Upload
phungcong
View
218
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
2
Méthode des EF étendus
Eric Béchet (it's me !)
Études d'ingénieur à Nancy (Fr.)
Doctorat à Montréal (Can.)
Carrière académique à Nantes puis Metz (Fr.)
Puis Liège... Contact :
3
Méthode des EF étendus
Plan de la présentation
Introduction Rappels Problème simple (saut sur la variable primale) Extensions en 2D / 3D Autre problème (saut sur la dérivée) Autres applications et recherche actuelle Conditions aux limites Références et littérature
5
Méthode des EF étendus
Introduction
Calcul par éléments finis « classiques » Géométrie délimitée par les bords des éléments
Limites du domaine de calcul Interfaces entre deux zones
aux propriétés différents Une modification de la géométrie
implique un changementde maillage
Les problèmes évolutifs (temps)peuvent nécessiter un remaillage à chaque pas du calcul
6
Méthode des EF étendus
Introduction
Techniques de génération de maillage Peuvent être plus coûteuses en temps que le calcul
par éléments finis lui-même Impliquent une interaction homme-machine
fréquente Sont une source potentielle d'erreurs
Humaines Robustesse des algorithmes
8
Méthode des EF étendus
Introduction
Idée ici: Minimiser les contraintes sur le maillage utilisé Mais la génération de maillage reste nécessaire
Calcul précis si éléments de plus faible taille
→ Adaptation de maillage
9
Méthode des EF étendus
Rappels
On se base sur la MEF en partant d'une forme faible :
Discrétisation: On cherche u dans un espace discrétisé (les fonctions tests v font partie de )
uh x =∑i
i N i x , x∈
Trouver u∈H 1(Ω) tel que
∫Ω
a (u , v)d Ω=∫Ω
b(v)d Ω ∀ v∈H 01(Ω)
V h⊂H 1(Ω)
V 0h⊂H 01(Ω)
10
Méthode des EF étendus
Rappels
Un maillage conforme de l'espace sert à définir les fonctions de forme
FF à support compact Partition de l'unité Interpolation
∑i
N i=1
u x i=i
u x =∑k
k N k pour x∈T j
11
Méthode des EF étendus
Rappels
FF à support compact Permet d'avoir des matrices creuses (donc peu
volumineuses en mémoire) Partition de l'unité
On sait représenter un champ constant ! Interpolation
Facilité pour imposer des conditions de Dirichlet Utilisation de maillages conformes
Précalcul de nombreuses opérations possible au niveau élémentaire
12
Méthode des EF étendus
Problème simple
Barre 1D (L, E, S) encastrée soumise à un effort réparti f(x)
On veut déterminer le déplacement u(x) et on veut couper cette barre (penser à une fissure) Avec la MEF standard Avec la méthode des éléments finis étendus
f(x)
L
13
Méthode des EF étendus
Problème simple
Forme faible, ici cond. limites homogènes
avec
Trouver u∈H 01 tel que
a u ,v =bv ∀ v∈H 01
a u , v =∫0
L
ES ∂ u∂ x
⋅∂ v∂ x dx bv =∫
0
L
f x ⋅v dx
Matrice élémentaire (de raideur)
Vecteur élémentaire (efforts extérieurs)
14
Méthode des EF étendus
Problème simple
Discrétisation : Éléments finis linéaires, fonctions de forme nodales.
uh x =∑i
i N i x
N 1 x N 2 x N 3 x N 4 x
15
Méthode des EF étendus
Problème simple
En reportant la forme discrétisée de u et v dans la forme faible, on obtient le système linéaire suivant :
Ici, les coefficients et sont nuls (encastrement)
[k 22 k 23
k 32 k 33]⋅2
3= f 2
f 3
1 4
k ij=∫0
L
ES∂ N i
∂ x⋅∂ N j
∂ xdx
f i=∫0
L
N i⋅ f x dx
16
Méthode des EF étendus
Cas FEM
Ajouter deux noeuds et refaire le calcul Cela s'appelle « remailler », c'est rapide et
robuste en 1D, moins en 2D et beaucoup moins en 3D
N 1 x N 2 x N 3 x N 4 x
N 5 x N 6 x
17
Méthode des EF étendus
Cas FEM
Après discrétisation, on obtient :
Les deux parties entourées sont indépendantes On peut faire deux calculs séparés pour
résoudre chaque sous-problème
[k 22 k 23 0 0k 32 k 33 0 00 0 k 44 k 45
0 0 k 54 k 55]⋅2
3
4
5=
f 2
f 3
f 4
f 5
18
Méthode des EF étendus
Cas FEM
La signification physique des DDL est conservée ( signifie le déplacement au nœud i.)
