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Índice general
4. Campos electrostáticos en medios materiales 1 , 2 24.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2. Conductores en equilibrio electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3. Conductores con cavidades: apantallamiento electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.4. Capacidad y condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4.1. Capacidad de un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4.2. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4.3. Asociación de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.5. Energía de un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.6. Energía en función del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.7. Medios dieléctricos. Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.8. Experimento de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.9. Interpretación del experimento de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.9.1. Densidad de carga de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.9.2. Vectores polarización y desplazamiento. Susceptibilidad y permitividad dieléctricas 22
4.10. Diseño de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.11. Ley de Gauss en medios dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.12. Energía eléctrica en problemas con dieléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1Versión 20102Formato electrónico: http://personales.unican.es/peredaj/pdf_Apuntes_EyM/Apuntes-ConductoresDielectricos.pdf
1
Tema 4
Campos electrostáticos en mediosmateriales 1, 2
4.1. Introducción
Hasta ahora hemos estudiado el campo eléctricoy el potencial suponiendo que las cargas estabanen el vacío. En este tema estudiaremos que ocurrecuando tenemos medios materiales.
Históricamente, Gilbert no pudo electrizar porfrotamiento algunos materiales. Posteriormente,Gray encontró que estos materiales conducían lascargas eléctricas y clasificó todos los materiales endos grupos: conductores y aislantes (también lla-mados dieléctricos)
Un material conductor es aquel cuerpo que tieneen su interior gran cantidad de carga libre (elec-trones) que puede moverse libremente por su inte-rior. Los metales son un ejemplo de buen conduc-tor. En un metal los electrones de las capas externasde los átomos están pocos atraídos por los núcleos,ya que están apantallados por los electrones de lascapas internas, en consecuencia los electrones ex-ternos son compartidos por todos los átomos y semueven por todo el conductor.
Los dieléctricos tienen los electrones fuertementeligados a los núcleos, de manera que sólo puedenhacer pequeños desplazamientos en torno a susposiciones de equilibrio. A la carga eléctrica quetiene estas condiciones se la llama carga ligada ode polarización.
0=x
sfρ+
0E 0EiE
sfρ−
++++++++++++++++++
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
dx =
sfρ+sfρ−
0=x
++++++++++++++++++
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
dx =
0E 0E
⇒
Figura 4.1: Equilibrio electrostático.
4.2. Conductores en equilibrioelectrostático
Concepto de equilibrio electrostático:
Consideremos una lámina conductora eléctrica-mente neutra. Al colocarla en una región del es-pacio en la que exista un campo eléctrico aplicadoE0, tal como se muestra en la figura 4.1, los elec-trones se verán sometidos a una fuerza eléctrica quetiende a acumularlos en la pared x = 0. A su vez,en la pared x = d, aparecerá un exceso de cargapositiva debida al movimiento de electrones haciala izquierda. Por tanto, el campo E0 produce unaseparación de cargas o polarización del conductor.Como consecuencia, dentro del conductor apareceun campo eléctrico Ei que se opone a E0. El proce-
2
4.2 Conductores en equilibrio electrostático 3
so de separación de cargas termina cuando amboscampos se equilibran, es decir, cuando E0+Ei = 0.A partir de este momento el campo eléctrico totaldentro del conductor es nulo, cesa el movimiento decargas y se dice que el conductor está en equilibrioelectrostático.
El tiempo necesario para alcanzar el equilibrioelectrostático depende del tipo de conductor. Paralos buenos conductores, como es el caso de los meta-les, este tiempo es del orden de 10−16 [s].
Propiedades de un conductor en equilibrioelectrostático:
Un conductor en equilibrio electrostático tienelas siguientes propiedades:
1. “El campo eléctrico en el interior de unconductor en equilibrio electrostático esnulo”
Esta propiedad se deriva directamente del con-cepto de equilibrio electrostático introduci-do anteriormente. No obstante, podemos lle-gar a ella mediante el siguiente razonamiento.Supongamos un conductor en equilibrio elec-trostático. Si el campo eléctrico no fuera nu-lo en su interior, las cargas libres se acelera-rían por la acción de dicho campo. En con-secuencia, las cargas se moverían y por tantono estaríamos en equilibrio electrostático, locual entra en contradicción con la suposiciónde partida. Esto nos permite concluir que elcampo eléctrico debe ser nulo.
2. “Si un conductor tiene exceso de carga,ésta se encuentra distribuida en su su-perficie en forma de una densidad super-ficial de carga ρs”
Aplicaremos la ley de Gauss tomando comogaussiana una superficie S situada en el interi-or del conductor y muy próxima a la superficiede éste, como se ilustra en la figura 4.2.
S0=E
Figura 4.2: Superficie gaussiana interior a un con-ductor en equilibrio.
Al ser el campo eléctrico nulo, resultaIS
E · dS =IS
0 · dS = Qenc
0=⇒ Qenc = 0,
por tanto, no habrá carga neta en el interiordel conductor. Toda la carga en exceso estaráen la superficie.
3. “El campo eléctrico en el exterior, justoen la superficie, de un conductor en equi-librio electrostático es perpendicular a lasuperficie y tiene un valor ρs/ 0”
Esta propiedad tiene dos partes, veamosprimero que el campo eléctrico debe ser per-pendicular a la superficie. Para ello, supon-dremos inicialmente que el campo eléctrico enun punto de la superficie del conductor tienedirección arbitraria, tal como se muestra en lafigura 4.3
E
tEnE
sρ
0=E
Figura 4.3: Campo eléctrico en la superficie de unconductor en equilibrio.
Podemos entonces expresarlo como E = En +Et, donde En es la componente normal a lasuperficie y Et la componente tangencial. Éstaúltima debe ser nula, ya que de lo contrariolas cargas se moverían por la superficie delconductor y no estaríamos en equilibrio elec-trostático, por tanto E = En.
4.2 Conductores en equilibrio electrostático 4
El valor del campo eléctrico en la superficie delconductor puede obtenerse aplicando la ley deGauss en un cilindro de base muy pequeña ∆Sy altura, como se muestra en la figura 4.4.
nESΔ
Sρ h
Figura 4.4: Cilindro gaussiano con su mitad inferiorinmersa en un conductor en equilibrio.
No habrá flujo por la base inferior, ya que estáen el interior del conductor. Además, haciendoque h tienda a cero tampoco tendremos flujopor la superficie lateral, ya que el campo esnormal a la superficie del conductor. Entonces
IS
E · dS = En∆S =Qenc
0=
ρs∆S
0,
de donde
En =ρs
0.
Este resultado indica que el valor del campoeléctrico en un punto de la superficie de un con-ductor es proporcional a la densidad de cargasuperficial que exista en dicho punto.
4. “Todos los puntos de un conductor enequilibrio electrostático están al mismopotencial”
Tomemos dos puntos, A y B, en el conductor,tal como se ilustra en la figura 4.5.
0=EA
Bd
Figura 4.5: Camino arbitrario entre los puntos A yB situados en el interior de un conductor en equi-librio.
La diferencia de potencial entre estos dos pun-tos será
VB − VA = −Z B
A
E · d .
Dentro del conductor el campo es nulo, luego
VB − VA = −Z B
A
0 · d = 0 =⇒ VA = VB.
Por tanto, los puntos A y B están al mis-mo potencial. Al ser estos puntos arbitrarios,podemos decir que todo el conductor es unvolumen equipotencial y, en particular, su su-perficie es equipotencial.
5. “En un conductor de forma irregular,cargado y en equilibrio electrostático, lacarga tiende a acumularse en las zonasde menor radio de curvatura”
En consecuencia, el campo eléctrico en la su-perficie de un conductor cargado es tambiénmás intenso en las puntas, haciendo que, enocasiones, la carga abandone el conductor dan-do lugar a la formación de descargas de arco.Esta propiedad se ilustra en la figura 4.6.
0=E
E
++ + + + + + + + ++++
+++++++++++
Figura 4.6: Acumulación de la carga en las puntasde un conductor en equilibrio.
4.2 Conductores en equilibrio electrostático 5
A continuación veremos dos ejemplos que ilus-tran las propiedades anteriores. En concreto, el se-gundo de ellos se hace referencia a la distribución decarga y el campo en conductores de forma irregular.
Ejemplo 1 Una esfera conductora en equilibrioelectrostático, aislada y de radio a tiene carga netaQ. Calcular el potencial y el campo dentro y fuerade la esfera.
