Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Neizrazita logika - Relacije 2-1
Fuzzy logika u prometu i transportu
2. Neizrazite relacije
Hrvoje Gold, Fakultet prometnih znanosti, Zagreb
Neizrazita logika - Relacije 2-2
Neizrazite relacije - Uvod (1)
Izrazitost granica
Izrazita (čvrsta) granica Neizrazita (labava) granica
X X
YY
Neizrazita logika - Relacije 2-3
Neizrazita relacija je neizraziti skup u vi�edimenzionalnom prostoru
Neizrazite relacije - Uvod (2)
X X
Y
µ µNeizraziti skup Neizrazita relacija
Neizrazita relacija je neizraziti skup uprostoru Kartezijevog produkta
Neizrazita logika - Relacije 2-4
∈
=××protivnomu
RxxxXXX n
nR 0),,,(1
: 2121
KLχ
χR je karakteristična funkcija izrazitog skupa
Podskup Kartezijevog produkta X1 × ... × Xnizrazitih skupova X1,..., Xn
Izrazita n-arna relacija
Neizrazita logika - Relacije 2-5
Neizrazita n-arna relacija
[ ]1,0: 21 →×× nR XXX Lµ
je funkcija članstva neizrazite relacije
Podskup Kartezijevog produkta X1 × ... × Xnneizrazitih skupova X1,..., Xn
∫ ××=
nXX nnR xxxxxxRK
LL1
),/(),( 2121µ
Neizrazita logika - Relacije 2-6
Izrazite i neizrazite relacije (1)
Izrazite binarne relacije:�y je jednako x��y je manje od x�
Jasno izra�ene granice
X
y < x
X
Y Y
y = x
Neizrazita logika - Relacije 2-7
Neizrazite granice
X X
Y Y
�y je pribli�no jednako x�
�y je malo manje od x�
Neizrazite binarne relacije:�y je pribli�no jednako x��y je malo manje od x�
Izrazite i neizrazite relacije (2)
Neizrazita logika - Relacije 2-8
Neizrazita binarna relacija R ⊂⊂⊂⊂ X ×××× Y- neprekidni oblik
[ ]1,0: →×YXRµ
∫ ×=
YX R yxyxR ),/(),(µ
Neizrazita binarna relacija R između skupova X i Y
Kada je X = Y, onda je R neizrazita relacija na X
Neizrazita logika - Relacije 2-9
Neizrazita binarna relacija R ⊂⊂⊂⊂ X ×××× Y- diskretni oblik
=
−
−
−
−
),(),(),(),(
),(),(),(),(),(),(),(),(
121
2122212
1112111
2
1
121
mnRmnRnRnR
mRmRRR
mRmRRR
n
mm
yxyxyxyx
yxyxyxyxyxyxyxyx
x
xx
R
yyyy
µµµµ
µµµµµµµµ
L
MMOMM
L
L
M
L
Prikaz u matričnom obliku - neizrazita matrica
Neizrazita logika - Relacije 2-10
1. Primjer neizrazitih relacija (1)
{ }{ }321
321
,,,,yyyYxxxX
==
=
7.02.05.01.09.04.03.06.01
""
3
2
1
321
xxx
blizu
yyy
�Blizina� između x1 i y2 iznosi 0.6�Blizina� između x1 i y1 iznosi 1.0
y1 je bli�e x1 od y2
n-matrica
Neizrazita logika - Relacije 2-11
=
100010011
""
3
2
1
321
xxx
blizu
yyy
�blizu� znači udaljenost manju od 100 km
Boole-ova matrica
1. Primjer neizrazitih relacija (2)
Neizrazita logika - Relacije 2-12
Tri para: Ivan i Maja, Matija i Ana, Luka i Jana
=
100010001
""Luka
MatijaIvan
ozenjeni
JanaAnaMaja
ž
2. Primjer neizrazitih relacija (1)
Neizrazita logika - Relacije 2-13
=
5.09.03.00.13.01.02.00.00.1
""LukaMatijaIvan
prisni
JanaAnaMaja
Stupanj prisnosti → [0, 1]
2. Primjer neizrazitih relacija (2)
Neizrazita logika - Relacije 2-14
Projekcija neizrazite n-arne relacije
Neka je R neizrazita relacija na Kartezijevom produktu X1 × ... × Xn, te neka je polje (i1, ..., ik) podpolje od (1, ..., n). Projekcija relacije R nad Xi1, ..., Xik je definirana kao
[ ]
∫ ×× ××
=
iki jmjXX ikinRXX
iki
xxxx
XXRproj
K KKK
K
1 1
),,/(),,(max
,,;
11
1
µ
pri čemu je polje (j1, ..., jm) dopuna od (i1, ..., ik), tj. podpolje od (1, ..., n) dobiveno oduzimanjem (i1, ..., ik).
