LỜI GIỚI THIỆU* Bài toán về ước chung, ước chung lớn nhất trong tập hợp số tự nhiên, được học sinh họcở lớp 6. Sau đó các kiến thức trên có được nhắc lại ở các lớp 7, lớp 8 và lớp 9 rất ít.* Các bài toán về ước chung, ước chung lớn nhất đối với học sinh lớp 6 có tác dụng lớntrong việc rèn luyện tư duy, suy luận cho học sinh, đồng thời giúp cho học sinh rất nhiềutrong những năm học tiếp theo.

* Việc lựa chọn cách giải tuỳ thuộc vào giá thiết của từng bài toán giúp cho học sinh biếtcách làm các bài toán tương tự, đồng thời cũng cố các kiến thức cơ bản mà học sinh đãđược học.

* Với 4 bài toán cơ bản ta có 4 dạng toán tìm ƯC, ƯCLN của các số tự nhiên.

* Đề tài đã được đăng trên “Toán học và tuổi trẻ” . Tháng 4, năm 2017, số 478.

MỘT sỏ BÀI TOÁN VỀ ƯỚC CHUNG, ƯỚC CỊIUNG LỚN NHẤT TRONG TẬP, ` , Hợp sọ TỰ NHIEN.

DẠNG 1. MỘT sọ BAI TOAN TIM ƯC, ƯCLN.

Bài toán 1.1. Chophe’p chia có dư 6: Ibq + J”. Chúng mỉnh.la,bl ²(bJ) .

(kí hiệu (M) là ƯCLN( a,b)).

rẫdaẫd b +rẫd

Lò1'giải. * Gọi deƯClCJJJ) = *bỉd = *bịễd =

Tư rEd,bỉd, nến deƯCUJJ).

DođómọiƯcla,bìcũnglàƯclb,rì (1)bỉd' bqỉd'

:>

rỉd' rỉd'

Do đó 6: =bq +J”ỄdễbỄd'. Suy ra d'GƯClajb).

Suy ra mọi Uclb,rì cũng là Ưcla,bì (2)

Tư (1) và (2) suy ra (a,bì =(b,rì.Nhận xét. Vận dụng bài toán l.l ta có các bài toán sau

Bài toán 1.2.

*Gọid'ẽƯClel={ =>bq+rỉd'

a) Tìm (187231, 165148). b) Tìm 111…1,111…1ổ—J ổ—J1005è1 85è1

Lời giải. a) Áp dụng (a,b) =(bq + r,b) =(b,r)(187231, 165148) = (165148. 1 + 22083, 165148) = (165148, 22083)= (22083. 7 + 10567, 22083) = (22083, 10567) = (10567. 2 + 949, 10567)= (10567, 949) = (949. 11 + 128, 949) = (949, 128) = (128. 7 + 53, 128)= (128, 53) = (53. 2 + 22, 53) = (53, 22) = (22. 2 + 9, 22) = (22, 9) = 1.b) Có 100= 8.12+4.Đặta= 111 ..... 1 (100 chữ số 1), b = 111…1 (8 chữsố 1)

Suy ra la, b) =

111…1,111…1] =ổ—J ổ—J

100sè1 85è1

111…1,1111] =1111_ổ—J

85è1

Suyra (a,bì= 1111.Bài toán 1.3.a) Tim ƯCLN của tất cả các số tự nhiên có 9 chữ số gồm các chữ số từ số ] đến số 9.b) Tim ƯCLN của tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số gồm các chữ số từ số ] đến số 6.Lời giải. a) Hiếu hai số 123456798 — 123456789 = 9.Do đó ƯCLN của các số phải tìm là 1, 3, 9Lạicó1+2+3+4+5+6+7+8+9=453 9.

Do đó các số đã cho đều chia hết cho 9. Vậy ƯCLN của tất cả các số bằng 9.

b) Hiếu hai số 123465 — 123456 = 9.Do đó ƯCLN của các số phải tìm là 1, 3, 9Lạicól+2+3+4+õ+ô=Zlỉ 3Do đó các số đã cho đều chia hết cho 3. Vậy ƯCLN của tất cả các số bằng 3.

