UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO-MATEMATIKI

FAKULTET

DEPARTMAN ZA FIZIKU

Nelinearna dinamika analiza fizikih

procesa u ivotnoj sredini

DOKTORSKA DISERTACIJA

Komentori: Kandidat:

Prof. dr Miodrag Krmar MSc Gordan Mimi

Prof. dr Dragutin T. Mihailovi

Novi Sad, 2016. godina

2

Sadraj 1. Uvod 5

I Deo

2. Modeli ivotne sredine 8

2.1. Opti principi i upotreba 8

2.2. Ogranienja 12

3. Domen reenja jednaina u modelima ivotne sredine 14

3.1. Dinamiki sistemi 15

3.2. Stabilnost reenja jednaina 16

3.3. Bifurkacije 19

3.4. Atraktor 22

3.5. Ljapunovljevi eksponenti 24

3.6. Kolmogorovljeva kompleksnost 28

3.7. Analiza reenja jednaine energijskog bilansa na

povrini zemljita 30

II Deo

4. Informacione mere, entropija i kompleksnost 38

4.1. Srednja Kolmogorovljeva kompleksnost 48

4.2. Spektar Kolmogorovljeve kompleksnosti 51

4.3. Maksimalna Kolmogorovljeva kompleksnost 53

4.4. Sveukupna Kolmogorovljeva kompleksnost 53

5. Upotreba informacionih mera u analizi vremenskih serija

dobijenih merenjima fizikih faktora ivotne sredine 57

5.1. Analiza koncentracije radona u peinama 58

5.2. Analiza protoka fluida ivotne sredine 64

5.3. Analiza prostorne raspodele padavina 76

5.4. Analiza temperature vazduha i padavina 80

5.5. Analiza UV-B zraenja 89

3

6. Primena informacionih mera u proceni kompleksnosti

modela ivotne sredine 92

6.1. Kompleksnost modela ivotne sredine 92

6.2. Procene kompleksnosti klimatskih modela 93

7. Zakljuak 102

Literatura 105

Dodatak A 113

4

Predgovor

U ovu doktorsku disertaciju je uloeno dosta energije, ali je u svakom trenutku potovan

princip minimalnog porasta entropije. Veliku zahvalnost dugujem mentoru Prof. dr Dragutinu

Mihailoviu za dugogodinju saradnju. Takoe, zahvaljujem se Prof. dr Darku Kaporu i Doc.

dr Iliji Arseniu na uvek korisnim savetima. Disertaciju posveujem svojim roditeljima.

Novi Sad, 21. april 2016. Gordan Mimi

5

1. Uvod

Atmosfera zajedno sa hidrosferom, litosferom, kriosferom i biosferom ini ivotnu

sredinu svih ivih bia na planeti Zemlji. Kao takva, ivotna sredina je kompleksan sistem i

interakcije izmeu njenih pojedinih delova su nelinearne. Fiziki procesi koji se odvijaju u

ivotnoj sredini mogu da se predstave matematikim modelima. Matematiki model

predstavlja formalan matematiki opis ponaanja ili osobina nekog fizikog sistema. Ako

bismo imali potpuno taan matematiki opis to bi znailo da u potpunosti poznajemo osobine

i ponaanje tog fizikog sistema, i da pod datim uslovima moemo tano da predvidimo

njegovo budue stanje. S obzirom da je, u optem sluaju, nemogue dati ovakav opis onda se

vre odreene aproksimacije, kojima se zanemaruju uticaji koji malo doprinose promeni

stanja sistema, i na taj nain se formira model. U matematikim modelima fiziki procesi su

obino predstavljeni diferencijalnim jednainama. Analitiko reavanje diferencijalnih

jednaina je mogue najee samo za veoma pojednostavljene sluajeve i to uglavnom

linearizovane sisteme jednaina. Reavanje u optem, nelinearnom obliku mogue je jedino

numerikim metodima (Mesinger, 1976). Meutim, kada se jednaine reavaju numeriki,

putem raunara, moraju da se prevedu iz analitikog u numeriki oblik, ime se diskretizuje

raun u prostoru i vremenu i time se delimino gube informacije o procesu. Problem se javlja

i kada jednaina izvedena iz optih zakona fizike ne moe adekvatno da opie neki proces bez

uvoenja dodatnih lanova. Tada mora da se pribegne parametrizaciji procesa. Pri tome, na

osnovu dovoljno velikog broja eksperimentalnih merenja, poluempirijskim metodima

dolazimo do jednaine koja dobro opisuje proces ali pod odreenim okolnostima, tj. pri

odreenoj vrednosti parametara koji figuriu u njoj. Bez obzira koliko su u dananje vreme

modeli ivotne sredine usavreni i sofistikovani, te mogu pouzdano da predvide odreeno

stanje nekog fizikog sistema u nekom buduem periodu, nain na koji oni predstavljaju

procese u atmosferi i dalje nije u potpunosti taan. Kao primer mogu da poslue numeriki

modeli za prognozu vremena, koji za period od dva-tri dana daju prilino tanu prognozu ali

se ipak desi da u odreenoj situaciji prognoziraju kiu na odreenoj lokaciji, a da kia ne

padne.

Pri reavanju diferencijalnih jednaina potrebno je poznavati poetne i granine uslove.

Nelinearne parcijalne diferencijalne jednaine su veoma osetljive na poetne uslove. To znai

da mala promena u poetnim uslovima vodi ka razliitim reenjima, odnosno razliitim

buduim stanjima sistema (Lorenz, 1963a). Lorenc (Edward Lorenz) je prvi ustanovio

divergenciju reenja usled male promene poetnih uslova i takav odziv nazvao efekat

6

leptira, ilustrujui ga hipotetikim primerom da zamah krila leptira na jednom delu planete

moe da utie na stvaranje ciklona na drugom. Iz ovog Lorencovog zapaanja se vremenom

razvila teorija haosa. Ona sa jednog drugaijeg aspekta posmatra nelinearne fenomene i

kompleksne sisteme u prirodi, ispitujui postojanje obrazaca u njihovom ponaanju.

Kompleksan sistem je sastavljen od delova koji meusobno interaguju nelinearno i izmeu

kojih postoji mnotvo veza, pa stoga male promene u sistemu mogu znaajno da utiu na

njegovo budue stanje. Ponaanje sistema jeste deterministiko i evolucija stanja se odvija po

jasnim zakonima, meutim nepotpuno poznavanje sadanjeg stanja nas vodi ka pogrenoj

proceni budueg.

Osnovna informacija koju moemo da imamo o stanju sistema dobija se merenjem

njegovih fizikih karakteristika. Vremenska serija merenih podataka nam govori o stanjima

kroz koja je sistem prolazio u odreenom periodu, iz ega moemo da izvedemo zakljuak o

ponaanju tog sistema, tj. o njegovoj dinamici. Potom se pravi model, odnosno formira

jednaina ili sistem jednaina koje adekvatno opisuju evoluciju stanja usled fizikih procesa

koji se odvijaju u tom sistemu (slika 1.1). Uloga modela jeste da predvidi budua stanja

sistema. to bolje razumemo ponaanje sistema to e na model biti pouzdaniji.

Slika 1.1 Shematski prikaz pristupa prouavanju nekog fizikog sistema.

Za ispitivanje nelinearnih osobina sistema primenjuju se razliite metodologije a sam

postupak se naziva nelinearna dinamika analiza. Jedan pristup predstavljaju elementi teorije

haosa, to ukljuuje ispitivanje stabilnosti reenja jednaina koje opisuju sistem pravljenjem

bifurkacionog dijagrama, upotrebom Ljapunovljevih eksponenata (a a

o) ispituje se osetljivost sistema na poetne uslove, raunanjem atraktora odreuje se

SISTEM

FIZIKE

KARAKTERISTIKE

MERENJE

FIZIKI PROCESI

MODELIRANJE

7

domen reenja u faznom prostoru. Drugi pristup jeste analiza vremenskih serija merenih

podataka o sistemu, raunanjem razliitih mera koje ukazuju na ureenost ili neureenost u

evoluciji stanja sistema, poput enonove entropije (Claude Elwood Shannon), aproksimativne

entropije, entropije uzorka, Kolmogorovljeve kompleksnosti (

) i dr. Na ovaj nain se pokuava stei dublji uvid u osobine datog sistema i to

potpunije razumeti njegovo ponaanje, te samim tim preciznije prognozirati njegova budua

stanja.

U ovoj disertaciji je obavljena nelinearna dinamika analiza nekih fizikih procesa u

ivotnoj sredini, upotrebom oba gore pomenuta pristupa. U prvom delu je napravljen kritiki

osvrt na modele ivotne sredine, nain na koji funkcioniu, za ta mogu da se koriste i koja su

im ogranienja (poglavlje 2). Zatim je objanjena matematika teorija o dinamikim

sistemima kao optijem aspektu modeliranja. Razmatrani su elementi teorije haosa i njena

metodologija, ispitana na primeru logistike jednaine, a potom upotrebljena za konkretan

sluaj u kojem je povrina zemljita posmatrana kao jedan dinamiki sistem, ije se ponaanje

analizira (poglavlje 3). U drugom delu disertacije uvedene su nove informacione mere

bazirane na konceptu Kolmogorovljeve kompleksnosti za ispitivanje nelinearnog ponaanja

sistema kroz analizu vremenskih serija (poglavlje 4). Potom su nove mere testirane na

vremenskim serijama razliitih fizikih parametara ivotne sredine, ispitujui na taj nain

koliinu informacija koje nose o sistemu, prevashodno o nivou nasuminosti. Korieni su

podaci o koncentraciji radona u peini u Slovakoj, koliini padavina i renim protocima u

Bosni i Hercegovini, kao i podaci o temparaturi vazduha, koliini padavina i UV zraenju u

Srbiji (poglavlje 5). Druga primena novih mera se odnosi na analizu rezultata modela ivotne

sredine, ispitivanjem kompleksnosti vremenskih serija dobijenih modeliranjem i

osmatranjima, da bi se utvrdilo koliko relevanto neki klimatski model moe da generie seriju

podataka u odreenom vremenskom periodu i koliko dobro se to slae sa osmatranjima

(poglavlje 6). Poslednje poglavlje je ostavljeno za kratak pregled rada i izvoenje zakljuaka.

8

2. Modeli ivotne sredine

2.1. Opti principi i upotreba

Reavanje diferencijalnih jednaina dinamike i termodinamike atmosfere, kao i ivotne

sredine uopte, analitikim metodima je mogue uglavnom za idealizovane i znatno

pojednostavljene sluajeve linearizovane sisteme jednaina. Njihovo reavanje u optem,

nelinearnom obliku, izvodivo je jedino numerikim metodima (Mesinger, 1976). Numeriko

reavanje jednaina moe da se vri pomou dva metoda. U prvom metodu se izabere skup

taaka u prostoru za koje se raunaju vrednosti zavisno promenljivih veliina (npr.

temperatura, pritisak, vlanost vazduha itd.). Skup taaka se naziva mrea pa se shodno tome

ovakav pristup zove metod mree taaka. U drugom metodu se zavisno promenljive veliine

razviju u ortogonalne redove, koji se zatim uvrste u sistem jednaina. Na taj nain se umesto

sistema parcijalnih diferencijalnih jednaina dobije sistem obinih diferencijalnih jednaina,

pri emu su zavisno promenljive koeficijenti tih redova a nezavisno promenljiva samo vreme.

Ovakav pristup se zove spektralni metod i on je ree u upotrebi.

