Upload
others
View
5
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BETONDA BETONDA ŞŞEKEKİİL L DEDEĞİŞİĞİŞİMLERMLERİİ
İİNNŞŞ2024 YAPI MALZEMES2024 YAPI MALZEMESİİ IIII
Dokuz Eylül Üniversitesiİnşaat Mühendisliği Bölümü
BETONUN DBETONUN DİĞİĞER ER ÖÖZELLZELLİİKLERKLERİİ
•• BETONUN fBETONUN f-- DAVRANIDAVRANIŞŞII
fc
f
00
bmbm
fc
3
GERGERİİLMELME--ŞŞEKEKİİL DEL DEĞİŞĞİŞTTİİRME RME İİLLİŞİŞKKİİSSİİ
ve ve ELASTELASTİİK DAVRANIK DAVRANIŞŞ
YYüük altk altıında belirli mertebede nda belirli mertebede şşekil deekil değğiişştirme gtirme göösteren, ysteren, yüük k kaldkaldıırrııldldığıığında ilk haline dnda ilk haline döönen malzemelere elastik malzemeler nen malzemelere elastik malzemeler denilmektedir. Malzemenin bu tdenilmektedir. Malzemenin bu tüür davranr davranışıışı
elastik davranelastik davranışış
olarak olarak
tantanıımlanmaktadmlanmaktadıır. Bu tr. Bu tüür davranr davranışışta ta HookeHooke
Kanuna uygun olarak Kanuna uygun olarak gerilmelerle gerilmelerle şşekil deekil değğiişştirmeler oranttirmeler orantııllııddıır. r.
= ε
× E
Burada;: gerilmeε: Birim şekil değiştirme E. Elastisite
modülünü
ifade etmektedir.
agrega ve agrega ve ççimento hamurunun tipik gerilmeimento hamurunun tipik gerilme--şşekil ekil dedeğğiişştirme etirme eğğrileri dorileri doğğrusal iken, rusal iken, ekseneleksenel
basbasıınnçç
altaltıında betonun davrannda betonun davranışıışı
dodoğğrusal derusal değğildir. ildir.
Gerilme
Birim şekil değiştirme
agrega
beton
Çimento hamuru
betonun basbetonun basıınnçç
yyüüklemesi ve yklemesi ve yüükküün kaldn kaldıırrıılmaslmasıı ssıırasrasıındaki gerilmendaki gerilme--birim deformasyon ilibirim deformasyon ilişşkisikisi
gerilme
Birim deformasyon
yükün boşaltılması
kalıcı
deformasyon
basınç
dayanımı
ŞŞekil ekil ’’de farklde farklıı
dayandayanıım sm sıınnııflarflarıındaki betonlarndaki betonlarıın tipik gerilmen tipik gerilme--birim birim deformasyon edeformasyon eğğrileri grileri göösterilmisterilmişştir. Ayntir. Aynıı
gerilme/dayangerilme/dayanıım oranm oranıında nda
beton ne kadar mukavemetli ise birim deformasyonu da o kadar beton ne kadar mukavemetli ise birim deformasyonu da o kadar yyüüksektir. 100 ksektir. 100 MPaMPa
basbasıınnçç
dayandayanıımmıına sahip bir betonda en bna sahip bir betonda en büüyyüük k
gerilmede birim deformasyonun tipik degerilmede birim deformasyonun tipik değğeri 3eri 3--4.104.10--3 iken 20 3 iken 20 MPaMPa’’llııkk bir betonda bu debir betonda bu değğer 2.10er 2.10--33’’e kare karşışı
gelir. Ancak, dayangelir. Ancak, dayanıım bir kenara m bir kenara
bbıırakrakııldldığıığında ynda yüüksek dayanksek dayanıımlmlıı
betonlarbetonlarıın n elastisiteelastisite
modmodüüllüü
daha daha yyüüksek olduksek olduğğundan aynundan aynıı
gerilme degerilme değğerinde mukavemeti yerinde mukavemeti yüüksek ksek
olan beton daha az deformasyon yaparolan beton daha az deformasyon yapar..
