FISICA APPLICATA 2

DIPOLI ELETTRICI E MAGNETICI

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26/11/2012

DIPOLO ELETTRICO

La configurazione costituita da una carica positiva +q e da

una carica negativa −q (uguale in valore assoluto alla prima,

ma di segno opposto) e detta dipolo elettrico. Costruito con

la distanza d tra le due cariche il vettore d orientato dalla ca-

rica negativa alla carica positiva, si puo definire la grandezza

vettoriale momento di dipolo elettrico p come segue

p = q d . (1)

Come unita di misura nel S.I. si ha [p] = C m.2

DIPOLO ELETTRICO IN CAMPO ESTERNO

Si colloca un dipolo elettrico p in un campo elettrico esterno

E uniforme. Per campo esterno s’intende un campo elettrico

le cui sorgenti siano diverse dalle due cariche costituenti il

dipolo stesso.

Come illustrato nella slide successiva, il dipolo subisce l’a-

zione di due forze uguali in intensita ed opposte in verso. La

somma di queste due forze e nulla, ma sul dipolo agisce una

coppia meccanica (detta anche momento torcente) τ data

da

τ = p× E . (2)

3

In questo caso la coppia τ tende a far ruotare il dipolo in

senso orario. Il modulo di τ e τ = p E sin(θ) = qE d sin(θ).

4

ENERGIA POTENZIALE DEL DIPOLO

Si puo dimostrare che il dipolo, trovandosi sotto l’azione di

forze elettrostatiche, possiede un’energia potenziale U data

da

U = −p · E = −p E cos(θ) . (3)

Il minimo di U corrisponde alla posizione di equilibrio stabile

e si ottiene per θ = 0, cioe quando p e parallelo al campo

elettrico esterno E.5

DIPOLI MAGNETICI

Se si pone una spira rettangolare di area A e percorsa dalla

corrente I in un campo magnetico B esterno uniforme, si

riscontra che la spira tende a ruotare in maniera da allineare

la propria normale n alla direzione di B. Alla stessa conclu-

sione si puo giungere anche con il calcolo. In analogia con

la (2), si trova che sulla spira agisce una coppia τ data da

τ = µ×B , (4)

dove, sempre in base al calcolo o all’esperimento, risulta

necessario definire µ come

µ = A I n . (5)

6

La relazione (5) definisce il momento di dipolo magnetico

µ della spira. Questa definizione puo essere applicata a

qualsiasi spira piana di area A. Anche nel caso di spire non

piane si riesce facilmente a definire il momento di dipolo

magnetico.

Nel caso della (5) il verso della normale n al piano della spira

va scelto in modo da attraversare dai piedi alla testa un

osservatore che veda la corrente I fluire in senso antiorario

(vedi slide successiva).

Come unita di misura nel S.I. si ha [µ] = A m2 = JT [per

l’ultima uguaglianza vedi (6) successiva].

7

Teorema di equivalenza di Ampere: un ago magnetizzato

posto in un campo B si comporta esattamente come una

spira di opportuno momento di dipolo magnetico µ.

8

DIPOLO MAGNETICO: ENERGIA POTENZIALE

Anche nel caso magnetico si puo dimostrare che un dipolo

di momento µ, se si trova in un campo esterno B uniforme,

possiede un’energia potenziale U data da

U = −µ ·B = −µ B cos(θ) . (6)

Anche in questo caso il minimo di U corrisponde alla po-

sizione di equilibrio stabile e si ottiene per θ = 0, cioe quando

µ e parallelo al campo magnetico esterno B.

