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Capıtulo 27MedidasConte´ udo

27.1 O Problema da Teoria da Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128127.2 Medidas de Conjuntos. Deni¸ c ao, Exemplos e Propriedades B´ asicas . . . . . . . . . . . . 128427.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teorema de Caratheodory . . . . . . . . . 1287

27.3.1 Medidas Exteriores Metricas e Conjuntos Borelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129427.4 Um Esquema de Constru¸ c ao de Medidas Exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129727.5 Medidas sobre Aneis e suas Extens˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299

AP ENDICES

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130427.A Prova das F´ ormulas de Inclus˜ ao-Exclus˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304

presente capıtulo visa apresentar ao estudante a no¸ cao de medida de conjuntos, algumas de suas proprie-dades b asicas e exemplos elementares e, por m, discutir uma constru¸ cao importante de medidas devida aCaratheodory 1. O caso importante da chamada medida de Lebesgue 2 e discutido com essa base no Capıtulo28, pagina 1306. Come caremos com uma discussão parcialmente informal sobre os problemas b´ asicos por tr as

da no cao intuitiva de medida de conjuntos.

27.1 O Problema da Teoria da Medida

Em uma primeira instˆ ancia, o objetivo da área da An alise conhecida como Teoria da Medida e dar fundamento ` as ideiasintuitivas de comprimento, ´ area, volume etc. de subconjuntos de R n . Grandezas como comprimento, ´ area, volume etc.de subconjuntos de R n sao referidas genericamente como medidas de tais conjuntos e a Teoria da Medida cabe n˜ ao soapresentar deni¸ coes precisas de tais conceitos mas tambem cabe determinar que classes de conjuntos s˜ ao mensur´ aveis ,ou seja, a quais conjuntos tais conceitos s˜ ao aplic aveis.

Talvez surpreenda ouvir pela primeira vez que conceitos como comprimento, ´ area e volume n ao possam ser aplicadosa qualquer conjunto e que a manipula¸ cao dos mesmos, se feita sem o devido cuidado, possa levar a situa¸ coes paradoxais.Entretanto, como mostra o exemplo do conjunto de Vitali, tratado na pr´ oxima se cao, existem, j a no simples caso dareta real, conjuntos para os quais o conceito de comprimento n˜ ao pode ser denido. A diculdade que temos de sequerimaginar como devem ser tais conjuntos reside, talvez, no fato que os mesmos serem de constru¸ cao incomum (a constru¸ cao,como veremos, faz uso explıcito do Axioma da Escolha).

A Teoria da Medida n˜ ao se restringe, porem, a tratar de conceitos geometricos como comprimento, ´ area etc., sendoque o conceito formal de medida de um conjunto extrapola em muito esse campo de aplica¸ coes, como veremos. Fora isso,a Teoria da Medida n˜ ao se limita apenas ao estudo do conceito de medida e de conjuntos mensur´ aveis, mas tem como seumais importante objetivo formaliza¸ cao da teoria da integra¸ cao. Que os conceitos de medida e de integral s˜ ao conectadosdiz-nos j a a velha no cao de integral denida como sendo o “area sob o gr aco” de uma fun cao. De fato, a teoria damedida fornece material poderoso para um tratamento mais profundo do conceito de integral e de suas extens˜ oes. Nestasnotas, o tratamento da Teoria da Integra¸ cao sera iniciado no Capıtulo 30, p´ agina 1347.

Todos esses conceitos serão tratados de modo cuidadoso adiante, mas achamos por bem come¸ car mostrando aoestudante a origem de toda a problem´ atica: a existencia de conjuntos n˜ ao mensur aveis.

• O exemplo de Vitali

Considere-se o conjunto R dos numeros reais e seus subconjuntos. Temos uma no¸ cao intuitiva clara do que seja ocomprimento de intervalos da reta real como ( a, b) ou [a, b] ou [a, b) ou (a, b]. Em todos esses casos o comprimento

1 Constantin Caratheodory (1873–1950).2 Henri Leon Lebesgue (1875–1941).

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JCABarata. Curso de Fısica-Matematica Vers˜ ao de 4 de dezembro de 2013. Capıtulo 27 1282/2078

e o n umero positivo (ou nulo) b − a. Para um intervalo I como os de acima, denotemos por m(I ) o seu comprimento.

Assim, por exemplo, m([a, b]) = b − a, para todo a e b com b ≥ a.Se um conjunto A ⊂ R for formado pela união disjunta de dois intervalos I e J como os de acima, e tambem intuitivo

que o comprimento de A seja dado por m(A) = m(I ) + m(J ), ou seja, pela soma dos comprimentos dos intervalosdisjuntos que formam A. Se A for formado por uma união disjunta cont´ avel de intervalos I a , a ∈N , ent ao, igualmente,e natural dizer que o comprimento total de A e dado por

m(A) =∞

a =1m(I a ) .

Note-se que n ao excluımos a possibilidade de A ser um conjunto com comprimento innito, como e o caso da semi-reta[0, ∞ ), que, ali as pode ser escrita como a união cont avel disjunta de intervalos de comprimento 1 do tipo [ n, n +1) comn ∈N 0 . Conjuntos com comprimento zero, como conjuntos com um s´ o elemento {x} tambem existem.

Dessas no coes extraımos o seguinte princıpio: se um conjunto A puder ser escrito como uma uni˜ ao disjunta cont´ avelde outros conjuntos B a , a ∈N , que possuem um comprimento bem denido (nito ou n˜ ao), ent ao o comprimento de Adeve ser dado pela soma dos comprimentos de cada B a , seja essa soma nita ou não:

ma∈N

Ba =a∈N

m(B a ) .

Outra propriedade razo´ avel que devemos supor do conceito de comprimento de um conjunto e que se A e B saoconjuntos e A ⊂ B ent ao m(A) ≤ m(B ). Note que podemos ter a igualdade mesmo que A seja um subconjunto pr´ opriode B. Esse e, por exemplo, o caso dos conjuntos A = (1 , 3) e B = [1, 3] onde tanto A quanto B tem o mesmocomprimento, a saber 2.

Por m, uma ultima condi¸cao razo avel que o a no cao usual de comprimento de subconjuntos da reta deve satisfazere o de invari ancia por transla¸ coes. Seja E ⊂ R . Denotemos por E x , ou por E + x, o conjunto E transladado por umnumero x ∈R , ou seja:

E x = y ∈R , com y = a + x para algum a ∈ E .

Ent ao, e razoável supor que m(E x ) = m(E ) para qualquer x ∈R .O que vamos agora fazer e mostrar que existem subconjuntos da reta real para os quais n˜ ao ha a menor possibilidade

de denir um comprimento m que satisfa ca os requerimentos razoáveis delineados acima.

O exemplo que construiremos e conhecido como exemplo de Vitali 3 . Vamos supor que a todo subconjunto E dareta real possamos associar um comprimento m(E ) com as condi coes mencionadas acima. Seja o intervalo I = [0, 1].Denamos em I uma rela cao de equivalencia da seguinte forma. Dois pontos x e y, ambos elementos de I , sao ditos serequivalentes, x ∼ y, se e somente se x − y for um numero racional.

E. 27.1 Exercıcio. Prove que isso dene de fato uma relacao de equivalencia.

O fato de termos assim criado uma rela¸ cao de equivalencia em I signica que I pode ser escrito como uma uniãodisjunta das classes de equivalencia por essa rela¸ cao. Usando o Axioma da Escolha podemos construir um conjunto, quechamaremos de V , tomando um e somente um elemento arbitr´ ario de cada classe de equivalencia de I . Obviamente,temos V ⊂ I .

Seja agora V r o conjunto obtido transladando-se o conjunto V por um n umero r ∈Q . Vamos mostrar que V r ∩V s = ∅se r = s com r, s ∈ Q , ou seja, que V r e V s sao disjuntos se r e s forem elementos distintos de Q . Para ver issosuponhamos o contr´ ario, ou seja, que exista um elemento u ∈ V r ∩ V s . Como u ∈ V r ent ao u = v + r , para algumelemento v ∈ V . Por outro lado, como u ∈ V s ent ao u = v′ + s, para algum elemento v′

∈ V . Portanto v + r = v′ + s ev − v′ = s − r . Como s − r e um racional ent˜ ao v ∼ v′ . Mas isso so e possıvel se v = v′ pois, ao construirmos V , tomamos

um e somente um elemento de cada classe de equivalencia de I , o que signica dizer que elementos distintos de V naopodem ser equivalentes. Por outro lado, se v = v′ a rela cao v − v′ = s − r diz que s = r , o que contraria as hipóteses.Logo V r ∩ V s = ∅ se r, s ∈Q com r = s.

3 Giuseppe Vitali (1875–1932).

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Vamos denotar por Q1 o conjunto de todos os números racionais contidos no intervalo [ − 1, 1]: Q1 = Q ∩ [− 1, 1].

Armamos que as seguintes rela¸ coes de inclusao sao validas:[0, 1] ⊂

r∈Q 1

V r ⊂ [− 1, 2] . (27.1)

Vamos provar isso. A rela¸caor∈Q 1

V r ⊂ [− 1, 2] e obvia pois V e um subconjunto do intervalo [0 , 1] e, ao

transladarmos V por um n umero r do conjunto Q 1 podemos no m aximo cair dentro de [ − 1, 2].

A rela cao [0, 1] ⊂r∈Q 1

V r pode ser vista da seguinte forma. Se x ∈ [0, 1] entao x pertence a uma classe de

equivalencia V. Seja v o elemento de V que foi escolhido para comparecer em V como o representante de V. Como x e vsao membros da mesma classe de equivalencia, ent˜ ao x − v e um racional s. Como x e v sao elementos de [0 , 1], entaosua diferen ca deve ser um elemento de [ − 1, 1]. Assim, vemos que s ∈ Q1 . Logo, x ∈ V s com s ∈ Q1 . Como isso valepara todo x ∈ [0, 1], segue que [0, 1] ⊂

r∈Q 1

V r como querıamos mostrar.

Que conseq uencias isso tudo tem? Pela hip´ otese que se A ⊂ B ent ao m(A) ≤ m(B ), segue de (27.1) que

m [0, 1] ≤ mr∈Q 1

V r ≤ m [− 1, 2] ,

ou seja,

1 ≤ mr∈Q 1

V r ≤ 3 ,

Pelo que vimos acima a uniãor∈Q 1

V r e uma união disjunta e contável (pois os racionais s ao cont aveis). Logo, pelas

nossas hip oteses sobre m, temos que

mr∈Q 1

V r =r∈Q 1

m(V r ) .

A desigualdade acima ca ent˜ ao1 ≤

r∈Q 1

m(V r ) ≤ 3 .

Por m, pela hipótese que m e invariante por transla¸ coes, segue que m(V r ) = m(V ) e, portanto,

1 ≤r∈Q 1

m(V ) ≤ 3 .

Agora, essa rela¸cao e absurda pois n˜ ao pode ser nunca satisfeita para m(V ) ≥ 0. Se m(V ) = 0 a primeira desigualdadee violada e se m(V ) > 0 (ou innito) a segunda o e pois a soma e innita.

