1

MUČI TE MATEMATIKA?

8 rešenja za najveće probleme sa matematikom

+ BONUS: Trikovi za lako učenje matematike

+ BONUS:TRIKOVI ZA

LAKO UČENJE

MUČI TEMATEMATIKA?

2

SAZNAJ KAKO DA NAUČIŠ MATEMATIKU NA NAJLAKŠI NAČIN

Iako matematiku učimo od prvog dana škole, nekima od nas jednostavno nikada nije išla od ruke. Gubljenje u moru cifara i matematičkih zadataka postalo je prava noćna mora. Ako i ti misliš da je matematika teška, verovatno do sada nisi pronašao prave metode da se izboriš s njom.

Kada nešto gledamo iz pogrešnog ugla, to svakako mora biti još teže. Ako misliš da je potrebno naučiti kako da stojiš na glavi, a istovremeno se gledaš u ogledalu, nije ni čudo što si odustao i opredelio se za neku drugu oblast. Da krenemo od početka! Studenti i učenici su naveli 5 glavnih razloga zbog kojih im matematika tako teško pada. Da li se prepoznaješ u nekoj od ovih tvrdnji?

1. JAZ IZMEĐU UČENIKA I PREDMETAKada se sadržaj matematike nepovezano uči ili je predznanje učenika nedovoljno, nastaje veliki problem u savladavanju materije. Gradivo se prelazi velikom brzinom, pa je teško naći vremena da se nadoknadi propušteno. Učenici gube motivaciju da uče dalje, što je sasvim dovoljan razlog za većinu školaraca da odustane.

2. LIČNI RAZLOZINeki smatraju da se njihovo matematičko dostignuće uglavnom može pripisati faktorima koji su izvan njihove kontrole, kao što je sreća. „Dobro sam uradio zadatak, jer sam imao sreće da dobijem najlakšu grupu.“ Ovo je klasično razmišljanje, koje podrazumeva da je uspeh izazvan faktorima koji su van kontrole učenika, gde se ne priznaje da marljivost i pozitivan stav igraju bitnu ulogu u ostvarivanju ciljeva. Na taj način se traže izgovori i svesno ograničava sposobnost da se uči i napreduje.

3. NEDOSTATAK MENTALNE STRATEGIJEAko si pomislio da samo tebi dođu dani kada ti učenje jednostavno „ne ide”, prevario si se. Brojnim učenicima i studentima ponekad nedostaju razvijene strategije za pamćenje, kako bi kombinovali osnovne činjenice i uradili matematičke operacije. Ipak, strategija za unapređenje kapaciteta za pamćenje činjenica, formula ili postupaka može da se nauči. Kreativnost igra bitnu ulogu, pa se možete poslužiti asocijacijama, mapama, ključnim rečima ili brojevima.

4. ODSUSTVO PAŽNJEPri slušanju velike količine informacija, učenici su često zbunjeni i imaju poteškoća da se fokusiraju na zadatke i korake u njihovom rešavanju. Bavljenje većim brojem varijabli ili informacija u jednom trenutku te lako može omesti u rešavanju zadataka. Zato su crteži i rad u parovima odličan način da poboljšaš svoju pažnju. Interaktivna nastava više ne bi trebalo da bude izuzetak, jer živimo u digitalnom dobu koje nam donosi velike mogućnosti.

5. NERAZUMEVANJE JEZIKA MATEMATIKEDešava ti se da si često zbunjen terminima koji imaju posebno matematičko značenje, kao što su: volumen, prostor, faktor? Nedostatak razumevanja termina ozbiljno ugrožava sposobnost da se fokusiraš na probleme, a samim tim i rešiš zadatak. Zato je potrebno da pronađeš način za učenje koji ti najviše odgovara.

3

KAKO DA MI MATEMATIKA KONAČNO KRENE?Ne postoji čarobni štapić pomoću koga ćeš savladati matematiku za kratko vreme, ali sledeći saveti će ti pomoći da zadržiš fokus i motivaciju. Bitno je da ne odustaješ; matematika je veoma zanimljiva i korisna nauka kada joj se pristupi na pravi način.

1. AKO NE RAZUMEŠ NEŠTO, FOKUSIRAJ SE DA TE ZADATKE I TEOREME DOBRO SAVLADAŠ PRE NEGO ŠTO PREĐEŠ NA DALJE LEKCIJE.Zvuči jednostavno, ali je i apsolutno neophodno. Recimo da, na primer, učiš trigonometriju. Neki učenici će u ovoj situaciji, iz frustracije da „ne mogu“ da nauče ovu oblast, preći na sledeću lekciju, u nadi da će biti u stanju da makar nju shvate. Ovo je recept za katastrofu.

