Movimiento en un Plano Mov. Circular uniforme Autores Ignacio Cruz Encinas Mario Enrique Álvarez Ramos Saúl Robles García Roberto Pedro Duarte Zamorano

Movimiento en un Movimiento en un PlanoPlano

Mov. Circular uniformeMov. Circular uniformeAutoresAutores

Ignacio Cruz EncinasIgnacio Cruz EncinasMario Enrique Álvarez RamosMario Enrique Álvarez Ramos

Saúl Robles GarcíaSaúl Robles GarcíaRoberto Pedro Duarte ZamoranoRoberto Pedro Duarte Zamorano

Ezequiel Rodríguez JáureguiEzequiel Rodríguez JáureguiRogelio Gámez CorralesRogelio Gámez Corrales

UNIVERSIDAD DE SONORAUNIVERSIDAD DE SONORADepartamento de FísicaDepartamento de Física

MOVIMIENTO CIRCULAR MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEUNIFORME

Analizaremos ahora el otro ejemplo de un movimiento en un Analizaremos ahora el otro ejemplo de un movimiento en un plano, siendo éste el circular uniforme. De igual forma que en plano, siendo éste el circular uniforme. De igual forma que en los movimientos anteriores, nuestro problema es realizar una los movimientos anteriores, nuestro problema es realizar una descripción completa de tal movimiento, para introducirnos en descripción completa de tal movimiento, para introducirnos en él supongamos el siguiente ejemplo:él supongamos el siguiente ejemplo:

Describir el movimiento de una rueda de automóvil se Describir el movimiento de una rueda de automóvil se encuentra girando en la misma posición. Suponga que se le encuentra girando en la misma posición. Suponga que se le han hecho unas marcas localizadas en la parte interior del han hecho unas marcas localizadas en la parte interior del eje de rotación, en los tornillos, en la parte interior del rin, en eje de rotación, en los tornillos, en la parte interior del rin, en la parte exterior del mismo, así como en la parte media y en la parte exterior del mismo, así como en la parte media y en la exterior del hule de la llanta.la exterior del hule de la llanta.

Dichas marcas las localizamos a partir del centro de rotación Dichas marcas las localizamos a partir del centro de rotación mediante los vectores de posición mediante los vectores de posición rr11 , , rr2, 2, ,,rr33,, r r44 y y r r55..

Movimiento circularMovimiento circular

r1 r2

y +

x +

Δr4

r3r4 r5

r2

r3

r4

r5

Δr5

Al girar la llanta, las marcas cambiarán de posición, pero tales Al girar la llanta, las marcas cambiarán de posición, pero tales cambios que se representan mediante cambios que se representan mediante rr son diferentes para son diferentes para cada marca, de tal forma que:cada marca, de tal forma que:

rr55 >> rr44 >> rr33 >> rr22 >> rr11

Es decir, en el mismo intervalo de tiempo las marcas Es decir, en el mismo intervalo de tiempo las marcas recorrerán distancias diferentes.recorrerán distancias diferentes.

Al existir un cambio de posición en un intervalo de tiempo, Al existir un cambio de posición en un intervalo de tiempo, tenemos asociada una velocidad media dada por:tenemos asociada una velocidad media dada por:

vvmm = = rr ⁄⁄ttcuya magnitud es: cuya magnitud es:

vvmm =│ =│ vvmm │ │ = = │ │ rr ⁄⁄tt │= (1 │= (1 ⁄⁄tt )(│ )(│rr│)│)

su dirección es la misma que la del desplazamiento, la cual su dirección es la misma que la del desplazamiento, la cual se obtiene uniendo la posición inicial con la final (es la se obtiene uniendo la posición inicial con la final (es la misma dirección y sentido para todos los misma dirección y sentido para todos los desplazamientos).desplazamientos).

