Muhamed Pehlivanović 2012.

MATEMATIKA

1

1. Algebarski identiteti

1. KVADRAT ZBIRA

( )

2. KVADRAT RAZLIKE

( )

3. KUB ZBIRA

( )

4. KUB RAZLIKE

( )

5. RAZLIKA KVADRATA

( )( )

6. ZBIR KUBOVA

( )( )

7. RAZLIKA KUBOVA

( )( )

MATEMATIKA

2

2. Stepeni (potencije) i korijeni

Broj a stepena n je: ⏟

( ) , ( )

Stepeni istih baza množe se tako da se eksponenti saberu, a baza ostaje ista.

Stepeni istih baza dijele se tako da se eksponenti oduzmu, a baza ostaje ista.

Stepeni istih ekponenata množe se tako da se baze pomnože, a eksponent ostaje isti.

( )

Stepeni istih eksponenata dijele se tako da se baze podijele, a eksponent ostaje isti.

.

/

( )

Stepeni se stepenuju tako da se eksponenti pomnože.

( ) ( )

Stepeni suprotnih eksponenata su recipročni.

( )

Nazivnik u razlomljenom (racionalnom) eksponentu odgovara korijenu istog stepena.

√

( )

Korijeni istog stepena množe se tako da se izrazi pod korjenom (potkorjene veličine)

pomnože, a stepen korijena ostaje isti.

√

√

√

Korijeni se korjenuju tako da se stepeni korijena pomnože.

√√

√

Korjeni istih stepena dijele se tako da se baze podijele, a stepen korjena ostaje isti.

√

√ √

( )

MATEMATIKA

3

3. Polinomi Izraz oblika se naziva monom stepena k.

Sabiranjem monoma za različite vrijednosti k dobija se polinom ili višestruki monom.

Polinom n-tog stepena je funkcija definisana sa:

( )

(1)

( ) ∑

Zapis (1) se naziva kanonski oblik polinoma.

Brojevi su realni brojevi gdje je (jer ne bi bio polinom n-tog

stepena).

Brojevi se nazivaju koeficijenti polinoma.

Broj nazivamo vodeći koeficijent, a broj nazivamo slobodni koeficijent.

Za polinom (1) kažemo da je polinom sa realnim koeficijentima.

Stepen polinoma je najveća potencija nepoznate x u kanonskom obliku.

Teorem3.1

Za polinom (1) vrijedi P (identički jednak nuli) tj. ( ) ako i samo ako je:

3.1 Jednakost polinoma

Za dva polinoma P i Q kažemo da su jednaki i pišemo ako vrijedi:

( ) ( )

Teorem3.2

Dva polinoma P i Q su jednaki ako i samo ako su istog stepena i odgovarajući koeficijenti

u kanonskom obliku su im jednaki.

MATEMATIKA

4

3.2 Djeljenje polinoma

Teorem3.3

Neka je ( )

( ) polinom n-tog

stepena. Za svaki polinom P stepena n postoji jedinstven ureĎen par polinoma (Q,r) takav

da je:

3.3 Najveći zajednički djelitelj polinoma

Normirani polinom (polinom čiji je vodeći koeficijent jednak 1) u oznaci (f,g) se naziva najveći

zajednički djelilac (najveća zajednička mjera) nenultih polinoma f i g ako on ima sljedeća

svojstva:

NZD(f,g) je djelitelj polinoma f i g,

Ako je P djelitelj od f i g, onda je P djelitelj i od NZD(f,g).

Postupak za nalaženje NZD(f,g) se dobija iz euklidovog algoritma za polinome:

-oznaka deg znači stepen.

( )

gdje je a vodeći koeficijent u .

Kažemo da su nenulti polinomi f i g relativno prosti ako je NZD(f,g)=1.

Polinom je ireducibilan (nerastavljiv) nad poljem ako iz f=g slijedi da je deg g=0 ili

deg h=0.

MATEMATIKA

5

3.4 Racionalna funkcija

Funkcija oblika: ( )

( ) se označava s

se naziva razlomak (količnik)

polinoma odnosno racionalna funkcija.

Racionalna funkcija

je u kanonskom obliku ili skraćenom obliku ako je NZD(f,g)=1.

Racionalna funkcija je prava racionalna funkcija ako je deg f < deg g.

Podjelimo li f s g dobijamo .

Vidimo da se svaki razlomak

može napisati u obliku:

3.5 Parcijalni razlomak

Pravi razlomak

je prost (parcijalni razlomak) ako je g=P

k ( ) pri čemu je P

ireducibilan polinom nad poljem gdje je deg f < deg P.

Svaki pravi razlomak

( ) je moguće na jedinstven način prikazati kao zbir

parcijalnih razlomaka.

3.6 Nultačke polinoma

Broj je nultačka polinoma ( ) , ako je ( ) .

Općenito, polinom n-tog stepena ima n nultačaka koje mogu biti realne ili kompleksne.

Ako je ( )

( ) ,onda se

jednačina

naziva algebarska jednačina

n-tog stepena.

Rješenja algebarske jednačine su nultačke pripadnog polinoma.

Djeljenje polinoma P stepena većeg ili jednakog 1 polinomom ( ) možemo

zapisati na slijedeći način:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Kako je stepen od jednak 1, slijedi da je stepen od ( ) jednak 0, tj. konstanta.

Imamo da vrijedi:

( ) ( ) ( )

MATEMATIKA

6

3.7 Bezuov teorem

Ako u polinomu ( ) ( ) ( ) uvrstimo dobijamo da je ( ) ,

što tvrdi sljedeća teorema.

Teorem3.4 (Bezuova teorema)

Ostatak pri djeljenju polinoma ( ) binomom jednak je vrijednosti ( )

DOKAZ:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Slijedi da je r konstanta pa je: ( ) ( ) ( )

Imamo da je: ( ) ( ) ( ) ( )

Prema bezuovom teoremu je ( ) .

Iz ovog zaključujemo da je tada , pa je ( )

( ) ( ) ( )

Zaključujemo da ako je nultačka polinoma ( ) , onda je taj polinom ( ) djeljiv s

binomom .

3.8 Osnovni teorem algebre

Teorem3.5 (Osnovni teorem algebre)

Svaki polinom stepena većeg ili jednakog 1 ima bar jednu nultačku u skupu kompleksnih

brojeva.

Faktorizacija polinoma

Neka je po volji odabran polinom stepena n.

On ima bar jednu nultačku pa možemo pisati:

( ) ( ) ( )

gdje je ( ) polinom stepena n-1.

Neka je nultačka polinoma ( ).

Tada je:

( ) ( )( ) ( )

gdje je ( ) polinom stepena n-2.

MATEMATIKA

7

Nastavljajući dalje dobijamo:

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

gdje je ( ) polinom stepena 0 tj. polinom je konstanta pa imamo:

( ) ( )( ) ( )

gdje je a vodeći koeficijent polinoma P.

DOKAZ:

( )

( )( ) ( )

Iz jednakosti dva polinoma slijedi da je

Svaki polinom stepena možemo faktorizovati na sljedeći način:

( ) ( )( ) ( )

Kod polinoma parnog stepena nultačke mogu biti realne i kompleksne (paran broj

kompleksnih i realnih nultačaka).

Kod polinoma neparnog stepena bar jedna nultačka mora biti realna.

3.9 Jednake nultačke

Neka je nultačka polinoma P stepena n.

Onda vrijedi:

( ) ( ) ( )

gdje je polinom ( ) stepena n-1.

Polinom ( ) takoĎer može imati istu nultačku pa vrijedi:

( ) ( ) ( )

Postupak možemo nastaviti dalje sve dok je nultačka polinoma ( ) i vrijedi:

( ) ( ) ( )

gdje nije nultačka polinoma ( ).

MATEMATIKA

8

Definicija3.1

Kažemo da je broj nultačka kratnosti k polinoma P ako se on može napisati u obliku:

( ) ( ) ( )

pri čemu je ( ) polinom sa svojstvom da je ( )

3.10 Hornerov algoritam

Podjelimo li polinom ( )

polinomom

imamo:

( ) ( ) ( )

gdje je ( )

Za ostatak vrijedi (konstanta).

Izmnožimo li polinome na desnoj strani i izjednačimo li dobijamo:

( )

(2)

( ) ( )(

)

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Iz jednakosti polinoma (2) i (3) slijedi:

Na taj način dobijamo formule za računanje količnika i ostatka pri djeljenju polinoma P

stepena polinomom

Taj algoritam se naziva hornerov algoritam.

MATEMATIKA

9

Hornerov algoritam možemo predstaviti tabelarno na sljedeći način:

...

...

gdje je i (npr. ).

Hornerov algoritam nam daje odgovore na sljedeća pitanja i to:

Koliki je ostatak pri djeljenju polinoma P polinomom ? ( )

Da li je polinom P djeljiv polinomom ? ( )

Da li je nultačka polinoma P? ( )

Koliko je ( )? ( ( ) )

3.11 Rastav polinoma po potencijama Podjelimo li polinom P sa imamo:

( ) ( ) ( )

Podjelimo li polinom ( ) sa imamo:

( ) ( ) ( )

Podjelimo li polinom ( ) sa imamo:

( ) ( ) ( )

Sada imamo da je:

( ) ( )( ) ( ) ( )

Nastavimo li dalje dobijamo:

( ) ( )( ) ( ) ( )

U ovom slučaju kažemo da smo polinom P rastavili po potencijama od .

MATEMATIKA

10

3.12 Svojstva nultačaka polinoma

Teorem3.6

Ako je P polinom s realnim koeficijentima i njegova nultačka, tada je i

nultačka polinoma.

DOKAZ:

Treba dokazati: ( ) ( ) .

( )

Iskoristimo osobine kompleksnih brojeva:

;

( )

Sada imamo:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

Teorem3.7

Polinom sa realnim koeficijentima ili nema kompleksnih nultačaka ili ih ima paran broj.

Teorem3.8

Svaki polinom s realnim koeficijentima se može rastaviti na faktore sa realnim

koeficijentima stepena najviše 2.

3.13 Vietove formule za polinom drugog stepena

Polinom drugog stepena je oblika .

Faktoriziramo li taj polinom imamo:

( )( )

gdje su nultačke polinoma.

( )( ) ( )

( )

MATEMATIKA

11

Iz jednakosti dva polinoma imamo da vrijedi:

3.14 Vietove formule za polinom trećeg stepena

Polinom trećeg stepena je oblika .

Faktoriziramo li taj polinom imamo:

( )( )( )

gdje su nultačke polinoma.

( )( )( ) , ( ) ( ) -

( ) ( )

Iz jednakosti dva polinoma imamo da vrijedi:

MATEMATIKA

12

4. Nizovi

Niz je preslikavanje sa skupa u skup X. Skup X može biti

Funkciju * + nazivamo konačnim nizom realnih brojeva i pišemo:

gdje je ( ) opći član niza.

Funkciju , kojoj je domena čitav skup , a kodomena skup nazivamo

beskonačni niz realnih brojeva (niz realnih brojeva) i označavamo sa:

Monotonost realnog niza:

niz je rastući ako vrijedi: .

niz je opadajući ako vrijedi:

Ograničenost realnog niza:

niz je ograničen sa donje strane ili odozdo ako vrijedi:

niz je ograničen sa gornje strane ili odozgo ako vrijedi:

4.1 Aritmetički niz

Aritmetički niz je niz kod kojeg je razlika izmeĎu člana i člana ispred njega konstantan broj.

Aritmetički niz je niz oblika:

gdje je je diferencija (razlika) aritmetičkog niza.

Opći član aritmetičkog niza je dat sa:

( )

gdje je prirodan broj.

MATEMATIKA

13

Zbir (suma) prvih n članova aritmetičkog niza je data formulama:

( )

, ( ) -

DOKAZ:

Neka je dat niz tj.

( )

( )

⏟

( )

, ( )-

( )

, ( ) -

, ( ) -

, -

Uslov da tri broja budu članovi aritmetičkog niza:

Interpolacija r članova izmeĎu brojeva a i b.

Interpolirati izmeĎu dva zadana broja a i b aritmetički niz od r članova znači odrediti r

brojeva, koji zajedno s a i b čine konačan aritmetički niz od r + 2 člana, kome je a prvi i b

posljednji član.

Za r članova slijedi r+1 diferencija.

Stoga je:

( )

MATEMATIKA

14

4.2 Geometrijski niz

Geometrijski niz je niz kod kojeg je količnik izmeĎu člana i člana ispred njega konstantan

broj. Geometrijski niz je niz oblika:

gdje je je količnik geometrijskog niza.

Opći član geometrijskog niza je dat sa:

gdje je prirodan broj.

Zbir (suma) prvih n članova geometrijskog niza je data formulama:

| |

| |

Za beskonačni geometrijski niz vrijedi suma:

| |

DOKAZ:

Neka je dat niz tj.

( )

Pomnožimo li gornju jednačinu sa imamo:

( ) Ukoliko oduzmemo (1) i (2) imamo:

( ) ( )

Beskonačni geometrijski red je oblika:

Suma beskonačnog geometrijskog reda je konačna za | | i vrijedi:

MATEMATIKA

15

Tada je:

Kako je | | to je:

( )

( )

( )⏞

| |

Uslov da tri broja budu članovi geometrijskog niza:

√

Interpolacija r članova izmeĎu brojeva a i b.

Interpolirati izmeĎu dva zadana broja a i b geometrijski niz od r članova znači odrediti r

brojeva, koji zajedno s a i b čine konačan geometrijski niz od r + 2 člana, kome je a prvi i

b posljednji član.

Za r članova slijedi r+1 količnika.

Stoga je:

Odnos izmeĎu harmonijske, geometrijske, aritmetičke i kvadratne sredine je:

√

√

DOKAZ:

Dokažimo prvo nejednakost:

√

MATEMATIKA

16

(√ √ )

√

√

√

( )

√

( )

√

√ ( )

√ ( )

Ukoliko nejednakosti (1) i (2) oduzmemo dobijamo:

√

√

( )

√

(√

√

)

√

√ √

√ (

*

MATEMATIKA

17

√ ( )

Na osnovu (*) (**) i (***) imamo:

√

√

MATEMATIKA

18

5. Kompleksni brojevi Skup kompleksnih brojeva je definisan na sljedeći način:

{ √ }

Broj se naziva imaginarna jedinica kompleksnog broja.

Za broj vrijedi:

Slijedi da je:

Kompleksni broj se može napisati u tri oblika i to:

Algebarski oblik kompleksnog broja,

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja,

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

5.1 Algebarski (standardni) oblik kompleksnog broja

Kompleksni broj u algebarskom obliku definiran je:

.

Realni i imaginarni dio kompleksnog broja u algebarskom obliku su:

MATEMATIKA

19

Prikaz kompleksnog broja u kompleksnoj ravni (gausovoj ravni):

Modul kompleksnog broja je udaljenost kompleksnog broja od ishodišta (kompleksnog

broja ) u kompleksnoj ravni i vrijedi:

| | √

Kompleksni brojevi su meĎusobno konjugirani ili konjugovano kompleksni brojevi ako

vrijedi:

Svojstva konjugirano kompleksnih brojeva:

| |

| |

DOKAZ:

( )( ) | |

( )( )

MATEMATIKA

20

Teorem5.1

U skupu kompleksnih brojeva vrijedi:

( )

.

/

DOKAZ:

Neka je:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

MATEMATIKA

21

( )

( ) ( ) .

(

*

(

*

(

*

(

*

(

)

(kako je , , ( ) imamo )

(

*

Teorem5.2

U skupu kompleksnih brojeva vrijedi:

| | | |

| | | | | |

|

|

| |

| |

|

|

| |

| | | |

DOKAZ:

Neka je:

| | √

| | √

| | √

| | | |

| | √ ( ) √ | |

MATEMATIKA

22

| | | | | |

( )

| | √( ) ( )

| | √

| | √

| | √ (

)

(

)

| | √(

)(

) √

√

| | | |

|

|

| |

| |

|

| |

| |

|

| |

| | | | | |

| | | | | |

| |

| |

|

|

| |

(slijedi direktno slijedi iz prethodnog)

| | | |

| | | | | | | | | |

MATEMATIKA

23

5.2 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Neka je ugao koji poluprava zatvara sa realnom osom kao na slici:

| | √ - modul kompleksnog broja

- argument kompleksnog broja

Imamo sljedeće:

Uvrštavanje u algebarski oblik kompleksnog broja

daje sljedeće:

odnosno

( )

Tako smo dobili kompleksan broj zapisan u trigonometrijskom obliku.

Kraći zapis kompleksnog broja zapisanog u trigonometrijskom obliku je:

.

Kompleksni brojevi su meĎusobno konjugirani ili konjugovano kompleksni brojevi ako

vrijedi:

( )

( )

Računske operacije sa kompleksnim brojevima

Za kompleksne brojeve ( ) ( ) vrijedi:

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

DOKAZ:

( ) ( )

MATEMATIKA

24

( ) ( )

, -

, ( )-

(koristeći adicione formule za ( ) ( ) imamo )

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

( )

( )

( ) ( )

⏟

, -

, ( )-

(koristeći adicione formule za ( ) ( ) imamo: )

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

Općenito za proizvod i količnik n kompleksnih brojeva vrijedi:

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

Za kompleksan broj ( ) vrijedi:

( )

DOKAZ:

( )

⏟

( )

MATEMATIKA

25

Stepenovanje kompleksnog broja (MOAVROVA FORMULA)

Stepenovanje i korjenovanje kompleksnog broja se često radi u trigonometrijskom obliku.

( )

DOKAZ:

⏟

, ( )- ( )

( ) ( ) ( )⏟

[ ( ⏟

) ( ⏟

)]

( )

Za kompleksan broj ( ) vrijedi:

( )

DOKAZ:

( )

⏟

( )

Korjenovanje kompleksnog broja:

√

√

(

*

√ √

(

*

DOKAZ:

( )

√

gdje je rješenje.

( )

MATEMATIKA

26

( ) ( )

Iz jednakosti dva kompleksna broja slijedi:

√

Uvrštavanje

u ( ) daje sljedeća rješenja za različite

vrijednosti k tj. n rješenja i vrijedi:

√

(

*

Sva rješenja se nalaze na pravilnom n-touglu.

Dokaz formule √ √

.

/ se izvodi na analogan način:

( )

√ , ( )

Ostaje samo uvrstiti.

5.3 Eksponencijalni (Eulerov) oblik kompleksnog broja

Ukoliko iskoristimo Eulerovu formulu; u trigonometrijskom obliku

kompleksnog broja imamo:

Tako smo dobili eksponencijalni oblik kompleksnog broja.

Kompleksni brojevi su meĎusobno konjugirani ili konjugovano kompleksni brojevi ako

vrijedi:

MATEMATIKA

27

Računske operacije sa kompleksnim brojevima

Neka je

.

Tada vrijedi:

( )

( )

Stepenovanje kompleksnog broja:

MATEMATIKA

28

6. Geometrija

Dio elementarne geometrije u kojem se proučavaju osobine geometrijskih figura jedne ravni

naziva se planimetrija, dok oblast geometrije u kojoj se proučavaju osobine geometrijskih

figura koje nisu u istoj ravni se naziva stereometrija.

Osnovni pojmovi u geometriji su tačka, prava i ravan. Pored njih koriste se i pojmovi skup,

element skupa, element pripada skupu. Svi ostali pojmovi se moraju definisati.

MeĎusobni odnos tačke, prave i ravni

Definicija6.1

Neprazan skup tačaka nazivamo figura.

Definicija6.2

Iskaz koji smatramo istinitim bez dokaza naziva se aksiom, (postulati-aksiome u

geometriji).

Definicija6.3

Iskaz čiju istinitost dokazujemo na osnovu aksioma, naziva se teorem.

Definicija6.4

Postupak obrazlaganja istinitosti teoreme, naziva se dokaz.

Aksiom6.1 (aksiom odreĎenosti prave)

Dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj istoj pravoj ili; prava je odreĎena sa

dvije različite tačke.

Aksiom6.2

Svaka prava sadrži bar dvije tačke.

Definicija6.5

Tačke koje pripadaju jednoj istoj pravoj nazivaju se kolinearne tačke.

Aksiom6.3

Postoje najmanje tri tačke koje nisu kolinearne tačke.

Definicija6.6

Tačke koje ne pripadaju jednoj istoj pravoj nazivaju se nekolinearne tačke.

MATEMATIKA

29

Aksiom6.4 (aksiom odreĎenosti ravni)

Svake tri nekolinearne tačke pripadaju jednoj i samo jednoj ravni.

Aksiom6.5

Svaka ravan sadrži bar tri nekolinearne tačke.

Definicija6.7

Tačke koje pripadaju jednoj istoj ravni nazivaju se koplanarne tačke.

Aksiom6.6

Postoje najmanje četiri tačke koje nisu koplanarne.

Definicija6.8

Tačke koje ne pripadaju jednoj istoj ravni nazivaju se nekoplanarne tačke.

Aksiom6.7(odnos prave i ravni)

Ako dvije tačke prave pripadaju ravni, onda sve tačke te prave pripadaju toj ravni.

Posljedica aksioma: Ravan i prava koja ne leži u toj ravni mogu imati najviše jednu

zajedničku tačku.

MeĎusobni položaj prave i ravni

Prava leži u ravni, (Slika6.1)

Ako prava i ravan imaju jednu zajedničku tačku, tada kažemo da prava prodire

ravan u toj tački ili prava i ravan se sijeku, (Slika6.2)

Ako prava i ravan nemaju zajedničkih tačaka, tada kažemo da je prava paralelna

ravni. (Slika6.3)

Slika6.1 Slika6.2 Slika6.3

MATEMATIKA

30

MeĎusobni položaj dvije prave

Ako prave a i b imaju jednu zajedničku tačku, tada kažemo da se prave a i b sijeku i

pišemo ,

Ako prave a i b imaju bar dvije zajedničke tačke, tada kažemo da se prave poklapaju

i pišemo ili ,

Ako prave a i b leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka, tada kažemo da su

prave a i b paralelne i pišemo ,

Ako prave a i b ne leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka, tada kažemo da su

prave a i b mimoilazne.

