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MRU, MRUA y MCU
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MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS Y CIRCULARES.
INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA
UNIDAD: 1
ÍNDICE
1. La percepción del tiempo y el espacio
2. Descripción del movimiento 2.1. Instante e intervalo de tiempo
2.2. Posición y trayectoria
2.3. Desplazamiento y espacio recorrido
3. Velocidad 3.1. El vector velocidad
3.2. Clasificación de los movimientos
4. Movimiento Rectilíneo y Uniforme (MRU)
4.1. Gráficas del MRU
4.2. Ecuación del MRU
4.3. Composición de movimientos rectilíneos y uniformes
5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
5.1. Aceleración
5.2. Gráficas del MRUA
5.3. Ecuaciones del MRUA
5.4. Estudio de un caso particular: la caída libre
6. Movimiento circular uniforme 6.1. Ángulo recorrido
6.2. Velocidad lineal y velocidad angular
6.3. Gráficas y ecuaciones del movimiento circular uniforme (MCU)
1. LA PERCEPCIÓN DEL TIEMPO Y EL ESPACIO
Cinemática: parte de la Física que estudia los
movimientos, independientemente de la causa
que los produce.
El movimiento se basa en dos magnitudes
fundamentales: espacio y tiempo.
2. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO
Un móvil se encuentra en movimiento si cambia su posición al transcurrir el tiempo con respecto a un punto fijo e invariable que tomamos como referencia. Si esa posición se mantiene constante y no varía con el tiempo, el móvil se halla en reposo.
El estado de reposo o movimiento de un objeto es relativo al punto que se tome como referencia.
2.1. INSTANTE E INTERVALO DE TIEMPO
Tiempo: magnitud fundamental del SI., su
unidad es el segundo (s)
Instante de tiempo: valor que marca el aparato
de medida en un momento dado.
Intervalo de tiempo (Δt): tiempo que transcurre
entre dos instantes determinados: tiempo final
– tiempo inicial: Δt = tfinal - tinicial
Δ se utiliza para indicar la diferencia entre dos
valores de una magnitud, es decir, su variación
2.2. POSICIÓN Y TRAYECTORIA
La posición es el lugar en que se encuentra el
móvil respecto al punto tomado como
referencia en un instante de tiempo dado. La
trayectoria es la línea que une las posiciones
sucesivas por las que pasa el móvil.
2.2. POSICIÓN Y TRAYECTORIA
MAGNITUDES VECTORIALES Y ESCALARES
Magnitudes escalares: basta con indicar su valor
para comprenderlas.
Magnitudes vectoriales: además de indicar su
valor es necesario indicar la dirección y el
sentido.
Cinemática ≈ son magnitud vectoriales: posición,
desplazamiento, velocidad y aceleración.
2.2. POSICIÓN Y TRAYECTORIA
La posición del móvil viene determinada por el vector posición (r), cuyo origen es el punto de referencia y cuyo extremo se localiza en el lugar ocupado por el móvil.
Si es una línea recta, necesitamos solamente un eje donde: La posición es positiva (X > 0) si el móvil está a la
derecha del punto de referencia.
La posición es negativa (x < 0) si el móvil se sitúa a la izquierda del punto de referencia.
La posición es cero (X = 0) si el móvil está exactamente en el punto de referencia.
2.3. DESPLAZAMIENTO Y ESPACIO RECORRIDO
El desplazamiento (Δr) de un móvil en un
intervalo de tiempo es la diferencia entre las
posiciones que ocupa en el instante final y en
el instante inicial. El espacio recorrido (s) es la
longitud que recorre medida sobre la
trayectoria.
EJEMPLO
Un peatón recorre 200 m hacia el norte, 300 m
hacia el este y 150 m hacia el oeste. Calcula el
espacio recorrido y el desplazamiento realizado
por el peatón.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 3, 5, 6, 7, 8 y 9 de la página 98 del
libro de texto
3. VELOCIDAD
La velocidad es una magnitud derivada que
aparece cuando un móvil se mueve.
