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TEMA 05MOVIMIENTOS RECTILINEOS

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Prof. Ricardo Nitsche Corvalán

5.1.- CINEMÁTICA RECTILÍNEA

5.1.1.- Los cambios y las pendientes.

Del tema anterior tenemos que: la velocidadvelocidadvelocidadvelocidad y aceleraciónaceleraciónaceleraciónaceleración son las

cantidades que nos permiten describir un movimiento cualquiera, aunque aún no

calaramos como; la velocidad velocidad velocidad velocidad es un vector que apunta siempre en la dirección

del movimiento; la aceleraciónaceleraciónaceleraciónaceleración es un vector que apunta a la concavidad de la

curva descrita en el movimiento; la magnitud de la velocidad promedio no es

siempre igual a la rapidez promedio. Igual ocurre entre la magnitud de la

aceleración promedio y la celeridad promedio; la magnitud de la velocidad

instantánea es igual a la rapidez instantánea e igual ocurre entre la magnitud de

la aceleración instantánea y la celeridad instantánea.

Los movimientos rectilíneos tienen algunas ventajas: la primera es como la

dirección no varia, el calculo vectorial no existe, salvo para indicar o colocar en

los resultados al vector unitario del eje respectivo y la segunda es que no hay

diferencia entre rapidez promedio y la magnitud de la velocidad promedio; igual

entre celeridad promedio y magnitud de la aceleración promedio.

Aclarado los puntos anteriores, iniciaremos este capitulo con un ejemplo:

Ejemplo 5.1:A continuación se tiene la posición de un cuerpo para distintos tiempos; hacerlas gráficas de Posición contra Tiempo; Velocidad contra Tiempo y Aceleracióncontra Tiempo.

20191817161514131211109876543210t(s)

1246751-3-6-7-6-4-137101110865x(m)

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La primera de las gráficas no tiene problema, y tendríamos una imagen similara la siguiente:

Para realizar la gráfica de velocidad (rapidez) contra tiempo, entoncescalculamos las pendientes entre cada dos puntos consecutivos y el tiempopromedio en cada intervalo resultado la siguiente tabla y la siguiente gráfica:

vp1 = �x1

�t1= x1 − x0

t1 − t0= 5m − 2m

1s − 0s= 3m/s y tp1 = t0 + t1

2= 0s + 1s

2= 0, 5s

vp2 = �x2

�t2= ...

19,518,517,516,515,514,513,512,511,510,59,58,57,56,55,54,53,52,51,50,5t(s)

-1-2-2-124431-1-2-3-4-4-3-11221v(m/s)

Para realizar la gráfica de aceleración (celeridad) contra tiempo, calculamosahora las pendientes entre cada dos puntos consecutivos de la gráfica develocidad y el tiempo promedio en cada intervalo resultado la siguiente tabla y la siguiente gráfica:

ap1 = �v1

�t1= v1 − v0

t1 − t0= 4m/s − 3m/s

1, 5s − 0, 5s= 1m/s2 y tp1 = t0 + t1

2=

0, 5s + 1, 5s2

= 1s

ap2 = �x2

�t2= ...

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19181716151413121110987654321t (s)

10-1-3-201221110-1-2-2-101a (m/s2)

El ejemplo anterior nos muestra un caso cualquiera de movimiento

rectilíneo de un cuerpo; sin embargo cuando se ven las tres gráficas una sobre

otra se pueden sacar algunas conclusiones interesantes:

Los máximos y/o mínimo de lagráfica de posición contra tiempose corresponden con unamagnitud de velocidad (rapidez)igual a cero en la gráfica develocidad contra tiempo.

Cuando la pendiente de la gráficaposición contra tiempo es positiva,la magnitud de la velocidadtambién lo es; si la pendiente esnegativa, la velocidad es negativa,esto es que apunta en el sentidocontrario.

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Los máximos y/o mínimo de lagráfica de velocidad contra tiempose corresponden con unamagnitud de aceleración igual acero.

Cuando la pendiente de la gráficavelocidad contra tiempo espositiva, la magnitud de laaceleración también lo es; si lapendiente es negativa, laaceleración es negativa, esto esque apunta en el sentidocontrario.