Kod metoda mree taaka, u oblasti za koju se vri integracija neke diferencijalne

jednaine, potrebno je definisati skup taaka. Data diferencijalna jednaina se u tim takama

zamenjuje priblinom jednainom koja koristi jedino vrednosti zavisno promenljivih. Na ovaj

nain se dobija skup algebarskih jednaina. Poznavanjem poetnih vrednosti u svim takama i

graninih vrednosti u takama na granicama oblasti, mogue je reiti sistem jednaina

ponavljanjem rauna veliki broj puta. Poznavanje samo skupa diskretnih vrednosti neke

funkcije, umesto nje cele, uzrokuje smanjenje koliine informacija o toj funkciji. Rastojanje

izmeu dve susedne take u mrei se naziva korak mree. Ukoliko je korak mree manji tada

je koliina informacija o datoj funkciji sigurno vea ali se odreene informacije u ovakvom

pristupu svakako gube. Nain na koji se za datu diferencijalnu jednainu formira priblina

jednaina sastoji se u tome da se izvodi u njoj zamene kolinicima konanih razlika. Postoji

vie naina na koji to moe da se izvede ali je najvanije da kolinik bude konzistentan, a to

znai da tei izvodu kada korak mree tei nuli. Priblina jednaina se naziva aproksimacija

ili ema u konanim razlikama. Ostatak koji se zanemari u aproksimaciji se naziva greka

odsecanja. Reenje koje se dobije pomou eme se esto naziva numeriko reenje. Ono moe

da se razlikuje od reenja polazne diferencijalne jednaine, koje se obino naziva tano

reenje. Razlika numerikog i tanog reenja predstavlja greku reenja. Posebno je vano

poznavati ponaanje greke reenja kada prostorni i vremenski korak tee nuli

(konvergencija) i kada broj raunskih koraka neogranieno raste (stabilnost). Diferenciranje

9

po vremenu moe da se vri na nekoliko naina, zavisno od broja vremenskih nivoa za koje se

koriste vrednosti funkcije pri jednom izraunavanju, pa stoga postoji nekoliko vremenskih

ema.

Vilhelm Bjerknes (Vilhelm Friman Koren Bjerknes) je 1904. godine prvi izneo ideju o

prognozi vremena reavanjem sistema hidrodinamikih jednaina koje opisuju fizike procese

u atmosferi, na osnovu poznavanja osmotrenog stanja. Tokom Prvog svetskog rata Luis Fraj

Riardson (Lewis Fry Richardson) se osmelio na prvi praktian pokuaj raunanja budueg

stanja atmosfere. Iako su rezultati nakon dugotrajnog prorauna bili pogreni, ovo se smatra

velikim doprinosom meteorologiji i prvom realizacijom ideje o numerikoj prognozi

vremena. Nakon Drugog svetskog rata, uz pomo prve raunske maine ENIAC, na

Univerzitetu Prinston, arni (Jule Gregory Charney), Fjortoft (Ragnar Fjrtoft) i fon Nojman

(John von Neumann) su uradili prvu uspenu numeriku integraciju jednaina kretanja,

koristei jednostavan model zasnovan na barotropnoj jednaini vrtlonosti (Charney et al.,

1950). Tokom druge polovine 20. veka deava se intenzivan razvoj numerikih modela za

prognozu vremena i neprestano se radi na njihovom usavravanju. U poetku su se pravili

modeli opte cirkulacije atmosfere ili okeana, da bi se vremenom poeli upotrebljavati modeli

za ogranienu oblast prostora, sa finijom rezolucijom. Godine 1975. poinje sa radom

Evropski centar za srednjoronu prognozu vremena (European Centre for Medium-Range

Weather Forcast - ECMWF) u Redingu (Velika Britanija) koji okuplja veliki broj strunjaka

iz celog sveta. Sa druge strane Atlantskog okeana, u SAD-u, se razvijaju Nacionalni centri za

predvianja ivotne sredine (National Centers for Environmental Prediction - NCEP). Iz ove

dve institucije potiu vodei svetski modeli koji se danas koriste u operativne i istraivake

svrhe.

U Republikom hidrometeorolokom zavodu Srbije se ve dui niz godina u operativne

svrhe koristi numeriki model za prognozu vremena WRF NNM (Weather Research and

Forcast Nonhydrostatic Mesoscale Model). Razvijen je u NCEP-u a njegovom razvoju je

veliki doprinos dao na istaknuti naunik Zavia Janji. To je model koji se koristi za

ogranienu oblast prostora. Osnovne odlike su mu upotreba potpunog sistema jednaina

(hidrostatikih i nehidrostatikih), smanjenje raunskog vremena kada se koristi nia

prostorna rezolucija, kao i korienje metoda u kojima su umovi maksimalno prigueni

(Janji, 2010). Vertikalna koordinata je hibridna sigma- (hidrostatiki pritisak). Sigma

koordinata dobro prati orografiju terena i njen uticaj koji postoji do odreene visine (priblino

420 mb), nakon koje se koristi pritisak. Sistem osnovnih jednaina dinamike i termodinamike

za neviskozni fluid koji se kree adijabatski ukljuuje: jednainu kretanja u horizontalnom

10

pravcu, jednainu termodinamike, jednainu kontinuiteta, hipsometrijsku jednainu,

jednainu kretanja u vertikalnom pravcu, kao i nehidrostatiku jednainu kontinuiteta. Uticaj

nehidrostatikih procesa postaje uoljiv kada se prostorni korak smanji ispod 10 km i veoma

je bitan. Model koristi metod mree taaka i radi u Arakavinoj (Akio Arakawa)

polurazmaknutoj E mrei. Model se sastoji od velikog broja ema za parametrizaciju raznih

fizikih procesa, npr. zraenja, povrinskih procesa, konvekcije, turbulentnih procesa itd. Na

slici 2.1 je prikazano prognostiko polje temperature vazduha na 2 m za odreenu oblast

prostora i u odreenom terminu, kao rezultat upotrebe WRF NMM numerikog modela.

Slika 2.1 Prognostiko polje temperature vazduha na 2 m za 09.09.2015. u 9 asova, dobijeno pomou

modela WRF NMM (preuzeto sa www.hidmet.gov.rs).

WRF-Hydro je hidroloki model koji moe da se koristi samostalno ili spregnut sa

atmosferskim modelom. Slui za prouavanje hidrolokih procesa na zemljitu i u njemu,

povrinski i podzemni oticaj, vodotok u kanalima, vodne rezervoare, razmenu vode izmeu

zemljita i atmosfere itd. Radi u mrei taaka i na ogranienoj oblasti, kako bi bio usklaen sa

atmosferskim modelom.

WRF-Chem predstavlja hemijski model koji simulira emisiju, transport, meanje i

hemijsku transformaciju gasova i aerosola pod odreenim meteorolokim uslovima. U analize

koje mogu da se izvedu sa ovim modelom spadaju: formiranje organskih aerosola, formiranje

sekundarnih organskih aerosola u vidu rastvora, uzdizanje gasova i aerosola pri dubokoj

11

konvekciji, ponaanje estica pri peanim olujama, stvaranje ozona pri strujanjima u gornjoj

troposferi, stvaranje azotnih oksida prilikom elektrinih pranjenja u atmosferi itd.

Kao primer modela opte crikulacije atmosfere moe da se navede ECHAM5 (European

Centre HAMburg 5). Nastao je prepravkama globalnog, spektralnog prognostikog modela

korienog u Evropskom centru za srednjoronu prognozu vremena. Razvijen je od strane

naunika u Maks Plank institutu za Meteorologiju u Hamburgu (Nemaka), u svrhu

istraivanja klime (Roeckner et al., 2003). Povezivanjem sa okeanskim modelom koristi se

kao klimatski model, i zvanino od strane Meuvladinog panela za klimatske promene

(Intergovernmental Panel on Climate Change - IPCC), za klimatske simulacije na globalnom

nivou u 21. veku. Neki od rezultata istraivanja promene klime, pomou ECHAM5/MPI-OM

modela, prikazani su na slici 2.2. Poreene su srednje godinje vrednosti povrinske

temperature vazduha dobijene upotrebom A1B scenarija klimatskih promena, za periode

2071-2100. i 1961-1990. Prema ovim rezultatima oekuje se porast temperature na globalnom

nivou a naroito u oblasti severnog pola, to bi uzrokovalo dodatno topljenje leda i imalo

mnoge druge posledice.

Slika 2.2 Promene u srednjoj godinjoj povrinskoj temperaturi vazduha (oC) u periodu 2071-2100. u

odnosu na period 1961-1990., prema A1B scenariju klimatskih promena, dobijene pomou

ECHAM5/MPI-OM klimatskog modela (May, 2008).

12

2.2. Ogranienja

Osnovno ogranienje bilo kojeg modela ivotne sredine odnosi se na prognozljivost.

Postavlja se pitanje koliko tano model moe da predvidi budue stanje nekog sistema i za

koji vremenski period. Postoje procesi koji se odvijaju u pravilnim vremenskim razmacima i

za takve procese kaemo da su periodini, kao npr. kretanje planeta u Sunevom sistemu,

pojava plime i oseke, ciklus Sunevih pega i sl. Periodine procese je relativno lako

prognozirati, jednostavnom ekstrapolacijom u budunost. Meutim, mnogi procesi u prirodi,

a naroito u atmosferi, su neperiodini. U disipativnim sistemima koji su opisani sistemom

linearnih jednaina, konstantno dejstvo uzrokuje konstantan odgovor, dok periodino dejstvo

vodi ka periodinom odgovoru. Stoga se za neperiodian tok kae da je posledica nasuminog

dejstvovanja. Rezonovanje koje vodi do ovakvih zakljuaka ne moe da se primeni u sluaju

nelinearnih jednaina. Ako jednaina sadri lan koji opisuje advekciju, odnosno prenoenje

neke osobine fluida samim kretanjem fluida, na konstantno forsiranje moe da se javi razliit

odgovor (Lorenz, 1963b). Lorenc je prouavao konvektivne procese u fluidu koji se nalazi u

rotirajuem sudu, a koji se pritom na jednom kraju zagreva a na drugom hladi. Napravio je

matematiki model ovakvog sistema, predstavljen sa tri obine diferencijalne jednaine i

posmatrao njegova reenja. Zakljuio je da je najvanija osobina neperiodinog toka fluida

pojava nestabilnosti u njemu, gledano u odnosu na male promene u amplitudi.

Lorenc je pisao i o prognozljivosti hidrodinamikog toka (Lorenz, 1963a). On je pustio

dvoslojni model barokline atmosfere sa 12 jednaina. Kada je na osnovu trenutnog stanja svih

promenljivih vrio predvianje jedne promenljive za naredni dan prognoza je bila prilino

tana, ali kada je radio prognozu za naredna dva dana, poeli su da se uoavaju nedostaci.

Lorenc je zakljuio da se poveanjem prognostikog perioda smanjuje pouzdanost prognoze

odnosno da se greka u prognozi udvostruuje ve u periodu od pet dana. Drugo veoma bitno

opaanje se sastoji u sledeem. Pustio je model za nekoliko dana unapred a zatim je u nekom

trenutku rezultate prognoze sa est cifara zaokruio na tri cifre i iskoristio ih kao poetne

uslove za novu simulaciju. Naporedo je pratio kako se odvijaju obe simulacije. Male razlike u

poetnim uslovima dovele su na kraju prognostikog perioda do razliite prognoze. Na ovaj

nain se moe uoiti kako mali poremeaj raste u svakom raunskom koraku. Primenjeno na

atmosferu, mala greka prilikom osmatranja poetnih uslova e se vremenom akumulirati i na

kraju dovesti do pogrene prognoze. S obzirom da su greke merenja neizbene izvodi se

zakljuak da je prosto nemogue da dugorona prognoza bude nepogreiva s obzirom da dva

veoma bliska poetna stanja mogu da evoluiraju u potpuno razliita stanja (Lorenz, 1985).

13

U atmosferi stanje u jednoj taki prostora zavisi dosta od stanja u okruenju, kao i od

interakcije sa okruenjem, koja se odvija nelinearno. Ova interakcija je u jednainama

dinamike predstavljena advektivnim lanom. Ukoliko elimo da prognoziramo budue stanje

atmosfere u nekoj taki mree, bolju prognozu emo dobiti ukoliko poznajemo stanje u toj

taki i u nekoj njoj bliskoj taki za par dana unazad, nego da poznajemo samo stanje u toj

taki za nekoliko godina u nazad. To znai da bitan faktor koji utie na prognozljivost

vremenskih prilika jesu nelineane veze meu pojedinim delovima atmosfere.