Sin embargo, como los cambios de posición son diferentes Sin embargo, como los cambios de posición son diferentes para los mismos intervalos de tiempo, tenemos que las para los mismos intervalos de tiempo, tenemos que las magnitudes:magnitudes:

vvm5m5 > > vvm4m4 > > vvm3m3 > > vvm2m2 > > vvm1m1


Consecuentemente los vectores velocidad media también lo serán Consecuentemente los vectores velocidad media también lo serán

vvm5m5 ≠≠ vvm4m4 ≠≠ vvm3m3 ≠≠ vvm2m2 ≠≠ vvm1m1

(Para que dos o más vectores sean iguales deben de tener la misma (Para que dos o más vectores sean iguales deben de tener la misma magnitud, misma unidad, misma dirección y sentido, si alguno de magnitud, misma unidad, misma dirección y sentido, si alguno de estos parámetros cambia, los vectores son diferentes).estos parámetros cambia, los vectores son diferentes).

por lo tanto, por lo tanto, cada partícula que se mueva en una trayectoria circular cada partícula que se mueva en una trayectoria circular de radio de radio r r tendrá su propia ecuación de movimientotendrá su propia ecuación de movimiento, es decir, si , es decir, si tenemos tenemos n n partículas moviéndose simultáneamente, tendremos partículas moviéndose simultáneamente, tendremos n n ecuaciones, lo cual complica la descripción del movimiento.ecuaciones, lo cual complica la descripción del movimiento.

Para salvar dicha dificultad, se requiere de un nuevo concepto bajo Para salvar dicha dificultad, se requiere de un nuevo concepto bajo el cual se pueda hacer la descripción del movimiento de las el cual se pueda hacer la descripción del movimiento de las n n partículas con una sola ecuación. Dicho concepto es el de partículas con una sola ecuación. Dicho concepto es el de velocidad angular y para definirla, necesitamos conocer lo que velocidad angular y para definirla, necesitamos conocer lo que son las cantidades angulares y la relación que estas guardan con son las cantidades angulares y la relación que estas guardan con respecto a las cantidades lineales o tangenciales que hemos respecto a las cantidades lineales o tangenciales que hemos venido manejando. Para tal relación, se requiere definir en primer venido manejando. Para tal relación, se requiere definir en primer lugar lo que es el ángulo y la forma común de medirlo, lo cual lugar lo que es el ángulo y la forma común de medirlo, lo cual abordaremos a continuación:abordaremos a continuación:


El ángulo formado entre dos rectas que se unen en un punto El ángulo formado entre dos rectas que se unen en un punto llamado vértice se define como el cociente entre el arco de llamado vértice se define como el cociente entre el arco de circunferencia y el radio del círculo. Para representar circunferencia y el radio del círculo. Para representar simbólicamente a los ángulos, generalmente se utilizan las simbólicamente a los ángulos, generalmente se utilizan las letras del alfabeto griego, a (alfa); b (beta); g (gama); q (teta); f letras del alfabeto griego, a (alfa); b (beta); g (gama); q (teta); f (fi), etc.(fi), etc.

ÁnguloÁngulo

R radio de la circunferencia

v vértice o eje de rotación

S

R

R

vrecta

recta

S arco de circunferencia

ángulo

= S ⁄ R

La forma común de medir ángulos es en sentido La forma común de medir ángulos es en sentido contrario a las manecillas del reloj. contrario a las manecillas del reloj.

Como Como SS se mide en metros, lo mismo que se mide en metros, lo mismo que RR, el , el ángulo es una cantidad adimensional, es decir, no ángulo es una cantidad adimensional, es decir, no tiene unidades, sin embargo, para saber de que tiene unidades, sin embargo, para saber de que cantidad estamos hablando se le da el nombre de cantidad estamos hablando se le da el nombre de radianes ( radianes ( radrad ), grados ( ), grados ( 00 ), o revoluciones ( ), o revoluciones ( revrev ). ).

Un radián es cuando la longitud del arco de Un radián es cuando la longitud del arco de circunferencia es igual a la longitud del radio (circunferencia es igual a la longitud del radio (ss = = RR ). ).

