1 / 128

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar

Vasúti Járművek és Járműrendszeranalízis Tanszék

MÉRNÖKI MATEMATIKA A Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar

MSc szakjain tanuló mérnökhallgatók számára

írta:

Prof.Dr. Zobory István Apáczai Csere János díjas

egyetemi tanár

BUDAPEST

2012

2 / 128

TARALOMJEGYZÉK

0. Előszó ..................................................................................................................................... 4

1. Mérnöki rendszerek jellemzése rendszeroperátorral ....................................................... 5 A zárt intervallumon folytonos függvények lineáris tere ........................................................... 6 Összefoglaló megállapítások lineáris terekről ............................................................................ 9 Lineáris terek közötti leképezések operátorai .......................................................................... 10 A lineáris tér elemeinek függetlensége .................................................................................... 12 Bázisfogalom lineáris térben .................................................................................................... 13 Norma bevezetése lineáris térben ............................................................................................. 16 Távolságfogalom, metrikus tér ................................................................................................. 18 Konvergencia fogalmak függvénytérben ................................................................................. 19 Függvénysorozatok függvénytér elemeiből, függvénysorok ................................................... 20 A lineáris tér teljessége ........................................................................................................... 21 Unitér lineáris terek .................................................................................................................. 22 Sorozatterek .............................................................................................................................. 24 Az n-dimenziós euklidészi-tér: Rn ............................................................................................ 25 Báziscsere kísérő transzformáció, és a transzformáció mátrixa .............................................. 26 Másod- és magasabbrendű tenzorok, mint homogén lineáris operátorok ................................ 28 Különböző dimenziós terek közti leképezés lineáris operátorokkal ........................................ 29 A lineáris operátor mátrixa ....................................................................................................... 30 A lineáris operátor mátrixának transzformálódása báziscsere esetén ...................................... 30

2. Skalár-, vektor- és tenzormezők és alkalmazásaik .......................................................... 31 Vektorváltozós skalárértékű függvények ................................................................................. 31 Vektorváltozós vektorértékű függvények ................................................................................ 33 A derivált tenzor mátrixának invariánsai ................................................................................. 35 Divergenciamező ...................................................................................................................... 35 Rotációmező ............................................................................................................................. 38 Integrálredukciós tételek .......................................................................................................... 41 Néhány mérnöki alkalmazás .................................................................................................... 42 Felhajtóerő szárnyprofilon ................................................................................................ 42 Örvénygép járókerekének szállító/esés magassága ........................................................... 43 Forrás- és örvénymentes vektormező ................................................................................ 45 Vektormező örvényessége ................................................................................................ 46 Inhomogén rotációmező .................................................................................................... 47 Elektrodinamikai alkalmazás, Maxwell-egyenletek .......................................................... 49

3. Függvénysorozatok és függvénysorok .............................................................................. 50 Függvénysorozatok konvergenciaviszonyai ............................................................................ 50 Hatványsorok, Taylor-sor ......................................................................................................... 52 Trigonometrikus Fourier-sorok ............................................................................................... 54 A Fourier-együtthatók véglegességi relációja .......................................................................... 55 Általános ϕ-Fourier-sorok ....................................................................................................... 57 Teljes ortonormált rendszerek .................................................................................................. 59 Haar-wavelet, Shannon-Kotyelnyikov wavelet ........................................................................ 62

4. Differenciálegyenletek és integrálegyenletek ................................................................... 64 Alapfogalmak ........................................................................................................................... 64 Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek ......................................................................... 65 Magasabbrendű differenciálegyenletek kezelése ..................................................................... 66 A kezdeti érték probléma megoldhatósága, a megoldás egyértelműsége ................................ 68

3 / 128

Ekvivalens integrálegyenlet ..................................................................................................... 71 Lineáris differenciálegyenletek ................................................................................................ 71 Wronski-determináns ................................................................................................................ 73 Homogén lineáris differenciálegyenlet megoldása, alaprendszer ............................................ 75 Inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása ................................................. 76 Kísérletező feltevés (Ansatz) ................................................................................................... 76 Az állandók variálása ............................................................................................................... 77 Változó együtthatós lineáris homogén differenciálegyenletek ................................................ 78 Bessel-függvények ................................................................................................................... 79 Bessel-fügvények ortogonalitása, Bessel függvényekbe való sorfejtés ................................... 83 Dini-féle ortogonális függvényrendszer, Fourier-Bessel-Dini sorfejtés .................................. 84 Differenciálegyenletek numerikus megoldása ......................................................................... 85 Euler-módszere ................................................................................................................. 86 Runge-módszere ................................................................................................................ 86 Runge-Kutta módszer ........................................................................................................ 87 Differenciálegyenletek megoldásának stabilitás problémája ................................................... 89 Különös instabilitás, káosz ....................................................................................................... 94

5. Extrémum problémák ........................................................................................................ 96 Lokális szélsőérték ................................................................................................................... 96 Feltételes szélsőérték ................................................................................................................ 97 Nemlineáris függvény feltételes szélsőértéke ................................................................... 97 Homogén lineáris célfüggvény, lineáris programozás (LP) .............................................. 98 Variációs feladat ..................................................................................................................... 102 Alapfogalmak ......................................................................................................................... 102 Euler-Lagrange differenciálegyenlet ..................................................................................... 105 A variációszámítás direkt módszere ....................................................................................... 107

6. Sztochasztikus folyamatok a rendszerjellemzésben ...................................................... 110 Valószínűségelméleti alapfogalmak ....................................................................................... 110 Sztochasztikus folyamatok ..................................................................................................... 112 Rekurrens folyamatok ............................................................................................................ 113 Markov-folyamatok ................................................................................................................ 115 Szemi-Markov folyamatok ..................................................................................................... 116 Stacionárius folyamatok ......................................................................................................... 118 Az ergodicitás kérdésköre ...................................................................................................... 121 A szintmeghaladás jellemzése ................................................................................................ 125 Lineáris rendszer gyengén stacionárius bemenő folyamattal ................................................. 127

7. Ajánlott irodalom ............................................................................................................ 128

4 / 128

ELŐSZÓ

Ez a tankönyv azon előadásaim anyagát tartalmazza melyeket a a Budapesti Műszaki és Gazda-ságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Karának MSc szakjain tanuló elsőéves hallgatók számára tartottam Mérnöki matematika címmel a 2009/2010-es tanévtől kezdődően. A tantárgy fontos célja olyan, tárgyalásmódjában és eszközrendszerében korszerű módon bemutatni az alkalmazott matematika mérnöki rendszer-problémákkal kapcsolatos modelljeinek felállítását és a megoldások elveit, amely alkalmassá teszi a mérnök hallgatókat, hogy további tanulmányaik során a szaktantárgyakban, valamint későbbi okl.mérnöki munkájuk során kapcsolódni tudjanak a korszerű szakirodalomban elterjedt magas szintű matematikai tárgyalásmódhoz. Tekintettel arra, hogy az MSc képzés tantervében egyes matematikai módszerek más alapozó tantárgyakban szerves használatra kerülnek, ezért a jelen tárgyban ezen ismertnek vehető matematikai fejezetek (pl. sajátérték-probléma, numerikus megoldások) tárgyalását – már csak terjedelmi okok miatt is – mellőztünk. Az 1. fejezetben a mérnöki rendszerek átviteli tulajdonságainak rendszeroperátorral való jellemzése érdekében a bemeneti és kimeneti függvénytereket mint lineáris tereket tárgyaljuk. Így a korábbi tanulmányokat tovább építi a lineáris függvényterek sajátosságainak megismerése, melyhez jó alapot ad a folytonos be- és kimeneti függvények alapesetének tanulmányozása. A lineáris transzformációk és operátorok, továbbá bázisfüggő mátrixaik tárgyalása hidat ver a korábban tanultak három-dimenziós terekben megismert matematikai eszközökhöz. A 2. fejezetben a mérnöki alkalmazásokban fontos skalár, vektor- és tenzormezők kerülnek tárgyalásra, bemutatva a bevezetett fogalmak és módszerek mechanikai, áramlástani és elektrodinamikai alkalmazásait is. A 3. fejezet a függvény-sorozatok és függvénysorok tárgyalásának van szentelve, kiemelten kezelve a sima tulajdonságú függvények hatványsorokkal és a periodikus függvények trigonometrikus Fourier-sorokkal való közelítési módszerét. A fejezet megalapozott bevezetést ad a teljes ortonormált függvényrendszerek segítségével készíthető ϕ-Fourier-sorok és a lokális jellemzést biztosító wavelet bázisok kérdéskö-réhez is. A 4. fejezetben a differenciálegyenletek és integrálegyenletek megoldhatóságát és a megoldás egyértelműségét vizsgáló bevezető rész után a fontos homogén és inhomogén lineáris diffe-renciálegyenletekre vonatkozó kezdeti érték problémák megoldását tárgyaljuk. Bemutatásra kerülnek a differenciálegyenletek és differenciálegyenlet-rendszrek kezdeti érték problémájának numerikus megoldására alkalmazható legfontosabb módszerek. A korábbi tanulmányok kiterjesztését jelenti a Bessel-függvényekbe való sorfejtések tárgyalása. A fejezet tárgyalja még a kezdeti érték feladat megoldása stabilitásának alap problémáját és lineáris differenciálegyenlet esetére megfogalmazza a megoldás stabilitásának a karakterisztikus egyenlet gyökeire támaszkodóan kiértékelhető feltételét. A fejezet kitekintést ad a nemlineáris rendszerek megoldásainak sajátos instabilitására, a káosz kérdés-körére. Az 5. fejezetben a mérnöki rendszerekkel kapcsolatos extrémum-problémákat tárgyaljuk, a lokális extrémum-helyek meghatározását, a feltételes szésőérték-feladatok kérdéskörét, ezen belül a lineáris célfüggvénnyel és lineáris korlátozó feltételekkel meghatározott lineáris programozási fel-adatokat vizsgáljuk egy mérnöki alkalmazás részletes bemutatásával. A szélsőérték vizsgálatokat a funkcionálok szélsőérték helyeinek meghatározását célzó variációs feladatok tárgyalásával zárjuk, levezetve az Euler-Lagrange egyenleteket és röviden bemutatva a variációszámítás egyik leghaté-konyabb numerikus módszerét a Ritz-módszert. A 6. fejezetben a valószínűségelméleti eszközök rövid összefoglalása után sztochasztikus folyamatok mérnöki rendszerjellemzés szempontjából legfontosabb négy osztályát tárgylajuk. Ezek: a rekurrens folyamatok középpontba helyezve a speciális – de nagyon fontos – Poisson folyamatot, az előzményfüggetlenséget felmutató Markov-folyamatok, a csaknem minden sztochasztikus folyamattal leírható jelenség modellezésére alkalmas szemi-Markov-folya-matok, végül pedig – talán legnagyobb részletességgel – a stacionárius folyamatok kerülnek tárgya-lásra. A gyengén stacionárius folyamatok közül a mérnöki alkalmazásokhoz nagy fontossággal bírnak az ergodikus folyamatok, melyek pontos definiálására és az ergodicitás fennállásának feltételeire súlyt helyez a tárgyalás. Végül a gyengén stacionárius folyamattal gerjesztett lineáris időinvariáns rendsze-rek frekvenciatartománybeli kezelését a be- és kimeneti folyamatok spektrális sűrűségfüggvényei kapcsolatának levezetésével mutatjuk be, mely kapcsolat neve: a statisztikai dinamika alaptörvénye.

Budapest, 2012. december 31.

A szerző

5 / 128

1. Mérnöki rendszerek jellemzése rendszeroperátorral

A mérnöki gyakorlatban túlnyomóan viselkedő rendszereket vizsgálunk. Ezek esetében adott behatási folyamatra a rendszer a belső felépítésével meghatározott válaszfolyamatot ad.

A kérdés a behatásfolyamat és a válaszfolyamat kapcsolata. Legyen a vizsgálat időkerete meghatározott véges zárt időintervallum, jelölje I , Ezen az I intervallumon értelmezett x(t) bemenő függvényt a rendszer átviszi a kimeneten jelentkező, ugyancsak az I inter-vallumon értelmezett y(t) válaszfüggvénybe. Azt mondjuk, hogy a rendszer kimenetén a bemenő függvények az R rendszeroperátor szerinti képe jelentkezik: y(t) = R x(t).

A bemenetre érkező függvénysokaság egyik egyszerű reprezentánsa: az I felett folytonos függvények C(I) sokasága. A C(I) függvényhalmaz elemei tehát az I zárt intervallum felett folytonos (és így az I zártsága miatt I –ben egyenletesen is folytonos) függvények.

A C(I) függvénysereg végtelen sok elemből áll. Ezen túlmenően elempárjain művelet értelmezett, azaz két C(I) –beli függvényhez a művelettel egy harmadik függvény rendelhető. rendelhető. Térjünk ki a művelet fogalmára! Alapesetben a művelet egy kétváltozós függvény, a művelet az x1 és x2 bemeneti mennyiségekhez az f(x1,x2) műveleti eredményt rendeli kimenetként.

,

A két valós szám skalár algebrai összeadás műveletét pl. a következőképp szemléltethetjük:

, ,

C(I) elemei

x (t)1

x (t)2

x (t)3

x (t)4

x (t) szakaszonként lineáris approximációja (közelítése)

5

6 / 128

A C(I) –beli x1 és x2 függvények összeadása a következőképp értelmezhető. Az x1 + x2 összeg függvény t helyi helyettesítési értéke legyen egyenlő az összeadandó x1 és x2 tag függvények t helyi é helyettesítési értékeinek összegével, képletben:

.

Ezzel a C(I) függvénytérben értelmezett az összeadás művelete, és ha és foly-tonos volt az I felett, akkor is folytonos lesz I felett, ezért C(I) függvénytér zárt az így értelmezett összeadás műveletére, az összeadás műveletének eredménye nem vezet ki C(I)-ből!

Következő tárgyalásunkhoz célszerű bevezetni a halmazok közt értelmezett direkt (Descartes-féle vagy kartéziusi) szorzás műveletét. Legyen H1, H2,…,Hn n számú tetszőleges halmaz. Elsőként a H1 és H2 halmaz-pár direkt szorzatát értelmezzük.

, : é .

Tehát a H1 x H2 szorzat azon sorrendjük szerint rendezett elempárok halmaza, ahol a pár első eleme H1-beli, második eleme pedig H2-beli. Hasonló gondolatmenettel értelmezhető az alábbiak szerint az n-számú halmaz direkt szorzata:

, , … , : é , … , é .

A fentiek alapján két, a számegyenesen fekvő zárt intervallum direkt szorzata egy a síkon fekvő zárt téglatartományt, egy 2-dimenziós intervallumot zárt határoz meg:

A C(I) függvénytérben bevezetett + műveletet leképezésként értelmezhető. Tekintsük elsőként a C(I) függvénytér önmagával vett C(I) C(I) direkt szorzatát. Ezen szorzathalmaz elemei az I-felett folytonos függvények alkotta függvénypárok. A + művelet ezek után a következő leképezésként értelmezhető: + : C(I) C(I) C(I), azaz a + jelű művelet folyto-nos függvények alkotta C(I) C(I) – beli függvénypárhoz egy harmadik, ugyancsak foly-tonos C(I) -beli függvényt rendel. A helyzetet az alábbi ábra szemlélteti:

pl.: , , ,

óá é á

= , : , é ,

7 / 128

A baloldali körökből választott függvénypárhoz mint tárgy függvényekhez a + művelet egy C(I) -beli képfüggvényt rendel, ez az összeg függvény.

Az így értelmezett C(I) -beli összeadás művelet 4 műveleti azonosságnak tesz eleget:

a) kommutativitás: , C(I)-re.

b) asszociativitás: , , , C(I)-re.

c) A C(I) térnek van zéró eleme: ez a + műveletre nézve neutrális elem: 0 C C(I) melyre 0 , C

Az I felett azonosan zéró értékű 0(t) függvény grafikonja „fedi” az I intervallumot. d) Van C(I)-hez additív inverz függvény, nevezetesen az C(I), melyre:

0 , é é é é , .

A C(I) függvény sokaság (függvénytér) elemei kapcsolatba léphetnek egy számtest elemeivel. Emlékeztetünk arra, hogy számtestről definíció szerint akkor beszélünk, ha egy számhalmazban a 4 alapművelet korlátozás nélkül elvégezhető. Alapesetben számtestnek az valós számtestet tekintjük.

Vezessük most be a folytonos függvények valós számmal való szorzásának műveletét. Tekintsük ehhez előbb a C(I) szorzathalmazt, mint a C(I) –beli függvény és valós szám alkotta párok sokaságát. A függvénynek számmal való szorzásaként azonosított műveletet mármost a C(I) halmaznak a C(I)-re való leképezéseként értelmezhető a követ-kezőképpen: · |: C(I) C(I). Ez tehát a -beli számmal való szorzás azt jelenti, hogy

C(I) és esetén meghatározott egy újabb C(I)-beli . elem, amely az x(t) függvény számmal vett szorzata, röviden számszorosa.

C(I)x (t)1

Γ

γ

C(I)γ• t)x(•|

8 / 128

Az így értelmezett számmal való szorzás az alábbi műveleti azonosságoknak tesz eleget:

1.) , é , Γ 2.) 1. disztributivitás Γ é , 3.) 2. disztributivitás , Γ é 4.) Létezik a számmal való szorzásra nézve neutrális elem -ban, ez a –beli

eegységelem, a 1 valós szám: 1 · ; 1 és

A fenti két műveletre nézve megvalósult zártság, és a bemutatott kétszer négy műveleti azonosság érvényessége miatt z I = [a,b] intervallumon értelmezett folytonos függvények C(I) sokasága:

LINEÁRIS TÉR A TEST FELETT,

és ez a lineáris tér (mint később kiderül) végtelen dimenziós!

Lineáris alterek C(I)-ben

Definició: A C(I) valamely Y(I) nem üres részhalmaza lineáris altér C(I)-ben, ha ez a részhalmaz maga is lineáris tér a C(I)-ben értelmezett műveletekre nézve. Az ábra mutatja a C(I) azon Y(I)=C*(I) lineáris alterét, amelyet az x = a-ban és az x = b-ben zérus értéket felvevő, [a,b]-ben folytonos függvények alkotnak.

Ismeretes, hogy az I = [a,b] intervallumban fennálló folytonosság nem szükséges ahhoz, hogy egy függvénysokaság lineáris teret alkosson. Például az I = [a,b] felett értelmezett Riemann-szerint – ható függvények is lineáris teret alkotnak a valós számtest mint felett. Nyíl-

9 / 128

vánvaló, hogy a jelzett integrálhatósághoz a folytonosság megkövetelése nem szükséges. A példaként bemutatott két helyen véges ugráshellyel bíró függvény Riemann-szerint integrálható. Néhány a mérnöki gyakorlatban fontos függvénytér viszonyrendszerét Gant-diagram szemlélteti.

Összefoglaló megállapítások a lineáris terekről

A lineáris tér egy matematika objektum-pár: , ahol X az alaphalmaz és a skalártest, pl.: vagy , amely „felett” a lineáris teret értelmeztük. A két bevezetett művelet mint leképezés-pár

volt értelmezve, mindkét művelet eredménye is X-beli, és mindkét műveletre 4 - 4 műveleti azonosság teljesülését követeljük meg.

Reprezentáns példaként – tekintettel a mérnöki rendszer-problémákban szereplő be és kimeneti efüggvényterek fontosságára – a számegyenesen fekvő véges I = [a,b] zárt inter-vallumon értelmezett C(I)-folytonos valós-értékeket felvevő (valós értékű) függvényeknek a

valós számtest feletti lineáris terét választottuk. A részletesen bemutatott összefüggések szerint tehát C(I) = : folytonos x , lineáris tér, a két művelet: a.) + , az összeadás művelete, erre zárt a lineáris tér C(I) alaphalmaza (a + művelet eredménye is C(I)-beli), b.) · | , a számmal való szorzás művelete, és erre is zárt a lineáris tér C(I) alaphalmaza (· | művelet eredménye is C(I)-beli).

A lineáris térbeli műveleteket leképezéseknek felfogva az alábbi általános, tömör, szemléltető felírást adjuk az (X, ) lineáris térről:

I. +: Xbeli

elempárokhalmaza

; zárt a műveletre

1,2,3,4,

a műveleti azonosságai

II. · |: ; zárt a ·| műveletre

1,2,3,4,

a · | műveleti azonosságai

Kiemeljük, hogy az X alaphalmaz és mindig végtelen elemű halmaz, ( vagy )

Példák a mérnöki munkában fontos lineáris terekre egy kivétel kiemelésével

l.) , esetén , lineáris tér: azaz a valós számtest önmaga felett lineáris teret alkot

10 / 128

2.) , esetén , lineáris tér: azaz a komplex számtest a valós számtest felett lineáris teret alkot

3.) , é , lineáris tér: azaz a komplex számtest a komplex számtest felett lineáris teret alkot

4.) , é , lineáris tér A -beli számmal való szorzás itt kivezet -ből

5.) , é , lineáris tér: azaz az I felett folytonos függvények a valós számtest felett lineáris teret alkotnak

6.) Jelölje C1(I) az I intervallum minden pontjában differenciálható függvények sokaságát. Ekkor az X = C1(I), esetén (C1(I), ) lineáris tér: azaz az I felett differenciálható függvények a valós számtest felett lineáris teret alkotnak

7.) Jelölje C2(I) az I intervallum minden pontjában kétszer differenciálható függvények sokaságát. Ekkor az X = C2(I), esetén (C2(I), ) lineáris tér: azaz az I felett kétszer differenciálható függvények a valós számtest felett lineáris teret alkotnak

8.) Jelölje L2(I) az I intervallumon abszolút értékben négyzetesen integrálható valós változós, komplex-értékű függvények sokaságát: : , , | | ∞ . Ekkor az X = L2(I), esetén (C2(I), ) lineáris tér: azaz az I felett abszolút értékben négyzetesen integrálható valós változós, komplex-értékű függvények a komplex számtest felett lineáris teret alkotnak

A lineáris terek közötti leképezések operátorai

Már szóba került, hogy a mérnöki rendszerek átviteli tulajdonságait a bementi és a kimeneti lineáris terek közötti leképezések operátorai jelenítik meg. A rendszer y(t) kimenő (válasz) függvényét az x(t) bemenő (gerjesztő, zavaró, vezérlő, stb.) függvény R rendszeroperátor szerinti képfüggvényként értelmezzük. A már bevezetett jelölésekkel: y(t) = R x(t).

Mérnöki szempontból alapvető operátor típus: a lineáris operátor

Legyen (X, és (Y, két lineáris tér azonos = R test felett.

Definició: Az A: X→Y leképezést homogén lineáris operátornak nevezzük, ha teljesül két jellemző tulajdonság:

1.) az A „összegtartó” tulajdonságú: , ,

2.) az A „aránytartó” tulajdonságú: , ,

Példák homogén lineáris operátorokra

11 / 128

1. Legyen a differenciálható függvények lineáris tere felett. definicióval meghatározott differenciáloperátor homogén lineáris, ugyanis a differenciálás szabályai szerint:

. , teljesül az összegtartás, és

b.) , azaz teljesül az aránytartás is

2.) Legyen X az [a,b]-ben Riemann-szerint integrálható függvények lineáris tere R felett és Y = R a valós számtest mint vektortér ugyancsak R felett. Ekkor a határozatlan integrál által meghatározott leképezés amely függvényhez számot (a görbe és az x-tengely közé zárt előjeles területet mérőszámát rendeli lineáris operátor , mivel a határozott integrálás szabályai szerint:

a.) , teljesül az összegtartás, és

b.) , azaz teljesül az aránytartás is.

3.) A mérnöki rendszerekben érvényesülő rendszeroperátor hatás szemléltetésére az egy szabadságfokú lineáris, gerjesztett és csillapított lengőrendszer példását tekintjük.

A vizsgált egyszerű lineáris dinamikai rendszer operátorának jellemzéséhez tekintsük a kine-tika Newton-féle ∑ alapegyenletének alkalmazását, figyelembe véve, hogy az a gyorsulás az y(t) kitérésfüggvény idő szerinti második deriváltja:

rugalmasvisszatérítő

erő

lin.csillapító

erő

külsőgerjesztő

erő

,

A kitérésfüggvény most kétszer differenciálható, azaz y és a gerjesztőerő időfüggése folytonosnak van feltételezve: . Átrendezve a kapott differenciál-egyenletet a szokásos

,

alakot kapjuk. Bevezetjük a differenciáloperátort, ennek kétszeri egymás utáni alkal-

mazásával értelmezett operátorszorzási művelettel · = adódik. Ezt

figyelembe véve a p és p2 operátorok alkalmazásával kapjuk az y(t) válaszfüggvényt a gerjesztő bemeneti függvénybe átvivő operátor polinomos felírást:

merevségs

dlineáris

csillapításitényező

m

F(t) gerjesztő erőF(t) gerjesztő erő

y(t) kitérési válasz

12 / 128

, .

A belépett operátor polinom maga is operátor és ezt az operátort az általunk definiált R rendszeroperátor inverz operátoraként azonosíthatjuk. Ezzel adódik az

R -1

Mivel p differenciáloperátor volt a kapott R -1 operátorpolinom is differenciál operátor jellegű! Ezért figyelembe véve hogy az általunk bevezetett R rendszeroperátor az R = (R -1)-

összefüggés alapján áll elő, kimondhatjuk, hogy az R rendszeroperátorunk operátor jellegű kell, hogy legyen! Valóban, a lineáris dinamikai rendszerünk esetében is értelmezhető a h(t) súlyfüggvény amely a lineáris, időinvariáns rendszer jellemző függvénye, és az egység-impulzus bemenetre (a Dirac δ-ra) adott rendszer válasszal van értelmezve. Ismeretes a korábbi tanulmányokból, hogy a súlyfüggvény ismeretében a rendszerválasz konvolúció típusú integráloperátorral áll elő

y(t) = R F(t) = .

Alakban, tehát R integráloperátor volta közvetlenül leolvasható.

A lineáris tér elemeinek lineáris függetlensége

A lineáris algebrában nagyon fontos szerepet kap a lineáris tér bizonyos elemeinek lineáris függetlensége vagy lineárisan összefüggő volta. A lineáris függetlenség definíciója a következő:

Definíció: Az (X, lin. tér , , … , elemeit lineárisan függetlennek nevezzük, ha az ezen elemekkel képezett lin. kombináció csak úgy adhatja ki az X halmaz zéróelemét, ha az összes beli , , … együttható zérus.

Másképp: Ha , , … , X -beli elemek lineárisan függetlenek, akkor a

0 egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha λ λ λ 0 teljesül.

„Lineárisan független elemek esetén csak a triviális (csupa zéró együtthatós) lineáris kombi-nációk tűnhetnek el.”

Jogos kérdés: hány lineárisan fgtl. elem létezik valamely (X, lin. térben? Válasz: definíció szerint az (X, lin. tér dimenziója n, ha található benne n számú lineárisan független elem, de minden n+1 számú elem már lineárisan összefüggő.

Lineárisan összefüggő elem n-es: ha ezekkel a 0 zéró-elem nem csupa zéró -val is előállítható. A lineáris összefüggéssel kapcsolatban érvényes a következő tétel: Valamely elem n-es esetén akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha valamelyik elem a többitől lineárisan függ. (a bizonyítást az olvasóra bízzuk).

A fentiekkel összhangban véges dimenziós lineáris térről beszélünk, ha n < ∞ . Nyilvánvaló, hogy ( , ) n-dimenziós, míg C(I) és L2([a,b]) ∞ -dimenziós. Az utóbbi két függvénytérben tehát kiválasztható akárhány (∞ sok) lineárisan független elem.

13 / 128

Fontos kérdés a lineáris algebrában az egyébként végtelen elemű X alaphalmaz tetszőleges elemének egy kitüntetett X-beli elemcsoport lineáris kombinációjaként való előállíthatósága. Ezen kérdéshez kapcsolódik a következő definíció.

Definíció: Az (X, lineáris tér X alaphalmazának , , … , elemeit generátorrendszernek nevezzük, ha tetszőleges x elem előáll a generátorrendszer elemeinek lineáris kombi-nációjaként, az előállított elemre nézve specifikus (a tekintett elemhez rendelt) c1, c2,…,cn együtthatókkal ∑ alakban.

A generátor rendszer szemléltetésére tekintsük a ( , lineáris teret. Az X = alaphalmaz elemeit most síkbeli vektorokkal ábrázolhatjuk. Az ábrabeli , és vektorok az X =

egy generátorrendszerét alkotják Egy tetszőlegesen választott vektor a bemutatott szaggatott vonalas vektorok összegeként áll elő és ez az összeg éppen a generátorrendszer elemeinek (egy) lineáris kombinációja, hiszen a szaggatott vonalas vektorok a generá-torrendszer elemeinek számmal való szorzásával adódtak (nyújtás, zsugorítás).

A generátorrendszer elemeivel ugyan elő lehet állítani az X alaphalmaz elemeit lineáris kombinációként, de ez az előállítás messze nem egyértelmű. Az egyértelmű előállíthatóság azonban fontos kérdés, és ezért meg kell szorítani valamilyen további tulajdonság előírásával a generátor rendszer elemeinek meghatározását. Ezen megszorítás vezet a bázis fogalmához

Definíció: Az (X, lineáris tér alaphalmazának , , … , elem n-esét bázisnak nevezzük, ha:

1. Az elem n-es generátorrendszer, 2. Az elem n-es elemei lineárisan függetlenek.

A fenti definíció alapján tehát a lineáris tér bázisa lineárisan független elemű generátor-rendszer. A lineáris tér alaphalmaza tetszőleges elemének egyértelműségéről szól a következő

Tétel: Ha (X, véges n dimenziós, akkor bármely eleme egyértelműen állítható elő a bázis-elemek lineáris kombinációjaként.

Bizonyítás: Indirekt. Tegyük fel a tétel állításával ellentétben, hogy ttszőleges y X elem az , , … , bázis elemekkel kétféleképpen is előállítható lineáris kombinációként:

, , elemek az , generátorrendszerét adják

14 / 128

,

ahol az együtthatók nem azonosak, azaz , á 1 . Egyenlővé téve a két jobb oldalt: ∑ ∑ adódik, majd zéróra redukálva az egyenletet a

∑ ∑ ∑ 0 .

egyenlet adódik az X tér zéróelemének előállítására. Mivel , , … , bázis és elemei lineárisan függetlenek, ez csak úgy lehet, ha , . Így az a feltevés, hogy létezhet két különböző báziselőállítása az y elemnek, ellentmondásra vezetett. Tehát a báziselőállítás egyértelműségére vonatkozó tételt bebizonyítottuk! Q.e.d.

Bázisra vonatkozóan az I = [a,b] felett folytonos függvények egy speciális véges-dimenziós (de továbbra is végtelen elemű) lineáris alterét vizsgáljuk. A jelzett lineáris altér megadása:

: 5 rögzített xi helyentörésponttal bír, 0, szakaszonként lin.

Az így értelmezett altér 5 dimenziós. Egy alkalmas bázisát az un. „háztető függvények b1(x), b2(x),…,b5(x),” sorozata alkotja. A háztetők csúcsai egységnyi magasak:

…

x1 x2 x3 x4 x5 bax

b1

0x1 x2 x3 x4 x5 ba

x

b2

0

x1 x2 x3 x4 x5 bax

b3

0 x1 x2 x3 x4 x5 bax

b4

0

15 / 128

A megadott bázisfüggvényekkel tetszőleges (öt belső töréspontú) eltünő vég-pontokkal bíró töröttvonal egyértelműen felírható:

∑ · , ahol a speciális bázisválasztás miatt ,

Egy, a bemutatott bázison „kifeszített” töröttvonalat az alábbi ára mutatja be

Eddigi tárgyalásunkban reprezentáns lineáris térként a C(I) függvényteret tekintettük, vagyis az I = [a,b]intervallum felett folytonos függvények lineáris terét. Ennek egyik lineáris altere-ként pedig a fentiekben taglalt tulajdonságú, a kezdő és végpontban eltűnő véges sok pontban törésponttal bíró töröttvonalak sokasága, szakaszonként lineáris függvények halmazát vizsgáltuk. Láttuk a egy jellegzetes bázisát, ahol n a törésponti abszcisszák száma. A véges, n-dimenziós lineáris függvénytér, szemben C(I)-vel, amely ∞ dimenziós. A mérnöki számítások során C(I) elemeinek végesdimenziós közelítő rep-rezentációja válik lehetővé, mert a folytonos függvény töröttvonal függvénnyel közelíthető, ha a töréspontok n száma elég nagy. Még jobb a közelítés, ha n még nagyobb…

A fenti példában az I intervallum végpontokban eltűnő f(x) C(I) elemét az osztáspontokban töréspontokkal bíró szakaszonként lineáris (x) C(I) függvénnyel (törött

x1 x2 x3 x4 x5 bax

f

0

véges dimenziós: dim C(I)=5

Adott [a,b] és x ,1 x ,...x , [a,b]2 5∈

x1 x2 x3 x4 x5 bax

b 5

0

16 / 128

vonallal) közelítettük. Mivel az osztáspontok rögzítettek, az mérnöki szempontból értékes információt az eredeti f(x) függvény osztáspontokbeli felvett helyette-sítési értékeinek sorozata tartalmazza. Ez utóbbi függvény helyettesítési érték sorozat eleme-iből véges dimenziós vektort készítve reprezentálható a függvény közelítés.

Az általánosabb esetben, ha a közelítendő f(x) függvény olyan, hogy f(a) 0 0, akkor a háztető báziselemekhez két „féltető” báziselem veendő hozzá (az [a,b] elejénél és végénél). Ezek a bal intervallum végpont és az x1 első osztáspont között lineáris b0(x), és a xn osztáspont és a baloldal intervallum végpont között lineáris bn+1(x) kiegészítő bázisfüggvények. Mindkét kiegészítő „féltető” bázisfüggvény maximális értéke az ábrán vázolt módon egységnyi.

Bár eddigi tárgyalásunkban jórészt számunkra az I felett folytonos függvények C(I) sokasága volt a „reprezentáns” függvénytér, hangsúlyoznunk kell, hogy a mérnöki számításokban – ahol is jórészt másodrendű, de esetenként magasabb-rendű differenciálegyenletek vagy differenciálegyenlet rendszerek lépnek be a rendszerjellemzésbe. Ekkor fontos szerepet kapnak a a felett értelmezett , , … lineáris függvényterek (az I inter-vallumon értelmezett 1-szer, 2-szer,…stb. differenciálható függvények alkotta lineáris függvényterek a valós számtest felett esetleg felett ).

Norma bevezetése lineáris terekben

Az (X, lineáris tér X alaphalmazában lévő elemek közötti távolságfogalom kialakításához, és ez által az X-beli sorozatok konvergencia fogalmainak megalapozásához az X halmaz elemeihez nem negatív valós számot rendelünk hozzá, ami tulajdonképpen egy re értelmezett, nem negatív és nem lineáris N(x) függvény megadását jelenti.

f

1

x1 x2 xn ba x

f1

f2

fn f

17 / 128

Definíció: A x elemen felvett N(x) 0, ∞ értéket az „x elem normájának” nevezzük, ha az N(x) függvény teljesíti a következő három feltételt (ezek a „normatulajdonságok”):

1) 0, 0 ha 0

2) | | ; é nem lineáris

3) , , háromszög egyenlőtlenség, nem lineáris

Felvethető a kérdés, hogy található-e egyáltalán ilyen tulajdonságú N(x) függvény, van e normált lineáris tér? A válasz: igen, nagyon sok!

1.) A mérnöki alkalmazások szempontjából alapvető jelentőségű X= , esetben , áris tér, vagy, ami ugyanaz, az n-dimenziós euklídészi tér (másképp: az n-

dimenziós numerikus tér) normálható és a norma többféleképp is bevezethető. Legyen tehát x= , , … , T akkor az alábbi három norma –változatot mutatjuk be:

pl.1.) ∑ , neve: euklídészi norma,

pl.2.) | |, 1 , neve: koordinátamaximum norma,

pl.3.) ∑ | |, neve: abszolút érték összeg norma.i

n=2 esetén jól szemléltethető az , é azzal, hogy hol helyezkednek el azon x elemek, amelyekre , ahol 0 adott. (Milyen „mértani helyen” fekszenek a síkban az adott 0 normájú elemek a különböző normaértelmezések esetében?)

1. , origó körüli ε sugarú kör egyenlete

2. | |, | | , origó körüli koordinátairányú oldalú négyzet, oldalhossza 2ε

3. | | | | , origó körüli √2 .ε oldalhosszú csúcsán álló négyzet, mert pl.

ha, 0 é 0, , é ő 1irány‐

tangensabsz.tag

lin. x1‐ben

A fenti meggondolások alapján meg lehet rajzolni az origó körül a Ni = ε vonalakat.

18 / 128

2.) Lineáris függvényterek esetében is értelmezhető a norma. Tekintsük az [a,b] felett folytonos függvények sokaságát, vegyük alaphalmazként ismét az X = C(I) halmazt. esetén (C(I), ) lineáris tér, elemei f(x) C(I) , és NC(f) az f normája:

(f) | | , ,

Megjegyzés: Elterjedt a normára az N(f)=||f|| jelölés is.

