ÍNDICE

Resumen...........................................................................................1

Marco teórico.....................................................................................2

Objetivo.............................................................................................6

Problema...........................................................................................6

Hipótesis...........................................................................................,6

Contenido del juego...........................................................................7

Modo de juego...................................................................................8

Instructivo...........................................................................................8

Procedimientos de límites..................................................................11

Tabla resumen de límites...................................................................14

Procedimientos de derivadas.............................................................15

Tabla resumen de derivadas.............................................................18

Paginas de resultados.......................................................................20

Análisis e interpretación de resultados..............................................22

Conclusiones.................................................................................... .22

Costos, beneficios y análisis de la competencia en el mercado........23

Bibliografía..........................................................................................24

Cibergrafia...........................................................................................24

1

Resumen

El presente trabajo tiene como objetivo, reafirmar y consolidar los conocimientos

del alumno a través de un juego matemático. Trabajamos acerca de los límites

matemáticos y en base a este tema elaboramos un juego didáctico, de fácil

comprensión y divertido. Para lograrlo investigamos a fondo acerca de nuestro

tema. Una vez teniendo la información que nos fue útil, procedimos a elaborar

nuestro marco teórico, en el cual incluimos, historia, y concepto de los límites,

entre otros datos más.

Posteriormente planificamos con la ayuda de nuestra asesora, el diseño,

funcionamiento y desarrollo de nuestro juego. Durante la elaboración del juego

tuvimos ciertas complicaciones que fuimos resolviendo una a una. Una vez

elaborado nuestro juego matemático, elaboramos con nuestros conocimiento y

con ayuda de nuestra asesora diferentes incisos y tarjetas para complementar

nuestro juego. Finalmente lo probamos con nuestros compañeros en clase,

obteniendo resultados y críticas muy satisfactorias, en base a esto elaboramos

gráficas en donde plasmamos los resultados obtenidos.

2

Marco teórico

En este trabajo trataremos el tema de límites de Matemáticas VI área lll, en base

al plan de estudios actual de la Escuela Nacional Preparatoria.

Algunos de esos temas, los cuales explicaremos más adelante son: Límites. Como

una breve introducción veremos la historia y conceptos del límite. Hoy en día, y

como siempre, las matemáticas juegan un papel importante en la vida cotidiana

del ser humano, todo aquello que podemos ver, tocar, sentir, oír, puede calcularse

por medio de las matemáticas, por decirlo así, las matemáticas son un lenguaje

universal, que unos pueden adquirir u otros pueden rechazar, a lo largo del

tiempo, las matemáticas, han generado un conflicto entre las personas, mientras

que algunos las aman rotundamente, otros, por su parte, prefieren no relacionarse

con ellas, en este punto es donde se intentan implementan nuevos métodos de

aprendizaje para que las matemáticas sean vistas de una manera divertida y

dinámica.

En la larga evolución del concepto desde la matemática griega hasta el siglo XIX,

se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la noción, que se

utiliza desde la época griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo

pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para

demostrar otros más generales.

Los antiguos griegos utilizaban procedimientos basados en límites para calcular

áreas, como el área del círculo, consistía en cubrir o una región de forma tan

completa como fuera posible utilizando triángulos. Sumando las áreas de los

triángulos se tenían una aproximación al área de la región de interés. Newton y

Leibniz, los inventores del cálculo no dieron una definición rigurosa del

procedimiento. El matemático francés Augustine Louis Cauchy fue el primero en

desarrollar una definición rigurosa de límite.

Pero Han sido tres siglos los necesarios para llegar a estas definiciones desde que

John Wallis (1616-1703) formulase la que es aceptada como la primera en el siglo

John Wallis XVII.

3

Habría que esperar hasta el año 1821 cuando apareció el texto Cours d’analyse

algébrique escrito por Louis Cauchy, en su obra Cauchy definía el límite de una

función de la siguiente forma: “Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una

variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir

de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor

fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores.”

Tendrían que pasar aún unos treinta años para que el riguroso alemán Karl

Weierstrass viniese a rematar la faena del delicado concepto de límite, con la

ayuda de sus épsilon y delta, que no son más que números reales, muy pequeños

y muy próximos a cero, y que tanto éxito le dieron. Weierstrass, Karl.

Concepto de límite.

Un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de

una secuencia infinita de magnitudes, por la tanto es la tendencia de

una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o

función se acercan a determinado valor.

En cualquier función se pueden ir evaluando valores muy cercanos a uno en

particular, los valores que se obtengan se acercaran en muchas ocasiones a un

cierto valor también; a este valor se lo conoce como el límite de la función.

Fórmulas de límite

Límite en un punto

=f(a)

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las

x.

Límite cuando x tiende a infinito

A) Del denominador se obtiene la variable elevada al exponente mayor.

4

B) A cada termino se divide entre esta variable.

C) Se simplifica lo más posible.

D) Aquellos términos en donde quede como denominador x tomaran el valor de

cero.

E) Se simplifica y el resultado obtenido es el resultado.

Derivada

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la

que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su

variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir,

se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto

intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna

cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta

función en un punto dado.

