МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

«Київський політехнічний інститут»

Т.В. Авдєєва В.М. Горбачук

АЛГЕБРА

ОСНОВИ АЛГЕБРАЇЧНИХ СТРУКТУР

Навчальний посібник

Київ НТУУ «КПІ»

2015

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

«Київський політехнічний інститут»

Т.В. Авдєєва В.М. Горбачук

АЛГЕБРА

ОСНОВИ АЛГЕБРАЇЧНИХ СТРУКТУР

Навчальний посібник

“Рекомендовано”

Методичною радою НТУУ “КПІ”

Київ НТУУ «КПІ»

2015

УДК 512.8 (076) 512 (075.8) ББК 22.14 Гриф надано методичною радою НТУУ «КПІ» (протокол № 5 від 8 червня 2015 р.)

Рецензенти: О.Г. Ганюшкін, канд. фіз.-мат. наук, доцент., Київський національний університет Імені Тараса Шевченка В.В. Сергійчук, доктор фіз.-мат. наук, провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України

Відповідальний редактор: Н.О. Вірченко, д-р фіз.-мат. наук, проф., Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»

Алгебра. Основи алгебраїчних структур. Навчальний посібник /Т.В. Авдєєва, В.М. Горбачук.- К.: НТУУ «КПІ», 2015. – 79 с. – Бібліогр.: с. 79. –100 пр.

В навчально-методичному посібнику викладено короткі теоретичні відомості з теорії груп, кілець і полів, даються приклади розв’язування задач з відповідних розділів. Наводяться варіанти індивідуальних завдань для студентів.

Призначений для студентів фізико-математичного факультету НТУУ “ КПІ ”, може бути використаний також в інших університетах при вивчені курсу “ Алгебри і теорії чисел ”. УДК 512.8 (076) 512 (075.8) ББК 22.14

© Т.В. Авдєєва, В.М. Горбачук, 2015

3

ЗМΙСТ

Передмова 4

Програма курсу 5

Розділ 1. Алгебраїчні структури 7

1.1. Бінарна операція. Напівгрупа. Група 7

1.2. Таблиця Келі 15

1.3. Порядок елемента групи 17

1.4. Група симетрій 22

1.5. Система твірних елементів групи. Циклічна група 24

1.6. Теореми Силова. Силовськи підгрупи 27

1.7. Морфізми груп 28

1.8. Кільце 34

1.9 Дільники нуля, дільники одиниці, оборотні та нільпотентні

елементи. Поле

40

Розділ 2. Кільце многочленів від однієї змінної 49

2.1. Многочлени від однієї змінної. Схема Горнера 49

2.2. Звідні та незвідні многочлени. Корені многочлена 56

Розділ 3. Многочлени від багатьох змінних 68

3.1 Симетричні многочлени 68

Додатки 1. Питання колоквіуму 71

2. Варіанти контрольних та самостійних робіт 73

3. Цікаві задачі 75

4. Умовні позначення 76

5. Таблиця простих чисел 78

Список літератури 79

4

Передмова

Посібник є методичним забезпеченням курсу алгебри, який, як відомо,

є невід’ємною частиною фундаментальної підготовки для студентів

спеціальності “Математика”.

Даний посібник містить короткі теоретичні відомості та велику

кількість прикладів, вправ і задач, необхідних для виконання типових

розрахунків з цього курсу. Наводяться також наближені варіанти планових

контрольних та самостійних робіт і перелік питань для колоквіумів.

Посібник розрахований на студентів фізико-математичного та інших

факультетів для використання в навчальному процесі, пов’язаному з

алгеброю. Цей посібник може бути корисним для організації самостійної

роботи студентів університетів та вищих педагогічних навчальних

закладів, які вивчають цей курс

5

ПРОГРАМА КУРСУ

1 семестр

Тема 1. Групи, кільця, поля

Групи, основні властивості груп, підгрупи, їх властивості, циклічні

групи, групи симетрії, знакозмінна група, групи підстановок, ізоморфізм

груп, теорема Келі, розклад групи за підгрупою, терема Лагранжа,

теореми Сілова.

Кільця, основні властивості кілець, кільця з одиницею, дільники нуля,

гомоморфізм кілець.

Поля, поле класів лишків за простим модулем, властивості полів,

підполе.

Тема 3. Поліноми, симетричні поліноми

Кільце многочленів над областю цілісності, теорія подільності

многочленів, схема Горнера, незвідні многочлени, канонічний розклад

многочлена, корені многочленів, метод Штурма, критерій Айзенштайна,

многочлени з багатьма змінними, симетричні многочлени, основна теорема

про симетричні многочлени.

6

Розділ 1. АЛГЕБРАЇЧНІ СТРУКТУРИ

1.1. Бінарна операція. Напівгрупа. Група

Нехай M – довільна непорожня множина елементів. Бінарною

алгебраїчною операцією (або просто бінарною операцією) на множині

M називається довільне відображення декартового квадрата множини M

на множину M , тобто MMM →×:τ . Інакше кажучи, під бінарною

операцією на множині M розуміють закон ( )∗ , за яким будь-яким двом

(різним чи однаковим) елементом a і b множиниM , взятим у певному

порядку, ставиться у відповідність єдиний елемент ba ∗ множини M .

Бінарна операція ( )∗ на множині M називається асоціативною,

якщо для будь-яких трьох елементів ciba, множини M справджується

рівність ( ) ( )cbacba ∗∗=∗∗ . Операція називається неасоціативною, якщо

в множині M існує хоча б одна трійка елементів ciba, , для яких

( ) ( )cbacba ∗∗≠∗∗ .

Бінарна операція ( )∗ називається комутативною, якщо для будь-

яких двох елементів a і b множини M справджується рівність

abba ∗=∗ . Операція називається некомутативною, якщо в множині M

існує хоча б одна пара елементів a і b , для яких abba ∗≠∗ .

Елемент M∈η називається нейтральним елементом відносно

операції ( )∗ , якщо для будь-якого елемента a з множини M

справджуються рівності aaa =∗=∗ ηη . Нейтральний елемент називають

також одиницею e .

Нехай у множині M з бінарною операцією ( )∗ є нейтральний

елемент η . Елемент Ma ∈' називається симетричним елементу Ma∈

(або оберненим до a ), якщо η=∗=∗ aaaa '' .

7

Множина M з бінарною операцією ( )∗ називається напівгрупою,

якщо операція ∗ асоціативна. Якщо напівгрупа ( )∗,M містить нейтральний

елемент, то її називають напівгрупою з одиницею або моноїдом.

У напівгрупі з одиницею η для кожного елемента існує щонайбільше

один обернений елемент. Справді, якщо η=∗=∗ aaaa '' і η=∗=∗ aaaa '''' ,

то маємо такий ланцюжок рівностей:

( ) ( ) '''''''''''' aaaaaaaaaa =∗=∗∗=∗∗=∗= ηη .

Далі обернений до a елемент (якщо він існує) ми позначатимемо

через 1−a . Елемент, для якого існує обернений, називається оборотним.

Напівгрупа з одиницею, в якій всі елементи оборотні, називається

групою. Іншими словами, множина G з бінарною операцією ( )∗

називається групою, якщо виконуються три наступні умови:

1) операція ( )∗ асоціативна;

2) в G існує нейтральний елемент η ;

3) для кожного елемента Ga∈ в множині G існує обернений до a

елемент 'a .

Зауважимо, що множина G повинна бути замкненою відносно

операції ∗ (за означенням бінарної операції).

Якщо операцію в групі G називають множенням, то групу

називають мультиплікативною (від лат. multipliko – множити), якщо G

утворює групу відносно звичайного додавання, то групу називають

адитивною (від лат. additio –додавати).

Якщо бінарна операція ( )∗ комутативна, то група G називається

комутативною або абелевою. Групу, що містить скінчену кількість

елементів, називають скінченною. Кількість елементів скінченної групи

називають її порядком. Групу, що не є скінченною, називають

нескінченною.

8

Наведемо деякі приклади груп.

Множина Z цілих чисел утворює групою відносно додавання.

Справді, додавання цілих чисел асоціативне, нейтральним елементом для

додавання буде число 0 , а протилежним до a – число a− . Зауважимо, що

ця група буде комутативною.

Множина { }1,1 − утворює комутативну групу відносно множення.

Множина ( )RGLn всіх невироджених матриць n -го порядку з

дійсними елементами є групою відносно множення матриць. Дійсно, якщо

матриці A і B – невироджені, тобто 0det ≠A , 0det ≠B , то

( ) 0detdetdet ≠⋅= BAAB . Отже, множення є бінарною операцією на

множині ( )RGLn . Ця операція є асоціативною, оскільки асоціативним є

множення довільних квадратних матриць. Нейтральним елементом буде

одинична матриця nE , і для кожної невиродженої матриці A існує

невироджена обернена матриця 1−A .

Зауваження: часто буває, що бінарна операція ( )∗ початково

визначена на множині, більшій за M . Тому перш ніж з’ясовувати, чи буде

множина M утворювати відносно ( )∗ групу або напівгрупу, потрібно

пересвідчитись, чи можна операцію ( )∗ обмежити на множину M , тобто

чи для довільної пари елементів Mba ∈, результат ba ∗ також належить

M . Якщо це так, то кажуть, що множина M замкнена відносно

операції ( )∗ . Наприклад, сума двох непарних чисел завжди є парним

числом, тому множина непарних чисел не є замкненою відносно операції

додавання. Іншими словами, додавання не є бінарною операцією на

множині непарних чисел.

Вкажемо деякі властивості груп. При цьому операцію будемо

називати множенням і позначати символом ∗ , а результат ba ∗ її

застосування до елементів a і b називати добутком a і b .

9

Властивість 1. Для довільних цілих чисел m і n та елемента a групи G

справджуються рівності nmnm aaa +=∗ та ( ) nmnm aa ⋅= .

Властивість 2. Для довільних елементів a і b групи G кожне з рівнянь

bxa =∗ і bay =∗ має єдиний розв’язок.

Властивість 3. Для будь-яких елементів cba ,, групи G з рівності

caba ∗=∗ випливає рівність cb = , а з рівності cbca ∗=∗ випливає

рівність ba = .

Множина nS всіх взаємно однозначних перетворень множини

{ }nS ,...,2,1= утворює групу відносно суперпозиції відображень. Дійсно,

суперпозиція відображень є асоціативною, нейтральним елементом для

суперпозиції буде тотожне відображення ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nn

eK

K

2121

, а оберненим

до перетворення ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

niiin

K

K

21

21ϕ буде перетворення

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

niii n

K

K

21211ϕ . Взаємно однозначні перетворення множини S

називають також підстановками або підстановками n -го степеня. Групу

nS називають симетричною групою степеня n .

Відомо, що довільну підстановку ϕ із nS можна розкласти в добуток

взаємно незалежних циклів, причому такий розклад єдиний з точністю до

порядку слідування множників. Наприклад,

101642109837510987654321

S∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ϕ

може бути записаний ( )( )( )( )84372106951=ϕ або, опускаючи цикл

довжини один, ( )( )( )8472106951=ϕ . Якщо в підстановки ϕ всі точки,

крім двох, є нерухомими, тобто ( )ji=ϕ , то її називають транспозицією.

Відомо, що кожну підстановку n -го степеня можна подати у вигляді

добутку скінченної кількості транспозицій. Кажуть, що в підстановці

10

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nkkkn

K

K

21

21ϕ числа ik та jk утворюють інверсію, якщо ji < , але

ji kk > . Так для підстановки ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1642109837510987654321

ϕ числа

5 та 4 в нижньому рядку утворюють інверсію, а 7 та 8 – ні. Для вказаної

вище підстановки число 2 утворює 6 інверсій (у нижньому рядку перед 2

стоять числа 10,9,8,3,7,5 та всі вони більше за 2 ), кількість інверсій числа

9 дорівнює 0 (у нижньому рядку перед 9 стоять числа 8,3,7,5 , але

більших за 9 серед них немає). Підстановка називається парною, якщо

загальна кількість інверсій її чисел є парною, і називається непарною,

якщо загальна кількість інверсій непарна. Для вказаної вище підстановки

загальна кількість інверсій дорівнює 260000405269 =+++++++++ ,

отже, підстановка є парною.

Відомо, що у групі nS кількість парних підстановок дорівнює

кількості непарних підстановок. Можна довести, що множина всіх парних

підстановок групи nS утворює групу відносно множення (добуток парних

підстановок є парною підстановкою, обернена до парної підстановки є

парною підстановкою, тотожна підстановка також є парною). Цю групу

називають знакозмінною групою n -го степеня та позначають nA .

Зауважимо, що множина nB всіх непарних підстановок групи nS не

утворює групу відносно множення, оскільки добуток двох непарних

підстановок є парною підстановкою.

Непорожня підмножина H групи G називається підгрупою групи

G (позначають GH < ), якщо вона сама утворює групу відносно тієї самої

операції, що визначена на G . Наприклад, знакозмінна група nA степеня n

є підгрупою симетричної групи nS , а множина ( )RSLn квадратних матриць

з визначником 1det =A є підгрупою групи ( )RGLn невироджених матриць.

11

Із означення векторного простору випливає, що множина векторів цього

простору утворює комутативну групу відносно додавання векторів.

Для того, щоб з’ясувати, чи є непорожня підмножина підгрупою

можна скористатися наступною теоремою:

Критерій підгрупи (через дві умови): Непорожня підмножина H групи

G буде підгрупою тоді й лише тоді, коли вона замкнена відносно

множення (тобто Hba ∈∗ для довільних Hba ∈, ) і взяття оберненого

елемента (тобто Ha ∈−1 для кожного Ha∈ ).

Сама група G та множина { }еE = , яка складається лише з нейтрального

елемента групи, є тривіальними (найпростішими) підгрупами групи G .

Усі інші підгрупи називаються нетривіальними. Підгрупа H групи G

називається власною підгрупою, якщо GH ≠ . Власна підгрупа H групи

G називається максимальною підгрупою в G , якщо не існує жодної

іншої власної підгрупи групи G , яка б містила підгрупу H . Власна

підгрупа ЕH ≠ групи G називається мінімальною підгрупою в G , якщо

не існує жодної іншої власної підгрупи групи G , відмінної від групи

{ } Ее = , яка б містилася у підгрупі H .

Приклад 1. З’ясувати, чи утворює групу відносно операції додавання

множина всіх цілих чисел, які кратні 3.

Нехай G – множина всіх цілих чисел, які кратні 3, тобто

{ } { },....6,3,0:3 ±±=∈= ZkkG . Оскільки ( )mkmk +=+ 333 , тобто сума

чисел, кратних 3 , саме є кратною 3 , і ( )kk −⋅=− 33 , тобто число,

протилежне кратному 3 , саме є кратним 3 , то множина цілих чисел,

кратних 3, є замкненою відносно додавання і взяття протилежного

елемента. Тому вона утворює підгрупу групи цілих чисел, а отже, є

групою. Групу всіх цілих чисел, які кратні 3, позначатиме Z3 .