Megjegyzés: Ha N(f) kicsi, akkor f „közel” van az f(x)=0 azonosan zérus értékű függvényhez, azaz a C(I) tér zéróeleméhez.

3.) Az , : , , ; | | ∞ az [a,b]-n értelmezett

komplex értékű, abszolút értéke négyzetével együtt az [a,b]-n –ható függvények lineáris teret alkotnak felett, azaz most . A most bevezetett (X, függvénytér tehát lineáris

tér. Ebben is bevezethető norma: | |/

.

Megjegyzés: Az által generált topológia „erősebbnek” bizonyul majd az által generáltnál…

Távolságfogalom, metrikus tér:

Definíció: Legyen X tetszőleges halmaz. Az (X,d) párt metrikus térnek nevezzük, ha értelmezett a : leképezés (az X elempárjaihoz d(x,y) 0 nemnegatív távolságot rendel) a következő 3 tulajdonság teljesülése esetén:

1. , 0 , 0 nemnegativitás

2. , , , , szimmetricitás

3. , , , , , , háromszög egyenlőtlenség

Az n-dimenziós numerikus tér (az euklídészi tér) metrikus is. Bevezethető az euklídészi távolság két tetszőleges x és y elem vonatkozásában:

X = , , , , … , , , , … ,

19 / 128

, euklidészi távolság

Ennek „köze van” a normához: ,

Nem véletlen a fenti összefüggés. Érvényes a következő

Tétel: Normált lineáris tér mindig metrikus is, és érvényes: ,

-ben a 3 fajta normának megfelelően három fajta távolság, a tekintett függvényterekben pedig az alábbi két távolság értelmezett:

dc(f,g)= | |, , , , ;

dL2(f,g)= | |/

, , ,

Pl.: a folytonos függvények C(I) terében az f(x) és g(x) függvények távolsága jól szemléltethető:

a) ha dc(f,g) kicsi, akkor f(x) és g(x) az [a,b] felett „egyenletesen” közel helyezkedik el. b) dL2(f,g)-ben mérve a közelség csak „négyzetintegrálra nézve” áll fenn!

Minden esetre jól értelmezett távolságfogalom áll rendelkezésre a függvények távolságának mérésére. Ez ahhoz kell, hogy egy függvénysorozat esetében az n index növekedésekor megvalósuló viselkedés értelmezni tudjuk. Egy függvénysorozattal kap-csolatban az alábbi két eset valósulhat meg az n index növekedése esetén:

A. n ∞ esetén közeledik az határfüggvényhez konvergens (fv. sorozat) B. n ∞ esetén nem rendelkezik ilyen tulajdonsággal divergens (fv. sorozat)

Az ábra a „legkellemesebb” esetet mutatja: az függvénysorozat , -ben konvergens, sőt az [a,b] felett egyenletesen is konvergens, határfüggvénye . Most

volt (I=[a,b]), ezért az határfüggvény folytonos is. (Megj.: Ábránk speciális, mert a jó szemléltethetőség kedvéért monoton növekvő sorozatnak vettük.)

Függvénysorozatokkal kapcsolatban 4 féle konvergencia-fogalom lesz:

- adott , pontban fennálló konvergencia,

- bizonyos , -helyeken, de nem minden x , -re fennálló konvergencia,

- , pontban, pontonként fennálló konvergencia, - , felett egyenletesen fennálló konvergencia.

20 / 128

Függvénysorozatok a függvénytér elemeiből, függvénysorok

Legyen [ ]⊂ba, ; adott, és tekintsük felette az ( ) ∞=1ii xf függvénysorozatot!

Konvergencia: ha i növekszik, akkor ( )xfi „közel kerül” egy ( )xf0 határfüggvényhez, mely

( )xf0 is az [ ]ba, -n értelmezett.

1. Konvergencia [ ]bax ,0 ∈ -ben (egy 0x helyen áll fenn. ( )

( )00lim xfxfia

ii=

∞→)

2. Konvergencia egyes [ ],ix a b∈ -pontokban (de nem minden [a,b] helyen)

3. Konvergencia [ ]bax ,∈∀ helyen

Létezik az

( ) ( )0lim iif x f x

→∞= határfüggvény [ ], ,x a b∀ ∈ esetében,

4. Egyenletes konvergencia [ ]ba, -ben. Nemcsak, hogy [ ]bax ,∈∀ helyen ( )xfi közel kerül ( )xf0 -hez, hanem ez a

„közelkerülés” egyenletes, azaz tetszőlegesen kicsi 0>ε -hoz megadható olyan ( )ε0n

csak ε -tól függő (és az x helytől nem függő) ( )0n ε küszöbindex, hogy ha ( )ε0ni ≥ ,

akkor ( ) ( ) ε<− xfxfi 0 ; [ ]bax ,∈∀

21 / 128

Megjegyzés: A pontonkénti, [ ]bax ,∈∀ -re érvényesülő konvergenciánál, a tetszőlegesen kicsi 0>ε -hoz tartozó küszöbindexek függnek azon x helytől, ahol vizsgáljuk a konvergenciát:

( )xn ,0 ε . Egyenletes konvergenciánál a helyfüggés (az x-függés) elmarad az 0n küszöbindex

kifejezésében, az ( )ε0n x-től függetlenül megfelel, másképp: [ ]bax ,∈∀ -hez „jó”.

Megjegyzés:

1. Értelmezzük a ( )IC ; [ ]baI ,= elemeire az [ ]

( )xfmaxfb,ax

def

∈= normát.

2. Ez a norma távolságot (metrikát) indukált ( )IC elemei között:

( )[ ]

( ) ( )xgxfgfgfdbax

−=−=∈ ,max,

3. Ezzel a távolsággal, ha ( ) ∞=1ii xf esetén az ( )xf0 határfüggvény közel kerül ( )xfi -hez

nagy i indexekre, akkor ugyanis ( )

[ ]( ) ( ) 0max, 0,0 →−=−=

∈xfxfgfgfd ibaii

és ez éppen az ( ) ∞=1ii xf függvénysorozatnak az ( )xf0 határfüggvényhez való

egyenletes konvergenciáját jelenti az [ ]ba, intervallumon.

A lineáris tér teljessége:

1. Definíció: Legyen ( )Γ,X egy lineáris tér, legyen ez metrikus is!

Az ∞=1iix sorozatokat Cauchy sorozatoknak nevezzük, ha tetszőlegesen kis 0>ε -hoz

megadható olyan ( )ε0n küszöbindex, hogyha ( )ε0, nji ≥ , akkor ( ) ε< távolsága

,jxésix

ji xxd

teljesül.

22 / 128

2. Kérdés: Az X elemeiből alkotott Cauchy sorozatnak mindig van 0x határértéke, de az nem biztos, hogy az Xx ∈0 is teljesül! Nem biztos és külön meg kell nevezni azt az esetet, ha ez minden Cauchy -sorozatra fennáll:

3. Definíció: Az ( )Γ,X lineáris metrikus teret teljesnek nevezzük, ha minden X beli Cauchy sorozat 0x limeszére teljesül, hogy Xx ∈0 .

Megjegyzés: A ( )IC ; [ ]baI ,= teljes lineáris normált (és ezért metrikus) tér a felett. Tétel: Ha ( ) ∞

=1ii xf ( )IC -beli függvények egyenletesen konvergens sorozata az [ ]baI ,= felett, akkor az i ∞ esetén adódó ( )xf0 határfüggvénye folytonos [ ]ba, -n. Bizonyítás:

1. Tekintsük egy tetszőleges [ ]bax ,0 ∈ pontot! Azt kell belátni, hogy az ( )xf0 határ-függvény folytonos 0x -ban, azaz tetszőlegesen kicsi 0>ε esetén, ha ( )εδ<− 0xx ,

akkor ( ) ( ) ε<− xfxfi 0 .

2. Vizsgáljuk az ( ) ( )000 xfxf − eltérést formális bővítés alkalmazásával!

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00000000 xfxfxfxfxfxfxfxf nnnn −+−+−=− 3. Alkalmazzuk a háromszög egyenlőtlenséget!

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 344 2144 344 214434421

c

n

b

nn

a

n xfxfxfxfxfxfxfxf 00000000 −+−+−≤−

a jobb oldali tagok kicsivé, 3ε

-nál kisebbé tehetők, ha ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<−

30εδxx és ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≥

30εnn ,

ezért

( ) ( )333000εεε

++<− xfxf .

Az egyes tagokra vonatkozóan az alábbi meggondolások érvényesek:

a) ( ) ( )xfxf n−0 az ( ) ∞=1nn xf egyenletes konvergenciája miatt

3ε

< , ha ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥

30εnn ,

b) ( ) ( )0n nf x f x− az ( )xfn 0x helyi folytonossága miatt 3ε

< , ha ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<−

30εδxx ,

c) az a)-val azonos meggondolással ( ) ( )3000ε

<− xfxf n , ha ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥

30εnn .

Definíció: Az ( )Γ,X teljes, normált lineáris teret Banach-féle térnek nevezzük.

Unitér lineáris terek Definíció: Az ( )Γ,X lineáris teret unitérnek nevezzük, ha értelmezett az Γ→× XXS : leképezés a következő tulajdonságokkal:

1. ( ) 0, ≥xxS , Xx ∈∀ ; ( ) XxxxS ∈=⇔= ο ha0, 2. ( ) ( ) ( )zySzxSzyxS ,,, +=+ , Xzyx ∈∀ ,, ;

(S az első változóban összegtartó) 3. ( ) ( )yxSyxS ,, ⋅=⋅ λλ , Xyx ∈∀ , és Γ∈λ

(S az első változóban aránytartó) 4. ( ) ( )yxSxyS ,, = , Xyx ∈∀ ,

23 / 128

Megjegyzés: Az ( )yxS , függvényértékek az x és y elemek (ezen sorrendben vett) „skalár szorzatát” értelmezik, a szorzat értékétΓ -ból veszi fel.

Van-e egyáltalán unitér lineáris tér? A válasz: igen, nagyon sok!

pl. 1.) , unitér; ( ) ∑=

⋅=3

1,

iii

def

yxyxS

pl. 2.) , unitér; ( ) ∑=

⋅=n

iii

def

yxyxS1

,

pl. 3.) , unitér; ( ) ∑=

⋅=n

iii

def

yxyxS1

,

pl. 4. , : , , , | | ∞ é ; , ,

Megjegyzés: [ ]( )baC , nem unitér!!

Tétel: Minden unitér lineáris tér normálható és ezért metrizálható.

Ugyanis: ( ) ( ) 21def

, xxSxN = mindig megfelel az ( )Γ,X normájának másképp jelölve ugyanaz:

A lineáris tér norma mindig indukál metrikát!

( ) yxy,xdXy,xdef

−=→∈ a normatulajdonságok miatt metrikát határoz meg.

pl. 1.) , -ben a már ismert 3 féle norma alapján adódik a 3 –féle metrika( ) ( ) ( )( )

( ) ∑=

≤≤

−=

−=−++−=

n

iii

iini

nn

yxyxd

yxyxdyxyxyxd

13

12

22111

,

max,, K

pl. 2.) , , -ben: 1/2

2( , ) ( ) ( )bdef

a

d f g f x g x dx⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭∫ ez a „négyzetintegrálra”

vonatkozó távolságfogalom gyengébb, mint a [ ],

( , ) max ( ) ( )def

x a bd f g f x g x

∈= − távol-

ságfogalom. A dolog magyarázata abban rejlik, hogy a Riemann- integrálfogalom nem érzi, ha a függvényt esetleg megszámlálhatóan végtelen számú pontban nagy értékkel megváltoztatjuk. Az integrál az ábra szerinti véges sok pontban „nem érzi” az eltérést.

( )21

zataskalárszorvett önmagávalx

defx,xx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= 321

24 / 128

A korábbi tárgyalásunkban az ( )Γ,X lineáris tér dimenzióját az X-beli lineárisan független elemek maximális számával értelmeztük. Tudjuk, hogy van ∞dimenziós lineáris tér, pl. C([a,b]) és L2([a,b]). A végtelen dimenziós unitér terek közül a teljesere vonatkozik a következő

Definíció: Ha az ( )Γ,X ∞ dimenziós unitér lineáris tér, teljes, akkor Hilbert-féle térnek nevezzük.

Megjegyzés: A bevezetett [ ]( )baL ,2 lineáris tér tehát Hilbert-tér. Minden Hilbert tér egyben Banach tér is.

Sorozatterek

A mérnöki gyakorlat számos matematikai feladatában az ∞=1iix valós elemű számsorozatok

vizsgálata kerül előtérbe. A valós vagy komplex elemű számsorozatokat ezért célszerűen az i index növekedése esetén kialakuló viselkedésük alapján osztályokba soroljuk

1.) Az ∞l sorozattér a korlátos sorozatok sokaságát tartalmazza:

1: , hogy , i ii

x K x K i∞

∞ == ∃ < ∞ ≤ ∀l

Az így értelmezett ∞l sorozat-sokaság lineáris tér felett !

B

H

25 / 128

I. A ∞l –beli sorozatok összege: tagonként képezhető, és az így értelmezett összegzés teljesíti a megkívánt 4 műveleti azonosságot

II. A ∞l –beli sorozat számszorosa: elemenként szorozható, és az így értelmezett szorzás teljesíti a megkívánt 4 műveleti azonosságot

2.) Az ∞l részhalmazát lépezik a konvergens sorozatok. Az utóbbiak összességeként

értelmezett 1l sorozat-sokaság lineáris tér ! Az 1 1: lim léteziki ii i

x x∞

= →∞=l lineáris

térben az ∞l -beli műveletek érvényesek, így az 1l lineáris altere ∞l –nek: ∞⊂ ll1

3.) Az 1l részhalmazát lépezik a zéróhoz konvergáló sorozatok. Az utóbbiak összes-

ségeként értelmezett 0l sorozat-sokaság lineáris tér ! Az 0 1: lim = 0i ii i

x x∞

= →∞=l lineáris

térben az 1l -beli műveletek érvényesek, így az 0l lineáris altere 1l –nek: 0 1 ∞⊂ ⊂l l l 4.) A zérushoz tartó sorozatok egy fontos részhalmazát képezik azok a sorozatok amelyek

elemeinek abszolút értékei négyzeteiből alkotott végtelen sor konvergens. A jelzett

tulajdonságú sorozatok összességét

2l jelöli:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∞<= ∑∞

=

∞=

1

212 :

iiii xxl

2l lineáris tér felett az 0l -beli műveletekkel, és mivel a sorösszeg létezésének

szükséges feltétele a tagok zérushoz tartása, így 2l lineáris altere 0l –nek: 02 ll ⊂ és ezért

2 0 1 ∞⊂ ⊂ ⊂l l l l . Az 2l sorozattér Hilbert térnek bizonyul. Az 2l térben értelmezett természetes skalár szorzat és norma meggondolását az olvasóra bízzuk.

5

: az n-dimenziós euklideszi tér

A mérnöki feladatokban játszott alapvető szerepe miatt közelebbről megvizsgáljuk az ( n, ) lineáris teret. A következő lényeges tulajdonságok számlálhatók elő:

1. ( n, ) Lineáris tér: (I. (+) 1, 2, 3, 4; II. ·|) 1, 2, 3, 4); felett

2. ( n, ) Unitér tér: i

n

ii yxyxS ∑

=

=1

),( ; skalárszorzat (1, 2, 3, 4)

ΤΤ == ],...,[,],...;[ 11 nn yyyxxx

26 / 128

3. ( n, ) véges dimenziós: Dim( ) = n

4. Van n-elemű bázis: 1. generátorrendszer

2. lineárisan független

(ha ∈====⇒=+++ 0...csak ez 0... 212211 nnn xxx λλλλλλ mellett lehetséges)

5. -ben bármely elem előállítása egyértelmű.

Báziscsere: Mivel -ben ∞ sokféleképp választható bázis, természetes kérdés: ha tekintünk egy nR∈x elemet, akkor két bázis felvétele esetén hogyan alakulnak a két különböző bázis-előállításban szereplő valós együttható n-esek.

Ez a báziscsere probléma.

Legyen az ún. „régi bázisa” az u1, u2, …, un elem n-es. Legyen továbbá „új bázisa” a v1, v2, …, vn elem n-es. Legyen x ∈ tetszőleges.

Előállítjuk x-elemet (az n-dimenziós x vektort) a két különböző bázison:

1. Az :bázison 1

1 i

n

ii

nii ucxu ∑

== = (egyértelmű!)

2. A j

n

jj

njj udxv ∑

==

=1

1 :bázison (egyértelmű!)

Az új bázis elemei vektorok lévén természetszerűen előállnak a régi bázis elemeinek egyértel-

műen meghatározott lineáris kombinációiként: ...n 2, ,1 ;1

== ∑=

iuv i

n

iijj τ (*). Szemléltetésképp

közbevetett példa n = 2 esetére:

2211111 uuv ⋅+⋅= ττ

2221122 uuv ⋅+⋅= ττ

Kérdés: ijτ ; , 1,2i j = Válasz: 11 1τ = , 21 1τ = , 12 0τ = , 22 1τ =

Visszatérve a fő gondolatmenethez: tekintsük az x-nek az új bázisra vonatkozó előállítását és ezt visszavezetjük a régi báziselemek lineáris kombinációjára:

27 / 128

ij

n

i

n

jiji

n

iij

n

jjj

n

jj ududvdx ∑∑∑∑=∑

= ====

==1 111

*

1ττ

Mivel i

n

jiucx ∑

=

=1

volt eredetileg, ezért együttható összehasonlítással a következő összefüg-

gések adódnak:

j

n

jiji dc ∑

=

=1τ ; i= 1, 2,…,n

Ezzel megvan a niic 1= és

1=jjd együtthatók kapcsolata.

Részletesen kiírva: lineáris inhomogén egyenletrendszer kapcsolja össze az együtthatókat: c1, c2,…, cn ismert, az új bázis elemeinek a régi bázison való előállításából adódó kétindexes

n

1j1iij

==τ együtthatórendszer (aT mátrix) ismeretében az új bázison érvényes d1, d2,…, dn együtt-

hatók értelműen meghatározhatók:

nnn22n11nn

nn22221212

nn12121111

d...ddc

d...ddcd...ddc

τ++τ+τ=

τ++τ+τ=τ++τ+τ=

M

11 12 1

21 22 23 2 1

2

1 2

. . .. .

. . . . . . = T d

. . . . . .

. . . . . .. . .

n

n

n

n n nn

dd

c

d

τ τ ττ τ τ τ

τ τ τ

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M ,

1 1

12 2 adott;

n n

c dc d

c d T c

c d

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M M

Vegyük észre, hogy a Τ mátrix j-edik oszlopában az új bázis j-edik elemének a régi bázisra

vonatozó koordinátái állnak. A Τ mátrixot a báziscsere Τ kísérő transzformációja mátrixá-

nak nevezzük. A Τ lineáris transzformáció bázist bázisba visz át, ezért létezik a Τ -1 inverz transzformáció is és mátrixa éppen a 1−Τ mátrix lesz.

Esetünkben tehát a keresett új bázishoz tartozó együtthatók cd 1−Τ= alakban (lineáris

inhomogén egyenletrendszer egyértelmű megoldásaként) meghatározottak.

Megj.: Az előzőekben már belépett a lineáris transzformáció fogalma. Most pontosabban definiáljuk: Az ( )Γ,X lineáris tér önmagára való homogén lineáris T leképezését homogén lineáris transzformációnak nevezzük. Jelölje : ; Τ ΤΧ → Χ alkalmazása nem vezet ki X-ből.

28 / 128

A transzformáció homogén linearitása két követelményt támaszt a Τ leképezéssel szemben:

1. A T értelmezési tartománya megegyezik T képterével, azaz : , Τ Χ → Χ 2. A T összeg- és aránytartó.

Fontos: Az , -en értelmezett homogén lin. transzformációkat másodrendű tenzornak (vagy affinor nak) nevezzük.

Tehát: másodrendű tenzor vektorhoz ( -beli elemhez) vektort ( -beli elemet) rendel.

Fontos: Értelmezettek a magasabb rendű tenzorok is mint homogén lineáris leképezések!

Harmadrendű tenzor:

A harmadrendű tenzor -beli elemhez másodrendű tenzort rendel: „vektorváltozós”, másodrendű tenzor értékű homogén lin. függvény (azaz összeg- és aránytartó).

Jelölje ( 2T , ) a másodrendű tenzorok alkotta lineáris teret felett, megfelelően értel-

mezett tenzor összeg (I.; 1, 2, 3, 4) és számmal való szorzás (II.; 1, 2, 3, 4) mellett. Ekkor a harmadrendű tenzort a következőképp értelmezzük:

Def.: a 2n TRQ →= homogén lineáris leképezést harmadrendű tenzornak nevezzük.

Negyedrendű tenzor:

Jelölje ( 3T , ) a harmadrendű tenzorok alkotta lineáris teret felett. Ekkor a negyedrendű tenzort a következőképp értelmezzük:

Def.: a 3n TRW →= homogén lineáris leképezést negyedrendű tenzornak nevezzük, stb.

Az eddigi tárgyalásunkban a : Χ ΧΤ → homogén lineáris transzformáció szerepelt, azaz T az X-et önmagára képezte le. (Megj.: véges dimenziós X lineáris terekkel foglalkoztunk)

A következőkben olyan homogén lineáris leképezéseket vizsgálunk, melyek egy véges dimen-ziós ( )Γ,X lineáris térből egy másik eltérő véges dimenziós ( ),Y Γ lineáris térbe vezetnek.

Legyen Dim(X) = n és Dim(Y) = m.

Def.: Az :A YΧ → leképezést homogén lineárisnak nevezzük, ha

29 / 128

1. Az A összegtartó, azaz:

Xx,x ;AxAxxxA 21Y

2Y

1

Y

X

2

X

1 ∈∀+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∈∈

∈

∈∈

43421

2. Az A aránytartó, azaz: ( ) Γ∈λ∈∀λ=λ és Xx ,AxxA

Megj.: Ekkor az A az X téren értelmezett homogén lineáris operátor.

Legyen e1, e2,…, en bázis X-ben. Legyen f1, f2,…, fn bázis Y-ban.

Operáció: MŰVELET

Az X beli x elem j

n

jj exx ∑

=

=1

bázis-előállítás egyértelműen meghatározza az x elemet.

Működtessük az A homogén lineáris operátort x-re!

, Ax y= azaz jelölje az operáció eredményét y Y !A ∈

Figyelembe véve az x elem báziselőállítását és a A homogén linearitását (összegtartó és aránytartó voltát), a következő eredményt kapjuk:

( )

Y

j

n

jj

n

jjj

n

jjj AexexAexAAxy

∈===

∑∑∑ ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

1

aránytartó

1

óösszegtart

1

*

A fenti képlet utolsó tagja szerint az A operátor hatását az X tér ej báziselemein kell tovább vizsgálnunk! Tekintsük tehát az X tér ej báziselemének az Y térbeli Aej képét, tekintetbe véve, hogy az Y térben az f1, f2,…,fm báziselemeket kell használni:

i

m

1iiij

m

1i

n

1jiji

m

1iij

n

1jjj

n

1jj

*

i

m

1iijj

fyfxafaxAexAxy

:ezzel , faAeY

∑∑∑∑∑∑

∑

== ===

⊕

=

=

=====

=∋

Együttható összehasonlítással kapjuk, hogy:

j

n

1jiji xay ∑

=

= , i=1, 2,...,m

Részletesebb felírással a leképezett elem Y térbeli koordinátáira a következő kifejezést kapjuk:

nmn22m11mm

nn22221212

nn12121111

xaxaxay

xaxaxayxaxaxay

+++=

+++=+++=

K

M

K

K

1nxmxn1mx

xAy =

30 / 128

Az lemondottak alapján tehát rögzített bázisok esetén az A homogén lin. operátor az

[ ]mn

1j1iijaA

=== mátrixszal jelentkezik.

Kérdés: mit jelentenek az mxn

A j-edik oszlopában álló elemek?

Eml.:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= ∑=

mj

2j

1j

mxni

m

1iijj

a

aa

:oszlopábanedik -j A az , faAeM

elem m-es áll. Ezen oszlopvektor az X

tér j-edik bázisvektora A szerinti képének koordinátáit adja az Y tér beli f1, f2,…, fn bázison.

Megj.: ha adott az ismeretében az x szerinti képe: yx X A A Ax∈ ⇒ = meghatározható.

Vizsgáljuk a két térbeli bázisok cseréjének a kérdését! Vezessük be az X térben n21 e,,e,e K régi bázis mellé n21 ,,, εεε K új bázist és az Y térben pedig a m21 f,,f,f K régi bázis mellé m21 ,,, ϕϕϕ K új bázist.

Az A homogén lineáris operátor mátrixa a régi bázisok esetén: mxnA . A báziscserék tárgyalt kísérő

transzformációinak mátrixai la két térben legyenek (n x n -es) és (m x m -es)x y

T T . Felhasználva

a korábbi ismereteket a régi bázisokhoz tartozó koordináta n-es és m-es felírható:

* ξ=⇐εξ== ∑∑== nxn

Xi

n

1iii

n

1ii Txexx

** η=⇐ϕη== ∑∑== mxm

Yi

m

1jii

m

1ji Tyfyy

Eleve a régi bázisok esetén érvényes az xAymxn

= , most a fenti összfüggések figyelembe

vételével a

TAT

T TAT

X1

Y

1Y

nxnX

mxnmxnY

ξ=η

∃ξ=η

−

−

eredmény adódik. Ezzel megvan az A operátor új bázisokhoz tartozó mxnA~ mátrixa

nxnX

mxnmxm

1Y

mxnTATA~ −=

.

31 / 128

2. Skalár-, vektor- és tenzormezők és alkalmazásaik

Vektorváltozós skalárértékű függvények:

X= ; Γ R; értelmezzük a : leképezést: egy megszabott 3-dimenziós értelmezési tartomány elemeihez -beli elemeket rendelünk függvényértékekként.

Működése:

Vizsgálni lehet a )r(ϕ függvény értékek által kitöltött Y tartományt, miközben r befutja a ( )D ϕ értelmezési tartományt. Ekkor Y ; a kiadódott Y tartomány neve: a függvény

( )Y ϕ= ∆ képtere. A mérnöki rendszerek vizsgálatában sokszor lép fel a most bevezetett vektorváltozós skalárértékű függvényekkel kapcsolatos feladat, gondoljuk a helyvektor függvényében változó nyomás vagy hőmérséklet, mint skalár érték alakulásának vizsgálatára.

A skalárértékű )r(ϕ függvény valamely ( )0r D ϕ∈ pont (hely) kis környezetében való

megváltozását vizsgáljuk. Legyen r az 0r pont kis környezetébe eső ( )D ϕ -beli vektor.

Tekintsük a )r(ϕ függvény 0r r r∆ = − a vektor növekmény esetén történő .

0 0 0( , ) ( ) ( )def

r r r r rϕ ϕ ϕ∆ ∆ = +∆ − megváltozását. A kapott 0( , )r rϕ∆ ∆ növekményt (mely egy skalárérték) felírjuk egy r∆ -ben lineáris főrész és egy 0r →∆ esetén elenyésző rész összegeként:

0 0 0 0 0

elenyésző részfő rész : skalár szorzat

( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ).r r r r r grad r r r rϕ ϕ ϕ ϕ ε∆ ∆ = + ∆ − = ⋅ ∆ + ∆142431442443

Ha 0r →∆ esetén 0

r 0

( , )érvényes a lim 0r rr

ε∆ →

∆=

∆ limesz reláció, azaz ha 0r r→ esetén az

0( , )r rε ∆ elenyésző rész gyorsabban tart zérushoz, mint r∆ , akkor a )r(ϕ függvény az 0r

pontban differenciálható, és értelmezett )r(ϕ függvény 0r pontbeli deriváltvektora, melyet a)r(ϕ függvény 0r pontbeli gradiens vektorának nevezünk, jele: 0( )grad rϕ . Ezen gradiens

vektor létezését feltételezve a )r(ϕ függvény 0r pontbeli differenciális megváltozását

0 0( ) ( )d r grad r d rϕ ϕ= ⋅

32 / 128

alakban írhatjuk fel. Az 0r helyi )r(grad 0ϕ vektor a )r(ϕ vektorváltozós skalár értékű 0r -

helyi változási intenzitását adja meg.

Konkrét számításokhoz alkalmas formát az ortonormált i, j, k standard bázis alkalmazásával kapunk. Az r vektor báziselőállítása ekkor: r xi y j zk= + + az x, y és z skalár együtt-

hatókkal egyértelmű, a dr elenyésző vektornövekmény báziselőállítása pedig ugyancsak egyértelmű d r dxi dy j dzk= + + alakban a dx, dy és dz elenyésző koordinátairányú skalár

növekményekkel, mint együtthatókkal. A ( )grad rϕ vektor báziselőállítása az ortonormált i,

j, k standard bázis alkalmazásával

( ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )grad (r)r x y z

x y z x y z x y zi j kx y zϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ=

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

alakban adódik a ( , , )x y zϕ skalár függvény koordináta irányú parciális deriváltjaiból képzett együtthatókkal. Ennek figyelembe vételével a ( , , )x y zϕ skalárértékű függvény d ( , , )x y zϕmegváltozását valamely x, y, z pontban az alábbi skalárszorzat kiértékelésével kapjuk:

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , ) ( , )

r

x y z x y z x y zd x y z grad x y z dr i j k dxi dy j dzkx y z

ϕ ϕ ϕϕ ϕ ∂ ∂ ∂= = + + + +

∂ ∂ ∂A kijelölt skalár szorzat kiértékelésével (az x, y és z független változók elhagyásával) a

d dx dy dzx y zϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

tömör felírás adódik, amiben felismerjük a )z,y,x()r( ϕ=ϕ skalárfüggvény „teljes differenciálját”.

Megj.: 1. Ha az -beli r helyett azt -beli [ ] ∈= Τn21 x,x,xx K vektor lép be független

változóként, akkor az így adódó )x(ϕ skalárértékű függvény -beli ( )ϕD értelmezési

tartományba eső x-helyen érvényes teljes differenciálja i

n

1i i

dxx

xd)x(gradd ∑= ∂

ϕ∂=ϕ=ϕ alakot ölt.

2. Nabla szimbolika: Szokás bevezetni a ∇ vektorjellegű differenciáloperátort az alábbi defi-nícióval:

kz

jy

ix

.def

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Ekkor a garadiens vektor felírása a következő alakot nyeri:

( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

grad x y z x y z i j k x y zx y z

x y z x y z x y zi j kx y z

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

∂ ∂ ∂= ∇ = + + =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ +∂ ∂ ∂

.

33 / 128

3. Skalármező jellemzése szintfelületekkel: Legyen rögzített skalár érték. Keresendő azon vektorok mértani helye, amely vektorokon a )r(ϕ függvény éppen a rögzített

skalár értéket veszi fel. Keresendő tehát azon ( )cH D ϕ⊆ tartomány, amely a

: ( )cH r r cϕ= = halmaz definícióval van megadva, vagyis amelynek pontjaiban a tekin-tett )r(ϕ függvény értéke éppen a rögzített c. Az r helyvektor standard bázisbeli skalár koordinátáival megfogalmazva: keresendő azon x,y,z skalárhármasok halmaza, amelyekre

c)z,y,x(*=ϕ . Kedvező esetben a * összefüggésből z explicite kifejezhető )y,x(z cΨ=

kétváltozós függvénykapcsolattal. Ekkor a c-hez egy ( )ϕD -ben haladó felület, a c szinthez tartozó szintfelület (nívófelület) kapcsolható! Ha c megváltozik, szintfelület sereg adódik kétváltozós függvényseregként: , . Az ábra a megadott c konstanshoz és a cc ∆+-hez valamint a cc ∆− -hez tartozó szintfelületeket jeleníti meg

Vektorváltozós vektorértékű függvények:

A ⊆)(vD tartomány elemeihez (a helyvektorhoz) nem skalárértéket, hanem -beli vektorokat rendelünk, akkor a „vektor-vektor” függvény kapcsolat adódik. Ilyen függvények a mérnöki kontinuum-problémákban alapvető jelentőségűek.

1.) Jellemzés 2.) Jellemzés tárgyvektorok képvektorok

nyalábja nyalábja

Az r x i y j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅ helyvektorok a standard bázisban értelmezett koordináta-hárma-

sukkal kapnak numerikus jellemzést az [ ], ,r x y z Τ= alakjában. Az r helyvektorhoz rendelt

függőváltozó x y zv v i v j v k= ⋅ + ⋅ + ⋅ vektorok is a standard bázison kerülnek felírásra,

34 / 128

numerikus jellemzésük a oszlopvektorként , ,x y zv v v vΤ

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ alakban történik. Itt fontos

kiemelni, hogy a v vektor skalárkoordinátái a helyfüggés miatt három háromváltozós ( , , ), ( , , ) ( , , )x x y y z zv v x y z v v x y z és v v x y z= = = skalárfüggvényként kezelendők a tényle-

ges numerikus vizsgálatokban.

A vektor-vektor függvény „működése” az alábbi képletsorba foglalható:

; : .

A vektor-vektor függvény rövid felírása )(rvv = alakban szokásos. Az ekvivalens három háromváltozós skalár függvényhármas szerepeltetésével a bővebb jellemzést adó

( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zv r v x y z v x y z i v x y z j v x y z k= = + +

alakzat is használható.

A vektorértékű ( )v r függvény valamely ( )0r D v∈ pont (hely) kis környezetében való meg-

változását vizsgáljuk. Legyen r az 0r pont kis környezetébe eső ( )D v -beli vektor. Tekintsünk

az 0r -hoz közeli ( )vDr ∈ vektort! Tekintsük a független változó r∆ növekményét, a

0r r r∆ = − vektort! Állítsuk elő a függő változó .

0 0 0( , ) ( ) ( )def

v r r v r r v r∆ ∆ = + ∆ − növek-ményét egy a r∆ -ben lineáris főrész és egy elenyésző rész összegeként az alábbiak szerint,

elenyészőfő rész

0 0 0 0 0

lin.op. A : R R2.rendű tenzor

3 3

( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )v r r v r r v r A r r r rε

→

∆ ∆ = + ∆ − = ∆ + ∆64748 64748

,

ahol teljesül, hogy 0

0

( , )lim 0r

r rr

ε∆ →

∆=

∆ (ε gyorsabban tart 0-hoz, mint r∆ !). Ha ez az előállítás

létezik (azaz megvan a homogén lineáris operátorként azonosított A( 0r ) tenzor és az

0( , ) 0r rr

ε ∆→

∆ teljesül), akkor a )(rvv = függvényt az 0r helyen differenciálhatónak

nevezzük. Az r0 helyi deriválhatóság esetén az r0 helyhez rendelt A(r0) tenzor létezik, és a határátmenet során az elenyésző rész eltűnik, így a 0( ) dv A r dr= rövid összefüggés írható fel. A vektorváltozós vektorértékű függvény deriváltja tehát vektort vektorhoz rendelő másod-rendű tenzor-mennyiségnek bizonyult. Helyes tehát, ha a vektorváltozós vektorértékű függ-vény derivált tenzoráról beszélünk. A numerikus kezeléshez természetesen bázis-előállításokban szereplő skalár értékekre van szükségünk. Rögzítsük a standard bázist -ban (mind a tárgytérben, mind a képtérben) az i, j és k egységvektorok felvételével! A dv = dvx i + dvy j + dvz k és a dr = dx i + dy j + dz k báziselőállításokban szereplő skalár koordináták most az A deriválttenzor standard bázisokhoz tartozó A mátrixának közvetítésével lépnek homogén lineáris kapcsolatba:

35 / 128

x

y

z

dv dxdv A dydv dz

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

;

Könnyű belátni, hogy az A mátrix elemei háromváltozós függvények, a mátrix soraiban rendre a v(r) standard báziselőállításbeli ),,( ),,,( ),,,( zyxvzyxvzyxv zyx skalár együttható függvényeihez tartozó gradiens zyx gradvgradvgradv , , vektorok skalár koordinátái állnak az

alábbiak szerint:

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , )

x x x

y y y

z z z

v x y z v x y z v x y zx y z

v x y z v x y z v x y zA

x y zv x y z v x y z v x y z

x y z

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂ ∂⎢ ⎥= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

.

Érdemes memorizálni, hogy a derivált tenzor Amátrixának minden eleme helyfüggő, háromválto-

zós, x,y,z -től függő függvény. Így a derivált tenzor maga is „helyfüggő” ( ) ( , , )A A r A x y z= = .

A derivált tenzor mátrixának invariánsai

A D(v) minden pontjában differenciálható )(rvv = vektormező (vektor-vektor függvény) derivált tenzorának, illetve a derivált tenzor mátrixának alapján a mérnöki alkalmazásokban fontos, a )(rvv = vektormező sajátosságaira jellemző további skalár ill. vektormezők vezethetők be.

1. A divergenciamező

A D(v) minden pontjában differenciálható )(rvv = vektormező r helyi divergenciája egy skalárértéket rendel az r helyvektorhoz. Ha az r helyvektorhoz befutja a ( )vD értelmezési tartományt, akkor a divergencia értékek egy skalármezőt határoznak meg a ( )vD tar-tományban. Az r helyvektorhoz tartozó divergencia értékét előbb koordinátarendszertől függetlenül, „invariáns módon” értelmezzük. Második lépésben megadjuk a derivált tenzor mátrixára támaszkodó koordinátás – bázisfüggő – értelmezést

a.) A divergencia invariáns értelmezése:

Legyen 0 ( )r D v∈ és legyen A∆ egy kis zárt felület 0r körül, a körülzárt térfogat legyen V∆ .

