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Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 1
ENGENHARIA CIVIL MECÂNICA II
2º ANO / 1º SEMESTRE – 2002/2003
Prof. João Miranda Guedes (DEC)
MOVIMENTO VIBRATÓRIO DE SISTEMAS DISCRETOS DE 1 G.L.
(Complemento aos acetatos da disciplina de Dinâmica de Estruturas, capítulos 3 e 4 disponiveis na web)
1 Introdução
Estudo do movimento vibratório de sistemas discretos cuja estrutura permite que o seu
movimento possa ser caracterizado através da análise apenas do deslocamento de um
ponto numa direcção.
Serão analisados sistemas com e sem amortecimento, entendendo-se por amortecimento
uma caracteristica viscosa do material que impõe ao sistema discreto uma força
proporcional, mas de sinal contrário, à velocidade do sistema.
Finalmente, será estudado o movimento destes sistemas em vibração livre, i.e. o
movimento para além do instante final de actuação de qualquer força exterior sobre o
sistema, e o movimento provocado pela acção de uma força exterior harmónica.
2 Caracterização de Sistemas Discretos de 1 G.L. (SD1)
Um sistema discreto é um sistema tal que o seu movimento pode ser descrito através do
movimento de um número discreto de pontos i, (ui(t), vi(t), wi(t)). A cada função fi(t) que
caracteriza o movimento dum ponto numa direcção, corresponde um grau de liberdade.
Estes sistemas contrapoem-se aos sistemas contínuos cujo movimento é descrito através
de funções contínuas nos pontos do sistema, (u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t)), i.e.
funções contínuas no tempo e no espaço da estrutura.
Um Sistema Discreto de 1 Grau de Liberdade (SD1) é um sistema que, para além de
discreto, o seu movimento é descrito pelo movimento de apenas um ponto numa direcção,
i.e. através apenas de uma função f(t).
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 2
3 Formulação das Equações do Movimento de SD1
Seja o seguinte SD1 constituido por um veículo rígido de massa m [kg] ligado ao exterior
por um amortecedor de amortecimento c [kg/s ou Ns/m] e uma mola de rigidez k [kg/s2 ou
N/m], submetido à acção da força f(t) [N ; s] que lhe imprime um movimento de translação
na direcção horizontal u(t) [m ; s]:
u(t)
y
f(t) m
k
c
f(t) fe(t)
fa(t) fi(t)
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0=+++→⋅−=−⋅=⋅−=−⋅=⋅−=−⋅=
tftftftftuktuktftuctvctftumtamtf
eai
e
a
i&
&&
( ) ( ) ( ) ( )tftuktuctum =⋅+⋅+⋅ &&&
Sendo fi, a força de inércia, fa a força do amortecedor ou de amortecimento e fe a força da
mola ou elástica do SD1. Os parametros m, c e k são caracteristicas do sistema, da sua
forma e do seu material. O valor k da rigidez corresponde à força que é necessário impor
de forma estática, i.e. sem velocidade nem aceleração, na direcção do grau de liberdade u
para que o sistema se desloque de uma unidade (u = 1m) nessa direcção. O valor c do
amortecimento corresponde à força que o amortecedor exerce sobre o sistema na direcção
do grau de liberdade u quando o sistema se desloca a uma velocidade de uma unidade (v = 1m/s) nessa direcção.
Determinar o movimento u(t) de um SD1 corresponde, por isso, a resolver uma equação
diferencial linear de 2ª ordem de coeficientes constantes. A sua resolução implica o
conhecimento de dois valores ou constantes de integração, normalmente o deslocamento
e a velocidade no instante t = 0s.