12

Приклад 2. З’ясувати, чи утворює групу відносно операції множення

множина всіх дійсних кососиметричних матриць.

Квадратна матриця A називається кососиметричною, якщо AAT −= .

Зрозуміло, що всі діагональні елементи кососиметричної матриці

дорівнюють нулю. Неважко переконатися, що множина кососиметричних

матриць не утворює групу за множенням, оскільки до множини не попадає

одинична матриця. Зауважимо також, що добуток двох кососиметричних

матриць може бути матрицею не кососиметричною. Наприклад,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

020010361

030301010

002001210

.

Твердження. Якщо 21, HH підгрупи групи G , то їхній перетин 21 HH I

також є підгрупою групи G .

Це твердження узагальнюється на будь-яке число (скінченне чи

нескінченне) підгруп групи G .

Нехай GH < і Ga∈ . Правим суміжним класом Ha групи G за

підгрупою H називається множина { }HhhaHa ∈= : . Лівий суміжний клас

визначаємо аналогічно: { }HhahaH ∈= : . Легко перевірити, що два правих

суміжних класи за підгрупою H або не перетинаються або збігаються (як

множини). Таким чином, праві суміжні класи за підгрупою H утворюють

розбиття групи G на класи суміжності. Зрозуміло, що всі суміжні класи за

підгрупою H мають однакову кількість елементів, яка збігається з

кількістю елементів підгрупи H . Два елементи a і b групи G лежать в

одному суміжному класі за підгрупою H тоді й лише тоді, коли Hab ∈−1 .

Кількість (правих) суміжних класів називають індексом підгрупи H у

групі G і позначають HG : . Справедлива

Теорема Лагранжа: Нехай G – скінченна група, H – підгрупа групи G .

Тоді HHGG ⋅= : .

Зокрема, порядок підгрупи скінченної групи є дільником порядку групи.

13

Завдання 1. З'ясувати, чи буде групою

1. Множина всіх дійсних симетричних матриць порядку n відносно

множення.

2. Множина всіх дійсних кососиметричних матриць порядку n відносно

додавання.

3. Множина всіх дійсних невироджених матриць порядку n відносно

множення.

4. Множина всіх дійсних діагональних матриць порядку n відносно

додавання.

5. Множина всіх дійсних верхніх трикутних матриць порядку n відносно

множення.

6. Множина всіх дійсних матриць порядку n із фіксованим визначником

d відносно множення.

7. Множина ненульових дійсних матриць вигляду ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xayyx

, де число

число a – фіксоване, відносно множення.

8. Множина ненульових дійсних матриць вигляду ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− xy

yx, відносно

множення.

9. Множина ненульових дійсних матриць вигляду ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− xy

yx, відносно

додавання.

10. Множина матриць вигляду ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

1 x, де Rx∈ , відносно множення.

11. Множина матриць вигляду ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

1 x, де Rx∈ , відносно додавання.

12. Множина матриць вигляду ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −11

1mm, де Zm∈ , відносно множення.

13. Множина матриць вигляду ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −11

1mm, де Zm∈ , відносно додавання.

14

14. Множина всіх відображень множини { }nM ,,2,1 K= у себе відносно

суперпозиції відображень.

15. Множина всіх ін’єктивних відображень множини { }nM ,,2,1 K= у себе

відносно суперпозиції відображень.

16. Множина всіх сюр’єктивних відображень множини { }nM ,,2,1 K= у

себе відносно суперпозиції відображень.

17. Множина всіх бієктивних відображень множини { }nM ,,2,1 K= у себе

відносно суперпозиції відображень.

18. Множина степенів дійсного фіксованого числа 0≠a з цілими

показниками відносно операції множення.

19. Множина всіх комплексних коренів фіксованого степеня n з одиниці

відносно операції множення.

20. Множина всіх комплексних коренів усіх степенів з одиниці відносно

операції множення.

21. Множина комплексних чисел із фіксованим модулем r відносно

операції множення.

22. Множина ненульових комплексних чисел, модуль яких не перевищує

даного числа r , відносно операції множення.

23. Множина ненульових комплексних чисел, розташованих на променях,

що виходять із початку координат та утворюють з променем x0 кути

nϕϕϕ ,,, 21 K , відносно операції множення.

24. Множина всіх непарних підстановок множини { }nM ,,2,1 K= відносно

операції множення.

25. Множина підстановок ( )( ) ( )( ) ( )( ){ }2314,2413,3412,E відносно операції

множення.

26. Множина матриць вигляду ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1112

, відносно множення.

27. Множина всіх дійсних невироджених матриць порядку n відносно

додавання.

15

28. Множина всіх дійсних невироджених діагональних матриць порядку n

відносно множення.

29. Множина всіх дійсних невироджених діагональних матриць порядку n

відносно додавання.

30. Множина підстановок ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }34,24,23,14,13,12,E відносно операції

множення.

1.2. Таблиця Келі

Нехай є множина { }naaaG ,,, 21 K= з бінарною операцією ( )∗ .

Таблицею Келі або таблицею множення цієї множини називається

таблиця яка складається з n стовпчиків та n рядків. У рядки і стовпчики

таблиці послідовно нумеруються елементами naaa ,,, 21 K множини G .

Якщо ( )∗,G – група, то за елемент 1a , як правило, беруть нейтральний

елемент e групи. На перетині рядка, поміченого елементом ia , і стовпчика,

поміченого елементом ja , записують результат ji aa ∗ .

Приклад 1. Таблиця Келі для множини { }5,4,3,2,1,06 =Z , з операціями

додавання і множення мають відповідно вигляд

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 0

2 2 3 4 5 0 1

3 3 4 5 0 1 2

4 4 5 0 1 2 3

5 5 0 1 2 3 4

× 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 0 2 4

3 0 3 0 3 0 3

4 0 4 2 0 4 2

5 0 5 4 3 2 1

16

Приклад 2. Таблиця Келі для групи

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0110

,1110

0111

,1101

,1011

,1001

22 ZGL має вигляд:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0111 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1110 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0111 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1110 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1110 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0111 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1110

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0111 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0111 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1110 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1110 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1110 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0111 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0110 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1110 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0111 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1101 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

Зауваження. a) якщо операція ( )∗ комутативна, то її таблиця Келі є

симетричною відносно головної діагоналі.

b) якщо для операції ( )∗ існує нейтральний елемент e , то

елемент ia буде оборотним зліва (справа) тоді й лише тоді, коли у

стовпчику (рядку), поміченому елементом ia , зустрічається нейтральний

елемент.

c) у випадку групи в кожному рядку і в кожному стовпчику

таблиці Келі всі елементи групи зустрічаються по одному разу (немає

повторів).

17

Завдання 2. Скласти табличку Келі групи

1. 7Z . 2. 6C . 3. 3D . 4. ( )32 ZT . 5. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛165423654321

.

6. 6Z . 7. 8C . 8. 3S . 9. ( )( )45136 . 10. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛165432654321

.

11. 4D . 12. ∗9Z . 13. 8Q . 14. ( )23 ZT . 15. ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4513254321

.

16. ( )( )26154 . 17. ∗15Z . 18. ∗

20Z . 19. ∗30Z . 20. ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛4315254321

.

21. ∗16Z . 22. ∗

7Z . 23. ( )( )461352 . 24. 7C .

25. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛164235654321

. 26. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛124635654321

.

27. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛415236654321

. 28. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛165234654321

.

29. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛146235654321

. 30. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛163245654321

.

1.3. Порядок елемента групи

Нехай G - мультиплікативна група. Порядком елемента a групи G

називається найменше натуральне число n (найменший додатний показник

n ), для якого ean = . Якщо такого показника не існує, то a називається

елементом нескінченого порядку.

Твердження 1: Порядок елемента дорівнює кількості різних степенів

цього елемента.

Якщо елемент a має порядок n , то пишуть na = .

Якщо a елемент n –ого порядку, то породжена ним циклічна

підгрупа a складається з таких елементів: 120 ,,,, −= naaaae K .

18

Приклади. 1. Елемент ∗∈Ci має порядок 4.

2. Елемент 8

5sin8

5cos ππ ig += із ∗C є елементом порядку 16 , оскільки

18 −=g , 116 =g .

3. Елемент 2 з ∗R є елементом нескінченного порядку (для довільного

натурального n 12 ≠n ).

4. Елемент ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1011

із ( )22 ZGL є елементом порядку 2:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1001

1011 2

.

5. Елемент 54152354321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= є елементом порядку 4:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

13425543212g , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

35124543213g ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

54321543214g .

Твердження 2: Порядок підстановки дорівнює найменшому спільному

кратному довжин незалежних циклів цієї підстановки.

Зауважимо, що порядок добутку ab елементів a і b , взагалі кажучи, не

визначаються порядками елементів a і b .

Приклади.

1. Розглянемо дві осьові симетрії з паралельними осями. Порядок

кожної осьової симетрії дорівнює 2. Якщо ми розглянемо добуток 21ss , то

отримаємо паралельне перенесення, яке має нескінченний порядок.

∞=21ss

2s 1s

,221 == ss

19

2. Розглянемо дві осьові симетрії з осями, що перетинаються під

кутом °90 . Порядок кожної осьової симетрії дорівнює 2, тобто 221 == ss .

Добуток 21ss є поворотом на кут °180 навколо точки перетину осей і має

порядок 2.

3. Розглянемо дві осьові симетрії з осями, що перетинаються під

кутом °45 . Порядок кожної осьової симетрії дорівнює 2. Але цього разу

добуток 21ss є поворотом на °90 навколо точки перетину осей і має

порядок 4 .

4. Елемент 12451118212769103121110987654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

перепишемо у вигляді добутку незалежних циклів

( )( )( )( )812647511102931=g . Маємо чотири незалежних цикла та

( ) 151,3,5,3 =НСК . Отже, елемент має порядок 15.

Завдання 3. Знайти порядок елемента групи

1. a) 87851643287654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈−= Cig

21

23 .

2. a) 87852643187654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+−= Cig

21

23 .

1s

2π

.221 =ss

,221 == ss

2s

4π ,221 == ss

.421 =ss

2s 1s

20

3. a) 83852647187654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈−= Cig

21

21 .

4. a) 81852643787654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈−−= Cig

21

23 .

5. a) 87852631487654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+−= Cig

22

22 .

6. a) 84852673187654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈−= Cig 2 .

7. a) 87832645187654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈−= Cig .

8. a) 87251643887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+= Cig

56sin

56cos ππ .

9. a) 87852641387654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+= Cig

72sin

72cos ππ .

10. a) 81352467887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ( )RGLg 4

0001100001000010

∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= .

11. a) 87352641887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) )(

010

2 CGLi

g ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

12. a) 86851723487654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ( )RGL

ag 210

1∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= .

13. a) 87285641387654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ( )ZGLg 201

10∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= .

14. a) 82854673187654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ( )ZGLg 211

10∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

= .

15. a) 84857613287654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ( )ZGLg 3

010100001

∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−= .

16. a) 81352647887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈

−= Cig

231 .

21

17. a) 87253641887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+= Cig

32sin

32cos ππ .

18. a) 83751648287654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+= Cig

6sin

6cos ππ .

19. a) 86285741387654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+−= Cig

23

21 .

20. a) 87285641387654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ( )ZGLg 3

010100001

∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= .

21. a) 84751683287654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ( )RGL

ag 201

1∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= .

22. a) 81352647887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ( )ZGLg 3

001100010

∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= .

23. a) 82357641887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈= Cig .

24. a) 87851634287654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ( )ZGL

ag 21

01∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= .

25. a) 87285614387654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈−−= Cig

23

21 .

26. a) 85271643887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+= Cig

53sin

53cos ππ .

27. a) 87251843687654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+= Cig

157sin

157cos ππ .

28. a) 87251643887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+= Cig

156sin

156cos ππ .

29. a) 87451623887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+= Cig

133sin

133cos ππ .

30. a) 87856143287654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ∗∈+= Cig

5sin

5cos ππ .

22

1.4. Група симетрій

Симетрія фігури (тіла) –– це рух площини (простору), за яким

фігура (тіло) в цілому, як множина, переходить у себе.

Теорема: Множина симетрій фігури (тіла) утворює групу відносно

суперпозиції.

Цю групу називають групою симетрій фігури (тіла).

Приклад 1. Група симетрій ромба містить 4 елементи:

тотожне перетворення ε ,

симетрію відносно діагоналі AD ,

симетрію відносно діагоналі BC ,

поворот на °180 навколо центра О.

Отже, порядок групи симетрій ромба дорівнює 4.

Приклад 2. Група симетрій кола містить усі повороти навколо центра кола

і всі симетрії відносно осей, що проходять через центр кола. Зокрема, ця

група нескінченна.

Приклад 3. Група поворотів куба містить :

а) тотожний поворот ;

б) повороти навколо кожної з трьох осей, що

з'єднують центри протилежних граней, на кути

2

3,,2

πππ (всього 9 поворотів);

в) по два повороти навколо кожної з чотирьох

діагоналей (на кути 3

4;3

2 ππ ; всього 8 поворотів);

г) повороти на o180 навколо кожної з шести осей, що з’єднують

середини протилежних ребер (6 поворотів).

3

6

7 8

4

1 2

В С

A

D

23

Таким чином, група поворотів куба містить 24 елементи. Зауважимо, що

група симетрій куба має порядок 48.

Приклад 4. Знайдемо порядок групи симетрій фігури, зображеної на

рисунку.

Як можна побачити, ця група містить 8 осьових

симетрій ( 4 симетрії типу 1s і 4 симетрії типу 2s ) і 8

поворотів (на кути, кратні 4π ).

Отже, порядок цієї групи дорівнює 16.

Приклад 5. Побудувати таблицю Келі для групи симетрій прямокутника.

Група симетрій прямокутника містить чотири

елемента: два повороти на кути o0 і o180

навколо його центра та дві осьові симетрії

відносно прямих 1s та 2s , що проходять через

середини протилежних сторін прямокутника.

Бінарною операцією є суперпозиція. Таблиця

Келі має такий вигляд:

o o0 o180 1s 2s

o0 o0 o180 1s 2s

o180 o180 o0 2s 1s

1s 1s 2s o0 o180

2s 2s 1s o180 o0

1s

2s

24

Завдання 4. Знайти порядок групи симетрій

1. Рівностороннього трикутника. 16. Квадрата.

2. Правильної чотирикутної піраміди. 17. Букви Ф.

3. Еліпса. 18.Правильної восьмикутної піраміди.

4. Правильної шестикутної піраміди. 19. Паралелограма.

5. Еліпсоїд із попарно різними півосями. 20. Цифри 8.

6. Гіперболи. 21. Правильного шестикутника.

7. Цифри 0. 22. Правильної семикутної піраміди.

8. Правильного п'ятикутника. 23. Букви Н.