Il y a bien une discontinuité entre les déplacement aux nœuds 3 et 4
Rien ne change à l'implémentation – seul le maillage et sa topologie sont modifiés
i
19
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM
On ne pas touche pas au maillage On peut par contre modifier/ajouter des
fonctions de formes
N 1 x N 2 x N 3 x N 4 x
22
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (I)
Possibilité (I) :
N 1 x N 3+ x N 4 x
+N 2
+ x
N 3- x
+
N 2- x
23
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (I)
Comment calculer les à partir des ? On introduit la fonction Heaviside :
Ainsi que son complément :
s est la distance à la coupure (ici, )
N j+,- N i
H s={0 si s≤01 si s0
H s={1 si s≤00 si s0
s=x−L2
24
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (I)
Avec ces notations, on a :
On peut noter que la partition de l'unité est conservée
{N i+ x =N i x ⋅H s
N i- x =N i x ⋅H s
25
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (I)
On doit séparer les noeuds du maillage Ceux qui ont des degrés de liberté «normaux»
vont dans l'ensemble N Ceux qui ont des degrés de liberté modifiés vont
dans l'ensemble C Le champ u s'exprime alors :
u x =∑i∈N
i N i x ∑j∈C
j+ N j
+ x ∑
k∈C
k- N k
- x
26
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (I)
Système linéaire On numérote les DDL de façon suivante :
[ 1 2 3 4 5 61 2
-3
-2
+3
+4]
[k 22
- k 23- 0 0
k 32- k 33
- 0 0
0 0 k 22+ k 23
+
0 0 k 32+ k 33
+ ]⋅2
-
3-
2+
3+=
f 2-
f 3-
f 2+
f 3+
27
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (I)
On arrive de nouveau à séparer les deux parties
La signification des degrés de libertés est partiellement perdue
On doit modifier certaines fonctions de formes et en rajouter d'autres
Il faut deux fonctions Heaviside pour modifier les fonctions de base
28
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (II)
Sans toucher aux fonctions de base ! (cas II)
N 1 x N 3 x N 4 x
+
N 2* x
N 3* x +
N 2 x
29
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (II)
Comment calculer les à partir des ? On introduit la fonction Heaviside modifiée :
Avec cette notation, on a :
N j* N i
H *s={−1 si s≤0
1 si s0
N i*x =N i x ⋅H *
s
30
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (II)
On doit encore séparer les nœuds du maillage Ceux qui portent des degrés de liberté modifiés
vont dans l'ensemble C Les fonctions classiques sont présentes partout
Le champ u s'exprime alors :
u x =∑i∈
i N i x ∑j∈C
j* N j
* x
31
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (II)
Système linéaire On numérote les DDL de façon suivante :
[ 1 2 3 4 5 61 2 2
*3 3
*4]
[k 22 k 22* k 23 k 23*
k 2*2 k 2* 2* k 2*3 k 2* 3*
k 32 k 32* k 33 k 33*
k 3* 2 k 3* 2* k 3*3 k 3*3*
]⋅2
2*
3
3*=
f 2
f 2*
f 3
f 3*
32
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (II)
Au niveau matriciel, les deux parties sont liées
A-t-on réellement deux parties séparées ? Assembler la matrice sans tenir compte des
conditions aux limites et déterminer le nombre valeurs propres nulles de cette matrice.
Si il n'y a qu'une seule entité, on aura une seule valeur propre nulle (la condition de Dirichlet manquante pour avoir un système non singulier)
Deux VP nulles -> la barre est bien coupée en deux car on a deux conditions de Dirichlet à imposer afin d'avoir un système non singulier
33
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (II)
Cas sans coupure sans CL : matrice type
det K s− I =0
K s=k⋅[
1 −1 0 0−1 2 −1 00 −1 2 −10 0 −1 1
]
Une valeur propre nulle.
k=3ES
L
34
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (II)
Cas avec coupure sans CL : matrice type
K c=k⋅[
1 −1 1 0 0 0−1 2 −1 −1 0 01 −1 2 0 −1 00 −1 0 2 1 −10 0 −1 1 2 −10 0 0 −1 −1 1
]Deux valeur propre nulles – c'est OK
det K c− I =0
35
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM (II)
La signification des degrés de libertés est perdue
On garde les fonctions de base inchangées et on en rajoute d'autres par enrichissement On construit une sorte de base EF hiérarchique
Une seule fonction d'enrichissement pour la coupure (plus simple !)
36
Méthode des EF étendus
Cas X-FEM
Les cas (I) et (II) sont équivalents (ils produisent exactement les même résultats)
On a en effet une combinaison linéaire entre les fonctions de formes de (I) et (II) :
le cas (II) rentre dans un cadre théorique – utilisation d'une fonction d'enrichissement et synthèse « constructive »
N 2 x =N 2+ x N 2
- x
N 2* x =N 2
+ x −N 2
- x
N 3 x =N 3+ x N 3
- x
N 3* x =N 3
+ x −N 3
- x
37
Méthode des EF étendus
Définition
Méthode des éléments finis étendus Se base sur les fonctions de forme FEM classiques Rajoute le produit des ces FF par une ou des
fonctions d'enrichissement Ces fonctions d'enrichissement représentent un
comportement particulier de la solution que les FF classiques ne savent pas représenter (ex. discontinuité)
u x =∑i∈
i N i x ∑k∑j∈C
jk* N j x ⋅E k x
E k x
38
Méthode des EF étendus
Plan de la présentation
Introduction Rappels Problème simple (saut sur la variable primale) Extensions en 2D / 3D Autre problème (saut sur la dérivée) Autres applications et recherche actuelle Références et littérature
39
Méthode des EF étendus
En 2D / 3D
Cas de l'élasticité linéaire Représentation de fissures Notion de Level-sets Propagation de fissures
40
Méthode des EF étendus
Exemple 2D
Coin soumis à déplacement imposé (Elasticité linéaire)
a u ,v =∫
∇su : D: ∇
sv d
bv =∫
f⋅v d
Trouver u tel quea u ,v =bv ∀v
41
Méthode des EF étendus
Exemple 2D
Déplacements sans la coupure (FEM standard)
u x =∑ i⋅ N i x N i x Les sont les
fonctions de forme linéaires (lagrange d'ordre 1)
42
Méthode des EF étendus
Exemple 2D
On impose une coupure Modifications de l'espace
fonctionnel :
Comment sont définis et l'ensemble C ?
u x =∑i∈
i⋅ N i x
∑i∈C
i*⋅ N i x ⋅H *
s
H *s
43
Méthode des EF étendus
Exemple 2D
lsn x
s=lsn x H *
s=H *lsn x
={x∈ℝ3/ lsn x =0}
lsn x
On défini le plan de coupe à l'aide d'une fonctions de niveau (level-set)On a
est la distance signée à l'interface
On prend simple-ment :
44
Méthode des EF étendus
Exemple 2D
Définition des degrés de liberté enrichis (ensemble C) Ce sont les noeuds des éléments coupés par
(iso-0 de la level-set )
45
Méthode des EF étendus
Exemple 2D
Après assemblage et calculon retrouve deux solides indépendants.
