NAGY ADRIENN - DR. SÁRKÁNY PÉTERmikroökonomia

7/16/2019 NAGY ADRIENN - DR. SÁRKÁNY PÉTERmikroökonomia

http://slidepdf.com/reader/full/nagy-adrienn-dr-sarkany-petermikrooekonomia 1/206

NAGYADRIENN - DR. SÁRKÁNY PÉTER

KÖZGAZDASÁGTAN I. MIKROÖKONÓMIAI

FELADATGYÜJTEMÉNY

BUDAPEST, 2010.



Szerzők:

Nagy Adrienntanársegéd

Dr. Sárkány Péterf őiskolai docens

Lektorálta:

Dr. habil Solt Katalinegyetemi docens

ISBN: 978-963-87306-4-0

© Nagy Adrienn − Sárkány Péter

Minden jog fenntartva. A könyv egészének vagy részének újranyomtatása, másolása, bármi-

lyen formában történő újraelőállítása akár mechanikus úton, illetve egyéb módon, beleértve

minden információtárolási és hozzáférési rendszert is, a szerzők valamint a kiadó írásbeli

engedélye nélkül tilos és büntető jogi felel

ősségre vonással járhat.

Budapest, 2010.

Kiadó: Dr. T.O.P. Kft., Budapest

Felelős vezető: Dr. Sárkány Péter ügyvezető



TARTALOMJEGYZÉK

Előszó .................................................................................................................... 5

I. Termelési lehetőség görbéje .............................................................................. 7

II. Kardinális hasznosság ................................................................................... 33

III. Ordinális hasznosság .................................................................................... 45

IV. Árupiaci kereslet .......................................................................................... 77

V. Termelési függvények ................................................................................... 95

VI. Költségek és profitok .................................................................................. 107

VII. Költségfüggvények .................................................................................... 115

VIII. Kínálat tökéletes versenynél ..................................................................... 139

IX. Kínálat monopólium esetén ........................................................................ 159

X. Kínálatok összehasonlítása ........................................................................... 171

XI. Árupiaci egyensúly ..................................................................................... 187

XII. Függvények ................................................................................................ 205



Előszó

Az elméleti tantárgyak – így a mikroökonómia – oktatása, megértése, megtanulá-sa, az összefüggések átlátása nem könnyű feladat. Ez a 255 példát tartalmazó

gyű jtemény, amelyet a Tisztelt Olvasó most a kezében tart, megpróbál ebben se-gítségre lenni. Egyrészt olyan módon, hogy a feladatok megoldásánál nemcsak avégeredmény, hanem a részletes levezetés is szerepel. Másrészt a példák sokszí-nűsége, nehézségi szintjeinek fokozatos emelkedése és egyben a típusoknál sze-replő feladatok sokasága is könnyebbé teszi a megértést. Az utolsó fejezetbenszereplő táblázatok a mikroökonómia legfontosabb függvényeit, azok jellemzőitfoglalja össze. De ezek kitöltése a Kedves Olvasó feladata. Éppen azért, hogyezzel is ösztönözzük folyamatos tanulást, és kicsit a rendszerezés fontosságárapróbáljuk felhívni a figyelmet.

Az ún. Bologna-folyamat által létrejött változások miatt a korábban három félév-ben oktatott elméleti közgazdaságtan (mikroökonómia és makroökonómia) kétfélévre szűkült le. Ezért szükségessé vált bizonyos témakörök kihagyása az okta-tásból, akár csak a példák szintjén, akár az elmélettel együtt. Jelen példatár ennekmegfelelően került összeállításra, amelyhez átvettük egyrészt a korábban hosz-szabb időn át oktatott Közgazdaságtani alapok, illetve a Mikroökonómia tan-tárgyhoz kapcsolódó jól bevált példatárak feladatait. Ugyanakkor számos példá-val is bővítettük és korszerűsítettük azokat, és kijavítottuk a fellelt hibákat, elüté-seket. Természetesen nem szándékosan, de biztos maradtak még hibák e feladat-gyű jteményben is. Éppen ezért nagy örömmel és köszönettel veszünk mindenészrevételt, a továbblépést segítő ötletet, vagy a hibákra felhívó véleményt minda hallgatóktól, mind a tantárgy szemináriumait vezető kollégáktól, mind pedig atéma iránt érdeklődő szakemberektől az alábbi email-címen:[email protected].

A feladatgyű jtemény összeállítása során természetszerűleg felhasználtuk a Mo-dern Üzleti Tudományok Főiskolájának korábbi vizsgapéldáit, és esetenként me-rítettünk más példatárakban talált ötletekből és más oktatók javaslataiból is. Ép-pen ezért szeretnénk külön megköszönni kollégánk, dr. Barsi Gusztávné munká- ját, tanácsait. Szeretnénk köszönetet mondani Dr. habil Solt Katalin egyetemidocensnek, lektorunknak, aki véleményével nagyban hozzájárult a feladatgyű j-temény elkészítéséhez.

Budapest, 2010. szeptember

A Szerzők





I. Termelési lehetőség görbéje 7.

I. TERMELÉSI LEHETŐSÉG GÖRBÉJE

Feladatok

1. a) Rajzoljon fel egy tetszőleges termelési lehetőség-görbét X és Y ter-mékek tekintetében!b) A megrajzolt ábrába jelölje be a következő pontokat:

A Nem megvalósítható jószágkombinációB Nem hatékony erőforrás-felhasználással csak X terméket ter-

melnekC Teljes és hatékony erőforrás-felhasználással további terméke-

ket is tudnának előállítaniD Csak Y terméket termelnek nem teljes erőforrás-

felhasználássalE Minden erőforrást az X termék előállítására használnak felF Csak olyan módon tudnák az egyik termék előállítását növelni,

ha a másikból kevesebbet termelnénekc) A fentiek közül melyek a nem Pareto-hatékony kombinációk?

2. Egy társadalom X és Y jószágokat termel. A termelési lehetőség görbé- jének egyenlete:

X2 + 9*Y2 = 225.

a) Rajzolja fel a termelési lehetőség görbéjét!b) Az alábbi táblázat jószágkombinációkat és azok értékelését tartal-

mazza. Az üres cellákba írja be vagy a hiányzó mennyiségeket, vagya jószágkombinációk értékeléseinek a kombinációhoz illő eseteit azalábbi lehetőségek közül: 1. megvalósítható és Pareto-hatékony;2. megvalósítható, de nem hatékony; 3. nem valósítható meg.

X mennyisége Y mennyisége Értékelés0 5

15 Megvalósítható és Pareto-hatékony5 53 Megvalósítható, de nem hatékony

4 Nem valósítható megMegvalósítható, de nem hatékony

3 3

Nem valósítható meg



8. I. Termelési lehetőség görbéje

3. Az alábbi termelési lehetőség görbén mely pontra, vagy pontokra igazaz, hogy:

a) csak egyik termékből termelnek, de nem hatékonyan;b) mindkét termékből termelnek, de nem hatékonyan;c) csak egyik termékből termelnek, és Pareto-hatékonyan;d) mindkét termékből termelnek, és Pareto-hatékonyan;e) adott feltételek (erőforrás mennyisége és technikai fejlettség)

mellett nem termelhető kombináció;f) adott feltételek (erőforrás mennyisége és technikai fejlettség)

mellett, csak az egyik termékre koncentrálva nem termelhető le-hetőség;

g) az erőforrások nincsenek kihasználva (több pontot kell jelölni!);h) az erőforrások teljes mértékben (Pareto-hatékonyan) kihasználás-

ra kerülnek (több pontot kell jelölni!);i) adott feltételek mellett nem elérhető lehetőség (több pontot kell

jelölni!).

F

A

BD

E

C

y termék mennyisége

x termék mennyisége




4. Egy gazdaság tekintetében adott az alábbi termelési lehetőség görbe:

Y = 196 – 2,8*X

a) Mennyi az X illetve az Y termékekből a maximális termelés mennyi-sége?

b) Mennyi az egyes termékek alternatív költsége?

5. Egy gazdaság tekintetében adott az alábbi termelési lehetőség görbe:

325 = 2,5*X + Y

a) Mennyi az X illetve az Y termékekből a maximális termelés mennyi-

sége?b) Mennyi az egyes termékek alternatív költsége?

6. Egy gazdaságban az Y = f(X) típusú termelési lehetőség görbéjénekegyenlete a következőképpen írható fel:

X = 242 – Y2 /2

a) Maximálisan mennyi „X” illetve „Y” terméket tud a gazdaság előál-

lítani?b) Írjon fel olyan konkrét termelési kombinációkat, amelyben mindkét

termékből termelnek:b1) de nem használják ki az erőforrásokat teljes mértékben,b2) kihasználják az erőforrásokat teljes mértékben!

7. Egy gazdaságban az Y = f(X) típusú termelési lehetőség görbéjénekegyenlete a következőképpen írható fel:

Y = (1728 – 3*X)1/3

a) Maximálisan mennyi „X” illetve „Y” terméket tud a gazdaság előál-lítani?

b) Írjon fel olyan konkrét termelési kombinációkat, amelyben mindkéttermékből termelnek:b1) de nem használják ki az erőforrásokat teljes mértékben,b2) kihasználják az erőforrásokat teljes mértékben!




8. Egy darab „A” termék előállításához 3 órára van szükség. A társadalomrendelkezésére összesen 360 óra áll. A „B” termékből – az erőforrásokteljes felhasználásával – maximálisan 90 darabot képesek megtermelni.a) Írja fel a termelési lehetőség görbéjének egyenletét!b) Maximálisan mennyi „A” terméket tud a gazdaság megtermelni?c) Rajzolja fel a termelési lehetőségek görbéjét!d) Írjon fel egy olyan jószágkombinációt, amelynél mindkét termékből

gyártanak, mégpedig Pareto-hatékony módon!e) Milyen következtetésre juthatunk annak ismeretében, hogy ténylege-

sen az „A” termékből 25 darabot és a „B” termékből 65 darabot állí-tanak elő?

9. Egy gazdaságban kétféle terméket állítanak elő. Ha csak „Y” terméket

termelnek, akkor maximum 140 db készül el. Egy „X” termék előállítá-sához 2 munkaóra szükséges. Pareto hatékony az a termelési kombiná-ció, ha 100 db „X” és 100 db „Y” termék készül el.a) Írja fel az Y = f(X) típusú termelési lehetőség görbéjének egyenletét!b) Maximálisan mennyi „X” terméket tud a gazdaság előállítani?

10. Rajzoljunk egy lineáris termelési lehetőség görbét! Jelöljük ezt TLG1-gyel! Az egyes tengelyeken az x és az y termék szerepel. Rajzoljunkegy olyan termelési lehetőség görbét, amely ehhez képest:

a) több erőforrást tartalmaz (jelöljük TLG2-vel);b) az x terméknél technikai fejlesztést mutat (TLG3-mal jelöljük);c) mindkét terméknél technikai fejlesztést tartalmaz, de eltérő mérték-

ben (jelöljük TLG4-gyel);d) azonos mértékű technikai fejlesztést mutat mindkét terméknél

(TLG5-tel jelöljük)!

11. A következő ábrán két termékre és két erőforrásra rajzoltuk fel a terme-lési lehetőség görbéket. Mely pontra, vagy pontokra igaz az, hogy:

a) csak egyik termékből termelnek, és mindkét erőforrás esetén nemhatékonyan;

b) csak egyik termékből termelnek, és egyik erőforrás esetén haté-konyan, de a másikból nem használják ki a rendelkezésre álló le-hetőséget;

c) csak egyik termékből termelnek, és egyik erőforrás esetén haté-konyan, de a másik szempontjából nem elérhető módon;

d) mindkét termékből termelnek, és mindkét erőforrás esetén nemhatékonyan;




e) mindkét termékből termelnek, és egyik erőforrás esetén hatéko-nyan, de a másikból nem használják ki a rendelkezésre álló lehe-tőséget;

f) mindkét termékből termelnek, és egyik erőforrás esetén hatéko-

nyan, de a másik szempontjából nem elérhető módon;g) mindkét termékből termelnek, és Pareto-hatékonyan (azaz opti-

mális megoldást választanak);h) adott feltételek (erőforrás mennyisége és technikai fejlettség)

mellett nem termelhető kombináció;i) adott feltételek (erőforrás mennyisége és technikai fejlettség)

mellett, csak az egyik termékre koncentrálva nem termelhető le-hetőség;

j) legalább az egyik erőforrás nincs kihasználva (több pontot kell je-

lölni!);k) mindkét erőforrás teljes mértékben (Pareto-hatékonyan) kihaszná-

lásra kerül;l) adott feltételek mellett legalább az egyik erőforrást tekintve nem

elérhető lehetőség (több pontot kell jelölni!);m) adott feltételek mellett mindkét erőforrás szempontjából nem el-

érhető lehetőség.

J

G

F

A

B

D

E

C



H




12. Egy gazdaságban összesen 90 egységnyi munka és 100 egységnyi tőkeáll rendelkezésre. Egységnyi X termék termeléséhez 10 egység tőke és6 egység munka kell. Egységnyi Y termék előállítása 8 egység tőke és10 egység munka felhasználásával lehetséges.a) Mennyit kell X és Y termékből előállítani, hogy mindkét termelési

tényezőt teljes mértékben kihasználják?b) Rajzolja meg a termelési lehetőségek görbéjét!c) Mutassa ki, melyik szakaszon van felesleg munkából, illetve tőké-

ből!d) Számítsa ki a lehetséges határköltség adatokat!

13. Egy gazdaságban összesen 600 egységnyi munka és 500 egységnyi tő-ke áll rendelkezésre. A tőkéből egységnyi X termék előállításához 5

egység, Y termékhez 3 egység kell. Munkából egységnyi X termékhez2 egység, Y termékhez 4 egység szükséges.a) Mennyit kell X és Y termékből előállítani, hogy mindkét termelési

tényezőt teljes mértékben kihasználják?b) Rajzolja meg a termelési lehetőségek görbéjét!c) Mutassa ki, melyik szakaszon van felesleg munkából, illetve tőké-


14. Egy gazdaságban rendelkezésre álló munkával és tőkével X és Y ter-méket állítanak elő. Ha a teljes munkamennyiséget X előállítására for-dítják, akkor évente 22 ezer tonnát tudnak termelni. Ha az összes mun-kamennyiséget Y előállítására fordítják, akkor évente 8 ezer tonna elő-állítása lehetséges. Ha a teljes tőkemennyiséget X előállítására fordít-

ják, akkor évente 11 ezer tonna a termelés. Ha a teljes tőkemennyiségetY előállítására fordítják, akkor évente 12 ezer tonna termelhető. Össze-sen 88.000 munkamennyiség és 132.000 tőkemennyiség áll rendelke-zésre.

a) Mennyit kell X és Y termékből előállítani, hogy mindkét termelésitényezőt teljes mértékben kihasználják?b) Rajzolja meg a termelési lehetőségek görbéit!c) Mutassa ki, melyik szakaszon van felesleg munkából, illetve tőké-


15. Egy gazdaságban rendelkezésre álló munkával és tőkével X és Y ter-méket állítanak elő. Ha a teljes munkamennyiséget X előállítására for-

dítják, akkor évente 160 darabot tudnak termelni. Ha az összes munka-




mennyiséget Y előállítására fordítják, akkor évente 440 darabot termel-nek. Ha a teljes tőkemennyiséget X előállítására fordítják, akkor évente240 darab előállítása lehetséges. Ha a teljes tőkemennyiséget Y előállí-tására fordítják, akkor évente 220 darab a termelés. Összesen 8.800

munkamennyiség és 26.400 tőkemennyiség áll rendelkezésre.a) Mennyit kell X és Y termékből előállítani, hogy mindkét termelési

tényezőt teljes mértékben kihasználják?b) Rajzolja meg a termelési lehetőségek görbéit!c) Mutassa ki, melyik szakaszon van felesleg munkából, illetve tőké-


16. Egy gazdaságban a rendelkezésre álló összes munkaóra 1.600. Két ter-

méket (X és Y) állítanak elő.Pareto-hatékonyak az alábbi allokációk:

I. 160 db X és 400 db Y termékII. 280 db X és 100 db Y termék

a) Írja fel a termelési lehetőség lineáris Y = f(X) típusú függvényét!b) Mennyi az egyes termékek alternatív költsége?

17. Egy gazdaságban a rendelkezésre álló összes munkaóra 2.000. Két ter-méket (X és Y) állítanak elő. Pareto-hatékonyak az alábbi allokációk:

I. 120 db X és 260 db Y termékII. 200 db X és 100 db Y termék

a) Írja fel a termelési lehetőség lineáris Y = f(X) típusú függvényét!b) Mennyi az egyes termékek alternatív költsége?

18. Adott három gazdaság, amelyekben a homogén x és y terméket terme-lik eltérő adottságokkal. A termelési lehetőségek görbéjének egyenleteiaz alábbiak:

A gazdaságban: y = 64 – x2 /16B gazdaságban: y = 64 – 2*xC gazdaságban: y = 64 – 16* 2 / x

a) Mennyit termelhetnek az egyes gazdaságok x és y termékekből, havalamennyi erőforrásukat csak az egyik, illetve a másik termelésérefordítják?




b) Számítsa ki az egyes országok hány y-t tudnak termelni x = 4, x = 8és x = 16 esetén!

c) Állapítsa meg, hogy melyik országban érvényesül az állandó, a nö-vekvő, illetve a csökkenő alternatív költségek tendenciája! Állítását

különböző módon indokolja, így az x terméknek y termékben kifeje-zett alternatív költségeinek felhasználásával, grafikus ábrázolás al-kalmazásával, illetve a derivált függvények alapján, x növelésével!

19. Három gazdaságban ugyanazt az x és y terméket termelik, igaz eltérő adottság mellett. A termelési lehetőségek görbéjének függvényeit a kö-vetkezőképpen írhatjuk fel:

A gazdaságban: 24 = y + x3 /9

B gazdaságban: 72= 3*y + 12*xC gazdaságban: 48 = 2*y + 3* x

a) Maximálisan mennyi x illetve y terméket állíthatnak elő az egyesgazdaságok?

b) Amennyiben x termékből két darabot, illetve négy darabot készíte-nek, akkor y termékből mennyit termelhetnek?

c) Mit mondhatunk az egyes országokban az alternatív költségek ten-denciájáról? Állítását három eltérő módon – az x terméknek y ter-

mékben kifejezett alternatív költségeinek felhasználásával, grafikusábrázolás alkalmazásával, illetve a derivált függvények alapján, xnövelésével – indokolja!

20. Egy gazdaságban összesen 25 egységnyi munka és 20 egységnyi tőkeáll rendelkezésre. Egy darab x termék előállításához 3 egységnyi mun-kát és 4 egységnyi tőkét használnak fel, míg egy darab y előállításához5 munkaegységre és 2 tőkeegységre van szükség.a) Írja fel külön a munkára és külön a tőkére a termelési lehetőség gör-

béjének egyenletét!b) Az egyenletek ismeretében rajzolja meg a gazdaság egészére vonat-kozó termelési lehetőség görbét!

c) Számolja ki az alábbi táblázat segítségével, hogy különböző mennyi-ségű, de egész számú x termékek előállítása esetén mennyit lehet y-ból előállítani! Mutassa ki, hogy ezekben az esetekben melyik terme-lési tényezőből és milyen mértékű felesleg található a gazdaságban!(y termékből nem egész számú mennyiségeket is értelmezünk.)




xtermelésilehetősége

ytermelésilehetősége

Erőforrás-felesleg

megnevezése


mennyisége0

12

21. Amíg egy darab A termék előállításához 3 egység munkára és 5 egységtőkére van szükség, addig egy darab B termékhez ez 4, illetve 2 egység.Összesen 16 egység munka és 20 egység tőke áll rendelkezésre.a) Írja fel a munka, illetve a tőke termelési lehetőség görbéjének egyen-

letét!b) Ezek ismeretében rajzolja meg a gazdaság egészére vonatkozó ter-

melési lehetőség görbét!c) Töltse ki az alábbi táblázatot! (Az A terméknél csak egész számú

mennyiséget vegyen figyelembe, és mindaddig számítsa, amíg azelőállítást a termelési tényezők azt lehetővé teszik! B termékből nemegész számú mennyiségeket is értelmezzen!)

„A”termelésilehetősége

„B”termelésilehetősége

Munkafeleslegmennyisége

Tőkefeleslegmennyisége

012

22. Egy gazdaságban három termelési tényező van: tőke, munka és föld.Ezekkel kétféle terméket − X-et és Y-t – állítanak elő. Egységnyi Xelőállításához 2 egység tőkére, 4 egység munkára és 3 egység földrevan szükség. Egységnyi Y termeléséhez 5 egység tőke, 1 egység munkaés 2 egység föld szükségeltetik. A gazdaságban összesen 32 egység tő-ke, 28 egység munka és 26 egység föld áll rendelkezésre.a) Mennyi az egyes termékekből a maximálisan előállítható mennyi-

ség?




b) Írja fel az egyes termelési tényezőkre vonatkozó termelési lehetőséggörbéjének egyenletét!

c) Ábrázolja az egyes termelési tényezőkre vonatkozó termelési lehető-ség görbéket!

d) Mennyi az X és Y termékből az optimálisan előállítható mennyiség?

23. Ha a gazdaságban rendelkezésre álló teljes tőkét X termék előállításárafordítják, akkor maximálisan 8 db-ot tudnak belőle készíteni. Ha csak Ytermelésére fordítanák, akkor 6 db lenne a maximum. Munka esetébenaz X-nél 10 lenne az előállítható legtöbb darab, míg Y-nál csak 5. Aföld tekintetében X-nél 16, és Y-nál 4 lenne a maximálisan elkészíthető darabszám.a) Ábrázolja az egyes termelési tényezőkre vonatkozó termelési lehető-

ség görbéket!b) Írja fel az egyes termelési tényezőkre vonatkozó termelési lehetőség

görbéjének egyenletét!c) Mennyi az X és Y termékből az optimálisan előállítható mennyiség?

Megoldások

1) a) Tudjuk, hogy a termelési lehetőség görbéjénél a tengelyek az egyestermékeket jelentik, a tengelymetszetek pedig az adott jószágból maxi-málisan előállítható mennyiséget jelölik. A függvény alakja lehet egye-nes, konkáv illetve konvex is. (Megrajzolását a hallgatóra bízzuk!)

b) Az egyes pontok megrajzolásánál az alábbiakat kell figyelembe ven-ni:

A: a függvényen kívül kell elhelyezkednieB: az X tengely mentén kell lennie, de még a tengelymetszet előttC: a függvényen belül kell ábrázolni

D: az Y tengely mentén kell lennie, de még a tengelymetszet előttE: az X tengelymetszetnél vanF: a függvényen helyezkedik elEzek után egy lehetséges megoldás:




c) Nem Pareto-hatékonyak az alábbiak: B, C, D

2) a) A függvény tengelymetszeteit a szokásos módon számíthatjuk ki,azaz a másik termékből előállítható mennyiséget nullának vesszük. Afüggvény alakjának rajzolásánál figyeljünk arra, hogy az másodfokú,vagyis alakja nem lehet egyenes, hanem konkáv. Most már egyszerű adolgunk az ábra elkészítésénél, amelyet a következő oldalon közlünk!

b) A feladat megoldásához azt kell vizsgálnunk, hogy az egyenlet jobbés bal oldala hogyan viszonyul egymáshoz.

A: Mivel 02 + 9*52 = 225, így megvalósítható és hatékony

Y

D

X

E

FC

B

A

X

Y

5

15




B: Mivel 152 = 225 és Pareto-hatékonyan megvalósítható, így Y = 0a megoldásC: Mivel 52 + 9*52 > 225, így nem megvalósíthatóD: Mivel 32 = 9 és nem hatékonyan megvalósítható, így teljesülnie

kell az 9*Y2 < 225–9=216 egyenlőtlenségnek, így Y < 4,9 lehet amegoldásE: Mivel 9*42 = 144 és nem megvalósítható, így teljesülnie kell azX2 > 225–144=81 egyenlőtlenségnek, így X > 9 lehet a megoldásF: Olyan X és Y kombinációt kell választanunk, amelyre igaz az,hogy X2 + 9*Y2 < 225G: Mivel 32 + 9*32 = 90 < 225, így megvalósítható, de nem haté-konyH: Olyan X és Y kombinációt kell választanunk, amelyre igaz az,

hogy X2

+ 9*Y2

> 225

3) Az alábbi termelési lehetőség görbén mely pontra, vagy pontokra igazaz, hogy:

a) Ab) Bc) Cd) De) E

f) Fg) A és Bh) C és Di) E és F

4) a) Egy termékből a maximálisan előállítható mennyiséget úgy kapjukmeg, ha a másik termékből készített mennyiséget nullának tekintjük:

Xmax = 196/2,8 = 70 és Ymax = 196/1 = 196b) Emlékezzünk arra, hogy az alternatív költségnek nagyon sok szino-

nimája van, így haszonáldozat, lehetőség költség, feláldozott ha-szon, határköltség. A következő példákban ezek bármelyike vagyakár az eredeti angol kifejezés, az opportunity cost is szerepelhet,nekünk ezek mindig ugyanazt kell, hogy jelentsék!

Kiszámításának képlete például az „X” termék esetében:YOC = ∆X / ∆Y = x/yÍgy három lehetőség kínálkozhat számunkra:1. Felveszünk két értéket X-re, például X=5 és X=10. Ezeknél a tel-

jes erőforrás-felhasználást figyelembe véve Y=182 és Y=168 ér-tékeket kapunk. Az előbbi képlet alapján tehátYOC = (10-5) / (168-182) = 5/14 = 0,36.

2. Felhasználjuk az egy termékhez szükséges erőforrás-igények há-nyadosát, azaz YOC = 1 / 2,8 = 0,36.

Az XOC esetében YOC reciprokának számítása a kézenfekvő, azaz




XOC = 1 / 0,36 = 2,78.3. Az eredeti egyenlet X és Y együtthatói is a megoldást adják.

5) Az előző feladat megoldása alapján:a) Xmax = 325/2,5 = 130 és Ymax = 325/1 = 325b) Vegyük figyelembe, hogy itt az egységnyi termék előállításához

szükséges erőforrás-mennyiségek segítségével számítjuk ki azopportunity cost-okat, és ennek kiszámítása X esetében = LX /LY.Tehát: XOC = 2,5 / 1 = 2,5 és YOC = 1 / 2,5 = 0,4.

6) A korábbiak alapján:

c) Xmax = 242/1 = 242 és Ymax = 2422 ⋅ = 22

b1) Olyan kombinációt kell választanunk, amelyre teljesül azX + Y2 /2 < 242 egyenlőtlenség! (Például: Y=10 és X=190.)b2) Olyan termékpárost kell találnunk, amelynél igaz az, hogyX + Y2 /2 = 242 egyenlőség! (Például: Y=10 és X=192.)

7) Köbre emelve az egyenlet mindkét oldalát és rendezve:1728 = Y3 + 3*X

d) Xmax = 1728/3 = 576 és Ymax = 3 1728 = 12b1) Olyan kombinációt kell választanunk, amelyre teljesül azY3 + 3*X < 1728 egyenlőtlenség! (Például: Y=10 és X=240.)b2) Olyan termékpárost kell találnunk, amelynél igaz az, hogyY3 + 3*X = 1728 egyenlőség! (Például: Y=3 és X=567.)

8) A feladat alapján az alábbiakat ismerjük („E”-vel jelölve az erőforrásáltalános alakját):EA = 3 óra/db E = 360 óraBmax = 90 dbEbből következik, hogy EB = 360/90 = 4 óra/db.

a) Mivel E = EA * QA + EB * QB ezért 360 = 3*QA + 4*QB b) Amax = 360/3 = 120 db.c) Ábránk a következőképpen néz ki:




d) Teljesülnie kell a 3*QA + 4*QB = 360 egyenlőségnek. Jó megoldáspéldául a QA = 20 és QB = 75.

e) Helyettesítsük be az egyenletbe: 3*25 + 4*65 = 335. Mivel ez keve-sebb, mint a rendelkezésre álló összes erőforrás (360), ezért egyolyan jószág-kombinációról van szó, amely megvalósítható, de nemhatékony.

9) Írjuk fel az ismert adatokat:

Ymax = 140 dbLX = 2 óra/db100*LX + 100*LY = LA fenti információkból következik, hogy L = Ymax * LY = 140*LY.Használjuk fel az „L”-re vonatkozó egyenleteket és LX ismeretét:100*2 + 100*LY = 140*LY. Vagyis 200 = 40*LY. Így LY = 5. Ebbőladódik, hogy L = 140*5 = 700.a) QX*2 + QY*5 = 700 → Y = 140 – 2/5 * X

b) Xmax = 700/2 = 350 db.

A

B

120

90




10) c) b)

c) d)

11) a) Ab) Bc) Cd) De) E

f) Fg) Gh) Hi) J

j) A, B, D és E

k) Gl) C, F, H és Jm) H

TLG1

y termék

mennyisége

x termékmennyisége

TLG2

TLG1

y termék

mennyisége


TLG3

TLG1

y termékmennyisége


TLG4

TLG1



TLG5




12) Értelmezzük a szövegben megadottakat:L = 90 és K = 100KX = 10 és LX = 6KY = 8 és LY = 10Mindezek alapján felírhatók az erőforrásokra vonatkozó egyenlőségek:L = 90 = 6*X + 10*YK = 100 = 10*X + 8*Yn) Tulajdonképpen az optimális pontot kell meghatároznunk, amely az

egyenletrendszer megoldásából kapható meg:X = 5,4 db és Y = 5,8 db

o) Ábránk megrajzolásához érdemes a tengelymetszeteket, vagyis amaximálisan előállítható mennyiségeket kiszámítani:L-nél: Xmax = 90/6 = 15 db Ymax = 90/10 = 9 db

K-nál: Xmax = 100/10 = 10 db Ymax = 100/8 = 12,5 db

c) Ábránkon megvastagítottuk a gazdaság egészére vonatkozó terme-lési lehetőség görbét, és nyíllal jelöltük a feleslegeket!

d) A határköltségek:

L-nél: XOC = 6/10 = 3/5 YOC = 5/3K-nál: XOC = 10/8 = 5/4 YOC = 4/5

13) Adataink értelmezése a következő:L = 600 és K = 500KX = 5 és KY = 3LX = 2 és LY = 4Mindezek alapján felírhatók az erőforrásokra vonatkozó egyenlőségek:L = 600 = 2*X + 4*Y

K = 500 = 5*X + 3*Y

X

Y

5,4 15 10

5,8

12,5 9

L

K

Optimum

K felesleg

L felesleg




a) Az optimális pont meghatározása érdekében meg kell oldanunk azegyenletrendszert:X = 14 db és Y = 143 db

b) Az ábra könnyebb szerkesztéséhez érdemes a tengelymetszeteket,

vagyis a maximálisan előállítható mennyiségeket kiszámítani:L-nél: Xmax = 600/2 = 300 db Ymax = 600/4 = 150 dbK-nál: Xmax = 500/5 = 100 db Ymax = 500/3 = 167 db

c) Ábránkon vastag vonal jelöli a gazdaság egészére vonatkozó terme-

lési lehetőség görbét, és nyíllal jelöltük a feleslegeket!d) A határköltségek:

L-nél: XOC = 2/4 = 1/2 YOC = 2K-nál: XOC = 5/3 YOC = 3/5

14) Az alábbiakról van szöveges információnk:L-nél: Xmax = 22.000 tonna Ymax = 8.000 tonnaK-nál: Xmax = 11.000 tonna Ymax = 12.000 tonnaL = 88.000 és K = 132.000Ezek ismeretében kiszámíthatjuk az egy termék előállításához szüksé-ges erőforrás-igényeket:LX = 88.000/22.000 = 4 LY = 88.000/8.000 = 11KX = 132.000/11.000 = 12 KY = 132.000/12.000 = 11Most már felírhatjuk az erőforrásokra vonatkozó egyenlőségeket:L = 88.000 = 4*X + 11*YK = 132.000 = 12*X + 11*Ya) Az egyenletrendszert megoldásával meghatározhatjuk az optimális

pontot:

X = 5.500 tonna és Y = 6.000 tonna

150

X

Y

14 300 100

143 167

L

K

Optimum

K felesleg

L felesleg




b) Az ábra szerkesztésénél a maximálisan előállítható mennyiségeket,vagyis a tengelymetszeteket használjuk fel!

c) Ábránkon vastag vonal jelöli a gazdaság egészére vonatkozó terme-lési lehetőség görbét, és nyíllal jelöltük a felesleget!

d) A határköltségek:L-nél: XOC = 4/11 YOC = 11/4K-nál: XOC = 12/11 YOC = 11/12

15) Értelmezzük a megadott információkat:L-nél: Xmax = 160 db Ymax = 440 dbK-nál: Xmax = 240 db Ymax = 220 dbL = 8.800 és K = 26.400

Ezen ismeretek birtokában kiszámíthatók az egy db előállításához szük-séges erőforrás-igények:LX = 8.800/160 = 55 LY = 8.800/440 = 20KX = 26.400/240 = 110 KY = 26.400/220 = 120

Így már felírhatók az erőforrásokra vonatkozó egyenlőségek:L = 8.800 = 55*X + 20*YK = 26.400 = 110*X + 120*Ya) Az optimális pont meghatározása érdekében meg kell oldanunk az

egyenletrendszert:X = 120 és Y = 110

b) Az ábra megrajzolásánál használjuk fel, hogy a maximálisan előál-lítható mennyiségek, vagyis a tengelymetszetek adottak!

X

Y

11 000 22 000 5 500

8 000

12 000

6 000

L

K

Optimum

K felesleg

L felesleg




c) Ábránkon vastag vonal jelöli a gazdaság egészére vonatkozó terme-lési lehetőség görbét, és nyíllal jelöltük a felesleget!

d) A határköltségek:L-nél: XOC = 55/20 = 11/4 YOC = 4/11K-nál: XOC = 110/120 = 11/12 YOC = 12/11

16) Értelmezzünk adatainkat:L = 1.600 munkaóraL = LX*160 + LY*400

L = LX*280 + LY*100a) A három egyenlet ismeretében kiszámíthatjuk:LX = 5 és LY = 2Így egyenletünk: 1.600 = 5*X + 2*Y.Ezt átalakítva: Y = 800 – 2,5*X

b) Az alternatív költségek:XOC = 5/2 YOC = 2/5

17) Az információk alapján tudjuk, hogy:

L = 2.000 munkaóraL = LX*120 + LY*260L = LX*200 + LY*100a) A három egyenlet ismeretében kiszámíthatjuk:

LX = 8 és LY = 4Így egyenletünk: 2.000 = 8*X + 4*Y.Ezt átalakítva: Y = 500 – 2*X

b) Az alternatív költségek:XOC = 8/4 = 2 YOC = ½

Y

240

440

K

L

Optimum

L felesleg

K felesleg

160 120

220 110

X




18) A megoldás menete az alábbi:a) A megadott egyenletekbe x=0 illetve y=0 behelyettesítésével kide-

rül, hogy mindhárom gazdaságban maximum 64 db y terméket és 32db x terméket tudnak előállítani.

b) Helyettesítsük be a megadott értékeket és a következő kerekítettadatokat tartalmazó táblázathoz jutunk a termelhető y termékre vo-natkozóan:

Megnevezés x = 4 x = 8 x = 16„A” gazdaság 63 60 48„B” gazdaság 56 48 32„C” gazdaság 41 32 19

c) Az alternatív költségek tendenciájának meghatározása az alábbiképlet szerint: ∆y / ∆x. Ennek ismeretében a következő értékek-hez jutunk:

Gazdaság Érték 1. Érték 2. Tendencia„A” (60-63)/(8-4)= 0,75 (48-60)/(16-8)= 1,5 növekvő „B” (48-56)/(8-4) = 2 (32-48)/(16-8) = 2 állandó„C” (32-41)/(8-4)= 2,25 (19-32)/(16-8)= 1,625 csökkenő

A tendencia megállapítása görbe alakja alapján:

„A” gazdaság függvénye konkáv alakú, azaz a függvény meredeksé-ge nő, vagyis a tendencia is növekvő.

(4; 63)

X

Y

20

32 16 8 4

30

50 40

10

64 60 (4; 56)

(4; 41)

(8; 60)

(8; 48)

(8; 32)

(16; 48)

(16; 32)

(16; 19)




„B” gazdaság termelési lehetőség görbéje egyenes, azaz konstans afüggvény meredeksége, tehát a tendencia állandó.„C” gazdaság függvénye konvex alakú, azaz a függvény meredeksé-ge és ezért a tendencia is csökkenő.

A tendencia megállapítása a deriválás módszerével:

„A” gazdaság: y’=(– 1/16)*2x=– x/8 Ha x nő, akkor y’is nő, így a tendencia növekvő.

„B” gazdaság: y’=– 2 Mivel konstansról van szó, így x változása nem befolyásoljay’-t, tehát a tendencia állandó.

„C” gazdaság:

y’=(– 16)*(1/2)*(1/ 2 )*(1/ x )= – 1 / 8 x2 Ha x nő, akkor y’csökken, így a tendencia csökkenő.