9. Правильної трикутної піраміди. 24. Правильного восьмикутника.

10. Букви Х. 25. Букви Ж.

11. Виразу 00. 26. Виразу 88.

12. Правильної трикутної піраміди. 27. Виразу XX.

13. Прямого різностороннього паралелепіпеда. 28. Букви S.

14. Прямої призми з ромбом в основі. 29. Прямокутника.

15. Правильної п’ятикутної піраміди. 30. Виразу $$.

1.5. Система твірних елементів групи. Циклічна група

Підмножина GA⊆ групи G називається системою твірних

елементів групи G , якщо A не міститься в жодній власній підгрупі з G .

Можна показати, що A буде системою твірних групи G тоді й лише тоді,

коли кожен елемент Gg∈ можна записати у вигляді saaag ....21= , де

кожен множник ia належить множині A або є оберненим до елемента з A .

Група, для якої існує система твірних з одного елемента, називається

циклічною. Зрозуміло, що множина всіх елементів групи G буде системою

твірних для G , але це надлишкова система. Система твірних з якої

неможна вилучити жодного елемента, називається незвідною. Якщо

кількість елементів незвідної системи твірних групи є скінченною, то таку

групу G називають скінченопородженою. В кожній скінченній групі

25

існують незвідні системи твірних, причому вони можуть складатися з

різних елементів, тобто незвідна система твірних вибирається

неоднозначно. Так наприклад, { } >>=<>=<=<±±±±= kjkijikjiQ ,,,;;;18 .

Незвідні системи твірних групи G можуть містити навіть різну кількість

елементів. Наприклад, група підстановок nS може бути породжена як

всіма транспозиціями з фіксованим елементом, тобто

( ) ( ) ( ) ( ) >=< nSn ,1;...;4,1;3,1;2,1 ( 1−n елемент) так і всього двома елементами

( ) ( ) >=< nSn ,...,3,2,1;2,1 . Нескінченні групи не обов’язково повинні мати

незвідні системи твірних, наприклад, адитивна група раціональних чисел.

З іншого боку, існують нескінченні групи зі скінченною незвідною групою

твірних, наприклад адитивна група цілих чисел породженна одним

елементом, а саме ( ) >−>=<=<+ 11,Z .

Можна також сказати, що група G називається циклічною, якщо

вона складається зі степенів (кратних) одного із своїх елементів a .

Елемент a називається твірним елементом циклічної групи. Циклічна

група з твірним елементом a позначається a . Кожна циклічна група

абелева.

Приклад 1. Множина цілих чисел відносно додавання утворює нескінченну

циклічну групу з твірним елементом одиниця (за твірний елемент можна

також взяти елемент – “мінус одиниця”).

Приклад 2. Група всіх комплексних коренів n -ого степеня з одиниці є

скінченною циклічною групою з твірним елементом

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ni

nππε 2sin2cos1 . Зауважимо, що за твірний елемент цієї групи

можна взяти довільне число ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

nki

nk

kππε 2sin2cos , де k взаємно

просте з n .

26

Нехай G – мультиплікативна група з одиницею e . Порядком

елемента Ga∈ називається найменше натуральне число n , для якого

ean = . Якщо елемент a є елементом скінченного порядку n (пишуть

na = ), то порядок циклічної групи a збігається з порядком твірного

елемента. Якщо елемент a є елементом нескінченного порядку, то

циклічна група a нескінченна. Всі циклічні групи одного порядку n

ізоморфні між собою. Всі циклічні групи нескінченного порядку

ізоморфні між собою.

Нагадаємо, що через ( )nϕ позначається кількість натуральних чисел,

що не перевищують n і взаємно прості з числом n . Нехай aG = , na = .

Тоді кількість елементів n -го порядку в a дорівнює ( )nϕ (тобто кількість

твірних елементів групи G дорівнює ( )nϕ ).

Для кожного елемента b циклічної групи G порядку n його порядок

b є дільником числа n .

Приклад 3. У циклічній групі aG = порядку 560 знайти всі елементи g ,

які задовольняють умову eg =30 .

Потрібно знайти всі такі елементи kag = , що eg =30 .

( ) eaag kk === 303030 , тому 56030 Mk , 563 Mk , отже 56Mk ,

504,448,392,336,280,224,168,112,56,0=k . Відповідь: умову eg =30

задовольняють елементи 50444839233628022416811256 ,,,,,,,,, aaaaaaaaae .

Приклад 4. У циклічній групі G порядку 360 знайти всі елементи g

порядку 30.

За означенням порядку елемента групи 30 найменша степінь, в якій

eg =30 . Маємо 1230:360 = . Зрозуміло, що коли елемент має порядок 30,

то він має порядок 2,3,4,5,6,…,15,…,28, тобто якщо ми хочемо знайти

найменшу степінь, то нам потрібно вибрати взаємно прості числа для

27

числа 30. Числа взаємно прості з 30 будуть числа

29,23,19,17,13,11,7,1 . Тобто, нас цікавлять елементи

2923191713117 ,,,,,,, bbbbbbbb , тому елементи порядку 30 є елементи 3482762282041561328412 ,,,,,,, aaaaaaaa .

Завдання 5. У циклічній групі a порядку n

1) знайти всі елементи g , які задовольняють умову eg k = ;

2) та знайти всі елементи порядку k , якщо :

1. 24=n , 6=k . 11. 36=n , 9=k . 21. 150=n , 15=k .

2. 100=n , 20=k . 12. 48=n , 6=k . 22. 240=n , 12=k .

3. 24=n , 4=k . 13. 36=n , 6=k . 23. 150=n , 10=k .

4. 360=n , 60=k . 14. 56=n , 8=k . 24. 72=n , 8=k .

5. 100=n , 10=k . 15. 28=n , 4=k . 25. 150=n , 25=k .

6. 360=n , 12=k . 16. 160=n , 8=k . 26. 140=n , 35=k .

7. 234=n , 9=k . 17. 125=n , 25=k . 27. 105=n , 15=k .

8. 360=n , 45=k . 18. 200=n , 8=k . 28. 280=n , 14=k .

9. 250=n , 10=k . 19. 250=n , 50=k . 29. 275=n , 25=k .

10. 255=n , 15=k . 20. 164=n , 4=k . 30. 121=n , 11=k .

1.6. Теореми Силова. Силовськи підгрупи

За теоремою Лагранжа порядок довільної підгрупи є дільником

порядка скінченої групи. На прикладі групи 4A можна переконатися, що

зворотне твердження не є правильним. Порядок групи 4A дорівнює 12, але

4A не містить підгруп шостого порядку. У знакозмінній групі 5A порядку

60 не існує підгруп 30-го порядку, 20-го та 15-го порядків. Природно

виникає питання: “для яких дільників d порядку n групи G існує

підгрупа даного порядку d ?” Для випадку mpn s= , де p - просте число,

m - ціле число і m взаємно просте з p , відповідь дає теорема Силова

28

(зауважимо, що підгрупи порядку sp називають силовськими p -

підгрупами групи G )

Теорема Силова. Нехай G – група, p – просте число. Якщо mpG s= , де

1≥s та p не є дільником m , то справедливі наступні твердження:

1. у групі G існують підгрупи порядку ip для кожного si ,...,2,1= ;

2. якщо 10 −≤≤ sk , то довільна підгрупа 'P порядку kp міститься в

деякій підгрупі ''P порядку 1+kp .

3. довільні дві силовські підгрупи P і 1P групи G є спряженими, тобто

знайдеться елемент a G∈ , для якого 11P aPa−= .

4. кількість pN всіх силовськіх p - підгруп групи G порядку mpn s=

конгруентна одиниці за модулем p , причому pN є дільником

порядка групи.

Група 3S порядку 6 містить три силовськи 2-підргупи: ( ){ }12,e , ( ){ }13,e ,

( ){ }23,e і одну силовські 3-підгрупу 3A . Група 4A порядку 3212 2 ⋅=

містить одну силовські 2-підгрупу 4K та чотири силовських 3-підгрупи

( ) ( ){ }132,123,e , ( ) ( ){ }142,124,e , ( ) ( ){ }143,134,e , ( ) ( ){ }243,234,e .

Вправа для самостійного опрацювання: Знайти всі силівські 5-підгрупи в

групі 5A .

1.7. Морфізми груп

Розглянемо дві непорожні множини A і B . Кажуть, що множина A

відображається в множину B , якщо кожному елементу множини A за

деяким правилом ϕ поставлено у відповідність один і тільки один елемент

множини B ; записують BA →:ϕ . Відображення BA →:ϕ називають

сюр’єктивним, або відображення множини A на множину B , якщо

кожний елемент множини B є образом деякого елемента множини A .

29

Відображення BA →:ϕ називають ін’єктивним, якщо воно різним

елементам множини A зіставляє різні елементи множини B .

Відображення BA →:ϕ називають бієктивним, або взаємно

однозначним, відображенням множини A на множину B , якщо кожний

елемент множини B є образом єдиного елемента множини A (тобто

відображення є ін’єктивним і сюр’єктивним одночасно).

Відображення “в” Відображення “на” Бієктивне відображення

Відображення ': GGf → групи ( )∗,G в групу ( )o,'G називається

гомоморфізмом, якщо для довільних елементів ba, групи G виконується

рівність ( ) ( ) ( )bfafbaf o=∗ .

Гомоморфізм GGf →: групи G в себе називається

ендоморфізмом.

Гомоморфізм ': GGf → називається епіморфізмом, якщо

відображення ': GGf → є сюр’єктивним.

Гомоморфізм ': GGf → називається мономорфізмом, якщо

відображення ': GGf → є ін’єктивним.

Бієктивний гомоморфізм ': GGf → називається ізоморфізмом

(тобто гомоморфізм ': GGf → є ізоморфізмом), якщо відображення f є

ін’єктивним і сюр’єктивним одночасно.

Ізоморфізм групи G на себе називають автоморфізмом.

30

Властивості ізоморфізмів груп

Твердження. При кожному ізоморфізмі відображені 1: GG →ϕ групи

( )∗,G в групу ( )o,1G :

1. нейтральний елемент e групи G відображається в нейтральний

елемент 1e групи 1G , тобто ( ) 1ee =ϕ ;

2. образ оберненого елемента є оберненим до образу елемента, тобто

( ) ( )( ) 11 −− = gg ϕϕ ;

3. порядки ізоморфних груп рівні.

Зауважимо також, що коли множина 1G із визначеною бінарною операцією

o , ізоморфна деякій групі ( )∗,G , то ( )o,1G також є групою. Якщо група

( )∗,G є абелевою (або циклічною) та відображення 1: GG →ϕ є

ізоморфним, то ( )o,1G також абелева (відповідно циклічна) група.

Приклад 1. З’ясувати, чи будуть ізоморфними група 3D та група ( )22 ΖGL .

Група 3D симетрій правильного трикутника складається з трьох поворотів

на кути o0 , o120 , o240 відповідно та трьох осьових симетрій 1S , 2S , 3S

відносно прямих, що містять бісектриси кутів трикутника. Група

невироджених матриць другого порядку з елементами поля 2Ζ складається

теж з шістьох елементів, а саме

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0111

,1110

,0110

,1101

,1011

,1001

22 ZGL .

Позначимо елементи відповідних груп

{ }ooo 240,120,,,,0 5433221103 ======= aasasasaaD

( ) { }54321022 ,,,,, bbbbbbZGL = і складемо відповідні таблиці Келі:

31

З таблиць Келі видно, що відображення ii ba →:ϕ , 5,0=i , буде

ізоморфізмом.

Справедливі наступні твердження.

Твердження 1. Кожна нескінченна циклічна група ізоморфна адитивній

групі Z цілих чисел.

Твердження 2. Кожна циклічна група порядку n ізоморфна групі

поворотів nC правильного n - кутника.

Наслідок з твердження 2. Циклічні групи одного порядку ізоморфні між

собою.

Твердження 3 (теорема Келі). Кожна скінченна група порядку n

ізоморфна деякій підгрупі H симетричної групи nS .

Приклад 2. З’ясувати, чи будуть ізоморфними групи 6D , 4A , 12Z , 6C ,

∗7Z , 3S .

Нагадаємо, що 6D – група симетрій правильного шестикутника (шість

симетрій + шість поворотів),

4A – група парних підстановок з 4-х елементів (12 парних підстановок),

12Z – адитивна група кільця лишків за модулем 12 (порядок 12),

o 0a 1a 2a 3a 4a 5a

0a 0a 1a 2a 3a 4a 5a

1a 1a 0a 4a 5a 2a 3a

2a 2a 5a 0a 4a 3a 1a

3a 3a 4a 5a 0a 1a 2a

4a 4a 3a 1a 2a 5a 0a

5a 5a 2a 3a 1a 0a 4a

o 0b 1b 2b 3b 4b 5b

0b 0b 1b 2b 3b 4b 5b

1b 1b 0b 4b 5b 2b 3b

2b 2b 5b 0b 4b 3b 1b

3b 3b 4b 5b 0b 1b 2b

4b 4b 3b 1b 2b 5b 0b

5b 5b 2b 3b 1b 0b 4b

32

6C – група поворотів правильного шестикутника (шість поворотів на кути,

кратні o60 , відносно центра шестикутника), ∗7Z – мультиплікативна група кільця лишків за модулем 7 (містить 6

елементів),

3S – симетрична група степеня 3 (шість підстановок).

Оскільки порядки ізоморфних груп однакові, то жодна з перших трьох

груп не може бути ізоморфною жодній з трьох останніх груп. Далі, в

ізоморфних групах кількість елементів даного порядку однакова, тому

46 AD ≅/ , оскільки 6D має сім елементів другого порядку ( o180 та шість

осьових симетрій), а група 4A має лише три елемента другого порядку, а

саме ( )( )4321 , ( )( )4231 , ( )( )3241 . Група 12Z є циклічною, тому 612 DZ ≅/ ,

412 AZ ≅/ (ці групи не є циклічними). Отже, серед перелічених груп порядку

12 ізоморфних немає. Група 3S не є циклічною, тому вона не може бути

ізоморфною ні 6C , ні ∗7Z . Нарешті, групи 6C , ∗

7Z є циклічними групами

порядку 6, отже вони ізоморфні.

Приклад 3. З’ясувати, чи буде відображення ∗∗ → CCf : , 2)( zzf = ,

гомоморфізмом? Чи буде воно ізоморфізмом?

Перевіримо умову гомоморфізму : ( ) ( ) ( )bfafbaf o=∗ . Візьмемо

довільні два елемента ∗∈Czz 21, . Тоді

( ) ( ) ( )2122

21

22121 )( zfzfzzzzzzf ⋅=⋅=⋅=⋅ .

Отже, відображення є гомоморфізмом, але не є ізоморфізмом, оскільки

( ) ( )zfzf = .

33

Завдання 6. З’ясувати, чи буде відображення f гомоморфізмом?

Чи буде воно ізоморфізмом?