Birim Şekil Değiştirme (10-6)
20
0
40
60
80
1000 2000 3000
Dayanım (MPa)
4000
C80
C40
C25
Betonun fBetonun f--
İİlilişşkisini Tankisini Tanıımlamak mlamak İİççin in GeliGelişştirilmitirilmişş
BaBağığıntntıılar lar
YYapapıısal analiz isal analiz iççin oldukin oldukçça kullana kullanışışllııddıır. Bu r. Bu sebeple betonun gerilmesebeple betonun gerilme--birim deformasyon birim deformasyon iliilişşkisini bakisini bağığıntntıılarla temsil edebilmek ilarla temsil edebilmek iççin bir in bir ççok ok ççalalışışma yapma yapıılmlmışışttıır. r.
Bunlar arasBunlar arasıında, enda, eğğrinin rinin öözelliklerine bazelliklerine bağğllıı olarak tanolarak tanıımlananmlanan::
VoellmyVoellmy
babağığıntntııssıı
Denklem Denklem şşu u şşekilde kurulmuekilde kurulmuşştur: Bir tur: Bir ii
’’ye ye karkarşışıt ft fii
, al, alıınsnsıın, n, şşekil deekil değğiişşimi imi
ii
’’den den itibaren itibaren
kadar artarsa, gerilme de kadar artarsa, gerilme de f f
kadar artacaktkadar artacaktıır. Yalnr. Yalnıız (z ( ii
), (), ( oo
) ) ’’a ne kadar a ne kadar
yakyakıın ise, aynn ise, aynıı
''nana
karkarşışıt gelen t gelen f o f o kadar kkadar küçüüçüktktüür.r.
Bu Bu öözellik gzellik gööz z öönnüüne alne alıınarak narak aaşşaağığıdaki diferansiyel denklem daki diferansiyel denklem yazyazıılabilir:labilir:
d
df
f
0εεKdεdf
denkleminin integrali
şu şekilde hesaplanabilir:
0
2ε.ε
2εKf
0ε2εK.εf
0εε cff Sınır şartlarından iken
olmaktadır. Bu nedenle K parametresi şu şekilde hesaplanabilir:
2εK - ε
2εK.εf
20
00
0c
20
c
εf2 - K
K yerine konulursa, K yerine konulursa,
2εε ε .
εf2ε
2ε ε .
εf2- f 02
0
c02
0
c
ε2ε.ε
εff 020
c
00c ε
ε2 εεff
Bu denklem 1εε
0
değerleri için geçerlidir
VoellmyVoellmy
babağığıntntııssıı
Bir diBir diğğer baer bağığıntntıı
SmithSmith
ve ve YoungYoung taraftarafıından ndan öönerilminerilmişştir. tir. SmithSmith
ve ve YoungYoung
babağığıntntııssıınnıın deney verilerine daha iyi uyum n deney verilerine daha iyi uyum sasağğladladığıığı
ifade edilmektedir.ifade edilmektedir.
0εε - 1
0c e εεff
PoissonPoisson
OranOranıı
EksenelEksenel
yyüüke maruz kalmke maruz kalmışış
bir malzemede elastik bir malzemede elastik bböölge ilge iççerisinde yanal birim deformasyonlarerisinde yanal birim deformasyonlarıın n ekseneleksenel
birim deformasyona oranbirim deformasyona oranıı
PoissonPoisson
oranoranıı
olarak adlandolarak adlandıırrııllıır. Betonun r. Betonun PoissonPoisson
oranoranıı
0.15 ile 0.15 ile 0.22 aras0.22 arasıında denda değğiişşir. ir.