Teorijska ogranienja koja se javljaju pri modeliranju ivotne sredine razmatrana su u

radu Mihailovia i Mimia (2012), koji su napravili pregled nekih kljunih pitanja. Prvo i

osnovno pitanje koje se namee kada pravimo matematiki model nekog prirodnog fenomena

jeste da li mi u potpunosti razumemo kako se taj fenomen odvija? Dalje, kada fenomen

opisujemo nekom diferencijalnom jednainom kako moemo da budemo potpuno sigurni da

su lanovi i parametri u jednaini adekvatni? Pomenuto je ve ranije da je reavanje

nelinearnih diferencijalnih jednaina mogue samo numerikim putem. Tom prilikom je

potrebno prei sa diferencijalnog oblika na diferencni pri emu se u procesu diskretizacije

gube odreene informacije o promenljivim. Konano, kako da budemo sigurni da je dobijena

diferencna jednaina dobra aproksimacija polazne diferencijalne jednaine? Jedan od naina

jeste da se reenja jednaine uporede sa eksperimentalnim podacima ali sva matematiki tana

reenja ne moraju da budu fiziki mogua. Kolmogorov je ovo tumaio razliitim poimanjem

nasuminosti u matematici i fizici. Tradicionalna matematika analiza fizikih sistema

preutno podrazumeva da su svi realni brojevi, bez obzira koliko mali ili veliki bili, fiziki

mogui. Ovakav pristup vai u inenjerstvu i nekim oblastima fizike, ali nam nije od koristi

pri prouavanju kompleksnih sistema kakvi su atmosfera ili neki bioloki sistemi (Kreinovich

and Kunin, 2003). Zbog toga se u poslednje vreme razvija oblast nauke pod nazivom

nelinearna dinamika analiza koja razmatra pojavu haosa u fizikim sistemima, ispituje

njihove nelinearne osobine, prouava njihovu dinamiku i prognozljivost. Pri razmatranju

nekog fizikog sistema, haotine fluktuacije mogu da se pojave iz dva razloga: numerkog,

zato to pokuavamo da naemo diferencnu jednainu ija su reenja dobra aproksimacija

reenja date diferencijalne jednaine ili fizikog, zato to je sistem sam po sebi haotine

prirode, to e biti analizirano u narednom poglavlju.

14

3. Domen reenja jednaina u modelima ivotne sredine

Nelinearni fenomeni se javljaju u prirodi u irokom opsegu razliitih konteksta; fizikih,

hemijskih i biolokih, koji objedinjeni predstavljaju ivotnu sredinu, u irem smislu. Kao

primer nelinearnih fenomena mogu da se navedu turbulentni hidrodinamiki tok, kinetika

hemijskih reakcija, bioloki i ekoloki sistemi, i sl. Pored toga to pripadaju razliitom

kontekstu nelinearne pojave esto pokazuju zajednike osobine ili mogu da budu objanjene

upotrebom slinih koncepta. Slinost u sloenom ponaanju ovakvih sistema nije samo

povrna i na deskriptivnom nivou nego je zasnovana na eksperimentalnim podacima. Ove

injenice proistiu iz moderne teorije o nelinearnim sistemima ili preciznije od kvalitativne i

kvantitative teorije o dinamikim sistemima, koja prouava ureenost u haosu i haos izvan

ureenosti (Zeng, 1992). Prvo se odnosi na solitone, koherentne strukture i formiranje

obrazaca dok se drugo odnosi na raunanje fraktalnih dimenzija, Ljapunovljevih eksponenata,

raznih vidova entropije i kompleksnosti. Re haos se prvi put pojavljuje u matematikoj

literaturi 1975. godine da bi se oznaili naizgled nasumini rezultati nekih jednaina (Li and

York, 1975). Obino se pojam haos (ili preciznije deterministiki haos) odnosi na nepravilno,

nepredvidivo ponaanje u deterministikim, disipativnim i nelinearnim dinamikim

sistemima. Treba naglasiti da haos ne moe jednostavno da se poistoveti sa neredom, nego da

je prikladnije da se razmatra kao jedan poseban vid reda ali bez periodinosti. Kao to je ve

pomenuto, Lorenc je pokazao da je osetljivost nekog sistema na poetne uslove povezana sa

neperiodinim ponaanjem tog sistema i da male promene u poetnim uslovima mogu da

dovedu do znaajno razliitih stanja tog sistema u budunosti (Lorenz, 1963b). Pod

dinamikim sistemom se smatra bilo koji sistem iz prirode ili ivotne sredine koji moe da se

predstavi matematikim modelom (u obliku diferencijalne jednaine ili iterativne mape)

pomou kojeg je mogue opisati ponaanje tog sistema i predvideti njegova budua stanja.

U narednim potpoglavljima su objanjeni elementi nelinearne dinamike analize i

demonstrirani na primeru logistike mape kao najjednostavnijeg sistema koji ispoljava

nelinearne osobine, pri emu postoje razni procesi u prirodi, ali i u drutvu, koji mogu da se

opiu ovim modelom. Na kraju je uraena kompletna analiza spregnutog sistema jednaina sa

dve promenljive, koji slui za prognozu temperature na povrini i u dubljem sloju zemljita, a

koji proizilazi iz jednaine energijskog bilansa. U analizi je razmatran domen reenja ovih

jednaina.

15

3.1. Dinamiki sistemi

Teorija dinamikih sistema prouava matematike modele fizikih pojava koje se menjaju

tokom vremena. Matematiki model je obino predstavljen jednom ili vie jednaina, zavisno

od toga koliko promenljivih je potrebno da se pojava u potpunosti opie. Jednaine koje se

koriste su u diferencijalnom ili diferencnom obliku, u zavisnosti od toga da li vreme

posmatramo kontinualno ili u diskretnim koracima. Diferencijalne jednaine mogu da budu

obine ili parcijalne, to zavisi od toga da li je u njima diferenciranje po vremenu

predstavljeno totalnim ili lokalnim izvodom, odnosno da li je zavisno promenljiva veliina

funkcija vremena i prostora ili samo vremena. Diferencne jednaine imaju oblik iterativnih

mapa. Jedna od podela dinamikih sistema jeste na autonomne i neautonomne. U

autonomnim dinamikim sistemima vreme kao nezavisno promenljiva se ne pojavljuje

eksplicitno dok su sve promenljive zavisne od vremena. U neautonomnim sistemima vreme se

pojavljuje eksplicitno, to se najee javlja u situacijama kada na sistem koji razmatramo

deluje neka vremenski zavisna sila. Obino se pri analizi neautonomni sistem transformie u

autonomni tako to se uvede nova promenljiva iji je vremenski izvod jednak jedinici. Na taj

nain se poveava broj zavisno promenljivih ali se izbegava potekoa u analizi, jer lan koji

eksplicitno sadri vreme nikada nema prvi izvod jednak nuli (Hilborn, 2011).

Veoma bitan pojam u proavanju dinamikih sistema jeste fazni prostor ili prostor stanja.

Izraz fazni prostor prvi je upotrebio Gibs (Josiah Willard Gibbs) pri izuavanju statistike

mehanike, a posle su ga koristili i ostali. Meutim, izraz prostor stanja je adekvatniji iz

razloga sto svaki skup vrednosti promenljivih predstavlja jedno stanje sistema, samim tim sva

mogua stanja sistema se nalaze u prostoru stanja. Pri evoluciji nekog sistema, on prelazi iz

jednog stanja u drugo to je predstavljeno trajektorijom u prostoru stanja. Kako bi se smanjio

broj ponavljanja rei stanje nadalje e biti korien izraz fazni prostor. Broj dimenzija

faznog prostora jednak je broju promenljivih, odnosno jednaina koje opisuju sistem. Taka

iz koje kree evolucija sistema predstavlja njegovo poetno stanje. Teorema o nepresecanju

kae da se dve razdvojene trajektorije ne presecaju u konanom vremenskom periodu, niti

jedna trajektorija moe da presee samu sebe u nekom buduem trenutku (Hilborn, 2011).

Pod razdvojenim trajektorijama se smatra to da jedna trajektorija ne poinje iz take koja lei

na drugoj trajektoriji. Glavni fiziki smisao ove teoreme se ogleda u determinizmu. Evolucija

stanja sistema je jasno predodreena jednainama koje opisuju sistem i njegovim poetnim

stanjem.

16

3.2. Stabilnost reenja jednaina

Logistika mapa, data diferencnom jednainom (3.1), predstavlja primer najprostijeg

dinamikog sistema. Ova jednodimenziona mapa veoma dobro opisuje pojedine procese u

biologiji, kao npr. evoluciju populacije raznih biolokih vrsta a naroito insekata i ima

primenu u genetici, kao i u epidemiologiji. U ekologiji se koristi pri prouavanju modela

predator-plen. U ekonomiji se koristi kao model koji opisuje vezu izmeu koliine robe i cena

kao i u teoriji ekonomskih ciklusa itd. Ona ima primenu i u sociolokim naukama (May,

1976). Da bi neka funkcija uopte bila mapa, njen domen mora biti jednak kodomenu,

odnosno preslikavanje mora da se vri iz jednog skupa elemenata na taj isti skup. U sluaju

logistike mape

1 (1 )n n nx rx x , (3.1)

svi elementi skupa lee u intervalu (0,1). Parametar r je tzv. kontrolni parametar i u zavisnosti

od njega logistika mapa ispoljava razliito ponaanje (slika 3.1). Nelinearna funkcija s desne

strane jednaine (3.1) moe da se oznai sa f(x). Maksimalna vrednost funkcije f(x) se dobije

za sluaj kada je x=1/2 i iznosi r/4. S obzirom da vrednost ne moe da bude vea od 1 izvodi

se zakljuak da logistika mapa pokazuje netrivijalno ponaanje za vrednosti parametra r < 4.

Sa druge strane, kada je r < 1, sve trajektorije zavravaju u taki x=0, pa je potpuni uslov za

netrivijalno ponaanje 1 < r < 4.

0 1x0

1

x

n

n+1

Slika 3.1 Logistika mapa za r=4.

17

Take ravnotee ili fiksne take dinamikog sistema dobijaju se reavanjem algebarske

jednaine, iz uslova f(x)=x. Na osnovu jednaine (3.1) sledi da logistika mapa ima dve fiksne

take, x*=0 to bi bilo trivijalno reenje i netrivijalno reenje x*=11/r, kada je r u intervalu 1

< r < 3. Fiksne take zapravo predstavljaju one vrednosti od x koje se preslikavaju same u

sebe. To znai da trajektorija u faznom prostoru konvergira ka fiksnoj taki. Naredna stvar

koju treba razmotriti jeste stabilnost fiksnih taaka. Analogija moe da se uspostavi sa

stabilnom i labilnom ravnoteom iz mehanike. Kada se loptica nae na dnu doline ona je u

stabilnoj ravnotei a kada je na vrhu brega onda je ravnotea labilna. Stabilna fiksna taka

ima osobinu da take koje se nalaze u njenoj blizini tokom evolucije dinamikog sistema

bivaju privuene ka njoj, dok se od nestabilne fiksne take one sve vie udaljavaju tokom

vremena (Alligood et al., 1996). Pitanje stabilnosti je bitno iz razloga to su realni sistemi

veoma esto pod dejstvom perturbacija. Ravnotenom stanju nekog realnog sistema mora da

odgovara stabilna fiksna taka. Ukoliko je ona nestabilna, mali poremeaj stanja moe da

odvede trajektoriju daleko od fiksne take. Prvi izvod mape u fiksnoj taki predstavlja meru

divergencije i pokazuje kako se rastojanje izmeu fiksne take i neke njoj bliske take

poveava ili smanjuje tokom iteracija. Npr. ukoliko posmatramo take 0 i 0.1, one su u

poetku udaljene za 0.1. Nakon odreenog broja iteracija dobijaju se take koje su na nekoj

drugoj udaljenosti. Ukoliko udaljenost od fiksne take raste onda je ta fiksna taka nestabilna.

Pojam blizine u fazom prostoru se definie pomou okoline pri emu je mali, pozitivan

broj.