Bài toán 1.4. Cho a=2” + 3”,b = 2”*1 + 3…, c =2”*² +3”*².a) Chúng tỏ rằng: 6: và b nguyên tố cùng nhau;

b) Tìm ƯCLNlChC).Lời giải.

aỉd 2aỉd 2a =2'“l +2.3”3da)Gọịla,b) =d={ ={ ={bỉd bỉd b=2n*l+33nẹơz

3 b- za Igngd,mà a zzn+gngd= deƯc(3n,2n+3n) =Ưc(2n,3n)z1= d =l_

Vậy a và b nguyên tố cùng nhau.

_ aẫk 4aẫk 4a =2an2 +4.3” ẫkb)Gọl(ajc)zkz>{_ =>{_ =>

czk czk c =2”*² +9.3”3k

=> c- 4a =5.3”Ek, mà a :2” +3” không chia hết cho 3 với mọi n.

² klàước củaS=> k= 1 hoặc k= 5.

Bài toán 1.5. Chúng minh trong 6 số tự nhiên liên tiếp khác 0a) Không có 2 số nào trong 6 số ấy có ƯC là số lớn hon hoặc bằng 6;b) Có ít nhất ] số nguyên tố cùng nhau với 5 số còn lại.Lơi giải.

a) Giả sử có 2 trong 6 số tự nhiên liên tiếp có ƯC là m .Gọi 2 số đó là mkpmkz, (kpkz 6 Ma > kg).Tacó O<Jnlq- me =mlkl-kz)SS (1)

Do kl'kz Zl,nềumì6 thìMlkl-kz)ìõ (2)Ta có (1) và (2) mâu thuẫn với nhau.Do đó không có 2 số tự nhiện nào trong 6 số mà có ƯC lớn hơn hoặc bằng 6.b) Tư (1) suy ra 2 trong 6 số tự nhiên liên tiếp đã chơ có ƯC là các số nguyềntố: 2, 3,5.Mặt khác trong6 sô tự nhiên liên tiếp có 3 sô lẻ, 3 số chẵn.+ Những sô chẵn có ƯC là 2.+ Những số có ƯC là 3 nhiều nhất là 2 số trong đó có 1 số chẵn, 1 số lẻ.+ Những số có ƯC là 5 nhiều nhất là 2 số trong đó có 1 số chẵn, 1 số lẻ.

Trong cả ba trường hợp trên có nhiều nhất là 2 số lẻ, mỗi số có ƯC với 1 số khác(ƯC khác 1). Từ đó có ít nhất 1 số nguyên tố cùng nhau với 5 số còn lại.

Vũ Hữu Chín, trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, Hải Phòng.

2

Bài toán 1.6. _Tổng của 30 số tự nhiên nhỏ hon ]994. Gọi d là ƯCLN của các số đó. Tìm

giá trị lớn nhât của d.

Lời giải. Gọi 30 số tự nhiên là al,az,ag,....,ago (với a, =0) , d = ƯCLN(aI,az,ag…,ago)Suy ra al =kld, a2 =kzd, 613 =k3d,…, 6130 =k30d_

Do đó 1994 2ch +a2 +a3 +… +a30 =a’(kl +k2 +k3 +....+k30)_

Đặt kl +k2 +k3 +.…+k30 =k_ suy ra 1994 zdk,

Ta có kl +k2 +k3 +… +]c30 =k 230 = 1994 zdk zd.3O = 6] S1994130_

Suy ra 61 s66. Vậy dlớn nhất là 66, khi al Ia; =a3 =… =a30 =66.DẠNG 2. VẬN DỤNG ƯCLN ĐỂ TÌM CÁC sò.Bài toán 2.1.

Chúng minh nếu ƯCLN(Ơ,ffl ĩd thì 6: ĩdỡl',b ĩdb' vó7' ƯCLN(Ơ',b'i ²

Lời giải. Giả sử ƯC(aỊb'l =d’ =1. Suy ra a’ =d’al,b’ =d’bl.Suy ra a =da' =dd'al, b =dd'bl. Do đó đa" là Ưc(a,bì.

