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FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 12
3. VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADE
3. VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS COM3. VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADEUM GRAU DE LIBERDADE
Conforme já apresentado, a equação fundamental é:
)(tfukucum =++ &&&
em que m, c, k e f(t) podem ser quantidades generalizadas.
Trata-se duma equação diferencial linear de 2ª ordem, de coeficientes constantes (2 constantes de integração).
( ) ( ) ( ) ( ).00, uutftu &econhecendoCalcularOBJECTIVO:
A resposta total é a soma de duas parcelas:
)(tu p - movimento forçado – relacionado directamente com a carga f(t)
)(tuc - movimento natural – relacionado apenas com as característicasdo sistema
Em termos matemáticos:
Solução GERAL = Solução Particular up(t) + Solução Complementar uc(t)
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 13
3.1 VIBRAÇÕES LIVRES SEM AMORTECIMENTO
0=+ ukum &&
Existem procedimentos gerais para a solução deste tipo de equações. Porém, neste caso simples podemos resolvê-la directamente.
Uma solução do tipo
Substituindo na equação diferencial e atendendo a que
Como a equação deve ser satisfeita para qualquer instante t, obtém-se
twAu cos= ou
satisfaz a equação diferencial.
A e B são constantes que dependem do início do movimento e
w é uma característica física da estrutura
twAwu cos2−=&&
0cos)( 2 =+− wtkmwA
→=mkw2
mkw =
Frequência Natural (circular ou angular) do Sistema (rad/s)
twBu sen=A equação também satisfaz a equação diferencial.
A solução geral vem então
twBtwAu sencos +=
twBu sen=
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 14
Determinação das constantes iniciais:
00 )0(;)0(0 uuuut && ==⇒= quandoSe
00 0sen0cos uABAu =→+=
wuBBwAwu 0
0 0cos0sen&
& =→+−=
wtBwwtAwu cossen +−=&
e sendo
resulta
A solução geral vem então
(Eq. 3.1)wtsenwuwtutu 0
0 cos)(&
+=
Note-se que esta função é PERIÓDICA!
π=−+→+= 2)()()( wtTtwTtutu
wT π= 2 Período da
função (segundos)
π==
21 wT
fFrequência Natural
em Ciclos / Segundo
ou Hertz (Hz)
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 15
Exemplo: Seja o seguinte pórtico com uma viga de rigidez “infinita”.
Pretende-se calcular w, f e T.
0.276s
0.1 0.2 0.3 0.4 t(seg)
u(mm)
010 00 ==→= ummut &e instante noSe
ttu 8.22cos001.0)( =
GPaEmA
213.03.0 2
=×=Dados:
sTHzf
sradw
mNlEIk
kgm
276.063.314.328.22
/8.2210000
2106.2
/106.24
123.010211212
100000.58.9
20000
6
63
49
3
=⇒=×
=
=××=
×=×××
==
≅×=
Resolução:
4.0
12EI
5.0
20 kN/m
L312EI
3L
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 16
Observando a figura
Representação Vectorial ou em Diagrama de Argand
wtsenwuwtutu 0
0 cos)(&
+=
Projecção no eixo R dos vectores e wu0&0u
ou
( )α−= wtCtu cos)(
Projecção no eixo R do vector C, que partiu com atraso de fase de α
α=
α=
sen
cos
0
0
Cwu
Cu
&
( )20
20 wuuC &+=
0u
wu0&α
pode-se escrever
0
0tgu
wu&=αcom
( )wtwtCtu sensencoscos)( α+α=
( )α−= wtCtu cos)(ou
I
R
0uC
α
wt
u0/w
/w0u sen wt
cos wtu0
C cos (wt-α)
A equação (3.1) pode ser transformada de modo conveniente.
Definindo 202
0
+=
wuuC&
+= wtsen
Cwuwt
CuCtu 00 cos)(
&vem
Ângulo de FASEu
t
T=2π/ω
T=2π/ω
u0
u0
Amplitude
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 17
3.2 VIBRAÇÕES LIVRES COM AMORTECIMENTO
0=++ ukucum &&&
A função tseCu = satisfaz a equação diferencial.
Substituindo02 =++ ststst eCkesCcesCm
02 =++ kscsm
mk
mc
mc
ss
−
±−=
2
2
1
22
tsts eCeCu 2121 +=
A solução virá
apresentando diferentes formas conforme as raízes s1 e s2.