La velocidad media (vm ) de un móvil se define
como el cociente entre el desplazamiento que
ha tenido lugar y el intervalo de tiempo
empleado para ello. La velocidad instantánea
(v) es la velocidad que tiene el móvil en un
instante de tiempo dado.
3. VELOCIDAD
La unidad de la velocidad en el SI es el metro por segundo (m/s), pero es muy frecuente observarlo en kilómetro por hora (km/h).
Cálculo de la vm en una trayectoria rectilínea:
Signo de la velocidad: Velocidad positiva → el móvil se desplaza hacia la
derecha con respecto al punto de referencia
Velocidad negativa →el móvil se mueve hacia la izquierda de dicho punto
3. VELOCIDAD
Un ciclista se desplaza por una carretera recta.
Utiliza los datos del dibujo para calcular la
velocidad del ciclista en cada intervalo de
tiempo.
Realiza el ejercicio: 5 de la página 82 del libro de texto
3.1.EL VECTOR VELOCIDAD
Al ser el desplazamiento un vector, la velocidad también lo es.
La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria cuyo sentido coincide con el movimiento.
Si la trayectoria es una recta, el vector velocidad siempre mantiene la misma dirección.
Si la trayectoria es una curva, la dirección del vector velocidad varía dependiendo del instante analizado.
3.2. CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS
Movimientos
Según su trayectoria
Rectilíneos (trayectoria: línea
recta)
Curvilíneos (trayectoria: no
línea recta)
Circulares (trayectoria =
circunferencia)
Según su velocidad
Uniformes (velocidad constante)
Variados (velocidad NO
constante)
Acelerados (aumenta su
velocidad)
Retardados (disminuye su
velocidad)
LÍMITES DE VELOCIDAD
Cuando circulamos por una carretera en coche, en moto, o con cualquier otro vehículo, debemos adecuar nuestra velocidad a los límites establecidos por las normas de circulación. Multitud de señales nos avisan de los límites máximos permitidos (circulares en color rojo con fondo blanco) o de la velocidad aconsejada en determinados tramos, como puede ser una curva peligrosa (circular con fondo azul)
EJEMPLO
Calcula la velocidad media de estos móviles que se mueven con movimiento rectilíneo y asígnale su signo de acuerdo con los datos que se dan:
a) El móvil se ha movido 200 m hacia la izquierda y ha invertido 4 minutos
b) El móvil se encuentra 10 m a la izquierda del punto de referencia en el instante t = 3 s, y en el instante t = 15 s, 30 m a la derecha de dicho punto
EJERCICIOS
Realiza el ejercicio: 7 de la página 83 del libro de texto
Realiza los ejercicios: 11, 14 y 15 de la página 98 del libro de texto
4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME
Se denomina MRU al movimiento cuya
trayectoria es una línea recta y cuya velocidad
es constante.
El móvil recorre la misma distancia para
intervalos de tiempo iguales.
La velocidad media debe coincidir con la
velocidad instantánea.
4.1. GRÁFICAS DEL MRU
GRÁFICA POSICIÓN – TIEMPO
Línea recta cuya pendiente
coincide con su velocidad.
GRÁFICA VELOCIDAD – TIEMPO
Es una línea horizontal ya que la
velocidad no varía.
4.1. GRÁFICAS DEL MRU
Ejemplo: Juan y Alicia trabajan en la misma oficina. La siguiente gráfica describe los
movimientos realizados por Juan, tomando como punto de referencia la
mesa de Alicia. Interpreta el significado de cada tramo.
TRAMO A
En el instante inicial, Juan se encuentra
a 3 m a la derecha de la mesa de Alicia.
Se desplaza con MRU hacia la derecha
(recta ascendente). Su velocidad en ese
tramo es:
TRAMO B
La posición no cambia con el tiempo, Juan se
encuentra en reposo durante 25 s, a 8 m de
Alicia.
