Upload
others
View
14
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi EgyetemGépészmérnöki Kar
Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék
1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334.Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91http://www.vizgep.bme.hu
Készítette: dr. Váradi Sándor
Mérnöki alapok 7. előadás
Mérnöki alapok. 7. előadás
Áramló folyadék egyensúlya
Jellemzi a sebesség- és nyomáseloszlás; változhat a hely (helyvektor:) és az idő (t) függvényében( )r
Mérnöki alapok. 7. előadás
Időben állandó (stacionárius) áramlás: a sebesség (v), a nyomás (p), a sűrűség (ρ) nem függ az időtől, csak a helytől
Időben változó (instacionárius) áramlás: a fenti jellemzők hely és idő függvényei
Pl. lakás fűtés gázkazánnal, hőfokszabályozás („cirko”)
keringtető szivattyú indul – vagy leáll: instacionárius
közben állandó fordulatszámon jár: stacionárius (az áramlás szempontjából, de közben melegszik, tehát a hőtechnikai folyamat instacionárius)
Mérnöki alapok. 7. előadás
Áramlások leírása: az anyagmegmaradás és a mozgásegyenletekben
Anyagmegmaradás törvénye (kontinuitás) – csőben egyváltozós függvény
Mérnöki alapok. 7. előadás
Térfogatáram: időegység alatt áthaladó folyadék térfogat (q v. Q)Q = A v mértékegysége:
keresztmetszetátlagsebesség
Tömegáram: időegység alatt áthaladó folyadék tömegmértékegysége:
Anyagmegmaradás: állandó a hely függvényében
Ha ρ=áll. (cseppfolyós közeg)Nagy keresztmetszet, kis sebesség
s
m3
( )m&
Avqm ρ=ρ=&
s
kg
m&
222111áll. vAvAm ρ=ρ==&
2211 vAvA =
Mérnöki alapok. 7. előadás
Alkalmazás
Lakás központi fűtés kazánjának vízellátását végző szivattyú q=8dm3/min vizet szállít (egy vödör víz 1.25min!). A csővezeték hálózat ¾”-os és ½”-os csövekből épült.
¾” belső átmérő d3/4=20mm; A3/4= 3.14*10-4m2
½” belső átmérő d1/2=13mm; A1/2=1.33*10-4m2
Vízsebességek:
smmsmdm
dm
A
qv /425.0
10*14.3
1*
min/60*/10
min/824333
3
4/34/3 ===
−
Mérnöki alapok. 7. előadás
Legyen: fele balra, fele jobbra
smA
q
v /5.010*33.1
1*
60*10
8*21
*21
432/1
2/1 ===−
Mérnöki alapok. 7. előadás
MOZGÁSEGYENLET
Legegyszerűbb eset:� Ideális folyadék (nincs súrlódás)
� Állandósult áramlás (nem függ az időtől)
Energia megmaradás: a helyzeti és mozgási energia összegének megváltozása a külső erők munkájával egyenlő
Mérnöki alapok. 7. előadás
Mérnöki alapok. 7. előadás
A h1, h2 szinteket közös alapsíktól mérjük
Anyagmegmaradás (ρρρρ=áll. esetében)
F1 erő munkája
F2 erő munkája
E1 energia
E2 energia
22221111 sAtvAtvAsAV ∆=∆=∆=∆=
VptvApsFW 1111111 =∆=∆=
VptvApsFW 2222222 =∆=∆=
részközösEvVghVE 2111 2
+ρ
+ρ=
222 2 2
vVghVEE részközös
ρ+ρ+=
Mérnöki alapok. 7. előadás
Egyensúly:
Rendezve
Bernoulli egyenlet
(energia megmaradás)
1221 EEWW −=−
( )
ρ−ρ−
ρ+ρ=−
211
22221 22
vghvghVVpp
2222
2111 22
vghpvghpρ
+ρ+=ρ
+ρ+
.2
2állvghp =
ρ+ρ+
Mérnöki alapok. 7. előadás
Bernoulli, Daniel (1700-1782)
(Alapképzettsége orvos)
Bázelben fizika professzor
1738-ban „Hidrodinamika” c. könyvet jelentet meg Strassburgban
