλ. Μάμαλης και Σία Ο.Ε. Πρώτη έκδοση: Ιούνιος 1993 ISBN: 960-7023-70-6

Μετάφραση και επιστημονική επιμέλεια: Τάσος Κυπριανίδης Γλωσσική επιμέλεια: Γιώργος Κυριακόπουλος Επιμέλεια έκδοσης: Αλέκος Μάμαλης

Στοιχειοθεσία, σελιδοποίηση, φιλμ, μοντάζ: Ανάγραμμα Εκτύπωση: Τετραχρωμία Εκτύπωση εξωφύλλου: Χρήστος Κιουρτσόγλου Βιβλιοδεσία: Σπύρος Σγαρδέλης

Κεντρική διάθεση: Εκδόσεις ΚΑΤΟΠΤΡΟ Ισαύρων 10 και Δαφνομήλη, 114 71 Αθήνα Τηλ.: 364.32.72, Fax: 364.18.64

Απαγορεύεται η ανατύπωση μέρους ή όλου του βιβλίου με οποιονδήποτε τρόπο χωρίς την έγγραφη άδεια των εκδοτών.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Εισαγωγή από τον Dominique Lecourt 9

I. Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Πολιτισμικές και κοινωνικές επιρροές 21 Επιστημολογικές αυταπάτες 25 Η πραγματικότητα της έρευνας 32 Η ενότητα της μαθηματικής επιστήμης 36 Η πρόοδος στα μαθηματικά 40 Φυσική και μαθηματικά 44

I I . ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Μαθηματικά και μαθηματική λογική 55 Μαθηματικά και πληροφορική 61 Από τη μαθηματική φυσική

στη φυσική μαθηματική επιστήμη 66 Μαθηματικά και βιολογία 73 Μαθηματικά και οικονομία 76

I I I . ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Η νεότητα των μαθηματικών 81 Τα λάθη της σχολής Μπουρμπακί 84 Μαθηματικά και πολιτισμικά στοιχεία 89 Η πολιτική της έρευνας 93 Η διδασκαλία των μαθηματικών: μοντέρνα μαθηματικά 96 Καζίνο 98

Βιβλιογραφία 103 Ευρετήριο όρων και ονομάτων 104

Αισθανόμαστε την υποχρέωση να εκφράσουμε από αυτήν τη θέση τις βαθύτατες ευχαριστίες μας στον κ. Γεώργιο Ευαγγελόπουλο για τις πολύτιμες υποδείξεις του που υπήρξαν βασικό στοιχείο της ποιότητας αυτού του βιβλίου.

Εκδόσεις Κάτοπτρο

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Θα μπορούσε να εκθέσει κανείς με φυσική γλώσσα, με όρους βατούς για το μεγαλύτερο δυνατό αριθμό ανθρώπων, το περιεχόμενο των μαθηματικών θεωριών και αποδείξεων; Οι περισσότεροι μαθηματικοί θα απαντήσουν, καταρχήν, αρνητικά. Τα μαθηματικά είναι δυνατό να εκτεθούν μόνο με μαθηματικούς όρους: επειδή εργάζονται ακατάπαυστα πάνω στο δικό τους σώμα, η γενική υφή των αφαιρέσεων τους έχει καταλήξει να είναι τέτοια που αψηφά τις μη αναγώγιμες μεταφορές των φυσικών γλωσσών. Μήπως θα έπρεπε λοιπόν, για αυτόν ακριβώς το λόγο, να παραιτηθεί κανείς από τη μελέτη των μαθηματικών στη σειρά «Ορίζοντες της Επιστήμης»; Θα επρόκειτο βέβαια για εξαιρετικά απρόσμενο παράδοξο, εφόσον γνωρίζουμε την επιρροή που έχουν αποκτήσει —χάρη στην αφαίρεση που τα διακρίνει— στις άλλες επιστήμες, αλλά και πέρα από αυτές σε ολόκληρη την κοινωνία. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το παράδοξο και αυτήν την επιρροή, ο Moshe Flato δεν παραπλανά τον αναγνώστη* αποφεύγει τις εύκολες λύσεις μιας εκλαΐκευσης συγκεκριμένου τύπου, που δημιουργεί την αυταπάτη της κατανόησης, και χαράσσει μια παρα-

10 Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

καμπτήριο διαλογισμού για την «εξουσία» των μαθηματικών, σε όλες τις μορφές της: τις αυθαίρετες, τις νομιμοποιημένες και τις πολλά υποσχόμενες. Διαβάζοντας το έργο, μπορεί ο καθένας να αποκτήσει μια εικόνα της δημιουργικής ισχύος και της επινοητικότητας των μαθηματικών.

Η ιδέα ότι τα μαθηματικά είναι από μόνα τους φορείς μιας επιρροής χωρίς προηγούμενο είχε διαμορφωθεί πολύ πριν αρχίσει να επιβεβαιώνεται μια τέτοια ισχύς. Ας θυμηθούμε τους πρώτους έλληνες μαθηματικούς. Σ' αυτά αναγνώριζαν το κλειδί για την ερμηνεία του κόσμου. Έτσι, κατά τον 5ο π.Χ. αιώνα οι Πυθαγόρειοι, σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, ο οποίος τους αντιμετώπιζε μειωτικά, «ανακάλυψαν ότι οι παραλλαγές και οι σχέσεις των μουσικών κλιμάκων είναι δυνατό να εκφραστούν αριθμητικά. Επίσης, επειδή όλα τα άλλα πράγματα φαίνονταν να ακολουθούν καθ* όλη τη φύση τους πρότυπα αριθμών, και επειδή οι αριθμοί εμφανίζονταν να είναι πρωταρχικές πραγματικότητες στο σύνολο της φύσης, υπέθεσαν ότι τα στοιχεία των αριθμών ήταν στοιχεία όλων των πραγμάτων, και ότι όλος ο ουρανός ήταν μια μουσική κλίμακα και ένας αριθμός». Πράγματι, τα διαστήματα της οκτάβας, της πέμπτης και της τετάρτης είναι δυνατό να εκφραστούν με όρους απλών αριθμητικών λόγων. Πρόκειται για εντυπωσιακό παράδειγμα φαινομένου το οποίο, ενώ δεν είχε προφανή σχέση με τα μαθηματικά, ήταν δυνατό να διατυπωθεί με μαθηματικούς όρους. Έτσι απέκτησαν οι Πυθαγόρειοι το μεγαλειώδες όνειρο μιας φύσης δομημένης όπως η μουσική! Ενώ όμως αυτό το όνειρο τους οδήγησε σε

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11

πολλές φαντασιώσεις, για τις οποίες σύντομα δέχτηκαν πολλές ειρωνείες, εντούτοις διέθετε το πλεονέκτημα ότι έστρεψε τα βλέμματα προς τον ουρανό. Πεπεισμένοι ότι «ο ουρανός όλος ήταν μια μουσική κλίμακα και ένας αριθμός», δεν αρκέστηκαν στο να αφουγκράζονται την άηχη μουσική των αόρατων ουρανίων σφαιρών, όπου υποτίθεται ότι ήταν στερεωμένα τα άστρα, αλλά διάνοιξαν με θετικό τρόπο την οδό προς μια μαθηματική αστρονομία. Είναι επίσης πιθανό ότι ενθάρρυναν ταυτοχρόνως με αμοιβαίο τρόπο τη σπουδή της ακουστικής, εφόσον ένας απ' αυτούς, ο Αρχύτας ο Ταραντίνος, διακρίθηκε, όπως λέγεται, σε αυτόν τον τομέα περί τα τέλη του 5ου αιώνα.

Όσον αφορά όμως τα πραγματικά επιτεύγματα των Πυθαγορείων στα μαθηματικά, η ιστορική τεκμηρίωση που διαθέτουμε είναι τουλάχιστον ελλιπής και συχνά ύποπτη. Ξέρουμε εντούτοις πως αυτοί γνώριζαν —είτε με την αξιολόγηση των συνεπειών του περίφημου θεωρήματος που φέρει το όνομα του Πυθαγόρα είτε με τη φιλοσοφική μελέτη της ιδέας τής επ' άπειρον διαιρετότητας— ότι η διαγώνιος τους τετραγώνου είναι άρρητη. Γνωρίζουμε επίσης ότι ο Αρχύτας επέλυσε με θαυμαστό τρόπο το πρόβλημα διπλασιασμού του κύβου, που απασχολούσε επί μακρόν τους έλληνες μαθηματικούς.

Ο Πλάτων συνηγορούσε υπέρ μιας ιδεαλιστικής ή μαθηματικής αστρονομίας εις βάρος της καθαρά παρα-τηρησιακής αστρονομίας που ασκούνταν κατά την εποχή του: «Χρησιμοποιώντας προβλήματα όπως αυτά που έχουμε στη γεωμετρία, μελετάμε την ίδια την αστρονομία» γράφει στην Πολιτεία. Η μαθηματική ιδιοφυΐα του


Εύδοξου (408-355 π.Χ.) εξερεύνησε επιτυχώς αυτήν την οδό. Η ίδια σύσταση γίνεται από τον Πλάτωνα και για το ζήτημα της ακουστικής. Επίσης, γνωρίζουμε ότι ο Τίμαιος προτείνει υπό μορφή μύθου μια κοσμολογία που οι βάσεις της είναι μαθηματικές* ενώ θεωρεί, όπως ο Εμπεδοκλής (490̂ 430 π.Χ.) ότι κάθε φυσική ουσία αποτελείται από τέσσερα απλά σώματα ή στοιχεία (τη φωτιά, τον αέρα, το νερό και τη γη), καθένα από αυτά τα απλά σώματα ταυτίζεται στην πραγματικότητα με ένα κανονικό στερεό: η φωτιά με το τετράεδρο, ο αέρας με το οκτά-εδρο, το νερό με το εικοσάεδρο και η γη με τον κύβο. Βλέπουμε εδώ το πρώτο παράδειγμα γεωμετρικής θεωρίας για τη μορφή των αρχέγονων σωμάτων, και την πρώτη απόπειρα αναγωγής σε μαθηματικούς τύπους των μεταβολών που πραγματοποιούνται ανάμεσα τους.

Είναι όμως γνωστό ότι οι Έλληνες, οι οποίοι ήταν εξαιρετικά επινοητικοί ώστε να μαθηματικοποιήσουν την αστρονομία, ουδόλως προσέγγισαν την ιδέα της μηχανικής, γεγονός που προκάλεσε μια «τεχνολογική εμπλοκή», για τα αίτια της οποίας υπάρχει εδώ και αιώνες διαμάχη μεταξύ των ιστορικών. Η κατάσταση αυτή οφείλεται, χωρίς αμφιβολία, στο ειδικό βάρος της σκέψης του Αριστοτέλη, που θεωρούσε τον «υποσελήνιο» κόσμο θέατρο της «γένεσης και της φθοράς» και επιφόρτιζε τη φυσική μόνο με το καθήκον να διασαφήσει τη σύνθεση των σωμάτων και τις μεταξύ τους σχέσεις. Με αυτόν τον τρόπο, τα μαθηματικά βρέθηκαν περιορισμένα —κατ' ουσίαν— στην ερμηνεία των κυκλικών κινήσεων των άστρων, κινήσεων τελείων, οι οποίες προσιδίαζαν σε όντα που γίνονταν αντιληπτά ως έχοντα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13

θεία φύση. Αντιθέτως, η κίνηση των σωμάτων πάνω στη Γη δεν φαινόταν να επιδέχεται μαθηματικοποίηση, διότι αντιμετωπιζόταν, στο πλαίσιο αυτής της κοσμολογίας και των μεταφυσικών προϋποθέσεων της, ως είδος αλλαγής: ως ατελής, μεταβατική «κατάσταση» του σώματος, που κάτω από την ώθηση μιας εσωτερικής παρόρμησης έτεινε να συναντήσει τη «φυσική θέση» του. Μια θέση «απόλυτη» όπου υποτίθεται ότι έβρισκε και πάλι την ηρεμία, σε αρμονία με την ουσία του (τα βαρέα σώματα «προς τα κάτω», τα ελαφρά σώματα «προς τα άνω»).

Χρειάστηκε το έργο του Γαλιλαίου, στη συνέχεια του Καρτέσιου και μερικών άλλων, για να εγκαταλειφθεί αυτή η ποιοτική «φυσική» και να ανοίξει ο δρόμος για τη μαθηματικοποίηση της κίνησης.

Έκτοτε, τα μαθηματικά έμελλε να κατακτήσουν, μαζί με τη σύγχρονη φυσική, μια διαρκώς διευρυνόμενη επιρροή. Δεν θα πρέπει όμως να υποκύψουμε στην υπερβολική ιδέα περί μιας ιστορικής ασυνέχειας: η επιστημονική επανάσταση του 17ου αιώνα ευνοήθηκε στην πραγματικότητα από την εκ νέου ανακάλυψη του έργου του Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.), το οποίο, όντας φιλοσοφικά συγγενές με το έργο του Επίκουρου, σχημάτιζε από κοινού με αυτό «ένα ήδη μη αριστοτελικό σύμπαν» (Michel Serres), ουδόλως στερούμενο τεχνολογικού δυναμισμού, στην καρδιά του ελληνικού πολιτισμού.

Το φαινόμενο Γαλιλαίος δεν έχει ακόμη αποκαλύψει όλα τα μυστικά του. Ένας ιστορικός της επιστήμης, ο Alexandre Koyre, του αφιέρωσε έναν τεράστιο όγκο εργασίας στην οποία προβάλλει μια ουσιαστική θέση: αυ-

14 Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΉΚΩΝ

τό που προκάλεσε τη γέννηση της σύγχρονης επιστήμης δεν ήταν κάποια αιφνίδια προσχώρηση σε μια υποτιθέμενη «πειραματική μέθοδο», αλλά μια φιλοσοφική επανάσταση. Αυτή επέτρεψε να σκεφτεί κανείς (εκ νέου) «το μεγάλο βιβλίο της φύσης», που έχει γραφεί με μαθηματικούς όρους. Κάτι τέτοιο προϋπέθετε μια συγκεκριμένη αντίληψη και πρακτική των μαθηματικών.

Τούτο αποκαλύπτεται σαφέστατα όταν συγκρίνει κανείς αυτά τα μαθηματικά με εκείνα που συνέχιζαν να δεσπόζουν στην Κίνα την ίδια εποχή και που την κράτησαν μακριά από τη γέννηση της σύγχρονης επιστήμης, μολονότι οι Κινέζοι είχαν από πολλούς αιώνες αναπτύξει σε μεγάλο βαθμό τη μαθηματική έρευνα. Έχοντας δεσμούς με την πολιτική εξουσία, οι μαθηματικοί είχαν επιφορτισθεί από τους αυτοκράτορες με την επεξεργασία και την αναμόρφωση του ημερολογίου. Όντας στην υπηρεσία της γραφειοκρατίας, ανέπτυξαν κυρίως ένα θαυμαστό σύνολο γνώσεων που χρησίμευαν στην πρακτική των λογιστών, στην κατασκευή αποθηκών για τα δημητριακά, αναχωμάτων και καναλιών. Τα κινέζικα μαθηματικά, που άνθησαν ιδιαίτερα στις δυναστείες Χαν (206 π.Χ.-220 μ.Χ.) και Σογκ (960-1279 μ.Χ.), ήταν λοιπόν κατ' ουσίαν αριθμητική και άλγεβρα. Ο Joseph Needham έδειξε ότι οι κινέζοι αλγεβριστές βρέθηκαν κατά τον 13ο και 14ο αιώνα στην πρώτη γραμμή, όπως υπήρξαν κατά τους προηγούμενους αιώνες οι άραβες ομόλογοι τους, αλλά και όπως συνέβη επίσης με τους ινδούς μαθηματικούς, που είχαν επινοήσει την τριγωνομετρία πριν από χίλια περίπου χρόνια.

Αυτό που χωρίς αμφιβολία έλειψε από τους Κινέζους

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15

ήταν μια φιλοσοφική ιδέα, η ιδέα ενός «νομοθέτη του σύμπαντος», και συνεπώς των «νόμων της φύσης», και ένας τρόπος μαθηματικής συλλογιστικής: η αφηρημένη και συστηματική παρουσίαση της ευκλείδειας γεωμετρίας που «προσφέρθηκε» στη γαλιλαιική επεξεργασία, προτού μετατραπεί στη συνέχεια σε εμπόδιο για την πρόοδο των μαθηματικών και της φυσικής.

Όπως κι αν έχει το πράγμα, από τη στιγμή που μια μηχανική ήρθε στο φως με τον Γαλιλαίο, η ισχύς των μαθηματικών δεν έπαυσε να σαγηνεύει. Τα εμπόδια πάνω στα οποία είχαν σκοντάψει οι μηχανικοί της Αναγέννησης φάνηκαν να αίρονται: η ακρίβεια των υπολογισμών άνοιγε τις πόρτες ενός τεχνολογικού σύμπαντος, που έφερε μαζί του μια χωρίς προηγούμενο πρακτική αποτελεσματικότητα και αντίστοιχη αφθονία αγαθών. Ήδη το 1648, ο Καρτέσιος διαμόρφωσε το σχέδιο επαγγελματικών σχολών, όπου οι δάσκαλοι που γνώριζαν τα μαθηματικά και τη φυσική θα μπορούσαν να «δίνουν τα φώτα» τους στους τεχνίτες προκειμένου να παρέχουν ερεθίσματα και να τελειοποιούν τις επινοήσεις των τελευταίων.

Με τα Principia mathematica philosophiae naturalis [Μαθηματικές αρχές της φυσικής φιλοσοφίας] (1687) του Ισαάκ Νεύτωνα, η ισχύς των μαθηματικών δεν τίθεται πλέον ως ζήτημα προς συζήτηση, αλλά γίνεται αντικείμενο εγκωμίων. Ανακαλύπτεται ότι ο ίδιος θεμελιώδης νόμος έλξης συνδέει τα πιο μικρά και τα πιο μεγάλα σώματα —τα άτομα και τα άστρα— ενός άπειρου σύμπαντος. Αυτός ο νόμος, όμως, κατέστη δυνατό να διατυπωθεί και να καθιερωθεί μόνο χάρη σε ένα με-


τασχηματισμό των ίδιων των μαθηματικών. Στην πραγματικότητα, το επίτευγμα που εξασφάλισε την αθανασία στον Νεύτωνα συνίστατο στο ότι έφερε τα μαθηματικά μεγέθη κοντά στη φυσική, τα υπέταξε στην κίνηση, μη θεωρώντας τα πλέον κατά το «είναι» τους, αλλά κατά το «γίγνεσθαι» ή τη «ροή» τους. Εν συντομία, ο Νεύτων κατόρθωσε να επινοήσει για τη φυσική τον διαφορικό λογισμό, ταυτόχρονα με τον μεγάλο αντίπαλο του, τον Leibniz. Οι καμπύλες και τα σχήματα δεν κατασκευάζονταν στο εξής με βάση γεωμετρικά στοιχεία ούτε προέκυπταν στο χώρο από τις τομές γεωμετρικών σωμάτων και επιπέδων, ούτε ακόμη συλλαμβάνονταν ως σχέσεις δομών εκφρασμένες με άμεσο τρόπο από αλγεβρικούς τύπους. Δημιουργούνταν ή περιγράφονταν από την κίνηση σημείων και γραμμών στο χώρο.

Αυτή η κεφαλαιώδους σημασίας επιτυχία επέβαλε μια συγκεκριμένη ιδέα για τα μαθηματικά και τις σχέσεις τους με τη φυσική, η οποία διατηρήθηκε έως τις αρχές του αιώνα μας. Ένα έργο όπως εκείνο του Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) φανερώνει έναν τρόπο αποθέωσης αυτής της ιδέας. Ο Moshe Flato δείχνει με θαυμάσιο τρόπο πώς έχει σήμερα διαλυθεί αυτός ο «νευτωνισμός», πώς ανασυντέθηκε και ενισχύθηκε η ενότητα μαθηματικών και φυσικής, πράγμα το οποίο επιτεύχθηκε όμως στη βάση μαθηματικών που με τη σειρά τους ενοποιήθηκαν και αυτά στη βάση «μη νευτώνειων» μελετών.

Δείχνει επίσης πώς αυτή η αναθεώρηση διανοίγει νέες και ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες προοπτικές για τη μάθη ματικοποίη ση και άλλων επιστημών, όπως είναι η βιολογία ή, από τις κοινωνικές επιστήμες, η πολιτική

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17

οικονομία. Το σχέδιο αυτό έχει οπωσδήποτε προηγούμενο. Όμως οι όροι υπό τους οποίους γίνεται αντιληπτό φαίνονται σχεδόν ολότελα πρωτότυποι.

Ας πάρουμε για παράδειγμα τη βιολογία. Η νευτώνεια επιτυχία δεν παρέλειψε να δημιουργήσει άμιλλα στο εσωτερικό αυτής της επιστήμης: ας αναλογιστούμε τον Buffon και τη ρητά νευτώνεια θεωρία του για τα «οργανικά μόρια»! Πολύ σύντομα όμως προσέκρουσε στη δυσκολία της «αυτοοργάνωσης» των έμβιων όντων. Μια δυσκολία που εκφράστηκε θεωρητικώς στο έργο Kritik der Urteilskraft [Κριτική της κριτικής δυνάμεως] (1790) από τον Καντ, ο οποίος είδε στη σύμφυτη τελεολογία του έμβιου όντος ένα εμπόδιο για κάθε «φυσική» αντιμετώπιση του. Ο Auguste Comte και όλοι οι βιταλιστές βιολόγοι, έχοντας κατά νου τις πρωτότυπες σχέσεις που συνδέουν το όλον με τα μέρη του σε έναν ζωντανό οργανισμό, επέβαλαν τη χρήση των μαθηματικών σε αυτήν την περιοχή. Λίγο αργότερα, όμως, η μοναχική εργασία του Γκρέγκορ Μέντελ (1822-1884) παρήγαγε την πρώτη επιτυχημένη μαθηματικοποίηση βιολογικού φαινομένου, όχι μόνο διότι είχε την τόλμη να «εφαρμόσει» τη στατιστική στη μελέτη του διαχωρισμού χαρακτήρων διαμέσου των γενεών μπιζελιών στα οποία εξέταζε την κληρονομικότητα, αλλά διότι με τον υπολογισμό αυτό ανέσυρε μια βιολογική δομή που είχε μείνει έως τότε απαρατήρητη. Αυτή η δομή θα αποδοθεί αργότερα συνοπτικά με τον όρο «ένα γονίδιο, ένας χαρακτήρας». Γνωρίζουμε ότι αυτή η παράτολμη στάση κόστισε στον Μέντελ την έλλειψη κατανόησης εκ μέρους των συγχρόνων του: χρειάστηκαν πενήντα χρόνια για να ανακαλυ-


φθούν ξανά οι νόμοι που αυτός είχε προσδιορίσει. Το γεγονός ότι χρησιμοποίησε τα μαθηματικά συνέβαλε, χωρίς αμφιβολία, σ' αυτήν την έλλειψη κατανόησης, αλλά, πάνω απ9 όλα, υπήρχε μια αμιγώς εννοιολογική δυσκολία. Ο ίδιος ο Δαρβίνος, τη στιγμή που αναστάτωνε τη βιολογία εισάγοντας την έννοια της «φυσικής επιλογής», κάλυψε με το κύρος του μια θεωρία της κληρονομικότητας προερχόμενη από τον 18ο αιώνα, η οποία δεν ξεχώριζε αυτό το ζήτημα από εκείνο της αναπαραγωγής και καθιστούσε τη «γενετική» δομή του Μέ-ντελ κυριολεκτικά αδιανόητη!

Πρόκειται άραγε να δούμε στα χρόνια που έρχονται νέους τομείς των επιστημών της ζωής να ανοίγονται στη μαθηματικοποίηση; Θα μπορούσαμε να το διανοηθούμε αν λάβουμε ειδικότερα υπόψη τη σημερινή συνέχιση των ερευνών για τη μορφολογία των ζώων οι οποίες εγκαινιάστηκαν από τον Arcy Thompson (1860-1948) στο εξαιρετικό βιβλίο του On Growth and Form [Για την ανάπτυξη και τη μορφή], που εκδόθηκε το 1917. Η ανακάλυψη των «γονιδίων της ανάπτυξης», που κατασκευάζουν το «σχέδιο» του οργανισμού, κάλλιστα επιβεβαιώνει τη διαίσθηση του Thompson για μια βιολογική δομή η οποία θα συνέδεε την εξέλιξη με κάποιες μαθηματικά μετρήσιμες μορφολογικές παραλλαγές... Εν πά-σει περιπτώσει, ο αναγνώστης θα ανακαλύψει σε τούτο το βιβλίο ότι οι καλύτεροι μαθηματικοί προετοιμάζονται από μόνοι τους να συμμετάσχουν σε αυτήν την περιπέτεια, έστω και αν, ή ιδίως αν αυτό θα συνεπαγόταν την ανατροπή των μαθηματικών προκειμένου να κατανοηθούν αυτά τα νέα αντικείμενα.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 19

Όσον αφορά δε την πολιτική οικονομία, εδώ και πάνω από ενάμιση αιώνα δεν κάνει τίποτε άλλο από το να ελπίζει ανοιχτά να μαθηματικοποιηθεί. Πράγματι, μια παρόμοια ιδέα διατυπώνεται γύρω στη δεκαετία του 1830. Ήδη το 1829, ο λογικολόγος William Whewell (1794-1866) προσπαθεί να μεταφράσει τις αρχές του David Ricardo σε αλγεβρικά σύμβολα. Όμως, εκείνος που πρώτη φορά διατύπωσε ένα συστηματικό πρόγραμμα αυτού του εγχειρήματος είναι ο γάλλος απόφοιτος της Ecole Polytechnique και φιλόσοφος Antoine-Augustin Cournot (1801-1877) στο έργο του Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des richesses [Έρευνες για τις μαθηματικές αρχές της θεωρίας του πλούτου] (1838). Απορρίπτοντας ως «μεταφυσικά» τα ερωτήματα που έθεσαν οι κλασικοί, Adam Smith και David Ricardo, σχετικά με την προέλευση της αξίας, και αντιστρέφοντας τη συλλογιστική τους, ορίζει ως αντικείμενο την αγορά και μόνο, και επαφίεται στα μαθηματικά προκειμένου να δώσει στη μελέτη του το χαρακτήρα μιας επιστήμης. Ο Cournot δεν επιφέρει καινοτομίες στα μαθηματικά, αλλά αρκείται στην εφαρμογή τους, όπως αυτός τα γνωρίζει (στατιστική και διαφορικός λογισμός), πάνω σε ένα αντικείμενο, την «αγορά», η οποία γίνεται αντιληπτή με όρους της μηχανικής και με στόχο ρητά κανονιστικό, την εγκαθίδρυση ή την επαναφορά μιας ιδανικής «ισορροπίας». Η οικονομία, ως επιστήμη των ανταλλαγών (Leon Walras), ή επιστήμη των «συναλλαγών», έχει παραμείνει έως τις μέρες μας κατακυριευμένη από τον τρόπο σκέψης που αποτέλεσε το εργαλείο με το οποίο διαμορφώθηκαν τα πρώτα μοντέλα της. Ο Mosho


Flato υποδεικνύει τους όρους με τους οποίους θα μπορούσε στο μέλλον να ανανεώσει την προβληματική της, καθώς και το ρόλο που θα μπορούσαν να διαδραματίσουν τα μαθηματικά σε αυτήν την περίπτωση.