_______Nota: cuando la aceleración y la velocidad van en la misma dirección y sentido, se dice que elelelelcuerpo está acelerandocuerpo está acelerandocuerpo está acelerandocuerpo está acelerando y la magnitud de la velocidad en esos intervalos de tiempo se incrementa;cuando la aceleración y la velocidad son vectores con sentidos opuestos se dice que el cuerpo oel cuerpo oel cuerpo oel cuerpo osistema está sistema está sistema está sistema está desacelerandodesacelerandodesacelerandodesacelerando ; y en esos intervalos de tiempo la velocidad disminuye su magnitud.

Para el ejemplo en cuestión se tiene que la velocidad y la aceleración van en los mismos sentidosen los intervalos de tiempo: (0;2), (4;7), (11;14) y (16,25;20); en el resto de los intervalos (2;4),(7;11), (14;16,25) velocidad y aceleración tienen signos contrarios y se desacelera el movimientohasta que la velocidad se vuelve cero._______Dato: Para ubicar los intervalos de aceleración determine los intervalos de tiempo donde la velocidad esnula hasta donde la aceleración se vuelve cero. A veces es necesario interpolar para hallar el valorde algún extremo del intervalo.

a. Grafícas de: Posición contra Tiempo, Velocidad contra Tiempo yaceleración contra tiempo.

b. Grafica de Distancia recorrida contra tiempo.c. Tiempos para los cuales la velocidad y la aceleración son nulasd. Intervalos donde el cuerpo acelera y/o desacelera.

Ejercicios propuestos 5.1 Dado los siguientes valores de posición contratiempo; realizar y determinar:

589851-4-8-10-10-8-415810x(m)

302826242220181614121086420t(s)

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5.2.- CASOS PARTICULARES

5.2.1.- Movimiento rectilíneo uniforme.

El movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es el más simple de todos, su

condición fundamental que la velocidad (magnitud y dirección) es constantela velocidad (magnitud y dirección) es constantela velocidad (magnitud y dirección) es constantela velocidad (magnitud y dirección) es constante, ello

implica que la aceleración es nulala aceleración es nulala aceleración es nulala aceleración es nula .

Cuando se gráfica un MRU se tiene que la gráfica de posición contra

tiempo es una línea recta cuya pendiente es igual a la magnitud de la velocidad;

y la gráfica de velocidad/rapidez contra tiempo es una línea paralela al eje

horizontal, cuya pendiente es nula.

Como la pendiente de la primera gráfica es constante, entonces la única

fórmula en este movimiento es la de rapidez promedio.

v = �x�t f v = x f − x i

t f − t if ��xxxx = vvvv $ ��ttttf (x f − x i ) = v $ (t f − t i )f xxxx f = xxxx i + vvvv $ ��tttt

Donde se puede observar en la segunda gráfica que el área bajo la curva

es igual a la cantidad “∆x”, esto es el cambio de posición o la distancia recorrida.

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Ejemplo 5.2:Un carro A viaja a 90 km/h; detrás, a una distancia de 50 m otro vehículo Bviaja a 126 km/h; determinar el tiempo que tarda el segundo vehículo enalcanzar al primero y la distancia recorrida por ambos vehículos.

Primero es bueno unificar unidades, las distancias las dejamos en metros ytransformamos las velocidades a “m/s”.

va = 90km/h d va = 25m/s

vb = 126km/h d vb = 35m/s

Es importante hacer un esquema del movimiento de los vehículos indicando suposición al tiempo inicio (que generalmente se asume cero) y la posición en eltiempo final.

Gráficamente se puede observar:

�xb = 50m + �xa d

vb $ �t = 50m + va $ �t

agrupando términos:

(vb − va ) $ �t = 50m d �t = 50m(vb − va )

= 50m(35m/s − 25m/s)

= 5s

donde:�xa = 25m/s $ 5s = 125m

�xb = 35m/s $ 5s = 175m

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a. Repita el ejemplo anterior, pero ahora ambos vehículos viajan ensentidos contrarios (se acercan) y demuestre que:

�t = 0, 83s; �xa = 20, 8m y �xb = 29, 2m

b. Un tren A tiene 150 m de largo y viaja a 100 km/h; un carro B detamaño despreciable respecto a tren trata de adelantar al mismoviajando a una rapidez de 110 km/h en el mismo sentido que el tren,demostrar que las distancias y tiempos respectivos son:

�t = 54s; �xa = 1500m y �xb = 1650m

c. Repita el problema anterior, pero ahora el carro y el tren viajan ensentidos opuestos y demuestre que:

�t = 2, 57s; �xa = 71, 4m y �xb = 78, 6m

d. En el clásico cuento de la tortuga y la liebre tenemos los siguientesdatos. Primero la distancia a recorrer en la carrera será de 100 metros.La liebre corre a una rapidez de 2,5 m/s y la tortuga a 0,2 m/s. Ambosarrancan juntos pero la liebre creyéndose ganadora se toma una siestade 8 minutos; confirmar si la liebre pierde la carrera por casi un metro.

e. En el problema anterior determinar cuánto debió ser el tiempo máximoque la liebre debe tomar la siesta para no perder la carrera.

f. Dos trenes, ambos de 150 metros de largos circulan por vías paralelas,el primero A se mueve a 45 km/h; el segundo B a 60 km/h. Determinartiempo requerido para que el segundo tren adelante el primero

g. Si los trenes del problema anterior se mueven en sentidos contrarios,determinar el tiempo que tardan en cruzarse.

__________Dato: para el problema “a” al hacer el esquema observe que: �xa + �xb = 50m

Ejercicios propuestos 5.2 Confirmar los siguientes resultados:

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5.2.2.- Movimiento rectilíneo uniforme acelerado.

El movimiento rectilíneo uniforme acelerado (MRUA) tiene como condición

fundamental que la aceleración (magnitud y dirección) es constantela aceleración (magnitud y dirección) es constantela aceleración (magnitud y dirección) es constantela aceleración (magnitud y dirección) es constante, ello implica

que la velocidadla velocidadla velocidadla velocidad, dependiendo si va en el mismo sentido o en sentido contrario,

aumenta o disminuye en forma proporcionalaumenta o disminuye en forma proporcionalaumenta o disminuye en forma proporcionalaumenta o disminuye en forma proporcional (el segundo caso se conoce como

Movimiento rectilíneo uniforme desacelerado MRUD).

La expresión general establece al ser la pendiente constante en la gráfica

magnitud de la velocidad contra tiempo que:

a = �v�tf a = v f − v i

t f − t if ��vvvv = aaaa $ ��ttttf (v f − v i ) = a $ (t f − t i )f vvvv f = vvvv i + aaaa $ ��tttt

Para determinar la distancia recorrida (magnitud del cambio de posición),

recordemos del punto anterior que el área baja la gráfica de velocidad contra

tiempo es igual a la distancia recorrida; por tanto se tiene, al ser un trapecio el

área correspondiente, resulta que la velocidad promedio velocidad promedio velocidad promedio velocidad promedio es

�x = area = h1 + h2

2$ base d

�x = v i + v f

2$�t d vvvvpromedio = �xxxx

��tttt= vvvv i + vvvv f

2

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Si a la vp sustituimos vf tenemos la segunda expresión de MRUA:

2 $ �x = (v i + v f ) $ �t d 2 $�x = [v i + (v i + a $�t)] $�t d

2 $ �x = 2 $ v i $�t + a $ �t2 d resultado:

�x = v i $ �t + 12 $ a $ �t2 f (xxxx f − xxxx i ) = vvvv i $ ��tttt + 1

2 $ aaaa $ ��tttt2

Finalmente si a vp sustituimos ∆t resulta la tercera ecuación de MRUA:

2 $�x = (v i + v f ) $�t d 2 $ �x = (v i + v f ) $�va d

2 $ �x $ a = (v f + v i ) $ (v f − v i ) d 2222 $ ��xxxx $ aaaa = vvvv f2 − vvvv i

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Ejemplo 5.3:Un carro A viaja a 45 km/h cuando pasa por un cruce donde está detenido uncarro B. Si el carro B acelera a razón de 1 m/s2; determinar el tiempo quetarda el segundo vehículo en alcanzar al primero y la distancia recorrida porambos vehículos, sabiendo que el carro B inicia su movimiento 5 s después deque A lo adelanta. Y cual es la velocidad de B al final.