y
x
εεμ
εx
: yanal birim şekil
εy
: eksenel
birim şekil değiştirme
ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ
Malzemenin Malzemenin rijitlirijitliğğinininin
bir bir ööllçüçüssüü
ŞŞekil deekil değğiişştirmeye kartirmeye karşışı
koyabilme kapasitesikoyabilme kapasitesi
ŞŞekil ekil dedeğğiişştirmelerin ve gerilmelerin hesabtirmelerin ve gerilmelerin hesabıı
iiççin in gerekligerekli
YYüük altk altıındaki basit elemanlarda gerilmelerin ve ndaki basit elemanlarda gerilmelerin ve karmakarmaşışık yapk yapıılarda momentlerin ve sehimlerin larda momentlerin ve sehimlerin hesabhesabıı
iiççinin
gerekligerekli
BasBasıınnçç
veya veya ççekme altekme altıında betonun statik nda betonun statik elastisiteelastisite
modmodüüllüü
ekseneleksenel
yyüükleme altkleme altıında nda
gerilmegerilme--birim deformasyon ebirim deformasyon eğğrisinin erisinin eğğimi imi olarak verilir. Betonun gerilmeolarak verilir. Betonun gerilme--birim birim deformasyon edeformasyon eğğrisinin dorisinin doğğrusal olmayan rusal olmayan karakterinden dolaykarakterinden dolayıı
elastisiteelastisite
modmodüüllüünnüün n
bulunmasbulunmasıında zorluklar yanda zorluklar yaşşanmaktadanmaktadıır. Bu r. Bu nedenle nedenle elastisiteelastisite
modmodüüllüünnüün hesabn hesabıında nda
farklfarklıı
tantanıımlar gelimlar gelişştirilmitirilmişştir tir
ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ
•• ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ
0.4 fc
Teğet Modülüf
fc
f -
eğrisine herhangi bir noktada çizilen teğetin eğimine ise Teğet Modülü
denir. Uygulamada bu teğet yaklaşık
olarak eğrinin 0.4 fc
gerilmesine karşıt gelen noktası
esas alınarak çizilir.
•• ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ
Başlangıç Modülüf
fc
Betonun bir başka elastisite
modülü, Et
ile gösterilen, f-
eğrisinin başlangıçtaki teğetinin
eğimidir (Et
= tan).
•• ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ
Sekant Modülü
f
fc
Sekant modülü, f -
eğrisinin herhangi bir noktasını, koordinat merkezine birleştiren doğrunun eğimidir. Gerilmenin değeri ile değişir. Bu nedenle, sekant modülünün hesaplandığı
gerilme değeri belirtilmelidir.
Gerilme değeri, dayanımın (fc) belirli bir oranı
olarak seçilir. Bu oran İngiliz standardında %33 Amerikan standardında ise %40 olarak öngörülmüştür.
YukarYukarııdaki tandaki tanıımlamalar basmlamalar basıınnçç
dayandayanıımmıınnıın mertebesine n mertebesine
ve yve yüükleme hkleme hıızzıına gna gööre farklre farklıı
dedeğğerler alabilir. Daha erler alabilir. Daha ggüüvenilir bir devenilir bir değğer olarak, Ed ile ger olarak, Ed ile göösterilen sterilen Dinamik Dinamik ElastisiteElastisite
modmodüüllüü
tantanıımmıı
geligelişştirilmitirilmişştir. tir.
ff--
eeğğrisinin risinin şşekli uygulanan gerilmenin hekli uygulanan gerilmenin hıızzıına bana bağğllıı
olduolduğğundan, yundan, yüükleme hkleme hıızzıına bana bağğllıı
olarak Et de deolarak Et de değğiişşir. Hir. Hıız z arttarttııkkçça Et daha ba Et daha büüyyüük dek değğerler alerler alıır. Yalnr. Yalnıız Etz Et‘‘ninnin
bu bu
şşekilde artekilde artışıışınnıın da bir sn da bir sıınnıırrıı
vardvardıır. Gerilmenin artr. Gerilmenin artıım hm hıızzıı belirli bir debelirli bir değğerin erin üüststüüne ne ççııkacak olursa, elde edilecek fkacak olursa, elde edilecek f-- eeğğrileri hep barileri hep başşlanglangııççtaki ayntaki aynıı
bir OA dobir OA doğğrusuna terusuna teğğet olur. et olur.