Aksiom6.8(aksiom dvije ravni)

Ako dvije ravni imaju jednu zajedničku tačku, tada imaju jednu zajedničku pravu tj. njihov

presjek je prava.

MeĎusobni položaj dvije ravni

Ako dvije ravni i imaju zajedničke tri nekolinearne tačk, tada kažemo da se

ravni poklapaju i pišemo ili ,

Ako dvije ravni i imaju zajedničku pravu p, tada kažemo da se ravni sijeku po

pravoj i pišemo ,

Ako se ravni nalaze u takvom položaju da nemaju zajedničkih tačaka, onda za takve

ravni kažemo da su paralelne i pišemo .

Aksiom6.9(aksiom paralelnosti u ravni)

Ako je u bilo kojoj ravni data prava p i tačka , onda u tački A u ravni postoji

tačno jedna prava q koja je paralelna sa pravom p.

Teorem6.1

Ravan može biti odreĎena:

sa tri nekolinearne tačke,

sa dvije prave koje se sijeku,

sa dvije različite paralelne prave,

sa jednom pravom i tačkom koja ne pripada toj pravoj.

MATEMATIKA

31

Poluprava, duž, poluravan i poluprostor

Aksiom6.10

Svaka tačka O na pravoj p dijeli skup tačaka prave na dva jednaka dijela tako da:

a) ako tačke A i B pripadaju raznim stranama, tada tačka O leži izmeĎu tačaka A i B i

pišemo ( ) (čitamo bitvin- biti između).

b) ako tačke A i B pripadaju istom dijelu prave, tada se jedna od tačaka A i B nalazi

izmeĎu druge tačke i tačke O i pišemo ( ) ili ( ).

Definicija6.9

Svaki od dijelova prave koja je podijeljena nekom svojom tačkom O, zajedno sa tom tačkom

naziva se poluprava, gdje se tačka O naziva početak poluprave.

Definicija6.10

Skup od dvije tačke A i B prave p i svih tačaka koje se nalaze izmeĎu njih na toj pravoj,

naziva se zatvorena duž ili duž i pišemo ,

* ( )+

Aksiom6.11

Svaka prava ravni dijeli tu ravan na dvije oblasti za koje vrijedi:

a) ako tačke A i B te ravni koje nisu na pravoj pripadaju istoj oblasti tada prava ne

siječe duž . (Slika6.4)

b) ako tačke A i B te ravni koje nisu na pravoj pripadaju raznim stranama (raznim

oblastima) tada prava siječe duž . (Slika6.5)

Slika6.4 Slika6.5

Definicija6.11

Svaka od oblasti koju prava p dijeli ravan naziva se poluravan, gdje se prava p naziva ivica

poluravni. Ako pravu p priključimo poluravni onda za poluravan kažemo da je zatvorena,

inače je otvorena.

Definicija6.12

Svaka od oblasti koju ravan dijeli prostor naziva se poluprostor.

MATEMATIKA

32

Mjerenje duži, ugao, mjerenje uglova i radijan

Odaberimo jednu duž i njoj pridružimo broj 1, tako da sve ostale duži uporeĎujemo sa

njom. Tada svakoj duži možemo pridružiti pozitivan realan broj koji se naziva dužina duži.

U tom slučaju, duž kojoj je pridružen broj 1 nazivamo jedinična duž.

Dužinu duži nazivamo rastojanje tačaka X i Y.

Tačka na duži koja ima jednaka rastojanja od X i Y nazivamo središte duži .

Neka dvije poluprave p i q imaju zajednički početak O. Unija polupravih Op i Oq naziva se

ugaona linija. Ugaona linija dijeli ravan na dva dijela (oblasti). (Slika6.6)

Definicija6.13

Unija ugaone linije i jedne od njenih oblasti naziva se ugao.

Slika6.6 Ugaona linija i ugao Slika6.7 Ugao

Poluprave Op i Oq se nazivaju kraci ugla, a tačka O se naziva vrh ugla. Ako na pravoj p

uzmemo bilo koju tačku O, tada ona odreĎuje dvije suprotne poluprave. Ugaona linija tih

polupravih je prava p. Dobijene oblasti su dvije poluravni sa ivicom p, pa zato poluravan sa

odabranom tačkom na njenoj ivici možemo shvatiti kao jedan specijalan ugao, i taj ugao

nazivamo ravni ili ispruženi ugao.

Ispruženi ugao je ugao čiji je jedan krak produžetak drugog kraka. (Slika6.8)

Slika6.8 Ispruženi ugao

Ako se dvije poluprave poklapaju tada one ne dijele ravan na dva dijela, pa je ugaona linija

upravo samo jedna poluprava.

MATEMATIKA

33

Tu polupravu možemo shvatiti kao nulti ugao ili nulaugao. (Slika6.9)

Slika6.9 Nula ugao

Unutrašnjost nultog ugla je prazan skup, jer su oba kraka ista poluprava. U slučaju da se dvije

poluprave poklapaju, a unutrašnjost ugla je cijela ravan u kojoj se nalaze te poluprave osim

tačaka polupravih, onda takav ugao nazivamo puni ugao.

Drugim riječima puni ugao je ravan u kojoj je data poluprava. (Slika6.10)

Slika6.10 Puni ugao

Definicija6.14

Susjedni uglovi su dva ugla iste ravni koji imaju isto tjeme (vrh) i jedan zajednički krak.

Slika6.11 Susjedni uglovi

Definicija6.15

Naporedni uglovi su susjedni uglovi čija je unija ispruženi ugao.

Slika6.12 Naporedni uglovi

Definicija6.16

Ugao koji je jednak svom naporednom uglu, se naziva pravi ugao.

Slika6.13 Pravi ugao

MATEMATIKA

34

Definicija6.17

Ako se dvije prave p i q sijeku i obrazuju pravi ugao, onda kažemo da su prave p i q

normalne (okomite) i pišemo .

Definicija6.18

Prava koja sadrži središte duži i koja je normalna na pravu koja sadrži tu duž, naziva se

simetrala duži.

Da bi se moglo vršiti mjerenje uglova, potrebno je da jedan ugao uzmemo kao jedinični

ugao, a ostale uglove da uporeĎujemo s njim. Na taj način svakom uglu pridružujemo jedan

pozitivan realan broj koji pokazuje koliko se jediničnih uglova nalazi u zadanom uglu. Za

jedinični ugao se uzimaju stepen, radijan i grad.

Stepen je devedeseti dio pravog ugla. Oznaka za stepen je o. Manja jedinica od stepena je

minuta u oznaci '. Minuta je šezdeseti dio stepena tj. 60'=1o.

Manja jedinica od minute je sekunda u oznaci ''. Sekunda je šezdeseti dio minute tj. 60''=1' ili

3600''=60'=1o.

Ako grafički predstavimo ugao pAq, onda njegovu oblast označimo jednim kružnim lukom

čiji je centar tačka A, gdje je A vrh ugla. Ako za jediničnu duž odaberemo radijus tog luka,

onda će veličina ugla zavisiti od dužine pripadnog luka.

Ugao za koji je pripadni luk jednak jedinici (radijusu), uzimamo kao jedinični ugao, i taj ugao

nazivamo radijan.

Centralni ugao neke kružnice koji na toj kružnici isijeca luk čija je dužina jednaka njenom

poluprečniku, naziva se radijan. (Slika6.14)

Slika6.14 Radijan

Punom uglu odgovara 360o, tj. onoliko radijana kolika je dužina jedinične kružnice, pa imamo

da punom uglu odgovara radijana. Ispruženi ugao ima 180o ili radijana.

MATEMATIKA

35

Pravi ugao ima 90o ili

radijana.

Za pretvaranje stepena u radijane i obratno, koristi se osnovna veza:

radijana=180o.

Za radijan se ne upotrebljava nikakva oznaka.

Spominje se još jedna jedinica za mjerenje uglova i to je grad.

Grad je stoti dio pravog ugla. Manja jedinica od grada je metrička minuta i metrička

sekunda, gdje jedan grad ima 100 metričkih minuta, a jedna metrička minuta ima 100

metričkih sekundi pa je: 1 grad=100'=10000''.

Tada vrijede formule za smjenu:

Vrijednost nekih uglova izraženi u stepenima, radijanima i gradima su prikazani u Tabela6.1.

Ugao

stepeni radijani gradi

30

45

50

60

90

100

180 200

360 400

Tabela6.1

Definicija6.19

Ako je mjera ugla manja od 90o, za takav ugao kažemo da je oštar, a ako je mjera ugla

izmeĎu 90o i 180

o, tada za takav ugao kažemo da je tup.

Definicija6.20

Komplementni uglovi su uglovi čija je unija pravi ugao.

Definicija6.21

Suplementni uglovi su uglovi čija je unija ispruženi ugao.

MATEMATIKA

36

Definicija6.22

Poluprava koja polazi iz tjemena ugla i koja dijeli ugao na dva jednaka dijela, naziva se

simetrala ugla.

Definicija6.23

Ako je tačka O presjek pravih a i b, tada par nesusjednih uglova koji odreĎuju prave i čiji je

presjek tačka O nazivamo unakrsnim uglovima, ili dva ugla kod kojih su kraci jednog

dopune krakova drugog ugla do pravih nazivaju se unakrsni uglovi.

Slika6.15 Unakrsni uglovi

Teorem6.2

Unakrsni uglovi su jednaki.

Definicija6.24

Ako su kraci jednog ugla paralelni sa odgovarajućim kracima drugog ugla, onda takve

uglove nazivamo uglovi sa paralelnim kracima.

Slika6.16 Uglovi sa paralelnim kracima

Teorem6.3

Dva ugla sa paralelnim kracima su jednaka ako su im kraci jednako ili suprotno usmjereni,

a suplementni ako je jedan par krakova istog, a drugi suprotnog smjera.

MATEMATIKA

37

Definicija6.5

Ako su kraci jednog ugla normalni na krakove drugog ugla, takve uglove nazivamo uglovi

sa normalnim kracima.

Slika6.17 Uglovi sa normalnim kracima

Teorem6.4

Dva ugla sa normalnim kracima su jednaka ako su oba oštri ili oba tupi, a suplementni

ako je jedan oštar, a drugi tup.

Uglovi na transverzali dvije prave, poligon (mnogougao) i kružnica

Definicija6.26

Transverzala je linija (prava) koja siječe dvije proizvoljne prave. Sa tim dvjema pravama

obrazuje dva skupa uglova: vanjski i unutrašnji uglovi.

Slika6.18 Uglovi na transverzali

Vanjski uglovi:

Unutrašnji uglovi:

MATEMATIKA

38

Definicija6.27

Parovi nesusjednih uglova koji leže sa iste strane transverzale pri čemu je jedan vanjski, a

drugi unutrašnji, nazivaju se saglasni uglovi.

Slika6.19 Saglasni uglovi

Definicija6.28

Parovi nesusjednih uglova koji leže sa iste strane transverzale, a oba su vanjska ili oba

unutrašnja, nazivaju se suprotni uglovi.

Slika6.20 Suprotni uglovi

Definicija6.29

Parovi nesusjednih uglova koji leže sa različitih strana transverzale, a oba su vanjska ili

oba unutrašnja, nazivaju se naizmjenični uglovi.

Slika6.21 Naizmjenični uglovi

Ako su prave p i q presječene transverzalom t tada su:

saglasni uglovi jednaki,

suprotni uglovi jednaki,

naizmjenični uglovi jednaki.

Ako su p i q dvije prave presječene transverzalom t i ako su saglasni uglovi jednaki ili

naizmjenični uglovi jednaki ili suprotni uglovi suplementni, tada su prave p i q paralelne.

MATEMATIKA

39

Teorem6.5

Ako su prave a i b paralelne, tada su naizmjenični uglovi na njihovoj transverzali jednaki i

obratno.

Teorem6.6

Ako su prave a i b paralelne, tada su suprotni uglovi na njihovoj transverzali suplementni i

obratno.

Definicija6.30

Izlomljena linija ili poligonalna linija je unija konačno mnogo duži koje se nadovezuju

jedna na drugu (kraj jedne duži nadovezuje se na početak druge).

Izlomljena linija može biti otvorena ili zatvorena. Dio ravni koji je omeĎen izlomljenom

(mnogougaonom) linijom naziva se unutrašnja oblast te linije. Druga oblast se naziva

vanjska oblast. Duži koje sačinjavaju mnogougaonu liniju nazivaju se stranice mnogougla, a

krajnje tačke se nazivaju vrhovi (tjemena) mnogougla. Duži čiji su krajevi dva nesusjedna

vrha mnogougla, nazivaju se dijagonale mnogougla.

Definicija6.31

Unija zatvorene izlomljene linije i njene unutrašnje oblasti naziva se mnogougao ili

poligon.

Za mnogougao kažemo da je konveksan ako sadrži svaku duž čiji krajevi pripadaju

mnogouglu. Svakom uglu mnogougla odgovaraju dva ugla: vanjski i unutrašnji ugao.

Unutrašnji ugao ima vrh u vrhu mnogougla, a kraci mu sadrže susjedne stranice mnogougla.

Ugao naporedan unutrašnjem uglu mnogougla se naziva vanjski ugao mnogougla.

Mnogougao koji ima sve stranice jednake i sve unutrašnje uglove jednake, naziva se pravilni

mnogougao. (Slika6.22)

Slika6.22 Pravilni mnogougao

MATEMATIKA

40

Definicija6.32

Kružnica je skup svih tačaka u ravni jednako udaljenih od jedne stalne tačke u toj ravni.

* ( ) +

Slika6.22 Kružnica

Definicija6.33

Krug je dio ravni (unutrašnja oblast) ograničena kružnicom.

* ( ) +

Slika6.23 Krug

Prava može da ima jednu zajedničku tačku sa kružnicom, može da nema zajedničkih tačaka

sa kružnicom i može da ima dvije zajedničke tačke sa kružnicom.

Slika6.24 Tetiva, tangenta i sječica

MATEMATIKA

41

Definicija6.34

Sekanta ili sječica je prava koja siječe kružnicu.

Definicija6.35

Tetiva je duž koja spaja bilo koje dvije tačke na kružnici.

Definicija6.36

Tangenta je prava koja dodiruje kružnicu u jednoj tački.

Definicija6.37

Centralni ugao nad lukom je ugao čiji je vrh centar kružnice i kraci poluprečnici, a

periferijski ugao kružnice je ugao čiji je vrh na kružnici koji ne pripada luku, a kraci su

mu tetive kružnice.

Luk je dio kružnice koji pripada centralnom uglu.

Teorem6.7 (Talesova teorema)

Centralni ugao kružnice nad nekim lukom jednak je dvostrukom periferijskom uglu nad

istim lukom.

Slika6.25 Talesova teorema

DOKAZ

a) Neka tačka T pripada kružnici ali ne luku , i neka je duž prečnik kružnice.

Slika6.26

.

MATEMATIKA

42

.

.

Trougao je jednakokraki pa vrijedi: .

Sada imamo: odnosno,

,

,

,

b) Neka tačka T pripada bilo gdje na kružnici, ali ne na luku , i neka je duž prečnik

kružnice gdje tačka C pripada luku.

Slika6.27

Tada vrijedi:

(1)

(2)

Saberemo li jednakosti (1) i (2) imamo:

( )

Posljedica6.7.1

Svi periferijski uglovi nad istim lukom su meĎusobno podudarni.

Posljedica6.7.2

Svi periferijski uglovi nad prečnikom su pravi uglovi.

Posljedica6.7.3

Ugao izmeĎu tangente i tetive je podudaran periferijskom uglu nad tom tetivom.

MATEMATIKA

43

Slika6.28 Slika6.29

6.1 Trougao

Definicija6.1.1

Trougao je mnogougao koji ima tri stranice.

Uočimo da je trougao ABC najmanji konveksan skup koji sadrži tačke A, B i C. Duži , i

nazivamo stranice trougla (označavamo ih redom a, b, c), a unutrašnje uglove

(označavamo ih redom ). Stranice i uglovi su osnovni elementi trougla.

Kažemo da svaki ugao leži nasuprot jednoj stranici, i da po dva ugla leže uz jednu stranicu.

npr. leži nasuprot stranici a; a uglovi leže uz stranicu a.

Prema uglovima trouglovi se dijele na: oštrougle, tupougle i pravougle.

Prema stranicama trouglove dijelimo na: jednakokrake, jednakostranične i raznostranične.

Slika6.1.1 Trougao

Obim trougla jednak je zbiru svih stranica trougla.

Poluobim trougla je:

Naporedni ugao unutrašnjeg ugla trougla naziva se vanjski ugao trougla.

MATEMATIKA

44

Teorem6.1.1

Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180o, a zbir vanjskih uglova u trouglu je 360

o.

DOKAZ:

Vrhom C trougla konstruišimo pravu p koja je paralelna sa pravom AB kao na slici.

Slika6.1.2 Zbir uglova u trouglu

Prave AC i BC su transverzale paralelnih pravih p i AB. Tada su uglovi i naizmjenični

uglovi pa vrijedi . Uglovi i su naizmjenični uglovi pa vrijedi . Uglovi i

su unakrsni uglovi pa vrijedi .

Iz tog slijedi da je:

Neka su vanjski uglovi trougla. Prema definiciji vanjskog ugla trougla je:

Slika6.1.3 Vanjski i unutrašnji ugao trougla

MATEMATIKA

45

Posljedica6.1.1.1

Svaki vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja njemu nesusjedna ugla tog

trougla.

DOKAZ:

,

,

Definicija6.1.2

Duž čiji je jedan kraj vrh trougla, a drugi središte suprotne stranice naziva se težišnica.

Definicija6.1.3

Visina trougla spuštena iz datog vrha je dio normale povučene iz tog vrha na pravu koja

sadrži suprotnu stranicu trougla.

Slika6.1.4Težišnice trougla Slika6.1.5Visine trougla

MATEMATIKA

46

Stavovi o podudarnosti trougla:

Dva trougla su podudarna ukoliko su im jednake sve tri stranice. (SSS)

Slika6.1.6Stav SSS

Dva trougla su podudarna ako imaju jednake dvije stranice i ugao koji leži izmeĎu

te dvije stranice. (SUS)

Slika6.1.7Stav SUS

Dva trougla su podudarna ako su im jednake dvije stranice i ugao nasuprot veće.

(SSU)

Slika6.1.8Stav SSU

Dva trougla su podudarna ukoliko su im jednaka dva ugla i stranica na kojoj leže ti

uglovi. (USU)

Slika6.1.9Stav USU

MATEMATIKA

47

Teorem6.1.2

Tačka M pripada simetrali duži ako i samo ako je jednako udaljena od njenih krajeva.

( ) ( )

DOKAZ:

( ) Pretpostavimo da tačka M pripada simetrali duži .

Slika6.1.10Tačka M pripada simetrali duži

Trouglovi ACM i BCM su podudarni na osnovu stava SUS, pa su odgovarajuće stranice

podudarne, iz čega slijedi da je .

( ) Neka je tačka M jednako udaljena od krajeva duži tj. neka vrijedi . Neka

je tačka C središte duži . Tada su trouglovi ACM i BCM podudarni na osnovu stava SSS.

Kako su uglovi naporedni uglovi slijedi da je .

Teorem6.1.3

Tačka X pripada simetrali ugla ako i samo ako je jednako udaljena od krakova ugla.

( ) ( )

DOKAZ:

( ) Pretpostavimo da tačka X pripada simetrali ugla .

Slika6.1.11Tačka X pripada simetrali ugla

MATEMATIKA

48

Trouglovi OPX i OQX su podudarni na osnovu stava USU, pa su odgovarajuće stranice

podudarne, iz čega slijedi da je ( ) ( ).

( ) Neka je tačka X jednako udaljena od krakova ugla , tj. neka je jednako udaljena

od tačaka P i Q, ( ) ( ). Tada su trouglovi OPX i OQX podudarni na osnovu

stava SSU, pa su odgovarajuće stranice podudarne, odnosno odgovarajući uglovi podudarni, a

kako je unija uglova ugao to znači da tačka X pripada simetrali ugla.

Značajne tačke trougla:

Centar opisane kružnice (simetrale stranica trougla)

Centar upisane kružnice (simetrale unutrašnjih uglova u trouglu)

Težište trougla (sjecište težišnica trougla)

Ortocentar (sjecište visina trougla)

Teorem6.1.4

Simetrale stranica trougla se sijeku u jednoj tački.

DOKAZ:

Neka su prave s1, s2 i s3 simetrale stranica a, b i c trougla ABC.

Slika6.1.12Simetrale stranica trougla

Neka se prave s1 i s2 sijeku u tački O. Prema Teorem6.1.2 tačka O koja pripada simetrali duži

jednako je udaljena od tačaka B i C. Istovremeno tačka O pripada simetrali duži , pa je

tačka O jednako udaljena od tačaka A i B.

MATEMATIKA

49

Iz tog zaključujemo da je tačka O jednako udaljena od tačaka A i C, pa prema Teorem6.1.2

tačka O pripada simetrali duži . Znači tačkom O prolaze sve simetrale stranica trougla

ABC.

Tačka O je jednako udaljena od tjemena trougla, pa se oko trougla može opisati kružnica čiji

je centar u tački O i koja prolazi kroz tjemena trougla.

Definicija6.1.4

Tačka u kojoj se sijeku simetrale stranica trougla, naziva se centar opisane kružnice.

Teorem6.1.5

Simetrale unutrašnjih uglova u trouglu se sijeku u jednoj tački.

