N.4 Modelos II

UNIVERSIDAD DEL CAUCA

FIC Y FIET

Modelos Matemáticos que Responden ED de Primer Orden Lecturas de Clase IV

Mg. Julián Andrés Zúñiga

Modelo de Tanque

Antes de empezar a describir el modelo es necesario establecer las notaciones que se emplearan:

Concentración

eC t Indica concentración de entrada

sC t Indica concentración de salida

. . .C unid masa unid vol

Caudal

ev t Indica caudal de entrada

sv t Indica caudal de salida

. . .v Unid Vol Unid Tiempo

Condición

Sea x x t la función que representa la cantidad total de substancia S dentro del

tanque después de un tiempo t , la cual una concentración C C t .

Si se agita rápidamente la substancia de manera que se mantenga

homogéneamente distribuida, se cumple s

C C .

Si la substancia ni se crea ni se destruye en el proceso, la razón neta de cambio de

x x t es igual a la diferencia entre las razones de entrada y salida de la

substancia.

Propuesta

i

i i

d xv t C t

dt donde ,i e s y

x tC t

V t

Ecuación Diferencial

d x

a t x b tdt

, donde

s

v ta t

V t y e e

b t v t C t

Las condiciones iniciales se presentan tanto en el volumen como en la cantidad de substancia y concentración.

Por otro lado el volumen se puede expresar:

e s

dVv t v t

dt , lo que implica que 0

o

t

e st

V t V t v t v t dt

eC t

sC t

ev t

sv t

C t


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Ejercicios

1. Un tanque está lleno con 8 gal de agua

salada en la cual 2 lbde sal están

disueltas. Agua salada con 3 lb de sal

por galón entra al tanque a 4 gal min , y

la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

a. Establezca una ED para la cantidad de sal como una función de tiempo t .

b. Encuentre la cantidad de sal como una función del tiempo.

c. Encuentre la concentración de sal

después de 8 min .

d. ¿cuánta sal hay después de un tiempo largo?

2. Un tanque tiene 40 gal de agua pura.

Una solución salada, con 1 lb de sal por

galón entra a 2 gal min , y la mezcla bien

agitada sale a la misma tasa.

a. ¿Cuánta sal hay en el tanque en cualquier tiempo?

b. ¿Cuándo el agua que sale tendrá 0.5 lb

?

3. Un tanque tiene 10 gal de agua salada

con 2 lb de sal disuelta. Agua salada con

1.5 lb de sal por galón entra a 3 gal min ,

y la mezcla bien agitada sale a 4 gal min .

a. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

b. Encuentre la concentración de sal

después de 10 min .

c. Grafique la cantidad y concentración de sal contra el tiempo y obtenga el máximo en cada caso.

4. Considere el ejercicio anterior, pero teniendo en cuenta que inicialmente en el tanque el agua es pura, compare los resultados

5. Consideremos un tramo del Río Cauca desde un punto antes de Popayán hasta un punto después de Popayán como un

tanque con un volumen de 60 millones de metros cúbicos en el cual hay una concentración de contaminantes (detergentes y tóxicos de uso doméstico, desechos industriales, etc. ) del 0.00001%. Supóngase que a partir de

0t entra agua con una concentración

de contaminantes del 0.001% a razón de 31200 m s y que sale igual cantidad de

agua bien mezclada.

a. ¿Cuál será la concentración de contaminantes en el río al cabo de t

minutos?

b. ¿Cuánto tardará la concentración en elevarse al 0.0001%?

c. Si las condiciones persisten, ¿Qué pasará cuando t ?

6. Una fábrica está situada cerca de un

río con caudal constante de 31000 m s

que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con un volumen de 1000 millones de metros cúbicos. Suponiendo que la fábrica empezó a funcionar el 1 de febrero 2001, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, se bombean

continuamente al río a razón de 31m s y

que el lago tiene una salida de 31000 m s

de agua bien mezclada.


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a. Esboce la gráfica de la función

x x t que representa la contaminación

en el río al cabo de t días.

b. Calcule a cuánto ascenderá esta contaminación al cabo de: un día, un mes (30 días) y un año (365 días).