Bu karakteristik baBu karakteristik başşka bir deyika bir deyişşle, Etle, Et‘‘ninnin
alabilecealabileceğği en i en fazla defazla değğerdir. erdir. Genel olarak en Genel olarak en ççok 2ok 2--4 dakika s4 dakika süüren, bir ren, bir basbasıınnçç
deneyinden elde edilen, fdeneyinden elde edilen, f--
eeğğrisinin barisinin başşlanglangııçç
teteğğetinin eetinin eğğimi Ed, dinamik imi Ed, dinamik elastisiteelastisite
modmodüüllüü
olarak olarak kabul edilebilir.kabul edilebilir.
Dinamik Dinamik elastisiteelastisite
modmodüüllüü
ultrasonikultrasonik
ööllçüçümlerle de bulunabilmektedir. Dinamik mlerle de bulunabilmektedir. Dinamik elastisiteelastisite modmodüüllüü, gerilmenin b, gerilmenin büüyyüüklklüüğğüüne ve gerilme artne ve gerilme artıım hm hıızzıına na
babağğllıı
olmadolmadığıığından, dindan, diğğer er elastisiteelastisite
modmodüüllerine kllerine kııyasla yasla daha gdaha güüvenilirdir. Yvenilirdir. Yüüksek dayanksek dayanıımlmlıı
betonlarda daha betonlarda daha
bbüüyyüük dek değğerler alerler alıır. r.
Bazen deney sBazen deney sıırasrasıında, gerilmenda, gerilme--
birim birim deformasyon edeformasyon eğğrisinin barisinin başşlanglangııccıı
iiççbbüükey olarak key olarak
ggöözlenir. Bzlenir. Bööyle durumlarda gerilmeyle durumlarda gerilme--
birim birim deformasyon edeformasyon eğğrisi risi üüzerindeki iki nokta araszerindeki iki nokta arasıında nda ççizilmiizilmişş
dodoğğrunun erunun eğğimi olan imi olan ChordChord
(kiri(kirişş) )
ModModüüllüünnüün n kullankullanıımmıı
tercih edilebilir.tercih edilebilir.
ÇÇooğğu standart betonun u standart betonun elastisiteelastisite
modmodüüllüünnüün ve n ve
PoissonPoisson
oranoranıınnıın bulunmasn bulunmasıı
iiççin kiriin kirişş
metodunu metodunu tantanıımlar. Bu amamlar. Bu amaççla, 150 x 300 la, 150 x 300 mmmm’’liklik
silindir silindir
öörnekler kullanrnekler kullanııllıır. Deformasyonlar r. Deformasyonlar komparatkomparatöörr ((dialdial
gagegage) veya ) veya strainstrain
gagegage
ile ile ööllçüçüllüür (r (ŞŞekil ekil
11.10). S11.10). Süünme olaynme olayıınnıı
devre ddevre dışıışı
bbıırakmak ve rakmak ve komparatkomparatöörrüünn
oturmasoturmasıınnıı
sasağğlamak amaclamak amacııyla yla
deney sdeney sıırasrasıında en az iki nda en az iki öön yn yüükleme yapkleme yapııllıır. r.
ElastisiteElastisite
modmodüüllüü
deneysel ydeneysel yööntemler ntemler ddışıışında nda şşu u şşekillerde de hesaplanabilir:ekillerde de hesaplanabilir:
ff--εε
eeğğrisi irisi iççin kabul edilen fonksiyonun in kabul edilen fonksiyonun εε
''nana ggööre tre tüürevi, revi,
= 0 durumunda betonun = 0 durumunda betonun
elastisiteelastisite
modmodüüllüünnüü
verir. verir. ÖÖrnerneğğin, in, VoellmyVoellmy parabolparabolüü
betonun fbetonun f--
eeğğrisini simgeliyorsa ;risini simgeliyorsa ;
c0
2
0
c
00c f
εε -
ε.ε2.f
εε2
εεff 2
bağıntısının
’na
göre türevi
c00
c fε2ε -
ε2.f
dεdf
2 ε
2.f dεdf
0
c ε
2.f E0
c=0 için
SmithSmith
--
YoungYoung
fonksiyonunun betonun ffonksiyonunun betonun f--
davrandavranışıışınnıı
simgeledisimgelediğği varsayi varsayııllıırsa ;rsa ;
0εε - 1
0c e εεff
00 ε
ε - 1
00c
εε - 1
0c e
ε1.