3.2.1 Sistema Criticamente Amortecido
Caso em que o radicando é nulo
→=−
0
2
2
mk
mccr mkccr 2=
ou, atendendo a que ⇒=mkw wmccr 2=
amortecimento crítico
e então
mcss cr
221 −==
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 18
Como as soluções são iguais, a solução geral do tipo Cest fornece só uma constante, e portanto só uma solução independente.
( )tmccreCu 211
−=
Outra solução independente pode ser procurada com o seguinte aspecto
( )tmccretCu 222
−=
sm
ccr =−2
Designando
stst estCeCu 222 +=&
ststst estCesCesCu 22222 ++=&&
02 2222
22 =++++ ststststst etCkestCceCcestCmesCm
tmccretCCu )2/(21 )( −+=
e substituindo
0)()2( 2
0
22
0
=++++==
stst etCkscsmeCcsm4342143421
obtém-se uma expressão verdadeira que confirma a validade desta segunda solução independente.
Assim, a solução geral será:
u(t)
t
0u
u0
Não entra em movimento oscilatório !!
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 19
3.2.2 Sistema com Amortecimento Superior ao Crítico
3.2.3 Sistema com Amortecimento Inferior ao Crítico
As duas soluções s1 e s2 são reais e a solução geral é
tsts eCeCu 2121 +=
O gráfico é idêntico ao do caso criticamente amortecido só que tende para zero menos rapidamente.
crcc >
Coeficiente de amortecimento: 12
≤==ξwm
ccc
cr
Foi visto que
mk
mc
mc
ss
−
±−=
2
2
1
22
e então12222
2
1 −ξ±ξ−=−ξ±ξ−=
wwwwwss
43421
aw
wiwss 2
2
1 11 ξ−±ξ−=
⇒<ξsendo
A solução geral é então
tiwwttiwwt aa eCeCu −ξ−+ξ− += 21
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 20
Introduzindo as condições iniciais, tem-se
Fazendo intervir as equações de Eulerxixeix sencos +=
xixe ix sencos −=−
pode-se transformar a expressão anterior
( )( ) ( )( )
( ) ( )
−++=
−++=
+=
ξ−
ξ−
−ξ−
twB
iCiCtwA
CCe
twitwCtwitwCe
eCeCetu
aawt
aaaawt
tiwtiwwt aa
sencos
sencossencos
)(
2121
21
21
4342143421
para obter
( )twBtwAetu aawt sencos)( += ξ−
ξ++= ξ− tww
wuutwuetu aa
awt sencos)( 00
0&
0uA =
( ) ( )twBwtwAwetwBtwAewtu aaaawt
aawt cossensencos)( +−++ξ−= ξ−ξ−&
aa w
wuuBBwuwu ξ+=⇒+ξ−= 0000
&&
e finalmente
onde wa é a frequência angular do movimento com amortecimento.
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 21
Tal como para o caso sem amortecimento, pode-se definir α tal que
2
0020
ξ++=aw
wuuuC&
e obter
com
awuwuu
0
00tg ξ+=α&
Nos casos correntes o amortecimento varia entre 2% e 20%.
Se ξ = 0.2:
( )α−= ξ− tweCtu awt cos)(
Que graficamente adquire o aspecto
wwwww aa ≅⇒=ξ−= 98.01 2
O diagrama de Argand é idêntico ao apresentado para os sistemas com amortecimento. Neste caso a grandeza do vector vai diminuindo com o tempo .( )wtCe ξ−
Cα
0uaw
wuu ξ+ 00&
u(t)
C e−ξwt
t
u0
Ta
aa w
T π= 2
Movimento oscilatório não periódico
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 22
3.3 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO
Experimentalmente podemos determinar o coeficiente de amortecimento induzindo uma vibração no sistema e registando a diminuição da sua amplitude com o tempo.
Considerem-se dois picos sucessivos
( )α−= ξ−11 cos1 tweCu a
wt
aaa w
tttwtw π=−⇒π+α−=α− 22 1212u2 é tal que
( )α−= ξ−22 cos2 tweCu a
wt
aww
euu πξ
=⇒2
2
1
Tomando o logaritmo natural obtém-se2
2
1
122ln
ξ−ξπ=ξπ==δ
aww
uu
Para pequenos amortecimentos vem ξπ≅=δ 2ln2
1
uu
o que permite determinar o coeficiente de amortecimento conhecidos u1 e u2 afastados de Ta.