9

All’orientazione di µ parallela a B corrisponde la minima e-

nergia, all’orientazione antiparallela corrisponde la massima

energia. Quindi, per ruotare un dipolo dall’orientazione pa-

rallela a quella antiparallela bisogna fornirgli l’energia

∆U = Uf−Ui = −µ B cos(π)−(−µ B cos(0)) = 2 µ B . (7)

In assenza di apporto energetico dall’esterno, i dipoli (ma-

croscopici) si orientano (e restano orientati) lungo le linee

di forza del campo B. Questo fatto e alla base del funzio-

namento della bussola e del metodo comunemente illustrato

per tracciare le linee di forza di B. L’allineamento puo essere

apprezzabilmente ostacolato dall’agitazione termica nel casi

di dipoli microscopici.10

MOMENTO MAGNETICO DEL PROTONE

Esistono momenti magnetici di dipolo su scala microsco-

pica poiche i costituenti elementari della materia (atomi

e/o molecole) possono avere un momento magnetico di

dipolo. Risulta opportuno illustrare le proprieta magnetiche

della particella elementare protone in quanto le applicazioni

biomediche della tecnica diagnostica Risonanza Magnetica

Nucleare (RMN - detta brevemente Risonanza Magnetica

ed indicata d’ora in avanti con l’acronimo inglese MR) sono

basate quasi tutte sul segnale emesso dal momento ma-

gnetico del nucleo dell’atomo di idrogeno dell’acqua (H2O).

Detto nucleo e costituito da un protone, che ha massa

mp = 1.672623 ·10−27 kg e carica e = +1.602177 ·10−19 C.

11

Il comportamento delle particelle microscopiche come il pro-

tone e governato dalle leggi della meccanica quantistica,

le quali prevedono comportamenti spesso in contraddizione

con il senso comune e con l’esperienza quotidiana. Se si stu-

dia il comportamento di un protone in un campo magnetico

esterno, si osservano due fenomeni di natura quantistica,

fenomeni che non sarebbero presenti se al posto del protone

venisse messo un comune ago magnetico. Il manifestarsi dei

due fenomeni quantistici e legato al fatto che nel protone

(come peraltro in analoghi sistemi microscopici) il momento

magnetico µp e collegato alla presenza di un momento an-

golare di spin s.

12

Il momento magnetico µp del protone puo essere espresso in

termini dello spin s mediante la relazione

µp = γ s , (8)

dove γ, detto rapporto giromagnetico del protone, e dato

da

γ = ge

mp= 2.7928

e

mp= 2.6751 · 10+8 T−1 s−1 . (9)

Per il protone il fattore numerico g vale circa 2.7928 - per

altri nuclei assume valori diversi. Il rapporto carica/massa

per il protone vale emp

= 9.5788 · 10+7 Ckg. Si puo verificare

che vale la relazione tra unita del S.I. C kg−1 = T−1 s−1.

13

Si vuole studiare il comportamento di un protone posto in un

campo magnetico esterno uniforme B◦ abbastanza intenso

e che assumiano sia diretto lungo l’asse z. Indicato con k il

versore dell’asse z, si potra scrivere

B◦ = B◦ k . (10)

In base alla (6), alla (8) ed alla definizione di prodotto

scalare, l’energia potenziale magnetica posseduta dal pro-

tone potra essere scritta come segue

U = −µp ·B◦ = −B◦(µp)z

= −B◦ γ (s)z , (11)

in termini della componente z di µp (o di s).

14

A questo stadio intervengono le leggi della meccanica quan-

tistica, le quali producono il primo fenomeno non classico.

Il protone ha spin caratterizzato da numero quantico 12 e

questo implica che la componente z dello spin s puo as-

sumere i due soli valori

(s)±z = ±h

4π= ±5.27286 · 10−35 J s , (12)

dove al + corrisponde lo stato detto spin-up e al − cor-

risponde lo stato spin-down. La costante di Planck h vale

h = 6.626076·10−34 J s. Corrispondentemente, alla compo-

nente z del momento magnetico µp del protone spetteranno,

in base alle (8) e (9), solo i due valori

(µp)±z

= ±γh

4π= ±1.4106 · 10−26 J T−1 . (13)

15

Per portare un protone posto in un campo di intensita B◦

dalla situazione di minima energia (spin-up) alla situazione

di massima energia (spin-down) gli si dovra fornire, in base

alla (7), un’energia

∆U = 2(µp)+z

B◦ = 2 γh

4πB◦ = γ

h

2πB◦ . (14)