1. ∗∗ → RCf : , zzf =)( . 17. +→ RRf : , xxf 3)( = .

2. ∗∗ → RCf : , zzf 4)( = . 18. QQf →: , 0,)( ≠= aaxxf .

3. ∗∗ → RCf : , z

zf 3)( = . 19. CCf →: , zzzf ⋅=)( .

4. ∗∗ → RCf : , z

zf 1)( = . 20. RRf →: , xxf sin)( = .

5. ∗∗ → RCf : , zzf += 2)( . 21. RRf →: , 3)( xxf = .

6. ∗∗ → CCf : , zzzf =)( . 22. RRf →+: , xxf ln)( = .

7. ( ) ( )+→+ ,,: ZZf , nnf 3)( = . 23. ∗∗ → RRf : , xxxf 2)( = .

8. ∗∗ → RRf : , 3)( xxf = . 24. ZRf →: , [ ]xxf =)( .

9. RRf →+: , xlogxf 2=)( . 25. +∗ → RCf : , 3)( zzf = .

10. +→ RRf : , xxf 2)( = . 26. ∗∗ → RRf : , 4)( xxf = .

11. ∗∗ → CCf : , 2

2

)(zzzf = . 27. +∗ → RCf : , 2)( zzf = .

12. ( ) ( )+→+ ,,: ZZf , nnf 5)( −= . 28. ∗∗ → RRf : , x

xf 1)( = .

13. RRf →: , Rba,b,xaxf ∈+=)( . 29. +→ RRf : , xеxf =)( .

14. ( ) ( )+→+ ,,: ZZf , nnnf += 22)( . 30.. RRf →: , xxf −=)(

15. RRf →: , cos2xsinxxf +=)( .

16. ( ) ( )⋅→⋅ ,,: TTf , 2)( zzf = , де { }1: =∈= zCzT .

34

1.8. Кільце Непорожня множина K , на якій введено дві бінарні операції ( )∗ і ( )o ,

називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

1) множина K є абелевою групою відносно операції ( )∗ ;

2) операція ( )o – асоціативна на множини K ;

3) операція ( )o – дистрибутивна відносно операції ( )∗ , тобто

( ) ( ) bcacbaccbcacbaKcba oooooo ∗=∗∗=∗∈∀ ;,, .

Зауважимо, що операції ( )∗ і ( )o часто називають відповідно

додаванням і множенням. Враховуючи це, можна дати таке означення:

непорожня множина K з бінарними операціями додавання і множення

називається кільцем, якщо відносно додавання вона є абелевою групою,

відносно множення – напівгрупою, і має місце дистрибутивність множення

відносно додавання як зліва, так і справа.

Абелева група ( )+,К називається адитивною групою кільця К .

Зауважимо, що так визначені кільця називають асоціативними, за рахунок

асоціативного множення. Поряд з цим існують і неасоціативні кільця

(кільця Лі, альтернативні кільця, йорданові кільця тощо). Але ми

розглядаємо лише асоціативні кільця, тому далі термін «кільце»

означатиме «асоціативне кільце». Якщо операція множення комутативна,

то кільце називають комутативним.

Елемент e кільця K називається правою одиницею цього кільця,

якщо для довільного Ka∈ має місце aae = (відповідно лівою одиницею

кільця – якщо aea = ). Елемент e кільця K називається одиницею цього

кільця, якщо він одночасно є лівою і правою одиницею. Ненульове кільце

K , в якому існує одиничний елемент e відносно операції множення,

називають кільцем з одиницею.

Приклад 1. Множина квадратних матриць даного порядку n з дійсними

коефіцієнтами є кільцем з одиницею (одинична матриця) відносно операції

додавання і множення.

35

Приклад 2. Множина парних чисел є комутативним кільцем відносно

операції додавання і множення.

Приклад 3. Множина двічі дифереційовних на проміжку ( )ba, функцій є

комутативним кільцем з одиницею відносно звичайних операції додавання

і множення.

Справедливі таки твердження:

1. У кожному кільці K сума будь-яких його елементів naaa ,...,, 21 не

залежить від способу розставлення дужок і порядку розміщення

доданків.

2. У кожному кільці K здійсненна операція віднімання.

3. У кожному кільці K містяться кратні na будь-якого елемента a

( )Zn∈ .

4. Для будь-яких елементів a і b кільця K та довільних цілих чисел m

і n справджуються таки рівності: ( ) namaanm +=+ ,

( ) mbmabam +=+ , ( ) ( )amnnam = .

5. У кожному кільці K для будь-яких його елементів naaa ,...,, 21

справджується рівність ( ) ( ) ( ) ( )nn aaaaaa −++−+−=+++− ...... 2121 .

6. У кожному кільці K для будь-якого його елемента a і довільного

натурального числа n справджується рівність ( ) ( )naan −=− .

7. У кожному кільці K для будь-яких його елементів a і b

справджуються рівності ( ) abba −=− , ( ) abba −=− , ( )( ) abba =−− .

8. У кожному кільці нульовий елемент 0 єдиний.

9. У кожному кільці з одиницею одиничний елемент 1 єдиний.

10. У кожному кільці K для будь-якого його елемента a маємо

000 =⋅=⋅ aa .

Непорожня підмножина A кільця K називається підкільцем, якщо

вона сама є кільцем відносно тих самих операцій, що введені на K . У

кожному кільці K є такі підкільця: саме кільце K та нульове підкільце,

36

яке складається лише з нульового елемента – їх називають тривіальними.

Всі інші підкільця називають нетривіальними. Для того щоб з’ясувати, чи є

дана непорожня підмножина A кільця K його підкільцем, зручно

використовувати критерій підкільця: Непорожня підмножина A кільця

K буде підкільцем тоді й лише тоді, коли A є замкненою відносно

операцій множення та віднімання.

Зрозуміло, що перетин довільної родини підкілець кільця K також буде

підкільцем цього кільця та підкільце комутативного кільця є

комутативним.

Приклад 4. З'ясувати, чи буде кільцем відносно звичайних операцій

додавання та множення множина ( ) { }ZbabaZ ∈+= ,:22 .

Зрозуміло, що дана множина є підмножиною кільця R . Нехай ( )2, Zyx ∈ .

За критерієм підкільця потрібно показати, що ( )2Zyx ∈− та

( )2Zyx ∈⋅ . Нехай 211 bax += , 211 bay += . Тоді маємо:

( ) ( ) ( ) ( ) 222 21212211 bbaababayx −+−=+−+=− ,

( )( ) ( ) ( ) 2222 122121112211 bababbbababayx +++=++=⋅ .

Оскільки кожне з чисел 21 aa − , 21 bb − , 2111 2 bbba + , 1221 baba + є цілими, то

множина ( )2Z є підкільцем кільця дійсних чисел. Отже, буде кільцем.

Приклад 5. З'ясувати, чи буде кільцем відносно звичайних операцій

додавання та множення множина { }ZbabaM ∈+= ,:23 .

Зрозуміло, що множина M є підмножиною кільця R . Нехай Myx ∈, . За

критерієм підкільця достатньо показати, що Myx ∈− та Myx ∈⋅ . Нехай

311 2bax += , 3

11 2bay += . Тоді,

( )( ) ( ) 322

3122111

322

311 4222 babababababayx +++=++=⋅ .

Покажемо, що M∉3 4 . Від супротивного, припустимо, що 33 24 dc +=

для деяких цілих c і d . Це означає що 3 2 є коренем многочлена

37

( ) cdxxxf −−= 2 . Поділимо многочлен 23 −x на ( )xf в кільці [ ]xZ з

остачею: ( ) ( ) ( )xrxqxfx +=− 23 , де остача ( )xr - многочлен не вище

першого степеня з цілими коефіцієнтами. Підставляючи в обидва боки

рівності ( ) ( ) ( )xrxqcdxxx +−−=− 23 2 значення 3 2 , отримаємо, що

( ) 023 =r . Тоді лінійний многочлен ( )xq не може бути з цілими

коефіцієнтами, оскільки він містить радикал. Ця суперечність доводить,

що M∉3 4 . Множина M не є кільцем, оскільки вона не замкнена

відносно звичайного множення.

Приклад 6. З'ясувати, чи буде кільцем відносно звичайних операцій

додавання та множення множина [ ]baС , всіх функцій, неперервних на

відрізку [ ]ba, .

З курсу математичного аналізу відомо, що сума, різниця та добуток

функцій, неперервних на відрізку [ ]ba, , є функцією, неперервною на цьому

відрізку. Асоціативність і комутативність додавання та множення, а також

дистрибутивності випливають із відповідних законів для додавання й

множення дійсних чисел. Нейтральним елементом для операції додавання

буде нульова функція 0 , нейтральним елементом для операції множення

буде одинична функція 1, протилежною функцією для ( )xf буде функція

( )xf− . Отже, множина [ ]baС , всіх функцій, неперервних на відрізку [ ]ba,

буде комутативним кільцем з одиницею.

38

Завдання 7. З'ясувати, чи буде кільцем відносно звичайних операцій

додавання та множення

1. Множина дійсних чисел вигляду 3yx + , де Qyx ∈, ?

2. Множина дійсних функцій, неперервних на проміжку [ ]1,0 ?

3. Множина ненульових дійсних матриць вигляду ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xayyx

, де число

a – фіксоване?

4. Множина дійсних чисел вигляду 3 3yx + , де Qyx ∈, ?

5. Множина всіх дійсних симетричних матриць порядку n ?

6. Множина раціональних чисел, у нескоротному записі яких

знаменники є дільниками фіксованого натурального числа n ?

7. Множина всіх дійсних невироджених матриць порядку n .

8. Множина дійсних чисел, які можна подати у вигляді многочлена n

naaaa πππ ++++ K2210 від числа π ?

9. Множина комплексних чисел вигляду iyx + , де Zyx ∈, ?

10. Множина дійсних чисел вигляду 3 2yx + , де Qyx ∈, ?

11. Множина всіх дійсних кососиметричних матриць порядку n ?

12. Множина всіх тригонометричних многочленів вигляду

∑=

+n

kk kxaa

10 )cos( із дійсними коефіцієнтами?

13. Множина дійсних чисел вигляду 33 93 zyx ++ , де Qzyx ∈,, ?

14. Множина всіх дійсних верхніх трикутних матриць порядку n ?

15. Множина дійсних функцій, неперервних на проміжку ( )1,0 ?

16. Множина раціональних чисел, у нескоротному записі яких

знаменники не діляться на фіксоване просте число p ?

17. Множина дійсних чисел вигляду 33 42 zyx ++ , де Qzyx ∈,, ?

39

18. Множина комплексних матриць вигляду ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− zw

wz?

19. Множина всіх тригонометричних многочленів вигляду

( )kxbkxaa k

n

kk sin)cos(

10 ++ ∑

= із дійсними коефіцієнтами?

20. Множина комплексних чисел вигляду iyx + , де Qyx ∈, ?

21. Множина дійсних чисел вигляду 3yx − , де Qyx ∈, ?

22. Множина раціональних чисел, у нескоротному записі яких

знаменники є степенями фіксованого простого числа p ?

23. Множина дійсних чисел вигляду 7yx + , де Qyx ∈, ?

24. Множина всіх тригонометричних многочленів вигляду ( )∑=

n

kk kxb

1sin

із дійсними коефіцієнтами?

25. Множина дійсних чисел вигляду 3 25yx + , де Qyx ∈, ?

26. Множина всіх скалярних матриць порядку n ?

27. Множина дійсних чисел вигляду 33 497 zyx ++ , де Qzyx ∈,, ?

28. Множина дійсних чисел вигляду 4 2yx + , де Qyx ∈, ?

29. Множина дійсних функцій, неперервних на проміжку ( )1,1− ?

30. Множина всіх многочленів степінь яких не перевищує 2 від однієї

змінної над полем 3Z ?

40

1.9. Дільники нуля, дільники одиниці, оборотні та

нільпотентні елементи. Поле

Нехай ( )⋅+,,K – кільце. Ненульовий елемент Ka∈ називається лівим

дільником нуля, якщо існує такий ненульовий елемент Kb∈ , що 0=ab .

Ненульовий елемент Ka∈ називається правим дільником нуля, якщо

існує такий ненульовий елемент Kb∈ , що 0=ba . Дільником нуля

називається такий елемент Ka∈ , який одночасно є лівим та правим

дільником нуля. Зрозуміло, що в комутативному кільці лівий дільник нуля

буде правими дільником нуля, і навпаки.

Комутативне кільце з одиницею без дільників нуля називається

областю цілісності. Прикладами області цілісності є кільце цілих чисел Z

та кільце многочленів [ ]xR . Зауважимо, що кільце квадратних матриць

( )RM n при 1>n не є областю цілісності, оскільки множення матриць не

комутативне та кільце містить дільники нуля.

Елемент Ka∈ називається нільпотентним елементом, якщо існує

таке натуральне число n , що 0=na . Найменше таке n називається

ступенем нільпотентності елемента a . Таким чином, кожний

нільпотентний елемент є дільником нуля.

Нехай тепер K – кільце з одиницею. Елемент Ka∈ називається

лівим (відповідно правим) дільником одиниці, якщо існує такий

неодиничний елемент Kb∈ , що 1=ab (відповідно 1=ba ). Якщо елемент

одночасно є лівим і правим дільником одиниці, то його називають

дільником одиниці. Дільники одиниці називають оборотними

елементами, ліві дільники одиниці називають оборотними справа, праві

дільники одиниці називають оборотними зліва. До необоротних елементів

відносяться всі дільники нуля та сам нуль. У кільці 20Z дільниками нуля є

18,16,15,14,12,810,6,5,4,2 , необоротними елементами є

18,16,15,14,12,810,6,5,4,2,0 , оборотними елементами відповідно

41

19,17,13,11,9,7,3,1 . У кільці цілих чисел Z дільників нуля немає, але всі

елементи відмінні від 1± є необоротними.

Комутативне кільце з одиницею, в якому для кожного ненульового

елемента існує обернений, називають полем. Поле називається

скінченним, якщо кількість елементів у ньому скінченна.

Характеристикою поля P з одиницею e і нулем θ називають найменше

натуральне число p , для якого θ=pe . Якщо рівність θ=pe виконується

лише при 0=p , то вважають, що P є полем характеристики нуль. Всі

числові поля мають характеристику нуль, всі скінченні поля мають

скінченну характеристику p , причому p –просте число. Також зауважимо,

що жодне поле не має дільників нуля.

Приклад 1. У полі 331Z знайти обернений елемент для елемента 173.

Розв’язування. Оскільки ( ) 1173,331 = , то можна знайти лінійне зображення

1: ba 1733311 += .

В полі 331Z 0331 =a , тому b1731= , й елемент b буде оберненим до

елемента 173. Знайдемо лінійне зображення 1:

Отже, в полі 331Z 173287173441 ⋅=⋅−= і елемент 287 є оберненим

до елемента 173 .