Učenje matematike je veoma slično učenju čitanja. Ako ne znaš pismo, onda nema nade da ćeš biti u stanju da pročitaš knjigu. Sve matematičke operacije se uče po određenom redosledu, jer se svaka tema nadovezuje na onu prethodnu.

2. VEŽBAJ PRIMERE ZADATAKA I PROVERI SVOJE ODGOVORE POSLE SVAKE LEKCIJE.Uvek počni od najlakšeg zadatka u svojoj knjizi, čak i ako misliš da će biti previše „lako“ da se on reši. Veoma je važno da izgradiš samopouzdanje. Postepeno pređi na napornije i teže zadatke i proveri svoj odgovor za svaki od njih. Mnogi učenici i studenti žele da prelete preko lekcije samo da bi što pre prešli na sledeću. Ako ne možeš da uradiš zadatke u jednoj lekciji, nisi spreman da nastaviš dalje.

3. SVE STAVI NA PAPIR. KADA POČNEŠ SA REŠAVANJEM ZADATAKA, NIKAKO NE POKUŠAVAJ DA IH REŠAVAŠ „U GLAVI“.Mnogi učenici su često u iskušenju da reše jednačinu u svojoj glavi, a da pritom ništa ne napišu. Gotovo nikada ne možeš rešiti bilo kakav složeniji matematički zadatak bez zapisivanja.

Ono što treba da uradiš je vežbanje korak po korak. Zapiši čak i jednostavne stvari. Ovo ti omogućava da proveriš svoj rad, ali i da olakšaš sebi, jer ćeš „razbiti” zadatke na manje delove.

4. KADA UČIŠ I RADIŠ DOMAĆE ZADATKE, POKUŠAJ DA NAĐEŠ MIRNO MESTO ZA TO.Iako mnogi vole da slušaju muziku dok uče, ne mora da znači da je takav slučaj i sa tobom. Pokušaj da nađeš mesto u svom domu koje će pogodovati tvojim potrebama, ili idi u biblioteku gde i ostali uče, jer ćeš moći bolje da se fokusiraš.

5. AKO TE NEKO PITA ZA POMOĆ, POKUŠAJ DA MU OBJASNIŠ NA NAJBOLJI MOGUĆI NAČIN.Ovo izgleda čudno kao savet za ovu listu… Međutim, postoji jedna univerzalna istina. Ne samo da ćeš se osećati dobro dok pomažeš prijateljima već će i proces ponavljanja i povratne informacije povećati tvoje razumevanje gradiva.

4

6. NIKADA, ALI NIKADA NE RADI MATEMATIČKE ZADATKE HEMIJSKOM.Napravićeš grešku, to je samo pitanje vremena. Rezultiraće papirom sa kog je teško čitati, a kada vidiš sve te žvrljotine, tek tada nećeš uspeti da dođeš do rešenja zadatka. Cilj je imati uredan papir sa dobro osmišljenim rešenjem.

Pokušaj da koristiš grafitne olovke sa kvalitetnom gumicom kako bi mogao da ispraviš eventualne greške koje napraviš. Uvek radi zadatke vertikalno, sa jednim korakom na svakoj liniji. Nikada ih ne radi horizontalno. Nećeš uštedeti mnogo papira, a biće ti mnogo teže da ispratiš svoje korake.

7. SKICIRAJ ZADATKE.Ovaj savet najviše važi za geometriju i mnoge zadatke iz fizike. Mi smo vizuelna bića, a proces crtanja čini da lakše shvatimo situaciju. Sigurno je da ćeš dosta lakše izračunati površinu neke geometrijske figure ukoliko je skiciraš. Isto važi i za zadatke sa izračunavanjem pređenog puta i slično.

8. UČI IZ RAZLIČITIH IZVORA.Tokom učenja na raspolaganju je uvek više izvora informacija: predavanja, udžbenici, nastavnici, školski drugari, internet, baza besplatnog sadržaja i tutorijala online škole matematike… Predavanja i časovi svakako jesu primaran izvor informacija, ali tvoji vršnjaci su možda i najvažniji resurs za učenje matematike.