Solución:
Por tratarse de un conductor en equilibrio elec-trostático, el campo eléctrico en el interior de laesfera es nulo y toda la carga Q está distribuida enla superficie. Además, por ser la esfera una figurageométrica con radio de curvatura constante y es-tar aislada, la carga está uniformemente distribui-da. En efecto, la densidad de carga vale
ρs =Q
S=
Q
4πa2= cte.
Al existir simetría esférica, podemos calcular elcampo E, en el exterior de la esfera, aplicando laley de Gauss, Φe = Qenc/ 0.Según se discutió en temas anteriores, en es-
tos casos, el campo eléctrico es sólo función de ladistancia radial y tiene dirección también radial,luego E = E(r)r. Además, tomando como superfi-cie gaussiana una esfera de radio r (arbitrario, peroconstante), el elemento de superficie tiene tambiéndirección radial, dS = dSr.Teniendo todo esto en cuenta, el flujo eléctrico,
a través de la superficie gaussiana, resulta
Φe =
IS
E · dS = ES = E4πr2.
La carga encerrada por la gaussiana es toda la cargade la esfera, esto es, Qenc = Q. Sustituyendo losdos últimos resultados en la expresión de la ley deGauss, despejando el campo eléctrico y añadiendola dirección, se obtiene
E(r) =Q
4π 0r2r para r ≥ a.
Calcularemos ahora el potencial a partir del cam-po eléctrico. Para ello, tomaremos el origen de po-tenciales en el infinito, luego
V (r)− V (∞) = −Z r
∞E · d .
Tomado d = drr. Para calcular el potencial debe-mos considerar por separado los casos r ≥ a yr < a :
Caso r ≥ a:
V (r) = −Z r
∞Edr = −
Z r
∞
Q
4π 0r2dr =
Q
4π 0r
El potencial en la superficie de la esfera es
V (a) =Q
4π 0a.
Caso r < a:
V (r) = −Z r
∞Edr
= −Z a
∞E(r≥a)dr −
Z r
a
E(r<a)dr
La primera integral es idéntica a la calculadaen el caso anterior con r = a. La segunda in-tegral es nula, ya que E(r<a) = 0. Por tanto,como es de esperar el potencial de la esferaconductora es constante y de valor igual al po-tencial en la superficie
V (r) =Q
4π 0a, r ≤ a.
En la figura 4.7 se muestran las líneas de campoeléctrico debidas a una esfera con carga positiva.
E
0>sρa
Figura 4.7: Líneas de campo eléctrico debidas a unaesfera conductora cargada positivamente.
4.2 Conductores en equilibrio electrostático 6
Ejemplo 2 Dos esferas conductoras de radios a yb (a > b) están separadas una distancia entre suscentros dÀ a+ b. Se deposita una carga sobre unade las esferas y luego se conectan entre sí medianteun hilo conductor.a) ¿Cuál es el cociente de las cargas sobre cada
esfera, Q1 y Q2, después de la conexión?.b) Idem sobre las densidades de carga y el campo
eléctrico en la superficie.
ab
d
Figura 4.8: Esferas conductoras conectadas medi-ante un hilo también conductor.
Solución:
Una vez realizada la conexión y alcanzado elequilibrio electrostático, las dos esferas estarán almismo potencial. Además, al ser la distancia entreambas esferas mucho mayor que su radio, supon-dremos que una no influye sobre la otra, y por tan-to, la distribución de carga sobre cada una de ellasserá uniforme. La condición de igualdad de poten-cial se expresa como
Q14π 0a
=Q24π 0b
,
de dondeQ1Q2
=a
b> 1
Expresando la carga en función de la densidad decarga, se obtiene
ρs14πa2
ρs24πb2=
a
b,
con lo cualρs2ρs1
=a
b> 1.
Este resultado indica que la esfera más pequeñaalmacena mayor densidad de carga.
Teniendo en cuenta que el campo eléctrico en lasuperficie de una esfera cargada vale
E =ρs
0,
podemos expresar el cociente entre los campos enla superficie de cada esfera como
E2E1
=ρs2ρs1
=a
b> 1.
lo cual indica que el campo eléctrico es más intensoen las vecindades de la esfera más pequeña.
Cálculo del campo eléctrico debido a conduc-tores en equilibrio electrostático:
Como ya sabemos, en un conductor en equili-brio, el campo eléctrico en el interior es nulo y lacarga en exceso se distribuye en su superficie. Deestas propiedades se deriva que el cálculo del cam-po eléctrico debido a conductores cargados se re-duce al cálculo, en el exterior del conductor, delcampo debido a las correspondientes distribucionessuperficiales de carga. En consecuencia, como yahemos adelantado en el ejemplo 1, podemos aplicar,a este problema, las mismas técnicas para el cálcu-lo de campos y potenciales, vistas en temas ante-riores. A continuación mostraremos ejemplos consimetría plana, cilíndrica y esférica. Los resultadosobtenidos se emplearán posteriormente en el cálcu-lo de capacidades.
Ejemplo 3 Calcular el campo eléctrico debido ados planos conductores paralelos, infinitos, separa-dos una distancia d, con la misma densidad super-ficial de carga ρs C/m
2, pero de signo opuesto.
Solución:
Una forma conveniente de resolver este problemaes calcular el campo eléctrico que produce cada unode los planos conductores y aplicar el principio desuperposición.
4.2 Conductores en equilibrio electrostático 7
sfρ+
0=E
sfρ−
0=x
1E
dx =
2E
1E
2E
1E
2E
0=E 0≠E
sfρ+
0=x dx =
sfρ−
)1( )2(
21 EEE +=
⇒
Figura 4.9: Determinación, mediante el principiode superposición, del campo eléctrico debido a dosplanos cargados.
Según vimos en el tema 2, el campo eléctrico pro-ducido por un plano infinito con densidad de cargauniforme ρs > 0, situado en x = 0 es
E1 =
⎧⎨⎩ +ρs2 0
x para x > 0
− ρs2 0
x para x < 0
Para un plano con densidad de carga uniforme −ρssituado en x = d, el correspondiente resultado es
E2 =
⎧⎨⎩ −ρs2 0
x para x > d
+ρs2 0
x para x < d
En virtud del principio de superposición, el campototal es la suma de los campos producidos por cadauno de los planos conductores, luego
E = E1 + E2 =
⎧⎪⎨⎪⎩0 para x < 0ρs
0x para 0 < x < d
0 para d < x
Ejemplo 4 Dos superficies cilíndricas conductorascoaxiales, infinitamente largas, de radios a y b (cona < b) tienen cargas iguales y opuestas. El cilin-dro interior tiene una carga positiva Q C/m porunidad de longitud. Calcular el campo eléctrico.
Solución:
En primer lugar debe entenderse que una car-ga Q por unidad de longitud, significa que en untramo de cilindro de longitud hay una carga totalQ = Q , es decir, el dato Q representa una den-sidad lineal de carga. Por tanto, para que los doscilindros, de igual longitud, tengan la misma carga,deben tener la misma densidad lineal de carga. Porotra parte, los cilindros son superficies, por tantopodemos calcular también su densidad superficialde carga. Así, para el cilindro interior tenemos
ρs(a) =Q
S=
Q
2πa=
Q
2πa[C/m2],
mientras que para el cilindro exterior resulta
ρs(b) =−Q2πb
[C/m2],
Se observa que las densidades superficiales de cadacilindro son distintas, lo cual era esperado ya queambos tienen igual carga (salvo el signo) y distintasuperficie.Una vez discutido el significado de Q , abordare-
mos el cálculo del campo eléctrico. Por tratarse deun problema con simetría cilíndrica, aplicaremos laley de Gauss de forma análoga a cómo lo hicimosen el tema 2.El campo que buscamos tiene la forma E =
E(ρ)ρ. Además, los conductores dividen el espacioen tres regiones: 1) el interior del coaxial interno(ρ < a), 2) el espacio intermedio (a < ρ < b) y 3) elespacio exterior (ρ > b). Las superficies gaussianasson cilindros de radio ρ arbitrario (pero constante).Por tanto, el flujo eléctrico tiene la misma expresióngeneral el todas ellasI
S
E · dS
=
ZZSin f .
E · dS +ZZSsu p .
E · dS +ZZSla t .
E · dS
En ambas bases, E y dS son perpendiculares, enconsecuencia, no hay flujo a través de las bases, esdecir, las dos primeras integrales son nulas. En lasuperficie lateral E y dS son paralelos, además, Ees constante en toda la superficie lateral (ya que ρtambién lo es), por tanto
Φe =
ZZsup. lat.
