Nella lezione precedente: Abbiamo analizzato nel dettaglio il dipolo ripiegato Introdotto le schiere, a partire da due dipoli Introdotto il fattore di schiera ed il principio di moltiplicazione dei diagrammi di radiazione Analizzato le schiere lineari: in particolare

abbiamo introdotto il concetto di polinomio associato il concetto di spazio visibile

Considerato una sottoclasse importanti: le schiere uniformi (ovvero correnti con la stessa ampiezza) verificato che in questa sottoclasse occorre uno sfasamento progressivo nullo per avere schiere broadside sfasamento invece pari a kd per avere schiere endfire

Nella lezione precedente:

Valutato espressioni esatte ed approssimate per le rispettive direttività

Nella classe delle lineari equispaziate non uniformi abbiamo analizzato la schiera binomiale: niente lobi secondari ma lobo principale più largo

Array “Parassiti”Una schiera in cui non tutti gli elementi sono alimentati si dice schiera parassita

Gli elementi non alimentati sono eccitati per effetto dell’accoppiamento con quelli alimentati e con gli altri parassiti

Gli elementi parassiti si distinguono in direttori: nella direzione del lobo principale riflettori: in direzione opposta

L’esempio più noto è la Yagi-Uda, usatissima in HF (3-30MHz), VHF (30-300MHz) ed UHF (300MHz-3 GHz)

Nella Yagi-Uda un solo elemento è alimentato

Array “Parassiti”: Yagi-Udaconsideriamo inizialmente un array di 2 elementi: uno alimentato e l’altro no

Se V2 ed I2 sono tensioni e correnti al morsetto alimentato, possiamo pensare che il riflettore abbia i morsetti cortocircuitati (V1=0; I1) ed ottenere una relazione tra I1 ed I2 sfruttando la matrice di impedenza

1 2

2

1

2212

1211

2

0

I

I

ZZ

ZZ

V 2122211

21122

122211

2121 ;

ZZZ

VZI

ZZZ

VZI

Array “Parassiti”: Yagi-Uda

1 2

11

12

2

1

Z

Z

I

I je

Z

Z

11

12

Il fattore di schiera risulta quindi

cos

11

121)( kdjeZ

Zf

Ora: l’impedenza mutua può essere variata variando la distanza d, mentre Z11 variando la lunghezza del riflettore

Se l’elemento è più piccolo della lunghezza di risonanza, ha impedenza capacitiva, altrimenti induttiva

Nella pratica si trova: un valore ottimale di d è circa 0.15 il primo elemento, per fungere da riflettore deve essere

induttivo (altrimenti funge da direttore)

Array “Parassiti”: Yagi-UdaSe si inserisce sia un riflettore che un direttore, la direttività aumenta

Si trova che aggiungere ulteriori riflettori non migliora le prestazioni di molto

riflettore direttore

Lobo principale

Aggiungere ulteriori direttori sì; di solito si hanno tra 6-12 direttori (anche se ne esistono con 30-40 elementi)

Man mano che si aggiungono direttori il loro effetto ovviamente diminuisce perché diminuisce l’entità delle correnti indotte

Il guadagno tipico è di 14 dB (con 8-10 elementi in totale)

Inconveniente: bassa resistenza di radiazione; di solito si usa come elemento alimentato un dipolo ripiegato

Introduzione alla Sintesi di arrayE’ possibile approssimare un desiderato fattore di schiera scegliendo opportunamente ampiezze e fasi delle correnti

Supponiamo di avere una schiera lineare simmetrica, con un numero dispari di elementi equispaziati

12 mN

Sappiamo che il fattore di schiera può essere scritto per mezzo del polinomio associato

mm

mm zAzAzAAzf 2

210 ......)( )cos( kdjj eez

Introduzione alla Sintesi di arrayPoiché z ha modulo unitario, anche le sue potenze hanno modulo unitario e se dividiamo per zm f(z), il suo modulo non cambia

mm

mm zAzAzAzf 21

10 ...)(

Ora supponiamo che le correnti di alimentazione degli elementi simmetrici rispetto a quello centrale siano complesse coniugate, ovvero che elementi simmetrici siano alimentati con correnti di ugual ampiezza ma deviazione rispetto allo sfasamento progressivo opposta

