ÍNDICE
Resumen...........................................................................................1
Marco teórico.....................................................................................2
Objetivo.............................................................................................6
Problema...........................................................................................6
Hipótesis...........................................................................................,6
Contenido del juego...........................................................................7
Modo de juego...................................................................................8
Instructivo...........................................................................................8
Procedimientos de límites..................................................................11
Tabla resumen de límites...................................................................14
Procedimientos de derivadas.............................................................15
Tabla resumen de derivadas.............................................................18
Paginas de resultados.......................................................................20
Análisis e interpretación de resultados..............................................22
Conclusiones.................................................................................... .22
Costos, beneficios y análisis de la competencia en el mercado........23
Bibliografía..........................................................................................24
Cibergrafia...........................................................................................24
1
Resumen
El presente trabajo tiene como objetivo, reafirmar y consolidar los conocimientos
del alumno a través de un juego matemático. Trabajamos acerca de los límites
matemáticos y en base a este tema elaboramos un juego didáctico, de fácil
comprensión y divertido. Para lograrlo investigamos a fondo acerca de nuestro
tema. Una vez teniendo la información que nos fue útil, procedimos a elaborar
nuestro marco teórico, en el cual incluimos, historia, y concepto de los límites,
entre otros datos más.
Posteriormente planificamos con la ayuda de nuestra asesora, el diseño,
funcionamiento y desarrollo de nuestro juego. Durante la elaboración del juego
tuvimos ciertas complicaciones que fuimos resolviendo una a una. Una vez
elaborado nuestro juego matemático, elaboramos con nuestros conocimiento y
con ayuda de nuestra asesora diferentes incisos y tarjetas para complementar
nuestro juego. Finalmente lo probamos con nuestros compañeros en clase,
obteniendo resultados y críticas muy satisfactorias, en base a esto elaboramos
gráficas en donde plasmamos los resultados obtenidos.
2
Marco teórico
En este trabajo trataremos el tema de límites de Matemáticas VI área lll, en base
al plan de estudios actual de la Escuela Nacional Preparatoria.
Algunos de esos temas, los cuales explicaremos más adelante son: Límites. Como
una breve introducción veremos la historia y conceptos del límite. Hoy en día, y
como siempre, las matemáticas juegan un papel importante en la vida cotidiana
del ser humano, todo aquello que podemos ver, tocar, sentir, oír, puede calcularse
por medio de las matemáticas, por decirlo así, las matemáticas son un lenguaje
universal, que unos pueden adquirir u otros pueden rechazar, a lo largo del
tiempo, las matemáticas, han generado un conflicto entre las personas, mientras
que algunos las aman rotundamente, otros, por su parte, prefieren no relacionarse
con ellas, en este punto es donde se intentan implementan nuevos métodos de
aprendizaje para que las matemáticas sean vistas de una manera divertida y
dinámica.
En la larga evolución del concepto desde la matemática griega hasta el siglo XIX,
se observa claramente la necesidad de explicitar y formalizar la noción, que se
utiliza desde la época griega y que no llega a su forma actual hasta el siglo
pasado, en parte para validar algunos resultados ya obtenidos y en parte para
demostrar otros más generales.
Los antiguos griegos utilizaban procedimientos basados en límites para calcular
áreas, como el área del círculo, consistía en cubrir o una región de forma tan
completa como fuera posible utilizando triángulos. Sumando las áreas de los
triángulos se tenían una aproximación al área de la región de interés. Newton y
Leibniz, los inventores del cálculo no dieron una definición rigurosa del
procedimiento. El matemático francés Augustine Louis Cauchy fue el primero en
desarrollar una definición rigurosa de límite.
Pero Han sido tres siglos los necesarios para llegar a estas definiciones desde que
John Wallis (1616-1703) formulase la que es aceptada como la primera en el siglo
John Wallis XVII.
3
Habría que esperar hasta el año 1821 cuando apareció el texto Cours d’analyse
algébrique escrito por Louis Cauchy, en su obra Cauchy definía el límite de una
función de la siguiente forma: “Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una
variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir
de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor
fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores.”
Tendrían que pasar aún unos treinta años para que el riguroso alemán Karl
Weierstrass viniese a rematar la faena del delicado concepto de límite, con la
ayuda de sus épsilon y delta, que no son más que números reales, muy pequeños
y muy próximos a cero, y que tanto éxito le dieron. Weierstrass, Karl.
Concepto de límite.
Un límite es una magnitud fija a la que se aproximan cada vez más los términos de
una secuencia infinita de magnitudes, por la tanto es la tendencia de
una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o
función se acercan a determinado valor.
En cualquier función se pueden ir evaluando valores muy cercanos a uno en
particular, los valores que se obtengan se acercaran en muchas ocasiones a un
cierto valor también; a este valor se lo conoce como el límite de la función.
Fórmulas de límite
Límite en un punto
=f(a)
Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las
x.
Límite cuando x tiende a infinito
A) Del denominador se obtiene la variable elevada al exponente mayor.
4
B) A cada termino se divide entre esta variable.
C) Se simplifica lo más posible.
D) Aquellos términos en donde quede como denominador x tomaran el valor de
cero.