Rad sa drugima ne znači kopiranje odgovora, već njihovo zajedničko razmatranje. Ovde je reč o deljenju ideja. Ako imaš problem sa rešavanjem zadataka, zajedno možete kombinovati pristupe kako biste najlakše došli do tačnog rešenja.

U ovom slučaju su posebno korisni saveti Viljama Glaserova. Naime, prema njegovoj tvrdnji, čovek upamti:

• 20% onoga što čuje;

• 30% onoga što vidi;

• 50% onoga što čuje i vidi;

• 70% onoga o čemu diskutuje sa drugima;

• 80% onoga što lično iskusi;

• 95% onoga što nauči od drugog.

Ukoliko budeš pratio gorenavedene korake u učenju i savladavanju gradiva iz matematike, postoji velika verovatnoća da ćeš na mnogo lakši i jednostavniji način popraviti ocenu, spremiti se za pismeni ili usmeni ispit iz ovog predmeta. Ali, to nije sve: naime, predstavljamo ti još 7 trikova koji će ti biti od pomoći kako u svakodnevnom životu, tako i na časovima matematike. Uveri se da je matematika zaista zanimljiva!

MATEMATIKA MOŽE BITI IGRA

Da matematika ne mora biti toliki bauk, efikasno pokazuje ovih 7 primera za rešavanje zadataka. Ubrzaj rešavanje zadataka, a ujedno se i zabavi. Matematika ne mora biti dosadna ako se uči na zanimljiv način, koji isključuje puko prepisivanje informacija sa table.

1. KINESKA TEHNIKA ABAKUS – MNOŽENJE POMOĆU CRTICAKineska kultura je sama po sebi jedinstvena, a kineski način množenja je izuzetno zanimljiv i praktičan. Suština je predstavljanje brojeva putem crtica čijom kombinacijom dobijate traženi proizvod.

5

Recimo da nam je potrebno rešenje proizvoda dva broja: 22 · 22. To rešenje bi izgledalo ovako:

Predstavi brojeve kombinacijom crtica – svaka crtica predstavlja cifru jedan.

Na sledeći način podeli linije – izdvojeni delovi daju određeni broj.

Ovako dobijeni brojevi daju konačno rešenje.

Isti postupak se primenjuje i za složenije brojeve, na primer 53·241.

Prati ova uputstva i gledaj sliku i lako ćeš razumeti kinesku tehniku abakus: 5 zelenih crta predstavlja 5 desetica, a 3 zelene crte predstavljaju 3 jedinice za broj 53; dve plave crte simbolizuju broj stotina, 4 plave crte broj desetica i jedna crta za broj jedinica je broj 241. Tri je množenje cifara na mestima jedinica (3·1) i daće broj jedinica broja koji predstavlja proizvod. Broj desetica u proizvodu daće množenja cifara na mestima desetica i jedinica (5·1+3·4), broj stotina u proizvodu daće međusobno množenje cifara na mestima desetica i množenje jedinica i stotina (5·4+3·2) i broj hiljada je jednak proizvodu desetica i stotina (5·2). Dakle, imamo 10 hiljada, 26 stotina, 17 desetica i 3 jedinice.

22 22=?.

22 22=?.

4 4

8

22 22=?.

4 4

8 484

6

2. JEDNOSTAVNO MNOŽENJE DVOCIFRENIH BROJEVA SA 11Ukoliko imaš zadatak da pomnožiš neki dvocifreni broj sa 11, možeš iskoristiti ovaj trik od dva koraka. Recimo da je potrebno izračunati 32·11. Rešenje dobijamo na sledeći način:

• Razdvoj dve cifre (3__2).

• Оbrati pažnju na prostor između njih!

• Saberi brojeve (3 + 2 = 5).

• Stavi rezultat između i dobićeš rešenje 352. Tо je to! 11 · 32 = 352

Jednu stvar je bitno upamtiti – ako je rezultat dva broja veći od 9, dodaj prvom broju deseticu, a drugi broj stavi u prazan prostor. Uzmimo za primer proizvod 11 · 57 …

• Razdvoj dve cifre (5__7).

• Saberi brojeve (5 + 7 = 12).

• 1 od 12 se dodaje broju 5, a 2 ostavljamo u praznom prostoru.

• Rezultat je 627, što i jeste proizvod: 11 · 57 = 627.

53 241=?.1 0 2 6 1 7 31 2 7 7 3

127731026

17

3

32 11.