O que est a errado? O erro está em supor que se possa atribuir ao conjunto V um comprimento m(V ). O conjuntoV , que e chamado conjunto de Vitali , e um exemplo de um conjunto n˜ ao-mensur´ avel . A ele nao e possıvel atribuir umcomprimento, nem nulo, nem nito, nem innito.

Para nalizar essa discuss˜ ao fazemos notar que zemos uso de modo crucial do Axioma da Escolha na constru¸ cao doconjunto V acima. Em outros esquemas axiom´ aticos sobre a teoria dos conjuntos subjacente ` a Matem atica o Axiomada Escolha pode ser substituıdo por um outro axioma que impe¸ ca a constru¸cao de conjuntos como V . Tais esquemasconduzem, entretanto, a Matem´ aticas em um certo sentido empobrecidas, nas quais v´ arios resultados de interesse n˜ aopodem mais ser estabelecidos.

* *** *

Para a leitura do que segue neste Capıtulo e conveniente que o estudante esteja familiarizado com a no¸ cao de σ-algebrae suas propriedades básicas. Vide Capıtulo 26, p´ agina 1256.

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27.2 Medidas de Conjuntos. Deni¸ cao, Exemplos e Proprie-dades Basicas

• A deni¸ cao de medida

Uma vez visto que problemas com a mensurabilidade de conjuntos podem existir, vemo-nos for¸ cados a tratar oproblema de conceitualizar a no¸ cao intuitiva de medida reunindo instrumentos mais s´ olidos para sua abordagem.

Seja X um conjunto não-vazio e M uma σ-algebra em X (para a deni¸cao, vide Capıtulo 26, p´ agina 1256). Vamosapresentar o conceito formal de medida. Uma medida em M e uma fun¸cao µ que associa a cada elemento da σ-algebra Mum numero real ≥ 0 ou innito, ou seja, µ : M → R + ∪ {∞} e de tal forma que as seguintes condi¸coes sejam satisfeitas:

1. µ(∅) = 0.

2. Se Ai , i ∈N , e uma cole cao cont avel e disjunta de elementos de M ent ao

µn∈N

An =n∈N

µ(An ) . (27.2)

A propriedade 2 e por vezes denominada aditividade cont´ avel , ou ainda σ-aditividade .

Uma palavra tem de ser dita aqui sobre o signicado dessa deni¸ cao. Conforme vimos, há conjuntos em R aos quaisnao podemos atribuir uma no¸ cao razo avel de comprimento. O problema consiste ent˜ ao em identicar classes de conjuntospara os quais esta deni¸cao pode fazer sentido sem que venhamos a cair em paradoxos como os envolvendo o conjuntode Vitali. A experiencia mostrou que σ-algebras s ao justamente o ambiente ideal para desenvolver a no¸ cao de medidade conjuntos, sem que se recaia em diculdades l´ ogicas serias. Daı restringirmos a deni¸ cao de medida a σ-algebras.A propriedade (27.2) e de importˆ ancia crucial para o desenvolvimento da teoria de medida (e como tal, um achado

hist orico) e e chamada de propriedade de σ-aditividade .• Exemplos

Vamos a alguns exemplos b´ asicos de medidas.

1. A medida de contagem. Seja X um conjunto não-vazio e M = (X ). Para E ∈M denimos

µc (E ) :=o numero de elementos de E , caso E seja um conjunto nito,

∞ , caso E nao seja um conjunto nito.

Ent ao, µc dene uma medida em M (verique!), a qual “conta” o n´ umero de elementos de cada conjunto E , daısua designa cao.

2. A medida de Dirac 4 . em x0 . Seja X um conjunto não-vazio, seja M = (X ) e seja x0 um elemento de X . ParaE ∈M denimos

δ x 0 (E ) :=1, caso x0 ∈ E ,

0, caso x0 ∈ E .(27.3)

Ent ao, δ x 0 e uma medida (verique!) que diz se o ponto x0 xado e um elemento de E ou nao. Observe queδ x 0 (E ) = µc (E ∩ {x0}) para todo E ∈M .

3. A medida de Dirac sobre um conjunto cont´ avel C . Seja X um conjunto não-vazio, seja M = (X ) e seja C umsubconjunto cont´ avel de X . Para E ∈M denimos

δ C (E ) := o numero de elementos de E ∩ C, caso E ∩ C seja um conjunto nito,

∞ , caso E ∩ C nao seja um conjunto nito.

4 Paul Adrien Maurice Dirac (1902–1984).

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Ent ao, δ C e uma medida (verique!) que generaliza a medida δ x 0 acima. Observe que δ C (E ) = µc (E ∩ C ) para

todo E ∈M

.4. Sejam α, β ≥ 0 e seja X um conjunto não-vazio que possua um subconjunto pr´ oprio n ao-vazio A (para isso basta

que X tenha mais de um elemento). Considere a σ-algebra M = {∅, A, Ac , X }. Se denirmos µ(∅) = 0, µ(A) = α,µ(Ac ) = β e µ(X ) = α + β , ent ao µ sera uma medida em M . Mostre isso!

Por estes exemplos vemos que a no¸ cao de medida extrapola a no¸ cao geometrica de comprimento, ´ area, volume etc. deum conjunto, conceitos esses que, ademais, s´ o se aplicam a certos subconjuntos de R n . Outros exemplos mais elaboradosde medidas ser ao vistos adiante, em especial aqueles referentes justamente ` as nocoes geometricas de comprimento, ´ areaetc. de subconjuntos de R n . Tais medidas são conhecidas como medidas de Lebesgue e ser˜ ao discutidas adiante.

E. 27.2 Exercıcio. Sejam α, β e γ tres objetos distintos (por exemplo, tres letras distintas do alfabeto grego). Mostre que

M = ∅, {γ }, {α, β }, {α, β, γ }

e uma σ-algebra em X = {α, β, γ }. Mostre que µ : M → R + , denida por

µ ∅ = 0 , µ {γ } = 1 , µ {α, β } = 0 , µ {α, β, γ } = 1

e uma medida em M .


M = ∅, {γ }, {α, β }, {α, β, γ }

e uma σ-algebra em X = {α, β, γ }. Mostre que µ : M → R + , denida por

µ ∅ = 0 , µ {γ } = 2 , µ {α, β } = 1 , µ {α, β, γ } = 3e uma medida em M .


M = ∅, {α}, {β }, {γ }, {α, β }, {α, γ }, {β, γ }, {α, β, γ }

e uma σ-algebra em X = {α, β, γ }. Mostre que µ : M → R + denida por

µ ∅ = 0 , µ {α} = 0 , µ {β } = 0 , µ {γ } = 1 ,

µ {α, β } = 0 , µ {α, γ } = 1 , µ {β, γ } = 1 , µ {α, β, γ } = 1

e uma medida em M .

• Propriedades basicas de medidas

Vamos agora extrair algumas conseq¨ uencias básicas da deni cao de medida [207]. Abaixo, seja X um conjuntonao-vazio, M uma σ-algebra em X e µ uma medida em M .

1. Se A1 , . . . , A n e uma cole cao nita de elementos disjuntos de M ent ao µ(A1 ∪ · · ·∪An ) = µ(A1) + · · · + µ(An ).

Prova. Dena-se Am = ∅ para m > n . Ent ao, A1 ∪ · · ·∪An =j∈N

Aj e, portanto,

µ(A1 ∪ · · ·∪An ) = µj ∈N

Aj =j∈N

µ(Aj ) = µ(A1 ) + · · · + µ(An ) ,

pois µ(∅) = 0.

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2. Se A e B sao elementos de M e A ⊂ B ent ao µ(A) ≤ µ(B ).

Prova. Como A ⊂ B , segue que B = A ∪ (Ac

∩ B), uma uni ao disjunta de elementos de M (por que?). Logo, peloitem anterior segue que µ(B ) = µ(A) + µ(Ac ∩ B ). Como µ(Ac ∩ B ) ≥ 0, segue que µ(B ) ≥ µ(A).

3. Se Aj , j ∈N , sao elementos de M com A j ⊂ A j +1 para todo j ∈N , ent ao limn →∞

µ(An ) = µ(A), onde A =n∈N

An .

Prova. Dena-se B1 = A1 e B a = Aa \ Aa − 1 para a ≥ 2. Ent ao, pelas hip oteses,

An = B1 ∪ · · ·∪Bn e A =a∈N

Ba ,

onde, em ambos os casos, as uniões sao disjuntas. Assim,

µ(An ) = µ(B1 ) + · · · + µ(Bn ) e µ(A) =a∈N

µ(Ba ) .

Portanto, µ(A) = limn →∞

µ(An ), como querıamos provar.

4. Se A j , j ∈N , sao elementos de M com A j +1 ⊂ A j para todo j ∈N , e se µ(A1) for nito, ent ao limn →∞

µ(An ) = µ(A),

onde A =n∈N

An .

Prova. Seja C a = A1 \ Aa . Ent ao, pelas hip oteses, C j ⊂ C j +1 . Como vimos no item anterior, isso diz que

limn →∞

µ(C n ) = µ(C ) ,

onde C =a∈N

C a = A1 \ A. Temos agora que A1 = An ∪ C n e A1 = A ∪ C , duas uni oes disjuntas. Portanto

µ(An ) + µ(C n ) = µ(A) + µ(C ). Assim, limn →∞ µ(An ) + limn →∞ µ(C n ) = µ(A) + µ(C ) e, ent ao,

limn →∞

µ(An ) + µ(C ) = µ(A) + µ(C ) .

Como µ(A1 ) e nito, ent˜ ao µ(C ) e µ(A) tambem s˜ ao nitos (pois s ao subconjuntos de A1). Logo, podemos cancelarµ(C ) da ultima igualdade e obtemos o desejado.

Os dois primeiros itens acima s˜ ao resultados desejados pela no¸ cao intuitiva de medida. O pen´ ultimo diz que a medidade um conjunto mensur´ avel A pode ser aproximada “por dentro” pelas medidas de conjuntos mensur´ aveis que convergema A e o ultimo item diz que se um conjunto mensur´ avel A tem medida nita e se há conjuntos An tambem com medidanita que contem A e convergem a A ent ao tambem podemos aproximar a medida de A pela dos aproximantes externosAn .

• F ormula de Inclusao-ExclusaoO seguinte exercıcio apresenta mais algumas propriedades gerais elementares de medidas. As express˜ oes (27.4) e

(27.5), denominadas por vezes f´ ormulas de inclus˜ ao-exclus˜ ao, ou princıpio de inclus˜ ao-exclus˜ ao, sao usadas amiúde, porexemplo, na Teoria de Probabilidades e em An´ alise Combinatória.