E) Se simplifica y el resultado obtenido es el resultado.
Derivada
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la
que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su
variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir,
se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto
intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna
cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta
función en un punto dado.
El significado geométrico de la derivada la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la
mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto.
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a
plantearse en la época clásica de la antigua Grecia, pero no se encontraron
métodos sistemáticos de resolución hasta en el siglo XVII por obra de Isaac
Newton y Gottfried Leibniz.
Existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
El problema de la tangente a una curva
El Teorema de los extremos: máximos y mínimos.
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo
diferencial. La historia reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibnitz fueron los
creadores del cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para
5
manipular las derivadas e Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración
son operadores inversos. Leibniz es el inventor de diversos símbolos matemáticos.
A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los
símbolos de derivada
y el símbolo de la integral ∫.
Por último mencionaremos algunas aplicaciones de la derivada. Se aplica en
aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio
de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los
estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y
la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de
, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en
el punto .
Objetivo
El objetivo del juego es principalmente que los jóvenes refuercen sus
conocimientos en el área de límites y conforme a esto aprendan de una manera
fácil y didáctica las matemáticas, que no las vean con indiferencia por no poder
resolverlas, y principalmente, que se diviertan aprendiendo.
Problema
Para la elaboración del presente trabajo ocupamos diferentes fuentes de consulta,
trabajamos a lo largo del año para cumplir nuestro objetivo, que finalmente los
jóvenes no vean las matemáticas como materia complicada y tediosa, sino como
una forma de ver la vida.
6
Hipótesis
A través del juego matemático, los jóvenes se divertirán, reforzarán sus
conocimientos en límites y derivada, haciendo así más fácil la comprensión
matemática en estas ramas.
Desarrollo
Este proyecto nació de la idea de mejorar el desempeño de los jóvenes en las
matemáticas a través de un juego que las personas conocieran de antemano para
así lograr nuestro objetivo. Para esto decidimos adaptar el famoso juego Pinball
clásico a una versión casera semi-mecánica y semi-eléctrica, esperando con esto
que aquellos que lo jueguen, no solo se divirtieran, sino también reforzaran sus
conocimientos, aprendieran, y se familiarizaran con las matemáticas.
Contenido del juego
1) Un tablero de juego estilo Pinball. 2)Pelotas pequeñas.
7
2) 40 tarjetas (10 de límites y sus resultados y 20 de derivada con sus
resultados)
Modo de juego
El juego consiste en tirar del resorte o accionar el motor eléctrico que impulsará
una pelota para que esta salga disparada y pase por una ranura que tendrá
tarjetas con limites y derivadas que el jugador tendrá que responder o encontrar el
par de la tarjeta seleccionada. Ganará el jugador que obtenga 2 pares de tarjetas.
Instructivo
1) Tomar una pelota e introducirla a alguna de las dos ranuras de entrada
( mecánica o la eléctrica)
8
2) Una vez que la pelota se encuentre en el disparador mecánico se tendrá
que jalar la palanca y después soltarla para que la pelota salga disparada.
O bien si es de la ranura eléctrica se tendrá que presionar el botón para que
la pelota salga disparada.
3) La pelota saldrá con la suficiente velocidad y esta comenzara su descenso
por el tablero.
9
4) Al terminar el recorrido esta pasara por una de las 4 matematrix casillas que
contendrá tarjetas.
5) Se tendrá que agarrar una de las tarjetas de la casilla por la que haya
pasado la pelota.
6) Una vez que vimos la tarjeta de la matematrix casilla tomaremos una tarjeta
de al lado levantándola y buscando hacer par de limite y factorización o
función y su derivada (será estilo memorama). Se tendrán dos
oportunidades, si el jugador falla, será el turno del siguiente jugador.
10
7) Ganará el jugador que tenga 2 pares de tarjetas.