36 / 128

A )(rv vektormező zárt felületre értelmezett felületi integrálja egy összeg határértéke, mely összegben tagokként a tekintett A∆ zárt felület minden egyes kifelé irányított normálissal értelmezett dA felületelem vektorának a szóban forgó felületelem valamely belső pontjában uralkodó v(r) sebességvektor skaláris szorzatai állnak. A felület felosztását minden határon túl növelve a kiadódó határérték értelmezi az alábbi felületi integrált:

·á

,

A kapott integrálkifejezés a )(rv vektormező A∆ zárt felületre vonatkozó fluxusát definiálja.

Ha a kapott fluxus pozitív, akkor a kis A∆ felülettel körülzárt kis V∆ térfogat forrástöbbletes, ha pedig a fluxus negatív, akkor kis V∆ térfogat nyelőtöbbletes. Ezek után az r0 pontbeli divergencia közelítő értékét az r0-at magába foglaló kis zárt A∆ felület V∆ térfogatával való osztás után

01( ) ( )

A

divv r v r dAV ∆

≈ ⋅∆ ∫ .

alakban kapjuk. Az r0 pontbeli divergencia pontos értékét 0V∆ → határátmenettel adódik, midőn a kis zárt A∆ felület az r0 pontra zsugorodik:

0 0

1( ) lim ( )V

A

divv r v r dAV∆ →

∆

= ⋅∆ ∫ .

Taglaljuk a jelzett határátmenet során a szereplő mennyiséget változásának jellegét.

1. 0 A rázsugorodik r pontra∆ , a pontot körülzáró felület nagysága zérushoz tart,

2. Természetszerűen az ( )A

v r d A∆∫ integrálkifejezés is zérushoz tart,

3. Természetszerűen 0skalár

→∆V is fennáll,

4. Ismeretes, hogy a két zérushoz tartó mennyiségből képzett hányadosnak lehet véges határértéke (pl. differenciálhányados), most ez a határérték adja a vizsgált pontbeli divergenciát:

0 0

( )( ) lim

def

V

v r d Adivv r

V∆ →=

∆∫

A kifejezéssel kapott jellemző a vizsgált vektormező r0 pontbeli, fajlagos – azaz térfogategységre számított – fluxusaként azonosítható.

Az elmondottak szerint 0( )divv r az 0r helyvektorhoz rendelt skalár érték az r0 helyi diver-

gencia. A végigvitt gondolatmenetet D(v) minden r pontjára alkalmazva, adódik a )(rv

vektormezőhöz rendelődött

)()(def

rvdivr =ϕ skalármező, amivel a )(rv divergenciamezője be-lépett a vizsgálatunkba.

37 / 128

A most definiált divergenciamező a D(v) egyes pontjaiban zérus értékű lehet, akkor az mondjuk, hogy a )(rv vektormező a szóban forgó pontokban forrás- és nyelőmentes. Szélső esetként lehetséges, hogy ( ) 0, ( )divv r r D v≡ ∀ ∈ akkor azt mondjuk, hogy a )(rv vek-tormező a vizsgált értelmezési tartomány minden pontjában forrás- és nyelőmentes.

b.) A divergencia értelmezése a derivált tenzoron keresztül: Láttuk a korábbiakban, hogy egy differenciálható )(rv vektormező és standard bázisok választása és esetén az r helyen az A(r) derivált tenzor mátrixa az alábbi vektorváltozós, 3x3-as mátrixértékű függvény alakját nyeri:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

x x x

y y y

z z z

v r v r v rx y z

v r v r v rA r

x y zv r v r v r

x y z

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

Az )(rA kapcsolatban áll a ( )divv r divergencia értékkel. Amennyiben az r helyvektorú pontban egy kis téglatartományt helyezünk el, melynek élhosszai rendre dx, dy és dz nagyságúak, akkor kiszámítva az ezen kis téglatartományba beérkező pozitív és kilépő negatív áramok összegét, akkor 0dx → , 0dy → és 0dz → esetén eredményként a

( )( ) ( )yx zv rv r v r

x y z∂∂ ∂

+ +∂ ∂ ∂

differenciálalakzatot kapjuk, ami éppen az r helyi derivált tenzor )(rA mátrixának főátlójában álló elemek összege, vagyis az )(rA mátrix nyoma, melyet Sp )(rA -rel jelölünk(Spur A).. Így tehát:

( )divv r = Sp )(rA = ( )( ) ( )yx z

v rv r v rx y z

∂∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ .

Korábban már bevezettük a i j kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂ vektorjellegű szimbolikus differenciál-

operátort, a „nabla vektort”.

A vizsgált vektormező 4444 34444 21

áll elő bázis jakombinációlin k komponense v a

)()()()(⇐

++= krvjrvirvrv zyx

felírását figyelembe véve, a nabla

vektorral képezett skalár szorzat a következő képletsorra vezet:

( , ) ( , )

( , , )( , , ) ( , , )

x y z

yx zx y z

v i j k v i v j v kx y z

v x y zv x y z v x y zv v vx y z x y z

∂ ∂ ∂∇ = + + + + =

∂ ∂ ∂∂∂∂ ∂ ∂ ∂

+ + = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Tehát div v(r) = ( , ( ))v r∇ .

38 / 128

2. A rotációmező

A tekintett v(r) vektormezőt alkotó képvektorok viselkedését tekintve sok mérnöki feladatban – különösen az áramlástechnikai feladatokban – felmerül a kérdés, hogy a tárgytér egyes pontjai körül (vagy akár összes pontja körül) megvalósul-e a tekintett pontok környezetébe eső tárgyvektorokhoz tartozó képvektorok egymáshoz képesti olyan elhelyezkedése, hogy azok tartó-egyenesei körérintőknek bizonyulnak. A jelzett szituáció a vektormező forgásosságára, örvényes jellegére utal. A forgásosság jellemzése érdekében a v(r) vektor-mező értelmezési tartományának ( )r D v∀ ∈ pontjához )(rv függvény tulajdonságát tükröző újabb vektort rendelünk, azaz előáll egy, ugyancsak a D(v) tartományon értelmezett újabb vektormező, melyet rotációmezőnek nevezünk!

a.) A rotáció invariáns értelmezése:

Konstruáljuk koordinátarendszer-mentesen (invariáns tárgyalásban) a rotáció vektort az 0 ( )r D v∈ pontban. Az eljárás arra épül, hogy az 0r pontra illeszkedő három egymásra

merőleges sík felvételével mindhárom sík esetében elkészítjük rotáció vektor jelzett síkokra merőleges összetevő vektorát. A rotáció vektor a komponens vektorok össszegeként áll elő. Első lépésben az ábra szerin felvett S1 sík n1 normálvektora irányába eső rotációvektor- összetevő 1)( nvrot előjeles nagyságát (skalár nagyságát) adjuk meg. A lépések a következők:

1. r0 körül az S1 síkban kis zárt görbét veszünk fel 2. készítjük a rdrv )( skalárszorzatot, itt rd elenyésző ívelem vektor

3. készítjük az ∫1

)(g

rdrv skalár görbementi integrált (a v(r).dr skalár szorzat!)

4. tekintsük a A∆ felületet, amelyet g1 zár körül

5. zsugorodjon g1 kiindulási 0r pontra! ekkor 0)(lim)(

01

=∫∆

→∆Ag

Ardrv

6. Azonban, mivel ∫∆∆

→∆)(1

)(1 az ,0Ag

rdrvA

A hányados stabil határértékhez

tarthat (ugyanúgy, mint derivált képzéskor)

7. 0

( )1

1

1( ) lim ( )n Ag A

rotv v r d rA∆ →

∆

=∆ ∫ 1

)( nvrot alapján a keresett vektorkomponens

előáll: 11)( nvrot n ⋅

39 / 128

Legyen a tekintett r0 pontban ,231312 és nnnnnn ⊥∧⊥⊥ így ⊥321 ,, nnn egységvektor

rendszer, 22)( nvrot n ⋅ és 33

)( nvrot n ⋅ az 1,…,7 lépések szerint hasonlóképp kiadódik, ezekkel:

0 1 2 3

a 3 egységvektor lineáris kombinációjaa megfelelö skalár együtthatókkal

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )n n nrotv r rotv n rotv n rotv n

⊥

= ⋅ + ⋅ + ⋅14444444244444443

.

Megjegyzés: A rotáció komponensek skalár nagyságát értelmező integrál-kifejezések a tekintett )(rv vektormezőnek a bevezetett három egymásra merőleges S1, S2, S3 síkban fekvő g1,g2,g3 zárt görbék menti cirkulációit jelentik. A görbék valamely pontból indított ívelem-vektorai és a vektormező ottani képvektorainak skalár szorzatai azt mérik, hogy mennyire követik a vektortér képvektorai a kis zárt görbék közel érintőirányú ívelemeit. Érzékelhető, hogy az integrálok akkor adnák a legnagyobb pozítív értéket, ha a vektormező görbe-pontokban értelmezett képvektorainak iránya és értelme rendre egybeesne az ívelem-vektorok irányával és értelmével, azaz a képvektorok körkörös elhelyezkedésűek lennének. Az is érzékelhető, hogy zérus cirkuláció pl. akkor adódna a kis zárt görbékre vonatkozóan, ha minden görbepontban a vektormező ottani képvektorainak iránya rendre merőleges lenne az ívelem-vektorok ottani (érintőleges) irányára, hiszen merőleges vektorok skalár szorzata zérus. Zérus cirkuláció azonban nem csak az előbb említett „sugaras” vektormező esetén adódhat, hanem sok más esetben is megvalósulhat (pl. a kis görbék egyes részein az ívelemekkel ellentétes értelmű vektormező elemek jelenléte is lenullázhatja a skalár szor-zatokat). Minden esetre, ha a )(rv vektormezőnek nincs forgásos(örvényes) jellege r0 –ban, akkor 0( ) 0rotv r = .

b.) A rotáció vektor koordinátarendszerben

Ha v(r) differenciálható, akkor a ( )rotv r a v(r) derivált tenzorával és annak mátrixával kerül

kapcsolatba. A derivált tenzor mátrixának mellékátlóval párhuzamos átlóiban álló elemek sajátos különbségei adja meg a rotáció vektor standard bázison történő felírásához tartozó együttható-rendszerét. A jelzett együttható képzés a következő: az i egységvektor együtthatóját megkapjuk, ha a mátrix harmadik sorának második eleméből kivonjuk a második sor harmadik elemét, majd a j egységvektor együtthatóját megkapjuk, ha az első sor harmadik eleméből kivonjuk a harmadik sor első elemét, végül a k egységvektor együtthatóját megkapjuk, ha a második sor első eleméből kivonjuk az első sor második elemét. Mnemo-technikailag az egyes egységvektorok együtthatóiban szereplő különbség kifejezések kisebbí-tendőit az un. „lóugrás-szabály” alapján képezhetjük: az első együttható kisebbítendője a harmadik sor második eleme, innen indulunk a sakk lóugrásával az első sor harmadik eleméhez ami a második együttható kisebbítendője. A jobb felső sarokból lóugrással érkezünk a második sor első eleméhez, ami a harmadik együttható kisebbítendője.

( ) ; ( )

x x x

y y y y yx xz z

z z z

v v vx y zv v v v vv vv vA r rotv r i j kx y z y z z x x yv v vx y z

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞= = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

40 / 128

A nabla szimbolika alkalmazásával a rotáció vektor vektori szorzat alakban írható fel:

( )( ) ( ) x y zrotv r v r i j k v i v j v kx y z

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ∇ × = + + × + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.

A vektori szorzatot a determináns első sora szerint kifejtve az alábbi

( ) ( ) y yx xz z

x y z

i j kv vv vv vrotv r v r i j k

x y z y z z x x yv v v

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= ∇ × = = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

eredmény adódik, mely megegyezik a rotáció vektornak a derivált tenzor mátrixából történt származtatásakor kapott eredménnyel.

A rotáció vektor bevezetésének következményeit néhány pontba foglalva ismertetjük:

1. A minden r pontban differenciálható ( )v r -vektormezőhöz hozzá rendelődik a ( )rotv r ,

vektormező amely r∀ -hez a ( )rotv r vektort rendeli. Ez utóbbi neve: rotációtér vagy

örvénytér ( ( )rotv r : örvényvektor),

2. Az örvénytér értelmezhetők az ottani áramvonalak, ezek az örvényvonalak. Az örvény-vonal bármely r pontbeli érintővektora az ottani ( )rotv r örvényvektor tartóegyenesére

illeszkedik.

3. Ha ( ) 0rotv r ≡ , r∀ (azonosan zérus r∀ helyen), akkor az eredeti ( )rv vektormező

örvénymentes és létezik olyan )(rϕ skalárpotenciál a ( )rv értelmezési tartományán, hogy r∀ -re ( ))vD( ∈r : )()( rgradrv ϕ= . Tehát a örvénymentes vektormező előáll a hozzá

tartozó skalár potenciálfüggvény gradienstereként .

Jellegzetes integrálredukciós tételek Legyen ( )rv egy vektormező, amely a D(v) értelmezési tartományának minden pontjában differenciálható. Legyen g a D(v)-ben haladó zárt görbe. A következő két tétel sokszor nyer alkalmazást a mérnöki feladatok megoldásában. 1. Stokes tétel

A Stokes-tétel kapcsolatot teremt a vektormező és a hozzátartozó rotációtér (örvénytér) integrál-kifejezései között. Egyrészt a vektormező g görbe mentén számított cirkulációja, másrészt az örvénytér g görbével határolt felületen vett fluxusa kerül relációba. Maga a tétel a két integrálkifejezés tetszőleges g zárt görbe esetén fennálló egyenlőségét mondja ki. Képletben:

( ) ( ) , g ( ) ga v( r ) vektortér g Askalár skalárg görbe menti szorzat szorzatcirkulációja

v r d r rotv r d A D vΓ = = ⋅ ∀ ⊂∫ ∫123 14243.

41 / 128

Ha a g által körülfogott felület egy kicsi A∆ felület n felületi normális egységvektorral, akkor:

( ) ( ( ). ) , g" "g

v r d r rotv r n A kicsi⋅ ≈ ∆∫

2. Gauss-Osztrogradszkij tétel A Gauss-Osztrogradszkij-tétel kapcsolatot teremt a vektormező és a hozzátartozó divergenciamező (mint skalár tér) integrál-kifejezései között. Egyrészt a vektormező D(v) értelmezési tartományában elhelyezkedő zárt A felületen vett, másrészt az vektormező divergenciaterének az A zárt felület által körülzárt V térfogatra számított térfogati integrálja kerül relációba. Maga a tétel a két integrálkifejezés tetszőleges A zárt felület esetén fennálló egyenlőségét mondja ki. Képletben:

dVrvdivdArvA V

szorzatskalár

)( )(∫ ∫=321

Megjegyzés: A térfogati integrál értelmezésekor a vizsgált V térfogatot diszjunkt iV∆ elemekre bontjuk, amelyek egyesítése kiadja V-t. A definiálást lépésekre bontva ismer-tetjük.

1. Tekintsük a NiiV 1=∆ diszjunkt térfogati felosztást: 0, i jV V∆ ∩ ∆ = eseténi j≠

N

i 1 és legyen iV V

=

= ∆U .

2. A ∀∆ iV elemében egy ir egy pont választandó és készíthető az ottani ( )irϕfüggvényérték (skalár) i∀ -re.

3. Integrál közelítő összeg képzése: * ∑=

∆n

iii Vr

1)(ϕ

4. Határátmenet: Ha a iV∀∆ térfogatok tetszőleges módon zéróhoz tartanak és bármely

ir belső pont megválasztásra létezik a * közelítő összeg határértéke, akkor az a határér-ték a skalárértékű )(rϕ függvény V térfogatra vett térfogati integrálját adja:

10

( ) lim ( )n

i in iV Vi

r dV r Vϕ ϕ→∞ =∆ →

= ∆∑∫ .

42 / 128

3. Néhány mérnöki alkalmazás: 1. Felhajtóerő szárnyprofilon: Az ábra szerint a vízszintes folyadékáramlásba egy szárnyprofilt helyeztünk be, amelyhez egységnyi hosszú szárnydarab csatlakozik. A kialakuló kölcsönhátás jellemzője, hogy a profil alsó (hasi-) oldalán az áramvonalak kezdeti (a profil előtti) távolsága megnövekedett és ezért ott sebesség csökkenés és nyomásnövekedés alakult ki, a profil felső (hát-) oldalán pedig az áramvonalak távolsága lecsökkent és ezért ott sebesség növekedés és nyomás csökkenés alakult ki. Az elmondottak alapján p2 > p1 és így a szárnyra nézve felfelé mutató F erő, az un. felhajtóerő működik. A felhajtóerő meghatározása az áramlás sebességi vektorterének a profilt körülvevő zárt g görbe menti gΓ cirkulációjának meghatározásával jutunk.

Tekintsük tehát a )(rv sebességi vektormezőnek a g menti cirkulációját: skalár szorzat

( )gg

v r drΓ = ⋅∫ 14243 .

A szárny egységnyi hosszára működő F felhajtó erő előjeles nagysága a szárny körüli g görbe menti gΓ cirkuláció lineáris függvénye:

,gF vρ= Γ ahol ρ az áramló közeg sűrűsége, v pedig a közeg szárnyprofiltól távoli, megzavarás-mentes sebessége. 2. Örvénygép járókerekének szállító/esés magassága

Folyadékszállítás a szivattyú lapátozott járókerekének forgatása során valósul meg. A járókereket radiális átömlésű esetre vizsgáljuk. Az ábra szerint a járókerékben profilos lapátozás helyezkedik el. Az áramló közeg sebességviszonyainak szemléltetésére mind a belső belépőkörön, mind a külső kilépőkörön feltüntettük a lapátok közti csatornában áramló folyadék sebesség jellemzőit. Az ω szögsebességgel forgó járókerék be- és kilépőkörökön kialakuló abszolút sebességei a kerületi sebességek és a kerékhez képesti relatív sebességek vektoriális eredőjeként adódnak. A szivattyúkerékben a szállított folyadék munkaképessége megnövekszik. Ezt a munka-képesség növekedést a szállított foyadék súlyegységére számítva a szivattyú szállító-

magasságához jutunk. Jele lH , mértékegysége: [ ] Nm mNlH = = . Az így bevezetett

szállítómagasság háromváltozós függvénynek bizonyul: ( )wzfH ll ,,Γ= .

43 / 128

A független változók közül a legösszetettebb fogalmat a lΓ lapátcirkuláció képviseli, amely a szivattyú munkatérben kialakuló áramlás sebességi mezejének alakulásával van meghatározva. Szerepel továbbá a független változók között a kerék konstrukciós jellemzője a z lapátszám, és az aktuális üzemállapot jellemzője az ω szögsebesség. A függvénykapcsolat konkrét alakja az Euler-féle impulzusnyomatéki tétel alapján írható fel:

kl gH Γ=

πω

2

ahol kΓ az abszolút sebességi mező G zárt görbe menti cirkulációja, a kerékcirkuláció,

amelyet ( ) rdrcG

k ∫=Γ képlet értelmez. A G zárt görbe úgy zárja magába a járókereket,

hogy a belépő kör és a kilépő kör mentén halad, azonban a belső és külső kör úgy van összekötve zárt görbévé, hogy az összekötő vonalak egy relatív áramvonal mentén haladnak be és ki a két kör között. A cirkuláció integrál képletében dr elenyésző ívelem vektor szerepel, ennek előjeles nagysága az r sugarú köríves részeken: ϕrdds = . A zárt G görbe menti integrálás során a felmetszési vonalakon ellentétes előjellel azonos tagok lépnek be az integrandusba, tehát ezek összege zérust ad. Elegendő tehát a belső és külső kör mentén integrálni ellentétes előjel figyelembe vételével. Tovább egyszerűsíthető az integrál kisszámítása a lapátok egybevágósága miatt. Elegendőnek bizonyul egyetlen lapátot magába foglaló zárt gl görbén meghatározni a már bevezetett

44 / 128

skalárszorzat

( )lgl

c r d rΓ = ∫ 123

lapátcirkulációt, és ekkor érvényes, hogy a keresett kerékcirkuláció egyszerűen:

ahol a lapátszámk lΓ z zΓ= . A cirkuláció mértékegysége: [ ]s

m2

=Γ

Megj.: 1. Felmerül a kérdés, hogy Hl mikor lesz zérustól különböző? Mivel ll zg

H Γ=πω

2,

ezért a következő 3 mennyiségnek egyidejűleg zérustól különbözőnek kell lennie:

1. kerék aforogjon 0 ⇐≠ω 2. lapátoklegyenek 0 ⇐≠z 3. 0 a lapátok legyenek "terhelt"- ek.lΓ ≠ ⇐

3. Mekkora Hl értéke? Kiszámítjuk a kerékcirkulációt: mivel egyrészt ,uskalárszorzat

cdr c ds=

ahol cu: a c abszolút sebesség kerületi komponensének előjeles nagysága, másrészt a görbe elemi ívdarabjának hossza ϕrdds = és emiatt cdr u uc ds c rdϕ= = ,

így:

( )

2 2

2 10 0

u u uG Gskalár

c r dr c rd c rd c rdπ π

ϕ ϕ ϕ= = −∫ ∫ ∫ ∫ .

Tekintetbe véve, hogy a kerékcirkuláció a fentiek szerint:

2 2 1 1( ) 2 2k u u uG G

c r dr c rd c r c rϕ π πΓ = = = −∫ ∫ a szállítómagasságra a

( )g

rcrcg

H uukl π

πωπω

22

21122 −

=Γ= képletet kapjuk, amit egyszerűsítve kiadóik a híres

2 2 1 1 - !u ul

c u c uH Euler féle képletg−

= Hl mértékegysége: [Hl] = NmN

= m.

3. Forrás- és nyelőmentes vektormező A D(v) értelmezési tartományban a v(r) sebességi mező minden r pontban legyen forrás- és nyelőmentes. A D(v) -ben az r(x,y,z) pontra támaszkodva elhatárolunk egy dx, dy, dz oldalhosszú kis téglatartományt. Az x, y, z koordinátájú pontban a sebesség összetevők előjeles nagysága vx, vy, vz , a vx sebesség összetevő az x+dx, y, z koordinátájú pontban vx +

xv dxx

∂∂

nagyságú, a vy sebesség összetevő az x, y+dy, z koordinátájú pontban vy + yvdy

y∂∂

nagyságú, a vz sebesség összetevő pedig az x, y, z+dz koordinátájú pontban vz + zv dzz

∂∂

nagyságú. A kis téglatestbe időegység belépő differenciális térfogatáramot jelölje dQ1. Ez a következőképp adódik: 1 x y zdQ v dydz v dxdz v dxdy= + + . A kis téglatestből időegység

alatt kilépő térfogatáram dQ2:

45 / 128

2 ( ) ( ) ( )yx zx y z

vv vdQ v dx dydz v dy dxdz v dz dxdyx y z

∂∂ ∂= + + + + +

∂ ∂ ∂.

Abban az esetben, ha a kis téglatestben sem forrás sem nyelő nem helyezkedik el, akkor dQ1 – dQ2 = 0, behelyettesítés és a lehetséges egyszerűsítések elvégzése után a

0yx zvv v dxdydz

x y z∂⎛ ⎞∂ ∂

− + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠.

Kifejezés adódik, ami a dxdydz térfogat zérustól különbözősége miatt csak a zárójelben megjelent differenciálhányados összeg zérus értéke esetén lehetséges. Mivel pedig a jelzett differenciálhányados összeg éppen a v(r) sebességi mező x, y, z pontbeli divergenciáját adja, ezért a D(v) -ben forrás- és nyelőmentes vektormező esetén divv(r)=0 kell, hogy legyen bármely r(x,y,z) pontban.

4. A vektormező örvényessége

A )r(v vektormező rotáció terére a ( )rotv r jelölést vezettük be. Megjegyezzük, hogy a

rotáció teret az angol-szász szakirodalomban gyakran ( )curlv r vel jelölik.

Legyen a tekintett sebesség mező síkbeli, éspedig a konstans szögsebességű forgásnak megfelelő sebességi mező (egy forgó tárcsa)

46 / 128

Az r -helyi )(rv sebesség összetevőinek előjeles negyságát az ábra alapján könnyen megadhatjuk:

2 2

2 2 2 2, ( sin ) , cosx y

y xr r x y v v v v v vx y x y

α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = + = − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Figyelebe véve, hogy most v rω= a vx és vy ra a következő eredményt kapjuk:

2 2 2 2

2 2 2 2 , x y

y xv x y y v x y xx y x y

ω ω ω ω= − + ⋅ = − = + ⋅ =+ +

Tekintsük a

rotációvektor definiáló összefüggését:

k

yv

xv

jxv

zvi

zv

yv

vvvzyx

kji

rvrot xyzxyz

zyx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

=4342143421

00

)(

A síkbeli eset miatt az i és j bázisvektorok együtthatói zérusok, csak a k bázisvektor együtthatója lesz zérustól különböző. Figyelembe véve és x yv y v xω ω= − = a deriváltak

kifejezései a következők lesznek:

( ) , ( ) .y xv vx yx x x x

ω ω ω ω∂ ∂∂ ∂

= = = − = −∂ ∂ ∂ ∂

Ezek alapján

( ) 2 ,y xv vx x

ω ω ω∂ ∂

− = − − =∂ ∂

amiből ( ) 2rotv r kω= Kaptuk tehát, hogy a forgó tárcsa rotációmezeje homogén, minden r

pontban a ( ) 2rotv r kω= vektorral jellemzett!

47 / 128

5. Inomogén rotáció mező:

A rotáció tér általános esetben nem homogén. Előfordulhatnak szinguláris helyek, ahol a rotáció vektormező nem folytonos, sőt diszkrét pontra is szorítkozhatnak szingularitások Példa erre a potenciálos örvény sebességi vektortere. A ( )v r sebességeloszlás legyen az ábra szerint síkbeli!

A v sebesség abszolút értéke , ahol a vizsgált pont sugara.cv rr

= A v vektoriális felírása:

( ) ( x ) ( x )cv r v k r k rr

= =

Tekintsük most az örvény középpont körül két köríves és két radiális oldallal kijelölt kis zárt G-görbére számított GΓ cirkulációt:

0)()(skalár

=+⋅+

+⋅−==Γ ∫ ϕϕ ddrrdrr

cdrrcrdrv

GG 321 .

A korábbi tárgyalásunkban bevezetett Stokes-féle integrál redukciós tétel szerint érvénes,

hogy:

( ) ( ) 0GG A

v r d r rotv r d AΓ = = =∫ ∫ .

48 / 128

A fentiek szerint bármely olyan esetben, amikor a g görbe nem zárja körül az origót a vektormező cirkulációja zérus, ebből pedig következik, hogy ha r zérustól különböző, akkor ott ( ) rotv r = 0.

Ezzel ha 0≠r , megvan a rotációmentesség, és )(rϕ∃ skalárpotenciál, amelyre )()( rgradrv ϕ=

Kimutatjuk, hogy az origó a rotációtér szinguláris pontja. Az origó körüli bármely g0 körön ugyanis a cirkuláció a következő:

( ) ∫ ∫ ⋅===Γog dr

o crdrcrdrv

π

πϕ2

0

vektorokpárhuzamos

ésskalár

2321

A rotáció invariáns értelmezése a mostani síkbeli esetben az egyetlen

0

1( ) lim ( )o AG

rotv r v r drA∆ →

∆

=∆ ∫

kifejezésre vezet. A tárgyaltaknak megfelelően most mivel 2A r π∆ = , képezve az r minden határon túli csökkentése esetén adódó határértéket a

2 20 0

1 2lim limr r

G

c crdr r r

πϕπ π→ →

∆

= = ∞∫

eredményre jutunk így az origóbeli rotáció végtelen értékkel jellemzett.

6. Elektrodinamikai alkalmazás

Az elektromágneses folyamatok fizikai kezelését a Maxwell egyenletek teszik lehetővé. A jelen tárgyalásban csak érintjük ezt a kérdéskört, megadva, hogy mely fizikai mennyiségek kerülnek bevezetésre öt vektormezőként, melyek általános esetben R4 → R3 leképezést valósítanak meg. A tárgytér dimenziója azért 4 mert a 3 térkoordinátához hozzájön a negyedikként az időkoordináta. Az első 4 Maxvell egyenlet parciális differenciálegyenlet-rendszert képvisel az ismeretlen mezőfüggvények meghatározására

A tárgyaláshoz a következő térben és időben változó (négy független változós) vektormezőket kell tekintetbe venni:

1. Elektrosztatikus térerősség: [ ]mVE );,( =trE

2. Mágneses térerősség: [ ]mAH );,( =trH

3. Mágneses indukció: [ ] 2mVsB );,( =trB

4. Dielektromos eltolás: [ ] 2mAsD );,( =trD

5. Áramsűrűség: [ ] 2

A( , ); Im

I r t =

49 / 128

Kiegészítő mennyiségek:

1. Dielektromos állandó: [ ]VmAs ; =εε

2. Mágneses permeabilitás: [ ]AmVs ; =µµ

3. Vezetőképesség: [ ]Ωm

1 ; =γγ

4. Töltéssűrűség: [ ] 3mCb ; =ρρ

A Maxwell egyenletek az alábbi parciális differenciálegyenletek:

I. DrotH It

∂= +

∂

II. BrotEt

∂= −

∂

III. 0=Bdiv IV. ρ=Ddiv

A kiegészítő algebrai egyenletek:

V. [ ]rEEHED +=== γµε I ;B ; , itt Er: külső elektrosztatikus mező

VI. 321skalárskalár 2

121 BHDEW ⋅+⋅=

50 / 128

3.Függvénysorozatok és függvénysorok

A korábbiakban foglalkoztunk már függvénysorozatokkal, további tárgyalásunk előké-szítéseképp idézzük most fel az ott mondottakat: Legyen [a,b] ; és legyen ezen értelmezett az f1(x), f2(x),… függvénysorozat, melyet röviden az ∞

=1)( ii xf jelölés azonosít. Az alábbi ábra bemutatja egy szigorúan monoton függvénysorozatnak a konvergenciáját az f0(x) határ-függvényhez. Az ábra olyan esetet mutat, amikor a függvénysorozat egyenletesen is konvergál a határfüggvényéhez, az f0(x) határfüggvény mely ezért folytonos is (sőt egyenletesen is folytonos ) az [a,b] zárt intervallumon.

A függvénysorozatok konvergencia-viszonyaival kapcsolatban idézzük fel, hogy az [a,b] zárt intervallumbeli x „helyek” tekintetében négy fajta konvergencia-eset teljesülése vizsgálható. Ezek szerint a függvénysorozat lehet:

1. egy adott [ ]bax ,0 ∈ helyen: „az x0 pontban” konvergens, 2. [ , ]iegynél több x a b ben∈ − , de nem minden [a,b]-beli x-ben konvergens,

3. [ , ] x a b ben∀ ∈ − konvergens, 4. [ , ] egyenletesenx a b ben∀ ∈ − konvergens.

Az 1.) és 2.) esetekben a függvénysorozat elemeinek a konvergencia-helyen(helyeken) felvett helyettesítési érték számsorozata(i) konvergens(ek), határértéke(ik) kirajzolja(ják) a határ-függvény jelzett x-nél(eknél) érvényes értékét(értékeit) és 3.) és 4.) esetekben a határfüggvény minden [a,b]-beli x-re értelmezett. Az egyenletes konvergencia fennállása jelenti a legked-vezőbb esetet, ezért felidézzük definícióját

Definíció: Az ∞=1)( ii xf függvény sorozat az [a,b] intervallumon egyenletesen konvergál az

)(0 xf határfüggvényhez, ha tetszőlegesen kicsi 0>ε -hoz megadható olyan csak ε -tól függő

)(0 εn küszöbindex, hogy ha )(0 εni ≥ akkor

b][a,x )()( 0 ∈∀<− εxfxfi esetén.

Megjegyzés: Ha ∞=1)( ii xf 4.) szerint egyenletesen konvergál az [a,b] intervallumon az )(0 xf

határfüggvényhez, akkor természetesen a 3) szerinti ][a,bx ∈∀ -beli konvergencia is teljesül.

51 / 128

)()(

.

.)()()()(

)()()()()(

1

.

3213

212

11

∑=

=

++=+=

=

k

ii

def

k xfxs

xfxfxfxsxfxfxs

xfxs

A függvénysorozatok konvergencia-problémáját a hatványfüggvényekből álló sorozat jel-legzetes példáján célszerű szemléltetni. Tekintsük az alábbi hatványfüggvényeket a [0,1] intervallumon, akkor ezekre a minden x-re fennálló, illetve az egyenletes konvergencia fenn-állását biztosító intervallumot pontosan megadják az alábbi jobb oldali két pontba foglalt információk.

102

2

0

( ) 0 h a 0 x 11 ) [0 ,1 ] (x ) , x [0 ,1 ]

( ) 1 h a x 1 . d e a k o n verg en cia n em eg yen le tes ,. 2 ) [0 ,1 - ]; 0; ( ) 0 x [0 ,1 - ],

( ) d e itt fen n á ll az eg yen le tes k o n verg eii

f x xx f

f x x

x f xf x x

ε ε ε

= ⎫ ≤ ≤⎧∈ = ∀ ∈⎪ ⎨= =⎩⎪⎪

⎬⎪ ∈ > = ∀ ∈⎪⎪= ⎭ n cia

A viszonyokat az alábbi ábrában is szemléltetjük.

A függvénysor – mint ismeretes – egy függvénysorozat elemeinek az összeadás jelével való összekapcsolásával keletkezik. Mindenkor van tehát egy ∞

=1)( ii xf kiindulási függvény soro-

zat. Ennek elemiből készítjük ezekből az ∞=1)( kk xs újabb függvény sorozatot a következő

részletösszegekkel:

Látható, hogy ∞=1)( kk xs csak akkor lehet bizonyos x-eknél

konvergens, ha a képzéséhez felhasznált ∞=1)( ii xf függ-

vénysorozat elemei a tekintett x-eknél zérushoz tartanak, azaz 0)(lim =

∞→xfii

fennáll.

52 / 128

A hatványsor képzéséhez a kiindulási (alap) az együtthatóval ellátott hatványfüggvényekből, mint elemekből felépülő következő függvény sorozat: ,....,, 2

110 xaxaa ⋅⋅ Ennek az alap függ-vénysorozatnak a részletösszegeivel kapjuk a hatványsort:

( ) ∑∑∞

=∞→

∞

=

⋅=∞⋅

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅++⋅+=

⋅+⋅+=⋅+=

=

0n0

10

21102

101

00

lim HATVÁNYSOR :sor alakú

...)(

)()()(

i

iin

i

ii

nnn

xaxsxa

xaxaaxs

xaxaaxsxaaxs

axs

M

Felmerül a kérdés, hogy mely x értékek esetén lehet konvergens a hatványsor?

1. Biztos, hogy bármely hatványsor 0=x -ra konvergens, 2. Előfordulhat, hogy a hatványsor x∀ ∈ -re konvergens (ez lehetséges, a legjobb eset), 3. Ha 0 0r∃ > , hogy a hatványsor ott konvergens, akkor minden 0x r< -ra is konvergens.

A 3. pont szerinti ⊆− ),( 00 rr intervallum a hatványsor konvergencia-intervalluma. Ha egy hatványsor az ),( 00 rr− nyílt intervallumban konvergens, akkor a következő tulajdonságok bizonyíthatók:

1. 0rx <∀ esetén abszolút konvergens, azaz ∑∞

=

⋅0i

ii xa is konvergens.

2. ∀ ),( 00 rrI −⊂ esetén a hatványsor egyenletesen is konvergens.

3. ∀ ),( 00 rrI −⊂ esetén a hatványsor tagonként integrálható.

4. 0rx <∀ esetén a hatványsor tagonként deriválható.

Megjegyzés: Nyilvánvaló, hogy konvergens hatványsor esetén az együtthatók 1

ii i

a x∞

= soro-

zatának zérushoz kell tartania, azaz lim ( ) 0iii

a x→∞

= . (Ekkor 01,i

i ia x l

∞

=∈ ahol l0 a zéróhoz

tartó sorozatok lineáris tere)

Taylor sorok

A mérnöki munkában sokszor felmerül, hogy egy tekintetbe jövő )(xf függvény bonyolult képlettel meghatározott szerkezetű, szeretnénk ezért ezt a függvényt az ],[0 bax ∈ hely valamely – ha lehet tág – környezetében hatványsorral leírni vagy megközelíteni véges hatványösszeggel (polinommal). Legyen tehát a vizsgálandó )(xf függvény végtelen sokszor differenciálható (teljesen sima) függvény az ],[ ba intervallumon.

Általában alacsony fokszámú polinom közelítésre törekszünk. Például egy adott f(x) függvény az adott x0 hely környezetében közelíthető egy igen kis környezetben az f(x0) helyettesítési értékkel. Az elfogadható közelítés x-beli intervallumát már szélesíti az x0-helyi érintő egyenessel történő közelítés. Tovább javul (szélesedik) az elfogadható közelítés x-beli inter-valluma az x0-hely körül, ha olyan másodfokú közelítő komponenst is bevezetünk, amelynek az x0-helyi görbülete közelítőleg megegyezik eredeti )(xf függvény x0-helyi görbületével.