Definicija 3.1 Neka je funkcija f(x) mapa u skupu realnih brojeva R i neka je x* realan

broj koji predstavlja fiksnu taku date mape. Ako su sve take iz okoline ( > 0) koje su

dovoljno bliske x* tokom iteracija privuene od strane x*, tada je x* ponor ili privlana fiksna

taka a ukoliko su odbijene od x* onda je x* izvor ili odbojna fiksna taka.

Drugaije reeno, za glatku funkciju f koja ima sve izvode i koji su pri tome neprekidne

funkcije, a predstavlja mapu u skupu R, fiksna taka x* e biti ponor ako je '( *) 1f x

odnosno bie izvor ako je '( *) 1f x .

Zanimljivo je ispitati kako se x pribliava fiksnoj taki kada iteracija krene iz neke

poetne vrednosti x0 koja se razlikuje od x*. Pratiemo primere koje je u svojoj knjizi obradio

Sprot (Julien Clinton Sprott). U sluaju koji je prikazan na slici 3.2 izabrana je vrednost

kontrolnog parametra r=2.8 a poetna vrednost x0=0.1. Ve nakon 50 iteracija funkcija

dosegne fiksnu taku sa vrednou x*=0.642859 i ona predstavlja ponor, odnosno stabilnu

18

fiksnu taku. Za finalno stanje se kae da je ciklus perioda 1, zato to je svaka naredna

iteracija jednaka prethodnoj. Dobijeni dijagram se iz oiglednih razloga naziva paukova

mrea (Sprott, 2003).

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

n

n+1

Slika 3.2 Dijagram paukova mrea za logistiku mapu sa vrednostima r=2.8 i x0=0.1.

Kada parametar r dostigne vrednost 3 fiksna taka x*=11/r i dalje postoji ali se menja iz

stabilne u nestabilnu i postaje odbojna. Za vrednosti r > 3 deava se rapidno udaljavanje od

fiksne take (slika 3.3). Meutim, ovo udaljavanje ne traje zauvek. Umesto toga, dostigne se

stanje u kojem je svaka druga iteracija meusobno jednaka i vrednosti osciluju izmeu

0.799455 i 0.513045.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

n

n+1

Slika 3.3 Dijagram paukova mrea za logistiku mapu sa vrednostima r=3.2 i x0=0.1.

19

Ovakvo ponaanje se naziva ciklus perioda 2 i dobija se iz uslova f(f(x))=x, reavanjem

algebarske jednaine etvrtog stepena:

3 4 3 3 2 2 22 (1 ) ( 1) 0r x r x r r x r x . (3.2)

Prvo reenje je oigledno i trivijalno x*1=0, a odgovara nestabilnoj fiksnoj taki. Druga

nestabilna fiksna taka se dobija za x*2=11/r. Preostala dva reenja su

2 2

3,4 2

2 3*

2

r r r r rx

r

(3.3a)

to elegantinje moe da se zapie kao

3,41 ( 3)( 1)

*2

r r rx

r

. (3.3b)

Kada je r u intervalu 0 < r < 3, izraz pod korenom u reenju (3.3b) je negativan i realna

reenja ne postoje. Za r > 3 postoje dva realna korena jednaine (3.2) izmeu kojih x

naizmenino osciluje tokom iteracija i to su stabilna stanja. Prvi put vidimo da dolazi do

ravanja nestabilnog reenja u dva stabilna stanja, odnosno dolazi do bifurkacije reenja.

3.3 . Bifurkacije

Period 2 postoji za svako r > 3 ali postaje nestabilan kada r dostigne vrednost 1 6 , to

je priblino na r=3.449490. Tada se javljaju stabilna reenja sa periodom 4. Proces se

nastavlja sa uzastopnim periodima udvajanja tako to se pojavi novi period kada prethodni

postane nestabilan. Ovakav proces predstavlja bifurkacije (slika 3.4). Logistika mapa moe

da ima samo jednu stabilnu periodinu orbitu za svaku vrednost r. Orbita predstavlja skup

vrednosti promenljive x koje pripadaju odreenoj trajektoriji u faznom prostoru. Poetak

novog perioda je teko odrediti i analitiki i numeriki, ali su sad ve to opte poznate

vrednosti, pa tako period 8 nastaje kada parametar r ima priblino vrednost r=3.544090,

period 16 se javlja za r=3.564407, period 32 za r=3.568759, period 64 za r=3.569692, period

128 za r=3.569891, itd (slika 3.5). Periodi udvajanja postaju sukcesivno sve blii da bi se na

kraju nagomilali u taki 3.5699456718r . Ova taka se naziva taka nagomilavanja i u njoj

period postaje beskonaan tj. nikada se ne ponavlja i orbita prolazi kroz beskonano mnogo

vrednosti x.

20

0 1 2 3 4

r

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Slika 3.4 Bifurkacioni dijagram logistike mape za r u intervalu 0 < r < 4.

Rastojanje izmeu uzastopnih bifurkacija dostie konstantnu vrednost koja se naziva

Fajgenbaumov broj (Mitchell J. Feigenbaum). Vrednost ove konstante se rauna kao

1

1

lim 4.669201...n nn

n n

r r

r r

. (3.4)

Znaajna osobina konstante jeste njena univerzalnost, a to znai da ima istu vrednost za sve

kvadratne mape sa jedinstvenim maksimumom, poput logistike mape (Feigenbaum, 1978).

2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0

r

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Slika 3.5 Bifurkacioni dijagram logistike mape za r u intervalu 2.8 < r < 4 na kojem se jasnije vide

periodi udvajanja i tranzicija u haos.

21

Kada vrednosti za r rastu preko take nagomilavanja pojavljuje se haos sa beskonano dugim

periodom. Meutim, mestimino se pojavljuju i prozori periodinosti u odreenim

intervalima r, s tim da se irina prozora smanjuje sa porastom perioda. Svaki prozor

periodinosti se pojavljuje iznenada i sa porastom r poinje svoje bifurkacije koje ga vraaju

ponovo u haos sa istim Fajgenbaumovim brojem. Lako uoljivi prozor perioda 3 se javlja

kada r dostigne vrednost 1 8 , odnosno kada je priblino r=3.82842712. Ciklus perioda 3 je

poseban sluaj, s obzirom da je arkovski ( ) dokazao

da jednodimenziona neprekidna mapa sa ciklusom perioda 3 za odreenu vrednost parametra

ima cikluse svakog perioda (ukljuujui i beskonano) za datu vrednost parametra, i da je

stoga mapa haotina ukoliko su sve orbite nestabilne (Sarkovskii, 1964). Obrnuto tvrenje ne

vai, haotian sistem ne mora da ima ciklus perioda 3. Ova teorema se poziva na ureenje

arkovskog, posebnom poretku prirodnih brojeva koji izgleda na sledei nain

2 2 2

3 2

3 5 7 ... 2 3 2 5 2 7 ... 2 3 2 5 2 7 ...

2 3 2 5 2 7 ... 2 .... 2 2 2 1.n n n n

Sluaj kada je r=4 je specijalan zato to nema ponore, i onda se postavlja pitanje gde se orbite

zavravaju (slika 3.6). Postoje dve fiksne take x*=0 i x*=0.75 ali su obe nestabilne. U ovom

sluaju mapa pokazuje veoma zanimljivu dinamiku. Ukoliko posmatramo x osu na intervalu

od 0 do 1 kao gumenu traku, tada se tokom iteracija ona istee tako da joj srednja taka

(xn=0.5) dostigne xn+1=1 a potom se udaljeni kraj (xn=1) savija na drugu stranu u xn+1=0. Ovo

istezanje i savijanje je odgovorno za haos. Iako ponaanje izgledao kao nasumino, detaljnije

ispitivanje pokazuje ubrzan porast na malim vrednostima xn, zatim veliku vrednost xn prate

male vrednosti xn, kao i porast oscilovanja oko nestabline fiksne take x*=0.75 (slika 3.7).

0 1x0

1

x

n

n+1

Slika 3.6 Dijagram paukova mrea za logistiku mapu sa vrednostima r=4 i x0=0.1.

22

0 50 100 150 200 250

broj iteracija, n

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

xn+1

Slika 3.7 Prvih n=250 iteracija logistike mape sa r=4 i poetnim uslovom x0=0.1.

3.4 . Atraktor

Na primeru logistike jednaine pokazano je postojanje privlane fiksne take za

odreene vrednosti parametra r date jednodimenzione mape. Sve take iz neposredne okoline,

koje su joj dovoljno bliske, e tokom iteracija biti privuene od strane fiksne take, koja za

njih predstavlja ponor. U sluaju viedimenzionih mapa ili sistema diferencijalnih jednaina,

dakle kada postoji vie promenljivih, javlja se analogon privlanoj fiksnoj taki i naziva se

atraktor. Atraktor je skup taaka u faznom prostoru koji za odreene vrednosti parametara

privlai sve trajektorije koje poinju u njegovoj neposrednoj blizini. Zapremina u faznom

prostoru koja obuhvata atraktor i koja sadri sve take koje tokom iteracija zavre na atraktoru

se naziva bazen atrakcije. Ovaj bazen moe da se odredi tako to se vre iteracije jednaina sa

mnogo poetnih uslova i posmatra se da li trajektorije zavre na atraktoru. U sluaju

takozvanog udnog atraktora postoji osetljiva zavisnost na poetne uslove, iz kojih

trajektorija poinje. Primer atraktora koji nije udan jesu upravo privlane fiksne take.

Termin udni atraktor se pojavio prvi put u javnosti u radu koji su objavili Ruelle i Takens

(1971). Veoma vaan uslov koji se odnosi na atraktor jeste uslov nedeljivosti, a oznaava to

da skup taaka u faznom prostoru koji predstavlja atraktor ne moe da bude podeljen na dva

razliita atraktora (Ruelle, 1980). Verovatno najpoznatiji udni atraktor u svetskoj naunoj i

popularnoj literaturi jeste Lorencov atraktor (slika 3.8).

23

Slika 3.8 Lorencov atraktor u xz ravni, koji izgledom podsea na krila leptira.

Lorenc je koristio pojednostavljeni model konvekcije u atmosferi kada je primetio veliku

osetljivost rezultata na poetne uslove i postojanje udnog atraktora (Lorenz, 1963b). Sistem

diferencijalnih jednaina koji zapravo opisuje konvektivno kretanje fluida u rotirajuem

cilindru koji se zagreva sa donje strane a hladi odozgo, ima oblik

( )dx

y xdt

(3.5a)

dy

rx xz ydt

(3.5b)

dz

xy bzdt

, (3.5c)

pri emu parametri r i odgovaraju Rejnoldsovom (Osborne Reynolds) i Prantlovom (Ludwig

Prandtl) broju, bezdimenzionim indikatorima turbulentnog kretanja, dok b predstavlja razmer

cilindra. Vrednosti parametara za koje se javlja haos u ovakvom sistemu su =10, b=8/3 i r >

24.74. Na slici 3.9 je prikazan atraktor za sluaj kada je r=25. Promenljive x, y i z nisu

uobiajene prostorne promenljive nego su malo vie apstraktne, tako da je x brzina rotacije, sa

pozitivnim vrednostima pri kretanju u smeru kazaljke na satu i negativnim u smeru suprotnom

24

od kazaljke na satu, y je temperaturna razlika izmeu uzdiueg i sputajueg fluida, dok je z

odstupanje od linearnog vertikalnog temperaturnog profila.

Slika 3.9 Lorencov atraktor u tri dimenzije pri izboru parametara =10, b=8/3 i r =25.

3.5. Ljapunovljevi eksponenti

Haotino ponaanje proizvodi neku vrstu nasuminosti, koja bi mogla da objasni

kompleksno ponaanje realnih sistema. Upravo zbog toga je vano kvantifikovati haos.