εεf e
ε1f
dεdf
fonksiyonunu n ’na
göre
türevi alınırsa
00 ε
ε - 1
00c
εε - 1
0c e
ε1.
εεf e
ε1f
dεdf
=0 için
ε
e.f E0
c
AyrAyrııca deneysel ca deneysel ççalalışışmalardan yararlanarak, malardan yararlanarak, elde edilen ampirik formelde edilen ampirik formüüllerden llerden elastisiteelastisite
modmodüüllüü
tahmin edilebilir tahmin edilebilir
Bu baBu bağığıntntıılardan biri lardan biri L'HermiteL'Hermite
formformüüllüüddüür r
cfKE
İlişkideki K parametresi 18000-23000 arasında değerler alabilmektedir.
Amerikan Beton EnstitAmerikan Beton Enstitüüssüünce belirlenen nce belirlenen babağığıntntııya gya gööre (ACI re (ACI BuildingBuilding
CodeCode
318318--92) 92)
Normal aNormal ağığırlrlııklklıı
betonlar ibetonlar iççin (in (=2300 kg/m=2300 kg/m33) )
cc f4.73E fc<40 MPa
6.9f3.32E cc 40<fc<80 MPa
cc f3.65E 80<fc<140 MPa
TS 500TS 500’’de ise betonun basde ise betonun basıınnçç
dayandayanıımmıına na babağğllıı
olarak olarak elastisiteelastisite
modmodüüllüünnüün an aşşaağığıdaki daki
babağığıntntııyla hesaplanabileceyla hesaplanabileceğğini belirtmektedir ini belirtmektedir
14000f3250E ckjcj
ElastisiteElastisite
modmodüüllüü
ayrayrııca ca ultrasesultrases yyööntemiyle de saptanabilir ntemiyle de saptanabilir
L uzunluL uzunluğğunda bir beton unda bir beton üüzerinde zerinde öözel aygzel aygııtlarla tlarla üüretilen retilen ultrasesultrases
dalgalardalgalarıınnıın, beton elemann, beton elemanıın bir n bir
ucundan diucundan diğğer ucuna varabilmesi ier ucuna varabilmesi iççin, gein, geççen (t) en (t) zamanzamanıı
mikrosaniyemikrosaniye
mertebesinde mertebesinde ööllçüçüllüür. Beton r. Beton
iiççindeki V ses hindeki V ses hıızzıı
;;
tLV olarak cm/s boyutunda bulunur
gδxVE 2
bağıntısından E hesaplanabilir. Burada
betonun birim hacim ağırlığı, g yerçekimi ivmesidir
Boyut değişimi yapıldığında bağıntı
şu şekle gelir :
9.81δxxV10E 25
Burada, V km/sn,
kg/lt, E kgf/cm2
birimlerinde alınır
Tablo Tablo ’’da farklda farklıı
ssıınnııflardaki betonlarflardaki betonlarıın basn basıınnçç dayandayanıımlarmlarıı
kullankullanıılarak larak elastisiteelastisite
modmodüülleri delleri değğiişşik ik
standartlara veya bastandartlara veya bağığıntntıılara glara gööre hesaplanmre hesaplanmışışttıır. r.
Elastisite
Modülü
(MPa)
fc
(MPa) TS500 ACI CEBSmith-
Young Voellmy
20 28534 21153 27088 27100 20000
30 31801 25907 31008 35348 26087
40 34555 29915 34129 43360 32000
50 36981 30376 36764 45167 33333
80 43069 36595 43000 72267 53333
ÖÖRNEK SORULARRNEK SORULAR
20 cm ayr20 cm ayrııtltlıı
bir beton kbir beton küüp p üüzerinde yapzerinde yapıılan lan basbasıınnçç
deneyinde; 12 tonluk ydeneyinde; 12 tonluk yüük altk altıında nda
betonun 1,6x10betonun 1,6x10--2 2 mm kmm kıısaldsaldığıığı, 6 ton y, 6 ton yüük k altaltıında ise 0,83x10nda ise 0,83x10--22mm kmm kıısaldsaldığıığı
ööllçüçülmlmüüşşttüür. r.