53 / 128

Az elmondott közelítő függvényeket és a megfelelő közelítés x-beli intervallumait az alábbi ábra mutatja:

A fentiekben az x0-helyen érvényesített konstans, x-ben lineáris, x-ben másodfokú közelítések általános formában jelentősen javíthatók a következők szerint. Véges n esetén az 0x pontban n-szer differenciálható )(xf függvény az 0x pont r0 sugarú 00

( )rS x környezetében az )(xf

x0-helyi i = 0,1,2,…,n –edrendű deriváltjainak beépítésével képzett együtthatókkal felírt n-edfokú polinommal közelíthető:

∑=

−≈n

i

ii

xxi

xfxf

00

0)(

)(!

)()(

Ezt a polinomot az )(xf függvény 0x pontbeli n-edfokú Taylor-polinomjának nevezzük. Ha

ez az összeg n→ ∞ esetén konvergens, akkor a kapott végtelen sort az )(xf függvény az 0xpontbeli Taylor-sorának nevezzük. A Taylor-féle sorfejtés egy mérnöki munkában fontos alkalmazását a következő példa mutatja be. Legyen adott egy nemlineáris, de néhány rendben differenciálható függvény az [a,b] intervallumon. Legyen a feladat az 0)( =xf algebrai egyenletet megoldása. A feladat mű-szaki természetéből következőleg legyen biztosított a gyök létezése az [a,b] intervallum egy belső pontjában, sőt álljon rendelkezésre egy becsült (feltételezett) gyökhely. Ilyen feltételek figyelembe vételével készítsük el az )(xf függvény x0 helyi T2(x) másodfokú Taylor-poli-nomját. Keressük a gyökhely jobb 0x -nál jobb közelítését.

A felírt T2(x) másodfokú Taylor-polinom zéróra redukálása után adódó másodfokú egyenlet zárt alakú *

1 xx ≈ (vagy *2 xx ≈ ) megoldása a keresett gyök jobb közelítését szolgáltatja.

· 2! · 2

54 / 128

Trigonometrikus Fourier-sorok

A mérnöki munkában, főként a dinamikai rendszerek elemzésében fellépő lengéstani felada-tok megoldásában igen sokszor van szükség periodikus függvények alkalmazására. Ismeretes, hogy az )(xf függvényt T-periodikusnak nevezzük, ha , ( )x x T D f∀ ± ∈ esetén

( ) ( )f x T f x± = . A T-periodikus függvény azon sajátosságát, hogy az egymástól T távolságra lévő abszcisszáknál felvett függvényértékek megegyeznek, az alábbi ábra szemlélteti

A periodikus )(xf -et „kikeverjük” különböző körfrekvenciájú és fázisszögű szinusz és ko-szinusz függvények lineáris kombinációjaként.

∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

10

2sin2cos~)(k

kk xT

kbxT

kaaxf ππ .

Kérdés: 1. Milyen , k ka b együtthatók mellett lehetséges?

2. ka és kb )(xf -ből kell, hogy származzon?

Az )(xf -ből és a szinusz-koszinusz függvényekből együtthatókat konstruálunk.

∫ ←=T

dxxfT

a0

0 )(1 a függvény integrálátlaga.

∫ ==Tdef

k kdxxT

kxfT

a0

....,2,1;2cos)(2 π

∫ ==Tdef

k kdxxT

kxfT

b0

....,2,1;2sin)(2 π

1. Ha )(xf folytonos (és így integrálható), akkor az ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++

10

2sin2cosk

kk xT

kbxT

kaa ππ

sor x helyi konvergencia fennállása esetén előállítja )(xf -et.

2. Ha )(xf nem folytonos valamely 0x helyen, de 0

lim ( )x x

A f x+

→ +∃ = jobboldali határér-

ték és 0

lim ( )x x

A f x−

→ −∃ = baloldali határérték, akkor az

0 0 01

2 2cos sin .2k k

k

k k A Aa a x b xT T

π π + −∞

=

+⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥⎣ ⎦∑

55 / 128

pl.: Az alábbi „négyszöghullám” függvény perodikus, és legyen x0 az egyik szakadási hely. Az ábra mutatja a Fourier-sorfejtés alapharmonikusát és a harmadik felharmo-nikusának hozzá vételével adódó közelítést.

Az ábrán bejelöltük az x0 helyen az f(x) bal és jobb oldali határértékeit, az A- és A+ értékeket.

Előnytelen tulajdonsága a trigonometrikus Fourier sornak, hogy a sorba fejtendő négy-szöghullám függvény több taggal (most páratlan tagok) való közelítése esetén a diszkon-tinuitási helyeken fellépő „túllendüléses” Gibbs-féle jelenség

A Fourier együtthatók véglegességi relációja:

A Fourier-sor képzésekor sorozatosan el kell készíteni a sorba fejtendő a T-periodikus f(x) függvény Fourier-együtthatóit. Az n-edik felharmonikusig bezárólag képzett sor esetén általános integrálható f(x) függvény közelítésekor 2n+1 számú együttható jön szóba – ezek az

0 1 1 2, ,... , , ,...n na a a b b b valós számok – melyeket egyelőre ismeretlen paramétereknek tekin-

tünk. A vizsgált együtthatókat célszerű egy 2n+1 dimenziós p = [ 0 1 1 2, ,... , , ,...n na a a b b b ]T paramétervektorba foglalni. Képezzük ezek szerepeltetésével az

0 1 1 2 01

2 1

2 2( , , ,... , , ,... ) ( , ) cos sinp R

n

n n n n k kk

n

k kF x a a a b b b F x a a x b xT T

π π∈

=

+

⎡ ⎤= = + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑

644474448p

56 / 128

n-edrendű trigonometrikus polinomot. Ezen paramétervektor elemeit egyelőre határozatla-noknak tekintjük, és konkrét értékük meghatározását a legkisebb négyzetes kritérium alapján eszközöljük, nevezetesen azon paramétervektor elemeket tekintjük „kedvezőeknek” amelyek mellett képzett trigonometrikus polinom és a sorba fejtendő f(x) függvény eltérésének négyzetre emelésével adódó függvénynek a [0,T] intervallumon való integrálásával kiadódó érték a lehető legkisebb az alábbi képlet szerint:

2

0

( ) min!

( ) ( ) ( , ) min!T

n

p

f x F x dx

Φ =

⎡ ⎤Φ = − =⎣ ⎦∫14444244443

p p ; 2 1nR +=p .

Tehát olyan p vektort kell keresni, hogy azon a 2n+1 változós ( )Φ p függvény legyen a

minimum! Ezzel szélsőérték-feladatra jutottunk. A lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele a felírt integrál-kifejezésnek a p vektor elemei (komponensei) szerinti első parciális deriváltjainak (közös) eltűnése. Ezen deriváltak közös eltűnésének követelménye első gondolatunk szerint egy 2n+1 egyenletből álló lineáris egyenletrendszer megoldásának feladatát jelentené. Az ilyen egyenletrendszer megoldása kitöltött együtthatómátrix esetén nem a legkönnyebb feladat, kiváltképp, ha nem numerikusan, hanem függvény elemekkel kell dolgozni. A mostani feladatunk azonban egyszerűbbé válik mivel a kiadódó együttható mátrix egyszerű alakú un. diagonálmátrix lesz, és az egyes paraméterek (a keresett Fourier együtthatók) egy ismeretlenes egyenletekből számíthatók. A főátlón kívüli elemek zérus volta a szereplő T -periodikus trigonometrikus függvények alkotta függvényrendszer ortogonalitásából következik. Az integrandusban szereplő négyzetes kifejezést az alap önmagával való szorzásával kiszámítva (minden tagot minden taggal szorozva) sok tagból álló kifejezés integrálására jutunk. A képletben az f(x) függvénnyel kapcsolatba nem lépő tagokban szereplő integrál kifelezésekre az

0

2 2sin cos 0, ,T i j dx i j N

T Tπ π

= ∀ ∈∫

összefüggés érvényes, ezért a megmaradó tagok az alábbi kifejezésekre vezetnek:

2 2

0

2 2

0

2 22 ( ) cos( ) cos ( ) 0, 0,1,2,...,

2 22 ( ) sin( ) sin ( ) 0, 1,2,...,

T

i ii

T

i ii

i if x a x a x dx i na T T

i if x b x b x dx i nb T T

π π

π π

∂ ⎡ ⎤− + = =⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦∂ ⎡ ⎤− + = =⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

∫

∫

Kiszámítva a parciális deriváltakat és figyelembe véve, hogy a szereplő koszinusz négyzetes tag integrálja i = 0 esetén T értéket, míg a koszinusz négyzetes és szinusz négyzetes tagok i > 0 esetén T/2 –értéket ad, egy ismeretlenes egyenletek rendszerét (2n+1 számú egyenlet) kapjuk a kívánt Fourier-együtthatók meghatározására:

57 / 128

0

0

0

22 ( )cos( ) 2 0, ha 0

22 ( )cos( ) 2 0, ha 1,2,...,2

22 ( )sin( ) 2 0, ha 1,2,...,2

T

i

T

i

T

i

if x x dx a T iT

i Tf x x dx a i nT

i Tf x x dx b i nT

π

π

π

− + = =

− + = =

− + = =

∫

∫

∫

Rendezés után adódnak a szokásos trigonometrikus Fourier-együtthatók:

00 0

0

1 2 2( ) , ( )cos( ) , 1,2,...,

2 2( )sin( ) , 1,2,...,

T T

i

T

i

ia f x dx a f x x dx i nT T T

ib f x x dx i nT T

π

π

= = =

= =

∫ ∫

∫

A fentiekből kiviláglik, hogy az n-edrendű trigonometrikus polinomhoz tartozó első 2n+1 Fourier-együttható nem változik, ha tovább növeljük a közelítő trigonometrikus polinom rendszámát n+1, n+2,… stb. értékekre. Az számítások elején meghatározott Fourier-együtthatók véglegesek, azok az újabb közelítést adó tagok belépésével nem változnak, ugyancsak az újonnan belépő további Fourier együtthatók nem függenek a korábban meghatározottaktól.

Általános „ϕ - Fourier sorok”

Korábbi tárgyalásunkban foglalkoztunk az unitér lineáris terekkel. Ott az unitér lineáris teret, mint adott skalárszorzattal ellátott vektorteret azonosítottuk. Unitér térként ismertük fel a valós számtest felett értelmezett , három-dimenziós euklidészi teret. Ezen tér elemei rendezett számhármasok, két elem és azok skalár szorzata az alábbi összefüggéssel meg-határozott:

1 1 3

2 21

3 3

, ( , ) , ( , )def

ni i

i

x yx yx y R R S x y x yx y =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ∈ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ .

Vezessük be a szokásos standard bázist ban az

1 2 3

1 0 00 ; 1 ; 00 0 1

e e e⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Jelölésekkel, amely az euklidészi norma alkalmazásával szemmel láthatóan ortonormált, azaz

skalár szorzataikra érvényes, hogy: .

( , )def

i j ijS e e δ= =0, 1,

58 / 128

Legyen mármost x egy tetszőleges elem, mely részletesebb felírással az 1

2

3

xxxx

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

rendezett számhármasként jelenik meg. Ennek előállítása a bevezetett e1, e2, e3 bázison egyértelmű 332211 ecececx ++= alakban, ahol c1, c2 és c3 a bázis-előállítás együtthatóit jelöli.

Az egyértelműen meghatározott ic együtthatók a következőképpen adódnak az 332211 ecececx ++= bázis-előállítás mindkét oldalának rendre az e1, e2 és e3 báziselemekkel való skalár szorzása és az ortonormáltság figyelembe vételével:

0 0

1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1

1 0 0

2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2

3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).

S x e c S e e c S e e c S e e c c S x e

S x e c S e e c S e e c S e e c c S x eS x e c S e e c S e e c S e e c c S x e

= + + = ⇒ =

= + + = ⇒ =

= + + = ⇒ =

14243 14243

A kapott kifejezések alapján előáll egy jellegzetes lineáris kombináció, amely már „mintegy előre jelzi” az általános Fourier-sor esetében is érvényesülő struktúrát:

1 1 1 1 2 2 1 3 3( ) ( ) ( )x S x e e S x e e S x e e= + + 3

11

( )i ii

x S x e e=

= ⋅∑ .

A fenti három dimenziós eredmények általánosíthatók az , lineáris tér esetére, ekkor az ∈x elem előáll az neee ,...,, 21 standard (ortonormált) bázison, amelyre a Kronecker-féle

1 0 ij

ha i jha i j

δ=⎧

= ⎨ ≠⎩ szimbólum szerepeltetésével érvényes, hogy ( , )i j ijS e e δ= . Az x elem most a

következő alakban írható fel:

1( , )

n

i ii

x S x e e=

= ⋅∑ .

Itt is el lehet mondani, hogy az n-dimenziós elem előállítására kapott kifejezés struktúrája már a következőkben tárgyalandó általános Fourier- sor alakjához igen hasonló, annak „véges” változata

Ortonormált függvényrendszerrel készített „ϕ -Fourier sor”

Korábbi tárgyalásunkban bevezettük az ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

∞<∈∈= ∫ dxxfRxCxfxfbaLb

a

22 )(,,)(:)(]),([

függvényteret, mely végtelen dimenziós unitér lineáris tér volt, amely rendelkezett a teljesség tulajdonságával is. Elemei az [a,b] intervallumon abszolút értékeik négyzetével integrálható valós változós komplex értékű függvények voltak. Az unitér térben bevezettük a skalár szorzatot az

.

( ( ), ( )) ( ) ( )bdef

a

S f x g x f x g x dx C= ⋅ ∈∫

59 / 128

képlettel. Valamely f(x)∈L2([a,b]) függvényt egy megszámlálhatóan végtelen elemű L2([a,b]) –beli ortonormált függvényrendszer (egy ortonormált végtelen függvénysorozat) segítségével fogjuk előállítani, éspedig a jelzett függvényrendszer elemeinek komplex együtthatós lineáris kombinációjaként. Az L2([a,b]) –beli ortonormált függvényrendszert jelölje ∞

=1)( ii xϕ.Megköveteljük, hogy ez a függvényrendszer rendelkezzen a ”teljesség” tulajdonságával is, mely tulajdonságot alább definiálunk majd.

A ∞=1)( ii xϕ teljes ortonormált függvényrendszer jellemző tulajdonságai a következők:

1. [ ]2 esetén ( ) ( , )ii N x L a bϕ∀ ∈ ∈

2. Skalárszorzat , esetén: i j N∀ ∈ .

( ( ), ( )) ( ) ( )bdef

i j i ja

S x x x x dxϕ ϕ ϕ ϕ= ⋅ ∈∫

3. Az elemek páronként ortogonálisak és normáltak

( ( ), ( ))i j ijS x xϕ ϕ δ= =0, 1,

4. Van norma L2([a,b])-ben: 12( ) ( ( ), ( ))x S x xϕ ϕ ϕ= ∈ ,

5. A tekintett függvénysorozat normált: 1( ) elemére ( )i iix xϕ ϕ∞

=∀ = 1,

6. Az ortogonális függvényrendszer teljességét most definiáljuk: a ∞=1)( ii xϕ függ-

vénysorozat teljes ortonormált rendszer, ha a ∞=1)( ii xϕ az zéróelemén kívül nem

bővíthető olyan 0)( ≠xψ elemmel, hogy ( ( ), ( )) 0iS x xϕ ψ = i∀ -re teljesüljön.

A teljes ortonormált rendszer jelölése: T.O.N.R. A felsorolt tulajdonságok alapján valamely T.O.N.R a bázis szerepét töltheti be az ]),([2 baL -ben. Az a helyzet ugyanis, hogy a függ-vényrendszer elemeinek páronkénti ortogonalitása maga után vonja a sorozatból kiválasztott minden elemrendszer lineáris függetlenségét. Az olvasóra bízzuk annak belátását, hogy az

]),([2 baL tér zéróelemének a T.O.N.R. elemeinek lineáris kombinációjával való előállítása a T.O.N.R. elempárjainak ortogonalitása miatt csak triviálisan – azaz csupa zérus együtthatóval – lehetséges. Az elmondottakból következően érvényes a következő

Tétel: Bármely ]),([)( 2 baLxf ∈ egyértelműen előáll a ∞=1)( ii xϕ T.O.N.R. segítségével

ϕ -Fourier sorával =)(xf1

( ( ), ( )) ( )i ii

S f x x xϕ ϕ∞

=

⋅∑ alakban. A sorelőállításba együtthatók-

ként belépett skalár szorzatokból álló 1( ( ), ( ))i i

S f x xϕ ∞

= (komplex) számsorozat elemeit az

f(x) függvény „ϕ -Fourier–együtthatói” sorozataként azonosítjuk. Az így kapott együttható sorozata érvényes, hogy lim ( ( ), ( )) 0ii

S f x xϕ→∞

= .

60 / 128

Alkalmazás T-periodikus függvényre

Tekintsünk egy [0,T]-ben adott függvényt, amelyet egy T-periodikus függvény egy periódushossznyi részét jeleníti meg. Legyen érvényes, hogy 2( ) ([0, ])f x L T∈ . Tekintsük a

...,2,1,0,1,2...,)( −−== kT

exxi

k

kω

ϕ valósváltozós, komplexértékű függvények sorozatát.

Itt 0 1

20 =ésTπω ω= az alapharmonikus körfrekvenciát szolgáltatja. Könnyű belátni, hogy

( ( ), ( ))i xi x jk

k j kje eS x x

T T

ωω

ϕ ϕ δ= =0, 1, .

Teljesül mindek k, j indexpár esetén, és hogy az ortogonális függvényrendszer teljes is. Ezzel

a bevezetett ( )i x

k kk

kexT

ω

ϕ+∞

+∞

=−∞=−∞

⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭függvényrendszer teljes ortonormált rendszer.

Adódik az )(xf komplex Fourier sora:

1

2( ) ( ( ), ) ;i x i x

kk

k ke ef x S f x k kTT T

ω ω πω ω+∞

=−∞

= ⋅ = ⋅ = ⋅∑ ,

ahol a skalár szorzatok adta komplex Fourier együtthatók sorozata az alábbiak szerint alakul:

22

2

( ) ; ... 2, 1, 0, 1, 2, ...

T k xT

kT

ec f x dx kT

π−

−

= = − −∫ .

Egyes mérnöki alkalmazásokban némiképp más formában jelenik meg a komplex Fourier sor,

mivel a sorfejtés alakja 1

2( ) ;i xk

k

kkf x c e k k

Tω πω ω

+∞∗

=−∞

= ⋅ = ⋅ = ⋅∑ , vagyis a T-periodikus

f(x) függvényt a különböző körfrekvenciájú i xke ω elemi komplex harmonikusok lineáris kombi-nációja formájában jeleníti meg. Valójában azonban az általunk tárgyalt T.O.N.R. működik a háttérben, mivel az általunk levezetett

( ) ( ( ), )i x i x

k

k ke ef x S f xT T

ω ω+∞

=−∞

= ⋅∑

kifejezés átalakítható:

1( ) ( ( ), ) ( ( ), )i x i x

i x i x i x

k k k

k kk k k

k

e ef x S f x S f x e e c eT T T T

ω ωω ω ω

+∞ +∞ +∞∗

=−∞ =−∞ =−∞

= ⋅ = ⋅ = ⋅∑ ∑ ∑

amiből pedig:

61 / 128

0

1 1( ( ), ) ( ) , ... 2, 1, 0, 1, 2, ...T

i x i xk kkc S f x e f x e dx k

TT Tω ω−∗ = = = − −∫ .

A tárgyalt 1

n

j jϕ

=függvényrendszer, mint az L2([a,b])-beli teljes ortonormált rendszer

(T.O.N.R.) átveszi a bázis szerepét (elemei lineárisan függetlenek), és generálja is a végtelen dimenziós L2([a,b] lineáris unitér és teljes függvényteret. Példák: 1. A „ϕ - Fourier sor” mint trigonometrikus Fourier-sor

Láttuk fentebb, hogy az elemi fazorokból felépített i x

j

jeT

ω +∞

=−∞

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

függvényrendszer T.O.N.R.

az L2([a,b]) függvénytérben és valamely T-periodikus f(x) függvény előáll „ϕ - Fourier sor”-

ával: ( ) ( ( ), ( ) ) ( )j jj

Fourieregyütthatók

f x S f x x xϕ

ϕ ϕ+∞

=−∞−

= ⋅∑ 14243alakban, ahol az

2

2

( ( ), ( )) ( )

Ti jx

jT

eS f x x f x dxT

ω

ϕ−

−

= ⋅∫

(komplex) számok adják az f(x) függvény

ϕ -Fourier–együtthatóit. Beírva ezeket a sor képletébe, előáll a mérnöki analízisekben sokszor használt sorelőállítás, azaz f(x)-nek elemi komplex harmonikus függvények végtelen lineáris kombinációjaként való előállítása:

2 2

2 2

1 1( ) ( ) ( ) .

T Ti jx

i xi x i x i xj j j

j j iT T

c Cj

jj

ef x f x e dx f x e dx e c eTT T

ωωω ω ω

+∞ +∞ +∞− − ∗

=−∞ =−∞ =−∞− −

∈∗

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑∫ ∫144424443

Az alkalmazásokban a T-periodikus függvény nagyon sokszor valós értékű. Ez nem befolyá-solja a levezetett komplex Fourier-soros előállítás alkalmazási lehetőségét. Egyszerű gondolatmenet

mutatja, hogy valós értékű függvények speciális esetében a j és –j indexekhez tartozó valósértékű

jω és jω− körfrekvenciák között az ellentétes irányú forgás miatt az jω−

= jω− összefüggés áll fenn, így a két tekintetbe vett körfrekvenciához konjugált komplex

elemi fazorpár tartozik, azaz: i x i xj je eω ω− = . Tekintetbe véve az együtthatókat származtató

0

1 ( ) ; ... 2, 1, 0, 1, 2, ...T

i jxjc f x e dx j

Tω∗ −= ⋅ = − −∫

integrál kifejezéseket, azonnal adódik, hogy a jc∗ és jc∗− komplex együtthatók között pedig a

jc∗− = jc∗ összefüggés áll fenn. Így jc∗

− a jc∗ ismeretében az utóbbi komplex konjugáltjaként

számítható. Az elmondottak szerint a sorkifejtésben megjelenő összes ellentétes előjelű index-párra: i x i xj j

j jc e c eω ω−∗ ∗− = ezért érvényes, hogy összegük szükségképp valós értékű, képletben:

( )2Rei x i x i xj j jj j jc e c e c e Rω ω ω−∗ ∗ ∗

− + = ∈ . Így a sor összege is valós értékű lesz.

A T-periodikus függvények Fourier soros közelítésének gyakorlati alkalmazásakor az összegzésben természetszerűen véges N tagszámra szorítkozva számolunk, oly módon, hogy

62 / 128

N elég nagy legyen a sor végszeletének elhanyagolásához, az *

1

i xj

j N

jc e ω ε∞

= +

≤∑ követelmény

teljesüléséhez. Végül is a T-periodikus valós f(x) függvény

közelítő sorfejtése véges N -ig a következő alakot ölti:

( )N

i x

j N

jif x c e ω

+∗

=−

≈ ∑ , ahol: 2

j jTπω = ; , j j j jc cω ω ∗ ∗

− −= − = .

2. Nem trigonometrikus „ϕ - Fourier sor”

Eddigi általános tárgyalásunk megengedte, hogy tetszőleges teljes ortonormált 1

n

j jϕ

=

függvényrendszert alkalmazzunk L2([a,b]) bázisaként. Ezt kihasználva a wavelet–technika az eddig alkalmazott trigonometrikus ill. fazoros bázis helyett lokalizált elemekkel kialakított bázist alkalmaz. Ez azt jelenti, hogy az eddig alkalmazott bázisok mínusz végtelentől plusz végtelenig értékes (nem zérus) függvényértékeket szolgáltató elemei helyett olyan T.O.N.R.-ek bevezetése jön szóba, amelyeknek elemei a teljes számegyenes egy megadott rövid tartó-intervallumon kívül gyorsan zérushoz tartanak, vagy azonosan zérus értéket vesznek fel a teljes ortonormált rendszer elemei. Ez a tulajdonság azzal a jelentős előnnyel jár, hogy a megközelítendő f(x) függvény lokális tulajdonságait követő báziselemek alkalmazhatók, és nem kell a közelítésnél a különböző (növekvő) körfrekvenciájú periodikus bázisfüggvények igen nagy tagszámú összegével megközelíteni a pl. csekély változást mutató, vag akár egy hel környezetében csúcsosan kiugró f(x) függvényt. Az L2([a,b])-beli ortonormáltság köve-telményét nem csupán folytonos, de szakadásos függvényrendszer is kielégíthet. Így vannak folytonos és szakadásos wavelet bázisok. A klasszikus wavelet magyar találmány! Haar Alfréd 1909-ben Kolozsváron dolgozta ki az őróla elnevezett, és a [0,1] zárt intervallumon egy elem kivételével szakadásos (lépcsős) függ-vények alkotta teljes ortonormált függvényrendszert. Ez a nevezetes Haar-rendszer. Az aláb-biakban diagramokkal adjuk meg a rendszer első nyolc elemét, melyekből a képzési szabály már jól látható. A rendszer normáltsága és ortogonalítása szemlélettel belátható.

63 / 128

A Haar-féle T.O.N:R. -t Haar-wavelet-rendszernek is nevezik, ez adta az alapját a ma már igen fejlett wavelet-technikának. A Haar-féle függvényrendszer eredményesen alkalmazható véges N számú báziselem használatával valamely folytonos ( )f x függvény lépcsős közelí-tésére (a [0,1]-en egyenletesen konvergáló függvénysort kapunk a Haar-rendszer szerinti sorfejtéssel). Az alábbi ábra jól szemlélteti a lépcsős függvények lineáris kombinációjával való közelítés alakulását, és azt, hogy az N elemszám növelésével „vonalvastagságon belülre” közelíthetjük a folytonos függvény görbéjét.

A wavelet technikában igen sok további hasznos bázist dolgoztak ki. Itt csupán a mérnöki szempontból fontos, az R-en folytonos elemű Shannon-Kotyelnyikov ortonormált rendszert említjük:

sin( ( ))( )( )i i

i

x ixx i

πκπ

∞∞

=−∞=−∞

⎧ ⎫−= ⎨ ⎬−⎩ ⎭

, ezzel ( ) 2( ( ), ( )) ( ), ( ) ( )i ii

f x S f x x x ha f x L Rκ κ∞

=−∞

= ∈∑ .

64 / 128

4. Differenciálegyenletek és integrálegyenletek Függvényegyenletek

Először foglalkozzunk az általánosabb kérdéskörrel a függvényegyenletekkel. A függvény-egyenletek ismeretlene egy )(xy függvény adott ⊆I intervallum feletti teljes menetében. Példaként legyen (0, ) ,I = ∞ keresendő olyan )(xy függvény, amelyre tetszőleges Ixx ∈21,esetén fennáll az )()()( 2121 xyxyxxy +=⋅ összefüggés. A feladat könnyen adódó megoldása az

lny x= függvény, mivel a logaritmus függvény tulajdonságai alapján 1 2 1 2ln( ) ln lnx x x x⋅ = + . A megoldásfüggvény grafikonját az ábra mutatja

Differenciálegyenletek

Definíció: Az )(xy ismeretlen függvény különböző rendű deriváltjaiból (zérórendű derivált maga az )(xy ) és adott további függvényekből konstruált függvényegyenletet differenciál-egyenletnek nevezzük.

Osztályozás: közönséges: az ismeretlen )(xy egyváltozós az ismeretlen függvény parciális: az ismeretlen ),...,,( 21 nxxxy többváltozós az ismeretlen függvény lineáris: az ismeretlen függvényt és deriváltjait legfeljebb az első hatványon tartalmazza

nemlineáris: amelyiknél az ismeretlen függvény és/vagy deriváltjai magasabb hatványon vagy nemlineáris függvény argumentumában szerepelnek.

rendszám: az ismeretlen függvényre nézve előforduló legmagasabb rendű derivált rend-száma.

Integrálegyenlet

Definíció: Az )(xy ismeretlen függvény mellett az ismeretlen függvény integrálját és egyéb megadott függvényeket tartalmazó függvényegyenletet integrálegyenletnek nevezzük.

Integro-differenciálegyenlet

Definíció: Az )(xy ismeretlen függvény különböző rendű deriváltjait és integrál-kifejezéseit, valamint egyéb megadott függvényeket tartalmazó függvényegyenletet integro-differenciál-egyenletnek nevezzük.

65 / 128

Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek

A differenciálegyenletek közül egyszerűsége miatt kiemelkedik a közönséges skalárértékű ismeretlen y(t) függvényre vonatkozó elsőrendű, nemlineáris differenciálegyenlet.

1. Legyen )(ty az ismeretlen függvény, ennek első deriváltja legyen )(ty& 2. Az differenciálegyenlet meghatározottságához ismert kell, hogy legyen a feladatot

lényegileg meghatározó ),( ytf kétváltozós függvény.

3. A differenciálegyenlet azáltal fogalmazódik meg, hogy az f függvény y változója helyére a t független változóhoz tartozó y(t) függvényértéket helyettesítve megköveteljük, hogy az f(t,y(t)) számérték egyezzen meg az ismeretlen függvény t helyi deriváltjával. Tehát az explicit differenciálegyenlet ))(,()( tytfty =& alakban áll elő, keresendő mármost azon

)(ty függvény (a megoldásfüggvény), amelyre az ))(,()( tytfty =& egyenlőség It ∈∀ ese-tén (azonosan) fennáll.

4. A differenciálegyenlet bal oldalán a t helyi )(ty& derivált számértéke, az ismeretlen )(tyfüggvény t helyi érintőjének iránytangense. Ezt az iránytangenst a differenciálegyenletet meghatározó jobb oldalon álló kétváltozós ),( ytf függvény szolgáltatja a (t,y) érték párhoz:

))(,()( tytfty =& , ),(),( ytftg yt =α . Az elmondottakból következik, hogy ezzel az f(t,y)

függvény T értelmezési tartományának (t,y) koordinátapárú pontjaihoz hozzárendeltünk egy

( , )t yα szögértéket is. Ha most sok pontjában a t tengelyhez képest ( , )t yα .szögű rövid egyenes

szakaszokat rajzolunk, akkor a T tartományt sok kis irányelemmel ruháztuk fel. Rátekintve az így kapott T-beli iránymezőre, a megoldások lehetséges alakulását szemünk „ki interpolálja”. Olyan függvényvonalak lehetnek a megoldások, amelyek minden pontjukban érintenek irányelemet, mintegy áramvonalakként simulnak bele az irányelemek „sebességi mezejébe”.

66 / 128

A tekintett differenciálegyenletnek végtelen sok megoldása van, mert az iránymező által meghatározott módon végtelen sok, általában egymást nem metsző áramvonal húzható be az irányelemek által meghatározott viszonyoknak megfelelően. Ismételten figyeljünk fel arra, hogy az irányelemeket a jobb oldali kétváltozós függvény szolgáltatta iránytangensük megha-tározásával, tehát ezen jobb oldali kétváltozós függvény hordozza a differenciálegyenletbeli kapcsolatrendszer meghatározó információit.

Mérnöki feladatok során a végtelen megoldáshalmazt beszűkítése szükséges további feltételek előírásával. Ezen feltételek mellett már egyértelmű megoldásfüggvényt nyerünk a mérnöki feladat megoldásához.

Jelöljünk ki egy t0 független változó értéket, és hozzá egy y0 értéket, úgy hogy a (t0,y0) pár legyen eleme a differenciálegyenlethez tartozó T tartománynak, azaz fenn kell állnia a (t0,y0)∈T relációnak. Írjuk elő továbbá, hogy a differenciálegyenlet megoldásfüggvénye a kijelölt t0 helyen vegye fel az előírt y0 értéket, vagyis teljesüljön, hogy 00 )( yty = . A t0 független változó értéket és az y0 függvényértéket a differenciálegyenlet előírt kezdeti értékeinek nevezzük. A differenciálegyenletet (d.e.) és az előírt kezdeti értékeket (K.É.) együtt kezdeti érték problémának (K.É.P.) nevezzük az táblázat szerint:

))(,()( tytfty =& d.e.K.É.P.

00 )( yty = K.É.

Magasabb-rendű differenciálegyenlet kezelése

Az eddig vizsgált elsőrendű differenciálegyenlet explicit volt, amelynél a legmagasabb rendű derivált ki volt fejezve a baloldalon. Természetszerű, hogy felléphetnek olyan esetek, amikor az elsőrendű differenciálegyenletben nincs, vagy nem lehet kifejezni a deriváltat a bal oldalra. Ekkor implicit differenciálegyenletről beszélünk, ennek alakja elsőrendű egyenlet esetén agy alkalmas háromváltozós F függvény bevezetésével:

IttytytF ∈∀≡ ;0))(),(,( & -re.

Sok esetben a mérnöki feladat megoldása során természetszerűen lép be implicit diffe-renciálegyenlet, amely azonban additív tagok esetén könnyen explicitté tehető. Például nagyon sokszor állunk szemben a dinamikában alapvető lineáris gerjesztett és csillapított oszcillátor mozgásegyenletével, melynek alakja

( ) ( ) ( ) ( ) 0my t dy t sy t g t+ + − =&& & ,

itt tehát egy négyváltozós függvénnyel meghatározott 0))(),(),(,( ≡tytytytF &&& implicit másod-rendű differenciálegyenlettel állunk szemben. Az egyenletben m a tömeg, d a csillapítási tényező, s a merevség, g(t) pedig az oszcillátort gerjesztő külső erő időfüggvénye. Most azonban az ismeretlen y(t) függvény legmagasabb rendű deriváltja – most második derivált – kifejezhető a bal oldalra:

[ ]1( ) ( ) ( ) ( )y t dy t sy t g tm

= − − +&& & .

67 / 128

Ezzel egy másodrendű explicit differenciálegyenletre jutottunk: ))(),(,()( tytytfty &&& = . A jobb oldalon most egy háromváltozós függvény lépett be, amely magába olvasztotta a differenciál-egyenlet paramétereit és a g(t) gerjesztő erőt is. A probléma kezelése érdekében érdemes az ismeretlen függvény deriváltjából és magából az ismeretlen függvényből egy kétdimenziós lineáris térbeli értékeket felvevő skalárváltozós vektor-értékű függvényt képezni, amelynek alkalmazásával a másodrendű differenciálegyenlet problémát elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerre vezetjük vissza.

Legyen tehát két új függvény . .

1 2( ) ( ) , ( ) ( )def def

x t y t x t y t= =& definícióval és vegyük tekintetbe,

hogy egyrészt érvényes az [ ]( ) ( )

1

2 1

( ) ( ) ( ) ( , ( ) , ( ))x t x t

dx t y t y t f t y t y tdt

= = =& & && & összefüggés, másrészt

pedig írható, hogy [ ]2 1( ) ( ) ( ) ( )dx t y t y t x tdt

= = =& & . Ezek alapján bevezetjük az

1 2

2

( )( )

( )x t

x t Rx t

⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥

⎣ ⎦ állapotvektort, melynek deriváltja már szolgáltatja a számunkra érdekes

differenciálegyenlet-rendszert: 1

2 1

12

( ) ( , ( ), ( )( )

( )( )

d x t f t x t x tdtx td x tx tdt

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

& . A jobb oldali vektor-

értékű függvény nyilvánvalóan ( , ( ))t x tΦ alakba írható, hiszen a t független változó és az x t vektor 1 2( ) ( ) és ( ) ( )x t y t x t y t= =& koordinátafüggvényei szerepelnek a felírásban. Ezzel a helyettesítéssel nyert elsőrendű differenciálegyenlet‐rendszer az ismeretlen x t vektorfüggvényre vonatkozó következő alakot nyeri:

))(,()( txttx Φ=& .

A kapott vektoros elsőrendű differenciálegyenlet-rendszernek is végtelen sok megoldása van. A mérnöki probléma kezeléséhez azonban pontosan egy meghatározott megoldásra van szükség. Ez az esetek csaknem mindegyikében megvalósulhat a 3T R⊂ tartományban megválasztott t0, x10, x20 kezdeti érték hármas előírásával a t0 kezdeti független változó érték esetén az x t megoldásfüggvény két komponense az x1(t0) = x10 és x2(t0) = x20 kezdeti értékekkel indul. A most kapott elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert (D.E.R.) és az előírt kezdeti értékeket (K.É.) együtt most is kezdeti érték problémának (K.É.P.) nevezzük az alábbi összefoglaló táblázat szerint:

))(,()( txttx Φ=& D.E.R

K.É.P.⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

20

1000 )(

xx

xtx K.É.

68 / 128

A differenciálegyenlet megoldhatósága

Az eddigiekben feltételeztük, hogy a vizsgált differenciálegyenlet megoldható. Ez azonban általában minden feltétel nélkül nem biztos. Elegendő az elsőrendű explicit differenciál-egyenletekkel foglalkozni. Mint mondottuk a jobboldali f(t,y) függvénynek van meghatározó szerepe a differenciálegyenlet szerkezetében. A következőkben a teljes D értelmezési tartományban megszabott feltételnek eleget tevő differenciálegyenletre vonatkozó kezdeti érték probléma megoldhatóságáról szól a Cauchy és Peano nevéhez fűződő következő Tétel: Legyen az ),( ytf függvény folytonos a korlátos és zárt -beli D tartományon. Legyen

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0

0

yt

p a kezdeti értékek vektora. Ha p Int D∈ (p a D belsejébe esik), akkor az

00 )(),(

ytyytfy

==&

kezdeti érték probléma (K.É.P.) megoldható.

