n c3 Bameros 20complejos Sucesiones Series 20funciones 20de 20una 20y 20varias 20variables 131020140624 Phpapp02 (1)

EJERCICIOS RESUELTOS:

Nmeros Complejos

Matemticas 11

Elena lvarez Siz

Dpto. Matemtica Aplicada y C. Computacin

Universidad de Cantabria

Profesora: Elena lvarez Siz

Ejercicios: Nmeros Complejos Ingeniera de Telecomunicacin

Fundamentos Matemticos I

2

Interpretacin geomtrica de la suma y el producto

1 Si 1z y 2z son complejos, qu representa el nmero 1 2

2

z z+. Cul es el lugar geomtrico de los puntos

1 2z z + si y son reales y verifican 1 + = ?

Solucin:

Grficamente el afijo del nmero complejo

1 2 1 2 1 2

2 2 2

z z x x y yi

+ + += +

representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del nmero

complejo 1 2z z+

Los puntos de la forma 1 2z z + son los puntos de la recta

( ) ( )1 2 1 2 1 2 11z z z z z z z + = + = +

es decir, la recta que pasa por 1z y cuyo vector director es 2 1z z .

2 Demustrese que si los puntos 1z , 2z , 3z son los vrtices de un tringulo equiltero, entonces:

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + +

3 1

2 1

arg( )

3 13 1 3arg( )

2 1 2 1

i z zi

i z z

z z ez ze

z z z z e

pi

= =

( )

( )

1 2

3 1

arg1 21 2 3

arg3 2 3 2

i z zi

i z z

z z ez ze

z z z z e

pi

= =

ya que

( ) ( )3 1 2 1arg arg 3z z z z

pi = +

Profesora: Elena lvarez Siz S

Ingeniera de Telecomunicacin

Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Nmeros Complejos

3

( ) ( )3 2 1 2arg arg3z z z z

pi + =

Por lo tanto,

3 1 1 2 2 2 23 1 3 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2

2 1 3 2

z z z zz z z z z z z z z z z z z

z z z z

= + = +

2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z + + = + +

Veamos si es cierto o no el recproco, es decir, veamos si es cierto que dados 1z , 2z , 3z son

los tres diferentes verificando 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + + entonces forman un

tringulo equiltero.

Se realiza la traslacin del triangulo llevando zo al origen: * 1z z z= . Los nmeros son

ahora:

{ } { }* *2 1 3 1 2 30, , 0, ,z z z z z z =

Entonces, la igualdad 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + + se transforma en

* * *2 *22 3 2 3z z z z= +

despejando

( )

*3

*2 * * *2 * * *2 *23 2 3 2 3 2 2 2

10 4

2resolvemosla ecuacinde segundo

grado en z

z z z z z z z z + = = +

( )* * * * *3 2 2 3 21 1 1

3 32 2 2

z z i z z z i = =

Esto significa que *3z es *2z girado

3

pi radianes (60 grados) y como

1 13 1

2 2i = se tiene

que * *3 2z z= . Por lo tanto, { }* *2 30, ,z z forman un tringulo equiltero lo que significa que

{ } { }* *1 2 1 2 1 1 1 2 3, , , ,z z z z z z z z z+ + = .

3 Un triangulo equiltero tiene su centro en el origen y un vrtice en el punto (1,0). Determinar los otros

dos vrtices.




4

Los ngulos que forman dos lados de un tringulo equiltero son de 3

pi radianes, luego hay que

avanzar 2

2 3 3

pi pi pi+ = . Por lo tanto, como uno de los vrtices es 21 1

iz e pi= = , se tiene que

2 22 3 3

2

2 2 1 3cos

3 3 2 2

i iiz e e e isen ipi pi

pi pi pi = = = + = +

2 2 42 3 3 3

3

4 4 1 3cos

3 3 2 3

i i iiz e e e e isen ipi pi pi

pi pi pi = = = + =

son los otros dos. En forma binmica

3 31 1(1, 0), , , ,2 22 2

Otra forma: Poda haberse resuelto el problema observando si los afijos de 1z , 2z , 3z forman

un tringulo equiltero entonces

1 2 3z z z= =

y el ngulo entre 10z

y 20z

es el mismo que entre 20z

y 30z

y el mismo que entre 20z

y

10z

. Por esta razn los tres vrtices son las tres races cbicas de la unidad. En efecto,

22 4

3 03 3 31 2 31 0,1,2 , ,

ki i iie k z e z e z e

pipi pi

= = = = =

Coordenadas complejas conjugadas

4 Hllese la ecuacin de la circunferencia

2 2( ) 2 2 0a x y bx cy d+ + + + =

en funcin de las coordenadas complejas conjugadas (es decir, en funcin de z y de su conjugado)

Sea z x iy= + y z x iy= entonces

22 2

2 2

z z z zx y x y z z z

i

+ = = + = =

Sustituyendo en la ecuacin dada de la circunferencia




5

( ) 2 2 0 02 2

z z z za z z b c d az z bz bz ciz ciz d

i

+ + + + = + + + + =

( ) ( ) 0azz z b ci z b ci d + + + + =

Mdulo

5 Indicar si es correcto o falso el enunciado siguiente, razonando la respuesta:

Sean 1 2,z z de mdulo 1, entonces

1 2 1 22z z z z+ = =

Como 1 2,z z de mdulo 1, llamando ( )1arg z = y ( )2arg z = en forma

exponencial sern 1iz e = y 2

iz e = . Luego,

( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z z z+ = + + = + + =

1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 12z z z z z z z z z z z z= + + + = + +

En consecuencia,

( )1 2 2 11 2 1 2 2 1 1 22 2 4 1 Re 12z z z z

z z z z z z z z+

+ = + + = = =

( )( ) ( )Re 1 cos 1 2ie k pi = = = +

y, por tanto, como 1iz e = y 2

iz e = la ltima afirmacin es lo mismo que decir,

1 2z z= .

La implicacin en el sentido es trivial ya que

si 1 2z z= entonces 1 2 12z z z+ = , y, por tanto 1 2 12 2z z z+ = =

Otra forma.- Tambin puede realizarse la demostracin simplemente operando en forma

binmica. Teniendo en cuenta que 1z y 2z son de mdulo unidad su representacin es




6

1 2cos cosz isen z isen = + = +

se cumplir

( ) ( )2 2

1 22 cos cosz z sen sen = + = + + +

operando,

2 2 2 22 cos cos 2 cos cos 2sen sen sen sen = + + + + + =

( ) ( )2 2 cos cos 2 1 cossen sen = + + = +

Luego,

( )2

1 2 1 22 4 1 cosz z z z = + = + =

1 2

1 2

1

2 2por hiptesisz z

k k z z pi pi

= =

= = + =

y, por tanto 1 2z z= .

6 Dos nmeros complejos no nulos son tales que 1 2 1 2z z z z+ = . Probar que 1

2

z

zes imaginario.

Mtodo 1.- Por hiptesis,

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z+ = + =

( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2z z z z z z z z + + =

1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2z z z z z z z z z z z z z z z z + + + = +

( ) ( )1 2 2 1 1 22 0 Re 0z z z z z z + = =

luego

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 2 12 2

1 1 1 1 1

Re Im Imz z i z z z zz z zi

z z z z z

+= = =

donde se ha aplicado que ( )1 2Re 0z z = y, por tanto, 12

z

zes imaginario.




7

Mtodo 2.- Sea

1 2z a bi z c di= + = +

( )( )( )( )

2

2 2 2 2 2 21

( )(1)

ca db i da cbc di a biz ca db da cbi

z a bi a bi a b a b a b

+ + + + = = = +

+ + + +

Por otro lado, por hiptesis

1 2 1 2z z z z+ =

luego,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2( ) ( ) ( )a c i b d a c i b d a c b d a c b d+ + + = + + + + = +

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2a c ac b d bd a c ac b d bd + + + + + = + + +

4 4ac bd ac bd = =

Finalmente, sustituyendo en (1)

2

2 21

z da cbi

z a b

=

+

que demuestra que es un nmero imaginario puro.

7 Calcular el valor de a y b para que 3 2

4 3

b ai

i

sea real y de mdulo unidad

Operando

(3 2 )(4 3 ) 12 8 9 6 12 6 9 8

(4 3 )(4 3 ) 16 9 25 25

b ai i b ai bi a b a b az i

i i

+ + + + = = = +

+ +

Si se quiere que sea real

9 8 80 9 8 0

25 9

b a ab a b

= = =

Si adems es de mdulo uno

12 6 96 21 12 6 25 6 25

25 9 3

b a ab a a a

+= + = + = =




8

Luego, los valores pedidos son

2 4

3 3a b= =

Lugares geomtricos

8 Describir los conjuntos de puntos del plano determinados por las siguientes ecuaciones

(a) 2 1z i

Sea z a bi= + entonces 2 ( 2)z i a b i = + , se cumplir

2 2 2 22 1 ( 2) 1 ( 2) 1z i a b a b + +

El conjunto buscado es el interior del crculo de centro (0,2) y radio 1.