Primero es bueno unificar unidades, las aceleración la dejamos en m/s2 ytransformamos las velocidades a “m/s”.

va = 45km/h d va = 12, 5m/s

vb inicial = 0m/s

ab = 1m/s2

El esquema de movimiento es como se indica:

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Gráficamente se tiene: ; donde “d” es la distancia recorrida por el�xb = �xa + d

carro A en los primeros 5 segundos; resulta entonces a ser B con “MRUA” y Acon “MRU” que:

vbi $�t + 12$ ab $�t2 = va $�t + va $ 5s d

0m/s $�t + 12$ 1m/s2 $�t2 = 12, 5m/s $�t + 12, 5m/s $ 5s d

0, 5m/s2 $�t2 = 12, 5m/s $�t + 62, 5m d

62, 5m + 12, 5m/s $�t − 0, 5m/s2 $�t2 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado resulta:

�t =−12, 5m/s ! (12, 5m/s)2 − 4 $ (−0, 5m/s2 ) $ (62, 5m)

2(−0, 5m/s2 )

�t = −12, 5m/s ! 16, 8m/s−1m/s2 = 29, 3s (tomamos el valor positivo)

Resultado que la distancia recorrida por cada carro desde el inicio delmovimiento fue:

�xb = 1

2$ (1m/s2 ) $ (29, 3s)2 = 429m

�xa = 12, 5m/s $ (29, 3s + 5s) = 429m

La velocidad final de B puede obtenerse por cualquiera de las expresiones:

�v = a $ �t d vbf = vbi + a $ �t = 0m/s + 1m/s2 $ 29, 3s = 29, 3m/s = 105, 5km/h

ó:2 $ �x $ a = vbf

2 − vbi2 d 2 $ 429m $ 1m/s2 = vbf

2 − (0m/s)2d vbf = 858m2/s2 = 29, 3m/s

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a. Un vehículo A acelera desde el reposo hasta alcanzar una rapidez de15 m/s; sigue con esa velocidad por los próximos dos minutos y frenahasta detenerse. Sabiendo que las magnitudes de la aceleración y ladesaceleración son iguales; y la distancia recorrida por el carro es de 2 km; confirmar que la magnitud de las aceleraciones eran de 1,13m/s2 y el tiempo total del viaje fue de 2 minutos y 27 segundos.

b. El coyote quiere agarrar al correcaminos, para ello se ha inventado uncohete, que se enciende cuando el correcaminos pasa justo a su lado.Sabiendo que el correcaminos viaja a 90 km/h, y que el cohete aceleraa razón de 2 m/s2, durante los primeros 15 segundos y luego sigue avelocidad constante. Demostrar que el coyote agarrará al correcaminoa los 45 segundos de iniciar su movimiento.

c. Suponiendo para el problema anterior que la vía es sólo recta unadistancia de 1 km; antes de girar en una dar una curva; demostrar queel coyote no alcanza al correcaminos por casi 4 segundos.

d. Dos carros viajan por una misma vía en sentidos contrarios; si ladistancia entre ellos es de 500 metros; y ambos viajan a 90 km/h;demostrar que si el frenan al mismo tiempo ambos vehículos a razón de 1 m/s2; aún así chocan los vehículos entre si.

e. Para el ejercicio anterior, determinar que la velocidad de colisión deambos vehículos.

f. Para ejercicio d; demostrar que la velocidad inicial de ambos vehículostal que no ocurra el choque debe ser inferior a 80,5 km/h.

g. Suponiendo que el primer vehículo (A) del problema “d”, viaje a lamitad de la rapidez que el segundo (B), cual debe ser la rapidez deambos para evitar que choquen si el tiempo de frenado de ambosvehículos es igual y vale 20 segundos.

h. Demostrar que las distancias recorridas por ambos vehículos en el

ejercicio anterior son respectivamente: ∆xA = 167 m y ∆xB = 333 m.


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5.2.3.- Caída Libre.

La Caída LibreCaída LibreCaída LibreCaída Libre es un caso

particular del movimiento rectilíneomovimiento rectilíneomovimiento rectilíneomovimiento rectilíneo

uniforme aceleradouniforme aceleradouniforme aceleradouniforme acelerado (MRUA); donde el

valor de la aceleración es conocido y

vale: 9,8 m/s2 o 32,2 pies/s2 en

dirección vertical hacia abajo. Esta

aceleración es denotada por la letra

“gggg” o por “aaaagggg”; para indicar la

aceleración de la gravedadaceleración de la gravedadaceleración de la gravedadaceleración de la gravedad .