42

Приклад 2. У кільці 150Z знайти обернений елемент для елемента 31.

Розв’язування. Оскільки ( ) 131,150 = , то можна знайти лінійне зображення

1: ba 311501 += . В кільці 150Z маємо 0150 =a , тому b311= , й елемент b

буде оберненим до елемента 31. Знайдемо лінійне зображення 1:

Отже, в кільці 150Z 312915061 ⋅−⋅= і елемент )150(mod12129 ≡− 287

є оберненим до елемента 31.

Приклад 3. У полі ( )5Q розв’язати рівняння ( ) 057125132 =++−− xx .

Розв’язування. ( ) ( ) 554126571245132

−=+−−=D . З’ясуємо, чи

можна дискримінант D подати у вигляді ( )25baD −= . Розв’язуючи

систему рівнянь ⎩⎨⎧

=+=

abba

275126 22

, отримаємо ⎩⎨⎧

==

.3,9

ba

. Тому

( )2

5395132,1

−±−=x ,

.52

,5211

2

1

+=

−=

x

x Перевірку зробимо за теоремою

Вієта:

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=++−

+=−+−=+⋅−⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+

=⋅

.513525211

,5712545111022525211,

21

21

ABxx

ACxx

Відповідь: у полі ( )5Q рівняння ( ) 057125132 =++−− xx має таки

розв’язки .52,5211 21 +=−= xx

43

Приклад 4. У полі ( )13Q розв’язати рівняння

( ) 01371201332 =++−− xx .

Розв’язування. ( ) ( ) 0133445813712041332

<−−=+−−=D . Зрозуміло,

що дискримінант D не можна подати у вигляді ( )25baD −= . Отже,

рівняння розв’язків не має.

Приклад 5. У полі ( )3Q розв’язати рівняння ( ) 03223232 =−−+− xx .

Розв’язування. ( ) ( ) 31610932243232

+=+++=D . З’ясуємо, чи можна

дискримінант D подати у вигляді ( ) QbabaD ∈−= ,,32

. Розв’язуючи

систему рівнянь ⎩⎨⎧

=+=

abba

83109 22

, отримаємо ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=

0641093

8

24 bbb

a. Тому

Qb ∉±

=611113109

2,1 .

Відповідь: у полі ( )3Q рівняння ( ) 03223232 =−−+− xx не має

розв’язків.

Приклад 6. В кільці 124Z розв’язати систему рівнянь ⎩⎨⎧

=−=+

.4,110

xyyx

Розв’язування. Додавши рівняння, отримаємо: 1142 =y . Конгруенція

)124(mod1142 ≡y має два розв’язки 119,57 21 == yy . Отже, початкова

система має два розв’язки: 119,115,57,53 2211 ==== yxyx .

44

Завдання 8. З’ясувати, чи буде множина M відносно звичайних

операцій додавання та множення полем. Знайти обернений елемент

для елемента a

1. 179ZM = , 96=a . 16. 143ZM = , 97=a .

2. 103ZM = , 63=a . 17. 199ZM = , 111=a .

3. 157ZM = , 121=a . 18. 181ZM = , 160=a .

4. 191ZM = , 152=a . 19. 197ZM = , 115=a .

5. 233ZM = , 199=a . 20. 191ZM = , 187=a .

6. 149ZM = , 123=a . 21. 167ZM = , 117=a .

7. 173ZM = , 96=a . 22. 194ZM = ,. 107=a .

8. 113ZM = , 97=a . 23. 132ZM = , 25=a .

9. 163ZM = , 57=a . 24. 150ZM = , 101=a .

10. 151ZM = , 13=a . 25. 211ZM = , 95=a .

11. 111ZM = , 16=a . 26. 229ZM = , 99=a .

12. 193ZM = , 129=a . 27. 121ZM = , 97=a .

13. 293ZM = , 123=a . 28. 173ZM = , 101=a .

14. 149ZM = , 113=a . 29. 175ZM = , 127=a .

15. 164ZM = , 97=a . 30. 281ZM = , 100=a .

Завдання 9. Розв’язати рівняння та систему рівнянь

1. ( ) 0326322 =−−+− xx у полі ( )3Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.5,7

yxyx

в кільці 20Z .

2. ( ) 052522 =++− xx у полі ( )5Q ; ⎩⎨⎧

=+=−

.21,7

yxyx

в кільці 22Z .

3. 0113132 =+−− xx у полі ( )11Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.15,9

yxyx

в кільці 18Z .

4. 07825722 =−−+ xx у полі ( )7Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.3,17

yxyx

в кільці 18Z .

45

5. ( ) 032322 =−−+ xx у полі ( )3Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.15,11

xyyx

в кільці 24Z .

6. ( ) 07477242 =−+−+ xx у полі ( )7Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.3,11

xyyx

в кільці 16Z .

7. ( ) 0224222 =−−++ xx у полі ( )2Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.5,11

xyyx

в кільці 20Z .

8. ( ) 04

521152 =−

+−+ xx у полі ( )5Q ; ⎩⎨⎧

=+=−

.35,21

yxyx

в кільці 42Z .

9. 01022 =−− xx у полі ( )11Q ; ⎩⎨⎧

=+=−

.22,10

yxyx

в кільці 42Z .

10. ( ) 01121111222 =++++ xx у ( )11Q ; ⎩⎨⎧

=+=−

.22,8

yxyx

в кільці 30Z .

11. ( ) 072670732 =−−+− xx у полі ( )7Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.11,21

yxyx

в кільці 42Z .

12. 033732 =+−+ xx у полі ( )3Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

5,17

yxyx

в кільці 28Z .

13. 01322 =−− xx у полі ( )3Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.3,7

yxyx

в кільці 12Z .

14. 05819522 =+−+ xx у полі ( )5Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.19,17

yxyx

в кільці 28Z .

15. 0662 =+− xx у полі ( )3Q ; ⎩⎨⎧

=+=−

.21,9

yxyx

в кільці 42Z .

16. 020102 =+− xx у полі ( )5Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.25,21

yxyx

в кільці 38Z .

17. 028142 =−+ xx у полі ( )77Q ; ⎩⎨⎧

=+=−

.13,7

xyyx

в кільці 22Z .

18. 0122 =−+ xx у полі ( )2Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.13,27

yxyx

в кільці 42Z .

46

19. 0242 =+− xx у полі ( )2Q ; ⎩⎨⎧

=+=−

.13,1

xyyx

в кільці 22Z .

20. 0142 =+− xx у полі ( )3Q ; ⎩⎨⎧

=+=−

.23,17

yxyx

в кільці 46Z .

21. ( ) 02642332 =+++− xx у полі ( )2Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.15,7

yxyx

в кільці 18Z .

22. ( ) 0251242 =+−+− xx у полі ( )2Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.15,11

xyyx

в кільці 24Z .

23. ( ) 0222312 =+−−+ xx у полі ( )2Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.7,13

yxyx

в кільці 24Z .

24. 03813322 =+−+ xx у полі ( )3Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.17,11

xyyx

в кільці 24Z .

25. 02122 =−−− xx у полі ( )2Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.2,10

yxyx

в кільці 16Z .

26. ( ) 03352 =+++ xx у полі ( )3Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.37,33

yxyx

в кільці 44Z .

27. ( ) 0545312 =++−+ xx у полі ( )5Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.27,11

yxyx

в кільці 30Z .

28. 02452 =−+− xx у полі ( )2Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.27,17

yxyx

в кільці 38Z .

29. ( ) 03712312 =−−++ xx у полі ( )3Q ; ⎩⎨⎧

=−=+

.16,24

yxyx

в кільці 46Z .

30. ( ) 057165352 =+++− xx у полі ( )5Q ;⎩⎨⎧

=−=+

.37,33

yxyx

в кільці 50Z .

47

Завдання 10

1. Довести, що в групі ZQ кожен елемент має скінченний порядок.

2. Довести, що кожна група порядку 6 або комутативна, або ізоморфна

групі 3S .

3. Довести, що в кожній групі перетин довільного набору підгруп є

підгрупою.

4. Довести, що в групі елементи xy і yx завжди мають однаковий

порядок.

5. Нехай R – скінченне кільце. Довести, що коли кільце R не має

дільників нуля, то воно має одиницю та всі ненульові елементи кільця

будуть оборотними.

6. Нехай елемент x групи G має порядок n . Довести, що mk xx = тоді й

лише тоді, коли ( )mkn − .

7. Довести, що в групі nS порядок непарної підстановки є парне число.

8. Довести, що в будь–якій групі парного степеня є елемент порядку 2.

9. Нехай R – скінченне кільце. Довести, що коли кільце R має одиницю,

то будь–який лівий дільник нуля є правим дільником нуля.

10. Довести, що порядок скінченної групи ділиться на порядок кожної своєї

підгрупи.

11. Довести, що об’єднання двох підгруп є підгрупою тоді й лише тоді,

коли одна з підгруп міститься в іншій.

12. Довести, що в групі елементи x і 1−yxy мають однаковий порядок.

13. Довести, що кожна некомутативна група порядку 6 ізоморфна групі 3S .

14. Довести, що в групі ZQ для кожного натурального n існує єдина

підгрупа порядку n .

15. Нехай елемент x групи G має нескінченний порядок. Довести, що mk xx = тоді й лише тоді, коли mk = .

48

16. Довести, що в групі nS порядок підстановки є найменшим спільним

кратним довжин незалежних циклів, що входять в її розклад.

17. Нехай G – скінченна група, Ga∈ . Довести, що aG = тоді й лише

тоді, коли елемент a має порядок G .

18. Довести, що в кільці з одиницею та без дільників нуля кожний елемент,

що має односторонній обернений, є оборотним.

19. Довести, що група, в якій всі елементи мають порядок 2, комутативна.

20. Довести, що в групі ∗C кожна скінченна підгрупа є циклічною.

21. Довести, що кільце цілих гаусових чисел { }Zyxiyx ∈+ ,: є евклідовим.

22. Довести, що в групі кожна скінченна піднапівгрупа є підгрупою.

23. Нехай елемент x групи G має порядок n . Довести, що exk = тоді й

лише тоді, коли kn .

24. Нехай aG = – циклічна група порядку n . Довести, що елемент ka є

твірним елементом групи G тоді й лише тоді, коли числа k і n взаємно

прості.

25. Довести, що в кільці дійсних функцій будь–який елемент, що не є

дільником нуля, є оборотним.

26. Довести, що кільце комплексних чисел ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≡∈

+ 2mod,,:2

yxZyxiyx є

евклідовим.

27. Довести, що всі оборотні елементи кільця з одиницею утворюють групу

відносно множення.

28. Довести, що кільце чисел { }Zyxyix ∈+ ,:3 не є евклідовим.

29. Довести, що кожна група порядку 2p , де p – просте число, є

комутативною.

30. Довести, що порядок довільного елемента циклічної групи є дільником

порядку твірного елемента цієї циклічної групи.

49

Розділ 2. КІЛЬЦЕ МНОГОЧЛЕНІВ ВІД ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

2.1. Многочлени від однієї змінної. Схема Горнера

Розглянемо довільні многочлени ( )xf і ( )xg над полем P .

Найменшим спільним кратним двох многочленів називається многочлен

( )xq , який є спільним кратним многочленів ( )xf і ( )xg і ділить будь–яке

спільне кратне цих многочленів. Многочлен ( )xq можна обчислити за

формулою : ( ) ( ) ( )( ) ( )( )xgxf

xgxfxq,⋅

= . Для знаходження найбільшого спільного

дільника зручно використовувати алгоритм Евкліда.

Приклад 1. Знайти найменше спільне кратне многочленів

( ) 6561653 2345 −−−−+= xxxxxxf , ( ) 243 234 −−−−= xxxxxg .

Найбільший спільний дільник цих многочленів дорівнює )23( −− x . Отже,

найменше спільне кратне

( ) ( )( )23

2436561653)(2342345

−−−−−−⋅−−−−+

=x

xxxxxxxxxxg , або

50

613141428233)( 2345678 −+−−+−++−= xxxxxxxxxg .

Оскільки найменше спільне кратне і найбільший спільний дільник

двох многочленів визначені лише з точністю до множника з поля P , то

при знаходженні найбільшого спільного дільника остачу, частку і дільник

можна на будь–якому кроку множити на довільне ненульове число (щоб

уникнути дробових коефіцієнтів).

Найбільший спільний дільник можна знайти і за допомогою

розкладу многочленів на незвідні многочлени.

Приклад 2. Знайти найбільший спільний дільник многочленів

( )( )121)( 23 +−−= xxxxf і ( )32 1)( −= xxg .

Знайдемо розклад многочленів на незвідні множники над полем дійсних

чисел:

( ) ( )11)( 23 ++−= xxxxf , ( ) ( )33 11)( +−= xxxg .

Відповідь: ( ) ( )31, −= xgf

Для обчислення значення многочлена

( ) nnnn axaxaxaxf ++++= −−

11

10 K в точці cx =0 зручно користуватися

схемою Горнера.

Приклад 3. Обчислити значення многочлена

613113 235 −+−+− xxxx у точці 2−=x .

3− 0 11 –13 1 –6

2− –3 6 –1 –11 23 –52

Отже, значення многочлена 613113 235 −+−+− xxxx в точці 2−=x

дорівнює –52.

Схема Горнера має й інші застосування.

51

Приклад 4. Визначити кратність кореня 3=x для многочлена

2727928279)( 23456 −+−+−+−= xxxxxxxf .

–1 9 –27 28 –9 27 –27

3 –1 6 –9 1 –6 9 0

3 –1 3 0 1 –3 0

3 –1 0 0 1 0

3 –1 –3 –9 –26

Оскільки 026 ≠− , то корінь 3=x має кратність 3 для многочлена

2727928279)( 23456 −+−+−+−= xxxxxxxf .

Приклад 5. Розкласти многочлен 10864)( 235 +−+−= xxxxxf за

степенями 2−x .

1 0 –4 6 –8 10

2 1 2 0 6 4 18

2 1 4 8 22 48

2 1 6 20 62

2 1 8 36

2 1 10

2 1

Отже, розклад многочлена )(xf за степенями 2−x має вигляд

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 182482622362102)( 2345 +−+−+−+−+−= xxxxxxf .

Порівнюючи розклад многочлена за степенями ( )0xx −

( ) ( ) ( ) ( )nn xxaxxaxxaxxaxfxf 03

032

02010 )()( −++−+−+−+= K

із розкладом )(xf у ряд Тейлора за степенями 0xx − :

( ) ( )( )

( ) KK +−++−+−+= nn

xxnxf

xxxf

xxxf

xfxf 002

00

00

0 !)(

!2)(''

!1)('

)()(

Отримаємо: ( ) ( ) !0 kaxf kk ⋅= . Тому схему Горнера можна використовувати

і для обчислення значень похідних многочлена.

52

Приклад 6. Знайти значення многочлена

279212)( 234 −+−+−= xxxxxf та значення усіх його похідних у точці

1−=x .