Introduzione alla Sintesi di arrayIn tal caso potremo scrivere

kkkm

kkkm

m

jbaA

jbaA

aA

0

E la somma di due termini simmetrici rispetto a quello centrale diventa

kkk

kkk

kkm

kkm zzjbzzazAzA

jkjkk

jkjkk eejbeea

ksinbka kk 2cos2

Introduzione alla Sintesi di arrayQuindi

m

kkk ksinbka

af

1

0 )()()cos(2

2)(

Ovvero: il fattore di schiera per una schiera a 2m+1 elementi equispaziati ed alimentati simmetricamente, si presenta nella forma di una serie di Fourier troncata ai primi 2m+1 termini, in cui ak sono i coefficienti dei termini coseno e -bk quelli dei termini seno

Quindi un qualsiasi fattore di schiera specificato come f() può essere espanso in serie di Fourier con un numero infinito di termini, ed approssimato con la precisione voluta da una serie troncata come quella introdotta

Introduzione alla Sintesi di arrayAllora per la sintesi basta espandere in serie di Fourier il diagramma desiderato ed ottenere le correnti di alimentazione ricordando le relazioni tra i coefficienti e le correnti

Notate che, per una spaziatura minore di mezza lunghezza d’onda, il range di visibilità non sarà l’intero angolo 2essendo

kkkm

kkkm

m

jbaA

jbaA

aA

0

kdkd

Introduzione alla Sintesi di arrayQuindi in tal caso, mentre f() è ovviamente specificato in tutto l’intervallo, f() è solo specificato in una parte dell’intervallo necessario all’espansione, e può essere completata a piacimento

Ovviamente converrebbe completarla in modo che la serie di Fourier sia la più rapidamente convergente

Se la spaziatura è esattamente mezza lunghezza d’onda il problema non esiste, visto che entrambe le funzioni sono definite in [0,2].

Per spaziature maggiori di mezza lunghezza d’onda, l’intervallo di definizione eccede [0,2] e questo metodo non può più essere usato

Schiere di Dolph-TchebyscheffAbbiamo visto che un elevato grado di rastremazione (Tapering) della distribuzione di corrente dal centro verso i bordi della schiera produce bassi livelli dei lobi laterali a scapito del lobo principale, più largo

Talvolta può essere richiesto di avere contemporaneamente un lobo principale più stretto e dei lobi laterali più bassi

Si capisce come il miglior compromesso si ha quando si hanno quanti più lobi laterali possibili, e con lo stesso livello

Infatti, per una data larghezza del lobo principale, il primo secondario può essere abbassato spostando il secondo nullo più vicino al primo

Schiere di Dolph-TchebyscheffQuesto comporta un incremento del livello del secondo lobo laterale, ma è possibile finché il livello di questo non raggiunge il livello del primo lobo laterale

Quindi il diagramma ottimo si ottiene quando tutti i lobi laterali hanno lo stesso livello

Polinomi che ben si adattano a descrivere una simile situazione sono i polinomi di Tchebyscheff definiti come

1coshcosh

1coscos

1coshcosh)1(

1

1

1

xxm

xxm

xxm

xT

m

m

Schiere di Dolph-TchebyscheffSi vede che

ed i polinomi di ordine superiore si possono ottenere con la formula di ricorrenza

1coshcosh

1coscos

1coshcosh)1(

1

1

1

xxm

xxm

xxm

xT

m

m

10 T xT 1

)()(2)( 11 xTxxTxT mmm Inoltre si ottiene che i polinomi di ordine pari sono pari e quelli di ordine dispari sono dispariche passano tutti per il punto (1,1)

Tutti gli zeri si hanno nel range -1<x<1

dove tutti oscillano tra -1 ed 1

T x 0( )

T x 1( )

T x 2( )

T x 3( )

T x 4( )

x2 1 0 1 2

20

15

10

5

0

5

10

15

20

Schiere di Dolph-Tchebyscheffquindi se x varia da un valore c (<1 in modulo) ad un valore x0 (>1 in modulo), il polinomio di Tchebyscheff descrive una serie di lobi laterali uguali (altezza 1) ed un lobo principale (altezza>1); questa proprietà li rende adeguati al nostro compito

Immaginiamo di avere una schiera a 2m elementi12

1210 ...)( m

m zAzAAzf

dividiamo per 2

12

mje

ed il modulo ovviamente non cambia quindi

m

k

kj

km

kj

km eAeAf1

2)12(

2)12(

1)(

Schiere di Dolph-TchebyscheffSe abbiamo elementi simmetrici rispetto a quello centrale

kmkm AA 1

avremo

m

kkm kAf

11 2

)12(cos2)(

Analogamente per 2m+1 elementi otterremo

m

kkmm kAAf

1cos2)(

In pratica si dimostra che il fattore di schiera in queste condizioni è somma di termini cos(k/2) con k fino a N-1