Potrebno je imati jasan i merljiv nain za prepoznavanje haosa i razdvajanje pravog haotinog

ponaanja od ponaanja sa prisustvom uma ili nepravilnosti. Jo jedan od razloga za

kvantifikovanje haosa jeste to da bismo mogli da naslutimo ili uoimo neke opte osobine,

bilo kvalitativne ili kvantitativne, koje opisuju ponaanje sistema ili promene u njegovom

ponaanju kada je u haotinom reimu, prilikom promene parametara sistema. Konano, tei

se tome da moemo da poveemo promene u merama haotinog ponaanja sa promenama u

fizikom ponaanju sistema (Hilborn, 2011).

25

Glavni pristup koji se koristi za kvantifikovanje haotinog ponaanja jeste analiza

vremenskih serija podataka o sistemu. Vremenska serija predstavlja niz podataka u nekom

periodu vremena, i govori o promeni stanja sistema u pravilnim vremenskim intervalima.

Podaci su zapravo vrednosti neke promenljive koja opisuje ponaanje sistema i nose osnovne

informacije o sistemu.

Kao to je ve pomenuto, jedna od glavnih karakteristika haotinog ponaanja jeste velika

osetljivost na poetne uslove, koja se manifestuje divergencijom bliskih trajektorija u faznom

prostoru. Mera koja najbolje pokazuje ovu divergenciju, a samim tim i ukazuje na haos, jeste

Ljapunovljev eksponent. Mada, ovo vai samo za iterativne mape. Izraz Ljapunovljev

eksponent je uveo Oseledec (1968). Osnovni koncept e biti pokazan na primeru

jednodimenzione mape xn+1=f(xn), kao to je logistika mapa. Posmatrajmo dve bliske poetne

take x0 i x0+x0. Nakon jedne iteracije ove dve take e biti razdvojene za

1 0 0 0 0 0( ) ( ) '( )x f x x f x x f x , gde je f'(x)=df/dx. Lokalni Ljapunovljev eksponent

se definie u x0 kao 1 0/e x x odnosno 1 0 0ln / ln '( )x x f x . Veliina 1 0/x x

jeste lokalni Ljapunovljev broj i predstavlja meru rastezanja u x=x0. Apsolutna vrednost

osigurava da Ljapunovljev broj bude pozitivan, tako da e prirodni logaritam odnosno

Ljapunovljev eksponent biti realan broj. Ako je ovaj odnos 1 0/x x negativan znai da

bliske take menjaju mesta tokom iteracija. Poznavanje naina na koji se Ljapunovljev

eksponent menja u prostoru omoguava nam da otkrijemo oblasti u kojima je dobra ili loa

prognozljivost budueg stanja sistema ukoliko postoje male greke u poetnim uslovima

(Sprott, 2003). Globalni Ljapunovljev eksponent se dobija osrednjavanjem za veliki broj

iteracija

1

0

1lim ln '( )

N

nN

n

f xN

(3.6)

i predstavlja srednji eksponencijalni rast udaljenosti izmeu dva bliska poetna uslova ili

srednje istezanje prostora. Pozitivna vrednost ukazuje na haos a negativna vrednost se odnosi

na fiksnu taku ili periodian ciklus.

U sluaju logistike mape f(x)=rx(1x) njen prvi izvod e biti f '(x)=r(12x). Kada to

uvrstimo u izraz (3.6) dobija se Ljapunovljev eksponent oblika

1

0

1lim ln (1 2 )

N

nN

n

r xN

. (3.7)

26

Na slici 3.10 su prikazane vrednosti Ljapunovljevog eksponenta za r u intervalu 2.8 < r < 4

zajedno sa bifurkacionim dijagramom, kako bi se lake pratilo ponaanje sistema.

2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0

r

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0

r

-1

0

1

Lja

pu

no

vlj

ev

i ek

spo

nen

ti

Slika 3.10 Bifurkacioni dijagram i Ljapunovljevi eksponenti za logistiku mapu u intervalu 2.8 < r < 4.

Ljapunovljev eksponent je pozitivan svaki put kada bifurkacioni dijagram ukazuje na haos, a

negativan kada ukazuje na periodinost, ukljuujui i prozore periodinosti koji se pojavljuju

za odreene vrednosti parametra r u razvijenom haosu. Eksponent ima vrednost nula u svakoj

bifurkacionoj taki gde je reenje na ivici nestabilnosti. Izmeu dve nule postoji vrednost r za

koju je eksponent jednak . Ove superstabilne orbite se pojavljuju kada jedna od iteracija

periodine orbite ima vrednost x=0.5, pri emu je f '=0. One privlae poetne uslove u svoj

27

bazen atrakcije sve bre i bre kako se pribliavaju reenju. Postoji beskonano mnogo

ovakvih taaka ak i u regionu 3.57 < r < 4, gde je dinamika preteno haotina. Dovoljno je

da sistem ima barem jedan pozitivan Ljapunovljev eskponent da bi se njegovo ponaanje

smatralo haotinim. Iz tog razloga se esto ispituje najvei Ljapunovljev eksponent.

Kod viedimenzionih mapa i sistema diferencijalnih jednaina u izrazu za Ljapunovljev

eksponent umesto prvog izvoda stoji Jakobijan sistema ili Jakobijeva matrica (Carl Gustav

Jacob Jacobi). Stepen divergencije moe da bude razliit za razliitu orijentaciju poetnog

vektora koji razdvaja dve bliske take u faznom prostoru. Zbog toga se rauna spektar

Ljapunovljevih eksponenata i njegov broj odgovara broju dimenzija faznog prostora. Ukoliko

posmatramo skup poetnih uslova u faznom prostoru dvodimenzionog sistema sa

promenljivim x i y tada e tokom iteracija poetni oblik kvadrata da se izoblii u paralelogram

(slika 3.11). Povrina paralelograma e da se smanjuje ali e on biti sve vie istegnut u

odreenom pravcu. Za ovo istezanje su odgovorni lanovi van dijagonale u Jakobijanu.

x

y

n=0

n=1

n=2

Slika 3.11 Ilustrativan prikaz evolucije poetnih uslova za dvodimenzioni sistem.

Kada sistem nije opisan jednainama koje predstavljaju njegovu dinamiku, nego je na

raspolaganju vremenska serija podataka o promeni stanja sistema, zadatak postaje znatno tei.

Prema jednom metodu, ne vri se perturbacija orbita ve se pretrauje vremenska serija u

potrazi za bliskim takama u faznom prostoru ije se orbite prate odreeni broj vremenskih

koraka ili dok se skroz ne razdvoje, posle ega se trae druge bliske take koje su razdvojene

u istom pravcu (Wolf et al., 1985). Ovaj algoritam pretpostavlja ali ne moe da potvrdi

eksponencijalnu divergenciju trajektorija, pa stoga ne moe da razdvoji haos od uma.

28

3.6. Kolmogorovljeva kompleksnost

Mera koja ukazuje na neperiodinost, nasuminost i neureenost, a moe da se koristi u

analizi vremenskih serija, jeste Kolmogorovljeva kompleksnost (Li and Vitanyi, 1997). Ovu

meru su nezavisno jedan od drugoga osmislili Solomonov (Ray Solomonoff) i Kolmogorov

tokom ezdesetih godina 20. veka, da bi se tek kasnije pojavio algoritam koji omoguava

njeno izraunavanje (Lempel and Ziv, 1976). Vie rei o Kolmogorovljevoj kompleksnosti e

biti u drugom delu disertacije. Trenutno je od interesa da vidimo kako se ona slae sa

Ljapunovljevim eksponentom i kako se primenjuje na vremenske serije. Algoritam za

raunanje Kolmogorovljeve kompleksnosti vremenske serije {xi}, i=1,2,3,...,N gde je N broj

lanova serije, sastoji se u sledeem. Vremenska serija se kodira u niz sastavljen od karaktera

0 i 1, zapisan kao {s(i)}, i=1,2,3,...,N, tako to se vrednost svakog lana poredi sa izabranim

pragom x*

0, *

( )1, *

i

i

x xs i

x x

. (3.8)

Obino se za prag izabere srednja vrednost vremenske serije (Zhang et al., 2001). Potom se

rauna broja kompleksnosti c(N) koji se definie kao minimalan broj razliitih obrazaca u

datom nizu, i koji zavisi od duine niza N. Vrednost c(N) se pribliava krajnjoj vrednosti

b(N), kako se N pribliava beskonanosti

2

( )log

Nb N

N . (3.9)

Na posletku se dobija normalizovana mera kompleksnosti Ck(N), definisana kao

2log( )

( ) ( )( )

k

Nc NC N c N

b N N . (3.10)

Vrednosti su bliske nuli za periodine i ureene vremenske serije a za potpuno nasumine

serije vrednost dostie jedinicu, iako za krae serije vrednost moe da bude i vea od jedan

(Hu et al., 2006). U principu, za nelinearne vremenske serije vrednosti lee u intervalu izmeu

nula i jedan. Sada e na primeru logistike mape biti ispitano koliko Kolmogorovljeva

kompleksnost moe da ukae na haotino ponaanje sistema. Za poetni uslov x0=0.2 i

29

kontrolni parametar u intervalu [3.5, 4]r sa korakom od 0.001, raeno je 500 iteracija

logistike mape radi stabilizacije a onda jo 1000 iteracija. Zatim su za svako r raunati

Ljapunovljev eksponent i Kolmogorovljeva kompleksnost za datih 1000 taaka odnosno

stanja sistema (slika 3.12).

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0

r

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Ind

ikacij

a h

ao

sa

Ljapunovljev eksponent

Kolmogorovljeva kompleksnost

Slika 3.12 Ljapunovljev eksponent i Kolmogorovljeva kompleksnost logistike mape za 3.5 < r < 4.

Bifurkacije reenja logistike jednaine poinju za r=3 i prilikom svake naredne bifurkacije

Ljapunovljev eksponent ima vrednost 0. Kada vrednost kontrolnog parametra postane vea od

one u taki nagomilavanja ( 3.5699456718r ) javlja se haos i Ljapunovljev eksponent

postaje pozitivan. Meutim, vrednosti Kolmogorovljeve kompleksnosti su i dalje bliske nuli.

Sa slike se vidi da vrednosti nikad nisu jednake nuli zato to u nizu uvek postoje najmanje tri

razliita obrasca; 0, 1 i ostatak (Kaspar and Schuster, 1987). Kada r raste preko 3.6 dinamika

sistema je haotina, Kolmogorovljeva kompleksnost takoe poinje da raste i u potpunosti

prati Ljapunovljev eksponent. Svaki put kada se javi prozor periodinosti Ljapunovljev

eksponent postaje negativan a Kolmogorovljeva kompleksnost pada na vrednosti bliske nuli.

Usaglaenost ove dve mere haotinosti nas dovodi do ideje da bismo, u sluaju kada imamo

vremensku seriju podataka a ne dinamike jednaine, mogli da koristimo upravo

Kolmogorovljevu kompleksnost kao indikator haotinog ponaanja.

30

3.7. Analiza reenja jednaine energijskog bilansa na povrini zemljita

U dananje vreme, naune oblasti koje se bave prouavanjem ivotne sredine imaju

multidisciplinaran pristup velikom broju tema koje su povezane sa procesima u biosferi.

Jedna od njih jeste modeliranje procesa na dodirnim povrinama u ivotnoj sredini. To su

mesta gde se razliiti sistemi ili razliiti delovi istog sistema sustiu i razmenjuju bilo koji vid

informacija. Dodirna povrina (eng. interface) u ivotnoj sredini se definie kao povrina

izmeu dva iva ili neiva sistema koja su u relativnom kretanju i razmenjuju energiju,

materiju i informacije putem fizikih, hemijskih ili biolokih procesa, koji variraju u prostoru

i vremenu (Mihailovi and Bala, 2007). U prirodi postoji mnogo primera dodirnih povrina u

ivotnoj sredini kao npr. izmeu elija, izmeu tela oveka ili ivotinja i okruenja, izmeu

neke prirodne ili vetake podloge i atmosfere, i dr. (Mihailovi et al., 2012). Tipian primer

dodirne povrine u ivotnoj sredini jeste povrina zemljita, na kojoj se javljaju sva tri

mehanizma prenoenja energije; dolazno i odlazno zraenje, konvekcija toplote sa vlagom u

atmosferu i provoenje toplote u dublje slojeve zemljita.