La géométrie de peut être quelcon-que.
Aucune modifica-tion du maillage
46
Méthode des EF étendus
Point délicat
Intégration On doit sous-découper les éléments le long de
l'interface (fonctions non continues à intégrer) Sur chaque petit triangle (en rouge ici), on utilise une
quadrature de Gauss car l'intégrande est polynomial
47
Méthode des EF étendus
Fissures
Modélisation des fissures Historiquement, première application de la méthode
des éléments finis étendus La fissure se propage, on ne veut pas générer un
nouveau maillage à chaque étape de propagation Une fissure est une coupure
incomplète dans le domaine
48
Méthode des EF étendus
Fissures
Représentation géométrique de la fissure Elle ne fait pas partie du maillage Sa surface est définie comme précédemment par
une courbe de niveau lsn qui représenta la distance normale a la surface.
Il faut une indication de l'endroit ou s'arrête la fissure dans son plan
Pointe (ou front en 3D ) de fissure
49
Méthode des EF étendus
Fissures
lst x
On utilise une autre level-set
Elle représente la distance au front de fissure (tangentiellement à la surface)
Les deux level-setsforment une baseorthonormée en pointe de fissure
50
Méthode des EF étendus
Fissures
={x∈ℝ3/ lsn x =0, lst x ≤0 }
Le lieu de la fissure est défini ainsi :
La zone d'enrichissement C est modifiée
51
Méthode des EF étendus
Fissures
La zone d'enrichissement C est modifiée Zone d'influence des nouvelles FF
52
Méthode des EF étendus
Fissures
La zone d'enrichissement C est modifiée Zone d'influence des nouvelles FF
53
Méthode des EF étendus
Fissures
La zone d'enrichissement C est modifiée Zone d'influence des nouvelles FF
Soit elle ne permet pas de couvrir la fissure jusqu'à son extrémité
54
Méthode des EF étendus
Fissures
La zone d'enrichissement C est modifiée Zone d'influence des nouvelles FF
Soit elle ne permet pas de couvrir la fissure jusqu'à son extrémité
Soit elle « déborde »
55
Méthode des EF étendus
Fissures
Il faut faire un traitement spécial en pointe de fissure On doit construire une fonction qui est discontinue
le long de la fissure et continue au delà
56
Méthode des EF étendus
Fissures
T (s , t )={0 si t≥0H *
(s) si t≤−e
−t H *(s)
e si −e< t< 0
avec {s=lsn(x)t=lst (x)
e
t
s
e devrait représenter quelques couches d'éléments
57
Méthode des EF étendus
Fissures
Ensemble des nœuds enrichis C' Inclut tous les nœuds dont le support est coupé par
la fissure.
u x =∑i∈
i⋅N i x ∑i∈C'
i*⋅ N i x ⋅T t , s
59
Méthode des EF étendus
Fissures
La solution attendue en pointe de fissure est connue Pourquoi ne pas utiliser directement celle ci ? On peut l'obtenir analytiquement pour une fissure
dans un milieu infini → cf cours de mécanique de la rupture
60
Méthode des EF étendus
Fissures
lsn=0
lst=0
r=lsn x 2lst x 2
=arg {lst x , lsn x }r
On définit une base polaire
=arctanlsn xlst x
61
Méthode des EF étendus
Fissures
u1=1
2 r2 {K 1 cos
2−cosK 2 sin
22cos}
u2=1
2 r2 {K 1 sin
2−sinK 2 cos
2−2cos}
=E
2 1
=3−4
u3=2
2 r2 {K 3 sin
2 }
On tient compte de la solution asymptotique en pointe de fissure (fissure en milieu infini)
K1 , K
2 et K
3 sont des constantes qui ne dépendent
que des conditions aux limites (ce sont les facteurs d'intensité de contrainte)
62
Méthode des EF étendus
Fissures
u1=a1r sin
2a2r cos
2a3r sin
2sina4 r cos
2sinCL x
u2=b1 r sin
2b2r cos
2b3r sin
2sinb4r cos
2sinCLx
u3=c1r sin
2c2r cos
2c3r sin
2sin c4r cos
2sin CLx
{f 1=r sin
2f 3=r sin
2sin
f 2=r cos
2f 4= r cos
2sin
f 1
Un peu de manipulation nous montre que:
On peut donc enrichir l'espace fonctionnel avec les fonctions indépendantes:
On peut noter que seule est discontinue.
63
Méthode des EF étendus
Fissures
f 1 f 2
f 3 f 4
Allure des fonctions d'enrichissement (fissure d'Irwin)
64
Méthode des EF étendus
Fissures
u x =∑i∈
i⋅ N i x
∑i∈C
i*⋅ N i x ⋅H *
s∑i∈T
∑j∈1..4
ij⋅N i x ⋅ f j r ,
f j r ,
Nouvel espace fonctionnel
Où enrichir ? En pointe de fissure (T) , car le reste du domaine
est déjà concerné par l'enrichissement Heaviside La solution utilisée pour construire les n'est
valable que dans le voisinage de la pointe.