(b) 2 3z z >

Seaz x iy= + entonces 2 ( 2)z x iy = + y 3 ( 3)z x iy = + , sus mdulos

2 2 2 22 ( 2) 3 ( 3)z x y z x y = + = +

y por tanto,

2 2 2 22 3 ( 2) ( 3)z z x y x y > + > +

2 2 2 2 54 4 9 6 2 52

x x y x x y x x + + > + + > >

La solucin es el conjunto

{ }/ 5 / 2, ,R x i y x x y= + >

(c) 1 3 10z z + + =

Forma 1: Por definicin de elipse se trata de una elipse de focos los puntos 1 y =3 y semieje

mayor 5




9

Forma 2: Sea z x iy= + , entonces 1 ( 1)z x iy = + , 3 ( 3)z x iy+ = + + , luego

( ) ( )2 22 21 3 10 1 3 10z z x y x y + + = + + + + =

Pasando una de las races al segundo miembro y elevando al cuadrado

( ) ( )2

2 22 21 10 3x y x y

+ = + +

( )22 2 2 2 21 2 100 ( 3) 20 3x x y x y x y+ + = + + + + +

( )2 28 108 20 3x x y = + +

( )2 22 27 5 3x x y+ = + +

Elevando nuevamente al cuadrado,

( ) ( )( )2 2 22 27 25 3x x y+ = + +

2 2 2 2 2 24 27 108 25( 3) 25( 9 6 )x x x y x x y+ + = + + = + + +

2 221 42 25 504x x y+ + =

Completando cuadrados

2 221( 2 ) 25 504x x y+ + =

( )2 221 ( 1) 1 25 504x y+ + =

2 221( 1) 25 525x y+ + =

Se trata de la elipse

2 22 2

2

( 1) ( 1)1 1

525 525 21521 25

x xy y+ ++ = + =

(d) 4z z >

Sea z x iy= + , z x iy= entonces

( )( )22 24 4 2z z x iy x iy x y z z> + = + = > >

Luego 4z z > es la regin del plano exterior de la circunferencia de centro (0,0) y radio 2.




10

(e) 3 4z i =

Sea z x iy= + , 3 ( 3)z i x i y = + entonces

2 23 4 ( 3) 16z i x y = + =

Se trata de la circunferencia de centro (0,3) = 3i y radio 4.

(f) 1, Im 0z z< >

Se trata del conjunto

{ }2 2/ 1 , 0x iy x y y+ + < >

es decir, del interior del semicrculo superior de radio 1.

(g) 2

2 1z z+ =

Sea z x iy= + , z x iy= , entonces

64 2 4 2 2

6

1 31 1 0

2

i

i

eiz z z z z

e

pi

pi

+ = + = = =

Luego:

12

6

12

12

6

12

i

i

i

i

i

i

ee

ez

ee

e

pi

pi

pipi

pi

pi

pipi

+

+

= = =

9 Consideremos el nmero complejo:

1

2 cosz x iy

t isent= + =

+ +

Probar que cuando t varia en los numeros reales, z se mueve sobre la circunferencia cuyo dimetro es el

segmento que uno los puntos (1/3,0),(1,0).




11

Calculamos en primer lugar la expresin de x y de y en funcin de t . Multiplicando por el

conjugado del denominador

1(2 cos )

(2 cos )(2 cos )

t isent

t isent t isent

+ =

+ + +

2 2 2 2

2 cos 2 cos

5 4 cos 5 4 cos(2 cos ) 4 cos 4 cos tt sent t sent

i it tt sen t t t sen

+ += =

+ ++ + + +

Luego

2 cos

5 4 cos 5 4 cos

t sentx y

t t

+ = =

+ +

Para comprobar que ( ),x y est en la circunferencia de centro ( ),a b y radio r basta verificar

que ( ) ( )2 2 2x a y b r + = . En nuestro caso ( )

2, , 0

3a b

= y

1

3r = . Es evidente que

cualquier punto de la forma

2 cos,

5 4 cos 5 4 cos

t sent

t t

+ + +

cumple la ecuacin de la circunferencia. En efecto,

2 222 2 cos 2

3 5 4 cos 3 5 4 cos

t sentx y

t t

+ + = + = + +

( )

( )

22

2 2

6 3 cos 10 8 cos

(5 4 cos )9 5 4 cos

t t sen t

tt

+ = + =

++

( )

( )

2 2 2 2

2 2

4 5 cos 9 16 25 cos 40 cos 9

9(5 4 cos )9 5 4 cos

t sen t t t sen t

tt

+ + + += = =

++

22

2

25 16 cos 40 cos 1 1

9 39(5 4 cos )

t t

t

+ + = = = +




12

Potencias de exponente natural

10 Escribir en forma binmica el complejo:

1 cos

1 cos

nx isenx

zx isenx

+ + = +

Mtodo 1.- Sea

1 1 cos 12 2

ix ix ix ixe e e ez x isenx i

i

+ = + + = + + =

2 21 11 1

2 2

ix ixix

ix ix

e ee

e e

+ = + + = +

1 1 cos 12 2

ix ix ix ixe e e ez x isenx i

i

+ = + = + =

2 21 11 1

2 2

ix ixix

ix ix

e ee

e e

+ = + = +

Por lo tanto,

( )( )

1

1

11

1 1

nn n ix ixixinx

ix ix

e ez ez e

e ez

+ + = = = = + +

Mtodo 2.- Sea

1 11 cos 1 cosz x isenx z x isenx= + + = +

entonces

1 11 1

11 1 1

n n nn

n nn

z zz zz

z z z z

= = =

Si consideramos que en forma exponencial la expresin de 1z es irese tiene

( ) ( )2 22

1 1 1

2 2 2

1 1

cos cos2 2nn n nn

n n n nn

z z r isen r n isen nzz

r r rz z

+ + = = = =




13

Simplificando,

cos2 2z n isen n = +

Para obtener la expresin en funcin de x se considera que

2

2

1 cos 1 cos

1 cos 1 cos 2 2(1 cos )

senx x x x xarctg arctg arctg arctg tg

x xx

= = = = = + ++

donde se ha utilizado

2 21 cos 2 1 cos 2 cos2 2

x xx sen x = + =

Por lo tanto,

1

1

cos2 2 cos

n

zz n isen n nx isen nx

z

= = + = +

11 Sabiendo que 1

2cosz tz

+ = , t , z , hallar lo ms simplificado posible 1nn

zz

+

Se tiene que

( )2 21

2 cos 1 2 cos 2 cos 1 0z t z z t z t zz

+ = + = + =

2 21(2cos 4 cos 4 cos cos 1 cos2

z t t t t t isent = = =

Por lo tanto, cosnz nt isennt= . Por otro lado,

2 2

1 1 cos 1cos cos

cos cos nt isent

t sent tn sentnz t isent t sen t z= = = =

+

La expresin que nos piden simplificar ser

1 1cos cos 2 cosn n

n nz nt isennt nt isennt z nt

z z+ = + + =




14

Races ensimas

12 Calcular 61 3z i=

Calculando su mdulo y argumento

( )

1 3 2

3arg

1 3

r z

z arctgpi

= = + =

= = =

se tiene que sus races sextas son:

236

6 2 0,1,2, 3, 4,5kk

z kpi pi +

= =

13 (a) Demuestre que la suma de las races n-simas de la unidad es cero.

(b) Demuestre que el producto de las races n- ensimas de la unidad es 1 1.

(a) Las races n- ensimas de la unidad son de la forma:

2

0,1,..., 1k

in

kz e k n

pi

= =

Por tanto,

2 2 4 11 12

0 0

1nn n

i i i in n n n

k

k k

z e e e e

pi pi pipi

= =

= = + + + +

Esto es la suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica de razn 2ine

pi

y

primer termino 1, es decir,

1 2

20

10

1

n i

kikn

ez

e

pi

pi

=

= =

(b) Considerando ahora el producto,

1

0

22 4 12 4 11 0 ... 22

0

1 * * * .... *

n

k

nnn i ki i ii i inn n nn n n

kk

z e e e e e

pipi pipi pi pipi

=

+ + + +

=

= = =




15

como, 1

0

( 1)

2

n

k

n nk

=

= se tiene

1( 1)

0

1

1

nn i

kk

si n parz e

si n imparpi

+

=

= =

Logaritmos complejos

14 De entre todas las races n-simas del complejo 1 3i+ . Hay alguna raz cuyo logaritmo principal sea

real?

Calculamos en primer lugar 1 3n i+ . Por definicin, n z son los nmeros complejos

de mdulo: n r

de argumento: 2

n

pi+con 0,1,2,...( 1)k n= ;

En este caso 1 3z i= + , luego

( )2

1 3 2r = + =

33 21 1 3

2

arctg arctgpi

= = = .

Por tanto, 1 3n

i+ tendr

por mdulo: 2n

por argumento: 2

3n

pi pi+con 0,1,2,...( 1)k n=

es decir,

23

2k

n

n

kz pi pi+= con 0,1,2,...( 1)k n=

2 23 32 cosn

k

k kz isen

n n

pi pipi pi + + = +

con 0,1,2,...( 1)k n=




16

Teniendo en cuenta que el logaritmo principal de kz es

( )log ln argk k kz z i z= +

se cumplir que

( )log arg 0k kz z =

es decir,

2 13 30 2 03 2 6

kk k

n

pi pipipi pi

pi

+= + = = =

Como los valores posibles de k son 0,1,2,...( 1)n entonces la pregunta planteada sobre si

hay alguna raz cuyo logaritmo principal sea real tiene por respuesta que no existe ninguna

raz cuyo logaritmo principal sea real.

15 Calcular el siguiente nmero complejo: 2 1log

1

iz

i i

+ =

Como

(1 )(1 )1

1 (1 )(1 )

i iii

i i i

+ ++= =

+

log 22

i k ipi

pi = +

El valor pedido es:

2log 4z i k ki

pi pi= = +

16 Dado loga bi + = siendo tal que 1 3i

+ es real y el mdulo de es la unidad. Hallar a bi+ .