E. 27.5 Exercıcio. Sejam X um conjunto nao-vazio, M uma σ-algebra em X e µ uma medida em M . Entao, se A e Bsao elementos de M tais que µ(A) < ∞ e µ(B ) < ∞ , mostre que

µ A ∪B = µ(A) + µ(B ) − µ A ∩ B . (27.4)

Mais genericamente, prove que vale para todo n ∈ N vale a seguinte armacao: se A1 , . . . , An sao elementos de M comµ(Ak ) < ∞ para todo k = 1 , . . . , n , entao

µn

j =1Aj =

n

k =1

(− 1)k +1

1≤ i 1 < ··· <i k ≤ n

µ (Ai 1 ∩ · · · ∩Ai k ) . (27.5)

Uma demonstra cao de (27.4) e (27.5) pode ser encontrada no Apendice 27.A, pagina 1304.

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No caso de a medida µ ser a medida de contagem, (27.4) e (27.5) fornecem express˜ oes para o n umero de elementos de

uni oes de conjuntos nitos. Nesse contexto, (27.4) e (27.5) s˜ ao por vezes denominadas f´ ormulas do crivo de de Moivre 5

,ou f´ ormulas do crivo de Poincare 6 -Sylvester 7 .

E. 27.6 Exercıcio. Mostre que (27.5) pode ser escrita como

µn

j =1

Aj =I ⊂{ 1 , ..., n }

I = ∅

I = {i 1 , ..., i | I | }

(− 1) | I | +1 µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai | I | . (27.6)

Usando a Formula de Inversao de Mobius, Proposicao 1.26, pagina 71, mostre, por (27.6), que

µ n

i=1

Ai =J ⊂{ 1 , ..., n }

J = ∅J = {j 1 , ..., j | J | }

(− 1) | J | +1 µ Aj 1 ∪ · · ·∪Aj | J | , (27.7)

e, portanto, que

µ n

i =1

Ai =n

l=1

(− 1)l+1

1≤ j 1 < ··· <j l ≤ n

µ Aj 1 ∪ · · ·∪Aj l . (27.8)

Essa ultima relacao tambem pode ser provada diretamente, de modo analogo a demonstra¸ cao de (27.5) apresentada noApendice 27.A, pagina 1304.

• Quase em toda parte

Se X e um conjunto no qual est´ a denida uma medida µ, uma arma¸cao a respeito dos elementos de X que for falsa

apenas em um conjunto de medida µ nula e dita valer quase em toda a parte em rela cao a µ, ou µ-quase em toda parte .Abreviadamente, escreve-se tambem q.t.p. , ou µ-q.t.p. 8

27.3 Construindo Medidas. A Medida Exterior e o Teoremade Caratheodory

Ha muitos processos que permitem construir medidas com certas propriedades desejadas. Vamos aqui delinear umtal processo, devido a Caratheodory 9, que ser a particularmente importante para a constru¸ cao da chamada medida de Lebesgue da reta real , a qual corresponde à nocao intuitiva de comprimento de conjuntos em R . A constru cao a que nosreferimos exige que introduzamos mais um conceito, o de medida exterior .

• Medidas Exteriores

Uma medida exterior µ em um conjunto não-vazio X e uma fun¸cao que associa a cada subconjunto de X um numeroreal maior ou igual a zero ou innito e de tal forma que:

1. µ(∅) = 0.

2. Se A ⊂ B ent ao µ(A) ≤ µ(B ).

3. Para qualquer cole¸cao cont avel A j , j ∈N , de subconjuntos de X tem-se que

µj ∈N

Aj ≤j∈N

µ(Aj ) .

5 Abraham de Moivre (1667–1754).6 Jules Henri Poincare (1854–1912).7 James Joseph Sylvester (1814–1897).8 Em lıngua inglesa usa-se a abrevia¸ cao a.e. : “almost everywhere”.9 Constantin Caratheodory (1873–1950).

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Antes de prosseguirmos, fa¸camos alguns comentários.

• Um exemplo elementar de medida exterior, e que ilustrar´ a o Teorema de Caratheodory, abaixo, e encontrado noExercıcio E. 27.8 da página 1292.

• Enfatizamos que medidas exteriores s˜ ao denidas sobre a totalidade dos subconjuntos de X ao contr ario de medidas,que sao denidas apenas sobre σ-algebras em X (e que podem ser menores que (X )).

• Uma outra distin¸ cao relevante entre medidas exteriores e medidas e a seguinte. Seja A um conjunto e sejamA1 e A2 dois subconjuntos disjuntos pr´ oprios do conjunto A tais que A = A1 ∪ A2 . Ent ao, h a casos em queµ(A) = µ(A1) + µ(A2 ). Esse fato e contr´ ario a intui cao por tr as da no cao de medida de um conjunto. Para umamedida µ isso nunca pode ocorrer se A, A1 e A2 forem elementos da σ-algebra dos conjuntos mensur´ aveis por µ,pela pr opria deni cao de medida dada acima.

• Se A1 e A2 sao dois subconjuntos de X sempre temos que µ(A1 ∪A2 ) ≤ µ(A1 ) + µ(A2). Isso e f acil de se ver peladenicao de medida exterior pois, tomando-se A j = ∅ para j > 2 temos que A1 ∪A2 =

j ∈N

Aj .

• Para um esquema de constru¸ cao de medidas exteriores, vide Se¸cao 27.4, pagina 1297.

• A nocao de medida exterior foi introduzida por Caratheodory, que desenvolveu boa parte da sua teoria.

A seguinte proposi cao sera relevante quando construirmos a medida de Hausdorff no Capıtulo 28, p´ agina 1306.

Proposi¸ cao 27.1 Se µλ , λ ∈ Λ, for uma famılia de medidas exteriores em X , ent˜ ao µ := supλ∈Λ

µλ e tambem uma medida

exterior em X .

Prova. Como µλ (∅) = 0 para todo λ ∈ Λ, segue que µ(∅) := sup λ∈Λ{µλ (∅)} = 0. Sejam A, B ⊂ X com A ⊂ B . Comoµλ (A) ≤ µλ (B ) para todo λ ∈ Λ, segue que µ(A) := sup λ∈Λ{µλ (A)} ≤ sup λ∈Λ{µλ (B )} = : µ(B ). Por m, sejam An ∈ X para todo n ∈N . Como µλ ( n∈N An ) ≤ n∈N µλ (An ) para todo λ ∈ Λ, segue que

µn∈N

An := supλ∈Λ

µλn∈N

An ≤ supλ∈Λ n∈N

µλ (An ) ≤n∈N

supλ∈Λ

{µλ (An )} =n∈N

µ(An ) .

• O Teorema de Caratheodory

Vamos agora mostrar o seguinte resultado fundamental e que e a verdadeira raz˜ ao de ser do conceito de medidaexterior.

Teorema 27.1 (Teorema de Caratheodory) 10 Seja M µ a colec˜ ao de todos os subconjuntos A de X que tenham a seguinte propriedade: Para todo E ⊂ X vale que

µ E = µ E ∩A + µ E ∩Ac , (27.9)

onde Ac = X \ A. Ent˜ ao, M µ e uma σ-´ algebra. Fora isso, µ e uma medida em M µ .

Antes de provarmos esse teorema, fa¸ camos algumas observa¸coes sobre o mesmo.

No enunciado do Teorema 27.1 a condi¸ cao (27.9) pode ser substituida pela desigualdade

µ(E ) ≥ µ E ∩ A + µ E ∩ Ac , (27.10)10 Em sua forma original esse teorema e devido ao matem´ atico Constantin Caratheodory (1873–1950) e por isso vamos denomin´ a-lo assim,

ainda que tal nomenclatura n˜ ao seja universal.

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pois, como µ e uma medida exterior, vale sempre que µ(E ) ≤ µ E ∩ A + µ E ∩ Ac , pois E = E ∩ A ∪ E ∩ Ac .

Assim, (27.10) implica (27.9).Apesar de o teorema acima n˜ ao ser, admitidamente, muito intuitivo, o mesmo fornece um metodo importante de

constru¸cao de medidas. A razão e que, como veremos no caso da constru¸ cao da medida de Lebesgue, e em muitos casosmais facil (um esquema de constru¸ cao de medidas exteriores e apresentado na Se¸ cao 27.4, p agina 1297) construir-seprimeiro uma medida exterior sobre um conjunto X que uma medida, o que exigiria a identica¸ cao previa de uma σ-algebra conveniente. O teorema acima j´ a permite exibir uma tal σ-algebra, no caso M µ , para a qual µ e uma medida.Historicamente o teorema acima representou tambem uma simplica¸ cao importante, especialmente na constru¸ cao damedida de Lebesgue, dado que a mesma era originalmente alcan¸ cada por vias mais trabalhosas (identicando-se amedida exterior com o que se chama de medida interior, da qual n˜ ao trataremos aqui).

Um exemplo elementar que ilustra o Teorema de Caratheodory e encontrado no Exercıcio E. 27.8 da p´ agina 1292. Oestudante poder´ a estud a-lo antes de mergulhar na demonstra¸ cao do teorema.

A prova do Teorema de Caratheodory e um pouco longa e precisamos de um resultado preparat´ orio.

Lema 27.1 Sejam A e B dois elementos de M µ . Ent˜ ao, A∪B e tambem um elemento de M µ .

Prova. Tudo o que queremos provar e que

µ(E ) = µ E ∩ (A ∪B ) + µ E ∩ (A ∪B )c

para um subconjunto E ⊂ X generico.

Seja E ′ o conjunto E ′ = ( A ∪B ) ∩ E . Ent ao, como A ∈M µ , segue que

µ(E ′ ) = µ E ′ ∩ A + µ E ′ ∩ Ac ,

ou seja,µ (A ∪B ) ∩ E = µ (A ∪B ) ∩ E ∩ A + µ (A ∪B ) ∩ E ∩Ac .

E facil de se ver agora (fa ca!) que(A ∪B ) ∩ E ∩A = A ∩ E

e que(A ∪B ) ∩ E ∩ Ac = Ac ∩ E ∩B .

Assim,µ (A ∪B ) ∩ E = µ A ∩ E + µ Ac ∩ E ∩B .

Vamos fazer uso dessa última igualdade logo abaixo.

Notemos agora que, como A e B sao elementos de M µ , temos que

µ(E ) = µ A ∩ E + µ Ac ∩ E

= µ A ∩ E + µ Ac ∩ E ∩ B + µ Ac ∩ E ∩ B c .

Acabamos de ver que a soma dos dois primeiros termos da ´ ultima igualdade vale µ (A ∪B ) ∩ E e para o ultimotermo vale µ Ac ∩ B c ∩ E = µ (A ∪B )c ∩ E , pois Ac ∩ B c = A ∪B

c. Assim, provamos que

µ(E ) = µ E ∩ (A ∪B ) + µ E ∩ (A ∪B )c ,

que e o que querıamos demonstrar.

Note que o resultado acima tambem diz que se A1 , . . . , An sao elementos de M µ ent ao o conjunto A1 ∪ · · · ∪ An

tambem e elemento de M µ para qualquer n nito.

Passemos agora à prova do Teorema de Caratheodory.