Neizrazita logika - Relacije 2-15
Projekcija neprekidne binarne relacije
R je neizrazita relacija na Kartezijevom produktuX × Y.
[ ] xyxXRprojX
RY∫
= ),(max; µ
Projekcija R nad Y je neizraziti skup
[ ] yyxYRprojY
RX∫
= ),(max; µ
Projekcija R nad X je neizraziti skup
Neizrazita logika - Relacije 2-16
Projekcija prekidne binarne relacije
[ ] i
n
ijiR
YyxyxXRproj
j∑
=∈
=1
),(max; µ
{ } { }nn yyyYxxxX ,,,,,,, 2121 LL ==R je neizrazite relacija na Kartezijevom produktu X × Y.
Projekcija R nad X je neizraziti skup
Projekcija R nad Y je neizraziti skup
[ ] i
n
jjiR
XxyyxYRproj
i∑
=∈
=
1
),(max; µ
Neizrazita logika - Relacije 2-17
Projekcija neizrazite binarne relacije
Y
X
R
proj[R; X]A
Neizrazita logika - Relacije 2-18
Primjer projekcije neizrazitebinarne relacije (1)
{ }{ }n
n
yyyYxxxX
,,,,,,
21
21
L
L
== YXR ×⊂
=
7.04.01.08.02.05.03.00.16.0
3
2
1
321
xxx
R
yyy
Neizrazita logika - Relacije 2-19
[ ]
Axxxxx
xXRproj
=++=++
=
321
3
2
1
/7.0/8.0/0.1/)7.0,4.0,1.0max(/)8.0,2.0,5.0max(
/)3.0,0.1,6.0max(;
[ ]
Byyyyy
yYRproj
=++=++
=
321
3
2
1
/8.0/0.1/6.0/)7.0,8.0,3.0max(/)4.0,2.0,0.1max(
/)1.0,5.0,6.0max(;
Primjer projekcije neizrazitebinarne relacije (2)
Neizrazita logika - Relacije 2-20
=
7.04.01.08.02.05.03.00.16.0
3
2
1
321
xxx
R
yyy
visinasjene
0.6 1.0 0.8
izvor svjetla
Y os
Primjer projekcije neizrazitebinarne relacije (3)
Neizrazita logika - Relacije 2-21
Valjkasto produljenje neizrazite n-arne relacije
Neka je R neizrazita relacija na Kartezijevom produktu X1× ... × Xn.