E · dS = E
ZZsup. lat.
dS = E2πρ
4.2 Conductores en equilibrio electrostático 8
Para calcular la carga encerrada, consideraremoscada región por separado:
Caso ρ < a:
Toda la carga está en la superficie ρ = a, portanto Qenc = 0, en consecuencia
E = 0 para ρ < a
Caso a < ρ < b:
Ahora, la carga encerrada es la carga corres-pondiente a un tramo de cilindro interno delongitud , es decir, Qenc = Q . Relacionandoeste resultado con el flujo, a través, de la leyde Gauss, se obtiene
E =Q
2π 0ρρ para a < ρ < b
donde se ha añadido el vector unitario ρ queindica la dirección.
Caso ρ > b:
Al tener ambos cilindros la misma carga, perode sentido contrario, resulta Qenc = 0. Por tan-to
E = 0 para ρ > b
Las líneas de campo eléctrico resultantes se mues-tran en la figura 4.10.
EQ−
0>+QE
ab
z
Figura 4.10: Líneas de campo eléctrico debidas ados superficies cilíndricas, coaxiales, con carga porunidad de longitud de igual valor y signo opuesto.
Ejemplo 5 Una esfera conductora de radio a tienecarga neta positiva Q. Concéntrica con ella hay unasuperficie esférica conductora de radio b > a y carganeta −Q. Calcular el campo eléctrico.
Solución:
r
SdE
bra <<
r
SdErb <
ar <
Q−
r
SdE
Qab
Figura 4.11: Esfera gaussiana (con trazo disconti-nuo) para cada una de las regiones del espacio r <a, a < r < b y b < r.
El problema tiene simetría esférica. En conse-cuencia, el campo buscado es de la forma E =E(r) r. Para determinar E(r) aplicaremos la ley deGauss: I
S
E · dS = Qenc
0.
Las superficies gaussianas serán esferas de radio rcon centro en el origen de coordenadas.Las dos esferas concéntricas dividen el espacio
en tres regiones: r < a, a < r < b y b < r. Encualquiera de ellas, el elemento de superficie es dela forma dS = dS r, y por tanto, el flujo valeI
S
E · dS = E
IS
dS = E4πr2.
Para calcular la carga encerrada hay que conside-rar por separado las tres regiones mostradas en lafigura 4.11.Para r < a la carga encerrada es nula ya que
toda la carga está en la superficie del conductor.Por tanto, en esta región el campo es nulo.
4.3 Conductores con cavidades: apantallamiento electrostático 9
Para b < r la carga encerrada es la suma alge-braica (con su signo) de la carga de ambos con-ductores, por tanto Qenc = 0. En consecuencia, elcampo eléctrico fuera del conductor externo tam-bién es nulo.Por último, la carga encerrada para a < r < b es
la carga del conductor interno, es decir,Qenc = +Q.Relacionando este resultado con el flujo, a través dela ley de Gauss, se obtiene
E4πr2 =Q
0
Despejando E y añadiendo el vector unitario queindica la dirección, resulta
E =Q
4π 0r2r.
Por tanto
E =
⎧⎪⎨⎪⎩0 para r < aQ
4π 0r2r para a ≤ r ≤ b
0 para b < r
La figura 4.12 ilustra las líneas de campo eléctricodebidas a las dos esferas.
E Q−
Q
Figura 4.12: Líneas de campo eléctrico debidas ados esferas concentricas con carga de igual valor ysigno opuesto.
4.3. Conductores con cavida-des: apantallamiento elec-trostático
Los conductores con cavidades interiores presen-tan propiedades de interés. Veamos algunas de el-las:
extS
intS
S
intQ
extQ
Figura 4.13: Conductor con una cavidad en su in-terior
1. “En un conductor con una cavidad en suinterior, cargado y en equilibrio, toda lacarga se sitúa únicamente en la superfi-cie exterior”.
En efecto, considerando una superficie S en-teramente situada dentro del cuerpo conduc-tor, como se muestra en la figura 4.13, y apli-cando la ley de Gauss, llegamos a
Φe =
IS
E · dS =IS
0 · dS = Qenc
0= 0
es decir, la carga neta encerrada dentro deS debe ser nula. Como el único lugar dondepuede haber carga es la superficie de la cavi-dad, concluimos que la carga neta en dicha su-perficie debe ser nula, es decir Qint = 0.
Como consecuencia, el campo dentro de lacavidad es nulo y el volumen completo, con-ductor y cavidad, forman un volumen equipo-tencial.
extS
intSS
intQ
extQ
cavQ
Figura 4.14: Conductor con una cavidad que con-tiene una carga Qcav .
2. “Si en el interior de la cavidad de unconductor neutro y en equilibrio se in-troduce una carga de determinado va-
4.3 Conductores con cavidades: apantallamiento electrostático 10
lor, en la superficie externa del conduc-tor aparece una carga de igual valor”.
Para demostrar esta propiedad basta conaplicar la ley de Gauss en una superficie gaus-siana situada en el conductor como la mostra-da en la figura 4.14 con trazo discontinuo. Den-tro de un conductor en equilibrio el campo esnulo, por tanto, el flujo también lo es, resul-tando
Φe =
IS
E · dS =IS
0 · dS = Qenc
0= 0
La carga encerrada será la suma de Qcav másla carga neta inducida en la superficie interiorSint , por tanto
Qenc = Qcav +Qint = 0 ⇒ Qint = −Qcav .
El conductor es neutro, luego
Qint +Qext = 0 ⇒ Qext = −Qint = Qcav ,
es decir, en la superficie Sext aparece una cargaigual a la de la cavidad.
Si el conductor no fuera neutro y tuviera, porejemplo, una carga neta Qc, tendríamos
Qint +Qext = Qc
y la carga resultante en Sext sería
Qext = Qc −Qint = Qc +Qcav .
Ejemplo 6 Un cascarón conductor, esférico, hue-co, de radio interno a y radio externo b está descar-gado. En el centro de la cavidad hay una carga pun-tual positiva q.a) Calcular la densidad de carga en cada super-
ficie del conductor.b) Determinar el campo eléctrico y el potencial
en todas las regiones del espacio.
a
b
0>q
Figura 4.15: Cascarón conductor, esférico y huecocon una carga en el centro de la cavidad.
Solución:
a) Denotaremos por Qa y Qb a la carga en la su-perficie interna y externa del cascarón, respectiva-mente. Para determinar estas cargas, aplicaremosla ley de Gauss.Tomando como gaussiana una circunferencia de
radio b > r > a y teniendo en cuenta que el campoeléctrico dentro del conductor es nulo, resultaI
S
E · dS = Qenc
0=
q +Qa
0= 0,
de donde Qa = −q. Como el cascarón es neutro,Qa +Qb = 0, luego Qb = q.Las densidades de cargas buscadas son:
ρs(a) =Qa
Sa=−q4πa2
,
ρs(b) =Qb
Sb=
q
4πb2.
b) Para calcular el campo eléctrico, aplicaremos laley de Gauss I
S
E · dS = Qenc
0.
Teniendo en cuenta la simetría esférica del proble-ma, el campo eléctrico será de la forma E = E(r)r.Como es usual en estos casos, tomando superficiesgaussianas en forma de circunferencia centrada enla posición de la carga puntual q, el flujo resultaI
S
E · dS = E4πr2
Para calcular Qenc consideraremos 3 regiones: r <a, b > r > a y r > b.