4.2. ECUACIÓN DEL MRU
Consta de una dependencia lineal entre la posición y el tiempo:
Donde:
X, es la posición del móvil en un instante de tiempo. (m)
X0, es la posición inicial del móvil. (m)
V, es la velocidad del móvil en ese instante. (m/s)
t, es el tiempo. (s)
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 10 y 11 de la página 85 del libro
de texto
Realiza los ejercicios: 12 y 13 de la página 86 del libro
de texto
IMPRESIONANTE
En uno de sus vuelos experimentales, la NASA consiguió que su prototipo
supersónico X – 43 A, impulsado por motores atmosféricos, alcanzara la
velocidad de mach 9.8 durante unos 10 s. Para que te hagas una idea,
piensa que 1 mach equivale a la velocidad del sonido, es decir, 340 m/s, lo
que significa que el avión alcanzó la sorprendente velocidad de 3300 m/s,
casi 12000 km/h.
NASA: National Aeronautics and Space Administration
4.3. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
RECTILÍNEOS Y UNIFORMES
Imagina que cruzamos un río en una barca con MRU. La posición que
alcanzaremos tras cruzarlo, será una situación como la del dibujo:
Nuestro movimiento, y la trayectoria que describimos, es el resultado de la
combinación de dos movimientos simultáneos e independientes: el de avance de la
barca y el de la corriente de agua. Es decir, hablamos de composición de
movimientos.
4.3. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
RECTILÍNEOS Y UNIFORMES
Tenemos que tener presente que los desplazamientos se realizan en 2 direcciones (x e y), perpendiculares, en este ejemplo.
Si X = X0 + V · t, como X0 = 0, tenemos: X = V · t
Corriente: X = 0.5 · t
Avance: Y = 3 · t
Si el río tiene una anchura de 120, tenemos:
120 = 3 · t → t = 120 / 3 → t = 40 s
En ese tiempo (40 s) la corriente habrá desplazado a la barca hacia la derecha: x = 0.5 · 40 = 20 m
AMBOS MOVIMIENTOS SON INDEPENDIENTES, se calculan por separado. Pero, lo que nosotros observamos es un solo movimiento rectilíneo desde la posición inicial a la posición final, situada en la orilla opuesta y 20 m hacia la derecha.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 15, 16 y 17 de la página 87 del
libro de texto
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
ACELERADO (MRUA)
Es aquel cuya trayectoria es una línea recta y
cuya velocidad aumenta o disminuye de forma
lineal con el tiempo.
5.1. ACELERACIÓN
Aceleración (a): magnitud que cuantifica la variación
de la velocidad respecto al tiempo.
Aceleración media (am): se define como el cociente
entre la variación de la velocidad experimentada por
el móvil y el intervalo de tiempo invertido en esa
variación
Donde:
am → Aceleración media (m/s2)
V → Velocidad (m/s)
t → Tiempo (s)
2 → Situación final
1 → Situación inicial
5.1. ACELERACIÓN
Si la velocidad aumenta → ΔV >0, es decir, la aceleración es positiva.
Si la velocidad disminuye → ΔV <0, es decir, la aceleración es negativa.
Si la aceleración del móvil es constante hablamos de un movimiento uniformemente acelerado (su velocidad varía de forma lineal respecto al tiempo). En este caso podemos clasificar a los movimientos en 2 tipos: 1. MRUA: donde la aceleración es constante y positiva
2. MRUR: donde la aceleración es constante y negativa
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 18, 19 y 20 de la página 88 del
libro de texto
5.2. GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO
UNIFORMEMENTE ACELERADO
Gráficas posición tiempo
A intervalos de tiempo iguales, el
desplazamiento es cada vez mayor. El
móvil va aumentando su velocidad: es un
movimiento acelerado.
A intervalos de tiempo iguales, el
desplazamiento es cada vez menor.