Valjkasto produljenje v(R) od R nad X1× ... × Xnje definirana kao
∫ ××=
nXX nnR xxxxxxRvK
KK1
),,,/(),,,()( 2121µ
Neizrazita logika - Relacije 2-22
Valjkasto produljenje neprekidne neizrazite binarne relacije
A je neizraziti skup na univerzalnom skupu X. Valjkasto produljenje v(A) od A na X × Y je neizrazita relacija
∫ ×=
YX A yxxAv ),/()()( µ
B je neizraziti skup na univerzalnom skupu Y. Valjkasto produljenje v(B) od B na X × Y je neizrazita relacija
∫ ×=
YX B yxyBv ),/()()( µ
Neizrazita logika - Relacije 2-23
{ } { }nn yyyYxxxX ,,,,,,, 2121 LL ==
Valjkasto produljenje prekidne neizrazite binarne relacije (1)
A je neizraziti skup na univerzalnom skupu X.Valjkasto produljenje v(A) od A na X × Y je neizrazita matrica
=
−
)()()()(
)()()()()()()()(
)( 2222
1111
2
1
121
nAnAnAnA
AAAA
AAAA
n
mm
xxxx
xxxxxxxx
x
xx
Av
yyyy
µµµµ
µµµµµµµµ
L
MMOMM
L
L
M
L
Neizrazita logika - Relacije 2-24
{ } { }nn yyyYxxxX ,,,,,,, 2121 LL ==
Valjkasto produljenje prekidne neizrazite binarne relacije (2)
B je neizraziti skup na univerzalnom skupu Y.Valjkasto produljenje v(B) od B na X × Y je neizrazita matrica
=
−
)()()()(
)()()()()()()()(
)( 2222
1111
2
1
121
nBnBnBnB
BBBB
BBBB
n
mm
yyyy
yyyyyyyy
x
xx
Bv
yyyy
µµµµ
µµµµµµµµ
L
MMOMM
L
L
M
L
Neizrazita logika - Relacije 2-25
Valjkasto produljenje neizrazite binarne relacije
Y
X
v(A)
A
Projekcija i valjkasto produljenje neizrazite relacije su suprotne operacije.
Neizrazita logika - Relacije 2-26
Primjer valjkastog produljenja neizrazitebinarne relacije (1)
YXR ×⊂
=
7.04.01.08.02.05.03.00.16.0
3
2
1
321
xxx
R
yyy
{ }{ }n
n
yyyYxxxX
,,,,,,
21
21
K
K
==
Neizrazita logika - Relacije 2-27
=
7.07.07.08.08.08.00.10.10.1
)(
3
2
1
321
xxx
Av
yyyValjkasto produljenjeneizrazitog skupa A na Kartezijevomproduktu X × Y
=
8.00.16.08.00.16.08.00.16.0
)(
3
2
1
321
xxx
Bv
yyyValjkasto produljenjeneizrazitog skupa B na Kartezijevomproduktu X × Y
Primjer valjkastog produljenja neizrazite binarne relacije (2)
Neizrazita logika - Relacije 2-28
Posebne neizrazite relacije
Simetričnosti R-1:
Identičnosti I:
Nule Z:
Jedinice U:
),(),(1 yxxy RR µµ =−
≠=
=yxyx
yxI 01
),(µ
YyXxxyZ ∈∀∈∀= ,0),(µ
YyXxxyU ∈∀∈∀= ,1),(µ
Neizrazita logika - Relacije 2-29
Posebne neizrazite relacije - Primjeri
=
9.05.01.06.03.07.04.08.00.1
R
=−
9.06.04.05.03.08.01.07.00.1
1R
=
100010001
I
=
000000000
Z
=
111111111
U
Neizrazita logika - Relacije 2-30
Operacije s neizrazitim relacijama
YXSYXR
×⊂×⊂
Unija neizrazitih relacija R i S:
Presjek neizrazitih relacija R i S:
Komplement neizrazitih relacije R:
),(),(),( yxyxyx SRSR µµµ ∨=∪
),(1),( yxyx RR µµ −=¬
),(),(),( yxyxyx SRSR µµµ ∧=∩
{ }{ }n
n
yyyYxxxX
,,,,,,
21
21
K
K
==
Rµ
Neizrazita logika - Relacije 2-31
Neizrazita relacija sadr�avanja
YXSYXR
×⊂×⊂
YyXxyxyxSR SR ∈∀∈∀≤⇔⊆ ,),(),( µµ
{ }{ }n
n
yyyYxxxX
,,,,,,
21
21
K
K
==
( )11
11