Procedimientos de resolución matemática de los reactivos del
tema de límites
1)
a) ( )( )
b)
c) -1-1=2
2)
a) ( )
( )( )
b)
c)
( )
11
3)
a)
) ( )( )
( )( )
)( )
( )
d)
e)
4)
a) ( )( )
b)
c)
5) ( )
)
)
) ( )
12
)
)
6)
a)
( )( )
b)
)
( ) ( )
7)
a)( )( )
( )( )( )
)
( )( )
)( ) ( )
( )[( ) ]
d)
( )( )
8) ( )(
( )( )( )
( )( )
)
)
13
9)
a)( )( )
b)
)( ) ( )
)
14
Tabla resumen limites
Límite Resultado
2
2
( )
( )( )
15
Procedimientos de resolución matemática de los reactivos del
tema de derivadas
1)Y=0
a)
b)
2)Y=X
a)
( )
b) =1
3)Y=7
a)
4)Y=-3X
)
(
)
) ( )
c)
5)
a)
b)
( )
) ( )
16
d)
6)
a)
)
( )
c) ( )
7)
)
( )
( )
( )
)
8) ( )
a) ( ) ( )
b)( )( )( )
) ( )
9)Y=
a)
10)Y=(3x)(2)
a)(3x) (0)+2(3)
b)2(3) =6
17
11)Y=( )( )
a)( )( ) ( ) =4X
13)Y=( )( )
a)( )( ) ( )
b) =6x+2
14)
a) ( )
b)
15)
a) ( )
b)
16) ( )
a) ( ) ( )
b) ( )( )
c) ( )
17)( )
a) ( )( )
b) ( )
18)
18
a) ( ) ( )
)
Tabla resumen de derivadas
Ecuación Derivada
Y=0
Y=7
Y=X
Y=-3X
( ) ( )
Y=
Y=(3x)(2) =6
Y=( )( ) =4X
Y=( )( ) =6x+2
19
Y= ( ) ( )
( ) ( )
20
Resultados
Para probar el juego se entrevisto a un total de 21 jóvenes para que interactuaran
con el mismo, y que con base a su experiencia, realizaran comentarios y una
evaluación donde tomaran en cuenta aspectos como la creatividad, la originalidad,
lo dinámico, y los reactivos correctos,
la evaluación y los resultados son los
siguientes:
“Muy bien chicos, me gustó mucho,
solo observé las pequeñas fallas
técnicas en el tablero, pero eran
mínimas, e guiar a los participantes
es algo súper padre, me gustó, su
actitud al cien”
“No le cambiaría nada”
“Está muy bien y muy divertido,
tienen que reparar las fallas técnicas”
“Es muy buen juego, el equipo te da
ánimos, y te motiva a la
competitividad”
“Era divertido lanzar la pelota y no se
hacía tan cansado, aunque creo que deberían dar más tiempo para elegir una
tarjeta.”
“¡Juego muy ingenioso! Con una presentación muy apta para atraer al público a
jugar, lo único que se tendía que ajustar en mi consideración seria el tablero: que
este no se mueva tanto.”
Creatividad
99
Promedio 4.7
Originalidad
96
Promedio 4.5
Dinámico
94
Promedio: 4.3
Reactivos
correctos
97
Promedio: 4.6
21
0
1
2
3
4
5
Creatividad Originalidad Dinamica ReactivosCorrectos
Prom. Total
Prom. Total
Originalidad
Total obtenido96/105
Faltante deltotal 9/105
Creatividad
Total obtenido99/105
Faltante deltotal 6/105
“Me gustó, el juego es muy divertido, pero me gustaría que agregaran mas
reactivos y oportunidades de ganar.
*Tiene como base un total de 21 Jóvenes entrevistados.
4.7 4.5 4.4 4.6
22
Reactivos correctos
Faltante deltotal 8/105
Total obtenido97/105
Dinámico
Faltante deltotal 11/105
Total obtenido94/105
Análisis e interpretación de resultados
Con base a los comentarios realizados y lo observado en clase se concluyeron
dos puntos de mejora: introducir más reactivos y un mejoramiento de la estructura.
En base a esto hemos trabajado en perfeccionar el juego, agregando reactivos de
derivación, mejorando diseño de tarjetas y viendo dos opciones para poder activar
el mecanismo de disparo.
Cabe mencionar por otra parte, los resultados fueron satisfactorios, a los jóvenes
les gustaba estar participando, intentando ganar, resolviendo problemas sin
estresarse, y sobre todo, divirtiéndose con sus amigos.
Conclusiones:
Desde el primer momento en la planeación de nuestro juego tuvimos presente
nuestro objetivo, de ayudar a nuestros compañeros y a nosotros mismos a reforzar
nuestros conocimientos en matemáticas, ahora al obtener los resultados estamos
totalmente satisfechos ya que nuestro objetivo se cumplió y nuestra hipótesis fue
correcta.
Los resultados fueron meramente satisfactorios, a los jóvenes les gustaba estar
participando, intentando ganar, resolviendo problemas sin estresarse, y sobre
todo, divirtiéndose con sus amigos.
23
Podemos concluir en base a los resultados que nuestra hipótesis fue correcta ya
que con nuestro juego, nuestros compañeros se divirtieron y reforzaron sus
conocimientos en matemáticas.
Costos, beneficios y análisis de la competencia en el mercado.
Material Cantidad Precio Total
Perfocel 3 30 90
Tubos 2 20 40
Pintura 2 45 90
Palillos 1 15 15
Motor 1 30 30
Luces 1 50 50
Baterías 3 25 75
Resortes 2 15 30
Tarjetas 52 1.5 78
El costo de producción aproximado del juego es de $ 498. Es un costo elevado,
pero comparándolo con otros del mercado resulta muy barato puesto que los
Pinballs más baratos cuestan aproximadamente $1100, mientras que algunos
otros llegan a costar hasta $15000.
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Bibliografía
Gregorio Topalian Dakessian, Matemáticas VI área III, versión actualizada
2011.
Stewart J. Calculo de una variable trascendentes tempranas, 7ma edición,
2015, cengage
Stewart J. Calculo Diferencial e Integral, 2da Edición, México, Thompson
Editores, 2007.
Ángel A. Álgebra elemental. México: Prentice Hall. .( 1994)
Cibergrafía
http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-infinito.html
http://limitesdjdomatematicos.blogspot.mx/2009/08/limites-
matematicos_11.html