DOKAZ:

Neka su poluprave simetrale unutrašnjih uglova trougla ABC.

Slika6.1.13Simetrale unutrašnjih uglova u trouglu

Neka se poluprave sijeku u tački S. Prema Teorem6.1.3 tačka S koja pripada simetrali

ugla jednako je udaljena od krakova ugla, odnosno duži . Istovremeno tačka S

pripada simetrali ugla , pa je tačka S jednako udaljena od duži .

Iz tog zaključujemo da je tačka S jednako udaljena od duži , pa prema Teorem6.1.3

tačka S pripada simetrali ugla , tj. pripada polupravoj . Znači tačkom S prolaze sve

simetrale uglova trougla ABC.

Tačka S je jednako udaljena od stranica trougla, pa se u trougao može upisati kružnica čiji je

centar u tački S.

MATEMATIKA

50

Definicija6.1.5

Tačka u kojoj se sijeku simetrale unutrašnjih uglova trougla, naziva se centar upisane

kružnice.

Definicija6.1.6

Srednja linija ili srednja duž trougla je duž koja spaja središte dviju stranica.

Teorem6.1.6

Srednja linija trougla paralelna je odgovarajućoj stranici i jednaka je njenoj polovini.

DOKAZ:

Neka je . (konstrukcija)

Slika6.1.14Srednja linija trougla

Tada su četverouglovi BFCD i ABFD paralelogrami (dijagonale se polove). Tačka E je

polovište duži , pa je polovište duži .

Kako je , slijedi da je .

Kako se dijagonale paralelograma polove vrijedi da je .

Teorem6.1.7

Težišnice trougla se sijeku u jednoj tački, koja svaku težišnicu dijeli u odnosu 2:1

računajući od tjemena trougla..

DOKAZ:

Slika6.1.15Težišnice trougla se sijeku u jednoj tački

MATEMATIKA

51

Neka su duži i težišnice trougla ABC i neka se sijeku u tački T. Odaberimo tačke F i

G na težišnicama tako da je i

Duž je srednja linija trougla ABC, a duž je srednja linija trougla ABT.

Prema Teorem6.1.6 slijedi da je i pa imamo da je , odnosno

.

(parovi naizmjeničnih uglova na transverzali).

Prema stavu USU trouglovi FGT i TDE su podudarni, pa su im odgovarajući elementi

podudarni, iz čega slijedi da je i .

Kako je i vrijedi da je i odnosno:

Dakle, dvije težišnice trougla se sijeku u jednoj tački koja svaku od njih dijeli u odnosu 2:1

računajući od tjemena trougla. Tada težišnica iz vrha C siječe težišnicu iz vrha A (ili B) u

tački koja dijeli težišnicu u omjeru 2:1 računajući od tjemena trougla, a kako na duži postoji

samo jedna tačka koja dijeli duž u zadanom omjeru, onda težišnica iz vrha C mora sijeći

težišnicu iz vrha A (ili B) u tački T, tj. u tački gdje se sijeku težišnice iz vrhova A i B.

Znači, sve težišnice trougla se sijeku u jednoj tački.

Definicija6.1.7

Težište trougla je tačka u trouglu u kojoj se sijeku sve težišnice trougla.

Teorem6.1.8

Prave koje sadrže visine trougla se sijeku u jednoj tački.

DOKAZ:

Posmatrajmo trougao ABC. Kroz tjemena trougla ABC konstruišimo pravce p, q i r koji

redom prolaze kroz tačke C, B i A, i koji su paralelni odgovarajućim stranicama.

Slika6.1.16Prave koje sadrže visine trougla se sijeku u jednoj tački

MATEMATIKA

52

Tako smo dobili novi trougao PQR čija su središta stranica tjemena trougla ABC.

Prema Teorem6.1.4 simetrale stranica kroz tačke A, B i C trougla PQR se sijeku u jednoj

tački, pa pravci koji sadrže visine trougla se sijeku u jednoj tački.

Definicija6.1.7

Ortocentar trougla je tačka u kojoj se sijeku sve normale trougla.

Teorem6.1.9

Nasuprot veće stranice se nalazi veći ugao i obratno, nasuprot većeg ugla se nalazi veća

stranica.

DOKAZ:

( ) Neka je dat trougao ABC u kome je Dokažimo da je .

Na stranici odredimo tačku D tako da je

Slika6.1.17Naspram veće stranice se nalazi veći ugao

Tada je trougao ACD jednakokraki pa je .

Kako je ugao dio ugla , to je tj. (*)

Ugao je vanjski ugao trougla ABD, pa je . (**)

Na osnovu (*) i (**) vrijedi da je .

( ) Neka je u trouglu ABC , . Dokažimo da je

Pretpostavimo da je . Tada su uglovi jednaki što nije tačno.

U slučaju da je , tada bi na osnovu prvog dokazanog dijela ove teoreme vrijedilo da

je , što nije tačno. Ostaje samo jedna mogućnost i to kada je što je

trebalo dokazati.

MATEMATIKA

53

Teorem6.1.10

Bilo koja stranica trougla veća je od razlike, a manja od zbira druge dvije stranice.

DOKAZ:

Neka je dat trougao ABC sa stranicama a, b i c. Na polupravoj BC odredimo tačku D tako da

je

Slika6.1.18Jedna stranica trougla je manja od zbira druge dvije

Trougao ACD je jednakokraki sa osnovicom , pa je . Kako je ugao

najveći ugao, na osnovu Teorem6.1.9 zaključujemo da je stranica veća od

stranice c, odnosno Analogno se dolazi da je i

Dokažimo da je bilo koja stranica trougla veća od razlike druge dvije stranice.

Na sljedećoj slici predstavimo trougao gdje je .

Slika6.1.19Jedna stranica trougla je veća od razlike druge dvije

Neka je tačka D na stranici tako da je Tada je trougao ACD jednakokraki sa

osnovicom , pa je oštar ugao, što znači da je pa je tup ugao.

S obzirom na činjenicu da su u svakom trouglu koji ima jedan tupi ugao, ostali uglovi oštri

slijedi da je ugao oštar ugao. Koristeći Teorem6.1.9 zaključujemo da je .

Kako je i , to je , gdje je

Analogno se dolazi da je | | i | |

MATEMATIKA

54

Definicija6.1.8

Slični trouglovi imaju jednake uglove i proporcionalne stranice.

Trouglovi su slični ako je ispunjen neki od sljedeća tri uvjeta:

trouglovi imaju sve tri stranice proporcionalne,

trouglovi imaju dvije stranice proporcionalne i uglove meĎu njima jednake,

trouglovi imaju dva ugla jednaka.

Slika6.1.20Sličnost trouglova

Teorem6.1.11

Zbir unutrašnjih uglova u konveksnom n-touglu je ( )

DOKAZ:

Slika6.1.21Zbir uglova u mnogouglu

Iz tjemena možemo konstruisati dijagonale, te smo tako dobili trougla gdje

je zbir uglova u svakom trouglu pa imamo:

( )

MATEMATIKA

55

Teorem6.1.12

Zbir vanjskih uglova u konveksnom n-touglu je

DOKAZ:

Neka je

zbir vanjskih uglova u konveksnom n-touglu,i neka je

unutrašnji ugao u konveksnom n-touglu, a vanjski ugao u konveksnom n-touglu.

Tada je:

U našem slučaju imamo sljedeće:

( )

( )

(

) ( )

Središnji ugao , unutrašnji ugao , i vanjski ugao pravilnog mnogougla su dati sljedećim

formulama:

6.1.1 Pravougli trougao

Uglovi u pravouglom trouglu:

Najduža stranica pravouglog trougla naziva se hipotenuza, a kraće stranice katete.

Slika6.1.1.1Pravougli trougao

MATEMATIKA

56

Odnosi kateta i hipotenuze:

Odnosi meĎu katetama:

Površina pravouglog trougla se računa preko formule:

gdje su a i b katete.

Teorem6.1.1.1(Pitagorina teorema)

Kvadrat nad hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad katetama.

DOKAZ:

Posmatrajmo kvadrat ABCD čija je stranica a+b, i u njemu upisan kvadrat EFGH čija je

stranica c.

Slika6.1.1.2Pitagorina teorema

Pravougli trouglovi EAF, FBG, GCH i HDE su podudarni na osnovu stava SUS.

Površina kvadrata ABCD stranice a+b je ( ) .

Površina upisanog kvadrata EFGH stranice c je

Površina jednog pravouglog trougla čije su katete a i b je

.

Kako je , to je:

MATEMATIKA

57

( )

Za pravougli trougao vrijede identiteti:

√ √ √

gdje su p i q odsječci što ih visina gradi na hipotenuzi c.

DOKAZ:

Slika6.1.1.3Odsječci na hipotenuzi

komplementni uglovi.

( )

( )

Pomnožimo li jednačine (1) i (2) imamo:

( )

√

Primjenom pitagorine teoreme Teorem6.1.1.1 na trougao imamo:

( )

√ .

MATEMATIKA

58

( )

√

Poluprečnik upisane kružnice pravouglog trougla je:

DOKAZ:

Slika6.1.1.4Poluprečnik upisane kružnice

Površina trougla se računa preko formula:

Ako izjednačimo ove dvije formule imamo:

( )

6.1.2 Jednakostranični trougao

Jednakostranični trougao ima tri jednaka ugla i tri jednake stranice.

Slika6.1.1.5Jednakostranični trougao

MATEMATIKA

59

Obim jednakostraničnog trougla je:

.

Poluobim jednakostraničnog trougla je:

Površina jednakostraničnog trougla je:

√

DOKAZ:

Koristimo formulu za računanje površine trougla

.

Primjenom Teorem6.1.1.1 na jednakokraki trougao imamo:

.

/

√

Uvrštavanje u

daje:

√

√

Poluprečnik upisane kružnice jednakostraničnog trougla je:

√

DOKAZ:

Slika6.1.1.6Poluprečnik upisane kružnice

MATEMATIKA

60

Površina jednakostraničnog trougla se računa preko formula:

√

Ako izjednačimo ove dvije formule imamo:

√

√

√

√

Poluprečnik opisane kružnice jednakostraničnog trougla je:

√

DOKAZ:

Slika6.1.1.7Poluprečnik opisane kružnice

Površina trougla se računa preko formula:

(

)

√

Ako izjednačimo ove dvije formule imamo:

√

√

√ √

√

√

MATEMATIKA

61

NaĎimo vezu izmeĎu poluprečnika upisane i opisane kružnice u jednakostraničnom trouglu:

Slika6.1.1.8Veza izmeĎu poluprečnika upisane i opisane kružnice

√

√

√

6.1.3 Jednakokraki trougao

Jednakokraki trougao ima dva jednaka ugla i dvije jednake stranice.

Slika6.1.1.9Jednakokraki trougao

Obim jednakokrakog trougla je:

.

Poluobim jednakokrakog trougla je:

MATEMATIKA

62

Teorem6.1.13 (Sinusna teorema)

Odnos stranice trougla i sinusa nasuprotnog ugla jednak je za sve stranice trougla i jednak

je prečniku opisane kružnice na trouglu i vrijedi:

DOKAZ:

Slika6.1.22Sinusna teorema

Slika6.1.23Sinusna teorema

MATEMATIKA

63

Teorem6.1.14 (Kosinusna teorema)

Kosinusna teorema glasi:

DOKAZ:

Slika6.1.24Kosinusna teorema

| | (1)

| | (2)

| |

| |

| | | |

Uvrštavanje u jednačine (1) i (2) daje sljedeće:

( )

( )

Iz prethodne dvije jednakosti slijedi:

( ) ( )

MATEMATIKA

64

Slika6.1.25Kosinusna teorema

| | (3)

| | (4)

| |

| |

| | | |

Uvrštavanje u jednačine (3) i (4) daje sljedeće:

( )

( )

Iz prethodne dvije jednakosti slijedi:

( ) ( )

Slika6.1.26Kosinusna teorema

| | (5)

| | (6)

| |

| |

| | | |

MATEMATIKA

65

Uvrštavanje u jednačine (5) i (6) daje sljedeće:

( )

( )

Iz prethodne dvije jednakosti slijedi:

( ) ( )

Time je dokaz završen.

6.1.4 Površina trougla

Površina trougla se računa preko formula:

√ ( )( )( )

DOKAZ:

Iskoristit ćemo formulu za računanje površine pravouglog trougla koja se lako dobije iz

formule za računanje površine pravougaonika:

Slika6.1.4.1Površina pravouglog trougla

MATEMATIKA

66

Posmatrajmo sljedeću sliku:

Slika6.1.4.2Površina trougla

( )

( )

( )

Time smo dokazali da za površinu trougla vrijedi formula:

Slika6.1.4.3Površina trougla

MATEMATIKA

67

Dokažimo √ ( )( )( )

Slika6.1.4.4Površina trougla

( )

( ) ( )

( )

Iz jednakosti (2) i (3) imamo:

( )

Vrijednost x uvrstimo u jednačinu (3).

(

)

(

)(

)

(

)(

)

MATEMATIKA

68

( )( )

, ( )-, -

, ( ) -,( ) -

( )⏞

( )⏞

( )⏞

( )⏞

Kako je poluobim trougla, to je:

( )

( )

( )

Sada imamo:

( ) ( ) ( )

( )( )( )

√ ( )( )( )

Uvrštavanjem

√ ( )( )( ) u formulu (1) imamo:

√ ( )( )( )

√ ( )( )( )

Iskoristimo sinusnu teoremu i formulu za računanje površine trougla, tj. formule:

MATEMATIKA

69

Dokažimo da je

Slika6.1.4.5Površina trougla

( )

Ostalo je dokazati da vrijedi

Iskoristimo sinusnu teoremu i formulu za računanje površine trougla:

( )

Ako uvrstimo u formulu (1) imamo:

MATEMATIKA

70

6.1.5 Dužine težišnica u trouglu

Dužine težišnica trougla se računaju preko formula:

√

√

√

DOKAZ:

Slika6.1.5.1Dužine težišnica trougla

Težišnicu smo produžili za istu dužinu do tačke D , a vrhove C i B smo spojili sa D tako da

smo dobili paralelogram.

Koristimo teoremu koja će se kasnije dokazati: zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak

je zbiru kvadrata njegovih stranica, pa imamo:

( )

√

Analogno se dokazuju ostale dvije formule.

√

√

MATEMATIKA

71

6.1.6 Heronovske formule

Heronovske formule su:

√

( )( )

( )

√

( )( )

( )

√

( )( )

( )

DOKAZ:

Iz formula

i kosinusne teoreme

imamo slijedeće:

( )

( )

( )

( )

( )

( )⏞

( )⏞

( )⏞

( )⏞

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )( )

( )

MATEMATIKA

72

√

( )( )

√

( )

√( )( )

√ ( )

√

( )( )

( )

Iz formula

i kosinusne teoreme

imamo slijedeće:

( )

( )

( )

( )

( )

( )⏞

( )⏞

( )⏞

( )⏞

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )( )

( )

MATEMATIKA

73

√

( )( )

√

( )

√( )( )

√ ( )

√

( )( )

( )

Iz formula

i kosinusne teoreme

imamo slijedeće:

( )

( )

( )

( )

( )

( )⏞

( )⏞

( )⏞

( )⏞

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

MATEMATIKA

74

( )( )

( )

√

( )( )

√

( )

√( )( )

√ ( )

√

( )( )

( )

Ovim je dokaz gotov.

Ove formule se nazivaju Heronovske formule zbog sličnosti sa Heronovom formulom za

računanje površine trougla.

6.1.7 Dužine simetrali uglova u trouglu (bisektrise)

Bisektrise trougla se računaju preko formula:

√

√ ( )

√

√ ( )

√

√ ( )

DOKAZ:

Slika6.1.7.1Bisektrise trougla

MATEMATIKA

75

Sada imamo:

( )

Ostao je problem izraziti

preko stranica trougla. To je uraĎeno u prethodnom dokazu

kod Heronovskih formula i vrijedi

√

( )

Uvrštavanjem imamo:

√ ( )

Analogno se dokazuju ostale dvije formule.

6.1.8 Tangensna teorema

DOKAZ:

Iz sinusne teoreme imamo:

.

Napravimo odnos:

MATEMATIKA

76

Primjenimo li formule zbira i razlike za i imamo:

Analogno se dokazuju ostale dvije formule.

6.1.9 Karnovi obrasci

( )

gdje je x odsječak što ga pravi visina trougla iz tačke A.

DOKAZ:

Prvo dokažimo kad je kod vrha C ugao oštar:

Slika6.1.9.1Karnovi obrasci

Kružnica k(A,b) siječe stranicu a u tačkama C i D, a stranicu c u tački E. Na osnovu teoreme

za kružnicu vrijedi:

( ) ( ) ( )

MATEMATIKA

77

Dokažimo kad je kod vrha C ugao tup:

Slika6.1.9.2Karnovi obrasci

Na osnovu teoreme za kružnicu vrijedi:

( ) ( ) ( )

Ostalo je dokazati kad je kod vrha C pravi ugao:

Slika6.1.9.3Karnovi obrasci

( ) ( )

PITAGORINA TEOREMA

MATEMATIKA

78

6.1.10 Mollweidove formule

DOKAZ:

Zbir uglova u trouglu je

Za ovaj dokaz nam je potrebna sinusna teorema:

( )

( )

Saberimo jednakosti (1) i (2).

.

/

Sada oduzmimo jednakosti (1) i (2).

MATEMATIKA

79

.

/

Time je dokaz gotov.

6.2 Četverouglovi

Četverougao je mnogougao koji ima četiri stranice. Četverouglove dijelimo na: paralelogram,

pravougaonik, romb, kvadrat, romboid, trapez i deltoid.

6.2.1 Kvadrat

Kvadrat je četverougao koji ima jednake stranice izmeĎu kojih je pravi ugao.

Slika6.2.1.1Kvadrat

Površina kvadrata se računa preko formula:

Obim kvadrata je:

Dijagonala kvadrata je:

√

MATEMATIKA

80

6.2.2 Pravougaonik

Pravougaonik je četverougao koji ima dva para jednakih stranica izmeĎu kojih je pravi ugao.

Slika6.2.2.1Pravougaonik

Površina pravougaonika je:

Obim pravougaonika je:

( )

Dijagonala pravougaonika:

√

Površina pravougaonika gdje je d dijagonala, a ugao izmeĎu dijagonali, može se

izračunati preko formule:

DOKAZ:

Slika6.2.2.2Površina pravougaonika

( )

(

*

.

/

(

*

MATEMATIKA

81

(

)

( )

Jednakosti (1) i (2) uvrstimo u formulu za računanje površine pravougaonika.

6.2.3 Romb

Romb je četverougao koji ima jednake stranice koje su u parovima paralelne.

Slika6.2.3.1Romb

Obim romba je:

Površina romba gdje su dijagonale, a stranica romba, se računa preko formula:

DOKAZ:

Slika6.2.3.2Površina romba

MATEMATIKA

82

___________________________________________________________________________

6.2.4 Paralelogram

Paralelogram je četverougao koji ima dva para paralelnih stranica.

Slika6.2.4.1Paralelogram

Obim paralelograma je:

( )

Površina paralelograma se računa preko formula:

DOKAZ:

Slika6.2.4.2Površina paralelograma

MATEMATIKA

83

Uvrstimo li u imamo:

Teorem6.2.4.1

Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbiru kvadrata stranica paralelograma.

( )

DOKAZ:

Slika6.2.4.3Paralelogram

( ) ( )

( ) ( )

Saberemo li formule (1) i (2) imamo:

( ) ( )

MATEMATIKA

84

( )

Na početku dokaza imamo jednakost pa vrijedi:

( )

6.2.5 Trapez

Trapez je četverougao koji ima dvije stranice paralelne.

Slika6.2.5.1Trapez

a,c -osnove trapeza.

b,d – kraci trapeza.

s – srednja linija trapeza.

Obim trapeza je:

Površina trapeza se računa preko formula:

DOKAZ:

Slika6.2.5.2Površina trapeza

MATEMATIKA

85

Dokažimo da je .

Uočimo trapeze ABFE i EFCD, i izrazimo njihove površine:

(

*

( )

Iz formula za računanje površine trapeza slijedi da je:

MATEMATIKA

86

6.3 Pravilni mnogougao

Pravilni n-tougao ima sve stranice i sve uglove jednake.

Slika6.3.1Pravilni mnogougao

Obim pravilnog n-tougla:

Broj dijagonala n-tougla:

( )

DOKAZ:

Iz svakog tjemena n-tougla možemo po povući n-3 dijagonale. Kako n-tougao ima n tjemena,

a svaku dijagonalu smo računali 2 puta to je:

( )

Površina pravilnog n-tougla se računa preko formule:

DOKAZ:

Slika6.3.2Površina mnogougla

MATEMATIKA

87

Poluprečnik opisane kružnice oko mnogougla je:

DOKAZ:

Slika6.3.3Poluprečnik opisane kružnice

Poluprečnik upisane kružnice u mnogouglu je:

DOKAZ:

Slika6.3.4Poluprečnik upisane kružnice

MATEMATIKA

88

6.4 Krug

Krug je dio ravni (unutrašnja oblast) ograničena kružnicom. Definicija6.33

Slika6.4.1Kružnica

Površina kruga je:

Obim kruga je:

Dužina kružnog luka odreĎenog uglom :

Ako ugao izražavamo u radijanima, onda je:

DOKAZ:

Slika6.4.2Dužina kružnog luka

Ako je ugao izražen u radijanima, tada iskoristimo formule za smjenu:

.

MATEMATIKA

89

Površina kružnog isječka:

DOKAZ:

Slika6.4.3Površina kružnog isječka

Površina kružnog odsječka:

.

/

DOKAZ:

Slika6.4.4Površina kružnog odsječka

.