4.3 Conductores con cavidades: apantallamiento electrostático 11
r < a :
En este caso Qenc = q. Sustituyendo este re-sultado en la ley de Gauss se obtiene
E =q
4π 0r2
b > r > a :
En esta región Qenc = q + Qa = 0. En conse-cuencia y como era de esperar, el campo eléc-trico dentro del conductor es nulo.
r > b :
Ahora Qenc = q + Qa + Qb = q. El camporesultante es
E =q
4π 0r2
Para determinar el potencial, consideraremos lasmismas regiones que en el cálculo del campo. Sinembargo, en este caso conviene empezar a hacer loscálculos en la región más externa. Así
r ≥ b :
V (r)− V (∞) = −Z r
∞E · d
=−q4π 0
Z r
∞
dr
r2=
q
4π 0r
b ≥ r ≥ a :
V (r)− V (∞) = −Z r
∞E · d
= −Z b
∞E · d −
Z r
b
E · d
=q
4π 0b
r ≤ a :
V (r)− V (∞)
= −Z r
∞E · d
= −Z b
∞E · d −
Z a
b
E · d −Z r
a
E · d
=q
4π 0b+ 0− q
4π 0
Z r
a
dr
r2
=q
4π 0b+
q
4π 0r− q
4π 0a
=q
4π 0
µ1
r+1
b− 1
a
¶
Apantallamiento electrostático:
Consideremos un conductor en equilibrio, neutroy con una cavidad interior. Supongamos que en lacavidad hay una carga Qcav > 0. Según hemos vistoanteriormente, en la superficie interior del conduc-tor se induce una carga −Qcav y en la superficieexterior una carga Qcav que produce un campo enel exterior del conductor. Si ahora conectamos elconductor a tierra, las cargas de la superficie exte-rior abandonarán el conductor. En consecuencia, nohabrá campo en el exterior del conductor, es decir,la carga de la cavidad no producirá ningún efecto enel exterior del conductor. Decimos entonces que lacarga de la cavidad está apantallada electrostática-mente. Un conductor con una cavidad que produceeste apantallamiento se denomina jaula de Fara-day.
extS
intSS
intQ
extQ
cavQ
cavint QQ −=
Figura 4.16: Jaula de Faraday
Ejemplo 7 Un cascarón conductor, esférico, hue-co, de radio interno a y radio externo b está conec-tado a tierra. En el centro de la cavidad hay unacarga puntual positiva q. Determinar el campo eléc-trico y el potencial en todas las regiones del espacio.
a
b
0>q
Figura 4.17: Cascarón conductor, esférico y conec-tado a tierra con una carga en el centro.
4.4 Capacidad y condensadores 12
Solución:
Este problema es igual al anterior con la diferen-cia de que en aquel la carga neta en el conductorera un dato y el potencial era desconocido, mientrasque en éste la carga es desconocida y el potenciales dato (V = 0, por estar unido a tierra).Para resolver este problema, supondremos cargas
Qa y Qb en las superficies r = a y r = b, respec-tivamente. Como ya sabemos Qa debe ser igual ala carga de la cavidad cambiada de signo, luegoQa = −q. El valor de Qb es desconocido. Deter-minaremos primeramente el campo y luego el po-tencial.Por ser un conductor en equilibrio, el campo den-
tro de la corona es nulo. Para calcular el campodentro de la cavidad (r ≤ a) y en el exterior delconductor (r ≥ b) emplearemos la ley de Gauss,Φe = Qenc/ 0. En ambas regiones el flujo vale
Φe =
IS
E · dS = ES = E4πr2.
La carga encerrada para r ≤ a es Qenc = q. Susti-tuyendo en la ley de Gauss, resulta
E(r) =q
4π 0r2.
Para r ≥ b la carga encerrada es Qenc = q +Qa +Qb = Qb. El campo resulta
E(r) =Qb
4π 0r2
donde Qb es aún desconocida.El potencial en la cavidad se puede obtener a
partir del campo mediante la expresión
V (r)− V (a) = −Z r
a
E(r≤a) · d
= −Z r
a
q
4π 0r2dr
=q
4π 0
µ1
r− 1
a
¶El conductor está unido a tierra, por tanto su
potencial es nulo, es decir
V = 0 para a ≤ r ≤ b.
Utilizaremos este dato para calcular Qb. La dife-rencia de potencial entre r = b y r =∞ es
V (b)− V (∞) = −Z b
∞E(r≥b) · d
= −Z b
∞
Qb
4π 0r2dr
=Qb
4π 0b= 0,
de donde Qb = 0. Por tanto en el exterior no haycampo y el potencial es nulo. En consecuencia, lacarga situada en el interior de la cavidad no produceningún efecto en el espacio exterior al conductor.
4.4. Capacidad y condensado-res
4.4.1. Capacidad de un conductor
Los conductores pueden almacenar carga eléctri-ca y por tanto pueden almacenar energía. En lapráctica, la forma más sencilla de cargar un con-ductor es conectarlo a una batería, como se ilustraen la figura 4.18
V
Q
Figura 4.18: Conductor cargado.
Resulta interesante conocer la cantidad de car-ga que puede almacenar el conductor en relacióna su potencial, lo cual se conoce como capacidado capacitancia del conductor. Matemáticamente, lacapacidad de un conductor se define como
C ≡ Q
V,
4.4 Capacidad y condensadores 13
donde V representa el potencial del conductor res-pecto al origen de potenciales (la tierra).La capacidad de un conductor no depende de su
carga ni de su potencial, solamente depende de sugeometría (forma y dimensiones físicas) y del dieléc-trico que haya en el espacio circundante.La unidad de la capacidad en el SI es el faradio
[F], que, a partir de la expresión anterior, puededefinirse como la capacidad de un conductor quecargado con un culombio adquiere un potencial deun voltio, luego
1 Faradio =1 Culombio1 Voltio
.
El faradio es una unidad muy grande, de poco in-terés práctico; por ello se usan submúltiplos. Losmás utilizados son:
1 [μF] = 10−6 [F],
1 [nF] = 10−9 [F],
1 [pF] = 10−12 [F].
Veamos un ejemplo.
Ejemplo 8 Calcular la capacidad de una esferaconductora de radio a. ¿Cuál debe ser su radio paraque la capacidad resultante sea 1 faradio?
Solución:
Según vimos en un ejemplo anterior, el potencialde una esfera conductora de radio a y con carga Qvale
V =Q
4π 0a,
por tanto
C =Q
V= 4π 0a [F].
Para que la capacidad sea de un faradio, el radiodebe valer
a =C
4π 0= 9× 109 [m],
es decir, se necesita una esfera de ¡9 millones dekilómetros!.
La expresión de la capacidad de una esfera,obtenida en el ejemplo anterior, nos permite intro-ducir una unidad nueva para la permitividad, yaque
0 =C
4πa,
luego, en el SI podemos expresar 0 en unidades de[F/m], que es una unidad muy utilizada.
4.4.2. Condensadores
Concepto de condensador:
Los condensadores son dispositivos que se usanpara almacenar carga y por tanto energía eléctrica.Tal como se muestra en la figura 4.19, un conden-sador esta formado por dos conductores con cargasiguales y opuestas,+Q y −Q, que presentan influ-encia total, es decir, todas las líneas de campo quesalen del conductor con carga +Q mueren en elconductor con carga −Q.
21 VVV −=Δ
Q+ Q−
+++
+
++++
+++ + + −− −
−−− − −
−−−
−−
1V 2V
Figura 4.19: Condensador cargado.
Los conductores que forman un condensador,también llamados armaduras, no tienen porqué serde la misma forma y tamaño. Por tanto, la igual-dad de carga en ambos conductores, no implica quelas correspondientes densidades de carga deban sertambién iguales.
Capacidad de un condensador:
Consideramos un condensador que cargamos me-diante un batería con una diferencia de potencial∆V = V1−V2. La capacidad de dicho condensador
4.4 Capacidad y condensadores 14
se define como
C ≡ Q
∆V
donde Q es la carga adquirida por el conductor pos-itivo (el otro conductor tendrá una carga −Q).
Cálculo de capacidades:
Podemos determinar la capacidad de un conden-sador empleando el siguiente procedimiento:
1. Elegir un sistema de coordenadas adecuado ala geometría del problema
2. Suponer un conductor cargado con carga +Qy el otro con carga −Q
3. Calcular el campo eléctrico E a partir de lacarga
4. Utilizar el campo eléctrico para determinar ladiferencia de potencial entre los conductoresmediante la expresión
∆V = V1 − V2 = −Z 1
2
E · d
5. Finalmente, la capacidad se obtiene evaluandoel cociente Q/∆V.
Tanto para un único conductor como para uncondensador, la capacidad es una propiedad físi-ca que depende sólo de la geometría y del tipo dedieléctrico que rellene el espacio circundante. Portanto el cociente Q/∆V no debe depender de lacarga ni de la densidad de carga en los conductores.A continuación veremos 3 ejemplos de cálcu-
lo de capacidades mediante el procedimiento queacabamos de describir. Cada uno se correspondecon un tipo de simetría: plana, cilíndrica y esférica.
Ejemplo 9 Calcular la capacidad de un conden-sador formado por dos placas conductoras, parale-las, circulares de radio a y separadas una distanciad¿ a.
O
d
x
a
Figura 4.20: Condensador de placas planoparalelascirculares.