Se considera c di = + cumpliendo 2 2 2 1c d = + = . Se cumplir que




17

1 31

ri

= + =

( )( )( )( )

2 2

1 3

1 3 1 3

1

c di ir

i i

c d

+ = + + =

( ) ( )2 2

2 2

3 33 0

4 11

c d i c dc dr

c dc d

+ + + + = = + = + =

1 2

1 3 1 3 1 3

2 2 2 2 2 2c d i i = = = + =

Luego

23

21log ln 2 , 0,1

6

ki

e k k i k Z k

pi pi

pi pi pi

+ = = + + =

2 232

2log ln 2 , 0,13

ki

e k k i k k

pi pi

pi pi pi

+ = = + + =

Observacin: Puede ser interesante considerar la expresin de de la forma:

cosite t isent = = + ya que al tener mdulo uno quedar perfectamente determinado si se

conoce ( )arg t = .

17 (a) Escribir la forma binmica y exponencial el nmero complejo 1 2

xiz

i=

+ dando x = (numero de

lista del alumno en clase) + 1000

(b) Calcular log log1 2

xiz

i

= +

Supongamos que 121 1000 1121x = + =

( )( )( )

1121 4*28 1 1 2 2 2 1

1 2 3 31 2 1 2 1 2 1 2 1 2

i ii i i iz i

i i i i i

+ += = = = = = +

++ + + +

En forma exponencial z se expresar




18

221 2 1 3

3 3 3 33133

23

i

z

z e ya que

arctg

= + = = = =

Calculamos su logaritmo

2 1log log log

3 31 2

xiz i

i

= = + = +

3 1ln 2

3 2i arctg k kpi = + +

La rama principal se obtiene para 0k =

3 1log ln

3 2z i arctg

= +

Potencias complejas

18 Sea z un nmero complejo de representacin binmica z = a + bi y consideramos la potencia ( )1zi+ .

Se pide, para cada una de las condiciones siguientes el conjunto de todos los complejos que la cumplen y un

ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )log 2 2log 1 log 1 41x iy k iz z i x iy i

i e e epi pi+ + ++ + +

+ = = = =

( ) log 2 2log 2 2 44

y x k ix y ke e k

pipipi pi

+ + + =

A - Que la potencia tenga algn valor real.

log 2 2 0 log 2 2 4 4

sen y x k y x k k kpi pi

pi pi pi + + = + + =




19

log 2,

24

k yx k k

k

pi

pipi

=

+

Basta dar valores a y, k y kpara obtener x. En esos casos z x i y= + verificara que su

potencia tiene algn valor real.

B Que la potencia tenga resultado nico.

Si x es entero, 0y = el resultado es nico.

log 2 cos4 4

x x xe isenpi pi +

C Que la potencia tenga slo un nmero finito de resultados

Si /x p q= e 0y = slo hay q resultados correspondientes a 0,1,2,..., 1k q= .

D Que la potencia tenga todos los resultados con el mismo modulo

log 2 24 0

x y k

e cte y

pipi

+ = =

E Que la potencia tenga todos los resultados con el mismo argumento.

log 2 24

y x k cte xpi

pi + + =

19 Calcular 2 2log (1 )i i +

Aplicando la definicin

( )( )

2 2

ln 2 2log(1 ) 4log (1 )log(2 2 ) ln2 2 2 '

4

i

k iii

i k i

pi pi

pi pi

+ +++ = = =

+ +

( ) ( )

( ) ( )22

2 2 2 2 2 '4 4

2 2 2 '4

m k i m k i

m k

pi pipi pi

pi pi

+ + + =+ +




20

siendo , k k

Polinomios

20 Hallar los nmeros complejos z tales que

2

2 2 9 0z z z z+ + + =

Sea z a bi= + debemos encontrar a y b de forma que:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 9 0a bi a bi a bi a bi+ + + + + =

2 2 2 22 2 2 4 2 9 0a b abi a b abi bi + + + + =

2 22 2 3 3 9 0(3 3 9) ( 2 2 ) 0

2 2 0

a ba b i ab b

ab b

+ = + + + = + =

Se distinguen dos casos:

Caso 1: 0b = , entonces por la primera ecuacin 2 3a = , esto es absurdo pues a y b son

nmeros reales.

Caso 2: 0b , entonces 1a = + , y sustituyendo en la primera ecuacin

23 12 2b b =

Luego los nmeros complejos son:

1 21 2 1 2z i z i= + + = +

21 Cuntas races tienen los polinomios? Puedes decir algo sobre el nmero de races reales? Por qu?

(a) ( ) 5 2( ) 2 2 3 2p x i x x i= + + +

5 races en . No se puede decir nada sobre las reales porque ( )p x no es un polinomio con

coeficientes en .




21

(b) 7 6( ) 2 3 2p x x x= + +

7 races en . Tiene al menos una real por ser el grado impar.

(c) 5 2( ) 3 3 2p x x x= + +

5 races en . Tiene al menos una real por ser grado impar.

(d) 7 6( ) 3 ( 2 2 ) 2p x x i x= + + +

7 races en . No se puede decir nada sobre las reales porque ( )p x no es un polinomio con

coeficientes en .

22 Si ( )F z es un polinomio con coeficientes reales y ( )2 3 1F i i+ = a qu es igual ( )2 3F i . Queda

determinada ( )F a bi conociendo ( )F a bi+ , si los coeficientes de ( )F z no son todos reales?

a) Sea 0 1( ) .... 0n

n nF z a a z a z a= + + + , entonces como sus coeficientes son reales

( )0 1 0 1( ) ... ... ( )n nn nF z a a z a z a a z a z F z= + + + = + + + =

luego,

(2 3 ) (2 3 ) 1 1F i F i i i = = = +

b) En el caso de que los coeficientes de ( )F z no sean todos reales no se determina el

valor de ( )F a bi conocido el de ( )F a bi+ . Por ejemplo, en el caso de 2( )F z iz=

2(2 3 ) (2 3 ) (4 12 9) ( 5 12 ) 12 5F i i i i i i i i+ = + = + = + =

2(2 3 ) (2 3 ) (4 12 9) ( 5 12 ) 12 5F i i i i i i i i = = = =

23 Hallar la relacin que deben verificar los coeficientes a , b , c , d reales para que las races de la ecuacin

2 ( ) ( ) 0z a bi c di+ + + + =

tengan el mismo argumento.

Sean 1z , 2z las races. Expresndolas en forma exponencial sern




22

1 1

2 2

i

i

z e

z e

=

=

Como,

2 21 2 1 2 1 2( )( ) ( ) ( ) ( )z z z z z z z z z z z a bi z c di = + + = + + + +

se cumple que 1 2z z c di= + y ( )1 2z z a bi+ = + . Por lo tanto,

21 2 1 2*

iz z c di e c di = + = +

1 2 1 21 2

1 2

( )( )

( )

ii

z z ee a bi

z z a bi

+ = + + = + = +

luego,

( )( )

1 2

1 2

1 2

1 2

cos2

2

cos

c

sen d

a

sen b

= = + = + =

De donde,

2d b

tg tgc a

= =

de relacionar la tangente del ngulo doble con la tangente se encontrar la relacin entre los

coeficientes. Como

2 2 2

2 2 cos 22

cos2 cos 1

sen sen tgtg

sen tg

= = =

Entonces 2 2 2

2

2 21

b

d aba

c b a ba

= =

La relacin buscada es

2 2

2 22

d absi a b

c a b=

Nota: Si en la solucin de algn ejercicio crees que hay algn error ponte en contacto con la

profesora para su correccin.

RESUMEN TEORA:

Sucesiones y Series

Matemticas 11

Elena lvarez Siz




Teora: Sucesiones y Series Ingeniera de Telecomunicacin


2

SUCESIONES EN

Prerrequisitos:

Desigualdades de nmeros reales

Conceptos generales de funciones: dominio, cotas, crecimiento,

Conocimiento de las propiedades de las funciones elementales: polinmicas,

racionales, exponenciales, logartmicas, trigonomtricas y del valor

absoluto.

Clculo de lmites, indeterminaciones y regla de LHopital

Clculo de derivadas y estudio del crecimiento de una funcin

Mtodos de demostracin: induccin y reduccin al absurdo.

Objetivos:

1. Tener claros los siguientes conceptos:

Qu es una sucesin

Sucesin acotada, sucesin montona, sucesin

convergente/divergente/oscilante

Relacin entre acotacin, monotona y convergencia de una sucesin

Propiedades de los lmites de sucesiones

rdenes de magnitud de una sucesin:

o Sucesiones del mismo orden

o Sucesiones equivalentes

o Sucesin de orden superior/inferior

2. Saber hacer:

Estudiar la convergencia de una sucesin



Fundamentos Matemticos I Teora: Sucesiones y Series

3

o Tcnicas de lmites

o Regla del sndwich o Teorema del encaje

o El producto de un infinitsimo por una sucesin acotada es un

infinitsimo

o Sucesiones recursivas

Determinar el orden de magnitud de una sucesin

Comparar el orden de infinitud de una sucesin

DEFINICIONES BSICAS

Dos sucesiones { }na y { }nb son iguales si n na b= para todo n .

Una sucesin admite una representacin en la recta real y en el plano:

Sucesiones montonas

Definiciones:

A) Una sucesin ( )na se denomina montona creciente si verifica:

1 2 3 na a a a




4

esto es si se cumple 1n na a n+

Si verifica 1n na a n+< , se llama estrictamente creciente.