Para encontrar la equivalencia entre grados y Para encontrar la equivalencia entre grados y radianes, sabemos que un circulo tiene 360radianes, sabemos que un circulo tiene 36000, lo cual , lo cual es una revolución completa, así mismo, tenemos que es una revolución completa, así mismo, tenemos que 3603600 0 representan la longitud el perímetro de la representan la longitud el perímetro de la circunferencia (2circunferencia (2R), luego entonces:R), luego entonces:

ÁnguloÁngulo

= 360= 36000 = S ⁄ R = 2 = S ⁄ R = 2R ⁄ R = 2R ⁄ R = 2 radianes = 1 revolución radianes = 1 revolución

Expresado de otra forma, dividimos el perímetro de la Expresado de otra forma, dividimos el perímetro de la circunferencia en 360 partes iguales para obtener la circunferencia en 360 partes iguales para obtener la equivalencia de un grado en radianesequivalencia de un grado en radianes

1100 = = S ⁄ R = (2S ⁄ R = (2R ⁄ 360) ⁄ R = 2R ⁄ 360) ⁄ R = 2⁄360 = ⁄360 = ⁄180 = 3.1416 ⁄ 180 ⁄180 = 3.1416 ⁄ 180

1100 = 0.01745 rad. = 0.01745 rad.

36036000 = 1 rev. = 1 rev.

Aplicando la regla de tres simple, se encuentra que:Aplicando la regla de tres simple, se encuentra que:

1 rad = 57.31 rad = 57.300

Ángulo, radianes y revoluciónÁngulo, radianes y revolución

Ya que tenemos la forma de medir los ángulos, analicemos Ya que tenemos la forma de medir los ángulos, analicemos nuevamente el movimiento de nuevamente el movimiento de n n partículas que se mueven en partículas que se mueven en trayectorias circulares de diferentes radios, buscando trayectorias circulares de diferentes radios, buscando generalidades para todas ellas.generalidades para todas ellas.

Para los dos cuerpos, el ángulo barrido (Para los dos cuerpos, el ángulo barrido ( ) es el mismo, así como ) es el mismo, así como el intervalo de tiempo ( el intervalo de tiempo ( tt))

Velocidad Angular MediaVelocidad Angular Media

r

r

R

R

sr

sR

vvmm = = S ⁄S ⁄tt

De la definición de ángulo De la definición de ángulo

= S ⁄ R

despejamosdespejamos S S = R

y sustituimos en la ecuación de velocidad mediay sustituimos en la ecuación de velocidad media

vvmm = R ( = R ( ⁄ ⁄ t)t)

El cociente de ángulo barrido entre intervalo de tiempo, es el El cociente de ángulo barrido entre intervalo de tiempo, es el mismo para cualquier partícula que se mueva en una mismo para cualquier partícula que se mueva en una trayectoria circular, la velocidad lineal o tangencial (v) trayectoria circular, la velocidad lineal o tangencial (v) dependerá de la distancia de la partícula al centro de rotación. dependerá de la distancia de la partícula al centro de rotación.

A dicho cociente, se le denomina A dicho cociente, se le denomina velocidad angular mediavelocidad angular media

representándose con la letra griega omegarepresentándose con la letra griega omega (( ).).



Velocidad Angular mediaVelocidad Angular media mm == ⁄⁄ttsus unidades son:sus unidades son:

rad ⁄ srad ⁄ srev ⁄ srev ⁄ s

grados ⁄ sgrados ⁄ sPara obtener la velocidad angular instantánea, se procede de igual Para obtener la velocidad angular instantánea, se procede de igual

forma que para la velocidad tangencial instantánea, es decir, forma que para la velocidad tangencial instantánea, es decir, tomando el limite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, lo tomando el limite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, lo cual expresado en símbolos es:cual expresado en símbolos es:

La relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular es:La relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular es:

vv = = rr

0

0

0lim

0lim

0lim

tt

θθ

tΔΔt

Δθ

tΔω

tΔω

ainstantáneangularvelocidad


La velocidad es directamente proporcional a la velocidad angular La velocidad es directamente proporcional a la velocidad angular y a la distancia al eje de rotación. Como la velocidad angular es y a la distancia al eje de rotación. Como la velocidad angular es una constante para un sistema de partículas, la velocidad lineal una constante para un sistema de partículas, la velocidad lineal dependerá de la distancia de la partícula al eje de rotación, dependerá de la distancia de la partícula al eje de rotación, entre mas alejada se encuentre, mayor velocidad tendrá. entre mas alejada se encuentre, mayor velocidad tendrá.