19) Rendezzük át az egyenleteket, és végezzük el az egyszerűsítéseket!„A” gazdaság: y = 24 – x3 /9„B” gazdaság: y = 24 – 4x„C” gazdaság: y = 24 – 3/2 x a) Az így megkapott egyenletekbe x=0 illetve y=0 behelyettesítésével

kiderül, hogy mindhárom gazdaságban maximum 24 db y terméketés 6 db x terméket tudnak előállítani.

b) Helyettesítsük be a megadott értékeket és a következő kerekítettadatokat tartalmazó táblázathoz jutunk y termelésére vonatkozóan!

Megnevezés x = 2 x = 4„A” gazdaság 23 17„B” gazdaság 16 8„C” gazdaság 22 21

c) Az alternatív költségek tendenciájának meghatározása az előbbiképlet alapján. Mivel ∆x minden esetben 2-vel egyenlő, így elég csaka számláló, vagyis ∆y-t elemezni.„A” gazdaságban: 23-24= 1 és 17-23= 6 vagyis növekvő atendencia.„B” gazdaságban: 16-24= 8 és 8-16= 8 vagyis állandó a ten-dencia.„C” gazdaságban: 22-24= 2 és 21-22= 1 vagyis csökkenő atendencia.




A tendencia megállapítása görbe alakjának segítségével:

Az „A” gazdaság függvénye konkáv alakú, azaz a függvény mere-deksége nő, vagyis a tendencia is növekvő.A „B” gazdaság termelési lehetőség görbéje egyenes, azaz konstans afüggvény meredeksége, tehát a tendencia állandó.

A „C” gazdaság függvénye konvex alakú, azaz a függvény meredek-sége és ezért a tendencia is csökkenő.

A tendencia megállapítása a deriválás módszerével:

„A” gazdaság: y’=(– 3/2)*(x2 /9)=– x2 /6 Ha x nő, akkor y’is nő, így a tendencia növekvő.

„B” gazdaság: y’=– 4 Mivel konstansról van szó, így x változása nem befolyásolja

y’-t, tehát a tendencia állandó.„C” gazdaság: y’=(– 3/2)*(1/2)*(1/ x )=– 3 / 4 x Ha x nő, akkor y’csökken, így a tendencia csökkenő.

20) Értelmezzük adatainkat:L = 25 és K = 20LX = 3 és KX = 4LY = 5 és KY = 2

X

16

6 4 2

17

22 21

8

24 23

16; 2

(23; 2)

(21; 4)

17;4

(22;2)

8; 4

X




a) Így már felírhatók az erőforrásokra vonatkozó egyenlőségek:L = 25 = 3*X + 5*YK = 20 = 4*X + 2*Y

b) Az ábrázolás megkönnyítése érdekében számítsuk ki a tengelymet-

szeteket, azaz a maximálisan előállítható mennyiségeket:L-nél: Xmax = 25/3 = 8 1/3 db Ymax = 25/5 = 5 dbK-nál: Xmax = 20/4 = 5 db Ymax = 20/2 = 10 db

c) A táblázat kitöltésekor az y termelési lehetősége kiszámításánál arendelkezésre álló tőke és munka alapján előállítható mennyiségből akisebbet kell figyelembe venni. Így táblázatunk az alábbi:

xtermelésilehetősége

ytermelésilehetősége


megnevezése

Erőforrás-feleslegmennyisége

0 5 tőke 20 – 4*0 – 2*5 = 10

1 22/5 = 4,4 tőke 20 – 4*1 –2*4,4 = 7,22 19/5 = 3,8 tőke 20 – 4*2 – 2*2,8 = 4,43 16/5 = 3,2 tőke 20 – 4*3 – 2*3,2 = 1,64 4/2 = 2 munka 25 – 3*4 – 5*2 = 35 0 munka 25 – 3*5 – 5*0 = 10

21) a) Az egyes termelési tényezőkre vonatkozó egyenletek:L: 3A + 4B = 16K: 5A + 2B = 20

Y

X 5 83

1

5

10

L

K




b) Az ábra könnyebb elkészítéséhez nézzük meg a maximális meny-nyiségeket:L-nél: Amax = 16/3 = 5 1/3 db Bmax = 16/4 = 4 dbK-nál: A

max= 20/5 = 4 db B

max= 20/2 = 10 db

c) A helyesen kitöltött táblázat az alábbi:

„A” termelési

lehetősége

„B” termelési

lehetősége

Munkafelesleg

mennyisége

Tőkefelesleg

mennyisége0 4 0 121 3,25 0 8,52 2,5 0 53 1,75 0 1,54 0 4 0

22) a) Az egyes termelési tényezőknél a maximálisan előállítható meny-nyiségek:

- tőke esetében: X-ből: 16 db Y-ból: 6,4 db- munka esetében: X-ből: 7 db Y-ból: 28 db- föld esetében: X-ből:8,7 db Y-ból:13 dbEnnek alapján X-ből maximum 7 db, Y-ból maximum 6,4 db készít-hető el.b) Az egyes termelési tényezők esetében az egyenletek az alábbiak:

K: 2X + 5Y = 32L: 4X + Y = 28F: 3X + 2Y = 26

A 4

4

10

L

K

53

1

B




c) Ábránk a következő:

d) Az optimum megállapítása érdekében a három egyenletet kellmegoldani, amelynek eredménye:X = 6 db és Y = 4 db

23) a) Az alábbi ábrát készíthetjük el.

b) Az egyenes tengelyponti egyenletének általános képlete a követ-

kező

képpen írható fel:b*X + a*Y = a*bahol: a = az egyenes X tengelyen lévő metszéspontja (azaz Xmax)

b = az egyenes Y tengelyen lévő metszéspontja (azaz Ymax)Így az egyes termelési tényezőknél az egyenletek az alábbiak:

K: 6X + 8Y = 6*8 = 48 ⇒ 3X + 4Y = 24L: 5X + 10Y = 5*10 = 50 ⇒ X + 2Y = 10F: 4X + 16Y = 4*16 = 64 ⇒ X + 4Y = 16

c) Az egyenletrendszer megoldása alapján az optimum:

X termékből 4 db, Y-ból 3 db.

X

Y

7 8,7

13

28

K

L

6,4

F

16

5 4

6

Y

X 8 10

K

L F 16






II. Kardinális hasznosság 33.

II. KARDINÁLIS HASZNOSSÁG

Feladatok

1. Számítsa ki különböző módszerekkel (behelyettesítéssel, teljesnégyzetté alakítással és deriválással) a telítődési pontot és a teljeshaszon maximum értékét az alábbi függvény esetében:

TU = − Q2 + 4Q − 1

2. Eltér

ő

módszerek (behelyettesítéssel, teljes négyzetté alakítással ésderiválással) segítségével adja meg, hogy mikor következik be atelítődés, és akkor a teljes haszon függvény milyen értéket vesz fel, haalakja a következő:

TU = − 3Q2 + 24Q − 38

3. Különböző módszerek (behelyettesítéssel, teljes négyzetté alakítással ésderiválással) felhasználásával mutassa ki az alábbiakban megadott teljes

haszon függvény telítő

dési pontját és maximális értékét:

TU = − Q2 + 6Q − 4

4. Töltse ki az alábbi táblázat üresen hagyott részeit!

Termékmennyisége

A termékösszhaszna

A termékhatárhaszna

1 10

2 173 54 356 29 1

5. Egy számunkra kellemes érzeteket keltő termékből maximum csak 6darabot kívánunk elfogyasztani. Ekkor 21 egységnyi lenne azösszhaszon érzetünk, úgy hogy az utolsónak elfogyasztott termék

hasznát 1 egységnek éreznénk. Négy termék elfogyasztásakor összesen18 egységnyi lenne az összhaszon. Egyébként mind a 3., mind a 4.



34. II. Kardinális hasznosság

termék esetében a határhaszon azonos, mégpedig három egységnyi. Kéttermék elfogyasztása után 12 egységnyi az összhaszon, míg az első termék határhaszna 7.Fentiek ismeretében készítsen egy táblázatot, amelyben feltünteti a

termék mennyiségére, összhasznára és határhasznára vonatkozóadatokat!

6. Egy termék hasznossága tekintetében az alábbiakat tudjuk:• Az első termék elfogyasztása 12 egységnyi hasznosságot okoz

számunkra.• Ha az 5. termék után a 6.-at is elfogyasztjuk, akkor a

hasznosságérzetük változatlan marad.• A 2. termék határhaszna 11 egységnyi.• Három egység elfogyasztása esetében az összhaszon 31 lesz.• A 4. termék határhaszna fele az első terméknek.• Amennyiben hat terméket fogyasztunk el, az összhaszon 39

egységnyi.

Készítsen egy olyan táblázatot, amelynek egyes oszlopai: a termékmennyisége, összhaszna és határhaszna! Az adatok ismeretében töltse kia táblázatot!

7. Egy termék hasznosságával kapcsolatban az alábbiakat tudjuk:

Q1 102 163 204 225 236 21

a) Teljes haszon vagy határhaszon konkrét adatai szerepelnek a táblázatmásodik oszlopában? Válaszát indokolja!

b) A harmadik oszlopban a másik típusú hasznosság adatait írja be!Töltse ki a fejlécet is!




8. Egy termék hasznosságával kapcsolatban az alábbiakat tudjuk:

Q12 20 83 254 256 26 -2

a) Melyik oszlopban vannak a teljes haszon, illetve a határhaszonadatai? Válaszát indokolja! Töltse ki a fejlécet is!

b) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait!

9. Tudjuk, hogy a második termék számunkra 14 egységnyihasznossággal, a negyedik termék 12 egységnyi hasznossággalrendelkezik. Ismerjük azt is, hogy a határhaszon függvény lineáris. Írjafel – többféle módszer (logika, két pont ismerete) alkalmazásával – ahatárhaszon függvény egyenletét!

10. Minden egyes termék elfogyasztásával 8 egységgel csökken ahatárhaszon. A 3. termék határhaszna: 160. Írja fel a határhaszonfüggvényét! Hányadik terméknél következik be a telítődés?

11. Minden egyes termék elfogyasztásával 4 egységgel csökken ahatárhaszon. Az 5. termék határhaszna: 52. Írja fel a határhaszonfüggvényét! Hányadik terméknél következik be a telítődés?

12. Egy diák esti kikapcsolódást tervez. Két időtöltés − tévézés ésolvasás − legjobb (számára a legnagyobb hasznosságot jelentő)kombinációját szeretné kiválasztani az alábbi feltételek mellett:• összesen 4 órát kíván kikapcsolódni,• egy-egy tevékenységgel csak egész órát, órákat szeretne eltölteni,• az első tévézés órája 25 egység hasznosságot jelent számára, a

második 20-at, a harmadik 14-et, míg a negyedik már csak 6-ot,• olvasás tekintetében az alábbi hasznossági értékekkel „számol”: az

első óráé 22, a másodiké 18, a harmadiké 16, míg a negyediké 15.Az egyes tevékenységekkel hány órát kellene eltöltenie, hogyhasznosságérzetét maximálja?




13. Egy f őiskolás 450 Ft teljes felhasználásával szeretné egy nagyonmeleg nyári napon „forróságérzetét” csökkenteni. Vásárolhat fagylaltotés/vagy ihat üdítőt. Egy gombóc fagylalt 50 Ft-ba, míg egy pohár üdítő 150 Ft-ba kerül. Tudományos alapon akarja a legnagyobbhasznosságérzetet elérni. Ennek megítéléséhez az alábbi hasznosságravonatkozó adatokkal rendelkezik (figyelembe véve az egyestermékeknek a pénzéből megvásárolható mennyiségeit):

Menny. Fagylalt Üdítő 1 12 202 20 283 26 354 30

5 336 357 368 349 32

Számítsa ki a különböző lehetőségeket, és válassza ki azok közül alegjobbat!

14. Három különböző fajta termékre összesen 600 Ft-ot költhet el egyvásárló. Az „A” termék darabja 100 Ft-ba kerül, a „B” termék 150 Ft-baés a „C” termék 200 Ft-ba. Fogyasztónk ízlésvilágának megfelelően azelső „A” termék hasznossága 20 egységnyi, a 2. termék ebből 16egységnyi hasznosságot „hordoz”, a 3. csak 12 egységet, a negyedik 8-at, az ötödik 4-et, míg a hatodik 2-öt. A „B” termék esetében az első hasznossága 30 egység, a másodiké 25 egységnyi, a harmadiké 20egységnyi és – az elkölthető jövedelemre tekintettel – már csak anegyedik termék hasznosságát kell megvizsgálnunk, amely 10

egységnyi. A „C” terméknél 40 egység az első termék hasznossága, 32 amásodiké és 22 a harmadiké.A lehetséges vásárlásokat figyelembe véve melyik termékkombinációnyújtja a fogyasztó számára a legnagyobb „élvezetet”?

15. Juliska és Jancsi ikertestvérek. Ezért minden termék hasznosságátegyformának érzik. (Tehát bármelyiküket kérdezik meg, ugyanazt ahasznosságérzetet válaszolják!) Két termék (csokoládé és üdítő)tekintetében az alábbi adatokat kapjuk:




Megnevezés Csokoládé Üdítő Első termék hasznossága 10 14Második termék hasznossága 8 9Harmadik termék hasznossága 7 6Negyedik termék hasznossága 5 2Ötödik termék hasznossága 2Hatodik termék hasznossága 1

Tegyük fel, hogy Juliska rendelkezik a csokoládékkal, míg Jancsikáé azösszes üdítő.Hány cserét érdemes lebonyolítaniuk, ha abban állapodnak meg, hogy:a) 1 csokoládé = 1 üdítővel,b) 2 csokoládé = 1 üdítővel?

(A cserét addig folytatják, amíg mindegyikük úgy érzi, hogy a megelőző helyzetéhez képest több az összhasznossága.)

16. Egy hölgy 5 darab X termékkel és 2 db Y termékkel, míg egyfiatalember 1 db X és 4 db Y termékkel rendelkezik. A termékekrevonatkozó „hasznossági tábla” a következő:

HÖLGY FIATALEMBERFogyasz-

tottmenny.

Összhaszon Fogyasz-

tottmenny.

Összhaszon

„X”termék

„Y”termék

„X”termék

„Y”termék

Egy 16 14 Egy 18 10Kettő 30 26 Kettő 32 18Három 40 37 Három 42 25Négy 45 47 Négy 47 31Öt 47 55 Öt 50 35Hat 48 62 Hat 52 36

Az előző feladatban a csere folytatására megfogalmazott feltételtfigyelembe véve meddig érdemes cserélniük, ha:a) egy db „X” termékért egy darab „Y” terméket adnak,b) egy db „X” termék két db „Y” termékkel cserélendő,c) két db „X” termék ér egy db „Y” terméket?




Megoldások

1) Alkalmazzuk a behelyettesítés módszerét:Q = 1 esetében TU = 2Q = 2 esetében TU = 3Q = 3 esetében TU = 2Amennyiben még nagyobb Q-t helyettesítünk be, akkor a függvényalakjából következően TU egyre inkább csökkenne, így maximumátQ = 2 esetében veszi fel.

Végezzük el a teljes négyzetté alakítást:TU = −Q2 + 4Q –1 = −(Q2 – 4Q + 1) = −[(Q–2)2 –3] = − (Q – 2)2 + 3Azaz Q = 2 esetében éri el a függvény a maximumot, amelynekértéke 3.

Deriváljuk függvényünket:TU’ = − 2Q + 4Tegyük ezt egyenlővé 0-val: − 2Q + 4 = 0Rendezzük az egyenletet: Q = 2Ez jelenti tehát a maximális mennyiséget, amelynek összhaszna (TU-ba behelyettesítve) egyenlő 3.

2) Behelyettesítéssel:Q = 1 → TU = - 17Q = 2 → TU = - 2Q = 3 → TU = 7Q = 4 → TU = 10Q = 5 → TU = 7Vagyis a telítődési pont 4 terméknél következik be, és ekkor a teljeshaszon értéke 10.

Teljes négyzetté alakítással:TU = − 3Q2 + 24Q − 38 = − 3 (Q − 4)2 + 10Így a maximum Q = 4 esetén következik be, és értéke 10 lesz.

Deriválással:TU’ = − 6Q + 24 = 0 rendezése után: Q = 4 és TU = 10 eredményhez

jutunk.

3) Behelyettesítéssel:Q = 1 → TU = 1Q = 2 → TU = 4

Q = 3→

TU = 5Q = 4 → TU = 4




Vagyis a telítődési pont 3 terméknél következik be, és ekkor a teljeshaszon értéke 5.

Teljes négyzetté alakítással:TU = − Q2 + 6Q − 4 = − (Q − 3)2 + 5

Így a maximum Q = 3 esetén következik be, és értéke 5 lesz.Deriválással:

TU’ = − 2Q + 6 = 0 rendezése után: Q = 3 és TU = 5 eredményhez jutunk.

4) A megoldás érdekében az összhaszonra és a határhaszonra vonatkozóösszefüggések felhasználására van szükségünk. A lépések menete akövetkező lehet (az ismert jelöléseket alkalmazva):TU1 = MU1 = 10

MU2 = TU2 – TU1 = 17 – 10 = 7TU3 = TU2 + MU3 = 17 + 5 = 22TU4 = TU3 + MU4 = 22 + 3 = 25TU5 = TU6 – MU6 = 29 – 1 = 28MU5 = TU5 – TU4 = 28 – 25 = 3

5) Első lépésként írjuk be szövegből adatainkat a táblázat megfelelő részeibe!

Termék

mennyisége

A termék

összhaszna

A termék

határhaszna1 72 123 34 18 3

6 21 1

Az ismert összefüggések felhasználásával (az előző feladat

megoldásának menete alapján) most már lehetőségünk van a táblázattöbbi részének kitöltésére is! Végül az alábbi eredményhez jutunk:

Termékmennyisége



1 7 72 12 53 15 34 18 35 20 2

6 21 1




6) Írjuk be a szövegben megadottakat elkészített táblázatunkba!

Termékmennyisége



1 122 113 314 az első termék fele

6 39 0

Ezután az összefüggések ismeretében töltsük ki a táblázat többi részét!

Termékmennyisége



1 12 122 23 113 31 84 37 65 39 26 39 0

7) a) Az adatsorból látszik, hogy az értékek folyamatosan növekednek,

majd csökken. Ez a teljes haszon függvényre jellemző. Tehát amásodik oszlop a teljes haszon adatait tartalmazza.

b) Így a harmadik oszlopba a határhaszon értékeit kell beírni.Kiszámításához két összefüggés ismerete kell: egyrészt egy termékteljes haszna ugyanaz, mint az első termék határhasznával. másrésztaz i. határhaszon megegyezik az i. teljes haszon és az (i-1). teljeshaszon különbségével.

Ennek alapján a kitöltött táblázat az alábbi módon néz ki:

Q TU MU1 10 102 16 63 20 44 22 25 23 16 21 -2




8) a) Az első oszlopban az adatok növekednek, a másodikban csökkennek,

sőt negatív értéket is található közöttük. Az előbbi a teljes haszonra,az utóbbi jellemzők a határhaszonra igazak.

b) A korábbi feladatok megoldásának ismeretében nincs nehéz dolgunka hiányzó adatok beírásánál.

Q TU MU1 12 122 20 83 25 54 27 25 28 16 26 -2

9) Írjuk fel a megadott információkat:MU2 = 14MU4 = 12Logikai megoldás:

Mivel lineáris függvényről van szó, a két adat ismeretében MU3 csakazok felezőpontjában helyezkedhet el (egyenlő azok számtaniátlagával), azaz 13. Vagyis 1 egységgel csökken határhaszon-

függvényünk. Kiinduló értéke (MU1) ezért 15-tel egyenlő.Általános képlete pedig: MUX = 15 – (X–1)*1 = 16 – X, az egyenesegyenlete (y = a + b*x) alapján.

Egy függvény két pontjának ismeretében alkalmazhatjuk a következő képletet:

(y – y1)*(x2 – x1) = (x – x1)*(y2 – y1)Konkrét példánkban ez a következő:

(y – 14)*(4 – 2) = (x – 2)*(12 – 14)Azaz:

(y – 14)*2 = (x – 2)*(– 2)Ezt átrendezve kapjuk a feladat megoldásaként az alábbi egyenletet:

y = 16 – x

10) Gyakorlatilag egy számtani sorozatról van szó, ahol d = 8.Tudjuk még, hogy MU3 = 160.Ebből következik, hogy MU1 = 160 + 2*8 = 176. Az előző feladatlogikája szerint a függvény: MUX = 184 – 8*XTelítődési pont annál a mennyiségnél van, amelynél a határhaszon nulla,

vagyis amikor X = 23. (Hiszen MU23 = 184 – 8*23 = 0.)




11) Az előzőhöz teljesen hasonló feladatról van szó: a számtanisorozatnál d = 4.Ismerjük még, hogy MU5 = 52.Ebből következik, hogy MU1 = 52 + 4*4 = 68. Függvényünk tehát:MUX = 72 – 4*XTelítődési pont annál a mennyiségnél van, amelynél a határhaszon nulla,vagyis amikor X = 18. (Hiszen MU18 = 72 – 4*18 = 0.)

12) Vegyük sorba a lehetőségeket és azok összhasznát!0 óra tévézés és 4 óra olvasás⇒ 22 + 18 + 16 + 15 = 711 óra tévézés és 3 óra olvasás⇒ 25 + 22 + 18 + 16 = 812 óra tévézés és 2 óra olvasás⇒ 25 + 20 + 22 + 18 = 853 óra tévézés és 1 óra olvasás⇒ 25 + 20 + 14 + 22 = 814 óra tévézés és 0 óra olvasás⇒ 25 + 20 + 14 + 6 = 65

Az adatokból kiderül, hogy a legnagyobb hasznosságérzetet 2-2 óratévézés és olvasás jelenti a diák számára.

13) Nézzük meg a f őiskolás lehetőségeit (és elért összhasznát)„forróságérzetének” csökkentése érdekében!

9 fagyi és 0 üdítő ⇒ 32 + 0 = 32 (Vegyük észre, hogy azárarányok következtében a fagylalt és az üdítő közötti „átváltás”: 3:1,azaz f őiskolásunknak három fagyiról kell lemondania annakérdekében, hogy egy üdítőt vásárolhasson!)6 fagyi és 1 üdítő ⇒ 35 + 20 = 553 fagyi és 2 üdítő ⇒ 26 + 28 = 540 fagyi és 3 üdítő ⇒ 0 + 35 = 35

Tehát a f őiskolai hallgató akkor tudja a legnagyobb hasznosságélvezeteta maga számára „elkönyvelni”, ha 6 fagyit és 1 üdítőt vásárol.

14) Figyelembe véve az egyes termékek árait és azt, hogy a termékek

nem oszthatók, a következő

lehető

ségek közül választhatunk:„A”

menny.„B”

menny.„C”

menny.Összhaszon

6 0 0 20+16+12+8+4+2 = 624 0 1 20+16+12+8+40 = 963 2 0 20+16+12+30+25= 1032 0 2 20+16+40+32 = 1080 0 3 40+32+22 = 94

1 2 1 20+30+25+40 = 1150 4 0 30+25+20+10 = 85




A táblázatból kiderül, hogy az a legjobb választás, ha az „A” és „C”termékből 1-1 darabot, míg a „B”-ből 2 db-ot vásárol a fogyasztó.

15) Számítsuk ki a csere lehetőségeit mindaddig, amíg az legalább azegyik félnél az előző állapothoz képest kedvezőtlenebb lesz!Az induló készletek és azok összhaszna:

Juliskánál: 6 csoki TU = 10+8+7+5+2+1 = 33Jancsinál: 4 üdítő TU = 14+9+6+2 = 31.

a) Amennyiben a csere alapja 1 db csoki = 1 db üdítő:

Juliska Jancsi Csere

készlete TU TU vált. készlete TU TU vált.5cs + 1ü 33–1+14=46 nő 1cs + 3ü 31–2+10=39 nő igen4cs + 2ü 46–2+9=53 nő 2cs + 2ü 39–6+8=41 nő igen3cs + 3ü 53–5+6=54 nő 3cs + 1ü 41–9+7=39 csökk. nem

b) Amennyiben a csere alapja 2 db csoki = 1 db üdítő:

Juliska Jancsi Cserekészlete TU TU vált. készlete TU TU vált.

4cs + 1ü 33–1–2+14=44 nő 2cs + 3ü 31–2+10+8=47 nő igen2cs + 2ü 44–5–7+9=41 csökk. 4cs + 2ü 47-6+7+5=53 nő nem

16) Az induló készlet és a hasznosság:a Hölgynél: 5X + 2Y illetve TU = 47 + 26 = 73a Fiatalembernél: 1X + 4Y illetve TU = 18 + 31 = 49.

Nézzük meg a különböző csere-lehetőségeket és azok hatásait!

a) Amennyiben a csere alapja 1 db X = 1 db Y és a Hölgy növeli Y-ból

a készletét:Hölgy Fiatalember Csere

készlete TU TU vált. készlete TU TU vált.4X + 3Y 45+37 = 82 nő 2X + 3Y 32+25 = 57 nő igen3X + 4Y 40+47 = 87 nő 3X + 2Y 42+18 = 60 nő igen2X + 5Y 30+55 = 85 csökk. 4X + 1Y 47+10 = 57 csökk. nem




Amennyiben a csere alapja 1 db X = 1 db Y és a Hölgy növeli X-ből akészletét:

Hölgy Fiatalember Csere

készlete TU TU vált. készlete TU TU vált.6X + 1Y 48+14 = 62 csökk. 0X + 5Y 0+35 = 35 csökk. nem

b) Amennyiben a csere alapja 1 db X = 2 db Y és a Hölgy növeli Y-bóla készletét:

Hölgy Fiatalember Cserekészlete TU TU vált. készlete TU TU vált.4X + 4Y 45+47 = 92 nő 2X + 2Y 32+18 = 50 nő igen

3X + 6Y 40+62 = 102 nő

3X + 0Y 42+0 = 42 csökk. nemAmennyiben a csere alapja 1 db X = 2 db Y és a Hölgy növeli X-ből akészletét:

Hölgy Fiatalember Cserekészlete TU TU vált. készlete TU TU vált.6X + 0Y 48+0 = 48 csökk. 0X + 6Y 0+36 = 36 csökk. nem

c) Amennyiben a csere alapja 2 db X = 1 db Y és a Hölgy növeli Y-bóla készletét:

Hölgy Fiatalember Cserekészlete TU TU vált. készlete TU TU vált.3X + 3Y 40+37 = 77 nő 3X + 3Y 42+25 = 67 nő igen



III. Ordinális hasznosság 45.

III. ORDINÁLIS HASZNOSSÁG

Feladatok

1. Adott egy fogyasztó alábbi költségvetési egyenese. Melyik pontjára, illetvepontjaira igaz, hogy:a) csak egyik terméket vásárolja a fogyasztó, de nem költi el teljes jövedelmét;b) mindkét termékből vásárol a fogyasztó, de nem költi el teljes jövedelemét;c) csak egyik terméket vásárolja a fogyasztó, és elkölti teljes jövedelmét;

d) mindkét terméket vásárolja a fogyasztó, és elkölti teljes jövedelmét;e) adott feltételek (jövedelem és termék árak) mellett nem megvásárolhatókombináció;

f) adott feltételek (jövedelem és termék árak) mellett, csak az egyik termékrekoncentrálva nem megvásárolható kombináció;

g) a jövedelmét nem költötte el a fogyasztó (több pontot kell jelölni!);h) a jövedelmét teljes mértékben elköltötte a fogyasztó (több pontot kell jelöl-

ni!);i) adott feltételek mellett nem megvásárolható lehetőség (több pontot kell jelöl-

ni!).

F

A

BD

E

C





46. III. Ordinális hasznosság

2. Rajzoljunk egy költségvetési egyenest! Jelöljük ezt J1-gyel! Az egyes tengelye-ken az x és az y termék szerepel. Rajzoljunk egy olyan költségvetési egyenest,

amely ehhez képest:a) a fogyasztó megnövekedett jövedelemi helyzetét mutatja (jelöljük J2-vel);b) az x terméknél árcsökkenést fejez ki (J3-mal jelöljük);c) mindkét termék ára csökkent, de nem azonos mértékben (jelöljük J4-gyel);d) azonos mértékű árcsökkenést mutat mindkét terméknél (J5-tel jelöljük)!

3. A fogyasztó 1.000 Ft-nyi jövedelmet szán két termékre, amelyek közül az egyikára 250 Ft/db, a másiké 8 Ft/db.a) Mennyi az egyes termékekből a fogyasztó által megvásárolható maximális

mennyiség?b) Ábrázolja a fogyasztó költségvetési egyenesét!c) Mennyi a költségvetési egyenes meredeksége?

4. Egy adott fogyasztó 1.500 Ft-ot szán x és y termék megvásárlására. Az x ter-mékből egy darab 100 Ft-ba kerül, míg az y termék ára ennek másfélszerese.a) Mennyibe kerül egy darab y termék?b) Hány darab x illetve y terméket tud megvenni a fogyasztó, ha adott jövedel-

mét csak az egyik termék vásárlására fordítja?c) Ábrázolja a fogyasztó költségvetési egyenesét!

d) Mennyi a költségvetési egyenes meredeksége?e) Írjon fel olyan konkrét jószágkombinációt, amikor a fogyasztó mindkét ter-

mékből vásárol, és teljesen elkölti jövedelmét! (Csak egész mennyiségek vé-telére van lehetőség!)

f) Meg tudja vásárolni adott jövedelméből az alábbi jószágkombinációkat a fo-gyasztó:i) 5 db x termék és 5 db y termék,ii) 8 db x termék és 5 db y termék,iii)6 db x termék és 6 db y termék?

Válaszát minden esetben indokolja!

5. Tegyük fel, hogy egy fogyasztó két termékre (x-re és y-ra) fordítandó jövedel-méből vagy 12 db x terméket, vagy 10 db y terméket tud maximum megvenni.Egy darab y termék 60 Ft-ba kerül.a) Mennyi jövedelmet szán a fogyasztó összesen a két termékre?b) Mennyibe kerül egy darab x termék?c) Ábrázolja a fogyasztó költségvetési egyenesét!d) Mennyi a költségvetési egyenes meredeksége?




e) Hogyan változik a termékekből maximálisan megvásárolható mennyiség, haa fogyasztó két termékre szánt jövedelme 50 %-kal megnő?

f)

Ábrázolja az új helyzetnek megfelelő

költségvetési egyenest!g) Mennyi lesz az új egyenes meredeksége?

6. A fogyasztó x és y termékre összesen 2.000 Ft-ot kíván elkölteni. Az x termék-ből egy darab 40 Ft-ba kerül. Ha csak y terméket vásárolna, akkor 20 db-ot tud-na maximum megvenni.a) Mennyibe kerül egy darab y termék?b) Maximum mennyi x terméket vehet meg a fogyasztó?c) Ábrázolja a fogyasztó költségvetési egyenesét!d) Mennyi a költségvetési egyenes meredeksége?e) Hogyan változik a termékekből maximálisan megvásárolható mennyiség, ha

az eddig "0" forgalmi adós x terméket 25 %-os ÁFA terhelné?f) Ábrázolja az új helyzetnek megfelelő költségvetési egyenest!g) Mennyi lesz az új egyenes meredeksége?

7. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó részeit!

I px py xmax ymax px /py

3.000 75 200

80 30 4/32.000 20 404.800 40 160

20 45 3/4

8. Tegyük fel, hogy – ceteris paribus – az x termék ára a kétszeresére nő.a) Hogyan változik az x illetve az y termékből maximálisan megvásárolható

mennyiség?b) Mennyi lesz az új költségvetési egyenes meredeksége, ha az eredeti árarány

2:3 volt?

9. Tegyük fel, hogy – minden más feltétel változatlansága mellett – a fogyasztó xés y termék vásárlására szánt jövedelme másfélszeresére nő.a) Hogyan változik az x illetve az y termékből maximálisan megvásárolható

mennyiség?b) Mennyi lesz az új költségvetési egyenes meredeksége, ha az eredeti árarány

2:3 volt?




10. Egyik időszakról a másikra az x termék ára a háromszorosára nőtt, miközben azy termék ára a felére esik vissza.

a) Hogyan változik az x illetve az y termékből maximálisan megvásárolhatómennyiség?b) Mennyi lesz az új költségvetési egyenes meredeksége, ha az eredeti árarány

4:3 volt?c) Milyen változás következik be ezek után az egyes termékekből megvásárol-

ható maximális mennyiségeknél, illetve a költségvetési egyenes meredeksé-génél, ha a fogyasztó a két termékre fordított jövedelmét a kétszeresére eme-li?

11. Az alábbi ábra mely pontjára, illetve pontjaira igaz, hogy:a) a fogyasztó elkölti teljes jövedelmét, de nem éri el a jövedelemhez tartozó

legnagyobb hasznosságot (több pontot kell jelölni!);b) a fogyasztó nem költi el teljes jövedelmét;c) a fogyasztó elkölti teljes jövedelmét, és eléri a jövedelemhez tartozó legna-

gyobb hasznosságot;d) a fogyasztó olyan hasznossági szintre lépne, amelyet a feltételek nem tesznek

lehetővé;e) a fogyasztó olyan jószágkombinációt választ, amelyet nem tud a jövedelmé-

ből megvásárolni, bár az adott hasznossági szintet képes lenne elérni (több

pontot kell jelölni!).


H

G

FE

A

B

D

C





12. Adott két hasznos, és egyszerre (együtt) is szívesen fogyasztott jószág.a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét!

b) A tengelyekre írjon konkrét termékeket!c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul kiaz optimális jószágkombináció!

13. Adott két hasznos, tökéletesen kiegészítő jószág.a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét!b) A tengelyekre írjon konkrét termékeket!c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul

ki az optimális jószágkombináció!

14. Adott két hasznos, tökéletesen helyettesítő jószág.a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét!b) A tengelyekre írjon konkrét termékeket!c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul


15. Adott egy hasznos és egy semleges jószág.a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét!b) Jelölje, hogy melyik tengelyen melyik jószág szerepel!

c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakulki az optimális jószágkombináció!

16. Adott egy hasznos és egy káros jószág.a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét!b) Jelölje, hogy melyik tengelyen melyik jószág szerepel!c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul


17. Adott két hasznos, de egyszerre (együtt) nem szívesen fogyasztott jószág.a) Rajzolja fel ezek közömbösségi térképét!b) A tengelyekre írjon konkrét termékeket!c) Rajzoljon az ábrába egy költségvetési egyenest, és mutassa ki, hol alakul





18. Határozza meg a következő függvények x, y szerinti határhaszon-függvényét,és a helyettesítési határrátákat:

1) y xU ⋅⋅= 2

2) y xU ⋅⋅= 3

3) y xU ⋅⋅= 5

4)22

y xU ⋅=

5)33

y xU ⋅=

6) y xU ⋅=

2

7) y xU ⋅⋅=25

8)2

y xU ⋅=

9) 24 y xU ⋅⋅=

10)32

y xU ⋅=

11) y xU +⋅= 2

12) y xU ⋅+= 4

13) y xU ⋅+⋅= 43

14)2 / 32 / 3

y xU ⋅=

15)3

y xU ⋅=

16) )1()1( −⋅+= y xU

19. Egy fogyasztó hasznossági függvénye: y xU ⋅⋅=22 alakú. A fogyasztó x és y

termékre összesen 6.000 egységnyi jövedelmet költ. Az x termék ára 80, az ytermék ára 40 egység.

a)

Írja fel a helyettesítési határrátát!b) Írja fel x termék keresleti függvényét!c) Mennyit fogyaszt a termékekből a racionálisan választó fogyasztó?d) Mekkora a racionális fogyasztó által elért hasznosság?e) Mennyi az optimumban a helyettesítési határráta értéke?f) Írja fel az x termék Engel-görbéjének egyenletét!

20. Egy fogyasztó hasznossági függvénye y xU ⋅⋅= 3 alakú, jövedelme 4.000egységnyi. Az x termék ára 40 egység, az y termékből maximálisan vásárolhatótermékmennyiség 80.

a) Mekkora az y termék ára?b) Mennyi x és y terméket vásárol a racionális fogyasztó?c) Mekkora ebben az esetben az elért hasznossága?d) Írja fel x illetve az y termék keresleti függvényét!e) Írja fel az x illetve az y termék Engel-görbéjét!




21. Egy fogyasztó hasznossági függvénye: y xU ⋅⋅=22 . A fogyasztó jövedelme

2.400 egység, az y termék ára 100 Ft, míg ha az összes jövedelmét x termékre

költi, akkor 60 darabot tud belőle venni.a) Hány x és hány y terméket vásárol a fogyasztó, ha optimálisan költi el a

jövedelmét?b) Mekkora ebben az esetben az elért hasznossága?c) Írja fel x illetve az y termék Engel-görbéjét!d) Írja fel a fogyasztó keresleti görbéjét az x illetve az y termékre nézve!