El móvil va disminuyendo su
velocidad: es un movimiento
retardado.
5.2. GRÁFICAS DELMOVIMIENTO
UNIFORMEMENTE ACELERADO
Gráficas velocidad – tiempo
La gráfica en un MRUA es una línea recta, ascendente si el movimiento es
acelerado o descendente si es retardado.
La pendiente de la gráfica proporciona el valor de la aceleración.
5.2. GRÁFICAS DEL MOVIMIENTO
UNIFORMEMENTE ACELERADO
Gráficas aceleración – tiempo
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 21 y 22 de la página 89 del libro
de texto
Realiza los ejercicios: 27 y 28 de la página 99 del libro
de texto
5.3. ECUACIONES DEL MRUA
Donde:
X → posición (m)
X0 → posición inicial (m)
V → velocidad en un instante (m/s)
V0 → velocidad inicial (m/s)
t → tiempo (s)
a →aceleración (m/s2)
S → desplazamiento (X – X0) (m)
EJEMPLO
Un móvil parte del reposo en línea recta a 30 m a la izquierda del punto de referencia con una aceleración constante de 5 m/s2. Halla su velocidad cuando han transcurrido 0.3 minutos, y calcula la posición del móvil en ese mismo instante.
V0 = 0 m/s
X0 = - 30 m
t = 0.3 min = 0.3 · 60 = 18 s
a = 5 m/s2
V = V0 + a · t
V = 5 · 18 = 90 m/s
X = X0 + V0 · t + ½ · a · t2
X = - 30 + ½ · 5 · 182
X = 780 m
A los 0.3 minutos de iniciado el movimiento, el móvil se encuentra a 780 m a la derecha del punto de referencia, y su velocidad es igual a 90 m/s.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 23 y 24 de la página 90 del libro
de texto
Realiza los ejercicios: 30, 31 y 33 de la página 100 del
libro de texto
5.4. ESTUDIO DE UN CASO PARTICULAR: LA
CAÍDA LIBRE
La caída de un objeto es un MRUA, en el que el móvil parte con velocidad inicial cero (si se deja caer) o tendrá una determinada velocidad inicial si es lanzado.
La aceleración de los cuerpos, es constante y presenta un valor de 9.8 m/s2, si el cuerpo desciende y - 9.8 m/s2, si el móvil sigue una trayectoria ascendente.
Las ecuaciones son idénticas a las analizadas en el MRUA, salvo que donde pone a, se refiere a g.
EJEMPLO
Un objeto cae desde una altura de 7 m. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar el suelo y la velocidad con la que llega.
V0 = 0 m/s
s = 7 m
g = 9.8 m/s2
s = v0· t + ½ · a · t2
7 = ½ · 9,8 · t2
→ t = 1.2 s
V2 = V0 + 2 · a · s
V2 = 2 · 9,8 · 7 → V = 11.7 m/s
El objeto llegará al suelo en 1.2 s con una velocidad de 11.7 m/s.
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 25, 26 y 27 de la página 91 del
libro de texto
6. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
Es el que posee una trayectoria circular y un
valor de velocidad constante.
6.1. ÁNGULO RECORRIDO
En un MCU, un móvil recorre el mismo espacio sobre
su trayectoria en intervalos de tiempo iguales.
Pero al ser un movimiento circular, podemos hablar
también de la situación interior del movimiento, es
decir, el móvil barre un ángulo (φ) determinado en
cada intervalo de tiempo.
6.1. ÁNGULO RECORRIDO
En el S.I. la unidad es el radián (rad). La
conversión entre grados y radianes se realiza
gracias a la equivalencia: 360º → 2 · π rad
Un radián es el valor del ángulo para el cual el
radio mide igual que el arco que abarca.