B) Anlogamente, una sucesin ( )na se denomina montona decreciente si se cumple

1n na a n+

Si verifica 1n na a n+> , se llama estrictamente decreciente.

C) Una sucesin se denomina montona si es montona creciente o montona

decreciente.

Applet Laboratorio Sucesiones

Ejemplos :

La sucesin -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es montona.

La sucesin de trmino general ( 1)n

na

n

= tampoco es montona.

La sucesin de trmino general na n= es montona creciente y tambin

estrictamente creciente.

La sucesin 1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es montona creciente, pero no es


La sucesin de trmino general 2na n= es montona decreciente y es

tambin estrictamente decreciente.




5

La sucesin 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,

2 2 3 4 4 5 6 6 7 es montona decreciente, sin embargo

no es estrictamente decreciente.

Nota prctica:

En algunos casos, para probar que una sucesin es montona creciente

resulta til probar que 1 0n na a n+ y para sucesiones de

trminos positivos tambin se puede demostrar probando que se cumple:

1 1n

n

an

a

+

Anlogamente, para las sucesiones montonas decrecientes se probar que

1 0n na a n+ , o bien, si es de trminos positivos, que verifica

1 1n

n

an

a

+

Teniendo en cuenta que una sucesin es una aplicacin de los nmeros

naturales en los reales, para ciertas sucesiones, se puede utilizar tcnicas

de clculo diferencial para estudiar la monotona. Bastar considerar la

funcin resultado de cambiar n por x en el trmino general de la sucesin.

Si ( )na f n= y ( )' 0f x > (respectivamente ( )' 0f x < ) para ox n>

entonces na es creciente (respectivamente) para ox n> .




6


Sucesiones acotadas.

A) Decimos que un nmero real k es cota superior de la sucesin ( )na si verifica

na k n

Se denomina supremo a la menor de las cotas superiores. Si el supremo es un

trmino de la sucesin se denomina mximo.

Anlogamente, dicho nmero k ser cota inferior de la sucesin ( )na si verifica

nk a n

Llamamos nfimo a la mayor de las cotas inferiores. Si el nfimo es un trmino de

la sucesin se denomina mnimo.

B) Una sucesin ( )na decimos que est acotada superiormente si tiene alguna

cota superior. De forma anloga, diremos que la sucesin est acotada

inferiormente si tiene alguna cota inferior.




7

C) Una sucesin ( )na decimos que es acotada si est acotada superior e

inferiormente.


LMITE DE UNA SUCESIN

Decimos que el lmite de una sucesin ( )na es L, y lo escribimos as

limn n

a L =

o tambin

na L




8

si es posible conseguir que na L sea tan pequeo como queramos, sin ms que

asignarle a n valores tan grandes como sea necesario. Es decir,

0lim 0n n o na L existe N tal que a L n N = > < >

La definicin anterior significa que si queremos que los trminos de la sucesin se

alejen de L una distancia menor que , lo podemos conseguir para todos los

trminos posteriores a un cierto nmero natural N0. Cuanto ms pequeo sea

ms grande habr que tomar el valor de N0.

La definicin anterior se lee lmite cuando n tiende a infinito dena igual a L.

Tambin se puede escribir

limna L=

pues n slo puede tender a infinito.

Las sucesiones que tienen lmite se denominan convergentes.





9

Sucesiones divergentes:

La sucesin ( )na tiende a infinito ( ) si cualquiera que sea el nmero real k fijado,

por grande que este sea, podemos conseguir que los trminos de la sucesin superen

dicho valor sin ms que tomar valores de n mayores que un nmero natural N0.

Simblicamente esto puede escribirse as

0 0limn n na k N tal que a k n N = > >


La sucesin ( )na tiende a menos infinito ( ) si cualquiera que sea el nmero real k

fijado, por grande que este sea, podemos conseguir que los trminos de la sucesin

sean menores que k, sin ms que tomar valores de n mayores que un nmero

natural N0. Simblicamente esto puede escribirse as

0 0limn n na k N tal que a k n N = < >




10

Unicidad del lmite: Si la sucesin ( )na tiene lmite, finito o no, este es nico.

Demostracin:

Sea ( )na una sucesin convergente y supongamos que tiene dos lmites L1 y L2,

siendo L1 < L

2. A partir de un cierto valor n

0, todos los trminos de la

sucesin deben pertenecer, simultneamente, a los entornos

1 1 2 2( , ) ( , )L L y L L + +

lo cual es imposible en cuanto tomemos valores 2 12

L L

.

Sucesiones oscilantes

Existen otras sucesiones que no tienen lmite, pero tampoco tienden a infinito ni a

menos infinito. Veamos algunos casos

Ejemplos : La sucesin cuyos primeros trminos son los siguientes

1 1 11, , 3, , 5, , 7,...

2 4 6

Esta sucesin no es convergente, pero tampoco tiende a ni a . Los

trminos impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin

embargo, los trminos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice

que esta sucesin no tiene lmite o bien que su carcter es oscilante.

Ejemplos : La sucesin de trmino general ( 1)nna n= , cuyos primeros trminos

son:




11

-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...

Los trminos de esta sucesin tampoco se acercan a un nmero concreto.

Tienden a los trminos pares y tienden a los trminos impares. Por

tanto, tampoco tiene lmite.

Como conclusin, las sucesiones de los dos ejemplos anteriores se denominan

oscilantes.

Resumen: Las sucesiones se clasifican segn la existencia o no de lmite en los

siguientes tipos:

Convergentes

tienden a un nmero finito L

No convergentes

tienden a

Divergentes

tienden a -

Oscilantes

Propiedades de los lmites: Si lim nn

a a

= , y lim nn

a a

= con ,a b se cumplen las

siguientes propiedades:

(1) lim nn

a a

= (2) ( )lim nn

a a

=

(3) ( )lim n nn

a b ab

= (4) lim 0nn

n

a asi b

b b=




12

(5) ( )lim nb bnn

a a

= siempre que 00ba .

Indeterminaciones: 0

0

0 1 00 0

Teorema (Acotacin): Toda sucesin (an) convergente es acotada.

Demostracin:

Para demostrar que una sucesin est acotada, tenemos que demostrar que

est acotada superior e inferiormente.

Si la sucesin (an) es convergente, tomamos =1, entonces todos los trminos

de la sucesin pertenecen, a partir de uno de ellos, al entorno (L- , L+ ); en

consecuencia. Consideramos el valor ms pequeo de los trminos de la

sucesin que no estn en ese intervalo y de L- Si llamamos m a ese valor

todos los trminos de la sucesin sern mayores que m.

Consideramos M el valor ms grande de los trminos de la sucesin que no

estn en el intervalo (L- , L+ ) y el valor L- , es fcil ver que todos los

trminos de la sucesin son menores que M.

En conclusin, la sucesin (an) est acotada, ya que hemos encontrado una

cota inferior (m) y una cota superior (M) de dicha sucesin.

Observacin: El recproco del teorema anterior no es cierto: la sucesin 1, 2, 1, 2, 1,

2,... es acotada y, sin embargo, no es convergente.




13

Teorema (Weierstrass): Toda sucesin montona y acotada es convergente. Toda

sucesin montona y no acotada es divergente.

Convergente Acotada

Divergente No acotada

(No son ciertos los recprocos)

Convergente Acotada y Montona

Divergente No acotada y Montona

(No son ciertos los recprocos)

Nmero e

El nmero e es un nmero irracional de gran importancia en matemticas

superiores. Podemos definirlo como el lmite de la sucesin 1

1n

n

+ .

Puede probarse que esta sucesin es montona y acotada por lo que aplicando el

teorema de Weierstrass se concluye que es convergente. El valor al que converge

es el nmero e.

Se trata de un nmero irracional cuyas diez primeras cifras decimales son:

27182818284

CLCULO DE LMITES

Propiedades de los lmites de sucesiones reales

Si lim nn

a a

= , y lim nn

a a

= con ,a b se cumplen las siguientes propiedades:




14

(1) lim nn

a a

= (2) ( )lim nn

a a

=

(3) ( )lim n nn

a b ab

= (4) lim 0nn

n

a asi b

b b=

(5) ( )lim nb bnn

a a

= siempre que 00ba .

Indeterminaciones

0

0

0 1 00 0

Criterios de comparacin

Teorema del encaje: Sean { }1n n

a

=y { }

1n nb

= dos sucesiones convergentes al mismo

nmero real L entonces si se tiene otra sucesin { }1n n

x

= verificando

n n na x b para todo ndice n salvo un nmero finito (es decir para todo n a partir

de un cierto ndice N) entonces la sucesin { }1n n

x

= tambin converge a L.

Teorema: Si { }1n n

a

=es una sucesin divergente a infinito y para todo ndice n salvo

un nmero finito se verifica n na b entonces { } 1n nb

= tambin es divergente a

infinito.

Infinitsimos e infinitos equivalentes

Definicin (Infinitsimo).- Se dice que na es un infinitsimo si lim 0nn

a

=

Definicin (Infinito).- Se dice que na es un infinito si lim nn

a

=




15

PROPIEDADES DE LOS INFINITSIMOS

1) La suma de un nmero finito de infinitsimos es un infinitsimo.

2) Se verifica lim 0 lim 0n n n n

a a = = .

3) Si ( )na es un infinitsimo y ( )nb es una sucesin acotada superiormente en

valor absoluto, entonces, la sucesin producto de ambas ( )n na b es convergente y

se cumple

lim 0n n n

a b =

Definicin (Sucesiones del mismo orden y asintticamente equivalentes).-

- Se dice que na y nb infinitsimos (infinitos) son del mismo orden si

lim nn

n

ak

b= con { }0k .