A tétel tehát csupán a jobb oldalon szereplő f(t,y) döntő szereppel bíró függvény foly-tonosságát kívánja meg a K.É.P. megoldhatóságához, miközben a kezdeti értékek alkotta p vektornak a D tartomány belsejébe kell esnie (azaz nem eshet D határára). Az alábbi ábrán jellegfelülettel szemléltetjük a folytonos f(t,y) D feletti alakulását. A tétel csak a K:É:P: megoldhatóságáról ad állítást, tipikus egzisztencia tétel. A megkívánt folytonossági feltétel nem biztosítja a K.É.P. megoldásának egyértelműségét. Az alábbi ábra mutatja, hogy adott kezdeti vektorral meghatározott pontból esetleg több megoldás is kiindulhat.

A K.É.P. megoldás egyértelműsége

Az egyértelműség biztosításához az f(t,y) jobboldal-függvény tulajdonságainak a D-ben megkívánt folytonosságon túli további megszorítása szükséges. A következő definíció adja meg a D-beli folytonosságon túl megkövetelt szigorúbb tulajdonságot:

Definició: azt mondjuk, hogy az ),( ytf függvény a D tartományon az y változóban kielégíti a Lipschitz-feltételt, ha megadható olyan ∞<< L0 (Lipschitz- állandó), hogy

DytytyyLytfytf ∈∀−≤− ),(),,(;),(),( 212121 .

69 / 128

Mindjárt látható, hogy ha az f(t,y) függvény a D-ben az y változó szerint differenciálható, és

ez a derivált egyenletesen korlátos a ( , ) ; ( , )f t y K t y Dy

∂≤ ∀ ∈

∂követelmény szerint, akkor

az f(t,y) függvény a D-tartományban a Lagrange-féle középértéktétel érvényesülése miatt automatikusan kielégíti a Lipschitz-feltételt. Ezen y-szerinti parciális derivált függvény D-feletti korlátossága elégséges feltétel a Lipschitz-feltételhez, ami sok dinamikai alkalmazásban mérnöki szemmel „ránézésre” megállapítható pl. az erőkapcsolati függvények változási jelle-gének ismeretében.

A következőkben a Picard és Lindelöf nevéhez kapcsolódó fontos unicitás-tételt tételt vonjuk vizsgálatunk körébe a kezdeti érték probléma további elemzésében. Ez a tétel elégséges feltételt fogalmaz meg a K,É.P. megoldhatóságának egyérteleműségére, amennyiben a Cauchy-Peano tétel feltételei teljesülnek és a K.É.P. megoldása létezik.

Tétel: Ha ),( ytf folytonos a korlátos és zárt ⊂D tartományon, és y változójában kielégíti a

Lipschitz-feltételt, akkor DIntyt

p ∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0

0 esetén a K.É.P. egyértelműen megoldható.

A tétel állításának megfelelő szituációt az ábra szemlélteti, berajzolva a D korlátos és zárt tartományt és annak belső pontjaként felvett (t0,y0) kezdeti koordinátapárt, valamint a K.É.P. egyértelmű 0 0( , , )y t t y megoldásfüggvényének görbéjét

A Lipschitz feltétellel, mint a K.É.P. egyértelmű megoldhatóságának elégséges (de nem szükséges) feltételével kapcsolatban a következő megjegyzéseket tesszük:

1. A Lipschitz feltétel az iránymező-generáló ),( ytf függvény „nyugodt” alakulását biz-tosítja.

2. Az egyértelmű megoldhatóság közvetlen beláthatósága a már korábban mondottakból

következik, nevezetesen ha( , ) ; ( , )f t y K t y Dy

∂≤ ∀ ∈

∂akkor ),( ytf automatikusan

kielégíti a Lipschitz-feltételt. Az ),( ytf függvény jellegfelületének mérnöki szemlélettel való tanulmányozása alapján a Lipschitz-feltétel teljesüléséhez elégséges feltételt jelentő korlátosság közvetlenül belátható!

70 / 128

A mérnöki problémamegoldások során a feladat nagyon gyakran – szinte mindig – a fentiekben tárgyalt skalár esettől eltérően egy ismeretlen y(t) vektor-skalár függvényre vonatkozó elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerre vezet. Legyen tehát adott az ( ) ( , ( ))y t f t y t=& elsőrendű

differenciálegyenlet-rendszer az ismeretlen ( )y t ∈ vektor skalár függvényre vonatkozóan, ahol

most az „iránymezőt” az :f vektor-vektor függvény határozza meg. A t0 kezdeti abszcisszához most az

0y ∈ kezdeti vektor tartozik, melyek úgy vannak megválasztva,

hogy a t0 kezdeti abszcisszát hozzávéve az 0

y h-hoz, az így kiadódó (t0, 0)y ∈ kezdeti

vektor most az n+1 dimenziós korlátos és zárt D tartomány belső pontja legyen. Az 0

y ∈

vektor koordinátáit oszlopvektoros felírással adjuk meg:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

ny

yy

yty

0

02

01

00 )(M

.

Az elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer jobboldali függvényére vonatkozó Lipschitz- feltétel, az u.n. „vektoros” Lipschitz-feltétel a következő követelmények kiszabásával adódik.

2 1 2 1 2 1( , ) ( , ) ; ( , ), ( , ) ;f t y f t y L y y t y t y D D− ≤ − ∀ ∈ ⊂ .

A vektoros Lipschitz-feltétel teljesülése elégséges feltétel a vektoros K.É.P. egyértelmű megoldásához, ha a (t0, 0

)y ∈ kezdeti vektor az n+1 dimenziós D tartomány belsejéből

lett megválasztva. A vektoros K.É.P. megoldásfüggvényének koordinátáit n = 4 esetén az alábbi ábra szemlélteti.

Ismét hangsúlyozzuk, hogy Lipschitz-feltétel elégséges feltétel a K.É.P. egyértelmű megold-hatóságához, azonban nem szükséges; azaz akkor is lehet a K.É.P-nek egyértelmű megoldása, ha a Lipschitz-feltétel nem teljesül.

71 / 128

Ekvivalens integrálegyenlet

Az 00)(;))(,()( ytytytfty ==& kezdeti érték problémához hozzátartozik az ∫+=t

t

dssysfyty0

))(,()( 0

integrálegyenlet. A két matematikai feladat ekvivalens abban az értelemben, hogy ha egy

),,( 00 ytty függvény megoldása a K.É.P.-nek, akkor ez az ),,( 00 ytty megoldása az integrál-egyenletnek is, és megfordítva. Amennyiben a szereplő f(t,y) függvény teljesíti a Lipschitz- feltételt, akkor az integrálegyenlet megoldása függvénysorozat határfüggvényeként nyerhető. A függvénysorozat képzése a következőképp történik:

1 0( ) ,y t y=

2 0 10

( ) ( , ( )) ,t

t

y t y f s y s ds= + ∫

3 0 20

( ) ( , ( )) ,

t

t

y t y f s y s ds= + ∫M M

1 00

( ) ( , ( )) ,

t

k kt

y t y f s y s ds+ = + ∫M M

Az így kapott ∞=1)( ii ty függvénysorozat )(lim)(0 tyty ii→∞

= határfüggvénye a K.É.P. megoldása

lesz, amennyiben az ),( ytf függvény a D felett kielégítette a Lipschitz-feltételt. A konstans kezdő függvénytől indított függvénysorozatot, mely az 0 ( )y t határfüggvényhez, azaz a K.É.P. megoldásához konvergál, az alábbi ábrán szemléltetjük.

Néhány speciális differenciálegyenlet típus

Lineáris differenciálegyenletek

A mérnöki gyakorlatban igen sok alkalmazást találnak a lineáris differenciálegyenletek, ame-lyek esetében az ismeretlen )(ty függvény és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szere-pelnek (ez esetben sokszor ”első fokú” differenciálegyenletekről beszélünk).

72 / 128

1. Állandó együtthatós n-edrendű lineáris differenciálegyenlet 1.1. Homogén esetben nincs külső zavarás, ezért a differenciálegyenlet jobb oldalára az

azonosan zérus függvény kerül:

Itttyatyatya nn

nn ∈∀=+++ −

− ,;0)(...)()( 0)1(

1)( .

1.2. Inhomogén esetben van külső zavarás, amelyet az )(tf bemeneti „input” függvény,

vagy gerjesztő függvény valósít meg: Itttftyatyatya n

nn

n ∈∀=+++ −− ,;)()(...)()( 0

)1(1

)( . 2. Változó együtthatós n-edrendű lineáris differenciálegyenlet

A mérnöki feladatok egy részében időben vagy térben változó paraméterű (parametri-kusan gerjesztett) rendszerek vizsgálata kerül előtérbe, különösen, ha a rendszert hosszú idejű viselkedését kell analizálni. A változó paraméterű lineáris differenciálegyenletekkel megoldható feladatok jelentkeznek a rugalmasságtanban is, nem időjellemző, hanem térjellemző független változós függvények belépésével. 2.1. Homogén esetben itt is azonosan zérus a jobb oldal, azonban az ismeretlen függvénynek

és deriváltjainak együtthatói most adott (ismert) ( )ia t , ni ...,2,1,0= függvények:

( ) ( 1)

1 0( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0 ; , .n nn na t y t a t y t a t y t t t I−

−+ + + = ∀ ∈

2.2. Inhomogén esetben a jobb oldalon megadott )(tf bemeneti „input” függvény, vagy gerjesztő függvény jelentkezik, az ismeretlen függvénynek és deriváltjainak együtthatói most is az adott (ismert) ( )ia t , 0,1,2,...,i n= függvények:

)(;,;)()()(...)()()()( 0)1(

1)( taItttftytatytatyta i

nn

nn ∈∀=+++ −

−

Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek

A következő tárgyalásunkban nagyobbrészt a mérnöki gyakorlatban sokszor fellépő állandó együtthatós egyenletekkel foglalkozunk részletesebben. A változó együtthatós esetre jellemző nagy fontosságú példát a Bessel-féle differenciálegyenlet vizsgálatával tárgyalunk.

A differenciálegyenletek egyszerűbb, operátoros kezeléséhez vezessük be ismét a dpdt

=

differenciáloperátort. A p operátor n-edik hatványa is operátor, mely a p operátor n-szeri

egymás után való alkalmazását írja elő. Tehát: 2

22. ( ) .

( )d d dp p pdt dt dt

= = = Hasonlóan

folytatva: 11

11 2

1. .... ( .... ) .( ) ( )

nn nn

nn n

d d d d d dp p p pdt dt dt dt dt dt

−−

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Ezek alapján:

[ ] [ ]2

2 12

( ) ( ) ( )( ) ( ), ( ) ( ),..., ( ) ( ). n

n nn

dy t d d y t d d y t dy t py t py t p y t p y t p y tdt dt dt dt dt dt

−⎡ ⎤= = = = = =⎣ ⎦

Az operátoros

írásmóddal tehát

a vizsgált

73 / 128

ttyatyatya nn

nn ∀=+++ −

− ;0)(...)()( 0)1(

1)(

homogén lineáris differenciálegyenlet

0

, :

( ) ( ) ( ) 0 ; n

ii n

i

operátorértékűpolinom jele Ln

a p y t L p y t t=

= = ∀∑123

alakba írható az Ln(p) operátor értékű polinom bevezetésével. Könnyű belátni, hogy az Ln(p) operátor homogén lineáris (azaz összeg- és aránytartó) tulajdonságú az n-szer differenciálható függvények lineáris terén

A fenti differenciálegyenlet végtelen sok megoldásfüggvénye szükségképp az n -szer differenciálható függvények lineáris terében (mely most függvénytér) fekszenek. Emeljük ki, hogy a szóban forgó lineáris tér (függvénytér) zéróeleme az „azonosan nulla függvény”. Képezzük ezen lineáris tér egy jellegzetes alterét az )( pLn operátor segítségével!

Tekintsük az I intervallum felett értelmezett n-szer folytonosan differenciálható függvények lineáris terében az 0)()(:)()( ≡= tfpLtfM npLn

halmazt. Ez a halmaz bizonyíthatóan a

jelzett függvénytér lineáris altere. Ezen lineáris altér neve: az )( pLn operátor magtere. Fela-datként tűzzük ki ezen )( pLn

M magtér bázisának megkeresését. Emlékeztetünk a bázist alkotó elemek tulajdonságaira:

1. Generátorrendszert alkotnak a lineáris térben, 2. Lineárisan függetlenek.

A két feltétel teljesítését tekintve e lineáris függetlenség ellenőrzése okoz nehezebb feladatot. Ennek megoldására a Wronski-féle függvénydetermináns ad lehetőséget.

Definíció: Legyen az 1 2( ), ( ),..., ( )nf t f t f t függvények mindegyike 1−n -szer differenciál-ható az [a,b] intervallumon. Képezzük a következő függvény-determinánst:

1 2

1 2

( 1) ( 1) ( 1)1 2

( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ... ( )

( ) ....

( ) ( ) ... ( )

n

n

n n nn

f t f t f tf t f t f t

W t

f t f t f t− − −

′ ′ ′=

M M M

A bevezetett függvénydetermináns neve: Wronsky-determináns.

A Wronsky-determináns definíciójának megfelelően egyváltozós W(t) függvény az [a,b] intervallum felett, és viselkedése alkalmas az függvényrendszer lineáris függőségi viszonya-ival kapcsolatos kijelentések megtételére a következők szerint:

1. Ha valamely [ ]bat ,0 ∈ -ben fennáll, hogy 0)( 0 ≠tW , akkor az )(,...),(),( 21 tftftf n

függvényrendszer lineárisan független. 2. Ha az )(,...),(),( 21 tftftf n függvények lineárisan összefüggő függvényrendszer, akkor

0)( ≡tW teljesül.

74 / 128

A két utóbbi állítás jelentésének érzékeltetésére legyen az alábbi körrel jelképezve az összes, az [a,b] intervallumon n-1-szer differenciálható függvény serege. Jelképezze baloldalon rajzolt csökkenő hold alakú tartomány azon függvény n-esek sokaságát, amelyek lineárisan összefüggőek. Kimutatható, hogy ezen lineárisan összefüggő függvény n-esek esetében a Wronsky-determináns az [a,b] intervallumon azonosan zérus értéket vesz fel. Mivel a csökkenő hold alakú tartomány tartalmazza az összes lineárisan összefüggő függvény n-est, ezért a körtartomány azon részének, amely a bal oldali csökkenő hold alakú tartomány elhagyásával keletkezik, az [a,b] feletti összes olyan függvény n-est kell tartalmaznia, amelyek lineárisan függetlenek. Az utóbbi lineárisan független függvény n-esek egy részére (nem az össszes lineárisan független függvény n-esre) igaz, hogy a Wronsky-determináns függvényük valamely [a,b] -beli t0 helyen nemzérus értéket vesz fel. Ez utóbbi tulajdonságú lineárisan független függvény n-eseket az ábrában a jobboldali, növekvő hold-karéj alakú tartomány jelképezi.

Az elmondottakból a következő tulajdonságok hangsúlyozandók: 1. A Wronsky-determináns valamely t0 ∈[a,b] helyen nem-zérus értéke maga után vonja a

tekintett függvény n-es lineáris függetlenségét 2. Valamely függvény n-es akkor is lehet lineárisan független. Ha a Wronsky-deteminánsa

azonosan zérus az [a,b] -felett. 3. Azonban ha valamely függvény n-es lineárisan összefüggő, akkor Wronsky-determinánsa

azonosan zérus az [a,b] -intervallumon.

A Wronsky-determináns nem zérus voltának ellenőrzése alkalmat teremt a tekintett függvény-rendszer lineárisan független voltáról való megbizonyosodásra. Ezzel, ha rendelkezésre állhat egy lineárisan független )(21 )(,...),(),( pnLn Mtytyty ∈ függvényrendszer (egyben generátorrend-

szer) , amely bázist képez a differenciálegyenlet )( pLn operátorának )( pLnM magterében, akkor

pedig a differenciálegyenlet tetszőleges megoldása ezen a bázisfüggvényekkel egyértelműen felírható a báziselemek lineáris kombinációjaként

Rctycty i

n

iii ∈= ∑

=

;)()(1

alakban. Az ttypLn ∀=⋅ ;0)()( differenciálegyenlet általános megoldását kaptuk, ez egy végtelen

elemű függvénysereg, mert a Rci ∈ együtthatók tetszőlegesek.

75 / 128

Az előzőekben tárgyalt lineárisan független generátorrendszernek válasszuk az ( ) tiiy t eλ=

i=1,2,…,n függvényeket alkalmas λ i értékek mellett. Az itt szereplő exponenciális függvé-nyek alkalmas kitevőit az alábbi gondolatmenet szolgáltatja: Tekintsük az )()( typLn ⋅ =0 egyenlet egyelőre index nélküli lambdával felvett tety λ=)( felté-

telezett megoldását. A feltételezés szerint tehát ( )t

L pne Mλ ∈ . Ellenőrizzük ezt deriválással:

t t

n t n t

pe e

p e e

λ λ

λ λ

λ

λ

=

=M

Behelyettesítve a kapott deriváltakat a megoldandó differenciálegyenletünkbe a ?

0

0

0 ; 0n

i t ti

ia e eλ λλ

=

⎛ ⎞ = ≠⎜ ⎟⎝ ⎠∑14243

egyenlet adódik, amelyben teλ soha sem lehet zérus, ezért a szereplő 00

an ii

iλ∑ =

=polinomnak

az un. karakterisztikus polinomnak kell zéró értéket felvenni. Ez az egyenlet gyökhelyeinél történik meg. A nλλλ ,...,, 21 általában komplex gyökök meghatározhatók (a létezésüket az algebra alaptétele biztosítja).

Ha a iλ értékek különbözőek (egyszeresek), akkor a , ,..., tt t1 2 ne e eλλ λ függvények bázist alkot-

nak )( pnLM -ben. Ekkor tetszőleges )(ty megoldás előállítható – éspedig egyértelműen – a

bázisfüggvények 1

( )n

ti

i

iy t c eλ

=

= ∑ lineáris kombinációjaként. Mivel az n -számú ci együttható

tetszőleges megválasztása esetén is megoldás adódik, ezért a homogén lineáris differen-ciálegyenlet-rendszer végtelen elemű (kontinuum számosságú) megoldásseregéhez érkeztünk.

Ha a karakterisztikus egyenletnek van többszörös gyöke is, azaz pl. iλ k -szoros gyök, ekkor

ebből a iλ -ből a következő k -számú ( ) ( ) ( )1, , ... , t t tki i ie te t eλ λ λ−

lineárisan független megoldás adódik, így az a k db. partikuláris megoldás nyilvánvalóan beléphet a bázisba! Definició: Az )( pLn

M magtér bázisát a differenciálegyenlet alaprendszerének nevezzük.

Az inhomogén egyenletek esetén megjelenik az inhomogenitást okozó jobb oldalon szereplő adott f(t) függvény, melyet zavarófüggvénynek, gerjesztőfüggvénynek, inputfüggvénynek nevezünk a rendszeranalízisben betöltött szerepük alapján. Az egyenlet az )()()( tftypLn =⋅ alakot ölti. Az

ábra jól mutatja a mérnöki rendszer f(t) input és y(t) output függvényét. Most R = ( )nL p .

76 / 128

Az n-edrendű állandó együtthatós ( ) ( ) ( )nL p y t f t⋅ = lineáris inhomogén differenciálegyenlet

esetében keresett az egyenlet ),( ctY általános megoldása, ami a nRc∈ miatt egy végtelen elemű függvénysereg.

Az inhomogén egyenlet általános megoldásának meghatározásához először az egyenlet homogén részének általános megoldását határozzuk meg. Ez mint láttuk, egy függvénysereg, felírása

1( , ) ( ) ,

n

i ii

y t c c y t=

= ∑

Ahol a c vektor mutatja, hogy a megoldásban ennek n-számú koordinátája szabad paramé-terként épült be. Ismeretes, hogy az inhomogén egyenlet ),( ctY általános megoldása előáll a homogén rész ( , )y t c általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy Y1(t)

partikuláris megoldásának összegeként )(),(),( 1 tYctyctY += alakban. Valóban, alkalmazzuk

az )( pLn rendszeroperátort az inhomogén egyenlet előbbi összeg alakú felírására:

[ ]1 1

0 0 a homogén rész megoldása. Y ( )partikuláris

megoldásvol1

( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 0 ;n n n n

tt

L p Y t c L p y t c Y t L p y t c L p Y t t= + = + ≡ ∀14243 14243

A fentiek alapján a megmaradó lényegi feladat az inhomogén egyenlet egy Y1(t) partikuláris megoldásának keresése. Mivel a mérnöki feladatok a végtelen megoldássereget jelentő általános megoldásból pontosan egy, a megadott kezdeti feltételeknek eleget tevő megoldás kiválasztása a cél, a következő meggondolás célszerű az inhomogén egyenlet kezdeti érték problémájának (K.É.P.) megoldása során:

1. Oldjuk meg a homogén egyenletet a megszabott kezdeti feltételek mellett 2. Keressük az inhomogén egyenlet szükséges Y1(t) partikuláris megoldását a t0 kezdeti

abszcisszánál csupa zéró kezdeti feltétel mellett. 3. A két részmegoldás összege az inhomogén egyenlet kívánt kezdeti értékekhez tartozó

(remény szerint egyértelemű) megoldását adja

Az inhomogén egyenlet Y1(t) partikuláris megoldásának keresését egyszerűbb esetekben kísérletező feltevések (Ansatz-ok) alkalmazásával, formális munkával pedig az állandók variálásának módszerével végezzük.

Kísérletező feltevések (Ansatz-ok)

Speciális alakú jobboldali zavarófüggvények esetén bizonyítható a „jó” Ansatz.

1. Ha a differenciálegyenlet jobboldali f(t) zavarófüggvénye n-edfokú polinom, azaz

f(t) = 2

0 1 2 ... nnb b t b t b t+ + + + alakú, akkor az 2

0 1 2( ) ( ) ... nn nL p y t b b t b t b t= + + + +

inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása kereshető ugyanolyan fokszámú, aza n-edfokú n

ntctctcctY ++++= ...)( 22101 polinom alakban határozatlan együtthatók

szerepeltetésével.

77 / 128

2. Ha a differenciálegyenlet jobboldali zavarófüggvénye azonos körfrekvenciájú szinu-szos és koszinuszos függvények lineáris kombinációja, azaz f(t) = sin cosa t b tω ω+alakú, akkor az tbtatypLn ωω cossin)()( += inhomogén egyenlet egy partikuláris

megoldása kereshető tBtAtY ωω cossin)(1 += alakban, azonos körfrekvencia és hatá-rozatlan együtthatók szerepeltetésével.

Az állandó variálása

A homogén egyenlet általános megoldásában szereplő ic együtthatókat variálásképp a t független változó egyelőre ismeretlen függvényeiként tekintjük és az így nyert kifejezést, tehát a homogén rész megoldásában szereplő báziselemekkel (alaprendszer) szorzat kap-csolatba lépő )(tci függvényeket tartalmazó lineáris kombinációt megfelelő rendben deri-váljuk és behelyettesítjük az inhomogén differenciálegyenletbe. Ezen lépés eredményeképpen az ismeretlen ci(t) függvényekre újabb differenciálegyenlet rendszer adódik. Ennek megoldás-vektor-elemei mintegy „magukba lényegítik” az f(t) gerjesztőfüggvény hatását.

Az elmondottak szemléltetéseképp legyen adott az )()()()( 012 tftyatyatya =++ &&& állandó együtthatós lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenlet. Legyen a homogén rész alaprendszere az )(1 ty , )(2 ty függvénypár. A homogén rész általános megoldása az alap-rendszer elemeinek )()()( 2211 tyctycty += lineáris kombinációja. Mivel ∈21 ,cc tetsző-leges, általános megoldásként egy kétparaméteres függvénysereg adódik. Az inhomogén egyenlet keresett Y1(t) partikuláris megoldását most két féleképp is kereshetjük:k

1. Egy állandó variálása: ekkor 1 1( ) ( ) ( )Y t c t y t= szorzatalakban kerül felvételre isme-

retlen c(t) függvénnyel. Az 1 1( ) ( ) ( )Y t c t y t= szorzatfüggvény t-szerinti deriválásával kapott függvényeket be kell helyettesíteni a differenciálegyenletbe, ezzel a c(t) isme-retlen szorzó függvényre egy másodrendű differenciálegyenlet adódik, amelyet meg kell oldani. A kiadódó megoldás magába olvasztja az f(t) gerjesztőfüggvény sajá-tosságait.

2. Két állandó variálása: ekkor az 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y t c t y t c t y t= + lineáris kombináció alakban kerül felvételre ismeretlen c1(t) , c2(t) függvénypárral. Az így kapott

1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y t c t y t c t y t= + függvényt t-szerint deriválásával kapott függvényeket be kell helyettesíteni a differenciálegyenletbe, ezzel az ismeretlen együtthatófüggvé-nyekre egy másodrendű differenciálegyenlet adódik, amelyet meg kell oldani. A kiadódó c1(t), c2(t) megoldás-pár magába olvasztja az inhomogenitást okozó f(t) függvény sajátosságait.

Az állandók variálásának szorzatfüggvény alakú megoldás keresési módszere általános eljárásként értékelhető, és megvalósítja a differenciálegyenlet valamely megoldása isme-retében egy másik megoldás meghatározását. Az állandó variálását a következő pontban fogjuk bemutatni, abban a speciális esetben, amikor egy változó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet elsőnek meghatározott partikuláris megoldásfüggvénye ismeretében egy második partikuláris megoldást keressünk.

78 / 128

Változó együtthatós lineáris homogén differenciálegyenletek

A műszaki feladatok széles spektruma vezet az alábbi szerkezetű változó együtthatós másod-rendű közönséges lineáris homogén differenciálegyenletre:

2

2

1( ) ( ) 1 ( ) 0y x y x y xx x

ν⎛ ⎞′′ ′+ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

A fenti másodrendű diff.egyenletet ν-edrendű Bessel-féle differenciálegyenletnek nevezzük. A jelzett ν paraméteres differenciálegyenlet-sereg elemei közül elsőnek a ν = 0, esetet azaz a zérórendű Bessel-féle differenciálegyenletet tekintjük:

1( ) ( ) ( ) 0y x y x y xx

′′ ′+ + = .

Az így adódott differenciálegyenlet végtelen sok megoldása közül most azon partikuláris meg-oldást keressük, amely eleget tesz az y(0) = 0a és 1(0)y a′ = kezdeti feltételeknek. Ezen

kezdeti feltételeket figyelembe véve az 1a együtthatóra azonnal adódik, hogy az csak zéró

értéket vehet fel, hiszen ellenkező esetben x → 0 esetén a második tag szingularitást mutatna.

A jelzett kezdeti feltételeknek eleget tevő partikuláris megoldást végtelen hatványsor alakú kísérletező feltevéssel (Ansatz-cal) keressük:

2 30 1 2 3 4

4( ) .....y x a a x a x a x a x+ + + + + .

Deriválva:

2 3 51 2 3 4 5( ) 2 3 4 5 .....y x a a x a x a x a x′ + + + + +

32 3 4 5

2( ) 2 3.2 4.3 5.4 .....y x a a x a x a x′′ + + + + .

Az a1 = 0 feltételt figyelembe véve, és behelyettesítve a differenciálegyenletbe, a következő felírás érvényes:

32 3 4 5

2 42 3 4 5

2 30 2 3 4

2

4

(2 3.2 4.3 5.4 ....)1 (2 3 4 5 .....)

( .....) 0 ; 0

a a x a x a x

x a a x a x a xxa a x a x a x x

+ + + + +

+ + + + + +

+ + + + + = ∀ ≥

A megkívánt azonosan zérus eredményhez szükséges, hogy az azonos x-hatványt tartalmazó tagok összevonása és az x-hatványok kiemelése után adódó hatványsor minden együtthatója zérus legyen. Így egy végtelen egyenletrendszert szolgáltat az egyelőre ismertetlen együtthatók meghatározására és ez szolgáltatja a megoldásként felvett hatványsor együtthatóit:

1. 0 2 22 2 0a a a+ + = → 02 22

aa = −

79 / 128

2. 3 36 3 0a a+ = → 3 0a =

3. 4 4 212 4 0a a a+ + = → 24 24

aa = −

stb.

A fentiek alapján az adott y(0) = 0a és 1(0) 0y a′ = = kezdeti feltételeket kielégítő egypara-méteres megoldás-sereg végtelen hatványsor összegeként adódik:

2 4 60 0 2 2 2 2 2 2

1 1 1( , ) 1 ...2 2 4 2 4 6

y x a a x x x⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

A továbbiakban ebből a függvényseregből az 0 1a = választással adódó partikuláris meg-

oldásnak adunk fontos szerepet, ez lesz a ν = 0 – hoz tartozó – azaz zérusrendű – elsőfajú Bessel-függvény:

2 4 60 2 2 2 2 2 2

1 1 1( ) 1 ...2 2 4 2 4 6

def

J x x x x⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Tekintettel arra, hogy a másodrendű differenciálegyenlet általános megoldását jelentő két-paraméteres megoldássereget két lineárisan független partikuláris megoldás lineáris kombi-nációjaként állíthatjuk elő, most a 0 ( )J x függvényhez egy tőle lineárisan független másik partikuláris megoldás meghatározása szükséges. A szóban forgó másik partikuláris megoldást az állandó variálásának módszerével határozzuk meg. Ismeretes, hogy bármely homogén lineáris differenciálegyenlet valamely partikuláris megoldásával együtt annak konstansszorosa is megoldás, azaz a zérórendű 0 ( )J x Bessel-függvénnyel együtt tetszőleges u valós konstans esetén az

0 ( )Y x = u 0 ( )J x függvény is megoldása a tekintett Bessel-féle differenciálegyenletünknek. Ah-

hoz, hogy a 0 ( )J x -től lineárisan független 0 ( )Y x megoldást nyerhessünk az „állandó va-riálása” keretében az eddig konstansként említett u valós együtthatót az x változó u(x) függ-vényének tekintjük, és keressük tehát a differenciálegyenletünk másik megoldását

0 ( )Y x = 0( ) ( )u x J x ,

alakban egyelőre ismeretlen u(x) függvény szerepeltetésével. Az u(x) meghatározásához kétszer deriváljuk a szorzatfüggvény deriválási szabálya szerint a felvett „Ansatz”-alakzatot:

0 0 0

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Y x u x J x u x J x

Y x u x J x u x J x u x J x u x J x

′ ′ ′= +

′′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′= + + + .

A nyert deriváltakat vissza kell helyettesítenünk az eredeti Bessel-féle differenciálegyenletbe:

80 / 128

[ ]

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

Y x Y x Y xx

u x J x u x J x u x J x u x J x

u x J x u x J x u x J xx

′′ ′+ + =

′′ ′ ′ ′ ′ ′′= + + + +

′ ′+ + + =

.

Tovább rendezve:

0 0 0

0 0 0

0

1( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) 0

u x J x J x J xx

u x J x u x J x u x J x

u x J xx

⎛ ⎞′′ ′+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

′′ ′ ′ ′ ′+ + + +

′+ =

Az összeg első tagjában az ismeretlen u(x) függvény melletti zárójeles kifejezés azonosan zérus, hiszen épp az eredeti Bessel-féle differenciálegyenlet bal oldala szerepel a zárójelben és

0 ( )J x az eredeti Bessel-féle differenciálegyenlet egy partikuláris megoldása a szereplő zárójeles kifejezés azonosan zérus. Ennek figyelembe vételével az ismeretlen u(x) függvény második deriváltja explicite kifejezhető és az u(x)-re vonatkozóan egy másodrendű változó együtthatós lineáris differenciálegyenletet kapunk:

0

0

2 ( ) 1( ) ( )( )

J xu x u xJ x x

⎛ ⎞′′′ ′= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Vezessük be a q(x) = ( )u x′ helyettesítést, ezzel a fenti differenciálegyenletből az elsőrendű

0

0

2 ( ) 1( ) ( ) ( )

J xq x q xJ x x

⎛ ⎞′′ = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

illetve a

0

0

2 ( ) 1( )

J xdq dxq J x x

⎛ ⎞′= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

szeparált alakú elsőrendű változó együtthatós differenciálegyenlet adódik. Az utóbbi egyenlet mindkét oldalát integrálva a saját változója szerint a q(x) függvényre a

0

1ln ( ) 2ln ( ) ln lnq x J x xc

= − − −

kifejezést kapjuk, amelynek utolsó tagja a belépett tetszőleges integrálási konstans célszerű (logaritmikus kifejezéssel megadott) alakban való megjelenítésével szerepel. Ilyen elrendezést

81 / 128

tekintve a jobb oldali tagokat közös logaritmus alá víve és minkét oldalt e alapra hatványozva, c tetszőleges konstans szerepeltetésével a q(x,c) megoldássereget kapjuk:

20

( )( )

cq xxJ x

= .

Ezzel a keresett q(x)= ( )u x′ deriváltra a fenti függvénysereg adódott, melynek integrálásával előáll az állandó variálásakor bevezetett u(x) függvény:

20

1( )( )

x

a

u x c dx AxJ x

= +∫ ,

Itt c, a és A tetszőleges konstansok. Ezzel a keresett másik, 0( ) ( )u x J x alakú partikuláris megoldás felírható (feltesszük, hogy A és c nem zérus):

0 0 0 20

1( ) ( ) ( )( )

x

a

Y x AJ x cJ x dxxJ x

= + ∫ .

Bizonyítani kell, hogy a kapott 0 ( )Y x megoldás lineárisan független a kiindulási 0 ( )J x meg-oldástól. Tekintsük evégből a két megoldásfüggvény figyelembevételével adódó Wroński de-terminánst:

0 0 0 20 0 0' '0 ' ' '

0 0 0 02 20 0

0

1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x

a

x x

a a

J x AJ x cJ x dxJ x Y x xJ x

W xJ x Y x dJ x AJ x cJ x dx cJ x dx

xJ x dx xJ x

+

= =+ +

∫

∫ ∫ =

= 0( )J x ' '0 0 0 0 02 2

0 0

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

x x

a a

dAJ x J x cJ x dx J x cJ x dxxJ x dx xJ x

+ +∫ ∫ -( '0 ( )J x

'0 0 0 2

0

1( ) ( ) ( )( )

x

a

AJ x J x cJ x dxxJ x

+ ∫ ) = 0, 0.c ha cx

≠ ≠

Mivel a két tekintett partikuláris megoldással készített Wroński-determináns nem zérus, így a lineáris függetlenség fennáll, tehát a vizsgált másodrendű változó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet két tetszőleges konstanst tartalmazó általános megoldása a következő alakban írható fel:

1 2 1 2 0( , , ) ( ) ( )oy x C C C J x C Y x= + .

A zérus rendű Bessel-függvényeket az 1. ábra szemlélteti

82 / 128

Magasabb rendű Bessel-függvények származtatása

A ν > −1 értékek esetén a 2

2

1( ) ( ) 1 ( ) 0y x y x y xx x

ν⎛ ⎞′′ ′+ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

differenciálegyenlet megoldásait a ν-edrendű Bessel függvények adják. Az elsőrendű Bessel függvények azonban kapcsolatban állnak a nulladrendű Bessel függvényekkel az

' '1 10 0( ) ( ), ( ) ( ),J x J x Y x Y x= − = −

összefüggések szerint. Az ½ rendű és a -½ rendű Bessel függvények speciális tulajdonsága, hogy kifejezhetők elemi függvényekkel. Az elsőfajú függvények alakja a

1/2 1/2

sin cos( ) és ( ) / 2 / 2x xJ x J x

x xπ π−= =

összefüggéspárral, míg a másodfajúak az

[ ]

[ ]

1/2 1/2 1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2

1( ) cos( / 2) ( ) ( ) = ( ) sin( / 2)

1( ) cos( / 2) ( ) ( ) = ( ) sin( / 2)

Y x J x J x J x

Y x J x J x J x

ππ

ππ

− −

− −

= − −

= − −−

képletekkel adódnak. A nemnegatív egész-rendű elsőfajú Bessel-függvények sorozatát a 2. ábra mutatja be

1 ábra A zérus rendű Bessel-függvények

83 / 128

2. ábra A nemnegatív egész-rendű elsőfajú Bessel-függvények sorozata

A másodfajú Bessel-függvények alakulását ν = 0, 1, 2 rendszámokra a 3. ábrán szemléltetjük.