Solución:
Siguiendo el procedimiento anteriormente de-scrito, comenzaremos asignado una carga neta +Qal conductor situado en x = 0 y una carga neta −Qal otro.Seguidamente, calcularemos el campo eléctrico
debido a los dos conductores cargados. Teniendoen cuenta que d ¿ a, los efectos de borde son pe-queños y podemos aproximar el campo eléctrico enel condensador por el campo eléctrico debido a dosplanos conductores infinitos. Según se obtuvo en elejemplo 3, este campo vale
E =ρs
0x =
Q
0Sx
El siguiente paso consiste el calcular la diferenciade potencial entre los conductores. Para ello em-pleamos la expresión
∆V = V (0)− V (d) = −Z 0
d
E · d
El camino de integración debe llevarnos del conduc-tor negativo (x = d) al conductor positivo (x = 0).El resultado final es independiente de la trayecto-ria particular de integración, por lo que tomaremosuna recta a lo largo del eje x, que es la más sencilla.En consecuencia d = dxx y
∆V = −Z 0
d
Q
0Sx · dxx = − Q
0S
Z 0
d
dx =Qd
0S
Por último, sustituyendo este resultado en la defini-ción de capacidad C = Q/∆V , se obtiene
C =0S
d=
0πa2
d[F]
4.4 Capacidad y condensadores 15
Ejemplo 10 Un condensador cilíndrico está com-puesto por dos cilindros conductores coaxiales deradios a y b (con a < b) y longitud À a, b. Calcu-lar su capacidad.
z
ab
Figura 4.21: Condensador cilíndrico.
Solución:
Comenzamos cargando los conductores con igualcarga de distinto signo: Q > 0 el cilindro interno y−Q el cilindro externo.A continuación determinamos el campo produci-
do por los conductores cargados. Teniendo en cuen-ta la condición À a, b, supondremos que el con-densador es lo suficientemente largo como para de-spreciar los efectos de borde. En esta situación elcampo puede aproximarse por el debido a los co-axiales de longitud infinita con una carga Q porcada tramo de longitud . Según se obtuvo en unproblema anterior el campo buscado vale
E =Q
2π 0 ρρ a ≤ ρ ≤ b.
El siguiente paso consiste en calcular la diferenciade potencial entre los conductores que forman elcondensador:
∆V = V (a)− V (b) = −Z a
b
E · d
La trayectoria de integración será una línea radial,por tanto d = dρρ. Entonces
∆V = −Z a
b
Q
2π 0 ρρ · dρρ
= − Q
2π 0
Z a
b
1
ρdρ =
Q
2π 0ln(b/a)
Finalmente, sustituyendo este resultado en ladefinición de capacidad C = Q/∆V , resulta
C =2π 0
ln(b/a)[F]
Ejemplo 11 Un condensador esférico está forma-do por dos esferas conductoras concéntricas de ra-dios a y b (con a < b). Calcular su capacidad.
b
a
Figura 4.22: Condensador esférico.
Solución:
Comenzaremos cargando el condensador, es decirasignando una carga+Q a la esfera interna y unacarga −Q a la esfera externa.El siguiente paso consiste en calcular el campo
eléctrico. En realidad este cálculo se hizo en unproblema anterior, obteniéndose
E =Q
4π 0r2r a ≤ r ≤ b.
A continuación determinaremos la diferencia de po-tencial entre los dos conductores:
∆V = V (a)− V (b) = −Z a
b
E · d
En este caso, tomamos como trayectoria de inte-gración una línea radial, por tanto d = drr. En-tonces
∆V = −Z a
b
Q
4π 0r2r · drr
= − Q
4π 0
Z a
b
1
r2dr =
Q
4π 0
µ1
a− 1
b
¶Finalmente, sustituyendo este resultado en ladefinición de capacidad C = Q/∆V , resulta
4.5 Energía de un condensador 16
C =4π 0ab
b− a[F]
4.4.3. Asociación de condensadores
Los condensadores se pueden asociar en seriey en paralelo
Asociación en paralelo:
Ceq =NXn=1
Cn
Asociación en serie:
1
Ceq=
NXn=1
1
Cn
(Para más detalles ver asignatura Análisis deCircuitos)
4.5. Energía de un condensa-dor
Energía almacenada en un conductor:
Según vimos en temas anteriores, la energía elec-trostática almacenada en una distribución superfi-cial de carga es
Ue =1
2
ZZS
ρsV dS
donde la integral se extiende a toda la distribuciónde carga.Supongamos un conductor cargado con carga ne-
ta Q y potencial V . La carga estará distribuida so-bre su superficie con una densidad ρs. En principio,para calcular la energía electrostática almacenadaen el conductor tendríamos que evaluar la integralanterior. Sin embargo, teniendo en cuenta que la su-perficie de un conductor en equilibrio electrostáticoes equipotencial (V = cte), resulta
Ue =1
2V
ZZS
ρs dS,
además, reconociendo la integral que nos queda co-mo la carga neta del conductor, resulta
Ue =1
2QV.
Ejemplo 12 Determinar la energía electrostáticaalmacenada por una esfera conductora de radio acon carga neta Q.
Solución:
Al tratarse de un conductor en equilibrio elec-trostático, la energía almacenada se calcula medi-ante la expresión
Ue =1
2QV,
donde Q es la carga del conductor y V su potencial.Según obtuvimos en problemas anteriores, el poten-cial de una esfera conductora de radio a y carga Qvale
V =Q
4π 0a,
Por tanto la energía resulta
Ue =1
2QV =
Q2
8π 0a[J]
Se observa que Ue es siempre positiva con indepen-dencia del signo de Q.
Si tuviésemos varios conductores, la energía totalsería simplemente la suma de la energía de cada unode los conductores individuales.
Energía almacenada en un condensador:
La energía almacenada en un condensador es lasuma de las energías almacenadas en cada uno delos dos conductores que los forman, luego
Ue =1
2Q1V1 +
1
2Q2V2,
donde Q1,2 y V1,2 son la carga y el potencial decada conductor. Por tratarse de un condensador, ysuponiendo que el conductor 1 está cargado posi-tivamente, podemos hacer Q1 = +Q y Q2 = −Q,luego
Ue =1
2Q (V1 − V2) ,
4.6 Energía en función del campo eléctrico 17
donde identificamos el término V1 − V2 como ladiferencia de potencial entre ambos conductores.Escribiendo ∆V = V1 − V2 se obtiene
Ue =1
2Q∆V.
Expresión que nos da la energía de un condensadoren función de su carga y de la diferencia de poten-cial entre sus armaduras. Recordando la definiciónde capacidad, C = Q/∆V , podemos expresar la en-ergía almacenada en un condensador de las siguien-tes formas alternativas
Ue =1
2Q∆V =
1
2C∆V 2 =
1
2
Q2
C,
pudiendo elegir aquella que más nos convenga encada caso.
Ejemplo 13 Calcular la energía electrostática al-macenada en un condensador esférico de radios ay b, cargado con una carga Q.
Solución:
En problemas anteriores se obtuvo la capacidadde un condensador esférico:
C =4π 0ab
b− a
Teniendo en cuenta además que el enunciado nos dala carga del condensador, la energía almacenada sepuede calcular simplemente mediante la expresión
Ue =1
2
Q2
C=
Q2
8π 0
b− a
ab[J]
4.6. Energía en función delcampo eléctrico
Cuando se aborda el estudio de fenómenos elec-tromagnéticos variables con el tiempo, resulta másconveniente calcular la energía eléctrica en funcióndel campo eléctrico que en función de la carga. Elobjetivo de este apartado es obtener una expresióngeneral para la energía en función del campo, lo
cual se puede hacer, mediante deducción matemáti-ca rigurosa, a partir de la expresión de la energíaen función de la carga. Sin embargo, debido la com-plejidad de tal deducción, emplearemos un caminoalternativo, no riguroso.Consideremos un condensador de placas plano-
paralelas de anchura S y separadas una distanciad. Si la diferencia de potencial entre las placas es∆V , la energía almacenada se puede expresar como
Ue =1
2C∆V 2 =
1
20S
d∆V 2.
Relacionando la diferencia de potencial con el cam-po eléctrico existente en el condensador ∆V = Edy agrupando términos, resulta
Ue =1
20E
2 (Sd) =1
20E
2τ
donde τ = Sd es el volumen del condensador. Estaexpresión se pueden interpretar diciendo que la en-ergía electrostática de un condensador se encuentraen el espacio donde hay campo eléctrico.Podemos definir la energía por unidad de volu-
men como
ue =Ueτ=1
20E
2
La magnitud ue se denomina densidad de en-ergía eléctrica y tiene unidades de [J/m3]. Seobserva que para el condensador de placas plan-paralelas la densidad de energía es una constante,por serlo el campo eléctrico. Sin embargo, en uncaso general, E será función de la posición, por loque tendremos que definir ue como
ue =dUedτ
=1
20E
2,
donde, en general, ue será función de las coorde-nadas espaciales. Según la expresión anterior, laenergía eléctrica almacenada en un volumen ele-mental dτ es
dUe = uedτ =1
20E
2dτ .