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• Prova do teorema de Caratheodory

Parte I. Vamos nesta parte I provar que o conjunto M µ e, de fato, uma σ-algebra.Em primeiro lugar, note-se que se A ∈M µ ent ao Ac tambem e um elemento de M µ pois (Ac )c = A e portanto, para

todo E ⊂ X ,µ E ∩ (Ac ) + µ E ∩ (Ac )c = µ E ∩ (Ac ) + µ E ∩A = µ(E ) ,

por hip otese. Assim, podemos tambem ver que tanto ∅ quanto X sao elementos de M µ pois, claramente, para qualquerE ⊂ X

µ(E ) = µ E ∩∅+ µ E ∩ (∅)c

dado que ∅c = X , que E ∩X = E , que E ∩∅ = ∅ e que µ(∅) = 0.

Vimos no Lema 27.1 que se A e B sao elementos de M µ ent ao A ∪B tambem o e. Como A ∩ B = Ac∪B c c ent ao

concluımos que A ∩ B tambem e elemento de M µ , o mesmo valendo para A \ B pois A \ B = A ∩ B c .

Resta-nos provar que se {Aj , j ∈N

} e uma cole cao cont avel de elementos de M

µ ent ao A = j ∈N Aj tambem o e.

Seja E um subconjunto generico de X . Claramente temos que E = ( E ∩ A) ∪ (E ∩ Ac ), o que, pelo que observamosacima, signica que µ(E ) ≤ µ E ∩ A + µ E ∩ Ac . Tudo o que precisamos fazer, ent˜ ao, e provar que µ(E ) ≥µ E ∩A + µ E ∩ Ac o que signicaria ent ao que A ∈M µ , como queremos provar.

Para provar esta desigualdade, observemos primeiro que, para qualquer conjunto E ′ e qualquer elemento A de M µ

vale, por deni cao, µ(E ′ ) = µ E ′ ∩ A + µ E ′ ∩ Ac . Daı, tomando-se E ′ da forma E ′ = ( A ∪B ) ∩ E , com E ⊂ X eA, B ∈M µ com A ∩ B = ∅, temos

µ (A ∪B ) ∩ E = µ A ∩ E + µ B ∩ E ,

pois, como A ∩ B = ∅, tem-se que ( A ∪B ) ∩ E ∩A = A ∩ E e (A ∪B ) ∩ E ∩ Ac = B ∩ E .

E. 27.7 Exercıcio. Verique estas ultimas armativas.

Isso signica, em particular, que se B1 , . . . , B n sao elementos disjuntos de M µ , ent ao

µ E ∩ (B1 ∪ · · ·∪Bn ) = µ(E ∩ B1) + · · · + µ(E ∩ Bn ) .

Vamos denir B1 = A1 , Bn = An \ A1 ∪ · · ·∪An − 1 para n ≥ 2. Ent ao, pelo que j a observamos, cada B j e elementode M µ e Bi ∩B j = ∅ se i = j . Fora isso,

i∈N

B i =i∈N

Ai .

Como cada B i e elemento de M µ , ent ao ja vimos que para cada n niton

i =1

B i ∈M µ , ou seja,

µ(E ) = µ E ∩ n

i =1B i + µ E ∩

n

i=1B i

c

para todo E ⊂ X . Agora

µ E ∩ n

i =1

B i =n

i =1

µ(B i ∩ E )

pois os B i ’s sao disjuntos.

Por outro lado

µ E ∩ n

i =1

B i

c

≥ µ E ∩i∈N

B i

c

dado que

i∈N

B i

c

⊂

n

i =1

B i

c

(justique!) .

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Logo, vimos que

µ(E ) ≥n

i =1µ(B i ∩ E ) + µ E ∩

i∈N

B i

c

.

Como essa desigualdade vale para qualquer n , segue que

µ(E ) ≥∞

i =1

µ(B i ∩ E ) + µ E ∩i∈N

B i

c

.

Por m, pela própria deni cao de medida exterior, temos que∞

i =1

µ(B i ∩ E ) ≥ µ E ∩i∈N

B i (justique!)

e, portanto,

µ(E ) ≥ µ E ∩i∈N

B i + µ E ∩i∈N

B i

c

= µ E ∩i∈N

Ai + µ E ∩i∈N

Ai

c

.

Isso e exatamente o que querıamos provar. Assim, mostramos que M µ e de fato uma σ-algebra e a prova da parte I do teorema está completa.

Parte II. Vamos nesta parte II provar que a medida exterior e de fato uma medida quando restrita aos elementos daσ-algebra M µ .

Tudo o que queremos provar e a propriedade seguinte: se B i , i ∈N , sao elementos disjuntos de M µ , ent ao

µi∈N

B i =i∈N

µ(B i ) .

Pelo que j a vimos na parte I , temos que

µ(E ) ≥∞

i=1

µ(B i ∩E ) + µ E ∩i∈N

B i

c

≥ µ E ∩i∈N

B i + µ E ∩i∈N

B i

c

= µ(E ) ,

onde a ultima igualdade e precisamente a armativa que foi provada na parte I . Assim, como µ(E ) aparece no come coe no m da cadeia de desigualdades, todos os sımbolos de “ ≥ ” podem ser substituıdos por sımbolos de igualdade “=”(justique!). Ou seja, temos que

µ(E ) =∞

i =1

µ(B i ∩ E ) + µ E ∩i∈N

B i

c

.

Como isso vale para todo E ⊂ X , tomemos, em particular, E =i∈N

B i . A ultima f ormula ca

µi∈N

B i =∞

i =1

µ(B i ) ,

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que e exatamente o que querıamos provar. Isso completa a prova do Teorema de Caratheodory.

*

No Capıtulo 28 vamos ilustrar o uso do Teorema de Caratheodory, Teorema 27.1, p´ agina 1288, na constru¸cao de umamedida muito importante: a medida de Lebesgue da reta real. O Teorema de Caratheodory pode ser utilizado em v´ ariasoutras constru¸ coes de medidas, as mais notáveis talvez sejam medidas em conjuntos fractais , conjuntos que não possuemdimens ao (de Hausdorff) inteira, tais como o conjunto de Cantor 11 , a Estrela de Koch 12 (Fig. 27.1) e outras. A Estrelade Koch tem dimensão (de Hausdorff, vide Se cao 28.2, pagina 1310) igual a ln(4) / ln(3)

Figura 27.1: A Estrela de Koch.

O Teorema de Caratheodory, Teorema 27.1, p´ agina 1288, permite a constru¸ cao de uma medida em uma determinadaσ-algebra e seria util conhecer criterios que permitam obter mais informa¸ coes sobre os elementos dessa σ-algebra. No casode espa cos metricos uma informa¸ cao importante pode ser obtida para o caso das chamadas medidas exteriores metricas ,a saber, que todos os conjuntos Borelianos s˜ ao mensur aveis no sentido de Caratheodory, ou seja, satisfazem a condi¸ cao(27.9), p agina 1288. Disso trataremos na Se¸ cao 27.3.1, p agina 1294.

• Uma ilustra¸ cao elementar do Teorema de Caratheodory

O seguinte exercıcio-exemplo ilustra o Teorema de Caratheodory.

E. 27.8 Exercıcio-exemplo. Sejam α, β e γ tres objetos distintos (por exemplo, tres letras distintas do alfabeto grego).Seja X = {α, β, γ } e seja

(X ) = ∅, {α}, {β }, {γ }, {α, β }, {α, γ }, {β, γ }, {α, β, γ } .Mostre que µ : (X ) → R + , denida por

µ ∅ = 0 , µ {α} = 1 , µ {β } = 1 , µ {γ } = 2 ,

µ {α, β } = 1 , µ {α, γ } = 3 , µ {β, γ } = 3 , µ {α, β, γ } = 3

e uma medida exterior em (X ). Podemos, entao, nos perguntar: quais conjuntos A ⊂ X tem a propriedade de Caratheodory

µ(E ) = µ(E ∩A) + µ(E ∩ Ac ) (27.11)

para todo E ∈ (X )? Mostre explicitamente (ou seja, analisando caso-a-caso) que os elementos de

M = ∅, {γ }, {α, β }, {α, β, γ }

11 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918).12 Niels Fabian Helge von Koch (1870–1924).

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possuem a propriedade (27.11). Mostre agora que

1. Para A = {α} a propriedade (27.11) falha com E = {α, β, γ } e com E = {α, β }.

2. Para A = {β } a propriedade (27.11) falha com E = {α, β, γ } e com E = {α, β }.

3. Para A = {α, γ } a propriedade (27.11) falha com E = {α, β, γ } e com E = {α, β }.

4. Para A = {β, γ } a propriedade (27.11) falha com E = {α, β, γ } e com E = {α, β }.

Assim, apenas os elementos de M , acima, possuem a propriedade de Caratheodory.Os fatos, garantidos pelo Teorema de Caratheodory, que M e uma σ-algebra e que µ restrita a M , ou seja

µ ∅ = 0 , µ {γ } = 2 , µ {α, β } = 1 , µ {α, β, γ } = 3

e uma medida em M , podem agora ser facilmente vericados diretamente e, de fato, ja o zemos no Exercıcio E. 27.3, pagina1285.

• Medidas completas

Uma medida µ em uma σ-algebra M e dita ser uma medida completa se para todo A ∈ M com a propriedade queµ(A) = 0 valer que todo B ⊂ A e tambem elemento de M . Em palavras mais simples, µ e completa se qualquersubconjunto de um conjunto de medida nula for tambem mensur´ avel.

Um exemplo de uma medida n˜ ao-completa e aquele encontrado no Exercıcio E. 27.2 da p´ agina 1285. Aquela medidanao e completa pois {α, β } e um conjunto de medida nula, mas possui subconjuntos, {α} e {β }, que nao sao elementosde M .

Esse exemplo, ainda que um tanto elementar, ilustra que para uma medida ser completa deve estar denida em umaσ-algebra rica o suciente para poder conter todos os subconjuntos dos conjuntos de medida nula. O Exercıcio seguinteilustra isso.

E. 27.9 Exercıcio. Mostre que a medida denida no Exercıcio E. 27.4, pagina 1285, e completa. Compare com a medidado Exercıcio E. 27.2, pagina 1285, em particular, compare as σ-algebras desses dois exercıcios.

A medida do Exercıcio E. 27.3, p´ agina 1285, e completa pois lá ∅e o unico conjunto de medida nula. A raz˜ ao profundadaquela medida ser completa, porem, est´ a relacionada ao fato, estudado no Exercıcio E. 27.8, p´ agina 1292, que aquelamedida provem de uma medida exterior. Esse e o nosso pr´ oximo assunto.

• Medidas completas e o Teorema de Caratheodory

Mostraremos que qualquer medida construıda pelo procedimento de Caratheodory, ou seja, a partir de uma medidaexterior, e completa. Isso e o conte´ udo do seguinte teorema:

Teorema 27.2 Seja µ uma medida exterior em um conjunto n˜ ao-vazio X e sejam M µ e µ a σ-´ algebra e a medida associadas a µ pela constru c˜ ao de Caratheodory. Ent˜ ao, µ e completa, ou seja, se A e um conjunto µ-mensur´ avel e µ(A) = 0 segue que todo B ⊂ A e tambem µ-mensur´ avel (um fato n˜ ao trivial!) e µ(B ) = 0 .