La ecuación de movimiento en cantidades angulares para una La ecuación de movimiento en cantidades angulares para una partícula que se mueve en una trayectoria circular, se partícula que se mueve en una trayectoria circular, se encuentra despejando encuentra despejando de la definición de velocidad angular:de la definición de velocidad angular:

= = 00 + + ( ( t – tt – t00 ) )

0

0

tt

θθ

Δt

Δθ

Frecuencia y periodoFrecuencia y periodo

Cuando se trabaja con movimientos repetitivos como lo es un Cuando se trabaja con movimientos repetitivos como lo es un cuerpo moviéndose en trayectoria circular, existen dos conceptos cuerpo moviéndose en trayectoria circular, existen dos conceptos útiles de introducir, siendo estos: útiles de introducir, siendo estos: la frecuenciala frecuencia y y el periodoel periodo. Cada . Cada uno de ellos se define como:uno de ellos se define como:

FrecuenciaFrecuencia.- .- El número de vueltas por unidad de tiempo (se El número de vueltas por unidad de tiempo (se representa mediante la letra griega representa mediante la letra griega "nu""nu" ).).

cuyas unidades son recíprocos de segundo o cuyas unidades son recíprocos de segundo o ss-1 -1

PeríodoPeríodo.- El tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta (o .- El tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta (o revolución) completa (se representa mediante la letra griega revolución) completa (se representa mediante la letra griega "tao""tao" ). ).

= = ttCuando el número de vueltas es uno, entonces:Cuando el número de vueltas es uno, entonces:

tiempovueltasdenúmero

1

Las velocidades lineales y angulares se expresan mediante los Las velocidades lineales y angulares se expresan mediante los parámetros anteriores al considerar una vuelta completa, donde parámetros anteriores al considerar una vuelta completa, donde la distancia recorrida será igual al perímetro de la la distancia recorrida será igual al perímetro de la circunferencia.circunferencia.

v = v = ss// t =t = 2 2r/r/tty como el tiempo es simplemente "y como el tiempo es simplemente "taotao““

v = v = 22rr//además, como la frecuencia es el inverso del período:además, como la frecuencia es el inverso del período:

v = v = 22r(1r(1//por lo que,por lo que,

v = v = 22rrComparando las relaciones anteriores con la expresión:Comparando las relaciones anteriores con la expresión:

v = v = r rtenemos que:tenemos que:

= 2= 2 = 2 = 2//escribiendo todas las relaciones se tiene que:escribiendo todas las relaciones se tiene que:

vv = = r =r = 2 2r/r/ = = 22rr

Velocidad lineal y angularVelocidad lineal y angular

Analicemos nuevamente el movimiento de una partícula que se Analicemos nuevamente el movimiento de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio r. Como ya se vio en mueve en una trayectoria circular de radio r. Como ya se vio en el movimiento en el plano, la velocidad de la partícula será el movimiento en el plano, la velocidad de la partícula será siempre tangente a la trayectoria que ésta siga (de ahí que siempre tangente a la trayectoria que ésta siga (de ahí que reciba el nombre de velocidad lineal o tangencial), además reciba el nombre de velocidad lineal o tangencial), además recordemos que la velocidad es un vector que posee magnitud, recordemos que la velocidad es un vector que posee magnitud, unidad, dirección y sentido.unidad, dirección y sentido.

Empezaremos por el caso mas sencillo en el cual la magnitud Empezaremos por el caso mas sencillo en el cual la magnitud de la velocidad es constante.de la velocidad es constante.

Aceleración Centrípeta o Aceleración Centrípeta o RadialRadial

R v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

v8

│v1│= │ v2 │=│v3│= …… =│v7│=│v8│

Pero: v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ …… ≠ v7 ≠ v8

Porque tienen diferente dirección y sentido

Puesto que Puesto que los vectores velocidad son diferenteslos vectores velocidad son diferentes, luego entonces , luego entonces tendremos una diferencia de vectores dada por:tendremos una diferencia de vectores dada por:

vv = = vv22 – – vv11

vv = = vv33 – – vv22

vv = = vv44 – – vv33

vv = = vv55 – – vv44

etc.etc.

los cuales se pueden expresar como una suma, al sumar al primer los cuales se pueden expresar como una suma, al sumar al primer vector, el negativo del segundo vector, es decir:vector, el negativo del segundo vector, es decir:

vv = = vv22 + (– + (– vv1)1)

veámoslo gráficamente: veámoslo gráficamente:

Aceleración Centrípeta o RadialAceleración Centrípeta o Radial

Como se puede apreciar, todos los vectores cambios de velocidad Como se puede apreciar, todos los vectores cambios de velocidad son diferentes, pero tienen algo en común: están dirigidos hacia son diferentes, pero tienen algo en común: están dirigidos hacia adentro del círculo y tienen la misma magnitud. adentro del círculo y tienen la misma magnitud.


v12 v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

v8

-v1-v2

-v3

-v8

v81

v23

v34

R-v4

v45

Dado que los cambios de velocidad son diferentes, Dado que los cambios de velocidad son diferentes, consecuentemente tendremos una aceleración dada por:consecuentemente tendremos una aceleración dada por:

aa = = vv / / ttque como ya sabemos, es un vector con:que como ya sabemos, es un vector con:

magnitud, magnitud,

unidad, unidad,

dirección y dirección y

sentido.sentido.

Para precisar correctamente tanto su dirección como sentido así Para precisar correctamente tanto su dirección como sentido así como su magnitud, analicemos de nuevo la figura manteniendo como su magnitud, analicemos de nuevo la figura manteniendo aún constante la magnitud de la velocidad pero considerando aún constante la magnitud de la velocidad pero considerando un un intervalo de tiempointervalo de tiempo t t mas pequeñomas pequeño y consecuentemente un y consecuentemente un ..


Al hacer la diferencia de vectores Al hacer la diferencia de vectores vv (por ej. (por ej. vv22 – – vv11), en la figura se ), en la figura se aprecia que ésta apunta en dirección radial y hacia el centro de aprecia que ésta apunta en dirección radial y hacia el centro de rotación independientemente del lugar en donde la queramos rotación independientemente del lugar en donde la queramos medir (por ej. medir (por ej. vv44 – – vv33) . Además como la dirección y el sentido ) . Además como la dirección y el sentido del vector aceleración es el mismo que del vector cambio de del vector aceleración es el mismo que del vector cambio de velocidad: velocidad: la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotaciónrotación, de ahí que reciba el nombre de , de ahí que reciba el nombre de aceleración radial o aceleración radial o centrípetacentrípeta..

v v cuando cuando t t → 0→ 0


v

v1-v1

v3

v2

v4

-v3

v

Cualitativamente, también se aprecia que la diferencia de vectores Cualitativamente, también se aprecia que la diferencia de vectores tienen la misma magnitud. Para determinarla tienen la misma magnitud. Para determinarla cuantitativamente, debemos tomar un cuantitativamente, debemos tomar un tt próximo a cero, de tal próximo a cero, de tal manera que los puntos manera que los puntos a a y y b b se encuentren tan cercanos uno se encuentren tan cercanos uno del otro que la parte curva del circulo entre dichos puntos del otro que la parte curva del circulo entre dichos puntos pueda considerarse como una recta. pueda considerarse como una recta.


v

v1-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

S

De ésta forma, tendremos que De ésta forma, tendremos que SS será una línea recta entre el será una línea recta entre el punto punto aa y el punto y el punto bb, formándose los triángulos , formándose los triángulos aebaeb y y bcdbcd, que , que tienen las siguientes características:tienen las siguientes características:

triángulo triángulo aebaeb triángulo triángulo bcdbcdDos lados iguales Dos lados iguales RR vv

Uno desigual Uno desigual SS vvDe la semejanza de triángulos tenemos que:De la semejanza de triángulos tenemos que:

dos o más triángulos son semejantesdos o más triángulos son semejantes

si tienen dos lados iguales y uno desigual. si tienen dos lados iguales y uno desigual.