( ) ( ) ( ) ( )tftukdttduc
dttudm =⋅+⋅+⋅
2
2
4 Movimento de SD1 sem Amortecimento
4.1 Em vibração livre
O movimento em vibração livre de um SD1 sem amortecimento corresponde à resolução
da equação:
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 3
( ) ( ) 02
2=⋅+⋅ tuk
dttudm
que apresenta duas soluções:
( ) ( ) ( ) ( )twBtutwAtu ⋅⋅=∧⋅⋅= sincos
sendo a solução geral, designada por solução complementar, a soma das duas:
( ) ( ) ( )twBtwAtu ⋅⋅+⋅⋅= sincos
A substituição de qualquer uma das duas soluções na equação resulta na imposição da
relação:
mkw =
Sendo o valor w [rad/s] designado por frequência angular do sistema. Note-se que a
solução é uma função periódica de período T [s] ou frequência f [Hz]:
( ) ( ) ( ) π⋅=⋅−Τ+⋅→=Τ+ 2twtwtutu
ππ
⋅=
Τ=⇔
⋅=Τ
212 wf
w
Através das condições iniciais do movimento: o deslocamento e a velocidade no instante t = 0s, determina-se o valor das constantes A e B:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0cos0sin0
0sin0cos00
⋅⋅+⋅⋅−=⋅+⋅=
→=wBwAu
BAut
&
( ) ( ) ( ) ( ) ( )twwutwutu ⋅⋅+⋅⋅= sin0cos0&
que pode ainda escrever-se com o seguinte aspecto:
( ) ( )α−⋅⋅= twCtu cos
( )( ) ( ) ( )
( )0
0tan00
22
uw
u
wuuC
&&
=∧
+= α
4.2 Solicitado por acções harmónicas
Seja agora o movimento de um SD1 sem amortecimento submetido à acção de uma força
sinusoidal f(t) de amplitude po e frequência angular w :
( ) ( ) ( )twptukdttudm o ⋅⋅=⋅+⋅ sin
2
2
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 4
Neste caso, para além da solução em vibração livre ou complementar, existe a solução
particular da equação que resolve o valor não nulo do segundo membro:
( ) ( )twUtu p ⋅⋅= sin
Substituida esta solução na equação do movimento determina-se a constante U:
222 11
1
1r
U
wwk
p
wmk
pU o
oo
−⋅=
−
⋅=⋅−
=
Note-se que Uo representa o deslocamento estático e r a razão das frequências:
wwr
kp
U oo =∧=
A solução final é igual à soma da solução complementar com a solução particular agora
determinada:
( ) ( ) ( ) ( )twr
UtwBtwAtu o ⋅⋅−
⋅+⋅⋅+⋅⋅= sin1
1sincos2
Através das condições iniciais do movimento: o deslocamento e a velocidade no instante t = 0s, determina-se o valor das constantes A e B:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )0cos1
10cos0sin0
0sin1
10sin0cos00
2
2
⋅⋅−
⋅+⋅⋅+⋅⋅−=
⋅−
⋅+⋅+⋅=→=
wr
UwBwAu
rUBAu
t
o
o
&
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )twr
Utww
wr
Uutwutu o
o⋅⋅
−⋅+⋅⋅
⋅−
⋅−+⋅⋅= sin
11sin1
10cos0
2
2&
Se o o deslocamento e a velocidade no instante t = 0s forem nulos, temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )twrtwr
Utwr
UtwrrUtu ooo ⋅⋅−⋅⋅
−⋅=⋅⋅
−⋅+⋅⋅
−⋅−= sinsin
11sin
11sin
1 222
A solução é composta por duas parcelas: a primeira correspondente à resposta em regime
estacionário e a segunda em regime transitório:
( )( )twiaEstacionarParcela
twraTransitoriParcela
⋅→
⋅⋅→
sin
sin
multiplicada pelo produto do deslocamento estático Uo por um factor D designado por
factor de amplificação dinâmica:
211r
D−
=
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 5
Quando o sistema entra em ressonância com a acção, i.e. r = 1, a solução particular
apresenta um novo aspecto:
( ) ( ) wwtwtCtu p =∧⋅⋅⋅= cos
que substituida na equação do movimento determina:
wmp
C o
⋅⋅−=
2
A solução final, sendo igual à soma da solução complementar com a solução particular,
resulta na seguinte expressão:
( ) ( ) ( ) ( )twtwm
ptwBtwAtu o ⋅⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅= cos
2sincos
Através das condições iniciais do movimento: o deslocamento e a velocidade no instante t = 0s, determina-se o valor das constantes A e B:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+⋅
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−=
−⋅+⋅=
→=00cos
20cos0sin0
00sin0cos00
wmp
wBwAu
BAut o&
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )twtwm
ptw
wwm
pu
twutu o
o
⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅+
+⋅⋅= cos2
sin20
cos0&
Se o deslocamento e a velocidade no instante t = 0s forem nulos, temos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )twtwwtkp
twtwwtwmp
tu oo ⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅
=⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅
= sincos2
sincos2 2
que resulta numa função de amplitude crescente no tempo.