–12 2 –9 7 –2

–1 –12 14 –23 30 –32

–1 –12 26 –49 79

–1 –12 38 –87

–1 –12 50

–1 –12

Відповідь: ( )( ) !41214 ⋅−=−f , ( )( ) !35013 ⋅=−f , ( ) !2871'' ⋅−=−f ,

( ) !1791' ⋅=−f , ( ) 321 −=−f .

Схему Горнера можна також використовувати для знаходження розкладу

дробів вигляду ( )( )ncx

xf−

на елементарні дроби.

Приклад 7. Розкласти дріб ( )6

25

442

−

−+

xxx на найпростіші дроби над

полем R .

Знайдемо розклад многочлена 42)( 25 −+= xxxf за степенями 4−x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 105241296464241602204)( 2345 +−+−+−+−+−= xxxxxxf .

Поділимо многочлен на ( )64−x , після скорочення отримаємо:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )65432 41052

41296

4642

4160

420

41

−+

−+

−+

−+

−+

− xxxxxx.

53

Завдання 11. Знайти найменше спільне кратне двох

многочленів ( )xf та ( )xg

1. 242)( 234 −−−+= xxxxxf , 22)( 234 −−−+= xxxxxg . 2. 22)( 34 +++= xxxxf , 133)( 245 +++++= xxxxxxg 3 . 3. 1322 2345 ++++= xxxxf(x) , 122)(g 234 −−−−= xxxxx . 4. 122 2345 −−−++= xxxxxf(x) , 1)(g 34 +−−= xxxx . 5. 6561653)( 35 −−−−+= xxxxxxf 24 , 243)( 24 −−−−= xxxxxg 3 . 6. 951624)( 34 ++−−= xxxxxf 2 , 452)( 3 +−−= xxxxg 2 . 7. 223)( 2 ++−= xxxxf 5 , 1)( +−= xxxg 2 . 8. 144)( 3 ++−−= xxxxxf 25 , 1)( −−= xxxg 3 . 9. 1221225)( 34 +−+−−= xxxxxxf 25 , 1735)( 3 +−−= xxxxg 2 . 10. 25332)( 34 +−−+= xxxxxf 2 , 12)( 3 −−+= xxxxg 2 . 11. 12353)( 34 +−+−= xxxxxf 2 , 123)( 23 −+−= xxxxg . 12. 35795)( 34 +++++= xxxxxxf 25 , 122)( 34 ++−+= xxxxxg 2 . 13. 14)( 34 +−= xxxf , 13)( 23 +−= xxxg . 14. 2)( += 5xxf , 12)( +−= xxxg 2 . 15. 67)( +−= xxxf 5 , ( )41)( xxg −= . 16. ( )31)( xxf −= , 1)( −= 5xxg . 17. 133)( 34 +++++= xxxxxxf 25 , 22)( 34 +++= xxxxg . 18. 623 235 +++= xxxf(x) , 222 2345 −++−+= xxxxxg(x) . 19. 243)( 34 −−−−= xxxxxf 2 , 6561653)( 34 −−−−+= xxxxxxg 25 . 20. 1023197)( 34 ++++= xxxxxf 2 , 1222187)( 34 ++++= xxxxxg 2 . 21. 1)( 2345 +++++= xxxxxxf , 12)(g 234 −++= xxxx . 22. 343)( 2345 −−+−= xxxxxf , 332)(g 234 −−+−= xxxxx . 23. 12)( 235 ++++= xxxxxf , 32)(g 234 −−−−= xxxxx . 24. 3443x2)( 234 ++−−= xxxxf , 1)( −−= xxxg 2 . 25. 6561653)( 234 −−−−+= xxxxxxf 5 , 243)( 34 −−−−= xxxxxg 2 . 26. 15553)( 2345 −−−++= xxxxxxf , 555 2345 +−−−+= xxxxxg(x) . 27. 2332 2345 +++++= xxxxxf(x) , 63)(g 234 −−+−= xxxxx . 28. 324)( 245 −+++= xxxxxf , 652)(g 234 ++++= xxxxx . 29. 23342)( 2345 +++++= xxxxxxf , 122)(g 234 −++−= xxxxx . 30. 2322)( 345 −−++= xxxxxf , 23)(g 234 +−+−= xxxxx .

54

Завдання 12. Визначити кратність кореня c для многочлена

( )xf . Знайти значення многочлена ( )xf і його похідних у

точці 0xx =

1. 2181023)( 34 =−=−−++= 05 x,c,xxxxxf .

2. 133626)( 34 −==−−++−= 025 x,c54,27xxxxxxf .

3. 21155)( =−=+++= 025 x,c,xxxxf .

4. 21143)( 34 −==+−= 0x,c,xxxf .

5. 31144)( 34 −=−=−++= 02 x,c,xxxxf

6. 21101335)( 34 ==+−−+= 02 x,c,xxxxxf .

7. 31413157)( 34 ==+−+−= 02 x,c,xxxxxf .

8. 21222)( 34 =−=++++= 02 x,c,xxxxxf .

9. 1224363427122)( 34 −=−=+++++= 025 x,c,xxxxxxf .

10. 2143)( 4 −==+−= 05 x,cx,xxxf .

11. 3144)( 34 −=−=−++= 05 x,cx,xxxxf .

12. 3122242)( 34 −=−=++++= 02 x,c,xxxxxf .

13. 1284275)( 34 −==−+−+−= 025 x,c,xxxxxxf .

14. 122436221122)( 34 =−=−−−++= 025 x,c,xxxxxxf .

15. 128122116)( 34 −=−=−−+++= 025 x,c,xxxxxxf .

16. 1131217834)( 34 =−=−−−−++= 0256 x,c,xxxxxxxf .

17. 1224363427122)( 34 −=−=+++++= 025 x,c,xxxxxxf .

18. 122436221122)( 34 ==−−++−= 025 x,c,xxxxxxf .

19. 313121783)( 34 −==−+−++= 0256 x,c,xxxx4x-xxf .

20. 1281214136)( 34 =−=+++++= 025 x,c,xxxxxxf .

21. 4224363427122)( 34 ==−+−+−= 025 x,c,xxxxxxf .

22. 31312191694)( 34 −=−=++++++= 0256 x,c,xxxxxxxf .

23. 1284275)( 34 −==−+−+−= 025 x,c,xxxxxxf .

24. 1216168167)( 34 =−=−−+++= 025 x,c,xxxxxxf .

25. 1284275)( 34 −==−+−+−= 025 x,c,xxxxxxf .

55

26. 1123)( 34 −==+−+−= 02 x,c,xxxxxf .

27. 3126753)( 34 ==−+−+−= 025 x,c,xxxxxxf .

28. 3126753)( 34 −=−=+++++= 025 x,c,xxxxxxf .

29. 213)( 34 −==+−+−= 025 x,c2x,xxxxxf .

30. 216753)( 34 ==−+−+= 0256 x,c2x,xxxx-xxf .

Завдання 13. Розкласти даний дріб на найпростіші дроби над

полем дійсних чисел:

а) за допомогою схеми Горнера;

б) методом невизначених коефіцієнтів

1. а) 6

4

)2( −xx , b)

164

2

−xx . 16. а) 4

2

)4(1

−−−

xxx , b)

41

4 +x .

2. а) 5

24

)1(1119

+−+

xxx , b) 22 )1( −x

x . 17. а) 5

23

)2(223

−++−

xxxx , b) 22 )1(

1−x

.

3. а) 4

3

)1(1314

−+−

xxx , b)

161

4 −x. 18. a) 5

23

)1(452

++−−

xxxx , b)

11

3 +x.

4. a) 5

4

)2(3126

−−+

xxx , b) 22 )1)(1( ++ xx

x . 19. a) 6

25

)2(1

++−+

xxxx , b)

13

2

−xx .

5. a) 5

3

)2(410

++−

xxx , b)

164

2

−xx . 20. a) 5

23

)2(13

−+−

xxx , b)

)1)(1(3

2 +−+xxx .

6. a) 5

34

)3(135

−−+

xxx , b) 22 )1( +x

x . 21. a) 5

34

)3(14

++−

xxx , b)

14

2

−xx .

7. a) 5

3

)1( +xx , b)

)3)(2)(1(1

+++ xxx. 22. a) 5

4

)3(1222

−++

xxx , b) 22 )1(

1+x

.

8. a) 4

2

)2(132

−+−

xxx , b)

)2)(1(3-2

2 −+ xxx . 23. a) 6

25

)1(733

+−+

xxx , b) 22 )4(

1+−

xx .

9. a) 5

23

)3(175

−+−

xxx , b)

25103

24

3

++−xx

x . 24. a) 5

24

)1(110

++−

xxx , b)

xxxx+

−+4

23 24 .

10. a) 5

23

)1(123

+−+−

xxxx , b) 22 )1(

13++

xx . 25. a) 5

23

)2(1

+−−+

xxxx , b)

)(3

3 xx +.

11. a) 5

23

)4(12

−−−+

xxxx , b)

45 24

2

++ xxx . 26. a) 5

24

)1(32

++−

xxx , b)

13 −xx .

56

12. a) 5

24

)3(232

++−

xxx , b)

)3)(1(1

2 ++ xx. 27. a) 5

23

)2(1

−+−

xxx , b) 22

3

)1(1+−x

x .

13. a) 5

34

)3(14

−+−

xxx , b)

)3)(1( 2

2

−+ xxx . 28. a) 5

23

)2(1

−+−

xxx , b) 22

3

)1(1+−x

x .

14. a) 7

5

)3(722

+−+

xxx , b)

)3)(1(52

2 ++−xx

x . 29. a) 7

3

)3(43

+−+−

xxx , b)

)x(xxx1

5532

2

+−+ .

15. a) 6

5

)3(322

+++−

xxx 2

, b) 22

2

1123

)(xxx

+−+ . 30. a) 5

3

)2(113

−+−

xx , b)

))(x(xx

1154

3 +++− .

2.2. Звідні та незвідні многочлени. Корені многочлена

Многочлен )(xf степеня n називається незвідним над полем P ,

якщо його не можна подати у вигляді добутку многочленів степеня

меншого за n . Над полем дійсних чисел незвідним може бути лише

многочлен першого або другого степеня, над полем комплексних чисел

незвідним може бути лише многочлен першого степеня. Над скінченним

полем P і над полем раціональних чисел Q незвідним може бути

многочлен як завгодно великого степеня. Для многочленів над полем

раціональних чисел можна використовувати

критерій Айзенштайна: якщо для многочлена

nnnn axaxaxaxf ++++= −−

11

10)( K

із цілими коефіцієнтами знайдеться таке просте число p , що:

1) старший коефіцієнт 0a не ділиться на p ;

2) всі інші коефіцієнти ia діляться на число p ;

3) вільний коефіцієнт na не ділиться на 2p ,

то многочлен )(xf є незвідним над полем раціональних чисел.

Зауважимо, що критерій Айзенштайна є лише достатньою умовою

незвідності многочлена над полем раціональних чисел. Незвідний над Q

многочлен може цю ознаку не задовольняти (наприклад, многочлен 1+x ).

57

Кожний многочлен )(xf з кільця ][xP степеня 1≥n можна подати у

вигляді добутку незвідних над полем P многочленів.

Приклад 1. )a многочлен 12 +x є незвідним над полем дійсних чисел

R , але над полем комплексних чисел його можна розкласти:

( )( )ixixx +−=+ 12 .

)b многочлен 8116 4 +x буде звідним і в кільці ][xR : =+ 8116 4x

( ) ( )( ),97249724729481727216 22222224 +++−=−+=+−+= xxxxxxxxx і в кільці ][xC : ( )( ) =+++−=+ 972497248116 224 xxxxx

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ixixixix 1

4231

4231

4231

423 .

)c многочлен 716 105 +x буде незвідним у кільці ][xQ (він

задовольняє критерію Айзенштайна для простого числа 7=p ).

Зауважимо, що над полем дійсних чисел кожний многочлен )(xf

степеня 2>n є звідним. Але дійсні корені многочлен )(xf має лише в

тому випадку, коли серед його незвідних множників є лінійні.

Для знаходження всіх раціональних коренів (якщо вони існують)

многочлена nnnn axaxaxaxf ++++= −−

11

10)( K із цілими коефіцієнтами

можна використати наступне твердження:

Кожний раціональний корінь многочлена )(xf має вигляд qp , де p –

дільник числа na , q – дільник числа 0a , mqp − ділить )(mf . Зокрема,

якщо 10 =a , то раціональний корінь є цілим числом.

Приклад 2. Знайдемо всі раціональні корені многочлена

241382)( 234 −+−−= xxxxxf .

Випишемо всі дільники числа 24: 24;12;8;6;4;3;2;1 ±±±±±±±± .

58

Раціональні корені потрібно шукати серед цих дільників.

Візьмемо перше число 1=m : 020)1( ≠−=f . З’ясуємо, для яких дільників

p числа 24 число 1−p ділить 20. 24,12,8,6,4,2 ±±±−+−≠p . Тепер

візьмемо число 1−=m : 042)1( ≠−=−f . З’ясуємо, для яких з дільників, що

залишились ( 6,4,3,2 +−±+ ), 1+p не ділить число 42. 3≠p . Знайдемо

030)2( ≠−=f . Число 4262 =−=−p не ділить 30, 6≠p , також 4−≠p .

Знайдемо 0)3( =−f (тобто – 3 є коренем). З’ясуємо кратність кореня

3−=x :

1 – 2 – 8 13 –24

– 3 1 – 5 7 – 8 0

– 3 1 – 8 31 0≠

Корінь 3−=x простий.

Якщо многочлен має дійсні корені, то можна їх відокремити, тобто

вказати проміжки, на яких многочлен буде мати по одному кореню.

Встановити загальну кількість дійсних коренів та відокремити їх можна за

допомогою методу Штурма. Нехай многочлен )(xf з дійсними

коефіцієнтами не має кратних коренів. Для многочлена )(xf побудуємо

послідовність многочленів Штурма за таким правилом:

)(: xff = ; )(':0 xff = ; 1f – остача від ділення f на 0f , взята з

протилежним знаком; 2f – остача від ділення 0f на 1f , взята з

протилежним знаком; 3f – остача від ділення 1f на 2f , взята з

протилежним знаком; … ; 2+kf – остача від ділення 1+kf на kf , взята з

протилежним знаком; …. На деякому кроку ми отримаємо в остачі

ненульове число, тобто 0: ≠= constfs . Зауважимо, що на будь–якому етапі

можна множити або ділити на довільне додатне число. Ці многочлени

задовольняють наступним умовам:

59

1) останній многочлен sf не має дійсних коренів та відмінний від

нуля;

2) два сусідніх многочлена не мають спільних коренів (не дорівнюють

нулю одночасно);

3) якщо многочлен 0)( 0 =xfk , то в точці 0x сусідні многочлени 1−kf та

1+kf мають значення, протилежні за знаком, тобто

0)()( 0101 <⋅ +− xfxf kk .