La energía almacenada en un volumen finito se ob-tendrá sumando las energías de todos los volúmeneselementales que lo conforman, luego
Ue =
ZZZτ
1
20E
2dτ ,
que es la expresión general buscada.
4.7 Medios dieléctricos. Consideraciones generales 18
Ejemplo 14 Calcular la energía electrostática al-macenada por una esfera conductora de radio a concarga neta Q. Realizar el cálculo empleando el cam-po eléctrico.
Solución:
La campo eléctrico debido a una esfera conduc-tora cargada vale
E(r) =
⎧⎨⎩ 0, r < aQ
4π 0r2r r ≥ a
Para calcular la energía basta con hacer la integral
Ue =0
2
ZZZ|E|2dτ
Esta integral debe realizarse a todo el espacio.Tomando dτ = 4πr2dr, la expresión la integral re-sulta
Ue =0
2
Z ∞0
|E|24πr2dr
Teniendo en cuenta que para r < a el campo esnulo, se obtiene
Ue =0
2
Z ∞a
µQ
4π 0r2
¶24πr2dr
=Q2
8π 0
Z ∞a
1
r2dr =
Q2
8π 0a[J]
4.7. Medios dieléctricos. Con-sideraciones generales
Todos los medios materiales se componen demoléculas formadas por átomos, que a su vez es-tán formados por entes cargados (núcleos atómicosy electrones). Veamos que ocurre cuando un mediodieléctrico se sitúa en una región del espacio en laque existe un campo eléctrico aplicado E0. Inicial-mente describiremos la acción de un campo exter-no sobre un átomo aislado y sobre una moléculaaislada. Posteriormente abordaremos el caso de undieléctrico.
Acción de un campo externo sobre un átomoaislado:
En ausencia de campo externo aplicado, la nubede carga negativa tiene simetría esférica en torno alnúcleo (considerado puntual), por tanto los centrosde cargas positivas y negativas del átomo coinciden,como se ilustra en la figura 4.23.
00 =E
q+q−
x0=x
Figura 4.23: Átomo no polarizado. Los centros decarga positivo y negativo coinciden.
Cuando existe un campo externo aplicado se pro-duce fuerza sobre el núcleo positivo en la mismadirección del campo y sobre la nube de carga nega-tiva en dirección opuesta al campo. Como conse-cuencia, se deforma la nube de carga negativa, conlo que los centros de cargas positivas y negativasno coinciden. Decimos entonces que el átomo seha polarizado, o en otras palabras se ha formadoun dipolo eléctrico como se muestra en la figura4.24.
00 ≠E
q q−x
qmk
x
F+ −
)a )b )c
00 ≠E
qp =)( x−=
Figura 4.24: a) Átomo polarizado (dipolo atómi-co). b) Dibujo esquemático de un dipolo. c) Modelomecánico de un dipolo.
Los desplazamientos producidos por E0 (delorden de fracciones muy pequeñas del diámetromolecular) están compensados por intensas fuerzas
4.8 Experimento de Faraday 19
restauradoras que se forman al cambiar la configu-ración de cargas dentro del átomo (modelo mecáni-co de muelle).Esta redistribución de cargas en el átomo pro-
duce un campo adicional que se superpone al cam-po inicialmente aplicado. El átomo polarizado secaracteriza mediante una magnitud vectorial llama-da momento dipolar eléctrico:
p = q .
Este proceso se llama polarización electrónica ode desplazamiento.
Acción de un campo externo sobre unamolécula aislada:
Distinguimos dos casos:
1. Moléculas no polares: son aquellas que enausencia de campo aplicado tienen un momen-to dipolar eléctrico nulo. Al actuar un campoaplicado se polarizan de manera análoga al ca-so del átomo (polarización electrónica)
2. Moléculas polares: son aquellas que, enausencia de campo aplicado, tienen un momen-to dipolar permanente (no nulo). Al actuar uncampo aplicado, se produce un par de fuerzas yel dipolo molecular se orienta paralelo al cam-po aplicado (polarización por orientación).Ej.: Agua
Acción de un campo externo sobre un dieléc-trico:
Consideraremos un medio dieléctrico como unacolección de moléculas todas iguales y que no inter-accionan entre sí. Además, en un dieléctrico idealno existe carga libre. Casos:
1. Medio no polar: (colección de moléculas nopolares). En ausencia de campo aplicado no ex-isten dipolos moleculares. Con campo eléctricoaplicado se forman dipolos moleculares por po-larización electrónica. Todos los dipolos tienenla misma orientación del campo⇒ el medio sepolariza.
2. Medio polar: (colección de moléculas po-lares). En ausencia de campo aplicado cadamolécula tiene momento dipolar no nulo. Los
momentos dipolares se orientan al azar ⇒ elmomento dipolar total del material es nulo.Con campo eléctrico aplicado todos los dipo-los se orientan con el campo ⇒ el material sepolariza (polarización por orientación). A estaordenación se oponen fenómenos como la agi-tación térmica.
Sea el medio polar o no polar, al aplicar un campoeléctrico externo el resultado final es el mismo: elmedio se comporta como una colección de dipolosorientados con el campo aplicado como se ilustraen la figura 4.25.
00 ≠E
+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −+ − + − + − + − + −
Figura 4.25: Dieléctrico polarizado.
4.8. Experimento de FaradayConsideremos un condensador de placas
planoparalelas separadas una distancia d y convacío entre las placas. Conectamos este conden-sador a una diferencia de potencial V0 y adquiereuna carga Q (figura 4.26-a)
d
0V
0εQ+ Q−
d
0V
0εQ+ Q−
+ −
d
0VV <
1>rεQ+ Q−
+ −
)a )b )c
Figura 4.26: a) Carga del condensador vacío. b)Medida de la d.d.p. con el condensador vacío. c)Medida de la d.d.p. con el condensador relleno dedieléctrico.
4.9 Interpretación del experimento de Faraday 20
La capacidad del condensador será
C0 =Q
V0.
Si desconectamos el condensador de la batería,la carga permanecerá en las armaduras y por tantola diferencia de potencial, que podemos medir conun voltímetro, seguirá siendo V0 (figura 4.26-b). Enestas condiciones, introducimos entre las placas delcondensador un dieléctrico. Al medir de nuevo lad.d.p. entre las placas del condensador se obtieneun valor V < V0 (figura 4.26-c). En todo el proce-so la carga se mantiene constante. Finalmente, alretirar el material, el voltímetro vuelve a marcarV0.Repitiendo esta experiencia con distintos mate-
riales se comprueba que la relación V0/V es unaconstante cuyo valor depende del tipo de material.Al introducir el material en el condensador cam-bia la d.d.p. manteniéndose constante la carga, portanto debe cambiar la capacidad del condensador.La capacidad con el condensador lleno es
C =Q
V,
entonces
C
C0=
V0V= cte = r > 1.
La constante r es una propiedad que caracterizacada material y se denomina constante dieléc-trica o permitividad relativa. Para la mayoríade los materiales, su valor es mayor que la unidad.La permitividad del dieléctrico se define como
= r 0.
La presencia del dieléctrico también afecta al val-or del campo eléctrico dentro del condensador yal de la energía almacenada. Para el condensadorvacío
E0 =V0d.
Para el condensador con dieléctrico
E =V
d,
Por tanto, al introducir el dieléctrico, el campo den-tro del condensador disminuye, ya que
E0E=
V0V= r > 1,
La energía almacenada en el condensador vacíoes
Ue0 =1
2QV0.
La energía almacenada en el condensador cargadovale
Ue =1
2QV.
Por tanto, al introducir el dieléctrico, la energía al-macenada disminuye, ya que
Ue0Ue
=V0V= r > 1,
4.9. Interpretación del experi-mento de Faraday
En este apartado abordaremos la interpretacióndel experimento de Faraday, descrito en el apartadoanterior, desde dos puntos de vista complementa-rios:
1. En términos de la carga de polarización queaparece en el material dieléctrico
2. Mediante la introducción de un nuevo campoque llamaremos vector polarización.
4.9.1. Densidad de carga de polari-zación
Hemos visto que al colocar un dieléctrico entrelas placas de un condensador cargado y desconec-tado de la batería, el campo en el condensador dis-minuye, mientras que la carga sobre las placas per-manece constante. La disminución del campo debeprovenir de la aparición, dentro del dieléctrico, decargas de polarización.