Ma cos(k/2) è un polinomio di grado k in cos(/2) (per dimostrarlo si può partire dalla identità di Eulero ed eseguire le potenze)

Schiere di Dolph-Tchebyscheff

Quindi: il fattore di schiera di una schiera lineare con N elementi equispaziati ed alimenttati con correnti con sfasamento progressivo ed ampiezze simmetriche rispetto all’elemento centrale è un polinomio di grando N-1 nella variabile reale cos(/2)

Si può quindi imporre che tale polinomio coincida con il polinomio di T. di ordine N-1

Chiaramente non possiamo semplicemente porre

2cos

x

o x varierebbe solo tra -1 ed 1, dove i polinomi di T. variano tra -1 ed 1 e non si avrebbero lobi principali…..

Schiere di Dolph-Tchebyscheff

Possiamo invece porre

Allora il lobo principale, corrispondente al massimo, sarà semplicemente

Posto quindi N-1=m avremo

12

cos 00 xconxx

Se poi definiamo anche

01 xTb N

01

01 coshcosh xmxTb N

01cosh xm

Schiere di Dolph-Tchebyscheff

avremo

resta da trovare la distribuzione di correnti della schiera. Il modo migliore è trovare gli zeri

del polinomio associato, legarli agli zeri xk del polinomio TN-1(x) mediante la relazione

mx /cosh0

e trovare le ampiezze delle correnti, recuperando il polinomio come

kjk ez

2

cos0k

k xx

b1cosh

1

1)(

N

k

j kezzf

Schiere di Dolph-Tchebyscheff

Per trovare i nulli, poniamo m=N-1 e consideriamo il polinomio di T di grado m, e poniamo

così che

I nulli sono per

ovvero

cosx

0cos m

mkm

kk ,..2,1

2

12

mxmxTm coscoscos 1

e, ovviamente

kkx cos

Schiere di Dolph-Tchebyscheff

Gli zeri del polinomio di T sono relazionati a quelli del polinomio caratteristico, come detto da

ovvero

2

cos0k

k xx

0

1cos2x

xkk

Schiere di Dolph-Tchebyscheff E’ dato il rapporto b tra il lobo principale ed il lobo laterale, ed

il numero di elementi da usare N Si pone m=N-1 Si calcolano mx /cosh0 b1cosh

Si determinano i nulli del polinomio di T di grado m

mkm

kk ,..2,1

2

12

kkx cos

Si relazionano con i nulli del polinomio caratteristico

0

1cos2x

xkk

Si calcola il polinomio caratteristico e quindi l’ampiezza delle correnti

1

1)(

N

k

j kezzf

Antenne ad apertura: sorgente di HuygensElemento bidimensionale di corrente

In pratica una dimensione in più rispetto al dipolo Hertziano che era un elementino monodimensionale

Consideriamo tuttavia sia un elementino di corrente elettrica che magnetica: in pratica sono correnti equivalenti corrispondenti ad elemento di onda piana che si propaga in z

Sfruttando il teorema di equivalenza, possiamo sostituire i campi elettrici e magnetici con sorgenti magnetiche ed elettriche che irradiano su una superficie infinita (z=0) x

y

z

dxdy

ExHy

Sns HuJ yyz H uu xyH u mAE

xx /u

sms MJ Sn Eu ]/[ mVEE yxxxz uuu nS uE

Antenne ad apertura: sorgente di Huygens

Per calcolare i campi useremo sia i potenziali elettrici che magnetici

per una sorgente infinitesima (r’->0)

S

jkxs

jkr

rxx dydxeJ

r

eA r ''

4' uruuA

Approssimazione introdotta

nella 3a lezione

xs

jkr

dxdyJr

euA

4

Il duale per la sorgente magnetica

ys

jkr

dxdyMr

euF

4

Antenne ad apertura: sorgente di Huygens

dai potenziali elettrici il campo lontano è

AjE e

AjE e per i potenziali magnetici possiamo ricavare le espressioni per dualità

mm HE mm HE

m

m

JJ

EHHE

,

','

m

m

JJ

EHHE

,

','

coscosxAj

sinAj x

Fj cosyFj

Fj sinFj y cos

(per ricavarci le relazioni da coordinate rettangolari a sferiche possiamo usare la matrice M che abbiamo introdotto)