Suy rad không là ƯCLN(a,b) _ Vậy (a',b') =1.Nhận xét. Vận dụng bài toán 2.1 đế giải các bài toán sauBài toán 2.2. Tìm 2 sô tự nhiên biết tông của chúng băng 192 và ƯCLN của chúng là 24.

Lời giải. Gọi2 số cấntìm là @,(a,beN*). Ta có a+b =192, ƯCLN(ƠJỪ =TưƯCLN(a,b)=24= a =24a,b =24b,(ab') _1

Tư a+b =192 => 24a'+24b' =192=> a '+b' =8, (a', b) = 1.

Do vai trò Cl,b như nhau, giả sử 6: <b. Ta có các trường hợp:

a' =l a =1.24 a =24* => => _

b' =7 b =7.24 b =168

a' =3 a =3.24 a =72* => => _

b' =5 b =524 h =120

Vậy các cặp số cần titn là (24, 168), (72, 120)Bài toán 2.3 Tìm 2 số tự nhiên biết tích của chúng bằng 13500 và ƯCLN của chúng là 15

Lời giải. Gọi 2 số cần tìm là a,b, (a,bẽN ) Ta có ab =13500, ƯCLN(Ơ,ffl —15.

Suy ra a =15a',b =15b',(a',b') =1_

Từ ah =13500 = 15a'.15b' =13500 = a'b' =60,(a',b') =

Có a'b' :60 :1.60 :3_20 :4_15 25.12.

Do vai trò a,b như nhau, giả sử 6: < b . Ta có các trường hợp:

a' =l a =1.15 a =15* => =>

ib' =60 ib =60.15 ib =900'

a' =3 a =3.15 a =45* => => _

ib' =20 ib =20.15 ib =300

a' =4 a =4.15 a =60* => =>

ib' =15 ib =15.15 ib =225'

a' =5 a =5.15 a =75* => => _

b' =12 b =12.15 b =180

Vậy các cặp số cần tìm là (15, 900), (45, 300), (60, 225), (75, 180).Bài toán 2.4.

a) Tìm ƯCLN(7n + 3,8n -1),ne N* ;

b) Khi nào hai số đó nguyên tố cùng nhau. Tim n, vó7' 30 < n < 90 để chúng nguyên tố

cùng nhau.Lời giải.

a) Gọi deƯC(7n +3,8n- 1) _

{7n +3Ed {8.(7n +3) Ed {56n +243d2> 2> 313d dẽ 1318n-15d3 .Suyra ² i, ].

7.(8n-1)3d 56n-73d

7n+3ỉ31 .b)Vớid=3l= _ =>8n-l-(7n+3):31

8n-1:31

Suyra n- 4Ẻ31_ Đặt n- 4 =3lk=> n =31k+4 (kẽN)

Với n =31k+4 thì 7n+3 =7(31k+4) +3ệ 31

và 8n-1=8(31k+41-1E31_

Do đó n =31k+4th1(717+3,817-1)=31.+Đếcho (7n+3,8n- 1) =1 khi n =31k+4.Với 30<n<90 đếcho (7n+3,8n- l) =l khi n =31k+4.Suyra: 30<31k+4<90 = ke[ 1,2] _

Vậy n =35,n =66 thì (7n +3,8n- 1) =1_

Bài toán 2.5. Tìm 5 số khác nhau trong dãy tỉnh: (** + ** + **)1** =**. Biết rằng 5 sốtrên thoả mãn các điều kiện: _ _

+ Trong ba sô_hạng trong ngoặc thì có một sô _là ƯCLN của 2 sô kia.+ Sô chia là sô nguyên tô và là ƯCLN của 2 sô nói trên.

Lời giải. Đặt P là số chia, P là số nguyên tố, 11 áp < 100.