U radu Mihailovia i Mimia (2012) je pokazano da povrina zemljita moe da se tretira

kao sistem kod kojeg se javljaju haotine fluktuacije prilikom raunanja njegove temperature.

To je zapravo dinamiki sistem, osetljiv na poetne uslove, gde odreeni poremeaj moe da

dovede do nepredvidivog ponaanja. U pomenutom radu donji granini uslov, odnosno

temperatura u dubljem sloju zemljita je smatrana konstantom, jer je sporo promenljiva

veliina. Ovde je, ipak, posmatrana njena promena tokom vremena, pomou prognostike

jednaine. Iz jednaine energijskog bilansa sledi prognostika jednaina za temperaturu na

povrini zemljita a zajedno sa prognostikom jednainom za temperaturu u dubljem sloju

zemljita dobija se spregnut sistem jednaina koji e u daljem delu teksta biti predmet

nelinearne dinamike analize (Mimi et al., 2013).

Jedan od najvanijih uslova za funkcionisanje bilo kojeg sistema jeste odgovarajue

snabdevanje energijom. Dinamika razmene energije je zasnovana na jednaini energijskog

bilansa. U sluaju povrine zemljita kao dodirne povrine u ivotnoj sredini, jednaina

energijskog bilansa u diferencnom obliku izgleda ovako

g

g net

TC R H E G

t

(3.11)

gde su: Tg temperatura na povrini zemljita, t vremenski korak, Cg toplotni kapacitet

zemljita, Rnet ukupno zraenje, H fluks osetne toplote, E fluks latentne toplote i G fluks

31

toplote u zemljite (slika 3.13). lanovi sa desne strane jednaine (3.11) mogu da se uz

odreene pretpostavke raspiu na sledei nain (Bhumralkar, 1975): prvo, koristimo izraz za

ukupno zraenje Rnet=CR(Tg Ta) pri emu je Ta temperatura vazduha na referentnom nivou a

CR koeficijent zraenja. Fluks osetne toplote moe da se parametrizuje kao H=CH(TgTa), gde

je CH koeficijent prenosa osetne toplote. Razvojem u red eksponencijalnog lana u izrazu za

latentnu toplotu i zadravajui se na drugom lanu reda dobija se E=CLd[b(TgTa)+b2

(Tg

Ta)2/2], CL je koeficijent prenosa vodene pare, b=0,06337

oC

1, d je parametar koji se pojavi

prilikom razvoja u red. Dalje, izraz za provoenje toplote u dublje slojeve zemljita moe da

se zapie kao G=CD(TgTd), CD je koeficijent provoenja toplote a Td temperatura u dubljem

sloju zemljita.

Slika 3.13 lanovi u jednaini energijskog bilansa.

Prognostika jednaina za temperaturu u dubljem sloju zemljita u konanim razlikama je

1

( )d g dT

T Tt

(3.12)

je vremenski razmer od jednog dana i iznosi =86400 s. Sada e sistem jednaina u

konanim razlikama biti:

32

2

2

( ) ( )

[ ( ) ( ) ] ( )2

g

g R g a H g a

L g a g a D g d

TC C T T C T T

t

bC d b T T T T C T T

(3.13a)

1

( )d g dT

T Tt

. (3.13b)

Koeficijenti CR, CH, CL, CD su fizike prirode, dobijaju se grupisanjem parametara koji

figuriu u lanovima energijskog bilansa i njihove vrednosti variraju u zavisnosti od

meteorolokih uslova (Pielke, 2002). Sada korienjem vremenske eme unapred, deljenjem

sistema jednaina (3.13) sa nekom konstantnom temperaturom T0 (npr. srednjom globalnom

temperaturom vazduha T0=288 K) i oduzimanjem Ta na obe strane, dobija se sistem

1

0 0 0 0 0

22

0 2

0 0 0

( )

2

n n n n n

g a g a g a g a g a

R H L

g g g

n n ng a g a d a

L D D

g g g

T T T T T T T T T Tt t tC C C bd

T T C T C T C T

T T T T T Tt b t tC dT C C

C T C T C T

(3.14a)

1

0 0 0 0

nn n ng ad a d a d a

T TT T T T T Tt t

T T T T

(3.14b)

gde je n broj iteracije. Uvodei smenu z=(TgTa)/T0 i y=(TdTa)/T0, pri emu je z

bezdimenziona temperatura na povrini zemljita a y bezdimenziona temperatura u dubljem

sloju zemljita, dobija se spregnut sistem

2

1n n n nz Az Bz Cy (3.15a)

1 (1 )n n ny Dz D y (3.15b)

gde su: 1 ( )R H L Dg

tA C C C bd C

C

,

2

02

L

g

b tB C dT

C

, D

g

CC t

C i

tD

. Uvodei

smenu zn=xnA/B, gde je xn modifikovana bezdimenziona temperatura na povrini zemljita,

moemo da piemo

1 (1 )n n n nCB

x Ax x yA

(3.16a)

33

1 (1 )n n n

DAy x D y

B . (3.16b)

Ispitivanjem vrednosti parametara A, B, C i D na osnovu velikog broja rezultata dobijenih

pomou eme za parametrizaciju povrinskih procesa LAPS (Land Air Parameterization

Scheme) pokazano je da oni lee u sledeim intervalima (0,4]A a B, C i D u intervalu [0,1]

(Mihailovi, 1996). Parametar A odgovara kontrolnom parametru u logistikoj jednaini i bie

oznaen sa r. Vrednosti preostalih parametara lee u istom intervalu i pod odreenim

meteorolokim uslovima mogu da budu jednaki. Zbog toga e u spregnutom sistemu (3.16)

biti zamenjeni sa . Konano, dobija se sistem spregnutih mapa

1 (1 )n n n nx rx x y (3.17a)

1 ( )n n ny x y (3.17b)

pri emu prvi lan sa desne strane u jednaini (3.17a) ima oblik poznate logistike mape.

U nastavku je ispitano ponaanje spregnutog sistema (3.17) za razliite vrednosti

kontrolnog parametra r i parametra sparivanja . Sistem je posmatran u obliku Xn+1=F(Xn) gde

je F(Xn)=(rxn(1xn)+yn, (xn+yn)) pri emu Xn=(xn,yn) predstavlja vektor ije su komponente

bezdimenziona temperatura na povrini zemljita i u dubljem sloju zemljita, redom. Traimo

fiksne take sistema (3.17) iz uslova X=F(X). Reavanjem ove jednaine dobijaju se dve

fiksne take; (0,0) kao trivijalno reenje i ((r+2/(1 ) 1)/r,/(1)[r+

2/(1) 1)/r]). Za

fiksnu taku (0,0) postoje dve svojstvene vrednosti 2 21,2 ( 2 5 ) / 2r r r .

Koristei vrednost sa znakom plus, koja je vea po apsolutnoj vrednosti i uslov da je fiksna

taka privlana ako je || < 1 a odbojna ako je || > 1, dobijaju se oblasti u (,r) ravni iz kojih

se vidi za koji par vrednosti parametara e fiksna taka (0,0) biti privlana ili odbojna.

Primenjujui isti postupak za drugu fiksnu taku ((r+2/(1 ) 1)/r,/(1)[r+

2/(1) 1)/r])

ije su svojstvene vrednosti

2

3,4

2 2 3 2

1/ [2( 1)]( 2 3 )

(2 3 ) 4( 1)( 2 3 )

r r

r r r r

dobija se potpuno ista oblast privlaenja i odbijanja u (,r) ravni (slika 3.14). Ove fiksne take

se odnose na period 1. Fiksne take za periode vee od 1 nisu razmatrane iz razloga to je

postupak za njihovo ispitivanje veoma komplikovan.

34

Slika 3.14 Grafika interpretacija fiksnih taaka spregnutog sistema (3.17) u funkciji od vrednosti

parametara r i . Obe fiksne take su u datim oblastima: privlane (bela) i odbojne (siva).

Bifurkacioni dijagrami promenljivih x i y su predstavljeni na slici 3.15 u funkciji od

kontrolnog parametra r u intervalu (0,4) pri vrednosti parametra sparivanja =0.1. Primetili

smo da maksimalna vrednost od y mnogo zavisi od vrednosti parametra sparivanja . Za male

vrednosti bifurkacioni dijagram promenljive x je veoma slian logistikoj mapi. Na oba

dijagrama bifurkacije poinju za r=3 a kada je r > 3.57 javlja se haotino ponaanje.

0 1 2 3 4

r

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

a)

0 1 2 3 4

r

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

y

b)

Slika 3.15 Bifurkacioni dijagrami spregnutog sistema (3.17) za r u intervalu (0,4), =0.1 i poetnim

uslovima x0=0.2 i y0=0.4.

Za poetne uslove x0=0.2 i y0=0.4 i pri izboru parametara =0.1 i r=3.7, dakle u haotinom

reimu, uraeno je 10 000 iteracija za ove spregnute mape da bi se ispitalo postojanje

atraktora u faznom prostoru (slika 3.16).

35

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

x

0.00

0.05

0.10

0.15

y

Slika 3.16 Izgled atraktora u faznom prostoru spregnutog sistema (3.17) za vrednosti parametara r=3.7

i =0.1, pri poetnim uslovma x0=0.2 i y0=0.4.

Sa slike 3.16 se vidi da atraktor podsea na Henonov (Michel Hnon) udni atraktor to je i

moglo da se oekuje s obzirom da u sluaju kada parametar D u sistemu jednaina (3.16) ima

vrednost D=1, spregnuti sistem je veoma slian Henonovoj dvodimenzionalnoj mapi (Hnon,

1976). Sada ispitujemo domen moguih atraktora sistema u zavisnosti od parova vrednosti

parametara (r,) (slika 3.17). Oblast bele boje pokazuje za koje parove vrednosti parametara

(r,) postoji atraktor sistema dok u oblasti sive boje atraktor ne postoji, pri poetnim uslovima

x0=0.2 i y0=0.4. Testiranje je pokazalo da izbor poetnih uslova ne utie znaajno na izgled

domena.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0

1

2

3

4

r

Slika 3.16 Domen moguih atraktora sistema u zavisnosti od vrednosti parametara (r,).

36

Najzanimljivije, haotino ponaanje logistika mapa pokazuje kada je kontrolni parametar

r u intervalu [3,4] a spregnuti sistemi kada parametar sparivanja ima male vrednosti, u

intervalu (0,0.1). Imajui u vidu da je opseg vrednosti za x i y izmeu 0 i 1 dolazimo do

odreenih matematikih ogranienja. Iz jednaine (3.17b) sledi da parametar sparivanja ne

sme da bude vei od 0.5 ( 0.5) dok iz jednaine (3.17a), gde se najvea vrednost lana koji

sadri x dobija kada je x=0.5 a najvea vrednost drugog lana za y=1, sledi novi uslov r/4+ <

1. Iz navedenih razloga sistem (3.17) emo detaljnije ispitati upravo za sledee vrednosti

parametara [3.6,3.8]r i [0.05,0.1] . Najvei Ljapunovljev eksponent se rauna prema

izrazu

1

ln

lim

n

s

s

n n

(3.18)

gde je n broj iteracija spregnutih mapa, to je u naem sluaju iznosilo 1000 a s jakobijan

sistema

(1 2 )s

s

r x

. (3.19)

U izabranom intervalu vrednosti parametara i pri poetnim uslovima x0=0.2 i y0=0.4

Ljapunovljev eksponent ima preteno pozitivne vrednosti to potvruje haotino ponaanje

sistema (slika 3.18).

Slika 3.18 Ljapunovljevi eksponenti spregnutog sistema (3.17) koji ukazuju na postojanje uskih

regiona stabilnosti u veoma razvijenom haosu.