7. Un tanque de 400 galones se llena con una solución salina que contiene 45

libras de sal. En cierto momento, la solución salina comienza a salir de una válvula abierta en la base del tanque a

razón de 5 gal min . En forma

simultánea, se agrega al tanque una mezcla de solución salina que contiene

1 8 lb gal a razón de 3 gal min . Tres

horas después se abre una válvula de

agua dulce, la cual suministra 2 gal min

al tanque además de la mezcla salina que ya se agregó al tanque. Calcule la cantidad de sal que hay en el tanque en

cualquier tiempo 0t . ¿Cuál es la

cantidad de sal estacionaria en el tanque? .

Modelo de Circuitos

Circuito RL Circuito RC

Para poder dar una descripción clara sobre los circuitos en serie representados, es

necesario indicar que E representa la caída de voltaje, R coeficiente de resistencia (o

simplemente resistencia), L coeficiente de inductancia (o simplemente inductancia) y C

coeficiente de capacitancia (o simplemente capacitancia). Donde E Voltios o fem ,

R Ohmio , L Henrio y C Faradio .

Experimentalmente las siguientes leyes se cumplen

La caída de voltaje a través de una resistencia R

E es proporcional a la corriente I

que pasa a través de la resistencia

RE I R

La caída de voltaje a través de un inductor L

E es proporcional a la tasa de tiempo

instantánea de cambio de corriente I

L

d IE L

dt

E

R

I

C

E

R

I

L

E

R

I

C


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La caída de voltaje a través de un condensador C

E es proporcional a la carga

eléctrica Q instantánea en el condensador C

C

QE

C

Es importante considerar que la corriente es la tasa de tiempo instantánea de cambio de la carga eléctrica.

dQI

dt

Donde las unidades de I Amperio y Q Culombio .

Ley de Kirchhoff

El voltaje suministrado E es igual a la suma de todas las caídas de voltaje. Considerando las leyes mencionadas se puede analizar cada uno de los circuitos que inicialmente se encuentran enunciados.

Circuito RL

0 0

d IL I R E

dt

I t I

, cuya solución es dada por expresión

1

0

R RL L

t t

LI t I e E t dt e

Circuito RC

0 0

dQ QR E

dt C

Q t Q

, cuya solución es dada por expresión

1 1

1

0

RC RCt t

RQ t Q e E t dt e

Ejercicios

1. Pruebe que un circuito RC también se

puede expresar mediante la ED:

1d I d ER I

dt C dt , cuya solución es dada

por la expresión:

1 1

1

0

RC RCt t

R

d EI t I e dt e

dt

,

bajo condiciones iniciales.

2. Un condensador de 35 10 faradios

está en serie con una resistencia de 25

ohmios y una fem en voltios, dada por la

expresión 50 6Cos t . El interruptor se

cierra en 0t . Asumiendo que la carga

en el condensador es cero en 0t ,

determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.


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3. Una resistencia de 4 ohmios y un inductor de 1 henrio se conecta en serie

con un voltaje dado por 4100 50te Cos t,

0t . Encontrar la corriente cuando

00I en 0t .

4. Una resistencia de 200 ohmios se conecta en serie con un condensador de

0,01 faradios y una fem en voltios dada

por 3 640 20t te e . Si 0Q en 0t ,

muestre que la caída máxima en el condensador es de 0,25 culombios.

5. Un circuito consiste de una resistencia

constante de R ohmios en serie con una

fem constante de E voltios y una

inductancia constante de L henrios. Si la corriente inicial es cero, muestre que la corriente crece a la mitad de su valor

teórico máximo en 2t L R Ln .

6. Un inductor de L henrios varía con el tiempo t (segundos) de acuerdo a la

expresión 0,05 0,001L t t , si

0 1003t . Se conecta en serie con una

fem de 40 voltios y una resistencia de 10

ohmios. Si 0I en 0t , encuentre:

a. I t , 0t

b. La corriente máxima teórica

7. Un circuito tiene R ohmios C

faradios, y E voltios en serie con un

interruptor, siendo R , C y E

constantes. La carga inicial en el

condensador es cero. Si el interruptor está cerrado hasta que la carga sea 99%

de su máximo teórico y luego E se reduce repentinamente a cero, encuentre

Q de ahí en adelante.