5 Movimento de SD1 com Amortecimento
5.1 Em vibração livre
O movimento em vibração livre de um SD1 com amortecimento corresponde à resolução
da equação:
( ) ( ) ( ) 02
2=⋅+⋅+⋅ tuk
dttduc
dttudm
que apresenta duas soluções:
( ) ( ) tsts eCtueCtu ⋅⋅ ⋅=∧⋅= 21
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 6
mk
mc
mcs
mk
mc
mcs −
⋅−
⋅−=∧−
⋅+
⋅−=
2
2
2
1 2222
sendo por isso a solução geral a soma das duas:
( ) tsts eCeCtu ⋅⋅ ⋅+⋅= 2121
5.1.1 Sistema criticamente amortecido
O radicando das soluções s1 e s2 coincidem:
wmmkccmk
mc
cr ⋅⋅=⋅⋅==⇒=−
⋅220
2
2
Neste caso as duas soluções são:
( ) ( )t
mc
tmc crcr
etCtueCtu⋅
⋅
−⋅
⋅
−⋅⋅=∧⋅= 2
22
1
( ) ( )t
mc
tmc
tmc crcrcr
etCCetCeCtu⋅
⋅
−⋅
⋅
−⋅
⋅
−⋅⋅+=⋅⋅+⋅= 2
212
22
1
5.1.2 Sistema com amortecido superior ao crítico
As duas soluções s1 e s2 indicadas anteriormente são reais e a solução geral é:
( ) tsts eCeCtu ⋅⋅ ⋅+⋅= 2121
−−−⋅=∧
−+−⋅= 11 2
22
1 ξξξξ wsws
Através das condições iniciais do movimento: o deslocamento e a velocidade no
instante t = 0s, determina-se o valor das constantes C1 e C2:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tsts essusu
essusu
tu ⋅⋅ ⋅−
⋅−−⋅
−⋅−
= 21
21
1
21
2 0000 &&
5.1.3 Sistema com amortecido inferior ao crítico
Neste caso define-se o coeficiente de amortecimento:
12
<⋅⋅
==wm
ccc
crξ
A equação apresenta as duas soluções:
( ) ( ) tsts eCtueCtu ⋅⋅ ⋅=∧⋅= 21
22
21 11 ξξξξ −⋅⋅−⋅−=∧−⋅⋅+⋅−= wiwswiws
aa wiwswiws ⋅−⋅−=∧⋅+⋅−= ξξ 21
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 7
sendo 21 ξ−⋅=ww a a frequência angular do sistema amortecido. A solução geral
resulta da soma das duas soluções:
( ) twitwtwitw aa eCeCtu ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅− ⋅+⋅= ξξ21
( ) ( ) ( )( )twBtwAetu aatw ⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅⋅− sincosξ
Através das condições iniciais do movimento: o deslocamento e a velocidade no
instante t = 0s, determina-se o valor das constantes A e B:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⋅⋅
⋅⋅++⋅⋅⋅= ⋅⋅− tw
wwuutwuetu a
aa
tw sin00cos0 ξξ &
cuja expressão pode ainda escrever-se com o seguinte aspecto:
( ) ( )αξ −⋅⋅⋅= ⋅⋅− tweCtu atw cos
( )( ) ( ) ( )( )
( )0
0tan00
22
uw
wu
wwuuC
⋅⋅=∧
⋅⋅+=
ξα
ξ&
&
5.2 Solicitado por acções harmónicas
5.2.1 Sistema com amortecido inferior ao crítico
Seja agora o movimento de um SD1 com amortecimento inferior ao crítico submetido à
acção de uma força sinusoidal f(t) de amplitude po e frequência angular w :
( ) ( ) ( ) ( )twptukdttduc
dttudm o ⋅⋅=⋅+⋅+⋅ sin
2
2
Neste caso, para além da solução em vibração livre ou complementar, existe a solução
particular da equação que resolve o valor não nulo do segundo membro:
( ) ( ) ( )twCtwCtu p ⋅⋅+⋅⋅= cossin 43
Substituida esta solução na equação do movimento determinam-se as constantes C3 e
C4:
( ) ( ) ( ) ( )2224222
2
321
2
21
1
rr
rUCrr
rUC oo⋅⋅+−
⋅⋅−⋅=∧
⋅⋅+−
−⋅=
ξ
ξ
ξ
i.e.