Khi đó 3 số trong ngoặc là pmn,pm,ph với (m,n) =1_ (m,nẽNỪ _

Vì BCNN(JJMJMì =pmn, ƯCLN(JJMJMì IP.Do các số khác nhau, suy ra H… 26.Lại có các số đều nhỏ hơn 100, suy ra pmn <100.Suyra p.6 Spmn<100=> p<l7_

Tư P là số nguyên tố, p 211= 1961 11;13] .* Trườnghợp p =ll,mà pMn <100=> llmn <100=> mn<lO_

Mà mn 26=> 6 Smn <10, (m,n) =l,m,n =1_

Dođó mn =6=> m+n =5_

Khiđó (pmn+pm+pnìzp =mn+m+n =6+5 =ll=p_

Do đó thương bằng số chia, (loại).* Trường hợp 12 =13, pmn <100=>13mn <100 => mn <8_

mà mn 26=> 6Smn<8=> mn =6_ Suyra mn+m+n =ll_

Vậy 5 số phải tìm là: 13. 6 = 78,13. 3_= 39,_13. 2_= 26,13 vả 11.

DẠNG 3. SỐ LƯỢNG CAC ƯƠC CUA CAC SỐ TỰ NHIEN.

Bài toán 3.1. Số tư nhiên N =axbycz…. Vớ7' aẹbacr… là các số nguyên tố đôi một khác

nhau, x.y,z,..EN*. Chúng minh số các ước củaNlà (x + l)(y +1)(Z +1)…

Lời giải. Gọi các ước của N có dạng A,B,C,…, , , 0 1 2

trong đo A co x+l cach chọn: 6: , a ,a ,…,ax., , 0 1 2B co y+l cach chọn: b , b ,b ,…,by

C có z+l cách chọn: co, cl,c²,…,cz.

Do đó sốlương các ước số của N là (x+l)(y+l)(z+l)….

Nhận xét. Vận dụng bài toán 31 để giải các bài toán sau.Bài toán 32 Tim sô tư nhiên nhớ nhât có

a) 9 ước sô; b) 12 ước sô.

Lời giải. ả) Gọi số cần tìm lả N =axbycz…… Với Cl,b,C… là các số nguyên tố đôi một

khác nhau, x.y,z,… G N* .

Số các ước của N là (JC+l)(y+l)(z+l)… =9_

Có x+l,y+l,z+l,…1à các số tưnhiếnlớnhơn 1.Suyra x+lzy+lz3=> x:y12_

Do đó N =a²b². Đế N nhỏ nhất thì Cl,b phải là các số nguyên tố khác nhau nhỏ nhất.

Suy ra: N =2²_32 =36.

b) Tương tư phấn ả) Số N =axbycz…

Tacó (x+1)(y+1)(z+1)… =12 =3.2.2_* Số N chứa 3 thừa số nguyên tố

x +1 =3 x =2

Suyra y+1=2=> y =1_

Z +1 =2 Z =l

Khi đó N =a²bc. Đế N nhỏ nhất thì a =2.b =3.c =5.SốNnhỏ nhất là N =2².35 =60.* Sô N chứa 2 thưa sô nguyền tô, ta có các trường hợp:

x+1=4 x =3+ 3

iy +1 =3 iy 22.

Khi đó N =a3b² , để N nhỏ nhất khi a =2,b =3. Do đó N nhỏ nhất là 23.3² =72.

x +1 =6 x =5+ => _

y +1 =2 y =1

Khi đó N zasb, để N nhỏ nhất khi a =2,b =3. Do đó N nhỏ nhất là 25.3 =96.Trong các trường hợp số N nhỏ nhất là 60.

Vũ Hữu Chín, trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, Hải Phòng.

Bài toán 3.3. Cho số n =pqu, trong đó 1²59 là các số nguyên tố khác nhau, x,y G N*

Biết n2 có 15 ước số. Hới n3 có bao nhiều ước số.

Lời giải. Vì n =pqu => n2 =pzxqzy (²C Zy ).

Số các ước của n2 là 15 => (2x + 1)(2y +1) =15 , vai trò của x,y như nhau

{2x +1 =5 {x =2:* I> .

2y +1 =3 y =1

Do đó n =p²q => n3 =pôq3.

Khi đó số ước của n3 là (6 + 1)(3 + 1) = 28 (ước số).

Bài toán 3.4. Cho sô nguyên dương n sao cho n2 có 15 ước sô. Hãy tìm xem n2017 có bao

nhiều ước số, biết rằng n =pqu,p, q là hai số nguyên tố khác nhau, x,y G N* Với điều

kiện trên có tồn tại số k 6 N* để nk có 2000 ước không.7

Lời giải. * Tư n =pqu,p,q là hai số nguyên tố khác nhau=> n2 =pzxqzy .