Θα αφήσω τώρα τον αναγνώστη να απολαύσει την ανάγνωση του βιβλίου ενός διακεκριμένου μαθηματικού που είναι με αποφασιστικότητα στραμμένος προς το μέλλον, και που μιλώντας για τα μαθηματικά εκφράζεται για τον κόσμο μας με σαφείς, απλούς και δυναμικούς όρους. Είναι πιθανό ο αναγνώστης να εκπλαγεί επειδή θα χάσει τα οικεία σημεία αναφοράς του: αριθμητική, γεωμετρία, άλγεβρα, ανάλυση... Εν τοιαύτη περιπτώσει, όμως, εκείνο που τα εξαφανίζει τώρα, έπειτα από πολλές αποτυχημένες απόπειρες στην ιστορία τους, είναι τα ίδια τα μαθηματικά. Κλονίζονται οι αντιλήψεις σας; Μήπως αυτό δεν είναι το πιο φανερό σημάδι για τη συγγένεια ανάμεσα σε μαθηματικά και φιλοσοφία, που υποδεικνύεται από τον Moshe Flato;

Dominique LECOURT

I Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΕ! ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΡΡΟΕΣ

Είτε την εκθειάζει κανείς είτε απλώς είναι ικανοποιημένος με αυτήν, είτε την οικτίρει είτε καταθέτει τα όπλα μπροστά της, η «εξουσία» των μαθηματικών είναι σήμερα μια αδιαμφισβήτητη, μαζική και πολύμορφη πραγματικότητα. Μιλάμε για την αποτελεσματικότητα τους, αλλά και για την επικράτεια των μαθηματικών, αν όχι για τον επεκτατισμό τους. Η στατιστική κυριαρχεί σε ολόκληρους τομείς της κοινωνικής ζωής: διαμέσου των δημοσκοπήσεων κατέκτησε τον πολιτικό κόσμο υποδουλώνοντας τον, απειλώντας την ίδια την πολιτική σκέψη και απογυμνώνοντας τη δημοκρατική πρακτική των εκλογών. Πράγματι, ο ψηφοφόρος παρακινείται δολίως να ψηφίσει υπέρ εκείνου που προηγείται στις δημοσκοπήσεις, προκειμένου να βρεθεί με το μέρος του ισχυρότερου, ακριβώς όπως παίζει στις ιπποδρομίες το φαβορί για να βρεθεί με το μέρος του καλύτερου, έστω και αν γνωρίζει ότι έτσι θα κερδίσει πολύ λιγότερα. Η στατιστική έχει καθιερωθεί εδώ και πολύ καιρό στον κόσμο των ασφαλίσεων, ενώ στοιχειώνε —και στοιχειώνει ακόμη— τα τραπέζια των τυχερών παιχνιδιών. Η πληροφορική, ιδεολογικά θριαμβεύον υποπροϊόν των μαθηματι-


κών του 20ού αιώνα, συνέβαλε στη γενική αναμόρφωση των πρακτικών διοικητικής διαχείρισης, δημόσιας και ιδιωτικής, καθώς και σε μια πραγματική επανάσταση στη βιομηχανική, ακόμη και στην καλλιτεχνική παραγωγή.

Αυτή η ισχύς προκαλεί έντονη έλξη και συχνά απόγνωση. Έχει πράγματι διαδοθεί και επιβληθεί —όχι αδικαιολόγητα— η άποψη ότι το να κατέχει κανείς καλά τα μαθηματικά είναι κατά τρόπο αμετάκλητο το κλειδί, η μόνη αληθινή εγγύηση για την κοινωνική επιτυχία. Οι γονείς έχουν πειστεί για αυτό, και τα παιδιά είναι αναγκασμένα, θέλοντας και μη, να υποτάσσονται στις επιπτώσεις που συνεπάγεται αυτή η πεποίθηση. Είδαμε λοιπόν μέσα σε λίγα χρόνια να αναλαμβάνουν τα μαθηματικά το ρόλο του σχεδόν αποκλειστικού κριτηρίου σχολικής επιλογής. Η διαδικασία αυτή είναι σήμερα αρκετά γνωστή, ώστε να μη χρειάζεται να επιμείνω σ' αυτό το θέμα. Θα πρέπει εντούτοις να σημειώσουμε ότι το φαινόμενο δεν περιορίζεται στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση —την πιο εμφανή περίπτωση—, αλλά αγγίζει σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους τα πρώτα έτη των πανεπιστημιακών σπουδών, ακόμη και στον τομέα των κοινωνικών επιστημών. Στα οικονομικά, αλλά και στην κοινωνιολογία ή την ψυχολογία, οι φοιτητές οφείλουν να αφομοιώσουν μια σημαντική δόση μαθηματικών κατά τα πρώτα έτη φοίτησης τους, χωρίς βεβαίως να μπορούν, τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή, να διακρίνουν καθαρά τη χρησιμότητα μιας τέτοιας μάθησης. Γι' αυτό εξάλλου είναι ακόμη λυπηρότερο το γεγονός ότι αρκετά συχνά αυτή η γνώση, που αποκτήθηκε με μεγάλο κόπο,

Η ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 23

δεν αξιοποιείται στη συνέχεια των σπουδών τους, εν μέρει επειδή σ' αυτούς τους τομείς οι ίδιοι οι δάσκαλοι δεν την κατέχουν αρκετά.

Θα πρέπει τέλος να προσθέσουμε ότι αυτή η κατάσταση είναι ιδιαίτερα οξυμένη στη Γαλλία, όπου μια υπερφορμαλιστική αντίληψη των μαθηματικών προσφέρεται ιδιαίτερα για αυτήν τη διεστραμμένη χρήση, μια αντίληψη κληρονομημένη από τη μεγάλη σχολή των δεκαετιών του 1940 και 1950 η οποία έχει προσλάβει συλλογικά το ψευδώνυμο «Μπουρμπακί». Ο όμιλος «Μπουρμπακί», που αρχικά ήταν μια φάρσα των αποφοίτων της Ecole Normale, είναι μια ένωση που την αποτελούν ορισμένοι από τους καλύτερους αποφοίτους της φημισμένης Ecole Normale Superieure (η ηλικία τους δεν πρέπει να υπερβαίνει τα 50 έτη και η επιλογή τους γίνεται από αυτούς που είναι ήδη μέλη του ομίλου). Ο κύριος στόχος αυτής της ένωσης ήταν να ξαναγράψει όλη τη μαθηματική επιστήμη (ο ενικός είναι ηθελημένος), ξεκινώντας από το γενικότερο και πηγαίνοντας προς το ειδικότερο, σε μια γραμμική τάξη που είχε γίνει κάπως δενδροειδής από την ίδια τη δυναμική των πραγμάτων. Οι δημοσιεύσεις του μυθικού Νικολά Μπουρμπακί υποτίθεται ότι αρχικά προέρχονταν από το Πανεπιστήμιο του Νανκάγο, επειδή τα βασικά ιδρυτικά μέλη του ομίλου ήταν καθηγητές στο Νανσύ και το Σικάγο. Αυτές οι εργασίες είναι συλλογικές και συγκροτήθηκαν στη διάρκεια μιας πολύ μακράς διαδικασίας ωρίμανσης, στην οποία συμπεριλαμβάνονταν και εμβριθείς συζητήσεις που γίνονταν κατά τη διάρκεια «συναντήσεων απομόνωσης» στη γαλλική επαρχία Οβέρν. Μια


παρόμοια «εγκυκλοπαιδική» αντίληψη δεν στερείται κινδύνων για την έρευνα, ιδιαίτερα σε τομείς που τελούν υπό καθεστώς εξελισσόμενης ανάπτυξης. Ο όμιλος φαίνεται εξάλλου ότι αντιμετωπίζει ολοένα περισσότερες δυσκολίες στο να παρακολουθεί τον πλούτο της ανάπτυξης των μαθηματικών στη σύγχρονη εποχή, και σήμερα βρίσκεται μακρύτερα από το στόχο του από ό,τι στα πρώτα του βήματα. Εντούτοις, τα έργα του εξακολουθούν να αποτελούν βιβλία αναφοράς, που συχνά είναι χρήσιμα, ενώ οι ενδιαφέρουσες συνοπτικές ιστορικές σημειώσεις του είναι βατές και για τους μη ειδικούς.

Ο πρώτος κίνδυνος που περιέχει μια τέτοια αντίληψη για τα μαθηματικά συνίσταται στο ότι ενδέχεται να μην επιτρέψει ποτέ σε έναν μεγάλο αριθμό μαθητών και φοιτητών να διαμορφώσει μια σωστή εικόνα για το τι μπορεί να είναι η θεωρητική δραστηριότητα στην έρευνα των μαθηματικών. Η εικόνα που αντικρίζουν είναι άκαμπτη και άκρως ελιτίστικη. Βεβαίως, η κατάσταση εμπεριέχει και έναν άλλο κίνδυνο: δεν είναι καθόλου σίγουρο ότι οι μαθητές που θεωρούνται «προικισμένοι στα μαθηματικά», είναι ακριβώς εκείνοι που εμφανίζουν τις μεγαλύτερες πραγματικές ικανότητες σ' αυτόν τον τομέα. Ο προσανατολισμός του γαλλικού εκπαιδευτικού συστήματος, από τον δεύτερο κύκλο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης έως τη φυσική απόληξη του, τα προπαρασκευαστικά τμήματα για τις «grandes ecoles» [πανεπιστημιακές σχολές της Γαλλίας με αυστηρά κριτήρια επιλογής], αποτελεί χαρακτηριστικό δείγμα αυτής της τάσης που είναι θεμελιωμένη στην επιλογή με κριτήριο τα μαθηματικά, η οποία έχει προκαλέσει στη μεγάλη


πλειοψηφία των μαθητών την τόσο ενοχλητική για το δημιουργικό πνεύμα ανάπτυξη της ξηράς αποστήθισης και συσσώρευσης γνώσεων. Πόσα από αυτά τα παιδιά που θεωρούνται προικισμένα, και μάλιστα σε τέτοιο βαθμό ώστε η λαϊκή μυθολογία να τους αποδίδει το σημάδι της μεγαλοφυίας, δεν είναι στην πραγματικότητα τίποτε άλλο από υπάκουα πνεύματα τα οποία εξασκούν σε ιδιαίτερα μεγάλο βαθμό την ικανότητα απομνημόνευσης που διαθέτουν (απομνημόνευσης τύπων και, στην καλύτερη περίπτωση, εννοιών)! Νά λοιπόν πού εντοπίζεται το σοβαρό λάθος: δεν είναι μόνο ότι τρομοκρατούνται χωρίς λόγο αρκετά άτομα που θα είχαν, αναμφίβολα, άλλα ταλέντα εξίσου αξιόλογα, αλλά στει-ρώνεται και η δημιουργικότητα πολλών από εκείνους που θα μπορούσαν να γίνουν πραγματικοί μαθηματικοί.

ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΈς Α Υ Τ Α Π Ά Τ Ε ς

Όταν όμως αναφέρεται κανείς στην επιρροή των μαθηματικών, δεν μιλά μόνο για κάποιο κοινωνικό και πολιτισμικό φαινόμενο, αλλά αναφέρεται και στην εκπληκτική επιβολή των μαθηματικών πάνω στις άλλες επιστήμες, και πρωταρχικά στη φυσική. Μ' αυτήν την επιστήμη τα μαθηματικά διατηρούν από τον 17ο αιώνα μια σχέση τόσο μεγάλης συγγένειας, ώστε πολλοί επιστήμονες μέχρι τις αρχές του αιώνα μας ήταν, ταυτοχρόνως ή εναλλάξ, φυσικοί και μαθηματικοί. Η σαγήνευση από αυτήν την «εξουσία» είναι τόσο παλιά όσο και η σύγχρονη επιστήμη. Οι μεγαλύτεροι φιλόσοφοι, αρχής


γενομένης από τον Καρτέσιο, αποπειράθηκαν να επιλύσουν αυτό που ήδη από το έργο του Γαλιλαίου εμφανιζόταν ως αδιανόητο αίνιγμα. Νομίζω πως η τρέχουσα εξέλιξη των μαθηματικών απαιτεί να ξαναδούμε αυτό το ζήτημα με πνεύμα απροκατάληπτο. Δεν είναι παράλογο να ελπίζει κανείς ότι θα δει τα πράγματα πιο καθαρά.

Εντούτοις, για να υποβληθεί κανείς σε αυτήν τη διανοητική άσκηση, θα πρέπει να είναι πεπεισμένος ότι όντως υπάρχει μια ζωντανή έρευνα στα μαθηματικά, πράγμα που προφανώς διαφεύγει από τους αδαείς, οι οποίοι σε τούτο το σημείο γίνονται θύματα παραπλανητικών ιδεών. Πράγματι, σε αντίθεση με άλλους επιστημονικούς κλάδους, στους οποίους χαιρετίζονται με ζήλο οι πρόοδοι ή οι επαναστάσεις, (όπως π.χ. στις φυσικές επιστήμες ή στις επιστήμες της ζωής), έχει διαδοθεί και επιβληθεί η άποψη ότι τα μαθηματικά ζουν μια ήσυχη και σίγουρα συντηρητική ζωή. Ακόμη, πιστεύεται ότι οι στιγμές δημιουργικής αναταραχής ανήκουν οριστικά στο παρελθόν, και ότι δεν υπάρχουν πια «θεωρήματα προς ανακάλυψη».

Πολλοί είναι οι λόγοι που συμβάλλουν στη συντήρηση αυτής της χονδροειδούς πλάνης. Ο πρώτος συναρτάται με το γεγονός ότι σήμερα ταυτίζουμε την έρευνα με το έργο πολυάριθμων ομάδων, έργο που συντελείται σε εργαστήρια εφοδιασμένα με βαρύ εξοπλισμό και απαιτεί πολυδάπανες επενδύσεις. Η εικόνα της «Big Science», της φυσικής των σωματιδίων, της πυρηνικής φυσικής ή της διαστημικής έρευνας δεσπόζει στο μυαλό μας. Όμως, τίποτα τέτοιο δεν υπάρχει στα μαθηματικά: οι άνθρωποι εργάζονται εκ παραδόσεως συχνά μόνοι


τους, σπανίως περισσότεροι από δύο, και εν γένει χωρίς να χρησιμοποιούν κατά την ερευνητική εργασία καθ' εαυτή κανένα άλλο εξοπλισμό εκτός από χαρτί, μολύβι και μια βιβλιοθήκη.

Παρατηρούμε, για παράδειγμα, ότι η ύψιστη τιμή για τους άλλους επιστημονικούς κλάδους, το βραβείο Νόμπελ, απονέμεται κατά κανόνα σε περισσότερους του ενός ερευνητές για μια κοινή εργασία, ή στους επικεφαλής των ομάδων. Στα μαθηματικά, αντιθέτως, τα μετάλλια Φιλντς, που αντιπροσωπεύουν το ισοδύναμο του βραβείου Νόμπελ, έχουν στην πράξη πάντοτε δοθεί μόνο σε μεμονωμένα άτομα. Ακόμη όμως και στις πολύ σπάνιες εξαιρέσεις, δεν επιβραβεύτηκαν ομαδικές εργασίες, αλλά μάλλον δύο ερευνητές που οι έρευνες τους έτυχε, σε μια δεδομένη στιγμή, να αφορούν το ίδιο αντικείμενο.

Μια άλλη εσφαλμένη εικόνα έρχεται να επιδεινώσει ακόμη περισσότερο την πλάνη. Συνήθως αντιλαμβανόμαστε τον μαθηματικό ως έναν απλό δεξιοτέχνη των υπολογισμών: σύμφωνα με το σχολικό πρότυπο, φανταζόμαστε ότι είναι τόσο πιο «έξυπνος», όσο πιο γρήγορα υπολογίζει από μνήμης. Στην περίπτωση αυτή, δύσκολα αντιλαμβάνεται κανείς τι θα μπορούσε να είναι μια ερευνητική δραστηριότητα, εφόσον θα συσχετιζόταν απλώς και μόνο με μια άσκηση διανοητικής ευστροφίας, την οποία οι σύγχρονοι υπολογιστές, αν χρησιμοποιούνταν με τον κατάλληλο τρόπο, θα μπορούσαν να επιτελέσουν πολύ ταχύτερα και αποδοτικότερα.

Όταν όμως ενδιαφερθεί κανείς για τη ζωντανή πρακτική στην οποία εμπλέκονται οι μαθηματικοί σήμερα,


τότε διακρίνει σαφέστατα ότι αυτές οι δύο εικόνες είναι στην πραγματικότητα καρικατούρες χωρίς πραγματική βάση. Πρώτα απ5 όλα, διαπιστώνει ότι υπάρχουν ολοένα περισσότερα προβλήματα που η αντιμετώπιση τους απαιτεί τη συνεργασία περισσοτέρων ειδικών. Η συνεργασία αυτή είναι ενίοτε ηθελημένη, σκόπιμη και οργανωμένη στο πλαίσιο της εργασίας μέσα σε ομάδα. Αρκετά συχνά όμως, είναι αποτέλεσμα κάποιου τύπου σύγκλισης, όπου ο καθένας φέρει την πέτρα του για το οικοδόμημα σε τομείς που μπορεί να είναι πολύ διαφορετικοί, έως ότου ένας πανέξυπνος αρχιτέκτων φτιάξει απ' αυτό το υλικό μια πρωτότυπη κατασκευή, όπως συνέβη πρόσφατα με το παράδειγμα της εικασίας του ΜΟΓ-dell, που η απόδειξη της απέφερε το μετάλλιο Φιλντς στον Gerd Fallings το 1986. Αυτή η εικασία συνεπάγεται μια ασθενέστερη μορφή του «θεωρήματος του Fer-mat», σύμφωνα με το οποίο η εξίσωση xn+yπ- ζ71 δεν έχει λύσεις ακέραιους θετικούς αριθμούς για κάθε η ακέραιο και αυστηρά μεγαλύτερο του 2. (Στην ασθενέστερη μορφή του, ο αριθμός των λύσεων αυτού του τύπου είναι πεπερασμένος, ενώ για η = 2 υπάρχουν άπειρες λύσεις. Το «θεώρημα» έχει αποδειχθεί μόνο για συγκεκριμένες οικογένειες ακεραίων η.)

Αξίζει πράγματι τον κόπο να σημειώσουμε ότι τα μαθηματικά υπέστησαν από την αρχή του αιώνα μας μια διαδικασία εσωτερικής εξειδίκευσης, που δεν υστερεί σε τίποτε έναντι εκείνης που επήλθε στις άλλες επιστήμες, και ειδικότερα στη φυσική. Αυτή η εξειδίκευση σταδιακά άμβλυνε τις κλασικές διαιρέσεις που όλοι (ακόμη και τα μέλη της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών) γνω-


ρίζουν ανάμεσα σε άλγεβρα, ανάλυση, γεωμετρία και μηχανική. Εξυπακούεται ότι οι όροι αυτοί χρησιμοποιούνται ακόμη από συνήθεια, αλλά πολλές ειδικότητες που σήμερα έχουν αναγνωριστεί υπερπηδούν τις παλιές διαχωριστικές γραμμές. Ας παραθέσουμε μόνο ένα παράδειγμα: υπάρχει σήμερα μια «αλγεβρική γεωμετρία», η οποία έχει προκύψει από τις εργασίες του Alexander Grothendieck, ενός από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του αιώνα που εργάστηκε στη Γαλλία. Θα μπορούσαμε όμως να αναφέρουμε και πολλούς άλλους τομείς που προήλθαν από την κατεδάφιση των παλιών φρουρίων. Ο Jean Dieudonne, ένα εγκυκλοπαιδικό πνεύμα και ένας από τους πατέρες-θεμελιωτές του Μπουρ-μπακί, σε ένα αμφιλεγόμενο άρθρο του που δημοσιεύτηκε πριν από μερικά χρόνια, έδωσε μια ταξινόμηση των διαφόρων κλάδων των σύγχρονων μαθηματικών, αντάξια του σουηδού φυσιοδίφη Λινναίου, κατατάσσοντας τους σε «κατηγορίες» φθίνουσας —κατά την άποψη του— αξίας.

Παρόλο που αυτή η εξειδίκευση προήλθε από μια τέτοια κατεδάφιση, είχε το συνηθισμένο σε τέτοιες καταστάσεις μειονέκτημα να ξανακλείνει κάθε νέο τομέα στον εαυτό του και να καθιστά δυσχερή, αν όχι αδύνατη, την επικοινωνία μεταξύ ερευνητών που δούλευαν προηγουμένως στους διάφορους τομείς. Βεβαίως, βλέπουμε να ανακύπτουν, σε αύξοντα αριθμό, νέα προβλήματα στο σημείο συνάντησης αυτών των τομέων, που μέχρι πριν από λίγο ήταν αυστηρά περιχαρακωμένοι. Έτσι, βλέπουμε να οργανώνεται σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο η συνεργασία μεταξύ ενός ειδικού της άλγε-


βρας, ενός ειδικού της ανάλυσης και ενός ειδικού της τοπολογίας. Το αντικείμενο μιας τέτοιας συνεργασίας είναι συχνά πολύ σημαντικές μαθηματικές εικασίες, που βρίσκονται στον πυρήνα της προόδου των μαθηματικών. Αν θέλει κανείς ένα καλό παράδειγμα, θα μπορούσαμε να επικαλεστούμε τις εργασίες σχετικά με τον «τύπο του δείκτη» (index formula), ο οποίος ενώ είναι σημαντικός στην ανάλυση βρίσκεται στην πραγματικότητα τοποθετημένος στη συνοριακή περιοχή μεταξύ ανάλυσης και τοπολογίας. Η επιτυχία αυτών των εργασιών οφείλεται στη συνεργασία πολλών ειδικών, στην ομαδική δουλειά. Έτσι λοιπόν, εδώ και σαράντα ή πενήντα χρόνια συσσωρεύονται παραδείγματα τέτοιων συλλογικών εργασιών, έστω και αν το ουσιώδες μέρος των μαθηματικών δραστηριοτήτων εξακολουθεί να αποτελείται από έρευνες που γίνονται κατά μόνας.

Όσο για τους υπολογισμούς, θα πρέπει να είμαστε σαφείς. Βεβαίως, δεν μπορεί να είναι κανείς μαθηματικός χωρίς να κάνει υπολογισμούς. Ένας μαθηματικός, από τη φύση και τον προορισμό του, δεν είναι δυνατό να τους αποφύγει. Ας συμφωνήσουμε όμως για το ποια είναι η σημασία αυτής της λέξης: ο μαθηματικός δεν κάνει μόνο αριθμητικούς ή αλγεβρικούς υπολογισμούς και υπολογισμούς για την επίλυση εξισώσεων, εν συντομία δηλαδή υπολογισμούς παρόμοιους με αυτούς που πραγματοποιεί και ένας μηχανικός. Οι υπολογισμοί του αναφέρονται σε αφηρημένα, γενικά αντικείμενα. Ακόμη, οι υπολογισμοί αυτοί γίνονται ολοένα περισσότερο αφηρημένοι και αναφέρονται σε αντικείμενα ολοένα περισσότερο γενικά: λειτουργώντας αφαιρετικά σε σχέση


με τους κανόνες υπολογισμού και τα αντικείμενα από τα οποία τροφοδοτούνται οι συνήθεις αριθμητικοί υπολογισμοί, επιτρέπουν την εγκαθίδρυση νέων σχέσεων ανάμεσα στα αντικείμενα υπό μορφή νέων θεωρημάτων (σε τούτο το στάδιο, οι υπολογισμοί δεν διαφοροποιούνται από μια διανοητική άσκηση). Θα δούμε στη συνέχεια ότι αυτή η αύξουσα αφαίρεση και γενίκευση σηματοδοτούν μια δυναμική κίνηση προς την ενοποίηση, τις φιλοσοφικές συνέπειες της οποίας οφείλουμε να σταθμίσουμε πολύ προσεκτικά.