323 2 3 5 2

3+2

7

3. TEHNIKA LEPTIRAZa sabiranje i oduzimanje razlomaka primenjujemo „tehniku leptira“. Tehnika je prilično jednostavna i prikazana je na sledećoj ilustraciji:

Šta tehnika leptira zapravo radi? Ona nam pokazuje koji broj treba pomnožiti sa kojim, kao što možeš videti na slici. Kada imamo sabiranje dva razlomka, množimo unakrsno brojilac prvog i imenilac drugog, kao i imenilac prvog i brojilac drugog. Sabrani dobijeni proizvodi predstavljaju brojilac rešenja, a imenilac je dobijen množenjem imenioca sabiraka.

4. KAKO SE VELIKI BROJEVI ODUZIMAJU OD BROJA 1000?Osnovno pravilo za oduzimanje velikih brojeva od 1.000: oduzmi svaku cifru osim poslednje od 9, a poslednju oduzmi od 10. Brojeve zapiši jedan ispod drugog, uvek vodeći računa o mestima cifara. Ne zaboravi da jedinice zapišeš ispod jedinica, desetice ispod desetica, stotine ispod stotina...

5. MNOŽENJE BROJEM 9 U DVA KORAKAOvaj jednostavan postupak je koristan kod množenja bilo kog broja sa 9. On funkcioniše na sledeći način:

Hajde da iskoristimo jednostavan primer: 3 · 9.

Kоrаk 1: Оduzeti 1 od broja koji se množi sa 9.

3 - 1 = 2

2 је prva cifra u rešenju jednačine.

Korak 2: Oduzeti dobijeni broj – u našem primeru to je broj 2 – od broja 9

9 - 2 = 7

7 je druga cifra u rešenju jednačine. Rešenje je 27.

8

6. PRAVILA DELJIVOSTI BROJEVAEvo brzog načina da saznaš kada broj može biti podeljen određenim brojevima.

Sa 10 ako se broj završava sa 0.

Sa 9 možemo deliti brojeve čiji je zbir cifara deljiv sa 9. Primer: broj 27.

Saberimo cifre od kojih se ovaj broj sadrži 2+7=9. Ako je zbir cifara tog broja deljiv sa 9, onda je i taj broj deljiv sa 9.

Sa 8 ako se broj završava sa 000 ili čiji je trocifreni završetak deljiv sa 8.

Sa 6 ako je paran broj, a kada se saberu cifre, zbir cifara je deljiv sa 3. Sa 5 ako se broj završava sa 0 ili 5.

Sa 4 ako se broj završava sa 00 ili čiji je dvocifreni završetak deljiv sa 4.Sa 3 možemo deliti brojeve čiji je zbir cifara deljiv sa 3.

Sa 2 ako se broj završava na 0, 2, 4, 6, ili 8.

7. TRIK ZA KVADRIRANJE AKO SE BROJ ZAVRŠAVA NA 5Još jedan brzi način za kvadriranje brojeva. Ukoliko se broj koji želimo kvadrirati završava na 5, primenjujemo sledeći postupak: množimo broj pre 5 sa brojem koji mu sledi, a zatim dopišemo 25.

Pomenuti primeri samo su neki od trikova koji olakšavaju matematičke operacije. Oni su dokaz da matematika može biti veoma jednostavna za razumevanje, ukoliko joj se pristupi na pravi način. Svrha matematike nije puko rešavanje zadataka, već razvijanje logičkog razmišljanja. Sve formule i teoreme se vremenom i zaborave, ali logika kao suština učenja ostaje za ceo život.

I to je upravo ono što ćeš dobiti ako se prijaviš na OKmatematiku! OKmatematika je inovativno pedagoško i tehnološko rešenje koje pomaže mnogima da nauče, razumeju i savladaju matematiku na posve zanimljiv i jednostavan način. Jer, matematika nije nezgrapni sistem formula, izraza i nerešivih zadataka, već veoma logičan sistem kojim lako možeš ovladati ukoliko ti je objašnjen na pravi način. A kada je jednom shvatiš, biće ti lako da je brzo i zavoliš.

Uz pomoć OKprofesora lako ćeš razumeti i zavoleti nauku koja mnogima zadaje glavobolju. Kontaktiraj sa nama i prijavi se na OKmatematiku, a naši savetnici za upis će ti rado izaći u susret i pomoći ti da u ovoj školskoj godini dođeš do dobre ocene.