Prova. Para provar a armativa note que, se E ⊂ X e B ⊂ A com A sendo µ-mensur avel, ent ao

µ(E ∩ B ) ≤ µ(E ∩A) ≤ µ(A) = µ(A) = 0 , (27.12)

µ E ∩ B c ∩ A ≤ µ(A) = µ(A) = 0 , (27.13)

µ(E ∩A) ≤ µ(A) = µ(A) = 0 , (27.14)

pois E ∩B c ∩A e E ∩A sao ambos subconjuntos de A e, para medidas exteriores, vale que se M ⊂ N ent ao µ(M ) ≤ µ(N ).

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Logo,

µ E ∩ B + µ E ∩ B c (27 .12)= µ E ∩ B c

A é µ -mensur´ avel= µ E ∩ B c ∩ Ac + µ E ∩ B c ∩ A

= µ E ∩ (B ∪A)c + µ E ∩ B c ∩ A

B ⊂A= µ E ∩ Ac + µ E ∩ B c ∩ A

(27 .13)= µ E ∩ Ac

(27 .14)= µ E ∩ Ac + µ E ∩ A

A é µ -mensur´ avel= µ(E ) .

Assim, estabeleceu-se que para todo E ⊂ X vale µ(E ) = µ E ∩B + µ E ∩B c e, portanto, B e µ-mensur avel. O fatoque µ(B ) = 0 e agora trivial pois B ⊂ A e, portanto, µ(B ) ≤ µ(A) = 0.

Nota . Nao poderıamos logo de partida ter concluıdo que µ(B ) = 0 do fato que B ⊂ A e, portanto, µ(B ) ≤ µ(A ) = 0, pois n˜ ao estava aindaestabelecido que B era µ-mensurável e que µ(B ) estivesse denido. ♣

A medida de Lebesgue, que construiremos no Capıtulo 28, e completa, pois e tambem construıda por uma medidaexterior, seguindo Caratheodory. J´ a a medida de Borel-Lebesgue, tambem tratada naquele capıtulo, n˜ ao e completa.

27.3.1 Medidas Exteriores Metricas e Conjuntos Borelianos

De grande importância em aplica¸coes sao medidas exteriores denidas em conjuntos dotados de uma metrica e quetenham uma rela¸ cao cordial com a topologia induzida por essa metrica. Nesta se¸ cao discutiremos uma classe de medidasexteriores com essa caracterıstica, as chamadas medidas exteriores metricas . A grande importância de medidas exterioresmetricas reside no fato, demonstrado no Teorema 27.3, p´ agina 1296, que todo conjunto Boreliano (em rela¸ cao a topologiainduzida pela metrica) e mensur´ avel no sentido de Caratheodory, ou seja, satisfaz a condi¸ cao (27.9), p agina 1288. Assim,a σ-algebra dos conjuntos mensur´ aveis por uma medida exterior metrica contem a σ-algebra de Borel.

• Medidas exteriores metricas

Seja M um conjunto não-vazio dotado de uma metrica d e seja τ d a topologia induzida em M pela metrica d. Dadosdois conjuntos A, B ⊂ M denimos a dist ancia de A a B , denotada por d(A, B ), por

d(A, B ) := inf d(a, b), a ∈ A, b ∈ B .

Se A e B forem tais que d(A, B ) > 0, ou seja, se forem tais que inf {d(a, b), a ∈ A, b ∈ B} > 0, ent ao os fechos de A ede B nao tem pontos em comum: A ∩ B = ∅. De fato, se inf {d(a, b), a ∈ A, b ∈ B } > 0 e existir c ∈ A ∩ B , existir aouma seq uencia an ∈ A que converge a c e uma sequencia bn ∈ B que convergem a c. Logo, pela desigualdade triangulard(an , bn ) ≤ d(an , c) + d(c, bn ), e lim

n →∞d(an , bn ) = 0, contrariando inf {d(a, b), a ∈ A, b ∈ B} > 0.

Uma medida exterior µ em M e dita ser uma medida exterior metrica (em rela cao a metrica d) se para todos osconjuntos A, B ⊂ M que satiszerem d(A, B ) > 0 valer

µ(A ∪B ) = µ(A) + µ(B ) . (27.15)

Uma seq uencia de conjuntos An ∈ M e dita ser uma seqüencia crescente se An ⊂ An +1 para todo n. Para umasequencia crescente de conjuntos vale lim

n →∞An =

m ∈N

Am . Vide Proposi¸cao 1.12, pagina 56.

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O lema tecnico a seguir tem conseq¨ uencias importantes a respeito da mensurabilidade de conjuntos Borelianos, das

quais trataremos logo abaixo.Lema 27.2 Sejam M um conjunto n˜ ao-vazio dotado de uma metrica d, τ d a topologia em M induzida por d e µ uma medida exterior metrica em M . Seja {An , n ∈N } uma seq¨ uencia crescente de subconjuntos de M com a propriedade

d(An , A \ An +1 ) > 0 (27.16)

para todo n ∈N , onde A ≡ limn →∞

An =m ∈N

Am . Ent˜ ao,

µ limn →∞

An = limn →∞

µ (An ) . (27.17)

Prova. Dena-se uma nova seqüencia {Bn , n ∈ N } de subconjuntos de M por B1 = A1 , Bk = Ak \ Ak − 1 , k ≥ 2. Peladenicao vale, evidentemente, que

Bk ⊂ Ak (27.18)

para todo k, e que, para l − k ≥ 2B l ⊂ A \ Ak +1 (27.19)

pois B l = A l \ Al− 1 ⊂ A \ Al− 1 ⊂ A \ Ak +1 a ultima rela¸cao sendo devida a Al− 1 ⊃ Ak +1 . Segue disso que

d(Bk , B l ) > 0 para todos k e l com l − k ≥ 2, (27.20)

pois para l − k ≥ 2 vale

d(Bk , B l ) = inf d(x, y), x ∈ Bk , y ∈ B l

(27 .18) − (27 .19)≥ inf d(x, y), x ∈ Ak , y ∈ A \ Ak +1 = : d Ak , A \ Ak +1

(27 .16)> 0 .

Por (27.15), segue de (27.20) que µ(B1 ∪B3) = µ(B1) + µ(B3) e µ(B2 ∪B4) = µ(B2) + µ(B4) e, por indu cao, seguetambem facilmente que

µ m

a =1B2a − 1 =

m

a =1µ(B2a − 1) e µ

m

a =1B2a =

m

a =1µ(B2a ) (27.21)

para todo m ≥ 1.Ha dois casos a considerar: 1. quando pelo menos uma das somas em (27.21) diverge para m → ∞ e 2. quando ambas

as somas em (27.21) convergem para m → ∞ .

No caso 1., observe-se que para todo k,

Ak =k

a =1Ba . (27.22)

Logo, para todo m tem-se A2m − 1 ⊃ ma =1 B2a − 1 e A2m ⊃ m

a =1 B2a . Portanto,

µ(A2m − 1) ≥ µ m

a =1B2a − 1

(27 .21)=

m

a =1µ(B2a − 1 ) e µ(A2m ) ≥ µ

m

a =1B2a

(27 .21)=

m

a =1µ(B2a ) .

Conseq uentemente, se qualquer das somas em (27.21) divergir quando m → ∞ teremos limn →∞

µ(An ) = ∞ , o que implicaµ(A) = ∞ pois, como A ⊃ An para todo n, vale µ(A) ≥ µ(An ), tambem para todo n. Nesse caso terıamos, ent˜ ao,µ(A) = lim

n →∞µ(An ) = ∞ , provando (27.17) para o caso 1.

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No caso 2 procedemos da seguinte forma. Segue de (27.22) que

A =∞

a =1Aa = Aj ∪

∞

a = j +1B a

para qualquer j . Logo,

µ(A) = µ Aj ∪∞

a = j +1

B a ≤ µ(Aj ) + µ∞

a = j +1

B a ≤ µ(Aj ) +∞

a = j +1

µ (Ba ) , (27.23)

sendo a soma ao lado direito convergente, por hip´ otese. Pela mesma razão, vale limj →∞

∞

a = j +1µ (Ba ) = 0 e, portanto,

segue de (27.23) que µ(A) ≤ limj →∞ µ(Aj ). Do fato que A ⊃ An para todo n, segue que µ(A) ≥ µ(An ), implicando queµ(A) ≥ lim

n →∞µ(An ). Essas duas ultimas desigualdades implicam (27.17) para o caso 2 .

• Mensurabilidade de conjuntos Bolerianos para medidas exteriores metricas

Teorema 27.3 Sejam M um conjunto n˜ ao-vazio dotado de uma metrica d, τ d a topologia em M induzida por d e seja µ uma medida exterior metrica em M . Ent˜ ao M [τ d ] ⊂M µ , ou seja, os conjuntos Borelianos de M (segundo a topologia τ d ) s˜ ao mensur´ aveis para a medida exterior metrica µ.

Prova. E suciente demonstrarmos que todo aberto A ∈ τ d satisfaz a condi cao de mensurabilidade de Caratheodory(27.9), p agina 1288, para todo E ⊂ M , pois isso garante que τ d ⊂ M µ , o que implica que M [τ d ] ⊂ M µ . Para tal, esuciente provarmos que µ(E ) ≥ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac ) para todo A ∈ τ d e todo E ⊂ M , pois a desigualdade opostaµ(E ) ≤ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac ) e sempre satisfeita para uma medida exterior µ.

Para cada m ∈N , seja E m ⊂ E ∩ A o conjunto

E m = x ∈ E ∩ A d(x, y) ≥ 1/m para todo y ∈ Ac .

Claramente, para todo x ∈ E m e para todo y ∈ E ∩ Ac⊂ A c vale d(x, y) ≥ 1/m e, portanto, d E m , E ∩ Ac ≥ 1/m .

Logo, por µ ser uma medida exterior metrica, vale

µ E m ∪ (E ∩ Ac ) = µ E m + µ E ∩Ac . (27.24)

Porem, como E m ⊂ E ∩A, segue que E m ∪(E ∩ Ac ) ⊂ (E ∩A) ∪ (E ∩Ac ) = E e, portanto, µ E m ∪(E ∩Ac ) ≤ µ(E ).Assim, estabelecemos por (27.24) que para todo m ∈N ,

µ(E ) ≥ µ E m + µ E ∩ Ac . (27.25)

Como se ve, se provarmos que limm →∞

µ E m = µ E ∩ A , teremos por (27.25) que µ(E ) ≥ µ(E ∩ A) + µ(E ∩ Ac ) e ademonstra¸cao do Teorema 27.3 estar´ a completa. No que segue estabeleceremos isso em tres passos sucessivos.