Ουδείς λόγος υπάρχει λοιπόν να αρνηθούμε την ύπαρξη μιας αυθεντικής έρευνας στα μαθηματικά, η οποία έχει τα δικά της χαρακτηριστικά και σήμερα είναι εξαιρετικά ακμαία. Όχι μόνο μπορούμε να δείξουμε ότι αυξάνεται με ιδιαίτερα χαρακτηριστικό τρόπο ο αριθμός των δημοσιεύσεων, αλλά μπορούμε να πούμε ότι τα μαθηματικά υφίστανται κατά βάθος σημαντικές ανατροπές. Η εμφάνιση αυτών ακριβώς των ανατροπών ήταν το κίνητρο για την αναμόρφωση, ήδη από τη δεκαετία του 1960, της διδασκαλίας των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια και εν συνεχεία στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση. Αυτή η αναμόρφωση πήρε το όνομα «μοντέρνα μαθηματικά» και πέρασε πολλές παιδικές ασθένειες (επ' αυτού θα επανέλθουμε παρακάτω). Κατέστη αναγκαίο να εξασκηθεί το πνεύμα των μαθητών, ήδη από την πιο μικρή ηλικία, στη διανοητική γυμναστική που απαιτεί η έρευνα στα μαθηματικά και που είναι χρήσιμη σε πολλούς άλλους τομείς. Κάτι τέτοιο είναι δυνατό και υπογραμμίζεται από το γεγονός ότι σε μερικές ξένες χώρες, όπου το εκπαιδευτικό σύστημα το επιτρέπει, εμφανίζονται ε-


ξαιρετικοί μαθητές που ενίοτε αποκτούν το διδακτορικό τους πριν φτάσουν στη νόμιμη ηλικία: νά λοιπόν που το νεαρό της ηλικίας και η απουσία ωριμότητας δεν αποτελούν μειονεκτήματα για μια συγκεκριμένη μορφή μαθηματικής σκέψης.

Η ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Η μαθηματική έρευνα, αν θέλουμε να τη χαρακτηρίσουμε με γενικούς όρους, συνίσταται αφενός στην προσπάθεια να ανακαλυφθούν νέες σχέσεις ανάμεσα σε ήδη γνωστά μαθηματικά αντικείμενα και αφετέρου στην απόπειρα να φανταστεί κανείς καταστάσεις ή προβληματικές στις οποίες τα γνωστά αντικείμενα δεν επαρκούν για τη διατύπωση των προβλημάτων. Διακρίνουμε, βέβαια, ότι η πρώτη όψη μιας τέτοιας έρευνας αντιστοιχεί κατ' αρχάς σε μια εσωτερική εργασία των μαθηματικών πάνω στον εαυτό τους, η οποία παρακινείται από τις ίδιες δυσκολίες που τα εμποδίζουν να προχωρήσουν μπροστά. Με πάρα πολλά παραδείγματα θα μπορούσαμε να δείξουμε ότι αυτή η όψη της μαθηματικής εργασίας έχει ύψιστη σημασία. Το πιο φημισμένο παράδειγμα είναι στις μέρες μας, χωρίς αμφιβολία, εκείνο που αφορά τη θεωρία συνόλων, και το οποίο έδωσε τη δυνατότητα να διατυπωθεί, και να επιλυθεί, το «παράδοξο του Russell» (βλ. παρακάτω) στο Principia mathematica [Μαθηματικές αρχές], ένα έργο του ίδιου του Bertrand Russell γραμμένο στις αρχές του αιώνα σε συνεργασία με τον Alfred North Whitehead. Εδώ, μια εσωτερική απαίτηση ακρι-


βείας αντιπροσωπεύει το θεμελιώδες κίνητρο της έρευνας.

Η έρευνα στα μαθηματικά, όμως, μπορεί να αναπτυχθεί επίσης με την ώθηση που της δίνουν και άλλοι επιστημονικοί κλάδοι. Μπορούμε μάλιστα να πούμε ότι η φυσική διαδραμάτισε, και διαδραματίζει ακόμη, αποφασιστικό ρόλο για αυτήν την ανάπτυξη, μολονότι είναι δυνατό να σκεφτούμε και να ελπίσουμε ότι και άλλοι επιστημονικοί κλάδοι θα μπορέσουν να συμβάλουν προς αυτήν την κατεύθυνση στο άμεσο ή το απώτερο μέλλον. Ας αναλογιστούμε το μαθηματικό έργο του Νεύτωνα: γνωρίζουμε ότι το αφετηριακό πρόβλημα δεν αποτελούσε με κανέναν τρόπο ένα εσωτερικό ζήτημα στο πεδίο των μαθηματικών, αλλά ένα πρόβλημα της φυσικής. Στην προσπάθεια του να διατυπώσει ορθά τους νόμους της φυσικής, ο Νεύτων αντιλήφθηκε ότι ήταν αδύνατο να το κατορθώσει χωρίς ένα νέο μαθηματικό εργαλείο. Έτσι, αναγκάστηκε να επινοήσει τον διαφορικό λογισμό. Γενικότερα, η κλασική φυσική δημιούργησε την ανάγκη να διατυπωθούν πολυάριθμα μαθηματικά προβλήματα. Εξαιτίας της απουσίας ενός φορμαλισμού ικανού να επιλύσει το ένα ή το άλλο νέο πρόβλημα που ετίθετο στη φυσική, προέκυψε η ανάγκη να εμπλουτίζονται και να αναπτύσσονται διαρκώς τα μαθηματικά. Είναι προφανές ότι τέτοιες περιπτώσεις προκύπτουν συχνά, ακόμη και σήμερα.

Εκείνο όμως που γνωρίζουμε λιγότερο είναι ότι εδώ και μερικά χρόνια —οκτώ ή δέκα το πολύ— εμφανίστηκε ένας νέος τρόπος μαθηματικής σκέψης, που αντιστρέφει κατά κάποιον τρόπο το εγχείρημα. Αυτός ο τρό-

34 Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΏΚΩΝ

πος σκέψης δημιούργησε κάτι που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε —σε αντιδιαστολή με τον κλασικό όρο «μαθηματική φυσική»— «φυσική μαθηματική επιστήμη». Σύμφωνα με αυτόν τον τρόπο σκέψης, ο φορμαλισμός και οι μέθοδοι της φυσικής μάς βοηθούν να μελετήσουμε προβλήματα και να διατυπώσουμε αμιγώς μαθηματικές θεωρίες. Μπορούμε να πούμε ότι αυτή η καινοτομία έχει μέλλον και πρόκειται να συμβάλει στην κατάργηση των συνόρων ανάμεσα στη φυσική και τα μαθηματικά, που ήταν αρκετά σαφή από το τέλος του προηγούμενου αιώνα έως τις μέρες μας. Ήδη υπάρχουν πολλά παραδείγματα που δείχνουν πώς μπορεί κανείς να πραγματευτεί ένα μαθηματικό πρόβλημα με τη βοήθεια ενός φορμαλισμού δανεισμένου από τη φυσική, ή ακόμη πώς χρησιμοποιούνται οι τύποι της φυσικής για να αποδειχθούν μαθηματικά θεωρήματα. Ας δούμε ένα τέτοιο παράδειγμα, χωρίς φυσικά να υπεισέλθουμε σε τεχνικές λεπτομέρειες: η θεωρία πεδίου, η οποία είναι τόσο σημαντική για τη φυσική, εδραιώθηκε διά της προσφυγής στα μαθηματικά, γεγονός που επέτρεψε, για παράδειγμα, τον προσδιορισμό της κίνησης του ενός ή του άλλου σωματιδίου υπό δεδομένες συνθήκες, αλλά και πολλά άλλα πράγματα. Έχουμε εδώ να κάνουμε με την παραδοσιακή διαδρομή η οποία, στη σύγχρονη επιστήμη, οδηγεί από τη φυσική στη φυσική διαμέσου των μαθηματικών.

Νά όμως που σήμερα προσφεύγουμε στη θεωρία πεδίου προκειμένου να επιλύσουμε ορισμένα ζητήματα που προκύπτουν αποκλειστικά και μόνο από τα μαθηματικά, όπως εκείνα της θεωρίας των κόμβων (τοπολογική


ταξινόμηση των κόμβων και αναλλοίωτα που συνδέονται με αυτούς). Ακόμη, από τη θεωρία πεδίου αντλούμε έμπνευση προκειμένου να προαγάγουμε τις μαθηματικές θεωρίες, όπως εκείνη της άλγεβρας τελεστών. Επιλέγεται λοιπόν ο αντίστροφος δρόμος: από τα μαθηματικά στα μαθηματικά περνώντας μέσα από τη φυσική, έστω και αν πρόκειται βεβαίως για μια εξαιρετικά μαθηματι-κοποιημένη φυσική. Τα τελευταία μετάλλια Φιλντς, αρχής γενομένης από εκείνο του Alain Connes το 1982, εικονογραφούν πειστικά αυτήν τη νέα τάση.

Ένας άλλος τρόπος παρουσίασης με απλούς όρους της ίδιας κατάστασης είναι ο ακόλουθος: θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα μαθηματικά υποδιαιρούνταν ανέκαθεν σε δύο πολύ διαφορετικούς τύπους, οι οποίοι στο εσωτερικό των μαθηματικών αντιστοιχούσαν σε δύο ξεχωριστούς τρόπους σκέψης. Ο πρώτος τύπος αντιστοιχεί σε μια αναλυτική σκέψη που αναφέρεται στο συνεχές και διατηρεί προνομιακή σχέση με τη μηχανική. Ας θεωρήσουμε ότι πρόκειται για κάποιον «νευτώ-νειο» μαθηματικό ο οποίος, ξεκινώντας από διαφορικές εξισώσεις, μπορεί πάντοτε να φανταστεί ένα μηχανικό μοντέλο που αποτελεί το υπόστρωμα της σκέψης του. Από την άλλη πλευρά, ο μαθηματικός του δεύτερου τύπου δεν ασχολείται με το συνεχές , αλλά με το διακριτό, όπως συμβαίνει κυρίως στη θεωρία αριθμών. Θα άρμοζε να τον ονομάσουμε «πυθαγόρειο»; Τη μέριμνα για τη σχετική απόφαση θα την αφήσω στους ιστορικούς των επιστημών και σε ορισμένους φιλοσόφους που ενδιαφέρονται για αυτά τα ζητήματα. Σε κάθε περίπτωση όμως, η σκέψη ενός τέτοιου μαθηματικού δεν βρίσκει υπο-


στηρίγματα σε ένα μηχανικό μοντέλο. Έτσι εμφανίζεται «περισσότερο αφηρημένη» και απαιτεί νέες διαισθητικές ικανότητες, όταν θέλει κανείς να αποκτήσει μια εικόνα των φυσικών μοντέλων που θα μπορούσαν να ανταποκρίνονται σε εννοιολογικές επεξεργασίες του.

Βεβαίως, αυτοί οι δύο τρόποι σκέψης διατηρούσαν ανέκαθεν, ιστορικά, στενές σχέσεις. Δεν πρέπει να φανταστούμε μια παράδοση διασπασμένη σε δύο εντελώς ξεχωριστές «πορείες», μια σύγχρονη εκδοχή της παραδοσιακής διαίρεσης ανάμεσα σε άλγεβρα και ανάλυση, ή εκείνης (που ανάγεται στην αρχαιότητα) ανάμεσα σε αριθμητική και γεωμετρία. Εντούτοις, ο διαχωρισμός που προτείνω δεν μου φαίνεται να επιδέχεται αμφισβήτηση: πρόκειται για δύο βαθιές και επίμονες τάσεις της μαθηματικής σκέψης, και νομίζω ότι οι μαθηματικοί έχουν επιδείξει στην ιστορία ιδιαίτερα χαρίσματα, είτε στην καταγραφή του συνεχούς, είτε στην καταγραφή του διακριτού. Σήμερα, όμως, βλέπουμε αυτούς τους δύο τρόπους σκέψης να προσεγγίζουν ολοένα περισσότερο ο ένας τον άλλο.

Η ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

Είναι πιθανώς βολικό, για λόγους διδακτικούς, να υποδιαιρούνται τα μαθηματικά σε μείζονες περιοχές, οι οποίες στη συνέχεια υποδιαιρούνται και αυτές με τη σειρά τους σε άλλες. Θα ήταν όμως λάθος να θεωρήσει κανείς τις διαχωριστικές γραμμές ανάμεσα τους σχεδόν απαραβίαστες, όπως ήταν τα σύνορα που χώριζαν τις


γερμανικές από τις ρωμαϊκές διαλέκτους στο κέντρο της Δυτικής Ευρώπης, σύνορα που έμειναν σχεδόν αμετάβλητα από τον καιρό του Καρλομάγνου. Αντιθέτως, η πλειονότητα των ιδεών που αποδεικνύονται πιο γόνιμες και φυσικές για την πρόοδο των μαθηματικών είναι σε αύξοντα βαθμό εκείνες που εδράζονται συγχρόνως σε διάφορες γνωστικές περιοχές. Εκεί απλώνουν τις ρίζες τους και από εκεί τρέφονται, ενώ ενσωματώνουν αυτές τις περιοχές σε ένα είδος πολυκλαδικότητας στο εσωτερικό των μαθηματικών, η οποία υπερβαίνει κατά πολύ τα αντίστοιχα φαινόμενα που συναντάμε σε άλλες επιστήμες, ακόμη και στις τέχνες.

Η έννοια της ομάδας, με όλους τους μετασχηματισμούς που γνώρισε και γνωρίζει ακόμη, είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα της συμφιλίωσης των διαφόρων τρόπων σκέψης που αναφέραμε προηγουμένως. Ενώ προέρχεται από τη «διακριτή» σκέψη, εντούτοις η εσωτερική λογική εξέλιξης της μαθηματικής σκέψης την ανάγκασε να απλώσει ολοένα βαθύτερες ρίζες στα αρχεία του συνεχούς, και στη συνέχεια να αναπτυχθεί ταυτόχρονα και στα δύο επίπεδα, με το ένα να τροφοδοτεί το άλλο.

Χωρίς να υπεισέλθουμε προς το παρόν σε λεπτομέρειες, αναφέρουμε ότι η γενική έννοια της ομάδας, όπως την αντιλαμβανόμαστε σήμερα, έχει τις ρίζες της στο θαυμάσιο έργο του Evariste Galois (1811-1832) —της τελευταίας πρώιμης μαθηματικής ιδιοφυΐας της Γαλλίας—, το οποίο ήρθε στο φως το 1843 από τον Joseph Liouvil-le (1809-1882). Ο Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) και ο Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) είχαν μελετήσει τις


ομάδες μεταθέσεων, ενώ ο Camille Jordan (1838-1922) είχε δώσει τη μαθηματική διατύπωση της στο σημαντικό έργο του Theorie des substitutions et des aquations alga-briques [Θεωρία των αλγεβρικών εξισώσεων και αντικαταστάσεων] (1870). Όμως, αποφασιστικό ρόλο έπαιξε, κατά τη γνώμη μου, η επεξεργασία της θεωρίας των συνεχών ομάδων που την οφείλουμε στον νορβηγό μαθηματικό Marius Sophus Lie (1842-1899). Έκτοτε, η θεωρία αυτή φέρει το όνομα του, και μιλάμε για ομάδες Lie.

Μια ομάδα Lie είναι μια ομάδα μετασχηματισμών ενός συγκεκριμένου χώρου, η οποία ως επί το πλείστον λαμβάνει τη μορφή ομάδας πινάκων, που τα στοιχεία της εξαρτώνται από πολλές παραμέτρους. Για αυτήν την ομάδα αποκτά νόημα μια απειροστική πράξη το όριο της οποίας ονομάζεται άλγεβρα του Lie.

Η έννοια αυτή, μαζί με τις πολλαπλές γενικεύσεις της και τις μορφές (αναπαραστάσεις) των τελευταίων, είναι εγκατεστημένη σήμερα στον πυρήνα των μαθηματικών δραστηριοτήτων. Ενσωματώνει τη διαφορική γεωμετρία, την άλγεβρα, την ανάλυση, τη θεωρία μέτρου, την αλγεβρική τοπολογία, την αριθμητική, κ.λπ., και αποτελεί μια από τις βάσεις της μαθηματικής φυσικής. Για να μη μακρηγορούμε, τείνει να ενοποιήσει περιοχές και υποπεριοχές που αναπτύχθηκαν ξεχωριστά με εκπληκτικό τρόπο, εδώ και ενάμιση αιώνα.

Βλέπουμε λοιπόν υπό ποια έννοια δεν είναι καθόλου άχρηστο να μιλάμε για πρόοδο της γνώσης στη σύγχρονη μαθηματική έρευνα. Η πρόοδος αυτή, την οποία η απλή τυπολατρική, σχολαστική παρουσίαση των αποτελεσμάτων και των τύπων συγκαλύπτει στα μάτια ό-


σων δεν συμμετέχουν σ' αυτήν, προβάλλει στην πραγματικότητα πολύ καθαρότερα και σε όλο το βάθος της στο εννοιολογικό επίπεδο. Η πρόοδος αυτή είναι μάλιστα πολύ πιο απτή από εκείνη των άλλων επιστημονικών κλάδων, όπως της μοριακής βιολογίας λόγου χάρη, της οποίας τα επιτεύγματα όλοι ομοθύμως υμνούν, μολονότι από τον καιρό που παρήλθε η ωραία εποχή των Monod, Jacob και Lwoff διέρχεται μια σχετική θεωρητική στασιμότητα.

Αυτή η ενοποίηση είναι τόσο ισχυρή, ώστε είναι δυνατό να μιλάμε για τη «μαθηματική επιστήμη» (στον ενικό, όπως το έχω ήδη κάνει.) Αυτό εξάλλου υπαινισσόταν και ο Μπουρμπακί όταν επέλεξε ως τίτλο της πραγματείας του το Elements de mathematique [Στοιχεία μαθηματικής επιστήμης], αλλά και ο τρόπος με τον οποίο είναι διατεταγμένο το έργο αυτό (γραμμικά, όπου κάθε τμήμα βασίζεται σε εκείνο που προηγείται), αυτό ακριβώς υπογραμμίζει. Η ενότητα είναι μάλιστα ακόμη περισσότερο συμπαγής απ' ό,τι υπαινίσσεται η προσέγγιση τύπου Μπουρμπακί, διότι στη σημερινή μαθηματική επιστήμη οι σταυροειδείς δεσμοί ανάμεσα σε διάφορους τομείς αναπτύσσονται ακατάπαυστα, με πολλαπλασιαστικό αποτέλεσμα πάνω στις προόδους που προκύπτουν. Είναι κάπως σαν τις σταυροειδείς επενδύσεις στον χρηματοοικονομικό τομέα, οι οποίες συχνά αποβαίνουν πηγή οικονομικής προόδου.


Η ΠΡΟΟΔΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Η πρόοδος στα μαθηματικά, όμως, εμφανίζεται κάτω από μια ιδιόμορφη οπτική, επειδή πραγματοποιείται με δύο αρκετά διαφορετικούς τρόπους. Ο πρώτος συνίσταται στην επίλυση κλασικών προβλημάτων, ανεξάρτητα μάλιστα από το αν η προέλευση τους είναι «εσωτερική» ή «εξωτερική»: όταν ο μαθηματικός πατήσει το πόδι του στο έδαφος της μαθηματικής εργασίας, βρίσκει στην πραγματικότητα πάντοτε διάφορες εικασίες που έχουν προταθεί κατά το παρελθόν στη βάση μιας κλασικής θεωρίας, και οι οποίες περιμένουν ακόμη την επίλυση τους. Μπορεί να δοκιμάσει λοιπόν τις δυνάμεις του. Ό λες αυτές οι εικασίες δεν παρουσιάζουν, βέβαια, το ίδιο ενδιαφέρον με το θεώρημα του Fermat, αλλά συχνά μπορεί κανείς να μάθει πολλά από τέτοιες απόπειρες. Αυτούς τους μαθηματικούς θα τους ονομάζαμε στα αγγλικά problem-solvers, λύτες προβλημάτων: λύνουν προβλήματα τα οποία έχουν διατυπωθεί στη βάση θεωριών θεμελιωμένων από άλλους, και που παραμένουν έως τότε ανεπίλυτα.

Ουδείς λόγος υπάρχει να αγνοήσουμε ή να περιφρονήσουμε μια τέτοιου τύπου δραστηριότητα. Υπάρχει όμως και άλλος τρόπος για να προοδεύσουν τα μαθηματικά: συνίσταται στην κατασκευή νέων θεωριών (οπότε θα μιλήσουμε στα αγγλικά για theory-makers, δημιουργούς θεωρίας). Δεδομένου του κύρους που απολαμβάνει μια παρόμοια δραστηριότητα, θα πρέπει να είμαστε εξαιρετικά προσεκτικοί στο σημείο αυτό, διότι έχουν προκύψει πολλά κάλπικα προϊόντα· έχει τεθεί σε κυκλοφορία


πολύ «πλαστό χρήμα»! Η συνήθης διαδικασία πλαστογράφησης έχει ως εξής: παίρνουμε μια υπάρχουσα θεωρία και την καθιστούμε ασθενέστερη, για παράδειγμα αφαιρώντας ένα αξίωμα. Είδαμε να προκύπτει κάτι τέτοιο στη Γαλλία με την περίπτωση της θεωρίας ομάδων: υπήρξαν ερευνητές που υφάρπασαν εφήμερη δόξα, αρ-κούμενοι σε μια τέτοια εξασθένιση θεωριών δίκην καινοτομίας! Μια άλλη πολύ διαφορετική περίπτωση, που ούτε κι αυτή αντιπροσωπεύει μια γνήσια ανανέωση, βρίσκουμε αν εξετάσουμε τη θεωρία των κατηγοριών. Αυτή προσδίδει στα μαθηματικά μια πολύ ακριβή και αποτελεσματική γλώσσα, αλλά από μόνη της πολύ λίγα ενδιαφέροντα μαθηματικά αποτελέσματα παρήγαγε. Αντιθέτως, βλέπουμε να σχηματίζονται νέες θεωρίες, οι οποίες δεν παρουσιάζονται ως αποδυναμωμένες εκδοχές ήδη υπαρχουσών θεωριών και αποκαλύπτονται ιδιαίτερα γόνιμες, αφού με το να εντρυφούν σε ορισμένα φαινόμενα μας συνιστούν τη μελέτη νέων, άγνωστων έως τότε δομών.

Θα μπορούσαμε να αναφέρουμε ως πρόσφατο παράδειγμα τη θεωρία των μικροσυναρτήσεων που μας έρχεται από την ιαπωνική σχολή του Κυότο, η οποία διευθύνεται από τον καθηγητή Sato. Το γνωστότερο και παλαιότερο παράδειγμα της θεωρίας των κατανομών του Laurent Schwartz —που βρίσκεται στην ίδια τάξη ιδεών— ίσως λέει κάτι περισσότερο στον αναγνώστη. Ό ταν διατυπώθηκε, δεν ήταν ούτε τεχνητή, εκφυλιστική και περιττή εκλέπτυνση μιας προϋπάρχουσας θεωρίας, ούτε εργασία διασάφησης της μαθηματικής γλώσσας, αλλά ένας ορισμός δομών που εμπλούτιζαν τα μάθημα-


τικά και έδιναν τη δυνατότητα να σκεφτεί κανείς και να επιλύσει νέα προβλήματα. Ωστόσο, είναι δυνατό να βρεθεί αυτή η θεωρία σε λίγο-πολύ εμβρυϊκή μορφή σε θεωρητικούς φυσικούς όπως ο Paul Dirac, και σε ειδικούς στις μερικώς παραγωγίσιμες εξισώσεις όπως ο So-bolev, ενώ τα σοβαρά τοπολογικά προβλήματα που αναδεικνύει επιλύθηκαν από τον Alexander Grothendieck στη διδακτορική του διατριβή.

Η ακραία περίπτωση αυτού που εγώ θα ονόμαζα theory-maker αντιπροσωπεύεται από τον Rene Thorn. Το γεγονός ότι προκαλεί τα πάθη της αντιπαράθεσης, δεν οφείλεται μόνο στο ότι έχει το θάρρος να εκφράζει τις απόψεις του με ευθύτητα και δυναμισμό, ή στο ότι η γλώσσα που χρησιμοποιεί βρίθει γοητευτικών εκφράσεων ποιητικής χροιάς (η πεταλούδα, η πτυχή, η μαγεία ή... η καταστροφή). Οφείλεται στο ότι είναι ένα είδος theory-prophet, ένας προφήτης της θεωρίας: είχε την ιδιοφυΐα, όντας νέος μαθηματικός, να προβλέψει σε αδρές γραμμές την ανάπτυξη αυτού του πεδίου που ονομάζεται «διαφορική τοπολογία», και να εγκαθιδρύσει τις μαθηματικές βάσεις της. (Πρόκειται για μια περιοχή που είναι αφιερωμένη στη ολική μελέτη των διαφορίσι-μων πολλαπλοτήτων, η οποία είναι απολύτως μη ανα-γώγιμη στην τοπική μελέτη που βρίσκεται στη βάση της διαφορικής γεωμετρίας.) Μπόρεσε να εγκαινιάσει μια ολόκληρη περιοχή των σύγχρονων μαθηματικών και να την καλύψει εξ ολοκλήρου με το έργο του. Η ιδιοφυΐα του, όμως, δεν καταπιανόταν με τη λύση κλασικών προβλημάτων, και μάλιστα απεχθανόταν εξίσου την τεχνική επίλυση ακόμη και εκείνων των πρόβλημα-


των που αναδείκνυε για πρώτη φορά η ίδια η θεωρία του.

Μπορεί να ενοχλείται κανείς από το γεγονός ότι η δημόσια αναγνώριση του, συνεπικουρούμενη από τα μέσα μαζικής επικοινωνίας, ήλθε κατόπιν εορτής, πολύ μετά την εξαιρετικά παραγωγική περίοδο του κατά τη δεκαετία του 1950, και για λόγους που αφίστανται του μαθηματικού έργου του. Ο ίδιος ο Thorn το αναγνωρίζει χωρίς περιστροφές: η θεωρία των κασταστροφών δεν είναι μια μαθηματική θεωρία, ούτε βέβαια μια βιολογική ή οικονομική θεωρία, αλλά ένας αυθεντικά πρωτότυπος τρόπος σκέψης, για τον οποίο είναι πεπεισμένος ότι μπορεί να αποβεί γόνιμος σε διάφορους τομείς έρευνας, όπου ο περιρρέων θετικισμός συνέτριψε την επινοητικότητα. Λέγοντας και αποδεχόμενοι κάτι τέτοιο με επιφύλαξη, δεν πρέπει εντούτοις να λησμονούμε τη μείζονα σημασία του μαθηματικού έργου του Thorn.