22. A fogyasztó hasznossági függvénye: y xU ⋅= . Adott árak és nominális jöve-delem mellett optimális választása: x = 50 db, y = 100 db. Az y jószág ára:

py = 25.a) Fejezze ki a helyettesítés határrátáját (MRS-t) és határozza meg konkrétszámértékét az optimális választás pontjában!

b) Mekkora ebben az esetben az x termék ára és mennyi a fogyasztó összesnominális jövedelme?

c) Határozza meg az x és az y termék Engel-görbéjét abban az esetben, ha akét jószág ára nem változott!

d) Írja fel az x és y termék keresleti görbéjét!

23. Egy fogyasztó hasznossági függvénye

y xU ⋅⋅= 5alakú. A racionális fogyasz-tó x termékből 50 darabot vásárol. Ha 4.000 egységnyi jövedelméből csak x

terméket vásárol, maximálisan 100 darabot vehet belőle. Az y termék ára 50egység.

a) Mennyi az x termék ára és az y termék mennyisége az optimális fogyasz-tó kosárban?

b) Az x termék ára másfélszeresére nő. Hogyan hat ez a tény az x és y ter-mékből vásárolt optimális mennyiségekre?

c) Mekkora a teljes árhatás?d) Számítsa ki az árváltozás helyettesítési hatását és jövedelmi hatását a

Hicks-féle jövedelem-kompenzációs módszert alkalmazva!e) Mekkora jövedelemkompenzációt kell adni a fogyasztónak?

24. A fogyasztó hasznossági függvénye: 44 y xU ⋅= . Adott árak és nominális jö-vedelem mellett optimális választása: x = 40 db, y = 4.000 Ft. (Tehát y összetett

jószág, amelynek ára, Py = 1).a) Fejezze ki a helyettesítés határrátáját (MRS-t) és határozza meg konkrét

számértékét az optimális választás pontjában!b) Mekkora ebben az esetben az x termék ára és mennyi a fogyasztó összes




nominális jövedelme?c) Az x termék ára 80 Ft-ra csökken, miközben a fogyasztó nominális jöve-

delme változatlan. Számítsa ki az új optimális jószágkombinációt!d) Számítsa ki az árváltozás teljes hatását X termék keresletében!e) Mekkora lesz a helyettesítési és a jövedelmi hatás a Hicks-féle jövede-

lemkompenzációs módszer szerint?f) Mennyi a negatív jövedelemkompenzáció nagysága?g) Írja fel az ICC- és a PCC-görbe egyenletét!

25. Egy fogyasztó magatartása a következő hasznossági függvénnyel írható le: y xU ⋅= . Az x termék ára 6 Ft/db, az y termék ára 5 Ft/db és a fogyasztó ren-

delkezésére álló jövedelme 60 Ft.a) Az optimális jószágkosár hány db x és hány db y terméket tartalmaz?b) Mennyi az optimális jószágkosárnál a helyettesítési ráta?c) Az x termék ára 10 Ft/db-ra nő, míg az y terméké változatlan marad.

Mennyi x és y terméket tartalmaz az optimális jószágkosár?d) Ha Slutsky-féle jövedelemkompenzációt alkalmaznak, akkor mekkora

lenne a jövedelem-kiegészítés összege?e) Mennyi lesz az árváltozás teljes hatása?f) Bontsa fel a teljes hatást jövedelmi és helyettesítési hatásra az x termékre

vonatkozóan!

g) Írja fel az ICC- és a PCC-görbe egyenletét!

26. Egy fogyasztó x és y termékre vonatkozó preferenciáját az y xU ⋅=2 függ-

vény fejezi ki. A két termékre elkölthető jövedelem 9.000 Ft. Az x termék ára30 Ft. Az y termék ára másfélszerese az x termék árának.

a) Írja fel a helyettesítési határráta általános értékét!b) Határozza meg mennyi x és y terméket fogyaszt az optimumban!c) Ha x termék árát az y termék árának szintjére emelik, mennyi lesz az op-

timális fogyasztási szerkezetben x és y mennyisége?

d) Mennyi lesz a Slutsky-féle jövedelemkompenzáció nagysága?e) Határozza meg az árváltozás hatását, és bontsa fel az Slutsky-módszerrel!

27. Egy fogyasztó preferenciarendszere a következő hasznossági függvénnyel írha-

tó le: y xU ⋅=2

. Az x termék ára 20 egység, míg y termék ára 30 egység. Afogyasztó a két termékre összesen 5.000 egységnyi jövedelmet költ el.

a) Mennyi x és y terméket fogyaszt a racionális fogyasztó?b) Írja fel a helyettesítési határráták értékét az optimumban!c) Az x termék ára 1,5-szeresére nő. Hogyan változik meg az optimális fo-




gyasztói kosár összetétele?d) Mekkora a teljes árhatás?

e)

Számítsa ki az árváltozás helyettesítési hatását és jövedelmi hatását aHicks-féle jövedelem-kompenzációs módszert alkalmazva!f) Mekkora a szükséges jövedelemkompenzáció nagysága?g) Mennyi lenne a jövedelemkompenzáció nagysága a Slutsky-féle módszer

esetében?h) Határozza meg a teljes árhatás nagyságát és Slutsky módszerét követve

határozza meg a helyettesítési és jövedelmi hatást!

28. Egy fogyasztó x és y termékre vonatkozó preferenciáját az alábbi függvény fejezi ki:

33 y xU ⋅= A két termékre elkölthető jövedelem 15.000 Ft. Az y termékből maximum500 db-ot, az x termékből maximum 300 db-ot tud a fogyasztó megvásárolni.a) Írja fel a helyettesítési határrátákat!b) Határozza meg, mennyibe kerül x és y termék!c) Határozza meg mennyi x és y terméket vásárol a fogyasztó optimális

esetben!d) Ha az x termék ára négyszeresére nő, mennyi lesz az optimális fogyasztá-

si szerkezetben x és y mennyisége?

e) Határozza meg az árváltozás teljes hatását, valamint ennek Hicks-féle fel-bontását a két hatásra!

f) Mennyi lesz ebben az esetben a Hicks-féle jövedelemkompenzáció nagy-sága?

g) Miután meghatározta a teljes árhatást, végezze el ennek Slutsky-féle fel-bontását a két hatásra!

h) Mennyi lesz ebben az esetben a Slutsky-féle jövedelemkompenzációnagysága?

29. Egy fogyasztó a kávét csak tejszínnel szereti, illetve fogyasztja, mégpedig rög-zített arányban: egy egység kávéhoz két egység tejszínt adagol. A fogyasztóhavonta 1.800 forintot költ e két jószágra. Egyik hónapról a másik hónapra atejszín ára 10 forintról 15 forintra növekedett, miközben egy adag kávé ára vál-tozatlanul 30 forint.

a) Milyen viszonyban van a két termék? (Milyen típusúak a termékek?)b) Ábrázolja a két termék közömbösségi térképét!c) Ábrázolja a kiinduló költségvetési egyenest is! Jelölje a tengelymetszete-

ket!d) Mennyi kávé és tejszín lesz a fogyasztó optimális fogyasztási szerkezeté-




ben az árváltozás előtt és az árváltozás után?e) Határozza meg a helyettesítési, jövedelmi és a teljes árhatás nagyságát

Slutsky-módszerrel!30. Egy fogyasztó fagylaltot és tejszínhabot csak együtt, mégpedig rögzített arány-

ban fogyasztja: 4 gombóc fagylalthoz 1 adag tejszínhabot kér. A fogyasztó ha-vonta 1.200 Ft-ot költ erre a két termékre. Egyik hónapról a másikra a fagylaltára 50 Ft/gombócról 75 Ft/gombócra emelkedik, miközben a tejszínhab egyadagjának ára változatlan 100 Ft marad.

a) Milyen viszonyban van a két termék? (Milyen típusúak a termékek?)b) Ábrázolja a kiinduló költségvetési egyenest! Jelölje a tengelymetszeteket!c) Ábrázolja a két termék közömbösségi térképét!

d) Hány gombóc fagylalt és hány adag tejszínhab szerepel az optimális fo-gyasztási kombinációban az árváltozás előtt és után?

e) Számítsa ki a Slutsky-féle teljes árhatás, a helyettesítési és a jövedelmihatás nagyságát!

31. Egy fogyasztó számára a fagylalt és a csokoládé tökéletesen helyettesítik egy-más, egy tábla csokoládé vagy 4 gombóc fagylalt ugyanolyan hasznossággalbír.

a) Ábrázolja a fogyasztó közömbösségi görbéit a fagylalt (x) és a csokoládé

(y) vonatkozásában! Írja fel a közömbösségi görbe egyenletét!b) A fogyasztó heti zsebpénze 1.000 Ft, egy gombóc fagylalt 60 Ft, egy táb-la csokoládé 250 Ft. Mennyi fagylaltot és csokoládét vásárol a haszonma-ximalizáló fogyasztó?

c) Adja meg a PCC és az ICC-görbék egyenletét!

32. Egy fogyasztó számára a presszó kávé és a cappuchino tökéletesen helyettesítikegymás, igaz, a presszó kávét 2-szer olyan erősnek érzi, mint a cappuchinot(azaz két cappuchino hasznossága ugyanolyan, mint egy presszó kávéé).

a) Ábrázolja a fogyasztó közömbösségi görbéit a presszó kávé (x) és acappuchino (y) vonatkozásában! Írja fel a közömbösségi görbe egyenle-tét!

b) A fogyasztó havonta 5.000 Ft költ kávéféleségre. Egy presszó kávé 200Ft, egy cappuchino 250 Ft. Mennyi kávét és cappuchinot vásárol a ha-szonmaximalizáló fogyasztó?

c) Adja meg a PCC és az ICC-görbék egyenletét!

33. Egy haszonmaximálásra törekvő fogyasztó adott jövedelem és árak esetén az xtermékből 200 darabot, az y-ból 150 darabot vásárol meg. Tegyük fel, hogy az




x termék árát megemelik. Ekkor új – optimálisnak tekinthető – fogyasztása 120darab x és 220 darab y terméket tartalmaz. Amennyiben az állam jövedelem-

kompenzációt hajtana végre, akkor a fogyasztó 140 darab x és 250 darab y ter-méket vásárolna.a) Határozza meg a teljes árhatás és Slutsky-módszerével a helyettesítési és

jövedelmi hatás nagyságát!b) Milyen módon jellemezhető az x termék?

34. Egy haszonmaximálásra törekvő fogyasztó adott jövedelem és árak esetén az xtermékből 200 darabot, az y-ból 150 darabot vásárol meg. Tegyük fel, hogy azx termék árát megemelik. Ekkor új – optimálisnak tekinthető – fogyasztása 120darab x és 220 darab y terméket tartalmaz. Amennyiben az állam jövedelem-kompenzációt hajtana végre, akkor a fogyasztó 100 darab x és 250 darab y ter-méket vásárolna.

a) Határozza meg a teljes árhatás és Slutsky-módszerével a helyettesítési és jövedelmi hatás nagyságát!

b) Milyen módon jellemezhető az x termék?

35. Egy haszonmaximálásra törekvő fogyasztó adott jövedelem és árak esetén az xtermékből 200 darabot, az y-ból 150 darabot vásárol meg. Tegyük fel, hogy azx termék árát megemelik. Ekkor új – optimálisnak tekinthető – fogyasztása 120

darab x és 220 darab y terméket tartalmaz. Amennyiben az állam jövedelem-kompenzációt hajtana végre, akkor a fogyasztó 170 darab x és 250 darab y ter-méket vásárolna.



36. Egy haszonmaximálásra törekvő fogyasztó adott jövedelem és árak esetén az xtermékből 170 darabot, az y-ból 150 darabot vásárol meg. Tegyük fel, hogy az

x termék árát megemelik. Ekkor új – optimálisnak tekinthető

– fogyasztása 200darab x és 220 darab y terméket tartalmaz. Amennyiben az állam jövedelem-kompenzációt hajtana végre, akkor a fogyasztó 120 darab x és 250 darab y ter-méket vásárolna.






Megoldások

1)a) Ab) Bc) C

d) De) Ef) F

g) A és Bh) C és Di) E és F

2) a)

b)

c) d)

J1



J2

J1



J3

J1



J4

J1



J5




3) a) 4

250

1000

max

===

xP

I x

1258

1000max ===

yP

I y

b)

A költségvetési egyenes tengelymet-szeteinek jelentése: az adott tengelyen fel-vett termékből maximálisan megvásárol-ható mennyiség. Az egyenes negatívmeredekségű, mert, ahhoz, hogy a fo-gyasztó a jövedelme teljes elköltése mel-lett növelhesse az egyik termékből elfo-gyasztott mennyiséget, a másik termékbőlkevesebbet kell fogyasztania.

c) Az egyenes meredekségét a termékek árainak aránya határozza meg:

8

250=

y

x

P

P

4) a) Py=100*1,5=150 Ftb) xmax=15 ymax=10c)

d)

66,0150

100&==

y

x

P

P

e) I= Px*x+Py*y 1500=100*x+150*yTetszőlegesen megadjuk x értékét. Ezt behelyettesítve a költségvetési egye-

1 0

y

15 x

1 2 5

y

4 x




nes egyenletébe, megkapjuk az y termékből vásárolható mennyiséget.Legyen x=6. 1500=100*6+150*y y=6

f) i) 1500>100*5+150*5 1500>1250, tehát meg tudja vásárolni, de nem költiel az összes jövedelmét, még 250 egységnyi jövedelme marad.

ii) 1500<100*8+150*5 1500<1550, tehát nem tudja megvásárolni, ehhezmég 50 egységnyi többletjövedelemre lenne szüksége.

iii)1500=100*6+150*6 1500=1500, tehát meg tudja vásárolni, a jövedelmeteljes elköltése mellett.

5) a) I=ymax*Py=10*60=600b)

5012

600

max

=== x

I P x

c)

d)

6

5

60

50==

y

x

P

P

e) I’=600*1,5=900x’max=900/50=18y’max=900/60=15

f) A c) pontban ábrázolt egyenessel párhuzamos, tengelymetszetek értéke az e)pontban kiszámolt értékekre változik (I’=900).

g) A termékek ára nem változott, tehát az egyenes meredeksége nem változott ad) pontban kiszámolt értékhez képest.

I=600 I’=900

1 0

1 5

y

12 18 x




6) a) Py=2000/20=100

b) xmax=2000/40=50c)

d)

4,0100

40==

y

x

P

P

e) P’x=40*1,25=50 x’max=2000/50=40f) A költségvetési egyenes elfordul az x termék tengelye mentén az origó felé.

Az y tengellyel vett metszéspont nem változik (20), az x tengellyel vett met-széspont 40-re csökken. Nő az egyenes meredeksége.g)

5,0100

50==

′

y

x

P

P

7) I px py xmax ymax px /py

3.000 75 200 40 15 0,375

2400 80 60 30 40 4/32.000 50 20 40 100 2,54.800 40 30 120 160 4/3900 15 20 60 45 3/4

8) a) Az x termékből vásárolható mennyiség felére csökken, az y-ból vásárolható

mennyiség nem változik.b) 4:3

f) c)

2 0

y

40 50 x




9) a) Mindkét termékből másfélszeresére nő.b) Nem változik.

10) a) X termékből egyharmadára csökken, míg y termékből kétszeresére nő a ma-

ximálisan megvehető mennyiség.b) 12/1,5=8c) A költségvetési egyenes meredeksége nem változik. Mindkét termékből két-

szeresére nő a maximálisan megvásárolható termékmennyiség az a) pontbelihelyzethez képest.

11) a) A, E és Hb) Bc) Cd) Fe) D és G

12) a) – c)

t e j

I0

U0 U1 U2

kakaópor

Optimum




13) a) – c)

14) a) – c)

c) Tökéletesen helyettesítő termékeknél az optimum valamelyik tengelyen ta-lálható, vagy maga a költségvetési egyenes. Mivel az ábrázolt helyzetben aköltségvetési egyenes meredeksége kisebb, mint a közömbösségi görbe me-redeksége, az optimum az „x” tengelyen helyezkedik el, vagyis a fogyasztócsak jégkrémet vásárol, és az általa elérhető maximális hasznossági szint U1.

t e a

I0

U0 U1 U2

cukor

Optimum

f a g y i

U0 U1 U2 I0

jégkrém

Optimum




15) a) – c)

16) a) – c)

17) a) – c)

U0 U1 U2

I0

hasznos

Optimum

k á r o s

U0 U1 U2

I0

hasznos

Optimum

t e j

I0

U0 U1 U2

dinnye

Optimum




18) A határhaszon függvényeket úgy kapjuk, hogy a hasznossági függvényt par-ciálisan deriváljuk azon változó szerint, amelyre a határhaszon függvényt fel

kívánjuk írni. Tehát xU MU x∂∂= , valamint

y

U MU y

∂

∂= .

y

x

x y MU

MU MRS = /

x

y

y x MU

MU MRS = /

i) y MU

x2= x MU

y2=

x

y MRS

x y= /

y

x MRS

y x= /

ii)

y MU x 3=

x MU y 3=

x

y

MRS x y=

/ y

x

MRS y x=

/

iii) y MU

x 5= x MU y

5= x

y MRS

x y= /

y

x MRS

y x= /

iv) 22 xy MU x= y x MU

y22

= x

y MRS

x y= /

y

x MRS

y x= /

v) 323 y x MU x= 23 3 y x MU

y=

x

y MRS

x y= /

y

x MRS

y x= /

vi) xy MU

x2= 2

x MU y=

x

y MRS

x y

2 / =

y

x MRS

y x 2 / =

vii) xy MU

x10= 25 x MU

y=

x

y MRS

x y

2 / =

y

x MRS

y x 2 / =

viii) 2 y MU

x= xy MU

y2=

x

y MRS

x y 2 / = y

x MRS

y x

2 / =

ix) 2

4 y MU x = xy MU y 8= x

y

MRS x y 2 / = y

x

MRS y x

2 / =

x) 32 xy MU x= 223 x y MU

y=

x

y MRS

x y 3

2 / =

y

x MRS

y x 2

3 / =

xi) 2= x

MU 1= y

MU 2 / = x y

MRS 2 / 1 / = y x MRS

xii) 1= x

MU 4= y

MU 4 / 1 / = x y

MRS 4 / = y x MRS




xiii) 3= x

MU 4= y

MU 4

3 / = x y

MRS 3

4 / = y x

MRS

xiv) 23

21

23

y x MU x= 2

12

3

23 y x MU

y=

x

y MRS

x y= /

y

x MRS

y x= /

xv) 321

2

1 y x MU

x

−

= 221

3 y x MU y=

x

y MRS

x y 6 / = y

x MRS

y x

6 / =

xvi) 1−−+⋅= x y y xU

1−= y MU x

1+= x MU y

11 / +

−= x y MRS x y 11 /

−

+= y x MRS y x

19) a)

x

y

x

xy

MU

MU MRS

y

x

x y

2

2

42===

b) Az x termék keresleti függvényének felírásához két egyenletet használunk.Egyrészt a fogyasztó optimális választására vonatkozó összefüggést, melyszerint az optimumban a helyettesítési határráta megegyezik az árak arányá-

val (érintési feltétel): y

x

y

x

x y

P

P

MU

MU MRS == .

Másrészt felhasználjuk a költségvetési egyenes egyenletét: yP xP I

y x*+∗= . Mindkét összefüggésben változóként kezeljük Px-et. Az

érintési feltételből y-t kifejezzük, majd behelyettesítjük a költségvetési egye-nes egyenletébe. Az így kapott összefüggést x-re rendezzük.

x

yP x 2

40=

240

xP y x=

6.000=Px*x+40*y=1,5*Px*xx=4.000/Px c) A racionális fogyasztó, optimális fogyasztói kosarának összetételét az előző

feladatban felhasznált összefüggésekkel kaphatjuk meg. Tehát szükségünkvan az érintési feltételre, valamint a költségvetési egyenes egyenletére.

y

x

y

x

x y

P

P

MU

MU MRS ==

x

y2

40

80= x y =

6.000=80*x+40*y=120*xx’=50 y’=50




d) A kapott termékmennyiségeket helyettesítjük vissza a hasznossági függ-vénybe.

U=2*502

*50=250.000e) Tudjuk, hogy az optimumban

y

x

y

x

x y

P

P

MU

MU MRS == . Ebből kiszámolhatjuk,

hogy: MRSy/x=2f) Az Engel-görbe felírása a már ismert érintési feltétel és a költségvetési egye-

nes segítségével történik, oly módon, hogy a jövedelmet (I) változóként sze-repeltetjük az egyenletben.Érintési feltételből tudjuk, hogy: y=xKöltségvetési egyenes: I=80*x+40*y=120*x

x=I/120Amennyiben y termékre kell felírnunk az Engel-görbét, az érintési feltételbőlx-et fejezzük ki, és azt helyettesítjük vissza a költségvetési egyenes egyenle-tébe.

20) a) Py=I/ymax=4.000/80=50

b) y

x

y

x

x y

P

P

MU

MU MRS ==

x

y=

50

40

5

4 x y =

4.000=40*x+50*y=80*xx=50 y=40c) U=3*50*40=6.000

d) x

yP x=

50 xP y

x=50

4.000=Px*x+50*y=2*Px*xx=2000/Px

x

y

P y=

40 yP x

y=40

4.000=40*x+Py*y=2*Py*yy=2.000/Py

e) I = 40*x + 50*y x

y=

50

40

I = 80*x x = I/80




f) I=40*x+50*y x

y=

50

40

I=100*y y=I/100

21) a) Px = 2400/60 = 40 Py = 100

I = 2.400 = 40*x + 100*y

y

x

y

x

x y

P

P

MU

MU MRS ==

x

y2

100

40= x y =5

2.400=300*y y=8 x=40

b) Umax=2*402*8=25600 c) I=40*x+100*y 5*y=x

I=300*yy=I/300I=60*xx=I/60

d)100

2 xP

x

y= xP y

x=200

2400=Px*x+100y=1,5*Px*x

x=1600/Px

yP x

y 402= yP x y

⋅= 240

2400=40*x+Py*y=3*Py*yy=800/Py

22) a)

x

y MRS

x y= / ; 2=

opt MRS

b) Az optimumban y

x

x y

P

P MRS = , ebből

252 xP=

px = 50I = 50*x+25*y=50*50+25*100=5.000

c) I=50x+25y

25

50=

x

y x y 2= y x 5,0=

I=50*x+25*y=100*x




x=I/100I=50*x+25*y=50*y

y=I/50d) 5.000=Px*x+25*y

25 xP

x

y= 5000=2Px*x x=2.500/Px

5.000=50*x+Py*y yP x

y 50= 5000=2Py*y y=2.500/Py

23) a) Px=4.000/100=40 y=(4.000-40*50)/50=40 b) P’x=40*1,5=60

5060=

x

y 5

6 x y =

4.000=60*x+50*y=120*xx’=33,33 y’=40

c) TH=x’-x=33,33-50=-16,67d) Hicks módszere azon a gondolaton alapszik, hogy a fogyasztónak az árválto-

zás után is képesnek kell lennie az eredeti hasznossági szint elérésére. Ennekmegfelelően a jövedelemkompenzáció utáni optimális választás (x”, y”) ki-számításához az eredeti hasznossági szintre felírt hasznossági függvényt, és

az árváltozás után felírt érintési feltételt használjuk.U=5*50*40=10.00010.000=5*x*y

x y

2000= és

5

6 x y =

x”=40,83 y”=48,99JH=x’-x”=33,33-40,83=-7,5HH=x”-x=40,83-50=-9,17

e) A szükséges jövedelemkompenzáció nagyságát megkapjuk, ha elsőként ki-

számoljuk, hogy mekkora lett a fogyasztó jövedelme, miután megkapta a jö-vedelemkompenzációt, majd ebből levonjuk az eredeti jövedelmet.I’=P’x*x”+Py*y”=60*40,83+50*48,99=4.899∆I=I’-I=899

24) a)

x

y

x y

y x MRS

x y==

43

43

/ 44




y

x

P

P

x

y=

x=40 és Py=1 és y = 4.000MRSy/x = 100

b) Az optimumban y

x

x yP

P MRS = / 100=Px /1

Px=100 I = 40*100 + 4000*1 = 8.000

c) Px’ = 801

80=

x

yy = 80x 8.000 = 80*x + 80*x

x’ = 50 y’ = 4000

d) TH = 50 – 40 = + 10e) Umax = 404*40004 = 160.0004 160.0004 = x4*y4

x y

160000= és x y 80=

x’’ = 44,7 y’’=3.577,7HH = 44,7 – 40 = 4,7JH = 50 – 44,7 = 5,3

f) I’=80*44,7+3.577,7=7.153,7∆I=I’-I=-846,3

g) Az ICC görbe különböző jövedelemszintekhez tartozó optimális fogyasztóikosarakat tartalmaz. Ezért felírásához felhasználhatjuk az árváltozás utánioptimum értékét (44,7; 3.577,7), valamint a jövedelemkompenzáció utánioptimális fogyasztói kosarat (50;4.000).Az egyenes egyenletének általános alakja: y=a*x+bICC: 4.000=a*50+b

3.577,7=a*44,7+ba=79,68 b=16,04

ICC: y=79,68*x+16,04

A PCC görbe az egyik termék változó ára melletti optimális fogyasztói kosa-rakat tartalmaz. Ezért felírásához felhasználhatjuk az árváltozás utáni opti-mum értékét (50; 4.000), valamint a fogyasztó eredeti optimális fogyasztóikosarát (40;4.000).Az egyenes egyenletének általános alakja: y=c*x+dPCC: 4.000=c*50+d

4.000=c*40+dc=0 d=4.000PCC: y=4.000




25) a)

y

x

y

x

x y

PP

MU MU MRS ==

5

6=

x

y

5

6 x y =

60=6*x+5*y=12*x x=5 y=6

b)5

6===

x

y

MU

MU MRS

y

x

x y

c) P’x=10 60=5*y+10*x

510= x y x y 2=

60=20*x x’=3 y’=6d) Slutsky szerint a fogyasztónak akkora jövedelemkompenzációt kell adni,

hogy az árváltozás után is képes legyen az eredetileg kiválasztott termék-mennyiség megvásárlására: ∆I=(P’x-Px)*x=(10-6)*5=20

e) Miután kiszámoltuk a szükséges jövedelem-kiegészítés mértékét, hozzáadjuka fogyasztó eredeti jövedelméhez. Az így megkapott jövedelemszintre, amegnövekedett P’x árral felírjuk a költségvetési egyenes egyenletét, valamintaz érintési feltételt. Így kiszámolhatjuk a fogyasztó optimális választását,amelyet a jövedelem-kiegészítés után vásárolna.I’=80=10*x+5*y

x

y=

5

10 x y 2=

80=10*x+10*x x”=4 y”=8e) TH: 3-5= -2f) JH: 3-4= -1

HH: 4-5= -1 g) ICC: 8=4*a+b

6=3*a+ba=2 b=0ICC: y=2x

PCC: 6=5*c+d6=3*c+dc=0 d=6PCC: y=6




26) a)

x

y

MU

MU MRS

y

x

x y

2==

b) Py = 30*1,5 = 459.000=30*x+45*y

x

y2

45

30= y x 3=

9.000=135*yx = 200 y=66,7

c) Px’ = Py = 459.000=45x+45y

x

y24545 = y x 2=

x’ =133,3 y’ = 66,7d) A Slutsky-féle jövedelemkompenzáció:

∆I= (px’- px)*x= (45-30)*200= 3000e) Teljes árhatás: 133,3 – 200 = − 66,7

12000=45*x”+45*y” y x 2=

x”= 177,78

HH: 177,78 − 200 = − 22,22JH: 133,3 − 177,78 = − 44,45

27) a)

y

x

y

x

x y

P

P

MU

MU MRS ==

30

202=

x

y

3

x y =

5.000=20*x+30*y=30*xx=166,67 y=55,56

b) 66,067,166

56,55*2222

&===== x

y

x

xy

MU

MU MRS

y

x

x y

5,1==

x

y

y x

MU

MU MRS

c) P’x=20*1,5=30

30

302=

x

y

2

x y =

5.000=30*x+30*y=45*xx’=111,11 y’=55,56




d) TH=x’-x=111,11-166,67=-55,56e) Umax=166,672*55,56=1.543.395

1.543.395=x2

y2

1543395

x y =

és2

x y =

x”=145,6 y”=72,8JH=111,11-145,6=-34,49HH=145,6-166,67=-21,07

f) I’=30*145,6+30*72,8=6.552∆∆∆∆I=6.552-5.000=1.552

g) ∆I=(30-20)*166,67=1666,7

h) TH=111,11-166,67=-55,56I’=5.000+1.666,7=6.666,76.666,7=30*x”+30*y”

2

x y =

6.666,7=45x”x”=148,15 y”=74,07JH=111,11-148,15=-37,04HH=148,15-166,67=-18,52

28) a)

x

y MRS

x y

= y

x MRS

y x

=

b) px = 15.000/300 = 50 py = 15.000/500 = 30

c)3

5=

x

y

3

5 x y =

15.000=50*x+30*y=100*xx=150 y=250

d) p’x=200

30

200=

x

y 3

20 x y =

15.000= 200*x+30y=400xx’ = 37,5 y’ = 250

e) Umax= 1503*2503= x3y3

x y250*150

= és3

20 x y =

x”=75 y”=500




TH: 37,5-150 = −−−− 112,5HH: 75-150 = −−−− 75

JH: 37,5- 75 = −−−− 37,5f) A Hicks-féle jövedelemkompenzáció:∆I= 75*200+500*30 - 15000= 15000

g) A Slutsky-féle jövedelemkompenzáció:∆I= (p’x- px)*x= (200-50)*150= 2250022.500+ 15.000=3750037.500= 200x + 30y

3

20 x y =

37.500=400*xx”= 93,75 y”= 625HH: 93,75-150 = −−−− 56,25JH: 37,5- 93,75 = −−−− 56,25

h) ∆I= (p’x- px)*x= (200-50)*150= 22.500

29) a) tökéletesen kiegészítőkb) – c)

d) legyen tejszín „x” termék és a kávé „y” termék mivel egy egységnyi ytermékhez mindig két egységnyi x terméket fogyaszt, ezért az y-ból fogyasz-tott mennyiség mindig feleakkora lesz, mint ahány egység x terméket vásá-rol. Azaz: y=0,5xárváltozás előtt: 1800=10x+30y=25x x=72 y=36árváltozás után: 1800=15x+30y=30x x’=60 y’=30

180 tejszín

6 0

k á v é

I0

U0 U1 U2

Optimum




e) ∆I=(15-10)*72=360I’=2160=15x+30y=30x

x”=72TH: x’- x=–12HH: x”- x=0,JH: x’- x”=–12

30) a) tökéletesen kiegészítőkb) – c)

d) Legyen a fagyi „x”, a hab „y” termék x=4yárváltozás előtt: 1200=50x+100y=300y y=4 x=16árváltozás után: 1200=75x+100y=400y y’=3 x’=12

e) ∆I=(75-50)*16=400I’=1600=75x+100y=400y y”=4 x”=16TH: x’-x= - 4HH: x”-x=0JH: x’-x”=– 4

31) a) Közömbösségi görbe: (4;0) és (0;1) pontokon átmenő egyenes egyenlete:

(y-0)(0-4)=(x-4)(1-0)-4y=x-44=x+4yU=x+4y (a közömbösségi görbe egyenlete), ahol „x” termék a fagylalt, „y”termék a csoki.

1 2

t e j s z í n

h a b

I0

U0 U1 U2

24 fagyi

Optimum




b) I=1000 Px=60 Py=250

1000=60*x+250*yU=x+4y→ x=U-4y1000=60*U-240*y+250*y1000-10*y=60*U16,67-0,167*y=U. Umax, ha y=0, tehát x=16,67

c) 25,04

124,0

250

60==<==

y

x

y

x

MU

MU

P

P, ezért az x tengellyel azonos az ICC és a

PCC görbe, tehát egyenletük y=0.

32) a) Közömbösségi görbe: (1;0) és (0;2) pontokon átmenő egyenes egyenlete:(y-0)*(0-1)=(x-1)*(2-0)-y=2*x-22=2*x+yU=2*x+y

c a

p p u c h i n o

U0 U1 U2

presszó kávé

c s o k i

U0 U1 U2

fagyi




b) 5000=200*x+250*y U=2*x+y x=(U-y)/2

5000=100*U-100*y+250*y=100*U+150*yU=50-1,5*y Umax, ha y=0 50=2*x+y=2*x x=25

c) 28,0250

200=<==

y

x

y

x

MU

MU

P

P ICC és PCC is egybeesik az „x” tengellyel,

tehát egyenletük: y=0

33) a) TH: 120-200 = - 80

HH: 140-200 = - 60

JH: 120-140 = - 20b) Mivel a HH és a JH iránya azonos, így az x termék normál jószág.

34) a) TH: 120-200 = - 80

HH: 100-200 = - 100JH: 120-100 = 20

b) Mivel a HH és a JH iránya ellentétes, de abszolút értékben a HH nagyobb,mint a JH, így az x termék inferior, de nem Giffen-jószág.

35) a) TH: 120-200 = - 80

HH: 170-200 = - 30JH: 120-170 = -50

b) Mivel a HH és a JH iránya megegyezik, az x termék normál jószág.

36) a) TH=200-170=30

HH=120-170=-50

JH=200-120=80b) Mivel a HH és JH iránya ellentétes, és JH abszolút értékben nagyobb, mint

HH, az x termék Giffen-jószág.






IV. Árupiaci kereslet 77.

IV. ÁRUPIACI KERESLET

Feladatok

1. Megfigyelték, hogy egy adott termékből a mindenkor érvényesülő tényleges ártól függetlenül naponta 30.000 Ft értékben vásárolnak.a) Adja meg a termék keresleti függvényét!b) Milyen a termék keresletének árrugalmassága?c) Igazolja megállapítását két tetszőleges ár segítségével!d) Hogyan alakul az adott áraknál a termék értékesítéséből származó

bevétel?

2. Megfigyelték, hogy egy adott termékből a mindenkor érvényesülő tényleges ártól függetlenül naponta 200 darabot vásárolnak.a) Adja meg a termék keresleti függvényét!b) Milyen a termék keresletének árrugalmassága?c) Igazolja megállapítását két tetszőleges ár segítségével!d) Hogyan alakul az adott áraknál a termék értékesítéséből származó

bevétel?

3. Megfigyelték, hogy egy adott termékből 100 Ft-os egységár mellett afogyasztók naponta a legkülönbözőbb mennyiségeket vásárolják meg.a) Adja meg a termék keresleti függvényét!b) Milyen a termék keresletének árrugalmassága?c) Igazolja megállapítását két tetszőleges ár segítségével!d) Hogyan alakul az adott áraknál a termék értékesítéséből származó

bevétel?

4. Amennyiben egy termék ára 25 egység 44 darabot vásárolnak belőle. Haaz ár 20 egység lenne, akkor 60 darabot vennének belőle.a) Milyen a termék árrugalmassága?b) Hogyan változott a bevétel az árcsökkentés hatására?




78. IV. Árupiaci kereslet


7. Egy termék keresleti görbéjének egyenlete: D = 300 – 10P.a) Mennyi a telítődési mennyiség?b) Mennyi az elméleti rezervációs ár?c) Mennyi lenne a kereslet 10 Ft/db ár esetén?d) Mennyi lenne a termékből származó árbevétel, ha az egységár 20 Ft?e) Mennyi lenne ekkor a fogyasztói többlet?f) Írja fel az inverz keresleti függvény egyenletét!g) Milyen ár esetén lenne a kereslet 250 db?

8. Ha a termék ára 100 Ft/db, akkor 3500 db-ot vásárolnak belőle. Ha 200Ft/db lenne az ár, akkor 3000 db-ot vennének.a) Írja fel a keresleti, illetve az inverz keresleti függvény egyenletét!b) Ha ingyen adnák a terméket, mennyi „fogyna el” belőle?c) Milyen ár mellett lépnének ki a vevők a piacról?d) Mennyit költenének a vevők 400 Ft/db egységár mellett, és mennyi

lenne ekkor a fogyasztói többlet?e) Hogyan változna a vevők költekezése, illetve a fogyasztói többlet

500 Ft/db ár esetén?f) Mikor nagyobb a termék keresletének árrugalmassága, ha az ár 100

Ft/db-ról 200 Ft/db-ra változik, vagy ha 400 Ft/db-ról 500 Ft/db-ranő?

9. Egy család havi jövedelme 45 ezer Ft. Ilyen jövedelemszint mellett havi20 kg kenyeret fogyasztottak el. Miután a családf őt elbocsátották azállásából, a munkanélküli járadék alapján a család jövedelme 25 ezer Ft-ra csökkent. Ekkor változatlan kenyérár mellett havi 22 kg kenyeret

fogyasztottak. Jellemezze a történteket!

10. Egy család teljes jövedelméből 4000 Ft-ot szán sajt, májkrém ésújság vásárlásra. Ebből heti 85 dkg sajtot és 5 doboz májkrémet,valamint 3 szórakoztató újságot vesznek. Fizetésemelés következtében ahárom termékre 25 %-kal többet szánnak a „családi költségvetésből”.Így sajtból 1 kg-ot és májkrémből 3 dobozt vesznek meg. Újságvásárlásiszokásán nem változtatnak.