O primeiro passo e notar que valeE ∩ A =

m ∈N

E m . (27.26)

Para provar isso, lembremos que para todo m tem-se E m ⊂ E ∩ A e, assim, trivialmente, m ∈N E m ⊂ E ∩ A. Poroutro lado, se x ∈ E ∩ A ent ao existe r(x) > 0 tal que todo z ∈ M com d(z, x) < r (x) tambem pertence a A, pois A e

τ d -aberto, por hipótese13

. Logo, para todo y ∈ Ac

forcosamente vale d(y, x) ≥ r (x). Assim, se x ∈ E ∩ A existe algumm grande o suciente tal que d(y, x) ≥ 1/m para todo y ∈ A c . Isso equivale a dizer que se x ∈ E ∩ A, ent ao x ∈ E mpara algum m. Logo, E ∩A ⊂ m ∈N E m , provando (27.26).

13 O estudante deve atentar para o fato que somente nessa passagem e evocado que A e τ d -aberto.

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O segundo passo e observar que,

limm →∞ E m = E ∩ A , (27.27)pois, como a sequencia de conjuntos E m e crescente, ou seja, E m ⊂ E m ′ para todos m ≤ m ′ , segue que

m ∈N

E m =

limm →∞

E m e, de (27.26), segue imediatamente (27.27).

No terceiro passo provamos que para todo m ∈N vale

d E m , (E ∩ A) \ E m +1 > 0 . (27.28)

De fato, notemos que se z ∈ (E ∩ A) \ E m +1 ent ao, pela deni cao de E m +1 , existe pelo menos um ponto y ∈ Ac tal qued(z, y) < 1/ (m + 1). Logo, para qualquer x ∈ E m teremos pela deni¸cao de E m que d(x, y) ≥ 1/m . Da desigualdadetriangular segue que d(x, y) ≤ d(x, z ) + d(z, y) e, portanto, que

d(x, z ) ≥ d(x, y) − d(z, y) > 1m

− 1m + 1

.

Assim,d E m , (E ∩ A) \ E m +1 = inf d(x, z ), x ∈ E m , z ∈ (E ∩A) \ E m +1 >

1m

− 1m + 1

> 0 ,

provando (27.28).

Por (27.27), (27.28) e pelo Lema 27.2, p´ agina 1295, vale

µ E ∩ A = limm →∞

µ E m .

Logo, de (27.25) segue que

µ(E ) ≥ limm →∞ µ E m + µ E ∩ Ac = µ E ∩A + µ E ∩Ac

completando a demonstra¸ cao.

27.4 Um Esquema de Constru¸ cao de Medidas Exteriores

Vamos nesta se¸cao descrever um procedimento de constru¸ cao de medidas exteriores que e aplic´ avel em diversos contextos,em particular, na constru¸ cao das medidas de Lebesgue e de Hausdorff, das quais trataremos no Capıtulo 28, p´ agina 1306.Comecamos com uma proposi¸cao util. Lembramos que a constru¸ cao de medidas exteriores e relevante por permitir aconstru¸cao de medidas, como descrito no Teorema de Caratheodory, Teorema 27.1, p´ agina 1288.

Proposi¸ cao 27.2 Seja X um conjunto n˜ ao-vazio e seja uma cole c˜ ao n˜ ao-vazia R ⊂ (X ) de subconjuntos de X , com ∅ ∈R . Denotemos por S R a colec˜ ao de todos os subconjuntos cont´ aveis de R . Seja uma fun c˜ ao h : R → R + ∪{∞} = [0, ∞ ],com h(∅) = 0 . Dena-se uma fun¸c˜ ao H : S R → R + ∪ {∞} da seguinte forma: para cada R = {Rn ∈R , n ∈N } ∈S R

tem-se H (R ) :=

R n ∈R

h(Rn ) . (27.29)

Ent˜ ao, valem

1. H ({∅}) = 0 .

2. Se R b∈S R para todo b ∈N , ent˜ ao

H b∈N

R b ≤b∈N

H (R b). (27.30)

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Prova. Que H ({∅}) = 0 segue de h(∅) = 0. Se R b∈ S R , ent ao e da forma R b = {R b

n ∈ R , n ∈ N }. Logo,

b∈NR b

= {Rbn ∈

R, n ∈ N , b ∈ N }. Portanto, H b∈N

R b

=′

h(Rbn ), a soma

′

sendo feita entre elementosdistintos de {Rbn ∈R , n ∈N }. Agora, claramente

′ h(Rbn ) ≤ b∈N n∈N h(Rb

n ) = b∈N H (R b), provando (27.30).

Seja X um conjunto não-vazio. Se A ⊂ X , A = ∅, dizemos que uma cole cao cont avel de conjuntos B = {Bn ⊂ X, n ∈N } e um recobrimento cont´ avel de A se sua uni ao contem A: {Bn ⊂ X, n ∈ N} e um recobrimento cont´ avel de A se

n∈N Bn ⊃ A. Por conven cao, diremos que {∅} e um recobrimento (cont´ avel, pois s o possui um elemento) de ∅.O teorema a seguir descreve um esquema para a constru¸ cao de medidas exteriores.

Teorema 27.4 Seja X um conjunto n˜ ao-vazio. Vamos supor que exista uma a cole¸ c˜ ao n˜ ao-vazia R ⊂ (X ) de subconjuntos de X , com as seguintes propriedades:

1. ∅ ∈R .

2. Se S R denota a cole c˜ ao de todos os subconjuntos cont´ aveis de R (ou seja, cada R ∈ S R e uma cole c˜ ao cont´ avel {Bn ∈R , n ∈N } de elementos de R ), ent˜ ao existe uma fun c˜ ao H : S R → R + ∪{∞} com as seguintes propriedades:

(a) H ({∅}) = 0 .(b) Se R b

∈S R para todo b ∈N , ent˜ ao

H b∈N

R b ≤b∈N

H (R b). (27.31)

(Lembrar que se R b∈S R para todo b ∈N ent˜ ao b∈N R b

∈S R , pois uni˜ oes cont´ aveis de conjuntos cont´ aveis s˜ aotambem cont aveis. Assim, H b∈N R b , acima, est´ a bem denida).

3. Todo A ⊂ X possui ao menos um recobrimento cont´ avel por elementos de R . Para cada A ⊂ X denotemos por C R (A) ∈S R a colec˜ ao (n˜ ao-vazia) de todos os recobrimentos cont´ aveis de A por elementos de R .

Com isso, dena-se para cada A ⊂ X ,

µ(A) ≡ µR (A) := inf H (R ), R ∈C R (A) . (27.32)

Ent˜ ao, a aplica c˜ ao µ : (X ) → R + ∪ {∞} , denida em (27.32), e uma medida exterior em X .

Antes de apresentarmos a demonstra¸ cao do Teorema 27.4 fa¸camos alguns comentários.

1. Cada R ∈ CR (A) e uma cole cao cont avel {Bn ∈ R , n ∈ N} de elementos de R tais que R m ∈R Rm ⊃ A. Notetambem que, como CR (A) ∈S R , ent ao CR (A) pertence ao domınio de deni¸ cao de H .

2. Note que se {R b, b ∈N } for uma colecao cont avel de elementos de C R (A), ent ao b∈N R b e tambem elemento deC R (A):

se R b∈ CR (A), ∀ b ∈N , =⇒

b∈N

R b∈ CR (A) . (27.33)

3. No Teorema 27.4, a fun cao H desempenha um papel especial, pois µ e denida como o ınmo entre certos valoresde H . Em algumas situa¸coes concretas, e tal e o caso das medidas de Lebesgue e Hausdorff que discutiremosno Capıtulo 28, p´ agina 1306, a fun cao H e denida a partir de uma fun¸ cao h, dotada de signicado geometrico,denida nos elementos de R , tal como descrito na Proposi¸ cao 27.2, em especial, em (27.29). E importante observarque os fatos provados na Proposi¸ cao 27.2 sobre a fun cao H denida por (27.29) são precisamente aqueles requeridosda fun cao H no Teorema 27.4. Assim, as hipóteses sobre H usadas no Teorema 27.4 podem ser substituıdos pelashipoteses sobre h usadas na Proposi¸ cao 27.2, com H agora sendo denida por (27.29). As constru¸ coes das medidasde Lebesgue e Hausdorff do Capıtulo 28, p´ agina 1306, seguir ao essas ideias.

4. Armamos acima que a fun¸cao h tem, por vezes, um signicado geometrico. Ilustramos isso com o que ocorre nocaso da medida de Lebesgue em R n (vide Capıtulo 28). A cole¸ cao R e uma cole cao de cubos n-dimensionais e,para um tal n-cubo R, a funcao h(R) fornece o volume de R. Assim, H (R ) fornece a soma de uma cole¸cao cont avelR de n-cubos e µ(A) e o menor valor possıvel (o ınmo) de H (R ) dentre todas as cole¸coes cont aveis de n-cubosque recobrem A.

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Prova do Teorema 27.4. Em primeiro lugar, como {∅} e um recobrimento cont´ avel de ∅, vale H ({∅}) = 0. Assim, pela

denicao de µ, segue que µ(∅) = 0.Em segundo lugar, se A ⊂ B , ent ao C R (B ) ⊂ CR (A) pois se uma cole cao R ∈ R recobre B, ent ao tambem recobre

A. Logo,inf

R ∈C R (A ){H (R )} ≤ inf

R ∈C R (B ){H (R )} ,

provando que µ(A) ≤ µ(B ).

Falta-nos apenas provar que µi∈N

Ai ≤i∈N

µ(Ai ) onde A i sao subconjuntos de X . Observemos primeiramente que

se A e um subconjunto qualquer de X , ent ao pela deni cao de ınmo de um conjunto de n´ umeros, podemos encontrarpara qualquer número real positivo r dado pelo menos um R ∈C R (A) tal que H (R ) ≤ µ(A) + r .

Isto posto, xando ǫ > 0 existe para cada b ∈N um R b∈C R (Ab) tal que

H (R b) ≤ µ(Ab) + ǫ2b . (27.34)

Pela hip otese (27.33), a cole cao J =b∈N

R b e tambem uma cole¸ cao cont avel de conjuntos que cobrem o conjuntoi∈N

Ai

e, portanto, pertencem a CR

i∈N

Ai . Fora isso,

H (J )(27 .31)

≤∞

b=1

H (R b)(27 .34)

≤∞

b=1

µ(Ab) + ǫ2b =

b∈N

µ(Ab) + ǫ . (27.35)

Como J ∈C R

i∈N

Ai , segue que

µi∈N

Ai = inf H (R ) , R ∈C R

i∈N

Ai ≤ H (J )(27 .35)

≤b∈N

µ(Ab) + ǫ .

Como isso vale para qualquer ǫ > 0, segue que

µi∈N

Ai ≤b∈N

µ(Ab) .

Isso completa a prova que µ e uma medida exterior.