Dicho en otras palabras, Dicho en otras palabras,

el lado desigual (el lado desigual (SS) del triángulo ) del triángulo aebaeblo es al lado igual (lo es al lado igual (RR) )

como el lado desigual (como el lado desigual (vv) del ) del

triángulo triángulo bcdbcd lo es al lado igual ( lo es al lado igual (vv). ).


v

v1-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

S

Magnitud de la Aceleración Magnitud de la Aceleración CentrípetaCentrípeta

Traducido en lenguaje simbólico:Traducido en lenguaje simbólico:

despejandodespejando vv y dividiendoy dividiendo entre el intervalo de tiempo entre el intervalo de tiempo tt que tardó que tardó el cuerpo en ir del puntoel cuerpo en ir del punto aa al puntoal punto bb

donde:donde:

y y

sustituyendo lo anteriorsustituyendo lo anterior

R

S

v

v

tR

Sv

t

v

vt

S

at

v

R

va

2


Siendo Siendo

aa = = ││aa│ │ lala magnitudmagnitud de la aceleración del cuerpo,de la aceleración del cuerpo,

vv = = ││vv│ │ lala magnitudmagnitud de la velocidad del cuerpo yde la velocidad del cuerpo y

RR el radio de la trayectoria circularel radio de la trayectoria circular

Como la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, Como la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, se le agrega el subíndice se le agrega el subíndice rr para diferenciarla de la aceleración para diferenciarla de la aceleración lineal o tangencial.lineal o tangencial.

De ésta forma:De ésta forma:

R

var

2

Aceleración Centrípeta o Aceleración Centrípeta o RadialRadial

Para expresarla en forma vectorial, se define el vector unitarioPara expresarla en forma vectorial, se define el vector unitario que es un vector cuya magnitud es la unidad, su dirección es que es un vector cuya magnitud es la unidad, su dirección es a lo largo del radio y su sentido es saliendo del centro y a lo largo del radio y su sentido es saliendo del centro y dirigiéndose hacia la posición de la partícula. Se puede decir dirigiéndose hacia la posición de la partícula. Se puede decir que constantemente está cambiando su dirección (con que constantemente está cambiando su dirección (con respecto a un sistema de coordenadas respecto a un sistema de coordenadas xx, , yy), ya que sigue a la ), ya que sigue a la partícula en toda su trayectoria circular. partícula en toda su trayectoria circular.

Además, como la aceleración apunta en sentido contrario al Además, como la aceleración apunta en sentido contrario al vector unitario es decir, en dirección entonces:vector unitario es decir, en dirección entonces:

La magnitud de la aceleración, expresada en función de la La magnitud de la aceleración, expresada en función de la velocidad angular, la frecuencia y el período es:velocidad angular, la frecuencia y el período es:

rR

var ˆ

2

r̂

r̂

2

2222

2 44

r

rrrv

ar

Todos los movimientos analizados hasta el momento, tales como Todos los movimientos analizados hasta el momento, tales como el rectilíneo uniforme, el uniformemente acelerado, el el rectilíneo uniforme, el uniformemente acelerado, el parabólico y el circular uniforme, son de los movimientos mas parabólico y el circular uniforme, son de los movimientos mas sencillos que se producen en la naturaleza y se han tratado de sencillos que se producen en la naturaleza y se han tratado de una forma aislada.una forma aislada.

Sin embargo, en la vida cotidiana lo que se observa en realidad es Sin embargo, en la vida cotidiana lo que se observa en realidad es una combinación de ellos como por ejemplo:una combinación de ellos como por ejemplo:

Un automóvil que se desplaza con velocidad constante sobre una Un automóvil que se desplaza con velocidad constante sobre una carretera horizontal y que tiene una curva en el camino. El carretera horizontal y que tiene una curva en el camino. El conductor, al observar la curva disminuye su velocidad pasando de conductor, al observar la curva disminuye su velocidad pasando de un movimiento rectilíneo uniforme a uno uniformemente acelerado un movimiento rectilíneo uniforme a uno uniformemente acelerado (desacelerado), ya que empieza a frenar para poder entrar a la (desacelerado), ya que empieza a frenar para poder entrar a la curva con menor velocidad y no derrapar en el pavimento. curva con menor velocidad y no derrapar en el pavimento.

Al entrar a la curva, dependiendo de la velocidad que lleve en ese Al entrar a la curva, dependiendo de la velocidad que lleve en ese momento, puede agarrarla con esa misma velocidad, pasando a un momento, puede agarrarla con esa misma velocidad, pasando a un movimiento circular uniforme. movimiento circular uniforme.