Số các ước của n²1à(2x+l)(2y +1).

Theo đề bài có (2x+1)(2y+1) =15 =5.3_Do vai trò x,y như nhau, giả sử x Zy

2x +1 =5 x =2

Suy ra i2y+l =3 3 iy =1

Khi đó n2017 I(P2q)2017 ²1²4034q2017~

Suy ra số các ước của J)… là (4034 + 1)(2017 + 1) = 8 142 630 (ước số).

* Tư n =p²q => nk =pquk.

= n =p²q

Giả sử tồn tại số k 6 N* đế nk có 2000 ước số.

Khi đó số ước của nk là (Na + 1) ( k + 1) =2000

= 216² +3k =1999 = 16k² + 24k +9 =16001 = (4k +3)² =16001

Có 16001 không là số chính phương, do đó không tìm được k thoả mãn.Bài toán 3.5. Tim sô tư nhiên khác 0 nhớ hon 60 có nhiều ước sộ nhât. _

Lời giải. Gọi N là sô tự nhiên nhỏ hơn 60. Tìm xem N có nhiều nhất bao nhiều ước sô.

Xét 4 trường hợp:

ả) Với N chứa 1 thừa số nguyên tố => N =ax < 60, xe N*

Chọn a nhỏ nhất đế được số mũ lớn nhất => N :2’“.

Tacó 25 <60<26. Số 25 có6ước số.Do đó N chưa một thừa số nguyên tố thì số ước nhiều nhất là 6.

b) VớiN chứa 2 thừa số nguyên tố => N zabe < 60.

Chọn Cl,b nhỏ nhất đế được số mũ lớn nhất. Do đó ta xét N =2*3y .

Ta có 243 < 60 < 253 . Số 243 có (4 + 1)(1 + 1) = 10 (ước số)

2².3² < 60 < 23.3² . 86 2².3² có (2 + 1)(2 + 1) = 9 (ước số).

233 < 60 < 2²33. Số 233 có (1 + 1)(3 + 1) = 8 (ước số).

c) Với N chứa 3 thừa số nguyên tố, có N =axbycz

Xét 2*3X5² , (chọn Cl,b,C nhỏ nhất đế được số mũ lớn nhất)

Có 2.3.5 < 60 < 2².35. Số 2.3.5 có (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 (ước số)d) Với N chứa 4 thừa số nguyên tố trớlến, không xảy ra trường hợp này (vì 235 7 > 60)Vậy trong tất cả các trường hợp N nhiều nhất có 10 ước sô, trong trường hợp này

N =24.3 =48. _ _ `DẠNG 4. MÔI LIEN QUAN GIƯA ƯCLN VẠ BCNN.Bài toán 4.1. Chúng minh: Cl.b ²(aib).iaibi.

Ký hiệu (a,b) = ƯCLN(a,b), [a,b) = BCNN(CJJJ).Lm“ giải. Gọi d =(a,b) => a =da',b =db' với (a',b') =1_

Suyra {a,b1 =[da',db') =d.[a',b') =da'b' (1).

, ab _da'db' _ , ,Do đo (a,b) — 6] —da b (2)

` ` - ab —( b) bTư (1) va (2) suy ra [a,b) _(a,b) => a.b - a, .[a, )_

* Nhận xét. Vận dụng bài toán 41 trên để giải các bài toán sau.Bài toán 4.2.a) Tìm UCLN(75 125 232, 1 75 429 800);b) Tìm BCNN(75 125 232, 1 75 429 800).Lời giải. a) (75 125 232, 175 429 800) = (75 125 232,75 125 232. 2 + 25 179 336)= (75 125 232,25 179 336) = (25 179 3362 + 24 766 560, 25 179 336)= (24 766 560,25 179 336) = (24 766 560,24 766 560. 1 + 412 776)= (24 766 560,412 776) = (412 776. 60,412 776) = 412 776.Vậy UCLN(75 125 232, 175 429 800) = 412 776.