Para aumentar a precisão na sua determinação podemos usar nperíodos, obtendo-se
ξπ≅=δ nuu 2ln
2
1
Outro processo consiste em observar o número de ciclos que são necessários para reduzir 50% a amplitude do movimento é consultar a seguinte relação gráfica
6
5
4
3
2
1
0 0 0.05 0.10 0.15 0.20
nº d
e ci
clos
par
a re
duzi
ra
ampl
itude
de
50%
ξ, coef. de amortec.
ln 2 = 2nπξ
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 23
A solicitação (forças ou deslocamentos) podem ser representadas por seno ou cosseno.
4.1 SISTEMA NÃO AMORTECIDO
Seja a solicitação ( ) twptp sen0=
0p
w
- amplitude
- frequência da solicitação
A equação de equilíbrio dinâmico é
twpukum sen0=+&&
e a solução complementar já se viu que é
Dado que no 1º membro só aparecem derivadas pares, a solução particular poderá ser do tipo
( ) wtBwtAtuc sencos +=
( ) twUtu p sen=
sendo( ) twwUtu p cos=&
( ) twwUtup sen2−=&&
Substituindo vem
twptwkUtwwUm sensensen 02 =+−
2
20
20
1
1
wwk
pwmk
pU−
=−
=
donde
4. RESPOSTA DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE A UMA CARGA HARMÓNICA
4. RESPOSTA DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE 4. RESPOSTA DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE A UMA CARGA HARMÓNICALIBERDADE A UMA CARGA HARMÓNICA
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 24
wwr =Designando por e razão de frequências
o deslocamento estático00 U
kp
=
vem20 1
1r
UU−
=
A solução geral é então
( ) twr
UwtBwtAtu sen1
1sencos 20 −++=
Admitindo que para t = 0 ( ) ( ) 0000 == uu &e
obtém-se
( )
2020
20
110
cos1
cossen
0
rrUB
rwUwB
twr
wUwtwBwtwAtu
A
−−=⇒
−+=
−++−=
=
&
donde
( ) ( )wtrtwr
Utu sensen1 2
0 −−
=
Trata-se da sobreposição de duas funções harmónicas com frequências diferentes, pelo que o movimento resultante NÃO É HARMÓNICO !!
Temos assim
211r−
twsen
wtsenr
Factor de AMPLIFICAÇÃO DINÂMICA (estacionário)
Resposta em estado ESTACIONÁRIO
Resposta TRANSITÓRIA
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 25
Exemplo: Considere-se o mesmo pórtico já estudado, sujeito agora a uma
força harmónica horizontal. Pretende-se calcular a resposta dinâmica.
01520
sen)(2106.2
8.2221
00
0
0
6
====
=××=
==
uurad/swkNp
twptpN/mk
rad/swGPaE
&
Dados e resultados anteriores:
5.0
4.0
m=2000 kg/m
0.3x0.3
p(t)
mU 0038.02106.2
2000060 =××
=
6580.wwr ==
( ) ( )tttu 8.22sen658.015sen658.01
0038.02 −
−=
76411
12 .
rD =
−=
Acção
Resposta
u
t(s)0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
6
4
2
(mm)
estacionária
resposta totaltransitória
p(t)
t(s)
20 kN
10 kN
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
p = 20000 sen 15t
t8.22sen658.0764.18.3 ×××−
t15sen764.18.3 ××
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 26
Factores de Amplificação Dinâmica
3
4
2
1
00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
r = w/w
Estacionária, DTotal, Dt
D,D t
- da resposta estacionária 211r
D−
=
- da resposta total ( )0
maxU
tuDt = Factor de AMPLIFICAÇÃO
DINÂMICA TOTAL
Quando r = 1 ( ) ∞→tu
Verifica-se portanto que quando ocorre a RESSONÂNCIA é impossível determinar u pela expressão anterior. Então a solução será do tipo
( ) wwtwtCtu p == comcos
( )( ) twwtCtwwCtwwCtu
twwtCtwCtu
p
p
cossensen
sencos2−−−=
−=
&&
&
{ wmpCwtptwtCktwwtmCtwwmC
wm 2sencoscossen2 0
02
2
−=⇒=+−−
twcostwm
pu p 2
0−=
( ) twtwm
pwtBwtAtu cos2
sencos 0−+=
Substituindo vem
donde
e a nova solução total resulta em
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 27
Sendo para t = 0 ( ) ( ) 0000 == uu &e
obtém-se
donde a expressão final
( )
200
00
220
sen2
cos2
cos
0
wmpB
wmpwB
wttmw
wpwtmwpwtwBtu
A
=⇒−=
+−=
=
&
( ) ( ) ( )wtwtwtsenk
pwtwtwtmwptu cos
2sencos
20
20 −=+−=
ww =:Obscuja evolução no tempo, tem o seguinte aspecto
u(t)
t
Amplitude crescente
4.2 SISTEMA COM AMORTECIMENTO
A equação é agora
twpukucum sen0=++ &&&
sendo a solução complementar
( ) ( )twBtwAetu aatw
c sencos += ξ−
A solução particular assume a forma seguinte
( ) twCtwCtu p cossen 21 +=
Onde são introduzidas estas duas parcelas porque em geral a resposta do sistema amortecido não está em fase com a carga harmónica.