/

MATEMATIKA

90

6.5 Analitička geometrija u ravni

6.5.1 Tačka, jednačina pravca i duž

Slika6.5.1.1Udaljenost izmeĎu dvije tačke

Udaljenost izmeĎu tačaka ( ) ( ) se računa po formuli:

( ) √( ) ( )

DOKAZ:

Slika6.5.1.2Udaljenost izmeĎu dvije tačke

Primjenom pitagorine teoreme na pravougli trougao imamo:

( ) ( )

( ) , ( )-

( ) ( )

( ) √( ) ( )

Tačka S je djelište duži u omjeru ako je

.

Slika6.5.1.3Djelište duži

MATEMATIKA

91

Tačka S ima koordinate:

Polovište P duži dobiva se za :

Jednačina pravca se može predstaviti u četiri oblika:

Eksplicitni (direktni) oblik:

Implicitni (opći) oblik:

Segmentni oblik:

Normalni (Hesseov) oblik:

( )√

6.5.1.1 Eksplicitni (direktni) oblik pravca

Slika6.5.1.1.1Eksplicitni oblik pravca

MATEMATIKA

92

6.5.1.2 Implicitni (opći) oblik pravca

Iz direktnog oblika pravca imamo:

Tada postoje realni brojevi A,B i C za koje vrijedi jednakost:

6.5.1.3 Segmentni oblik pravca

Slika6.5.1.3.1Implicitni oblik pravca

MATEMATIKA

93

6.5.1.4 Normalni (Hesseov) oblik pravca

Slika6.5.1.4.1Normalni oblik pravca

( )

( )

Saberemo li jednakosti (1) i (2) imamo:

Pogledajmo jednačine i .

Tada vrijedi: .

( )

( )

Saberimo jednakosti (3) i (4):

( )

√

√

√

MATEMATIKA

94

Tada je:

√

√

Uvrštavanjem u jednačinu imamo:

√

√

√

( )√

Jednačina pravca kroz tačku ( ) je:

( )

DOKAZ:

Slika6.5.1.2Jednačina pravca kroz jednu tačku

M(x,y)- proizvoljna tačka na pravcu,a (x,y) su tekuće koordinate.

( )

Jednačina pravca kroz tačke ( ) ( ) je:

( )

DOKAZ:

Slika6.5.1.3Jednačina pravca kroz dvije tačku

MATEMATIKA

95

Ako vrijednost k uvrstimo u formulu za jednačinu prave koja prolazi kroz jednu tačku imamo:

( )

Površina trougla čije su koordinate tačke ( ) ( ) ( ) je:

, ( ) ( ) ( )-

DOKAZ:

Slika6.5.1.4Površina trougla

( )

( )

( )

,( )( ) ( )( ) ( )( )-

, -

, -

, -

, ( ) ( ) ( )-

MATEMATIKA

96

Uslov da tačke ( ) ( ) ( ) leže na istom pravcu (uslov kolinearnosti):

DOKAZ:

Ako su tačke kolinearne tj. leže na istom pravcu onda je „površina trougla“ jednaka nuli.

Tada iz formule za računanje površine trougla zaključujemo:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

Udaljenost tačke ( ) i pravca je:

| |

√

DOKAZ:

Slika6.5.1.5Udaljenost tačke od pravca

Neka su pravci l1 i l2 paralelni. Primjenimo normalni (Hesseov) oblik pravca l2:

l2: ( )

( )√

| |

√

MATEMATIKA

97

Ugao izmeĎu pravaca zadanih jednačinama je :

DOKAZ:

Slika6.5.1.6Ugao izmeĎu pravaca

Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnja njemu nesusjedna ugla.

( )

Teorem6.5.1.1

Neka su zadana dva pravca:

(uslov paralelnosti)

Pravci su paralelni kad imaju jednake koeficijente smjera, tj. vrijedi :

(uslov okomitosti)

Pravci su okomiti kada su im koeficijenti smjera recipročni i suprotnog predznaka, tj.

DOKAZ:

Pravci su paralelni ako je ugao izmeĎu njih 0o ili 180

o:

MATEMATIKA

98

Iz tog zaključujemo da je odnosno:

Pravci su okomiti ako je:

Slijedi da nazivnik mora biti jednak nuli pa vrijedi:

odnosno:

Simetrala duži koja spaja dvije tačke ( ) ( ) je pravac oblika:

(

*

( )

ako je , odnosno

DOKAZ:

Slika6.5.1.7Simetrala duži

MATEMATIKA

99

Pravac (simetrala duži) y=kx+n je okomit na pravac kroz tačke ( ) ( ) pa iz

uslova okomitosti imamo da vrijedi:

Ostalo je odrediti n. Posmatrajmo jednakokraki trougao .

Vrijedi:

√ ( )

√

( )

( ) ( )

( ) ( )

Oduzmimo jednakosti (1) i (2):

( )

( )

( )

( )

Konačno uvrštavanjem dobijenih vrijednosti za k i n u y=kx+n imamo :

(

*

( )

Težište trougla je tačka T koja ima koordinate:

(

*

DOKAZ:

Slika6.5.1.8Težište trougla

MATEMATIKA

100

(

)

(

*

Težište trougla dijeli težišnicu u odnosu 2:1, pa imamo:

Iskoristimo formule za djelište duži u odnosu :

U našem slučaju je .

Znači, težište trougla ima koordinate:

(

*

6.5.2 Kružnica

Definicija6.5.2.1

Kružnica je geometrijsko mjesto tačaka koje su jednako udaljene od jedne stalne tačke tj.

centra kružnice, ili kružnica je skup tačaka jednako udaljenih od tačke središta.

Kružnica s centrom u tački ( ) poluprečnika r je data na sljedećoj slici:

Slika6.5.2.1Kružnica

Kraći zapis kružnice sa centrom u tački ( ) poluprečnika r je ( )

Kružnica poluprečnika r sa centrom u ishodištu koordinatnog sistema (centralna kružnica) je

u oznaci ( )

MATEMATIKA

101

6.5.2.1 Jednačina kružnice

Jednačina kružnice poluprečnika r sa središtem u ishodištu koordinatnog sistema je:

Slika6.5.2.1.1Jednačina kružnice

Primjenom pitagorine teoreme na trougao imamo:

,

Jednačina kružnice poluprečnika r sa središtem u tački ( ) je:

( ) ( )

Slika6.5.2.1.2Jednačina kružnice

Primjenom pitagorine teoreme imamo:

( ) ( )

MATEMATIKA

102

6.5.2.2 Jednačina tangente u tački kružnice

Jednačina tangente u tački ( ) kružnice ( ) je:

( )( ) ( )( )

dok je jednačina tangente u tački ( ) kružnice ( ) :

DOKAZ:

Slika6.5.2.2.1Jednačina tangente

Tangenta kružnice koja ima središte u tački S(p, q) i koja prolazi tačkom ( ) na kružnici

odreĎena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente.

Diferenciranjem jednačine kružnice imamo da je:

( ) ( )

Odatle slijedi da je:

Uvrštavanjem u jednačinu pravca kroz tačku ( ) dobijamo jednačinu tangente:

( )

Odatle se nalazi i drugi oblik jednačine tangente:

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

Uvrštavanjem p=q=0 dobijamo:

MATEMATIKA

103

6.5.2.3 Uslov da pravac bude tangenta kružnice

Uslov da pravac bude tangenta kružnice je:

( )

( ) ( )

DOKAZ:

Slika6.5.2.3.1Tangenta kružnice

NaĎimo taj uslov za kružnicu ( ), a za centralnu kružnicu ćemo dobiti uvrštavanjem

( )

( ) ( ) ( )

Uvrstimo y iz jednačine (1) u jednačinu (2):

( ) ( )

( )

( ) ( )

Dobili smo kvadratnu jednačinu čija diskriminanta mora biti jednaka nuli (jer ne mogu biti

dva pravca) pa imamo:

, ( )- ( )( )

⏟

( ) ⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

( )

( ) ( )

MATEMATIKA

104

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Za imamo centralnu kružnicu, pa uvrštavanjem u dokazani uslov imamo da

vrijedi:

( ) ( )

( )

6.5.2.4 Površina kruga

Površina kruga poluprečnika r je:

DOKAZ:

Slika6.5.2.4.1Površina kruga

Izračunajmo sivu površinu koja je jednaka četvrtini površine kruga, tj. neka vrijedi:

∫

Jednačina kružnice je:

√

Površina je pozitivan broj.

∫√

MATEMATIKA

105

∫√ (

)

|

| ∫ √

∫√

|

| ∫√

∫

∫

∫( )

[

∫

∫

]

[ |

|

]

(

⏞

,

6.5.2.5 Obim kruga (dužina luka kružnice)

Obim kruga (dužina luka kružnice) je:

DOKAZ:

Iskoristimo formulu za računanje dužine luka krive y:

∫√ ( )

MATEMATIKA

106

Slika6.5.2.5.1Obim kruga

√

√

∫√

∫

√

∫

√ ∫

√ [ . /

]

∫

√ . /

|

|

∫

√

|

( )

6.5.3 Elipsa

Definicija6.5.3.1

Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka za koje je zbir udaljenosti od dviju fiksnih tačaka

(fokusa) konstanta i iznosi 2a.

Vrste elipse:

Translatirana elipsa

Elipsa sa tjemenima na osi ordinata

Jednakostranična elipsa (KRUŽNICA)

MATEMATIKA

107

Elipsa sa središtem u ishodištu koordinatnog sistema je data na sljedećoj slici:

Slika6.5.3.1Elipsa sa središtem u ishodištu

Elipsa sa središtem u tački ( ) (translatirana elipsa) je data na sljedećoj slici:

Slika6.5.3.2Translatirana elipsa

a je velika poluosa, b mala poluosa.

( ) ( ) su fokusi elipse gdje je e linearni ekscentricitet elipse.

Tjemena elipse su u tačkama ( ) ( ).

Vrijedi da je , gdje su udaljenosti tačaka elipse od fokusa.

Elipsa sa tjemenima na osi ordinata je prikazana na slici:

Slika6.5.3.3Elipsa sa tjemenima na osi ordinata

MATEMATIKA

108

Za linearni ekscentricitet elipse vrijedi:

DOKAZ:

Sa prve slike (isto i za drugu) imamo da vrijedi:

Dobili smo jednakokraki trougao pa vrijedi:

( )

( )

Ako saberemo jednačine (1) i (2) imamo:

( )

Ako pomnožimo jednačine (1) i (2) imamo:

( )

Kako je imamo:

( )

( ) ( )

6.5.3.1 Jednačina elipse

Jednačina elipse sa centrom u ishodištu koordinatnog sistema (centralna elipsa) je:

dok je jednačina elipse sa središtem u tački ( ) (translatirana elipsa) data sa:

( )

( )

DOKAZ:

NaĎimo jednačinu elipse sa središtem u tački ( ), a jednačinu elipse sa središtem u

ishodištu koordinatnog sistema dobijamo uvrštavanjem

MATEMATIKA

109

Posmatrajmo sljedeću sliku:

Slika6.5.3.1.1Jednačina elipse

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Oduzmimo jednačine (1) i (2):

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

Saberimo jednačine (3) i (4):

( )

( ) ( )

Jednakost (5) uvrstimo u jednačinu (1):

0

( )1

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

MATEMATIKA

110

( ) (

) ( )

( ) (

) ( ) ( )

Iskoristimo da je odnosno

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Uvrštavanjem imamo:

Jednačina elipse sa tjemenima na osi ordinata je:

( )

( )

6.5.3.2 Jednačina tangente u tački elipse

Jednačina tangente u tački ( ) elipse je:

( )( )

( )( )

dok je jednačina tangente u tački ( ) centralne elipse:

DOKAZ:

Tangenta elipse koja ima središte u tački S(p, q), koja prolazi tačkom ( ) na elipsi

odreĎena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente.

Diferenciranjem jednačine elipse imamo da je:

( ) ( ) , odakle slijedi da je:

MATEMATIKA

111

Uvrštavanjem u jednačinu pravca kroz tačku ( ), dobijamo jednačinu tangente:

( )

Odatle se dobija drugi oblik jednačine tangente elipse:

( )( ) ( )( )

( ) (

)

( )

( )

( )( )

( )( )

Uvrštavanjem p=q=0 dobijamo:

6.5.3.3 Uslov da pravac bude tangenta elipse

Uslov da pravac bude tangenta elipse je:

( )

DOKAZ:

Odredimo uslov za elipsu sa središtem u tački ( ) ,a iz toga uslov za centralnu elipsu

ćemo dobiti uvrštavanjem

( )

( )

( )

( )

Uvrstimo jednakost (1) u jednakost (2):

( )

( )

( )

( ) , ( ) -

( ) ( )

MATEMATIKA

112

Dobili smo kvadratnu jednačinu čija diskriminanta mora biti jednaka nuli (jer ne mogu biti

dva pravca) pa imamo:

, ( )- ( )( )

⏟

( ) ⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Uvrštavanjem imamo:

6.5.3.4 Površina elipse

Površina elipse je:

DOKAZ:

Slika6.5.3.4.1Površina elipse

MATEMATIKA

113

Izračunajmo sivu površinu koja je jednaka četvrtini površine elipse, tj. neka vrijedi:

∫

Jednačina elipse je:

√

∫√

∫√ (

)

|

| ∫√

∫√

|

| ∫√

∫

∫

∫( )

[

∫

∫

]

[ |

|

]

(

⏞

,

MATEMATIKA

114

6.5.4 Hiperbola

Definicija6.5.4.1

Hiperbola je geometrijsko mjesto tačaka čija je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti od

dviju fiksnih točaka (žarišta) konstanta i iznosi 2a.

Vrste hiperbole:

Translatirana hiperbola

Hiperbola sa tjemenima na osi ordinata

Jednakostranična hiperbola

Hiperbola sa središtem u ishodištu koordinatnog sistema je data na sljedećoj slici:

Slika6.5.4.1 Hiperbola

Hiperbola sa središtem u tački ( ) (translatirana hiperbola) je data na sljedećoj slici:

Slika6.5.4.2Translatirana hiperbola

MATEMATIKA

115

a je velika poluosa, b imaginarna poluosa.

( ) ( ) su fokusi hiperbole gdje je e linearni ekscentricitet hiperbole.

Tjemena hiperbole su u tačkama ( ).

gdje su udaljenosti tačaka hiperbole od fokusa.

Hiperbola sa tjemenima na osi ordinata je prikazana na slici:

Slika6.5.4.3Hiperbola sa tjemenima na osi ordinata

Za linearni ekscentricitet hiperbole vrijedi:

6.5.4.1 Jednačina hiperbole

Jednačina hiperbole sa centrom u ishodištu koordinatnog sistema (centralna hiperbola) je:

dok je jednačina hiperbole sa središtem u tački ( ) (translatirana hiperbola) data sa:

( )

( )

DOKAZ:

NaĎimo jednačinu hiperbole sa središtem u tački ( ), a jednačinu hiperbole sa središtem u

ishodištu koordinatnog sistema dobijamo uvrštavanjem

MATEMATIKA

116

Slika6.5.4.1.1Jednačina hiperbole

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Oduzmimo jednačine (1) i (2):

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

Saberimo jednačine (3) i (4):

( )

( ) ( )

Jednakost (5) uvrstimo u jednačinu (1):

0

( )1

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

MATEMATIKA

117

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) (

) ( )

( ) (

) ( ) ( )

Iskoristimo da je odnosno

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Uvrštavanjem imamo:

Jednačina hiperbole sa tjemenima na osi ordinata je:

( )

( )

6.5.4.2 Jednačina tangente u tački hiperbole

Jednačina tangente u tački ( ) hiperbole je:

( )( )

( )( )

dok je jednačina tangente u tački ( ) centralne hiperbole:

DOKAZ:

Tangenta hiperbole koja ima središte u tački S(p, q), koja prolazi tačkom ( ) na

hiperboli odreĎena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente.

MATEMATIKA

118

Diferenciranjem jednačine hiperbole imamo da je:

( ) ( )

Odatle slijedi da je:

Uvrštavanjem u jednačinu pravca kroz tačku ( ) dobijamo jednačinu tangente:

( )

Odatle se dobija drugi oblik jednačine tangente hiperbole:

( )( ) ( )( )

( ) (

)

( )

( )

( )( )

( )( )

Uvrštavanjem p=q=0 dobijamo:

6.5.4.3 Uslov da pravac bude tangenta hiperbole

Uslov da pravac bude tangenta hiperbole je:

( )

DOKAZ:

NaĎimo uslov za hiperbolu sa središtem u tački ( ) , a iz tog uslov za centralnu hiperbolu

ćemo dobiti uvrštavanjem

( )

( )

( )

( )

Uvrstimo jednakost (1) u jednačinu (2):

( )

( )

MATEMATIKA

119

( )

( ) , ( ) -

( ) ( )

Dobili smo kvadratnu jednačinu čija diskriminanta mora biti jednaka nuli (jer ne mogu biti

dva pravca) pa imamo:

, ( )- ( )( )

⏟

( ) ⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

⏟

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Uvrštavanjem imamo:

Asimptote hiperbole su pravci:

Slika6.5.4.3.1Asimptote hiperbole

MATEMATIKA

120

6.5.4.4 Konstrukcija hiperbole

Slika6.5.4.4.1Konstrukcija hiperbole

Slika6.5.4.4.2Konstrukcija hiperbole

Slika6.5.4.4.3Konstrukcija hiperbole

MATEMATIKA

121

6.5.5 Parabola

Definicija6.5.5.1

Parabola je skup tačaka u ravni jednako udaljenih od zadane tačke (žarišta) i od zadanog

pravca (ravnalice).

Slika6.5.5.1Parabola

Fokus parabole je tačka .

/.

p-parametar parabole.

Ravnalica d (direktrisa) ima jednačinu:

6.5.5.1 Jednačina parabole

Jednačina parabole s tjemenom u ishodištu je:

Ako zamijenimo x i y imamo uspravnu parabolu:

Jednačina parabole s tjemenom u tački ( ) je:

( ) ( )

DOKAZ:

NaĎimo jednačinu parabole s tjemenom u tački ( ).

Posmatrajmo sljedeću sliku, i iskoristimo definiciju parabole.

MATEMATIKA

122

Slika6.5.5.1.1Jednačina parabole

Iz definicije parabole imamo:

√( ) (

)

Imamo:

√( ) .

/

( )

Kvadrirajmo jednakost (1):

(

) ( ) .

/

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Uvrštavanjem u dokazanu formulu dobijamo parabolu s tjemenom u ishodištu i

vrijedi:

MATEMATIKA

123

6.5.5.2 Jednačina tangente u tački parabole

Jednačina tangente u tački ( ) parabole je:

( )

DOKAZ:

Tangenta parabole koja prolazi tačkom ( ) na paraboli odreĎena je koordinatama

tačke T i koeficijentom smjera tangente.

Diferenciranjem jednačine parabole imamo da je:

Odatle slijedi da je:

Uvrštavanjem u jednačinu pravca kroz tačku ( ) dobijamo jednačinu tangente:

( )

Odatle dobijamo drugi oblik jednačine tangente parabole:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

6.5.5.3 Uslov da pravac bude tangenta parabole

Uslov da pravac bude tangenta parabole je:

DOKAZ:

( )

( )

Jednakost (1) uvrstimo u jednačinu (2):

( )

( )

MATEMATIKA

124

Dobili smo kvadratnu jednačinu čija diskriminanta mora biti jednaka nuli.

, ( )-

6.6 Površine i zapremine geometrijskih figura (stereometrija)

Dio geometrije koja proučava svojstva prostornih figura naziva se stereometrija (riječ stereometrija

dolazi od grčkih riječi stereos- prostor i metreo- mjeriti).

Presjekom ravnine i kupe (zavisno pod kojim uglom) ćemo dobiti kružnicu,elipsu,

hiperbolu ili parabolu:

Slika6.6.1Presjek ravni i kupe

6.6.1 Prizma

Prizma je prostorna figura sastavljena od ravni, od kojih su dvije naspramne jednake, slične i paralelne, a

ostale su paralelogrami. Kub je prostorna figura obuhvaćena sa šest jednakih kvadrata.

Slika6.6.1.1Prizma

MATEMATIKA

125

Površina i zapremina prizme je:

B je površina baze, H je visina prizme, a M površina omotača prizme.

6.6.2 Kocka

Kocka je jedno od Platonovih tijela. Pripada paralelepipedima, i to je pravilna

četverostrana prizma. Sastoji se od šest jednakih kvadrata.

Slika6.6.2.1Kocka

Veća dijagonala kocke je:

√

Slika6.6.2.2Dijagonala kocke

, manja dijagonala kocke

√

MATEMATIKA

126

Površina kocke stranice a je:

DOKAZ:

Slika6.6.2.3Površina kocke

Zapremina kocke stranice a je:

DOKAZ:

Slika6.6.2.4Zapremina kocke

Zapremina prizme je .

U ovom slučaju je pa imamo:

MATEMATIKA

127

6.6.3 Kvadar

Kvadar je paralelepiped kojem je osnova (baza) pravougaonik. Dakle, kvadar nema nužno

sve ivice meĎusobno okomite. Ako su bočne ivice kvadra okomite na osnovicu, onda je taj

kvadar uspravni kvadar.

Slika6.6.3.1Kvadar

Dijagonala kvadra je:

√

Slika6.6.3.2Dijagonala kvadra

√

Površina kvadra je:

( )

DOKAZ:

Slika6.6.3.3Površina kvadra

MATEMATIKA

128

( )

Zapremina kvadra je:

DOKAZ:

Slika6.6.3.4Zapremina kvadra

Zapremina prizme je .

U ovom slučaju je pa imamo:

6.6.4 Piramida

Piramida je geometrijsko tijelo sastavljeno od baze i stranica. S obzirom na bazu, piramide se

dijele na trostrane (baza trougao), četverostrane (baza četverougao) itd. Ako je baza pravilni

poligon (sve stranice jednake), tu piramidu nazivamo pravilna piramida.