. Ạ ><Bb) Ap dụng“ BCNN(A’B) UCLN(Ạ,B)

75125232 >< 175429800BCNN(75125232, 175429800) =Ỹ=31 928 223 600.

* Nhận xét. Nếu không dựa vào kết quả bài 41 thì việc tìm BCNN của hai số đã cho làkhá khó khăn.Bài toán 4.3. Cho ba số A =118932gB =157993gC =38743.ả) Tim ước chung lớn nhất của AiBiC ;

b) Ti`m bội chung nhớ nhất AiBiC.

Lời giải. a) D = UCLN(A,Bì =583.

UCLN(A,B,Cì =UCLN(D,C) =53.Ạ ><B

= AB =—b)E BCNN( , ) UCLN(A_B) :32 230 572.

_ E xe _32 230 572. 38743_ UCLN(E,C) 53 BCNN(A,B,Cì =BCNN(E,Cì =23 560 548 132.

Vũ Hữu Chín, trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, Hải Phòng.

Bài toán 4.4. Cho a = 123456789, b = 98765432]. Chưng minh:

a) (a,b) 19, b) [a,b) chia cho 11 dư 4.

Lời giải. a) Tacó b- 8a =9= b =8a+9. Do đó (a,bì =(a,8a+9) =(a,9ì.Mà 6: chia hết cho 9, suy ra (61,9) ²9. Vậy (aib) ²9

b) Ta có ab =)a,b)ia,b) => ab =[a,b)9

Có ẵ =13717421. Suy ra {a,b) =Ể =13717421b

Có 13717421 = 11k+3, b =987654321=11q+5, (kiqẽN)

Suy ra 13717421. b =(11k+3)(11q+5)=11t+4,(teN)_

Do đó [a,b) chia cho 11 du 4.Bài toán 4.5.

ả) Tim ZSố tưnhiến aib biết ab =51840 và [aibi ²2160 ;

b) Tim ZSố tưnhiến aib biết [a,b) - (Clib) I18 ;

c) Tim ZSố tưnhiến a,b biết (Clib) =10 và [aibi ²900

Lm- giải_ a) Tư {a,b1.(a,b) =a.b = 2160.(a,b) =51840 = (a,b) =guyra a =24a',b =24b',với (a',b') =1, a'<bn

Tư ab =51840= 24a'24b' =51840 = a'b' =90 =190 =245 =5.18 =9.10_Ta có các trường hợp:

a' =1 a =1.24 a =24* => => _

b' =90 b =9024 b =2160

{a' =2 {a =2.24 {a =48* => :>

b' =45 b =4524 b =1080

a' =5 a =524 6: =120* => => _

b' =18 b=1824 b =432

a' =9 a =9.24 a =216>l< :} I> _

b' =10 b =10.24 b =240

Vậy các cặp (a,b) là (24, 2160), (48, 1080), (120, 432), (216, 240).

b) Gọi d =(a,b) = a =da',b =db',(a',b') =

Suy ra [a,b) =ida',db'i =d.[a',b') =da'b'_

Tư đề bài có da'b’- d =l8= d(a'b'- 1) =18_

18 . .Suyrad lảướccủa l8vảa'b'=l+ĩ,ia Zb).

Ta lập bảng:

d a'b' a' b' a b

1 19 19 1 19 1

2 10 10 1 20 25 2 10 4

3 7 7 1 21 3

6 4 4 1 24 6

9 3 3 1 27 9

18 2 2 1 36 18

Vậy có 7 cặp (a,b) là (19, 1), (20, 2), (10, 4), (21, 3), (24, 6), (27, 9), (36, 18).c) Giải sử a sb.

Tư (a,b) =10, suy ra a =10a',b =10b' với (a',b'ì =1_ Khi đó ab =10a'.10b' =100a'b'.Áp dụng: ab ={ư,h] .(ư,b). Suy ra 100a'b' =90010 = ư'h' z90 , với (a',b') =1_Ta có bảng:

' b' 6: b

90 10

45 20

18 50

10 90

Vậy có 4 cặp (a,b) là (10, 900), (20,450), (50, 180), (90, 100).