3. ábra Másodfajú Bessel-függvények ν = 0, 1, 2 rendszámokra

A Bessel függvények körében érvényesülő ortogonalitás A ν > -1 értékek esetén a lényeges szerepet kapnak a ν -edrendű első- és másodfajú Bessel-függvények zéróhelyei. Tekintsük a fentiek szerint megengedett ν értékekre a ( ) 0J xν =

egyenlet gyökeit. Ezek a 1 20 ... ...nλ λ λ< < < < < sorozatba rendezhetők. A nyert gyökök

segítségével a ( )J xν függvényből egy függvénysorozat generálható a

1 2( ), ( ),..., ( ),...nJ x J x J xν ν νλ λ λ

Bizonyítható, hogy ezen függvénysorozat elemei a (0,1) intervallumon a x súlyfüggvényre nézve ortogonális tulajdonságúak, azaz érvényes, hogy a különböző gyökökkel (értéküktől függően kontrakcióval vagy dilatációval képzett) sorozatelemek skalárszorzatai a következőképp viselkednek:

84 / 128

1

0

( ), ( ) 0, .i jJ x J x xdx ha i jν νλ λ = ≠∫

A Kronecker féle szimbólum alkalmazásával pedig még az azonos gyökökkel képzett sorozatelemekre is kiterjesztett eredmény adódik:

1 12

0 0

( ), ( ) ( ) , .i j ij iJ x J x xdx J x xdx ha i jν ν νλ λ δ λ= ≠∫ ∫

Ez az eredmény másképp azt jelenti, hogy a 1

( )i iJ x xν λ

∞

=függvénysorozat a (0,1)

intervallum felett teljes ortogonális rendszert képez, és segítségével a (0,1) felett értelmezett négyzetesen integrálható függvények sorba fejthetők az ortogonális rendszert képező

1

( )i iJ x xν λ

∞

=függvénysorozat elemeinek lineáris kombinációjaként, ez adja a „Bessel függ-

vényekbe való sorfejtés” alapesetét. Az ilyen ortogonális sort Bessel-Fourier-sornak nevez-zük, mely az f(x) függvény esetében az

1

0

( ) x f x dx∫

integrál létezése és végessége esetén az

1( ) ( )i i

if x a J xν λ

∞

=

= ∑

konkrét formát ölti. A sorkifejezésbe belépett együtthatókat az

[ ]1

201

2 ( ) ( ) , 1,2,...( )i i

i

a xf x J x dx iJ ν

ν

λλ+

= =∫

képlet sorozattal kapjuk.

További lehetőséget ad a Dini-féle ortogonális függvényrendszer bevezetése a A p > -1 értékek esetén lényeges szerepet kapnak a p -edrendű elsőfajú Bessel-függvények és a az utóbbiak első deriváltjaiból felépített lineáris kombinációk zéróhelyei. Tekintsük a fentiek szerint megengedett p értékekre a ( ) ( ) 0i p i p ia J bJµ µ µ′ + = egyenlet gyökeit. Ezek a 1 20 ... ...nµ µ µ< < < < <

sorozatba rendezhetők. A nyert gyökök segítségével a ( )pJ x függvényből egy függvény-

sorozat generálható:

1 2( ), ( ),..., ( ),...p p p nJ x J x J xµ µ µ .

Bizonyítható, hogy ezen függvénysorozat elemei is a (0,1) intervallumon a x súlyfüggvényre nézve ortogonális tulajdonságúak, azaz érvényes, hogy a különböző gyökökkel (értéküktől

85 / 128

függően kontrakcióval vagy dilatációval képzett) sorozatelemek skalárszorzatai a követ-kezőképp viselkednek:

1

20

( ), ( ) 0, .p i pJ x J x xdx ha i jµ µ = ≠∫

A Kronecker-féle szimbólum alkalmazásával pedig még az azonos gyökökkel képzett sorozatelemekre is kiterjesztett eredmény adódik:

1 12

0 0

( ), ( ) ( ) , , .p i p j ij ipJ x J x xdx J x xdx i jµ µ δ µ= ∀∫ ∫

A kapott 1

( )p i iJ x xµ

∞

=függvénysorozat a (0,1) intervallumon ismét teljes ortogonális

rendszert (nem normált!) képez. A kapott függvényrendszer segítségével a (0,1) felett

értelmezett négyzetesen integrálható f(x) függvények sorba fejthetők a 1

( )p i iJ x xµ

∞

=

függvénysorozat elemeinek lineáris kombinációjaként, ez az ortogonális sor adja az f(x) függvény Dini-Bessel-Fourier sorát. A tekintett f(x) függvény esetében a Dini-Bessel-Fourier sor az

1( ) ( )i p i

if x b J xµ

∞

=

= ∑

konkrét formát ölti, ahol a belépett együtthatókat a

2 1

2 22 2 20

2 ( ) ( ) ; 1,2,...( ) ( ) ( )

ii p i

p i p ii i

b xf x J x dx iJ p J

µ µµ µ µ µ

= =′⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫

képlet sorozat szolgáltatja.

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

A mérnöki munkában igen sok esetben lép fel olyan differenciálegyenletekkel kapcsolatos feladat – legtöbbször kezdeti érték probléma (K.É.P.) – hogy a jobb oldal függvény igen bonyolult, vagy akár nem képletszerűen megadott, hanem mérési eredmények kiértékeléséből numerikus módszerrel (leggyakrabban másodrendű felületdarabbal történő kétváltozós inter-poláció) meghatározott. Ezekben az esetekben a differenciálegyenletet numerikusan oldjuk meg az iránymező letapogatásának különböző módszereivel. Minél több iránymezőbeli irányérték hordozta információ kerül bevonásra egy numerikus megoldási lépés során, annál pontosabb megoldást remélünk. A következőkben elegendő a nemlineáris f(t,y) jobboldali függvénnyel bíró

0 0

( , )( )

y f t yy t y

==

&

elsőrendű skalár differenciálegyenlet kezdeti érték problémára szorítkozni, amelynél feltéte-lezzük , hogy az f(t,y) által reprezentált iránymező „letapogatása” mindig lehetséges.

86 / 128

Az iránymező letapogatása azt jelenti, hogy valamilyen rendszer szerint számítjuk az f(t,y) jobb oldali függvény helyettesítési értékeit, mint iránytangenseket és a közelítő megoldás pontjait kialakító számítási lépések során ezen iránytangens értékekkel „gazdálkodunk”.

1. Euler-módszer Az Euler-módszer algoritmusa a kiszámított iránytangensek egyedi értékeivel lineáris közelítést alkalmazva lép előre a konstans h osztásközű t0, t1,…,tn abszcissza-sorozaton.

hytfyhyty

hytfyhytyhytfyhyty

yty

nnnnnn ⋅+=⋅+=

⋅+=⋅+=⋅+=⋅+=

=

+ ),(tg)(

),(tg)(),(tg)(

)(

1

111112

000001

00

α

αα

M

2. Runge-módszere A Runge-módszer magyarázatához tekintsük a vizsgált 0 0( , ); ( )y f t y y t y= =& kezdeti érték problémával ekvivalens

00

( ) ( , ( ))t

t

y t y f s y s ds= + ∫

Integrálegyenletet. Az ekvivalencia azt jelenti, hogy az integrálegyenlet megoldása egyben megoldása a kezdeti érték problémának is, és megfordítva is igaz: ha megvan a kezdeti érték probléma megoldása, akkor ez a függvény kielégíti az integrálegyenletet is. Tekintsük az integrál kiszámítását numerikus integrálással egy kis szakaszon a

],[ 00 htt + intervallum felett. Alkalmazzuk az integrál közelítő kiszámítására az

( )∫+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++≈

ht

t

hthtthdss0

0

000 24)(

3)( ϕϕϕϕ

Simson-formulát. Legyen most a ))(,()(.

sysfsdef=ϕ . Egyelőre feltételezve, hogy az

)(sy megoldás ismert, a következő képletre jutunk:

87 / 128

( )∫

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++≈

ht

t

BECSÜLEULERRALBECSÜL

EULERRAL

ISMERT

htyhtfhtyhtftytfhdssysf0

0

000000 ,2

,2

4))(,(3

))(,(48476

48476

mivel az y(x) megoldásfüggvény értéke a t0 + h/2 és a t0 + h abszcisszáknál nem

ismert, ezért ezen függvényértékeket egy h/2 és egy h lépésközzel megtett Euler lépéssel becsüljük a következő összefüggések szerint:.

0 0 0 0( ) ( , ( )) ,2 2h hy t y t f t y t⎛ ⎞+ ≈ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( ) htytftyhty ⋅+≈+ ))(,()( 0000 .

Beírva ezen képleteket az integrál kifejezésbe, adódik a Runge-formula:

[ ]42100 461)()( kkktyhty +++≈+ ,

ahol a szereplő együtthatók az 00 )( yty = jelölés alkalmazásával az f(t,y) iránymezőt négy iránymező „hívás” generálja:

( )( )300

.

4

100

.

3

100

.

2

00

.

1

,

,

2,

2

),(

kyhtfhk

kyhtfhk

kyhtfhk

ytfhk

def

def

def

def

++⋅=

++⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅=

⋅=

A négy iránymező hívás négy irányelemet szolgáltat, egyet az abszcisszán fekvő t0 ponthoz, egyet a t0 + h/2 ponthoz, és kettőt a t0 + h ponthoz. Az irányelemek súlyozott átlagát úgy képezi a módszer, hogy a t0 + h/2 „középső” pontnál érvényesülő irányelemet veszi a legnagyobb súllyal figyelembe, ami a Lagrange- féle középérték-tételre gondolva indokolható. Végül is a t0 + h ponthoz rendelt közelítő megoldás érték a súlyozott átlagként számított iránytangenssel h lépésköz menti növekmény generálja.

3. Runge Kutta módszer A módszer itt is négy iránymező „hívás” szolgáltatja véglegesen h lépésközű lépéssel kapott növekmény generálását, és itt is a t0 + h/2 ponthoz rendelt irányelemek – mint középső irányelemet – kapják a legnagyobb súlyozó együtthatókat:

0 0 1 2 3 4

0 2 ,

" "

0

1( ) ( ) 2( )6

y hnagyobb súly at hez tartozóf értékek kapnak

súlyozott ÁTLAGIRÁNY

y t h y t k k k k+ −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+ ≈ + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

% % % %14243

1444442444443

ahol az együtthatókat az alábbi „iránymező hívások” szolgáltatják a t0, a t0 + h/2 és a t0 + h abszcissza értékeknél:

88 / 128

( )3004

2003

1002

001

~,~2

~,

2~

2

~,

2~

),(~

kyhtfhk

kyhtfhk

kyhtfhk

ytfhk

++⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅=

⋅=

A Runge-Kutta módszer négy iránymező hívása is négy irányelemet szolgáltat az f(t,y) függvény négy helyettesítési értékeként, egyet az abszcisszán fekvő t0 ponthoz, kettőt a t0 + h/2 ponthoz, és egyet a t0 + h ponthoz. A viszonyokat az alábbi ábra szemlélteti.

A négy irányelem súlyozott átlagát úgy képezi a módszer, hogy a t0 + h/2 „középső” pontnál érvényesülő két irányelemet kétszeres súllyal veszi figyelembe, ami a Lagrange- féle középérték-tételre gondolva indokolható. Végül is a t0 + h ponthoz rendelt közelítő megoldás érték az ily módon súlyozott átlagként számított irány-tangenssel h lépésközzel számított növekmény generálja. Kimutatható, hogy az eredeti Runge-módszer hibája O(h4) nagyságrendű, addig a Runge–Kutta módszeré kisebb, csak O(h5) nagyságrendű. Az itt szereplő O a „nagy ordo” nagyságrend jellemző, jelentése: a szóban forgó közelítési hibát a nagy ordo zárójelében lévő mennyiséggel osztva az eredmény korlátos marad.

A differenciálegyenletek numerikus megoldására alkalmas most tárgyalt módszerek mind-egyikét alap konstrukciójukban mutattuk be. A számítási lépésköz h nagyságát első megközelítésben konstansnak véve egyszerű, gyorsan lefutó számítógépes programok készíthetőek. Mindazon által fontos kiemelni, hogy a pontosság biztosításához érdemes változó lépésközű számítási módszerrel dolgozni. Ennek alapelve az, hogy minden számítási lépésben mind h lépésközzel egyet lépve, mind h/2 lépésközzel kettőt lépve meghatározzuk a numerikus megoldás adta közelítéseket. Amennyiben az egy h lépésközzel és a két egymás utáni h/2 lépésközzel nyert numerikus megoldási érték ∆ eltérésének abszolút értéke kisebb, mint egy megszabott kicsi ε érték, akkor a megoldás mehet tovább a h lépésközzel.

89 / 128

Amennyiben azonban a jelzett ∆ eltérés nagyobb vagy egyenlő, mint ε , akkor a következő lépésközt h/2-re változtatva végzendő a számítás, majd ezt követően azonnal két h/4 lépésközzel végzett számítással meghatározzuk a közelítő megoldásokat. Ha a két számítási eredmény ∆ eltérésének abszolút értéke kisebb, mint egy megszabott kicsi ε érték, akkor a megoldás mehet tovább a h/2 lépésközzel. Ellenkező esetben folytatjuk a felező eljárást mindaddig, míg az előzőekben elmondott algoritmus követésével valamely h/n , n =2k, k ∈ N értéknél a teljesül ∆ < ε feltétel. Ekkor h/n lépésközzel folytatható az eljárás. Ez elmondott lépésköz felezéses eljárással adott ε pontossági korláton belül megvalósul a numerikus megoldás. Differenciálegyenletek megoldásának stabilitás problémája A differenciálegyenlet megoldása érzékeny lehet a szereplő együtthatók (paraméterek) vagy a kezdeti értékek kis megváltozására. Az alábbi ábra olyan esetet mutat, amikor a diffe-renciálegyenlethez a t0 abszcisszánál rendelt eredeti y0 kezdeti érték egy kicsi δ érékkel megváltoztatásra került, és ennek eredményeképp a K.É.P. y(t,t0,y0+δ ) megoldása jelentősen deviál az eredeti y0 kezdeti értékhez tartozó y(t,t0,y0) megoldástól, példát mutatva az insta-bilitás egyik esetére.

Stabilitásfogalom Definició: A differenciálegyenlet megoldásfüggvénynek a jelzett kis paraméter- vagy kezdeti érték változásokra való érzéketlenségét a stabilitás megvalósulásának nevezzük.

Két fogalom:

1. Stabilitás (ε -sávon belül marad a magzavart megoldás) 2. Aszimptotikus stabilitás (a megzavart megoldás nemcsak, hogy ε -sávon belül ma-

rad a megoldás, de ∞→t esetén tart is a megzavarás-mentes megoldáshoz)

A következőkben egy mérnöki rendszer egyensúlyi állapotának stabilitását vizsgáljuk. A rendszer állapotát az y(t) vektorváltozós függvény írja le. A rendszer állapotváltozását az elsőrendű differenciálegyenlet-rendszerre vonatkozó

90 / 128

0 0( , ) ; ( ) y f t y y t y= =&

kezdeti érték probléma segítségével vizsgáljuk. A rendszer differenciálegyenlet-rendszerének jobboldali függvénye szokás szerint egy f : Rn+1 → Rn vektor-vektor függvény. Legyen érvényes, hogy ( , )f t 0 0= , vagyis a rendszer zérus-vektorral jellemzett egyensúlyi állapotá-

ban mindet t időpontra az f függvény értéke a zérus-vektort adja vissza. Vizsgáljuk a 0tt ≥ értékekre a rendszerállapot alakulását, figyelembe véve, hogy a nyugalmi

helyzet a zérus-vektorral jellemzett ( )y t o≡ állapot. Másképp fogalmazva az azonosan zérus

vektor a K.É.P. 0

0y = -kezdeti vektorhoz tartozó (egyértelmű) megoldása. Megfogalmazzuk

a kezdeti egyensúlyi rendszerállapot stabilitás jellemzőinek definícióit.

Definíció: A rendszer nyugalmi állapotát stabilisnak nevezzük, ha tetszőleges 0>ε -hoz (kicsi!) megadható olyan 0),( 0 >εδ t küszöbszám (korlát), hogy az

00y ≠

kezdeti érték

vektorhoz tartozó ),,(00 ytty megoldásra érvényes, hogy: ε≤

∞≤≤),,(max

000

yttytt

, hacsak

0y δ< . Egyébként a rendszer nyugalmi állapota instabil.

A definíció szerinti stabil nyugalmi állapot esetét skalárértékű feladatra az ábra szemlélteti.

Erősebb stabilitás fogalmat rögzít a következő

Definíció: A rendszer nyugalmi állapotát aszimptotikusan stabilisnak nevezzük, ha tetszőleges0>ε -hoz (kicsi!) megadható olyan 0),( 0 >εδ t küszöbszám (korlát), hogy az

00y ≠

kezdeti

érték vektorhoz tartozó ),,(00 ytty megoldásra érvényes, hogy: ε≤

∞≤≤),,(max

000

yttytt

, hacsak

0y δ< , továbbá teljesül, hogy 0 0

lim ( , , ) 0.t

y t t y→∞

=

Röviden: a rendszer egyensúlyi állapota aszimptotikusan stabil, ha

1. érvényes a stabilitás és 2. 0 0lim ( , , ) 0 .

ty t t y

→∞=

91 / 128

Megjegyzés: 1. A definícióból adódik, hogy ha egy rendszer valamely t0 esetén valamilyen értelemben stabil, akkor 1 0t t> kezdeti abszcissza esetén is ugyanilyen érte-lemben stabil,

2. A stabilitásvizsgálat problémája abban domborodik ki, hogy általános esetben a t0,y0 kezdeti értékekhez tartozó y(t,t0,y0) megoldást, és felmerül a kérdés, hogy miképp ellenőrizzük a definíciók által megadott feltételek teljesülését.

Állandó együtthatós differenciálegyenlet stabilitásviszonyai

Tekintsük az Ln(p) y(t) = 0 homogén lineáris n-edrendű differenciálegyenletet az n1

( )n

ii

iL p a p

=

= ∑

operátor-polinommal. Mérnöki szempontból az n = 2 eset a legfontosabb a kinetikai problémák kezeléséhez. A tekintett differenciálegyenlet esetén nyilvánvaló, hogy az ( ) 0y t ≡ függvény megoldás, egyben a rendszer nyugalmi (egyensúlyi) állapotát azonosítja. Ez a megoldás csupa zérus kezdeti feltételnek tesz eleget, és mivel a Lipschitz-feltétel automatikusan teljesül erre az egyenletre, tehát a csupa zérus kezdeti feltétel esetén az azonosan nulla függvény egyértelmű megoldás is. A stabilitás vizsgálathoz szükséges a következő

Definíció: Az Ln(x) n-edfokú polinomot stabilnak nevezzük, ha valamennyi gyökének valós része negatív, azaz a komplex számsík képzetes tengelyétől határozottan balra fekszenek.

A definíció ismeretében kimondható a következő

Tétel: Ha az Ln(p) stabil polinommal származtatható n1

( )n

ii

iL p a p

=

= ∑ alakban (azaz ( )n1

ni

ii

L x a x=

= ∑

stabil), akkor az Ln(p) y(t) = 0 homogén lineáris differenciálegyenletnek minden egyes y(t) megoldásfüggvényéhez van olyan M és α érték, hogy a differenciálegyenlet y(t) meg-oldására:

( ) ty t M e α−< .

Bizonyítás: A differenciálegyenlet Ln(x) karakterisztikus polinomjának különböző gyökei legyenek a 1 2, ,..., mλ λ λ komplex értékek, 1 2, ,..., mk k k multiplicitásokkal. Így a karakterisz-tikus polinom gyöktényezős felírása a következő alakot nyeri:

1 21 2( ) ( ) ( ) ...( )kk k m

n mL x c x x xλ λ λ= − − − .

92 / 128

A komplex gyökök megadhatók valós és képzetes részeik szerepeltetésével:

, 1,2,...,j j ji j mλ α β= + =

A megadott feltételek szerint az Ln(x) karakterisztikus polinom stabil, ezért a gyökök valós részei mind negatívak: 0 , 1,2,...,j j mα < = . Következésképp megadható olyan pozitív

0α > , hogy minden j indexre , 1,2,...,j j mα α< − = .

Tekintsük most a karakterisztikus egyenlet gyökeit és azok multiplicitásait figyelembe véve a differenciálegyenlet alaprendszerét:

-11 1 1 1

-12 2 2 2

-1

, , . . . , , , . . . ,

, , . . . ,

t t k t

t t k t

t t k tm m m m

e te t ee te t e

e te t e

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

M M M

Az alaprendszer (mint bázis) segítségével bármely megoldás előáll lineáris kombinációként:

-1-11 1 1 111 12 1 1 21

( ) ... ... ... t t k tt t k t m m m mk m m mkm

y t c e c te c t e c e c te c t eλ λ λλ λ λ= + + + + + + + + .

A megoldás abszolút értéke a háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásával:

-1-11 1 1 111 12 1 1 21

( ) ... ... ... t t k tt t k t m m m mk m m mkm

y t c e c te c t e c e c te c t eλ λ λλ λ λ≤ + + + + + + + + .

A fenti összeg valamely tagját jelöljetr j

sz ct eλ= , és vizsgáljuk a st

ze α− .kifejezés alakulását.

Az előzmények alapján írható, hogy:

( ) ( ) ( )i t t i t tr t r rj j j j jst

z ct e e ct e e ct ee

α β α α β α ααα

+ + +

−= = = .

A korábbiak szerint most 0 , 1,2,...,j j mα α+ < ∀ = , így a L1Hospital szabály figyelembe

vételével ( )lim 0tr j

tct e α α+

→∞= . Ezért a s

t

ze α− hányados korlátos minden t 0≥ -ra létezik Ms

valós pozitív korlát, hogy s stz M e α−< . Mivel az elmondott gondolatmenet az y(t) megoldás

abszolút értékét majoráló összeg minden tagjára végigvihető, írhatjuk, hogy:

( ) , 0t tsi

si

y t M e Me tα α− −≤ ≤ ≥∑ ,

és ezt kellett bizonyítani.

93 / 128

Ljapunov módszere

Tekintsük az ( , ), nx f t x x R= ∈& elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet-rendszert. A

jobb oldali n+1 változós vektorértékű függvényre legyen érvényes, hogy az ( ,0) 0, f t =

minden 0 t t≥ esetén. Legyen továbbá előírva az 0( )x t c= kezdeti érték vektor.

Bevezetünk egy új n+1 változós skalár-értékű függvényt, jele v( t ,x). Tulajdonságait körülha-tároljuk: legyenek a v(t ,x) összes első parciális deriváltja folytonos, és a függvény feleljen meg az alábbi pozitivitási feltételnek:

0( ,0) 0 , ( , ) ( ) 0 ; , 0nv t R v t x w x t t x= ∈ ≥ > ∀ ≥ ≠ .

Legyen mármost az 0( , , ) nx t t c R∈ a kitűzött K.É.P megoldása. Tekintsünk most az egy skalár

változós V(t) függvényt a következők szerint: 0( ) ( , ( , , ))def

V t v t x t t c= . Ezen függvény t változó szerinti deriváltja az összetett függvényekre vonatkozó lánc-szabály szerint:

0 0 0

1

( , ( , , )) ( , ( , , )) ( , , )( )( )n

i

i i

v t x t t c v t x t t c dx t t cdV tV tdt t x dt=

∂ ∂= = +

∂ ∂∑& .

Ezt a deriváltat méltán nevezzük a ( ) ( , )V t v t x= függvénynek az 0( , , )x t t c megoldás-trajek-tória mentén vett deriváltjának.

Figyelembe véve, hogy a differenciálegyenlet szerint 00

( , , ) ( , ( , , )); 1,2,...,ii

dx t t c f t x t t c i ndt

= = ,

az előző kifejezésből a következően adódik, hogy:

0 00

1

( , ( , , )) ( , ( , , ))( )( ) ( , ( , , ))n

ii i

v t x t t c v t x t t cdV tV t f t x t t cdt t x=

∂ ∂= = +

∂ ∂∑& .

A most képzett ( )V t& derivált előjelét vizsgálva a következő megállapítás tehető. Ha ( ) 0V t ≤&

teljesül minden 0t t≥ esetén, akkor az x(t,t0,c) megoldás olyan lefutású, hogy a V(t) függvény

nem növekvő (azaz csökken vagy stagnál) minden 0t t≥ esetén. Ez azt jelenti, hogy az

x(t,t0,c) megoldásnak az x = 0 nyugalmi helyzettől a 0( ) ( , ( , , ))V t v t x t t c= által mért távolsága nem növekszik. Az elmondottakhoz kapcsolódóan kimondható a következő

Tétel: Ha a v(t,x) függvénynek az 0( , , )x t t c megoldás-trajektória mentén vett deriváltjára

minden 0t t∀ ≥ és x h< esetén érvényes, hogy

0( , ( , , ))( ) 0 ,dv t x t t cV tdt

= ≤&

Akkor a tekintett ( , ), nx f t x x R= ∈& elsőrendű nemlineáris differenciálegyenlet-rendszer x = 0

nyugalmi helyzete stabilis.

94 / 128

Megjegyzések:

1.) A bevezetett v(t,x) függvény neve: Ljapunov-függvény. Adott problémához a Ljapu-nov-függvény többféleképp is a pozitivitási feltétel teljesülése mellett megválaszt-ható.

2.) A nyugalmi helyzet aszimptotikus stabilitásának kimutatásához a v(t,x) függvény tulajdonságainak további megszorításával adható feltétel.

3.) Figyeljünk fel arra, hogy a Ljapunov-függvény segítségével a differenciálegyenlet-rendszer megoldásának tényleges ismerete nélkül is vizsgálható a stabilitás prob-léma.

Különös instabilitás, a káosz

A káosznak nevezett matematikai jelenség jellegzetes esetét adja az, amikor egy determinisz-tikus nemlineáris dinamikus rendszer mozgását leíró nemlineáris differenciálegyenlet kezdeti feltételében kis megzavarás esetén kialakuló válaszfolyamatban az idő növekedésekor nagyon gyorsan nagy eltérések lépnek fel a megzavaratlan kezdeti feltétellel meghatározott meg-oldásfüggvényhez képest. A stabilitás nem teljesül és a kialakuló függvénylefutás diagramját a külső szemlélő „véletlen” alakulásúnak érzékeli, holott semmi véletlenszerűség a diagram generálásában nem érvényesült. A kialakuló szabálytalan megoldás jelenti a káosz belépését. A viszonyokat egy mérnöki szempontból fontos külső gerjesztést fogadó dinamikai rendszeren mutatjuk be az un. Duffing-oszcillátoron. Ezen rendszer egy szabadságfokú nemlineáris lengőrendszer, melyben a rugó karakterisztika pl. az alábbi progresszív lefutású.

Az oszcillátor tömegére 2Tπω = körfrekvenciájú tiszta szinuszos gerjesztés működik:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )31 2

2sinm y t dy t s y t s y t f t tTπ

⋅ + + ⋅ + ⋅ = =&&

A gerjesztés periódusideje T = 2π /ω . Ekkor a zéró kezdeti érték

mellett adódó (origóból induló) kitérésfüggvényt az idő függvényében a fekete vonal

mutatja. Amennyiben igen kis pozitív δ kezdeti értékkel indul a megoldás akkor a piros ábra szerinti, a szinuszos jelalaktól kezdetben csak kismértékben eltérő, de a periódusok előre haladásával egyre inkább csipkézettséget mutató, a fekete megoldásfüggvénytől egyre jobban eltérő megoldásfüggvény adódik.

95 / 128

Az utóbbi megzavart megoldás ekvidisztáns időpont-sorozaton való számítása során mentsük ki az egymástól T periódusidőben különböző abszcisszájú mintavételi pontokbeli ( )nx y nδ= Τ

kitéréseket és ( )nv y nδ= Τ& deriváltakat (sebességeket). Mármost a kimentett ordinátákat egymásra

merőlegesen felrakásával ponthalmazhoz jutunk a kétdimenziós alapsíkon (mozgásállapot-sík). A kirajzolódó ábra az u.n. „különös attraktor”, egy vonzó halmaz, mivel a szabály-talannak látszó megzavart függvénylefutásból és deriváltjából származó koordináta párokkal meghatározott pontok nem szóródnak szabálytalanul és véletlenszerűen szét az egész síkon, hanem a rendszertulajdonsággal meghatározott attraktor alakzaton sorakoznak.

96 / 128

5. Extrémumproblémák

A következőkben a mérnöki gyakorlatban gyakran előforduló három extrémum-probléma típussal foglalkozunk. Ezek a következők:

4. Lokális szélsőérték probléma 5. Feltételes szélsőérték probléma 6. Variációs szélsőérték probléma.

Ad. 1. Lokális szélsőérték Legyen adva egy n-változós skalárértékű ),...,,( 21 nxxxf függvény. Ennek keressük a lokális szélsőérték helyeit és az ezeknél érvényes szélső értékeit. Szemléltetésként szorítkozzunk kétváltozós ),( yxf függvényre, melynek jellegfelületét a lokális szélsőértékek helyeit az ott megrajzolt vízszintes érintő síkokkal érzékeltetjük.

A lokális szélsőérték helyeken a tekintett z = f(x,y) függvénynek az x és y független változók szerinti parciális deriváltjai eltűnnek. Így tehát a vízszintes érintősíkok koordinátapárokkal jellemzett ˆ ˆ( , ); 1,2,3i ix y i = érintési pontjaiban meghatározott első parciális deriváltak

alapján az , ,

( , ) ( , )0 0 , 1,2,3x y x yi i i i

f x y f x y ix y

∂ ∂= ∧ = =

∂ ∂ egyenletrendszerek állnak ren-

delkezésre a lehetséges szélsőértékhelyek ˆ ˆ( , ); 1,2,3i ix y i = koordinátapárjainak megha-tározására. Amennyiben a kiindulásként tekintett n -változós ),...,,( 21 nxxxf függvényt vizsgáljuk, akkor a fentiek alapján értelemszerűen az első parciális deriváltak eltűnésével megadott

1 2( , ,..., ) 0 , 1,2,...,n

i

f x x x i nx

∂= =

∂ egyenletrendszerek megoldása a feladat. Röviden össze-

97 / 128

foglalva: a lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele: az első parciálisok együttes eltűnése!

Ad. 2. Feltételes szélsőérték

Legyen ycxbayxf 000),( ++= egy kétváltozós lineáris függvény (a z tengelyt a0 magas-ságban metsző S sík egyenlete). Legyen adva az ábra szerinti x,y alapsíkban a g(x,y) = 0 összefüggéssel a g zárt görbe. Fussa be az (x,y) koordinátapárral jellemzett alapsíkbeli pont a g görbét, és tekintsük az f lineáris függvény értékeit ezek koordinátapárokon! A jelzett szituációban az ábrán vázolt S síkban ellipszis-szerű felületi görbe rajzolódik ki. A kiadódott felületi görbét úgy is interpretálhatjuk, hogy annak pontjai az alapsíkbeli g görbére, mint vezérgörbére emelt z irányú alkotókkal bíró hengerfelület és a tekintett sík metszésvonalaként áll elő. Látható, hogy az ábra szerinti lineáris f(x,y) függvénynek a g görbén az 1 1ˆ ˆ( , )x y helyen

maximuma (zmax), és az 2 2ˆ ˆ( , )x y helyen pedig minimuma (zmin) van.

Általánosabb esetként vizsgáljuk az ⊂Ω n-dimenziós tartományt, legyen értelmezett ezen az →Ω:f R n-változós célfüggvény, ezt kell extremalizálni. Legyen adva továbbá az Ωhalmazon értelmezett m-számú 1 2( ), ( ),..., ( )mg x g x g x valós értékű feltételi függvény, me-

lyekből egy Rm -beli értékeket felvevő ( )g x vektor-vektor függvény képezhető: g →

. Tekintsük a feltételként megfogalmazott függvényekkel a 0)( =xg egyenletrendszert.

Azon x ∈ vektorok jöhetnek szóba szélsőértékhelyként, amelyek kielégítik ezt a feltételi egyenletrendszert.

Vizsgáljuk a feltételes szélsőérték szükséges feltételét! Tegyük fel, hogy ∈x lokális szélső-

érték hely. Tekintsük a feladat 1

( , ) ( ) ( )m

i ii

F x f x g xλ λ=

= + ∑ kifejezéssel értelmezett un.

Lagrange-függvényét amely a megadott egyszerű szerkezetű vektorváltozós skalárértékű függvény. Itt a szummában a feltételi függvények szorzóiként szereplő 1 2, ,..., mλ λ λ valós

98 / 128

változók az ún. multiplikátorok. Amennyiben x valóban lokális szélsőértékhely, akkor teljesül az alábbi két egyenletrendszer:

ˆ ˆ

( , ) ( , )0 , 0x x

F x F xx

λ λλ

∂ ∂= =

∂ ∂

Homogén lineáris célfüggvény, lineáris programozás (LP)

A mérnöki gyakorlatban sok esetben viszonylag egyszerű homogén lineáris célfüggvényre vonatkozó feltételes szélsőérték feladat fogalmazódik meg. Ez esetben is három jellegzetes matematikai objektum kezelése szükséges

1. Célfüggvény, 2. Akcióparaméterek 3. Korlátozó feltételek

Azt a speciális esetet vizsgáljuk, amikor az :f célfüggvény homogén lineáris és alakja a következő kifejezéssel van megadva az x1, x2,…,xn akcióparaméterek függvényében:

1 2 1 1 2 2( , ,..., ) ... !n n nf x x x c x c x c x extr= + + + =

A homogenitást azzal emeljük ki, hogy ha

1

2

00

0

0n

xx

x

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

MM, azaz az Rn zéróeleme, akkor a

tekintett homogén lineáris függvény láthatóan zérus értéket vesz fel:

1 2(0) 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0nf c c c= + + + = + + + = .

A korlátozó feltételeket tekintve most a lineáris célfüggvény szélső értékhelyét és szélső értékét gyakorlatilag használható eredményt remélve csak az Rn egy korlátos zárt tartomá-nyában keressük. Legtöbbször az x akcióparaméter vektor koordinátái nem-negatívak és az Ax b= lineáris alakzattal (n-dimenziós poliéder felület kitűzésével) korlátozottak. Így tehát a

korlátozások speciális tulajdonságai a megadott bA, objektumokkal meghatározottak, és az x

akcióparaméter vektor olyan kell, hogy legyen, hogy

1. extrémalizálja a célfüggvényt 2. kielégíti a korlátozó feltételeket

Kimutatható, hogy a jelzett korlátozó feltételek mellet a célfüggvényt extremalizáló akció-paraméterek a korlátozó feltételi egyenletrendszer által meghatározott konvex poliéder egyik csúcspontjába mutató vektort határoznak meg.

Sok mérnöki feladat esetén a korlátozó feltételek nem egyenletrendszerrel, hanem egyenlőt-lenség-rendszerrel lépnek be, például bxA ≤ , vagy bxAa ≤≤ alakú korlátozó feltételek

vannak előírva.

99 / 128

Az elmondottakat egyszerű példával szemléltetjük. Legyenek csupán két akcióparaméter, melyek nem negatívak: 1 20 0x és x≥ ≥ . Tekintsük a homogén lineáris célfüggvényre

f(x1,x2) = 1 1 2 2 max!c x c x+ = célfüggvényre vonatkozó maximum-feladatot. A további korlá-tozó feltételek legyenek egy oldalról egyenlőtlenségekkel megadva:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

a x a x ba x a x b

+ ≤+ ≤

A célfüggvény egy origón átmenő S síkot határoz meg (a szemléltetéshez 00 21 >∧> cc fel-vétellel éltünk).

A korlátozó egyenlőtlenség-rendszer most egy az alapsík origójához támaszkodó tartományt határoz meg, a határoló egyeneseket az x1 tengely, az x2 tengely, az a11x1 +a12 x2 = b1 és az a21x1 +a22 x2 = b2 egyenletű egyenesek határolják. A megengedett akcióparaméter vektorok alapsíkbeli konvex poliédere (mely most négyszög) kirajzolódik. A konvex poliéder sarokpontjaiban meghatározva a célfüggvény értékét kiadódik a maximalizáló sarokpont, amely az ábrázolt esetben az x1 tengely és az a11x1 +a12 x2 = b1 egyenes metszéspontjában van. A feladat megoldását jelentő [ ]1 2ˆ ˆ ˆ,x x x= „csúcsponti” vektor meghatározott.

A lineáris programozás mérnöki alkalmazásai közül érdekes példát jelent az adott kialakítású erőátviteli rendszerrel bíró jármű esetén az energiafelhasználást minimalizáló üzemeltetési mód meghatározása. A vizsgálatot egyszerűsített feladaton mutatjuk be, hidrodinamikus erőátviteli rendszer feltételezésével. A hajtásrendszer primer oldalán feltételezzük, hogy a hajtó erőgép (pl. dízelmotor) állandó fordulatszámon dolgozik, és a rendszerbe bevitt Pn

primer teljesítmény is konstans értékű. A jármű hatásfokfüggvénye megadott a sebesség függvényében: η=η(v). Tekintsünk a [0,vmax] sebességtartomány egy elegendően finom

ekvidisztáns felosztását a 0

ni i

v=

osztópontokkal, ahol v0 =0 és vn = vmax. Így előállt n számú

100 / 128

ekvidisztáns osztásköz, amelyek középső 1

2i iv v− +

; i=1,2,…,n pontjain mintavételezzük a

megadott η=η(v) hatásfokfüggvényt. A mintavételezés egy n-elemű 1

10

( )2

nn

i i

ii

i

v vη η∗−

==

+⎧ ⎫ =⎨ ⎬⎩ ⎭

hatásfok sorozathoz vezet. Tekintsük most a lehetséges üzemeltetési viszonyok során jelentkező megengedett (monoton nem csökkenő változású) sebesség eloszlásfüggvények ( )F xα α∈Γ

seregét az ábra alsó diagramja szerint. Legyenek az egyes [vi-1,vi] intervallu-

mokbeli eloszlásfüggvény megváltozások (növekmények) a nem negatív elemű 1

ni i

F=

∆

sorozattal megadva.