- En el caso particular de que k=1 se dicen asintticamente equivalentes.

Notacin.- Cuando na y nb infinitsimos (infinitos) son del mismo orden se

escribe ( )n na b= .

PRINCIPIO DE SUSTITUCIN.- El lmite de una sucesin convergente o

divergente no se altera al sustituir uno de sus factores o divisores por otro

asintticamente equivalente.




16

INFINITESIMOS EQUIVALENTES INFINITOS EQUIVALENTES: Si n

( )1 log 1n n na entonces a a ! 2n nn e n npi

(Frmula de Stirling)

( )0 log 1n n na entonces a a + 11 1...p p pp p o pa n a n a n a a n+ + + +

( ) log0 1n aa entonces an

> ( ) (11 1log ... logp p pp p o pa n a n a n a a n+ + + +

0n n na entonces sena a 1

1 2 31

kk k k k nn

k

++ + + +

+

0n n na entonces tg a a

0n n n na entonces a arcsena arctg a

2

0 1 cos2n

n n

aa entonces a

Definicin (Infinitsimos e infinitos de orden superior).- Se dice que na es un

infinitsimo de orden superior respecto de nb que nb es un infinito de orden

superior respecto de na , segn se trate de infinitsimos o infinitos, si

lim 0nn

n

a

b= .

Potencial-exponencial

Factorial

Exponencial

Potencial

Logaritmo

a nn

(a>0)

n!

bn

(b>1)

nc

(c>0)

(log

q n)p

(q>1, p>0)

Tabla.- El orden de los infinitos disminuye de izquierda a derecha




17

CRITERIO DE STOLZ

Si

{ }1n n

a

=y { }

1n nb

= son infinitsimos siendo montona

{ }1n n

b

= es divergente

En el caso de que exista el siguiente lmite 11

lim n nn

n n

a a

b b

entonces:

1

1

lim limn n nn n

n n n

a a a

b b b

=

Consecuencias:

1 2...

lim limnn

n n

a a aa

n

+ + += (Criterio de la media aritmtica)

1 2lim ... limn

n nn n

a a a a

= (Criterio de la media geomtrica)

Lmites de expresiones racionales

Si se trata de una sucesin cociente entre expresiones polinmicas, as 1 2

0 1 2

1 20 1 2

p p pp

n q q qq

a n a n a n aa

b n b n b n b

+ + + +=

+ + + +

se resuelve dividiendo numerador y denominador por nk , siendo k el grado del

polinomio de menor grado. En resumen, se cumple que:

Si p>q, limn na = (depende de los signos de a0 y b0)

Si p=q, 00

limn n

aa

b =

Si p < q, lim 0n na =




18

Esta regla dice que el valor del lmite lo marca el trmino de mayor grado de ambos

polinomios.

Lmites de expresiones irracionales

Se resuelven multiplicando y dividiendo por la expresin radical conjugada.

Lmites de la forma 0 0, 0 , 1

Para calcular este tipo de lmites se puede tomar logaritmos, de tal forma

que:

lim logloglim lim n nn n n nb ab b a

nn n

a e e

= =

Observacin: En el caso particular de que la indeterminacin sea del tipo 1 se

cumple que lim 1nn

a

= y lim nn

b

= luego,

( )lim log lim 1lim n n n nn n n

b a b abn

na e e

= =




19

SERIES EN

Prerrequisitos:

Conceptos sobre sucesiones vistos en el tema anterior

Clculo de primitivas inmediatas

Objetivos:

1. Tener claros los siguientes conceptos:

Serie y suma parcial ensima

Convergencia, divergencia de una serie

Orden de magnitud de la suma parcial ensima

Suma aproximada de una serie

2. Saber hacer:

Reconocer las series geomtricas y determinar su carcter

Reconocer las series armnica generalizada y determinar su carcter

Estudiar la convergencia de series de trminos positivos mediante los

criterios del cociente y de la raiz

Estudiar la convergencia de series alternadas con el criterio de Leibniz

Estudiar la convergencia de series de trminos cualesquiera mediante la

convergencia absoluta

Hallar la suma aproximada de una serie con una cota del error prefijada




20

Sumas infinitas

Ejemplo 1: Imagina un cuadrado de lado unidad y considera la suma de las reas

coloreadas

1 1 1....

2 4 8+ + +

A la vista de la figura cul crees que es el valor de su suma?

Ejemplo 2: Cunto es el rea de color amarillo?




21

Tambin puedes pensar en el rea de los tringulos naranjas del dibujo siguiente:

Ejemplo 3: Imagina el nmero 1 / 3 se escribe en forma decimal peridico como

1 / 3 0,3= donde se entiende que el 3 se repite infinitas veces. Es decir,

1 / 3 0, 3 0,03 0, 003 0,0003 ....= + + + +

que abreviadamente podemos poner como:

( )1

1 / 3 3 0,1n

n

=

=

pero, qu significa exactamente la suma infinita? Est claro que no podemos sumar

infinitos nmeros. Esta expresin significa que si se suma ms y ms trminos, la

suma se va aproximando cada vez ms a 1 / 3 .

Definiciones

Dada una sucesin infinita de nmeros reales { }na se define:

1 21

... ...n n

n

a a a a

=

= + + + +

Su suma parcial n-sima es:

1 2 ...n nS a a a= + + +




22

Consideramos la sucesin de sus sumas parciales: { }1n n

S

=se tendr:

Si { }1n n

S

= es convergente entonces la serie

1n

n

a

= es convergente.

Adems

1

limn n

nn

a S S

=

= =

Se dir entonces que S es la suma de la serie.

Si { }1n n

S

= es divergente entonces la serie

1n

n

a

= es divergente

Si { }1n n

S

= es oscilante entonces la serie

1n

n

a

= es oscilante.

El resto n-simo de la serie 1n

n

a

= es:

1 21

...n n n n k

k

R a a a

+ + +=

= + + =

Es fcil ver que:

1k n n

k

a S R

=

= +

Propiedades de las series

Propiedad 1: Si a una serie se la suprime o aade un nmero finito de trminos su

carcter no se ve alterado.




23

Propiedad 2: Si 1n

n

a

= y

1n

n

b

= son convergentes y convergen respectivamente a los

nmeros reales A y B entonces:

( )1 1 1n n n n

n n n

a b a b A B

= = =

= =

1 1n n

n n

a b A B

= =

= observar que ( )

1 1 1n n n n

n n n

a b a b

= = =

( )1 1

n nn n

a a A

= =

= =

Propiedad 3 (Condicin necesaria de convergencia): Si 1n

n

a

= es convergente

entonces lim 0nn

a

= .

IMPORTANTE.- Se trata de una condicin necesaria pero no suficiente. La serie

0

1

n n

= cumple la condicin necesaria de convergencia y, sin embargo, es divergente.

SERIES NOTABLES

Serie geomtrica: 0

0n

n

ar a

=

. Se cumple:

Si 1r < la serie converge y adems 0 1

n

n

aar

r

=

= . En

general 1

k

n

n k

a rar

r

=

= .

Si 1r > la serie diverge.




24

Serie armnica generalizada: 1

10

pn

pn

=

> . Se cumple:

Si 0 1p< la serie diverge

Si 1p > la serie converge.

CONVERGENCIA DE SERIES DE TRMINOS NO NEGATIVOS

Una serie de trminos no negativos o bien converge o bien diverge ya que la sucesin

de sus sumas parciales es montona.

1 1n n n n

no negativo

s S a S+ += +

Suma parcial n-sima

En general para una funcin continua f decreciente y positiva en )1, se verifica

( ) ( ) ( ) ( )11 1

1n nn

k

f x dx f k f f x dx=

< < +




25

Por lo tanto la sucesin ( )1

n

k

f k=

verifica que

( ) ( ) ( ) ( )11 1

1n nn

k

f x dx f k f f x dx=

< < +

Si la funcin es continua, creciente y positiva en )1, se verifica

( ) ( ) ( ) ( )11 1

n nn

k

f x dx f k f x dx f n=

< < +

Criterio integral

Si f es positiva, continua y decreciente para 1x y ( )na f n= entonces:

( )11n

k

f x dx y a

=

tienen el mismo carcter.

Criterio de comparacin

Si 1n

n

a

= , y

1n

n

b

= son series de trminos positivos verificando

n na b para todo n salvo un nmero finito

entonces:

(a) Si 1n

n

b

= es convergente entonces

1n

n

a

= tambin es convergente

(b) Si 1n

n

a

= es divergente entonces

1n

n

b

= tambin es divergente.




26

Criterios de comparacin por paso al lmite

Se consideran las series 1n

n

a

= y

1n

n

b

= . Entonces

(a) Si 0

lim nn

n

a

b

= ambas series tienen el mismo carcter

(b) Si lim 0nn

n

a

b= y la serie

1n

n

b

= es convergente entonces

1n

n

a

= es

convergente.

(c) Si lim nn

n

a

b= y la serie

1n

n

b

= es divergente entonces

1n

n

a

= es

divergente.