S obzirom na bočne ivice, piramida se dijeli na uspravnu (ako su ivice jednake) i kosu (ako su

ivice različite dužine).

Tako se na primjer, piramida kojoj je baza kvadrat i kojoj su bočne ivice jednake dužine,

naziva pravilna uspravna četverostrana piramida.

MATEMATIKA

129

Slika6.6.4.1Piramida

Površina piramide je:

Zapremina piramide je:

DOKAZ:

Slika6.6.4.2Površina i zapremina piramide

Dokažimo na dva načina.

(I)

Teorema: Dvije piramide istih površina baza i istih visina imaju jednake zapremine.

Slika6.6.4.3Zapremina piramide

MATEMATIKA

130

Neka su trouglovi ABC i DEF podudarni. Zapremina prizme ABCDEF je

Prizma ABCDEF je sačinjena od tri piramide i to: ABCD, BCDF i DECF. Te tri piramide su

jednakih zapremina na osnovu gore navedene teoreme, jer je:

, C je vrh pa je ABCD=BCDF.

, D je vrh pa je BCDF=DECF.

Na osnovu toga je:

(II)

Uzmimo slučaj kada je piramida trostrana i obilježimo je sa ABCD. Podelimo jednu bočnu

ivicu, npr. AD, na n jednakih djelova i kroz diobne tačke konstruišimo ravni paralelne sa

ravni baze ABC kao na slici.

Slika6.6.4.4Zapremina piramide

Tim ravninama razložena je piramida Φ na n poliedara. Za svaki taj poliedar konstrušimo

dvije prizme od kojih jedna pripada tom poliedru, a druga sadrži taj poliedar.

Obilježimo sa poliedar sastavljen od svih tih prizama koje se nalaze u piramidi Φ, a sa

poliedar sastavljen iz svih ostalih prizama.

Pri tome je ,a prema tome je:

V( ) < V( Φ ) < V( )

Da bismo odredili zapremine poliedara potrebno je odrediti zapremine pojedinih

prizama iz kojih se sastoje poliedri .

S obzirom da su konstruisane ravni paralelne sa ravni ABC i da sijeku piramidu Φ po

trougaonim površinama koje su slične sa bazom ω = ABC, to prema teoremi, površina

presjeka m-te ravni sa piramidom Φ jednaka je .

/

, gde je

koeficijent sličnosti.

MATEMATIKA

131

Stoga je zapremina odgovarajuće prizme jednaka

.

/

, i prema tome:

( )

,.

/

.

/

.

/

-

( )

, ( ) -

( )

0

1

( )

,.

/

.

/

.

/

-

( )

, -

( )

*

+

Na taj način, imamo da je:

*

+ ( )

*

+

( )

Kada , tada je :

( )

( )

Ako je piramida Φ n-tostrana (n > 3), ona se dijagonalnim presjecima može razložiti na n-2

trostranih piramida . Ako površine baza tih piramida obilježimo sa

, onda je :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

MATEMATIKA

132

6.6.5 Valjak

Valjak je oblo geometrijsko tijelo, omeĎeno sa dva podudarna kruga koji leže u

paralelnim ravninama i dijelom zakrivljene plohe. Krugove nazivamo baze valjka, a

zakrivljenu plohu nazivamo omotač valjka.

Visina valjka je meĎusobna udaljenost baza. Kod uspravnog valjka visina je spojnica središta

baza. Valjak je rotaciono tijelo što znači da nastaje rotacijom pravougaonika oko jedne svoje

stranice.

Slika6.6.5.1Valjak

Površina valjka je:

( )

DOKAZ:

Slika6.6.5.2Površina valjka

M-je pravougaonik sa stranicama H i

( )

MATEMATIKA

133

Zapremina valjka je:

DOKAZ:

Slika6.6.5.3Zapremina valjka

Iskoristimo formule za zapreminu rotacionog tijela oko y ose.

∫

U ovom slučaju je rotacija pravca x=r oko y ose na intervalu (0,H).

Sada imamo:

∫

∫

|

6.6.6 Kugla

Kugla je skup svih tačaka prostora čija je udaljenost od središta manja ili

jednaka poluprečniku r. OmeĎena je sferom poluprečnika r, tj. skupom tačaka prostora čija je

udaljenost od središta jednaka r.

MeĎu svim tijelima datog obima, kugla ima najmanje oplošje (omotač).

MATEMATIKA

134

Slika6.6.6.1Kugla

Površina kugle je:

DOKAZ:

Slika6.6.6.2Površina kugle

Iskoristimo formule za površinu omotača rotacionog tijela oko x ose.

∫ √

U ovom slučaju je rotacija kružnice oko x ose na intervalu (-r,r).

√

√

∫√ √ (

√ *

∫√

√

|

( )

MATEMATIKA

135

Zapremina kugle je:

DOKAZ:

Dokažimo na dva načina:

(I)

Kavalijerov princip: Ako svaka ravan siječe likove jednakih površina, onda je:

( ) ( )

Posmatrajmo valjak,kupu i poluloptu.

Slika6.6.6.3Zapremina kugle

Presjekom ravni koja je paralelna sa bazama dobijamo kružni prsten i krug.

Slika6.6.6.4Kružni prsten i krug

Zapremina lopte je:

MATEMATIKA

136

(II)

Slika6.6.6.5Zapremina kugle

∫

U ovom slučaju je rotacija kružnice oko x ose na intervalu (-r,r).

√

Sada imamo:

∫( )

[ ∫

∫

]

|

|

( ) (

)

MATEMATIKA

137

6.6.7 Kupa

Kupa je geometrijsko tijelo ograničeno jednim djelom obrtne konusne površi i krugom.

Krug je osnova kupe.

Omotač kupe je dio konusne površi, a vrh konusne površi je ujedno i vrh kupe.

Normalna duž na osnovu, čije su krajnje tačke vrh kupe i centar osnove, naziva se visina H.

Slika6.6.7.1Kupa

s-izvodnica kupe.

H-visina kupe.

Površina kupe je:

( )

DOKAZ:

Slika6.6.7.2Površina kupe

M je površina kružnog isječka.

MATEMATIKA

138

Slika6.6.7.3Kružni isječak

( )

Zapremina kupe je:

DOKAZ:

Slika6.6.7.4Zapremina kupe

Iskoristimo formule za zapreminu rotacionog tijela oko y ose.

∫

U ovom slučaju je rotacija pravca

oko y ose na intervalu (0,H).

Sada imamo:

MATEMATIKA

139

∫

∫

|

6.6.8 Zarubljena kupa

Zarubljena kupa nastaje rotacijom pravouglog trapeza oko kraka koji predstavlja visinu

trapeza.

Slika6.6.8.1Zarubljena kupa

Površina zarubljene kupe je:

, ( ) -

DOKAZ:

Slika6.6.8.2Površina zarubljene kupe

MATEMATIKA

140

Slika6.6.8.3Površina kružnog prstena

Sada imamo da vrijedi:

( )

( )

Konačno imamo:

( )

, ( ) -

Zapremina zarubljene kupe je:

( )

DOKAZ:

Slika6.6.8.4Zapremina zarubljene kupe

( )

MATEMATIKA

141

Iz sličnosti kupa imamo:

Sada imamo:

(

*

(

)

Iz algebarskih identiteta imamo da vrijedi:

( )( )

Uvrštavanjem u formulu imamo:

( )

6.6.9 Kuglina kapa

Slika6.6.9.1Kuglina kapa

Površina kugline kape je:

( )

DOKAZ:

Slika6.6.9.2Površina kugline kape

Posmatrajmo rotaciju kružnice , ( )- oko y ose.

MATEMATIKA

142

Slika6.6.9.3Površina kugline kape

∫ √ , ( )-

√ * ( )

√ , ( )- +

∫

|

( )

Površina odsječka (kalote ili kapice) je:

DOKAZ:

∫ √ , ( )-

√ * ( )

√ , ( )- +

∫

|

MATEMATIKA

143

Zapremina kugline kape je:

( )

DOKAZ:

Slika6.6.9.4Zapremina kugline kape

Posmatrajmo rotaciju kružnice , ( )- oko y ose.

∫,

, ( )- -

*∫

∫, ( )-

+

|

, ( )-

|

,, ( )- ( ) -

, ( ) -

( )

( )

MATEMATIKA

144

6.6.10 Kuglin isječak

Slika6.6.10.1Kuglin isječak

Površina kuglinog isječka je:

( )

DOKAZ:

Slika6.6.10.2Površina kuglinog isječka

Površina kuglinog isječka je jednaka zbiru površine kalote i površini omotača kupe.

Slika6.6.10.3Omotač kupe

( )

MATEMATIKA

145

Zapremina kuglinog isječka je:

DOKAZ:

Slika6.6.10.4Zapremina kuglinog isječka

( )

( )

( )

Imamo da vrijedi:

( )

(

)

(

)

( )

( )

MATEMATIKA

146

7. Realne funkcije

Neka je dat skup D ⊆ R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu) pridružen jedan i

samo jedan y R, tada kažemo da je na skupu D definirana realna funkcija f realne

promjenljive x .

Pravilo po kojem se vrši pridruživanje označavamo sa f, odnosno y = f(x), x D.

Ovdje je x argument ili nezavisno promjenljiva, a skup D (često se obilježava i sa ) je

definiciono područje ili domena funkcije f.

Broj , pridružen vrijednosti argumenta x, zove se vrijednost funkcije u tački x = i

označava se f( ). Skup svih vrijednosti funkcije f oznacava se i zove se kodomena

funkcije f.

Primjeri realnih funkcija su: linearna funkcija, kvadratna funkcija, eksponencijalna i

logaritamska funkcija i trigonometrijske funkcije.

Definicija7.1

Elementarnim funkcijama nazivamo one funkcije koje se dobivaju iz osnovnih

elementarnih funkcija pomoću konačnog broja aritmetičkih operacija i konačnog broja

komponiranja osnovnih elementarnih funkcija.

Algebarske funkcije su one elementarne funkcije koje su dane pomoću kompozicije

racionalnih funkcija, potenciranja s racionalnim eksponentom i sa četri osnovne računske

operacije.

Transcedentne funkcije su one elementarne funkcije koje nisu algebarske.

Tu spadaju eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske, ciklometrijske, hiperbolne i area

funkcije.

MATEMATIKA

147

7.1 Linearna funkcija

Grafik linearne funkcije je pravac koji se često zadaje u eksplicitnom obliku

gdje je sve objašnjeno u jednačini pravca iz analitičke geometrije u ravnini.

Slika7.1.1Grafik linearne funkcije

7.2 Kvadratna funkcija

Kvadratna funkcija ili polinom drugog stepena je funkcija oblika

( ) gdje su realni brojevi.

Broj a se naziva vodeći koeficijent polinoma, broj b se naziva linearni koeficijent, a broj c se

naziva slobodni član.

7.2.1 Grafik,tjeme i nultačke kvadratne funkcije

Grafik kvadratne funkcije se naziva parabola; ako je a<0 parabola ima otvor prema dolje, a

ako je a>0 parabola ima otvor prema gore.

Slika7.2.1.1Parabola

Nultačke kvadratne funkcije su brojevi koji mogu biti kompleksni za koje je

vrijednost funkcije 0.

MATEMATIKA

148

Nultačke kvadratne funkcije se lako mogu naći pomoću formule:

√

DOKAZ:

Dokaz se provodi svoĎenjem na potpuni kvadrat.

( )

Dodamo li lijevoj i desnoj strani jednakosti broj

imamo:

(

*

(

*

Iz ovog slijedi:

√

Kako su dva rješenja imamo:

√

√

√

√

√

Kraći zapis je:

√

Broj D gdje je se naziva diskriminanta kvadratne funkcije.

Broj nultačaka kvadratne funkcije ovisi o vrsti rješenja kvadratne funkcije, tj. ovisi o

vrijednosti potkorjene veličine (diskriminante).

MATEMATIKA

149

- Ako je D<0 funkcija nema realnih nultačaka, i parabola siječe y osu u tački (0,c).

- Ako je D>0 funkcija ima dvije različite nultačke u kojima graf siječe x osu.

- Ako je D=0 funkcija ima jednu nultačku u kojoj graf dira x osu.

Slika7.2.1.2Nultačke parabole

Tjeme kvadratne funkcije je tačka ( ) koja ima koordinate:

(

*

DOKAZ:

Posmatrajmo funkciju ( )

(I) (diferenciranjem):

Tada je tjeme funkcije tačka ekstrema (minimum ili maksimum), a izvod funkcije u tački

mora bit jednak nuli pa vrijedi:

( )

Uvrštavanjem vrijednosti

u polaznu jednačinu imamo:

(

*

(

*

(

*

MATEMATIKA

150

(II) (geometrijski):

Posmatrajmo sljedeću sliku:

Slika7.2.1.3Tjeme parabole

Primjenimo formulu za koordinate središta duži AB.

( ) ( ) ( )

Tada vrijedi:

Iz vietovih formula za polinom drugog stepena imamo da je

pa vrijedi:

Uvrštavanjem vrijednosti

u polaznu jednačinu imamo:

(

*

(

*

(

*

Iz ovog zaključujemo da je osa simetrije parabole pravac:

MATEMATIKA

151

- Ako je a<0 kvadratna funkcija ima svoju najveću vrijednost ili maksimum.

- Ako je a>0 kvadratna funkcija ima svoju najmanju vrijednost ili minimum.

7.2.2 Tok kvadratne funkcije

Ako je a<0 onda za:

( )

( )

Ako je a>0 onda za:

( )

( )

7.2.3 Znak kvadratne funkcije

Ako je a<0 onda za vrijedi:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Ako je a>0 onda za vrijedi:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

7.2.4 Konveksnost i konkavnost kvadratne funkcije

Za realnu funkciju kažemo da je konveksna (udubljena) na intervalu ⊆ ako je:

(

*

( ) ( )

Za realnu funkciju kažemo da je konkavna (ispupčena) na intervalu ⊆ ako je:

(

*

( ) ( )

Teorema7.2.4.1

Kvadratna funkcija ( ) je za sve vrijednosti argumenta x konveksna

ako je a>0, a konkavna za a<0.

DOKAZ:

(*) konveksna a>0

( )

MATEMATIKA

152

Iskoristimo formulu za konveksnost:

(

*

( ) ( )

(

*

( ) ( ) , (

) ( ) -

⏟

⏟

⏟

⏟

(

)

( )

(**) konkavna a<0

( )

Iskoristimo formulu za konkavnost:

(

*

( ) ( )

(

*

( ) ( ) , (

) ( ) -

⏟

⏟

⏟

⏟

(

)

( )

7.2.5 Pripadnost nultačaka datom intervalu

Za kvadratnu funkciju se može postaviti zadatak da se odrede koeficijenti a,b i c tako da

njene realne nultačke (jedna ili obe) budu u intervalu ( )

Posmatrajmo tri slučaja:

1. kada leži samo jedna nultačka,

2. leže obe nultačke,

3. ne leže nultačke.

MATEMATIKA

153

1. Neka kvadratna funkcija ima dvije realne nultačke od kojih leži samo jedna, (D>0):

Slika7.2.5.1Jedna nultačka pripada datom intervalu

Tada vrijedi: ( ) ( )

2. Posmatrajmo kada leže obe nultačke:

Slika7.2.5.2Obe nultačke pripadaju datom intervalu

Tada vrijedi: ( ) ( )

3. Posmatrajmo kada ne leže obe nultačke:

Slika7.2.5.3Nultačke ne pripadaju datom intervalu

Tada vrijedi: ( ) ( )

MATEMATIKA

154

7.3 Eksponencijalna funkcija

Definicija7.3.1

Neka je a>0 i a realan broj. Funkcija ( ) definirana za svaki realan broj x se

naziva eksponencijalna funkcija, gdje se broj a naziva baza, a broj x se naziva eksponent.

Svi grafovi eksponencijalnih funkcija prolaze kroz tačku (0,1).

Za a>1 funkcija je strogo rastuća, a za 0<a<1 funkcija je strogo opadajuća.

Grafovi eksponencijalnih funkcija s bazama koji su recipročni brojevi su simetrični u odnosu

na y osu.

Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije je logaritamska funkcija.

Grafik eksponencijalne funkcije je dat na sljedećoj slici:

Slika7.3.1Eksponencijalna funkcija

Zbog injektivnosti eksponencijalne funkcije vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

MATEMATIKA

155

7.4 Logaritamska funkcija

Definicija7.4.1

Neka je a>0 i a realan broj. Funkcija ( ) koja svakom pozitivnom broju x

pridružuje realan broj za koji vrijedi se naziva logaritamska funkcija ili

logaritam po bazi a.

Svi grafovi logaritamskih funkcija prolaze kroz tačku (1,0).

Za a>1 funkcija je strogo rastuća, a za 0<a<1 funkcija je strogo opadajuća.

Grafovi logaritamskih funkcija s bazama koji su recipročni brojevi su simetrični u odnosu na

x osu.

Grafik logaritamske funkcije je dat na sljedećoj slici:

Slika7.4.1Logaritamska funkcija

Logaritmiranje i antilogaritmiranje (veza eksponencijalne i logaritamske funkcije):

Vrijedi:

Zbog injektivnosti logaritamske funkcije vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

MATEMATIKA

156

LOGARITAMSKA PRAVILA

Logaritam proizvoda:

( )

DOKAZ:

Iskoristimo osobinu stepena:

Sabiranjem logaritama imamo:

( )

Množenjem stepena imamo:

( )

Konačno uvrštavanjem u (1) imamo:

( )

Logaritam količnika:

DOKAZ:

Iskoristimo osobinu stepena:

Oduzimanjem logaritama imamo:

( )

Djeljenjem stepena imamo:

Konačno uvrštavanjem u (2) imamo:

MATEMATIKA

157

Logaritam stepena:

DOKAZ:

Svodi se na pravilo logaritam proizvoda.

( ⏟

| |

+ ⏟ | |

Logaritam korjena:

√

DOKAZ: (slijedi iz prethodnog jer vrijedi

√

)

Promjena baze logaritma:

DOKAZ:

Neka je , √

Posljedica tog je sljedeća jednakost:

Prirodni logaritam (baza je broj e) je u oznaci lnx.

MATEMATIKA

158

7.5 Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije su: sinus, kosinus, tanges i kotanges.

Trigonometrijska kružnica ima poluprečnik 1. Posmatrajmo rotaciju proizvoljne tačke na

trigonometrijskoj kružnici u nekom vremenskom intervalu. Tada dobijamo dva grafika

sinusoida i kosinusoida prikazani na slici:

Slika7.5.1Funkcije sinus i kosinus

Pozitivno orijentirani ugao: Neka su a i b dva polupravca sa zajedničkom početnom tačkom

O. Pretpostavimo da se pravac a vrti oko tačke O u smislu suprotnom kretanju kazaljke sata

sve dok se ne poklopi s polupravcem b. Ugao što ga je na taj način prošao polupravac a

nazivamo pozitivno orijentiranim uglom.

Negativno orijentirani ugao: Ukoliko dolazimo do drugog kraka ugla rotacijom prvog kraka

oko vrha ugla u smislu kretanja kazaljki sata, onda govorimo o negativno orijentiranom uglu.

Amplituda: Najveću ordinatu tačke grafa sinusoide ili kosinusoide nazivamo amplituda.

7.5.1 Definicija trigonometrijskih funkcija na trigonometrijskoj kružnici

Definicija7.5.1.1

Sinus ugla na trigonometrijskoj kružnici jednak je ordinati tačke koja se dobije presjekom

prave koja sadrži drugi krak ugla i trigonometrijske kružnice.

Definicija7.5.1.2

Kosinus ugla na trigonometrijskoj kružnici jednak je apscisi tačke koja se dobije presjekom

prave koja sadrži drugi krak ugla i trigonometrijske kružnice.

Definicija7.5.1.3

Tanges ugla na trigonometrijskoj kružnici jednak je ordinati tačke koja se dobije presjekom

prave koja sadrži drugi krak ugla i tangentne ose.

MATEMATIKA

159

Definicija7.5.1.4

Kotanges ugla na trigonometrijskoj kružnici jednak je apscisi tačke koja se dobije

presjekom prave koja sadrži drugi krak ugla i kotangentne ose.

7.5.2 Definicija trigonometrijskih funkcija na pravouglom trouglu

Definicija7.5.2.1

Sinus ugla u pravouglom trouglu jednak je odnosu naspramne katete i hipotenuze.

Definicija7.5.2.2

Kosinus ugla u pravouglom trouglu jednak je odnosu nalegle katete i hipotenuze.

Definicija7.5.2.3

Tanges ugla u pravouglom trouglu jednak je odnosu naspramne katete i nalegle katete.

Definicija7.5.2.4

Kotanges ugla u pravouglom trouglu jednak je odnosu nalegle katete i naspramne katete.

7.5.3 Grafički prikaz trigonometrijskih funkcija:

Graf funkcije sinus naziva se sinusoida.

Slika7.5.3.1Sinusoida

Graf funkcije kosinus naziva se kosinusoida.

Slika7.5.3.2Kosinusoida

MATEMATIKA

160

Graf funkcije tangens naziva se tangensoida.

Slika7.5.3.3Tangensoida

Graf funkcije kotangens naziva se kotangensoida.