Aproximadamente después de la mitad de la curva, el conductor Aproximadamente después de la mitad de la curva, el conductor vuelve a acelerar, pasando a un movimiento circular no uniforme, vuelve a acelerar, pasando a un movimiento circular no uniforme, continuando acelerando al salir de la curva hasta alcanzar continuando acelerando al salir de la curva hasta alcanzar nuevamente la velocidad de crucero (velocidad de viaje). Esto lo nuevamente la velocidad de crucero (velocidad de viaje). Esto lo ilustramos en la siguiente figura:ilustramos en la siguiente figura:

Movimiento Circular no Movimiento Circular no UniformeUniforme

Movimiento Circular no UniformeMovimiento Circular no Uniformerectilíneo uniforme

rectilíneo uniformementeacelerado

circular no uniforme

rectilíneo uniformementeacelerado

rectilíneo uniforme

R

circular uniforme

Movimiento Circular no UniformeMovimiento Circular no Uniforme

Analicemos el movimiento Analicemos el movimiento

circular no uniforme en el cual circular no uniforme en el cual tanto la magnitud de la tanto la magnitud de la velocidad así como la velocidad así como la dirección y sentido están dirección y sentido están variando.variando.

v

v1

-v1

v2

vv1

-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

S

r̂


v

v1

-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

S

r̂

vr

vt Eje radial

Eje tangente


Nuevamente, al hacer la diferencia de vectores, encontramos un Nuevamente, al hacer la diferencia de vectores, encontramos un cambio en la velocidad, pero a diferencia del movimiento cambio en la velocidad, pero a diferencia del movimiento anterior, éste ya no apunta en dirección radial. Pero como es un anterior, éste ya no apunta en dirección radial. Pero como es un vector, la podemos descomponer en dos componentes vector, la podemos descomponer en dos componentes rectangulares, una radial y otra tangencial.rectangulares, una radial y otra tangencial.

vv = = vvrr + + vvtt

y la aceleración del cuerpo será:y la aceleración del cuerpo será:

donde el término:donde el término:

es la aceleración radial o centrípeta que encontramos en la sección es la aceleración radial o centrípeta que encontramos en la sección anterior, y anterior, y

es la aceleración lineal del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, es la aceleración lineal del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la cual viene expresada por:la cual viene expresada por:

tv

tv

tv

a tr

rr atv

tt atv


Como es un movimiento circular, la velocidad lineal se expresa en Como es un movimiento circular, la velocidad lineal se expresa en cantidades angulares como:cantidades angulares como:

v =v = rrsustituyendo tenemos que:sustituyendo tenemos que:

además:además:

que es conocida con el nombre de aceleración angular media ( que es conocida con el nombre de aceleración angular media ( mm ))

0

0

tt

vv

t

va tt

0

0

0

0

0

0

ttr

ttrr

ttvv

at

ttt

0

0

0

0

ttt

mmediaangularnaceleració


Tomando el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:Tomando el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:

y cuando la aceleración angular media es una constante, ésta será y cuando la aceleración angular media es una constante, ésta será también igual a la aceleración en cualquier instante de tiempo, es también igual a la aceleración en cualquier instante de tiempo, es decir:decir:

de donde:de donde:

Por lo tanto, la aceleración del cuerpo que se mueve en una Por lo tanto, la aceleración del cuerpo que se mueve en una trayectoria circular con velocidad variable y aceleración angular trayectoria circular con velocidad variable y aceleración angular constante es:constante es:

dtd

ttt ttm

t

0

0

000limlimlimainstantáneangularnaceleració

0

0

tttm

)( 00 tt

raa r

Aunque ya tenemos la relación entre ambas cantidades, éstas se Aunque ya tenemos la relación entre ambas cantidades, éstas se obtuvieron suponiendo que la rueda se encontraba girando en obtuvieron suponiendo que la rueda se encontraba girando en la misma posición, ahora combinaremos dos movimientos la misma posición, ahora combinaremos dos movimientos simultáneos: el lineal y el rotacional. simultáneos: el lineal y el rotacional.