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )twrtwrrr
Utu op ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+−
⋅= cos2sin121
1 2222
ξξ
que se pode ainda escrever-se com o seguinte aspecto:
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 8
( ) ( )α−⋅⋅= twUtu cos
( ) ( )2
222 12tan
21
1rrDU
rrUU oo
−
⋅⋅=∧⋅=
⋅⋅+−⋅=
ξα
ξ
Note-se que Uo representa o deslocamento estático, r a razão das frequências e D o
coeficiente de amplificação dinâmica.
A solução final é igual à soma da solução complementar com a solução particular agora
determinada:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )twrtwrrr
UtwBtwAetu oaatw ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅
⋅⋅+−⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅⋅− cos2sin1
21
1sincos 2222
ξξ
ξ
Através das condições iniciais do movimento: o deslocamento e a velocidade no
instante t = 0s, determina-se o valor das constantes A e B.
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )a
o
o
wrr
rwUAwu
B
rr
rUuA
222
2
222
21
10
21
20
⋅⋅+−
−⋅⋅−⋅⋅+
=
⋅⋅+−
⋅⋅⋅+=
ξξ
ξ
ξ
&
5.2.2 Sistema criticamente amortecido
Se o sistema estiver em ressonância (para ξ de valor pequeno, verdadeiro nos casos
correntes, isso corresponde aproximadamente a r = 1), e supondo o deslocamento e a
velocidade no instante t = 0s nulos, temos:
( ) ( ) ( ) ( )
⋅−
⋅⋅
−+⋅⋅⋅
⋅⋅= ⋅⋅− twtwtweUtu aa
two cossin
1cos
21
2ξ
ξξ
ξ
A solução é composta por duas parcelas: a primeira correspondente à resposta em
regime estacionário e a segunda em regime transitório:
( ) ( )
( )twiaEstacionarParcela
twtweaTransitoriParcela aatw
⋅→
⋅⋅
−+⋅⋅→ ⋅⋅−
cos
sin1
cos2ξ
ξξ
Como se supõe ξ de valor pequeno:
( ) ( ) ( ) ( )tweUtutw
ww two
a
a ⋅⋅−⋅
⋅≈⇒≈⋅⋅
≈ ⋅⋅− cos12
10sin
ξ
ξξ
que apresenta amplitude crescente no tempo tendendo para duas assimptotas
horizontais: u = + Uo / (2. ξ) e u = - Uo / (2. ξ).
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 9
NOTA: O valor r que verdadeiramente corresponde à ressonância do sistema é, no
caso geral, o valor que impõe a quantidade máxima para o coeficiente D de
amplificação do sistema, i.e.
ξ−=⇒=∂∂ 10 rrD
Se o sistema estiver em ressonância e for ξ = 0, a solução é indeterminada. No entanto,
essa indeterminação pode ser levantada:
( ) ( ) ( )( )twtwtwUtu o ⋅⋅⋅−⋅⋅=→ cossin21lim 0ξ
expressão que corresponde à solução já apresentada para a hipótese de SD1 em
ressonância sem amortecimento.