Якщо відомі многочлени Штурма, то вибираючи різні значення 0x

заповнюємо табличку. У табличці фіксується лише знак многочлена в

даній точці; в останній стовпчик будемо записувати кількість змін знаку

при фіксованому 0x (якщо деякий многочлен у точці 0x дорівнює нулю,

то при підрахунку змін знаку ми на нього не звертаємо уваги):

f 0f 1f 2f K 1+kf 2+kf K sf S

∞− – + – – – – + + + ( )∞−s

∞+ + + + – – – – + + ( )∞+s

0 + + + + – – + + + ( )0s

Модуль різниці змін знаку ( ) ( )bsas − на інтервалі ( )ba, вказує на

кількість дійсних коренів на цьому інтервалі. Наприклад,

( ) ( )∞+−∞− ss вказує на загальну кількість дійсних коренів;

( ) ( )0ss −∞− вказує на кількість від’ємних дійсних коренів; ( ) ( )∞+− ss 0

вказує на кількість додатних дійсних коренів. Якщо на деякому інтервалі

( )1, +aa є кілька коренів, то треба дробити інтервал ( )1, +aa далі.

Приклад 3. Відокремити дійсні корені многочлена

246)( 24 +−−= xxxxf .

246 24 +−−= xxxf . 4124' 3 −−= xxf , тому 1330 −−= xxf .

Знайдемо остачу від ділення многочлена f на многочлен 0f :

60

Тому 233 21 −+= xxf .

Знайдемо остачу від ділення многочлена 0f на многочлен 1f :

Тому 542 += xf . Знайдемо остачу від ділення многочлена 1f на многочлен 2f :

Тому 13 =f . 246 24 +−−= xxxf , 133

0 −−= xxf , 233 21 −+= xxf , 542 += xf ,

13 =f . Заповнюємо таблицю:

0x f 0f 1f 2f 3f S

∞ + + + + + 0

∞− + – + – + 4

0 + – – + + 2

1 – – + + + 1

2 – + + + + 1

3 + + + + + 0

–1 + + – + + 2

–2 + – + – + 4

–1.5 – + + – + 3

61

На інтервалі ( )∞∞− , многочлен має 4 дійсних корені (різниця змін знаку

дорівнює 4);

На проміжку ( )0,∞− многочлен має 2 дійсних корені;

На проміжку ( )+∞,0 многочлен має 2 дійсних корені;

На проміжку ( )1,0 + многочлен має 1 дійсний корінь;

На проміжку ( )2,1 ++ многочлен не має дійсних коренів;

На проміжку ( )3,2 ++ многочлен має 1 дійсний корінь;

На проміжку ( )0,1− многочлен не має дійсних коренів;

На проміжку ( )1,2 −− многочлен має 2 дійсних корені;

На проміжку ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 1,

23 многочлен має 1 дійсний корінь;

На проміжку ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

23,2 многочлен має 1 дійсний корінь.

Отже, дійсні корені многочлена знаходяться на проміжках : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

23,2 ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 1,

23 , ( )1,0 + , ( )3,2 ++ .

При розв’язування деяких задач доводиться користуватися

методами, які застосовуються лише до многочленів, що не мають кратних

множників (наприклад метод Штурма – відокремлення дійсних коренів

многочлена). Тому розглянемо питання про розкладання многочленів

( )xf , що має кратні множники, в добуток многочленів, що не мають кратні

множники. Нехай ( ) ( ) ( ) ( )xpxpxpaxf mkm

kk ⋅⋅⋅= ...21210 є канонічний розклад

многочлена ( )xf , причому найвища кратність множників дорівнює s .

Виберемо в цьому розкладі всі множники ( )xpi , кратність ik яких

дорівнює 1. Позначимо добуток всіх цих множників символом ( )x1ϕ .

Виберемо двократні множники, тобто множники для яких 2=ik .

Позначимо добуток всіх таких множників взятих у першому степені

62

символом ( )x2ϕ і т.д. нарешті, виберемо всі множники кратності s , і

добуток усіх їх, також узятих лише по одному разу, позначимо символом

( )xsϕ . Якщо ж при цьому многочлен ( )xf не має множників кратності k ,

то вважатимемо, що ( ) 1=xkϕ . Тоді многочлен ( )xf можна записати так:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxxxaxf ss...3

32210 ⋅⋅⋅= ϕϕϕ . Задачу відшукання такого розкладу

називають відокремленням кратних множників.

Зауважимо, що коли многочлен ( )xf має дійсні коефіцієнти, то

( )xf ' та ( )', ffНСД також будуть мати дійсні коефіцієнти. Тому в цьому

випадку всі обчислення будуть виконуватися в полі дійсних чисел (хоча

неявно і використовується розклад на лінійні множники над полем C ). Це

дає нам наступний метод відокремлення кратних множників:

1. знайдемо похідну ( )xf ' .

2. знайдемо найбільший спільний дільник ( ) 1', dffНСД = (Відомо, що

многочлен ( )xf не має кратних множників тоді й лише тоді, коли він

є взаємно простим зі своєю похідною ( )xf ' ). Якщо 11 =d , то

многочлен немає кратних множників.

3. поділимо многочлен ( )xf на ( )xd1 та позначимо ( ) ( )( )xdxfxV

11 = .

4. запишемо відповідь.

Приклад 4. Відокремити кратні множники многочлена

( ) 412946 2346 +++−−= xxxxxxf .

Розв’язування. Знайдемо спочатку похідну многочлена:

( ) 121812246' 235 ++−−= xxxxxf . Тепер за алгоритмом Евкліда знайдемо

найбільший спільний дільник многочленів ( )xf та ( )xf ' :

63

Маємо ( ) 1234 253', dxxxxffНСД =−−−+= . Далі 5634 23'

1 −−+= xxxd .

Тепер обчислюємо многочлен 1

1 dfV = :

Таким чином, многочлен 221 −−= xxV немає кратних множників

Завдання 14. Розкласти даний многочлен на незвідні множники

a) над полем R; b) над полем C 1. 164 +x .

2. 110 24 +− xx .

3. 814 −x .

4. 3436 −x .

5. 274 +x .

6. 2566 −x .

7. 254 +x .

8. 44 +x .

9. 16 +x .

10. 94 +x .

11. 646 −x .

12. 86 −x .

13. 276 +x .

14. 2566 +x .

15. 6254 −x .

64

16. 254 −x .

17. 814 +x .

18. 86 +x .

19. 164 −x .

20. 646 +x .

21. 1256 +x .

22. 276 −x .

23. 816 +x .

24. 16 −x .

25. 816 −x .

26. 6254 +x .

27. 1214 +x .

28. 910 24 +− xx .

29. 1964 −x .

30. 13316 +x .

Завдання 15. Знайти всі раціональні корені многочлена 1. 3105108 234 −+++ xxxx 16. 38784 234 +−+− xxxx

2. 3317 −−+− xxx6x 234 17. 616118 +−+− xxx4x 234 3. 6201310 −+++ xxx8x 234 18. 354 +−−− xxx4x 234 4. 354 ++−+ xxx4x 234 19. 371518 −−+− xxx8x 234 5. 371518 −+++ xxx8x 234 20. 61334 ++++ xxx4x 234 6. 34165 −−++ xxx6x 234 21. 31352 −−−− xxx8x 234 7. 61334 +−+− xxx4x 234 22. 9302110 −+++ xxx8x 234 8. 31352 −+−+ xxx8x 234 23. 924158 +−+− xxx4x 234 9. 3105108 −−+− xxxx 234 24. 3111512 +−+− xxx4x 234 10. 3878 ++++ xxx4x 234 25. 34165 −++− xxx6x 234 11. 3317 −+++ xxx6x 234 26. 9302110 −−+− xxx8x 234 12. 616118 ++++ xxx4x 234 27. 924158 ++++ xxx4x 234 13. 6201310 −−+− xxx8x 234 28. 3111512 ++++ xxx4x 234 14. 2211 −+++ xxx6x 234 29. 381016 ++++ xxx8x 234 15. 381016 +−+− xxx8x 234 30. 2211 −−+− xxx6x 234

Завдання 16. Відокремити дійсні корені многочлена )(xf

1. 18124)( 24 −+−= xxxxf . 2. 1444)( 234 ++−−= xxxxxf . 3. 310102)( 35 −+−= xxxxf . 4. 13)( 24 +−= xxxf . 5. 2446)( 234 ++−+= xxxxxf . 6. 107)( 24 +−= xxxf . 7. 144)( 234 ++−−= xxxxxf . 8. xxxxxf 6116)( 234 −+−= . 9. 41612)( 24 −−−= xxxxf . 10. 310102)( 35 −−+−= xxxxf .

65

11. 31055)( 235 −++−= xxxxxf . 12. 163)( 24 +−= xxxf . 13. 65)( 24 +−= xxxf . 14. 1232)( 234 ++−−= xxxxxf . 15. 41612)( 24 −+−= xxxxf . 16. 78)( 24 +−= xxxf . 17. 1882)( 234 −+−= xxxxf . 18. 16)( 24 +−= xxxf . 19. 14)( 24 ++−= xxxxf . 20. 24)( 24 +−= xxxf . 21. 1232)( 234 ++−−= xxxxxf . 22. 45)( 24 +−= xxxf . 23. 5444)( 234 ++−−= xxxxxf . 24. 246)( 24 +−−= xxxxf . 25. 3462)( 34 +−−= xxxxf . 26. ( ) 483 −+−−= xxxxxf 234 . 27. ( ) 2110 24 +−= xxxf . 28. ( ) 2113 ++= 24 xxxf . 29. ( ) 26 +−= 24 xxxf . 30. ( ) 44 −−= 24 xxxf .

Завдання 17 1. Довести, що для довільних натуральних чисел m , n і p многочлен

23133 ++ ++ pnm xxx ділиться на 12 ++ xx .

2. Визначити, для яких чисел A і B тричлен 134 ++ BxAx ділиться на

( )21−x .

3. Довести, що многочлен ( ) 510 xxxf −= ділиться на ax − для довільного

5Za∈ у кільці [ ]xZ5 .

4. Знайти суму квадратів коренів многочлена nnn axax +++ − K1

1 .

5. Для яких натуральних чисел m , n і p многочлен 23133 ++ ++ pnm xxx

ділиться на 124 ++ xx ?

66

6. Для яких натуральних чисел m многочлен 12 ++ mm xx ділиться на

12 ++ xx ?

7. Для яких натуральних чисел m многочлен 1)1( −−+ mm xx ділиться на

12 ++ xx ?

8. Яку умову повинні задовольняти числа a і b , щоб многочлен

baxx ++ 35 мав подвійний корінь, відмінний від нуля.

9. Для яких натуральних чисел m многочлен 1)1( −−+ mm xx ділиться на

22 )1( ++ xx ?

10. Знайти всі такі трійки чисел ),,( cba , щоб коренями многочлена

cbxaxx −+− 23 були числа .,, cba

11. Для яких значень a число 1− буде коренем многочлена

125 +−− axaxx кратності не менше 2?

12. Визначити, для яких A і B тричлен 11 +++ nn BxAx ділиться на ( )21−x .

13. Для яких натуральних чисел m , n і p многочлен 23133 ++ ++ pnm xxx

ділиться на 12 ++ xx ?

14. Довести, що многочлен ( ) xxxf −= 5 ділиться на a-x для довільного

5Za∈ в кільці [ ]xZ5 .

15. Для яких натуральних чисел m многочлен 1)1( +++ mm xx ділиться на

12 ++ xx ?

16. Які умови повинні задовольняти числа a , b і c , щоб многочлен

cbxaxx +++ 510 35 мав потрійний корінь, відмінний від нуля?

17. Для яких натуральних чисел m многочлен 1)1( +++ mm xx ділиться на

22 )1( ++ xx ?

18. Яку умову повинні задовольняти числа a , b і c , щоб один із коренів

многочлена cbxaxx +++ 23 дорівнював сумі двох інших коренів.

67

19. Довести, що многочлен ( ) xxxf 7 −= ділиться на a-x для довільного

7Za∈ в кільці [ ]xZ7 .

20. Яку умову повинні задовольняти числа a , b , c , і d , щоб сума якихось

двох коренів многочлена dcxbxaxx ++++ 234 дорівнювала сумі двох

інших коренів.

21. Яку умову повинні задовольняти числа a , b , c , і d , щоб добуток

якихось двох коренів многочлена dcxbxaxx ++++ 234 дорівнював

добутку двох інших коренів.

22. Для яких цілих значень a один корінь многочлена axxx +−− 51236 23

дорівнює сумі двох інших? Знайти ці корені.

23. Сума двох коренів многочлена axxx +−− 72 23 дорівнює 1. Визначити

параметр a .

24. Яку умову повинні задовольняти числа b і d , щоб для коренів 321 ,, xxx

многочлена dbxx ++3 виконувалось співвідношення 21

311xx

x += ?

25. Довести, що многочлен )(xf із цілими коефіцієнтами не має цілих

коренів, якщо )0(f i )1(f – непарні числа.

26. Визначити многочлен найменшого степеня, який дає в остачі x2 при

діленні на 2)1( −x і x3 при діленні на 3)2( −x .

27. Визначити многочлен найменшого степеня, який дає в остачі 12 ++ xx

при діленні на 71022 234 −+−− xxxx і 32 2 −x при діленні на

101332 234 −+−− xxxx .

28. Чи утворюють корені многочлена 22782 234 −−++ xxxx

арифметичну прогресію?

29. При яких значеннях a і b многочлен ( ) baxxxxf 23 +++= 2 ділиться

на многочлен ( ) abxxxg 2 ++= у кільці [ ]xQ ?

30. Довести, що многочлен ( ) ( ) 2001200120012001 baxbaxxf −−−++=

ділиться на двочлени ( ) axxf1 += та ( ) bxxf2 += у кільці [ ]xC .

68

Розділ 3. МНОГОЧЛЕНИ ВІД БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

3.1. Симетричні многочлени

Многочлен ),,,( 21 nxxxf K , що залежить від змінних nxxx ,,, 21 K ,

називають симетричним, якщо будь–яка підстановка множини

},,,{ 21 nxxx K переводить цей многочлен у себе.

Приклад 1. Многочлени 2331

333

321

323

312

31 xxxxxxxxxxxx +++++ ,

55

54

53

52

51 xxxxx ++++ , ))()(( 132231321 xxxxxxxxx −+−+−+

будуть симетричними.

Симетричні многочлени nxxx +++= K211σ ,

n1-n32n13121 xxxxxxxxxx ++++++= KK2σ ,

KKK

nn xxxx K321=σ

називають елементарними симетричними многочленами.

В силу того, що сума, різниця і добуток симетричних многочленів

над довільним полем P є також симетричним многочленом над цим

полем, симетричні многочлени над цім полем утворюють кільце.