Las ecuaciones de la caída libre son:

�v = −ag $�tf vf = v i − ag $�t

�y = v i $�t − 12 $ ag $�t2 f y f = y i + v i $�t − 1

2 $ ag $�t2

v f2 − v i

2 = −2 $�y $ ag f v f2 = v i

2 − 2 $ (y f − y i ) $ ag

___________Nota: en el sentido vertical la posición la indicaremos con la letra “y”

Ejemplo 5.4:Una piedra (A) es lanzada hacia arriba con una rapidez inicial de 20 m/s;posteriormente a los dos segundos una segunda piedra (B) es lanzada tambiénhacia arriba con igual velocidad inicial. Determinar altura a la que seencuentran y tiempo desde que se lanzó la segunda piedra para que elloocurra.

Como siempre es fundamental hacerse un esquema de lo que ocurre;

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Debe ocurrir que las alturas finales deambas piedras es la misma y comoambas partieron de la misma altura adiferentes tiempos entonces:

ybf = yaf d �yb = �ya

Por otra parte:

�ta = �tb + 2s

Donde resulta

vbi $�tb − 12 $ag $�tb = vai $�ta − 1

2 $ ag $�ta

Sustituyendo, desarrollado el binomio y cancelando términos comunes resulta:

20m/s $ �tb − 12 $ (9, 8m/s2 ) $ (�tb )2 = 20m/s $ (�tb + 2s) − 1

2 $ (9, 8m/s2 ) $ (�tb + 2s)2d

0 = 20m/s $ 2s − 4, 9m/s2 $ (2 $ 2s $ �tb + (2s)2 ) d

40m = 4, 9m/s2 $ 4s $�tb + 4, 9m/s2 $ 4s2 d

(40m − 19, 6m) = 19, 6m/s $�tb d ��ttttbbbb = 1111, 00004444ssss

Calculamos las diferencia de alturas para cada piedra y tenemos:

�yb = 20m/s $ �tb − 12 $ (9, 8m/s2 ) $ (�tb )2

d

�yb = 20m/s $ (1, 04s) − 12 $ (9, 8m/s2 ) $ (1, 04s)2 = 20, 8m − 5, 3m = 11115555, 5555mmmm

�ya = 20m/s $ (�tb + 2s) − 12 $ (9, 8m/s2 ) $ (�tb + 2s)2

�ya = 20m/s $ (3, 04s) − 12 $ (9, 8m/s2 ) $ (3, 04s)2 = 60, 8 − 45, 3 = 11115555, 5555mmmm

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a. Se deja caer una piedra desde una altura de 50 m; demostrar quetarda 3,2 segundos en llegar al piso y que impacto al piso con velocidad de 31,3 m/s hacia abajo.

b. Una piedra se deja caer a un pozo; si se escucha el chapoteo del aguaa los 1,5 segundos. ¿Cuál es la profundidad del pozo?

c. Una piedra es lanzada hacia arriba, si tarda 5 segundos en volver alpunto de partida, determinar la altura máxima alcanzada por la piedray la velocidad con que fue lanzada hacia arriba.

d. En la luna la gravedad es un sexto (1/6) de la gravedad de la tierra;demostrar que para la piedra anterior, lanzada con la misma velocidadinicial, tarda en volver a caer unos 30 segundos y que la alturaalcanzada por la piedra en la luna es de 183,8 m.

e. Una piedra es soltada desde lo alto de un acantilado, y tras caer sehunde en el agua del lago abajo del acantilado a velocidad constantepor unos 0,5 segundos; determinar la profundidad del agua y la alturadel acantilado, si se sabe que el viaje de la piedra duro unos 3segundos en total.


Formulario Resumen:

�y = y f − y i = v i $ �t − 12$ ag $ (�t)

2

�v = v f − v i = −ag $ �t

v f2 − v i

2 = −2 $ ag $�y

→ ag = −9, 8 m/s2 $ j

→ ag = −32, 2 pie/s2 $ j

Caída LibreCaída LibreCaída LibreCaída LibreAceleración de la gravedadAceleración de la gravedadAceleración de la gravedadAceleración de la gravedad

�x = x f − x i = v i $�t + 12$ a $ (�t)2

�v = v f − v i = a $�t

v f2 − v i

2 = 2 $ a $ �x

�x = x f − x i = v $ �t

MRUAMRUAMRUAMRUAMRUMRUMRUMRU

15


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