8. Una fem periódica E t mostrada

gráficamente en la figura, se aplica en

0t a un circuito consistente de R

ohmios y C faradios, donde R y C

constantes. Encuentre la carga cuando

4t T , asumiendo que en 0t la carga

es cero.

9. ¿Qué valor de L debería de escogerse

en un circuito LR con 100E voltios y

1000R omhs si se desea que la corriente

aumente de 0 a 25% de su valor final en 410 segundos?

10. encontrar la corriente I t en un

circuito RC, suponiendo 1R , 1C F ,

una carga inicia cero en el capacitor y

1 0

1

t si t aE t

a si t a

Modelo de Cable Colgante

Considere un cable o una cuerda que cuelga de dos puntos A y B , no necesariamente al mismo nivel. Asuma que el cable es flexible de modo que debido a su carga (la cual puede ser debida a su propio peso o fuerzas externas actuantes, o una combinación de éstas)

toma la forma que se indica en la figura. Sea C la posición más baja del cable, la carga

T 2T 3T

E t

4Tt

0E


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total del arco CP se denota por W w x la cual se asume en algún punto R , no

necesariamente en el centro del arco.

Condición

La función y y x representa la forma que toma el cable debido a las cargas

presentes. (función utilizada en la construcción de puentes modernos).

El sistema CRP se encuentra en equilibrio. Es decir: 0

0

TCos H

T Sen W

Ecuación Diferencial

1

0

d yw x

d x H

y b

(1), considerando H como una constante, ya que es la tensión en el punto

más bajo.

Una ED equivalente a la (1) es

2

2

1

0 0

d y d w

d x H d x

y

(2), es importante recordar que 0x , la

función y y x alcanza su valor mínimo de ahí que,

0

0x

d y

d x

.

La expresión dw d x representa el incremento de W por unidad de incremento en x .

(Carga por unidad de distancia en la dirección horizontal)

Solución

De acuerdo a las condiciones del problema se establece dw d x , y luego se resuelve la ED

(2) integrando dos veces.

T

yT

xT

P

CH

W

R

A

By

x

C

,P x y

b

A

By

xC

,P x y

T

yT

xT

P

CH

W

R


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Ejercicios

1. Un cable de poco peso (despreciable) soporta un puente uniforme. Determine la forma del cable.

2. Un cable con densidad lineal

constante ( dw ds ) cuelga entre

dos puntos fijos. Determine su forma.

Se sugiere considerar la expresión de longitud de arco. 3. Un cable de un puente colgante tiene sus soportes al mismo nivel, separados a una distancia de 500 pies. Si los soportes están a 100 pies más altos que el punto mínimo del cable, use un conjunto apropiado de ejes para determinar la ecuación para la curva que describe el cable cuelga, asumiendo que el puente es

de peso variable de 2400 0.001 x libras

por pie de longitud, donde x es la

distancia en pies desde el centro del

puente y que el peso del cable es despreciable. Encuentre la pendiente del cable en los soportes.

4. Un cable tiene una densidad

constante en libras por pie y cuelga de

dos soportes al mismo nivel separados L pies. Si la tensión en el punto más bajo

del cable es H libras, muestre que la

tensión del cable en los soportes está

dada, en libras, por 2

LHCosh

H

.

5. Muestre que el peso total del cable del ejercicio anterior es dado por la

expresión 22

LH Senh

H

.

6. Un cable de densidad 0.4 lb pie tiene

250 pies de largo. Cuelga de dos soportes que están al mismo nivel y separados 200 pies.

a. Calcule la distancia de los soportes por encima del punto más bajo del cable.

b. Calcule la tensión en ese punto.

7. Un cable de densidad 0.5 lb pie cuelga

de dos soportes que están al mismo nivel y separados 50 pies. Los soportes están a 10 pies por encima del punto más bajo del cable. Encuentre

a. La longitud del cable

b. La tensión en el punto más bajo del cable

c. La tensión en los soportes del cable

8. Un cable de P pies de largo tiene una

densidad constante de libras por pie.

Cuelga de dos soportes que están a un

mismo nivel y separados L pies. Los soportes están a pies por encima del

punto más bajo del cable. Muestre que la

tensión H en el punto más bajo del cable está dada por:

2 2 2

LH

Ln P a P a

x

y

x

y

P

Q

y

x

s

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