37

Meutim, na slici 3.18 se primeuju i uski regioni u obliku traka u kojima Ljapunovljev

eksponent ima negativne vrednosti, gde su reenja spregnutog sistema stabilna i koji ukazuju

na domene stabilnosti. Prilikom raunanja Kolmogorovljeve kompleksnosti sistema za isti

interval vrednosti parametara r i , [3.6,3.8]r i [0.05,0.1] , koriene su vremenske serije

dobijene nakon 1000 iteracija mapa. Rezultati pokazuju da Kolmogorovljeva kompleksnost

sistema veoma zavisi od vrednosti parametra r (slika 3.19). Vee vrednosti Kolmogorovljeve

kompleksnosti ukazuju na veoma razvijeno haotino ponaanje sistema. Kada se uporede

slike 3.18 i 3.19 primeuje se izvesno slaganje sa Ljapunovljevim eksponentima. Takoe, za

odreene vrednosti parametara postoje uske oblasti u kojima Kolmogorovljeva kompleksnost

ima vrednosti bliske nuli (oblasti obojene ljubiasto), to ukazuje na domene stabilnosti

sistema, u kojima se ispoljava ponaanje koje nije haotine prirode.

Slika 3.19 Kolmogorovljeva kompleksnost sistema (3.17) u funkciji parametara r i .

Nelinearnom dinamikom analizom sistema (3.17) je pokazano da pri odreenim fizikim

uslovima postoji mogunost za pojavu haosa u sistemu, ime se unosi nesigurnost prilikom

raunanja temperature na povrini zemljita. Na ovaj nain se istie mana trenutnih modela

ivotne sredine jer postoje situacije u kojima nije pouzdano reavanje jednaine energijskog

bilansa, izmeu ostalog i usled haotinog ponaanja. Rezultati ukazuju na to da mala promena

u vrednostima parametara moe da utie na ponaanje sistema. Jednaina energijskog bilansa

u diferencnom obliku obuhvata razmenu energije na dodirnim povrinama u ivotnoj sredini

kako na lokalnom nivou, u smislu jedne take mree u modelu, tako i na globalnom nivou.

38

Neki od prvih modela opte cirkulacije atmosfere bili su bazirani upravo na ovoj jednaini.

to se tie vremenskog razmera, energijski bilans se odrava na svim skalama, pri malom i

velikom vremenskom koraku. Uobiajen vremenski korak u emama za parametrizaciju

povrinskih procesa, poput LAPS-a, iznosi pola sata. U ovom vremenskom intervalu, pri

izraenom forsiranju zraenjem, povrina zemljita moe da primi veliku koliinu energije

koja dovodi do pojave haotinog ponaanja. Tano je da pretpostavka Tg,Td Ta, koja je

koriena u jednainama (3.14a) i (3.14b) biva naruena u mnogim atmosferskim uslovima,

meutim postoje situacije kada je temperatura na povrini zemljita, takozvana skin

temperatura, i za 10 oC vea od temperature vazduha na 2 m.

4. Informacione mere, entropija i kompleksnost

Osnovne informacije koje imamo o nekom sistemu dobijamo osmatranjem stanja tog

sistema, merenjem nekih njegovih karakteristika. Ukoliko sistem pratimo dovoljno dugo tada

moemo da uoimo odreene obrasce u njegovom ponaanju. Razumevanje evolucije sistema

nam omoguava da predvidimo njegova budua stanja. Ako je ponaanje sistema takvo da ne

postoji veliki broj razliitih stanja, ako se odreena stanja ponavljaju periodino, ako je

odgovor sistema na signale iz okoline linearan, tada moemo da kaemo za sistem da je

jednostavan. Meutim, postoje sistemi ije je ponaanje veoma sloeno i ija budua stanja je

teko predvideti. Njih nazivamo kompleksni sistemi. Sistem koji ne moe prosto da se rastavi

na svoje sastavne delove koji meusobno interaguju i za koje je on logian zbir, zbog velikog

broja veza izmeu pojedinanih delova koje upravljaju dinamikom samog sistema, predstavlja

kompleksan sistem (Rosen, 1991). Pojam kompleksnosti u sebi sadri tri nivoa znaenja

(Edmonds, 1999):

- postojanje samoorganizacije i iskrsavanje (eng. emergence) osobine ili ponaanja koje

pojedinani delovi sistema ne pokazuju;

- sistem nije organizovan centralno nego na distributivan nain, postoje mnoge veze

izmeu njegovih delova, i

- teko je modelirati i predvideti ponaanje sistema ak i ako su u velikoj meri poznati

njegovi delovi i veze izmeu njih.

Da bi se razumela evolucija kompleksnog sistema potrebno je koristiti metod koji e da

omogui merenje koliine informacija sadranih u podacima koji opisuju ponaanje sistema.

Koliina informacija koju neki dogaaj proizvede e biti vea ukoliko dovede u stanje koje se

ne javlja esto, nego da je ishod dogaaja stanje koje se esto ponavlja. Nesigurnost u

39

predvianju budueg stanja zavisi od broja stanja u kojima sistem moe da postoji i od

verovatnoe pojave svakog stanja. to je disperzija u raspodeli verovatnoe vea to nam je

potrebno vie informacija da bismo predvideli budue stanje. Iz navedenih razloga nas zanima

ukupna koliinu informacija sa kojom moemo opisati uzorkovane podatke.

Prvi problem koji se javlja pri prouavanju kompleksnih sistema jeste semantike prirode

poto ne postoji opte prihvaen i formulisan pojam o tome ta je tano kompleksnost.

Intuitivno se pojam kompleksnosti vezuje za postojanje strukture i potrebno ga je razdvojiti

od neureenosti (Grassberger, 2012). Sledei intuiciju, kompleksnost smetamo izmeu

potpune ureenosti i potpune nasuminosti (slika 4.1). Ono to je veoma bitno naglasiti jeste

to da kompleksnost nosi sa sobom odreeni smisao, odnosno informaciju.

Slika 4.1 Grafik kompleksnosti nasuprot nasuminosti dobijen sledei intuiciju.

Razmotrimo sada jedan jeziki primer koji ukazuje na vezu izmeu informacija i

kompleksnosti. Ako pisac na nekom jeziku nasumino izabere 1000 rei i proglasi to priom,

mala je verovatnoa da e ona da nosi neku informaciju u sebi a kompleksnost e biti jednaka

nuli. Meutim, ukoliko pisac napie basnu od 1000 rei najmlai itaoci e da je doive kao

priu o ivotinjama i dobie odreene informacije iz nje. U tom sluaju kompleksnost e biti

razliita od nule. Stariji itaoci e u basni prepoznati i preneseno znaenje prie i dobiti vie

informacija. Za itaoca koji je upuen u pievu biografiju i socijalne uslove pod kojima je

delo nastalo moe da uoi jo neke poruke koje je pisac implicitno uneo u delo. Takav italac

e da dobije dodatne informacije i on meri jo veu kompleksnost knjievnog dela. Izvodi

se zakljuak da koliina informacija koju neko dobija osmatranjem zavisi od samog

posmatraa i koliine informaciju koju prethodno poseduje. Da bi informacija uopte

postojala, jedna strana treba da alje tu informaciju a druga da je prima. Dakle, informacija ne

moe da postoji bez konteksta (Vedral, 2014).

40

Zbog razliite interpretacije u naunoj literaturi, u dananje vreme postoji mnogo veliina

koje predstavljaju meru kompleksnosti. Svi do sada poznati i korieni pristupi mogu da se

svrstaju u tri kategorije: fraktalnost, metodi nelinearne dinamike i entropija (Tang et al.,

2015). Iako potiu iz razliite perspektive ove tri kategorije su usko povezane i njihove

tehnike esto zavise jedna od druge. Teorija fraktala se bazira na samo-slinosti, analizirajui

podatke o ponaanju sistema na razliitim skalama. U ovoj disertaciji fraktali nisu razmatrani.

Metodi nelinearne dinamike ispituju dinamiku sistema prouavanjem udnog atraktora u

faznom prostoru. Najpopularnija tehnika jeste raunanje Ljapunovljevog eksponenta. Vie

rei o ovoj kategoriji je bilo u prvom delu disertacije. Entropija predstavlja neureenost

sistema i bie joj posveeno vie panje u narednom delu disertacije. Razliite mere entropije

mogu da se svrstaju u dve grupe: strukturalne i dinamike entropije. Strukturalne entropije

mere strukturalnu kompleksnost odnosno distribuciju frekvencija unutar vremenske serije dok

dinamike entropije mere razliite obrasce u vremenskoj seriji i promene u obrascima pri

promeni strukture faznog prostora.

Klod enon se smatra zaetnikom teorije informacija. On je istakao da je osnovni problem

u komunikaciji prenos poruke sa jednog mesta na drugo. Poruke najee nose odreeno

znaenje koje je povezano sa fizikim sistemom ili odreenim konceptom. enon je prvi

pokuao da uvede meru koliine informacija iz podataka koje neki sistem produkuje, kao

duinu opisa samog niza podataka. Metod poiva na pretpostavci da su podaci dobijeni iz

poznatog izvora nasuminih podataka i da su oni karakteristika samog izvora (Grnwald and

Vitnyi, 2004). Posmatrajmo sada nasuminu promenljivu X koja uzima diskretne vrednosti

xi, i=1,2,...,N . Verovatnoa da X ima odreenu vrednost xi Prob(X = xi) se oznaava sa pi, uz

uslov da je 0 pi 1 i 1ii

p . Tada se entropija ili neodreenost funkcije X definie kao

21

( ) logN

i i

i

H X p p

. (4.1)

Na ovaj nain se entropija definie kao funkcija koja preslikava skup nasuminih brojeva u

realne brojeve (Shannon, 1948). Izbor logaritamske funkcije potie zbog njenih osobina, koje

su u skladu sa teorijom verovatnoe. Osobine entropije koje se lako uoavaju su sledee:

- H(X) 0 uvek, izuzev kada je pi=0 za sve ishode osim za samo jedan x1 i tada je

H(X)=0;

41

- za fiksni broj N maksimalna vrednost za H(X) se dobija kada su sve verovatnoe pi

meusobno jednake i iznose pi=1/N, tada je H(X)=log 2N.

Iz ove dve osobine sledi da je entropija H zapravo mera neodreenosti sa jedne strane, a sa

druge strane moe da se interpretira i kao srednja informacija koju dobija neko ko osmatra

vrednosti od X. enonova entropija spada u grupu strukturalnih entropija.

Renji (Alfrd Rnyi) je predloio modifikovani izraz za enonovu entropiju prema kojem

informacija moe da se alje u delovima, bez gubitaka i na neki nain postaje aditivna veliina

2

1

1( ) log

1

N

i

i

H X p

(4.2)

gde je > 0 i 1. Definisana na ovaj nain moe da se smatra i kao entropija reda

distribucije P=(p1,p2,...,pN), H(X)= H

[P]. U graninom sluaju kada limes od tei 1 dobija

se izraz za enonovu entropiju. Posmatrajmo sada dve distribucije verovatnoe P=

(p1,p2,...pN) i Q=(q1,q2,...,qM). Oznaimo sa P * Q direktan proizvod distribucija P i Q, izraen

brojevima piqj, i=1,2,...N i j=1,2,...,M. Tada e H [P * Q] = H [P] + H [Q]. Ovo znai da je

entropija kombinovanog eksperimenta sastavljenog od dva nezavisna eksperimenta jednaka

zbiru entropija pojedinanih eksperimenata (Rnyi, 1961). Pretpostavimo sada da je

nasumina promenljiva X zapravo par promenljivih X=(Y,Z) sa ishodom eksperimenta

oznaenim sa dva indeksa i i j, xij=(yi,zj). Oznaimo sa pj verovatnou da Z ima vrednost zj a

sa ( )|

X

i jp uslovnu verovatnou da Y ima vrednost yi kada Z ima vrednost zj. Tada e entropija od

Z biti H(Z) a entropija od Y uz uslov Z=zj e biti ( ) ( )

2| |( | ) logX Xj

ii j i j

H Y z p p . Sledi da je

( ) ( , ) ( ) ( | ) ( ) ( | )j jj

H X H Y Z H Z p H Y z H Z H Y Z . Dakle, da bismo odredili ishod

od X prvo treba da odredimo ishod od Z a zatim da naemo srednju informaciju od Y u

zavisnosti od Z, ako su Y i Z meusobno zavisne. Poznavanje ishoda od Z moe samo da

smanji neodreenost ishoda od Y i nikada ne moe da je povea. To se naziva redundancija ili

uzajamna informacija. Proirujui definiciju entropije na n-torku nasuminih promenljivih S =

(S1, ..., Sn) koje predstavljaju diskretan niz vrednosti, pri emu je P(s1, s2, ..., sn) verovatnoa

da je Sk=sk za 1 k n dobija se izraz

1 2 2 1 21,...,

( , ,... ) log ( , ,... )n n nns s

H P s s s P s s s . (4.3)

42

Da bi se niz opisao potrebno je navesti svaki lan, redom. Ukoliko je opis bez redundancije

tada e srednja duina opisa po svakom lanu biti jednaka hn=Hn+1Hn. Veliina hn se tumai

kao koliina informacija potrebna da se odredi n+1 lan niza ukoliko je svih n prethodnih

lanova poznato, odnosno kao srednja uslovna informacija. Poznavanje to vie prethodnih

lanova niza moe da smanji neodreenost sledeeg lana niza ali ne i da je povea, pa otuda

hn+1 hn. Ako je niz dovoljno dugaak bie lim nn

h h

. Na ovaj nain se definie entropija

niza h, a ukoliko niz predstavlja vrednosti dobijene nekim dinamikim procesom onda se

naziva Kolmogorov-Sinajeva (Yakov Sinai) entropija ili metrika entropija dinamikog

sistema. Suma svih pozitivnih Ljapunovljevih eksponenata nekog dinamikog sistema daje

procenu Kolmogorov-Sinajeve entropije (Pesin, 1977).