65
Méthode des EF étendus
Fissures
C
T
Choix des nœuds à enrichir L'ensemble C concerne les noeuds dont le support
est entièrement coupé par la fissure L'ensemble T concerne les noeuds dont le support
contient ou touche la pointe de fissure
67
Méthode des EF étendus
Fissures
En choisissant bien l'enrichissement, amélioration du taux de convergence
68
Méthode des EF étendus
Propagation de fissures
Pour faire se propager une fissure, il faut:
Faire l'assemblage du système linéaire
Résoudre le problème
Calculer des paramètres pertinents (pour lapropagation
Mettre à jour les level-sets lsn et lst La propagation de la fissure se fait selon des
lois bien définies Fatigue Fracture fragile etc...
69
Méthode des EF étendus
Propagation de fissures
Paramètres pertinents pour la propagation de fissures Coefficients de charge (facteurs d'intensité de
contraintes) liés à la géométrie et aux conditions aux limites.
Paramètre intrinsèque vis à vis du matériau se trouvant juste devant le front de fissure
Comportement du matériau vis à vis de ces FICs : propagation ductile (acier doux) ou fragile (verre, fonte)
Pour la rupture ductile, on exprime souvent le rapport (nombre de cycles de chargement)/(avancement de la fissure)
70
Méthode des EF étendus
Propagation de fissures
J=∫[ 12 ijij1j− ij
∂ ui
∂ x1]n j d
J 12=∫
[ 1
2 ij
1 ij
2ij
1ij
21j− ij
1 ij
2∂ui
1ui
2
∂ x1]n j d
I 12=2
1−2
EK 1
1 K 12K 2
1 K 22
1
K 31 K 3
2
n j
I 12=∫
[ ij
1ij21j− ij
1 ∂ ui2
∂ x1
− ij2 ∂ ui
1
∂ x1]n j d
=J 1J 2
I 12
Calcul des facteurs d'intensité de contraintes Ils ne dépendent que l'état de contrainte dans le
voisinage de la fissure Intégrales J et d'interaction
(ne pas retenir... cf cours ultérieurs)
71
Méthode des EF étendus
Propagation de fissures
I 12=∫
V
∂qm
∂ x j kl
1kl2mj− ij
1 ∂ui2
∂ xm
− ij2 ∂ui
1
∂ xmdV
qm=⋅vm
vm
V
vm
=1 =0
Passage d'une intégrale de contour à une intégrale de volume (fissure non chargée)
On a : et vaut 1 à l'intérieur du domaine et tend vers 0 sur la frontière . est la vitesse virtuelle de propagation de la fissure (norme 1)On interpole sur le maillage.
72
Méthode des EF étendus
Propagation de fissures
Les intégrales d'interaction permettent de calculer les facteurs d'intensité de contraintes Robuste Tire parti de l'invariance de l'intégrale J Cf cours mécanique rupture.
73
Méthode des EF étendus
Propagation de fissures
dadN
=C⋅ K m
Alliage m C (m/cycle)
Acier 3 10−11
Aluminium 3 10−12
Nickel 3.3 4⋅10−12
Titane 5 10−11
Vitesse de propagation
Exemple : Alliages sous sollicitation cyclique
Loi de Paris pour la vitesse :
74
Méthode des EF étendus
Propagation de fissures
∂
∂=0 cos
c
2 [ 12
K 1 sinc12
K 2 3cosc−1]=0
c=2arctan14 K 1
K 2
± K 1
K 2
2
8
{
r }=
K 1
42 r {3cos
2cos
32
sin
2sin
32
} K 2
42 r {−3sin
2−3 sin
32
cos
23 cos
32
}
c
– Direction selon la contrainte tangentielle maximale :
– On choisit le qui correspond à maximal (en traction).
75
Méthode des EF étendus
Mise à jour des level-sets
Il existe plusieurs algorithmes mais l'essentiel est de : conserver la notion de distance signée à l'interface
pour lsn Avoir au voisinage de la pointe de fissure un repère
orthonormé constitué par (lst,lsn)
76
Méthode des EF étendus
Mise à jour des level-sets
iso-0 lst1 "avant"
iso-0 lsn1
"avant"
iso-0 lst 2 "après"
iso-0 lsn2
"après"
Transport de lsn et lst
77
Méthode des EF étendus
Mise à jour des level-sets
lsn1 & lst1 "avant" lsn2 & lst2 "après"
lst=lst2
lsn=lsn1
lst=cos ⋅lst 2sin ⋅lsn2
lsn=−sin ⋅lst2cos ⋅lsn2
dx=lst1−lst2
dy=lsn1−lsn2
=atan2dy , dx
Reconstruction de lsn et lst
93
Méthode des EF étendus
Points délicats
Intégration On doit toujours découper les éléments le long de
l'interface... mais on doit changer de quadrature ou augmenter l'ordre d'intégration en pointe de fissure car l'intégrande n'est plus polynomial
94
Méthode des EF étendus
Points délicats
Conditionnement Si le choix des ddl enrichis est mauvais, possibilité
d'une matrice de raideur singulière Passage de la fissure proche d'un noeud → on impose
de passer sur le noeud. Les fonctions d'enrichissement en pointe de fissure
peuvent induire un mauvais conditionnement (elles se « ressemblent »)
Utilisation d'un préconditionneur adapté
96
Méthode des EF étendus
Domaine d'application
Représentation valable pour les fissure dans les matériaux fragiles Fissure mathématiquement représentée par une
ligne infiniment fine Front de fissure ponctuel, champs infinis Lois de propagation basées sur des grandeurs
globales (e.g. taux de restitution d'énergie G...) Dans les matériaux ductiles, cela est trop
restrictif
97
Méthode des EF étendus
Matériaux ductiles
Nouvelles propriétés Forme de la fissure non triviale Propagation se fait par la mise à jour d'une variable
d'endommagement Level-sets utilisées pour représenter à la fois
- la variable d'endommagement d
- le front de fissure (où d=1)
- la frontière entre la zone endommagée (d>0) et le reste du domaine où le comportement est considéré élastique
Notion de Level-set « épaisse » , Thick Level Set
98
Méthode des EF étendus
Thick Level Set
Γ0
φ≤d≤1
Γ0
Γc
Zone non endommagéeφ≥0 d=0
Zone entièrement dégradéeφ≥l c d=1
Zone endommagée
0≤φ≤lc0≤d≤1
Γ0
Γc
l c
« Fissure »
99
Méthode des EF étendus
N. Moës, C. Stolz, P.-E. Bernard, and N. ChevaugeonA level set based model for damage growth: The thick level setApproach Int. J. Numer. Meth. Engng 2011; 86:358–380 DOI: 10.1002/nme.3069
101
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
Q=10000T=0
Alu, k=230
Acier, k=40
A
A
Problème de thermique
102
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
={x∈ / ls x =0 }
L'interface est représentée par une level-set :
Cette interface peut être de géométrie complexe ou changeante Pas de correspondance avec le maillage
103
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
Trouver u∈H 01(Ω) tel que
a (u , v)=b(v) ∀ v∈H 01(Ω)
a u , v =∫
k ∇ u⋅∇ v d bv =∫
f x ⋅v d
Modèle élément finis (de nouveau, CL homogènes)