Criterio del cociente: Se considera la serie 1n

n

a

= cumpliendo

1

lim nn

n

aL

a = 1lim n

nn

aL

a

+

=

entonces si

(a) Si 1L < la serie 1n

n

a

= es convergente

(b) Si 1L > la serie 1n

n

a

= es divergente

Criterio de la raz: Se considera la serie 1n

n

a

= cumpliendo lim n n

na L

= entonces si

(c) Si 1L < la serie 1n

n

a

= es convergente

(d) Si 1L > la serie 1n

n

a

= es divergente




27

SUMA APROXIMADA: SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS

Supongamos que tenemos la serie 1n

n

a

= de la que conocemos que es convergente pero

no sabemos obtener el valor exacto de la suma. Entonces si sustituimos el valor de la

suma S por la suma parcial n-sima Sn se nos plantean dos problemas:

(a) Qu error cometo cuando utilizo la aproximacin

1 2 ...n nS S a a a = + + + ?

(b) Cuntos trminos tengo que considerar para que la diferencia entre S

y Sn sea menor que un cierto valor, es decir,

nS S valor <

Ambas cuestiones quedan resueltas si consigo acotar el resto n-simo:

1 2 ... cotan n nR a a+ += + + <

Encontrada una cota se tendr resuelto el problema (a) si bien esta cota debe

elegirse de forma adecuada. Para el segundo problema dado el error permitido

bastar encontrar el ndice n que verifica la siguiente relacin:

1 2 ... cota errorn n nR a a+ += + + < <

Es importante hacer notar que la cota depender de n y adems que debe elegirse

con cuidado para que no sea una acotacin excesiva que no nos d ninguna

informacin.




28

Estimacin del error por el criterio integral

Supongamos que ( ) nf n a= para todo n natural, donde f es una funcin continua,

decreciente y positiva en el intervalo )1, . Supongamos que ( )1

limn

nf x dx

existe y

es finito. Entonces el resto de la serie 1n

n

a

= cumple que:

( )1

0 limk

n nk

k n n

R a f x dx

= +

=

SERIES ALTERNADAS

Son de la forma

( ) ( )1 1 21

1 .... 0n

n nn

a a a a

=

= + >

TEOREMA DE LEIBNIZ: La serie alternada ( ) 11

1n

nn

a

=

( )0na > converge si

(a) la sucesin { }1n n

a

= es montona decreciente

(b) se verifica lim 0nn

a

= .

Estimacin del error de sustituir la suma de la serie por la suma parcial ensima:

Supongamos que se tiene la serie alternada ( ) 11

1n

nn

a

=

( )0na >

convergente verificando




29

(a) la sucesin { }1n n

a

= es montona decreciente

(b) lim 0nn

a

= .

Entonces el resto n-simo es

( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 31 1 ... 1 ...n n n

n n n n n n nR S S a a a a a+

+ + + + += = + + = + +

como la sucesin es montona decreciente el valor absoluto del resto n-simo

es:

( ) ( )1 2 3 1 2 3 4 50 0

... ...n n n n n n n n nR a a a a a a a a+ + + + + + + +

= + =

es decir,

1n nR a +<

Obsrvese que este error ser:

por exceso si el primer trmino despreciado es negativo

por defecto si el primer trmino despreciado es positivo.

Series de trminos cualesquiera

Una serie de trminos cualesquiera, 1n

n

a

= , es absolutamente convergente si es

convergente la serie de sus valores absolutos, es decir, si 1n

n

a

= es convergente.

TEOREMA: Si una serie es absolutamente convergente entonces es convergente.




30

Si una serie es convergente pero no es absolutamente convergente se dice

condicionalmente convergente.

Nota: Si detectas algn error o errata ponte en contacto con la profesora para su correccin.


Sucesiones numricas

Matemticas 11

Elena lvarez Siz




Ejercicios: Sucesiones numricas Ingeniera de Telecomunicacin


2

Sucesiones montonas y sucesiones acotadas

1 Sucesiones montonas: ejemplos

La sucesin -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es montona.

La sucesin de trmino general ( 1)n

na

n

= tampoco es montona.

La sucesin de trmino general na n= es montona creciente y tambin


La sucesin 1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es montona creciente, pero no es


La sucesin de trmino general 2na n= es montona decreciente y es

tambin estrictamente decreciente.

La sucesin 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,

2 2 3 4 4 5 6 6 7 es montona decreciente, sin embargo

no es estrictamente decreciente.

2 Estudiar la monotona de las siguientes sucesiones:

2 1n

na

n

=

8

1 2nn

bn

=+

3

1nn

cn

=+

3

1nd

n=

Solucin:

a) Vamos a probar que los trminos de esta sucesin verifican

1 0n na a n+ > , es decir que se trata de una sucesin montona


1

2 2

2( 1) 1 2 1 2 1 2 1

1 1(2 1) ( 1)(2 1) 2 2 1 1

0( 1) ( 1) ( 1)

n n

n n n na a

n n n n

n n n n n n n n

n n n n n n

+

+ + = = =

+ ++ + + +

= = = >+ + +



Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Sucesiones numricas

3

el carcter positivo del anterior cociente est garantizado porque n es un

nmero natural.

b) En este caso vamos a demostrar que 1n nb b n+ , con lo cual la

sucesin ser montona creciente.

1

2 2

8 ( 1)8

1 2 1 2 ( 1)8 8 8

1 2 1 2 28 16 16 8 8 16 16 0 8

n n

nnb b

n n

n n

n n

n n n n n n

+

+

+ + ++

+ + +

+ + + + +

lo cual es siempre cierto.

c) La sucesin dada es creciente, ya que 1n nc c n+ , pues

1

2 2

3 ( 1)3 3 3 3

1 ( 1) 1 1 2

3 6 3 3 3 3 0 3

n n

nn n nc c

n n n n

n n n n n

+

+ +

+ + + + +

+ + + +

la expresin ltima a la cual hemos llegado es siempre cierta, luego la

desigualdad inicial tambin lo es.

d) En este caso demostraremos que 1n nd d n+> , es decir que la sucesin

es montona estrictamente decreciente.

3 31 3 3

1 1( 1)

( 1)n nd d n n

n n+> > + >

+

esta desigualdad es cierta para cualquier nmero natural, luego se cumple

siempre.

3 Convergencia, divergencia: ejemplos




4

1. La sucesin cuyos primeros trminos son los siguientes

1 1 11, , 3, , 5, , 7,...

2 4 6

Esta sucesin no es convergente, pero tampoco tiende a ni a . Los trminos

impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin embargo, los

trminos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice que esta sucesin

no tiene lmite o bien que su carcter es oscilante.

2. La sucesin de trmino general ( 1)nna n= , cuyos primeros trminos son:

-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...

Los trminos de esta sucesin tampoco se acercan a un nmero concreto. Tienden a

los trminos pares y tienden a los trminos impares. Por tanto, tampoco

tiene lmite, son oscilantes.

4 Monotona y acotacin de

11

n

n

+

El trmino general de esta sucesin es una expresin indeterminada del tipo 1 ,

luego no es evidente que sea convergente. Se trata de una sucesin de nmeros reales

positivos.

Comprobamos en primer lugar que la sucesin es creciente.

Por aplicacin de la frmula del binomio de Newton, tenemos




5

2

2

1 1 1 11 ...

0 1 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 ...

2! !

1 1 1 1 22 1 ... 1 1

2! !

n

n n

n

n n n na

nn n n n

n n n n n n n

n n n

n n n

= + = + + + + = +

= + + + + =

= + + +

11

n

n n

la expresin de an consta de n sumandos. El trmino siguiente se expresar as

1

1 1 1 1 2 12 1 ... 1 1 1

2! 1 ! 1 1 11 1 2

1 1 1( 1)! 1 1 1

n

na

n n n n n

n

n n n n

+

= + + + + + + + + + + + + +

Esta expresin consta de n+1 sumandos. Como los sumandos de an+1 son

mayores que sus correspondientes de an, salvo el primero que es igual, resulta

que

an < a

n+1 n

luego la sucesin an es creciente.

Vamos a comprobar ahora que la sucesin est acotada. Consideramos

para ello las siguientes expresiones:

1 1 1 1 22 1 1 1 ...

2! 3!1 1 2 1

1 1 1!

nan n n

n

n n n n

= + + + + +

1 1 12 ...

2! 3! !nb

n= + + + +

2 1

1 1 12 ...

2 2 2n n

progresion geometrica

c

= + + + +

Comparndolas trmino a trmino resulta que, a partir de n = 3, se verifica:

1

12 3

2n n n n

a b c

< < < =




6

es decir, 2 3na< < ,

luego la sucesin an est acotada. Se puede asegurar, por tanto, que la sucesin

de trmino general 1

1

n

nan

= + es convergente, estando su lmite

comprendido entre 2 y 3. A este lmite se le designa con el nombre de nmero

e. Se trata de un nmero irracional cuyas diez primeras cifras decimales son:

e 27182818284

5 Se considera para cada nmero natural n la ecuacin:

6 2 13 5

2 2n x =

y se define para cada natural n el nmero na como la suma de las races

positivas de esta ecuacin. Se pide: encontrar el supremo, nfimo, mximo y

mnimo del conjunto formado por los nmeros reales na , es decir, el conjunto

{ }/na n

Solucin (Curso 03-04)

Para cada nmero natural n consideramos la ecuacin 6 213 5

2 2n x = . Las

races de esta ecuacin son los valores x que cumplen:

6 2 13 5

2 2n x = 6 2

13 5

2 2n x

=

Nota: En este paso aplico la definicin de valor absoluto. Si el valor absoluto

de A es 5/2 es porque A es 5/2 A es 5/2. Tambin podra haber elevado

al cuadrado y resolver la ecuacin pero me quedara de grado cuatro y habra

que realizar ms clculos.