Όποτε προκύπτει μια αυθεντική πρόοδος στη μαθηματική επιστήμη, αρχίζει στην πραγματικότητα ένας νέος τύπος σκέψης, ένας νέος τρόπος να βλέπουμε τα πράγματα. Από την άλλη πλευρά, μπορούμε να πούμε ότι εδώ και τριάντα χρόνια προέκυψαν τέτοιες γόνιμες ανακατατάξεις, και με αυτόν τον τρόπο δόθηκαν προς διερεύνηση μια σειρά καινοφανή προβλήματα.

Ας αναλογιστούμε για παράδειγμα τις εργασίες του Alexander Grothendieck, που συνεχίστηκαν από τον Pierre Deligne, του Gerd Faltings, εκείνες του Alain Connes και του Vaughan Jones, ή τα αποτελέσματα που συνήγαγε ο Michel Freedman το 1982 και ο Simon Donaldson το 1983 (για τα οποία έλαβαν το μετάλλιο Φιλ-


ντς το 1986) σχετικά με το χώρο τεσσάρων διαστάσεων, προϊόν νέων ιδεών που επεξεργάστηκαν από κοινού το-πολόγοι και φυσικοί.

Η πλειονότητα αυτών των τελευταίων παραδειγμάτων εικονογραφεί βεβαίως ένα νέο φαινόμενο, που υπογραμμίζει την ενότητα της επιστήμης των μαθηματικών: πώς, με την (κατά κανόνα μη ομολογούμενη και ατελή) υστεροβουλία τού να είναι κανείς problem-solver (στην περίπτωση προβλήματος που η λύση του διέφυγε από γενιές μαθηματικών), καταλήγει αναπόφευκτα να γίνει theory-maker.

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Χωρίς αμφιβολία, έχει κάποια χρησιμότητα να εξετάσουμε την πρόοδο που επιτελείται στη φυσική από κοινού με εκείνη που γνωρίζουν τα μαθηματικά, προκειμένου να ρίξουμε άπλετο φως στην ιδιαιτερότητα του μαθηματικού εγχειρήματος αυτού καθ' εαυτό.

Αν αναλογιστούμε πράγματι την πολύ θεαματική ανάπτυξη που γνώρισε η φυσική κατά τις αρχές του αιώνα μας, χωρίς να θέλουμε να υπεισέλθουμε σε ζητήματα ιστορικής προέλευσης των εννοιών και των θεωριών, δηλαδή στηριζόμενοι αποκλειστικά στα αποτελέσματα που προέκυψαν, τότε μπορούμε να πούμε ότι όταν περνάει κανείς από την κλασική στην κβαντική μηχανική, προσθέτει μια παράμετρο (τη σταθερά του Planck Λ). Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι «παραμορφώνουμε» την κλασική μηχανική προσθέτοντας αυτήν την παρά-


μέτρο που όταν είναι διάφορη του μηδενός αποτελεί μια σταθερά. Εκείνο που μας μαθαίνει πώς να ορίσουμε την τιμή της είναι το πείραμα: τότε εισερχόμαστε στην περιοχή της κβαντικής μηχανικής. Αν, αντιθέτως, δώσουμε σε αυτήν την παράμετρο την τιμή μηδέν, τότε επανακτούμε την κλασική μηχανική. Βεβαίως, οι ίδιες παρατηρήσεις είναι δυνατό να γίνουν και αναφορικά με την ειδική θεωρία της σχετικότητας: αν στην κλασική μηχανική προσθέσουμε την παράμετρο της ταχύτητας του φωτός c, τότε θα λάβουμε την ειδική θεωρία της σχετικότητας. Εάν, με αφετηρία την τελευταία, πούμε ότι η ταχύτητα του φωτός είναι άπειρη, και άρα ότι το Ι/c ισούται με το μηδέν, τότε βρίσκουμε ξανά την κλασική, μη σχετικιστική μηχανική.

Από αυτά τα δύο σημαντικά παραδείγματα προκύπτει ότι είμαστε σε θέση να πούμε εκ των υστέρων πως ο παλιός φορμαλισμός αντιπροσώπευε στην πραγματικότητα την προσέγγιση ενός νέου. Επομένως, ενώ ο νέος φορμαλισμός αποκαλύπτεται να έχει εφαρμογή σε ορισμένες διαστάσεις (η κβαντική μηχανική για πολύ μικρές αποστάσεις, η θεωρία της σχετικότητας για πολύ μεγάλες ταχύτητες), εντούτοις δεν ακυρώνει ολοκληρωτικά τον παλιό (όπως υπερβολικά συχνά και εσφαλμένα έχει υποστηριχθεί). Είναι πράγματι σαφές ότι οι παλιές θεωρίες διατηρούν εις το ακέραιο την ισχύ τους στις περιοχές διαστάσεων που τους προσιδιάζουν. Έτσι, καταλήγουμε να χρησιμοποιούμε σήμερα στη φυσική δύο τύπους θεωριών: αν, για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός δεδομένου συστήματος δεν είναι μεγάλη σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός, τότε μπορεί να εργαστεί κα-


νείς με τους νόμους της κλασικής μηχανικής. Αν, αντιθέτως, πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός, τότε θα πρέπει να γίνουν ορισμένες σχετικιστικές διορθώσεις. Ουδόλως μπορεί να ισχυριστεί κανείς ότι «εγκαταλείπει» την κλασική θεωρία, διότι απλώς προχωράει πέρα από αυτήν.

Τα πράγματα είναι κάπως διαφορετικά στα μαθηματικά. Τα νέα αντικείμενα που πραγματεύεται κανείς φέρνουν στο προσκήνιο νέες μαθηματικές ανάγκες. Και τα νέα θεωρήματα που αποδεικνύονται στη συνέχεια εμφανίζονται συχνά πιο «ισχυρά», πιο παντοδύναμα, διότι γενικεύουν τα παλιά. Τα παλιά μοιάζουν τότε με ειδικές περιπτώσεις των νέων, όπως συμβαίνει και στη φυσική. Ας γίνουμε περισσότερο ακριβολόγοι: η μαθηματική πρόοδος είναι πρόοδος προς μια αύξουσα αφαίρεση και γενικότητα των θεωρημάτων. Σε αυτήν τη διαδικασία, βρίσκουμε αυτόματα το θεώρημα που γνωρίζαμε προηγουμένως με την προσθήκη μιας επιπλέον υπόθεσης. Θα μπορούσαμε σχεδόν να πούμε ότι η πορεία της προόδου είναι συμμετρική με εκείνη που μπορέσαμε να διαπιστώσουμε στη φυσική.

Αυτή η γενίκευση μπορεί βεβαίως να διανοίξει ένα πεδίο αντικειμένων για το οποίο δεν υπάρχουν παλιά θεωρήματα (πράγμα που αποτελεί και την πλέον αναμφισβήτητη ένδειξη γονιμότητας του), εκτός από τις περιπτώσεις για τις οποίες είναι δυνατό να επανέλθει κανείς, με κάποιες επιπρόσθετες υποθέσεις σε ήδη αποδεδειγμένα θεωρήματα. Αλλά και εδώ ακόμη, δεν είναι δυνατό να πει κανείς ότι εγκαταλείπει τα παλιά μαθηματικά προκειμένου να κατασκευάσει νέα, έστω και αν αυτό δεν


ευχαριστεί τους φιλοσόφους που κινήθηκαν σε αυτήν την περιοχή στα τυφλά.

Θα πρέπει όμως να ολοκληρώσουμε αυτήν τη σύγκριση, αν θέλουμε να συλλάβουμε το νόημα των δυνατοτήτων που προσφέρονται σήμερα στην έρευνα και στους δύο τομείς. Αφότου παρήλθε η χρυσή εποχή των αρχών του αιώνα, στην οποιά είδαν το φως διαδοχικά η ειδική και η γενική θεωρία της σχετικότητας, και, τέλος, η ακόμη πιο ανατρεπτική θεωρία της κβαντικής μηχανικής, φαίνεται πως η φυσική δεν γνώρισε πλέον κάποια σημαντική θεωρητική επανάσταση.

Υπήρξαν βεβαίως πολλές επιτυχείς απόπειρες που σκοπό είχαν να συνθέσουν αυτές τις θεωρίες στο εσωτερικό της περιοχής που ονομάζεται «κβαντική θεωρία πεδίου»· κυρίως, πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι τούτο επιτεύχθηκε ουσιαστικά στην περίπτωση της «κβαντικής ηλεκτροδυναμικής». Η θεωρία αυτή επιτυγχάνει μια πλήρη σύνθεση ανάμεσα στην ειδική σχετικότητα και την κβαντική μηχανική, πραγματευόμενη (με την αυστηρότητα του φυσικού) το θεμελιώδες πρόβλημα των αλληλεπιδράσεων μεταξύ της μονάδας του φωτός (του φωτονίου) και του ηλεκτρονίου. Αυτή η θεωρία απέφερε το βραβείο Νόμπελ του 1965 στον Julian Schwinger, τον Richard Feynman και τον Sin-itiro Tomonaga, που την είχαν αναπτύξει ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο (ο καθένας με το δικό του στυλ) κατά τη δεκαετία του 1940. Θα πρέπει επίσης να μη λησμονούμε ότι, παρά την εξαιρετική ακρίβεια των προβλέψεων που γίνεται εφικτή με τούτη τη θεωρία, οι κανόνες υπολογισμών που εφαρμόζονται δεν είναι απολύτως ικανοποιητικοί από μαθη-


ματική άποψη. Και κυρίως, όσον αφορά την «κβάντωση των βαρυτικών πεδίων», αυτή η σύνθεση εξακολουθεί ακόμη να μην ευοδώνεται. Όλες οι ελπίδες έχουν μέχρι σήμερα διαψευσθεί, σε πείσμα των πολυειδών φορμαλισμών που αναπτύχθηκαν προκειμένου να αντιμετωπιστεί αυτό το πρόβλημα.

Μολονότι μπορεί να θεωρούμε λυπηρή αυτήν την κατάσταση σχετικής στασιμότητας, δεν θα πρέπει εντούτοις να μας εκπλήσσει: αν αντικρίσουμε την ιστορία της φυσικής, θα αντιληφθούμε ότι οι πρόοδοι της είχαν πάντα σημαδευτεί από ισχυρές ασυνέχειες.

Νομίζω πως αυτή η ασυνέχεια δεν είναι τυχαία, αλλά αντιθέτως συνδέεται με ένα ενδογενές χαρακτηριστικό της έρευνας σ' αυτόν τον τομέα. Πράγματι, η φυσική είναι μια επιστήμη που προοδεύει μόνο όταν συναντήσει κάποιο παράδοξο, όταν σκοντάψει σε ένα φαινόμενο που δεν μπορεί να το εξηγήσει με τις έννοιες και τις θεωρίες που διαθέτει τη στιγμή κατά την οποία το ανακαλύπτει. Ένα νέο, ανεξήγητο φαινόμενο διεγείρει τη σκέψη των φυσικών, προκαλώντας εν προκειμένω ένα κύμα πανικού στην κοινότητα, πράγμα που είδαμε να συμβαίνει πολλές φορές από τον προηγούμενο αιώνα. Τότε οι φυσικοί αναγκάζονται να αναμείνουν την επεξεργασία ενός νέου θεωρητικού πλαισίου, προκειμένου να ερμηνεύσουν αυτό το φαινόμενο. Νά λοιπόν ποια είναι η χαρακτηριστική πορεία που χαράσσουν οι μεγάλες πρόοδοι στη φυσική.

Η περίπτωση της κβαντικής μηχανικής είναι για μια ακόμη φορά πολύ διαφωτιστική. Οι φυσικοί αναγκάστηκαν να προχωρήσουν πιο πέρα, με αφετηρία το αί-


νιγμα που αποτέλεσε η ακτινοβολία του «μέλανος σώματος», η οποία ήταν απολύτως ανεξήγητη στο πλαίσιο της κλασικής φυσικής. Το μέλαν σώμα είναι ένα μοντέλο το οποίο, στην κλασική φυσική, ακτινοβολεί άπειρη ενέργεια, διότι συντίθεται από άπειρους ταλαντωτές που ακτινοβολούν την ίδια ενέργεια. Για να γίνει πεπερασμένη η ποσότητα ενέργειας που ακτινοβολείται από αυτό το μοντέλο απαιτείται η εισαγωγή της σταθεράς του Planck (h). Γνωρίζουμε ότι ο Max Planck αποστρεφόταν με οδύνη αυτήν την αναγκαιότητα: με την ανακάλυψη του ήρθε στην ημερήσια διάταξη μια βαθιά επανάσταση στη σκέψη, η οποία στη συνέχεια αναπτύχθηκε με τις εργασίες του Louis de Broglie πάνω στην «κυματική» μηχανική, του Niels Bohr στο «πλανητικό» μοντέλο του ατόμου που είχε ήδη προταθεί από τον Ernest Rutherford, και κατέληξε στην καθαυτό κβαντική μηχανική στα έργα του Werner Heisenberg, του Erwin Schrodinger και στη συνέχεια του Paul Dirac προς το τέλος της δεκαετίας του 1920.

Από την άλλη πλευρά θα πρέπει να δεχτούμε το ακόλουθο γεγονός: σήμερα δεν είμαστε σε θέση να καταγράψουμε «παράδοξα» φαινόμενα τέτοιας εμβέλειας, ακόμη κι αν αυτά υπάρχουν. Είναι αλήθεια ότι συσσωρεύουμε πειραματικά αποτελέσματα, ανακαλύπτουμε ακατάπαυστα νέα σωματίδια και προοδεύουμε στο φαινομενολογικό επίπεδο, αλλά εξακολουθεί να μην υπάρχει μια στέρεα και πλήρης θεωρία που να ερμηνεύει και να συσχετίζει όλα αυτά τα φαινόμενα. Για τις ισχυρές πυρηνικές αλληλεπιδράσεις, λόγου χάρη, δεν υπάρχει καμία συνεπής θεωρία. Σε μια τέτοια κατάσταση δεν υπάρχει στέ-


ρεα βάση για την καταγραφή της παρουσίας ή της απουσίας παραδόξου.

Σε άλλους τομείς (π.χ. στη φυσική της στερεάς κατάστασης) υπάρχουν σίγουρα αξιοσημείωτες πειραματικές ανακαλύψεις για τις οποίες δεν διαθέτουμε ακόμη θεωρητικό μοντέλο, όπως για παράδειγμα η υπεραγωγιμότητα (σχεδόν μηδενική ηλεκτρική αντίσταση) «υψηλών» θερμοκρασιών (υψηλότερων από το σημείο τήξης του αζώτου), για την οποία το 1987 απονεμήθηκε το βραβείο Νόμπελ σε δύο ερευνητές ενός μικρού εργαστηρίου της IBM στη Ζυρίχη. Το κλασικό μοντέλο της υπεραγωγιμότητας, που απέφερε το 1972 το βραβείο Νόμπελ στον John Bardeen, τον Leon Cooper και τον John Robert Schrieffer, ισχύει για θερμοκρασίες κοντά στο απόλυτο μηδέν. Όμως, αυτές οι ανακαλύψεις δεν φαίνεται να θέτουν ζητήματα αρχής. Ομοίως, το θεωρητικό πρόβλημα της ψυχρής σύντηξης (μιας σύντηξης παρόμοιας με εκείνη που συντελείται στον Ήλιο, αλλά σε θερμοκρασία περιβάλλοντος, σύντηξης πυρήνων ελαφρού ή βαρέος υδρογόνου σε πλέγμα παλλαδίου), που η εξαιρετικά αμφισβητούμενη πειραματική ανακάλυψη της κέρδισε μερικά πρωτοσέλιδα εδώ και δύο χρόνια περίπου, μπορεί να αντιμετωπιστεί με μοντέλα βασισμένα στην κβαντική θεωρία, όπως έδειξε πρόσφατα σε ένα άρθρο του ο θεμελιωτής της κβαντικής ηλεκτροδυναμικής Julian Schwinger.

Μπορεί να τίθενται εξόχως ενδιαφέροντα ζητήματα αναφορικά με την ενοποίηση των θεμελιωδών δυνάμεων, μπορεί να αναρωτιέται κανείς για φαινόμενα που δεν έχουν ακόμη εξηγηθεί (όπως η γένεση των σωματιδίων ή


το ότι αδυνατούμε, να παρατηρήσουμε τα υποτιθέμενα συστατικά τους, που ονομάζονται κουαρκ), αλλά σε καμιά περίπτωση δεν αποτελεί αντικείμενο διαμάχης η ίδια η κβαντική θεωρία. Μάλιστα, επιβεβαιώνεται διαρκώς από το πείραμα.

Εντούτοις, θα το επαναλάβω άλλη μια φορά: αυτό που πρέπει να περιμένουμε για να μάθουμε σε ποια νέα κατεύθυνση θα πρέπει να ψάξουμε στο μέλλον είναι μια τέτοια διαμάχη, κάποια αντίφαση. Ενόσω οι φυσικοί δεν βρίσκονται αντιμέτωποι με κάποιο παράδοξο, θα μπορούμε —πράγμα που κάνουμε και σήμερα— να πολλαπλασιάζουμε τα πλέον εξεζητημένα μαθηματικά μοντέλα, όπως συμβαίνει με τη θεωρία των «χορδών» και των «υπερχορδών» (που η σχέση τους με την πραγματικότητα είναι τουλάχιστον αμφίβολη), αλλά θα μένουμε στο επίπεδο των εικοτολογικών ασκήσεων. Την ημέρα που θα εμφανιστεί η αντίφαση, θα γνωρίζουμε ότι οφείλουμε να προβούμε σε μια γενίκευση, καθώς και προς ποια κατεύθυνση είναι προτιμότερο να το κάνουμε. Βεβαίως, η ανάπτυξη ορισμένων μαθηματικών μοντέλων είναι πιθανό να υποδείξει κάποιες ιδέες με τις οποίες μπορεί να προχωρήσουμε στη φυσική.

Η κατεύθυνση της προόδου στα μαθηματικά είναι ολότελα διαφορετική. Η πρόοδος αυτή εμφανίζεται στην πραγματικότητα πολύ πιο συνεχής, διότι δεν αναμένεται κάποιο παράδοξο για να κατευθύνει τη δραστηριότητα γενίκευσης. Αν δεχτούμε ότι η πρόοδος του συνόλου των επιστημών της φύσης ανταποκρίνεται εν δυνάμει, κατά το ουσιώδες μέρος της, στα χαρακτηριστικά που μόλις διατυπώσαμε αναφορικά με τη φυσική, τότε θα


μπορούσαμε να πούμε ότι τα μαθηματικά είναι μια «ξεχωριστή» επιστήμη. Πολλοί στοχαστές, μαθηματικοί, φιλόσοφοι ή επιστημολόγοι, προσπάθησαν να χαρακτηρίσουν αυτήν την πρόδηλη ιδιαιτερότητα. Μου φαίνεται ότι θα μπορέσουμε να συλλάβουμε αυτήν την ιδιαιτερότητα με τον πλέον προσήκοντα τρόπο διαμέσου της συνέχειας που σημαδεύει την ανάπτυξη των μαθηματικών.

Η ιστορία της θεωρίας συνόλων αποκαλύπτεται εξαιρετικά διδακτική σ' αυτό το σημείο. Φαίνεται να αντιφάσκει με τη θέση που υπερασπιστήκαμε εδώ, διότι βλέπουμε να αναδύεται ένα πολύ φημισμένο παράδοξο, το παράδοξο του Russell, στο οποίο έχουμε ήδη αναφερθεί και το οποίο υποχρέωσε τους θεωρητικούς να θεμελιώσουν αξιωματικά την έννοια του συνόλου και να γνωρίσουν τα όριά της: «το σύνολο όλων των συνόλων» είναι στην πραγματικότητα μια αντιφατική έννοια.

Το παράδοξο όμως δεν επιφέρει εδώ κάποια αλλαγή στην πορεία ανάπτυξης της έρευνας. Είναι αληθές ότι χρειάστηκε να επινοηθεί ένα νέο αξιωματικό σχήμα προκειμένου να αποδειχθούν με αυστηρότερο τρόπο ορισμένα θεωρήματα. Όμως αυτό το όφελος σε αυστηρότητα δεν άλλαξε κάτι το ουσιώδες, ούτε συνεισέφερε κάτι στο περιεχόμενο της εν λόγω θεωρίας συνόλων, την οποία συνεχίσαμε να χρησιμοποιούμε και να εμπλουτίζουμε όπως πριν.

Γενικότερα, ουδέποτε γνωρίσαμε στα μαθηματικά κάποια εννοιολογική επανάσταση που να μας ανάγκασε, όπως στη φυσική, να θεωρήσουμε την παλιά θεωρητική κατάσταση πραγμάτων μιας περιοχής ως προσέγγιση


της νέας σκέψης. Εν συντομία λοιπόν, στα μαθηματικά γενικεύουμε και ανανεώνουμε ολοένα περισσότερο, ενώ στη φυσική αλλάζουμε την περιοχή εφαρμογής των εννοιών «παραμορφώνοντας» προς την επιθυμητή κατεύθυνση τις παλιές θεωρίες.

Βιάζοντας λίγο τα πράγματα και με κίνδυνο να σκοντάψω σε αρκετές προκαταλήψεις της μιας ή της άλλης πλευράς, θα έλεγα ότι η μαθηματική σκέψη, που, ας μην το λησμονούμε, υπήρχε πολύ πριν η φυσική καθιερωθεί ως επιστήμη με την τρέχουσα έννοια του όρου, μοιάζει να βρίσκεται πλησιέστερα στη φιλοσοφική σκέψη παρά στη σκέψη των επιστημών της φύσης. Και ακόμη, η διεργασία της μαθηματικής δημιουργίας εμφανίζει ομοιότητες με εκείνη της καλλιτεχνικής δημιουργίας. Όμως, για να το κατανοήσουμε αυτό, πρέπει τώρα να εισέλθουμε αμεσότερα στο έδαφος όπου ευδοκιμεί ο δεσμός των μαθηματικών με τις άλλες επιστήμες.

II ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΚΑΙ 01 ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

Η αδιαμφισβήτητη αφαίρεση που διακρίνει τα μαθηματικά αντικείμενα πρέπει να εκτιμηθεί στην αυθεντική αξία της: πρόκειται για μια ενεργό και γόνιμη αφαίρεση, η οποία είναι ενίοτε προικισμένη με αισθητικό χαρακτήρα που μπροστά του ουδείς δύναται να παραμείνει ασυγκίνητος. Η γονιμότητα αυτή, όμως, ουδέποτε είναι εγγυημένη εκ των προτέρων, ενώ η συγκεκριμένη έκβαση μιας «καθαρής» μαθηματικής δημιουργίας μπορεί να αργήσει πολύ να προκύψει. Είναι επίσης δυνατό να γίνει απροσδόκητα, τότε που κανείς δεν την περιμένει, τότε που δεν αναμένεται πλέον.

Το πρώτο σφάλμα που πρέπει να αποφύγουμε αν θέλουμε να συλλάβουμε αυτόν τον εσωτερικό δυναμισμό της μαθηματικής σκέψης, την τόλμη και την ομορφιά της, είναι η αντίληψη ότι τα μαθηματικά αντικείμενα αποτελούν μόνο καρπούς απλών λογικών διεργασιών. Πολλοί φιλόσοφοι και μερικοί ονομαστοί μαθηματικοί έχουν προκαλέσει σύγχυση σε αυτό το σημείο από τις αρχές του αιώνα. Ας είμαστε ειλικρινείς: υπήρξε μια φιλοσοφική λογική που στις αρχές της ήταν συνδεδεμένη με τη μεταφυσική του Αριστοτέλη, και στη συνέχεια


υιοθετήθηκε και αναμορφώθηκε εκ βάθρων από μεγάλους στοχαστές όπως ο Καντ και ο Χέγκελ. Εγκαθιδρύθηκε επίσης και στη συνέχεια αναπτύχθηκε μια μαθηματική λογική που δεν μπορεί να ταυτιστεί με την πρώτη. Η λογική αυτή αποτελεί κλάδο των μαθηματικών, και συνεπώς ουδεμία δυνατότητα ή αρμοδιότητα διαθέτει για να παράσχει κάποιο υποτιθέμενο «θεμέλιο» στις μαθηματικές αφαιρέσεις, δεν διαδραματίζει το ρόλο λανθάνουσας κινητήριας δύναμης για την αλληλουχία τους. Είναι επίσης εξίσου μάταιο και χιμαιρικό να αναζητεί κανείς στη λογική κάποια a priori διασφάλιση για τη «δυνατότητα εφαρμογής» των μαθηματικών στον φυσικό κόσμο. Αντιθέτως, ύψιστο ενδιαφέρον παρουσιάζει η διατύπωση ερωτημάτων αναφορικά με την καθαυτό πορεία ανάπτυξης της και σχετικά με τους δεσμούς που η λογική μπορεί να διατηρεί με τους άλλους κλάδους των μαθηματικών. Συνεπώς, είναι ενδιαφέρον να εκτιμήσει κανείς τα προβλήματα επαφής που αναδεικνύουν οι σχέσεις τις οποίες μπορεί να διατηρεί η λογική με τον υπόλοιπο χώρο των μαθηματικών. Το ζήτημα αυτό αποδεικνύεται ακόμη πιο λεπτό, επειδή η λογική καταλαμβάνει μια ανακλαστική θέση αναφορικά με την ανάπτυξη των μαθηματικών: εμφανίζεται δεύτερη σε σχέση με τη δημιουργική αποδοτική εργασία τους που, κατ' ου-σίαν, προπορεύεται πάντοτε της λογικής.