tel que
104
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
A AInterface
T
On souhaite représenter correctement le profil de température le long de l'interface Coupe A-A : allure de T théorique
105
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
InterfaceT
éléments finis
La discontinuité est sur la dérivée de T Si l'interface passe par les frontières entre les
éléments finis, alors la discontinuité fait naturellement partie de l'espace fonctionnel.
106
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
InterfaceT
La discontinuité est sur la dérivée de T Si l'interface ne passe pas par les arêtes des
éléments finis, alors ...
107
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
Solution exacte Solution EF standard
Ceci explique la solution approximative
108
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
u x =∑i∈
i N i x ∑j∈C
j* N j x ⋅F x
F 1x =∣ls x ∣
x
F
L'idée est d'enrichir la discrétisation éléments finis afin de faire apparaître une discontinuité sur le gradient.
Il existe plusieurs possibilités. La plus simple est la suivante:
109
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
Définition de l'ensemble C des noeuds enrichis Cette fois, seuls les noeuds
dont au moins un élément du support est coupé sont enrichis
En particulier, si l'interface longe les frontières des éléments, il n'y a pas d'enrichissement
110
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
x
F
F 2x ={∣ls x ∣dans les élements coupés1ailleurs
F 3 x =∑i
∣lsi∣⋅N i x −∣∑i
lsi⋅N i x ∣
F 1 x
F 2 x
F 3 x
Voici d'autres fonctions d'enrichissement
111
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
F 3 x
F 2 xF 3 x
1 2
QT
F 1 x
En pratique, donne les meilleurs résultats Sur un problème simple, les fonctions et
sont capables de redonner la solution exacte (linéaire par morceaux) lorsque l'interface n'est pas maillée, mais pas .
112
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
Solution sans enrichissement Solution avec enrichissement
Comparaison des solutions obtenues
113
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
Solution exacte Solution avec enrichissement
Comparaison des solutions obtenues
114
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
Solution sans enrichissement Solution avec enrichissement
Comparaison du gradient
115
Méthode des EF étendus
Interface bi-matériau
Solution exacte Solution avec enrichissement
Comparaison du gradient
117
Méthode des EF étendus
Recherche et applications actuelles
Discontinuités dans la variable primale Fissures
non linéaire, plasticité propagation dynamique
Suivi de front de solidification hydrogels
Discontinuités dans la dérivée Homogénéisation Interfaces bi-matériau
118
Méthode des EF étendus
Recherche et applications actuelles
Amélioration de la qualité des algorithmes de propagation de fissures
Applications à d'autres matériaux Plasticité confinée Matériaux piézoélectriques Matériaux composites
119
Méthode des EF étendus
Recherche et applications actuelles
Interfaçage direct avec la CAO pour la simulation numérique Passage d'une représentation explicite des
surfaces à une représentation implicite par level-sets
Frontières des solides non maillées Imposition des conditions aux limites (dirichlet et
autres) Interfaces matérielles non maillées
120
Méthode des EF étendus
Recherche et applications actuelles
Applications en dynamique explicite Géométrie non maillée -> pb de pas de temps
critique Propagation de fissure dynamique (changement
d'enrichissement en pointe de fissure -> problèmes de conservation de l'energie)
121
Méthode des EF étendus
Recherche et applications actuelles
Dynamique explicite : cas sans enrichissement des FF
f(t)
t
122
Méthode des EF étendus
Problématique des conditions aux limites et de la modélisation implicite des volumes
123
Méthode des EF étendus
But ici
Libérer les contrainte sur le maillage Interfaces avec l'extérieur du problème (frontières) Et/ou interfaces entre matériaux différents
124
Méthode des EF étendus
Applications
Utilisation directe des modèles CAO pour l'analyse Génération de maillage « minimaliste »
Utilisation de sets de données « sales »non adaptés à la génération de maillages Imagerie scanner; applications biomédicales
Interfaces mobiles Remplissage de moules Optimisation de forme et optimisation topologique
Problèmes de contact en mécanique
127
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites
Comment appliquer des conditions aux limites Neumann/conditions naturelles (en mécanique :
pressions, forces) Par intégration (il s'agit
d'une forme linéaire)
Attention ! l'intégration se fait sur un domaine ΓN (ou
Ω) qui coupe les éléments du maillage
a u ,v=∫
∇su : D : ∇
sv d
b v=∫
f⋅v d ∫N
f⋅v d N
Trouver u tel quea u ,v=b v ∀v
128
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites
Comment appliquer des conditions aux limites Dirichlet/conditions essentielles (en mécanique :
déplacements) Eléments finis « standards »
élimination des DDL etajout d'une contributiondans le membre de droite
Ici, le domaine ΓD sur
lequel appliquer cela est non conforme et doncon ne peut simplement éliminer les DDL – il faut calculer les valeurs à imposer pour chaque DDL concerné... de façon à ce que la condition de Dirichlet voulue soit vérifiée
129
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Exemple 1: un simple laplacien
Trouver u∈V 1={v∈H 1 , v∣D
=uD } tel que
a u , v =bv ∀ v∈V 0={v∈H 1 , v
∣D=0 }
a u , v =∫
∇ u⋅∇ v d
bv =∫N
f⋅v d
130
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Exemple 1 DDL concernés : ceux dont le support coupe la
frontière
Matière
Vide
131
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Avec deux éléments ? Sans conditions de Dirichlet : 4 ddl , u dispose
d'une certaine liberté dans la partie rouge Si on impose exactement u=0 sur l'interface …
Combien reste-t-il de ddl pour u dans la zone rouge ?