7

Resolviendo 6 2 6 2 26 3

13 5 9 39

2 2n x n x x x

n n = = = =

Resolviendo 6 2 6 2 23 3

13 5 4 24

2 2n x n x x x

n n

= = = =

Para cada n la suma de las races positivas de la ecuacin 6 213 5

2 2n x = es

3 3

3 2

n n+ .

El conjunto para el que hay que calcular el supremo, nfimo, mximo y

mnimo es 3

5/A n

n

=

se cumple que el supremo es 5 y el nfimo es 0.

Como el supremo est en el conjunto (para n=1) se trata del mximo pero el

nfimo no es mnimo porque no es un elemento del conjunto A.

Clculo de lmites: Definicin

6 Demostrar, segn la definicin de lmite, que se verifica: 1

lim 0 , 1n ncon r

r = > . Qu

sucede si r < 1?

- Supongamos r>1. Segn la definicin de lmite, hay que encontrar la

expresin de n0 para cada 0 > , tal que 0

10

nsi n n

r < > .

1log

1 1 1 10 log log( )

log( )n

n nr n r n

rr r

< < < < 1, luego log (r) > 0. As pues, si

tomamos 0

1log

log( )n

r

= se cumple

10

nr <




8

Si r < 1, ser log (r) < 0. Como es muy pequeo, verifica < 1, es

decir log( )< 0, luego 1

log log( )

= > 0.

Teniendo en cuenta que siempre es n > 0, nunca puede ser

1log log( )n r

< , puesto que n. log (r) ser siempre negativo, mientras

que 1

log

es positivo. Por lo tanto, si r < >

Observamos que

1 3 3 11 2 2

2 2

nn n

n n

+ < < < + basta tomar 01

2n E

= + para que se cumpla la definicin

de lmite.




9

Nota.- E(x) denota la parte entera de x.

(b) Calcularemos la diferencia 22 1

2( 1)( 2)

n

n n

+ + y la haremos menor que .

2

2 2 2

6( 1)2 1 6 5 6 52

( 1)( 2) 3 2 3 2 3 2

nn n n

n n n n n n n n

+ + = = +

Cualquiera que sea el valor de , tomando 06

2n E

= , se puede asegurar que

si n > n0 entonces

22 12

( 1)( 2)

n

n n

Entonces, cualquiera que sea el valor de , tomando 02

n E

= , se puede

asegurar que

si n > n0 entonces

3 3

2

(2 1) (2 1)8

3 1

n n

n

+



Fundamentos Matemticos I Teora: Funciones una variable

13

(6) Si 0x entonces 1 logxa x a

(7) Si 0x entonces arcsenx x

(8) Si 0x entonces arctgx x

(9) Si 0x entonces ( )1 1ax ax+ +

(10) Si 0x entonces ( ) trmino de menor gradonP x

Definicin (Infinitos).- Llamaremos infinito para x tendiendo a ox a cualquier

funcin ( )x que tienda a infinito. Es decir, ( )x es un infinito para ox x= si ( )lim

ox x

x

=

OBSERVACION.- Todo lo visto anteriormente para infinitsimos puede aplicarse a

infinitos teniendo en cuenta que si ( )x es un infinito para ox x= entonces

( ) ( ) o1

es un infinitsimo para x=xxx

=

es un infinitsimo. En particular, la sustitucin de infinitos en la expresin de

un lmite se rige por las mismas reglas que las de los infinitsimos.

Definicin (Infinitos de orden inferior, superior).- Se dice que ( )x y ( )x dos infinitos para

ox x= se dice que:

( )x es un infinito de orden inferior a ( )x para ox x= si ( )( )

lim 0o

x x

x

x

=

( )x es un infinito de orden superior a ( )x para ox x= si

( )( )

limo

x x

x

x

=


Teora: Funciones de una variable Ingeniera de Telecomunicacin


14

( )x es un infinito del mismo orden que ( )x para ox x= si ( )( )

lim 0,o

x x

x

x

=

En el caso particular de que entonces se dice que son equivalentes.

Definicin (Infinito de orden p).- Decimos que un infinito ( )x para ox x= es de orden p si

( )

( )

lim 0,1ox x

p

o

x

x x

=

continuacin, se dan en la tabla los denominados rdenes fundamentales de

infinitud. Segn se avance de izquierda a derecha en las columnas los rdenes van

decreciendo.

Potencial -

Exponencial

Exponencial Potencial Logaritmo

0

axx

a >

1

xb

b >

0

cx

c > ( )log

1 0

p

qx

q p> >

APLICANDO POLINOMIOS DE TAYLOR

Sea ( )y f x= una funcin que es infinitsimo para x=a que tiene todas sus derivadas nulas hasta el orden k-1 en el punto a y que ( )( 0kf a , entonces se cumplir:

( ) ( )( ) ( )(

!

kk kf a

f x x a o x ak

= +




15

de lo que se deduce que el orden del infinitsimo ( )y f x= para x=a es k y su parte

principal es ( )(!

kf a

k.

Estudio local de una funcin

Consideremos una funcin ( )y f x= con derivadas hasta el orden n+1 en el punto a. Se cumple que:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )(

2''' ...

2! !

nn nf a f a

f x f a f a x a x a x a o x an

= + + + +

Supongamos que ( ) ( ) ( )( 1' '' ... 0nf a f a f a= = = = , entonces

Si n es par y ( )( 0nf a > entonces en el punto a la funcin tiene un mnimo local

Si n es par y ( )( 0nf a < entonces en el punto a la funcin tiene un mximo local

Si n es impar en el punto a hay un punto de inflexin.

SERIES DE POTENCIAS. SERIES DE TAYLOR

Una expresin de la forma

( ) ( ) ( )21 20

...n

o nn

a a x a a x a a x a

=

+ + + =

Recibe el nombre de serie de potencias centrada en el punto a. Una serie de

potencias puede ser interpretada como una funcin de x




16

( ) ( )0

n

nn

f x a x a

=

=

Convergencia de una serie de potencias

El dominio de la funcin ( ) ( )0

n

nn

f x a x a

=

= ser el conjunto de valores de x

donde la serie converge y el valor de ( )f x ser precisamente la suma de la serie.

Nota: Es evidente que la serie converge en el punto a

( ) ( )0

n

n on

f a a a a a

=

= =

TEOREMA DE ABEL.

Se considera la serie ( )0

n

nn

a x a

=

. Entonces se cumple una y solo una de las afirmaciones siguientes:

(a) La serie converge solo en a

(b) Existe un nmero 0R > de forma que la serie converge en x a R < y no

converge en x a R >

(c) La serie converge para todo x

Puede decirse que la serie converge siempre en un intervalo de la forma

( ),a R a R + considerando que en el caso (a) el valor de R es cero y en el caso (c) el valor de R es infinito. Al nmero R se le llama radio de convergencia y al

intervalo ( ),a R a R + intervalo de convergencia. Es importante notar que el teorema no dice nada sobre la convergencia en los extremos de dicho intervalo.




17

TEOREMA.

Si la funcin viene definida por una serie de potencias ( )0

n

nn

a x a

=

. Entonces se cumple una y solo una de las afirmaciones siguientes:

(a) La serie converge solo en a

(b) Existe un nmero 0R > de forma que la serie converge en x a R < y no

converge en x a R >

(c) La serie converge para todo x

TEOREMA.

Si la funcin f viene definida por una serie de potencias ( )0

n

nn

a x a

=

con radio de convergencia 0R > entonces

(a) f es continua en todo punto interior al intervalo de convergencia.

(b) f es derivable en el intervalo de convergencia y su derivada ( )'f x puede

obtenerse mediante la derivacin trmino a trmino: ( ) ( ) 11

'n

nn

f x na x a

=

= siendo el radio de convergencia de esta serie tambin R.

(c) f es integrable en el intervalo de convergencia y, adems, se puede integrar

trmino a trmino:

( ) ( ) ( ) 10 0 1

n nn

nn n

af x dx a x a dx x a k

n

+

= =

= = + +

siendo el radio de convergencia de esta serie tambin R.




18

Desarrollo de una funcin en serie de potencias

Ahora analizamos el problema de encontrar el desarrollo en serie de potencias de una

funcin ( )f x analizando qu condiciones debe cumplir ( )f x para que pueda

encontrarse una serie de potencias ( )0

n

nn

a x a

=

que converja a ( )f x .

Recordemos ahora el Teorema de Taylor que permita expresar el valor de una

funcin mediante su polinomio de Taylor.

FRMULA DE TAYLOR: Si la funcin f es derivable n+1 veces en un intervalo

( ),a R a R + entonces

( ) ( ) ( );n nf x T f a R x= +

siendo ( ) ( )( )(

0

;!

kn

k

nk

f aT f a x a

k== el polinomio de Taylor de grado n de f

en el punto a y Rn el resto del polinomio que cumple:

( )( )

lim 0nnx a

R x

x a

=

Considerando la expresin de Lagrange del resto se tendr:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ( 1

1

0 ! 1 !

k nn

k n

k

f a f cf x x a x a

k n

++

=

= + +

con c un punto intermedio entre a y x.

TEOREMA: Si la funcin f es infinitamente derivable en un intervalo I abierto

centrado en a y si ( )nR x es el resto de la frmula de Taylor entonces:

( ) ( )( ) ( )(

0

lim 0!

nn

nnn

f af x x a R x

n

=

= =




19

La serie ( )( )

(

0 !

nn

n

f ax a

n

=

se llama Serie de Taylor de la funcin ( )f x .