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 28
Re-arranjando a equação, vem
2
0
2
sen
ww
twmpu
mku
mcu
ξ↓↓
=++ &&&
Mas como
( ) twwCtwwCtu p sencos 21 −=&
( ) twwCtwwCtu p cossen 22
21 −−=&&
obtém-se, após substituição e separação dos múltiplos de sen e cos
( )( ) twmptwwCwwCwC sensen2 02
122
1 =+ξ−−
( )( ) 0cos2 221
22 =+ξ+− twwCwwCwC
Dividindo por w2 resulta
kpCrCrC 0
122
1 2 =+ξ−−
( ) 021 122 =ξ+− CrCr
donde
( ) ( )222
20
121
1rr
rkpC
ξ+−−=
( ) ( )2220
221
2rr
rkpC
ξξ+−
−=
A solução geral vem então
( ) ( )
( ) ( )( )[ ]
444444444 3444444444 21
4444 84444 76
iaEstacionár Parcela
aTransitóri Parcela
twrtwrrrk
ptwBtwAetu aa
wt
cos2sen121
1sencos
2222
0 ξ−−ξ+−
+
++= ξ−
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 29
Tal como anteriormente, pode-se definir α tal que
( ) ( )222 21 rrC ξ+−=e
com
( )α−= twUtu sen)(
Cα
21 r−
rξ2
212
rrtg
−ξ=α
Cr 21cos −=α
Crξ=α 2sen
Considerando apenas a parte estacionária, virá
( ) ( )44444 344444 21
α−
α−α=
tw
twtwCk
ptu
sen
cossensencos10
donde
em queCk
pU 10=
( )22
01 1 r
CkpR −=
rCkpR ξ= 22
02
( ) ( )D
rrCUU
kpU
oo
=ξ+−
===222 21
11A razão representa
o COEFICIENTE DE AMPLIFICAÇÃO DINÂMICA da parcela estacionária.
wt α
I
RR2
1R
0pkC =U
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 30
I
R
-P0
P0
U
α
kU
cwU
mw U2
R
I
Fe
U
Fc
Fi
U
P0
U
αwt
Equilíbrio de forças da resposta em REGIME ESTACIONÁRIO
DpDkpkUkFe 0
0 ===
DprDpwmwcD
kpwcUcFc 002
0 2 ξ==== &
DprDkpwmUmFi 0
202 === &&
Velocidade
Este sistema de forças está em equilíbrio em REGIME ESTACIONÁRIO.
A dedução da equação do movimento podia então ser feita, também, a partir desta consideração de equilíbrio.
O amortecimento introduz um atraso na resposta estacionária, traduzido pelo ângulo de fase α:
( )α−= twUtu p sen)(
( )α−−= twwUtu p cos)(&
( )α−−= twwUtu p sen)( 2&&
Pelo equilíbrio de forças pode-se então determinar a fase α e a amplitude U.
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 31
Do triângulo rectângulo da figura obtém-se
( ) ( ) 20
222 pUwcUwmKU =+−
222 12tg
rr
wmkwc
UwmUkUwc
−ξ=
−=
−=α
( ) ( ) 2
2
2
2
22
20
222
202
1
1
+
−
=+−
=⇒
wmwc
wwk
pwcwmk
pU
{ ( ) ( )444 3444 21
D
rr
U
kpU
222
0
21
1
0
ξ+−↓
=∴
Relação entre o FACTOR de AMPLIFICAÇÃO DINÂMICA e a RAZÃO de FREQUÊNCIAS:
4
3
2
1
00 1 2 3
r
D
ξ=1.0
ξ=0.7ξ=0.5
ξ=0.2
ξ=0
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 32
Conclusões mais importantes (para a resposta estacionária):
a) O movimento é HARMÓNICO e têm a mesma frequência da excitação
b) A amplitude é função de: amplitude e frequência da excitação; frequência e amortecimento do sistema;
O coeficiente de amplificação dinâmica tanto pode ser consideravelmente superior à unidade como inferior.