Milyen csoportba sorolható a sajt, a májkrém és az újság ennél acsaládnál a jövedelemhatás szempontjából? (Válaszához számítsa ki ahárom termék jövedelemrugalmasságát!)

11. Az „X” termék keresleti függvénye az alábbi:

y x

x p p

I D

20⋅=

ahol: I (a jövedelem) = 10px (az „X” termék ára) = 5py (az „Y” termék ára) = 4.

Számítsa ki a termék árrugalmasságát, jövedelemrugalmasságát éskereszt-árrugalmasságát!


I

p p D

y x

x

⋅⋅−=

540




y x x y xp p p p I D ⋅⋅−⋅−⋅−⋅+=

2

16453000


Számítsa ki a termék árrugalmasságát, jövedelemrugalmasságát és

kereszt-árrugalmasságát!





y

x

x y x p

p p p I D

3 2

33 56364500 ⋅−⋅−⋅−⋅+=



15. Egy áru ára 6 pénzegységről 4 pénzegységre süllyedt, aminek

következtében a kereslet:a) 35 egységnyire b) 35 egységgel c) 35 egységrőlváltozott.Számítsa ki a hiányzó keresleti adatokat, ha a kereslet árrugalmasságamindhárom esetben „– 2” egység?

16. Egy f őiskolai büfében a 90 Ft-os egységárú rétesből naponta 150 db-ot vásároltak, miközben a 145 Ft-ba kerülő üdítőből 80 üveggel. Amikora rétes árát 20 %-kal megemelték, azt tapasztalták, hogy annak forgalma120 db-ra esett vissza, de a – változatlan árú – üdítőből is csak 70fogyott el.a) Hogyan alakul a rétes keresletének árrugalmassága? Értelmezze a

kapott mutatót!b) Hogyan alakul az üdítő keresletének kereszt-árrugalmassága? Milyen

a két termék „viszonya”?c) Hogyan alakult a rétes, illetve az üdítő árbevétele?d) Megérte a büfé üzemeltető jének a rétes árát megemelni?

17. Egy f őiskolai büfében a 60 Ft-os egységárú kávéból naponta 110pohárral vásároltak, miközben a 45 Ft-ba kerülő teából 50 pohárral.Amikor a kávé árát 15 %-kal megemelték, azt tapasztalták, hogy annakforgalma 90 pohárra esett vissza, de a – változatlan árú – teából 60fogyott el.a) Hogyan alakul a kávé keresletének árrugalmassága? Értelmezze a

kapott mutatót!b) Hogyan alakul a tea keresletének kereszt-árrugalmassága? Milyen a

két termék „viszonya”?c) Hogyan alakult a kávé, illetve az tea árbevétele?

d) Megérte a büfé üzemeltető jének a kávé árát megemelni?




18. Az alábbi táblázat egy vállalati büfére vonatkozóan mutatja a„Frissítő” és az „Ébresztő” üdítők napi keresleti adatait az előbbi termékárváltozása előtt és után:

„Frissítő” ára(Ft/pohár)

„Frissítő”fogyasztása(pohár/nap)

„Ébresztő”fogyasztása(pohár/nap)

80 120 8090 105 100

Számítsa ki a lehetséges árrugalmassági mutatókat, és értelmezzeazokat!

19. Egy műszaki boltban a színes televíziók készletcsökkentésének céljábóla 60.000 Ft-os készülékek árát októberben 3.000 Ft-tal csökkentették.Ennek következtében a havi eladások száma 100 db-ról 150 db-ra nőtt.a) Számítsa ki a televíziók keresletének árrugalmasságát és jellemezze

a kapott értéket!b) Mekkora árengedményt kellene a boltnak adnia (feltételezve, hogy

az árrugalmasság az adott ártartományban ugyanaz), hogy a továbbikészletek csökkentése céljából 50 db-bal több televíziót tudjanakértékesíteni?

c) Mennyi az árbevétel nagysága szeptemberben, októberben ésdecemberben?

20. Egy műszaki cikkeket árusító kereskedő a forgalom növekedésreményében az általa árusított 20.000 Ft-os dvd-lejátszók árából 15 %-os árengedményt adott, aminek következtében a havi forgalma az eddigiszokásos 100 db-ról 120-ra nőtt.a) Számítsa ki a dvd-lejátszók keresletének árrugalmasságát és

jellemezze a kapott értéket!

b) Mekkora árengedményt kellene a kereskedőnek adnia (feltételezve,hogy az árrugalmasság az adott ártartományban ugyanaz), hogy atovábbi bevétel-növelés reményében 150 db dvd-lejátszót tudjonértékesíteni?

c) Amennyiben egy akció keretében az eredeti ár feléért kínálnák aterméket (feltételezve, hogy az árrugalmasság az adottártartományban ugyanaz) hány dvd-lejátszót tudnának eladni?

d) Érdemes lenne a bevétel növelése érdekében a fenti lépéseketmegtenni? (Azaz mennyi lenne az árbevétel nagysága az egyes

esetekben?)




Megoldások

1) A megoldásnál vegyük figyelembe, az a meghatározás, hogy 30.000 Ftértékben vásároltak, nem más, mint a bolt bevétele, vagyis az egységárés az eladott mennyiség szorzata.a) Tehát 30.000 = P*Q

Ennek átrendezése alapján a keresleti függvény:

P DQ

000.30==

b) Egységnyi árrugalmasságú termékről van szó.c) Bizonyításképpen válasszunk két tetszőleges árat: P0=10 és P1=100.

A függvénybe helyettesítve megkapjuk az ezekhez tartozókeresleteket: D0 = 3.000 és D1 = 300. Helyettesítsük be az ismertrugalmassági képletbe:

110010

10010

3003000

3003000)( −=

−

+⋅

+

−=P Dε

d) A feladat megfogalmazása választ ad a kérdésre, ugyanis az ártólfüggetlenül mindig 30.000 Ft-ért vásárolnak naponta, azaz a bevételnagysága változatlan.

2) A kiindulásként megadott adat szerint mindig 200 db-ot vásárolnak.a) Tehát: D = 200.b) Ha a keresett mennyiség nem függvénye az árnak, akkor teljesen

árrugalmatlan termékről van szó.c) Bizonyításul vegyünk két tetszőleges árat: P0 = 10 és P1 = 100. A

kereslet mindig ugyanaz, azaz 200. Helyettesítsük be az ismertrugalmassági képletbe:

010010

10010

200200

200200)( =

−

+⋅

+

−=P Dε

d) Mivel a mennyiség változatlan, ezért minél nagyobb az ár, annálnagyobb lesz a bevétel is. Nézzük meg ezt adataink esetében:P0*Q = 10*200 = 2.000 < P1*Q = 100*200 = 20.000

3) Azt ismerjük, hogy a fogyasztó bármilyen mennyiséget hajlandómegvásárolni az adott 100 Ft-os egységár mellett.a) Mivel azt tudjuk csak, hogy P = 100, ezért D-re nem tudunk

függvényt felírni!b) Ebben az esetben az ár szempontjából végtelenül rugalmas a

termék.




c) Bizonyságul választanunk kell két tetszőleges mennyiséget: D0 = 10és D1 = 1.000. Az árról tudjuk, hogy mindig egyenlő 100 Ft-tal.Helyettesítsük be az ismert rugalmassági képletbe:

∞=−

+

⋅+

−

= 100100

100100

101000

101000)(P Dε

d) Erre a kérdésre – mivel az ár mindig ugyanaz – csak azt a választadhatjuk, hogy minél többet vásárolnak a termékből, annál nagyobblesz a bevétel.

4) Mindkét kérdés megválaszolásához elegendő az árbevételek alakulásátmegfigyelni, és nem kell a rugalmasság hagyományos képletévelszámolni.

Példánkban igaz, hogy (Π

-vel jelölve a bevételt)Π

0 = 25*44 = 1.100 ésΠ1 = 20*60 = 1.200. Mivel árcsökkenés mellett (P1 < P0) a bevétel nő (Π1 > Π0), így a kereslet ár szempontjából rugalmas. Azaza) árrugalmas termékről van szó,b) így árcsökkentés hatására a bevétel nő.

5) Az előző feladat megoldásának gondolatmenete alapján: árcsökkenésmellett (P1 = 20 < P0 = 25) a bevétel változatlan (Π1 = 20*55 = 1.100 ≡ Π1 = 25*44 = 1.100), így a termék egységnyi árrugalmasságú. Azaz

a) egységnyi árrugalmas termékről van szó,b) így árcsökkentés hatására a bevétel változatlan.

6) Az előbbi feladat megoldását követve: árcsökkenés mellett (P1 = 20 < P0 = 25) a bevétel is csökken (Π0 = 25*44 = 1.100 > Π1 = 20*45 = 900),így a termék az ár szempontjából rugalmatlan. Azaza) árrugalmatlan termékről van szó,b) így árcsökkentés hatására a bevétel is csökken.

7) a) A telítődési mennyiség ott következik be, ahol az ár „nulla” lesz. AP=0 értéket a keresleti görbe egyenletébe helyettesítve 300-atkapunk, vagyis a telítődési mennyiség 300 db.

b) Az elméleti rezervációs ár, ott van, ahol a mennyiség „nulla” értéketvesz fel. A D=0 értéket a keresleti görbe egyenletébe helyettesítve30-at kapunk, vagyis az elméleti rezervációs ár 30 Ft/db.

c) Helyettesítsük be a 10 Ft/db árat a keresleti függvénybe. EkkorD=300-10*10=200 jön ki. Azaz 10 Ft/db egységár esetén a

fogyasztók 200 db-ot vásárolnának.




d) A termékből származó árbevétel kiszámításához az egységár mellettszükségünk van az eladott mennyiségre. Ezt úgy kapjuk meg, ha a 20Ft/db egységárat a keresleti függvénybe helyettesítjük. Ilyen ármellett a fogyasztók 100 db-ot vennének. A bevételt P*Q formában

számíthatjuk ki, ami esetünkben 100*20=2000 Ft.e) A fogyasztói többlet kiszámításának képlete:

2

)( tényreztény PPQFT

−⋅=

A képletbe a szükséges adatokat behelyettesítjük:

5002

)2030(100=

−⋅=FT

Azaz a fogyasztói többlet 500 Ft.

f) Az inverz keresleti függvény egyenletét úgy kapjuk meg, ha akeresleti függvényünket P-re fejezzük ki. Esetünkben: P=30 – 0,1*Q.g) Nincs nehéz dolgunk, ugyanis a 250 db-ot az inverz keresleti

függvénybe helyettesítve P=5 egységárat kapunk.

8) Ha a termék ára 100 Ft/db, akkor 3500 db-ot vásárolnak belőle. Ha 200Ft/db lenne az ár, akkor 3000 db-ot vennének.a) A két adatpárt behelyettesítjük a lineáris egyenes képletébe,

amelynek általános alakja: y = a + bx, a keresleti függvénynél pedig

ennek alapján D = a + bP.3500 = a + 100b3000 = a + 200bAz első egyenletből a 2.-at kivonva: 500 = −100b, vagyis b = −5. Eztbármelyik egyenletbe helyettesítve: a=4000 értéket kapunk.Azaz: y = 4000 – 5b. Vagyis: D = 4000 – 5P.Ebből következik az inverz keresleti függvény egyenlete:P = 800 – 0,2Q.

b) Amikor azt kérdezik, mennyi „fogyna el” a termékből, ha ingyen

adnák, valójában a telítő

dési mennyiségre kíváncsiak. Ez ottkövetkezik be, ahol P=0, vagyis 4000 db esetén.c) Amikor arra kérdeznek rá: milyen ár mellett lépnének ki a vevők a

piacról, tulajdonképpen az elméleti rezervációs árra kíváncsiak. Ezott van, ahol D=0, vagyis 800 Ft/db ár esetén.

d) Ha 400 Ft/db lenne az egységár, akkor – a keresleti függvénybe valóbehelyettesítés alapján – 2000 db-ot vásárolnának a vevők. EkkorP*Q alapján 800.000 Ft-ot költenének el a vevők, és a fogyasztóitöbblet – az előző példában megismert képlet alapján – 400.000 Ftlenne.




e) Az előző pont alapján: ha P = 500 Ft/db, akkor D = 1500 db. Így azelköltött jövedelem: P*Q = 750.000 Ft. A fogyasztói többlet:225.000 Ft. Vagyis a vevők 500 Ft/db ár mellett 50.000 Ft-talkevesebbet költenének, mint 400 Ft/db ár mellett. Igaz ekkor a

fogyasztói többlet is 175.000 Ft-tal csökkenne a korábbihoz képest.f) Az első adatpár: P = 100 Ft/db és 3500 db, illetve P = 200 Ft/db és

3000 db. Erre a kereslet árrugalmasságának képletét alkalmazva:

31,2100200100200

3500300035003000

)( −=−

+⋅

+

−=

X X P Dε

A második adatpár: P = 400 Ft/db és 2000 db, illetve P = 500 Ft/dbés 1500 db. Erre a kereslet árrugalmasságának képletét alkalmazva:

29,1

400500

400500

20001500

20001500)( −=

−

+⋅

+

−=

X X P Dε

Tehát az első esetben nagyobb a kereslet árrugalmassága abszolútértékben. Igaz, mindkét esetben ellentétes elő jelű változások vannak(azaz az ár növekedését a kereslet csökkenése kíséri), és a termékárrugalmas (hiszen abszolút értékben mindkét rugalmassági mutató1-nél nagyobb értéket vesz fel).

9) Ennél a családnál az adott szituációban a kenyér Giffen-jószágkéntviselkedik: a jövedelem hirtelen és drasztikus csökkenése következtében

a család nem engedheti meg magának a korábbi jövedelmi szituációhozképest például a húsáruk, sajtkészítmények, stb. fogyasztását, ígykényszerűen a napi kalória-szükséglet megszerzése érdekében a kenyérfogyasztását helyezi előtérbe.

10) Helyettesítsük be a jövedelemrugalmasság képletébe az adatokat:

73,04000500040005000

8510085100

)( =−

+⋅

+

−= I Dsajt ε

25,240005000

40005000

53

53)(

−=−

+⋅

+

−=

I Dmájkrémε

040005000

40005000

33

33)( =

−

+⋅

+

−= I Dújságε

Mivel a sajt jövedelemrugalmassági mutatójának értéke 0 és 1 közéesik, így normál jószág. A májkrémnél a mutató negatív értéket vesz fel,így inferior jószágról van szó. Az újságnál a mutató értéke „nulla”,vagyis a termék jövedelemtől független jószág.




11) Mindhárom rugalmassági mutató étékének kiszámításáhozszükségünk van az adott feltételek melletti keresleti értékre, amelyet aképletbe történő behelyettesítéssel kaphatunk meg:

104

20

5

10=⋅= X D

A számításoknál a pontrugalmasság képletének alkalmazására vanlehetőségünk, így első lépésként mindig a keresleti függvény parciálisderiváltjait fogjuk kiszámítani. Ezt követi a rugalmassági képletbetörténő behelyettesítés.

Árrugalmasság:

22 )20(1)1(20 X Y X Y X

X

p p I

p p I

p D

⋅

⋅−=⋅−⋅

⋅=

∂

∂

110

)20(2)( −=⋅

⋅

⋅−=

X

X Y

P D

p

p p

I X X

ε

Tehát a termék egységnyi árrugalmasságú, és a negatív elő jelbőlkövetkezően, ha 1 %-kal változik az ár, akkor a kereslet is 1 %-kal, deellentétes irányba módosul.

Jövedelemrugalmasság:

Y X

X

p p I

D

⋅

=∂

∂ 20

110

20)( =⋅

⋅=

I

p p Y X

I D X ε

Tehát a termék egységnyi jövedelemrugalmasságú, vagyis a jövedelem1 %-os változása esetén – a pozitív elő jelből következően – a keresettmennyiség is 1 %-kal és azonos irányba módosul, azaz normál

jószágról van szó.

Kereszt-árrugalmasság:

22

)20(1)1(

20

Y X Y X Y

X

p p

I

p p

I

p

D

⋅

⋅−=⋅−⋅

⋅=

∂

∂




110

)20(2)( −=⋅

⋅

⋅−=

Y

Y X

P D

p

p p

I Y X

ε

Tehát a termék keresztárrugalmassága egységnyi, és a negatív elő jelből

következően, ha 1 %-kal változik az Y termék ára, akkor az X termékkereslet is 1 %-kal, de ellentétes irányba módosul, vagyis a két termék –és ez a f ő következtetésünk – kiegészítő viszonyban áll egymással.

12) A megoldás menete az előző feladathoz hasonló:

30100

2010540 =

⋅⋅−= X

D

Árrugalmasság:

I

p

p

D Y

X

X ⋅−=

∂

∂ 5

3,030

5)( −=⋅

⋅−=

X Y

P D

p

I

p X X

ε

Azaz a termék az ár szempontjából rugalmatlan, és a negatív elő jelből

következően, ha 1 %-kal változik az ár, akkor a kereslet 0,3 %-kal, deellentétes irányba módosul.


( ) ( )22

5115

I

p p

I p p

I

D Y X

Y X

X ⋅⋅=⋅−⋅⋅⋅−=

∂

∂

3,0

30

52)( =⋅⋅⋅

=I

I

p p Y X

I D X ε

Tehát a termék a jövedelem szempontjából rugalmatlan, vagyis a jövedelem 1 %-os változása esetén – a pozitív elő jelből következően –a keresett mennyiség 0,3 %-kal és azonos irányba módosul, azaznormál jószágról van szó.Kereszt-árrugalmasság:

( )

I

p

p

D X

Y

X ⋅−=

∂

∂ 5




3,030

)5()( −=⋅

⋅−=

Y X

P D

p

I

pY X

ε

Tehát a termék keresztárrugalmassága 0,3, és a negatív elő jelből

következő

en, ha 1 %-kal változik az Y termék ára, akkor az X termékkereslete 0,3 %-kal, de ellentétes irányba módosul, vagyis a két termék– és ez a f ő következtetésünk – kiegészítő viszonyban áll egymással.

13) A feladat megoldásának menete az előzőhöz hasonló:

68082

8161668480053000 =

⋅−⋅−⋅−⋅+= X

D

Árrugalmasság:

26 Y

X

X p

p

D−−=

∂

∂

02,06808

)2

6()( −=⋅−−=X Y

P D

p p X X

ε

Azaz a termék az ár szempontjából teljesen rugalmatlan.


5+=∂

∂

I

D X

59,06808

5)( =⋅=I

I D X ε

Tehát a termék a jövedelem szempontjából rugalmatlan, azaz normál jószágról van szó.


24 X

Y

X p

p

D−−=

∂

∂

014,068082

4)( −=⋅

−−=

Y X

P D

p pY X

ε

Tehát a termék kereszt-árrugalmassága közel nulla, vagyis a két termékviszonya – és ez a f ő következtetésünk – közömbös, fogyasztásuk

független egymástól.




14) A megoldás lépései a korábbiakhoz hasonlók:

5,9273

64

6458664380064500

333

=⋅−⋅−⋅−⋅+= X D

Árrugalmasság:

708,0)1

3

25()

1

3

16(

33 2−=⋅⋅−⋅⋅−=

∂

∂

X Y X X

X

p p p p

D

0006,05,9273

8708,0)( −=⋅−=

X X P Dε

Azaz a termék az ár szempontjából teljesen rugalmatlan.


6+=∂

∂

I

D X

518,05,9273

8006

)(

=⋅= I D X

ε

Tehát a termék a jövedelem szempontjából rugalmatlan, azaz normál

jószágról van szó.


055,01

51

3

13

3

3 2

3 2−=⋅⋅−⋅⋅−=

∂

∂

Y

X

Y Y

X

p p

p p

D

0004,05,9273

64)055,0()( −=⋅−=

Y X P Dε

Tehát a termék keresztár-rugalmassága gyakorlatilag nulla, vagyis a kéttermék – és ez a f ő következtetésünk – közömbös viszonyban állegymással.

15) Ez a példa – a rugalmasság számításán és a képlet értelmezésén túl –

arra szeretné felhívni a figyelmet, hogy milyen fontos szerepük van afeladat értelmezésében a „ragoknak”, azaz nagyon pontosan kell minden




egyes szót és így végződését is vizsgálni. Meglátjuk, hogy a háromesetben három eltérő eredményre fogunk jutni!a) Azt tudjuk, hogy a kereslet 35 egységnyire változott, tehát ennyi

lesz a kereslet új értéke. A korábbi keresleti adatot „x”-szel jelölve,

az ívrugalmasság képlete az alábbi módon írható fel:

264

64

35

35)( −=

−

+⋅

+

−=

x

xP Dε

Az egyenlet megoldása alapján: x = 15. Tehát a kezdeti keresletértéke 15 egység volt.

b) Ebben az esetben azt ismerjük, hogy a keresletnél tapasztalhatóváltozás mértéke 35 egység volt. Ezt értelmezhetnénk úgy is, hogy akereslet ennyivel csökkent, de úgy is, hogy ennyivel emelkedett. Azelőbbi megállapítás nem lehet helytálló, ugyanis normál jószágotfeltételezve, ha az ár csökken (esetünkben erről van szó), akkor az akereslet növekedését fogja maga után vonni. Ezt erősíti meg arugalmasság mutatójának negatív elő jele is. Tehát azt mondhatjuk,hogy a kezdeti kereslet értéke „x” volt, míg az új mennyiség „x+35”.Ennek alapján a rugalmasság képlete az alábbi:

264

64

)35(

)35()( −=

−

+⋅

++

−+=

x x

x xP Dε

Az egyenlet megoldása alapján: x = 26,25. Tehát ennyi volt az

eredeti keresett mennyiség, míg az árváltozás utáni: 61,25.c) Jelen esetünkben a kezdeti keresleti értéket ismerjük (amely: 35),míg az újat nem. Tekintsük ezt „x”-nek. A képlet a következő módonnéz ki:

264

64

35

35)( −=

−

+⋅

+

−= x

xP Dε

Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy az új keresleti mennyiség:81,7.

16) A mutatók kiszámításához tudnunk kell a rétes új árát, amely akorábbi (90 Ft-os) ár 20 %-kal növelt értéke, azaz 108 Ft. A megoldásnálaz ívrugalmassági képleteket fogjuk felhasználni.

a) Árrugalmasság:

22,190108

90108

150120

150120)( −=

−

+⋅

+

−=

X X P Dε

A mutató értékéből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a réteskereslete az ár szempontjából rugalmas, azaz 1 %-os árváltozás




esetén a keresett mennyiség több mint 1 %-kal módosul, ellentétesirányba.

b) Kereszt-árrugalmasság:

73,090108

90108

8070

8070)( −=−

+

⋅+

−

=Y X P Dε A mutató elő jeléből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a rétes ésaz üdítő (ahogyan várható volt) kiegészítő termékek, ugyanis a rétesárának növekedése esetén az üdítőből keresett mennyiség is csökken.

c) A kérdés megválaszolásához töltsük ki az alábbi táblázatot:

Árbevétel Áremelés előtt Áremelés utánRétes esetén 90*150 = 13.500 108*120 = 12.960Üdítőnél 145*80 = 11.600 145*70 = 10.150Összesen 25.100 23.110

Az adatokból látszik, hogy mind a rétesből, mind az üdítőbőlszármazó árbevétel csökkent az áremelés hatására.

d) Nem érte meg a rétes árát megemelni, hiszen a napi bevétel 2.000Ft-tal csökkent.

17) Kezdjük a kávé új árának meghatározásával, amely a régi ár (60 Ft)15 %-kal növelt értéke, azaz 69 Ft. Most is az ívrugalmassági képleteketfogjuk felhasználni.a) Árrugalmasság:

43,16069

6069

11090

11090)( −=

−

+⋅

+

−=

X X P Dε

A mutató értékéből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a kávékereslete az ár szempontjából rugalmas, azaz 1 %-os árváltozásesetén a keresett mennyiség több mint 1 %-kal módosul, ellentétesirányba.


30,16069

6069

5060

5060)( =

−

+⋅

+

−=

Y X P Dε

A mutató értékéből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a kávé ésa tea (amint várható volt) helyettesítő termékek, ugyanis a kávéárának növekedése esetén a teából keresett mennyiség nő (a mutatópozitív értékéből következően).




c) A kérdés megválaszolásához töltsük ki az alábbi táblázatot:

Árbevétel Áremelés előtt Áremelés utánKávé esetén 60*110 = 6.600 69*90 = 6.210

Teánál 45*50 = 2.250 45*60 = 2.700Összesen 8.850 8.910

Az adatokból látszik, hogy az áremelés hatására a kávénál csökkent,míg a teánál nőtt az árbevétel.

d) Megérte meg a kávé árát megemelni, hiszen a napi összbevétel, haminimális mértékben is, de nőtt. Azaz a kávé miattiforgalomcsökkenést ellensúlyozta a teáknál tapasztalhatóforgalombővülés.

18) A mutatók kiszámításánál az ívrugalmassági képleteit használjuk fel.a) Árrugalmasság:

13,18090

8090

120105

120105)( −=

−

+⋅

+

−=

X X P Dε

A mutató értékéből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a„Frissítő” kereslete az ár szempontjából rugalmas, azaz 1 %-osárváltozás esetén a keresett mennyiség több mint 1 %-kal módosul,ellentétes irányba.


89,18090

8090

80100

80100)( =

−

+⋅

+

−=

Y X P Dε

A mutató elő jeléből levonhatjuk azt a következtetést, hogy a„Frissítő” és az „Ébresztő” üdítők (ahogyan azt vártuk) helyettesítő termékek, ugyanis az előbbi árának növekedése esetén a másikbólkeresett mennyiség nő.

19)

Írjuk fel a megismert adatokat:P0 = 60.000 D0 = 100P1 = 57.000 D1 = 150

a) Helyettesítsük be az adatokat az árrugalmasság képletébe:

8,76000057000

6000057000

100150

100150)( −=

−

+⋅

+

−=P Dε

A termék árrugalmas és ellentétes irányú kapcsolat van az ár és akereslet között. Azaz az árcsökkentés hatására a kereslet nő, ésfordítva.

b)

Az árengedmény kiszámításához írjuk fel az első árcsökkentés utániés a várt helyzetre vonatkozó adatpárt:




P1 = 57.000 D1 = 150P2 = x D2 = 200Helyettesítsük be az értékeket az árrugalmasság képletébe, tudva azt,hogy annak értéke most is annyi (-7,8), mint az előző pontban

kiszámított adat.

8,75700057000

150200150200

)( −=−

+⋅

+

−=

x

xP Dε

Az egy ismeretlenes egyenletet megoldva: x = 54.950. Vagyis az újár 54.950 Ft/db lenne. Így az engedmény mértéke:57.000 – 54.950 = 2.050 Ft

c) Az egyes hónapokban a bevétel adatait az egységár és az eladottmennyiség szorzatából állapítjuk meg:szeptember: 60.000 * 100 = 6.000.000

október: 57.000 * 150 = 8.550.000december: 54.950 * 200 = 10.990.000Tehát a bevétel – az árcsökkentésből következő értékesítettmennyiség növekedése miatt – hónapról-hónapra nő!

20) Írjuk fel a megismert adatokat:P0 = 20.000 D0 = 100P1 = 17.000 D1 = 120

a) Helyettesítsük be az adatokat az árrugalmasság képletébe:

12,120000170002000017000

100120100120

)( −=−

+⋅+

−=P Dε

A termék árrugalmas és ellentétes irányú kapcsolat van az ár és akereslet között. Azaz az árcsökkentés hatására a kereslet nő, ésfordítva.

b) Az árengedmény kiszámításához írjuk fel az első árcsökkentés utániés a várt helyzetre vonatkozó adatpárt:P1 = 17.000 D1 = 120P2 = x D2 = 150

Helyettesítsük be az értékeket az árrugalmasság képletébe, tudva azt,hogy annak értéke most is annyi (-1,12), mint az előző pontbankiszámított adat.

12,11700017000

120150120150

)( −=−

+⋅

+

−=

x

xP Dε

Az egy ismeretlenes egyenletet megoldva: x = 13.930. Vagyis az újár 13.930 Ft/db lenne. Így az engedmény mértéke:17.000 – 13.930 = 3.070 Ft

c) Az elvileg értékesített mennyiség kiszámításához írjuk fel az eredeti

és a várt helyzetre vonatkozó adatpárt:




P1 = 17.000 D1 = 120P2 = 10.000 D2 = yHelyettesítsük be az értékeket az árrugalmasság képletébe, tudva azt,hogy annak értéke most is annyi (-1,12), mint az előző pontban

kiszámított adat.

12,117000100001700010000

120120

)( −=−

+⋅

+

−= y

yP Dε

Az egy ismeretlenes egyenletet megoldva: y = 218. Vagyis aterméket az eredeti ár feléért értékesítve 218 db-ot lehetne eladni.

d) Az egyes esetekben a bevétel adatait az egységár és az eladottmennyiség szorzatából állapítjuk meg:eredeti helyzet: 20.000 * 100 = 2.000.00015%-os árcsökkentés utáni helyzet: 17.000 * 120 = 2.040.00050%-os árcsökkentés utáni helyzet: 10.000 * 218 = 2.180.000Tehát a bevétel – az árcsökkentésből következő értékesítettmennyiség növekedése miatt –növekedne. Vagyis érdemes lenne azárcsökkentési akciókat végrehajtani!



V. Termelési függvények 95.

V. TERMELÉSI FÜGGVÉNYEK

Feladatok

1. Egy vállalat a termeléséhez munkát és tőkét használ fel: L a foglalkoztatottakszámát, K a felhasznált tőke mennyiségét jelöli.Az alábbi termelési függvényeket jellemezze homogenitás és skálahozadékszempontjából!

1) 3

2

3

1

LK Q ⋅=

2) 4

1

4

3

LK Q ⋅=

3) 2 / 12 / 12 K LQ ⋅⋅=

4) 2

1

3

1

LK Q ⋅=

5)

LK Q ⋅⋅= 4

6) 2

125 LK Q ⋅⋅=

7) 32 LK Q ⋅=

8) 2 LK Q ⋅=

2. A fenti függvényeknél írja fel a munka- és a tőke határtermék-függvényét, va-lamint az átlagtermék-függvényeket!

3. A fenti függvényeknél számítsa ki a munka- és a tőke termelési rugalmasságát!

4. A fenti függvényeknél írja fel a technikai helyettesítési határrátákat!

5. Egy vállalat termelési függvénye: 2

1

2

1

LK Q ⋅= a) Mekkora a termelés nagysága, ha a tőketényező 25 egység, a munkatényező

100 egység?b) Mekkorák a munka átlag- és határtermékének konkrét értékei ebben az eset-

ben?c) Mekkorák a technikai helyettesítési határráták a fenti tőke-munka kombiná-

ciók esetén?d) Számítsa ki a munka parciális termelési rugalmasságát!

6. Egy vállalat termelési függvénye a következő: LK Q ⋅⋅=214 .

a) Mekkora a termelés nagysága, ha a tőketényező 64 egység, a munkatényező 81 egység?

b) Mekkorák a munka átlag- és határtermékének konkrét értékei ebben az eset-



96. V. Termelési függvények

ben? c) Mekkorák a technikai helyettesítési határráták a fenti tőke-munka kombiná-


7. Ismert egy vállalat termelési függvénye: 2

125 LK Q ⋅⋅= .

a) Mekkora a termelés nagysága, ha a tőketényező 6 egység, a munkatényező 25 egység?

b) Mekkorák a munka átlag- és határtermékének konkrét értékei ebben az eset-ben?

c) Mekkorák a technikai helyettesítési határráták a fenti tőke-munka kombiná-



1

3

1

2 LK Q ⋅⋅= .a) Mekkora a termelés nagysága, ha a tőketényező 216 egység, a munkatényező

625 egység?b) Mekkorák a munka átlag- és határtermékének konkrét értékei ebben az eset-

ben?

c)

Mekkorák a technikai helyettesítési határráták a fenti tő

ke-munka kombiná-ciók esetén?d) Számítsa ki a munka parciális termelési rugalmasságát!

9. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó részeibe az alábbi kifejezések valamelyikét:„nő”, „csökken”, „> 1”, „< 0”, illetve „0< ... <1”:

A parciális termelési függvény MPL APL εL

- inflexiós pontjáig- inflexiós pontja és felső érintési pontja között- felső érintési pontja és maximuma között- maximuma után




10. Írja be átlagtermék és a határtermék kapcsolatában az alábbi relációs jelek(„<”, „>”, „=”) valamelyikét a táblázat üres részébe:

A parciális termelési függvény APL … MPL - inflexiós pontjáig- inflexiós pontjában- inflexiós pontja és felső érintési pontja között- felső érintési pontjában- felső érintési pontja és maximuma között- maximumában- maximuma után

11. Adott az alábbi termelési függvény:

9156 23−⋅+⋅+−= L L LQ

a) Meddig érdemes a munkát, mint termelési tényezőt növelni annak érdekében,hogy a kibocsátás még növekedjen?

b) A munka milyen nagyságától növekszik lassuló ütemben a termelés?

12. Adott az alábbi termelési függvény:

7242 23+⋅−⋅+⋅−= L L LQ

a) A munkát, mint termelési tényezőt milyen nagyságig érdemes növelni annakérdekében, hogy a kibocsátás még növekedjen?

b) A munka milyen nagyságánál vált a termelés gyorsuló növekedésből lassuló-ba?

13. Egy vállalat termelési függvénye a következő: 32360 L L LQ −⋅+⋅= . A függ-vény ismeretében töltse ki az alábbi táblázatot!

L Q MPL APL εL

MPL maxAPL maxQ max




14. Egy vállalat termelési függvénye: 321520 L L LQ −⋅+⋅= . Töltse ki az alábbitáblázatot a megadott függvény alapján!

L Q MPL APL εL

MPL maxAPL maxQ max

15. Egy vállalat termelési függvénye: 326 LK LK Q ⋅−⋅⋅= . Rövid távon a ren-delkezésre álló tőke nagysága 4. Töltse ki az alábbi táblázatot a megadott ada-tok alapján!

L Q MPL APL εL

MPL maxAPL maxQ max

16. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait, ha tudjuk, hogy a rögzített tőke

nagysága: 2, és a vállalat termelési függvénye: 2

125 LK Q ⋅⋅= alakú.

Létszám Termelés Határtermék ÁtlagtermékTermelési

rugalmasság149

2549

17. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait!