Antenne ad apertura: sorgente di Huygens

Quindi sovrapponendo i contributi

coscoscos yxme FjAjEEE

sinFjsinAjEEE yxme cos

cos1cos

4

dxdyr

eE

jkE

jkr

x

sindxdy

r

eE

jkE

jkr

x 1cos4

Antenne ad apertura: sorgente di Huygens

Il diagramma di radiazione risulta

2

1cos)0,(

f

0)0,( f x

z

cardioide

0)90,( f

2

1cos)90,(

f

Apertura rettangolare su piano metallico infinito

z

x

y

ab

oyEo

xH

oyE

zn

oys EnM

=Principio diequivalenza

=Principiodell'immagine

sMsM sM2=Sovrapposizionedegli effetti

Applichiamo il principio di equivalenza+quello delle immagini+sovrapposizione degli effetti

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoMa qual è il campo sull’apertura?Ha la distribuzione di campo del modo fondamentale della guida d’onda (TE10)

In una guida d’onda i modi possibili si ottengono risolvendo per separazione di variabili l’equazione d’onda ed imponendo le condizioni al contorno (annullamento campi tangenziali alla guida)In pratica si ottiene una (doppia) infinità di soluzioni di tipo seno/coseno (caratterizzati da indici n,m), ciascuno avente costante di propagazione reale solo per frequenze maggiori di una frequenza propria: frequenza di taglioIl modo con frequenza di taglio più in basso (modo fondamentale) è il TE di indici 1,0, che ha come campi non nulli solo Ey, Hx ed Hz

Apertura rettangolare su piano metallico infinito

x

y

2

a2

a

2b

2b

yooy x

aEE u

cos

2

ax

2

by

xooynseq x

aEE uuMM

cos222

Quindi la sorgente magnetica è

x

y

2

a2

a

2b

2b

eqM

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoed il potenziale magnetico vale, per dualità rispetto all’espressione del il potenziale “lontano” ricavato alla lezione 3

ora, nel nostro caso in realtà r’ va integrato solo sulla superficie z=0 cioè

yx yx uur '''

'

)'( ')'(4 V

jkeq

jkr

dVer

er rurMF

')'(4 '

' dVer

e

V

jkjkr

r

urrJA

cos,,cos sinsinsinr u

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoper cui avremo

'')','(4

'' dydxeeyxr

e yjkxjkeq

jkryxM

avendo definito

cosksinkx sinksink y

'')','(4

''cos dydxeeyxr

e ysinjksinxjksineq

jkr

MF

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoInserendo la corrente magnetica si ha

2

2

2

2

'' '''cos4

2

a

a

b

b

yjkxjkjkr

ox dyedxexar

eEF yx

2

2

22

2cos

242

22 bk

bksin

ba

k

ak

ar

eE

y

y

x

xrj

o

2

2

22

2cos

4 22 bk

bksin

ak

ak

abr

eE

y

y

x

xjkr

o

Apertura rettangolare su piano metallico infinitonoto il potenziale, abbiamo i campi lontani

uuE coscosxx FsinFj

2

2

22

2cos

4 22 bk

bksin

ak

ak

absinr

ejkEE

y

y

x

xjkr

o

2

2

22

2cos

coscos4 22 b

k

bksin

ak

ak

abr

ejkEE

y

y

x

xjkr

o

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoAnalizziamo le caratteristiche di tale campo piano per piano

Prima il piano E (YZ)2

0xk ksink y

2

22 b

k

bksin

abr

ejkEE

y

yjkr

o

0E

Analizziamo il lobo principale: il primo nullo si ha quando si annulla il seno

z

x

y

ab

oyEo

xH

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoQuindi

02

bksin y

2

bk y

21b

ksinb

sin 1

nel caso di b molto maggiore di l’angolo è approssimabile direttamente con il rapporto a destra

z

x

y

ab

oyEo

xH

Chiaramente la larghezza del lobo in tale piano dipende dall’altezza della fessura b

vediamo il primo lobo secondario, analizzando i massimi; si tratta di una funzione tipo sinc

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoCalcoliamo quindi i massimi del numeratore

12

bksin y

2

3

2

bk y

2

3

21 b

ksinb

sin

2

31

Notate che abbiamo preso il primo massimo DOPO il primo zero, visto che siamo interessati al lobo secondario

z

x

y

ab

oyEo

xH

Possiamo valutare il campo relativo a tale max e confrontarlo con quello del lobo principale. Per tale valore avremo