c) A RESPOSTA e a EXCITAÇÃO NÃO ESTÃO EM FASE, ou seja não atingem os valores máximos simultaneamente. A resposta atinge o máximo segundos depois de a excitação o ter atingido.
d) Em ressonância (r = 1), a amplitude é limitada pelas forças de amortecimento sendo
Em RESSONÂNCIA a resposta está atrasada de 90º.
wα
ξ== 2
11rD
4.3 RESPOSTA EM RESSONÂNCIA
O pico da resposta em regime estacionário ocorre para valores de r próximos da unidade, sendo que o valor máximo exacto se obtém derivando aexpressão de D em ordem a r.
No entanto, para pequenos valores de ξ, os diversos valores de r no pico da resposta praticamente coincidem em torno da unidade.
Assim, no caso de ressonância ( r=1 ) a expressão da resposta escreve-se:
( ) ( )ξ
−+= ξ−
2cossencos 0 tw
kptwBtwAetu aa
tw
e, admitindo que para t = 0 , ( ) ( ) 0000 == uu &e
obtém-se
200
121;
21
ξ−=
ξ=
kpB
kpA
( )
−
ξ−ξ+
ξ= ξ− twtwtwe
kptu aa
tw cossen1
cos21
20
( )wp ;0
( )ξ;w
2tg1 π=α⇒+∞=α⇒=r
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 33
Para ξ = 0 a solução é indeterminada, podendo a indeterminação ser levantada usando a regra de l’Hôpital.
Nos casos correntes :amplitude a para pouco contribuie twwwa senξ=
( ) ( ) tweU
tu tw cos121
0
−ξ
≅ ξ−
Assim, a tradução gráfica da equação do movimento em ressonância com amortecimento é:
( )2
cossen2
sen1
1sen1
cos22
0
twtwtwetwtwtwewt
Utu
twtw
−=ξ−
+
ξ−ξ+−
=
ξ−ξ−
u/U
t
1/2ξ
0
-1/2ξ
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 34
Resolvendo a equação aproximada ( ) 1cos1 =−ξ− twe tw em ordem a wt,obtém-se o número de ciclos necessário para que a resposta amortecida em ressonância atinja o seu pico, traduzido pelo seguinte aspecto gráfico:
1/2ξ
1/4ξ
ξ=0.2 ξ=0.1ξ=0.05
ξ=0.02
2 4 6 8 10 12nº de ciclos
0 4π 8π 12π 16π 20π 24π 28π
u/U0
4.4 CÁLCULO DO AMORTECIMENTO EM SISTEMAS DE 1 G.L.
i) Decréscimo da amplitude nas vibrações livres
πδ≅ξn
n
2 nm
mn u
u
+
=δ lnem que
ii) Amplificação em ressonância
Considere-se a estrutura solicitada por
Calcula-se a máxima amplitude para um conjunto de frequências crescentes.
( ) twptp sen0=2U0
0
U0
1 2 r
3U0
U
FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 35
Sabe-se que
e quando r=1
( ) ( )2220 21
1
rrUU
ξ+−=
Inconveniente deste procedimento: necessidade de determinar U0.
Os aparelhos que permitem aplicar a carga dinâmica, não têm, dum modo geral, a possibilidade de aplicar p0 de forma estática.
1
0
0
1
221
=
= ≅ξ⇒ξ
≅r
r
UU
UU
mede-se no gráfico
iii) A partir das características da curva que relaciona a máxima amplitudecom a razão de frequências
A diferença entre duas frequências que correspondem à mesma amplitude está relacionada com o amortecimento.
121
== rUU
Seja o caso particular em que3U0
0 r1 1 2r 2
r=1U2
U
2U0
U0
r
( ) ( ) ξ=
ξ+−=
221
210
222
0 U
rr
UU
( ) ( )2222 218 rr ξ+−=ξ
ou seja
donde
Fazendo 2rR = vem ξ±=⇒ξ±≈ξ+ξ±ξ−=≈
212112211
22 rR321
desprezável
Usando a expansão binomial ou em série de Mc-Laurin e desprezando os termos de ordem superior à primeira, obtém-se então
( )
( )ξ≅−⇒
+ξ+=
+ξ−=2
2211
2211
12
2
1
rrr
r
L
L