u=0
u1
a1
a2
b2
b3 c
3
c4
u3
u2 u
4
u1
a1
=u2
a2
;u2
b2
=u3
b3
;u3
c3
=u4
c4
132
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Exemple complet Nombre de ddl restants dans les zones grises
après imposition de la condition aux limite de Dirichlet :
3 ! L'espace fonctionnel est très appauvri dans les éléments
traversés par l'interface.
Matière
Videu=0
1 11 !
133
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
On ne peut pas imposer exactement une condition de Dirichlet par élimination dès lors que celle ci est imposée au travers des éléments !
(Une) Solution : utilisation de multiplicateurs de Lagrange, cf. article Babuska 1973 (dans la bibliographie)
134
Méthode des EF étendus
Multiplicateurs de Lagrange
π(u , v)=u2+v2On veut minimiser
Si on pose une condition supplémentaire :
Méthode 1 : élimination de v :
C'est la méthode utilisée précédemment...
δ π(u , v)=2uδ u+2v δ v=0 ∀δu ,δvu=v=0 π(0,0)=0
g (u , v)=u−v+2=0
π ' (u)=2u2+4 u+4≡π(u , v)
δ π ' (u)=4(u+1)δ u=0 ∀δ uu=−1 π ' (−1)=2→v=1
135
Méthode des EF étendus
Multiplicateurs de Lagrange
δ~π(u , v ,λ)=0=(2 u+λ)δu+(2 v−λ)δ v+(u−v+2)δ λ ∀δu ,δv ,δλ
Méthode 2 : Introduction d'une variable supplémentaire
~π(u , v ,λ)=π(u , v)+λ g (u , v)=u2+v2
+λ(u−v+2)
{2 u+λ=02 v−λ=0u−v+2=0
⇔{u=−1v=1λ=2
136
Méthode des EF étendus
Multiplicateurs de Lagrange
En éléments finis , cela donne
−Δ u= f dans Ωu=uD sur ΓD
F (u)=12∫Ω
∇ u⋅∇ u dΩ−∫Ω
fu dΩÉquivalent à minimisersi les conditions du théorème de Lax-Milgram sont vérifiées.
pour tout u satisfaisant les conditions aux limites sur . En utilisant des multiplicateurs de Lagrange pour les CL, on obtient la fonctionnelle à minimiser:
D
~F (u ,λ)=12∫Ω
∇ u⋅∇ u dΩ−∫ΓD
λ(u−uD)d ΓD−∫Ω
fu d Ω
∫Ω
∇ u⋅∇δ u d Ω=∫Ω
f δ u d Ω ∀δ ude forme faible : trouver u tel que
a(u ,δ u)=l (δu)
=12
a(u , u)−l (u)
137
Méthode des EF étendus
Multiplicateurs de Lagrange
forme faible associée : ~F (u ,λ)=
12∫Ω
∇ u⋅∇ u d Ω−∫ΓD
λ(u−uD)d ΓD−∫Ω
fu d Ω
=12
A(U , U )−L(U ) U=(uλ )A(U ,U )=(u ,λ)⋅(a b
b 0)⋅(uλ)=a(u ,u)+b(u ,λ)+b(λ , u)
L(U )=l (u)+c (λ)a(u , v)=∫
Ω
∇ u⋅∇ v d Ω
b(u ,λ)=b(λ , u)=−∫ΓD
u⋅λΓD
l u =∫
fu d
c(λ)=−∫ΓD
uD d ΓD
A(U ,δU )=L(δU )
a(u ,δ u)+b(λ ,δ u)=l (δu)b(δ λ , u)=c(δλ)
138
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Trouver u∈V ={v∈H 1(Ω)}
λ∈L={μ∈H 1/2(ΓD)
' }tels que
∫Ω
∇ u⋅∇ v d Ω−∫ΓD
λ⋅v d Γ=∫ΓN
f⋅v d Γ ∀ v∈V
−∫ΓD
μ⋅u d Γ=−∫ΓD
μ⋅uD d Γ ∀μ∈L
On a « dualisé » la condition de DirichletCelle ci est maintenant traitée comme une condition de Neumann sur les multiplicateurs de Lagrange
Pour simplifier les notations, posons v=δu ,μ=δλ
139
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Les multiplicateurs de Lagrange ont un sens physique
En mécanique, c'est la force à appliquer pour assurer la condition sur la variable primale (les déplacements).