Кожний симетричний многочлен ),,,( 21 nxxxf K можна подати,

причому єдиним способом, у вигляді многочлена ),,,( 21 ng σσσ K від

елементарних симетричних многочленів nσσσ ,,, 21 K . При цьому потрібно

враховувати, що коли nkn

kk xxax K2121 – старший член симетричного

многочлена ),,,( 21 nxxxf K порядку m , тоді многочлен ),,,( 21 nxxxf K

містить член nkn

kk xxax K2121 ; для показників виконується умова

69

nkkkk ≥≥≥≥ K321 , існує многочлен ntn

ttttii ch σσσ K3221

21−−= , де c – якась

стала, ntttt ≥≥≥≥ K321 , mttkt n =++++ K321 , тоді ∑= ihf .

Приклад 2. Виразити через основні симетричні многочлени

многочлен

))()(( 324142314321 xxxxxxxxxxxx +++ .

Старший член цього многочлена 43231 xxxx . Випишемо показники старших

членів многочленів:

1t 2t 3t 4t Комбінація основних

симетричних многочленів

3 1 1 1 4

21σσ

2 2 2 0 23σa

2 2 1 1 42σσc

Нагадаємо, що 43211 xxxx +++=σ ,

4342324131212 xxxxxxxxxxxx +++++=σ ,

4324314213213 xxxxxxxxxxxx +++=σ ,

43214 xxxx=σ .

Многочлен f можна записати у вигляді 42234

21 σσσσσ caf ++= .

Визначимо числові коефіцієнти, надаючи окремі значення 4321 ,,, xxxx :

1x 2x 3x 4x f 1σ 2σ 3σ 4σ f

1 1 1 0 1 3 3 1 0 a=1

1 1 –1 –1 8 0 –2 0 1 c28 −=

Розв’яжемо систему ⎩⎨⎧

−==

ca

281

. Отже, 42234

21 4 σσσσσ −+=f .

70

Завдання 18. Виразити через основні симетричні многочлени

заданий многочлен

1. 43213

42132

41 xxxxxxxxx ++ .

2. 54

53

52

51 xxxx +++ .

3. 23

221

232

213

22

21 xxxxxxxxx ++ .

4. 432134

33

32

31 2222 xxxxxxxx −+++ .

5. 2331

333

321

323

312

31 xxxxxxxxxxxx +++++ .

6. 55

54

53

52

51 xxxxx ++++ .

7. ))()(( 323121 xxxxxx +++ . 8. ))()(( 2

321322132

21 xxxxxxxxx ++++++ .

9. 33

32

33

31

32

31 xxxxxx ++ .

10. 24

23

24

22

23

22

24

21

23

21

22

21 xxxxxxxxxxxx +++++ .

11. )2)(2)(2( 212331

2232

21 xxxxxxxxx +++ .

12. 243214

232143

221432

21 xxxxxxxxxxxxxxxx +++ .

13. 2433

421

431

423

412

41 xxxxxxxxxxxx +++++ .

14. )3)(3)(3( 132231321 xxxxxxxxx −+−+−+ . 15. 2

233

21

33

23

32

21

32

23

31

22

31 xxxxxxxxxxxx +++++ .

16. 24

23

22

24

23

21

24

22

21

23

22

21 xxxxxxxxxxxx +++ .

17. ))()(( 132231321 xxxxxxxxx −+−+−+ . 18. 4

544

43

42

41 xxxxx ++++ .

19. 34

33

34

32

33

32

34

31

33

31

32

31 xxxxxxxxxxxx +++++ .

20. 432134

33

32

31 5 xxxxxxxx −+++ .

21. 23

22

23

21

22

21

53

52

51 333 xxxxxxxxx +++++ .

22. 32123

22

23

21

22

21 2 xxxxxxxxx +++ .

23. )2)(2)(2( 123312321 xxxxxxxxx −−−−−− . 24. 2

321322132

21 xxxxxxxxx ++ .

25. 343214

332143

321432

31 xxxxxxxxxxxxxxxx +++ .

26. 23

22

23

21

22

21

33

32

31 222 xxxxxxxxx −−−++ .

27. ))()(( 23

22

23

21

22

21 xxxxxx +++ .

28. )22)(22)(22( 23213

22132

21 xxxxxxxxx ++++++ .

29. 221

4212

212

41 5252 xxxxxxxx ++− .

30. )2)(2)(2( 132231321 xxxxxxxxx −+−+−+ .

71

Додаток 1. Питання колоквіуму

2 семестр

1. Бінарні операції, асоціативність, комутативність та дистрибутивність

бінарних операцій, основні властивості бінарних операцій.

2. Означення групи, приклади груп.

3. Властивості груп. Довести:

a) рівність nmnm aaa +=⋅ ;

b) що кожне з рівнянь bax = , bya = має єдиний розв’язок;

c) що з acab = випливає cb = .

4. Підгрупи та їх властивості. Критерії того, що підмножина групи є

підгрупою.

5. Циклічна група; приклади циклічних груп. Теорема про будову

підгруп циклічної групи.

6. Група підстановок, зображення підстановок у вигляді добутку

транспозицій.

7. Ізоморфізм груп; показати, що відношення ізоморфізму є

відношенням еквівалентності.

8. Довести, що при ізоморфізмі нейтральний елемент переходить в

нейтральний елемент, а обернений елемент – в обернений.

9. Теорема, що коли множина з бінарною операцією ізоморфна групі,

то вона є групою.

10. Теорема: кожна нескінченна циклічна група ізоморфна адитивній

групі цілих чисел, кожна скінченна група порядку n ізоморфна групі

поворотів правильного n - кутника.

11. Теорема Келі.

12. Розклад групи за підгрупою.

13. Теорема Лагранжа та наслідки з неї.

14. Кільця, приклади кілець, кільце лишків.

15. Основні властивості кілець, кільце з одиницею, дільники одиниці.

72

16. Дільники нуля. Область цілісності. Приклади областей цілісності.

17. Підкільце. Критерій того, що підмножина кільця є підкільцем.

18. Ізоморфізм кілець, властивості ізоморфних кілець.

19. Поле, властивості полів. Поле лишків pZ . Довести, що поле не

містить дільників нуля.

20. Характеристика поля, її властивості. Довести, що в полі

характеристики p ( ) ppp baba ++=+ .

21. Підполе, розширення поля, ізоморфізм полів.

73

Додаток 2. Варіанти контрольних та самостійних робіт

Самостійна робота (2 семестр)

Варіант 1

1. Чи буде групою множина всіх комплексних коренів фіксованого

степеня n з 1 відносно операції множення.

2. Чи буде операція ∗ асоціативна на множини Z , 22 yxyx +=∗ .

3. Знайти порядок елемента групи:

a) 87352641887654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) ( )ZGLg 201

10∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= .

4. Розв’язати рівняння та систему рівнянь :

а) ( ) 071026712 =+−+− xx у полі ( )7Q ; b) ⎩⎨⎧

=−=+

.15,11

xyyx

в кільці 24Z .

5. Чи буде відображення гомоморфізмом? ∗∗ → RRf : , xxf −=)( .

6. Чи буде кільце 163Z полем? Знайти обернений елемент до

елемента 57=a .

Варіант 2

1. Чи буде групою множина всіх комплексних коренів усіх степенів

з 1 відносно операції множення.

2. Чи буде операція ∗ асоціативна на множини N , yxyx y=∗ .

3. Знайти порядок елемента групи:

a) 82854673187654321

Sg ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ; b) )(

010

2 CGLi

g ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

4. Розв’язати рівняння та систему рівнянь :

а) ( ) 07477242 =−+−+ xx у полі ( )7Q ; b) ⎩⎨⎧

=−=+

.5,11

xyyx

в кільці 20Z .

5. Чи буде відображення гомоморфізмом? ∗∗ → CCf : , zzf =)( .

6. Чи буде кільце 150Z полем? Знайти обернений елемент до

елемента 101=a .

74

Контрольна робота (2 семестр)

Варіант 1

1. Розкласти на незвідні множники над полем R многочлен

252 24 ++ xx .

2. Знайти раціональні корені многочлена 5656 2456 +++++ xxxxx .

3. Знайти значення многочлена 15325113 2456 −+−+−− xxxxx та всіх

його похідних при 20 −=x .

4. Розв’язати рівняння ( ) 05155953 2 =−−+ xx в полі )5(Q .

5. Знайти елемент, обернений до елемента 53 в кільці 241Z .

6. Розкласти в ланцюговий дріб 409

1811 .

7. Знайти остачу від ділення числа ( )521158175718 1896795284040 + на

число 81.

Варіант 2

1. Розкласти на незвідні множники над полем R многочлен

362 24 +− xx .

2. Знайти раціональні корені многочлена 2626 2456 −−+−− xxxxx .

3. Знайти значення многочлена 35173542 2356 +−+−+ xxxxx та всіх

його похідних при 10 −=x .

4. Розв’язати систему рівнянь ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

25

,97

xy

yx в кільці 168Z .

5. Знайти елемент, обернений до елемента 59 в кільці 367Z .

6. Розкласти в ланцюговий дріб 125 .

7. Знайти остачу від ділення числа ( )58247208563 126802283658 + на

число 55.

75

Додаток 3. Цікаві задачі

1. Доведіть, що довільна скінченна підгрупа H групи ∗C є циклічною.

2. Нехай qp, – прості числа та qp < . Доведіть, що кожна група

порядку pq містить підгрупу порядку p (порядку q ).

3. Доведіть, що кожна некомутативна група порядку 8 ізоморфна або

групі 4D , або групі кватерніонів 8Q .

4. Доведіть, що кожна група порядку 4p містить абелеву підгрупу

порядку 3p .

5. Доведіть, що група 5A не містить підгруп порядків 15, 20 і 30.

6. Знайдіть кількість силовських p – підгруп у групі pS2 .

7. Довести, що коли елемент x кільця ℜ є нільпотентним, то елемент

( )x−1 є оборотним (елемент a кільця ℜ називається

нільпотентним, якщо для деякого натурального числа n маємо

0=na ).

8. Довести, що mZ містить нільпотентні елементи тоді й лише тоді,

коли m ділиться на квадрат натурального числа більшого за 1.

9. Довести: кожне п’яти елементне кільце або ізоморфне 5Z , або є

кільцем з нульовим множенням.

76

Додаток 4. Умовні позначення

),( baНСД – найбільший спільний дільник чисел a та b ;

),( baНСК – найменше спільне кратне чисел a та b ;

TA – матриця, транспонована до матриці A ;

A – потужність множини A ;

a – порядок елемента a ;

cba ,...,, – група породжена елементами cba ,...,, ;

BA⊆ – A є підмножиною B ;

BA⊂ – A є власною підмножиною B (тобто BA⊆ i BA ≠ );

nA – знакозмінна група всіх парних підстановок степеня n ;

C – множина, або адитивна група, або поле комплексних чисел; ∗C – мультиплікативна група поля комплексних чисел;

nC – група за множенням усіх комплексних коренів степеня n з 1 або

група поворотів правильного n -кутника;

( )aC – клас спряженості елемента a ;

nD – група симетрій правильного n -кутника;

nE – одинична матриця порядку n (матриця порядку n , в якій на головній

діагоналі стоять одиниці, а решта елементів – нулі);

( )PGLn – повна лінійна група степеня n – група за множенням усіх

невироджених матриць порядку n з коефіцієнтами з поля P ;

( )ZGLn – група за множенням усіх невироджених цілочисельних матриць

порядку n , обернені до яких також є цілочисельними;

HG – фактор-група групи G за нормальною підгрупою H ;

GH < – H є нормальною підгрупою H ;

4K – четверна група Кляйна – група підстановок

( )( ) ( )( ) ( )( ){ }3241,4231,4321,e ;

( )PM mn× – адитивна група матриць розміру mn× з коефіцієнтами

з поля P ;

77

( )PM n – адитивна група квадратних матриць порядку n з коефіцієнтами з

поля P ;

0N – множина цілих невід’ємних чисел;

[ ]xP – кільце многочленів від x з коефіцієнтами з поля P ;

[ ]xPn – множина всіх многочленів від x степеня не більшого ніж n з

коефіцієнтами з поля P ;

[ ]kn xxP ,...,1 – множина всіх многочленів степеня не більшого ніж n від

змінних kxx ,...,1 з коефіцієнтами з поля P ;

8Q – група кватерніонів;

+Q – мультиплікативна група всіх додатних раціональних чисел;

∗Q – мультиплікативна група поля раціональних чисел;

+R – мультиплікативна група всіх додатних дійсних чисел; *R – мультиплікативна група поля дійсних чисел;

( )PSLn – спеціальна лінійна група степеня n – підгрупа матриць із

( )PGLn , визначник яких дорівнює 1;

nS – симетрична група всіх підстановок степеня n ;

( )PTn – група за множенням усіх невироджених верхніх трикутних

матриць порядку n з коефіцієнтами з поля P ;

nU – група комплексних коренів степеня n з 1;

nZ – множина, або адитивна група, або кільце класів лишків за модулем

натурального числа n ; ∗nZ – мультиплікативна група оборотних класів лишків за модулем числа n ;

( )nτ – кількість всіх натуральних дільників числа n ;

( )nS – сума всіх кількість всіх натуральних дільників числа n ;

( )nϕ – функція Ойлера – кількість натуральних чисел менших за n та

взаємно простих з ним.

78

Додаток 5. Таблиця простих чисел для 4861≤n 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541

547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863

877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223

1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583

1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951 1973 1979 1987

1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029 2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2129 2131 2137 2141 2143 2153 2161 2179 2203 2207 2213 2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293 2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357

2371 2377 2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447 2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2543 2549 2551 2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2647 2657 2659 2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713 2719 2729 2731 2741

2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797 2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887 2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971 2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079 3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181

3187 3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271 3299 3301 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359 3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461 3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539 3541 3547 3557 3559 3571 3581

3583 3593 3607 3613 3617 3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701 3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797 3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889 3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989 4001

4003 4007 4013 4019 4021 4027 4049 4051 3307 4057 4073 4079 4091 4093 4099 4111 4127 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409

4421 4423 4441 4447 4457 4463 4481 4483 4493 4507 4513 4517 4519 4523 4547 4549 4561 4567 4583 4591 4597 4621 4637 4639 4643 4649 4651 4657 4663 4673 4679 4691 4703 4721 4723 4451 4729 4733 4751 4759 4783 4787 4789 4793 4799 4801 4813 4817 4831 4861

79

Основна література

1. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.І . Алгебра і теорія чисел. В 2–х

ч. –К.: Вища шк., 1974, 1977, 1980.

2. Завало С.Т. Курс алгебри. К.: Вища шк., 1985.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1971.

4. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. – М.: Наука, 1976.

5. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973.

6. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

7. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. – М.: Наука, 1965.

8. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984.

9. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре.

М.: Наука, 1977.

10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука,

1965.