Όσον αφορά την ανάπτυξη της, μπορούμε να πούμε ότι, αφού προέκυψε από τις εργασίες του Bertrand Russell, του Gottlob Frege, του Ludwig Wittgenstein και κάποιων άλλων, αποτέλεσε το στίβο δύο μεγάλων αλληλένδετων διανοητικών επαναστάσεων, οι οποίες ε-

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ AAA ΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ 57

ξάλλου είναι συνδεδεμένες με τα ονόματα του Kurt Go-del και του Paul Cohen.

Ο 20ός αιώνας άνοιξε για τη μαθηματική επιστήμη με το πολύ φιλόδοξο πρόγραμμα που ανακοινώθηκε από τον μαθηματικό του Πανεπιστημίου του Γκέτιγκεν, David Hubert (1862-1943), στους συναδέλφους του, κατά τη διάρκεια του Δεύτερου Διεθνούς Συνεδρίου των μαθηματικών, που διεξήχθη στο Παρίσι το καλοκαίρι του 1900. Η ανακοίνωση του, γνωστή στη συνέχεια με το όνομα το «πρόγραμμα Hilbert», είχε τον τίτλο: «Σχετικά με τα μελλοντικά προβλήματα των μαθηματικών». Το πρόγραμμα του Hubert επηρέασε βαθύτατα την ανάπτυξη των μαθηματικών επί σειρά δεκαετιών. Συμπυκνώνοντας το ουσιώδες στοιχείο της έμπνευσης που περιείχε, θα πούμε ότι το πρόγραμμα αυτό φιλοδοξούσε ρητά να εκφράσει όλα τα μαθηματικά σε μια τυπική γλώσσα. Σύμφωνα με αυτήν την άποψη, τα μαθηματικά είναι μια αμιγώς τυπική δραστηριότητα, και από μόνα τους δεν έχουν περισσότερη σημασία από όση μια παρτίδα σκάκι. Όταν ένας μαθηματικός πραγματοποιεί μια απόδειξη, χρησιμοποιεί τα αξιώματα και τη λογική.

Ο Hubert πίστευε πως η απλή ενορατική πρακτική, με τη χρήση συμβόλων και κανόνων, ήταν εκτεθειμένη σε σοβαρές πλάνες. Ζητούσε λοιπόν να αναλυθούν οι αποδείξεις, να καταστεί αντικειμενικό το παιχνίδι των τύπων μέσα σ' αυτές, πραγματοποιώντας αφαίρεση από το καθαυτό μαθηματικό νόημα τους. Σε τούτο το στόχο των «μεταμαθηματικών» στρατεύθηκαν πολλοί με ενθουσιασμό. Το 1931, όμως, ο νεαρός αυστριακός μαθηματικός Kurt Godel (1906-1978) έθεσε βάναυσα τέλος στο


όνειρο του Hubert. Απέδειξε σε ένα σύντομο άρθρο («Για τις τυπικά αναποκρίσιμες προτάσεις στο Principia mathematica και στα συναφή συστήματα I») ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί πως η αριθμητική είναι μη αντιφατική.

Αυτό το αξιοθαύμαστο κείμενο, που έπεσε σαν κεραυνός στον ουρανό των μαθηματικών, χρησιμοποιεί πολύ σύνθετες μαθηματικές τεχνικές, ώστε να μη μπορούμε να το παρουσιάσουμε εδώ. Ας κρατήσουμε μόνο το σημαντικότερο αποτέλεσμα του, για το οποίο χρησιμοποιούμε τον όρο «μη πληρότητα»: ο Godel απέδειξε με μαθηματικό τρόπο ότι κανένα σύστημα αξιωμάτων δεν είναι πλήρες, δηλαδή ότι σε κάθε σύστημα αξιωμάτων μπορεί να προστεθεί ένα άλλο αξίωμα, ανεξάρτητο από εκείνα του συστήματος και μη αντιφατικό με αυτά.

Όσο συγκλονιστική και αν είναι αυτή η απόδειξη, θα πρέπει να είμαστε συγκρατημένοι και να μην συναγάγουμε υπερβολικές προεκτάσεις αναφορικά με τα υποτιθέμενα όρια της «επιστημονικής γνώσης», ή τις ελλείψεις της σκέψης που δεν επιδέχονται θεραπεία. Πρόκειται για ένα ανέξοδο φιλοσοφείν, και μάλιστα φιλοσοφείν με τον χείριστο δυνατό τρόπο.

Η δεύτερη επανάσταση που γνώρισε η μαθηματική λογική έγινε πολύ αργότερα, το 1963, και αποτελεί έργο του Paul Cohen, καθηγητή μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ, ενός ειδικού της ανάλυσης που ενδιαφερόταν για τη λογική και είχε περάσει πολλά χρόνια μαζί με τον Godel στο Πρίνστον.

Ο Paul Cohen ανέσυρε ένα κλασικό πρόβλημα που είχε βασανίσει επί αιώνες εξέχουσες διάνοιες, όπως τον

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ 59

Γαλιλαίο, τον Carl Friedrich Gauss και τον Bernhard Bolzano: υπάρχει πληθικός αριθμός αυστηρά μεγαλύτερος από την αριθμήσιμη απειρία άλεφ-μηδέν των ακεραίων και αυστηρά μικρότερος από τον πληθικό της συνεχούς απειρίας των πραγματικών αριθμών (δύο εις την άλεφ-μηδέν ίσον άλεφ); Πράγματι, ο Georg Cantor (1845-1918), ο δημιουργός της θεωρίας συνόλων, είχε αποδείξει ότι το άλεφ είναι αυστηρά μεγαλύτερο από το άλεφ-μηδέν. Όμως παρέμενε αιωρούμενο το ερώτημα αν υπήρχε ή όχι ένα ενδιάμεσο άπειρο μεταξύ των ακεραίων και των πραγματικών. Η υπόθεση που είχε διατυπώσει ο Cantor (χωρίς να την αποδείξει), και σύμφωνα με την οποία στο σύνολο των πραγματικών αριθμών κάθε άπειρο υποσύνολο είναι είτε αριθμήσιμο είτε ισοδύναμο με τους πραγματικούς, είχε ονομαστεί «υπόθεση του συνεχούς». Κάθε απόπειρα που έγινε προκειμένου να επαληθευθεί ή να διαψευσθεί αυτή η υπόθεση είχε αποτύχει.

Ωστόσο, ο Paul Cohen έδειξε ότι η υπόθεση του συνεχούς είναι αναποκρίσιμη: όλα εξαρτώνται από το ποια εκδοχή αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων υιοθετείται. Αν, λόγου χάρη, αφετηρία είναι η συνήθης αριθμητική, που τα αξιώματα της τυποποιήθηκαν από τον μαθηματικό του Πανεπιστημίου του Τορίνο Giuseppe Peano (1858-1932), τότε είναι δυνατό να συμπληρωθεί αυτό το ασθενές σύστημα με μια οικογένεια μη αντιφατικών και ανεξάρτητων αξιωμάτων, για τα οποία αποδεικνύεται η υπόθεση του συνεχούς. Είναι όμως επίσης δυνατό να συμπληρωθεί με αξιώματα για τα οποία η υπόθεση είναι εσφαλμένη.


Πρόκειται για συνταρακτικά αποτελέσματα, από τα οποία δεν έχουν ακόμη συναχθεί όλες οι δυνατές φιλοσοφικές συνέπειες. Ποιες είναι όμως οι επιπτώσεις τους στη μαθηματική πρακτική καθ' εαυτή; Και γενικότερα, ποιος είναι ο αντίκτυπος των λογικών επεξεργασιών πάνω στους άλλους κλάδους των μαθηματικών;

Δεν πρόκειται να υιοθετήσω εδώ την ωμή, ή και σε-κταριστική, άποψη πολλών μαθηματικών που απαντούν πως η λογική δεν έχει καμιά χρησιμότητα γι 9 αυτούς και πως καταλαμβάνει θέση εξωτερική ως προς τις πραγματικές προόδους των μαθηματικών. Αντιθέτως, δεν είναι αδιάφορο να γνωρίζει κανείς αν ένα θεώρημα πάνω στο οποίο έχει εργαστεί κοπιαστικά είναι αποκρί-σιμο ή όχι! Θα πρέπει να προσθέσουμε ότι η λογική, εκτός από τη δυνατότητα που δίνει να αποσαφηνιστεί η μαθηματική γλώσσα, έχει επιπλέον αποφέρει πολλές νέες τεχνικές σε ορισμένους τομείς του αλγεβρικού λογισμού. Για παράδειγμα, έχει ανοίξει το δρόμο για τη λεγόμενη μη καθιερωμένη ανάλυση (non standard analysis) —όπου οι απείρως μικρές ή μεγάλες ποσότητες και τα πεπερασμένα μεγέθη αντιμετωπίζονται σε ίση βάση—, της οποίας όμως η θεωρητική σημασία δεν θα πρέπει να υπερεκτιμηθεί, όπως πρόσφατα συνέβη στη Γαλλία, χάρη σε ένα φαινόμενο μόδας που στη συνέχεια έγινε σχολή.

Απ' την άλλη μεριά, δεν μπορούμε να πούμε πως η λογική παρήγαγε ποτέ θεωρήματα που να συντάραξαν από τη βάση έως την κορυφή την ίδια τη μαθηματική δραστηριότητα. Είναι εξάλλου χαρακτηριστικό ότι το μετάλλιο Φιλντς ουδέποτε απενεμήθη σε έναν καθαρό


λογικολόγο (ο Paul Cohen το έλαβε βέβαια το 1966, αλλά δεν ήταν καθαρός λογικολόγος). Τελικά, φαίνεται πως δεν πρέπει να εναποθέσουμε σε αυτήν πολλές ελπίδες για το μέλλον των μαθηματικών, διότι, για λόγους αρχής, είναι ξένο προς αυτήν κάτι που αυθόρμητα θα ονόμαζα «αίσθηση αντικειμένου», δηλαδή το εγχείρημα εμβάθυνσης στο αντικείμενο.

Οι γενικεύσεις όμως στις οποίες προβαίνουν τα γόνιμα μαθηματικά καθοδηγούνται πάντοτε από τη μέριμνα να ανακαλυφθούν και να περιγραφούν νέες δομές που τίθενται στην υπηρεσία της έρευνας χάρη σε αυτήν την αίσθηση αντικειμένου, ενώ η λογική εξωτερικεύεται κατ' ουσίαν με μια συλλογιστική σχεδόν μηχανική, τυποποιημένη στο έπακρο, η οποία αναφέρεται σε αξιωματι-κώς θεμελιωμένα αντικείμενα με απόλυτα ορισμένους κανόνες λογισμού. Υπ' αυτήν την έννοια, είναι πρόγονος της πληροφορικής και συνεχίζει να συμβάλλει στην ανάπτυξη της.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

Μια άλλη συνθήκη που οφείλουμε να σεβαστούμε, αν θέλουμε να συλλάβουμε τη φύση της μαθηματικής αφαίρεσης, είναι να μη συγχέουμε καθόλου τη μαθηματική επιστήμη και την πληροφορική. Ωστόσο, η κοινωνική επιτυχία της πληροφορικής και το κύρος που απολαμβάνουν στα μέσα ενημέρωσης μερικοί αρχιερείς της που την προβάλλουν, εξωθούν σε μια παρόμοια σύγχυση.


Έτσι, λοιπόν, μολονότι η πληροφορική δεν ανήκει στον δικό μου τομέα έρευνας, πρέπει να πω δυο λόγια γι' αυτήν. Και εδώ είναι χρήσιμο να μην υποκύψουμε σε καμιά από τις συγκρουόμενες μανίες που έχουν διαιρέσει τον κόσμο της διανόησης: δεν είναι σωστό ούτε να αρνείται κανείς περιφρονητικά οποιοδήποτε θεωρητικό ενδιαφέρον στις εργασίες των ειδικών της πληροφορικής, ούτε βέβαια να τους απονέμει βιαστικά εύσημα επιστημονικής γονιμότητας. Για μια ακόμη φορά, αυτό που θέλουμε να κάνουμε είναι να εκτιμήσουμε τις επιπτώσεις των εργασιών αυτών στα μαθηματικά, εξετάζοντας το σύνολο των επινοητικών όψεων τους και διακριβώνοντας τη δική τους ιδιαίτερη ερευνητική συνεισφορά.

Πώς είναι δυνατό να αμφισβητήσει κανείς ότι μετά το 1976 η πληροφορική κατάφερε να έχει μια αποτελεσματική συμβολή στη λύση ανεπίλυτων μαθηματικών προβλημάτων; Πράγματι, το 1976 είναι η χρονολογία κατά την οποία επιτέλους βρέθηκε ουσιαστικά η λύση ενός από τα πλέον απελπιστικά μαθηματικά προβλήματα, εκείνου των τεσσάρων χρωμάτων. Και βέβαια θα πρέπει να παραδεχτούμε ότι μόνο η πληροφορική επέτρεψε να επιτευχθεί αυτός ο στόχος. Αυτό το πρόβλημα, που είναι εξαιρετικά απλό, είχε τεθεί στον διάσημο μαθηματικό Auguste de Morgan από ένα φοιτητή του το 1852: «Είναι δυνατό με μόνο τέσσερα (ή λιγότερα) χρώματα να χρωματιστεί ένας οποιοσδήποτε χάρτης, κατά τέτοιον τρόπο ώστε δύο περιοχές που συνορεύουν να μην έχουν ποτέ το ίδιο χρώμα;» Από τον William Rowan Hamilton έως τον Heinrich Heesch, αμέτρητοι εξέχοντες μάθημα-


τικοί έσπασαν το κεφάλι τους με κάτι που έμοιαζε με παιδικό παιχνίδι.

Δεν πρόκειται να παραθέσω εδώ την ταραγμένη ιστορία των αποτυχιών που διαδέχονταν η μια την άλλη για περισσότερο από έναν αιώνα. Η ειρωνεία της τύχης ήταν βέβαια ότι ο καθένας με τη σειρά του πίστεψε πως είχε βρει τη λύση, για να ανακαλύψει αμέσως ότι είχε απλώς προσθέσει ένα επιπλέον στοιχείο πολυπλοκότητας στο πρόβλημα. Ήταν δε τόσο μεγάλη η πολυπλοκότητα του προβλήματος, ώστε η απόδειξη που ολοκληρώθηκε σε έναν υπολογιστή IBM 360 στο Πανεπιστήμιο του Ιλλινόις, χάρη στην εργασία ενός ειδικού της πληροφορικής, του Jean Koch, στηρίζεται στην ανάλυση δύο χιλιάδων χαρτών και απαίτησε πολλές χιλιάδες ώρες υπολογισμών σ' αυτήν την πανίσχυρη μηχανή. Θα πρέπει εντούτοις να υπογραμμίσουμε ότι κατέστη δυνατό να αναχθεί το πρόβλημα στη μελέτη ενός πεπερασμένου αριθμού περιπτώσεων χάρη σε έναν μαθηματικό συλλογισμό, και κατόπιν οι περιπτώσεις αυτές εξετάστηκαν από τον υπολογιστή. Αν έπρεπε να γραφτεί το κείμενο της απόδειξης, δεν θα αρκούσε μία ανθρώπινη ζωή για να το διαβάσουμε!

Θα πει κανείς ότι η απόδειξη αυτή δεν άνοιξε νέα πεδία ερευνών στους μαθηματικούς, και ότι το περίφημο θεώρημα παραμένει —και θα παραμένει— ένα απλό αξιοπερίεργο στο οικοδόμημα των μαθηματικών. Πιθανόν. Αυτό δεν αλλάζει όμως το γεγονός ότι είναι πράγματι ένα πρόβλημα καθαρής μαθηματικής επιστήμης που λύθηκε κατ' αυτόν τον τρόπο.

Υπάρχει και άλλη αξιοσημείωτη περίπτωση που α-


ντιμετωπίστηκε εν μέρει με όμοιο τρόπο: πρόκειται για την ταξινόμηση των απλών πεπερασμένων ομάδων, που απαίτησε τη συνεργασία μιας εκατοντάδας ατόμων, και μπορεί να γίνει κατανοητή μόνο από έναν ειδικό υψηλού επιπέδου.

Να προσθέσουμε ακόμη ότι η πληροφορική έχει προφανώς πολλές ενδιαφέρουσες εφαρμογές και εγείρει συναρπαστικά ζητήματα, όπως εκείνο του ορίου υπολογισι-μότητας των υπολογιστών ή το σχεδιασμό μοντέλων ρομποτικών μηχανών. Φωτίζει επίσης καθαρά φιλοσοφικά ερωτήματα που είναι στο επίκεντρο ταραγμένων συζητήσεων εδώ και σχεδόν πενήντα χρόνια: είναι καταρχήν δυνατό να κατασκευαστεί μια μηχανή εξίσου «νοήμων» με τον άνθρωπο; Τότε όμως πώς πρέπει να οριστεί η νοημοσύνη; Και αν υποθέσουμε ότι είναι εφικτή η κατασκευή υπό οποιαδήποτε έννοια, είναι άραγε και επιθυμητή; Ένα άλλο ζήτημα, εξίσου σημαντικό στο πρακτικό επίπεδο, είναι εκείνο που σχετίζεται με την ίδια τη φύση της πληροφορικής. Πράγματι, οι μηχανές λειτουργούν στη βάση προγραμμάτων που βρίσκονται στο ένα ή το άλλο στάδιο, προγραμμάτων που έχουν γραφτεί από τον άνθρωπο, ο οποίος ελέγχει μόνο ατελώς τις βαθμίδες της υστερότερης χρησιμοποίησης τους. Όμως, ακόμη και ένα ελάχιστο λάθος δακτυλογράφησης, μπορεί να έχει απρόβλεπτες συνέπειες, ενώ το πλανάσθαι ανθρώπινον, για να μη μιλήσουμε για τους «ιούς», που μπορούν να δημιουργήσουν εμπλοκή στις μηχανές ή να σβήσουν τα δεδομένα στη μνήμη. Η επιστημονική φαντασία είχε προαγγείλει μηχανές που ο έλεγχος τους θα ξεφεύγει από τον άνθρωπο, αλλά το πρόβλημα αρχίζει να γίνεται πραγματικό.


Το ερώτημα όμως που μας ενδιαφέρει προς το παρόν είναι το ακόλουθο: πρόκειται άραγε για μια επιστήμη στην οποία θα μπορούσε να δοθεί το ίδιο επιστημολογικό κύρος με τα μαθηματικά; Ή μήπως, αντιθέτως, η ανάπτυξη της πληροφορικής οφείλεται αυστηρά στην ύπαρξη τεχνικών προβλημάτων; Μήπως είναι, όπως ενίοτε ισχυρίζονται μερικοί, μια απλή τεχνική που έχει την τάση να υφαρπάζει τον τίτλο της επιστήμης;

Πιστεύω ότι ουδείς δύναται να αμφισβητήσει την ύπαρξη μιας καθαυτό θεωρητικής πληροφορικής, έστω και αν αυτή η θεωρητική πρακτική δεν αποτελεί την πιο γνωστή ούτε και την πλέον διαδεδομένη όψη της εργασίας των ειδικών της πληροφορικής. Αυτή η θεωρητική πληροφορική εγκαινιάστηκε από τον Alan Turing (1912-1954), ενώ δεν θα πρέπει να ξεχνάμε ποτέ ότι οι «μηχανές του Turing», που τώρα πια είναι πασίγνωστες και δικαίως παρουσιάζονται ως πρόγονοι των υπολογιστών μας, δεν είχαν τίποτε το συγκεκριμένο ως αφετηρία. Ήταν κατ' αρχάς ένα αμιγώς θεωρητικό προϊόν των ερωτημάτων που έθεσε στον εαυτό του ο ιδιοφυής μαθηματικός λογικολόγος σχετικά με το πρόβλημα αποκρισιμότητας που είχε διατυπώσει ο Hubert. Είναι όμως αναμφίβολα πολύ νωρίς ακόμη για να αποφανθούμε σχετικά με την επιστημονική προοπτική αυτής της θεωρητικής πληροφορικής.

Αν σε μία δεκαετία από σήμερα δούμε να αναπτύσσονται εξαιρετικές μηχανές πληροφορικής οι οποίες θα είναι σε θέση να επιλύουν έναν αύξοντα αριθμό προβλημάτων που θα ανακύπτουν αλλά και θα έχουν γόνιμες ευρετικές επιπτώσεις στα μαθηματικά και τις άλλες


επιστήμες, τότε θα μπορούσαμε να δώσουμε θετική απάντηση στο ερώτημα. Διότι τελικά δεν υπάρχει λόγος για να μην πιστέψουμε ότι υπό αυτές τις συνθήκες η πληροφορική θα γίνει κάποτε η μεγάλη αντίπαλος της βιολογίας στη σχέση της με τα μαθηματικά, τροφοδοτώντας τα με προβλήματα, παράλληλα βέβαια με τη φυσική.

ΑΠΟ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ

Ας επανέλθουμε λοιπόν στις ίδιες τις μαθηματικές αφαιρέσεις και στις σχέσεις στενής συγγένειας, αλλά και πραγματικής διαφοράς που, όπως είδαμε, διατηρούν με τη σκέψη των φυσικών.

Υπερβολικά συχνά αρκεστήκαμε στη διατύπωση ότι τα μαθηματικά αντιπροσωπεύουν τη «γλώσσα της φυσικής». Τα μαθηματικά είναι, αναμφίβολα, υπό μια έννοια γλώσσα, αλλά καταρχήν είναι σκέψη, μια σκέψη από μόνη της επινοητική. Αποτελεί λοιπόν ακραία αναγω-γιστική αντίληψη το να τη μετατρέπουμε σε απλή «έκφραση», ή κάποιο λίγο-πολύ κομψό ένδυμα μιας σκέψης. Και μάλιστα μιας σκέψης που, αν ερμηνεύσουμε κυριολεκτικά αυτήν τη διατύπωση, προϋπήρχε αυτής και παραμένει εξωτερική προς αυτήν. Θα ήταν λοιπόν δικαιολογημένο να υποστηρίξει κανείς, για παράδειγμα, ότι το δυναμικό εγχείρημα μαθηματικής έμπνευσης που πραγματοποίησε ο Werner Heisenberg, προκειμένου να δώσει την πρώτη επιτυχημένη εκδοχή της κβαντικής


μηχανικής, συνοψίζεται σε μια εύστοχη διατύπωση; Όχι βέβαια! Η μαθηματική σκέψη του Heisenberg είναι συνδεδεμένη με τη φυσική σκέψη του, σε σημείο που γίνονται «σάρκα μία».

Εξίσου συχνά λέγεται ότι τα μαθηματικά δίνουν εννοιολογικά «εργαλεία» στη φυσική, πράγμα που σχεδόν έχει γίνει στερεότυπη έκφραση. Πράγματι, συχνά συμβαίνει οι φυσικοί να «εξυπηρετούνται» από τους μαθηματικούς. Μπορεί επίσης να αποφανθεί κανείς ότι η αποτελεσματικότητα αυτών των «εργαλείων», που έχουν σχηματιστεί χωρίς καμία προφανή σχέση με τη χρήση τους, είναι απολύτως αινιγματική, όπως έκανε ο κάτοχος του βραβείου Νόμπελ Eugene Wigner, ο οποίος το 1959 δεν δίστασε να μιλήσει για θαύμα σε μια διάσημη διατύπωση του («η παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες»).

Νομίζω πως πριν επικαλεστούμε υποθετικές δωρεές εξ ουρανού, δεν στερείται χρησιμότητας να στραφούμε προς την ιστορία. Βεβαίως, όσο τετριμμένη και αν μπορεί να θεωρηθεί αυτή η άποψη, εντούτοις πιστεύω πως δεν είναι δυνατό να αμφισβητηθεί ότι οι αφηρημένες μαθηματικές εμπνεύσεις που δημιουργήθηκαν από τη φαντασία των μαθηματικών είχαν ως αφετηρία φυσικά πρότυπα, ενώ λίγο ενδιαφέρει αν οι απαρχές αυτής της διαδικασίας τοποθετηθούν στην Αίγυπτο ή την Ελλάδα. Σε κάθε περίπτωση, δεν θεωρώ απορίας άξιο το γεγονός ότι τα μαθηματικά «προσαρμόστηκαν» στην κλασική φυσική.

Σήμερα, στο προσωρινό τέρμα αυτής της διαδικασίας, ξεκινάμε από μια προωθημένη μαθηματική επιστήμη με


υψηλό βαθμό αφαίρεσης, που διαμορφώθηκε, μεταδόθηκε και παγιώθηκε στην πορεία αύξουσας γενίκευσης, για την οποία ήδη μίλησα. Αυτές οι εκλεπτυσμένες μαθηματικές δομές, που σίγουρα μπορούν να χρησιμεύσουν στους φυσικούς ως «εργαλεία», αποδεικνύονται κατάλληλες για να μας υποβάλουν θεμελιώδεις νέες ιδέες για τον συγκεκριμένο κόσμο που μας περιβάλλει, είτε πρόκειται για την κλασική είτε για τη μικροσκοπική φυσική.

Πρέπει να μιλήσουμε για διαλεκτική; Υπάρχει πάντοτε μια συνολική διαδικασία δημιουργικότητας η οποία εμφανίζει ένα διαρκές «πηγαινέλα» που καμιά όψη του δεν πρέπει να αγνοηθεί: Οι φυσικοί της βασικής έρευνας ανακαλύπτουν ένα «φαινόμενο» στη βάση μιας προϋπάρχουσας θεωρίας. Αυτό το πειραματικό αποτέλεσμα θα γίνει αντικείμενο της εργασίας ενός «φαινομενολόγου» φυσικού, που θα αναζητήσει απλούς κανόνες για να το εξηγήσει. Στη συνέχεια θα ακολουθήσουν οι θεωρητικοί φυσικοί, που θα προσπαθήσουν να επεξεργαστούν ένα μηχανικό μοντέλο. Τέλος, αν είναι αναγκαίο, ένας μαθηματικός φυσικός θα αποφανθεί αν το μοντέλο είναι ή όχι συμβατό με τις απαιτήσεις της γενικής θεωρίας στην οποία αναφέρεται.