Nhận xét. Khi giải bài toán trên sử dụng thêm kết quả _củả bài toán21Bậi toán 4.6. Tim `2sồ tư nhiên có ƯCLN băng 12. Biết răng hai sô ấy, ƯCLN, BCNN là 4sô khác nhau và đến có 2 chữ sô.

Lời giải. Gọi 2 số cận tìm 1ậ a,b, (12 Sa <b) .Ta có (a,b) =12 = a =12a',b =12b' với (a',b') =

Áp dụng ab ĩ[ 0,0) .(a,b)_

Suyra12a'12b'={a,b112={a,b1=12a'b'.

Tacó a =12,b =12, suy ra l<a'<bZ [a,b1 «… Do đó 12a'b'<100 = a'b' s8.Nếu a' 23 = b' 24 = a'b' 212 (vô lí).Do đó a' =2,khi đó 2b' s8,b'>2=> 2<b' s4_

+Nếu b' =4 thì (a',b') =2 (loại vì (a',b') =1)+Nếu b' zg_khi đó a =12.2 =24,b =12.3 =36.

Vậy cặp (a, b) =(24, 36)Nhận xét. Khi giải bài toán trên sử dụng kết hợp kết quả của bài toán 2.1 và bài toán 4.1.Bài toán 4.7. Đến năm 1984 tuổi của một thầy giáo và năm sinh của ông ta có tỉ số giữaBCNN và ƯCLN là 63 Tinh xem thầy giáo sinh năm nào ?

Lời giải. Ta có năm thầy giáo sinh là @ (0 sxsy 59)

Đặt a =@ và giả sư tuổi của thầy giáo là b (năm), a › b.

T a+b —1984 *—abi =63_acó — Và—(a0)

Đặt d =(a,b) => a =ald,b =bld với (aljbl) :1_

Tư a+b =1984 = aial +de =1984 = ai(al +bl) =1984

[_ab) idol,dei d.{al,bl1(9 b) d d

Do (al,bl) =1_ nên albl =63_ al >bl_

Ta có các trường hợp xảy ra:* al =9,bl =7, mà a’(al +bl) =1984=> d(9+7) =1984

Tư =63 = =63 = =63 = 1a1,011 =63

Suy ra 61 =124,a =9.124 =1116 (loại)

* al =21,bl =3, mà d(ấ1 +bl) =1984 => d(21+3) =1984 => d =Ệ(loại)

* a1 =63,bl =1_ mà a’(al +bl) =1984 => d.(63+1) =1984

Suy ra 61 =31,a =63.31=1953,b =31.1=31_

Vậy thấy giảo_sinh năm 1953 và đến năm 1984 thầy giáo 31 tuổi.ĐỂ XUẤT CAC BAI_TOAN TƯỜNG TỰ: _Bài toán 1. Tìm các sô tự nhiên n đề các sô sau nguyền tô cùng nhaua) 4n+3 và2n+3g b) 7n+13và2n+4;

c) 9n+24 Vả3n+4, d) l8n+3 Vả21n+7.Bài toán 2_ Cho a =11994,b =153923,c =129935_

Tìm ƯCLN(achì vậ BCNN(ƠJLC) .Bài toán 3. Tổng của 4 số tự nhiên bằng 402. ƯCLN của chúng có giả trị lớn nhất bằngbao nhiều ? _ _ ` _Bài toán 4. Tông của 5 sô tự nhiên bằng 352. Khi đó ƯCLN của chúng có giả trị lớn nhất

bằng bao nhiều ? _ _Bài toán 5. Chứng minh sộ 1994! — 1 có mọi ước nguyền tô lớn hơn 1994.B_ài toán 6. Tìm x 6 N biết rằng trong ba sô 36, 45, x bất cứ sô nào cũng là ước của tích 2

sô kia.

Bài toán 7. Số N có dạng pqurz (psqsr là các số nguyên tố, x,y,z là các số nguyên

\ ~Ả r À N N N I I I Ả I I Ảdương) Vả Pq ' J” ²3; Pi“ q ²9. Biet cac so ỆệỆệ7 tương ưng co it so uơc hơn ươc so

của N lả20, 12 và 15. Tìm N?

Vũ Hữu Chín, trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, Hải Phòng.

10