Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi EgyetemGépészmérnöki Kar

Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék

1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334.Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91http://www.vizgep.bme.hu

Készítette: dr. Váradi Sándor

Mérnöki alapok 9. előadás

Mérnöki alapok. 9. előadás

Gázmotoros villamos + fűtő erőmű

100% = (40% villamos + 44% hő) + 16% veszteség

MWPvill 5≅ MWPhő 5.5≅

Mérnöki alapok. 9. előadás

Vízmelegítő felmelegedése

T[oC] – hőmérséklet

t [s] – idő

Keressük T(t)

T1 [oC] – belépő hőmérs.

T [oC] – kilépő hőmérs.

Pvill. = áll. ha t > 0

mo [kg] – fémház + töltet tömege

cf [J/kgoC] - fémház + töltet fajhője

0'. ≈vesztP

Mérnöki alapok. 9. előadás

Bevezetjük a Pvill∆∆∆∆t energiát ∆∆∆∆t idő alatt

� Melegíti a házat:

� Melegíti a ∆∆∆∆t idő alatt átfolyt vizet T1-ről T-re:

Az egyensúly

Redukált tömeg bevezetése:

Tcm fo ∆

( )1 TTcmt vv −∆ &

( )1 TTcmtTcmtP vvfovill −∆+∆=∆ &

fovred cmcm =

( )11 TTP

cm

t

T

P

cm

vill

vv

vill

vred −+∆

∆=

&

Mérnöki alapok. 9. előadás

Legyen

és

ebben

és legyen azaz

Ezzel az egyenlet:

( )1*

TTP

cmT

vill

vv −=&

t

T

cm

cm

P

cm

t

T

P

cm

vv

vv

vill

vred

vill

vred

∆

∆=

∆

∆

&

&

*TT

P

cm

vill

vv ∆=∆&

red

v

m

mtt

&=

*

*

*

*

1 Tt

T+

∆

∆=

red

v

m

mtt

&∆=∆ *

Mérnöki alapok. 9. előadás

ha

Érdekes egyenlet; nem csak az ismeretlen T*(t*) függvény, hanem annak első deriváltja is szerepel benne [közönséges differenciálegyenlet]

Megoldási módszert majd tanulnak matematikából, a megoldás:

*

*

*

1 Tdt

dT+=

*Ty =

*tx = y

dx

dy+=1

xey

−−= 1

*

1* teT

−−=

Mérnöki alapok. 9. előadás

Meggyőződhetünk arról, hogy a megoldás jó;

a egyenletbe történő behelyettesítéssel

tehát OK

*

1* teT

−−=

111**

=−+=−− tt

ee

*

*

*

1 Tdt

dT+=

Mérnöki alapok. 9. előadás

Dimenziótlan felmelegedési függvény

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-2 -1 0 1 2

t* [-]

T*

[-]

exp(t*) exp(-t*) -exp(-t*) 1-exp(-t*)

Mérnöki alapok. 9. előadás

Gépek változó sebességű üzeme

Eddig a munkasebesség állandó volt: vo=áll. ill. ωωωωo=áll.

Változó sebességű üzem: indítás, megállásSebességváltozás: ∆∆∆∆v, ∆∆∆∆t idő alatt ill. ∆ω∆ω∆ω∆ω, ∆∆∆∆t idő alattGyorsulás:

Newton 2. törvénye:

Tehetetlenségi nyomaték:

m

r

hengernél:

t

v

dt

dva

∆

∆≅=

tdt

d

∆

ω∆≅

ω=ε

maF = εΘ=M

2

2

1mR=Θ

2mr=Θ

Mérnöki alapok. 9. előadás

Általában

Redukált tömeg:

λλλλ redukálási tényező:

2iirm∑=Θ

mmred λ=

10 ≤λ≤

Mérnöki alapok. 9. előadás

Ha az erő vagy nyomaték állandó

F=áll. M=áll.

a=áll. εεεε=áll.

v=vo+at ωωωω=ωωωωo+εεεεt

Mérnöki alapok. 9. előadás

A sebesség-idő diagram alatti terület, út:

A korábban már ismertetett analógia alapján forgó mozgásra: ٪

iii tvs ∆≅∆

tvv

tvss ooi 2

1 −+=∆≅∑

2

2t

atvs o +=

Mérnöki alapok. 9. előadás

A szögsebesség-idő diagram alatti terület, szögelfordulás:

iii t∆ω≅ϕ∆

tt ooi 2

1 ω−ω+ω=ϕ∆≅ϕ ∑

2

2tto

ε+ω=ϕ

Mérnöki alapok. 9. előadás

A gyorsításhoz (lassításhoz) szükséges munka

Egyenes vonalú mozgásnál Forgó mozgásnál

=== masFsW

=

−+

−=

211

2t

t

vvtv

t

vvm o

oo

( )( ) =+−= oo vvvvm 112

1

22

221 omvmv

−=

=εϕΘ=ϕ= MW

=

ω−ω+ω

ω−ωΘ=

211

2t

tt

t

oo

o

( )( ) =ω+ωω−ωΘ= oo 112

1

22

221 oωΘ

−ωΘ

=

Mérnöki alapok. 9. előadás

Menetábra

Indítási – állandósult – fékezési üzemállapotok

Indítási szakasz

Mi indító nyomaték

Ms súrlódó nyomaték

Md gyorsító nyomaték

Ha Md=áll., akkor εεεεd=áll.

sdi MMM +=

ddM εΘ=

1

1

1

1

1

1

tttt o

od

ω=

−

ω−ω=

∆

ω∆=ε ( ) ( ) 111111 tttt doddo ε=−ε=∆ε=ω=ω−ω=ω∆

0=ωo

0=ot 11 tt =∆

Mérnöki alapok. 9. előadás

Megállás: Ms fékezi

a szöglassulás

ω+ω=ω= sdii MMMP

sü MM = 0=+ sü MM 0=εü

1111 ω+ω=ω= sdii MMMP

1ω= üü MP

0=üM

ssM εΘ=

2

1

2

1

2

1

ss

o

s

sttt ∆

ω=

∆

ω−ω=

∆

ω∆=ε

Mérnöki alapok. 9. előadás

A P(t) grafikon alatti területek

A teljes indítási időszakban gyorsításra fordított munka:

A teljes indítási időszakban a súrlódás legyőzésére fordított munka:

Megállás:

( ) sidiisdiiiiiii WWMMtMtPtW +=ω+∆=ω∆=∆=2

1

2

1

2

1

111 2

1ω∆= dd MtW

111 2

1ω∆= ss MtW

süüsüss MMtPtW ϕ=ω∆=∆= 1222 2

1

2

1

Mérnöki alapok. 9. előadás

Ha a súrlódás mellett külön fékező nyomaték is van:

| Mf + Ms | > | Ms |

ezzel | εεεεf | > |εεεεs|

így ∆∆∆∆t3 < ∆∆∆∆ts2

Mérnöki alapok. 9. előadás

Alkalmazás

Tömör, tárcsa alakú lendkerék, szimmetrikusan csapágyazva

d=160mm; D=1.5m; m=2000kg; nü=720/min; µµµµ=0.06

∆∆∆∆t1=2min (gyorsítás); ∆∆∆∆t2=3min (állandósult állapot); ∆∆∆∆t3

(szabad kifutással történő leállás)

222

2 5.5622

5.1*2000*

2

1

22

1

2

1kgm

mkg

DmmR =

=

==Θ

Nmmsmkgdmg

M s 2.942

16.0*

2

/81.9*2000*06.0*2

222

2

==µ=

srads

nü /4.75min/60

min/72022 =π=π=ω∆

2

11 /628.0

120

/4.75srad

s

srad

t==

∆

ω∆=ε

Mérnöki alapok. 9. előadás

NmsradkgmM d 353/628.0*5.562 221 ==εΘ=

kWsradNmMP üdd 62.26/4.75*353max ==ω=

kWsradNmMP üsü 10.7/4.75*2.94 ==ω=

kWkWkWPPP düi 72.3362.2610.7max =+=+=

ssM εΘ=

2

2 /167.05.562

2.94srad

kgm

NmM ss ==

Θ=ε

min52.75.451/167.0

/4.7523 ===

ε

ω∆=∆ s

srad

sradt

s

Mérnöki alapok. 9. előadás

Lendkerék menetábrája

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10 12 14

t [min]

P [

kW

]

P i

P d

P s

∆∆∆∆ t 3

Mérnöki alapok. 9. előadás

Fékező nyomaték meghatározása, azzal a feltétellel, hogy ∆∆∆∆t4=∆∆∆∆t3/2

vagyis

tehát

22

34 /334.0/167.0*22

2

sradsradt s ==ε=

∆

ω∆=ε

ss MM 2244 =εΘ=εΘ=

sfék MM =