2

31

2

2)(

221 abr

ejkE

bk

bksin

abr

ejkEE

jkr

o

y

yjkr

om

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoe calcolando il rapporto per valori grandi di b si ha

dBE

E

m

5.132

3

)(

)0(

1

max

notate che vale quanto il rapporto trovato per schiere uniformi di grandi dimensioni

notate anche che la distribuzione di campo in questo piano dipende dalla distribuzione della corrente equivalente in y, dove essa risulta uniforme

Apertura rettangolare su piano metallico infinito

Prima il piano H (XZ)0

ksinkx 0yk

22

22

2cos

cos4

ak

ak

abr

ejkEE

x

xjkr

o 0E

Analizziamo il lobo principale: il primo nullo si ha quando si annulla il coseno

z

x

y

ab

oyEo

xH

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoQuindi

02

cos

akx

2

3

2

akx

2

3

21 a

ksina

sin

2

31

nel caso di a molto maggiore di l’angolo è approssimabile direttamente con il rapporto a destra

z

x

y

ab

oyEo

xH

Chiaramente la larghezza del lobo in tale piano dipende dalla larghezza della fessura a

vediamo il primo lobo secondario, analizzando i massimi

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoCalcoliamo quindi i massimi del numeratore

22

a

kx

221 a

ksina

sin 21

z

x

y

ab

oyEo

xH

Possiamo valutare il campo relativo a tale max e confrontarlo con quello del lobo principale. Per tale valore avremo

2

2

22

12cos

4

a

arcsinabr

ejkEE

jkr

o

2

2

22

1

4

abr

ejkE

jkr

o

Se a>>

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoInvece il valore del lobo principale è (=0)

222

2

1

4

22

2cos

4

ab

r

ejkE

ak

ak

abr

ejkEE

jkr

o

x

xjkr

o

ed il rapporto risulta

dBE

E

m

5.2315)(

)0(

1

max

notate che in questo piano la distribuzione di campo dipende dalla distribuzione della corrente magnetica in x, che risulta sinusoidale e non uniforme; quindi più “rastremata”, dolce; come ci aspettavamo i lobi secondari sono più bassi

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoDiagramma di radiazione per un’apertura con a=3 e b =2

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoAl variare delle dimensioni sul piano E:

All’aumentare della dimensione b, la larghezza del lobo principale diminuisce

Ma il rapporto SSL non diviene migliore di 13 dB, anche aumentando la larghezza b dell’apertura

Al variare delle dimensioni sul piano H:

Simile comportamento con a, anche se con SSL migliori

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoDirettività

La massima densità di potenza si ha per =0 dove si ha

22maxmax 2

1),,(

EErP

2

2

2

42

1

ab

r

kEo

22

2

2cos

2

42

1sin

ab

r

kEo

Ora, essendo la direttività per definizione

2

maxmaxmaxmax

4

),,(),,(

r

WrP

P

rPD

ris

Ci occorre ancora la potenza irradiata totale

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoLa potenza totale è calcolata come quella che transita attraverso l’apertura

Sap

apapSap

apr SdHESdPW *

2

1

Se si tratta effettivamente di una guida d’onda rettangolare, e se trascuriamo il coefficiente di riflessione di tale guida all’apertura, campo elettrico e campo magnetico trasverso (quindi nel nostro caso Ey ed Hx) sono legati da una impedenza caratteristica modale

xTE

y

Z

EuH

0

dove

TEZ

222

,

b

n

a

mknm

2

20,1

a

k

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoSe l’apertura è molto grande avverrà che

In tali condizioni, sull’apertura

ka

k

22

0,1

TEZ

dSE

SdHEWSap

ap

Sapapapr

2

*

2

1

2

1

2

2

2

2

22 '''cos2

1a

a

b

bo dydxx

aE

2

22

1oE

ab

Per cui

2

maxmax

4

),,(

r

WrP

Dr

2

2

2

2

4

22

12

42

1

r

Eab

ab

r

kE

o

o

ab22

84

Apertura rettangolare su piano metallico infinitoPer l’area efficace, useremo l’identità

abDA2

2 8

4

omgeapADove abbiamo introdotto un nuovo parametro di efficienza (tra 0 ed 1) che nel nostro caso è circa 0.81 e sarebbe stato unitario con correnti uniformi