4.9 Interpretación del experimento de Faraday 21
)a )b
+− +− +− +− +−
+− +− +− +− +−
+− +− +− +− +−+− +− +− +− +−+− +− +− +− +−
+− +− +− +− +−+− +− +− +− +−+− +− +− +− +−
+− +− +− +− +−
+− +− +− +− +−
+− +− +− +− +−+− +− +− +− +−+− +− +− +− +−
+− +− +− +− +−+− +− +− +− +−+− +− +− +− +−
++++++++++++++++++
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
Q+ Q−0E
++++++++++++++++++
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
Figura 4.27: a) Condensador vacío. b) Condensadorlleno de dielectrico polarizado.
sfρ−
0E pE
sfρ+
spρ+spρ−++++++++++++++++++
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
++++++++++++++++++
Figura 4.28: Campo eléctrico de polarización Ep ydensidades de carga de polarización ρsp.
Tal como se ilustra en la figura 4.27, como con-secuencia del fenómeno de polarización del dieléc-trico, aparece carga positiva en una de las carasdel dieléctrico y carga negativa en la otra. El efec-to neto del fenómeno de polarización del dieléctricoes, por tanto, la formación de una densidad de car-ga superficial en el dieléctrico, que denominaremosdensidad de carga de polarización y denotare-mos como ρsp.
La carga de polarización que aparece en el dieléc-trico da lugar a un campo que llamaremos campoeléctrico de polarización Ep, tal como se muestraen la figura 4.28. Este campo se opone al campoexterno E0 creado por las cargas libres, dando co-mo resultado un campo total E. Como E0 y Ep sonde sentido contrario, el módulo de E vale
E = E0 −Ep.
Como ya conocemos, para un condensadorplanoparalelo el campo externo se expresa en fun-ción de la densidad de carga que hay en sus placascomo
E0 =ρsf
0
siendo ρsf la densidad superficial de carga libre.Análogamente, el campo eléctrico de polarizaciónse expresa en función de la densidad de carga depolarización:
Ep =ρsp
0.
Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuaciónanterior resulta
E =ρsf
0−
ρsp
0
Teniendo en cuenta además que, según el experi-mento de Faraday, el campo total E y el campoexterno E0 se relacionan a través de la constantedieléctrica del material como E = E0/ r podemosescribir
E =E0
r=
ρsf
r 0,
que sustituyendo en la expresión anterior resulta
ρsf
r= ρsf − ρsp,
de donde podemos calcular la densidad de cargade polarización en función de la densidad de cargalibre
ρsp =
µr − 1r
¶ρsf .
Como r > 1, la densidad de carga de polarizaciónes menor que la densidad de carga libre. El fenó-meno de polarización ocurre en todo el volumendel dieléctrico, por ello, en general, si el dieléctricono es homogéneo, aparecen cargas de polarizacióntanto en la superficie como en el volumen del dieléc-trico.
4.9 Interpretación del experimento de Faraday 22
4.9.2. Vectores polarización y des-plazamiento. Susceptibilidady permitividad dieléctricas
En este apartado abordaremos la polarizacióndieléctrica desde un punto de vista alternativo alconsiderado en el apartado anterior. Ahora nues-tro objetivo es introducir, con un enfoque teóri-co, la permitividad como parámetro que caracterizalas propiedades eléctricas de un material, desde unpunto de vista macroscópico.
Vector polarización:
Como ya sabemos, desde un punto de vista mi-croscópico, la materia está constituida por un con-junto de dipolos eléctricos.Con el propósito de pasar a una descripción
macroscópica que nos sea útil desde el punto devista de la teoría de campos definiremos el vec-tor polarización P como el momento dipolar porunidad de volumen:
P = lım∆τ→0
∆p
∆τ=dp
dτ.
Si consideramos un volumen elemental dτ dentro deun dieléctrico polarizado, el momento dipolar totalcorrespondiente a dicho volumen será
dp = Pdτ .
Se supone que dτ es pequeño a escala macroscópi-ca pero grande a escala atómica, de manera queen el volumen elemental dτ hay un gran númerode moléculas, cada una con un momento dipolarp, y todas igualmente orientadas. El vector P esun campo vectorial que tendrá valor nulo fuera deldieléctrico polarizado y, en general, valor no nuloen su interior. El vector polarización puede inter-pretarse como la respuesta del dieléctrico a la apli-cación de un campo eléctrico
Vector desplazamiento:
En problemas que involucran dieléctricos con-viene introducir un nuevo campo vectorial que lla-maremos vector desplazamiento D y que definire-mos como
D = 0E + P.
Susceptibilidad y permitividad dieléctricas:
Como P representa la respuesta del dieléctrico ala aplicación de un campo eléctrico E, debe existiruna relación entre P y E:
P = P (E).
Esta relación se puede determinar bien experi-mentalmente, bien a partir de las propiedades mi-croscópicas de la materia. Para la mayor parte delos materiales, el vector polarización resulta propor-cional al campo eléctrico, lo cual podemos expresaren la forma
P = 0κeE,
donde κe es una constante propia de cada materialllamada susceptibilidad dieléctrica. Los materi-ales que verifican la relación anterior de denominandieléctricos lineales e isótropos. Además, si κe nodepende de la posición se dice que el dieléctrico eshomogéneo.Una vez establecida una relación entre P y E,
podemos relacionar directamente D con E, para locual basta sustituir el valor de P en la expresiónD = 0E + P , obteniéndose
D = 0E + 0κeE = 0(1 + κe)E,
que puede escribirse como
D = E = 0 rE,
donde= 0(1 + κe),
es la permitividad del dieléctrico, y
r =0
es la permitividad relativa o constante dieléctrica.La relación D = E se llama ecuación de consti-tución.
Ejemplo 15 Sea un condensador planoparalelocon placas de anchura S separadas una distanciad, al que se introduce un dieléctrico entre las pla-cas de manera que se mantiene la carga constante.Determinar como varían los vectores D, E y P, lad.d.p. y la capacidad.
4.10 Diseño de condensadores 23
Solución:
Determinaremos antes las cantidades pedidaspara el caso del condensador vacío.Suponiendo que el condensador está cargado con
una carga Qf , la densidad de carga en las placasserá
ρsf =Qf
S.
Los campos E0, D0 y P0 valen
E0 =ρsf
0, D0 = ρsf , P0 = 0.
La d.d.p. es
V0 = V+ − V− = −Z +
−E0 · d
= −Z 0
d
E0 · d = E0d =ρsf
0d
y la capacidad
C0 =Qf
V0=
ρsfSρsf0d=
0S
d.
Al introducir el dieléctrico la carga libre en lasplacas no varía, luego
D = D0 = ρsf .
El campo eléctrico vale ahora
E =D=
ρsf,
y el vector polarización
P = D − 0E = ρsf −0ρsf =
µ1− 1
r
¶ρsf .
La d.d.p. es
V = V+ − V− = −Z +
−E · d
= −Z 0
d
E · d = Ed =ρsf
d =V0
r< V0,
y la capacidad
C =Qf
V=
ρsfSρsf d
=S
d= rC0 > C0.
4.10. Diseño de conden-sadores
Según se desprende del experimento de Faraday,la capacidad de un condensador es proporcional ar, por tanto es preferible emplear medios de altapermitividad para aumentar la capacidad.Por otra parte, el campo de ruptura del dieléctri-
co (campo por encima del cuál se produce un arcoeléctrico que perfora el dieléctrico) debe ser alto.En un condensador planoparalelo V = Ed, de for-ma que Vmax = Emaxd y si Emax es grande d puedeelegirse pequeño sin tener que disminuir la d.d.p.máxima de trabajo.El dieléctrico debe ser sólido para evitar el con-
tacto eléctrico entre placas.Existen muchos tipos de condensadores; aquí se
comentan sólo dos:
Condensador de papel: se fabrica con doshojas metálicas, intercalando entre ambas pla-cas delgadas de papel impregnadas en parafinaque actúan de dieléctrico.
Condensador electrolítico de gran ca-pacidad: Consta de una hoja de metal en con-tacto con un electrolito. Cuando se aplica elvoltaje entre las hojas de metal y el electrolito,se forma una capa de óxido metálico (aislante)que sirve de dieléctrico. Al ser esta capa muydelgada se consiguen capacidades muy altas.
Hay otros tipos de condensadores como los elec-trolíticos que utilizan aceite como dieléctrico ylos condensadores variables, formados por placasmóviles.