Αν κριθεί απαραίτητο να κατασκευαστεί μαθηματικά μια νέα θεωρία, τότε με βάση τα κατ9 αυτόν τον τρόπο εμπλουτισμένα μαθηματικά είναι δυνατό να συναχθούν νέα συμπεράσματα μέσω υπολογισμών, τα οποία θα συνιστούν πιθανώς τη διενέργεια νέων πειραμάτων. Και η διαδικασία θα αρχίσει πάλι από την αρχή, όταν ένα νέο πειραματικό δεδομένο θα απαιτήσει μια αναθεώρηση


της θεωρίας. Ένα θαυμάσιο σχετικό παράδειγμα βλέπουμε στην ιστορία της διερεύνησης του ατόμου του υδρογόνου: Όλα άρχισαν με την ανακάλυψη διακριτών φασματικών γραμμών αυτού του ατόμου, που προκάλεσαν μια «φαινομενολογική» μελέτη. Ύστερα ήρθε ο θεωρητικός Niels Bohr, που επεξεργάστηκε το «κβαντισμέ-νο» πρότυπο για τη δομή του ατόμου. Με τη συμβολή του Heisenberg παρακολουθούμε την παρέμβαση ενός μαθηματικού φυσικού που, χάρη στην ανάπτυξη του λογισμού των πινάκων, θεμελιώνει πραγματικά την κβαντική μηχανική, στο πλαίσιο της οποίας το έργο του Bohr βρίσκει οριστικά το νόημα του.

Αν αγνοήσουμε αυτήν την κίνηση του «πηγαινέλα», αν λησμονήσουμε την ιστορία που προϊόν της είναι οι μαθηματικές αφαιρέσεις μας, τότε κινδυνεύουμε να εμπλακούμε σε αρκετά παλαιά —ίσως απόλυτα σεβαστά, πλην όμως αναπάντητα φιλοσοφικά ζητήματα, του τύπου: οι «μαθηματικές ιδανικότητες» είναι άραγε κομμάτια ενός κόσμου που υπάρχει από μόνος του και που το πνεύμα τον ανακαλύπτει βήμα προς βήμα, όπως ο Πλάτων περιγράφει τον κόσμο των Ιδεών; Ή μήπως οι ιδανικότητες που παράγονται από τη δραστηριότητα των νευρώνων των μαθηματικών δεν είναι παρά οι εκφάνσεις της δομής του κεντρικού νευρικού συστήματος μας και ειδικότερα του εγκεφάλου μας;

Τα ερωτήματα αυτά βρίσκονται στην ημερήσια διάταξη για περισσότερο από δύο χιλιετίες, ενώ οι όροι με τους οποίους τίθενται δεν έχουν αλλάξει κατά βάση, παρά το γεγονός ότι οι πρόοδοι των μαθηματικών και της βιολογίας ανανεώνουν διαρκώς τον τρόπο διατύπω-


σής τους. Ένας διάλογος γύρω από αυτό το ζήτημα αποτελεί το αντικείμενο ενός πρόσφατου βιβλίου του Jean-Pierre Changeux και του Alain Connes. Ενώ ο πρώτος συγγραφέας υπογραμμίζει ιδιαίτερα το φιλοσοφικό πλαίσιο που υποδείξαμε πιο πάνω, ο δεύτερος έχει μια ενδιαφέρουσα συνεισφορά στο πρόβλημα που μας απασχολεί.

Με αυτό θέλουμε να πούμε ότι το πιο εντυπωσιακό ενδογενές χαρακτηριστικό των μαθηματικών είναι η επινοητική ισχύς που διαθέτουν. Ας σκεφτούμε, για παράδειγμα, τη θεωρία των πεπερασμένων σωμάτων: στην εξαιρετικά αφηρημένη βάση της μπορεί να αναπτυχθεί μια ολόκληρη γεωμετρία, η οποία προς το παρόν παραμένει στο επίπεδο μιας καθαρής εικοτολογίας. Μολονότι αυτό το παιχνίδι είναι συναρπαστικό, ουδεμία συγκεκριμένη εφαρμογή έχει βρει. Ωστόσο, ποιος μπορεί να πει ότι δεν πρόκειται να έχει κάποια εφαρμογή αύριο; Ας μη λησμονούμε ότι η ριμάνεια γεωμετρία —που επινοήθηκε από τον καθηγητή του Πανεπιστημίου του Γκέ-τιγκεν Georg Friedrich Riemann (1826-1866)— βρισκόταν για περισσότερο από μισό αιώνα σ' αυτήν την κατάσταση υψηλής και μη αποδίδουσας αφαίρεσης, έως ότου βρήκε τη συγκεκριμένη κατάληξη της στη φυσική , στη γενική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν!

Από αυτήν την άποψη, τα μαθηματικά αναπτύσσονται από μόνα τους χάρη σε ελεύθερες κατασκευές, ανεξάρτητες από κάθε φυσικό πρότυπο. Είναι λοιπόν ένας ιδιαίτερος τρόπος σκέψης, ένα καθεστώς έντονης και ιδιόμορφης διανοητικής δημιουργίας. Γι' αυτό ακριβώς, θα το πω άλλη μια φορά, μου φαίνεται εντελώς μειωτικό


και εσφαλμένο να τα θεωρεί κανείς απλό εργαλείο της φυσικής.

Θα ρωτήσει όμως κάποιος: πού βρίσκεται τότε το «σύνορο» ανάμεσα σε φυσική και μαθηματικά; Εγώ ο ίδιος είπα ότι τη σημερινή εποχή αυτό το σύνορο συγκαλύπτεται από την εμφάνιση της «φυσικής μαθηματικής επιστήμης». Αληθεύει, βεβαίως, ότι σήμερα διάφοροι φυσικοί φορμαλισμοί παρεμβαίνουν στη μαθηματική σκέψη για να της υποδείξουν όχι μόνο ερωτήματα, αλλά και μεθόδους και λύσεις, επιλύοντας κατ' αυτόν τον τρόπο «αμιγώς» μαθηματικά προβλήματα. Πιστεύω όμως πως η έκφραση που αναφέρεται σε κάποιο «σύνορο» δεν είναι η πλέον προσήκουσα, διότι αναπόφευκτα παραπέμπει στην ιδέα απολύτως οριοθετημένων επικρατειών πάνω στο χάρτη της γνώσης. Αν είμαστε όντως αναγκασμένοι να προβούμε σε διάκριση μεταξύ της σκέψης των φυσικών και εκείνης των μαθηματικών, τότε καλύτερα να επιχειρήσουμε αυτήν τη διάκριση με αναφορά στο στόχο, το τέλος, το σκοπό. Ένας ερευνητής που εργάζεται πάνω στις «θεωρίες βαθμίδας», είναι άραγε μαθηματικός ή φυσικός; Τα πάντα εξαρτώνται από το στόχο του.

Ας θυμίσουμε ότι οι θεωρίες βαθμίδας είναι θεωρίες φυσικών πεδίων που έχουν πολύ μεγάλη συμμετρία, και εξαρτώνται από μία ή περισσότερες τυχαίες συναρτήσεις, γεγονός που οφείλεται, για παράδειγμα, στη δυνατότητα που υπάρχει να τροποποιηθεί το δυναμικό ενός πεδίου με μια τυχαία συνάρτηση χωρίς να μεταβληθεί το δεδομένο ότι το πεδίο ικανοποιεί μια συγκεκριμένη εξίσωση. Τούτο συμβαίνει στην περίπτωση του ηλε-


κτρομαγνητικού πεδίου, λόγου χάρη. Μια παρόμοια θεωρία βρίσκεται στη βάση του λεγόμενου «ηλεκτρασθε-νούς» μοντέλου, για το οποίο απονεμήθηκε, το 1979, το βραβείο Νόμπελ στον Steven Weinberg, τον Abdus Sa-lam και τον Sheldon Glashow, ενώ πιστεύεται ότι όλα τα μοντέλα ενοποιημένων φυσικών πεδίων θα είναι αυτού του τύπου. Η μαθηματική διατύπωση αυτών των θεωριών επιστρατεύει έννοιες που τοποθετούνται στις περιοχές αιχμής της ανάπτυξης των μαθηματικών.

Γι' αυτό ακριβώς, θεωρώ αναγκαίο στο σημείο που βρισκόμαστε να είναι ο καθένας «δίγλωσσος»: φυσικός και μαθηματικός, μαθηματικός και φυσικός. Δηλαδή, πρέπει τουλάχιστον να κατανοεί τις δύο γλώσσες, και στην καλύτερη περίπτωση, βέβαια, να τις μιλά. Η τρέχουσα εξέλιξη της έρευνας καταδικάζει λίγο-πολύ μακροπρόθεσμα σε στειρότητα εκείνους τους μαθηματικούς που πιστεύουν ότι μπορούν να απομονωθούν στον υποτιθέμενο κλειστό τομέα των «καθαρών» μαθηματικών, χωρίς να ενδιαφέρονται για ό,τι συμβαίνει στη φυσική ή στις άλλες επιστήμες. Κανείς πια δεν μπορεί να αρκεστεί —όπως γινόταν έως πριν από λίγο— στο να λέει ότι τελικά αυτό που κάνει στα μαθηματικά θα αποκτήσει πιθανώς κάποτε τη χρησιμότητα του, όταν κάποιος φυσικός το ανακαλύψει και το χρησιμοποιήσει με επιτυχία. Ίσως τα πράγματα να γίνουν έτσι στην πραγματικότητα, αλλά η σύζευξη μεταξύ των δύο κλάδων έχει γίνει τόσο στενή, ώστε μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα αποκομίσουμε οφέλη από τη δουλειά των φυσικών, οφέλη που θα καταλήξουν στην ελεύθερη εργασία των καθαρών μαθηματικών.

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΏΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ 73

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΒΙΟΛΟΓΙΑ

Μπορούμε άραγε να ελπίζουμε ότι και άλλες επιστήμες θα αποκτήσουν με τα μαθηματικά μια παρόμοια σχέση συγγένειας, αν όχι ενότητας; Τα μαθηματικά θα αυξήσουν και θα επεκτείνουν ακόμη περισσότερο την «εξουσία» τους; Φαίνεται πως αυτό είναι από πολύ καιρό το όνειρο πολλών επιστημονικών κλάδων. Ανάμεσα τους, η βιολογία είναι με βεβαιότητα εκείνος ο κλάδος που έχει προσεγγίσει περισσότερο απ' όλους την πραγματοποίηση αυτού του ονείρου: η στατιστική εισήλθε δυναμικά εδώ με τις φημισμένες εργασίες του Γκρέγκορ Μέ-ντελ για την κατανομή και κληρονομική μετάδοση των χαρακτήρων, εκπλήσσοντας σε τέτοιο βαθμό τον επιστημονικό κόσμο της εποχής, ώστε ούτε τα πιο φωτεινά πνεύματα δεν κατόρθωσαν να συλλάβουν τη σπουδαιότητα της. Με τη θεμελίωση και στη συνέχεια την ανάπτυξη της μοριακής βιολογίας, καθώς και με την ακριβή γνώση που αποκτήθηκε σχετικά με τις κυτταρικές αλληλεπιδράσεις και τις δομές τους, έχει πραγματοποιηθεί ένα νέο βήμα προς τα εμπρός. Δεν πρέπει όμως να ισοπεδώνουμε τα πράγματα: απέχουμε ακόμη πολύ από την κατάσταση που κυριαρχεί στη φυσική. Άλλωστε, τίποτα δεν θα κερδίσουμε από βιαστικές και πρόωρες μαθηματικοποιήσεις, δηλαδή από επιφανειακά εγχειρήματα. Πράγματι, για όσο διάστημα οι βιολόγοι δεν θα μπορούν να ορίσουν επακριβώς αυτό που ονομάζουμε έμβιο σύστημα, μια τέτοια μαθηματικοποίηση, που θα παραμένει εξωτερική ως προς το αντικείμενο της, θα τείνει μάλλον προς τη μυθοποίηση.


Αυτές οι παρατηρήσεις έχουν ακόμη μεγαλύτερη αξία για τα έμβια συστήματα που είναι εφοδιασμένα με εγκέφαλο ικανό να λαμβάνει αποφάσεις. Ακόμη και αν διατηρούμε την ελπίδα μιας παρόμοιας προσέγγισης ανάμεσα σε μαθηματικά και βιολογία, υπάρχει εντούτοις ακόμη λόγος να διακρίνουμε ανάμεσα σε επιστήμες του έμβιου και του μη έμβιου κόσμου. Σε τι συνίσταται αυτή η διάκριση; Είναι προφανές ότι ότι τα έμβια συστήματα είναι πολύ πιο πολύπλοκα από εκείνα του φυσικού κόσμου. Παρά τις τεράστιες προόδους που έχουν πραγματοποιηθεί, δεν έχουμε ακόμη μια αρκετά λεπτομερή γνώση αυτής της πολυπλοκότητας, ώστε τα μαθηματικά να μπορέσουν να αναλάβουν δράση και να κατορθώσουν να γονιμοποιήσουν τη γνώση με κατάλληλους επινοητικούς φορμαλισμούς.

Θα πρέπει όμως να υπογραμμίσουμε ήδη από τώρα ένα σημείο που αφορά έρευνες με εμφανές μέλλον. Πρόκειται για τις σχέσεις που πρέπει να δημιουργηθούν ανάμεσα σε βιολογία και κβαντική μηχανική. Πράγματι, δεν είναι δυνατό να φανταστούμε ότι οι κβαντικές ιδιότητες της ατομικής ύλης δεν διαδραματίζουν κάποιο ρόλο στα βιολογικά συστήματα, διαμέσου των «δομικών λίθων» της ζωής, των μορίων του DNA και του RNA, (όπως άλλωστε συμβαίνει στη χημεία).

Όσον αφορά τον εγκέφαλο, γνωρίζουμε ότι ένα σημαντικό μαθηματικό μοντέλο (η διαφορική εξίσωση του νευρώνα) παρεμβάλλεται στις σύγχρονες έρευνες. Επιβάλλεται, λοιπόν, να χρησιμοποιήσουμε τις κβαντικές ιδιότητες της ύλης προκειμένου να κατανοήσουμε τις δομές των νευρωνικών κινήσεων και των αλληλεπιδρά-


σεών τους. Από την άλλη πλευρά όμως, για την ερμηνεία της κβαντικής μέτρησης εξωτερικών συστημάτων —μη έμβιας ύλης— ο Eugene Wigner είχε διατυπώσει τη θέση, ως προέκταση της φιλοσοφίας του Heisenberg, ότι αυτή η ερμηνεία είναι συνδεδεμένη με τις ιδιότητες του ανθρώπινου εγκεφάλου. Ένας ολόκληρος κλάδος της έρευνας στην τεχνητή νοημοσύνη συνίσταται, για παράδειγμα, στη δημιουργία νευρωνικών δικτύων, ικανών να προβαίνουν σε αναγνώριση μορφών. Αυτός είναι ο τρόπος με τον οποίο ο Leon Cooper (βραβείο Νόμπελ φυσικής το 1972 για τη θεωρία της υπεραγωγιμότητας) αντιμετώπισε επιτυχώς το ζήτημα της αναγνώρισης της γραφής.

Άλλες κατευθύνσεις έρευνας, ακόμη πιο πρωτότυπες, εγκαινιάστηκαν από τον Stanislaw Ulam (1909-1984). Απόφοιτος της πολωνικής μαθηματικής σχολής, που στη δεκαετία του 1930 ήταν συγκεντρωμένη γύρω από τον Banach στο Λβοφ, ο Ulam μετανάστευσε στις Ηνωμένες Πολιτείες κατά το τέλος του 1935 και συμμετείχε στο Manhattan Project στο Λος Άλαμος το 1943. Αυτό του έδωσε τη δυνατότητα να συνεργαστεί μεταξύ άλλων και με τον Enrico Fermi, να επινοήσει τη μέθοδο που ονόμασε Μόντε Κάρλο και να γίνει ο πραγματικός πατέρας της βόμβας υδρογόνου. Ο Ulam έθεσε το ακόλουθο ερώτημα: αντί να προσπαθεί κανείς να «εφαρμόσει» στη βιολογία υπάρχουσες μαθηματικές και φυσικές θεωρίες, δεν θα ήταν καλύτερο να επινοήσει νέα μαθηματικά μοντέλα που θα μπορούσαν να προσαρμοστούν καλύτερα στις ειδικές ανάγκες της βιολογίας; Πρότεινε, λόγου χάρη, να φανταστούμε νέους ορισμούς των μετρικών (των

76 Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑ ΘΗΜΑ Ή ΚΩ Ν

αποστάσεων), ώστε να λαμβάνονται υπόψη οι ιδιαίτερες ιδιότητες των βιολογικών μορίων.

Πρόκειται για πολύ ενδιαφέρουσες έρευνες που μας επιτρέπουν να ελπίζουμε σε σημαντικές προόδους στα χρόνια που έρχονται.

ΜΑΘΗΜΑΉΚΑ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

Όταν προσεγγίζει κανείς συλλογικά φαινόμενα, εκδηλώνεται εξίσου έντονα η ίδια ελπίδα, αλλά θα πρέπει να εκφράσουμε μια ακόμη πιο σταθερή επιφύλαξη. Το πιο διδακτικό παράδειγμα είναι σίγουρα εκείνο της οικονομίας, διότι σε αυτόν τον τομέα έχουν πραγματοποιηθεί σοβαρές απόπειρες μαθηματικοποίησης, για τις οποίες μπορούμε να συζητήσουμε σε στέρεες βάσεις. Όμως, τι έχουν κάνει οι οικονομολόγοι; Σύμφωνα με τον Paul Samuelson, δανείστηκαν κατ' ουσίαν τους νόμους της θερμοδυναμικής που διέπουν την εξέλιξη των φυσικών συστημάτων, μεταφέροντας τους στα δικά τους αντικείμενα. Αυτή η μεταφορά, που βαφτίστηκε «εφαρμογή», τους επέτρεψε να δώσουν ορισμούς της «συνάρτησης ωφελιμότητας», του «κεφαλαίου» κ.λπ. Έτσι, είδαμε να αναδύονται πολυάριθμα «μοντέλα» στη μικροοικονομία και στη μακροοικονομία. Οι απόπειρες αυτές προχώρησαν πολύ περισσότερο απ' ό,τι συχνά πιστεύουμε σήμερα. Χρησιμοποιείται ευρύτατα η μηχανική του Lagrange, δηλαδή η κλασική μηχανική στη συστηματοποιημένη μορφή της, και ο λογισμός των μεταβολών, σε μεγάλη έκταση. Ο γάλλος μαθηματικός Gerard Debreu του

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΑΑΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ 77

Πανεπιστημίου της Καλιφόρνιας, στο Μπέρκλεϋ, κέρδισε το βραβείο Νόμπελ για μια μαθηματική θεωρία της οικονομίας, ενώ ο ιταλός Franco Modigliani του MIT για την κατασκευή ενός μαθηματικού μοντέλου των χρηματοπιστωτικών αγορών. Έγινε επίσης απόπειρα να εφαρμοστεί η θεωρία καταστροφών του Rene Thorn σε φαινόμενα «ιδιομορφιών» σε αυτήν την περιοχή. Όμως, το ζήτημα του κατά πόσο τα μοντέλα αυτά έχουν κάποια επαληθευμένη σχέση με την πραγματικότητα παραμένει τουλάχιστον ανοιχτό. Δεν είναι άραγε ακόμη πολύ πρωτόγονα;

Πώς είναι δυνατό, για παράδειγμα, να μη σημειώσουμε ότι ψυχολογικοί παράγοντες που συνδέονται με τη συμπεριφορά των οικονομικών «φορέων» κλονίζουν την καθαρότητα και την αποτελεσματικότητα αυτών των μοντέλων; Νά, λοιπόν, κάτι που σίγουρα δεν διέφυγε από τους ειδικούς που προσπάθησαν να εφαρμόσουν τη θεωρία παιγνίων σε αυτήν τη συμπεριφορά, προκειμένου να μειώσουν τα διαταρακτικά φαινόμενα που προκαλεί. Προφανώς όμως, η θεωρία παιγνίων, η οποία είναι μια πανέμορφη μαθηματική θεωρία που θεμελιώθηκε το 1944 από τον John von Neumann και τον Oskar Mor-genstern, δεν αρκεί για να συλλάβει κανείς όλες τις παραμέτρους, διότι για λόγους αρχής οφείλει να υποθέσει πως το άτομο ακολουθεί κάθε στιγμή τη βέλτιστη στρατηγική που υπαγορεύει το συμφέρον του. Πράγμα που εμφανώς δεν συμβαίνει!

Η στατιστική μπορεί λοιπόν, χωρίς αμφιβολία, να διατηρήσει τη χρησιμότητα της ως μέσο επαλήθευσης ή επιβεβαίωσης ορισμένων υποθέσεων, είναι όμως ακό-


μη πολύ νωρίς για να εγκατασταθεί στην οικονομική επιστήμη μια πραγματική «εξουσία» των μαθηματικών, με τον τρόπο που έχει γίνει στη φυσική. Η κατάσταση είναι εδώ συγκρίσιμη με εκείνη της βιολογίας: τα συστήματα που επιθυμούμε να μαθηματικοποιήσουμε είναι υπερβολικά πολύπλοκα και εμπεριέχουν υπερβολικά πολλές παραμέτρους, ώστε δεν μπορούμε να τα κατανοήσουμε με ορθό τρόπο. Δεν αρκεί όμως να αποφανθεί κανείς ότι φταίει ο περιορισμένος αριθμός των παραμέτρων και να ξεκινήσει αμέσως το κυνήγι των «λανθα-νουσών παραμέτρων». Η κατάσταση είναι εδώ πολύ πιο σοβαρή: αφού έχουμε να κάνουμε με συστήματα όπου υπεισέρχονται όντα εφοδιασμένα με εγκέφαλο που μπορούν να έχουν πολλαπλότητα αποφάσεων, οι οποίες διαταράσσουν τον τρόπο λειτουργίας των συστημάτων, δεν γνωρίζουμε ακόμη πώς να τα αποδώσουμε εννοιολογικά. Έτσι λοιπόν, επειδή ουσιαστικά η ίδια η οικονομική θεωρία πάσχει από έλλειμμα εννοιολογικής απόδοσης, η αποτελεσματικότητα των μαθηματικών είναι προς το παρόν πολύ περιορισμένη σ' αυτόν τον τομέα. Θα καλυφθεί άραγε στα χρόνια που έρχονται αυτό το εννοιολογικό έλλειμμα; Έχουμε κάθε λόγο να ελπίζουμε. Τότε θα δούμε αν επαρκούν για το στόχο αυτό τα μαθηματικά όπως υπάρχουν σήμερα, ή αν χρειάζεται να αναπτυχθούν άλλοι τύποι μαθηματικών, άλλοι τρόποι σκέψης, προσαρμοσμένοι σε τούτες τις ειδικές μορφές αλληλεπίδρασης, οι οποίοι πιθανώς θα συμπληρώσουν και θα εμπλουτίσουν εκείνους που διαθέτουμε προς το παρόν.

Όσα μόλις παραθέσαμε σχετικά με την οικονομία,

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΑΑΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

μπορεί να ισχύουν και αναφορικά με το σύνολο των κοινωνικών επιστημών που «αλληθωρίζουν» προς τα μαθηματικά. Τα ίδια βασικά επιχειρήματα θα έδειχναν ταυτόχρονα ότι οι ελπίδες τους είναι δικαιολογημένες, αλλά και ότι οι αλαλαγμοί νίκης που ακούγονται είναι ακόμη πρόωροι.

I l l 01 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ

Η ΝΕΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Για τους μαθηματικούς λέγεται ότι, περισσότερο ακόμη και από τους άλλους επιστήμονες, μπορούν να είναι δημιουργικοί ως ερευνητές μόνο στην πρώτη νεότητα τους. Όπως είδαμε ακόμη και πρόσφατα, βρέθηκαν κάποιοι βιολόγοι που προσπάθησαν να στηρίξουν αυτήν την τρέχουσα αντίληψη πάνω σε δεδομένα που προέρχονται από την ανάπτυξη του κεντρικού νευρικού συστήματος και σε όσα αρχίζουμε να γνωρίζουμε για τη γήρανση του εγκεφάλου. Ωστόσο, παρά τις προόδους που επιτεύχθηκαν τα τελευταία χρόνια και τις προοπτικές που διανοίχθηκαν από τη νευροβιολογία της ανάπτυξης, οι γνώσεις αυτές παραμένουν ακόμη πολύ αποσπασματικές, και δεν μου φαίνεται ότι έχουν προσκομιστεί έως σήμερα αποδείξεις για συσχετισμούς ανάμεσα σε τούτο το κοινωνικό δεδομένο και σε κάποιο βιολογικό υπόβαθρο.

Αναμφισβήτητα, η ιστορία των μαθηματικών είναι πλούσια σε πρώιμες ιδιοφυΐες. Ο Evariste Galois, που το θαυμάσιο έργο του (το οποίο συνιστά αποφασιστική καμπή για τα σύγχρονα μαθηματικά) διακόπηκε τραγικά και ανόητα σε ηλικία είκοσι ετών, αποτελεί σίγουρα το


πιο εξέχον παράδειγμα. Όσο συναρπαστικές και αν φαίνονται όμως παρόμοιες περιπτώσεις, δεν θα πρέπει να μας κάνουν να λησμονούμε ότι υπάρχουν επίσης και αντίστροφα παραδείγματα. Έχουμε δει μαθηματικούς που η δημιουργικότητα τους αναπτύχθηκε με σχετική χρονική καθυστέρηση, ενώ σε άλλους η δημιουργικότητα της νιότης τους προεκτάθηκε και στην ωριμότητα.