0º 0 rad
45º Π / 4 rad
90º Π / 2 rad
180º Π rad
270º 3 · π / 2 rad
6.1. ÁNGULO RECORRIDO
EJEMPLOS
Realiza la conversión de 40º a radianes:
Transforma 2.5 · π radianes en grados:
6.1. ÁNGULO RECORRIDO
Si medimos el ángulo en radianes, podemos
relacionar el espacio recorrido por el móvil
sobre la trayectoria (la longitud del arco) con el
ángulo correspondiente, a través del radio de la
circunferencia.
Donde:
S – El arco recorrido por el móvil (m)
R – El radio de la circunferencia (m)
Φ – El ángulo recorrido por el cuerpo (rad)
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 28, 29 y 30 de la página 92 del
libro de texto
6.2. VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR
Podemos analizar dos tipos de velocidades:
1. Velocidad angular media (ω): es el cociente entre el ángulo que barre un móvil en un cierto intervalo de tiempo y el valor de ese intervalo. Unidad en el S.I. rad/s.
ω= Δφ / Δt
2. Velocidad lineal (v): se obtiene como el cociente entre el espacio o arco recorrido y el intervalo de tiempo empleado. Unidad en el S.I. m/s.
V = ΔS / Δt
6.2. VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR
Existe una ecuación que relaciona ambas
velocidades:
V = R · ω
Ejemplo: Un móvil describe un movimiento circular
uniforme con un radio de 20 m en el cual barre un
ángulo de 3 radianes cada minuto. Calcula:
a) La velocidad angular del móvil
b) El ángulo que recorre en 50 segundos
c) La velocidad lineal que lleva
6.2. VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR
Los movimientos circulares presentan otra particularidad: son periódicos, es decir repiten una y otra vez la misma trayectoria. Esta característica nos permite estudiar dos magnitudes muy importantes:
o La frecuencia (f): es el número de vueltas completas que da el móvil en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz).
ω = 2 · π · f o El período (T): es el tiempo invertido por el móvil en completar una vuelta. Se mide
en segundos.
f = 1 /T
ω = 2 · π / T
Donde:
f – es la frecuencia (Hz)
T – es el período (s)
ω - es la velocidad angular (rad/s)
EJERCICIOS
Realiza los ejercicios: 32 y 33 de la página 93 del libro
de texto
6.3. GRÁFICAS Y ECUACIONES DEL MCU
Si representamos el espacio (o el ángulo)
recorrido por el móvil frente al tiempo,
obtendremos líneas rectas, ya que ambas
magnitudes son linealmente dependientes con
el tiempo.
Las pendientes equivalen a: velocidad lineal y
velocidad angular, respectivamente.
6.3. GRÁFICAS Y ECUACIONES DEL MCU
Las ecuaciones de un MCU para el espacio recorrido y el ángulo en función del tiempo son:
S = S0 + v · t S – espacio recorrido (m)
S0 – espacio inicial (m)
V – velocidad lineal (m/s)
t – tiempo (s)
ϕ = ϕ0 + ω · t ϕ – ángulo recorrido (rad) ϕ0 - ángulo inicial (rad) ω – velocidad angular (rad/s) t – tiempo (s)
EJEMPLO
Un objeto se mueve con MCU en una trayectoria de radio 1.5 m y con una velocidad angular de 0.2 rad/s, con ángulo inicial de cero. Escribe las ecuaciones del movimiento y calcula el ángulo y el espacio que ha recorrido después de 1 minuto.
R = 1.5 m
ω = 0.2 rad/s
ϕ0 = 0 rad t = 1 min = 60 s V = ω · R V = 0.2 · 1.5 = 0.3 m/s S = 0.3 · t ϕ = 0.2 · t
S = 0.3 · 60 = 18 m
ϕ = 0.2 · 60 = 12 rad (1.9 vueltas) En 1 minuto, el móvil recorre 18 m, equivalentes a un ángulo de 12 rad.
Ecuaciones del movimiento
EJERCICIOS
Realiza el ejercicio: 34 de la página 94 del libro de texto
Realiza los ejercicios: 38, 39 y 40 de la página 100 del
libro de texto