111
111
)(
)(
−−
−−
−−−
−−−
⊆=⊆
=
∩=∩
∪=∪
SRSR
RR
SRSR
SRSRSvojstva neizrazite relacije zamjene
Neizrazita logika - Relacije 2-32
Slaganje neizrazitih relacija- poseban slučaj
x0
y0
X
Y
y = f(x) x0 →→→→ y0
y = neizrazita f(x) x0 →→→→ neizrazito y0
y = f(x)
Neizrazita logika - Relacije 2-33
A
B
X
Y
R ⊂ X × Y, A ⊂ X : B ⊂ Y → B = A ο R
Neizrazita relacija R
Slaganje neizrazitih relacija- opći slučaj
Neizrazita logika - Relacije 2-34
Ulazno-izlazna relacija
f
Ry = B = A ο R
y = y0 = f(x0)x = x0
x = A
A - ulazni skup, B - izlazni skup
Neizrazita logika - Relacije 2-35
Max-min slaganje neizrazitih relacija (1)
1.Slaganje neizrazitog skupa A i neizrazite relacije R
A ⊂ X, R ⊂ X × Y : y = A ο R
R
y = A ο Rx = A
[ ]),()(max)( yxxy RAXxRA µµµ ∧=∈o
Rezultat slaganja je neizraziti skup na Y s funkcijom članstva
Neizrazita logika - Relacije 2-36
2.Slaganje neizrazite relacije R i neizrazite relacije S
R ⊂ X × Y, S ⊂ Y × Z : z ⊂ R ο S
R
z = A ο (R ο S)x = A
S
R ο S
x y z
Max-min slaganje neizrazitih relacija (2)
[ ]),(),(max),( zyyxzx SRYy
SR µµµ ∧=∈
o
Neizrazita logika - Relacije 2-37
Slaganje kao mno�enje matrica
=
dcba
R
=
hgfe
S
++++
=
⋅
=⋅
dhcfdgcebhafbgae
hgfe
dcba
SR
∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧
=
=
)()()()()()()()(
hdfcgdechbfagbea
hgfe
dcba
SR oo
min -> mno�enje, max -> zbrajanje
Neizrazita logika - Relacije 2-38
Svojstva slaganja neizrazitih relacija
WZUZYTSYXRR
XAA
×⊂×⊂
×⊂′⊂′
,,,
( )
TRSRTSTRSRUSR
USRUSRRSSR
RSSRRARARRARARARRARARARAARARARAA
oo
ooo
oooo
oo
oo
ooo
ooo
ooo
ooo
⊆⇒⊆∩=∩
==
≠′∩=′∩′∪=′∪
′∩=′∩′∪=′∪
−−−
)()()()()(
)()(
)()(
111
Neizrazita logika - Relacije 2-39
Primjer slaganja skupa i relacije (1)
{ } { }321321 ,,,,, yyyYxxxX ==
[ ]5.00.12.0321
=Axxx
=
9.03.02.05.00.16.01.09.08.0
3
2
1
321
xxx
R
yyy
Neizrazita logika - Relacije 2-40
[ ]
[ ]
[ ]5.01.06.0
5.05.05.03.01.02.02.06.02.0)]9.05.0()5.00.1()1.02.0(),3.05.0()0.10.1()9.02.0(),2.05.0()6.00.1()8.02.0[(
9.03.02.05.00.16.01.09.08.0
5.00.12.0
321
=
∨∨∨∨∨∨=∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧=
==
yyy
RAB oo
Primjer slaganja skupa i relacije (2)
Neizrazita logika - Relacije 2-41
Primjer slaganja neizrazitih relacija (1)
{ } { } { }321321321 ,,,,,,,, zzzZyyyYxxxX ===
=
7.02.05.01.09.04.03.06.00.1
3
2
1
321
xxx
R
yyy
=
8.08.01.02.09.07.05.01.00.1
3
2
1
321
yyy
S
zzz
Tri grada iz tri �upanije
R je blizina gradova između �upanije X i YS je blizina gradova između �upanije Y i Z
Neizrazita logika - Relacije 2-42
=
7.07.05.04.09.07.05.06.00.1
3
2
1
321
xxx
SR
zzz
o
RοS je blizina gradova između �upanije X i Z uz put kroz �upaniju Y
0.1max
1.01.03.0 :3Put
6.07.06.0 :2Put
0.10.10.1 :1Put
11.0
33.0
1
17.0
26.0
1
10.1
10.1
1
⇒
=∧→→
=∧→→
=∧→→
zyx
zyx
zyx
Postoje tri puta između x1 i z1
Primjer slaganja neizrazitih relacija (2)
Neizrazita logika - Relacije 2-43