Εντούτοις, ισχύει στατιστικά η παρατήρηση πως οι μεγάλες ανακαλύψεις επιτεύχθηκαν ή διαμορφώθηκαν ως επί το πλείστον προ της ηλικίας των τριάντα ετών. Η παρατήρηση ισχύει μάλιστα ακόμη περισσότερο για τη φυσική, σε αντίθεση με αυτό που πιστεύεται γενικώς. Εξάλλου, από καταστατική δέσμευση, το μετάλλιο Φιλ-ντς μπορεί να δοθεί μόνο σε μαθηματικό ηλικίας κάτω των σαράντα ετών (ενώ απονέμονται μόνο δύο έως τέσσερα σε κάθε Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών, που πραγματοποιείται κάθε τέσσερα χρόνια).

Ωστόσο, αν και θεωρώ ότι τα βιολογικά αίτια αυτού του φαινομένου δεν έχουν ακόμη αποδειχθεί αρκετά πειστικά για να μπορώ να τα επικαλεστώ, αντιθέτως ουδεμία αμφιβολία υπάρχει πια για τη συμβολή διανοητικών, θεσμικών και κοινωνικών παραγόντων. Αν η δημιουργικότητα, ιδιαίτερα στα μαθηματικά, συνίσταται στο να φανταστεί κανείς νέους αφηρημένους τρόπους σκέψης, τότε προϋποθέτει πράγματι κάποια τόλμη και —ας το πούμε— ιδιαίτερη ασέβεια απέναντι στην παράδοση* αυτά τα δύο χάνονται με την πάροδο της ηλικίας, δηλαδή εν προκειμένω όχι με κάποια προϊούσα νωθρότητα των νευρώνων, αλλά με την άνοδο στη σταδιοδρομία. Οι προϋποθέσεις μιας επινοητικότητας που απαιτεί

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ 83

ένταση και ενάργεια πνευματική είναι το να μην υποκλίνεται κανείς μπροστά στην αυθεντία, να μην κάμπτεται κάτω από το βάρος μιας καθαγιασμένης γνώσης.

Σε τούτο θα πρέπει να προσθέσουμε ότι η σύγχρονη οργάνωση της επιστήμης, ο θεσμικός και κοινωνικός τρόπος ύπαρξης της, σύντομα οδηγεί τους επιστήμονες σε ανάληψη διοικητικών ευθυνών και καθηκόντων διαχείρισης, ή ακόμη τους εξωθεί στο να χρησιμοποιούν ή τουλάχιστον να προάγουν τις έρευνες των άλλων παρά να συνεχίζουν τις δικές τους. Έτσι, πολλές ακαδημαϊκές κορυφές ζουν από την εργασία των μαθητών τους και από τις διατριβές που επιβλέπουν. Κατ' αυτόν τον τρόπο οι ίδιοι είναι χαμένοι για την έρευνα.

Πώς μπορούν λοιπόν να εκπαιδευτούν και να εκγυμναστούν επινοητικοί νέοι μαθηματικοί; Το ερώτημα δεν είναι εύκολο, διότι, αν λάβουμε σοβαρά υπόψη τα όσα μόλις είπαμε, θα πρέπει ουσιαστικά να αφήσουμε να ανθήσει ένα πνεύμα εξέγερσης, να διατηρήσουμε κάποια μορφή ευκινησίας, προσφέροντας του ταυτοχρόνως τα μέσα για να είναι δημιουργικό. Οι διεργασίες «εκπαίδευσης», όπως τις αντιλαμβανόμαστε και τις ασκούμε συνήθως, ουδόλως προσφέρονται —θα πρέπει να το παραδεχτούμε— για τέτοιους πειραματισμούς, επειδή ως επί το πλείστον επικεντρώνουν την προσοχή τους στη μετάδοση της αποκτηθείσας γνώσης και την εκγύμναση σε δοκιμασμένες μεθόδους. Όταν μάλιστα οι διεργασίες αυτές προσλαμβάνουν τη μορφή ενός αγώνα δρόμου μετ' εμποδίων όπου ο ανταγωνισμός γίνεται όλο και πιο αμείλικτος, τότε κατανοούμε ότι έτσι δεν ενθαρρύνεται κανείς να απομακρυνθεί από την πε-


πατημένη. Η πιο ακραία περίπτωση είναι χωρίς αμφιβολία εκείνη της σημερινής Ιαπωνίας: η ποιότητα της μαθηματικής σχολής της (ενώ είναι πολύ καλή) είναι εντελώς άσχετη με την εξαιρετική οικονομική ισχύ της και με τον πληθυσμό, πράγμα που οφείλεται εν μέρει στο υπερβολικά άκαμπτο εκπαιδευτικό σύστημα της.

ΤΑ ΛΑΘΗ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΜΠΟΥΡΜΠΑΚΙ

Το ζήτημα είναι ακόμη πιο ακανθώδες επειδή αντιμετωπίστηκε για πολύ καιρό με εσφαλμένο τρόπο, υπό την επιρροή της γαλλικής σχολής των μαθηματικών, εκείνης του Μπουρμπακί. Η σχολή αυτή, που το κύρος της ήταν τεράστιο σε όλο τον κόσμο, υπεραμυνόταν, όπως έχω πει, μιας φορμαλιστικής αντίληψης για την επιστήμη. Όπως ήταν αναμενόμενο, συνοδεύτηκε από παιδαγωγικές πρακτικές που αναντίρρητα είχαν καταστροφικές συνέπειες σε πολλές γενιές σπουδαστών και ερευνητών. Έχω υποδείξει παραπάνω ότι αυτές οι επιπτώσεις δεν έμειναν περιορισμένες στην ανώτατη παιδεία και την εκγύμναση των ερευνητών, αλλά άγγιξαν και τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, ευνοώντας την προβολή των μαθηματικών ως ενός μηχανισμού επιλογής, μιας επιλογής αυθαίρετης και παράλογης. Ας μην ξεχνάμε άλλωστε ότι ο ίδιος ρόλος αποδίδεται στα μαθηματικά ακόμη και σήμερα.

Κάτω από την επίδραση της σχολής Μπουρμπακί, ζητήθηκε —εσφαλμένα— από νέους ανθρώπους που εμφάνιζαν κάποιο ιδιαίτερο ταλέντο στα μαθηματικά, να

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΉΚΟΙ 85

προσανατολίσουν κατ' αρχάς τις προσπάθειες τους στη διεύρυνση των γνώσεων τους. Τους ζητήθηκε να διαβάσουν τεράστιους όγκους βιβλιογραφίας, τους εξανάγκασαν να αποκτήσουν τον αυστηρότερο δυνατό τρόπο διανοητικής προσέγγισης των προβλημάτων. Εκπληκτικό παράδοξο, εφόσον πρόκειται για επιστημονική έρευνα: δεν τους αναγνωρίστηκε το δικαίωμα στο σφάλμα, ούτε καν στην προσέγγιση της αλήθειας! Δεν μπορούμε βεβαίως να καταδικάσουμε την εκγύμναση στην επιστημονική αυστηρότητα. Όταν όμως η προσέγγιση που διδάσκει κανείς ακολουθεί ακλόνητα ένα σχήμα, τη μετάβαση από το γενικότερο στο ειδικό, όπως συνέβαινε έως πριν από μία δεκαετία περίπου, τότε η μελέτη των μαθηματικών καταλήγει να γίνει μια καθαρά ταλ-μουδική άσκηση. Τότε στερεύει και η πιο ζωντανή φαντασία. Αλλά εγώ θα το επαναλάβω: αυτό που μετράει για την πρόοδο των μαθηματικών, αυτό που αποτελεί το πιο πολύτιμο αγαθό, είναι η φαντασία. Η έρευνα άλλωστε πραγματοποιείται συνήθως από το ειδικό στο γενικό.

Η αποτυχία της ιδεολογίας του Μπουρμπακί, από αυτήν την άποψη, έχει σήμερα αναγνωριστεί παγκοσμίως, ακόμη και στη Γαλλία. Στους νέους ερευνητές δεν επιβάλλεται πλέον η εγκυκλοπαιδική οδός, στην οποία επί μακρόν είχαν παραπλανητικά οδηγηθεί. Ποιες είναι λοιπόν οι φυσικές οδοί που θα πρέπει να τους ανοίξουμε; Θα έλεγα χωρίς δισταγμό: η αντίθετη οδός, εκείνη που αποκαθιστά το ίδιο το εγχείρημα της δημιουργικότητας στα μαθηματικά. Αντί να δίνεται στην αρχή μια γενική δομή, και τα παραδείγματα να εμφανίζονται μόνο


ως ειδικές εφαρμογές αυτής της δομής, είναι χρήσιμο να ξεκινήσει κανείς από παραδείγματα, και στη συνέχεια να εμβαθύνει σ' αυτά, πράγμα που ήδη από καιρό συμβαίνει στις Ηνωμένες Πολιτείες. Μόνο στη βάση της επεξεργασίας παραδειγμάτων μπορεί να επιχειρήσει κανείς να δει ποια γενική δομή είναι δυνατό να οικοδομηθεί, ποια δομή θα τους ταίριαζε.

Το πλεονέκτημα ενός τέτοιου «ανοιχτού» εγχειρήματος γίνεται αμέσως σαφές. Αντί να ευνοεί την επιλογή ταλέντων που είναι απλώς ικανά να αφομοιώνουν γνώσεις, να τις συντονίζουν και να τις εφαρμόζουν, χωρίς όμως να διαθέτουν πραγματική δημιουργική ικανότητα, θα επιτρέψει να εκφραστούν τα διάφορα ταλέντα και να επιτύχουν στον τομέα που τους ταιριάζει καλύτερα.

Οι παρατηρήσεις αυτές προβάλλονται από ένα σχετικά απλό παράδειγμα. Υπάρχει ένας τομέας των μαθηματικών που συγκροτείται από τη μελέτη αυτού που ονομάζεται «διανυσματικοί τοπολογικοί χώροι». Η γαλλική μέθοδος διδασκαλίας συνίστατο για πολύ καιρό στο να κάνει προκαταρκτικά μια πλήρη περιήγηση της γενικής θεωρίας του διανυσματικού τοπολογικού χώρου —η οποία είναι, από μαθηματική άποψη, μια αρκετά στεγνή θεωρία—, και κατόπιν να μελετά περιπτώσεις ολοένα ειδικότερες, εκείνες των χώρων Banach και στη συνέχεια των χώρων Hubert. Το αντίστροφο εγχείρημα συνίσταται στο να ξεκινήσει κανείς από αυτό που χαρακτηρίζεται ως «χώρος του Hilbert», που, αν και είναι μια αρκετά ειδική περίπτωση, περιέχει μια σημαντική σειρά ενδιαφερουσών ιδιοτήτων, για να περάσει κατόπιν στη γενική θεωρία. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα


χώρου Hubert είναι εκείνο όλων των συναρτήσεων που το τετράγωνο της απόλυτης τιμής τους έχει πεπερασμένο ολοκλήρωμα. Ο χώρος αυτός διαθέτει εσωτερικό γινόμενο που ορίζεται από το ολοκλήρωμα του γινομένου δύο συναρτήσεων.

Εδώ βρίσκονται αντιμέτωπες δύο αντίθετες αντιλήψεις για τη μαθηματική πρακτική: η μια μαρτυρεί φετιχιστικό σεβασμό προς τις γενικές δομές και ευλάβεια μπροστά στην τυπική ομορφιά τους, και η άλλη διαπιστώνει ότι η ρώμη και ο πλούτος της μαθηματικής σκέψης εκδηλώνονται στις ειδικές περιπτώσεις, στις περιπτώσεις με τη μεγαλύτερη δυσκολία. Το δημιουργικό μαθηματικό εγχείρημα αρχίζει, είτε το θέλουμε είτε όχι, από παραδείγματα και προχωρά με προσπάθειες να διατυπωθούν τα σχετικά θεωρήματα.

Υπ' αυτές τις συνθήκες κατανοούμε ότι τα μαθηματικά μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο πραγματικού πάθους από την πλευρά εκείνων που τους αφοσιώνονται. Το πάθος αυτό, που συχνά προκαλεί την απορία και ενίοτε την ειρωνεία, αν όχι το σαρκασμό, των αμύητων, εξωτερικεύει χωρίς δισταγμό τα κίνητρα του με όρους αισθητικής: ποιος δεν έχει ακούσει κάποιο μαθηματικό να μιλά για ένα «ωραίο» θεώρημα ή για μια «κομψή» απόδειξη; Σε σχέση με αυτές τις εκφράσεις έχουν διατυπωθεί αρκετές φιλοσοφικές εικοτολογίες, με καλή λί-γο-πολύ προαίρεση. Όμως, ακόμη και όταν εγώ ο ίδιος τυχαίνει να χρησιμοποιήσω εν τη ρύμη του λόγου ένα τέτοιο λεξιλόγιο, δεν είμαι βέβαιος ότι είναι επιτυχής η εκλογή. Θα πρέπει να αναρωτηθεί κανείς σοβαρά για το τι είναι αυτό που ονομάζει «ωραίο» θεώρημα, πριν σπεύ-


σει να κάνει παραλληλισμούς με την τέχνη ώστε να χαιρετίσει επιτέλους φιλοσοφικά την ένωση τους στο στοιχείο μιας ποιότητας («το Ωραίο») που αναγορεύεται παγκόσμιο, καθολικό!

Θα μου επιτραπεί να επικαλεστώ ένα συμβάν από την προσωπική μου πείρα. Έτυχε να διδάξω επί ένα έτος στο Πανεπιστήμιο του Κυότο. Ποτέ όμως δεν άκουσα ιάπωνα μαθηματικό να χρησιμοποιεί λεξιλόγιο αισθητικής, όπως συνηθίζεται μεταξύ μας. Αυτό το δευτερεύον συμβάν επιτρέπει, νομίζω, να διατυπώσω μια υπόθεση. Όποτε μιλάμε για ένα «ωραίο» θεώρημα, θέλουμε στην πραγματικότητα να πούμε ότι εγγράφεται αρμονικά στην παράδοση της μαθηματικής σκέψης στην οποία αναφερόμαστε, ή, εν συντομία, ότι μας θυμίζει κάτι από αυτήν την παράδοση. Το γεγονός ότι χαρακτηρίζουμε «ωραία» αυτήν την αρμονική υπόμνηση δεν οφείλεται άραγε στη θεμελιακά ελληνική αντίληψη για την ομορφιά την οποία έχουμε κληρονομήσει; Υπό αυτές τις συνθήκες, δεν θα έπρεπε να υποπτευθούμε αυτό το λεξιλόγιο, που υπογραμμίζει την τυπική όψη της μαθηματικής δημιουργίας, ως περισσότερο συντηρητικό απ' ό,τι θα άρμοζε σε έναν επιστημονικό κλάδο ο οποίος προοδεύει μόνο με ανατροπές των περιεχομένων του;

Εντούτοις, αντίθετα με τα παραπάνω, οι μαθηματικοί όλου του κόσμου (πιθανώς κάτω από την επιρροή της γαλλικής μαθηματικής σχολής) μιλούν για ιδέες ή αποτελέσματα «τετριμμένα», προκειμένου να χαρακτηρίσουν δεδομένα που τους φαίνονται τόσο προφανή ώστε να γίνονται κοινότοπα. Βέβαια, αυτή η έκφραση, η οποία δεν έχει επ' ουδενί τη χονδροειδή σημασία που


συνήθως αποδίδεται στο τετριμμένο υπό τη φιλολογική έννοια, είναι ενίοτε δυσάρεστη για τους μη μαθηματικούς: θα μπορούσε να τη χαρακτηρίσει κανείς σχεδόν έκφραση της «αργκό».

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Ό,τι και αν πιστεύει κανείς για τούτα τα ευαίσθητα ζητήματα, θα πρέπει να υπογραμμίσουμε το δεσμό που σίγουρα υπάρχει ανάμεσα στην ύπαρξη μιας καθαυτό μαθηματικής έρευνας και ενός δεδομένου κοινωνικού και πολιτισμικού περιβάλλοντος. Εάν είναι σωστό να εξαίρεται η σημασία της ελεύθερης δημιουργίας που πρωτοστατεί στην πρόοδο των μαθηματικών, δεν είναι εντούτοις ορθό να συμπεράνουμε πως αυτή η δραστηριότητα είναι ριζικά αποκομμένη από τον κόσμο στον οποίο εκτυλίσσεται.

Στην πραγματικότητα, από την αρχαιότητα η ιστορία αποδεικνύει πειστικά ότι η ανάδειξη μαθηματικών υψηλού επιπέδου δεν μπορεί να συμβεί οπουδήποτε και με οποιονδήποτε τρόπο. Προϋποθέτει μια εξαιρετική πολιτισμική προετοιμασία από την πλευρά μιας συγκεκριμένης κοινωνίας. Εδώ υπεισέρχεται μια ολόκληρη κοινωνιολογία, μια μεγάλη προσπάθεια που οφείλει να κινητοποιήσει σημαντικές πνευματικές και υλικές δυνάμεις. Όποιος θυμάται δε ότι η μαθηματική δημιουργία είναι μια κατεξοχήν διανοητική δραστηριότητα, δεν πρόκειται να εκπλαγεί διαπιστώνοντας ότι αναπτύσσεται σε κοινωνίες στις οποίες η καλλιτεχνική δημιουργία έχει


φτάσει σε σημαντικό βαθμό εκλέπτυνσης. Οι «χρυσοί αιώνες» των μαθηματικών μέσα στην ιστορία προκύπτουν κατά τη διάρκεια χρυσών αιώνων των πολιτισμών (ενώ το αντίθετο δεν αληθεύει πάντα).

Κάτω από αυτές τις συνθήκες γίνεται κατανοητό το γιατί ενώ η μαθηματική δραστηριότητα δεν απαιτεί κάποιο βαρύ εξοπλισμό ή κάποια ιδιαίτερα δαπανηρή επένδυση, εντούτοις οι χώρες του Τρίτου Κόσμου δεν παράγουν μεγάλους μαθηματικούς, εκτός από μερικές σπάνιες αξιοσημείωτες εξαιρέσεις, όπως είναι η Βραζιλία ή η Αργεντινή (οι οποίες όμως είναι χώρες μεταναστών). Τούτο ισχύει επίσης για τις αραβικές χώρες που είχαν δημιουργήσει την άλγεβρα, οι οποίες εντούτοις σήμερα διαθέτουν μόνο πολύ λίγους σημαντικούς μαθηματικούς.

Πράγματι, έως τον 19ο αιώνα, οι περισσότεροι μαθηματικοί ήταν κυρίως Γάλλοι, Γερμανοί ή Ρώσοι (με μερικές σημαντικές μεμονωμένες περιπτώσεις σε άλλες ευρωπαϊκές χώρες). Η Ιαπωνία κατόρθωσε να εγκαθιδρύσει, με τη μίμηση ή με την εφαρμογή μεθόδων προσαρμοσμένων στην περίπτωση της, συνθήκες κατάλληλες για τη δημιουργία μιας μαθηματικής σχολής καλού επιπέδου. Μάλιστα σήμερα υπάρχουν περίπου ένα εκατομμύριο ερασιτέχνες μαθηματικοί στην Ιαπωνία (με πληθυσμό διπλάσιο εκείνου της Γαλλίας και περίπου μισό από εκείνο των ΗΠΑ)! Οι επιφυλάξεις που διατυπώσαμε παραπάνω δεν είναι λιγότερο ανησυχητικές για τη μελλοντική ανάπτυξη της ιαπωνικής μαθηματικής σχολής σε πολύ υψηλή στάθμη, εξαιτίας των καταστροφικών επιπτώσεων που έχει στο δημιουργικό πνεύμα η διαδικα-


σία επιλογής η οποία έχει εξωθηθεί στα άκρα σε όλες τις βαθμίδες του εκπαιδευτικού συστήματος.

Σε ό,τι αφορά τις Ηνωμένες Πολιτείες, αυτές μπόρεσαν να αναπτύξουν πραγματικά τη μαθηματική έρευνα τους μόνο μετά τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο, χάρη στη μαζική μετανάστευση ευρωπαίων και ενίοτε ασιατών μαθηματικών, και στη συνέχεια με τη βοήθεια μιας αποφασιστικής πολιτικής «εισαγωγής» εγκεφάλων. Θα πρέπει εντούτοις να προσθέσουμε ότι τα κίνητρα τους ήταν αρχικά —και κατ' ουσίαν παραμένουν— κυρίως οικονομικά. Το ενδιαφέρον τους για τους μαθηματικούς είναι συνάρτηση του υπολογισμού που έχουν κάνει για την οικονομική σημασία των εργασιών τους. Γενικά, το γεγονός ότι ευνοούν την ανάπτυξη της έρευνας δεν οφείλεται στην αγάπη που τρέφουν για τους επιστήμονες, αλλά στην προοπτική των τεχνολογικών επιτυχιών. Αυτό το είδαμε και πρόσφατα με τα εναλλασσόμενα ύ-ψη των πιστώσεων που παρέχονται στους μαθηματικούς από το Εθνικό Ίδρυμα Επιστημών (National Science Foundation), το οποίο συγκεντρώνει το ουσιώδες μέρος των ομοσπονδιακών επιδοτήσεων στη μαθηματική έρευνα.

Η κατάσταση αυτή δεν στερείται κινδύνων, αλλά ούτε και ζημιών για την κοινωνική θέση των ερευνητών, που στις ΗΠΑ τους υπολογίζουν απείρως λιγότερο από τους κάθε είδους διοικητικούς υπαλλήλους, ανώτερα στελέχη και μηχανικούς.

Θα ήθελα να αναφερθώ σε ένα ζήτημα που θίγεται στις παραπάνω γραμμές και συχνά τίθεται με διάφορες, λιγότερο ή περισσότερο ομολογημένες προκαταλήψεις:


γιατί υπάρχει μεγάλη περίσσεια εβραίων φυσικών και μαθηματικών; Αν θέλουμε να αποφύγουμε τις θεολογι-κο-πολιτικές αιτιολογήσεις, που οδηγούν στο φανατισμό, και τις αντίστοιχες γενετικές, που έχουν ως απόληξη το ρατσισμό και στερούνται πραγματικού υποβάθρου, θα δούμε ότι αυτό το γεγονός μπορεί να επιβεβαιώσει την πολιτισμική προσέγγιση της οποίας υπεραμύνομαι. Πώς είναι πράγματι δυνατό να αγνοήσει κανείς την ύπαρξη μιας κουλτούρας της Βίβλου που ενσταλα-ζόταν επί αιώνες σε όλα τα παιδιά των Εβραίων, και μάλιστα με τρόπο που συμβάλλει στην ανάπτυξη της κριτικής σκέψης και έρευνας, με την έλξη για καθετί που έχει σχέση με τη διανόηση, καθετί το γραπτό;

Σε αυτά θα πρέπει να προσθέσουμε χωρίς αμφιβολία το «πνεύμα της μειονότητας» και το σύστημα εκπαιδευτικών ποσοστώσεων numerus clausus, που λειτουργώντας ως κίνητρο οδήγησαν πολλούς Εβραίους της διασποράς προς τις πιο προωθημένες ανώτερες σπουδές, όπου είχαν εξαιρετικές επιδόσεις μέσα στην προσπάθεια τους να καθησυχάσουν την αγωνία τους για κοινωνική προστασία και ανέλιξη. Η εκ του αντιθέτου απόδειξη αυτού του τελευταίου επιχειρήματος μπορεί να δοθεί από την ιστορία του κράτους του Ισραήλ, όπου δεν υπάρχει πια αυτό το πνεύμα της μειονότητας. Το Ισραήλ συγκεντρώνει το 27% περίπου των απανταχού Εβραίων. Σχεδόν το ένα τρίτο από τα βραβεία Νόμπελ φυσικής που έχουν απονεμηθεί εδώ και μισό αιώνα, δόθηκε σε Εβραίους. Ούτε ένα, όμως, δεν πήγε στο Ισραήλ! Κανένας ισραηλίτης μαθηματικός δεν κατάφερε να πάρει βραβείο Φιλντς!


Η ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Οι παρατηρήσεις αυτές είναι εντούτοις ανεπαρκείς, αν θέλουμε να κατανοήσουμε το κοινωνικό «είναι» του μαθηματικού. Θα πρέπει να τις συμπληρώσουμε με σκέψεις που άπτονται της πολιτικής της έρευνας και της πολιτικής «αυτής καθ' εαυτήν».