Un ejemplo de ello es cuando un carrete desenrolla una cuerda o Un ejemplo de ello es cuando un carrete desenrolla una cuerda o una rueda se desliza por el suelo, lo cual se ilustra en la una rueda se desliza por el suelo, lo cual se ilustra en la siguiente figura:siguiente figura:

Cantidades Tangenciales y Cantidades Tangenciales y AngularesAngulares

r

A

B

r

A

B

s

s = r

r

A

B

s

En dado caso de que el carrete rotara en la misma posición, para En dado caso de que el carrete rotara en la misma posición, para que el punto B ocupe la posición del punto A, debe de girar un que el punto B ocupe la posición del punto A, debe de girar un ángulo ángulo el cual por definición viene expresado como: el cual por definición viene expresado como:

s/rs/ren donde por definición de ángulo, en donde por definición de ángulo, debe de medirse en radianes. debe de medirse en radianes. Al arco de circunferencia también se le llama distancia tangencial Al arco de circunferencia también se le llama distancia tangencial

por ser medido tangencialmente al borde del carrete, y viene por ser medido tangencialmente al borde del carrete, y viene expresado por:expresado por:

s = r s = r Como tenemos dos movimientos simultáneos, el rotacional al girar Como tenemos dos movimientos simultáneos, el rotacional al girar

y el lineal al avanzar el carrete, al observar la figura anterior, se y el lineal al avanzar el carrete, al observar la figura anterior, se tiene que la distancia lineal que recorre la rueda al girar un arco tiene que la distancia lineal que recorre la rueda al girar un arco de circunferencia de circunferencia s = r s = r , es igual a la distancia tangencial que , es igual a la distancia tangencial que recorre el borde. Lo anterior nos permite relacionar el recorre el borde. Lo anterior nos permite relacionar el movimiento lineal con el rotacional.movimiento lineal con el rotacional.


Más aún, si se observa la siguiente Más aún, si se observa la siguiente ilustración en que una rueda gira ilustración en que una rueda gira con su eje de rotación en la misma con su eje de rotación en la misma posición levantando un cuerpo, se posición levantando un cuerpo, se ve que existe una relación similar ve que existe una relación similar en la forma en que la cuerda se en la forma en que la cuerda se enrolla en su borde. enrolla en su borde.

A medida que un punto del borde A medida que un punto del borde recorre una distancia tangencial recorre una distancia tangencial s s al girar, en el borde se enrolla una al girar, en el borde se enrolla una longitud longitud ss de la cuerda.de la cuerda.


s

rr

s

s = r

Más aún, si se observa la siguiente Más aún, si se observa la siguiente ilustración en que una rueda gira ilustración en que una rueda gira con su eje de rotación en la misma con su eje de rotación en la misma posición levantando un cuerpo, se posición levantando un cuerpo, se ve que existe una relación similar ve que existe una relación similar en la forma en que la cuerda se en la forma en que la cuerda se enrolla en su borde. enrolla en su borde.

A medida que un punto del borde A medida que un punto del borde recorre una distancia tangencial recorre una distancia tangencial s s al girar, en el borde se enrolla una al girar, en el borde se enrolla una longitud longitud ss de la cuerda.de la cuerda.


s

rr

s

s = r

Cantidades Lineales y Cantidades Lineales y AngularesAngulares

Comparación entre las ecuaciones de movimientoComparación entre las ecuaciones de movimiento

LinealesLineales AngularesAngulares

s = ss = s00 + v + vmm (t – t (t – t00 ) ) = = 00 + + mm (t – t (t – t00 ) )

v = vv = v00 + a (t – t + a (t – t00 ) ) = = 00 + + (t – t (t – t00 ) )

vvmm = = ½½ (v + v (v + v00 ) ) mm = = ½½ ( (+ + 00 ) )

vv22 - v - v0022 = 2 a (s – s = 2 a (s – s00 ) ) 22 - - 00

22 =2 =2 ( ( – – 00 ) )

s = ss = s00 + v + v00 t + t + ½½ a (t - t a (t - t00 ) )22 = = 00 + + 00 t + t + ½½ (t - (t - tt00 ) )22

NotaNota:: Para convertir cantidades angulares a lineales, las Para convertir cantidades angulares a lineales, las primeras deben de estar expresadas en primeras deben de estar expresadas en radianesradianes

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Movimiento en un Plano Mov. Circular uniforme Autores Ignacio Cruz Encinas Mario Enrique Álvarez Ramos Saúl Robles García Roberto Pedro Duarte Zamorano