Dans notre cas, c'est le gradient de la solution (flux) à imposer pour assurer u=u
D sur Γ
D.
Le problème obtenu correspond à trouver un point selle (min-max) – La matrice du système linéaire à résoudre est non définie positive (mais symétrique)
140
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Construction des espaces discrets
On ne touche pas à l'espace primal (pour u). Il s'agit de l'espace muni des fonctions de formes nodales (fonctions chapeau)
On doit construire un espace discret adéquat pour λ.
Posons que l'espace Lh pour λ soit constituée des
fonctions chapeau construites sur les noeuds de la frontière...
Trouver uh∈V h⊂V={v∈H 1
(Ω)}
λh∈Lh⊂L={μ∈H 1/2(ΓD)
' }tels que ...
141
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Matière
Vide
Posons que l'espace Lh pour λ soit constitué des
fonctions chapeau ...
On fait un calcul. On obtient un système linéaire non défini positif de la forme suivante :
(Ah BhT
Bh 0 )(uh
λh)=(
F h
Dh)
∫Ω
∇ u⋅∇ v d Ω−∫ΓD
λ⋅v d Γ=∫ΓN
f⋅v d Γ ∀ v∈V h
−∫ΓD
μ⋅u d Γ=−∫ΓD
μ⋅uD d Γ ∀μ∈Lh
142
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
On résoud … Les multiplicateurs
de Lagrangeoscillent.
Plus h (taille caractér.du maillage) diminue, plus cela oscille...
143
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Que se passe-t-il ? Les discrétisations pour u et λ sont incompatibles. Elles ne respectent pas la condition de
Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi (LBB), ou condition inf-sup qui s'applique ici :
Cette condition est difficile à vérifier analytiquement.
O. Ladyzhensakya, Global solvability of a boundary value problem for the Navier–Stokes equations in the case of two spatial variables. Proc. Ac. Sc. USSR 123 (3) (1958) 427–429.I. Babuska, Error bounds in the finite element method, Numer. Math., 16 (1971), pp. 322-33.F. Brezzi, On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arisingfrom Lagrangian multipliers, RAIRO, Anal. Num., 8, R2 (1974), pp. 129-151
infμ∈Lh
supu∈V h
∫Γ
λhuhd Γ
h1/2‖λ‖0,ΓD
‖u‖1,Ω
≥α>0
144
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Vérification numérique de la condition LBB. Il existe un test numérique « simple »; cf Chapelle,
Bathe, 1993 et KJ Bathe 2001 (voir bibliographie) On considère un problème plus général, en ajoutant une
« raideur » k à la condition de Dirichlet (condition de Robin) – si k → , retour au cas précédent
(Ah Bh
T
Bh −1k
M h)(uh
λh)=(F h
Dh)
∫Ω
∇ u⋅∇ v d Ω−∫ΓD
λ⋅v d Γ=∫ΓN
f⋅v d Γ ∀ v∈V h
−∫ΓD
μ⋅u d Γ−∫ΓD
1kλμ d Γ=−∫
ΓD
μ⋅uD d Γ ∀μ∈Lh
145
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Test numérique de Chapelle - Bathe
Ce test revient à calculer la première des valeurs propres non nulles (b
0) du problème aux valeurs propres suivant :
ou A
h doit être inversible
Cela ne dépend pas de k ! On vérifie que b
0 ne tend pas vers 0 pour une séquence
de maillages de densité croissante. Ici, (déf de : cf. slides précédents)
(Ah Bh
T
Bh −1k
M h)(uh
λh)=(
F h
Dh)
=0
1h
(Bh Ah−1 Bh
T )W h=bM h W h
1h
(BhT M h
−1 Bh )W h'=b
' Ah W h'
α
146
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Résultats Deux cas :
- aligné avec le maillage
- non aligné Le second cas
ne fonctionnepas du tout.
147
Méthode des EF étendus
Espaces incompatibles... Espace pour les multiplicateurs de Lagrange trop
« riche » par rapport à l'espace pour la variable primale.
Revient à imposer exactement la condition de Dirichlet
→ Il faut appauvrir Lh
Conditions aux limites de Dirichlet
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
●Du maillage de l'interface, on prend chaque noeud et on le met dans un ensemble N●Si un noeud de N est aussi partie du maillage, le marquer comme vital (ens. V) , l'enlever de N●Prendre chaque arrète incidente et compter les intersections partant des noeuds de fin avec l'interface ●Trier l'ensemble N. La clef est le nombre défini plus haut (plus petit en premier)
●Boucler sur la liste ordonnée (N), ni● Prendre les noeuds de fin, et à partir de ces noeuds, les noeuds connectés de N● Si ni n'est pas NV (non vital), le marquer comme Vital (V) et
tous les autres comme non vitaux (NV)●FinBoucle
2
2
3 4 4 5
4
6 46
4 5 4 4 4
5 4 6
4
5 4 4 4 4 4 4 4 4 3
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Ce qui reste, Une distribution quasi-uniforme de noeuds
La densité est presque la même que celle du maillage de volume (surface)
Ça marche en 3D !
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Resultat de la décimation Projection des noeuds 3D
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Projection des noeuds 3DResultat de la décimation
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Construction des fonctions de forme ? Directement sur l'interface
Ça marche
… seulement en 2D
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet En 3D : on serait obligé de reconstruire une
triangulation de l'ensemble des noeuds VQue dire de :
Interfaces courbes Décalage entre les
triangulations Pb d'intégration
On doit changer l'approche pour le 3D
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet Autre solution
Prendre la traces des FF de volume – mais il y en a trop !
On combine les FF (en formant des combinaisons linéaires) pour chaque noeud V
A certaines places, une FF de volume peut être liée à plus d'un noeud V.