El significado geométrico de la derivada la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la

mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto.

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a

plantearse en la época clásica de la antigua Grecia, pero no se encontraron

métodos sistemáticos de resolución hasta en el siglo XVII por obra de Isaac

Newton y Gottfried Leibniz.

Existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

El problema de la tangente a una curva

El Teorema de los extremos: máximos y mínimos.

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo

diferencial. La historia reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibnitz fueron los

creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para

5

manipular las derivadas e Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración

son operadores inversos. Leibniz es el inventor de diversos símbolos matemáticos.

A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los

símbolos de derivada

y el símbolo de la integral ∫.

Por último mencionaremos algunas aplicaciones de la derivada. Se aplica en

aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio

de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los

estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y

la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de

, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en

el punto .

Objetivo

El objetivo del juego es principalmente que los jóvenes refuercen sus

conocimientos en el área de límites y conforme a esto aprendan de una manera

fácil y didáctica las matemáticas, que no las vean con indiferencia por no poder

resolverlas, y principalmente, que se diviertan aprendiendo.

Problema

Para la elaboración del presente trabajo ocupamos diferentes fuentes de consulta,

trabajamos a lo largo del año para cumplir nuestro objetivo, que finalmente los

jóvenes no vean las matemáticas como materia complicada y tediosa, sino como

una forma de ver la vida.

6

Hipótesis

A través del juego matemático, los jóvenes se divertirán, reforzarán sus

conocimientos en límites y derivada, haciendo así más fácil la comprensión

matemática en estas ramas.

Desarrollo

Este proyecto nació de la idea de mejorar el desempeño de los jóvenes en las

matemáticas a través de un juego que las personas conocieran de antemano para

así lograr nuestro objetivo. Para esto decidimos adaptar el famoso juego Pinball

clásico a una versión casera semi-mecánica y semi-eléctrica, esperando con esto

que aquellos que lo jueguen, no solo se divirtieran, sino también reforzaran sus

conocimientos, aprendieran, y se familiarizaran con las matemáticas.

Contenido del juego

1) Un tablero de juego estilo Pinball. 2)Pelotas pequeñas.

7

2) 40 tarjetas (10 de límites y sus resultados y 20 de derivada con sus

resultados)

Modo de juego

El juego consiste en tirar del resorte o accionar el motor eléctrico que impulsará

una pelota para que esta salga disparada y pase por una ranura que tendrá

tarjetas con limites y derivadas que el jugador tendrá que responder o encontrar el

par de la tarjeta seleccionada. Ganará el jugador que obtenga 2 pares de tarjetas.

Instructivo

1) Tomar una pelota e introducirla a alguna de las dos ranuras de entrada

( mecánica o la eléctrica)

8

2) Una vez que la pelota se encuentre en el disparador mecánico se tendrá

que jalar la palanca y después soltarla para que la pelota salga disparada.

O bien si es de la ranura eléctrica se tendrá que presionar el botón para que

la pelota salga disparada.

3) La pelota saldrá con la suficiente velocidad y esta comenzara su descenso

por el tablero.

9

4) Al terminar el recorrido esta pasara por una de las 4 matematrix casillas que

contendrá tarjetas.

5) Se tendrá que agarrar una de las tarjetas de la casilla por la que haya

pasado la pelota.

6) Una vez que vimos la tarjeta de la matematrix casilla tomaremos una tarjeta

de al lado levantándola y buscando hacer par de limite y factorización o

función y su derivada (será estilo memorama). Se tendrán dos

oportunidades, si el jugador falla, será el turno del siguiente jugador.

10

7) Ganará el jugador que tenga 2 pares de tarjetas.

Procedimientos de resolución matemática de los reactivos del

tema de límites

1)

a) ( )( )

b)

c) -1-1=2

2)

a) ( )

( )( )

b)

c)

( )

11

3)

a)

) ( )( )

( )( )

)( )

( )

d)

e)

4)

a) ( )( )

b)

c)

5) ( )

)

)

) ( )

12

)

)

6)

a)

( )( )

b)

)

( ) ( )

7)

a)( )( )

( )( )( )

)

( )( )

)( ) ( )

( )[( ) ]

d)

( )( )

8) ( )(

( )( )( )

( )( )

)

)

13

9)

a)( )( )

b)

)( ) ( )

)

14

Tabla resumen limites

Límite Resultado

2

2

( )

( )( )

15

Procedimientos de resolución matemática de los reactivos del

tema de derivadas

1)Y=0

a)

b)

2)Y=X

a)

( )

b) =1

3)Y=7

a)

4)Y=-3X

)

(

)

) ( )

c)

5)

a)

b)

( )

) ( )

16

d)

6)

a)

)

( )

c) ( )

7)

)

( )

( )

( )

)

8) ( )

a) ( ) ( )

b)( )( )( )

) ( )

9)Y=

a)

10)Y=(3x)(2)

a)(3x) (0)+2(3)

b)2(3) =6

17

11)Y=( )( )

a)( )( ) ( ) =4X

13)Y=( )( )

a)( )( ) ( )

b) =6x+2

14)

a) ( )

b)