A mérnöki feladat célkitűzése az, hogy a hajtó erőgép által szolgáltatott energia a legjobb hatásfokkal legyen kihasználva, vagyis olyan feladatot kell adni a járműnek, amelynek teljesítése során az erőátviteli rendszer a motortól érkező energiát a legkisebb veszteség mellett tudja átvinni, vagy ami ugyanaz az, amilyen feladat teljesítése közben az erőátviteli rendszer a legjobb hatásfokkal tud dolgozni. Az elmondottak szerint az lehetne az erőátviteli rendszer sajátosságaihoz legjobban illeszkedő üzemeltetési feladat, amelynél a hatásfok diagram szerint két csúcshatásfoki sebességnél alakulna ki a járműüzem, és a gyengébb hatásfokú üzemállapotokat képviselő sebességek nem is fordulnának elő. Természetesen a járműnek be kell futnia a teljes sebesség-intervallum értékeit és a sebességek előfordulása nem szorítkozhat a két csúcshatásfoki sebesség értékpárjára. Az elmondottak azt jelentik, hogy a sebesség eloszlásfüggvénynek folytonosnak kell lennie, és az egyes sebesség osztásközökben valamennyi minimális időt el kell tölteniük, így az egyes i-indexű sebesség intervallumokban megvalósuló iF∆ eloszlásfüggvény növekmények alulról korlátosak mindenkor nem-negatív és egynél kisebb mi korláttal, azaz i iF m∆ ≥ minden i=1,2,…,n indexre megadható korlátozó feltétel. Másrészt az is figyelembe veendő, hogy a közlekedési feladat teljesítése azt is megköveteli, hogy az egyes sebességi osztályközökbeli iF∆ elosz-lásfüggvény növekmények felülről is korlátosak legyenek mindenkor nem-negatív és egynél kisebb Mi korláttal, azaz i iF M∆ ≤ minden i=1,2,…,n indexre korlátozó feltételként

101 / 128

jelentkezik. Amennyiben figyelembe vesszük, hogy az egyes sebességintervallumok előfor-dulásai teljes eseményrendszert alkotnak, és így iF∆ valószínűségeik összege eggyel egyenlő, akkor meghatározhatóvá válik a kitűzött feladat három részfeltételből összeálló teljes korlátozó feltételi rendszere:

1.) 1 i iF m≥ ∆ ≥ ; ∀ i=1,2,..,n; 2.) 0 i iF M≤ ∆ ≤ ; ∀ i=1,2,..,n; 3.) 1

1n

ii

F=

∆ =∑ .

ahol az mi korlátok határozottan pozitív, egynél kisebb számok, az Mi korlátok pedig minden i indexre az mi korátoknál nagyobb, de 1-nél kisebb számok.

A végrehajtandó maximalizálás akcióparaméterei most a 1

ni i

F=

∆ sorozat elemei, az eloszlás-

függvény növekmények, amelyek jelentése a tekintett intervallumokban tartózkodás való-színűsége.

Meghatározandó mármost a maximalizálás célfüggvénye. Ez a leadott hasznos vontatási munka értékének felírását követeli meg. Mivel az erőgéptől Pn teljesítmény érkezik, és az i-edik sebességintervallumban eltöltött Ti üzemidőt iT F∆ i=1,2,..,n; alakban kapjuk, ahol T a teljes vizsgálati időkeret. Ezen meggondolás után a teljes T össz-idő alatt leadott hasznos

vonóerő munka az n-változós 1 21

( , ,..., )n

n n i ii

W F F F TP Fη∗

=

∆ ∆ ∆ = ∆∑ függvény alakjában írható

fel. Ezt kell maximalizálni a 1

ni i

F=

∆ akcióparaméterek optimális értékrendszerének

meghatározásával, oly módon, hogy egyidejűleg tegyen eleget a három fenti korlátozó feltételnek. A célfüggvény tehát:

1 21

( , ,..., ) max!n

n n i ii

W F F F TP Fη∗

=

∆ ∆ ∆ = ∆ =∑

mivel pedig mind T, mind Pn állandó érték, ezek a maximalizálás szempontjából irrelevánsak, a célfüggvény végül is egyszerűsödik, a

1 21

( , ,..., ) max!n

n i ii

W F F F Fη∗

=

∆ ∆ ∆ = ∆ =∑

alakot ölti és a 1 2, ,..., nF F F∆ ∆ ∆ független változók (akcióparaméterek) homogén lineáris függvénye lesz. Figyeljük meg, hogy a felírt lineáris célfüggvény a konstans elemű n-dimen-

ziós 1 2, ,..., nη η η η∗ ∗ ∗ ∗⎡ ⎤= ⎣ ⎦

vektor, és az ugyancsak n-dimenziós [ ]1 2, ,..., nF F F F∆ = ∆ ∆ ∆

vektor skaláris szorzata, vektoros írásmóddal tehát:

1 21

( , ,..., ) ( , ) max!n

n i ii

W F F F S F Fη η∗ ∗

=

∆ ∆ ∆ = ∆ = ∆ =∑

A feladathoz tartozó korlátozó feltételeket egyrészt a mátrixosan felírt

102 / 128

1 1 1

2 2 2

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1n n n

m F Mm F M

m F M

∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥≤ ≤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M M MM M O M

L

lineáris egyenlőtlenség-rendszerrel, és az azzal szimultán érvényesítendő a 1

1n

ii

F=

∆ =∑ egyen-

lőséggel rögzítjük. A lineáris programozásra vezető mérnöki feladat a fentiekben korrektül kitűzésre került. A feladat megoldására számos algoritmus található az irodalomban, és a kereskedelmi szoftvercsomagokban (pl. MATLAB). A célfüggvényt maximalizáló megoldás vektorról annyit mindenképpen rögzíteni lehet, hogy az az n-dimenziós térben a korlátozó egyenlőtlenségek által meghatározott konvex poliéder (esetünkben n-dimenziós intervallum,

másképp n-dimenziós téglatartomány) és a 1

1n

ii

F=

∆ =∑ feltétel által meghatározott eltolt

hipersík metszésvonalának valamely sarokpontjába fog mutatni. Tulajdonképpen elegendő lenne ezen metszésvonal alakzat sarokponti helyvektorait rendre meghatározni és behelyet-tesíteni azokat a célfüggvénybe. Így véges számú (kevés) lépés után a maximális célfüggvény értéket adó akcióparaméter-helyvektor ismertté válik, ami a feladat megoldását adja. A célfüggvény energetikai jelentése a tárgyalásunkban kiviláglott, végül még egy lényeges aspektus érdemel említést. A feladatban szereplő sebesség eloszlásfüggvény a jármű üzemben kialakuló sebességet, mint valószínűségi változót jellemzi. A rendszer hatásfokfüggvényének független változója a sebesség, most tehát a hatásfokfüggvény értékét is valószínűségi válto-zóként ismerjük fel. Mit jelent mármost a feladat célfüggvénye? A célfüggvényben szereplő összeg tulajdonképpen egy integrál közelítő összeg, amelyet tovább elemezve a

max

1 0

( ) ( ) ( ) max!vn

i ii

F v dF v vη η η∗

=

∆ ≈ = =∑ ∫ E

kifejezés-sor írható fel. Ebből a felírásból kiviláglik, hogy a célfüggvényünk a valószínűségi változónak bizonyuló hatásfok (mint a valószínűségi változó sebesség függvénye) ( )vηEvárható értékének maximalizálását tűzi ki célul.

Az extremalizálási feladat megoldása a törésponti koordinátáival jól meghatározott eloszlásfüggvény alakhoz vezet. A közlekedésüzem irányításában ez úgy használható fel, hogy az egyes közlekedési feladatok szimulációval meghatározott sebességeloszlás válasz-tékából a vizsgált járművet azon feladat megoldására „vezényeljük”, amely feladat végre-hajtásához a járművünk számára optimális eloszlásfüggvényhez közel álló eloszlásfüggvény megvalósítása szükséges. Az optimálási feladatot több járműtípusra elvégezve, midig az aktuális feladatot (viszonylag) leggazdaságosabban megvalósító jármű jelölhető ki a felmerülő szállítási feladat megvalósítására.

Ad 3. Variációs szélsőérték

Itt egy megadott funkcionál szélsőértékének meghatározása a feladat. Mint ismeretes, a funkcionál olyan operátor, amely valamely matematika objektumhoz számot (ált. valós számot) rendel hozzá. A következőkben valós változós valós értékű függvénysokaságon értelmezett valós értékeket felvevő funkcionálokkal foglalkozunk. Ez a variációszámítás.

103 / 128

A tekintett I funkcionál rendelje hozzá az )(xy függvényhez az

2

1

( ( )) ( , ( ), ( ))x

x

I y x f x y x y x dx′= ∫

összefüggéssel megadott valós számot. Látható, hogy az így definiált funkcionál szerkeze-tében lényeges szerepet játszik az f : R3 → R háromváltozós függvény, amelyet alap-függvénynek nevezünk. Az y(x) függvény egy függvénysokaság eleme, ezt a sokaságot most a „versenyre bocsátott” (konkurrens) függvények sokaságának nevezzük. Mind az f mind a versenyre bocsátott függvényekről feltesszük, hogy azok az összes változóik szerint kétszer folytonosan differenciálhatók. A szélsőérték feladat úgy merül fel, hogy keresendő az adott f függvényhez tartozóan azon ˆ( )y x függvény az [x1,x2] intervallum feletti teljes menetében, amelyen a I funkcionál az extrémális értékét veszi fel. A feladatkitűzés a következőképp írható fel: ( ( )) !I y x extr= , ezt méltán nevezzük a célfunkcionál kitűzésének. Természetesen megadandóak további peremfeltételek is, pl. a leggyakoribb un. fixvégpontú problémák esetén előírásra kerül az x1 helyen a megoldás függvény y1 értéke és az x2 helyen a megoldás függvény y2 értéke.

Tegyük fel, hogy az ábra szerint az ˆ( )y x függvény az extremalizálási feladat stacionárius függvénye, azaz lehetséges szélsőértékét adja a vizsgált ( ( ))I y x funkcionálnak. Ágyazzuk be ezt a függvényt egy egyparaméteres függvényseregbe, mely sokaság minden eleme elégítse ki az előírt peremfeltételeket. Az így meghatározott egyparaméteres függvénysereg elemeit jelölje ˆ( , ) ( ) ( )y x y x y xα αδ= + , ahol ( )y xδ tetszőleges lefutású olyan folytonos függvény, amely kielégíti a 1( ) 0y xδ = és 2( ) 0y xδ = peremfeltételeket. Ezért érvényes, hogy

1 1( , )y x yα = és 2 2( , )y x yα = . A függvénysereg elemeit a folytonosan változó α paraméter azonosítja, és teljesül még, hogy ˆ0 ( ,0) ( )esetén y x y xα = = . A versenyre bocsátott függ-vénysereg megadása sokszor

( , )y xα Γ

α∈

alakban történik, ahol Γ egy kontinuum számosságú indexhalmaz.

104 / 128

Tekintve, hogy az ˆ( )y x függvény a I funkcionál lehetséges szélsőérték helye (stacionárius függvénye), ezért fenn kell, hogy álljon a szélsőérték létezésének szükséges feltétele, az α szerinti első derivált eltűnését indikáló

0

( ( , )) 0I y xα

αα =

∂=

∂

egyenlőség, [ ]1 2,x x x∀ ∈ esetére. Jelöljük ki tehát az elvégzendő deriválási műveletet a vizs-

gált integrál kifejezéssel megadott funkcionál esetében:

2

0 1 0

( ( , )) ( , ( , ), '( , )) 0x

x

I y x f x y x y x dxα α

α α αα α= =

∂ ∂= =

∂ ∂ ∫

Az α –szerinti deriválás a lánc-szabály alkalmazását igényli és az integrál jel mögött vé-gezhető (a α –szerinti deriválás és az x-szerinti integrálás sorrendje felcserélhető), így

2

0 1 0

( ( , )) '( ) 0.'

x

x

I y x f x f y f y dxx y yα α

αα α α α= =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∫

Vezessük be a következő jelöléseket és elnevezéseket:

0

( ( , )) :J y xIα

αδα =

∂=

∂ az I funkcionál első variációja,

0

( , ) :y xyα

αδα =

∂=

∂ az y függvény első variációja az x függvénye, ( )y y xδ δ=

0

'( , )' :y xyα

αδα =

∂=

∂ az y’ függvény első variációja az x függvénye, ( )' 'y y xδ δ= .

Ez utóbbi 'yδ variáció előáll a yδ variáció x-szerinti deriváltjaként, azaz 'yδ = ( ) 'yδ . Ennek belátása az alábbi egyenlőségsor alapján adódik:

0 0 0

'( , ) ( , ) ( , )' ( ) ( ) 'y x y x y xy y yx x xα α α

α α αδ δ δα α α= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

A vegyük figyelembe, hogy xα

∂∂

= 0, és alkalmazzuk bevezetett jelöléseket, akkor annak

szükséges feltételeként, hogy ˆ( )y x extrémális függvény legyen az, hogy rajta az I funkcionál első variációja zérus legyen:

2

1

( ( ) ') 0'

x

x

f fI y y dxy y

δ δ δ∂ ∂= + =

∂ ∂∫ .

A fenti variációs egyenletbeli integrálkifejezés második tagja parciális integrálással kiinteg-rálható:

105 / 128

22 2

1 11

( ) ') ( ) ( ))' ' '

xx x

x xx

f f d fy dx y y dxy y dx y

δ δ δ⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= − ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫

Itt a szögletes zárójeles első tag zérus, mivel a szereplő ( )y xδ variáció az x1 és x2 végpon-tokban zérus értéket fesz fel.

Mindezt figyelembe véve azt kaptuk, hogy ha I funkcionálnak az ˆ( )y x függvényen szélső értéke van, akkor fennáll, hogy

2

1

( ) 0'

x

x

f d fI ydxy dx y

δ δ∂ ∂= − =

∂ ∂∫

Vagyis az I funkcionál első variációja az ˆ( )y x stacionárius függvényen eltűnik. Másképp: az I funkcionál valamely ˆ( )y x függvényen fennálló szélső értékének szükséges feltétele az, hogy a ˆ( )y x függvényen az I funkcionál Iδ első variációja zérus legyen. Az I első variációját megadó integrál kifejezés esetén ez az alábbi lemma szerint csak úgy lehetséges, ha teljesül a

[ ]1 20 , ,'

f d f x x xy dx y

∂ ∂− = ∀ ∈

∂ ∂ ,

un. Euler-Lagrange differenciálegyenlet.

Lemma: (a variációszámítás alaplemmája) Legyen m(x) az [ ]1 2,x x x∈ -ben folytonos függ-

vény és legyen [ ]1 2( ) ,x az x x xη ∈ -ben kétszer folytonosan differenciálható függvény. Telje-

süljön még, hogy 1 2( ) ( ) 0x xη η= = , álljon fenn továbbá, hogy bármely a most megadott felté-

teleket teljesítő ( )xη függvény esetén

2

1

( ) ( ) 0 ,x

x

m x x dxη =∫

azaz a jelzett integrál bármely eltűnő végpontú és az adott intervallumban kétszer folytonosan differenciálható ( )xη függvény esetén eltűnik. Állítás: ez csak úgy lehetséges, ha m(x) azono-

san zérus, [ ]1 2 ,x x x∀ ∈ esetén.

Bizonyítás: Indirekt bizonyítás. Tegyük fel a lemma állításával ellentétben, hogy valamely [ ]0 1 2,x x x∈ helyen ( )0 0m x ≠ . Mivel m(x) folytonos, ezért valamely 0ε > mellett létezik

egy 0 0( , )x xε ε− + környezet is, ahol ( ) 0m x ≠ . Ha olyan ( )xη% függvényt választunk, amely az 0 0( , )x xε ε− + intervallumon kívül eltűnik (zérus értéket vesz fel), az 0 0( , )x xε ε− +intervallum belsejében pedig az ( )0m x -lal azonos előjelű, akkor az alábbi

2 0

1 0

( ) ( ) ( ) ( ) 0xx

x x

m x x dx m x x dxε

ε

η η+

−

= >∫ ∫% %

összefüggés miatt a tétel állításával szemben ellentmondásra jutunk (azaz az integrál zérustól különböző értéket venne fel).

106 / 128

A fenti lemma szerinti m(x) függvény szerepét adjuk a [ ]1 2 , ,'

f d f x x xy dx y

∂ ∂− ∀ ∈

∂ ∂-re

értelmezett folytonos függvénynek, az ( )xη% függvény szerepét pedig adjuk a kétszer folyto-nosan differenciálható yδ (x) függvénynek. Az alaplemma állítása szerint

[ ]2 2

1 21 1

( ) ( ) ( ) y=0 , ,'

x x

x x

f d fm x x dx x x xy dx y

η δ∂ ∂= − ∀ ∈

∂ ∂∫ ∫%

fennállása esetén – mivel yδ tetszőleges – a másik tényező függvénynek kell azonosan eltűnnie a jelzett intervallumon, azaz fenn kell állni az

[ ]1 20 , ,'

f d f x x xy dx y

∂ ∂− = ∀ ∈

∂ ∂

azonosságnak, ami a már említett Euler-Lagrange differenciálegyenletet jelöli ki: a keresett y(x) stacionárius függvénynek ki kell elégítenie ezt az implicit differenciálegyenletet.

Mérnöki feladatok során igen sokszor kell több szabadságfokú mechanikai rendszereket kezelni. Ezen faladatok során adott rendszertulajdonságokból adódó mozgásállapot-függő és megadott külső gerjesztésekből származó erőhatások eredményeképpen kialakuló mozgás-viszonyok elemzése szükséges. A mozgásegyenletek megoldásfüggvénye egy variációs fel-adat megoldásaként, nevezetesen a kialakuló mozgásjellemző (pl. elmozdulás) függvény egy jól meghatározott funkcionál extrémálisaként azonosítható. Ha a vizsgált integrál-kifejezés keretében vizsgáljuk a kérdést, akkor az integrandusban szereplő háromváltozós f(t,y,y’) függvényt a rendszer mozgásállapot-függő kinetikus és potenciális energiájának kifeje-zéseként ismerhetjük fel.

A dinamikai vizsgálatban az eddigi x független változónak a t idő jelentést adjuk. Az y(t) függvény elmozdulást, az y’(t) pedig sebességlefutást azonosít. Legyen egyszerűség kedvéért a rendszer egy 1-szabadságfokú szabad (gerjesztetlen) lengő rendszer (harmonikus osz-cillátor). Ekkor a rendszer f(t,y,y’) függvényét az E kinetikus és az U potenciális energia különbségeként f = E – U = 0.5m[y’(t)]2-0.5s[y(t)]2 alakban vesszük fel. Tekintsük a feladat Euler-Lagrange differenciálegyenletét:

( ) ( '( )) 0'

f d f dsy t my ty dt y dt

∂ ∂− = − − =

∂ ∂,

ahonnan:

( ) "( ) 0sy t my t− − = ,

ami a harmonikus oszcillátor ismert mozgásegyenlete:

[ ]1 2"( ) ( ) 0; t ,my t sy t t t+ = ∀ ∈

A fizikai rendszerek elméletében használatos megjelöléssel összhangban az 2

1

( , , ')t

t

f t y y dt∫képlettel meghatározott mennyiséget „hatás”-integrálnak nevezzük. Tekintettel arra, hogy most a szélsőértékként kapott mozgás-trajektória ezen hatásintegrált minimalizálja, beszélünk

107 / 128

a legkisebb hatás érvényesüléséről. Másképp: az f = E – U energiakülönbség olyan mozgás mellett valósulhat meg, amely mentén a hatásintegrál értéke a lehető legkisebb.

A variációszámítás direkt módszere

A variációszámítás direkt módszerei a hatásintegrál minimalizálását véges változós függvény lokális szélsőérték feladatára vezetik vissza, mikor is az első parciális deriváltak közös eltűnéséből adódó lineáris inhomogén algebrai egyenlet megoldását kell numerikusan elvégezni. A több lehetséges módszer közül a mérnöki alkalmazásokban leggyakoribb Ritz-módszert ismertetjük.

Jelölje ( )y x az I funkcionál értelmezési tartományába eső függvényt. Közelítsük ezt meg ezen

( )y x függvényt egy az [x1,x2] intervallumban differenciálható függvényekből álló 0( ) n

i ixϕ

=

lineárisan független elemű (pl. ortogonális) függvénysorozattal. melynek elemei a következő kezdeti és végfeltételeknek tesznek eleget:

i. 0 1 1( ) ,x yϕ = ii. 0 2 2( ) ,x yϕ = iii. 1 2( ) ( ) 0 ; 1 i ix x iϕ ϕ= = ∀ ≥

A megengedett ( )y x függvény n +1 tagból álló 1( )ny x+% közelítését most

1 01

( ) ( ) ( )n

n i ii

y x x a xϕ ϕ+=

= + ∑%

alakban írjuk fel, egyelőre ismeretlen a1, a2, … ,an együtthatókkal. Alkalmazzuk most az I funkcionált az előbbi közelítő felírással megadott 1( )ny x+% függvényre:

2' '

1 0 01 11

1 2

( ( )) ( , ( ) ( ), ( ) ( ))

( , ,..., )

x n n

n i i i ii ix

n

I y x f x x a x x a x dx

a a a

ϕ ϕ ϕ ϕ+= =

= + + =

= Φ

∑ ∑∫%,

tehát egy n-változós 1 2( , ,..., )na a aΦ valósértékű függvényt kaptunk, melynek lokális szélső-értékhelyeinek meghatározásához tekintjük az első parciális deriváltak eltűnésével meg-határozott

1 2( , ,..., ) 0 , 1,2,...,ni

a a a i na∂

Φ = =∂

lineáris inhomogén egyenletrendszert, melynek megoldásával számíthatók az 1 2 nˆ ˆ ˆ, , ,a a a… együtthatók és az I funkcionál közelítő stacionárius (vagy extrémális) függvénye felírható:

[ ]1 0 1 21

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) , , .n

n i ii

y x x a x x x xϕ ϕ+=

= + ∈∑%

108 / 128

6. Sztochasztikus folyamatok a rendszerjellemzésben

Valószínűségelméleti alpfogalmak A sztochasztikus folyamatok tanulmányozásához kiindulás a valószínűségelmélet alapjainak ismerete. A következőkben ezért tömören összefoglaljuk a lényegi fogalmakat és össze-függéseket:

1. A valószínűségi mező

Definicíó: A matematikai objektumokból álló Ω, , hármast valószínűségi mezőnek nevezzük, ahol

a.) :Ω az eseménytér, a megvalósult (vagy elképzelt) kimenetelt azonosító ω elemi események összessége

b.) : eseményrendszer, algebra,: −Ω⊆= σAA , az Ω bizonyos részhalmazai-ból álló algebraσ − , melynek tulajdonságai:

1. Teljesül, hogy Ω , vagyis -nak van maximális eleme, 2. Ha Ω\ ; , vagyis zárt a komplementer-képzésre,

3. Ha ∈...,, 21 AA ∈⇒∞

=U

1iiA , vagyis zárt a végtelen unióképzésre.

c.) : valószínűségi mérték: A : 0,1 leképezést valószínűségi mértéknek nevez-zük, ha minden –beli elemhez (eseményhez) hozzárendel egy zéró és egy közé eső számot, a tekintett esemény előfordulási valószínűségét. A valószínűség a mértékelmélet nyelvén: egy nemnegatív, szigma additív, 1-re normált halmazfüggvény. A valószínűség tulajdonságai:

1. 0 1,

2. Ha ∈...,, 21 AA és jiAA ji ≠=∩ ha0 , ∑∞

=

∞

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

11 iiiAU ,

3. Ω 1.

Megjegyzés: Az Ω, objektum-pár neve: kísérlet

Valóban, Ω megadja, hogy mik az elemi események, mik a kimeneteleket indikáló elemek, pedig megadja a szóba jöhető események sokaságát, melyek megvalósulását egy kimenetel kapcsán megállapíthatjuk. Valamely elemi esemény megvalósulása mega után vonja mind-azon –beli összetett események megvalósulását (bekövetkezését), amelyek a szóban forgó elemi eseményt elemként tartalmazzák. Nyilvánvaló, hogy ezért Ω mindig bekövetkezik, bármely elemi esemény valósul is meg, és az üres halmazzal megadott ∅ lehetetlen esemény pedig sohasem következik be. Az ábra az néhány elemét mutatja. A három esemény közös részébe eső elemi esemény mind a három tekintett esemény bekövetkezését maga után vonja. Ily módon az (Ω, ) pár valóban teljes mértékben jellemzi a kisérletet.

109 / 128

Valószínűségi változó

Definíció: A : Ω leképezést valószínűségi változónak nevezzük; ha ξ mérhető az

algebrára−σ nézve, azaz ha esetén teljesül, hogy ∈<= xAx )(: ωξω .

Az )(xFξ valószínűségi eloszlásfüggvényt a ( )ξ ω valószínűségi változó szint el nem érésével kapcsolatos esemény valószínűségével értelmezzük:

=)(xFξ : ( ) xω ξ ω < .

Tehát az eloszlásfüggvény x helyhez rendelt ( )F xξ helyettesítési értéke megadja annak valószínűségét, hogy a ( )ξ ω valószínűségi változó az x értéknél határozottan kisebb értéket

vesz fel. Ha az )(xFξ differenciálható, akkor létezik adx

xdFxf

def )()(

.ξ

ξ = sűrűségfüggvény. Az

eloszlásfüggvény ( ) ( )F b F aξ ξ− megváltozása és a sűrűségfüggvény alatti ( )b

a

f x dxξ∫ terület

alkalmas az [a,b] intervallumba esés valószínűségének megadására, mint azt az ábra szemlélteti.

A mérnöki gyakorlat nagyon sok feladata igényli valószínűségi vektorváltozók bevezetését. Definíció: A : Ω leképezést valószínűségi vektorváltozónak nevezzük, ha a az minden elemi eseményhez egy beli vektort rendel hozzá. Az így értelmezett ( )ξ ω függ-

( ) ( )F b F aξ ξ−

110 / 128

vény ∀ koordináta függvénye skalár értékű valószínűségi változó, azaz –mérhető függ-vény. Formális felírás: [ ]1 2( ) ( ), ( ),..., ( ) T n

n Rξ ω ξ ω ξ ω ξ ω= ∈

A )(ωξ és )(ωξ valószínűségi változók skalár, vektor és mátrix-jellemzői A valószínűségi változók mérnöki munkában való kezeléséhez alapvető eszközt szolgáltat szóba jöhető kimeneteli értékek ingadozási középértékét jellemző konstans elméleti érték, a várható érték. Fontossági sorrendben a várható értéket követi a kimeneteli értékek várható érték körüli szóródását jellemző érték, a szórás. Ez úgy kapjuk, hogy tekintjük először a valószínűségi változónak a saját várható értékétől vett eltérését, mint új zéró várható értékű valószínűségi változót, majd ezt négyzetre emelve az így kapott ismét újabb valószínűségi változó várható értékét képezzük. Az eredményül kapott nemnegatív mennyiség a tekintett valószínűségi változó szórásnégyzete, ebből gyököt vonva adódik a szórás.

Valószínűségi vektorváltozóknál a skalár várható érték szerepét a várható érték vektor (röviden: várható vektor) veszi át, míg a skalár szórás négyzet kiterjesztéseként a kovariancia mátrix kerül bevezetésre.

1. Várható érték:„ ú ”

∞∞ ∞

∞ ,

A várható érték skalár változó esetén a valószínűségi sűrűségfüggvény alatti terület

súlypontjának abszcisszájaként adódik ki: sx ξ= E

2. Szórásnégyzet skalár változó esetén: D E E 0

3. Várható érték vektor változó esetén: E

E

E

E

„várható vektor”

4. Kovariancia-mátrix vektor változó esetén: E E E E E E E E

E E E E E E E E

E E E E E

ahol, E E E a ( )iξ ω és a ( )jξ ω koordináta valószínűségi vál-

tozók kovarianciája (amely véletlentől már nem függ), i,j =1,2, … ,n .

Sztochasztikus folyamat

Definíció: Valószínűségi változók végtelen indexelt halmazát sztochasztikus folyamatnak, véletlen folyamatnak, vagy véletlen függvénynek nevezzük.

111 / 128

1. Sztochasztikus sorozat: egy valószínűségi vektorváltozó dimenzióját minden határon túl növeljük:

...),(,),...(),( 21 ωξωξωξ i egy függvénysorozat az Ω halmazon Ω∈⇒ ∞= ωωξ ;)( 1ii

2. Szűkebb értelemben vett sztochasztikus folyamat: A szereplő valószínűségi válto-zók kontinuum számosságúak: Ttt ∈)(ωξ ; ahol , az Ω -n értelmezett t indexekkel ellátott függvénysereg. Megjegyzés: Ha -re szorítkozunk (ez megszámlálhatóan ∞ elemű halmaz) ⇒sztochasztikus sorozatra jutunk.

A fentiek szerint lényegét tekintve a sztochasztikus folyamat egy az TΩ× szorzattéren értel-mezett ( , )tξ ω kétváltozós függvény amelynek t paramétere befutja a folyamat T paramé-terterét, míg a véletlen kimentelt azonosító ω elemi események a folyamat Ω eseményterét futják be. Ha ω rögzített, akkor a folyamat egy kimenetele, egy realizációs (vagy minta-) függvényét kapjuk. Az ábrán három elemi eseményhez tartozó realizációs függvényt szemléltetünk, mikor is az Ω eseményteret a számegyenes egy intervalluma jeleníti meg.

Az egyes Tt ∈ értékekhez rendelt valószínűségi változók neve: perem valószínűségi változók. Ezek eloszlásait jellemzik az )(xF

tξ egydimenziós perem-eloszlásfüggvények.

Definíció: Ha a ( , )tξ ω sztochasztikus folyamatot a lehetséges realizációs függvények sere-geként fogjuk fel, akkor a sztochasztikus folyamat horizontális tárgyalásmódjáról beszélünk: Ttt ∈∀Ω∈ ;)( ωωξ (az ω elemi események ebben az esetben mintegy „megnevezik” a rea-lizációs függvényeket)

Definíció: Ha a ( , )tξ ω sztochasztikus folyamatot a T paramétertér t elemeihez rendelt

Ω∈∈ ωωξ ;)( Ttt valószínűségi változókként tekintjük akkor a sztochasztikus folyamat vertikális tárgyalásmódjáról beszélünk.

Sztochasztikus folyamat-típusok

1. Rekurrens folyamatok A valós félegyenesen kialakuló véletlen pontelhelyezkedés, vagy véletlen eseménykövetés a rekurrens folyamat sokszor megvalósuló példáját nyújtja. Legyen a ),0[ t adott vizsgálati intervallum, és tekintsük az alábbi véletlen pontelhelyezkedést a [0,t) intervallumon.

112 / 128

Az egyes eseménypontokat a 1 2 ( )( ), ( ),..., ( )t t tν ωω ω ω valószínűségi változó sorozat azono-

sítja, mely sorozat ( )ν ω hossza is valószínűségi változó. Fontos szerepet kapnak az alkal-mazásokban az eseménypontok közötti távolságot megadó ( )iτ ω valószínűségi változók. Az eseménypontok és az eseményközök kapcsolatát időben kialakuló eseménysorozat példájára a következők szerint foglaltuk össze:

1 1

2 1 1

1

1

a ( ) követési idő valószínűségi változó,( ) ( )( ) közös ( )eloszlásfüggvénnyel bír ( ) ( ) ( )

és a ( ) független elemű sorozat( ) ( ) ... ( ) , ( ) val.vált.

i

i

i i

tF tt

t

τ

ν ν

τ ωω τ ωτ ωω τ ω τ ω

τ ωω τ ω τ ω ν ω

∞

=

= ⎫⎪∀= + ⎪⎬⎪⎪= + + ⎭

M

Jellegzetes rekurrens folyamat a Poisson-folyamat Poisson-folyamat esetén a vizsgálat első lépésben a ),0[ t -intervallumbeli k -számú esemény bekövetkezése valószínűségének megha-tározására irányul. Ez a kérdés tehát egy ),( ων t számláló folyamat vizsgálatát jelenti, amelynek t -beli értéke megadja a ),0[ t -beli események számát. A számláló folyamatot két elemi eseményhez ( 21 ésω ω ) tartozó lefutásával (realizációs függvényével) és a t1, t2 idő-

pontokhoz tartozó 1( , ) ( , )t és tν ω ν ω peremvalószínűségi változójával az ábra szemlélteti.

A Poisson folyamat kialakulásához három jól meghatározott feltétel együttes fennállása szükséges:

1. Ritkasági feltétel: 0, 0t t≥ ∆ > esetén

: Δ , , 1 Δ , lim

ΔΔ 0.

Eseménypontok tehát csak elenyésző valószínűséggel tapadhatnak egymáshoz. Másképp gya-korlatilag egymást nem érintve „ritkán” helyezkednek el az eseménypontok a paramétertérben. 2. Független növekményűségi feltétel: Bármely 1 2 3 4 , [0, )it t t t t t< ≤ < ∈ esetén a folyamat növekményekkel megfogalmazott

( ) ( ) ( ) ( ) jttitt =−=− ωνωνωωνωνω ,,:és,,: 3412 eseménypár független

113 / 128

3. Lineáris eseménybekövetkezési feltétel: : Δ , , 1 · Δ Δ ,

azaz valamely Δ kis intervallumban egy esemény bekövetkezésének valószínűsége közel egyenesen arányos az intervallum Δ hosszával, azaz Δ -től „lényegében” lineárisan függ. A mondott három feltétel teljesülése mellett kimutatható, hogy a [0,t) intervallumban k eseménypont előfordulásának valószínűségét ( ) ( ) : ,kp t P t kω ν ω= = -vel jelölve:

( )( )( )!

0,1, 2 , ...

kt

ktp t e

kk

− ΛΛ=

=

,0

ahol ( ) ( ) .t

t dλ τ τΛ = ∫

A belépett λ τ függvény neve: eseménysűrűség-függvény. A Poisson folyamat homogén, ha eseménysűrűség függvénye állandó, amiből ( ) ,t tλΛ = ⋅ és így:

( ) ( ) , 0,1, 2,...!

kt

k

tp t e kk

λλ −= =

2. Markov folyamatok

Valamely ),( ωξ t sztochasztikus folyamat Markov-folyamat, ha a τ+t időponthoz tartozó elsőrendű feltételes perem-eloszlásfüggvénye feltéve, hogy a tetszőlegesen felvett t1 < t2 < … < tn < t paraméterpontokbeli megvalósult x1, x2, … , xn, x értékek mellett csak a legutolsó t paraméterpontban (pl. időpontban) felvett x értéktől függ, képletben:

: τ, | : , jelen,

: , … : , ő "ú "

=

: τ, | : , .

A fentiek szerint tehát Markov folyamatoknál a folyamat τ+t jövő időpontbeli sztochasztikus viselkedése csak a jelen t állapotbeli értéktől függ, és a jelen állapothoz vezető út (az előzmény alakulása) irreleváns.

Markov-láncnak értelemszerűen a diszkrét paraméterterű Markov-folyamatot nevezzük, tehát a Markov-lánc egy sztochasztikus sorozat. Figyelembe véve az elmondottakat a legegyszerűbb Markov-láncot akkor kapjuk, ha a paramétertér a természetes számok halmaza. Ekkor tetszőleges n érték és tetszőleges t1 < t2 < … < tn < tn+1 paraméterpont választás esetén érvényes, hogy:

114 / 128

: | : … :ő é é

: | :

A Markov-lánc állapotátmeneteit az átmenetvalószínűségek megadásával jellemezzük. A leg-egyszerűbb, 1-lépéses átmenetvalószínűségi mátrix elemeit az ji → átmenet feltételes való-színűségének megadásával értelmezzük:

: | : , i,j=1,2,…,m

Az alsó indexszel jelzett n-edik paraméterponthoz tartozó, és a felső indexszel jelzett egylépéses

átmenetvalószínűségi mátrix ezzel előállt: (1) (1)n n ijp⎡ ⎤Π = ⎣ ⎦ ; itt i és j befutja az állapotteret

jellemző 1,2,…,m indexeket, n pedig a sorozat praméter-indexhalmazát. Homogén Markov-lánc esetén az átmenetvalószínűségek n-függése elmarad, és homogén esetben érvényes, hogy

( ) (1) ii ⎡ ⎤Π = Π⎣ ⎦ azaz az i-lépéses átmenetvalószínűségi mátrix előáll az egylépéses átmenetvaló-

színűségi mátrix i-edik hatványaként. A Markov-lánc realizációját „fésüs” diagram ábrázolja. A diagramban feltüntettünk egy egylépéses ji → állapotátmenetet is:

Szemi-Markov folyamat

A diszkrét állapotterű sztochasztikus folyamat szemi-Markov (fél-Markov) folyamat, ha az egymás után következő állapotátmenetek Markov-láncot alkotnak (ezt nevezzük beágyazott Markov-láncnak), és az átmenet végén elért egyes diszkrét állapotokban a folyamat véletlen időtartamig marad (tartózkodik) a következő állapotátmenet bekövetkeztéig, vagyis az egyes „szinteken tartózkodása” valószínűségi változókkal adható meg. A szemi-Markov folyamat egy realizációját ábrázoló vázlaton ezek most a 1 2, ,..., ντ τ τ időintervallumokkal jelentkeznek. A

[0,t)-beli jelzett időintervallumok száma valószínűségi változó, jele ( )ν ω .