Termelés Létszám Határtermék ÁtlagtermékTermelési

rugalmasság1 2 0,52 15 1

7 1,59 1,11




18. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait az alábbiak ismeretében:

Létszám Termelés Átlagtermék HatártermékTermelési

rugalmasság1 20

40 6,679

4140

19. Töltse ki a táblázat hiányzó adatait!

L Q MPL APL εL

0 05 2,5

4 26 12

13 115 1,5

20. Töltse ki a táblázat hiányzó adatait!

L Q APL MPL εL - - -2 2 1

4 2 13 5 1,67

14 2,8 0,89

6 2,7 0,7420 2 0,8




Megoldások

1) A skálahozadék típusának megállapításához a tényezők mennyiségét α-szorosára növeljük. Ezt követően a zárójelek felbontásával, majd az egyenlettagjainak „átcsoportosításával” arra törekszünk, hogy az α-szorzó mögött elő-álljon az eredeti termelési függvény. Az így előállított végső alakból az „α” ki-tevő jének nagyságából már megállapítható a skálahozadék milyensége.

i) 3

2

3

1

3

2

3

1

)()( LK LK ⋅⋅=⋅⋅⋅ α α α Mivel a tényezőket α-szorosára növel-ve, a kibocsátás is α-szorosára növekszik, a függvény állandó skálahozadé-kú, és elsőfokú homogén.

ii) 4

1

4

3

4

1

4

3

)()( LK LK ⋅⋅=⋅⋅⋅ α α α Mivel a tényezőket α-szorosára növelve, akibocsátás is α-szorosára növekszik, a függvény állandó skálahozadékú, éselsőfokú homogén.

iii) 2

1

2

1

2

1

2

1

2)()(2 LK LK ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ α α α Mivel a tényezőket α-szorosára növel-ve, a kibocsátás is α-szorosára növekszik, a függvény állandó skálahozadé-kú, és elsőfokú homogén.

iv) 2

1

3

1

6

5

2

1

3

1

)()( LK LK ⋅⋅=⋅⋅⋅ α α α Mivel a tényezőket α-szorosára növel-ve, a kibocsátás ennél kisebb mértékben nő, a függvény csökkenő skálahoza-dékú, és 5/6-od fokú homogén. v) LK LK ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ 44 2

α Mivel a tényezőket α-szorosára növel-ve, a kibocsátás ennél nagyobb mértékben nő, a függvény növekvő skálaho-zadékú, és másodfokú homogén.

vi) 2

122

5

2

12 )()(5 LK LK ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ α α α Mivel a tényezőket α-szorosára

növelve, a kibocsátás ennél nagyobb mértékben nő, a függvény növekvő

skálahozadékú, és 2,5-ed fokú homogén vii) 32532 )()( LK LK ⋅⋅=⋅⋅⋅ α α α Mivel a tényezőket α-szorosára növel-ve, a kibocsátás ennél nagyobb mértékben nő, a függvény növekvő skálaho-zadékú, és ötödfokú homogén

viii) 232)()( LK LK ⋅⋅=⋅⋅⋅ α α α Mivel a tényezőket α-szorosára növel-ve, a kibocsátás ennél nagyobb mértékben nő, a függvény növekvő skálaho-zadékú, és harmadfokú homogén




2) i) 3

1

3

1

3

2 −

⋅⋅=∂

∂=

LK L

Q

MP L

3

1

3

1 −

⋅==LK L

Q

AP L

3

2

3

2

3

1 LK

K

Q MP

K ⋅⋅=∂

∂=

−

3

2

3

2

LK K

Q AP

K ⋅==

−

ii) 4

3

4

3

4

1 −

⋅⋅= LK MP L

4

3

4

3 −

⋅= LK AP L

4

1

4

1

4

3 LK MP

K ⋅⋅=

−

4

1

4

1

LK APK

⋅=

−

iii) 2

1

2

1 −

⋅= LK MP L 2

1

2

1

2

−

⋅⋅= LK AP L

2

1

2

1

LK MPK

⋅=

−

2

1

2

1

2 LK APK

⋅⋅=

−

iv) 2

1

3

1

2

1 −

⋅⋅= LK MP L

2

1

3

1 −

⋅= LK AP L

2

1

3

2

3

1 LK MP

K ⋅⋅=

−

2

1

3

2

LK APK

⋅=

−

v) K MP L

⋅= 4 K AP L

⋅= 4 L MPK

⋅= 4 L APK

⋅= 4

vi) 2

1

2

25

−

⋅⋅= LK MP L

2

1

25−

⋅⋅= LK AP L

2

1

10 LK MPK

⋅⋅= 2

1

5 LK APK

⋅⋅= vii) 223 LK MP

L⋅⋅= 22

LK AP L

⋅⋅= 32 LK MPK

⋅⋅= 3 LK AP

K ⋅=

viii) LK MP L

⋅⋅= 2 LK AP L

⋅= 2 L MP

K = 2

L APK =

3) i)

3

2==

L

L

L AP

MPε

3

1==

K

K

K AP

MPε

ii) 4

1=

Lε

4

3=

K ε

iii) 2

1=

Lε

2

1=

K ε

iv) 2

1=

Lε

3

1=

K ε

v) 1= Lε 1=K

ε




vi) 2

1= L

ε 2=K

ε

vii) 3= Lε 2=K ε viii) 2=

Lε 1=

K ε

4) i)

L

K

MP

MP MRTS

K

L

LK

2==

K

L

MP

MP MRTS

L

K

K L 2

==

ii) L

K MRTS

LK 3

= K

L MRTS

K L

3=

iii) L

K MRTS

LK = K

L MRTS

K L =

iv) L

K MRTS

LK 2

3=

K

L MRTS

K L 3

2=

v) L

K MRTS

LK

= K

L MRTS

K L

=

vi) L

K MRTS

LK 4

= K

L MRTS

K L

4=

vii) L

K MRTS

L

K

2

3=

K

L MRTS

K L

3

2=

viii) L

K MRTS

LK

2=

K

L MRTS

K L 2

=

5) a) K=25 L=100 5010025 2

1

2

1

=⋅=Q

b) 5,0== L

Q AP

L 2==

K

Q AP

K

25,021 2

1

=

⋅= L

K MP L

121 2

1

=

⋅=K

L MPK

c) L

K MRTS

LK

= = 0,25 K

L MRTS

K L

= =4

d) 5,05,0

25,0===

L

L

L AP

MPε




6) a)

L=64 K=81 28881644

2

1

2

1

=⋅⋅=Q

b) APL=3,56 APK=4,5

78,122

1

=

⋅= L

K MP L 25,22

2

1

=

⋅=K

L MPK

c) L

K MRTS

LK

= = 1,27 K

L MRTS

K L

= = 0,79

d) 5,056,3

78,1===

L

L

L AP

MPε

7) a) L=25 K=6 9002565 2

12

=⋅⋅=Q

b) APL=36 APK=150

185,22

2

1=⋅=

L

K MP

L 30010 2

1

=⋅⋅= LK MPK

c) L

K MRTS

LK

⋅=

4 = 0,06

K

L MRTS

K L

⋅=

4 = 16,67

d) 5,03618

===

L

L

L AP

MPε

8) a) L=625 K=216 606252162 4

1

3

1

=⋅⋅=Q b) APL=0,096 APK=0,28

024,05,0 4

3

3

1

=⋅⋅=

−

LK MP L

092,0

3

24

1

3

2

=⋅⋅=

−

LK MPK

c) L

K MRTS

LK ⋅

⋅=

4

3= 0,26

K

L MRTS

K L

⋅

⋅=

3

4= 3,86

d) 25,0096,0

024,0===

L

L

L AP

MPε




9) A parciális termelési függvény MPL APL εL

- inflexiós pontjáig nő nő > 1- inflexiós pontja és felső érintési pontja között csökken nő > 1- felső érintési pontja és maximuma között csökken csökken 0< ..<1- maximuma után csökken csökken < 0

10) A parciális termelési függvény APL … MPL

- inflexiós pontjáig <- inflexiós pontjában <

- inflexiós pontja és felső érintési pontja között <- felső érintési pontjában =- felső érintési pontja és maximuma között >- maximumában >- maximuma után >

11) Következő két feladatunk esetében a megoldás a következőképpen kereshető meg:a) A növekedés a függvény maximális értékéig tart. Ezt a pontot az első deri-

vált segítségével számíthatjuk ki!b) A gyorsuló növekedés lassulóvá, de még mindig emelkedővé, az inflexióspontnál válik, ennek megállapításához a második deriváltra van szükségünk!

Természetesen mindkét esetben a derivált függvények elő jelvizsgálatát is el kellvégeznünk!

Konkrét példánkban tehát:

a) 015123' 2=+⋅+⋅−= L LQ . A másodfokú egyenlet megoldó képletét kell

alkalmazni azzal, hogy L csak nullánál nagyobb értéket vehet fel! Így L = 5 a

jó megoldás, tehát ennél a pontnál található a függvény maximuma.b) 0126'' =+⋅−= LQ . Ezen egyenlet megoldása L = 2. Azaz eddig a pontiggyorsuló, utána lassuló ütemű a növekedés (egészen L=5 pontig).

12) Nézzük a deriváltak megoldásait!

a) 0286' 2=−⋅+⋅−= L LQ . → L = 1

(A függvénynek valójában két helyi szélső értéke van, az L=1/3 és az L=1,de az előbbi helyi minimum, az utóbbi a helyi maximum. Ez a derivált függ-vény (Q’) elő jelváltásának vizsgálatából derül ki.)




b) 0812'' =+⋅−= LQ . → L =3

2

13) L Q MPL APL εL

MPL max 1 62 63 62 1,01APL max 1,5 93,375 62,25 62,25 1Q max 5,58 254,47 0 46 0

14) L Q MPL APL εL

MPL max 5 350 95 70 1,357APL max 7,5 571,875 76,25 76,25 1Q max 10,627 706,4 0 66,47 0

15) L Q MPL APL εL

MPL max 2 64 48 32 1,5APL max 3 108 36 36 1Q max 4 128 0 32 0

16) Létszám Termelés Határtermék Átlagtermék

Termelésirugalmasság

1 20 20 20 14 40 6,67 10 0,679 60 4 6,67 0,6

25 100 2,5 4 0,62549 140 1,67 2,86 0,58

17) Termelés Létszám Határtermék Átlagtermék

Termelésirugalmasság

1 2 0,5 0,5 12 3 1 0,67 1,55 5 1,5 1 1,58 7 1,5 1,14 1,32

10 9 1 1,11 0,9




18) Létszám Termelés Átlagtermék Határtermék Termelésirugalmasság

1 20 20 20 14 40 10 6,67 0,679 60 6,67 4 0,6

25 100 4 2,5 0,649 140 2,86 1,67 0,58

19) L Q MPL APL εL0 0 - - -2 5 2,5 2,5 14 9 2 2,25 0,896 12 1,5 2 0,757 13 1 1,86 0,54

10 15 0,67 1,5 0,45

20) L Q APL MPL εL 0 0 - - -1 2 2 2 12 4 2 2 13 9 3 5 1,675 14 2,8 2,5 0,896 16 2,7 2 0,748 20 2,5 2 0,8



VI. Költségek és profitok 107.

VI. KÖLTSÉGEK ÉS PROFITOK

Feladatok

1. Helyettesítse a számokat a megfelelő költség-, bevétel- ésprofitnevekkel!

8 9 2

8 7 6 2

4 53 2

1

2. Ha a számviteli profit megegyezik a normál profittal, akkor érdemes-e atermelést hosszú távon folytatni? (Segítségül: akkor érdemes folytatnia,ha legalább a gazdasági költségeket fedezi a bevétel!)

3. Ha a számviteli profit meghaladja a normál profitot, akkor realizálható-egazdasági profit?

4. Ha van (pozitív) számviteli profit, akkor realizálható-e normál profit?

5. Ha egy vállalkozás gazdasági profitja negatív, akkor számvitelileg isveszteséges a cég?

6. Ha egy cég a számviteli profit szempontjából veszteséget mutat, akkorgazdaságilag lehet még nyereséges?

7. Ha a vállalkozás gazdasági profitja pozitív, akkor számviteliszempontból is nyereséges?

8. Ha a cég számviteli szempontból nyereséges, akkor gazdaságiértelemben is pozitív eredményt tud felmutatni?

9. Ha egy vállalkozás normál profitja negatív, akkor milyen értéket veszfel a számviteli, illetve a gazdasági profitja?



108. VI. Költségek és profitok

10. Jelölje a táblázatban, hogy a felsoroltak milyen költségelemek!

MegnevezéseExplicit

költség

Elszámolhatóimplicitköltség

Alternatív

költségVállalkozó korábbi munkabéreBérleti díjAmortizációFűtési díjFeladott vállalkozás profitjaAnyagbeszerzés értékeIngatlan értékcsökkenése

Forgóeszköz beszerzésVízdíjAlkalmazott béreCég által felvett hitel kamataRezsi díjakInduláshoz eladott, magánszemélytulajdonában lévő értékpapír hozamaAlkalmazotti bérek járulékaFolyóköltség

11. Egy vállalkozás tekintetében az alábbi adatok ismertek:

Számviteli profit: 5.400 eFtEl nem számolható implicit költség: 3.200 eFtÖsszes explicit költség: 3.300 eFtÖsszes gazdasági költség: 7.700 eFt

Mennyi a cég: gazdasági profitja, számviteli költsége, amortizációja,

árbevétele és összes implicit költsége?

12. Egy vállalkozás alábbi adatait ismerjük:

- árbevétel 6000 eFt- explicit ktg. 2800 eFt- amortizáció 400 eFt- gazdasági ktg. 4800 eFt

Számítsa ki az implicit és számviteli költséget, valamint a normál profit,a számviteli profit, a gazdasági profit összegét!




13. Egy vállalkozás adatai a következők:

- El nem számolható implicit költség: 2000 eFt- Gazdasági profit: − 1200 eFt- Árbevétel: 4100 eFt- Amortizáció: 900 eFt

Számítsa ki a vállalkozás számviteli- és normálprofitját, explicit, összesimplicit, számviteli és gazdasági költségét!

14. Számítsa ki a vállalkozó explicit, implicit, számviteli és gazdaságiköltségét, valamint számviteli és normál profitját, ha a vállalkozásalábbi adatait ismeri:

- tervezett árbevétel: 3000 eFt- amortizáció: 200 eFt- gazdasági profit: − 200 eFt- el nem számolható implicit költség: 1200 eFt

15. Állapítsa meg a vállalkozás összes implicit és számviteli költségét,valamint számviteli, gazdasági és normálprofitját az alábbi adatokbirtokában!

- Elszámolható implicit költség 100 eFt- Explicit költség 700 eFt- Gazdasági költség 1200 eFt- Értékesített termék mennyisége 1800 db

egységára 1200 Ft/db

16. Egy cég 600 ezer darab terméket gyárt egy évben. Az egységár 20 Ft.A vállalat éves értékcsökkenése 400 ezer Ft. Az összes explicit költség

7,6 millió Ft. Gazdasági profitként 2.100 ezer Ft nyereséget ért el avállalat.Számítsa ki az alábbi adatokat!

Implicit költség Normál profitGazdasági költség Számviteli profitSzámviteli költség Bruttó profit




Megoldások

1) A költség- és profitmegnevezések az alábbiak:

Explicit költség Implicit költségGazdasági

profit

Explicit költségElszámolha-tó implicit

költség

El nem számolhatóimplicit költség =

Normál profit

Gazdaságiprofit

Számviteli költség Számviteli profit

Gazdasági költség Gazdaságiprofit

Összes bevétel

2) Tudjuk, hogy a számviteli profit egyenlő a gazdasági profit és a normálprofit összegével. A kiinduló állításból következik, hogy a gazdaságiprofit nulla, azaz az árbevétel megegyezik a gazdasági költséggel. Tehátérdemes a termelést hosszú távon folytatni.

3) Ismerjük, hogy a számviteli profit egyenlő a gazdasági profit és anormál profit összegével. A kiinduló állításból következik, hogy agazdasági profit nagyobb, mint nulla, azaz realizálható gazdasági profit.

4) A számviteli profit egyenlő a gazdasági profit és a normál profitösszegével. A kiinduló állításból következik, hogy a számviteli profitnagyobb vagy egyenlő a gazdasági profittal, így a normál profit nemlehet negatív. De a normál profit definíciójából is egyértelműen

következik ez a megállapítás, hiszen az el nem számolható implicitköltséget jelent, amely nagy valószínűséggel minden vállalkozásnálfelmerül.

5) Ha egy vállalkozás gazdasági profitja negatív, akkor számvitelilegbármilyen eredményt elérhet a cég. Az eredmény attól függ, hogy anormál profit milyen nagyságú. (Emlékezzünk arra az összefüggésre,hogy a Számviteli profit = Gazdasági profit + Normál profit.)




6) Amennyiben egy cég a számviteli profit szempontjából veszteségetmutat, akkor gazdaságilag biztosan nem lehet nyereséges, még akkorsem, ha a normál profitja „nulla”. (Az összefüggés, amit felhasználtunk:Gazdasági profit = Számviteli profit – Normál profit.)

7) Ha a vállalkozás gazdasági profitja pozitív, akkor számviteliszempontból is biztos, hogy nyereségesnek kell lennie, ugyanis aszámviteli profit a gazdasági és a normál profit összege.

8) Amennyiben egy cég számviteli szempontból nyereséges, akkorgazdasági értelemben bármilyen eredményt fel tud mutatni, hiszen agazdasági profitot úgy kapjuk meg, hogy a számviteli profitból levonjuka normál profitot. Így a kapott eredmény bármilyen elő jelet felvehet.

9) Ez beugrató kérdés, mivel egy vállalkozás normál profitja sohasem lehetnegatív, az csak „nulla” vagy pozitív értékű lehet.

10) Jelöljük a táblázatban X-szel, hogy melyik költségelemről van szó!

MegnevezéseExplicitköltség

Elszámolhatóimplicitköltség

Alternatívköltség

Vállalkozó korábbi munkabére XBérleti díj XAmortizáció XFűtési díj XFeladott vállalkozás profitja XAnyagbeszerzés értéke XIngatlan értékcsökkenése XForgóeszköz beszerzés X

Vízdíj XAlkalmazott bére XCég által felvett hitel kamata XRezsi díjak XInduláshoz eladott, magánszemélytulajdonában lévő értékpapír hozama X

Alkalmazotti bérek járuléka XFolyóköltség X




11) Használjuk fel az ismert összefüggéseket! (Most és a továbbiakbanmindig csak egy lehetséges megoldást mutatunk be, de hangsúlyozzuk,hogy az eredmények más lépésekkel, illetve más sorrendben iskiszámolhatók.)

Gazdasági profit = számviteli profit – el nem számolható implicitköltség = 5.400 – 3.200 = 2.200 eFtSzámviteli költség = összes gazdasági költség – el nem számolhatóimplicit költség = 7.700 – 3.200 = 4.500 eFtAmortizáció (elszámolható implicit költség) = számviteli költség –összes explicit költség = 4.500 – 3.300 = 1.200 eFtÁrbevétel = összes gazdasági költség + gazdasági profit = 7.700 + 2.200= 9.900 eFt

Összes implicit költség = amortizáció + el nem számolható implicitköltség = 1.200 + 3.200 = 4.400 eFt

12) Az előző feladatban használt összefüggések alapján:

Számviteli profit = árbevétel – explicit költség – elszámolható implicitköltség = 6.000 – 2.800 – 400 = 2.800 eFtGazdasági profit = árbevétel – gazdasági költség = 6.000 – 4.800 =1.200 eFt

Normál profit = számviteli profit – gazdasági profit = 2.800 – 1.200 =1.600 eFtSzámviteli költség = árbevétel – számviteli profit = 6.000 – 2.800 =3.200 eFtImplicit költség = elszámolható implicit költség + el nem számolhatóimplicit költség = 400 + 1.600 = 2.000 eFt

13) Az ismert összefüggéseket alkalmazzuk, de figyelnünk kell arra,hogy „veszteséges” a cég, hiszen gazdasági profitja negatív!

Gazdasági költség = árbevétel – gazdasági profit = 4.100 – (–1.200) =5.300 eFtImplicit költségek = el nem számolható implicit költségek +elszámolható implicit költségek = 2.000 + 900 = 2.900Számviteli profit = gazdasági profit + el nem számolható implicitköltség = (–1.200) + 2.000 = 800 eFtNormál profit = el nem számolható implicit költség = 2.000 eFtSzámviteli költség = árbevétel – számviteli profit = 4.100 – 800 =

3.300 eFt




Explicit költség = számviteli költség – elszámolható implicit költség =3.300 – 900 = 2.400 eFt

14) Az előző feladathoz teljesen hasonló a helyzet, hiszen most negatívelő jellel szerepel a gazdasági profit!

Implicit költség = elszámolható implicit költség + el nem számolhatóimplicit költség = 200 + 1.200 = 1.400 eFtGazdasági költség = árbevétel – gazdasági profit = 3.000 – (–200) =3.200 eFtExplicit költség = gazdasági költség – implicit költség = 3.200 – 1.400 =1.800 eFtSzámviteli költség = explicit költség + elszámolható implicit költség =

1.800 + 200 = 2.000 eFtSzámviteli profit = árbevétel – számviteli költség = 3.000 – 2.000 =1.000 eFtEl nem számolható implicit költség = normál profit = 1.200 eFt

15) A korábbiak alapján tudjuk a feladatot megoldani, csak arra kellügyelnünk, hogy az árbevétel adatát ki kell számolnunk, mégpedig azegységár és az értékesített mennyiség szorzata alapján. Azaz azárbevétel = 1.200 Ft/db * 1.800 db = 2.160 eFt.

Normál profit = el nem számolható implicit költség = gazdasági költség– elszámolható implicit költség – explicit költség = 1.200 – 100 – 700 =400 eFtGazdasági profit = árbevétel – gazdasági költség = 2.160 – 1.200 =960 eFtSzámviteli profit = gazdasági profit + normál profit = 960 + 400 =1.360 eFtSzámviteli költség = árbevétel – számviteli profit = 2.160 – 1.360 =

800 eFtImplicit költség = elszámolható implicit költség + el nem számolhatóimplicit költség = 100 + 400 = 500 eFt

16) Először az árbevételt számítjuk ki: 600.000 db * 20 Ft/db =12.000.000 Ft. A vállalat éves értékcsökkenése, amely 400 ezer Ft, nemmás, mint az elszámolható implicit költség. Most már felírhatjuk azösszefüggéseket!

Gazdasági költség = Árbevétel – gazdasági profit = 12.000 – 2.100 =9.900 eFt




Számviteli költség = explicit költség + elszámolható implicit költség =7.600 + 400 = 8.000 eFtSzámviteli profit = árbevétel – számviteli költség = 12.000 – 8.000 =4.000 eFt

Implicit költség = gazdasági költség – explicit költség = 9.900 – 7.600 =2.300 eFtNormál profit = implicit költség – elszámolható implicit költség =2.300 – 400 = 1.900 eFtBruttó profit = árbevétel – explicit költség = 12.000 – 7.600 = 4.400 eFt



VII. Költségfüggvények 115.

VII. KÖLTSÉGFÜGGVÉNYEK

Feladatok

1. Feltételezve, hogy a parciális termelési függvény gyorsuló ütemben növekvő szakaszát vizsgáljuk, milyen alakú a rövid távú:a) fix költségfüggvény,b) változó költségfüggvény,c) teljes költségfüggvény,

d) átlagos fix költségfüggvény,e) átlagos változó költségfüggvényf) átlagköltség-függvény,g) határköltség-függvény?

2. Feltételezve, hogy a parciális termelési függvény lassuló ütemben növekvő sza-kaszát vizsgáljuk, milyen alakú a rövid távú:a) fix költségfüggvény,b) változó költségfüggvény,c) teljes költségfüggvény,d) átlagos fix költségfüggvény,e) átlagos változó költségfüggvényf) átlagköltség-függvény,a) határköltség-függvény?

3. Egy ábra segítségével mutassa be a fixköltség-, a változóköltség- és ateljesköltség-függvények kapcsolatát, ha a parciális termelési függvény általá-nos esetét vizsgáljuk! Ne feledkezzen meg a tengelyek és a függvények elneve-zéséről!

4. Készítsük el az előző feladatnak megfelelő ábrát, amennyiben a parciális terme-lési függvényünk lineáris! Jelöljük a tengelyeket és függvényeket is! Mit jelent agyakorlatban az, hogy a parciális termelési függvény lineáris?

5. Rajzolja fel a tökéletes verseny feltételei között működő vállalat fix- és átlagosfix költségfüggvényét egy koordináta-rendszerbe! Miért ilyenek a fenti függvé-nyek alakja?



116. VII. Költségfüggvények

6. Rajzolja fel egy koordináta rendszerbe a tökéletes piaci verseny feltételei mellett

egy vállalat átlagköltség-, illetve átlagos változó költség-függvényét! Szövege-sen indokolja a két függvény alakjának kapcsolatát!

7. Egy ábra segítségével mutassa be a határköltség-, az átlagos változóköltség- ésaz átlagköltség-függvények kapcsolatát! Ne feledkezzen meg a tengelyek elne-vezéséről sem!

8. Egy vállalat teljes költség függvénye: 56824 23+⋅+⋅−⋅= qqqTC .

a) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit!

b) Számolja ki a vállalat költségeit q=3 esetére!c) Milyen kibocsátási szint mellett lesz a változó inputtényező átlagtermékénekmaximális értéke?

9. Egy vállalat teljes költség függvénye: 150025105 23+⋅−⋅−⋅= qqqTC .

a) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit!b) Számolja ki a vállalat költségeit q=10 esetére!c) Milyen kibocsátási szint mellett lesz a változó inputtényező átlagtermékének

maximális értéke?

10. Egy vállalat teljes költség függvénye: 50015 23 +⋅+−= qqTC .a) Határozza meg azt a kibocsátási szintet, amely mellett a változó inputténye-

ző átlagterméke maximális!b) Számítsa ki, hogy milyen kibocsátás mellett lesz a vállalat határköltsége

minimális!c) Írja fel a többi rövid távú költségfüggvényt!d) Számítsa ki azok értékeit, ha a termelés nagysága: 9!

11. Egy tökéletes verseny vállalatának teljes költségét ezer Ft-ban a következő ösz-

szefüggés adja meg:2)8( −= qTC

a) Rövid távú vagy hosszú távú költségfüggvényről van szó a példában? Vála-szát indokolja is!

b) Van-e a vállalatnak fix költsége? Ha igen, akkor mennyi? Ha nem, akkormiért nem?

c) Írja fel a vállalat költségfüggvényeit!d) Számítsa ki a azok értékét q = 20 termelési nagyságnál!




12. Egy tökéletes verseny vállalatának teljes költségét ezer Ft-ban a következő ösz-szefüggés adja meg: 60)2( 2

+−= qTC .

a) Rövid távú vagy hosszú távú költségfüggvényről van szó a példában?b) Van-e a vállalatnak fix költsége? Ha igen, akkor mennyi? Ha nem, akkor

miért nem?c) Írja fel a vállalat többi költségfüggvényét!d) Mekkora a vállalat költségfüggvényeinek értéke q=10 termelési nagyság-

nál?

13. Egy tökéletes verseny vállalatának teljes költségét ezer Ft-ban a következő ösz-szefüggés adja meg:

23)5(2

+−= qTC a) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit!b) Mekkora a vállalat rövid távú költségfüggvényeinek értéke q=12 termelési

nagyságnál?

14. Egy tökéletes verseny vállalatának átlagköltségét ezer Ft-ban a következő ösz-szefüggés adja meg:

464

++=q

q AC

a) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit!b) Mekkora a vállalat rövid távú költségfüggvényeinek értéke q=10 termelésinagyságnál?

15. Egy tökéletes verseny keretei között működő vállalat átlag-költségfüggvénye:

qqq AC

100362

+⋅−=

a) Írja fel a többi rövid távú költségfüggvényeket!b) Számítsa ki a költségfüggvények értékeit q = 40 termelési nagyságnál!

16. Egy egytermékes vállalat határköltség-függvénye: 40203 2+⋅−⋅= qq MC ,

ahol „q” a termelés mennyisége. A fix költség: 500.a) Írja fel a többi rövidtávú költségfüggvényt!b) Számítsa ki azok értékeit 10 nagyságú termelés esetén!




17. Egy tökéletes verseny keretei között működő vállalat átlagos változó költség-függvénye:

qq AVC ⋅−⋅= 1222

.A vállalat fix költsége 100 egységnyi.a) Írja fel a többi rövid távú költségfüggvényeket!b) Számítsa ki a költségfüggvények értékeit q=8 termelési nagyságnál!

18. Az alábbi isocost egyenes mely pontjára, vagy pontjaira igaz az, hogy: a) csak egyik termelési tényezőt vásárolja a termelő, de nem használja fel a

teljes összköltséget;b) mindkét termelési tényezőből vásárol a termelő, de nem használja fel a tel-

jes összköltséget;c) csak egyik termelési tényezőt vásárolja a termelő, és felhasználja a teljesösszköltséget;

d) mindkét termelési tényezőt vásárolja a termelő, és felhasználja a teljesösszköltséget;

e) adott feltételek (összköltség és termelési tényező árak) mellett nem megvá-sárolható kombináció;

f) adott feltételek (összköltség és termelési tényező árak) mellett, csak azegyik termelési tényezőre koncentrálva nem megvásárolható kombináció;

g) az összköltséget nem használta fel a termelő (több pontot kell jelölni!);

h) az összköltséget felhasználta a termelő (több pontot kell jelölni!);i) adott feltételek mellett nem megvásárolható lehetőség (több pontot kell je-

lölni!).K (tőke) mennyisége

F

A

BD

E

C

L (munka) mennyisége




19. Rajzoljunk egy isocos egyenest! Jelöljük ezt TC1-gyel! Az egyes tengelyeken a

tő

ke és a munka mennyisége szerepel. Rajzoljunk egy olyan isocost egyenest,amelynél ehhez képest:a) a termelő felhasználható összköltsége nőtt (jelöljük TC2-vel);b) az egyik termelési tényező (pl. a munka) ára csökkent (TC3-mal jelöljük);c) mindkét termelési tényező ára azonos mértékben csökkent (jelöljük TC4-

gyel);d) mindkét termelési tényező ára csökkent, de eltérő mértékben (TC5-tel jelöl-

jük)!

20. Az alábbi ábra mely pontjára, illetve pontjaira igaz, hogy:a) a termelő felhasználja az összköltséget, de nem éri el az ahhoz tartozó legna-

gyobb termelési szintet (A)b) a termelő nem használja fel az összköltséget (B)c) a termelő felhasználja az összköltséget, és eléri az ahhoz tartozó legnagyobb

termelési szintet (C)d) a termelő olyan termelési szintre lépne, amelyet a feltételek nem tesznek le-

hetővé (D)

A

BD

C

K (tőke) mennyisége

L (munka) mennyisége




21. Egy vállalat termelési függvénye: LK Q ⋅⋅= 4 , ahol L a foglalkoztatottakszáma, K a felhasznált tőke mennyisége.

a) Írja fel a technikai helyettesítés határrátáját!b) Mi az optimális tényező felhasználás hosszú távon, ha TC = 200, PL = 10,

PK = 20?c) Mi az optimális tényező felhasználás rövid távon, ha TC = 200, PL = 10, il-

letve PK = 20 és tudjuk, hogy K = 2,5?

22. Egy vállalat termelési függvénye: LK Q ⋅⋅= 2 , ahol L a foglalkoztatottakszáma, K a felhasznált tőke mennyisége.a) Írja fel a technikai helyettesítés határrátáját!

b) Mi az optimális tényez

ő

felhasználás hosszútávon, ha TC = 200, PL = 5 ésPK = 25?c) Mi az optimális tényező felhasználás rövid távon, ha TC = 200, PL = 10, il-

letve PK = 25 és tudjuk, hogy K = 2,5?

23. Egy vállalat termelési függvénye 4

1

4

3

10 LK Q ⋅⋅= . A vállalat számára a munka1 egységbe, a tőke 5 egységbe kerül. A vállalat összköltsége 800.a) Határozza meg adott feltételek mellett a hosszú távon maximális kibocsá-

tást eredményező tőke és munka mennyiséget!

b) Rövid távon a tőke rendelkezésre álló mennyisége 81. Mennyi lesz rövidtávon a maximális kibocsátást eredményező munka mennyiség?

24. Egy vállalat termelési függvénye LK Q ⋅= 2 . A vállalat számára a munka 5egységbe, a tőke 12 egységbe kerül. A vállalat összköltsége 2400.a) Határozza meg adott feltételek mellett a hosszú távon maximálisan előál-

lítható termékmennyiséget!b) Rövid távon a tőke rendelkezésre álló mennyisége 120. Mennyi lesz rövid

távon a maximális kibocsátás nagysága?

25. Egy vállalat a termelési folyamat során egy egység tőkéhez mindig egy egységmunkát használ fel, s ezzel egy egységnyi kibocsátásra képes. A vállalat szá-mára a munka 1 egységbe, a tőke 3 egységbe kerül. A vállalat összköltsége 40.a) Határozza meg adott feltételek mellett a hosszú távon maximálisan előál-

lítható termékmennyiséget!b) Rövid távon a rendelkezésre álló tőke mennyisége 5. Mennyi lesz rövid

távon a maximális kibocsátás nagysága?




26. Egy vállalat a termelési folyamat során egy egység tőkéhez mindig háromegység munkát használ fel, s ezzel egy egységnyi kibocsátásra képes. A válla-

lat számára a munka 10 egységbe, a tőke 90 egységbe kerül. A vállalat össz-költsége 360.a) Határozza meg adott feltételek mellett a hosszú távon maximálisan előállít-

ható termékmennyiséget!b) Rövid távon a rendelkezésre álló tőke mennyisége 2. Mennyi lesz rövid tá-

von a maximális kibocsátás nagysága?

27. Egy vállalat termelési függvénye: 2 LK Q ⋅= . A vállalat számára a munka 3egységbe, a tőke 12 egységbe kerül. A vállalat 8000-es kibocsátás szintet akarelérni.Határozza meg adott feltételek mellett azt a tőke-munka kombinációt, amely-lyel a vállalat minimális költségekkel tudja megtermelni a kívánt kibocsátás-szintet!

28. Egy vállalat termelési függvénye: 22

1

LK Q ⋅= . A vállalat számára a munka 5egységbe, a tőke 20 egységbe kerül. A vállalat 800-as kibocsátás szintet akarelérni.Határozza meg adott feltételek mellett azt a tőke-munka kombinációt, amely-

lyel a vállalat minimális költségekkel tudja megtermelni a kívánt kibocsátás-szintet!

29. Töltse ki a táblázatot, ha ismerjük a munka egységárát: PL = 600!

L Q MPL APL VC

1 503 158

268 55

372 53,149 49

30. A vállalat tőkefelhasználása K = 10, a munka ára PL = 50. a) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait!b) Mennyi a tőke ára?




L (f ő) Q (edb) MPL APL TC (eFt)0 0 600

6 1011 2015 3021 4031 5045 6063 70

31. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait, amely egy tökéletesen versenyző

vállalatra vonatkozik!

L (f ő) Q (db) MPL APL εL FC (Ft) VC (Ft) TC (Ft)0 0 6001 2 1002 2,5

8 21 1500

32. Töltse ki az alábbi táblázat hiányzó adatait, annak ismeretében, hogy a munkaegységára: 1200!

Input(L)

Output(Q)

APL MPL MC AVC

2 404 306 288 200

200 20

33. Az alábbi táblázat egy tökéletesen versenyző vállalat néhány adatát mutatja.a) Töltse ki a táblázat hiányzó adatait, ha a vállalat tőkefelhasználása K = 10,

és a munka ára PL=100!b) Mennyi a tőke ára?




L MP AP FC VC TC MC AC AVC010 14002030 20 3040 120050 40 52

22 60

34. Töltse ki az alábbi táblázatot, ha PL = 20!

L Q FC VC TC AFC AVC AC MC APL MPL εL

0 01 22 35

9 3100 100 8

16 28 2,5

35. Egy vállalat termelési függvénye: LK Q ⋅⋅= 2 . Teljes költsége: 1.000. Pro-

fitmaximalizáló kibocsátás mellett a munka egységének ára 25, a tő

kéé pedig100.a) Mennyi tőkét és munkát használ fel ilyen körülmények között a vállalat?b) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit, ha a rövidtávon felhasznált

tőke mennyisége: K=4!

36. Egy vállalat termelési függvénye: LK Q ⋅⋅= 4 . Teljes költsége: 2.000. Pro-fitmaximalizáló kibocsátás mellett a munka egységének ára 10, a tőkéé pedig40.a) Mennyi tőkét és munkát használ fel ilyen körülmények között a vállalat?b) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit, ha a rövidtávon felhasznált

tőke mennyisége: K=16!

37. Egy vállalat termelési függvénye: LK Q ⋅⋅= 2 . A vállalat által rövidtávonfelhasznált tőke mennyisége: 4. A felhasznált munka egy egységének ára 4, atőkéé pedig 8.a) Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit!b) Számítsa ki ezek konkrét értékeit, ha a tőke átlagterméke: 5!





125 LK Q ⋅⋅= . A vállalat rövid távú

tő

kefelhasználása: K = 2.a) Írja fel a rövid távú költségfüggvényeket, ha PL = 200, PK = 1000!b) Számítsa ki ezek konkrét értékeit, ha a tőke átlagterméke: 80!

39. Egy vállalat termelési függvénye: 222 K LQ ⋅⋅= . A rövidtávon felhasznált tőkemennyisége: 4, egységára: 1000. A munka egységára: 200. A fenti informáci-ók alapján töltse ki a táblázatot!

Q AFC FC AVC VC MC0

5121152

40. Egy vállalat termelési függvénye: 221 K LQ ⋅= . A rövidtávon felhasznált tőkemennyisége: 9, egységára: 200. A munka egységára: 50. A fenti információkalapján töltse ki a táblázatot!

Q AFC FC AVC VC MC0 -

162324

41. Csökkenő skálahozadékot feltételezve:a) Milyen alakú a hosszú távú átlagköltség-függvény?b) Milyen alakú a hosszú távú határköltség-függvény?c) Milyen alakú a hosszú távú teljesköltség-függvény?d) Milyen kapcsolat van a hosszú távú átlag- és határköltség-függvény kö-

zött?

42. Állandó skálahozadékot feltételezve:a) Milyen alakú a hosszú távú átlagköltség-függvény?b) Milyen alakú a hosszú távú határköltség-függvény?c) Milyen alakú a hosszú távú teljesköltség-függvény?d) Milyen kapcsolat van a hosszú távú átlag- és határköltség-függvény között?




43. Növekvő skálahozadékot feltételezve:a) Milyen alakú a hosszú távú átlagköltség-függvény?

b) Milyen alakú a hosszú távú határköltség-függvény?c) Milyen alakú a hosszú távú teljesköltség-függvény?d) Milyen kapcsolat van a hosszú távú átlag- és határköltség-függvény között?

Megoldások

1) a) vízszintes egyenesb-c) lassuló ütemben növekvő d) monoton csökkenő, konvex és közelít a vízszintes tengelyheze-g) monoton csökkenő, konvex

2) a) vízszintes egyenes

b-c) gyorsuló ütemben növekvő

d) monoton csökkenő

, konvex és közelít a vízszintes tengelyheze-g) monoton növekvő, konvex

3) C

TCVC

FC

Q




4) A parciális termelési függvény lineáris, haa munka határterméke állandó, azaz ha atermeléshez felhasznált munka mennyisé-gét növeljük, a termelés a függvény teljesértelmezési tartományán ugyanakkora ér-tékkel növekszik.