Slika7.5.3.4Kotangensoida

MATEMATIKA

161

U sljedećoj tablici su date vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke uglove:

x

stepeni 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º

radijani 0

sin(x) 0

1

0

cos(x) 1

0

tg(x) 0

1

0

ctg(x)

1

0

Tabela7.5.3.1

7.5.4 Parnost-neparnost i periodičnost trigonometrijskih funkcija:

Funkcija cosx je parna funkcija: cos(−x)=cosx

Funkcija sinx je neparna funkcija: sin(−x)=−sinx

Funkcija tgx je neparna funkcija: tg(-x)=-tgx

Funkcija kotangens je neparna funkcija: ctg(-x)=-ctgx

Funkcije sinus i kosinus su periodične funkcije sa osnovnim ili temeljnim periodom 2 :

sinx=sin(x+2k )

cosx=cos(x+2k )

Tangens i kotangens su periodične funkcije s osnovnim ili temeljnim periodom :

tgx=tg(x+ )

ctgx=ctg(x+ )

MATEMATIKA

162

7.5.5 Svođenje na prvi kvadrant

Neka je x oštar ugao tj. ugao iz prvog kvadranta.

Tada vrijedi:

.

/ .

/

( ) ( )

(

* (

*

( ) ( )

.

/ .

/

( ) ( )

(

* (

*

( ) ( )

.

/ .

/

( ) ( )

(

* (

*

( ) ( )

.

/ .

/

( ) ( )

(

* (

*

( ) ( )

MATEMATIKA

163

7.5.6 Znak trigonometrijskih funkcija

⁄ I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

tg + - + -

ctg + - + -

Tabela7.5.6.1

7.5.7 Trigonometrijski identiteti

Osnovni trigonometrijski identitet je:

DOKAZ

Posmatrajmo sliku:

Slika7.5.7.1osnovni trigonometrijski identitet

Primjenom pitagorine teoreme na trougao ONM imamo da vrijedi:

Iz definicije trigonometrijskih funkcija na pravouglom trouglu imamo:

( )

( )

Kvadrirajmo i saberimo jednakosti (1) i (2):

MATEMATIKA

164

√

Znak + se uzima ako je ugao iz prvog i drugog kvadranta, a znak – ako je iz trećeg i četvrtog.

√

Znak + se uzima ako je ugao iz prvog i četvrtog kvadranta, a znak – ako je iz drugog i trećeg.

Neka je

Zaključujemo da vrijedi:

Postoje funkcije za koje vrijedi:

Za trigonometrijske funkcije vrijede sljedeće formule:

√

√

√

√

√

√

√

√

√

MATEMATIKA

165

√

√

√

√

√

MATEMATIKA

166

√

√

7.5.8 Adicione formule

Formule koje iskazuju vezu izmeĎu trigonometrijskih funkcija zbira i razlike uglova,

nazivaju se adicione formule, i to:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

DOKAZ:

Posmatrajmo sljedeću sliku: Slika7.5.8.1Adicione formule.

(*) Uočimo jednakosti:

sin(x+y)=CD=OF=OG+GF (1), OA=OB=OC=1, GF=HE, HF=GE.

MATEMATIKA

167

Slika7.5.8.1Adicione formule

( )

OG=OE

Sada je:

(2)

Sada je:

(3)

Ukoliko jednakosti (2) i (3) uvrstimo u (1) dobijamo sljedeće:

( )

(**) Uočimo jednakost

-cos(x+y)=OD=CF=CH-HF (4)

Kako su duži CH i HF pozitivne, a u našem slučaju je vrijednost kosinusa ugla x+y

negativna, otuda dolazi minus ispred.

MATEMATIKA

168

Sada je:

(5)

HF=GE

Sada je:

(6)

Jednakosti (5) i (6) uvrstimo u jednakost (4):

( ) ( )

( )

Ako u dokazanim formulama izvršimo smjenu dobijamo:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Iskoristimo li osobinu parnosti i neparnosti trigonometrijskih funkcija imamo:

( )

( )

Formulu za ( ) ćemo dobiti na osnovu formule

.

( ) ( )

( )

( )

( )

MATEMATIKA

169

Analogno prethodnom vrijedi:

( ) ( )

( )

( )

( )

Formulu za ( ) ćemo dobiti na osnovu formule

.

( ) ( )

( )

( )

( )

Analogno se dobije ( ) i to:

( ) ( )

( )

( )

( )

Napomena: Formule ( ) ( ) se mogu dobiti smjenom iz formula

za ( ) ( )

MATEMATIKA

170

7.5.9 Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla:

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla računamo prema formulama:

DOKAZ:

Primjenimo adicione formule:

( )

( )

( )

( )

Ukoliko stavimo da je x=y onda imamo:

( )

( )

( )

( )

Sada dobijamo tražene formule:

MATEMATIKA

171

7.5.10 Trigonometrijske funkcije polovine ugla

Trigonometrijske funkcije polovine ugla računamo prema formulama:

√

√

√

√

DOKAZ:

Na osnovu osnovnog trigonometrijskog identiteta

i formule imamo da vrijede sljedeće formule:

( )

( )

(*) saberimo jednakosti (1) i (2):

√

(**) oduzmimo formule (1) i (2):

√

Iz ove dvije formule se mogu naći formule:

√

√

MATEMATIKA

172

Iz ovih formula se mogu izvesti formule poznate kao formule snižavanja stepena i to

smjenom x=2x:

7.5.11 Transformacije zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

To su formule oblika:

DOKAZ:

(*) iskoristimo adicione formule za sinus:

( ) ( )

( ) ( )

Neka je

Izrazimo x i y preko i .

Saberimo formule (1) i (2):

MATEMATIKA

173

Oduzmimo formule (1) i (2):

(**) iskoristimo adicione formule za kosinus gdje je

:

( ) ( )

( ) ( )

Saberimo formule (3) i (4):

Oduzmimo formule (3) i (4):

7.5.12 Transformacije proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

To su formule oblika:

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

DOKAZ:

Ponovo iskoristimo adicione formule:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Saberimo formule (1) i (2):

( ) ( )

, ( ) ( )-

MATEMATIKA

174

Saberimo formule (3) i (4):

( ) ( )

, ( ) ( )-

Oduzmimo formule (3) i (4):

( ) ( )

, ( ) ( )-

7.6 Ciklometrijske funkcije

Arkus funkcije ili ciklometrijske funkcije su inverzne funkcije odgovarajućih restrikcija

(ograničenja) trigonometrijskih funkcija.

Naime, ni jedna od trigonometrijskih funkcija nije bijekcija (funkcija ne može biti bijekcija

čim je periodična). MeĎutim, u primjenama se često javlja potreba za njihovim inverzima, pa

su inverzi definirani za pogodno odabrane restrikcije koje jesu bijekcije.

Pri tome se najčešće biraju restrikcije na odgovarajući interval koji je najbliži nuli.

Na sljedećoj slici vidimo da je restrikcija sinusa na intervalu 0

1 bijekcija.

Arkus sinus je inverzna funkcija te restrikcije pa vrijedi:

, - 0

1

Slika7.6.1Arcsinus i sinus funkcija

MATEMATIKA

175

Funkcija arkus kosinus je inverzna funkcija restrikcije funkcije na intervalu , - i

vrijedi:

, - , -

Slika7.6.2Arckosinus i cosinus funkcija

Funkcija arkustangens je inverzna funkcija restrikcije funkcije na intervalu 0

1 i

vrijedi:

.

/

Slično, funkcija arkus kotangens je inverzna funkcija restrikcije funkcije na

intervalu , - pa vrijedi:

( )

Slika7.6.3Arctangens i tangens funkcija

MATEMATIKA

176

Funkciju , možemo nacrtati koristeći vezu:

DOKAZ:

Uzmimo da je:

Tada je:

, -

7.7 Hiperbolne funkcije

Hiperbolne funkcije definiramo pomoću eksponencijalne funkcije . Veze izmeĎu

hiperbolnih funkcija slične su vezama izmeĎu trigonometrijskih funkcija.

Sinus hiperbolni je funkcija definisana na sljedeći način:

a kosinus hiperbolni je funkcija:

, -

MATEMATIKA

177

Funkcije prikazane su na sljedećoj slici:

Slika7.7.1Funkcije sinus hiperbolni i kosinus hiperbolni

Vidimo da je sinus hiperbolni neparna, a kosinus hiperbolni parna funkcija te da je sinus

hiperbolni strogo rastuća funkcija. Kosinus hiperbolni se još zove i lančanica, jer lanac

obješen o dvije tačke u gravitacijskom polju zauzme oblik dijela te krivulje.

Za funkcije vrijedi:

( )

( )

MATEMATIKA

178

( )

Slično kao kod trigonometrijskih funkcija, tangens hiperbolni definiramo kao odnos sinusa

hiperbolni i kosinusa hiperbolni, a kotangens hiperbolni kao odnos kosinusa hiperbolni i

sinusa hiperbolni, tj.

( )

* + ( ) ( )

Funkcije prikazane su na sljedećoj slici:

Slika7.7.2Funkcije tangens hiperbolni i kotangens hiperbolni

MATEMATIKA

179

7.8 Area funkcije

Area funkcije su inverzne funkcije hiperbolnih funkcija. Primijetimo da su sve hiperbolne

funkcije bijekcije, osim pa za kosinus hiperbolni inverznu funkciju definiramo

restrikciju ⌊ .

Area funkcije se ponekad označavaju i s velikim početnim slovom kao npr. .

Funkcije area sinus hiperbolni, area kosinus hiperbolni, area tangens hiperbolni i area

kotangens hiperbolni definirane su redom na sljedeći način:

. √ /

, - , -

. √ /

( )

( ) ( ) * +

Pokažimo da vrijede gornje jednakosti:

( )

NaĎimo inverznu funkciju gornje funkcije, tj. arsh x funkciju.

( )

( )

√ (uzimamo znak + zbog definitnosti)

MATEMATIKA

180

Sada je:

√

( √ )

( √ )

( ) ( √ )

. √ /

( )

NaĎimo inverznu funkciju gornje funkcije, tj. arch x funkciju.

( )

( )

√ (uzimamo znak + zbog definitnosti)

Sada je:

√

( √ )

( √ )

( ) ( √ )

. √ /

( )

NaĎimo inverznu funkciju gornje funkcije, tj. arth x funkciju.

( )

(

*

( ) ( )

MATEMATIKA

181

( )( )

( )( ) ( )

( )

Sada je:

( )

( )

NaĎimo inverznu funkciju gornje funkcije, tj. arcth x funkciju.

( )

(

*

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

Sada je:

( )

MATEMATIKA

182

Funkcije prikazane su na sljedećim slikama:

Slika7.8.1Funkcije areasinus i areakosinus

Slika7.8.2Funkcije areatangens i areakotangens

MATEMATIKA

183

8. Skupovi i operacije sa skupovima

8.1 Skupovi, podskupovi i prazan skup

Skup je kolekcija objekata. Objekte te kolekcije koji formiraju skup nazivamo elementima

toga skupa. Za element skupa ponekad kažemo da je član tog skupa.

Ako je X skup, da bi iskazali činjenicu da je x element skupa X, pišemo x X. Ako x nije

element skupa X, pišemo x X.

Kantor je prvi uveo važnu korespidenciju izmeĎu skupova, definisao beskonačne i dobro

ureĎene skupove. Definisao je, takoĎe, kardinalne i ordinalne brojeve i dao njihovu

elementarnu aritmetiku.

Skup koji ima konačno mnogo elemenata zapisujemo ovako:

* +.

Ako je x skup, možemo formirati skup {x} koji sadrži samo element x, pa imamo x {x}.

Skup koji ima samo jedan element nazivano singleton.

Za dva skupa kažemo da su jednaka ako sadrže iste elemente i isti broj elemenata.

Ako su skupovi X i Y jednaki pišemo X = Y, a ako nisu jednaki pišemo X Y.

Za skup kažemo da je konačan skup ako ima konačno mnogo elemenata.

Ako skup nije konačan, kažemo da je beskonačan i konačan skup ne može biti jednak

beskonačnom skupu.

Skup A je ekvipotentan skupu B ako imaju isti broj elemenata i pišemo A B , (jednakobrojni

skupovi).

Za skup X kažemo da je beskonačan ako i samo ako je ekvipotentan svom pravom podskupu.

Za skup X kažemo da je podskup skupa Y ako je svaki element skupa X takoĎer element

skupa Y, a tu činjenicu zapisujemo ovako X⊆Y.

Svaki skup je sam sebi podskup. Dakle, za svake skupove X imamo X⊆X.

Napomenimo sljedeću vrlo korisnu matematičku činjenicu:

Dva skupa X i Y su jednaka ako i samo ako je X⊆Y i Y⊆X.

Ovo znači da su dva skupa jednaka ako imaju iste elemente, tj. ako su elementi prvog skupa

elementi drugog skupa i obrnuto: elementi drugog skupa su elementi prvog skupa.

Ako je X⊆Y i X Y kažemo da je skup X pravi podskup skupa Y i pišemo X Y; npr.

{0,3} {0,2,3,4}.

MATEMATIKA

184

Ako skup X nije podskup skupa Y pisaćemo X Y.

Skup svih podskupova skupa X označavamo sa P(X), i nazivamo ga partitivni skup skupa X.

Npr. svi podskupovi skupa {0,1,2} su:

, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}.

Skup koji nema elemenata nazivamo prazan skup, i označavamo ga sa .

Teorem8.1.1

Skup bez elemenata je podskup svakog skupa.

DOKAZ:

Neka je X bilo koji skup. Pretpostavimo da nije podskup skupa X. Iz ove pretpostavke

moramo doći do kontradikcije. Pošto skup nije podskup skupa X, tada prema definiciji

koncepta “podskup”, postoji element skupa koji nije član skupa X. Ali, ovo je nemoguće,

jer skup nema elemenata. Prema tome, skup ne može imati elemenata koji nisu u X pa

mora biti ⊆ .

Korolar8.1.1

Postoji najviše jedan skup bez elemenata.

DOKAZ:

Neka su i skupovi bez elemenata. Prema gornjem teoremu, mora biti ⊆ i

⊆ , pa prema tome, mora biti .

Teorem8.1.2

Ako je | | , tada je | ( )| .

DOKAZ:

Da bi formirali jedan podskup skupa X treba da za svaki element skupa X odlučimo da li je

član tog podskupa ili nije. Budući da skup X ima n elemenata, i budući da za svaki element

imamo dvije mogućnosti “da” ili “ne”, postoji mogućih podskupova skupa X.

MATEMATIKA

185

Teorem8.1.3

Skup cijelih brojeva je prebrojivo beskonačan.

DOKAZ:

Predstavimo skup Z cijelih brojeva u obliku Z = Z+ Z− {0}, gde Z+ označava skup svih

pozitivnih ,a Z− skup svih negativnih celih brojeva. Jasno, Z+ i Z− su prebrojivo beskonačni

skupovi, a {0} je konačan skup, pa prema teoremu * (Unija prebrojivo beskonačnog skupa i

konačnog skupa je prebrojivo beskonačan skup) dobijamo da je i Z prebrojivo beskonačan

skup.

Teorem8.1.4

Skup racionalnih brojeva je prebrojivo beskonačan.

DOKAZ:

Skup Q racionalnih brojeva možemo predstaviti u obliku Q = Q+ Q− {0}, gde su Q+ i

Q− redom skupovi pozitivnih i negativnih cijelih brojeva. Svaki racionalan broj aQ može se

na jedinstven način predstaviti u obliku razlomka a = p/q, gde je p Z, q N i p i q su

uzajamno prosti brojevi. Prema tome, Q+ N×N i Q− N×N, dok imamo da je N×N N.

Dakle, Q+ i Q− su prebrojivo beskonačni, pa prema teoremi * (Unija prebrojivo

beskonačnog skupa i konačnog skupa je prebrojivo beskonačan skup) imamo da je i Q

prebrojivo beskonačan skup.

Teorem8.1.5(Kantor)

Otvoreni interval (0,1) realnih brojeva je neprebrojivo beskonačan.

DOKAZ:

Primjetimo prvo da proizvoljan realni broj iz otvorenog intervala (0,1) ima decimalni zapis

oblika 0.x1x2x3 . . ., gde je xk {0, 1, 2, . . . , 9} za svako k N. MeĎutim, takav zapis ne

mora biti jedinstven jer se, na primer, broj 1/4 može zapisati u obliku 0.2500000 . . ., ali

takoĎe i u obliku 0.249999 . . ..

Da bi se dobio jedinstven zapis, dogovorićemo se da se svaki broj koji ima konačan broj

nenula decimala (racionalan broj), recimo k nenula decimala, umesto u obliku 0.x1x2 . . .

xk0000 . . . predstavi u obliku 0.x1x2 . . . x0k999 . . ., gde je x0k = xk −1.

MATEMATIKA

186

Drugim riječima, zadnja nenula decimala se smanjuje za 1 a umesto nula koje idu za njom se

ubacuju devetke. Brojevi zapisani na taj način imaju jedinstven zapis, što znači da ako je x =

0.x1x2x3 ... i

y = 0.y1y2y3 ..., pri čemu je xk ≠ yk, bar za jedno kN, tada je x ≠ y. Ovo je ključna činjenica u

ostatku dokaza na koji sada prelazimo. Pretpostavimo sada da je skup (0,1) prebrojivo

beskonačan, tj. da se može predstaviti u obliku niza (0,1) = {a1, a2, a3, ... , ak, ...}.

Svaki element iz ove liste ima decimalni zapis napravljen u skladu sa prethodno donjetim

dogovorom, pa imamo sljedeću šemu:

a1 = 0. a11 a12 a13 . . . a1k . . .

a2 = 0. a21 a22 a23 . . . a2k . . .

a3 = 0. a31 a32 a33 . . . a3k . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ak = 0. ak1 ak2 ak3 . . . akk . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

gdje je svako aij {0, 1, 2, . . . , 9}.

Uočimo sada b koji ima decimalni zapis oblika b = 0.b1b2b3 ... bk ..., pri za svako k N važi sljedeće:

bk = 5 ako je akk ≠ 5 , bk = 1 ako je akk = 5 .

Tada je b(0,1), dok sa druge strane imamo da za svako kN je b ≠ ak, jer je bk ≠ akk, što znači da be

ne može biti u intervalu (0,1). Kako smo kontradikciju dobili pod pretpostavke da je interval (0,1)

prebrojivo beskonačan, to zaključujemo da je taj interval ipak neprebrojivo beskonačan, što je i trebalo

dokazati.

Teorem8.1.6

Skup svih realnih brojeva je neprebrojivo beskonačan.

DOKAZ:

Kao što smo ranije dokazali, skup R je ekvipotentan sa intervalom <0,1>, pa ukoliko bi R bio

prebrojivo beskonačan, tj. ekvipotentan sa N, tada bi takav morao biti i interval <0,1>, što

smo u prethodnom teoremom dokazali da nije slučaj.

MATEMATIKA

187

Teorem8.1.7

Skup I svih iracionalnih brojeva je neprebrojivo beskonačan.

DOKAZ:

Skup R realnih brojeva se može napisati u obliku R = QI. Kako je Q prebrojivo

beskonačan, to bi u skladu sa teoremom * prebrojiva beskonačnost skupa I povukla za sobom

i prebrojivu beskonačnost skupa R, što, kao što smo dokazali, nije slučaj. Prema tome, I ne

može biti prebrojivo beskonačan.

8.2 Razlika skupova

Neka su X i Y skupovi. Skup elemenata skupa X koji nisu u skupu Y, tj. skup {xX: xY}

nazivamo razlika skupa X i skupa Y i pišemo X \ Y.

Npr. {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}, a skup N \ 2N je skup neparnih prirodnih brojeva.

Za skupove X i Y vrijedi:

(1) X \ X = ,

(2) X \Y X,

(3) X \ = X,

(4) X \ Y = X Y.

Ako je skup X fiksiran (superskup), za podskup X \ Y skupa X koristimo oznaku Yc.

Skup Yc nazivamo komplement skupa Y u X.

Za dati supeskup X, vrijedi:

(1) (Yc)c = Y,

(2) Xc = ,

(3) c = X.

MATEMATIKA

188

8.3 Presjek skupova

Neka su data dva skupa X i Y. Možemo da posmatramo skup elemenata koji su zajednički za

ova dva skupa. Taj skup nazivamo presjek skupa X i skupa Y, i, označavamo ga sa XY. npr.

X = {0,1,2,3,4} i Y = {1,3,4,6} : XY = {1,3,4}.

Za dva skupa, čiji je presjek prazan skup, kažemo da su disjunktna ili razdvojena .

Vrijede slijedeće osobine:

(1) XX = X,

(2) XY X,

(3) XY = YX,

(4) XY = X X Y,

(5) (XY)Z = X(YZ),

(6) X = ,

(7) (X \ Y)(Y \X) = ,

U općem slučaju, ako je X = {Ai : iI} skup skupova indeksiran skupom indeksa I, tada

presjek svih ovih skupova iz X označavamo sa .

Dakle, (iI)(xAi).

Ako je skup X dat bez indeksnog skupa, tada presjek svih elemenata skupa X označavamo sa

X. Dakle, imamo yX ako i samo ako ako je yX za svako xX.

8.4 Unija skupova

Neka su data dva skupa X i Y. Možemo posmatrati skup elemenata koji su u skupu X ili u

skupu Y. Taj skup zovemo unija skupa X i skupa Y,i označavamo ga ovako XY.

Npr. X = {0,1,3,5,7}, a Y = {1,2,5,6}, tada je XY = {0,1,2,3,5,6,7}.

Vrijede slijedeće osobine

(1) XX = X,

(2) X XY,

(3) XY = YX,

(4) XY = X Y X,

(5) (XY)Z = X(YZ),

(6) X = X.

MATEMATIKA

189

Veze izmeĎu i (presjeka i unije) nazivamo De Morganovi stavovi:

X(YZ) = (XY)(XZ),

X(YZ) = (XY)(XZ),

( )

( )

U općem slučaju, ako je X = {Ai : iI} skup skupova indeksiran skupom indeksa I, tada uniju

svih skupova skupa X označavamo sa .

Dakle, x (iI)(xAi).