115 / 128

Valamely tá állapotátmeneti időpont esetében a következő jellemzés adható:

A szemi-Markov folyamat beágyazott Markov-láncának egylépéses átmenetvalószínűségi mát-rixára és a szint-tartózkodási idők feltételes eloszlásfüggvényeire az alábbiak írhatók fel:

1. A beágyazott Markov-lánc (egylépéses) átmenetvalószínűségi mátrix: ;Π melynek főátlóbeli

elemeire érvényes, hogy 0, minden -reiip i≡ . A mátrix m x m –es, ahol m a tekintetbe vett diszkrét állapotok száma.

2. Szint-tartózkodási időt jellemző feltételes eloszlásfüggvények a következőképp adódnak: : | : , : , ,

Az így értelmezett elemekből (feltételes eleoszlásfüggvényekből) felírható az m x m méretű )(tF = ( )ijF t mátrixértékű időfüggvény, melynek főátlóbeli elemeire szintén érvényes, hogy

( ) 0 ;iiF t i≡ ∀ , továbbá azon index-párokra, amelyek esetében az átmenetvalószínűségi mátrixban pij zérus értékű volt az ( ) 0ijF t ≡ szintén érvényes.

A szemi-Markov folyamatoknak széles körű felhasználási tere nyílik a mérnöki probléma megoldásban. Gyakorlatilag bármely véletlen lefutású folyamat első lépésbeli (közelítő) modellezéséhez elegendő számú állapot felvétele esetén alkalmazható a szemi-Markov modell adta eszközrendszer. Példaként említjük a járművek üzemeltetési folyamatának szemi-Markov folyamattal való modellezését. Itt a tekintendő diszkrét állapotokat „a jármű üzemel”, „a jármű meghibásodott és javításra vár”, „a járművet javítják” és „a jármű üzemkészen várakozik” állapotok határozzák meg. Itt tehát egy 4 x 4-es Π átmenetvalószínűségi mátrixra és egy 4 x 4-es ( ) ( )ijF t F t=feltételes szinttartózkodási idő mátrixfüggvényre van szükség a folyamat jellemzéséhez és számítógépi modellezéséhez. Mind az átmenetvalószínűségek, mind pedig a szinttartózkodási feltételes eloszlásfüggvények meghatározásának alapja az üzemeltetési folyamat hosszú időkeretben való megfigyelése és az egyes állapotokban való tartózkodási időt tükröző lépcsős függvény (realizációs időfüggvény) meghatározása és statisztikai kiértékelése. Legyen például Ni a jelzett négy üzemeltetési állapotnak megfelelő konstans értékeket felvevő lépcsős függvénybeli olyan ugráshelyek száma, ahol az ugrás az i állapotból indul (le- vagy fel). Legyen az i → j állapotátmenetek száma nij. Ekkor a Π mátrix ij indexű elemének becslését a vonatkozó

feltételes relatív gyakoriság kiszámításával kapjuk: ij ij ip n N≈ .

Az ( )F t = ( )ijF t szinttartózkodási feltételes eloszlásfüggvény elemeit az i→ j állapotátmenetek után a j állapotnak megfelelő szinten eltöltött időtartamok empirikus eloszlásfüggvé-nyeit úgy kell meghatározni, hogy a kiértékeléshez felvett időtengelyen alkalmas tk osztó-pontokat tekintve az azoktól balra eső mintaelemek számát mindig osztani kell a korábban kiértékelt összes i → j állapotátmenet számával. Az így kapott feltételes relatív gyakoriságokat az egyes tk osztáspontokhoz felrakva majd lineáris interpolálást végezve kiadódik a keresett

116 / 128

szakaszonként lineáris közelítésű ˆ ( )ijF t feltételes eloszlásfüggvény. Természetesen minden olyan ij indexpárra ezt el kell végezni, amelyekre az átmenetvalószínűségi mátix pij eleme zérustól különböző.

Stacionárius folyamatok A mérnöki gyakorlatban számos esetben lépnek fel olyan sztochasztikus folyamatok, melyek-nek „valószínűségi mechanizmusa" konstans jellegű.

Definíció: A ),( ωξ t , Tt ∈ folyamatot szigorúan stacionáriusnak nevezzük, ha minden m természetes számra, és tetszőlegesen választott Tttt n ∈,,, 21 K paraméter értékre teljesül a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 11 2 1, ,..., ,...,t t t m t t mm mx x x x xτ τξ ω ξ ω ξ ω ξ ω ξ ω+ +< < < = < <P P

összefüggés, ahol τ tetszőleges valós szám, melyre Tt ∈+τ1 .

A definíció szerinti követelményből kiolvashatjuk, hogy stacionárius folyamatoknál a véges-dimenziós perem eloszlások eltolásinvariánsak, azaz egymáshoz képest rögzített elhelyez-kedésű időpont m -esekhez tartozó peremeloszlás függvények az időpontok közös τ értékkel történő eltolásakor nem változnak. Ez utóbbi érzékelteti a folyamat valószínűségi mecha-nizmusának állandóságát.

A definícióban megfogalmazott összefüggés nyilvánvalóan felírható a véges dimenziós eloszlásfüggvények szerepeltetésével is:

( ) ( )mm xxFxxxFmttmttt

KK KK ,,, 1,21,, 121 ττ ξξξξξ ++=

A szigorú stacionaritás tehát elég szigorú feltételeket szab, ezért a gyakorlatban csak véges m-értékig szoktuk megkövetelni a rögzített távolságban felvett perem valószínűségi változók együttes eloszlására vonatkozóan a definícióban megkövetelt eltolás-invarianciát, és ekkor azt mondjuk, hogy folyamatunk az „ m -edrendű peremeloszlás mélységéig” vagy „ m -edrend-ben” szigorúan stacionárius. Egy elsőrendben stacionárius folyamatnál pl.: az elsőrendű )( 11

xFtξ peremeloszlások 1t -től

való függetlenségét kapjuk, az alábbi ábra szerint az )( 11xF

tξ eloszlásfüggvény minden egyes

Tt ∈ időpontra azonos. Ez persze messze nem jelenti azt, hogy ),( ωξ t realizációi is konstans értékűek, csak azt mondhatjuk, hogy a realizációs függvények valamely m konstans érték körül fognak ingadozni, ahol ( ) tm ξ ω=E , feltéve, hogy ez a várható érték létezik.

( )11xF

tξ( )22xF

tξ ( )33xF

tξ

117 / 128

Másodrendben szigorúan stacionárius folyamatoknál az ),( 212,1xxF

tt ξξ peremeloszlás függ-

vény csak a τ=− 12 tt időköztől függ, és így a folyamat

( ) ( ) ( )1 2 1 2, t tB t t ξ ω ξ ω=E = ( )1 2 , 1 21 2,t tx x dF x xξ ξ

∞ ∞

−∞ −∞∫ ∫

definícióval meghatározott (a várható érték képzés elvégzése után a véletlentől mér nem függő) korrelációs függvénye, ha az ott szereplő várható érték létezik - szintén csak τ -tól fog függeni, vagyis írhatjuk, hogy

( ) ( ) ( )τBttBttB =−= 1221, A mérnöki gyakorlatiban sokszor tapasztalható, hogy a fenti tulajdonság teljesül, azonban a peremeloszlások eltolás invarianciáját nem tételezhetjük fel. Ez a körülmény vezet a gyenge stacionaritás fogalmának bevezetéséhez.

Definíció: A ),( ωξ t sztochasztikus folyamatot gyengén stacionáriusnak nevezzük, ha

1. Várható érték- és szórásnégyzet-függvénye konstans

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22 , áll.; , áll.m t t d t t m tξ ω ξ ω= = = − =E E

(következik, hogy az 2( , )tξ ωE második momentum-függvény is állandó).

2. A korrelációs függvénye csak a st −=τ időköztől függ.

( ) ( ) ( )τBstBtsB =−=,

A definícióból azonnal következik, hogy ha ),( ωξ t szigorúan stacionárius és 2( , )tξ ω < ∞E ,

akkor ),( ωξ t gyengén is stacionárius. A gyenge stacionaritásból általában nem következik a szigorú stacionaritás, azonban, ha ),( ωξ t Gauss folyamat, akkor a kétféle definíció egybe-esik.

A következőkben a stacionaritás esetére vonatkozóan meghatározott egyváltozós korrelációs függvény néhány tulajdonságát soroljuk fel, ahol feltételezzük, hogy ),( ωξ t komplexértékű folyamat.

( ) ( )ττ −= BB Itt a felülvonás a komplex konjugált képzését jelöli.

( ) ( ) 20 , 0.B tξ ω= ≥E

3. )(τB pozitív szemi definit függvény, azaz

( )∑∑= =

≥−n

i

n

kjiji aaB

1 10ττ )

tetszőleges nτττ ,,, 21 K valós, és naaa ,,, 21 K komplex számok esetén. ( ) ( )τBB ≥0 , ahol τ tetszőleges.

118 / 128

Vektorértékű sztochasztikus folyamatok stacionaritását egydimenziós eset analógiájára értel-mezzük. Az m–dimenziós vektorfolyamat perem-eloszlásfüggvényeinek eltolásinvarianciáját

( ) ,nix R∈ 1,2, ,i m= K esetén az

( ) ( )mm xxxFxxxFmtttmttt

,,,,,, 21,,,21,,,2121

KK KK τττ ξξξξξξ+++

=

kifejezés rögzíti, míg a gyenge stacionaritást a vektorértékű várhatóérték-függvény konstans volta, és a mátrixértékű korrelációs függvény „τ függése” definiálja; azaz

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*1, ,..., áll.; , .nt m t m t B s t B t s Bξ ω τ⎡ ⎤= = = − =⎣ ⎦E

A definícióból azonnal következik, hogy stacionárius vektor folyamatoknál a koordináta folyamatok is szükségképp stacionáriusak a megfelelő értelemben.

Tekintsük mármost a ),( ωξ t n-dimenziós, gyengén stacionárius folyamatot. A definícióban megadott mátrix-értékű korrelációs függvény főátlóján kívül eső, keresztkorrelációs függ-vények a következő fő tulajdonságokkal rendelkeznek:

( ) ( )ττ −= ijij BB )

( ) ( ) ( )2

00 jjiiij

BBB

−≤τ

Ha ( ) ( ) ( ) , , ,i jt t tη ω η ω η ω= +

alakú, akkor

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ii ij ji jjB s t B B B Bη τ η ω η ω τ τ τ τ= = + + +E 4. Ha ),(),(),( ωξωξωζ ttt ji ⋅= alakú, ahol ),( ωξ ti és ),( ωξ tj

függetlenek, akkor ( ) ( ) ( ), , ,i jt t tζ ω ξ ω ξ ω= ⋅E E E és

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ii jjB s t B Bζ τ ζ ω ζ ω τ τ= = ⋅E Műszaki- és fizikai rendszerek vizsgálatában igen gyakran lépnek fel olyan folyamatok, amelyek gyengén stacionárius folyamatként kezelhetőek. Különösen a lineáris differenciál-egyenletekkel leírható dinamikus rendszerek vizsgálatában áll elő az a helyzet, hogy a rendszerre ható külső hatások stacionárius folyamattal modellezhetőek, azaz a rendszer állapotváltozását jellemző differenciálegyenletben a zavarótag (a gerjesztés) gyengén stacionárius folyamatnak tekinthető. Könnyű belátni, hogy a szóban forgó differenciál-egyenlet megoldása ekkor szintén gyengén stacionárius sztochasztikus folyamat lesz. A gerjesztő folyamat alábbiakban tárgyalandó spektrális eloszlás (ill. sűrűség-) függvénye alapján a megoldásfolyamat szórása megadható.

Definíció: Legyen ),( ωξ t , gyengén stacionárius folyamat ( , ) 0 tξ ω =E várható értékkel, és )(τB autokorrelációs függvénnyel. Ekkor az )(λS spektrális eloszlásfüggvényt a

( ) ( )∫

∞

∞−

= λτ λ dSeB ti

119 / 128

kifejezés definiálja. Ha )(λS abszolút folytonos, és így előáll ( ) ( )∫∞−

=λ

λλλ dsS alakban, akkor

az )(λs függvényt spektrális sűrűségfüggvénynek nevezzük.

A fenti két képlet alapján:

( ) ( )∫

∞

∞−

= λλτ λ dseB ti

tehát az autokorrelációs függvény a spektrális sűrűségfüggvény Fourier transzformáltja, így a megfordítási képlet alapján a spektrális sűrűségfüggvény:

( ) ( )∫

∞

∞−

= ττπ

λ λ dBes ti21

alakban írható fel.

Az )(λs függvény a következő fő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. )(λs valósértékű függvény 2. Mivel az előzőek alapján teljesül a

( ) ( ) ( ) ( )( )2

0 , 0t B s d Sξ ω λ λ∞

−∞

≤ = = = +∞∫E

összefüggés, így )(λs integrálható és a teljes számegyenesen vett integrálja - mely egyben ∞+ )(λS -beli határértékét adja – megegyezik a ),( ωξ t második momentumával és így nemnegatív valós számértéket szolgáltat.

3. 0)( ≥λs

A műszaki szakirodalomban az általunk bevezetett ( )s λ sűrűségfüggvényt gyakran nevezik „teljesítménysűrűség-spektrum”-nak. Ez valamely villamos rendszerben magyarázható, ha a

),( ωξ t folyamat az 1[Ω]-os ellenálláson átfolyó áram időbeli változását írja le. Ekkor ugyanis

az 2( , )tξ ωE mennyiség az ellenálláson veszendőbe menő teljesítmény középértékét adja és

így )(λs a szóban forgó veszteség teljesítményének λ körfrekvencia szerinti eloszlásaként értelmezhető. Célszerűbb azonban kerülni ezt a „teljesítménysűrűség” fogalmat, mert számos más fizikai jelentéssel bíró gyengén stacionárius sztochasztikus folyamat esetén az elnevezés súlyos félreértésekre vezethet. A helyes megnevezés ( )s λ -ra: „spektrális sűrűségfüggvény”.

A spektrális sűrűségfüggvény műszeres mérése úgy lehetséges, ha a vizsgált folyamatot villamos jel formájában jelenítjük meg. Ha most a már villamos jellé konvertált folyamatot valamely 0λ körfrekvencia környezetében a [ ]δλδλ +− 00 , intervallumban átengedő és ezen kívül záró ideális sávszűrőn „engedjük át” a ),( ωξ t folyamat vizsgált realizációját, és a szűrő kimenetén adódó függvény négyzetes időátlagát vesszük, akkor az )( 0λs érték becsléséhez jutunk. Mivel a vázolt eljárás során a várható érték képzésről időintegrálra térünk át, ezen a ponton már szemben találjuk magunkat az ergodicitás alább tárgyalandó problémájával.

120 / 128

Az ergodicitás kérdésköre

A probléma körvonalazásához tekintsük a ),( ωξ t folyamat egy realizációs függvényét, jelölje ezt ),( 0ωξ t , ahol a Ω∈0ω most rögzített. Tegyük fel, hogy ),(0 +∞−∞=T , azaz legyen a paramétertér az egész számegyenessel azonos. Felmerül a kérdés, hogy a vizsgált relációból milyen információt lehet nyerni a folyamat valószínűségi struktúrájára nézve. Számunkra nagy fontosságú lenne a vizsgált realizációs függvény szintmeghaladási tulajdonságai alapján a perem-eloszlások becslése, valamint a különböző momentumfüggvényeknek a realizációs függvény megfelelő integrálátlagaival való becslése.

Az már az eddigiek alapján is könnyen adódik, hogy teljesen általános ),( ωξ t folyamat ese-tén a fent említett becslések nem adhatók meg, hiszen például a folyamatnak legalább első-rendben szigorúan stacionáriusnak kell lennie, hogy a realizációs függvényből kiértékelhető szintmeghaladási gyakoriságokat felhasználhassuk a perem-eloszlás becsléséhez.

Azokat a matematikai tételeket, amelyekben megfogalmazzuk, hogy milyen feltételek mellett lehet a folyamat realizációjából számított jellemzőket a fenti becslésekre felhasználni, ergodikus tételeknek nevezzük.

Elsőnek a várhatóértékkel kapcsolatos ergodicitás problémáját vizsgáljuk. Tekintsük ),( ωξ t gyengén stacionárius folyamatot, ahol a t paraméter tetszőleges valós értéket felvehet. A [ ]TT ,− intervallumon elkészítjük ),( ωξ t integrál-átlagát, az

( ) ( )∫

−

=T

TT dtt

Tωξωη ,

21

valószínűségi változót, amely a T paraméterű ),( ωη T folyamat perem-valószínűségi válto-zójának tekinthető. Az ( )Tη ω várható-értéket véve és kihasználva ),( ωξ t stacionaritását

( ) ( )1 áll.

2

T

TT

m t dt mT

η ω−

= = =∫E

azaz ),( ωη T várhatóérték-függvénye, megegyezik ),( ωξ t várhatóérték-függvényével. Ki-adódott, hogy az ( )Tη ω valószínűségi változó torzítatlan becslése a stacionárius folyamat konstans várható értékének. Vizsgáljuk most ),( ωη T szórásnégyzetét. Mivel

( ) ( ) ( )2 22T T Tη ω η ω η ω= −D E E

elegendő a második abszolút momentum vizsgálata. A korábbiak szerint azonban a ( , )tξ ω gyengén stacionárius folyamat ( , ) ( )B s t B t s= − korrelációs függvényével irható, hogy

( ) ( )2

2

14

T T

TT T

B t s dsdtT

η ω− −

= −∫ ∫E

A ρτ +=t és ρ=s leképezés - pár Jacobi determinánsának abszolút értéke

121 / 128

( ) 11011

, ==

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∆

ρτ

ρτρτ ss

tt

így a fenti kettős integrál a magyarázó ábra alapján a következőképp alakul:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

0 2

2 22 0

0 2

22 0

0 2

2 0

2

1 1 4 4

1 2 24

1 1 12 2 2

1 12 2

T T T T T

T T T T T

T

T

T

T

B t s dsdt B d d B d dT T

B T d B T dT

B d B dT T T

B dT T

τ

τ

τ ρ τ τ ρ τ

τ τ τ τ τ τ

τ ττ τ τ τ

ττ τ

−

− − − − − −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠

⎧ ⎫− = + =⎨ ⎬

⎩ ⎭⎧ ⎫

= + + − =⎨ ⎬⎩ ⎭

⎧ ⎫= + + − =⎨ ⎬

⎩ ⎭

= −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( )2 2

0

1 Re 1 .2

T T

T

B dT T

ττ τ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= −∫ ∫

A továbbiakban valósértékű ),( ωξ t folyamatot vizsgálunk.

Definíció: Ha a ),( ωξ t gyengén stacionárius folyamat ),( ωη T időátlaga ω→T esetén négyzetes középben konvergál a folyamat konstans m várható értékéhez, akkor azt mondjuk, hogy a ),( ωξ t folyamat a várható értékre nézvenégyzetes középben ergodikus.

Tétel: Ha az m várható értékű )(τB korrelációs függvényű ),( ωξ t gyengén stacionárius folyamat esetén érvényes az alábbi

( )

22

0

lim1 1

2

T

TB d m

T Tττ τ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠→∞

− =∫

s-T T

T

-T

sst

=−=

ρτ

-T T

2T

-

ρ

t τ

- 2T0 τ

1 T2

1τ

−

122 / 128

limesz reláció, akkor az ),( ωη T szórásnégyzet függvénye ω→T esetén zéróhoz konvergál, vagyis ),( ωη T időintegrál ω→T esetén négyzetes középben konvergál m -hez, vagyis ekkor a ),( ωξ t folyamat a várható értékre nézve ergodikus.

Most kapott tételünket úgy is fogalmazhatjuk, hogy ergodicitás esetén a folyamat [ ]TT ,− intervallumon számított „időátlaga” négyzetes középben konvergál az ( , )t mξ ω =E „soka-ságátlaghoz”, Ha a folyamat várható értékét véges [ ]TT ,− intervallumon számított idő-átlaggal becsüljük, akkor az ismert Csebisev-egyenlőtlenség felhasználásával adhatjuk meg; a becslés megbízhatóságát.

Definíció: Ha a ),( ωξ t gyengén stacionárius folyamatból képzett T paraméteres

( ) ( ) ( )∫−

+=T

TT dt

Tωτξωξωτβ ,tt,

21,

folyamat ω→T esetén négyzetes középben konvergál a folyamat B(τ) korrelációs függvényéhez, akkor azt mondjuk, hogy a ),( ωξ t folyamat a korrelációs függvényre nézve ergodikus.

A gyengén stacionárius folyamatok másik fontos jellemző függvényét, a )(τB autokor-relációs függvényt tehát a négyzetes középben vett ergodicitás esetén a

( ) ( ) ( )∫

−

+=T

TT dt

Tωτξωξωτβ ,tt,

21,

időintegrál négyzetes középben vett határértékeként lehet származtatni. Mivel minden az időintegrál alsó és felső határába szereplő tetszőleges pozitív T esetén

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 , t, t , ( ) ,

2 2

T

TT

Tdt B BT T

β τ ω ξ ω ξ τ ω τ τ−

= + = =∫E E

azaz a ( ),Tβ τ ω időintegrál torzítatlan becslése a )(τB korrelációs függvénynek, az autokor-relációs függvényre nézve négyzetes közép értelemben vett ergodicitás teljesüléséhez ele-gendő bizonyítani a ),( ωτβT valószínűségi változó szórásnégyzetének zéróhoz tartását. Az is azonnal kitűnik, hogy a korrelációs függvényre vonatkozó négyzetes középen vett ergodicitás egyenértékű a

( ) ( ) ( ) ωτξωξωζ ,t,, += tt sorzatfolyamat átlagra vonatkozó ergodicitásával. Amennyiben ),( ωζ t gyengén stacionárius - amihez elégséges feltételt szolgáltat a ),( ωξ t folyamat negyedrendben való gyenge staci-onaritása (az 1 2 3 4 t t t tξ ξ ξ ξ⋅ ⋅ ⋅E negyedrendű szorzat momentumok eltolásinvarianciája) -

akkor a ),( ωτβT szórásának vizsgálatát a ),( ωζ t folyamatra a korábban már megismert összefüggéssel végezhetjük el.

Tétel: Ha az m várható értékű ),( ωξ t folyamat negyedrendben gyengén stacionárius, és

123 / 128

( ) ( ) ( ) ( )2

4

0

1 s, s , s , s , 1- d ,lim 2T

T

Tm

Tϑξ ω ξ τ ω ξ ϑ ω ξ τ ϑ ω ϑ

→∞

⎛ ⎞+ + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫E

akkor a ),( ωτβT szórásnégyzet-függvénye ∞→T esetén zéróhoz konvergál, és így ),( ωξ t folyamat a korrelációs függvényre nézve négyzetes középben ergodikus.

A korrelációs függvényt véges T-re vonatkozó időintegrállal származtatva (becsülve), majd Fourier transzformációt végezve, megkaphatjuk a folyamat spektrális sűrűségfüggvényének becslését.

A szigorúan stacionárius folyamatokra vonatkozóan olyan ergodikus tételek adhatók meg, amelyek a realizációból számítható „időátlagok” 1 valószínűséggel való konvergenciájának feltételeit rögzítik. Kimutatható, hogy bizonyos - elég szigorú - feltételek mellett az K,2,1,0 ,)( =nn ωξ időben diszkrét stacionárius sorozat esetén 1 valószínűséggel teljesül a következő két konvergencia-reláció:

( ) ( )

1

0

1 , 0, áll.limn

n kk

nξ ω ξ ω

−

→∞ =

= =∑ E,

( ) ( )limA

nP A

nν ω

→∞=

.

A fenti második egyenlőségben A a )(ωξn sztochasztikus sorozat állapotterében fekvő

Borel-halmazt, ( )A

nν ω

pedig az A esemény első n kísérlet során adódó relatív gyakoriságát

jelöli. Mivel ∑−

=

1

0)(1 n

kkn

ωξ az n kísérlet során kapott értékek számtani átlagát, és n

A )(ωυ az n

kísérlet során az A esemény relatív gyakoriságát jelenti, így ezek az ergodikus tételek tehát megfogalmazzák, hogy szigorúan stacionárius folyamatok esetén milyen feltételek mellett érvényes a nagyszámok erős törvénye.

A szintmeghaladás jellemzése A korábbiakban már említettük, hogy sok mérnöki problémában fontos szereppel bír az

( )

[ ]0 ,

:sup ,t T

t cω ξ ω∈

≥

esemény valószínűségének ismerete. Ha feltesszük, hogy ),( ωξ t valós állapotterű és zéró várható értékű folyamat, akkor az ismert Markov-egyenlőtlenség szerint valamely ],[ ba inter-vallumra érvényes a

( ) ( ) 2

2

,sup: ,sup a t b

a t b

tt C

C

ξ ωω ξ ω ≤ ≤

≤ ≤≥ ≤P

E

. egyenlőtlenség. Ha sikerül becslést adnunk a fenti egyenlőtlenség jobboldalán álló várható értékre, akkor a tekintett

124 / 128

( ) [ ]0 ,

:sup ,t T

t cω ξ ω∈

≥

esemény valószínűségére felső becsléshez juthatunk.

Tétel: Legyen ),( ωξ t négyzetes középben differenciálható sztochasztikus folyamat. Bevezet-ve ennek és négyzetes középben vett ( , )tξ ω& derivált-folyamatának második abszolút momen-tum függvényének négyzetgyökére az

( ) ( ) ( )

12 2t, t,e t ξ ω ξ ω= = E

és

( ) ( ) ( )

12 2t, t,f t ξ ω ξ ω′ ′= = E

, függvényeket, akkor fennáll a következő becslés:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21,sup

2

b

a t b a

t e a e b e t f t dtξ ω≤ ≤

⎡ ⎤≤ + +⎣ ⎦ ∫E.

Bizonyítás: Tekintsük 2 ( , )tξ ω formális előállításait a parciális integrálás elve alapján:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ′+=

t

a

dtttat ωξωξωξωξ ,,2,, 22

,

( ) ( ) ( ) ( )∫ ′−=

b

t

dtttbt ωξωξωξωξ ,,2,, 22

. Összeadva a két kifejezést, majd figyelembe véve az yxyx +≤− összefüggést, a

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 , , , 2 , ,

b

a

t a b t t dtξ ω ξ ω ξ ω ξ ω ξ ω′≤ + + ∫

becslést kapjuk, ahonnan 2-vel osztva, majd szuprémumra térve:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21, , , , ,sup2

b

a t b a

t a b t t dtξ ω ξ ω ξ ω ξ ω ξ ω≤ ≤

′⎡ ⎤≤ + +⎣ ⎦ ∫ .

Ha a kapott becslés mindkét oldalának várható értékét vesszük, majd az integrandus várható értékére alkalmazzuk a Cauchy-Schwatz egyenlőtlenséget, akkor

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

1 12 22 22 2

2 2

1, , , , ,sup2

1 , ,2

1 ,2

b

a t b a

b

a

b

a

t a b t t dt

e a e b t t dt

e a e b f t e t dt

ξ ω ξ ω ξ ω ξ ω ξ ω

ξ ω ξ ω

≤ ≤

′⎡ ⎤≤ + + ≤⎣ ⎦

′⎡ ⎤≤ + + × =⎣ ⎦

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

∫

∫

∫

E E E E

E E

adódik, és ezt kellett bizonyítani.

125 / 128

Ha feltesszük, hogy ),( ωξ t gyengén stacionárius, akkor adódik, hogy

( )( ) 0e t B= és ( )

2

20

( )( ) 0d Bf t Bd τ

ττ =

′′= − = −

és így írható, hogy:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 , 0 0 0sup

a t bt B b a B Bξ ω

≤ ≤

′′≤ + − −⎡ ⎤⎣ ⎦E .

Így tehát ha a ),( ωξ t folyamat gyengén stacionárius, akkor:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

,sup 1: , 0 0 0sup a t b

a t b

tt C B b a B B

C C

ξ ωω ξ ω ≤ ≤

≤ ≤

′′≥ ≤ ≤ + − −⎡ ⎤⎣ ⎦PE

.

Lineáris rendszer gyengén stacionárius bemenő folyamattal

Tegyük fel, hogy a ),( ωξ t gyengén stacionárius folyamat egy olyan rendszer bemenetére érkezik, amely homogén lineáris R leképezést valósít meg. Ezen azt értjük, hogy a )()1( ωξ t és

)()2( ωξ t folyamatok, esetén

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2, , , ,t t t tξ ω ξ ω ξ ω ξ ω+ = +R R R

vagyis az R leképzés „összetartó” tulajdonságú, másrészt, ha λ tetszőleges valós vagy komplex szám, akkor

( ) ( ) , ,t tλξ ω λ ξ ω=R R

azaz R „aránytartó” tulajdonsággal is rendelkezik.

A rendszer kimenetén jelentkező folyamat szintén gyengén stacionárius lesz. A kimenő-folyamatok jellemzőinek vizsgálatához tekintsük a rendszer )(th súlyfüggvényét. Ez - mint ismeretes - a )(tδ egység-impulzus (Dirac-impulzus) bemenőjelre adott válaszfüggvény. A

)(th -ről feltételezzük, hogy a 0t ≤ időpontokban azonosan nulla értéket vesz fel. Ha a rendszer bemenetére egy )(tx időfüggvény érkezik, akkor a kimeneten jelentkező )(ty időfüggvényt az

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y t h t x d h t x tτ τ τ

∞

−∞

= − = ∗∫

konvolúció adja meg. Ennek megfelelően a bemenetre érkező ),( ωξ t gyengén stacionárius folyamat során a rendszer kimenetén az

( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )t h t d h t tη ω τ ξ τ ω τ ξ ω

∞

−∞

= − = ∗∫

valószínűségi változók alkotta ),( ωη t sztochasztikus folyamat jelentkezik válaszként. Az ),( ωη t várható-érték függvénye:

( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) const.t h t d t h t dη ω τ ξ τ ω τ ξ ω τ τ

∞ ∞

−∞ −∞

= − = − =∫ ∫E E E

126 / 128

Adódott, hogy a lineáris rendszer válaszfolyamata is gyengén stacionárius. A következőkben feltesszük, hogy a bemenő folyamat ( , )tξ ωE várhatóérték függvénye azonosan zérus.

Az ),( ωη t válaszfolyamat autokorrelációs függvénye a definíció szerint:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 2 1 1 2

1 2, , ,

.s t

B s t s t h s h t d d

h s h t B d d

η τ τ

ξ

η ω η ω τ τ ξ ω ξ ω τ τ

τ τ τ τ τ τ

∞ ∞

−∞ −∞

−∞ −∞

= = − − =

= − − −

∫ ∫

∫ ∫

E E

Alkalmazva a τ=− st , 11 ϑτ =−s és 22 ϑτ =−t , valamint a 121212 ϑϑτϑϑττ +−=+−−=− st helyettesítéseket, kimenőfolyamat korrelációs függvénye a következőképp alakul:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫

∞∞

+−=0 0

211221, ϑϑϑϑτϑϑ ξη ddBhhtsB .

Mivel a kapott kifejezés csak τ -tól függ, ezért ),( ωη t valóban gyengén stacionárius. A ( )Bξ ⋅ korrelációs függvényt a λ körfrekvenciától függő )(λξs spektrális sűrűségfüggvény Fourier-transzformáltjaként kifejezve, adódik, hogy:

( ) ( ) ( )∫

∞

∞−

+−=+− λλϑϑτ ϑϑτλξξ desB i 12

12.

Visszahelyettesítve kimenet korrelációs függvényére fent kapott kifejezésbe, a

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫

∞

∞−

∞−

∞

= λλϑϑϑϑτ λτξ

λϑλϑη desdehdehB iii

022

011

21

összefüggés adódik. Vezessük be a rendszer

( ) ( ) iH i h t e dtλτλ

∞−

−∞

= ∫

komplex frekvenciafüggvényét, ezzel írható, hogy:

( ) ( ) ( ) ( ) iB H i H i s e dλτ

η ξτ λ λ λ λ∞

−∞

= −∫

összehasonlítva a most kapott képletet a definíció szerint érvényes

( ) ( ) iB s e dλτξ ξτ λ λ

∞

−∞

= ∫

kifejezés szerkezetével az integrandusok szükségképp való megegyezése alapján adódik az

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2s H i H i s H i sη ξ ξλ λ λ λ λ λ= − =

127 / 128

összefüggés, amely szerint tehát a be- és kimenő folyamatok spektrális sűrűségfüggvényei között igen egyszerű kapcsolat adható meg, mely összefüggés a statisztikai dinamika alaptétele néven ismeretes.

A válaszfolyamat )(ληs spektrális sűrűségfüggvénye ismeretében a válaszfolyamat szórásnégyzete már származtatható, ugyanis:

( ) ( ) ( )2

0

, 0 2t B s dη ηη ω λ λ∞

= = ∫E

és mivel feltettük, hogy ( , ) 0tξ ω =E , ezért ( , )tη ωE a (152.) alapján szintén zérus és így a kimenő folyamat szórásnégyzete:

( ) ( ) ( ) ( )2 22

0 0

, 2 2t s d H i s dη η ξσ η ω λ λ λ λ λ∞ ∞

= = =∫ ∫E

A kapott eredményekből látszik, hogy a vázolt eljárás az ),( ωη t folyamatot csak a második momentum mélységéig jellemzi, és ezekből csak Gauss-folyamatok esetén lehet az eloszlá-sokat is rekonstruálni.

A fentiekben röviden ismertetett összefüggések könnyen általánosíthatóak vektorértékű folyamatok esetére, természetesen ekkor a rendszer átviteli tulajdonságait már mátrixértékű súlyfüggvénnyel és komplex frekvenciafüggvénnyel kell jellemezni. A statisztikai dinamika alaptétele vektoros esetben a bemeneti folyamat és a válasz folyamat spektrálsűrűség mát-rixainak kapcsolatát adja meg.

128 / 128

AJÁNLOTT IRODALOM

[1] Arató, M.: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe. Bolyai Társulat, Budapest, 1971.

[2] Arnold, L.: Sztochasztikus differenciálegyenletek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1983.

[3] Arnold, V.I.: A mechanika matematikai módszerei. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985.

[4] Bajcsay, P.: Műszaki matematikai gyakorlatok, C. II.: Variációszámítás. Tankönyvkiadó. Budapest, 1957.

[5] Császár, L.: Végtelen sorok. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1993.

[6] Czibere, T.: Áramlástan. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.

[7] Fazekas, F.: Műszaki matematikai gyakorlatok, B.I.-II.-III.: Vektoranalízis. Tankönyv-kiadó. Budapest, 1967.

[8] Fazekas, F.: Alkalmazott matematika IV. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó. Budapest, 1974.

[9] Fazekas, F.: Műszaki matematikai gyakorlatok, C. VII.: Matematikai programozás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1967.

[9] Halász, G. - Márialigeti, J. - Zobory, I.: Statisztikus módszerek a műszaki gyakorlatban. BME Továbbképző Intézete, Budapest, 1976.

[10] Kármán, T. - Biot, M.A.: Matematikai módszerek. Műszaki Könyvkiadó. Budapest, 1967.

[11] Kósa, A.: Variációszámítás. Tankönyvkiadó Budapest, 1973.

[12] Kósa, A. (szerk.): Optimum számítási modellek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979.

[13] Máté, L.: Funkcionálanalízis műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976.

[14] Mikolás, M.: Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1978

[15] Moon, F.C.: Chaotic vibrations. John Wiley & Sons, New-York,1987.

[16] Simonyi, K.: Elméleti villamosságtan. Egyetemi tankönyv. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976.

[17] Pontrjagin, L.S.: Közönséges differenciálegyenletek. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1975.

[18] Rudin, W.: A matematikai analízis alapjai. Tipotex Kft., Budapest, 2010.

[19] Szász, G.: Matematika I. – III. Tankönyvkiadó. Budapest, 1988-1989.

[20] Tél, T. - Gruiz, M.: Kaotikus dinamika. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002. [21] Zobory, I.: Analitikus módszerek a rendszertechnikában, I. – II. Egyetemi jegyzet. BME

Vasúti Járművek Tanszék, Budapest, 2007.

[22] Zobory, I.: Sztochasztikus folyamatok a rendszerdinamikában, I. – II. – III. Előadások PhD hallgatók számára. Kézirat, BME Vasúti Járművek Tanszék, Budapest, 2007.

[23] Zobory, I.: Járműüzem, megbízhatóság és diagnosztika. Egyetemi jegyzet. BME Vasúti Járművek Tanszék. Budapest, 2009.

[24] Zobory, I.: Sztochasztikus folyamatok. BME Járműgépészeti Intézet, Budapest. 1994.

[25] Zobory, I.: Rendszertechnika és rendszeranalízis. Egyetemi jegyzet. BME Vasúti Jármű-vek és Járműrendszeranalízis Tanszék, Budapest, 2011.