Importante: Puede probarse que si existe una constante 0k > de forma que

( )(nf x k para todo 0n , x I

entonces

( ) ( )( )(

0 !

nn

n

f af x x a

n

=

=

Ejemplos: Teniendo en cuenta los ltimos resultados se pueden obtener los siguientes

desarrollos en serie de Taylor de algunas funciones elementales:

2

0

1 ...! 1! 2!

nx

n

x x xe x

n

=

= = + + +




20

Teniendo en cuenta la dificultad de encontrar la derivada ensima para muchas

funciones y de probar que el resto ensimo tiende a cero cuando n tiende a infinito es

frecuente, para encontrar el desarrollo de una funcin en serie de potencias, utilizar

funciones de las que ya se conoce su desarrollo y luego integrar, derivar o realizar

operaciones algebraicas como se indican en el siguiente resultado:

Si ( )0

n

nn

f x a x

=

= y ( )0

n

nn

g x b x

=

= en ( ),R R entonces

( ) ( ) ( )0

n

n nn

f x g x a b x

=

= en ( ),R R

( )0

n n

nn

f kx a k x

=

= en ,R Rk k

( )0

k nk

nn

f x a x

=

= en ( ),k kR R siendo k>0

DERIVACIN IMPLCITA

Una ecuacin de la forma ( ), 0F x y = define a la variable y como funcin x ( ( )y f x= ) en un cierto dominio D si se verifica que para todo x en D existe un nico y de forma que ( ), 0F x y = .

Cuando, para este tipo de funciones no se pueda despejar la variable y

explcitamente en trminos de x , y se quiere obtener la derivada, dy

dx , se procede

de la siguiente forma:

1. Se deriva ambos miembros de la expresin con respecto a x,

aplicando la regla de la cadena sabiendo que y es funcin de

x , es decir, ( )y y x= .




21

2. Se despeja la expresin dy

dx.

En general, el valor obtenido para dy

dx es

derivar la funcin F respecto a x considerando y como constante

derivar la funcin F respecto a considerando como constantedy

dx y x=

DERIVACIN PARAMTRICA

En algunas ocasiones la ecuacin de una curva no est dada en la forma ( )y f x= ( ), 0F x y = sino que est determinada por un par de ecuaciones en trminos de una

misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones 2 2

1

x t t

y t

= = + con t .

Se tiene que a cada valor de t le corresponde un punto (x,y) del plano. En el ejemplo

anterior, la siguiente tabla de valores:

t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x 24 15 8 3 0 -1 0 3 8 15

y -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

nos permite hacer la representacin grfica de la relacin de la siguiente manera:




22

En general, las ecuaciones ( )( )

x g t

y h t

= = , con g, h funciones continuas en un intervalo

real I, reciben el nombre de ecuaciones paramtricas o representacin paramtrica de

una curva en el plano XY. La grfica de las ecuaciones paramtricas est dada por el

conjunto de puntos del plano XY, que se obtiene cuando t, que recibe el nombre de

parmetro, toma todos sus valores posibles en el dominio I.

TEOREMA: Sean ( ) ( ),g t h t funciones derivables en un intervalo (c, d). Supongamos que g tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde

( )' 0g t , las ecuaciones ( )( )x g t

y h t

= =implican que existe una funcin derivable f tal

que ( )y f x= , y adems

( )( )'

'

dyh tdy dt

dx dx g t

dt

= =

Nota: Si detectas algn error o errata ponte en contacto con la profesora para su

correccin.


Funciones de una variable

Matemticas 11

Elena lvarez Siz




Ejercicios: Funciones una variable Ingeniera de Telecomunicacin


2

1 En el siguiente grfico se considera una funcin ( )y f x= . Representa la derivada en el

punto x, el incremento de ( )y f x= para un incremento de x, x , y la diferencial de

( )y f x= en x para x . Calcula estos dos valores para xy x= en el punto 2x = .

f(x+ x)-f(x)

x

x+ xx

f(x+ x)

f(x)

Solucin:

log logxx y x x y= =

Derivando implcitamente

( ) ( )'

log ' log 1 ' log 1xx y

x y y x y x xx y

+ = = + = +

Para x=2

( ) ( )2' 2 2 log2 1y = +

( )22 log2 1dy x= +

2 Deduce la derivada de la funcin y arcsenx=

Solucin:

Sea y arcsenx= entonces



Fundamentos Matemticos I Ejercicios: Funciones una variable

3

seny x=

Derivando respecto a x:

( )2 2

1 1 1cos ' 1 '

cos 1 1y y y

y sen y x= = = =

3 Hallar la derivada ensima de ( ) ( ) ( )2 cos 2f x sen x x= en x=0 (utilizar frmula del seno del

ngulo doble)

Solucin:

Teniendo en cuenta que: ( ) ( ) ( ) ( )1

2 cos 2 42

f x sen x x sen x= = se tiene:

( ) ( )' 2 cos 4f x x=

( ) ( )'' 2 4 4f x sen x=

( ) ( )2''' 2 4 cos 4f x x=

( ) ( )32 4 4ivf x sen x=

Luego, para todo 1n

( ) ( ) ( )(2 2 11 2 4 4nn nf x sen x=

( ) ( ) ( )1(2 1 2 21 2 4 cos 4

nn nf x x+ =

Otra forma: Teniendo en cuenta que:

( )cos2

senpi

= +

se tiene que:

( ) ( )' 2 cos 4 2 42

f x x sen xpi = = +

( )'' 2 4 cos 4 2 4 42 2 2

f x x sen xpi pi pi = + = + +

( ) 2 2''' 2 4 cos 4 2 2 4 4 32 2

f x x sen xpi pi = + = +




4

-

Frmula que se demuestra por induccin sobre n.

4 Se considera la ecuacin: 2

2 3

24 6

d y dyx x y x

dxdx + =

y se realiza el cambio tx e= . Escribir la ecuacin despus de haber realizado el cambio

considerando la variable y dependiente de t .

Solucin:

Se tiene el siguiente rbol de dependencia:

y-----x-----t

Aplicando la regla de la cadena:

tdy dy dx dy dyedt dx dt dx dt

= = (1)

Aplicando nuevamente la regla de la cadena derivando respecto de x sabiendo

que

x-----t

2 2

2 2

log1 t

t t t t

t xdt

edx x

d y d dy d dy dt dy d ye e e e

dx dx dt dt dx dtdx d t

=

= =

= = = + (2)

Sustituyendo en la ecuacin dada:




5

2

2 2 2 3

24 6t t t t t t

dy d y dye e e e e y e

dt dtd t

+ + =

2

3

24 6 t

dy d y dyy e

dt dtd t

+ + =

2

3

25 6 t

d y dyy e

dtd t + =

5 Sea ( ) ( )g x f senx= , sabiendo que ( )' 0 0f = calcular ( )'g pi . Comprueba adems el

resultado obtenido para una funcin f concreta.

Solucin:

Aplicando la regla de la cadena,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' cos ' ' cos ' 0 1 0g x f senx x g f sen fpi pi pi= = = =

Por ejemplo, podemos considerar ( ) ( ) ( ) ( )22f x x g x f senx senx= = =

Se tendra para este ejemplo ( ) ( )( ) ( )' 2 cos ' 2 cos 0g x senx x g senpi pi pi= = =

6 Dada la curva 2 2 2 6 6 0x y x y+ + + = , se pide representarla y calcular la recta tangente y

normal a dicha curva en el punto P( )2, 3 3 + .

Solucin:

Completando cuadrados

( ) ( )22 22 2 22 6 6 2 6 1 1 66 3 9x y x y x yx y yx++ + + = + + = + ++

Se tiene que




6

( ) ( )2 22 2 2 6 6 0 1 3 4x y x y x y+ + + = + + =

luego la curva es una circunferencia centrada en el punto (1, -3) y de radio 2.

Para calcular la pendiente de la recta tangente calculamos la derivada en el

punto P. Derivando implcitamente:

2 22 2 ' 2 6 ' 0 '

2 6

xx yy y y

y

+ + = =

+

en el punto P

( )2 2 2 1

'2 3 3 6 3

Py

= = + +

la ecuacin de la recta tangente es:

( ) ( )13 3 23

y x= +

y la de la recta normal

( ) ( )3 3 3 2y x= + +

-3 -2 -1 1 2 3

-5

-4

-3

-2

-1

1

x

y

P

recta tangenterecta normal




7

7 Un punto P se mueve sobre la parbola 2x y= situada en el primer cuadrante de forma

que su coordenada x est aumentando a razn de 5 cm/seg. Calcular la velocidad a la que

el punto P se aleja del origen cuando x=9.

Solucin:

Se trata de un problema de razn de cambio relacionadas. La funcin

distancia de un punto situado en las coordenadas (x, y) al origen es:

( ) ( ) ( )2 2d t x t y t= +

Si el punto (x, y) est en la parbola 2x y= ser:

( ) ( ) ( )2d t x t x t= +




8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

x=y2

y(t)

x(t)

d(t)

La velocidad a la que se aleja del origen aplicando la regla de la cadena es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1/2

21' 2 ' '2

d t x t x t x t x t x t

= + +

En el instante en que x=9 y teniendo en cuenta que ( )' 5 /x t cm seg= se

concluye que la velocidad a la que el punto P se aleja del origen es:

( ) ( )1/2

21 95 959 9 2 9 5 52 2 90 6 10

+ + = =

8 Determina el punto de corte de la recta tangente a la grfica de ( ) logxf x x= en el punto x=e

con el eje X.




9

Utilizando la regla de la cadena (derivacin logartmica)

( ) ( ) ( )( )( )

2log' 2 log

log log logxf x x

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