Material r Erup (MV/m)Vacío 1 ∞
Aire seco 1,00059 3Teflón 2,1 60Cuarzo 3,78 8Papel 3,7 15Agua 80 −
Titanato de estroncio 233 8Titanato de bario 10000 −
4.11 Ley de Gauss en medios dieléctricos 24
Ejemplo 16 Se construye un condensadorplanoparalelo con papel de d = 0,14mm de es-pesor entre láminas de aluminio de superficieS = 15× 480mm2. Calcular:
1. La capacidad
2. Diferencia de potencial máxima
3. Si se conecta a una d.d.p. de 180V determinarE y E0.
Solución:
1. La capacidad vale
C =S
d
=3,7 0 × 15× 480× 10−6
0,14× 10−3 = 1,6 [nF].
2. La d.d.p. máxima es
Vmax = Emaxd
= 15× 106 × 0,14× 10−3
= 2,1× 103 [V].
3. El campo eléctrico cuando el condensador estácargado con el dieléctrico es
E =V
d=
180
0,14× 10−3 = 1,3× 106 [V/m],
y para el condensador vacío
E0 = rE = 3,7× 1,3× 106
= 4. 8× 106 [V/m].
4.11. Ley de Gauss en mediosdieléctricos
Como consecuencia de la presencia de mediosdieléctricos es necesario reconsiderar la forma dela ley de Gauss que hemos estado utilizando hastaeste momento: I
S
E · dS = Qenc
0.
Recordamos que en esta ecuaciónQenc representa lacarga encerrada dentro de la superficie gaussiana S.Cuando estamos en el vacío se trata siempre de car-ga libre, sin embargo cuando existen medios dieléc-tricos la carga encerrada puede ser tanto carga librecomo carga de polarización, por tanto, escribiremosahora la ley de Gauss para el campo E como
IS
E · dS = 1
0
¡Qfenc +Qp
enc
¢
donde Qfenc y Qp
enc son, respectivamente, la cargalibre y de polarización encerradas. Desde un pun-to de vista teórico, esta ecuación muestra de formaexplícita cómo las fuentes del campo eléctrico sontodas las cargas, tanto las libres como las de po-larización. No obstante, desde un punto de vistapráctico, no tiene apenas utilidad, ya que normal-mente sólo se conocen las cargas libres.
Para el cálculo del campo eléctrico en problemasque involucren materiales dieléctricos, y siempreque haya la simetría necesaria, puede utilizarse laley de Gauss, pero expresada en términos del vectordesplazamiento, dicha ley se escribe como
IS
D · dS = Qfenc .
Esta ecuación indica que las únicas fuentes deD sonlas cargas libres. En consecuencia, su valor no de-pende del dieléctrico particular que tengamos en elproblema. Una vez determinado D, el campo eléc-trico se obtiene a través de la expresión E = D/ .Como aplicación de todo esto consideramos el sigu-iente ejemplo.
Ejemplo 17 Calcular el vector desplazamiento yel campo eléctrico creado por una carga puntual q0
inmersa en un dieléctrico infinito de permitividad. Determinar la fuerza ejercida por q0 sobre otracarga puntual q.
4.11 Ley de Gauss en medios dieléctricos 25
O
'q
r
DSd
ε
Figura 4.29:
Solución:
Como el dieléctrico es infinito, el problema tienesimetría esférica
D = D(r) r,
y se puede usar Gauss para calcular D:IS
D · dS = Qfenc .
El flujo del vector desplazamiento a través de unaesfera de radio r centrada en la carga q0 esI
S
D · dS = D
IS
dS = D4πr2,
y la carga libre encerrada en dicha esfera es Qfenc =
q0.Sustituyendo los dos últimos resultados en la ley
de Gauss, despejando D y poniendo el resultado enforma vectorial se obtiene
D =q0
4πr2r.
Calculamos ahora el campo eléctrico como
E =D=
q0
4π r2r.
Obsérvese que el resultado obtenido es el mismoque en el vacío con la sustitución de 0 por .Si ahora colocamos una carga puntual q, la fuerza
que la carga fuente q0 ejerce sobre ella es
Fq0→q = qE =q0q
4π r2r,
que es la expresión de la ley de Coulomb en el vacíodonde se ha cambiado 0 por .
Ejemplo 18 Un conductor esférico de radio atiene una carga total Q. Dicho conductor está re-cubierto con un material aislante de permitividad1, forma esférica y concéntrico con él, que se ex-tiende desde r = a hasta r = b. Desde r = b hastael infinito hay un segundo material aislante de per-mitividad 2. Hallar D en cada punto del espacio.
b0>Q
a
1ε2ε
Figura 4.30:
Solución:
Para calcular el vector desplazamiento podemosaplicar la ley de GaussI
S
D · dS = Qfenc .
Teniendo en cuenta que el problema tiene simetríaesférica y por tanto D = D(r) r, el primer miembrode esta ecuación valeI
S
D · dS = D
IS
dS = D4πr2.
Para calcular la carga encerrada consideraremostres regiones:
r < a (interior de la esfera interna). En estecaso Qf
enc = 0, luego
D0 = 0.
a < r < b (dieléctrico 1). Ahora Qfenc = Q, por
tanto
D1 =Q
4πr2r.
b < r (dieléctrico 2). En este caso Qfenc = Q,
entonces
D2 =Q
4πr2r.
4.12 Energía eléctrica en problemas con dieléctricos 26
Se observa que el cálculo de D es independientede las permitividades 1 y 2.
4.12. Energía eléctrica en pro-blemas con dieléctricos
Energía en función de la carga:
En el vacío se obtuvo una expresión para la en-ergía de un sistema de cargas
Ue =1
2
ZZZtodo esp.
ρτV dτ .
En aquel caso no se hizo ninguna distinción sobresi las cargas eran libres o ligadas, simplemente cal-culamos la energía reversible del sistema, es decir,la energía que se puede extraer del sistema.De la misma manera, al calcular la energía de un
sistema de cargas en presencia de medios dieléctri-cos, tendremos en cuenta la energía útil o energíaextraible del sistema, ya que es la energía sobre laque se tiene control. Dicha energía es la asociada alas cargas libres, por tanto, escribiremos
Ue =1
2
ZZZtodo esp.
ρτfV dτ .
En realidad el efecto de las cargas ligadas tambiénes tenido en cuenta a través del potencial V .
Energía en función del campo:
Ue =1
2
ZZZtodo esp.
D ·Edτ = 1
2
ZZZtodo esp.
|E|2dτ .
Si consideramos un volumen elemental dτ la energíacontenida en este volumen será
dUe =1
2D ·Edτ = 1
2|E|2dτ ,
de donde podemos definir la densidad de energía(energía por unidad de volumen) como
ue =dUedτ
=1
2D ·E = 1
2|E|2.
Podemos entonces expresar la energía en función dela densidad de energía como
Ue =
ZZZtodo esp.
uedτ .
Ejemplo 19 Determinar la energía y la capacidadde un condensador esférico de radio interno a yradio externo b totalmente lleno con un dieléctricode permitividad y cargado con una carga Q.
Solución:
Supondremos que la esfera interna está cargadapositivamente y la esfera externa negativamente.Debido a la simetría del problema el vector des-plazamiento será de la forma
D = D(r) r.
Aplicaremos entonces la ley de Gauss tomando unaesfera gaussiana de radio r:I
S
D · dS = Qfenc .
El primer miembro de esta ecuación valeIS
D · dS = D
IS
dS = D(r)4πr2.
Para calcular la carga encerrada dividiremos el es-pacio en tres regiones:
r < a (interior de la esfera interna). En estecaso Qf
enc = 0, luego
D = 0.
a < r < b (espacio entre conductores). AhoraQfenc = Q, por tanto
D =Q
4πr2r.
b < r (espacio exterior). En este caso Qfenc =
Q−Q = 0, entonces
D = 0.
4.12 Energía eléctrica en problemas con dieléctricos 27
En la región a < r < b la densidad de energíavale
ue =1
2D ·E = D2
2=
Q2
32π2 r4
y la energía
Ue =
ZZZuedτ =
Q2
8π
Z b
a
dr
r2=
Q2
8π
µ−1r
¶ba
,
de donde
Ue =Q2
8π
µ1
a− 1
b
¶.
Si entre las placas hubiera vacío, la energía alma-cenada en el condensador sería
Ue0 =Q2
8π 0
µ1
a− 1
b
¶.
Por tantoUeUe0
=0
y como > 0 entonces Ue0 > Ue.Una vez calculada la energía, la capacidad puede
obtenerse a partir de la relación
Ue =1
2CV 2 =
1
2
Q2
C,
de donde
C =1
2
Q2
Ue=4π ab
b− a.
Se observa que C = C0.