5.2.3 Sistema com amortecido superior ao crítico
Seja agora o movimento de um SD1 com amortecimento superior ao crítico submetido à
acção de uma força sinusoidal f(t) de amplitude po e frequência angular w . Neste caso,
para além da solução em vibração livre ou complementar ja apresentada no ponto 5.1.2,
existe a solução particular da equação que resolve o valor não nulo do segundo
membro da equação do movimento ( ( ) ( ) ( ) ( )twptuktuctum o ⋅⋅=⋅+⋅+⋅ sin&&& ) e que coincide
com a solução do movimento de um SD1 com amortecimento inferior ao crítico (uma
vez que a equação a resolver é a mesma):
( ) ( ) ( )twCtwCtu p ⋅⋅+⋅⋅= cossin 43
i.e.
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )twrtwrrr
Utu op ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+−
⋅= cos2sin121
1 2222
ξξ
ou ainda,
( ) ( )α−⋅⋅= twUtu cos
( ) ( )2
222 12tan
21
1rrDU
rrUU oo
−
⋅⋅=∧⋅=
⋅⋅+−⋅=
ξα
ξ
A solução final é igual à soma da solução complementar com a solução particular agora
determinada:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )twrtwrrr
UeCeCtutu otsts ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅
⋅⋅+−⋅+⋅+⋅== ⋅⋅ cos2sin1
21
1 2222
2121 ξ
ξ
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 10
−−−⋅=∧
−+−⋅= 11 2
22
1 ξξξξ wsws
Através das condições iniciais do movimento: o deslocamento e a velocidade no
instante t = 0s, determina-se o valor das constantes C1 e C2.
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )222
12
21
222
22
2
1
21
20
21
1200
rr
rUCuC
ssrr
wrrsUusu
C
o
o
⋅⋅+−
⋅⋅⋅+−=
−⋅⋅+−
⋅−+⋅⋅⋅⋅+⋅−
=
ξ
ξ
ξ
ξ&
6 Exemplos de aplicação
Nas páginas seguintes encontram-se alguns resultados de aplicação dos conceitos
teóricos apresentados a uma estrutura pendular invertida.
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 1
ENGENHARIA CIVIL MECÂNICA II
2º Ano / 1º Semestre – 2002/2003
Prof. João Miranda Guedes (DEC)
SISTEMA DISCRETO COM 1 GRAU DE LIBERDADE
(Pêndulo invertido em movimento oscilatório horizontal)
u(t) – Lei de movimento da massa no topo do pilar (representada nos gráficos)
F(t) = po * sin (W * t) – Lei da acção a impor (ou não) no topo do pilar na direcção do deslocamento
(t)
Massa = 100kg
Rigidez do pilar = 200 N/m Amortecimento relativo do pilar = ξ (variável)
MOVIMENTO LIVRE NÃO AMORTECIDO ( ( ) ( ) 0=⋅+⋅ tuktum && )
Dados u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 0 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14
t [s]
u(t)
[m]
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 2
Dados u(0) [m] = 0 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 2 4 6 8 10 12 14
t [s]
u(t)
[m]
Dados u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14
t [s]
u(t)
[m]
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 3
MOVIMENTO FORÇADO NÃO AMORTECIDO
( ( ) ( ) )(tftuktum =⋅+⋅ && )
Acção -> f(t) = po * sin (W * t) Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1 u(0) [m] = 0 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 0 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 2 4 6 8 10 12 14
t [s]
u(t)
[m] Sol. Complementar
Sol. ParticularSol. Final
Solução da Equação de Movimento
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 5 10 15 20 25
t [s]
u(t)
[m] Sol. Complementar
Sol. ParticularSol. Final
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 4
MOVIMENTO FORÇADO NÃO AMORTECIDO EM RESSONÂNCIA
( ( ) ( ) ( )tftuktum =⋅+⋅ && para 1=r )
Acção -> f(t) = po * sin (W * t) Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1,414214 u(0) [m] = 0 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 0 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-4-3-2-1012345