A Proposi cao 27.2 e o Teorema 27.4 ensinam-nos quais ingredientes devem ser reunidos para a constru¸ cao de umamedida exterior em X : 1. uma colecao R de conjuntos de X ; 2. uma fun cao positiva h denida em R , ingredientes estesque devem satisfazer as condi¸ coes da Proposi¸cao 27.2 e do Teorema 27.4. No Capıtulo 28, p´ agina 1306, esse esquemasera ilustrado em exemplos importantes.

27.5 Medidas sobre Aneis e suas Extens˜ oes

Nesta se cao faremos uso da no cao de anel conjuntos e de outros sistemas de conjuntos introduzidos na Se¸ cao 1.2, pagina57. Apresentaremos aqui mais uma conseq¨ uencia util da constru¸cao de Caratheodory enunciada no Teorema 27.1,

pagina 1288, a saber, apresentaremos um procedimento de constru¸ cao de medidas sobre σ-algebras a partir de medidasconstruidas sobre aneis que a gerem e apresentaremos condi¸ coes sob as quais essa constru¸cao e unica. Esse tipo deconstru¸cao e empregado, por exemplo, na constru¸ cao das chamadas medidas produto.

Nosso resultado principal e o Teorema 27.5, p´ agina 1301. Antes, introduzamos algumas no¸ coes necessarias.

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• Medidas sobre aneis

Seja X um conjunto não-vazio e R um anel sobre X que contenha o conjunto vazio. Uma fun¸ cao µ : R → R + ∪{+ ∞}e dito ser uma medida sobre o anel R se satiszer:

1. µ(∅) = 0,

2. Se An , n ∈N , e uma cole¸cao de elementos de R disjuntos dois-a-dois (i.e., Aa ∩Ab = ∅ se a = b) e se n∈N An ∈R ,ent ao

µn∈N

An =n∈N

µ(An ) .

A segunda propriedade e denominada σ-aditividade.

Como discutiremos, sob hipóteses adequadas medidas sobre aneis podem ser estendidas a σ-algebras.

• Conjuntos monotonamente alcan¸ caveis por um anel.

Seja X nao-vazio e R um anel em X . Disemos que Y ∈ (X ) e monotonamente alcan¸ c´ avel por R se existir umacolecao cont avel An , n ∈ N , de elementos de R que seja crescente (i.e., An ⊂ Am sempre que n ≤ m) e tal queY ⊂ n∈N An . Analogamente, dizemos que o pr´ oprio X e monotonamente alcan¸ c´ avel por R se existir uma cole caocont avel An , n ∈N , de elementos de R que seja crescente (i.e., An ⊂ Am sempre que n ≤ m) e tal que X = n∈N An .Se X e monotonamente alcan¸ cavel por R ent ao, evidentemente, todo Y ⊂ X e monotonamente alcan¸ cavel por R .

Comentamos que se X e monotonamente alcan¸ cavel por um anel R em X , ent ao R nao e necessariamente umaalgebra, pois não e necessariamente v´ alido que X ∈ R . No entanto, se X e monotonamente alcan¸ cavel por R , ent ao oσ-anel R σ [R ] gerado por R coincide com a σ-algebra A σ [R ] gerada por R . De fato, nesse caso e evidente que X ∈R σ [R ]o que faz de R σ [R ] uma σ-algebra que contem R . Logo, R σ [R ] ⊃ A σ [R ]. Como, naturalmente, toda σ-algebra e umσ-anel, A σ [R ] e um σ-anel que contem R e, portanto, temos tambem A σ [R ] ⊃ R σ [R ]. Isso estabelece R σ [R ] = A σ [R ].

• Medidas σ-nitas sobre aneis

Seja X um conjunto não-vazio e seja A uma σ-algebra ou um anel contendo o conjunto vazio e seja µ uma medidasobre A . Um elemento A ∈ A e dito ser µ-σ-nito se existir uma seqüencia de conjuntos {Bn ∈ A , n ∈ N } tal queA ⊂ n∈N Bn e tal que µ(Bn ) < ∞ para todo n ∈N .

Uma medida µ em A e dita ser σ-nita se para cada A ∈A existir uma cole¸cao cont avel de conjuntos {Bn ∈A , n ∈N }tal que A ⊂ n∈N Bn e tal que µ(Bn ) < ∞ para todo n ∈N , ou seja, se todo elemento de A for µ-σ-nito.

Em palavras mais simples, µ e dita ser σ-nita se todo elemento de A puder ser recoberto por uma uni˜ ao cont avel deelementos de A que possuam medida µ nita.

No caso de A ser uma σ-algebra, para que uma medida µ sobre A seja σ-nita e suciente que X seja um conjuntoµ-σ-nito, ou seja, e suciente que exista uma cole¸ cao cont avel de conjuntos {Bn ∈A , n ∈N } tal que X =

n∈N Bn e

tal que µ(Bn ) < ∞ para todo n ∈N .

Como veremos, a medida de Lebesgue em R n e σ-nita. Como exemplo de uma medida que n˜ ao e σ-nita, considere-se X = R e a σ-algebra A = (R ) com a medida de contagem µc . Um elemento A ∈ A e µc -σ-nito se e somente se fornito ou cont avel. Como R (e outros dos seus subconjuntos) n˜ ao e enumerável, a medida de contagem µc em R nao eσ-nita.

A nocao de medida σ-nita captura uma propriedade de medidas que conduz a importantes conseq¨ uencias comuns.Por exemplo, a existencia de medidas produto, o Teorema de Fubini e o Teorema de Radon-Nikodym tem por requesitoque as medidas envolvidas sejam σ-nitas.

O seguinte resultado ser´ a usado logo adiante:

Proposi¸ cao 27.3 Seja X n˜ ao-vazio e R um anel em X de tal sorte que X seja monotonamente alcan c´ avel por R .

Suponhamos tambem que ∅ ∈ R

e que µ seja uma medida σ-nita sobre R

. Ent˜ ao, existe uma cole c˜ ao cont´ avel {C k ∈R , k ∈ N } de elementos de R que e crescente (i.e., C k ⊂ C l se k ≤ l), sendo µ(C k ) < ∞ para todo k ∈ N e tal que X = k∈N C k .

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Prova. Se X e monotonamente alcan¸ cavel por R , ent ao existe uma cole cao cont avel {An ∈R , n ∈N } de elementos deR

que e crescente (i.e., An ⊂ Am se n ≤ m) e tal que X = n∈M An . Se µ e σ-nita, então existe para cada n ∈N umacolecao cont avel {Bn, m ∈R , m ∈N } de elementos de R tal que An ⊂ m ∈N Bn, m e µ(Bn, m ) < ∞ .

Seja N ∋ a → n(a), m(a) ∈N 2 uma bije cao entre N e N 2 . Seja tambem, para cada k ∈N , C k := ka =1 Bn (a ) , m (a ) .

E evidente que para todo k tem-se C k ∈ R e µ(C k ) < ∞ (por C k ser uma uni ao nita de conjuntos de medida nita).Alem disso, e tambem evidente que C k ⊂ C l se k ≤ l. Por m, observe-se que

k∈N

C k =(n, m )∈N 2

Bn, m =n∈N m ∈N

Bn, m ⊃n∈N

An = X ,

provando que k∈N C k = X

• Extens˜ oes de medidas sobre aneisUma vez munidos das no¸coes acima, passemos a parte mais importante da discuss˜ ao corrente.

Teorema 27.5 (Teorema de extensao de medidas sobre aneis) Seja X n˜ ao-vazio e R um anel sobre X que con-tenha o conjunto vazio e tal que X seja monotonamente alcan¸ c´ avel por R . Seja µ uma medida sobre R .

Parte I. Ent˜ ao, existe uma medida µσ sobre A σ [R ] = R σ [R ] (a sigma -´ algebra gerada por R ) que estende µ, ou seja,que e identica a µ sobre os elementos de R ⊂ A σ [R ].

Parte II. Se µ for σ-nita, a extens˜ ao µσ , cuja existencia foi garantida na parte I, e ´ unica e tambem e σ-nita.

A demonstra¸cao que apresentamos segue [101] e [19], com modica¸coes.

Prova da Parte I. Apoiados na constru¸ cao de Caratheodory enunciada no Teorema 27.1, p´ agina 1288, comecemos cons-truindo uma medida exterior em X denindo, para todo Y ⊂ X

µ(Y ) := inf n∈N

µ(An ), Y ⊂n∈N

An , com An ∈R para todo n ∈N .

Em palavras, µ(Y ) e o ınmo das quantidades n∈N µ(An ) tomado sobre todos os possıveis conjuntos cont´ aveis {An , n ∈N } compostos por elementos de R cuja uni ao recobra Y . Ja comentamos que da hip´ otese de X ser monotonamentealcan cavel segue que todo Y ⊂ X pode ser recoberto pela uni˜ ao de uma seq uencia crescente de elementos de R . Nadenicao de µ nao requeremos que as cole¸coes {An , n ∈N } sejam crescentes.

E evidente da deni¸cao que se Y ∈R , ent ao µ(Y ) = µ(Y ) (justique!).

Armamos que µ e uma medida exterior em X . E evidente que µ(∅) = 0 e que µ(Y ) ≤ µ(Y ′ ) se Y ⊂ Y ′ . Resta-nos

provar que se Y n ⊂ X , n ∈N , ent aoµ

n∈N

Y n ≤n∈N

µ(Y n ) . (27.36)

Se existir ao menos um Y n tal que µ(Y n ) = ∞ , ent ao (27.36) vale trivialmente. Suponhamos, portanto, que µ(Y n ) < ∞para todo n ∈N .

Pela deni cao de µ e possıvel encontrar, para cada ǫ > 0 e para cada n, um conjunto contável {Z nm , m ∈ N }tal que cada Z nm e um elemento de R , com Y n ⊂ m ∈N Z nm e com m ∈N µ(Z nm ) < µ (Y n ) + ǫ

2n . E claro disso quen∈N Y n ⊂ n, m ∈N Z nm e, portanto,

µn∈N

Y n ≤n, m ∈N

µ(Z nm ) <n∈N

µ(Y n ) + ǫ2n =

n∈N

µ(Y n ) + ǫ .

Como essa desigualdade e v´ alida para todo ǫ > 0, provamos que µ n∈N Y n ≤ n∈N µ(Y n ), como desejavamos,estabelecendo que µ e uma medida exterior.

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Agora passamos a demonstrar que a σ-algebra M µ dos conjuntos µ-mensur aveis (vide o Teorema de Caratheodory,

Teorema 27.1, página 1288) contemA σ

[R

]. Para tal, desejamos provar que cada A ∈R

satisfazµ E ≥ µ A ∩ E + µ Ac ∩ E (27.37)

para todo E ⊂ X . Segundo o coment ario feito em torno de (27.10), isso implica que todo elemento de R e µ-mensur avel,ou seja, que R ⊂M µ , implicando que A σ [R ] ⊂M µ . Como µ e uma medida quando restrito ` a σ-algebra M µ (novamentepelo Teorema de Caratheodory, Teorema 27.1, p´ agina 1288), concluımos disso que µ e tambem uma medida quandorestrito à σ-algebra A σ [R ]. Essa restri cao e a medida µσ prometida no enunciado do Teorema 27.5.