Il y a une liberté : 100% avec le vert, ou 100% avec le rouge ou n'importe quelle combinaison telle que la somme est 100% (pour conserver la partition de l'unité)
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Intérêt de l'utilisation de la trace comme espace des multiplicateurs de Lagrange Intégration aisée Fonctions de forme compactes Partition de l'unité sur l'interface Même algorithmes en 2D et 3D Résultats numériques ?
Méthode des EF étendus
Conditions aux limites de Dirichlet
Composites : encollage parfait Encollage imparfait
166
Méthode des EF étendus
Interface CAO
… Vers une représentation implicite puis calcul (pas de maillage des surfaces … )
f
167
Méthode des EF étendus
Conclusion
La méthode des éléments finis étendus (X-FEM) date d'une dizaine d'année (Moës 1999). Elle est basée sur la méthode de partition de l'unité (Babuska 1997)
Comparée à la méthode des éléments finis classique, elle permet de relaxer les contraintes imposées au maillage pour la simulation de phénomènes physiques divers, par exemple propagation de fissures, interfaces matériaux et bien d'autres. Elle est fréquemment associée à la technique des level-sets (Sethian 1998) pour la modélisation des interfaces
Le but est d'améliorer la FEM, pas de la remplacer, et de conserver ses attraits en y ajoutant des particularités permettant de faire des choses très difficiles ou impossibles par ailleurs.
168
Méthode des EF étendus
Bibliographie (à compléter!)
Babuska I. « The finite element method with Lagrange multipliers » Numerische Mathematik,20:179-192,1973Babuska I. Melenk J.M. « The partition of unity method » IJNME, 40:727-758,1997Barth T.J. Sethian J.A. « Numerical schemes for the hamilton-jacobi and level-set equations on triangulated domains » JCP 145:1-40,1998Bathe K.J « The inf-sup condition and its evaluation for mixed finite element methods, Computer and Structures 79:243-252, 2001Béchet E. Minnebo H. Moës N. Burgardt B. « improved implementation and robusness study of the X-FEM for stress analysis around cracks » IJNME 64:1033:1056,2005Béchet E. Scherzer M, Kuna M, « Applications of the X-FEM to the fracture of piezoelectric materials, IJNME 77:1535:1565,2009Béchet E. Moës N. Wohlmuth B. « A stable lagrange multiplier space for stiff interface conditions within the extended finite element method » , IJNME 78(8):931-954,2009.Belytschko T. Moës N, Usui S, Parimi C, « arbitrary discontinuities in finite elements » IJNME 50:993-1013,2001Belytschko T. Chessa J. Zi G. Xu J. Th extended finite element method for arbitrary discontinuities, Computational mechanics – Theory and practice » K.M. Mathisen, T. Kvamsdal et K.M. Okstad (dir), CIMNE Barcelona, Spain 2003Breitkopf P (dir) « La méthode des éléments finis – extensions et alternatives » Hermes-Lavoisier, France, 2006Chapelle D. Bathe KJ. « The inf-sup test » Computer and Structures 47:537-545, 1993Daux C Moës N. Dolbow J Sukumar N Belytschko T. « Arbitrary branched and intersecting cracks with the extended finite element method » IJNME 48:1741-1760,2000Dolbow J. Moës N. Belytschko T. « Discontinuous enrichment in finite elements with a partition of unity method » FEAD 36:235-260,2000Gravouil A. Moës N. Belytschko T. « Non planar 3D crack propagation by the extended finite element method and level-sets part II: level-set update » IJNME 53:2569-2586,2002Legrain G. Moës N. Verron E « stress analysis around crack tips in finite strain problems using the X-FEM » IJNME 63:290-314,2005Moës N. Béchet E. Toubier M. « Imposing essential boundary conditions in the extended finite element method »IJNME 67:1641-1669,2006
169
Méthode des EF étendus
Bibliographie (à compléter!)
Moës N. Cloirec M. Cartraud P. Remacle J.F. « a computational approach to handle complex microstructure geometries » CMAME 53:3163-3177,2003Moës N. Dolbow J. Belytschko T. « A finite element method for crack growth without remeshing », IJNME 46:133-150,1999Moës N. Gravouil A. Belytschko T. « Non planar 3D crack propagation by the extended finite element method and level-sets part I : Mechanical model IJNME 53:2549-2568,2002Osher S, Fedkiw R. « level-set methods and dynamic implicit surfaces » Springer-verlag 2002Moës, N. Stolz C. ,Bernard P.-E. , and Chevaugeon N. A level set based model for damage growth: The thick level setApproach IJNME 86:358–380 2011Mohammadi, S « Extended Finite Element Method for fracture analysis of structures» , Blackwell publishing, ISBN 978-1-4051-7060-4, 2008.Rhetore J. Gravouil A. Combescure A. « an energy conserving scheme for dynamic crack growth with the X-FEM » IJNME 63:631-659,2005Sethian J.A. « level set methods and fast marching methods : evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision and material sciences »Cambridge university press, UK, 1999Sukumar N.Chopp D.L. Moës N Belytschko T. « modeling holes and inclusions by level-sets in the extended finite element method » CMAME 190:6183-6200,2001Sukumar N. Moës N. Moran B. Belytschko T. « Extended finite element method for three dimensional crack modelling » IJNME 48:1549-1570,1999Strouboulis T. Babuska I. Copps K. « The design and analysis of the generalized finite element method » CMAME 181:43-71,2000
Nota :
IJNME = International journal for numerical methods in engineering (Wiley)CMAME = Computer methods in applied mechanics and engineering (Elsevier)FEAD = Finite element in analysis and design (Elsevier)JCP = Journal of computational physics (Elsevier)