0 2 4 6 8 10 12 14
t [s]
u(t)
[m]
Solução da Equação de Movimento
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 5 10 15 20 25 30 35
t [s]
u(t)
[m]
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 5
Acção -> f(t) = po * sin (W * t) Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1,414214 u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10 12 14
t [s]
u(t)
[m]
Solução da Equação de Movimento
-10-8-6-4-202468
10
0 5 10 15 20 25 30 35
t [s]
u(t)
[m]
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 6
MOVIMENTO LIVRE COM AMORTECIMENTO INFERIOR AO CRÍTICO
( ( ) ( ) ( ) 0=⋅+⋅+⋅ tuktuctum &&& para 1<ξ )
Dados ξ = 0,10 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 ωa [rad/s] = 1,407125 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25
t [s]
u(t)
[m]
Dados ξ = 0,20 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 ωa [rad/s] = 1,385641 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-0,8-0,6-0,4-0,2
00,20,40,60,8
11,21,4
0 5 10 15 20 25
t [s]
u(t)
[m] Sol. Complementar
Sol. ParticularSol. Final
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 7
MOVIMENTO FORÇADO COM AMORTECIMENTO INFERIOR AO CRÍTICO
( ( ) ( ) ( ) ( )tftuktuctum =⋅+⋅+⋅ &&& para 1<ξ )
Acção -> f(t) = po * sin (W * t) Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1 ξ = 0,10 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 ωa [rad/s] = 1,407125 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14
t [s]
u(t)
[m] Sol. ComplementarSol. ParticularSol. Final
Solução da Equação de Movimento
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 5 10 15 20 25
t [s]
u(t)
[m] Sol. Complementar
Sol. ParticularSol. Final
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 8
MOVIMENTO FORÇADO COM AMORTECIMENTO INFERIOR AO CRÍTICO EM
RESSONÂNCIA ( ( ) ( ) ( ) ( )tftuktuctum =⋅+⋅+⋅ &&& para 1<ξ e 1=r )
Acção -> f(t) = po * sin (W * t) Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1,414214 ξ = 0,10 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 ωa [rad/s] = 1,407125 T [s] = 4,442883 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 5 10 15 20 25
t [s]
u(t)
[m] Sol. Complementar
Sol. ParticularSol. Final
Solução da Equação de Movimento
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 5 10 15 20 25 30 35 40
t [s]
u(t)
[m] Sol. Complementar
Sol. ParticularSol. Final
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 9
MOVIMENTO LIVRE COM AMORTECIMENTO SUPERIOR AO CRÍTICO
( ( ) ( ) ( ) 0=⋅+⋅+⋅ tuktuctum &&& para 1>ξ )
Dados ξ (>1) = 1,50 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 s1 = -0,54018 T [s] = 4,442883 s2 = -3,70246 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10 12 14
t [s]
u(t)
[m]
Dados ξ (>1) = 3,00 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 s1 = -0,24264 T [s] = 4,442883 s2 = -8,24264 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 2 4 6 8 10 12 14
t [s]
u(t)
[m]
Vibração de Sistemas Discretos de 1 G.L. 10
MOVIMENTO FORÇADO COM AMORTECIMENTO SUPERIOR AO CRÍTICO
( ( ) ( ) ( ) ( )tftuktuctum =⋅+⋅+⋅ &&& para 1>ξ )
Acção -> f(t) = po * sin (W * t)
Dados p0 [N] = 100 W [rad/s] = 1 ξ (>1) = 1,50 (Amortecimento) u(0) [m] = 1 (Deslocamento para t = 0s) v(0) [m/s] = 1 (Velocidade para t = 0s) Resultados ω [rad/s] = 1,414214 s1 = -0,54018
T [s] = 4,442883 s2 = -3,70246 f [Hz] = 0,225079
Solução da Equação de Movimento
-0,4-0,2
00,20,40,60,8
11,21,41,6
0 2 4 6 8 10 12 14
t [s]
u(t)
[m]
Solução da Equação de Movimento
-0,4-0,2
00,20,40,60,8
11,21,41,6
0 5 10 15 20 25
t [s]
u(t)
[m]