5) FC vízszintes egyenes, mert a fix költség nagy-sága nem függ a termelés nagyságától. AFCértéke csökkenő, mert a konstans FC-t a nö-vekvő Q-val osztva, AFC-re egyre kisebb érté-keket kapunk.

6) AC és AVC közötti távolság csökkenő, mert

AC és AVC különbsége az átlagos fix költ-ség (AFC), amelynek értéke a termelés nö-vekedésével csökken.

C

AC

AVC

Q

C

AFC

FC

Q

CTC

VC

FC

Q




7)

8) a)

qqq

q

TC AC

56824 2++−== qqqVC 824 23

+−=

824 2+−== qq

q

VC AVC 56=FC

qq

FC AFC

56== 8412 2

+−=== qqdq

dVC

dq

dTC MC

b) TC=170 VC=114 FC=56

AC=56,67 AVC=38 AFC=18,67 MC=104c) Rövid távon a változó inputtényező a munka, tehát azt a kibocsátási szintetkeressük, amely mellett

L AP maximális. A termelési függvények és a rövidtávú költségfüggvények között fennálló összefüggés alapján ez ugyanannál akibocsátásnál lesz, ahol AVC minimális.AVC-t minimumában metszi MC, tehát:AVC=MC

8412824 22+−=+− qqqq

q=4

9) a) qqqVC 25105 23

−−= 1500=FC q

qq AC 1500

25105 2+−−=

25105 2−−= qq AVC

q AFC

1500= 252015 2

−−= qq MC

b) TC=5250 VC = 3750 FC = 1500 AC = 525AVC = 375 AFC = 150 MC = 1275

CAC

MCAVC

Q




c) Rövid távon a változó inputtényező a munka, tehát azt a kibocsátási szintetkeressük, amely mellett

L AP maximális. A termelési függvények és a rövid

távú költségfüggvények között fennálló összefüggés alapján ez ugyanannál akibocsátásnál lesz, ahol AVC minimális.AVCmin = MC

25201525105 22−−=−− qqqq

q=1

10) a) Rövid távon a változó inputtényező a munka, tehát azt a kibocsátási szintet

keressük, amely mellett L

AP maximális. A termelési függvények és a rövid

távú költségfüggvények között fennálló összefüggés alapján ez ugyanannála kibocsátásnál lesz, ahol AVC minimális.AVCmin = MCElőször fel kell írni a szükséges függvényeket:

23 15qqVC +−= qq AVC 152+−= qq MC 303 2

+−= Vagyis:

qqqq 30315 22+−=+−

q=7,5b) A határköltség függvénynek ott lesz szélsőértéke, ahol az elsőrendű deri-

váltja nullával egyenlő.

0306 =+−= qdq

dMC

q=5c) 23 15qqVC +−= qq AVC 152

+−= qq MC 303 2+−=

500=FC q

AFC 500

= q

qq AC 500

152++−=

d) TC=986 VC=486 AVC=54 MC=27

FC=500 AFC=55,6 AC=109,6

11) a) Bontsuk fel a zárójelet!

64162+−= qqTC Tehát a költségfüggvény rövid távú, mert van fix költ-

sége a vállalatnak.b) Igen van, FC=64c) qqVC 162

−= 64=FC 162 −= q MC




16−= q AVC q

AFC 64

= q

q AC 64

16 +−=

d) VC=80 FC=64 TC=144 MC=24AVC=4 AFC=3,2 AC=7,2

12) a) Bontsuk fel a zárójelet!

6442+−= qqTC Tehát a költségfüggvény rövid távú, mert van fix költ-

sége a vállalatnak.b) Igen van, FC = 64c) qqVC 42

−= 64=FC 42 −= q MC

4−= q AVC q

AFC 64

= q

q AC 644 +−=

d) VC = 60 FC = 64 TC =124 MC = 16AVC= 6 AFC = 6,4 AC = 12,4

13) a) 48102

+−= qqTC qqVC 102−= 48=FC

qq AC 4810 +−= 10−= q AVC q

FC 48= 102 −= q MC

b) TC=72 VC = 24 FC = 48AC = 6 AVC = 2 AFC = 4 MC = 14

14) a) 6442

++= qqTC qqVC 42+= 64=FC

qq AC

644 ++= 4+= q AVC

q AFC

64= 42 += q MC

b) TC =204 VC = 140 FC = 64AC = 20,4 AVC= 14 AFC = 6,4 MC = 24

15) a) 10036 23

+−= qqTC 23 36qqVC −= 100=FC

qq AVC 362−=

q AFC

100= qq MC 723 2

−=

b) TC = 6.500 VC = 6.400 FC=100




AC = 162,5 AVC = 160 AFC = 2,5 MC = 1.920

16) a) 5004010 23++−= qqqTC qqqVC 4010 23

+−= 500=FC

qqq AC

50040102

++−= 40102+−= qq AVC

q AFC

500=

b) TC=900 VC=400 FC=500AC=90 AVC=40 AFC=50 MC=140

17) a) 23 122 qqVC −= 100122 23

+−= qqTC qq MC 246 2−=

qqq AC

100122 2

+−= q

AFC 100

=

b) FC=100 VC = 256 TC = 356 MC = 192AFC = 12,5 AVC = 32 AC = 44,5

18) a) Ab) Bc) C

d) De) Ef) F

g) A és Bh) C és Di) E és F

19) a) b)

TC1

tőkemennyisége

munkamennyisége

TC2

TC1

tőkemennyisége

munkamennyisége

TC3




c) d)

20) a) Ab) B

c) Cd) D

21) a)

L

K

L

K MRTS

LK

==4

4

b) Hosszú távon a vállalat arra törekszik, hogy a rendelkezésre álló költségke-retből egy olyan tőke-munka kombinációt vásároljon meg, amellyel a legma-gasabb kibocsátási szintet tudja elérni. Ez a tőke-munka kombináció azisocost egyenes és egy isoquant görbe érintési pontjában található. Ezért azoptimális tényezőmennyiségek kiszámításához két egyenletet kell felhasz-nálni.

Az isocost egyenes egyenletét: TC=PL*L+PK*K, valamint az érintési felté-telt, amely szerint az optimális tényezőkombinációra felírható:

K

L

K

L

LK

P

P

MP

MP MRTS ==

200=20*K+10*L

20

10=

L

K így 2*K = L

200 = 20*K + 10*(2*K)K = 5 és L = 10

munkamennyisége

munkamennyisége

TC1

tő

kemennyisége

TC4

TC1

tő

kemennyisége

TC5




c) Rövid távon az isocost egyenes egyenletébe behelyettesítve az ismert adato-kat, rögtön adódik a munka hiányzó értéke.

200 = 20*2,5 + 10*L azaz L = 15 és K = 2,522)

a) L

K

L

K MRTS

LK

==2

2

b) 200=5*L+25*K

25

5=

L

K 5*K=L

200=5*5*K+25*K=50*K

K = 4 és L = 20 c) 200=10*L+25*2,5=10*L+62,5 azaz L = 13,75 és K = 2,5

23) a) 800=L+5K=4L

5

1

3=

⋅ L

K 5*K=3*L

800=L+5K=4LK = 120 és L = 200

b) 800=L+5*81 azaz L=395 és K = 81

24) a) 2400=5*L+12*K

12

5=

L

K 12*K=5*L

2400=5*L+5*L=10*LK=100 és L=240 Q=310

b) 2400=5L+12*120 azaz L=192 és Q=303,6

25) a) Termelési függvény: K LQ ⋅+⋅=

2

1

2

1

Rögzített a tőke és munka aránya: K=L Az isocost egyenes egyenlete: 40=L+3*K Ebből következik, hogy 40=L+3*L=4*LL=10 és K=10 Q=10

b) A rögzített K/L arányból következik, hogy K=L=5.A termelési függvénybe helyettesítve Q=5 adódik.




26) a) Termelési függvény: K LQ ⋅+⋅=

2

1

6

1

Rögzített a tőke és munka aránya: 3*K=L Az isocost egyenes egyenlete: 360=10*L+90*K Ebből következik, hogy 360=10*L+30*L=40*LK=3 és L=9 Q=3

b) A rögzített K/L arányból következik, hogy 3*K=3*2=L=6A termelési függvénybe helyettesítve Q=2 adódik.

27) 28000 LK ⋅=

28000 L

K =

2

8000123123

L LK LTC ⋅+⋅=⋅+⋅=

TC értéke annál az „L” értéknél lesz minimális, ahol a függvény elsőrendű deriváltja nulla.

0000.192

33

=−=′ L

C T

Az egyenlet megoldása: L=40

„L” értékét a termelési függvénybe helyettesítve adódik: K=5

28) 22

1

800 LK ⋅=

4

000.640

LK =

4

000.640205205

L LK LTC ⋅+⋅=⋅+⋅=

TC értéke annál az „L” értéknél lesz minimális, ahol a függvény elsőrendű

deriváltja nulla.0

000.200.515

5=−=′

LC T

Az egyenlet megoldása: L=25,23 „L” értékét a termelési függvénybe helyettesítve adódik: K=1,58




29) L Q MPL APL VC

1 50 50 50 6003 158 54 52,7 1.8005 268 55 53,6 3.0007 372 52 53,14 4.2009 470 49 52,2 5.400

30) a)

L (f ő) Q (edb) MPL APL TC (eFt)

0 0 - - 600 6 10 1,67 1,67 90011 20 2 1,81 1.15015 30 2,5 2 1.35021 40 1,67 1,9 1.65031 50 1 1,61 2.15045 60 0,71 1,33 2.85063 70 0,56 1,11 3.750

b) PK = FC/K = 600/10 = 60

31) L (f ő) Q (db) MPL APL εL FC (Ft) VC (Ft) TC (Ft)

0 0 - - n.é. 600 0 6001 2 2 2 1 600 100 7002 5 3 2,5 1,2 600 200 8004 8 1,5 2 0,75 600 400 1.0009 13 1 1,44 0,69 600 900 1.500

32) Input(L)

Output(Q)

APL MPL MC AVC

2 40 20 20 60 604 100 25 30 40 486 156 26 28 42,86 46,158 200 25 22 54,55 48

10 200 20 0 - 60




33) a)

L MPL APL FC VC TC MC AC AVC0 0 - - 1000 0 1000 - - -4 10 2 5 2 5 1000 400 1400 40 140 407 20 3 33 2 86 1000 700 1700 30 85 359 30 5 3 33 1000 900 1900 20 63 33 30

12 40 3 33 3 33 1000 1200 2200 30 55 3016 50 2 5 3 125 1000 1600 2600 40 52 3222 60 1 67 2 73 1000 2200 3200 60 53 33 36 67

b) PK=FC/K=1000/10=100

34) L Q FC VC TC AFC AVC AC MC APL MPL εL 0 0 100 0 100 - - - - - - -1 2 100 20 120 50 10 60 10 2 2 12 4 100 40 140 25 10 35 10 2 2 13 9 100 60 160 11,1 6,7 17,8 4 3 5 1,675 14 100 100 200 7,1 7,1 14,2 8 2,8 2,5 0,896 16 100 120 220 6,25 7,5 13,75 10 2,7 2 0,748 20 100 160 260 5 8 13 10 2,5 2 0,8

35) a)

L

K

MP

MP MRTS

K

L

LK == /

Profitmaximalizáló kibocsátás mellett:K

L

K

L

P

P

MP

MP=

100

25=

L

K ebből LK =4

Isocost – egyenes egyenlete: 1.000=25*L+100*K=50*LEbből L=20 és K=5

b) LQ 4= ebből16

2Q L =

4001004 =⋅=⋅= K PFC K 2

2

56,116

25 QQ

LPVC L ⋅=⋅=⋅=

40056,1 2+⋅=+= QFC VC TC Q AVC ⋅= 56,1




QQ AC

40056,1 +⋅=

Q AFC

400= Q MC ⋅= 125,3

36) a)

L

K

MP

MP MRTS

K

L

LK == /

Profitmaximalizáló kibocsátás mellett:K

L

K

L

P

P

MP

MP=

40

10=

L

K ebből LK =4

Isocost – egyenes egyenlete: 2.000=10*L+40*K=20*LEbből L=100 és K=25

b) L LQ ⋅=⋅= 16164 ebből256

2Q

L =

6401640 =⋅=⋅= K PFC K

22

039,0256

10 QQ

LPVC L ⋅=⋅=⋅=

640039,0 2+⋅=+= QFC VC TC Q AVC ⋅= 039,0

Q

Q AC 640

039,0 +⋅=

Q

AFC 640

= Q MC ⋅= 078,0

37) a) LQ 4= ebből

16

2Q

L =

3248 =⋅=⋅= K PFC K

22

25,016

4 QQ

LPVC L ⋅=⋅=⋅=

3225,0 2+⋅=+= QFC VC TC Q AVC ⋅= 25,0

QQ AC 32

25,0 +⋅= Q AFC 32

= Q MC ⋅= 5,0

b) 5==K

Q APK és tudjuk még, hogy K=4.

Ebből kiszámolható, hogy Q=20 és 2516

2

==Q

L

FC= 32 VC= 100 TC= 132AFC=1,6 AVC=5 AC=6,6 MC=10




38) a) LQ 20= ebből

400

2Q

L =

000.2000.12 =⋅=⋅= K PFC K

22

5,0400

200 QQ

LPVC L ⋅=⋅=⋅=

000.25,0 2+⋅=+= QFC VC TC Q AVC ⋅= 5,0

QQ AC

000.25,0 +⋅=

Q AFC

000.2= Q MC =

b) 80==K

Q APK és tudjuk még, hogy K=2.

Ebből kiszámolható, hogy Q=160 és 64400

2== Q L

FC= 2.000 VC= 12.800 TC= 14.800AFC=12,5 AVC=80 AC=92,5 MC=20

39) Q AFC FC AVC VC MC0 - 4000 0 0 -

512 7,81 4000 1,56 800 1,561152 3,47 4000 1,04 1200 0,625

K PFC K ⋅= Mivel K=4, ezért: 232 LQ ⋅= és így:

32

Q L =

Ha Q=0 akkor L is 0.

LPVC L ⋅= TC=VC+FC AVC AFC Q

TC AC +==

Q

VC

MC ∆

∆

=

40) Q AFC FC AVC VC MC0 - 1800 0 0 -

162 11,11 1800 1,23 200 1,23324 5,55 1800 2,47 800 3,7




K PFC K

⋅= Mivel K=9, ezért: LQ ⋅= 81 és így:6561

2Q

L =

Ha Q=0 akkor L is 0.

LPVC L ⋅= TC=VC+FC AVC AFC

Q

TC AC +==

Q

VC MC

∆

∆=

41) a) monoton növekvő, konvexb) monoton növekvő, konvexc) gyorsuló ütemben növekvő d) LAC az LMC alatt halad

42) a) vízszintes egyenesb) vízszintes egyenesc) lineárisan növekvő d) LMC=LAC

43) a) monoton csökkenő, konvexb) monoton csökkenő, konvexc) lassuló ütemben növekvő d) LAC az LMC felett halad



VIII. Kínálat tökéletes versenynél 139.

VIII. KÍNÁLAT TÖKÉLETES VERSENYNÉL

Feladatok

1. Egy ábra segítségével mutassa be a teljes bevétel- és a teljesköltség-függvényekkapcsolatát, ha a parciális termelési függvény általános esetét vizsgáljuk! Egyalatta lévő koordinátarendszerben rajzolja be az összprofit alakulását!Mindkettőnél jelölje azt a termelési mennyiséget és bevételnagyságot, amelytőla vállalat eredménye pozitívvá válik! Ne feledkezzen meg a tengelyek és a

függvények elnevezéséről! 2. Készítsük el az előző feladatnak megfelelő ábrát, amennyiben a parciális terme-

lési függvényünk lineáris! Egy alatta lévő koordinátarendszerben rajzolja be azösszprofit alakulását!Mindkettőnél jelölje a tengelyeket és függvényeket, és azt a bevételi értéket il-letve kibocsátási nagyságot, amelytől a vállalat nyereséges lesz!

3. Egészítse ki tökéletes verseny feltételei esetén az alábbi mondatokat:Ha az ár kisebb, mint …………………………, akkor a vállalat nem termel.Ha az ár éppen egyenlő a …………………………, akkor a vállalat az üzembe-zárási pontban van.Ha az ár nagyobb, mint …………………………, de kisebb, mint……………………….., akkor a vállalat – veszteség mellett – rövid távon fenn-tarthatja termelését.Ha az ár éppen egyenlő a …………………………, akkor a vállalat fedezetipontban van.Ha az ár nagyobb, mint …………………………, akkor a vállalat biztosan ter-mel, és ……………………. realizál.

4. Tökéletesen versenyt feltételezve töltse ki az alábbi táblázatot!

Jellemző Termel-e a

vállalat?TR és TCkapcsolata

TR és VCkapcsolata

Van-e gazda-sági profit?

P < AVCmin P = AVCmin AVCmin < P < ACmin P = ACmin P > ACmin



140. VIII. Kínálat tökéletes versenynél

5. Készítsen egy ábrát, amelyben költségfüggvények segítségével bemutatja egy

tökéletes verseny feltételei között működő vállalat – rövid távú – kínálati függ-vényét! Jelölje a tengelyeket és függvényeket, valamint a nevezetes pontokat!

6. Egy tökéletesen versenyző iparágban a késztermék ára 50 pénzegység. Egy vál-lalatáról ismertek még az alábbi adatok:

q 0 1 2 3 4 5 6 7 8TC 10 40 65 80 85 105 135 185 265

Határozza meg a vállalat profitmaximumhoz tartozó termelését és profitját!7. Egy tökéletesen versenyző iparág egy vállalatáról tudjuk a következőket:

q 0 1 2 4 5 9 13 16TC 40 90 130 200 230 410 610 790

Határozza meg a vállalat profitmaximum melletti termelését és profitját, ha atermék ára 50 pénzegység!

8. Számítsuk ki az alábbi költségfüggvénnyel rendelkező – tökéletes piaci versenyfeltételei mellett tevékenykedő – vállalatok üzembezárási és fedezeti pontját!

a) 60)2( 2+−= qTC

b) 23)5( 2+−= qTC

c) 464

++=q

q AC

9. Írjuk fel a fenti esetekre a vállalatok (rövid távú) kínálati függvényét!

10. Egy tökéletesen versenyző vállalat éppen a fedezeti pontján termel.a) Mennyi a késztermék ára, ha a vállalat összköltség függvénye:

224128 qqTC ⋅+⋅+= ?b) Mennyit termel ebben az esetben a vállalat?c) Mekkora az az ár, ami alatt már nem lenne hajlandó termelni a vállalat?d) Milyen termelési nagyságnál jönne ez létre?




11. Egy tökéletesen versenyző vállalat teljes költség függvénye:1084 2

+⋅+⋅= qqTC .

a) Milyen piaci ár mellett alakul ki a vállalat üzemszüneti pontja, ha avállalat tökéletesen versenyző?

b) Milyen árnál és termelési mennyiségnél éri el a vállalat a fedezeti pontját?

12. Egy tökéletes verseny feltételei között működő vállalat átlagköltség függvénye:

qq AC

322005,0 ++⋅= . A termék piaci ára: 400 pénzegység

a) Mennyi lesz a vállalat profitmaximumot biztosító kibocsátása?b) Mennyi lesz a vállalat maximális profitja?

c) Mekkora kibocsátásnál van a vállalat fedezeti pontja?

13. Egy tökéletesen versenyző vállalat határköltség függvénye: q MC ⋅=12 . A vál-lalat fix költsége: 1.000 egység. A termék piaci ára: 180 egység.a) Határozza meg a fenti feltételek mellett a vállalat kibocsátását és a realizált

profit nagyságát!b) Mekkora lenne az a piaci ár és kibocsátás, ahol a vállalat csak normálprofi-

tot realizálna?

14. Egy iparágban a tökéletes verseny feltételei érvényesülnek. Az iparág egy vál-lalatának teljes költség függvénye: 1082

++= qqTC . A piacon kialakult ár 28egység. Az iparág egészében érvényesülő keresleti függvény: QP −= 528a) Határozza meg egy vállalat kibocsátását, valamint az iparágban működő

vállalatok számát a fenti feltételek mellett!b) Határozza meg azt az ártartományt, amelyben a vállalat rövidtávon még

veszteség esetén is folytatja termelését!

15. Egy iparágban a tökéletes verseny feltételei érvényesülnek. Az iparág egy vál-

lalatának teljes költség függvénye: 50163 +⋅+= qqTC . A piacon kialakulóár 91 egység. Az iparág egészében érvényesülő keresleti függvény:

QP −= 301 .a) Határozza meg egy vállalat kibocsátását, valamint az iparágban működő

vállalatok számát a fenti feltételek mellett!b) Határozza meg, mekkora ár mellett realizál a vállalat csak normálprofitot!




16. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye: PQ D⋅−= 1002270 .

Az iparágban működő vállalatokat azonos költségviszonyok jellemzik. Egy

vállalat teljes költség függvénye: qqTC ⋅+⋅+= 4510 2 .a) Határozza meg az iparágban kialakuló egyensúlyi árat, ha az iparágban 100

vállalat működik!b) Mekkora lesz egy vállalat kibocsátása és az általa realizált profit nagysága?

17. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő:PQ D⋅−= 120600 . Az iparágban 6 vállalat működik, a vállalatok költség-

függvénye azonos, 20125,02 qqTC ⋅+⋅= .a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kíná-

latot!b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fo-

gyasztói többlet nagyságát!

18. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő:PQ

D⋅−= 10300 . Az iparágban 10 vállalat működik, a vállalatok költség-

függvénye azonos,2

102

qqTC +⋅= .

a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kíná-latot!b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fo-


19. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő:PQ D⋅−= 10300 . A termék egyensúlyi ára 20.

a) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fo-gyasztói többlet nagyságát!

b) Határozza meg az iparágban kialakult összpiaci keresletet!c) Hány vállalat működik az iparágban, ha tudjuk, hogy a vállalatok költség-függvénye azonos: q MC ⋅+= 210 , és fix költséggel a vállalatoknak nemkell számolniuk?

20. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő:PQ D⋅−= 120600 . A termék egyensúlyi ára 3.

a) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fo-gyasztói többlet nagyságát!




b) Határozza meg az összpiaci kínálatot!c) Hány vállalat működik az iparágban, ha tudjuk, hogy a vállalatok költség-

függvénye azonos: q MC ⋅+= 025,02 , és fix költséggel a vállalatoknaknem kell számolniuk?

21. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti és kínálati függvénye a következő:PQ D⋅−= 10300 és 10010 −⋅= PQ S .

a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kíná-latot!

b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fo-gyasztói többlet nagyságát!

c) Hány vállalat működik az iparágban, ha a vállalatok költségfüggvénye azo-nos: q MC +=10 , és fix költséggel a vállalatoknak nem kell számolniuk?

22. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti és kínálati függvénye a követke-ző: PQ D

⋅−= 120600 és 480240 −⋅= PQ S .a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kíná-

latot!b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és az iparágban meglévő fo-


c) Hány vállalat működik az iparágban, ha a vállalatok költségfüggvénye azo-nos: q MC ⋅+= 025,02 , és fix költséggel a vállalatoknak nem kell számol-niuk?

23. Egy vállalat termelési függvénye: LK Q ⋅⋅= 2 . Profitmaximalizáló kibocsá-tás mellett a munka egységének ára 25, a tőkéé pedig 100. A rövidtávon fel-használt tőke mennyisége: K=4. A piaci ár jelenleg P=125.a) Határozza meg, hogy milyen termelési szintnél van a vállalat üzembezárási

és fedezeti pontja!

b) Mennyi az elérhető

maximális profit nagysága?c) Rövid távon termel-e a vállalat, ha az ár 60, illetve 40?

24. Egy vállalat termelési függvénye: LK Q ⋅⋅= 4 . Profitmaximalizáló kibocsá-tás mellett a munka egységének ára 10, a tőkéé pedig 40. A rövidtávon fel-használt tőke mennyisége: K=16. A piaci ár jelenleg 39.a) Határozza meg, hogy milyen termelési szintnél van a vállalat üzembezárási

és fedezeti pontja!b) Mennyi az elérhető maximális profit nagysága?




c) Rövid távon termel-e a vállalat, ha az ár 20, illetve 5?

25. Egy vállalat termelési függvénye: LK Q ⋅⋅= 2 . A vállalat által rövidtávonfelhasznált tőke mennyisége: 4. A felhasznált munka egy egységének ára 4, atőkéé pedig 8.a) Milyen árnál és termelési mennyiségnél van a vállalat az üzembezárási

pontban?b) Milyen árnál és termelési mennyiségnél van a vállalat a fedezeti pontban?


125 LK Q ⋅⋅= . A vállalat rövid távú

tőkefelhasználása: K = 2. A munka egységára: 200, míg a tőkéé: 1.000.a) Milyen árnál és termelési mennyiségnél van a vállalat az üzembezárási

pontban?b) Milyen árnál és termelési mennyiségnél van a vállalat a fedezeti pontban?

27. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő:PQ D⋅−= 120600 . Az iparágban 6 vállalat működik, a vállalatok termelési

függvénye azonos: 2 / 1)644( +⋅= Lq . A munka egységára 0,05.a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kíná-

latot!b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és a fogyasztói többlet nagy-

ságát!

28. Egy tökéletesen versenyző iparág keresleti függvénye a következő:PQ

D⋅−= 10300 . Az iparágban 10 vállalat működik, a vállalatok termelési

függvénye azonos, 2 / 1)1004( +⋅= Lq . A munka egységára 2.a) Határozza meg az iparágban kialakult egyensúlyi árat és az összpiaci kíná-

latot!b) Határozza meg egy vállalat kínálatát, profitját, és a fogyasztói többlet nagy-

ságát!




Megoldások

1)

2) TRTC TR

TC

Q* QП

П

Q* Q

TRTC TR

TC

Q* Q П

Q* Q




3) a) AVCmin b) AVCmin

c) AVCmin + ACmin

d) ACmin

e) ACmin + gazdasági profitot

4) Jellemző

Termel-e avállalat?

TR és TCkapcsolata

TR és VCkapcsolata

Van-e gazda-sági profit?

P < AVCmin nem TR < TC TR < VC nincsP = AVCmin lehet TR < TC TR = VC nincsAVCmin < P < ACmin igen TR < TC TR > VC nincsP = ACmin igen TR = TC TR > VC nincsP > ACmin igen TR > TC TR > TC van

5) A határköltség függvény AVC minimuma felettiszakasza a vállalat kínálati függvénye. AVCmin ésMC metszéspontja az üzembezárási pont, ACmin ésMC metszéspontja a fedezeti pont.

6) q 0 1 2 3 4 5 6 7 8

TC 10 40 65 80 85 105 135 185 265MC - 30 25 15 5 20 30 50 80

P=MC miatt: q=7 ΠΠΠΠ = 7*50-185 = 165

C AC MC

AVC

Q




7) q 0 1 2 4 5 9 13 16

TC 40 90 130 200 230 410 610 790MC - 50 40 35 30 45 50 60

P=MC miatt: q=13ΠΠΠΠ = 13*50-610 = 40

8) A fedezeti pont és az üzembezárási pont kiszámításához minden esetben előszörfel kell írni az AC, AVC és MC függvényeket.

A fedezeti pontot az AC=MC, az üzembezárási pontot az AVC=MC összefüg-

gésbő

l számoljuk ki.a) 6442

+−= qqTC q

q AC 64

4 +−=

42 −= q MC 4−= q AVC Fedezeti pont: AC=MC q=8Üzembezárási pont: AVC=MC q=0

b) 48102+−= qqTC

qq AC

4810 +−=

102 −= q MC 10−= q AVC

Fedezeti pont: AC=MC q=7Üzembezárási pont: AVC=MC q=0

c) 6442++= qqTC 42 += q MC 4+= q AVC

Fedezeti pont: AC=MC q=8Üzembezárási pont: AVC=MC q=0

9) A tökéletesen versenyző vállalat kínálati függvénye a határköltség függvényüzembezárási pont feletti szakasza. A vállalat P=MC teljesülése esetén realizálmaximális profitot.

a) 42 −== q MC P 42 −= qP a vállalat inverz kínálati függvénye

2

4+=P

q , ha P>0

b) 102 −== q MC P 102 −= qP

2

10+=P

q , ha P>0




c) 42 +== q MC P 42 += qP

24−=

Pq , ha P>4

10) a) q MC 44 += q

q AC 24

128++=

AC MC P ==

q MC 44 += = qq

AC 24128

++=

q=8b) A vállalat nem termel, ha a piaci ár kisebb, mint az üzembezárási ponthoz

tartozó ár.q AVC 24 +=

Üzembezárási pont: P=MC=AVCq MC 44 += = q AVC 24 +=

q=0 P=4c) q=0

11) a) 88 += q MC qqVC 84 2

+= 84 += q AVC AVC MC P ==

q=0 P=8

b) q

q AC 10

84 ++=

AC MC P == q=1,58 P=20,65

12) a) MC P = alapján határozhatjuk meg a kibocsátás nagyságát.

322005,0 2++= qqTC 200+= q MC

200400 +=== q MC P q=200

b) TC qPTC TR −⋅=−=Π

968.19)322002002005,0(200400 2=+⋅+⋅−⋅=Π




c) AC MC P ==

q

qq32

2005,0200 ++=+

q=8

13) a) MC P = alapján határozhatjuk meg a kibocsátás nagyságát.

q MC P 12180 === q=15

000.16 2+= qTC

TC qPTC TR −⋅=−=Π

350)000.1156(15180 2 =+⋅−⋅=Π b) A vállalat csak normálprofitot a fedezeti pontban realizál.

AC MC P ==

qq AC

000.16 +=

qq AC q MC

000.1612 +===

q=12,91 P=154,9

14) a) MC P = alapján határozhatjuk meg egy vállalat kibocsátását.

8228

82

+=

=

+=

q

MC P

q MC

q=10Az iparág keresleti függvényébe helyettesítve kapjuk az összkereslet értékét:

QP −== 52828

Q=500Az iparágban működő vállalatok száma: 50

10

500===

q

Qn

b) A vállalat rövid távon veszteség ellenére is termel az üzembezárási pont és afedezeti pont közötti ártartományban.Fedezeti pont: AC MC P ==

qq AC

108 ++= 82 += q MC




q=3,16 P=14,32Üzembezárási pont: AVC MC P ==

8+=

q AVC 82+=

q MC q=0 P=8A keresett ártartomány: 32,148 <≤ P

15) a) MC P = alapján határozhatjuk meg egy vállalat kibocsátását.

16391

163

2

2

+=

=

+=

q

MC P

q MC

q=5Az iparág keresleti függvényébe helyettesítve kapjuk az összkeresletértékét:

QP −== 30191Q=210

Az iparágban működő vállalatok száma: 425

210===

q

Qn

b) A vállalat csak normálprofitot a fedezeti pontban realizál. AC MC P ==

qq AC

50162

++=

qq AC q MC

5016163 22

++==+=

q=2,924 P=41,64

16) a) Első lépésben fel kell írni egy vállalat kínálati függvényét. Mivel az iparág-

ban működő vállalatokat azonos költségviszonyok jellemzik, ebből mármeghatározható az iparág kínálati függvénye. Azt egyenlővé téve az iparágkeresleti függvényével, megkapjuk az egyensúlyi árat.

A tökéletesen versenyző vállalat kínálati függvénye a határköltség függvényüzembezárási pont feletti szakasza.

410 += q MC 410 +== q MC P

410 += qP a vállalat inverz kínálati függvénye




10

4−=P

q , ha P>4

401010

4100 −=−⋅=⋅= PPqnQ S

Az egyensúlyi ár: DS

QQ = PP 10022704010 −=−

P=21b) 41021 +=== q MC P

q=1,7TC qPTC TR −⋅=−=Π

45,4)7,147,1510(7,,121 2 =⋅+⋅+−⋅=Π

17) a) A tökéletesen versenyző vállalat kínálati függvénye a határköltség függvény

üzembezárási pont feletti szakasza.2025,0 += q MC

225,0,0 +== q MC P 2025,0 += qP a vállalat inverz kínálati függvénye

8040−=

Pq , ha P>2480240)8040(6 −=−⋅=⋅= PPqnQ S

Az egyensúlyi ár: DS QQ =

PP 120600480240 −=− P=3 Q=240

b) 2025,03 +=== q MC P q=40


20)0125,0402(403 2 =+⋅−⋅=Π q A fogyasztói többlet kiszámításához ismernünk kell a rezervációs ár nagysá-gát. Ezt megkapjuk, ha a keresleti függvényben a keresett mennyiség helyébenullát helyettesítünk.

2

QPPFT

piacirez ⋅−= =

( )240

2

24035=

⋅−




18) a) A tökéletesen versenyző vállalat kínálati függvénye a határköltség függvényüzembezárási pont feletti szakasza.

q MC += 10q MC P +== 10

qP +=10 a vállalat inverz kínálati függvénye10−= Pq , ha P>10

10010)10(10 −=−⋅=⋅= PPqnQ S Az egyensúlyi ár:

DS QQ =

PP 1030010010 −=− P=20 Q=100

b) q MC P +=== 1020q=10


50)105,01010(1020 2=⋅+⋅−⋅=Π

A fogyasztói többlet kiszámításához ismernünk kell a rezervációs ár nagysá-gát. Ezt megkapjuk, ha a keresleti függvényben a keresett mennyiség helyébe

nullát helyettesítünk.

2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

5002

1002030=

⋅−

19) a) q MC 210 +=

q MC P 210 +== q21020 +=

q=5

TC qPTC TR −⋅=−=Π Az összköltség függvényt megkapjuk, ha integráljuk a határköltség függ-vényt: 210 qqTC +⋅=

25)5510(520 2=+⋅−⋅=Π

2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

5002

1002030=

⋅−

b) 10010300 =−= PQ D




c) 205

100===

q

Qn

20) a) 2025,0 += q MC

225,0,0 +== q MC P 2025,03 += q

q=40TC qPTC TR −⋅=−=Π

Az összköltség függvényt megkapjuk, ha integráljuk a határköltség függ-vényt: 20125,02 qqTC +=

20)400125,0402(403 2=⋅+⋅−⋅=Π

2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

2402

24035=

⋅−

b) 240120600 =−= PQ D

c) 640

240===

q

Qn

21) a) Az egyensúlyi ár:

DS QQ = PP 1030010010 −=−

P=20 QS=100b) q MC P +=== 1020

q=10TC qPTC TR −⋅=−=Π

Az összköltség függvényt megkapjuk, ha integráljuk a határköltség függ-

vényt:2

5,010 qqTC += 50)105,01010(1020 2

=⋅+⋅−⋅=Π A fogyasztói többlet kiszámításához ismernünk kell a rezervációs ár nagysá-gát. Ezt megkapjuk, ha a keresleti függvényben a keresett mennyiség helyébenullát helyettesítünk.

2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

5002

1002030=

⋅−




c) 1010

100===

q

Qn

22) a) Az egyensúlyi ár:

DS QQ =

PP 120600480240 −=− P=3 QS=240

b) 2025,03 +=== q MC P q=40


Az összköltség függvényt megkapjuk, ha integráljuk a határköltség függ-vényt: 20125,02 qqTC +=

20)0125,0402(403 2=+⋅−⋅=Π q

2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

2402

24035=

⋅−

c) 640

240===

q

Qn

23) LQ 4= ebből

16

2Q

L =

4001004 =⋅=⋅= K PFC K

22

5625,116

25 QQ

LPVC L

⋅=⋅=⋅=

4005625,1 2+⋅=+= QFC VC TC Q AVC ⋅= 5625,1

QQ AC

4005625,1 +⋅=

Q AFC

400= Q MC ⋅= 125,3

a) Fedezeti pont:

QQ AC

4005625,1 +⋅= = Q MC ⋅= 125,3

Q=16 P=50

Üzembezárási pont:Q AVC ⋅= 5625,1 = Q MC ⋅= 125,3

Q=0 P=0




b) MC P = alapján

40

125,3125

=

⋅=

Q

Q

2100)400405625,1(40125 2=+⋅−⋅=Π

c) Ha 60=P akkor a vállalat rövid távon termel, és gazdasági profitot realizál,mert 5060 > , azaz magasabb, mint a fedezeti ponthoz tartozó ár.Ha 40=P akkor a vállalat rövid távon termel, de veszteséges, mert

04060 >> , azaz ez az ár magasabb, mint az üzembezárási ponthoz tartozóár, de alacsonyabb, mint a fedezeti ponthoz tartozó ár.

24) L LQ ⋅=⋅= 16164 ebből 256

2

Q L =

6401640 =⋅=⋅= K PFC K

22

039,0256

10 QQ

LPVC L ⋅=⋅=⋅=

640039,0 2+⋅=+= QFC VC TC Q AVC ⋅= 039,0

QQ AC

640039,0 +⋅=

Q AFC

640= Q MC ⋅= 078,0

a) Fedezeti pont:

QQ AC

640039,0 +⋅= = Q MC ⋅= 078,0

Q=128,1 P=9,99

Üzembezárási pont:Q AVC ⋅= 039,0 = Q MC ⋅= 078,0

Q=0 P=0b) MC P =

110.9)640500039,0(39500500

078,039

2=+⋅−⋅=Π

=

⋅=

Q

Q

c) Ha 20=P akkor a vállalat rövid távon termel, és gazdasági profitot realizál,mert 99,920 > , azaz magasabb, mint a fedezeti ponthoz tartozó ár.Ha 5=P akkor a vállalat rövid távon termel, de veszteséges, mert

0599,9 >> , azaz ez az ár magasabb, mint az üzembezárási ponthoz tartozóár, de alacsonyabb, mint a fedezeti ponthoz tartozó ár.