Ebben már benne van a róla elnevezett egyenlet
Eulerrel együtt sok problémát közösen oldanak meg
Mérnöki alapok. 7. előadás
A levezetett egyenletben minden tag mértékegysége: [N/m2]� p nyilván� ρρρρgh
�
Energetikai szempontból:
térfogategységre eső energia
22
2
223m
N
m
s
kgm
ms
kgm
s
m
m
kg===
22
2
2
2
3m
N
m
s
kgm
ms
kg
s
m
m
kg===
2
2v
ρ
332m
J
m
Nm
m
NPa ===
Mérnöki alapok. 7. előadás
ρρρρ-val osztva minden tag mértékegysége
azaz tömegegységre eső energia:
ρρρρg-vel osztva minden tag mértékegysége
azaz súlyegységre eső energia:
kg
Nm
.2
2
állv
ghp
=++ρ
== m
N
Nm
N
J
.2
2
állg
vh
g
p=++
ρ
Mérnöki alapok. 7. előadás
Bármelyik alakot használjuk az egyenletek dimenzionális homogenitásának teljesülnie kell! Ez a felismerés FOURIER, Jean-Baptiste Joseph báró (1768-1830) francia matematikus és fizikus nevéhez fűződik. 1807-ben mutatta be a francia akadémián a hővezetés differenciálegyenletét tartalmazó dolgozatát. Ebben azt is állította, hogy bármely, a [0, 2π] intervallumon értelmezett függvény, trigonometrikus sorba fejthető és ilyen sorokkal az egyenlet megoldható. 1822-ben publikálta „A hővezetés matematikai elmélete” című klasszikus művét. Két évvel később az akadémia tagja és titkára lett. Ma már a Fourier-sorok és a Fourier transzformáció nélkülözhetetlen eszközei a parciális differenciálegyenletek megoldásának.
Mérnöki alapok. 7. előadás
Alkalmazás: Folyadék energiája a központi fűtés csövében
Adatok:
ρρρρ=103kg/m3
p=1.5bar
v=0.425m/s
h=3m
Mérnöki alapok. 7. előadás
A sebesség négyzetes tag, tehát a súlyegységre vonatkoztatott mozgási energia ebben a feladatban elhanyagolható!
Légvezeték esetén (pl. áruházi szellőztető-fűtő rendszer)Adatok:ρρρρ=1.2kg/m3
p=0.1bar=104N/m2
v=15m/s
h=8m (a fejünk felett)
mmmmhg
v
g
p29.1830092.029.153
81.9*2
425.0
81.9*10
10*5.1
2
2
3
52
≈++=++=++ρ
Mérnöki alapok. 7. előadás
Itt az utolsó két tag azonos nagyságrendű
PaPaPaPaghvp 1022994135108*81.9*2.115*2
2.110
24242
=++=++=ρ+ρ
+
Mérnöki alapok. 7. előadás
VENTURI CSŐ
Elemei:
� konfúzor
� torok vagy nyak
� diffúzor
Mérnöki alapok. 7. előadás
Kontinuitás (ρρρρ=áll.)
Bernoulli 1-2
Mivel az ábrán bemutatott Ventúri cső vízszintes helyzetű, azaz a két nyomásmegcsapolás azonos magasságban van, így a térfogategységre felírt helyzeti energia a Bernoulli egyenlet mindkét oldalán azonos, ezért kiesik
2211 vAvA =1
2
2
1
A
A
v
v=
222
211 22
vpvpρ
+=ρ
+
Mérnöki alapok. 7. előadás
ha kör-keresztmetszet:
ezzel a Bernoulli egyenlet:
( )
−
ρ=
−
ρ=−
ρ=−
2
1
222
2
2
122
21
2221 1
21
22 A
Av
v
vvvvpp
4
1
2
2
1
2
=
d
d
A
A
−
ρ=−
4
1
22221 1
2 d
dvpp
Mérnöki alapok. 7. előadás
Manométer egyensúlyi egyenlet:
( ) hggzphzgp Hgvv ∆ρ+ρ+=∆+ρ+ 21
( ) hgpp vHg ∆ρ−ρ=− 21
( )
−
−=
4
1
2
212
1
2
d
d
ppv
ρ
Mérnöki alapok. 7. előadás
Ventúri cső mint mérőeszköz
∆∆∆∆h-t megmérem ∆∆∆∆p számolható v2 számolható
Tehát a Ventúri cső nyomáskülönbség mérése alapján működő térfogatáram mérőeszköz, ugyanilyen típusú mérőeszköz a mérőperem is
( )
−
−==
4
1
2
21222
1
2
d
d
ppAvAq
ρ