Prema tome, imamo yX ako i samo ako ako postoji xX takvo da je yX.

Gornju rečenicu možemo da zapišemo i u formalnom obliku

yX (x)(xX yX).

8.5 Direktni proizvod dva skupa

Bilo koja tačka T ravni RR može se predstaviti sa dvije koordinate x i y što pišemo u obliku

T = (x,y). Jedino svojstvo para (x,y) koje treba da znamo je sljedeće:

(x,y) = (a,b) x = a i y = b.

Trebalo bi par (x,y) definisati tako da gornja osobina vrijedi.

Skup {{x},{x,y}} ima traženu osobinu, tj. vrijedi

{{x},{x,y}} = {{a},{a,b}} x = a i y = b.

Za dva skupa X i Y, definišemo XY kao skup svih ureĎenih parova (x,y) za xX i yY:

XY = {(x,y): xX yY}.

Taj skup nazivamo direktni proizvod skupa X i skupa Y.

Lema8.5.1

Za skupove X i Y vrijedi XY P(P(XY)).

DOKAZ:

Neka su xX i yY po volji uzeti elementi, a znamo da je x,yXY. Prema tome, {x} i

{x,y} su podskupovi skupa P(XY), pa {x},{x,y} su elementi od P(XY). Odavde sljedi da

je {{x},{x,y}} podskup skupa P(P(XY)).

Dakle, XY P(P(XY)).

MATEMATIKA

190

8.6 Formalizacija

Pogledajmo definiciju “podskupa” :

X Y ako i samo ako je svaki element skupa X element skupa Y.

Trebali bi tu definiciju napisati u kraćem zapisu.

Ovdje “ako i samo ako“ znači:

Ako je XY, tada je svaki element skupa X element skupa Y i ako je YX, tada je svaki

element skupa Y element skupa X.

Frazu “ako i samo ako” zapisujemo simbolom i definiciju podskupa zapisujemo ovako:

X Y svaki element skupa X je element skupa Y.

Analizirajmo frazu:

Svaki element skupa X je element skupa Y.

Možemo je reformulisati na sljedeći način:

Za svako t, ako je t element skupa X tada je t element skupa Y.

Za označavanje fraze forme “ako, onda” tj. “ako je p onda je q” koristi simbolični zapis

p q.

Ovako reformulisana naša fraza ima oblik:

za svako t, tX tY.

Formalizacija nije završena: frazu “za svako t” označavamo simbolom (t). Prema tome,

frazu svaki element skupa X je element skupa Y označavamo na slijedeći način:

(t)(tX tY).

Konačno, definiciju “podskupa” zapisujemo ovako:

XY (t)(tX tY).

Budući da ova definicija vrijedi za sve skupove X i Y, trebalo bi, u principu, pisati:

(X)(Y)(XY (t)(tX tY)).

Činjenicu da je svaki skup sam sebi podskup formalizuje se na slijedeći način:

(X)(XX).

Formalizujmo jednakost dva skupa. Kao što znamo, dva skupa X i Y su jednaka ako i samo

ako je XY i YX. Prema tome je:

X=Y (XY i YX).

Umjesto veznika “i” koristimo simbol , tako da gornju frazu zapisujemo u obliku:

X=Y (XY YX).

MATEMATIKA

191

Nastavimo sa formaliziranim zapisivanjem rečenica. Tako, forma XY, je u stvari, skraćenica

za formalizovanu rečenicu (t)(tX tY), a forma YX je skraćenica formalizovane

rečenice (t)(tY tX).

Dakle vrijedi:

X=Y ((t)(tX tY) (t)(tY tX)).

Vidimo da je (t)(tX tY) (t)(tY tX) ekvivalentno sa (t)((tX tY)

(tY tX)), a da je ovo ekvivalentno sa (t)(tX tY), pa je:

X=Y (t)(tX tY).

Budući da je ovo tačno za sve skupove X i Y, imamo:

(X)(Y)(X=Y (t)(tX tY)).

Pogledajmo sada značenje XY. Prema definiciji, za dva skupa X i Y kažemo: XY onda i

samo onda ako nije tačno X= Y, tj. ako postoji bar jedan element jednog skupa koji nije član

drugog skupa.

Dakle, XY onda i samo onda (ako i samo ako, akko) ako ili postiji bar jedan element skupa

X koji nije u Y, ili postoji bar jedan element skupa Y koji nije u X.

Prvu frazu “postoji bar jedan element skupa X koji nije u Y” zapisujemo ovako:

postoji bar jedan element tX takav da je tY, tj.

postoji bar jedno t takvo da je tX tY.

Frazu “postoji bar jedno t” zapisujemo ovako: (t).

Frazu “postoji bar jedan element skupa X koji nije u Y” formalizujemo sljedećim simbolima:

(t)(tX tY).

Analogno za frazu “postoji bar jedan element skupa Y koji nije u X“ vrijedi:

(t)(tY tX).

Prema tome, XY se (djelimično) formalizuje sa:

(t)(tX tY) ili (t)(tY tX).

Formu “ili…ili…” kraće zapisujemo simbolom , tako da nejednakost XY skupova X i Y

formalizujemo sljedećim nizom simbola:

(t)(tX tY) (t)(tY tX).

MATEMATIKA

192

Vidi se da je gornji niz simbola ekvivalentan sa:

(t)((tX tY) (tY tX)).

Formalizujmo izjavu XY. Prema definiciji, XY ako i samo ako je XY i XY. Upravo

je pokazano kako se formalizuju XY i XY, pa imamo:

XY (t)(tX tY) (t)(tX tY).

Istaknimo da tX je formalizacija izjave “t nije element od X”, pa možemo zapisati i u

obliku (tX).

8.7 Definisanje skupova (podskupova) svojstvima

Neka je dat skup X. Zanimaju nas elementi skupa X koji zadovoljavaju neku osobinu. Npr. za

skup X možemo uzeti skup N prirodnih brojeva i posmatrati svojstvo “biti paran broj”. Ova

nova kolekcija je podskup skupa N. To je skup svih parnih prirodnih brojeva.

Ako sa S označimo svojstvo o kojem je riječ, npr. “biti paran prirodan broj” tada rečenicu “x

je paran broj” bilježimo sa S(x). Dakle, traženi skup čiji elementi zadovoljavaju svojstvo S je:

{xX : S(x)}.

U gornjem primjeru gdje je S svojstvo “biti paran broj” možemo zapisati u obliku:

{xN : x je paran}.

Ovaj skup možemo zapisati i u obliku: {2x : xN}, odnosno u obliku 2N.

Slično 2Z označava skup svih parnih cijelih brojeva.

Za realan broj a razmotrimo skup {sQ: s a}.

Ovaj skup označavamo sa <a,+>.

Slično, za dva realna broja a i b definišemo sljedeće skupove:

<a,b> = {xR: a x b} (interval)

<a,b] = {xR: a x b}

[a,b> = {xR: a x b}

[a,b] = {xR: a x b} (segment)

<-,b> = {xR: x b}

<-,b] = {xR: x b}

[a,+> = {xR: a +}

<-,+> = R.

Ove skupove nazivamo razmacima u skupu R.

MATEMATIKA

193

8.8 Binarne relacije

Neka su X i Y (neprazni) skupovi. Podskup XY nazivamo relacija izmeĎu elemenata

skupa X i elemenata skupa Y.

Dakle, vrijedi P(XY).

Skup 1 = {xX :(yY)((x,y))} nazivamo prva projekcija (ili domen) relacije .

Očigledno je da vrijedi 1 X.

Ako vrijedi 1 = X, za relaciju kažemo da je totalna po prvim koordinatama, ili da je

klase T1,u upotrebi je i termin korespodencija.

Skup 2={yY:(xX)((x,y))} nazivamo druga projekcija relacije (anti-domen,

kodomen, rang).

Jasno je da vrijedi 2 Y. Ako je 2 = Y, tada za relaciju kažemo da je totalna po

drugim koordinatama, ili da je surjektivna relacija, ili da je klase T2.

Ako za relaciju XY vrijedi:

(F1)(x1,x2X)(y1,y2Y)((x1,y1) (x2,y2) x1 = x2 y1 = y2)

tada za tu relaciju kažemo da je funkcionalna po prvim koordinatama, ili da je klase F1.

U upotrebi je i termin parcijalna funkcija.

Ako je relacija XY korespondencija i parcijalna funkcija, tada za nju kažemo da je

funkcija.

Ako za relaciju XY vrijedi:

(F2)(x1,x2X)(y1,y2Y)((x1,y1) (x2,y2) y1 = y2 x1 = x2)

tada za tu relaciju kažemo da je funkcionalna po drugim koordinatama, ili da je klase F2. U

upotrebi je i termin injekcija.

Neka su XY i YZ relacije. Relaciju o = {(x,z)XZ : (yY)((x,y)

(y,z))} nazivamo proizvod relacija i .

Očigledno je da je o ako i samo ako je 2 1 .

Neka je XY.

Za relaciju -1

= {(y,x)YX : (x,y)} kažemo da je inverz relacije .

Relaciju IdX = {(x,x): xX} na skupu X nazivamo identitet na skupu X, ili dijagonala

skupa X.

MATEMATIKA

194

9. Granična vrijednost (limes) funkcije

9.1 Tačka nagomilavanja, unutrašnja tačka, granična tačka skupa i limes

funkcije

Neka je Za tačku a kažemo da je tačka nagomilavanja skupa S ako svaka

okolina tačke a ( ) sadrži bar jedan element skupa S različit od broja a.

Za tačku a kažemo da je unutrašnja tačka skupa S ako postoji okolina ( ) koja je

podskup skupa S.

Tačka a se naziva granična tačka skupa S ako svaka okolina ( ) sadrži tačku iz

skupa S različitu od tačke a.

Definicija9.1.1

.

( )

( )

Definicija9.1.2

( )

( )( )( | | | ( ) | )

9.2 Lijevi i desni limes

Limes postoji ukoliko su lijevi i desni limesi jednaki.

( ) ( )

( ) ( )

MATEMATIKA

195

9.3 Algebarska kombinacija limesa

Teorem9.3.1

Neka su zadane funkcije , i neka je a tačka nagomilavanja skupa A.

( )

( )

, ( ) ( )-

( )

( )

, ( ) ( )-

( )

( )

[ ( )

( )]

( )

( )

( )

( )

( )

1Neka su funkcionalne funkcije tako da je:

( ) ( ) ( )

( )

( )

Tada je:

( )

2

( )

( ) ( )

, ( )-

9.4 Broj e, određeni i neodređeni oblici limesa

DOKAZ:

Predstavimo to na trigonometrijskoj kružnici:

Slika9.4.1Trigonometrijska kružnica

1 Sendvić teorema

2 Teorema o smjeni

MATEMATIKA

196

Sa slike imamo:

Vrijedi nejednakost:

(

*

DOKAZ:

Da bi se tačno odredio ovaj limes potrebno je iskoristiti formulu za razvoj u red funkcije

(*) Ispitajmo monotonost niza .

/

(I način)

(

*

.

/

.

/

.

/

(

*

(

*

( )

( )

(

*

(

* (

*

(

* (

* (

*

(

*

(

* (

*

(

* (

* (

*

( )

MATEMATIKA

197

Primjenimo nejednakost:

Slijedi:

niz je strogo rastući.

(II način)

Prema bernulijevoj nejednakosti imamo da vrijedi:

(

*

(

*

(

*

(

*

. /

(

*

(

*

(

*

(

*

(

*

.

/

(

*

(

*

(

*

(

*

.

(**) Ispitajmo ograničenost niza .

/

Iz bernulijeve nejednakosti dobijamo da je ograničen sa donje strane:

(

*

Sada bi trebalo dokazati da je ograničen sa gornje strane.

(

*

.

/

.

/

.

/

(

*

( )( )

( )( )( )

MATEMATIKA

198

(

*

(

*

(

* (

*

(

* (

* (

*

(

*

⏟

(

*

. /

(

*

* (

*

+⏟

Tako smo dobili da je:

(

*

(***) Dokažimo da je jednak broju

(

*

(

*

(

* (

*

(

* (

* (

*

(

*

(

*

Iz redova funkcija imamo da je:

∑

∑

Konačno smo dobili da je:

(

*

MATEMATIKA

199

( )

Dokaz slijedi iz prethodnog i to smjenom

DOKAZ:

( )

( )

( )

Sada je:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

√

DOKAZ:

Neka je √

√

( )

Bernoulijeva nejednakost daje sljedeće:

(√

)

(√

)

√

MATEMATIKA

200

Iz sendvić teoreme imamo da vrijedi:

(√

)

Konačno imamo da je:

√

9.5 Neprekidnost funkcije

Definicija9.5.1

Neka je realna funkcija i .

Funkcija je neprekidna u tački ako vrijedi:

( ) ( )

( ) .

/

( )( )( ) (| | | ( ) ( )| )

( ) ( )

( ) ( )

Ako je funkcija neprekidna u svim tačkama skupa ⊆ tada kažemo da je funkcija

neprekidna na skupu A.

Definicija9.5.2

Funkcija je uniformno (ravnomjerno) neprekidna na skupu ako vrijedi:

( )( )( ) (| | | ( ) ( )| )

9.6 Asimptote funkcije (krivulje)

Asimptota krivulje je pravac, koji ima svojstvo da se približava krivulji u nekoj njenoj

beskonačno dalekoj točki, ali je u toj točki ne siječe niti dodiruje.

Razlikujemo tri vrste asimptota funkcije i to:

Vertikalna asimptota

Horizontalna asimptota

Kosa asimptota

MATEMATIKA

201

Dakle, asimptota može biti neki pravac koji nije paralelan ni s osi x niti s osi y (kosa

asimptota), ali isto tako neki pravac koji je paralelan s osi x (horizontalna asimptota) ili neki

pravac koji je paralelan s osi y (vertikalna asimptota).

Udaljenost krivulje od asimptote teži prema nuli kada tačka na krivulji teži prema

beskonačnosti.

Ako se tačka neprekidno pomjera po krivulji tako da barem jedna od koordinata x ili f(x) tačke

T teži ka beskonačnosti, pri čemu udaljenost od te tačke do nekog pravca teži prema nuli,

onda se taj pravac naziva asimptota.

Pod udaljenošću izmeĎu krivulje i nekog pravca p podrazumijeva se najmanja (tj. najkraća)

udaljenost izmeĎu neke tačke na krivulji neke tačke na pravcu.

Ako u tački T na krivulji postavimo pravac q okomit na pravac p i ako sa B označimo presjek

pravaca q i p, onda je d(T,B) (udaljenost od tačke T na krivulji do tačke B na pravcu p)

najmanja udaljenost izmeĎu krivulje i pravca p.

Ako je pravac p ujedno asimptota krivulje , onda je d(T,B) udaljenost krivulje od asimptote .

S obzirom na prethodno navedeno zaključujemo da je

( )

Slika9.6.1Udaljenost asimptote i funkcije

MATEMATIKA

202

9.6.1 Vertikalna asimptota

Kažemo da je pravac x=a vertikalna asimptota krivulje u desnoj strani ako vrijedi:

( )

Analogno kažemo da je pravac x=a vertikalna asimptota krivulje u lijevoj strani ako vrijedi:

( )

Pritom je broj a realan i različit od

Na sljedećim slikama su prikazane vertikalne asimptote.

Slika9.6.1.1Vertikalna asimptota funkcije u desnoj strani

Slika9.6.1.2Vertikalna asimptota funkcije u lijevoj strani

MATEMATIKA

203

9.6.2 Horizontalna asimptota

U ovom slučaju imamo da je ( ) | ( ) | pa na osnovu nužnog uslova za postojanje

asimptote vrijedi:

( ( ) )

( ( ) )

Kažemo da je pravac x=b horizontalna asimptota krivulje u desnoj strani ako vrijedi:

( )

Analogno kažemo da je pravac x=b horizontalna asimptota krivulje u lijevoj strani ako

vrijedi:

( )

Pritom je broj b realan i različit od

Ako iz prethodnih identiteta dobijemo da je onda zaključujemo da funkcija nema

horizontalnu asimptotu.

Slika9.6.2.1Horizotalna asimptota funkcije u desnoj strani

MATEMATIKA

204

Slika9.6.2.2Horizotalna asimptota funkcije u lijevoj strani

9.6.3 Kosa asimptota

Kažemo da je pravac kosa asimptota krivulje u desnoj strani ako je:

( )

, ( ) -

Analogno kažemo da je pravac kosa asimptota krivulje u lijevoj strani ako je:

( )

, ( ) -

Pritom je , a,b su realni brojevi različiti od .

Slika9.6.3.1Kosa asimptota funkcije u desnoj strani

MATEMATIKA

205

Slika9.6.3.2Kosa asimptota funkcije u lijevoj strani

Treba da vrijedi uslov za postojanje kose asimptote:

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

Ako jednu od ovih jednačina (isto tako vrijedi za drugu) podjelimo sa imamo:

* ( )

+

* ( )

+

Odavde je:

( )

Broj b se dobije iz polaznih formula i vrijedi:

, ( ) -

Krivulja presjeca asimptotu ako vrijedi:

( ) ( )

MATEMATIKA

206

10. Izvodi (derivacije) funkcije

Pretpostavimo da je funkcija f(x) definisana u nekom intervalu (a,b) i da je tačka iz

intervala (a,b) fiksirana. Uočimo neku proizvoljnu tačku iz tog intervala (a,b), koju

zovemo promjenjiva tačka intervala (a,b).

Razlika pokazuje promjenu ili priraštaj vrijednosti promenljive x i najčešće se

obilježava sa

Slika10.1Promjena promjenjive

Posmatrajmo sljedeću sliku:

Slika10.2Tangenta funkcije u tački A

( ) ( )

( ) ( )

Taj količnik se naziva se srednjom ili prosječnom brzinom promjene funkcije u intervalu

, -

MATEMATIKA

207

( ) ( )

Posmatrajmo šta će se dešavati kada se tačka približava tački , tо јеst kad .

Tada pa .

( ) ( )

Brzina promjene funkcije f(x) u tački se naziva izvod funkcije i obilježava sa ( )

ili . Obično se umjesto stavlja .

Definicija10.1

Izvod funkcije jednak je graničnoj vrijednosti količnika priraštaja funkcije i priraštaja

nezavisne promjenjive kad priraštaj nezavisne promjenjive teži nuli.

( )

( ) ( )

10.1 Algebarska kombinacija izvoda

Teorem10.1.1

Neka su ( ) ( ) diferencijabilne u tački x. Tada su diferencijabilne sljedeće

funkcije:

( )

( )

( )

.

/

( )

DOKAZ:

( )

Neka je ( ) ( ) ( ) odnosno

Tada je:

( )

MATEMATIKA

208

Iz definicije izvoda imamo:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) odnosno

( )

( )

Neka je ( ) ( ) ( ) odnosno

Tada je:

( )

Iz definicije izvoda imamo:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) odnosno

( )

( )

Neka je ( ) ( ) ( ) odnosno

Tada je:

( )

Iz definicije izvoda imamo:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

, ( ) ( )- ( ) , ( ) ( )- ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) odnosno

( )

MATEMATIKA

209

.

/

Neka je ( ) ( )

( ) odnosno

Tada je:

.

/

Iz definicije izvoda imamo:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

*

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

+

( )

, ( )-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, ( )-

.

/

( )

Neka je ( ) ( ) odnosno

Tada je:

( )

Iz definicije izvoda imamo:

( )

( ) ( )

( )

, ( ) ( )-

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

MATEMATIKA

210

10.2 Izvod složene funkcije

Teorem10.2.1(lančano pravilo)

Neka je ( )( ) , ( )- složena funkcija i neka f ima izvod u tački a , a funkcija g

ima izvod u tački b, gdje je ( ) Tada je:

( ) ( ) , ( )- ( )

DOKAZ:

Za ovaj dokaz koristimo formulu izvoda zapisanu u drugačijem obliku i to:

( ) ( )

( ) ( )

Neka je: ( ) ( )

Tada vrijedi:

, ( )- , ( )-

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

neprekidna ( ) diferencijabilna

, ( )- , ( )-

* ( )

( )

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( )- ( )

To znači ukoliko je , ( )- , tada je izvod te funkcije jednak:

, ( )- ( )

Zbog jednostavnosti pisanja uzmimo da je , ( )-

( ) ( )

Tada je:

, ( )- ( )

Npr. neka je , ( ( ))-. Tada je:

, ( ( ))- ( ( )) ( )

MATEMATIKA

211

10.3 Izvod inverzne funkcije

Teorem10.3.1

Neka je inverzna funkcija funkcije .

Ako je f diferencijabilna funkcija u tački a i ( ) onda je diferencijabilna u

tački ( ) i vrijedi:

( ) ( )

( )

DOKAZ:

Tada je ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Sada je:

( ) ( )

( ) ( )

( )

10.4 Izvod implicitno zadane funkcije

Neka je funkcija ( ) zadana u implicitnom obliku ( )

Tada implicitno zadanu funkciju deriviramo po pravilima deriviranja član po član tako da je y

funkcija od x.

Npr.:

Sada je:

( )

( )

MATEMATIKA

212

10.5 Logaritamski izvod

Teorem10.5.1

Neka je ( ) diferencijabilna funkcija.

Tada je i funkcija ( ) je diferencijabilna pri čemu je:

, ( )- ( )

( )

DOKAZ:

(tablica izvoda) : ( )

odnosno ( ( ))

( )

Kako u našem slučaju f(x) može biti složena funkcija, tada je:

, ( )- ( )

( )

10.6 Lopitalovo pravilo

Teorem10.6.1

Neka funkcije zadovoljavaju pretpostavke košijevog teorema:

1. Funkcije su neprekidne na (a,b)

2. Diferencijabilne na (a,b)

3. ( ) ( )

4. ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Neka je c neka unutrašnja tačka intervala (a,b) za koje je:

( ) ( )

Ukoliko postoji tada je:

( )

( )

( )

( )

DOKAZ:

Neka je tačka unutar intervala (a,b).