Όσον αφορά την πολιτική της έρευνας, το ζήτημα οξύνεται κάπως εξαιτίας της ανόδου της πληροφορικής. Το φαινόμενο που παρατηρείται αυτήν την περίοδο, δηλαδή η μετατροπή της πληροφορικής σε μόδα, θέτει ζητήματα που αφορούν εξίσου τους ειδικούς της πληροφορικής και τους μαθηματικούς. Όπως έχω πει, υπάρχει μια θεωρητική πληροφορική, πάνω στην οποία μπορεί να βασιστεί κάποια ελπίδα για το μέλλον των μαθηματικών εν γένει. Ενώ όμως αυτός ο τύπος έρευνας απαιτεί μόνο έναν περιορισμένο αριθμό ερευνητών, είμαστε μάρτυρες μιας πραγματικής άτακτης εισόδου μαθηματικών, συχνά δεύτερης κατηγορίας, σ' αυτόν τον τομέα. Μολονότι η πληροφορική διαδραματίζει σημαντικό οικονομικό και κοινωνικό ρόλο, θα πρέπει εντούτοις να αποτρέψουμε την παγίωση μιας κατάστασης ανισορροπίας που γρήγορα θα αποδειχθεί αρνητική για την ίδια την πληροφορική. Τα μέσα ενημέρωσης και οι πολιτικοί πρέπει πολύ σύντομα να συνειδητοποιήσουν ότι εδώ υπάρχει μια τεχνητή ανάπτυξη καρκινογενούς τύπου. Ειδικότερα, είναι δυνατό να αφήνουμε τους φοιτητές να συνωστίζονται στις σπουδές πληροφορικής, ενώ γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι η αγορά βρίσκεται καθ' οδόν προς τον κορεσμό, τουλάχιστον στο επίπεδο των τεχνικών;


Είναι αληθές, και εδώ έχουμε να κάνουμε με τη γενική πολιτική, ότι αυτός ο συνωστισμός έχει επίσης οικονομικά αίτια: ποιοι φοιτητές θα επιθυμούσαν να διακινδυνεύσουν τη σταδιοδρομία τους σπουδάζοντας επί μεγάλο χρονικό διάστημα για να έχουν —σε περίπτωση επιτυχίας— την τύχη ενός καθηγητή πανεπιστημίου αφοσιωμένου στην έρευνα και την εκπαίδευση στο δικό μας επιστημονικό κλάδο, με μισθό πολύ κατώτερο εκείνου που προσφέρει η βιομηχανία σε έναν καλό ειδικό της πληροφορικής; Γνωρίζουμε την κρίση στελέχωσης των πανεπιστημίων που ενδημεί στη Γαλλία. Είναι σοβαρότατη. Το φαινόμενο είναι, με διάφορες διαβαθμίσεις, διεθνές. Γι' αυτό και πρέπει επειγόντως να αναλάβουν τις ευθύνες τους οι πανεπιστημιακές αρχές και οι πολιτικοί αξιωματούχοι, ο καθένας για λογαριασμό του.

Ας αντικρίσουμε το πρόβλημα από τη γενικότερη όψη του: σε όλες τις χώρες όπου η οργάνωση της έρευνας και της ανώτατης εκπαίδευσης είναι συγκεντρωτική, συμβαίνει να αναπτύσσεται μια πολιτική αναγκών χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τα διαθέσιμα μέσα. Όταν για οποιονδήποτε λόγο (π.χ. εξαιτίας του διεθνούς ανταγωνισμού, της τεχνολογικής ανάπτυξης, ή λόγω της άγνοιας των αποτελεσμάτων ή της μη έγκαιρης πρόγνωση τους) εμφανίζεται αιφνιδίως μια ανάγκη (όπως στην πληροφορική, την ηλεκτρονική ή τις τηλεπικοινωνίες), τότε βρίσκεται κανείς αντιμέτωπος με μια σχεδόν «καταστροφική» κατάσταση υπό την έννοια που περιγράφεται στις εργασίες του Rene Thorn: η απόκριση σε μια «άπειρη» ζήτηση είναι μια «μηδενική» προσφορά! Λόγω έλλειψης προετοιμασίας, πράγματι δεν υπάρχουν αρκε-


τά άτομα με τις απαραίτητες δεξιότητες για να προαγάγουν την έρευνα ή να ασχοληθούν με την εκπαίδευση στον τομέα που εφεξής ανακηρύσσεται ως έχων την απόλυτη προτεραιότητα.

Τι κάνουν τότε οι πολιτικοί, οι ανώτατοι δημόσιοι υπάλληλοι και οι κυβερνητικοί παράγοντες που βρίσκονται —και συχνά εναλλάσσονται— στις διάφορες θέσεις λήψης αποφάσεων; Αυξάνουν τον αριθμό των θέσεων στους εν λόγω τομείς με αλόγιστο τρόπο! Και τότε, ξαφνικά, τα πανεπιστήμια καλούνται να πληρώσουν αυτές τις θέσεις το ταχύτερο δυνατόν. Τι κάνουν, λοιπόν, οι πανεπιστημιακοί; Φοβούμενοι μήπως χάσουν τις επιχορηγήσεις για τις θέσεις αυτές (μια κατάσταση ιδιαίτερα γνωστή σε πανεπιστημιακούς κύκλους!), σπεύδουν να τις στελεχώσουν με τους πρώτους τυχόντες, κατεβάζοντας το επίπεδο των απαιτήσεων όσο χαμηλά χρειάζεται! Κατ' αυτόν τον τρόπο, νέοι άνθρωποι που συχνά είχαν λίγο-πολύ αποτύχει στον αρχικό τομέα τους, αλλά είχαν επαφή με τη νέα περιοχή, φράζουν το δρόμο για τους άξιους υποψηφίους που θα παρουσιαστούν τα επόμενα τριάντα χρόνια.

Για να συμπληρώσουμε την εικόνα, θα πρέπει να πούμε ακόμη ότι σε μια τέτοια περίπτωση, επειδή η αγορά στελεχώνει και αυτή θέσεις την ίδια περίοδο και με ευνοϊκότερες οικονομικές συνθήκες, οι πλέον καταρτισμένοι δεν θέτουν καν υποψηφιότητα για αυτές τις πανεπιστημιακές θέσεις.

Αυτή η καταστροφική λογική πρέπει να αντικατασταθεί με έναν άλλο τρόπο λειτουργίας, και τα πανεπιστήμια να τεθούν προ των ευθυνών τους: κάθε επιτυχία


στην πρόσληψη νέου προσωπικού πρέπει να ανταμείβεται εκ των υστέρων από το κράτος, ενώ για κάθε αποτυχία να υπάρχουν κυρώσεις μέσω της διακοπής ή της μείωσης της επιχορήγησης. Τούτο προϋποθέτει ότι θα τους δοθεί περισσότερη ελευθερία, ενώ θα πρέπει να εφαρμοστεί ταυτόχρονα πολύ αυστηρός και προσεκτικός επιστημονικός έλεγχος. Τότε δεν πρόκειται να αρκείται κανείς, όπως σήμερα, στο να παρουσιάζει μια πολιτική που φαίνεται καλή στα χαρτιά, αλλά ικανοποιεί μόνο τους κυβερνητικούς υπαλλήλους. Και αυτοί, δυστυχώς, στη Γαλλία ουδεμία γνήσια επαφή έχουν με τις πραγματικότητες της έρευνας.

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ: ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Προς το τέλος της δεκαετίας του 1960, ο εξέχων μαθηματικός Andre Lichnerowicz επιφορτίστηκε στη Γαλλία με την προεδρία μιας επιτροπής που καθήκον της είχε την προετοιμασία της μεταρρύθμισης των προγραμμάτων μαθηματικών στα γυμνάσια και τα λύκεια. Στόχος ήταν να προσαρμοστεί η διδασκαλία των μαθηματικών στις απαιτήσεις του σύγχρονου κόσμου, να εναρμονιστεί με την έρευνα στα μαθηματικά, αλλά και με τα ζωντανά μαθηματικά που εφαρμόζονται στη φυσική και τις άλλες επιστήμες. Η προοπτική ήταν να εισαχθούν τα «μοντέρνα μαθηματικά» στα εκπαιδευτικά ιδρύματα! Λίγο αργότερα εγκαινιάστηκε μια ανάλογη πρωτοβουλία στις Ηνωμένες Πολιτείες κάτω από το λάβαρο «new math».


Η βασική ιδέα ήταν θαυμάσια, αλλά η πραγματοποίηση της απέβη καταστροφική στη Γαλλία. Προέκυψε ένα είδος εθνικού ψυχοδράματος, για το οποίο είναι χρήσιμο να κάνουμε μερικές σκέψεις αναδρομικά, εφόσον θέλουμε να αποφύγουμε την επανάληψη παρόμοιων λαθών στο μέλλον. Το πρώτο λάθος που έγινε ήταν ότι τα μαθηματικά αποκόπηκαν από τις διαισθητικές βάσεις τους και έτσι έγιναν πιο αφηρημένα για παιδιά μιας τρυφερής ηλικίας. Αυτό το λάθος έγινε αμέσως αντικείμενο κριτικής από πολλούς μαθηματικούς, και ειδικότερα από τον Jean Leray, έναν μεγάλο ειδικό των διαφορικών εξισώσεων. Αντί να αποκοπούν τα μαθηματικά από τις διαισθητικές βάσεις τους, εκείνο που έπρεπε να γίνει ήταν, παράλληλα με την πρόοδο στην αφαίρεση και την αξιωματική θεμελίωση, να εμπλουτιστούν αυτές οι βάσεις, να πολλαπλασιαστούν τα παραδείγματα με τα οποία οι μαθητές θα κατάφερναν να αποκτήσουν μια σχέση οικειότητας. Μολονότι ο Andre Lichnerowicz δεν ήταν ο ίδιος οπαδός του Μπουρμπακί, μπορούμε εντούτοις να πούμε ότι σε τούτη την περίπτωση, προς μεγάλη δυστυχία των μαθητών (και των καθηγητών), θριάμβευσε ένα είδος «μπουρμπακισμού των λυκείων».

Το δεύτερο λάθος μάς δίνει ένα γενικό μάθημα σχετικά με τις μεταρρυθμίσεις που αποφασίζονται από την πολιτική εξουσία. Όταν λαμβάνεται μια τέτοια απόφαση, θα πρέπει βεβαίως να γνωρίζει κανείς τι είναι επιθυμητό, αλλά καλό είναι να λαμβάνει επίσης υπόψη του και τα διαθέσιμα μέσα. Στην προκειμένη περίπτωση, όμως, τα μέσα αυτά δεν ήταν τίποτε άλλο παρά το σώμα των διδασκόντων, στην κατάσταση που βρισκόταν, δη-


λαδή με έλλειψη εκπαίδευσης στα «μοντέρνα μαθηματικά»! Πολλοί καθηγητές δεν ήταν έτοιμοι να διδάξουν αυτά τα μαθηματικά, γιατί δεν κατανοούσαν τη βαθύτερη ουσία τους. Και επειδή δεν την κατανοούσαν, δεν μπορούσαν να δείξουν στους μαθητές πώς μια συγκεκριμένη αφαίρεση συνδεόταν με ζωντανά παραδείγματα. Αποτέλεσμα: αυτοί οι καθηγητές δίδαξαν την ύλη σαν ένα σύνολο αφηρημένων προτάσεων που οι μαθητές όφειλαν να αποστηθίσουν επί λέξει, χωρίς να νοιάζονται για την ίδια τη σημασία των αποδείξεων και των θεωρημάτων! Σε ορισμένες περιπτώσεις η αφαίρεση εξωθήθηκε σε τέτοιο σημείο, ώστε να χρησιμοποιείται μια ορολογία που ενοχλούσε ακόμη και τους επαγγελματίες μαθηματικούς. (Μερικοί από αυτούς πήραν μάλιστα και κακούς βαθμούς στις ασκήσεις των παιδιών τους, επειδή δεν χρησιμοποίησαν την ακριβή διατύπωση που επιθυμούσαν οι επιθεωρητές σπουδών!)

Χρειάστηκαν χρόνια για να διορθωθούν τελικά αυτά τα λάθη. Τώρα πια έχει ως επί το πλείστον κλείσει το θέμα, παρόλο που η διδασκαλία συχνά παραμένει ακόμη υπερβολικά αφηρημένη και υπογραμμίζει μονομερώς την αξιωματική προσέγγιση, και όχι τη γονιμότητα της διερεύνησης συγκεκριμένων παραδειγμάτων.

ΚΑΖΙΝΟ

Θα μου επιτρέψετε να κλείσω αυτό το μικρό βιβλίο με κάπως πιο ανάλαφρο τόνο, χωρίς εντούτοις να εγκαταλείψω το πολύ σοβαρό ζήτημα της «εξουσίας» των μα-


θηματικών. Ας αποκαταστήσει ο αναγνώστης τη σύνδεση των παρακάτω με όσα προηγήθηκαν στην τελευταία ενότητα.

Οι μαθηματικοί διατηρούν από αιώνες στενές σχέσεις με τα τυχερά παιχνίδια. Ας θυμηθούμε μόνο τον Pascal! Ακόμη, δεν λείπουν και παίκτες, επαγγελματίες ή μη, που πιστεύουν ότι αυτή η επιστήμη μπορεί να δώσει την «καλή μέθοδο», αυτή που θα τους κάνει να κερδίσουν στο καζίνο, αφού πάντοτε έχουμε να κάνουμε με πιθανότητες. Γιά να δούμε λοιπόν τι συμβαίνει εδώ.

Θα ξεκινήσουμε από το πιο γνωστό πρόβλημα, εκείνο του διπλασιασμού του ποσού. Ας το ξεκαθαρίσουμε από την αρχή: από μαθηματική άποψη, η μέθοδος διπλασιασμού του ποσού δεν ευσταθεί. Επιπρόσθετα, είναι εξαιρετικά επικίνδυνη στην πράξη. Ας δούμε λοιπόν μια κλασική περίπτωση στη ρουλέτα, που έχει 36 αριθμούς συν το μηδέν: ένας παίκτης ποντάρει σε κάποια από τις «απλές τύχες» (μαύρα/κόκκινα, ζυγά/μονά, μικρά/μεγάλα), που έχουν ίσες πιθανότητες, δηλαδή 18 αριθμούς, και κάθε φορά ανεβάζει το ποσό που παίζει: από x σε 2χ, 4χ, 8χ... Ας υποθέσουμε ότι την πρώτη φορά τοποθετεί χ και χάνει, αλλά κερδίζει την επόμενη φορά* τότε θα έχει κερδίσει συνολικά: 2χ- 1χ = χ. Αν τώρα χάσει χ, ύστερα 2χ και κερδίσει 4χ, θα έχει κερδίσει για άλλη μια φορά χ. Διατυπώνεται λοιπόν ο ισχυρισμός ότι υπάρχει εδώ μια αλάνθαστη μέθοδος για να κερδίζει κανείς. Ας υποθέσουμε ότι το χ ισούται με 1.000 φράγκα. Λέγεται λοιπόν ότι αν ο παίκτης ρισκάρει αυτό το ποσό στο ξεκίνημα, τότε θα το διπλασιάσει οπωσδήποτε, όταν έπειτα από κάποια παιχνίδια η τύχη θα γυρίσει με το μέρος του.


Θα πρέπει όμως να παρατηρήσουμε ότι η τύχη μπορεί να αργήσει να γυρίσει, και ότι, με αυτήν τη μέθοδο παιχνιδιού, θα πρέπει να διαθέτει κανείς υπέρογκο κεφάλαιο για να μπορεί να «περιμένει». Ας ξανακάνουμε τους υπολογισμούς με τα 1.000 φράγκα. Στην περίπτωση που ο παίκτης χάσει τέσσερις συνεχόμενες φορές, και κερδίσει μόλις την πέμπτη, πράγμα που στο κάτω κάτω δεν αποτελεί σπάνια περίπτωση, θα χρειαζόταν να έχει τουλάχιστον κεφάλαιο 31.000 φράγκων για να κερδίσει τελικά 1.000 φράγκα. Αφήνω στη διάθεση του αναγνώστη τον υπολογισμό του ποσού που απαιτείται αν η ατυχία του διαρκούσε είκοσι γύρους!

Τελειώνοντας, πρέπει να παρατηρήσουμε ότι αν δεν κερδίσει με την πέμπτη φορά, θα χρειαστεί να παίξει 32.000 φράγκα την επόμενη φορά, και το διπλάσιο σε κάθε συμπληρωματικό γύρο, πράγμα αδύνατο, διότι το ποσό που επιτρέπεται να παιχθεί έχει κάποιο ανώτατο όριο. Επειδή όλα τα καζίνα του κόσμου έχουν ορίσει ανώτατο ποσό, είναι μάλλον εξωραϊσμένο αυτό που είπα, ότι δηλαδή η μέθοδος είναι επικίνδυνη. Για παρόμοιους λόγους, κανένα σύστημα διπλασιασμού του ποσού, όσο προσεγμένο και λεπτομερές και αν είναι, δεν μπορεί να θριαμβεύσει στο καζίνο.

Η μόνη «μέθοδος» που αξίζει είναι εντελώς διαφορετική. Στηρίζεται στο γεγονός ότι καμία ρουλέτα δεν είναι τέλεια, όπως άλλωστε και κανένας γκρουπιέρης (προφανώς δεν αναφέρομαι στην περίπτωση που ο γκρουπιέρης είναι ανέντιμος!). Εδώ η κατάσταση είναι πολύ διαφορετική από εκείνη του λόττο. Μπορεί λοιπόν να μελετήσει κανείς με το μάτι, εφόσον έχει την κατάλ-

ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΙΟΙ

ληλη εκγύμναση, τις συσχετίσεις που προκύπτουν από το γεγονός ότι ο γκρουπιέρης κουράζεται και αρχίζει αναπόφευκτα, κάποια στιγμή, να ρίχνει τη μπίλια με κάποια κανονικότητα. Θα πρέπει τότε να συνυπολογίσει και την ίδια τη ρουλέτα, που δεν μεταβάλλεται όταν αλλάζει ο γκρουπιέρης, δηλαδή ότι εξαιτίας των ατελειών της ενισχύει ορισμένες πιθανότητες έναντι κάποιων άλλων.

Με αυτόν τον τρόπο μπορεί να ανακαλύψει κανείς συσχετίσεις ανάμεσα σε διάφορους αριθμούς: μπορεί να γνωρίζει, για παράδειγμα, ποια γειτονική περιοχή ευνοείται στην επόμενη κίνηση, αν τώρα έχει βγει το 6. Αν ανακαλύψω ότι μία φορά στις τρεις ευνοείται κάποιο έκτο της ρουλέτας, τότε από τους τριάντα έξι αριθμούς —με γρήγορο υπολογισμό, διότι οι αριθμοί δεν διατάσσονται στην τσόχα με τη σειρά που καταλαμβάνουν στη ρουλέτα— αρκεί να παίξω έξι ή επτά αριθμούς για να κερδίσω μία στις τρεις φορές, πράγμα που σε τελική ανάλυση κάνει το παιχνίδι κερδοφόρο.

Δεν πρόκειται βέβαια εδώ για μέθοδο διπλασιασμού του ποσού ούτε για καθαρά μαθηματικά, αλλά για μελέτη των ατελειών της ρουλέτας και του γκρουπιέρη, καθώς και για υπολογισμό των συσχετίσεων.

Πώς γίνεται λοιπόν να μη θεωρούμε τις επιτυχίες ορισμένων παικτών που τινάζουν την «μπάνκα» στον αέρα (συχνά και με χρήση υπολογιστών) ως περίτρανη εκδήλωση της «εξουσίας» των μαθηματικών; Εδώ θα αφήσω τον αναγνώστη να ονειρευτεί. Διότι τα μαθηματικά, όταν τα αντιληφθεί κανείς κατ' αυτόν τον τρόπο, δίνουν επίσης τη δυνατότητα να ονειρεύεσαι.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

BOURBAKI, Ν., Elements de mathematique (ειδικότερα το βιβλίο, «Theorie des ensembles»), Hermann, Παρίσι.

EINSTEIN, Α. , Relativity (The Special and General Theory), Crown Publishers, Νέα Υόρκη, 1961.

FEYNMAN, R., The Character of the Physical Law, MIT Press, 1967.

GINDIKIN, S.G., Tales of Physicists and Mathematicians, Bir-khauser, Βοστώνη, 1988.

HADAMARD, J., The Psychology of Invention in the Mathematical Field, Princeton University Press, 1945* Dover, Νέα Υόρκη, 1954.

HEISENBERG, W., Physics and Beyond, Harper and Row, Νέα Υόρκη, 1971.

PAIS, Α. , Inward Bound (Of Matter and Forces in the Physical World), Oxford University Press, 1986.

SHUBNIKOV, A . V . και KOPTSIK, V . A . , Symmetry in Science and Art, Plenum Press, 1974.

U L A M , S., Science, Computers and People (From the Tree of Mathematics), Birkhauser, Βοστώνη, 1986

WINGER, E.P., Symmetries and Reflections (Scientific Essays), MIT Press, 1967.

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ ΚΑΙ ΟΝΟΜΑΤΩΝ

α

Αϊνστάιν, 'Αλμπερτ, 70 άλγεβρα, 36, 38

τελεστών, 35 του Lie, 38

ανάλυση, 36, 38 αριθμητική, 36, 38 Αριστοτέλης, 10, 55 Αρχιμήδης, 13 Αρχύτας, 11

βιολογία, 69, 73-76 βραβεία Νόμπελ, 27 Bardeen, John, 50 Big Science, 26 Bohr, Niels, 49, 69 Bolzano, Bernard, 59 Broglie, Louis de, 49

y. c,g

Γαλιλαίος, 13, 15, 26, 59 γεωμετρία, 36

αλγεβρική, 29 διαφορική, 38, 42 ριμάνεια, 70

Cantor, Georg, 59 Cauchy, Augustin-Louis, 37 Changeux, Jean-Pierre, 70

Cohen, Paul, 57, 58,61 Compte, Auguste, 17 Connes, Alain, 35, 43, 70 Cooper, Leon, 50, 75 Cournot, Antoine-Augustin, 19 Galois, Evariste, 37, 81 Gauss, Carl Friedrich, 59 Glashow, Sheldon, 72 Grothendieck, Alexander, 29,42,

43

S.d Δαρβίνος, 18 διαστημική έρευνα, 26 διαφορικός λογισμός, 33 Debreu, Gerard, 76 Deligne, Pierre, 43 Dieudonne, Jean, 29 Dirac, Paul, 42, 49 DNA, 74 Donaldson, Simon, 43

ε

εγκέφαλος, 74, 75 εικασία του Mordell, 28 ενοποίηση των θεμελιωδών δυ

νάμεων, 50 Επίκουρος, 13

h

Hamilton, William Rowan, 62


Heesch, Heinrich, 62 Heisenberg, Werner, 49, 66, 67,

75

Hubert, David, 57, 58

θ

θεώρημα του Fermat, 28, 40 θεωρία

αριθμών, 35 βαθμίδας, 71 καταστροφών, 43, 77 κόμβων, 34 μέτρου, 38 μικροσυναρτήσεων, 41 παιγνίων, 77 πεδίου, 34 πεδίου, κβαντική, 47 των πεπερασμένων σωμάτων,

70 συνεχών ομάδων, 38 συνόλων, 32, 52, 59 της σχετικότητας, γενική, 47,

70 της σχετικότητας, ειδική, 45

J

Jones, Vaughan, 43 Jordan, Camille, 38

K,k

Καντ, Ιμμάνουελ, 17, 56 Καρτέσιος, 13, 15, 26 κβαντική ηλεκτροδυναμική, 47,

50

κβάντωση των βαρυτικών πεδίων, 48

κοινωνικές επιστήμες, 22 Koch, Jean, 63 Koyre, Alexandre, 13

/

Lagrange, Joseph-Louis, 16, 37, 76

Leibniz, Gottfried Wilhelm, 16 Leray, Jean, 97 Lichnerowicz, Andre, 96, 97 Lie, Marius Sophus, 38 Liouville, Joseph, 37

μ, m

μαθηματική λογική, 55-61 μέθοδος Μόντε Κάρλο, 75 μέλαν σώμα, 49 Μέντελ, Γκρέγκορ, 17, 73 μετάλλια Φιλντς, 27, 92 μεταμαθηματικά, 57 μη πληρότητα, 58 μηχανές του Turing, 65 μηχανική

κβαντική, 45, 47, 48, 49, 74 κλασική, 44, 45, 46 κυματική, 49

Manhattan Project, 75 Modigliani, Franco, 77 Morgan, Auguste de, 62 Morgenstern, Oskar, 77

ν , η

Νεύτων, Ισαάκ, 15, 16, 33

ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ ΚΑΙ ΟΝΟΜΑΤΩΝ 107

Needham, Joseph, 14 Neumann, John von, 77

ο

οικονομία, 22, 76-79 ομάδες

μεταθέσεων, 38 Lie, 38

η, ρ

παράδοξο του Russell, 32, 52 Πλάτων, 11,69 πληροφορική, 61-66 πρόβλημα των τεσσάρων χρω

μάτων, 62 πρόγραμμα Hubert, 57 Πυθαγόρειοι, 10 Peano, Giuseppe, 59 Planck, Max, 49 problem-solver (λύτης προβλη

μάτων), 40, 44

r

Ricardo, David, 19 Riemann, Georg Friedrich, 70 RNA, 74 Russell, Bertrand, 32, 56 Rutherford, Ernest, 49

σ, s

σταθερά του Planck, 44, 49 στατιστική, 21, 77 Salam, Abdus, 72 Samuelson, Paul, 76

Schrieffer, John Robert, 50 Schrodinger, Erwin, 49 Schwartz, Laurent, 41 Schwinger, Julian, 47, 50 Smith, Adam, 19

τ, /

ταχύτητα του φωτός, 45 τοπολογία

αλγεβρική, 38 διαφορική, 42

τύπος του δείκτη (index formula), 30

theory-maker (δημιουργός θεωρίας), 40, 42, 44

theory-prophet (προφήτης θεωρίας), 42

Thorn, Rene, 42, 43, 77, 94 Tomonaga, Sin-itiro, 47 Thompson, Arcy, 18 Turing, Alan, 65

v, u

υπεραγωγιμότητα, 50, 75 υπερχορδές, 51 υπολογιστής, 63, 64, 65 Ulam, Stanislaw, 75

9.f φυσική, 33

κλασική, 33, 49, 67 και μαθηματικά, 44-53 μαθηματική, 34, 66-72 πυρηνική, 26

108

στερεάς κατάστασης, 50 σωματιδίων, 26

φυσική μαθηματική επιστήμη, 34

Faltings, Gerd, 28, 43 Feynman, Richard, 47 Freedman, Michel, 43 Frege, Gottlob, 56

Χέγκελ, Γκεόργκ, 56 χορδές, 51 χώροι

διανυσματικοί τοπολογικοί, 86

Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

τεσσάρων διαστάσεων, 44 Banach, 86 Hubert, 86, 87

Ψ

ψυχολογία, 22 ψυχρή σύντηξη, 50

w

Weinberg, Steven, 72 Whewell, William, 19 Whitehead, Alfred North, 32 Wigner, Eugene, 67, 75 Wittgenstein, Ludwig, 56

Documents

MOSE FLATO - Η ΙΣΧΥΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