Bu sonuBu sonuççlara glara gööre betonun re betonun --
(f(f--) davran) davranışıışı ““VoellmyVoellmy
ParabolParabolü”ü”
ile simgelenmekte ise ile simgelenmekte ise
betonun olasbetonun olasıı
basbasıınnçç
dayandayanıımmıınnıı
bulunuz.bulunuz.
ÖRNEK -
1
ÖÖRNEK SORULARRNEK SORULAR
15 cm 15 cm ççaplaplıı, 30 cm y, 30 cm yüükseklikli beton silindir kseklikli beton silindir öörnekleri rnekleri ortalama 56 ton basortalama 56 ton basıınnçç
yyüükküünde knde kıırrıılmlmışışlardlardıır. Kr. Kıırrıılma anlma anıında nda
ise 0,6 mm kise 0,6 mm kıısalmsalmışışlardlardıır. Betonun fr. Betonun f--
davrandavranışıışı
SmithSmith
YoungYoung fonksiyonu ile simgelenmektedir.fonksiyonu ile simgelenmektedir.
a)Basa)Basıınnçç
dayandayanıımmıınnıı
ve kve kıırrıılma anlma anıındaki birim ndaki birim şşekil deekil değğiişşimini imini hesaplayhesaplayıınnıız.z.b)b)ElastisiteElastisite
modmodüüllüünnüü
hesaplayhesaplayıınnıız.z.
c)Bu malzemeden yapc)Bu malzemeden yapıılmlmışış
40*20 cm 40*20 cm enkesitlienkesitli, 2,50 m , 2,50 m yyüükseklikli kolonun en fazla 1,25 mm kkseklikli kolonun en fazla 1,25 mm kıısalma yapmassalma yapmasıına izin na izin verilmektedir. Sverilmektedir. Sööz konusu kolona kaz konusu kolona kaçç
ton yton yüük emniyetle k emniyetle
yyüüklenebilir?klenebilir?(Emniyet katsay(Emniyet katsayııssıı=2,5)=2,5)
ÖRNEK -
2
ÖÖRNEK SORULARRNEK SORULAR
10*10*50 cm ayr10*10*50 cm ayrııtltlıı
bir beton prizma bir beton prizma üüzerinde zerinde ekseneleksenel
dodoğğrultuda yaprultuda yapıılan lan ultrasesultrases
deneyinde sesin 50 deneyinde sesin 50 cmcm’’liklik
boyu boyu 128 128 mikrosaniyemikrosaniye
de gede geççtitiğği saptani saptanııyor. Bu betondan yor. Bu betondan
yapyapıılacak 275 cm ylacak 275 cm yüükseklikli ve 40*40 cm kseklikli ve 40*40 cm enkesitlienkesitli
bir kolon bir kolon 91200 91200 kgkg’’llııkk
ddüüşşey ve ey ve ekseneleksenel
yyüük altk altıında ani olarak ne nda ani olarak ne
miktarda kmiktarda kıısalsalıır?r?VarsayVarsayıımlar; mlar; betonun fbetonun f--
davrandavranışıışı
voellmyvoellmy
parabolparabolüüne uymaktadne uymaktadıır.r.
LL’’
HermitteHermitte
formformüüllüü
gegeççerlidir. K=20000 alerlidir. K=20000 alıınacaktnacaktıır.r.Betonu birim hacim aBetonu birim hacim ağığırlrlığıığı
2,4 kg/2,4 kg/ltlt’’dirdir..
Kolonun kendi aKolonun kendi ağığırlrlığıığı
ve burkulma ihmal edilecektir.ve burkulma ihmal edilecektir.
ÖRNEK -
3