Prema košijevoj teoremi je:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

MATEMATIKA

213

Tada je:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Napomena:

Lopitalovo pravilo koristimo u oblicima: 0

1 0

1.

10.7 Neodređeni oblici

( )

( )

Tada je:

( )

( )

, ( ) ( )- , -

U tom slučaju vrijede transformacije:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Nakon transformacija slijedi lopitalovo pravilo.

TakoĎer imamo i sljedeće slučajeve:

, ( ) ( )- , -

Tada vrijede transformacije.

( ) ( ) ( ) [ ( )

( )]

MATEMATIKA

214

10.8 Tablica izvoda i dokazi

FUNKCIJA IZVOD FUNKCIJE

C (C-konstanta) 0

x 1

sin x cos x

cos x -sin x

tg x

ctg x

arcsin x

√

arccos x

√

arctg x

arcctg x

sh x ch x

ch x sh x

tgh x

ctgh x

arsh x

√

arch x

√

arth x

arcth x

Tabela10.8.1Tablica izvoda

MATEMATIKA

215

DOKAZ:

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( )

( ) ( ) (

) ( ) ( )

( )

[ ( ) (

) ( ) ( ) ]

( )

( )

( )

( )

3

Posljedica toga je:

( ) ( )

( )

( )

( )

3

dokazano u broj e …

MATEMATIKA

216

(

*

(

*

(

*

(

)

|

| [

(

)

]

Posljedica toga je:

( ) ( )

( )

( )

( )

. /

(

*

( )

( )

( )

. /

(

*

MATEMATIKA

217

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

*

( ) ( ) ( )

+

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

*

( )

( ) ( )

+

( )

( )

( )

Iskoristimo izvod inverzne funkcije.

( ) ( )

( ) ( )

sada je

( )

√ ( )

√

sada je

( )

√ ( )

√

MATEMATIKA

218

sada je

( )

sada je

( )

(

*

(

*

(

*

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

.

/

(

*

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

.

/

MATEMATIKA

219

Koristimo izvod inverzne funkcije.

( ) ( )

( ) ( )

sada je

( )

√ ( )

√

sada je

( )

√( )

√

sada je

( )

sada je

( )

MATEMATIKA

220

11. Integrali

11.1 Neodređeni integral i računanje integrala

Definicija11.1.1

Funkcija F je primitivna funkcija funkcije f na intervalu I ako vrijedi:

( ) ( )

Ako je F primitivna funkcija funkcije f onda je i F+C primitivna funkcija funkcije f.

Teorem11.1.1

Ako su primitivne funkcije funkcije f na intervalu I onda se one razlikuju za

konstantu, tj.

DOKAZ

( ) ( )

( ) ( )

Oduzmemo li ove dvije formule imamo:

( )

( )

, ( ) ( )-

Slijedi da je:

( ) ( ) odnosno ( ) ( )

Definicija11.1.2

NeodreĎeni integral funkcije f na intervalu I je skup svih njenih primitivnih funkcija na

intervalu I i piše se:

∫ ( ) ( ) ( ) ( )

Izraz f(x) nazivamo podintegralna funkcija, a izraz f(x)dx nazivamo podintegralni izraz.

Teorem11.1.2

Neka su f i g integrabilne funkcije.

Tada je:

∫, ( ) ( )- ∫ ( ) ∫ ( )

∫ ( ) ∫ ( )

MATEMATIKA

221

11.1.1 Metoda supstitucije

Teorem11.1.1.1

Neka je F(x) primitivna funkcija funkcije f. Neka je diferencijabilna funkcija. Tada

postoji ( ( )) ( ) tako da je:

∫ ( ( )) ( ) ( ( ))

DOKAZ

[ ( ( ))]

( ( ( ))) ( ( )) ( )

[ ( ( ))] ( ( )) ( )

Sada je:

∫ ( ( )) ( ) | ( )

( ) | ∫ ( ) ( )

Konačno je:

∫ ( ( )) ( ) ( ( ))

11.1.2 Metoda parcijalne integracije

Teorem11.1.2.1

Neka su integrabilne funkcije. Tada vrijedi:

∫ ∫

DOKAZ

Iskoristimo izvod proizvoda.

( )

( )

∫ ∫

Imamo da vrijedi:

∫ ( )

Tako treba da vrijedi za ostale funkcije koje su date u sljedećoj tablici.

Na osnovu gornje formule i formula za izvod nekih funkcija mogu se dokazati formule u

tablici.

MATEMATIKA

222

11.1.3 Tablica neodređenih integrala i dokazi

FUNKCIJA f(x) INTEGRAL FUNKCIJE PO x ∫ ( )

k (k-konstanta) kx+C

( )

| |

sin x -cos x+C

cos x sin x+C

tg x +C

ctg x +C

arcsin x √

arccos x √

arctg x

( )

arccctg x

( )

sh x ch x+C

ch x sh x+C

-ctg x+C

tg x+C

-cth x+C

th x+C

+C

.

/

| | | |

+C

|

|+C

√ . √ /+C

√

+C

Tablica11.1.3.1Tablica neodreĎenih integrala

MATEMATIKA

223

DOKAZ:

( )

∫ ( ) ∫ ∫

( )

∫ |

( )

| ∫

∫

( )

∫

|

| ∫

( )

∫ |

| ∫

( )

∫ |

| ∫

( )

∫ ∫

|

| ∫

( )

∫ ∫

|

| ∫

( )

∫ |

√

| ∫

√

MATEMATIKA

224

|

| ∫

√ √ √

( )

∫ |

√

| ∫

√

|

| ∫

√ √ √

( )

∫ |

| ∫

|

|

∫

( )

( )

∫ |

| ∫

|

|

∫

( )

( )

∫ ∫

∫( )

( )

( )

∫ ∫

∫( )

( )

( )

∫

|

| ∫

MATEMATIKA

225

( )

∫

|

| ∫

( )

∫

|

| ∫

( )

∫

|

| ∫

( )

∫ |

| ∫

∫

( )

∫ |

| ∫

∫

(

) ( ) .

/ .

/

( )

Na osnovu gornje formule imamo:

∫ .

/

.

/ ( )

( )

∫

∫

[ . /

]

∫

. /

|

|

MATEMATIKA

226

∫

∫

( )

∫

∫

( )( ) |

( )( )

|

∫(

*

[ ∫

∫

]

( | | | |)

|

|

( )

√

∫

√ |

√

( )

|

∫

∫

∫

( )

. √ /

( )

√

∫

√ ∫

√ (

*

∫

√ . /

|

|

∫

√

∫

√ |

√ | ∫

. √ /

MATEMATIKA

227

11.2 Određeni integral i računanje

Neka je ( ) neprekidna funkcija na intervalu [a,b] s grafičkim prikazom:

Slika11.2.1Neprekidna funkcija na intervalu [a,b]

Želimo izračunati površinu lika (pseudotrapeza) omeĎenog x osom, pravcima x=a i x=b i

lukom AB krive y.

Slika11.2.2Površina dobijenog lika

Podjelimo interval [a,b] tačkama gdje , - na n

podintervala dužine gdje je

Na tim podintervalima konstruišimo n pravougaonika gdje je visina svakog pravougaonika

jednaka najvećoj vrijednosti funkcije na tom podintervalu.

Neka su visine opisanih pravougaonika redom jednake , tj. vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( ) , -

Prvi pravougaonik ima visinu i širinu pa je njegova površina jednaka .

Drugi pravougaonik ima visinu i širinu pa je njegova površina jednaka .

Općenito, površina i-tog pravougaonika jednaka je , pa je suma površina svih

opisanih pravougaonika jednaka:

∑

MATEMATIKA

228

Ova suma se naziva integralna suma funkcije f na intervalu [a,b]. Ukoliko interval [a,b]

podjelimo na što više podintervala dobijamo traženu površinu, pa vrijedi:

Ako postoji limes kada n teži beskonačnosti tj. kada dužine podintervala teže nuli, onda

granična vrijednost te sume jednaka je površini traženog lika pa je:

∑

∑ ( )

Ta granična vrijednost naziva se odreĎeni (rimanov) integral u granicama od a do b

i označava se sa:

∫ ( )

Dakle, odreĎeni integral funkcije f je granična vrijednost sume površina opisanih

pravougaonika tj. predstavlja površinu ispod krivulje f u granicama x=a i x=b.

Posmatrajmo sume:

∑

∑

gdje je minimum funkcije, a maksimum funkcije na intervalu , -

Ove sume se nazivaju DONJA i GORNJA DABUOVA SUMA funkcije f na intervalu

[a,b].

Funkcije će biti integrabilna ako donje i gornja Dabuova suma teži ka istom broju, a to će se

dogoditi ako je funkcija neprekidna.

To znači, ako je funkcija f neprekidna na intervalu [a,b], onda je ona i integrabilna na

tom intervalu.

MATEMATIKA

229

Osobine određenog integrala:

∫ ( )

∫ ( )

∫, ( ) ( )-

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

( ) ( ) , - ∫ ( )

∫ ( )

( ) ( ) , - ∫ ( )

( ) ( ) , - ∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

11.2.1 Teorem o srednjoj vrijednosti

Teorem11.2.1.1

Neka su neprekidne funkcije na intervalu , - i neka je ( ) stalnog znaka.

Tada postoji , - tako da je:

∫ ( ) ( )∫ ( )

DOKAZ

Neka je minimum funkcije, a maksimum funkcije na datom intervalu. Tada je:

( ) , -

Pretpostavimo da je ( )

Tada vrijedi:

( ) ( ) ( ) ( )

MATEMATIKA

230

∫ ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

∫ ( ) ( )

∫ ( )

Kako je neograničena ona poprima sve vrijednosti izmeĎu brojeva pa postoji broj

, - takav da je:

∫ ( ) ( )

∫ ( )

( )

∫ ( ) ( )∫ ( )

Analogno se dokazuje kada je ( )

Teorem11.2.1.2

( ) ∫ ( )

( )

DOKAZ

( ) ( ) ( ) ∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

MATEMATIKA

231

11.2.2 Netwon-Lajbincova formula

Navedimo teoremu koja je osnovna (fundamentalna) za Netwon-Lajbincovu formulu, jer

preko nje se dokazuje ta formula.

Teorem11.2.2.1

Neka je , - neprekidna funkcija u tački t=x. Tada funkcija ( ) , -

ima izvod u tački x i vrijedi:

( ) ( )

DOKAZ

( )

( ) ( )

(

∫ ( )

)

( )

( ) ( )

Teorem11.2.2.2

Neka je , - neprekidna funkcija (integrabilna), i neka je F proizvoljna primitivna

funkcija funkcije . Tada vrijedi:

∫ ( )

( ) ( )

DOKAZ

( ) ∫ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ∫ ( )

( ) ∫ ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Ukoliko formule (1) i (2) izjednačimo imamo:

∫ ( )

( ) ( ) ∫ ( )

( ) |

( ) ( )

MATEMATIKA

232

11.2.3 Smjena promjenjivih u određenom integralu

Teorem11.2.3.1

Neka je , - neprekidna funkcija, i neka je , - , - neprekidna.

Tada za ( ) ( ) vrijedi:

∫ ( )

∫ ( ( ))

( )

DOKAZ

∫ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, ( ( ))- ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

∫ ( ( ))

( ) ( ( )) |

( ( )) ( ( )) ∫ ( )

11.2.4 Parcijalna integracija u određenom integralu

Teorem11.2.4.1

Neka su integrabilne funkcije. Tada vrijedi:

∫

|

∫

DOKAZ

Iskoristimo izvod proizvoda.

( )

( )

∫

|

∫

MATEMATIKA

233

11.2.5 Primjena određenog integrala

Računanje površine:

∫| ( )|

Zapremina rotacionog tijela:

∫ ( )

Dužina luka krivulje:

∫√ , ( )-

Površina omotača rotacionog tijela:

∫ ( )√ , ( )-

MATEMATIKA

234

Sadržaj:

1. Algebarski identiteti ............................................................................................................ 1

2. Stepeni (potencije) i korijeni ............................................................................................... 2

3. Polinomi .............................................................................................................................. 3

3.1 Jednakost polinoma ........................................................................................................... 3

3.2 Djeljenje polinoma ............................................................................................................ 4

3.3 Najveći zajednički djelitelj polinoma ............................................................................... 4

3.4 Racionalna funkcija .......................................................................................................... 5

3.5 Parcijalni razlomak ........................................................................................................... 5

3.6 Nultačke polinoma ............................................................................................................ 5

3.7 Bezuov teorem .................................................................................................................. 6

3.8 Osnovni teorem algebre .................................................................................................... 6

3.9 Jednake nultačke ............................................................................................................... 7

3.10 Hornerov algoritam ......................................................................................................... 8

3.11 Rastav polinoma po potencijama .................................................................................... 9

3.12 Svojstva nultačaka polinoma ........................................................................................ 10

3.13 Vietove formule za polinom drugog stepena ............................................................... 10

3.14 Vietove formule za polinom trećeg stepena ................................................................. 11

4. Nizovi ................................................................................................................................ 12

4.1 Aritmetički niz ................................................................................................................ 12

4.2 Geometrijski niz .............................................................................................................. 14

5. Kompleksni brojevi ........................................................................................................... 18

5.1 Algebarski (standardni) oblik kompleksnog broja .......................................................... 18

5.2 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja .................................................................... 23

5.3 Eksponencijalni (Eulerov) oblik kompleksnog broja ..................................................... 26

6. Geometrija ......................................................................................................................... 28

6.1 Trougao ........................................................................................................................... 43

6.1.1 Pravougli trougao ..................................................................................................... 55

6.1.2 Jednakostranični trougao .......................................................................................... 58

6.1.3 Jednakokraki trougao ............................................................................................... 61

6.1.4 Površina trougla........................................................................................................ 65

6.1.5 Dužine težišnica u trouglu ........................................................................................ 70

6.1.6 Heronovske formule ................................................................................................. 71

6.1.7 Dužine simetrali uglova u trouglu (bisektrise) ......................................................... 74

MATEMATIKA

235

6.1.8 Tangensna teorema ................................................................................................... 75

6.1.9 Karnovi obrasci ........................................................................................................ 76

6.1.10 Mollweidove formule ............................................................................................. 78

6.2 Četverouglovi .................................................................................................................. 79

6.2.1 Kvadrat ..................................................................................................................... 79

6.2.2 Pravougaonik ............................................................................................................ 80

6.2.3 Romb ........................................................................................................................ 81

6.2.4 Paralelogram............................................................................................................. 82

6.2.5 Trapez ....................................................................................................................... 84

6.3 Pravilni mnogougao ........................................................................................................ 86

6.4 Krug ................................................................................................................................ 88

6.5 Analitička geometrija u ravni.......................................................................................... 90

6.5.1 Tačka, jednačina pravca i duž ................................................................................ 90

6.5.1.1 Eksplicitni (direktni) oblik pravca......................................................................... 91

6.5.1.2 Implicitni (opći) oblik pravca ................................................................................ 92

6.5.1.3 Segmentni oblik pravca ......................................................................................... 92

6.5.1.4 Normalni (Hesseov) oblik pravca ......................................................................... 93

6.5.2 Kružnica ................................................................................................................. 100

6.5.2.1 Jednačina kružnice .............................................................................................. 101

6.5.2.2 Jednačina tangente u tački kružnice .................................................................... 102

6.5.2.3 Uslov da pravac bude tangenta kružnice........................................ 103

6.5.2.4 Površina kruga .................................................................................................... 104

6.5.2.5 Obim kruga (dužina luka kružnice) ..................................................................... 105

6.5.3 Elipsa ...................................................................................................................... 106

6.5.3.1 Jednačina elipse ................................................................................................... 108

6.5.3.2 Jednačina tangente u tački elipse ........................................................................ 110

6.5.3.3 Uslov da pravac bude tangenta elipse ........................................... 111

6.5.3.4 Površina elipse..................................................................................................... 112

6.5.4 Hiperbola ................................................................................................................ 114

6.5.4.1 Jednačina hiperbole ............................................................................................. 115

6.5.4.3 Uslov da pravac bude tangenta hiperbole ..................................... 118

6.5.4.4 Konstrukcija hiperbole ........................................................................................ 120

6.5.5 Parabola .................................................................................................................. 121

MATEMATIKA

236

6.5.5.1 Jednačina parabole .............................................................................................. 121

6.5.5.2 Jednačina tangente u tački parabole .................................................................... 123

6.5.5.3 Uslov da pravac bude tangenta parabole .......................................................... 123

6.6 Površine i zapremine geometrijskih figura (stereometrija) ........................................... 124

6.6.1 Prizma..................................................................................................................... 124

6.6.2 Kocka ..................................................................................................................... 125

6.6.3 Kvadar .................................................................................................................... 127

6.6.4 Piramida ................................................................................................................. 128

6.6.5 Valjak ..................................................................................................................... 132

6.6.6 Kugla ...................................................................................................................... 133

6.6.7 Kupa ....................................................................................................................... 137

6.6.8 Zarubljena kupa ...................................................................................................... 139

6.6.9 Kuglina kapa .......................................................................................................... 141

6.6.10 Kuglin isječak ....................................................................................................... 144

7. Realne funkcije ................................................................................................................ 146

7.1 Linearna funkcija .......................................................................................................... 147

7.2 Kvadratna funkcija ........................................................................................................ 147

7.2.1 Grafik,tjeme i nultačke kvadratne funkcije ........................................................... 147

7.2.2 Tok kvadratne funkcije........................................................................................... 151

7.2.3 Znak kvadratne funkcije ......................................................................................... 151

7.2.4 Konveksnost i konkavnost kvadratne funkcije....................................................... 151

7.2.5 Pripadnost nultačaka datom intervalu .................................................................... 152

7.3 Eksponencijalna funkcija .............................................................................................. 154

7.4 Logaritamska funkcija .................................................................................................. 155

7.5 Trigonometrijske funkcije ............................................................................................. 158

7.5.1 Definicija trigonometrijskih funkcija na trigonometrijskoj kružnici ..................... 158

7.5.2 Definicija trigonometrijskih funkcija na pravouglom trouglu ............................... 159

7.5.3 Grafički prikaz trigonometrijskih funkcija:............................................................ 159

7.5.4 Parnost-neparnost i periodičnost trigonometrijskih funkcija: ............................... 161

7.5.6 Znak trigonometrijskih funkcija ............................................................................. 163

7.5.7 Trigonometrijski identiteti .................................................................................... 163

7.5.8 Adicione formule................................................................................................... 166

7.5.9 Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla: ......................................................... 170

MATEMATIKA

237

7.5.10 Trigonometrijske funkcije polovine ugla ............................................................. 171

7.5.11 Transformacije zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod .............. 172

7.5.12 Transformacije proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku ............... 173

7.6 Ciklometrijske funkcije ................................................................................................. 174

7.7 Hiperbolne funkcije ...................................................................................................... 176

7.8 Area funkcije ................................................................................................................. 179

8. Skupovi i operacije sa skupovima ................................................................................... 183

8.1 Skupovi, podskupovi i prazan skup .............................................................................. 183

8.2 Razlika skupova ............................................................................................................ 187

8.3 Presjek skupova ............................................................................................................ 188

8.4 Unija skupova ............................................................................................................... 188

8.5 Direktni proizvod dva skupa ......................................................................................... 189

8.6 Formalizacija ................................................................................................................ 190

8.7 Definisanje skupova (podskupova) svojstvima ............................................................ 192

8.8 Binarne relacije ............................................................................................................. 193

9. Granična vrijednost (limes) funkcije ............................................................................... 194

9.1 Tačka nagomilavanja, unutrašnja tačka, granična tačka skupa i limes funkcije ........... 194

9.2 Lijevi i desni limes ........................................................................................................ 194

9.3 Algebarska kombinacija limesa .................................................................................... 195

9.4 Broj e, odreĎeni i neodreĎeni oblici limesa .................................................................. 195

9.5 Neprekidnost funkcije ................................................................................................... 200

9.6 Asimptote funkcije (krivulje) ........................................................................................ 200

9.6.1 Vertikalna asimptota .............................................................................................. 202

9.6.2 Horizontalna asimptota .......................................................................................... 203

9.6.3 Kosa asimptota ....................................................................................................... 204

10. Izvodi (derivacije) funkcije ........................................................................................ 206

10.1 Algebarska kombinacija izvoda .................................................................................. 207

10.2 Izvod složene funkcije .......................................................................................... 210

10.3 Izvod inverzne funkcije............................................................................................... 211

10.4 Izvod implicitno zadane funkcije ................................................................................ 211

10.5 Logaritamski izvod ..................................................................................................... 212

10.6 Lopitalovo pravilo ....................................................................................................... 212

10.7 NeodreĎeni oblici ........................................................................................................ 213

MATEMATIKA

238

10.8 Tablica izvoda i dokazi ........................................................................................ 214

11. Integrali ........................................................................................................................ 220

11.1 NeodreĎeni integral i računanje integrala ................................................................... 220

11.1.1 Metoda supstitucije .............................................................................................. 221

11.1.2 Metoda parcijalne integracije ............................................................................... 221

11.1.3 Tablica neodreĎenih integrala i dokazi ................................................................ 222

11.2 OdreĎeni integral i računanje ...................................................................................... 227

11.2.1 Teorem o srednjoj vrijednosti .............................................................................. 229

11.2.2 Netwon-Lajbincova formula ................................................................................ 231

11.2.3 Smjena promjenjivih u odreĎenom integralu ....................................................... 232

11.2.4 Parcijalna integracija u odreĎenom integralu ....................................................... 232

11.2.5 Primjena odreĎenog integrala............................................................................... 233