25) Fel kell írni a számításhoz szükséges rövid távú költségfüggvényeket:

2

2

25,0

16

442

Q LPVC

Q L

L LQ

L⋅=⋅=

=

⋅=⋅=

Q MC

Q AVC

⋅=

⋅=

5,0

25,0

3225,0 2+⋅= QTC

QQ AC

3225,0 +⋅=

a) Q MC Q AVC ⋅==⋅= 5,025,0 Q=0 P=0

b) Q

Q AC 32

25,0 +⋅= = Q MC ⋅= 5,0

Q=11,3 P=5,66

26) Fel kell írni a számításhoz szükséges rövid távú költségfüggvényeket:

2

2

2

5,0

400

205

Q LPVC

Q L

L LK Q

L⋅=⋅=

=

⋅=⋅⋅=

Q MC

Q AVC

=

⋅= 5,0

000.25,0 2+⋅= QTC

QQ AC 000.25,0 +⋅=

a) Q MC Q AVC ==⋅= 5,0Q=0 P=0

b) Q

Q AC 000.2

5,0 +⋅= = Q MC =

Q=63,25 P=63,25




27)

a)

qP

q MC P

q MC

q LPVC

q L Lq

L

025,0

025,0

025,0

8,00125,0

1625,0)644(

2

2

2

1

=

==

=

−=⋅=

−=

+=

Pq 40= , ha P>0

PPqnQ S 240406 =⋅=⋅= Egyensúlyi ár:

PP

QQDS

120600240 −=

=

P=1,67 QS=400

b) 67,666

400===

n

Qq

36,56)8,067,660125,0(67,6667,1 2=−⋅−⋅=−⋅=−=Π TC qPTC TR

2

QPP

FT

piacirez ⋅−=

=

( )

67,6662

40067,15=

⋅−

28)

a)

qP

q MC P

q MC

q LPVC

q L

Lq

L

=

==

=

−=⋅=

−=

+=

505,0

2525,0

)1004(

2

2

2

1

Pq = , ha P>0

PPqnQ S 1010 =⋅=⋅= Egyensúlyi ár:

PP

QQDS

1030010 −=

=

P=15 QS=150




b) 1510

150===

n

Qq

5,162)50155,0(1515 2 =−⋅−⋅=−⋅=−=Π TC qPTC TR

2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

11252

1501530=

⋅−



IX. Kínálat monopólium esetén 159.

IX. KÍNÁLAT MONOPÓLIUM ESETÉN

Feladatok

1. Készítsen egy ábrát, amelyen bemutatja, hogyan alakul ki a monopólium általtermelt mennyiség és a hozzá tartozó ár! Jelölje a tengelyeket és a függvényeketis!

2. Egy monopólium összes költségét a következő függvénnyel jellemezhetjük:

1065 2 +⋅+⋅= QQTC . Az adott termék piacán a kereslet a következő egyenlet-tel írható le: PQ −= 30 .A profitmaximum pontjábana) mennyit termel a monopólium,b) milyen áron értékesíti termékét,c) mennyi a teljes költsége, ésd) mekkora a megtermelt profit nagysága?

3. Egy monopólium összes költségét a következő függvénnyel jellemezhetjük:

50150100 2 +⋅+⋅= QQTC . Az adott termék piacán a kereslet a következő

egyenlettel írható le:50

69P

Q −= .

a) Mennyit termel és milyen áron értékesít a monopólium a profitmaximumpontjában?

b) Mekkora a megtermelt profit nagysága?

4. Egy iparágban a következő keresleti összefüggés érvényes: PQ ⋅−= 1,050 . Az

iparági termelés költségfüggvénye: 25,2504000 QQTC ⋅+⋅+= .a) Tiszta monopólium esetén mekkora a termelés és az ár?b) Mekkora a monopólium profitja?c) Mekkora fogyasztói többlet nagysága?

5. Egy iparág keresleti görbéje: PQ ⋅−= 2,0600 . Az iparági termelés költség-

függvénye: 000.1804005,1 2+⋅+⋅= QQTC .

a) Tiszta monopólium esetén mekkora a termelés és az ár?b) Mekkora a monopólium profitja?



160. IX. Kínálat monopólium esetén

c) Mekkora a fogyasztói többlet nagysága?

6. Egy monopolista iparág keresletét a következő összefüggéssel jellemezhetjük:PQ ⋅−= 5,0800 . A monopólium teljesköltség-függvénye az alábbi módon írha-

tó le: 000.150505,0 2+⋅−⋅= qQTC . Számítsa ki mekkora lesz a piacon az ár, a

termelt mennyiség és a monopólium profitja!

7. Egy monopolista iparág inverz keresletét a következő összefüggéssel jellemez-

hetjük:2

600Q

P −= . A monopólium teljesköltség-függvénye:

000.1001605,0 2+⋅−⋅= QQTC . Számítsa ki mekkora lesz a piacon az ár, a

termelt mennyiség és a monopólium profitja!

8. Egy monopólium átlagköltség-függvénye:Q

Q AC

0000.2080

4++= . Az iparág

inverz keresleti függvénye:4

350.1Q

P −= .

a) Mennyit termel a monopólium, mekkora az ár és a profit nagysága?b) Elsőfokú árdiszkrimináció esetén, mekkora lenne a vállalat termelése?c) Hogyan változik a fogyasztói többlet nagysága, ha elsőfokú árdiszkrimináci-

ót vezet be a vállalat a piacon?

9. Egy monopolhelyzetben lévő vállalat változó költség függvénye:QQVC ⋅+⋅= 53 2 . Fix költsége: 1200. A piacot jellemző keresleti függvény:

PQ D⋅−= 10250.6 .

a) Mennyit termel a monopólium, mekkora a piaci ár és a profit nagysága?b) Elsőfokú árdiszkrimináció esetén mekkora a termelés nagysága?c) Hogyan változik a fogyasztói többlet nagysága, ha elsőfokú árdiszkrimináci-

ót vezet be a vállalat a piacon?

10. Egy iparágban egyetlen vállalat működik, amelynek határbevételi függvénye:Q MR ⋅−= 201000 . A profitmaximalizáló kibocsátás mellett a határköltség

280, s az átlagköltsége éppen itt minimális.a) Számolja ki a monopólium kibocsátását és a realizálható profit nagyságát!b) Mennyi lesz a monopóliumnál a fogyasztói többlet nagysága?




11. Egy iparágban egyetlen vállalat működik, amelynek határbevételi függvénye:Q MR ⋅−= 82800 . A profitmaximalizáló kibocsátás mellett a határköltség

880, és az átlagköltsége éppen itt minimális.a) Számolja ki a monopólium kibocsátását és a realizálható profit nagyságát!b) Mennyi lesz a monopóliumnál a fogyasztói többlet nagysága?

12. Egyetlen vállalat termel a napelem-piacon. Termelését a következő termelésifüggvény jellemzi: 2 / 12 / 1 K LQ ⋅= . A munka ára 90 egység, a tőke ára 40. Rö-vidtávon a rögzített tőke mennyisége: 16. Az összpiaci keresletet a következő

egyenlet adja meg: PQ ⋅−=3

2880.2

a) Hány napelemet érdemes termelnie a vállalatnak?b) Mennyi munkaráfordítást használ ekkor a vállalat?c) Mekkora ebben az esetben a vállalat által realizált profit nagysága?

13. Egy monopolista vállalat termelési függvénye: LK Q ⋅⋅= 2 . A vállalat rövid-távon 5 egységnyi tőkét használ fel. A tőke egységára 4, míg egy munkaóra 5pénzegység. A termék iránti kereslet a következő függvénnyel írható le:

PQ D⋅−= 6120 .

a) Határozza meg a vállalat kínálatát!b) Mennyi a vállalat által realizálható profit?c) Határozza meg a fogyasztói többlet nagyságát!

14. Egy monopólium két külön piacra termel. Az egyik piacon a 11 5,1900 PQ ⋅−= ,a másikon a 22 3450 PQ ⋅−= összefüggéssel írható le a kereslet. A vállalatösszes költsége a következő függvénnyel írható le:

000.2508002+⋅−= QQTC .

a) Mennyit termel a monopólium és milyen áron, ha nem alkalmaz harmadfo-kú árdiszkriminációt?

b) Mekkora ebben az esetben a profit nagysága?c) Ha a monopólium harmadfokú árdiszkriminációt alkalmaz, hogyan válto-

zik a monopólium profitja?




15. Egy monopolista iparág keresletét két jól körülhatárolható fogyasztói csoportalkotja. A két fogyasztói csoport keresleti függvénye: 11 2500.3 PQ ⋅−= és

22 500.2 PQ −= . A monopólium teljesköltség-függvénye az alábbi:000.8501005,0 2

+⋅−⋅= QQTC .a) Számítsa ki mekkora lesz a piacon az ár, a termelt mennyiség és a monopóli-

um profitja árdiszkrimináció nélkül (az MC az MR-t a keresleti függvényközös szakaszán metszi)!

b) Számítsa ki, hogy árdiszkrimináció esetén a vállalat milyen áron és mekkoramennyiséget fog értékesíteni a két fogyasztói csoportnak!

c) Hogyan és mennyivel változtatja az árdiszkrimináció a monopólium profit- ját?

Megoldások

1)

2) a) A monopólium profitmaximumot biztosító kibocsátása MR=MC összefüggés

alapján határozható meg. A monopólium határbevételi (MR) függvényénekmeredeksége kétszerese az inverz keresleti függvény meredekségének.

MRM

MRMC

P

PM

QM Q

P(Q)

MC




QQ

MR MC

Q MR

QP

Q MC

⋅−=+⋅

=

⋅−=

−=

+⋅=

230610

230

30

610

Q=2b) P=30-Q=28c) 42102625 2

=+⋅+⋅=TC d) TC QPTC TR −⋅=−=Π

1442282 =−⋅=Π

3) a)

QP

Q MC

⋅−=

+⋅=

50450.3

150200

QQ

MR MC

Q MR

⋅−=−⋅

=

⋅−=

100450.3150200

100450.3

Q=11

P=3.450-50*11=2.900b) TC QPTC TR −⋅=−=Π

100.18)501115011100(11900.2 2=+⋅+⋅−⋅=Π

4) a)

QP

Q MC

⋅−=

+⋅=

10500

505

QQ

MR MC

Q MR

⋅−=+⋅

=

⋅−=

20500505

20500

Q=18P=500-10*18=320

b) TC QPTC TR −⋅=−=Π

50)185,21850000.4(18320 2=⋅+⋅+−⋅=Π

c) 2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

16202

18320500=

⋅−




5) a)

QPQ MC

⋅−=

+⋅=

5000.34003

QQ

MR MC

Q MR

⋅−=+⋅

=

⋅−=

10000.34003

10000.3

Q=200P=3.000-5*200=2.000

b) TC QPTC TR −⋅=−=Π

000.80)000.1802004002005,1(200000.22

=+⋅+⋅−⋅=Π c)

2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

000.1002

200000.2000.3=

⋅−

6) QP

Q MC

⋅−=

−=

2600.1

50

QQ MR MC

Q MR

⋅−=−

=

⋅−=

4600.150

4600.1

Q=330 P=940 250.122=Π

7) QP

Q MC

⋅−=

−=

5,0600

160

QQ

MR MC

Q MR

−=−

=

−=

600160

600

Q=380 P=410 400.44=Π

8) a)

805,0

000.208025,0 2

+⋅=

+⋅+⋅=⋅=

Q MC

QQQ AC TC




805,05,0350.1

5,0350.1

25,0350.1

+⋅=⋅−

=

⋅−=

⋅−=

QQ

MC MR

Q MR

QP

Q=1.270 P=1.032,5 450.786=Π b) Elsőfokú árdiszkrimináció esetén a monopólium határbevételi függvénye

egybeesik az inverz keresleti függvénnyel. A vállalat P=MC összefüggésalapján határozza meg kibocsátását.

805,025,0350.1 +⋅=⋅−

=

QQ

MC P

Q=1693,3c) Árdiszkrimináció előtt:

2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

5,612.2012

12705,032.1350.1=

⋅−

Elsőfokú árdiszkrimináció esetén a fogyasztó többlet eltűnik, tehát a fogyasz-tói többlet változása: − 201.612,5

9) a)

56

200.153 2

+⋅=

+⋅+⋅=+=

Q MC

QQFC VC TC

562,0625

2,0625

1,0625

+⋅=⋅−

=

⋅−=

⋅−=

QQ

MC MR

Q MR

QP

Q=100 P=615 800.29=Π b) Elsőfokú árdiszkrimináció esetén a monopólium határbevételi függvénye

egybeesik az inverz keresleti függvénnyel. A vállalat P=MC összefüggés

alapján határozza meg kibocsátását.

561,0625 +⋅=⋅−

=

QQ

MC P

Q=101,6

c) Árdiszkrimináció előtt:2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

5002

100615625=

⋅−

Elsőfokú árdiszkrimináció esetén a fogyasztó többlet eltűnik, tehát a fogyasz-tói többlet változása: − 500.




10) a)

28020000.1 =⋅−

=

Q

MC MR

Q=36A határbevételi függvényből visszavezethető az inverz keresleti függvény,hiszen a határbevételi függvényről tudjuk, hogy a meredeksége az inverz ke-resleti függvény meredekségének kétszerese:

QP

Q MR

⋅−=

⋅−=

10000.1

20000.1

P=640Tudjuk, hogy a monopólium átlagköltsége minimális, ha MC=880. Ismert,

hogy a határköltség függvény az átlagköltség függvényt a minimumábanmetszi. Ebből következik, hogy 280== AC MC .Vagyis: QQ AC TC ⋅=⋅= 280

960.12=−⋅=−=Π TC QPTC TR

b) 2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

480.62

36640000.1=

⋅−

11) a) 8808800.2 =⋅−

=

Q

MC MR

Q=240A határbevételi függvényből visszavezethető az inverz keresleti függvény,hiszen a határbevételi függvényről tudjuk, hogy a meredeksége az inverz ke-resleti függvény meredekségének kétszerese:

QP

Q MR

⋅−=

⋅−=

4800.2

8800.2

P=1.840

Tudjuk, hogy a monopólium átlagköltsége minimális, ha MC=880. Ismert,hogy a határköltség függvény az átlagköltség függvényt a minimumábanmetszi. Ebből következik, hogy 880== AC MC .Vagyis: QQ AC TC ⋅=⋅= 880

400.230=−⋅=−=Π TC QPTC TR

b) 2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

200.1152

240840.1800.2=

⋅−




12) a) K P LPTC

K L⋅+⋅=

LQ ⋅= 4

16

2Q

L =

Q MC

QQ

TC

⋅=

+⋅=⋅+⋅=

25,11

640625,5164016

90 22

QQ

MC MR

Q MR

QP

⋅=⋅−

=

⋅−=

⋅−=

25,113320.4

3320.4

5,1320.4

Q=303,16b) L=5744c) P=3865,3

193.654=−⋅=−=Π TC QPTC TR

13) a) K P LPTC K L⋅+⋅=

LQ ⋅=10

10

Q L =

5,0

205,05410

5

=

+⋅=⋅+⋅=

MC

QQ

TC

5,033,020

33,020167,020

=⋅−

=

⋅−=

⋅−=

Q

MC MR

Q MR

QP

Q=58,5b) P=10,25

375,550=−⋅=−=Π TC QPTC TR




c) 2

QPPFT

piacirez⋅−

= =( )

1875,2852

5,5825,1020=

⋅−

14) a) 8002 −⋅= Q MC

Mivel a monopólium két elkülönült piacra termel, fel kell írni az össz-keresleti függvényt. Mivel a két piacon eltérő a rezervációs ár, a függvény-nek töréspontja lesz:1. ha Q≤675 és P>150 PQ ⋅−= 5,19002. ha Q>675 és P<150 PQ ⋅−= 5,4350.1

A határbevétel függvények az inverz keresleti függvényből származtatva, a

következőképpen alakulnak:1. ha Q≤337,5 Q MR ⋅−= 33,16002. ha Q>337,5 Q MR ⋅−= 44,0300

Mivel a profitmaximumban MR=MC, ekkor1. 800233,1600 −⋅=⋅− QQ Q=420, nem lehetséges megoldás, mertnem teljesül a Q≤337,5 feltétel2. 800244,0300 −⋅=⋅− QQ Q=450, ezt behelyettesítve a

PQ ⋅−= 5,1900 keresleti függvénybe, P=300 értéket kapunk.

b)

500.42=−⋅=−=Π

TC QPTC TR c) Q=450 esetén MC=100. Ha árdiszkriminációt alkalmaz a vállalat, akkormindkét piacon külön határozza meg az árat oly módon, hogy az adott piachatárbevételi függvényének értéke megegyezzen az összpiaci határköltség ér-tékével.

1. piacon:

11

11

11

33,1600

66,0600

5,1900

Q MR

QP

PQ

⋅−=

⋅−=

⋅−=

MC MR =1 alapján Q1=375Az 1. piac keresleti függvényébe behelyettesítjük a fenti mennyiséget ésP1=350 árat kapunk.




2. piacon:

22

22

22

66,015033,0150

3450

Q MR

QP

PQ

⋅−=

⋅−=

⋅−=

MC MR =2 alapján Q2=75A 2. piac keresleti függvényébe behelyettesítjük a fenti mennyiséget ésp2=125 árat kapunk.

125.48)000.250450800450(75125375350 2

221121

=+⋅−−⋅+⋅=

=−⋅+⋅=−+=Π TC QPQPTC TRTR

Vagyis a profit nagysága 5.625 egységgel nőtt.

15) a) 100−=Q MC

Mivel a monopólium két elkülönült piacra termel, fel kell írni az össz-keresleti függvényt. Mivel a két piacon eltérő a rezervációs ár, a függvény-nek töréspontja lesz:1. ha Q≤750 és P>1.750 PQ −= 500.22. ha Q>750 és P<1.750 PQ ⋅−= 3000.6

A határbevétel függvények az inverz keresleti függvényből származtatva, a

következőképpen alakulnak:1. ha Q≤375 Q MR ⋅−= 2500.22. ha Q>375 Q MR ⋅−= 66,0000.2

Mivel a profitmaximumban MR=MC, ekkor1. 100500.2 −=− QQ Q=1.300, nem lehetséges megoldás, mert nem telje-sül a Q≤375 feltétel2. 10066,0000.2 −=⋅− QQ Q=1.260, ezt behelyettesítve a

PQ ⋅−= 3000.6 keresleti függvénybe, P=1.580 értéket kapunk.b) 000.437=−⋅=−=Π TC QPTC TR c) Q=1.260 esetén MC=1.160. Ha árdiszkriminációt alkalmaz a vállalat, akkor

mindkét piacon külön határozza meg az árat oly módon, hogy az adott piachatárbevételi függvényének értéke megegyezzen az összpiaci határköltség ér-tékével.




1. piacon:

11

11

11

750.15,0750.1

2500.3

Q MR

QP

PQ

−=

⋅−=

⋅−=

MC MR =1 alapján Q1=590Az 1. piac keresleti függvényébe behelyettesítjük a fenti mennyiséget ésP1=1.455 árat kapunk.

2. piacon:

22

22

22

2500.2

500.2

500.2

Q MR

QP

PQ

⋅−=

−=

−=

MC MR =2 alapján Q2=670A 2. piac keresleti függvényébe behelyettesítjük a fenti mennyiséget ésP2=1.830 árat kapunk.

750.566)000.850260.1100260.15,0(670830.1590455.1 2

221121

=+⋅−⋅−⋅+⋅=

=−⋅+⋅=−+=Π TC QPQPTC TRTR

Vagyis a profit nagysága 93.750 egységgel nőtt.



X. Kínálatok összehasonlítása 171.

X. KÍNÁLATOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA

Feladatok

1. Hasonlítsa össze egy ábrán a tökéletes versenyző vállalat és a monopólium pro-fitmaximumhoz tartozó kínálati mennyiségét és árát! Jelölje a függvényeket éstengelyeket!

2. Mutassa be egy-egy ábrán a fogyasztói többlet nagyságának alakulását tökéletes

verseny és monopólium esetén! Nevezze el a függvényeket és tengelyeket!

3. Mutassa be egy-egy ábrán a termelői- és fogyasztói holtteher-veszteség nagysá-gát monopólium esetén (a tökéletes versenyhez képest). Jelölje a függvényeketés tengelyeket!

4. Egy iparág keresleti görbéje: PQ D⋅−= 5,050 . Az iparági termelés átlagköltsé-

ge: AC = 25.a) Tiszta monopólium esetén mekkora a termelés és az ár?

b) Tökéletes verseny esetén mekkora a termelés és az ár?c) Mennyivel csökken a fogyasztói többlet monopólium esetén a tökéletes ver-senyhez képest?

5. Egy termék iránti (inverz) piaci kereslet a következő függvénnyel írható le:QP ⋅−= 4200 .

a) Mennyit termelne egy tökéletesen versenyző vállalat, ha a piacon kialakult ár60 pénzegység, és a vállalat változó költségfüggvénye: qqVC ⋅+⋅= 205 2 ?

b) Mennyit termelne ez a vállalat, ha az adott termék piacán egyedüli kínáló

volna?

6. Egy piacot a következő keresleti és kínálati függvények jellemeznek:

5100

PQ D −= és 75

2−=

PQS

. A vállalatok változó költségfüggvénye:

25,7 qVC ⋅= . A fix költség 1000 egység.a) Tökéletes versenyt feltételezve, mekkora az adott piacon termelt egyensúlyi

mennyiség és ár?b) Hány vállalat működik az iparágban? Mekkora lenne egy vállalat profitja?



172. X. Kínálatok összehasonlítása

c) Monopolista viszonyokat feltételezve, mekkora az adott piacon termeltegyensúlyi mennyiség és ár, valamint az összprofit?

7. Egy egytermékes vállalat költség-függvénye: 3650020010 2+⋅+⋅= QQTC ,

ahol Q a termelés mennyisége. Az iparág keresleti függvénye az alábbi:PQ D⋅−= 2,0400 .

Töltse ki a következő táblázatot!

PiactípusÖsszes

mennyiségEgységár

Összesbevétel

Összesprofit

Összes fogyasz-tói többlet

Tökéletes

versenyMonopólium

8. Ismerjük, hogy egy ágazatban a teljes költség-függvény az alábbi módon írhatófel: 25100000.10 QQTC ⋅+⋅+= . A keresleti függvény az alábbi:

10100

PQ D

−= .

Töltse ki a következő táblázatot!

PiactípusÖsszes


Összes be-vétel

Összesprofit


Tökéletesverseny

Monopólium




9. Írja be az alábbi táblázatba az egyes piaci szerkezetekre jellemző tulajdonságo-kat!

JellemzőkTökéletesverseny

Monopo-lisztikusverseny

Oligopó-lium

DuopóliumMono-pólium

Piaci szereplőkszáma

Cégek mérete

Az ágazat koncent-

rációs fokaBe- és kilépési kor-látÁllami beavatkozáslehetőségeAz ár szempontjá-ból játszott szerep

A termék jellege

10. Töltse ki az alábbi − az ágazat egészére vonatkozó – táblázatot, ha bármilyenpiacszerkezet esetén a vállalatok állandó (konstans) határköltséggel rendel-keznek és lineáris, P = a − b*Q alakú az ágazat inverz keresleti függvénye!

PiactípusMennyiség

(Q) Egységár

(P)Profit

Q/QTV (%)

Tökéletes ver-seny

Monopólium

Cournot-duopóliumStackelberg-duopóliumBertrand-duopólium




11. Jelölje az alábbi táblázatban az egyes duopólium modellekre jellemző megha-tározásokat!

JellemzőkDuopólium modell

Cournot Stackelberg Bertrand

Egyidőben hoznak döntést

Azonos határköltségek esetén mindkettenugyannyit termelnek

A másik vállalat árát figyelik

Az egyikük hamarabb hozza meg döntését

A másik vállalat termelését figyelik

A két vállalat pozíciói (erősségei) hasonló-akAzonos határköltségek esetén sem termel-nek egyforma mennyiséget

A két vállalat pozíciói (erősségei) eltérőek

12. Tegyük fel, hogy az ágazat minden vállalatának határköltsége konstans ésmegegyezik egymással, és az ágazat keresleti függvénye lineáris! Mennyit(hány %-ot) termel az ágazat a tökéletes verseny 100 %-os kínálatához képest:

monopóliumnál,Stackelberg-duopólium esetén,Cournot-duopólium esetében,Bertrand-duopóliumnál?

13. Tegyük fel, hogy az ágazat minden vállalatának határköltsége konstans ésmegegyezik egymással, és az ágazat keresleti függvénye lineáris! Mennyit

(hány %-ot) termel egy vállalat a tökéletes verseny 100 %-os kínálatához ké-pest:Stackelberg-duopólium esetén a vezető vállalat,Stackelberg-duopólium esetén a követő vállalat,Cournot-duopólium esetén egy vállalat,Bertrand-duopóliumnál egy vállalat,monopolista vállalat?




14. Tegyük fel, hogy az ágazat minden vállalatának határköltsége konstans ésmegegyezik egymással, és az ágazat keresleti függvénye lineáris! Tegye sor-

rendbe az ágazat egész kínálatát, olyan módon, hogy 1-sel jelölje a legkisebbetés 4-sel a legnagyobbat:tökéletes verseny esetén,Stackelberg-duopólium esetén,monopólium esetén,Cournot-duopólium esetén!

15. Tegyük fel, hogy az ágazat minden vállalatának határköltsége konstans ésmegegyezik egymással, és az ágazat keresleti függvénye lineáris! Tegye sor-rendbe az ágazat egész kínálatát, olyan módon, hogy 1-sel jelölje a legnagyob-bat és 4-sel legkisebbet:

Bertrand-duopólium esetén,Stackelberg-duopólium esetén,monopólium esetén,Cournot-duopólium esetén!

16. Egy termék iránti keresletet a következő keresleti függvény írja le:PQ D⋅−= 51000 . A fenti terméket gyártók határköltsége 150, bármilyen pi-

acszerkezet esetén és bármely vállalatnál. Mekkora a termelt mennyiség és azegységár, ha az ágazatban:a) a tökéletes verseny,b) a monopólium,c) a Cournot duopólium,d) a Stackelberg duopólium feltételei állnak fenn?

17. Egy termék iránti keresletet a következő keresleti függvény írja le:PQ D⋅−= 10000.1 . A fenti terméket gyártók határköltsége 50, bármilyen pi-

acszerkezet esetén és bármely vállalatnál. Mekkora az egységár, a termeltmennyiség és a fogyasztói többlet, ha az ágazatra:a) a tökéletes verseny.b) a monopólium,c) a Cournot duopólium,d) a Stackelberg duopólium feltételei jellemzőek?




18. Egy termék iránti keresletet a következő keresleti függvény írja le:

QP ⋅−=

12

1100 . A fenti terméket gyártók határköltsége MC=50, bármilyen

piacszerkezet esetén és bármely vállalatnál.Töltse ki az alábbi táblázatot!

Piactípus Összesmennyiség

Egységár Összes fogyasz-tói többlet

Összbevétel

TökéletesversenyMonopólium

Cournot-duopóliumStackelberg-duopóliumBertrand-duopólium

19. Egy termék iránti keresletet a PQ D⋅−= 10500.1 keresleti függvény mutatja.

Akár egy, akár két vállalat állítja elő a terméket, a határköltség-függvényükmindig konstans, pontosan 100 egység. Töltse ki az alábbi táblázatot!

PiactípusÖsszes


Összes fogyasztóitöbblet

Összbevétel

TökéletesversenyMonopólium

Cournot-

duopóliumStackelberg-duopóliumBertrand-duopólium

20. Egy termék iránti keresletet a PQ D⋅−= 202000 keresleti függvény mutatja.

Akár egy, akár két vállalat állítja elő a terméket, a határköltség-függvényükmindig konstans, pontosan 50 egység. Töltse ki az alábbi táblázatot, szükség




esetén egész számokra kerekítve!

Piactípus Összesmennyiség Egységár Összes fogyasztói többlet

Monopólium

Cournot-duopólium

Stackelberg-duopólium

Bertrand-duopólium

21. Egy termék iránti keresletet a PQ D⋅−= 202200 keresleti függvény mutatja.

Bármely vállalat, amely e termék gyártásával foglalkozik, annak határköltségekonstans, MC = 10.a) Mekkora a fogyasztói többlet, ha Cournot duopóliumként működik a két

vállalat?b) Mekkora a fogyasztói többlet, ha Stackelberg duopóliumként működik akét vállalat?c) Mekkora lenne a fogyasztói többlet monopólium esetén?d) Mekkora lenne a fogyasztói többlet tökéletes verseny esetén?

22. Egy termék iránti keresletet a PQ

D⋅−=

153000 keresleti függvény mutatja.Akár egy, akár két, akár több vállalat állítja elő a terméket, a határköltség-függvényük mindig konstans, pontosan 40 egység. Töltse ki az alábbi tábláza-tot!

PiactípusÖsszes

mennyiségEgységár Összes fogyasztói többlet

Tökéletes verseny

Monopólium

Cournot-duopóliumStackelberg-duopólium




23. Írja be az alábbi táblázatba a monopolisztikus versenyre jellemző meghatáro-zásokat!

Jellemző Szimmetria keresleti

görbeAszimmetria ke-

resleti görbe

Ki változtatja meg az árat?

Árrugalmassága a másikhoz képest

Meredeksége a másikhoz képest

Megoldások

1)Az ábrából látható, hogy a QTV > QM ugyanakkor PM > PTV. Azaz a tökéletesenversenyző iparág több terméket állít elő, mint amonopólista, és kisebb áron értékesít.

2)

MC

MRM P(Q)

QM QTV Q

P

PM

PTV

MC

MRM P(Q)

QM QTV Q

P

Prez

PM

PTV

MC

MRM P(Q)

QM QTV Q

P

Prez

PM

PTV




Tökéletes versenyben a fogyasztói többlet a rezervációs ár és a tökéletes ver-senyben érvényesülő piaci ár (PTV) által ”határolt terület” a keresleti függvény

alatt. Nagysága:2

)( TV TV rez QPPFT ⋅−= .

Monopólium esetén a fogyasztói többlet úgyszintén a rezervációs ár és a piaci ár(PM) által ”határolt terület” a keresleti függvény alatt. Nagysága:

2

)(M M rez

QPPFT

⋅−= . A fogyasztói többlet nagysága tökéletes verseny esetén

nagyobb, hisz a monopólium kevesebbet termel, és magasabb áron értékesít.

3)

A termelői és fogyasztói holtteher-veszteség abból fakad, hogy a monopóliumkevesebbet termel, és magasabb áron értékesít, mint a tökéletesen versenyző iparág. A fogyasztói holtteher-veszteség nagysága:

( ) ( )

2 M TV TV M

fogy

QQPP HTV

−⋅−= . A termelői holtteher-veszteség nagysága az

alábbi módon határozható meg (feltételezve, hogy a határköltség függvény fel-

felé ívelő szára lineáris): ( ) ( )2

M TV M TV

term

QQ MRP HTV −⋅−= .

4) A monopólium kibocsátását MR=MC egyenlőségből határozhatjuk meg. A mo-nopólium határbevételi függvényének felírásához a lineáris inverz keresletifüggvényt vesszük alapul: a monopólium határbevételi függvénye kétszer olyanmeredek, mint az inverz keresleti függvény. Tehát, ha annak alakja:

QbaP ⋅−= , akkor a határbevételi függvény monopólium esetén

MC

MRM P(Q)

QM QTV Q

P

Prez

PM

PTV

Fogyasztói holtteher-veszteség

Termelői holtteher-veszteség




Qba MR ⋅⋅−= 2 alakú.

a)

Q MR

QP

⋅−=

⋅−=

4100

2100

75,18

254100

25

=

=⋅−

=

=

M Q

Q

MC MR

MC

A kapott mennyiséget visszahelyettesítve az inverz keresleti függvénybe kapjuk meg a monopólium által meghatározott árat:

5,6275,182100 =⋅−= M P

b) 25

5,37

252100

==

=

=⋅−

=

MC P

Q

Q

MC P

TV

TV

c) A rezervációs ár: 100=rezP

5625,3512

75,18)5,62100(=

⋅−= M FT

25,406.12

5,37)25100(=

⋅−=

TV FT A fogyasztói többlet 1.054,6875 egységgel csökkent a tökéletes versenyhezképest.

5) a) 2010 +⋅= q MC

4

201060

=

+⋅=

=

q

q

MC P

b) Q MR

QP

⋅−=

⋅−=

8200

4200

10

20108200

=

+⋅=⋅−

=

Q

QQ

MC MR




6) a) 75

25100 −=−

PP

50

250

=

=

Q

P

b) Egy vállalat kibocsátása:

67,16

25015

=

=⋅

=

q

q

P MC

Az iparágban működő vállalatok száma: 367,16

50===

q

Qn

Egy vállalat profitja:33,083.1)000.167,165,7(67,16250 2

=+⋅−⋅=−⋅=Π TC qP c) Inverz keresleti függvény: QP ⋅−= 5500

A monopólium határbevételi függvénye: Q MR ⋅−= 10500

000.4)000.1205,7(20400400

20

1510500

2=+⋅−⋅=Π

=

=

⋅=⋅−

=

P

Q

QQ

MC MR

7) 20020 +⋅= Q MC QP ⋅−= 5000.2

A monopólium határbevételi függvénye: Q MR ⋅−= 10000.2 Tökéletes verseny kibocsátása: P=MC alapjánMonopólium kibocsátása: MR=MC alapján

Rezervációs ár: 2.000

PiactípusÖsszes


Összes be-vétel

Összesprofit


Tökéletesverseny

72 1.640 118.080 15.340 12.960

Monopólium 60 1.700 102.000 17.500 9.000




8) Q MC ⋅+= 10100 QP ⋅−= 10000.1

A monopólium határbevételi függvénye: Q MR ⋅−= 20000.1 Tökéletes verseny kibocsátása: P=MC alapjánMonopólium kibocsátása: MR=MC alapjánRezervációs ár: 1.000

PiactípusÖsszes


Összes be-vétel

Összesprofit


Tökéletesverseny

45 550 24.750 125 10.125

Monopólium 30 700 21.000 3.500 4.500

9) Jellemzők

Tökéletesverseny

Monopo-lisztikusverseny

Oligopó-lium

DuopóliumMono-pólium

Piaci szereplők száma soktöbb, nem túl

sok

néhány kettő egy

Cégek mérete kicsi közepes nagy nagy nagy

Az ágazatkoncentrációs foka

alacsony közepesviszonylag

nagynagy

közel100 %

Be- és kilépési korlát kicsi(nincs)

közepes (lé-tezhet)

nagy(van)

nagy(van)

nagy(van)

Állami beavatkozáslehetősége

kicsi közepes nagy nagy nagy

Az ár szempontjából játszott szerep

árelfogadó árelfogadó,ármeghatá-rozó

árelfogadó,ármeghatá-rozó

árelfogadó,ármeghatá-rozó

ármeghatá-rozó

A termék jellege homogén differenciált homogén homogén homogén




10) Piactípus Mennyiség(Q) Egységár(P) Profit Q/QTV

Tökéletes ver-seny b

MC a − MC 0 1

Monopóliumb

MC a

⋅

−

2

2

MC a +

b

MC a

⋅

−

4

)( 2

2

1

Cournot-duopólium b

MC a

⋅

−⋅

3

)(2

3

2 MC a ⋅+

b

MC a

⋅

−⋅

9

)(2 2

3

2

Stackelberg-duopólium b

MC a

⋅

−⋅

4 )(3 4

3 MC a ⋅+

b MC a⋅

−⋅

16 )(3

2

4

3

Bertrand-duopólium b

MC a − MC 0 1

11) Jellemzők

Duopólium modell

Cournot Stackelberg BertrandEgyidőben hoznak döntést X X

Azonos határköltségek esetén mindkettenugyannyit termelnek X X

A másik vállalat árát figyelik X

Az egyikük hamarabb hozza meg döntését X

A másik vállalat termelését figyelik X X

A két vállalat pozíciói (erősségei) hasonló-ak

X X

Azonos határköltségek esetén sem termel-nek egyforma mennyiséget X

A két vállalat pozíciói (erősségei) eltérőek X




12) Monopóliumnál 50 %

Stackelberg-duopólium esetén 75 %Cournot-duopólium esetében 66,67 %Bertrand-duopóliumnál 100 %

13) Stackelberg-duopólium esetén a vezető vállalat 50 %Stackelberg-duopólium esetén a követő vállalat 25 %Cournot-duopólium esetén egy vállalat 33,3 %Bertrand-duopóliumnál egy vállalat 50 %Monopolista vállalat 50 %

14) Tökéletes verseny esetén 4., mert 100 %Stackelberg-duopólium esetén 3., mert 75 %Monopólium esetén 1., mert 50 %Cournot-duopólium esetén 2., mert 66,7 %

15) Bertrand-duopólium esetén 1., mert 100 %

Stackelberg-duopólium esetén 2., mert 75 %Monopólium esetén 4., mert 50 %Cournot-duopólium esetén 3., mert 66,7 %

16) Mivel a keresleti függvény lineáris, és állandó a határköltség, a termelt meny-nyiségek meghatározásakor alkalmazhatók a fenti példákban gyakorolt ará-nyok. Elegendő a tökéletes versenyre jellemző kibocsátást kiszámolni, majd amegfelelő szorzót alkalmazni a további piaci szerkezetekre.

