Movimento em duas DimensesHidembergue Ordozgoith da Frota
Departamento De Fsica Instituto de cincias Exatas Universidade
Federal do Amazonas
MOVIMENTO EM DUAS DIMENSES Vetor Deslocamento
r rf tTrajetria da partcula
ri ti
tf
Vetor Velocidade Mdia
r rf tTrajetria da partcula
ri ti
tfr t
v
Vetor Velocidade InstantneaDireo de v em
r rf t tf
ri ti
v
limt
0
r t
dr dt
Vetor Acelerao Mdiav t vf tf ti vi
a
vf tf
vi ti
v t
Vetor Acelerao Instantneaa limt 0
v t
dv dt
Movimento Bidimensional com Acelerao Constanter=xi+yj v = vx i +
vy j a = ax i + ay j vf = vxf i + vyf j r yTrajetria da
partcula
Como a constante vf = (vxi + axt) i + (vyi + ayt) j= (vxi i+ vyi
j) + (ax i+ ay j) t vf = vi + a t 0 x
y
Trajetria da partcula
xf yf
xi yi
1 v xi t a xt 2 2 1 v yi t a yt 2 2
yf
yi
ri
rf
0 xi
xf
x
rf rf rf
xi xi i ri
v xi t yi j
1 a xt 2 2
i
yi
v yi t
1 a yt 2 2
j
v xi i v yi j t
1 a xi a y j t 2 2
v it
1 2 at 2
vf vf v xf
vi a t v xf i v yf j v xi a xt
Em resumo
v yf
v yi
a yt
vf
v xi
a xt i1 2 at 2
v yi
a yt j
rfrf
ri
v it
xf i xf j
xfrf
xi v xi txi v xi t
1 2 a xt 21 a xt 2 2 i
yfyi
yi v yi tv yi t 1 a yt 2 2
1 a yt 2 2j
MOVIMENTO DE UM PROJTIL
Ambas as bolas tm o mesmo movimento na vertical. Percorrem a
mesma distncia no mesmo intervalo de tempo. No vcuo, a velocidade
na horizontal constante. A acelerao na vertical igual acelerao da
gravidade.
Equao da trajetriaCon d ies d o M ovim en to n o P lan o v x v
xi con stan te, ax 0 v y varivel ay gMovimento horizontal
v xi vi cos x v xi t
i
y
Movimento vertical
v yi y
vi sen v yi t
i
1 2 gt 2
x
x
Como y varia em funo de x ?
v xi v yi
vi cos vi s en
i i
t
x vi cosi i
i
x y
v xi t v yi t 1 2 gt 2
y
vi sen vi cos
1 x x g 2 vi cos
2
i
y
tan
i
x
g 2vi 2 cos 2
x2i
x y
vi cos vi sen
i i
t t 1 2 gt 2
Que a equao de uma parbola
Alcance mximox y R 0 vo cos vosen vo cos vosen0 0
t t t t 1 2 gt 2 1 2 gt 2 (1) (2)vox voy vo cos voseno o
0 0
Da segunda equao:
t
0;
t
2vosen g
0
Substituindo o resultado acima na primeira equao,
encontramos:
R
2 2vo sen g
0 cos 0
R
2 vo sen2 g
0
ExerccioUm avio de resgate voa a 198km/h (=55m/s) a uma altura
constante de 500m na direo de um ponto diretamente sobre uma vtima
de um barco acidentado flutuando na superfcie da gua. O piloto
deseja soltar a cpsula de salvamento de maneira que ela atinja a
gua muito prximo da vtima. a) Qual deve ser o ngulo da linha de
visada do piloto quando ele solta a cpsula? b) Qual a velocidade da
cpsula quando ela atinge a gua em notao vetorial, bem como o seu
mdulo e ngulo ?
x
Resposta Dados:vox 5 5m/ s h 5 0 0m ayo
g 0
9,8m/ s 2
vox 5 5m/ s h 5 0 0m ay0
g 0
9,8m/ s 2
a)x y
tan
1
x h0
vox cos vox sen
t t
x
500 t 10,1sx
1 2 gt 0 2 1 55sen0 t 9,8t 2 2
b) v x vyvy v
vo x vo co s o vo co s 0 5 5m/ s vos en o g t vos en 0 g t gt
55,0m/ s i
55cos 0 10,1
9,8 1 0,1
9 9,0m/ s
x 555,5m
99,0m/ s j
tan
1
555,5m 500m
48,0
v
(55,0) 2 (99,0) 2 113m/ s 99 1 vy t an t an 1 60,9 vx 55
ExerccioUm navio pirata encontra-se a 500m de um forte de defesa
da entrada do porto de uma ilha. Um canho de defesa, localizado no
nvel do mar, lana balas com velocidade inicialv0 82 m/s.
a) A que ngulo em relao a horizontal deve a bala ser lanada para
atingir o navio?
b) A que distncia deve ficar o navio pirata para ficar fora do
alcance das balas do canho?
RespostaDados:R 5 6 0m v0 8 2 m/ s .
a) R
2 vo sen 2 g
0
20
0
sen 27
1
gR 2 vo
sen
1
9,8 560 82 2
54,7
b) O alcance mximo quando2 vo R sen 2 g R 68 6m 0
o
452 vo g
2 vo sen 2 45 g
82 2 9, 8
Movimento circular uniforme v v xi v y j
cos sen
xp r yp r
vx v sen ; v y v cos v ( v sen )i (v cos ) j ady p dt a dv dt2
ax
dv dtvy;
v dy p i r dtdx p dt v vy i r
v dx p j r dtvxv2 cos r i v2 s en r j
v vx j r
atan
a2 yay ax
v2 (cos ) 2 (sen ) 2 r(v 2 / r )sen (v 2 / r )cos t an
v2 1 r
v2 r
a = acelerao centrpeta