U grupu strukturalnih entropija, kao mera kompleksnosti vremenskih serija spada i

permutaciona entropija (Bandt and Pompe, 2002). Osnovna ideja jeste da se meusobno

porede susedni lanovi u vremenskoj seriji sa elementima xi, i=1,2,...,N. lanovi sa jednakim

vrednostima xi* = xi, i* i se ne uporeuju, ve se razmatraju samo nejednakosti meu

lanovima. Ova entropija moe da se rauna za razliite vrednosti strukturne dimenzije

faznog prostora m, koja zavisi od broja posmatranih suseda (dva, tri ili vie). Ukoliko, na

primer, posmatramo seriju od sedam lanova x=(4, 7, 9, 10, 6, 11, 3) tada e biti est parova

suseda od kojih za etiri vai nejednakost xi < xi+1 a za dva para vai xi > xi+1. U prvom sluaju

etiri para su predstavljena permutacijom 01 a u drugom sluaju dva para su predstavljena sa

10. Permutaciona entropija reda m=2 e biti mera verovatnoe za permutacije 01 i 10, i

raunae se kao 2 2(2) (4 / 6) log (4 / 6) (2 / 6) log (2 / 6) 0.918H . Pri poreenju tri

susedne vrednosti kombinacije (4, 7, 9) i (7, 9, 10) predstavljaju permutaciju 012 zato to su

poredane u rastuem poretku xi < xi+1 < xi+2, (9, 10, 6) i (6, 11, 3) odgovaraju permutaciji 201

jer je xi+2 < xi < xi+1, dok je (10, 6, 11) permutacija tipa 102 zbog toga to je xi+1 < xi < xi+2.

Permutaciona entropija reda m=3 e biti 2 2(3) 2(2 / 5) log (2 / 5) (1/ 5) log (1/ 5) 1.522H .

Za vremensku seriju {xi}, i=1,2,...,N posmatramo svih m! permutacija reda m koje

predstavljaju mogui raspored m razliitih lanova serije. Za svako se odreuje relativna

frekvencija

1# |1 ,( ,..., )

( )1

i i mi i N m x x je tipap

N m

(4.4)

43

koja za izabrani red m kae koliki broj parova je permutacija tipa u odnosu na ukupan broj

parova. Tada se permutaciona entropija reda m 2 definie kao

!

2

1

( ) ( ) log ( )m

i i

i

H m p p

. (4.5)

Ona nam daje informaciju o vremenskoj seriji poreenjem m uzastopnih njenih lanova.

Vrednosti uvek lee u intervalu 0 H(m) log2(m!). Na primeru logistike mape je pokazano

dobro slaganje permutacione entropije sa Ljapunovljevim eksponentom, utvreno je da ova

mera moe da napravi razliku izmeu periodine, nasumine i haotine vremenske serije kao i

to da mali um ne menja znaajno kompleksnost haotinog signala (Bandt and Pompe, 2002).

Dinamike entropije ispituju kompleksnost sistema posmatrajui promenu obrazaca

unutar vremenske serije podataka i njihove dinamike, u smislu uslovne verovatnoe da dve

sekvence u faznom prostoru ostanu sline jedna drugoj pri promeni strukturne dimenzije

faznog prostora m. Dugo vremena je korelaciona dimenzija bila u upotrebi kao algoritam pri

analizi podataka (Grassberger and Procaccia, 1983). Za datu vremensku seriju koja se sastoji

od N lanova x=(x1, x2, ..., xN) koji su mereni u jednakim vremenskim intervalima i uz izbor

pozitivnog celog broja m i pozitivnog realnog broja r, konstruie se niz vektora

1 2 1, ,...,m m m

N mX X X definisanih kao 1 1( , ,..., ), 1, 2,..., 1m

i i i N mX x x x i N m . Tada je

# ,

( )1

m m

i jm

i

d X X rC r

N m

(4.6)

broj j sluajeva za koje je distanca izmeu vektora manja od izabranog r. Distanca izmeu

vektora se definie kao [0, 1], max

m m

i j k m i k j kd X X x x . Sada e biti

1

1

1( ) ( )

1

N mm m

i

i

C r C rN m

(4.7)

i za dovoljno veliko m korelaciona dimenzija se rauna kao

20

2

log ( )lim lim

log

m

mr N

C r

r

. (4.8)

44

Pokazano je da korelaciona dimenzija moe da ukae na razliku izmeu korelisanih i

nekorelisanih uzastopnih lanova niza, sa veim vrednostima dimenzije u sluaju

nekorelisanih podataka (Pincus, 1991). Grasberger (Peter Grassberger) i Prokaia (Itamar

Procaccia) su u svom radu iz 1983. godine predloili meru za koliinu informacija u

haotinoj vremenskoj seriji na osnovu Kolmogorov-Sinajeve entropije. Takens (Floris

Takens) je izmenio njihovu formulu uvodei distancu izmeu vektora (Takens, 1983) a

Ekman (Jean-Pierre Eckmann) i Ruele (David Ruelle) su modifikovali Takensovu formulu

kako bi direktno izraunali Kolmogorov-Sinajevu entropiju (Eckmann and Ruele, 1985).

Definisali su izraz

1

2

1

1( ) log ( )

1

N mm m

i

i

r C rN m

(4.9)

pomou kojeg se dobija Ekman-Rueleova entropija

1

0lim lim lim ( ) ( )m mr m N

E R r r

. (4.10)

S obzirom da Ekman-Rueleova entropija ima beskonanu vrednost za vremensku seriju

superponiranu umom bilo kojeg intenziteta, potrebno je napraviti aproksimaciju za realne

eksperimentalne podatke, za neku odreenu vrednost parametra r koja je obino u intervalu

10-20% standardne devijacije vrednosti podataka (Pincus, 1991)

1( , , ) ( ) ( )m mApEn m r N r r . (4.11)

Na ovaj nain se dobija aproksimativna entropija koja meri verovatnou da obrasci u

vremenskoj seriji koji su slini ostanu slini i kada se porede u vioj strukturnoj dimenziji m.

Mala vrednost aproksimativne entropije odraava visok stepen regularnosti u nizu podataka.

Osnovni nedostatak ove mere jeste to to je osetljiva na duinu niza i za krae nizove ima

vrednosti manje od oekivanih. Druga stvar se odnosi na konzistentnost, koja joj nedostaje.

Ako jedna vremenska serija ima veu vrednost aproksimativne entropije u odnosu na drugu,

onda bi trebalo da je zadri pri testiranju pod razliitim uslovima, odnosno za razliite

vrednosti parametara, to ponekad nije sluaj. U algoritmu za raunanje ove mere ablonski

vektor koji se poredi sa ostalim vektorima, poredi se i sa sobom kako bi se izbegao sluaj da

je verovatnoa jednaka nuli i da bi se uvek mogao izraunati logaritam verovatnoe.

45

Nedostaci aproksimativne entropije su ispravljeni uvoenjem nove mere koja se naziva

entropija uzorka (eng. sample entropy) (Richman and Moorman, 2000). Iskljueno je samo-

podudaranje ablonskog vektora i jedini zahtev je da vektor duine m nae slian vektor

duine m+1. Za vektor m

iX definiemo Bi koje predstavlja broj vektora j (1 j Nm), pri

emu je ji da bi bilo iskljueno samo-podudaranje, za koje je rastojanje ,m mi jd X X r .

Tada je, za i u intervalu 1 i Nm, ( ) / ( 1)mi iB r B N m i definiemo

1

( ) ( ) / ( )N m

m m

i

i

B r B r N m

kao verovatnou da se dve sekvence podudaraju za m taaka.

Na isti nain se za vektore 1m

iX

i 1mjX definie

1

( ) ( ) / ( )N m

m m

i

i

A r A r N m

i predstavlja

verovatnou da se dve sekvence podudaraju za m+1 taaka. Konano se dobija izraz sa

entropiju uzorka

( )

( , , ) ln( )

m

m

A rSampEn m r N

B r (4.12)

ija vrednost moe da se izrauna uvek, osim kada je Bm(r)=0, u sluaju da ne postoji niti

jedno podudaranje i kada je Am(r)=0, to znai da je uslovna verovatnoa jednaka 0. Najmanja

vrednost uslovne verovatnoe, razliita od nule, koju algoritam moe da izrauna jeste 2[(N

m1) (Nm)]1

dok je gornja granica vrednosti entropije uzorka ln (Nm)+ln (Nm1) ln 2

(Richman and Moorman, 2000). Entropija uzorka pokazuje veu konzistentnost u odnosu na

aproksimativnu entropiju prilikom istih testova, mada ni ona sama ne mora da bude uvek

konzistentna. Entropija uzorka je statistika mera koja broji koliko se vektora u nekoj

vremenskoj seriji meusobno podudara. Ako svaki vektor predstavlja neki dogaaj onda e

statistika biti nepouzdana ukoliko su ti dogaaji retki, to vodi do manjka konzistentnosti.

Entropija uzorka, kao i druge entropije, moe da se analizira i na razliitim vremenskim

skalama. Diskretna vremenska serija sa N lanova {xi}, i=1,2,...,N se za odreenu vrednost

faktora vremenskog skaliranja transformie u novu seriju tako to se podeli na podintervale

duine koji se meusobno ne preklapaju, a potom se svi podaci koji se nalaze u jednom

intervalu usrednje. Na taj nain se dobije serija grublje rezolucije

( )

( 1) 1

1 j

j i

i j

y x

(4.13)

46

pri emu je 1 j N/. Za > 1 nova vremenska serija ima N/ lanova. Potom se rauna

entropija uzorka za svaku novu vremensku seriju dobijenu za razliite vrednosti faktora

vremenskog skaliranja (Balzter, 2014). Ukoliko su vrednosti entropije jedne vremenske serije

na raznim vremenskim skalama vee u odnosu na drugu, tada je prva serija kompleksnija od

druge. Termin kompleksnija u sluaju vremenske serije znai da je serija manje ureena i da

se obrasci u njoj pojavljuju skroz nasumino, pa da je zbog toga teko predvideti naredne

lanove niza.

U teoriji informacija enonova entropija predstavlja meru prosene koliine informacija

koja je potrebna da bi se kodirao neki niz podataka, odnosno da bi se prenela poruka, ali ona

ne uzima u obzir informacije potrebne za opisivanje samog postupka kodiranja, koji zavisi od

raspodele verovatnoe. Kolmogorovljeva kompleknost je povezana sa enonovom entropijom

na taj nain da je njena oekivana vrednost za neki nasumian niz priblino jednaka entropiji

d