15)

a) ( )

b)

16) ( )

a) ( ) ( )

b) ( )( )

c) ( )

17)( )

a) ( )( )

b) ( )

18)

18

a) ( ) ( )

)

Tabla resumen de derivadas

Ecuación Derivada

Y=0

Y=7

Y=X

Y=-3X

( ) ( )

Y=

Y=(3x)(2) =6

Y=( )( ) =4X

Y=( )( ) =6x+2

19

Y= ( ) ( )

( ) ( )

20

Resultados

Para probar el juego se entrevisto a un total de 21 jóvenes para que interactuaran

con el mismo, y que con base a su experiencia, realizaran comentarios y una

evaluación donde tomaran en cuenta aspectos como la creatividad, la originalidad,

lo dinámico, y los reactivos correctos,

la evaluación y los resultados son los

siguientes:

“Muy bien chicos, me gustó mucho,

solo observé las pequeñas fallas

técnicas en el tablero, pero eran

mínimas, e guiar a los participantes

es algo súper padre, me gustó, su

actitud al cien”

“No le cambiaría nada”

“Está muy bien y muy divertido,

tienen que reparar las fallas técnicas”

“Es muy buen juego, el equipo te da

ánimos, y te motiva a la

competitividad”

“Era divertido lanzar la pelota y no se

hacía tan cansado, aunque creo que deberían dar más tiempo para elegir una

tarjeta.”

“¡Juego muy ingenioso! Con una presentación muy apta para atraer al público a

jugar, lo único que se tendía que ajustar en mi consideración seria el tablero: que

este no se mueva tanto.”

Creatividad

99

Promedio 4.7

Originalidad

96

Promedio 4.5

Dinámico

94

Promedio: 4.3

Reactivos

correctos

97

Promedio: 4.6

21

0

1

2

3

4

5

Creatividad Originalidad Dinamica ReactivosCorrectos

Prom. Total

Prom. Total

Originalidad

Total obtenido96/105

Faltante deltotal 9/105

Creatividad

Total obtenido99/105

Faltante deltotal 6/105

“Me gustó, el juego es muy divertido, pero me gustaría que agregaran mas

reactivos y oportunidades de ganar.

*Tiene como base un total de 21 Jóvenes entrevistados.

4.7 4.5 4.4 4.6

22

Reactivos correctos

Faltante deltotal 8/105

Total obtenido97/105

Dinámico

Faltante deltotal 11/105

Total obtenido94/105

Análisis e interpretación de resultados

Con base a los comentarios realizados y lo observado en clase se concluyeron

dos puntos de mejora: introducir más reactivos y un mejoramiento de la estructura.

En base a esto hemos trabajado en perfeccionar el juego, agregando reactivos de

derivación, mejorando diseño de tarjetas y viendo dos opciones para poder activar

el mecanismo de disparo.

Cabe mencionar por otra parte, los resultados fueron satisfactorios, a los jóvenes

les gustaba estar participando, intentando ganar, resolviendo problemas sin

estresarse, y sobre todo, divirtiéndose con sus amigos.

Conclusiones:

Desde el primer momento en la planeación de nuestro juego tuvimos presente

nuestro objetivo, de ayudar a nuestros compañeros y a nosotros mismos a reforzar

nuestros conocimientos en matemáticas, ahora al obtener los resultados estamos

totalmente satisfechos ya que nuestro objetivo se cumplió y nuestra hipótesis fue

correcta.

Los resultados fueron meramente satisfactorios, a los jóvenes les gustaba estar

participando, intentando ganar, resolviendo problemas sin estresarse, y sobre

todo, divirtiéndose con sus amigos.

23

Podemos concluir en base a los resultados que nuestra hipótesis fue correcta ya

que con nuestro juego, nuestros compañeros se divirtieron y reforzaron sus

conocimientos en matemáticas.

Costos, beneficios y análisis de la competencia en el mercado.

Material Cantidad Precio Total

Perfocel 3 30 90

Tubos 2 20 40

Pintura 2 45 90

Palillos 1 15 15

Motor 1 30 30

Luces 1 50 50

Baterías 3 25 75

Resortes 2 15 30

Tarjetas 52 1.5 78

El costo de producción aproximado del juego es de $ 498. Es un costo elevado,

pero comparándolo con otros del mercado resulta muy barato puesto que los

Pinballs más baratos cuestan aproximadamente $1100, mientras que algunos

otros llegan a costar hasta $15000.

24

Bibliografía

Gregorio Topalian Dakessian, Matemáticas VI área III, versión actualizada

2011.

Stewart J. Calculo de una variable trascendentes tempranas, 7ma edición,

2015, cengage

Stewart J. Calculo Diferencial e Integral, 2da Edición, México, Thompson

Editores, 2007.

Ángel A. Álgebra elemental. México: Prentice Hall. .( 1994)

Cibergrafía

http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-infinito.html

http://limitesdjdomatematicos.blogspot.mx/2009/08/limites-

matematicos_11.html