QP ⋅−= 2,0200

150

250

1502,0200

=

=

=⋅−

=

TV

TV

P

Q

Q

MC P

a) 125%50 =⋅=TV M

QQ 175= M P

b) 67,166%67,66 =⋅= TV C QQ 67,166=C P

c) 5,187%75 =⋅= TV S QQ 5,162=S P




17) A megoldás menete hasonló a 14. feladathoz.

50= MC QP ⋅−= 1,0100 100=rezP a) 500=

TV Q 50=

TV P 500.12=FT

b) 250= M

Q 75=TV P 125.3=FT

c) 33,333=C Q 67,66=C

P 45,544.5=FT

d) 375=S

Q 5,62=S P 25,031.7=FT

18) Piactípus Összes

mennyiségEgységár Összes fogyasz-

tói többletÖsszbevétel

Tökéletesverseny

600 50 15.000 30.000

Monopólium 300 75 3.750 22.500

Cournot-duopólium

400 66,67 6.660 26.680


450 62,5 8.437,5 28.125

Bertrand-duopólium 600 50 15.000 30.000

19) QP ⋅−= 1,0150 150=rezP

PiactípusÖsszes


Összes fogyasztóitöbblet

Összbevétel

Tökéletesverseny

500 100 12.500 50.000

Monopólium 250 125 3.125 31.250

Cournot-duopólium

333 116,67 5.544,45 38.861,1


375 112,5 7.031,25 42.187,5

Bertrand-duopólium

500 100 12.500 50.000




20) QP ⋅−= 05,0100 100=

rezP

PiactípusÖsszes


Monopólium 500 75 6.250

Cournot-duopólium 667 67 11.006

Stackelberg-duopólium 750 63 13.875

Bertrand-duopólium 1.000 50 25.000

21) Érdemes a feladat megoldását a d) kérdésnél kezdeni!QP ⋅−= 05,0110 110=rezP

a) 333.1=Q 43=P 655.44=FT

b) 500.1=Q 35=P 250.56=FT

c) 000.1=Q 60=P 000.25=FT

d) 000.2=Q 10=P 000.100=FT

22) QP ⋅−=

15

1200 200=rezP

PiactípusÖsszes


Tökéletes verseny 2.400 40 192.000

Monopólium 1.200 120 48.000

Cournot-duopólium 1.600 93 85.600

Stackelberg-duopólium 1.800 80 108.000

23) Jellemző Szimmetria keresleti

görbeAszimmetria ke-

resleti görbeKi változtatja meg az árat? mindegyik vállalat egy vállalat

Árrugalmassága a másikhoz képest kisebb nagyobb

Meredeksége a másikhoz képest meredekebb kevésbé meredek



XI. Árupiaci egyensúly 187.

XI. ÁRUPIACI EGYENSÚLY

Feladatok

1. Egy termék keresleti görbéjének egyenlete:

P D ⋅−= 540

a) Rajzolja meg a fenti keresleti görbét, majd rajzoljon be az ábrába egytetszőlegesen elhelyezkedő rugalmas kínálati görbét! Grafikusan

határozza meg az egyensúlyi ár, valamint az egyensúlyi kereslet éskínálat nagyságát!b) Rajzoljon be az ábrába egy-egy olyan keresleti és kínálati görbét,

ami mellett az eredeti feladat egyensúlyi ára változatlan, miközbenaz egyensúlyi kereslet és kínálat mennyisége módosul!

c) Számítsa ki az eredeti feladat keresleti görbéjéből a keresletárrugalmasságát, ha az ár 4-ről 6-ra nő!

d) Az eredeti görbéhez írja fel egy olyan lineáris kínálati görbeegyenletét, amelynél az egyensúlyi ár 5 egység!

2. Egy áru ára 10 pénzegységről 8 pénzegységre süllyedt, aminekkövetkeztében a kereslet 28 egységnyire változott.a) Mekkora volt az eredeti kereslet, ha a kereslet árrugalmassága „– 2”

egység?b) Rajzolja le a fenti termék lineárisnak feltételezett keresleti görbéjét!c) Adja meg egy olyan lineáris kínálati görbe egyenletét, amelyet az

ábrába berajzolva az egyensúlyi ár 5 lesz!

3. Egy termék kínálati görbéjének egyenlete:

22

1+⋅= PS

a) Rajzolja meg a fenti kínálati görbét, majd rajzoljon be az ábrába egytetszőlegesen elhelyezkedő rugalmas keresleti görbét! Grafikusanhatározza meg az egyensúlyi ár, valamint az egyensúlyi kereslet éskínálat nagyságát!



188. XI. Árupiaci egyensúly

b) Rajzoljon be az ábrába egy-egy olyan keresleti és kínálati görbét,ami mellett az eredeti feladat egyensúlyi ára nő, de az egyensúlyikereslet és kínálat nem változik!

c) Számítsa ki az eredeti feladat kínálati görbéjéből a kínálat

árrugalmasságát, ha az ár 4-ről 6-ra nő!

4. Egy termék keresleti és kínálati függvénye a következő:

PQ D

⋅−= 220

104 −⋅= PQS

a) Számítsa ki az egyensúlyi árat és az egyensúlyi mennyiséget!b) Rajzolja meg a piac Marshall-keresztjét!

5. Egy termék piaca tekintetében az alábbiakat ismerjük:

11

5

11−=

S P

P D ⋅−= 5165

a) Mennyi az adott feltételek mellett az egyensúlyi ár és az egyensúlyimennyiség?

b) Rajzolja meg az adott piac Marshall-keresztjét! Jelölje atengelymetszeteket is! Ne feledkezzen meg a függvények és atengelyek elnevezéséről sem!

6. Egy adott piac tekintetében az alábbiakat ismerjük:

360 D

P −=

PS ⋅+= 45

a) Számítson ki az adott piacon egy konkrét árat és a hozzá tartozómennyiséget, amelynél a piac a túlkereslet állapotában van!

b) Tegye ugyanezt meg túlkínálati helyzetre is!




7. Egy termék piaca tekintetében az alábbiakat ismerjük:

5

17D

P −=

14−=

S P

a) Mennyi az adott feltételek mellett az egyensúlyi ár és az egyensúlyimennyiség?

b) Rajzolja meg az adott piac Marshall-keresztjét! Jelölje atengelymetszeteket is! Ne feledkezzen meg a függvények és a

tengelyek elnevezéséről sem!

8. Ha egy termék ára 3 pénzegység, akkor kínálata 21 egység. Ha az ár 7pénzegység, akkor kínálata 33 egység. Keresleti függvénye az alábbi:

P D ⋅−= 360 a) Írja fel a lineáris kínálati függvényt!b) Mi az adott termék egyensúlyi ára és mennyisége?c) Jellemezze a piacot 17 egységárnál!d) Hogyan alakul a termék keresletének, illetve kínálatának

árrugalmassága, ha az ár 5 pénzegységről 9 pénzegységre változik!e) Értelmezze a kapott mutatókat!

9. Egy adott piac tekintetében az alábbiakat ismerjük. Ha az ár 10 egység,akkor a kereslet értéke 50. Amennyiben az ár 25 egységre emelkedik,akkor a kereslet 20 egységre csökken. A keresleti függvény lineáris.Ezek mellett tudjuk, hogy: PS ⋅+= 315 a) Jellemezze az adott piacot 12 egységár mellett!b) Számítsa ki a kínálat árrugalmasságát, ha az ár 10 egységről 8

egységre csökken!

10. Amennyiben egy termék ára 15 pénzegység, akkor kereslete 95egység, míg kínálata 60. Ha az ár 23 pénzegység, akkor kereslete 71egység és kínálata 92 egység.a) Írja fel a lineárisnak tekintett keresleti és a kínálati függvényeket!b) Milyen egységár és mennyiség mellett kerül a piac egyensúlyba?c) Jellemezze a piacot 17 egységárnál!d) Hogyan alakul a termék keresletének, illetve kínálatának

árrugalmassága, ha az ár 17 pénzegységről 21 pénzegységreváltozik! Értelmezze a kapott mutatókat!




11. Amennyiben egy termék ára 8 pénzegység, akkor kereslete 84egység, míg kínálata 28. Ha az ár 20 pénzegység, akkor kereslete 60egység és kínálata 88 egység.a) Írja fel a lineáris keresleti és a kínálati függvényeket!b) Milyen egységár és mennyiség mellett kerül a piac egyensúlyba?c) Jellemezze a piacot 10 egységárnál!d) Mennyivel és milyen irányban tér el a kereslet a kínálattól, ha az ár

20 egység?

12. Amennyiben egy termék ára 12 pénzegység, akkor 240 darabotkeresnek belőle, míg a kínálata 78 darab. A piac 30 egységár és 150darabos mennyiségnél van egyensúlyban.a) Írja fel a termék lineáris keresleti, illetve kínálati függvényeinek

egyenletét!b) Milyen ár mellett lenne a piacon 100 darab a kereslet?c) Milyen ár esetén a lenne a kereslet 90-nel több, mint a kínálat?d) Jellemezze a piacot 250 darabos keresletnél?e) Mit tudunk a piacról mondani, ha a kínálat 250 darab?

13. Ha egy terméket ingyen adnának, akkor a fogyasztók 200 darabotkeresnek belőle. A lineáris keresleti függvény meredeksége „mínusz 3”.Tudjuk még, hogy:

5

48

5−=

S P

a) Írja fel a termék keresleti függvényének egyenletét!b) Mi az adott piacon kialakuló egyensúlyi ár és mennyiség?c) Milyen ár mellett kínálnak 158 db terméket a termelők?d) Mennyi lenne ekkor a kereslet nagysága?e) Milyen ár esetén szeretnének a fogyasztók 140 db-ot megvásárolni?f) Mennyi lenne ekkor a kínálat értéke?

g) Milyen ár mellett lenne a túlkereslet nagysága 32 db?h) Milyen ár esetén lenne a túlkínálat 88 db?

14. Amennyiben egy terméket ingyen adnának, akkor 33 darabotkeresnek belőle. Az ár 1 egységgel való növelésének hatására a kereslet5 egységgel csökkenne. A kínálati függvénynek az árat jelölő tengelyena metszéspontja háromnál van. Az ár 1 egységgel való növelése akínálatot 4 egységgel emeli.a) Írja fel a termék lineáris keresleti, illetve kínálati függvényeinek

egyenletét!




b) Hogyan alakul az egyensúlyi mennyiség és egyensúlyi ár?c) Hogyan alakul a kereslet, illetve a kínálat árrugalmassága, ha az

egységár 5-ről 3-ra csökken?d) Értelmezze a kapott mutatók értékeit!

e) Jellemezze a piacot P = 5 ár esetében!

15. Amennyiben egy terméket ingyen adnának, akkor 30 darabotkeresnek belőle. Az ár 1 egységgel való növelésének hatására a kereslet5 egységgel csökkenne. A kínálati függvénynek a mennyiséget jelölő tengelyen a metszéspontja 12-nél van. Az ár 1 egységgel való növelésea kínálatot 4 egységgel emeli.a) Írja fel a termék lineáris keresleti, illetve kínálati függvényeinek

egyenletét!

b) Hogyan alakul az egyensúlyi mennyiség és egyensúlyi ár?c) Hogyan alakul a kereslet, illetve kínálat árrugalmassága, ha az

egységár 4-ről 6-ra nő?d) Értelmezze a kapott mutatók értékeit!e) Jellemezze a piacot P = 5 ár esetében!

Megoldások

1) Az ábra könnyebb megrajzolása érdekében számítsuk ki atengelymetszeteket: ha P = 0, akkor D = 40, illetve ha D = 0, akkor P =8. Még azt tudjuk, hogy függvényünk elsőfokú, ebből következik, hogyábrázolva egyenest kapunk.a) A keresleti görbe megrajzolása után egy tetszőleges rugalmas

kínálati görbét megrajzolva a következő ábrához juthatunk, ahol PE az egyensúlyi árat és QE az egyensúlyi mennyiséget jelöli.

40 Q

S

8

QE

D

PE E




b) Az új keresleti és kínálati ábra megrajzolásánál arra kellvigyáznunk, hogy az egyensúlyi ár változatlan maradjon, miközbenaz egyensúlyi mennyiség módosul (akár nő, akár csökken). Ennekmegfelelően egy lehetséges megoldás található a következő oldalon.

c) A megadott árakat a keresleti görbe egyenletébe helyettesítvekapjuk meg a hozzájuk tartozó keresleti adatokat, így ha P = 4, akkorD = 20, illetve ha P = 6, akkor D = 10. Az ívrugalmasság képletétalkalmazhatjuk:

67,14646

20102010)( −=

−

+⋅

+

−= X X P D

ε

Az érték alapján megállapíthatjuk, hogy árrugalmas termékről vanszó, azaz 1 % -os árváltozás esetén a kereslet több mint 1 %-kalmódosul, méghozzá ellentétes irányba.

d) Mivel lineáris görbéről van szó, így alkalmazható a két pontonátmenő egyenes egyenletének képlete. Az egyik pont adott: az 5egységnyi egyensúlyi ár. Az egyensúlyi pontban a kínálati és akeresleti mennyiség megegyezik egymással, ezért a keresleti

függvényből kiszámítható az értéke, amely 15. Az egyenlet felírásaérdekében lehetne egy tetszőleges másik pontot is felvenni, de alegegyszerűbb az origóból kiindulni. A képlet az alábbi:(y – y1)*(x2 – x1) = (y2 – y1)*(x – x1)Behelyettesítve:(y – 15)*(0 – 5) = (0 –15)*(x – 5)Amelyet átrendezve kapjuk a következő egyenletet: y = 3x.Azaz a kínálati görbe egyenlete:S = 3*P

Q

P

40

E

S S’

8 D’

QE

D

Q’E

PE E’




2) A már korábban megismert módszereket használjuk!a) Azt tudjuk, hogy a kereslet 28 egységnyire változott, tehát ennyi

lesz a kereslet új értéke. A korábbi keresleti adatot „x”-szel jelölve,az ívrugalmasság képlete az alábbi módon írható fel:

2108108

2828

)( −=

−

+⋅

+

−=

xP D

ε

Az egyenlet megoldása alapján: x = 17,8. Tehát a kezdeti keresletértéke 17,8 (kerekítve: 18) egység volt.

b) A lineáris keresleti görbe egyenletét akkor tudjuk felírni, hamegoldjuk a két ponton átmenő egyenes egyenletét, amelynek kétpontját a rugalmasság kiszámításánál használtuk fel. Ennek alapján:(y – 18)*(8 – 10) = (28 – 18)*(x – 10)A rendezés után:y = –5x + 68Tehát a keresleti görbe egyenlete:D = 68 – 5*PAz ábra megrajzolásánál használjuk fel két ismert pontunkat!A függvény a következő:

c) Mivel lineáris görbéről van szó, így alkalmazható a két pontonátmenő egyenes egyenletének képlete. Az egyik pont adott: az 5egységnyi egyensúlyi ár. Az egyensúlyi pontban a kínálati és akeresleti mennyiség megegyezik egymással, ezért a keresletifüggvényből kiszámítható az értéke, amely 43. Az egyenesmegszerkesztéséhez lehetne egy tetszőleges másik pontot is felvenni,de a legegyszerűbb az origóból kiindulni. A képletbe helyettesítve azalábbit kapjuk:

(y – 43)*(0 – 5) = (0 – 43)*(x – 5)

28

D

10 8

18




Amelyet átrendezve kapjuk a következő egyenletet: y = 8,6xAzaz a kínálati függvényünk egyenlete: S = 8,6*PÁbránkban nem ezt, hanem egy tetszőleges kínálati függvényttüntetünk fel, bemutatva ezzel a grafikai megoldás lehetőségét!

3) A kínálati görbe megszerkesztéséhez számítsuk ki a tengely-metszeteket: ha P = 0, akkor S = 2, és amennyiben S = 0, akkor P = – 4.Utóbbinak közgazdasági értelme nincs (hiszen „mínusz” árról nembeszélhetünk), és csak a rajz elkészítését segíti.

a) Ábránk a tetszőleges, de lineáris keresleti görbe berajzolása után akövetkező lehet:

28

S D

10 8

5

18 43

S

D

P

Q 2

-4

PE

QE




b) Az új keresleti és kínálati ábra megrajzolásánál arra kellvigyáznunk, hogy az egyensúlyi ár emelkedjen, miközben azegyensúlyi mennyiség változatlan marad. Ennek megfelelően egylehetséges megoldást a következő:

c) A megadott árakat a kínálati görbe egyenletébe helyettesítve kapjukmeg a hozzájuk tartozó kínálati adatokat, így ha P = 4, akkor S = 4,illetve ha P = 6, akkor S = 5. Az ívrugalmasság képletétalkalmazhatjuk:

56,046

46

45

45)( =

−

+⋅

+

−=

X X PS ε

Az érték alapján megállapíthatjuk, hogy árrugalmatlan termékről vanszó, azaz 1 % -os árváltozás esetén a kínálat kevesebb mint 1 %-kal

módosul, méghozzá azonos irányba.

4) A két függvény felírásánál a korábbi feladatoktól eltérő, de agyakorlatban használt jelölést alkalmaztunk.b) Az egyensúlyi ár és mennyiség meghatározása érdekében a keresleti

és kínálati egyenlet közös megoldását kell megtalálnunk:PE = 5 és QE = 10.

b) Az ábra elkészítéséhez számítsuk ki a tengelymetszeteket:Ha P = 0, akkor D = 20 és S = – 10. (Utóbbi értéknek természetesen

közgazdaságilag nincs értelme, ez csak az ábra megrajzolásához

-4

S’ S

D

P

Q 2

PE

QE

D’

PE’

E

E’




szükséges.) Amennyiben D = 0, akkor P = 10, ha S = 0, akkorP = 2,5. Az ábrázolásnál felhasználhatjuk a kiszámított egyensúlyiadatokat is. Ezek után nézzük a következő oldalon található ábrát!

5) Az elsőként megadott függvény egy inverz kínálati függvény, amelyet„S”-re kell rendeznünk: S = 5 + 11*P.

c) Az egyensúlyi értékek meghatározásához a két egyenletet kellegymással egyenlővé tenni. Az eredmény: PE = 10 és QE = 115.d) A feladat kéri, hogy a tengelymetszeteket is számoljuk ki:

Ha P = 0, akkor D = 165 és S = 5. Amennyiben D = 0, akkor P = 33,és ha S = 0, akkor P = – 5/11. (Az utóbbi értéket közgazdaságilagnem értelmezzük, és csak az ábra megrajzolásához szükséges.) Azábrázolásnál felhasználhatjuk a kiszámított egyensúlyi adatokat is.

S

D

P

Q

2,5

-10

10

10

5

20

S

D

P

Q 5 -5/11 115

10

33

165




6) Ebben a feladatban az inverz keresleti görbe egyenlete adott. Ennekátrendezésével juthatunk el a keresleti függvényhez:D = 180 – 3*P.a) Ahhoz, hogy egy túlkeresleti helyzetet megadjunk, ismernünk kell

az egyensúlyi állapotot, amelyet a két függvény egyenlővé tételeután számíthatunk ki: PE = 25 és QE = 105.Túlkereslet akkor következik be, ha az ár az egyensúlyi szint alásüllyed, azaz esetünkben kisebb lesz, mint 25. Vegyük például a P =20 esetét. Ekkor a kereslet 120, míg a kínálat 85 lesz. Ez valóbantúlkeresleti helyzet, hiszen D > S.

b) Az előző pont alapján túlkínálat akkor lesz, ha az ár az egyensúlyiszint (25) fölé emelkedik. Vegyük például a P = 30 esetét. Ekkor akereslet 90, míg a kínálat 125 lesz. Ez valóban túlkínálat, hiszen

teljesül az S > D feltétel.

7) Inverz keresleti és inverz kínálati görbe egyenlete van megadva. Ezekátrendezése után kapjuk meg a keresleti és kínálati függvényeket:D = 85 – 5*P és S = 4*P + 4.a) Az egyensúlyi értékek megállapításához a két egyenletet tegyük

egyenlővé, amelynek megoldásai: PE = 9 és QE = 40.b) A feladat kéri, hogy a tengelymetszeteket is számoljuk ki:

Ha P = 0, akkor D = 85 és S = 4. Amennyiben D = 0, akkor P = 17,

és ha S = 0, akkor P = – 1. (Az utóbbi értéket közgazdaságilag nemértelmezzük, és csak az ábra megrajzolásához szükséges.) Azábrázolásnál felhasználhatjuk a kiszámított egyensúlyi adatokat is.Ezek után nézzük az ábrát!

S

D

P

Q 4 -1 40

9

17

85




8) A kínálati függvény két adatpárját ismerjük: P1 = 3 és S = 21, valamintP2 = 7 és Q2 = 33.a) A kínálati függvény felírásához két lehetőség kínálkozik.

Első megoldás:A két ponton átmenő egyenes egyenleti képletét felhasználvafelírhatjuk, hogy:(y – 21)*(7 – 3) = (33 – 21)*(x –3)Amelyet átrendezve kapjuk a következő egyenletet:y = 3x + 12Azaz a kínálati függvényünk egyenlete:S = 12 + 3*P

Második megoldás:

A két adatpárt behelyettesítjük a lineáris egyenes képletébe,amelynek általános alakja: y = a + bx.21 = a + 3b33 = a + 7bAz egyenletrendszer megoldása: a = 12 és b = 3. Azaz: y = 12 + 3b.Vagyis: S = 12 + 3*P.

b) Keressük meg a keresleti és a kínálati függvény közös megoldását:PE = 8 és QE = 36.

c) Ismételten két lehetőség közül választhatunk.

Első megoldás:Helyettesítsük be az adott árat a keresleti és kínálati függvénybe, ésnézzük meg ezek viszonyát:D = 9 < S = 81. Azaz túlkínálati helyzet van a piacon.

Második megoldás:Értelmezzük adatainkat! Az adott ár (P = 17) nagyobb, mint azegyensúlyi (PE = 8), ilyen esetben pedig ismert, hogy a piaconnagyobb lesz a kínálat, mint a kereslet.

d) A megadott árakat a keresleti, illetve a kínálati görbe egyenletébehelyettesítve kapjuk meg a hozzájuk tartozó mennyiségi adatokat,így ha P = 5, akkor D = 45 és S = 27, illetve ha P = 9, akkor D = 33és S = 39. Mindkét esetben az ívrugalmasság képletétalkalmazhatjuk:

54,059

59

4533

4533)( −=

−

+⋅

+

−=

X X P Dε

64,059

59

2739

2739)( =

−

+⋅

+

−=

X X PS ε




e) Az értékek alapján megállapíthatjuk, hogy árrugalmatlan termékrőlvan szó, azaz 1 % -os árváltozás esetén a kereslet is és a kínálat iskevesebb mint 1 %-kal módosul, az előbbi ellentétes, az utóbbiazonos irányba.

9) A piac jellemzéséhez szükségünk van a keresleti függvényre, amelynekkét adatát ismerjük: ha P = 10, akkor D = 50 és amennyiben P = 25,akkor D = 20.

A két adatpárt behelyettesítjük a lineáris egyenes képletébe,amelynek általános alakja: y = a + bx.50 = a + 10b20 = a + 25bAz egyenletrendszer megoldása: a = 70 és b = –2. Azaz: y = 70 – 2b.

Vagyis: D = 70 – 2*P.a) Helyettesítsük be a két függvénybe a P = 12 egységárat!

D = 46 < S = 51. Ez egy túlkínálati helyzet.b) A megadott árakat a kínálati görbe egyenletébe helyettesítve kapjuk

meg a hozzájuk tartozó mennyiségi adatokat, így ha P = 10, akkorS = 45, illetve ha P = 8, akkor S = 39. Az ívrugalmasság képletétalkalmazhatjuk:

64,0108

108

4539

4539)( =

−

+⋅

+

−=

X X PS ε

A kapott érték alapján megállapíthatjuk, hogy árrugalmatlantermékről van szó, azaz 1 % -os árváltozás esetén a kínálat kevesebbmint 1 %-kal módosul, a változással azonos irányba.

10) Mind a keresleti-, mind a kínálati függvénynek két-két pontjátismerjük, amelyek segítségével felírhatjuk egyenletüket.

P D S15 95 60

23 71 92

a) A keresletnél:95 = a + 15b71 = a + 23bAz egyenletrendszer megoldása: a = 140 és b = –3.Azaz: y = 140 – 3b.Vagyis: D = 140 – 3*P.A kínálatnál:

60 = a + 15b




92 = a + 23bAz egyenletrendszer megoldása: a = 0 és b = 4. Azaz: y = 4b.Vagyis: S = 4*P.

b) Az egyensúlyhoz a két egyenlet közös megoldását kell

megtalálnunk, amely: PE = 20 és QE = 80.c) Helyettesítsük be a két függvénybe a P = 17 egységárat!

D = 89 > S = 68. Ez egy túlkeresleti helyzet.Egyébként ezt behelyettesítés nélkül is megállapíthattuk volna.Ugyanis az adott ár kisebb, mint az egyensúlyi, és ilyen esetben apiacon a kereslet meghaladja a kínálatot.

d) A megadott árakat a keresleti, illetve a kínálati görbe egyenletébehelyettesítve kapjuk meg a hozzájuk tartozó mennyiségi adatokat,így ha P = 17, akkor D = 89 és S = 68, illetve ha P = 21, akkor

D = 77 és S = 84. Mindkét esetben az ívrugalmasság képletétalkalmazhatjuk:

69,02117

2117

7789

7789)( −=

−

+⋅

+

−=

X X P Dε

12117

2117

8468

8468)( =

−

+⋅

+

−=

X X PS ε

e) Az értékek alapján megállapíthatjuk, hogy a kereslet szempontjábólárrugalmatlan termékről van szó, ahol 1 % -os árváltozás esetén a

kereslet kevesebb mint 1 %-kal módosul, méghozzá ellentétesirányba. A termék kínálatának árrugalmassága egységnyi, és akínálat változásának iránya azonos az árváltozás irányával.

11) A feladat megoldása az előzővel teljes mértékben azonos módontörténik.

P D S8 84 2820 60 88

a) A keresletnél:84 = a + 8b60 = a + 20bAz egyenletrendszer megoldása: a = 100 és b = –2.Azaz: y = 100 – 2b.Vagyis: D = 100 – 2*P.A kínálatnál:28 = a + 8b88 = a + 20bAz egyenletrendszer megoldása: a = –12 és b = 5.




Azaz: y = –12 + 5b.Vagyis: S = 5*P – 12.

b) Az egyensúlyhoz a két egyenlet közös megoldását kellmegtalálnunk, amely: PE = 16 és QE = 68.

c) Helyettesítsük be a két függvénybe a P = 10 egységárat!D = 80 > S = 38. Ez egy túlkeresleti helyzet.Egyébként ezt behelyettesítés nélkül is megállapíthattuk volna.Ugyanis az adott ár kisebb, mint az egyensúlyi, és ilyen esetben apiacon a kereslet meghaladja a kínálatot.

d) Helyettesítsük be a két függvénybe a P = 20 egységárat!D = 60 < S = 88. Ez egy túlkínálati helyzet, mivel a kínálat az adottárnál 28 egységgel meghaladja a keresletet, vagy az utóbbiszempontjából úgy is mondhatjuk: a megadott ár esetén a kereslet 28

egységgel elmarad a kínálattól.

12) A megoldás menete az előző feladathoz hasonló, azzal az ismertténnyel, hogy egyensúlyi ár esetében mind a keresleti, mind a kínálatimennyiség megegyezik.

P D S12 240 7830 150 150

a) A keresletnél:240 = a + 12b150 = a + 30bAz egyenletrendszer megoldása: a = 300 és b = –5.Azaz: y = 300 – 5b.Vagyis: D = 300 – 5*P.A kínálatnál:78 = a + 12b

150 = a + 30bAz egyenletrendszer megoldása: a = 30 és b = 4. Azaz: y = 30 + 4b.Vagyis: S = 30 + 4*P.

b) Helyettesítsük be a keresleti függvénynél a D helyére a 100 darabosértéket!100 = 300 – 5*P megoldásával P = 40 a megoldás.

c) A feladat szerint a kereslet 70 darabbal meghaladja a kínálatot,vagyis ha a keresett ár melletti kínálathoz hozzáadunk 90-et, akkoraz keresleti adattal lesz egyenlő:

D = S + 90azaz 300 – 5*P = (30 + 4*P) + 90




vagyis 300 – 5*P = 120 + 4*PEnnek megoldása: P = 20. Tehát, ha a darabonkénti ár 20 egység,akkor a kereslet 70 darabbal lesz több, mint a kínálat.

d) Számítsuk ki, hogy 250 darabos kereslet milyen ár mellett alakul ki.

Ehhez a mennyiséget helyettesítsük be a keresleti függvénybe:250 = 300 – 5*PEnnek megoldása: P = 10Ilyen ár mellett a kínálatot úgy kapjuk meg, ha a kínálati függvénybehelyettesítjük ezt az árat: S = 120 + 4*10 = 160Azaz: D=250 > S=160. Tehát túlkereslet van a piacon.

e) Nézzük meg, hogy a 250 darabos kínálat milyen ár esetén alakul ki.Ezt a mennyiséget a kínálati függvénybe helyettesítve:250 = 30 + 4*P

Az eredmény: P = 55Ekkor a kereslet: D = 300 – 5*55 = 25Tehát: D=25 < S=250. Vagyis túlkínálati pozícióban van a piac.

13) A „szövegesen” megadott keresleti függvényünk mellett az inverzkínálati függvényünk adott.a) Az információk értelmezése alapján keresleti függvényünk:

D = 200 – 3*P.b) Az inverz kínálati függvény átalakításával: S = 48 + 5*P.

A két egyenlet alapján: PE = 19 és QE = 143.c) Helyettesítsük be a 158-as mennyiséget a kínálati függvénybe:158 = 48 + 5*P Az eredmény: P = 22

d) A fenti árat a keresleti függvénybe helyettesítve:D = 200 – 3*22 = 134Tehát P = 22 esetén a kereslet 134, azaz 24 egységgel kevesebb, minta kínálat, amely 158.

e) A 140-es értéket a keresleti függvénybe helyettesítve megkapjuk azehhez tartozó árat:

140 = 200 – 3*P Ennek megoldása: P = 20f) Ezt az árat a kínálati függvénybe helyettesítve:S = 48 + 5*20 = 148Azaz P = 20 esetén a kínálat 148, ami 8 egységgel több, mint azehhez az árhoz tartozó kereslet (140).

g) A 32 egységnyi túlkereslet azt jelenti, hogy a kereslet 32-vel több,mint a kínálat. A keresleti és a kínálati mennyiség akkor lenneegyenlő, ha vagy a keresleti mennyiséget csökkentjük 32-vel, vagy akínálatit növeljük 32-vel.Válasszuk az előbbit: D = (200 – 3*P) – 32 ≡ S = 48 + 5*PAzaz: 168 – 3*P = 48 + 5*P Ennek megoldása: P = 15




h) A 88 egységnyi túlkínálat azt jelenti, hogy a kereslet 88-nal több,mint a kínálat. A keresleti és a kínálati mennyiség akkor lenneegyenlő, ha vagy a keresleti mennyiséget növeljük 88-nal, vagy akínálatit csökkentjük 88-nal.

Válasszuk az utóbbit: D = 200 – 3*P ≡ S = (48 + 5*P) – 88Azaz: 200 – 3*P = −40 + 5*P Ennek megoldása: P = 30

14) A megadott információk értelmezésével tudjuk a függvényeketmegadni!d) A keresleti függvény esetében:

A görbe kiinduló pontja, vagyis az ár tengelyén a metszéspontja33-nál van. (Azaz ha P = 0, akkor D = 33.) Meredeksége pedig „–5”.Azaz: D = 33 – 5*P.

A kínálati függvénynél:A görbe „közgazdaságilag értelmezett” kiinduló pontja, vagyis az ártengelyén való metszéspontja 3-nál van. (De az előzőtől eltérőenP = 3, ha S = 0.) Meredeksége pedig „+4”. Így a függvény„matematikai értelemben vett” kiindulópontja, vagyis a mennyiségtengelyen a metszéspontja „–12”-nél van. Azaz: S = 4*P – 12.

b) Az egyensúlyhoz a két egyenlet közös megoldását kellmegtalálnunk, amely: PE = 5 és QE = 8.

e) A b) pontban kiszámoltak alapján tudjuk, hogy P = 5 egységárnál a

termék piaca egyensúlyban van.

15) A feladat menete az előző példához hasonló, de a megoldáshoz azalapadatokat itt is értelmezni szükséges!e) A keresleti függvénynél:

A görbe kiinduló pontja, vagyis az ár tengelyén a metszéspontja30-nál van. Meredeksége pedig „–5”. Azaz: D = 30 – 5*P.A kínálati függvénynél:A görbe kiinduló pontja, vagyis a mennyiség tengelyén való

metszéspontja 12-nél van. Meredeksége pedig „+4”. Azaz:S = 4*P + 12.b) Az egyensúlyhoz a két egyenlet közös megoldását kell

megtalálnunk, amely: PE = 2 és QE = 20.e) Behelyettesítve a P = 5 egységárat:

D = 5 < S = 32. Ez egy túlkínálati helyzet.Egyébként ezt behelyettesítés nélkül is megállapíthattuk volna.Ugyanis az adott ár nagyobb, mint az egyensúlyi, és ilyen esetben apiacon a kínálat meghaladja a keresletet.






XII. Függvények 205.

XII. FÜGGVÉNYEK

Feladatok

A következő táblázatokat minden hallgató saját maga töltse ki a tankönyv

és az órai előadások alapján! (Tanulságos összefoglaló és hasznos ismeret

lesz mind a táblázatok teljessé tétele, mind azoknak tanulmányozása! Biz-

tosan megéri a kitöltéssel járó fáradságot!)

1. Amelyeknél:

− „bármelyik” tényez

őlehet független vagy függ

ő, azt beírtuk a táblá-zatba, és

− ahol nem értelmezhető, vagy nem jellemző a lineáris eset, ott „szür-

kével” kihúztuk a táblázat celláját.

Kétdimenziós

mikroökonómiai

függvény/görbe

neve

A két tenge-

lyen szereplő

tényező meg-

nevezése

A két tényező

közül a függet-

lennek tekin-

tett tényező

A függvény/görbe

meredekségének

típusa az alap-,

vagy általános

esetben

Lineáris vagy

annak tekintett

esetben a ten-

gelymetszetek

jelentése

termelési lehető

-ség görbéje bármelyik

teljes haszon

függvény

határhaszon

függvény

közömbösségi

görbebármelyik

költségvetési

egyenesbármelyik

ICC-görbe

Engel-görbe

PCC-görbe

keresleti görbe

inverz keresleti

görbe



206. XII. Függvények

Kétdimenziós

mikroökonómiai

függvény/görbe

neve

A két tenge-

lyen szereplő

tényező meg-

nevezése

A két tényező

közül a függet-

lennek tekin-

tett tényező

A függvény/görbe

meredekségének

típusa az alap-,

vagy általános

esetben

Lineáris vagy

annak tekintett

esetben a ten-

gelymetszetek

jelentése

skálahozadéki

termelési függ-

vény

parciális termelé-

si függvény

átlagtermék

függvény

határtermék

függvény

isoquant görbebármelyik

isocost egyenesbármelyik

költség-

függvények

összbevételi

függvény

teljes profit függ-

vény

határbevételi

függvény

kínálati görbe

inverz kínálati

görbe

életminőség kö-

zömbösségi gör-

be

életminőség költ-

ségvetési egyenes

egyéni munkakí-

nálati görbe

2. Az alábbi táblázatba azt kell beírni, hogy milyen mikroökonómiai függ-

vény(eke)t, és/vagy görbé(ke)t lehet szerepeltetni, ha a két tengelyen a

megadott tényezők találhatók.



XII. Függvények 207.

Két tengelyen szereplő tényező Az adott koordináta rendszerbe rajzolható

mikroökonómiai függvények/görbék

két jószág mennyisége

a jószág ára és mennyisége

a fogyasztó jövedelme és a ter-

mék mennyisége

termelt mennyiség (kibocsátás) és

a rögzített arányú termelési té-

nyező

k (tőke-munka)

Documents

NAGY ADRIENN - DR. SÁRKÁNY PÉTERmikroökonomia