E suciente tomarmos E ⊂ X tal que µ(E ) < ∞ , pois caso µ(E ) = ∞ , ent ao (27.37) e satisfeita automaticamente.Nesse caso, tomemos um ǫ > 0, arbitrário, e tomemos um conjunto cont´ avel {E n , n ∈N } de elementos de R cuja uni aorecobra E e tal que

n∈N

µ(E n ) ≤ µ(E ) + ǫ .

Para A ∈ R teremos, j a que µ e uma medida em R , µ E n = µ E n ∩ A + µ E n ∩ Ac para todo n, pois E n =E n ∩A ∪(E n ∩Ac , uma uni ao disjunta de elementos de R (para ver que E n ∩Ac e E n ∩A sao elementos de R , notar

que E n ∩Ac = E n \ A e recordar a Proposi¸cao 1.13, pagina 59). Assim,

µ(E ) + ǫ ≥n∈N

µ E n ∩ A + µ E n ∩ Ac .

Observe-se, agora, que {E n ∩ A, n ∈N } e {E n ∩ Ac , n ∈N } sao colecoes cont aveis de elementos de R cujas respectivasuni oes contem E ∩A e E ∩ Ac , respectivamente. Logo, µ E ∩ A ≥ n∈N µ E n ∩A e µ E ∩Ac ≥ n∈N µ E n ∩ Ac .Com isso, estabelecemos que µ(E ) + ǫ ≥ µ E ∩ A + µ E ∩Ac . Como ǫ > 0 e arbitrário, (27.37) está demonstrada.

Como comentamos, isso estabelece a existencia de uma extens˜ ao µσ da medida µ sobre a σ-algebra A σ [R ], completando

a demonstra¸cao da parta I. Vamos agora provar que se µ e σ-nita, então a extens ao µσ

e unica e e tambem σ-nita.

Prova da Parte II. Se µ for σ-nita, então, pela Proposi¸cao 27.3, pagina 1300, existe uma cole¸cao cont avel {C k ∈R , k ∈N }de elementos de R que e crescente (i.e., C k ⊂ C l se k ≤ l), sendo µ(C k ) < ∞ para todo k ∈N e tal que X = k∈N C k .

Para cada k ∈N , dena-seR k := C k ∩A, A ∈R .

E claro que para cada k ∈N vale R k ⊂ R , que ∅ ∈R k (pois ∅ ∈R ) e e facil ver que cada R k e igualmente um anel. Defato, se A, A′

∈ R , ent ao C k ∩ A ∩ C k ∩ A′ = C k ∩ A ∩ A′ ∈ R k e C k ∩ A ∪ C k ∩ A′ = C k ∩ A ∪A′ ∈R k ,pois A ∩ A′ e A ∪A′ sao tambem elementos de R .

Como de costume, denotemos por A σ [R k ] a σ-algebra gerada por R k . Todos os elementos de R k sao subconjuntosde C k e, portanto, o mesmo vale para A σ [R k ]. Em verdade, C k ∈ R k e, portanto, C k ∈ A σ [R k ] e podemos dizer queA σ [R k ] e uma σ-algebra sobre C k .

Denotemos tambem por R σ [R k ] o σ-anel gerado por R k . Analogamente, vale que R k e um σ-anel sobre C k e quecontem o mesmo. Logo, R σ [R k ] e uma σ-algebra e vale A σ [R k ] ⊂ R σ [R k ], pois A σ [R k ] e, por deni cao, a menor σ-algebra a conter R k . Como, por deni cao, A σ [R k ] e tambem um σ-anel, vale R σ [R k ] ⊂ A σ [R k ], ja que, por deni caoR σ [R k ] e o menor σ-anel a conter R k . Estabelecemos, assim, que

A σ [R k ] = R σ [R k ] . (27.38)

Sejam µ1 e µ2 duas extensões sobre A σ [R k ] da medida µ em R (a existencia de ao menos uma e garantida pela parteI). Como µ(C k ) < ∞ , segue que µ1 e µ2 sao nitas, ou seja, µ1(Y ) < ∞ e µ2(Y ) < ∞ valem para todo Y ∈A σ [R k ].

Denamos,G

k :

= B ∈A σ

[R

k ] µ1(B ) = µ2(B ) . (27.39)Note-se que, evidentemente, R k ⊂ G k , pois µ1 e µ2 estendem µ, sendo, portanto, identicas em R k . Armamos queG k e um sistema monótono 14 . Se {Bn ∈ G k , n ∈ N } e uma cole cao cont avel e crescente de elementos de G k (e,

14 Para a deni¸ cao da no¸cao de sistema mon´ otono de conjuntos, vide Se¸ cao 1.2.6, página 63).

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portanto, da σ-algebra A σ [R k ] onde µ1 e µ2 estao denidas), vale pela propriedade descrita no item 3, p´ agina 1286,

limn∈→∞ µi (Bn ) = µi n∈N Bn , para i = 1 e 2. Como µ2 (Bn ) = µ2(Bn ) para cada n e sao nitas e limitadaspor µ(C k ), segue que µ1 n∈N Bn = µ2 n∈N Bn , mostrando que n∈N Bn ∈ G k . Para uma cole¸cao cont avel edecrescente {Bn ∈ G k , n ∈ N } elementos de G k argumenta-se da de forma an´ aloga, usando-se, porem, a propriedadedescrita no item 4, página 1286.

Como G k e um sistema monótono e que contem R k , concluımos que

A σ [R k ] (27 .38)

= R σ [R k ] (1 .30)

= M[R k ] ⊂ G k ,

a ultima inclusão decorrendo do fato que, por deni¸ cao, M[R k ] e o menor sistema monótono que contem R k (para adenicao de sistema monótono gerado por uma cole¸cao de conjuntos, vide Se¸cao 1.2.6, p agina 63).

E de se observar, porem, que pela pr´ opria deni cao (27.39), G k e composta por elementos de A σ [R k ], isto e, G k ⊂A σ [R k ]. Logo, provamos que

Aσ

[R k ] = Rσ

[R k ] = M[R k ] = G k .

Pela deni cao de G k , isso estabeleceu que µ1 e µ2 coincidem em toda a σ-algebra A σ [R k ]. No entanto, como essaigualdade e verdadeira para todo k ∈N , e tambem verdadeira em todo A σ [R ]. De fato, vamos supor que µ1 e µ2 tambemestendam µ sobre todo A σ [R ]. Se A ∈A σ [R ] vale A = lim k →∞ A∩C k , pois X = k∈N C k . Logo, Como A ∩C k ∈A σ [R k ],teremos

µ1(A) = µ1 limk →∞

A ∩ C k = limk →∞

µ1 A ∩ C k = limk →∞

µ2 A ∩ C k = µ2 limk →∞

A ∩ C k = µ2(A) ,

A segunda e a quarta igualdades acima decorrem da propriedade descrita no item 3, p´ agina 1286, e do fato de {A∩C k , k ∈N } ser uma sequencia crescente de conjuntos, j´ a que {C k , k ∈N } o e. Assim, provamos que µ1 = µ2 em toda A σ [R ] e,portanto, a medida µ tem uma extensão unica de R em A σ [R ] caso seja σ-nita em R .

Resta-nos ainda provar que essa extens˜ ao, µσ , e tambem σ-nita, mas isso e evidente: se µ e σ-nita em R existeuma cole cao {An ∈R , n ∈N } que recobre X sendo que cada An tem medida nita. Ora, cada An e tambem elementode A σ [R ] e µσ (An ) = µ(An ) < ∞ . Isso mostra que µσ tem tambem a propriedade de ser σ-nita.

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Apendices27.A Prova das F´ ormulas de Inclusao-Exclusao

Para provar (27.4), observe-se que A ∪ B pode ser escrito como a união disjunta A ∪ B = A ∪ (B ∩ Ac ), sendo queB ∩ Ac

∈ M . Logo, µ(A ∪ B ) = µ(A) + µ(B ∩ Ac ). Ao mesmo tempo, B tambem pode ser escrito como a uni˜ aodisjunta B = ( B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac ), sendo que, novamente, tanto B ∩ A quanto B ∩ Ac sao elementos de M . Logo,µ(B ) = µ(B ∩ A) + µ(B ∩Ac ). Eliminando µ(B ∩Ac ) de ambas as rela¸coes obtemos (27.4).

A prova de (27.5) pode ser feita por indu¸ cao. O caso n = 1 e trivial, o caso n = 2 corresponde a (27.4). Suporemosa igualdade v alida para n − 1 e provaremo-la para n . Tomando A = n − 1

j =1 Aj e B = An , tem-se nj =1 Aj = A ∪B e por

(27.4) obtem-se

µn

j =1Aj = µ

n − 1

j =1Aj + µ(An ) − µ

n − 1

j =1(Aj ∩ An ) .

Agora, assumindo (27.5) verdadeira para n − 1, segue que

µn − 1

j =1

Aj =n − 1

k =1

(− 1)k +1

1≤ i 1 < ··· <i k ≤ n − 1

µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai k

e

µn − 1

j =1(Aj ∩ An ) =

n − 1

l=1

(− 1) l+1

1≤ i 1 < ··· <i l ≤ n − 1

µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai l ∩ An , (27.A.1)

pois Ai 1 ∩ An ∩ · · · ∩ Ai l ∩ An = A i 1 ∩ · · · ∩Ai l ∩ An . Note que o lado direito de (27.A.1) pode ser escrito como

n − 1

l=1

(− 1) l+1

1 ≤ i 1 < ··· <i l +1 ≤ ni l +1 = n

µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai l ∩ Ai l +1

Logo,

µn

j =1Aj =

n − 1

k =1

(− 1)k +1

1≤ i 1 < ··· <i k ≤ n − 1

µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai k

+ µ(An ) −n − 1

l=1

(− 1)l+1

1 ≤ i 1 < ··· <i l +1 ≤ ni l +1 = n

µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai l ∩ Ai l +1

Fazendo-se a mudan¸ ca de vari aveis l → k − 1 na segunda somatória, obtemos

µn

j =1

Ajl→ k − 1=

n − 1

k =1

(− 1)k +1

1≤ i 1 < ··· <i k ≤ n − 1

µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai k

+ µ(An ) +n

k =2

(− 1)k +1

1 ≤ i 1 < ··· <i k ≤ ni k = n

µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai k

7/24/2019 nc-cap27



O termo µ(An ) pode ser absorvido na última somatória se a iniciarmos por k = 1 em lugar de k = 2. Portanto,

µn

j =1

Aj =n − 1

k =1

(− 1)k +1

1≤ i 1 < ··· <i k ≤ n − 1

µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai k +n

k =1

(− 1)k +1

1 ≤ i 1 < ··· <i k ≤ ni k = n

µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai k

=n

k =1

(− 1)k +1

1≤ i 1 < ··· <i k ≤ n

µ Ai 1 ∩ · · · ∩Ai k ,

que e o que se desejava provar.

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