16

RELAZIONE DI PLANCK

La meccanica quantistica collega i livelli discreti di energia

di un sistema di natura elettromagnetica con determinate

frequenze attraverso la relazione di Planck

∆U = U2 − U1 = h ν12 , (15)

relazione che va interpretata nella seguente maniera: se

voglio portare il sistema dall’energia U1 al valore (superio-

re) U2, devo fornigli energia elettromagnetica di frequenza

ν12 - se invece il sistema decade dall’energia U2 al valore

U1, esso emettera energia elettromagnetica della stessa fre-

quenza ν12. Pertanto la frequenza ν12 costituisce una fre-

quenza caratteristica (frequenza di risonanza) per transizioni

dal livello 1 al livello 2 e viceversa.17

FREQUENZA DI LARMOR

Se si applica la relazione di Planck (15) al salto di energia

spin-up ↔ spin-down dato dalla (14) si ottiene la frequenza

νL =γ

2πB◦ = 42.576 B◦ T−1 MHz , (16)

la quale, per un protone posto in un campo B◦, rappresenta

la frequenza di risonanza idonea ai trasferimenti (nei due

sensi) di energia elettromagnetica tra protone e ambiente

circostante. Si puo arrivare all’espressione (16) anche ese-

guendo un calcolo di elettromagnetismo classico attraverso

il Teorema di Larmor ed il risultato (16) e anche noto come

frequenza di Larmor. Nel caso standard di uno scanner MR

con B◦ = 1.5 T si ha νL = 63.864 MHz.

18

MOTO DI PRECESSIONE

Una volta definita con la (16) la frequenza di Larmor, si puo

illustrare il secondo fenomeno non classico che diversifica il

comportamento del protone in un campo B◦ da quello di un

ago magnetizzato. A differenza di quanto avviene per un

ago magnetizzato, il quale tende sempre ad allinearsi lungo

la direzione di B◦ qualunque sia il suo orientamento iniziale, il

protone non si orienta lungo la direzione di B◦, ma vi precede

attorno. L’angolo che µp inizialmente forma con B◦ resta

costante mentre µp ruota attorno alla direzione del campo

magnetico come una trottola attorno alla verticale passante

per il punto di appoggio. L’aspetto quantistico di questo

comportamento risiede nel fatto che lo spin s accompagna

il momento magnetico µp.

19

Invece il fatto che un oggetto dotato di momento ango-

lare possa andare incontro ad un moto di precessione, come

quello di una trottola, e previsto dalla meccanica classica

del corpo rigido. Nel caso del protone il moto di precessione

avviene alla velocita angolare di Larmor ωL = 2π νL = γ B◦.

20

MAGNETIZZAZIONE DI UN CORPO

Una volta noto il comportamento di un protone posto in

un campo B◦, s’intende studiare il comportamento di un

oggetto macroscopico contenente un’elevata concentrazio-

ne di H2O (e quindi di protoni) quando questo viene posto

in un campo magnetico esterno B◦ piuttosto intenso. Con-

siderazioni statistico-termodinamiche di tipo classico sono

sufficienti a predire il comportamento dell’oggetto in quanto

il numero di sistemi elementari che lo compongono e dell’or-

dine del numero di Avogadro NA∼= 6.022 · 10+23 mol−1.

La fisica quantistica e gia intervenuta per predire il compor-

tamento dei singoli sistemi elementari. Le informazioni e i

valori numerici ricavati da questo studio preliminare vanno

inserito nel modello statistico-termodinamico classico.21

Due tendenze opposte agiscono sull’insieme dei protoni: da

una parte la tendenza all’allineamento (stato spin-up) che

abbassa l’energia del sistema e che risulta energeticamente

favorita e dall’altra la tendenza del sistema ad occupare in

maniera eguale tutti gli stati accessibili (tendenza al mas-

simo disordine/massima entropia).

Indicato con Nup il numero di protoni nello stato spin-up

e con Ndown il numero di protoni nello stato spin-down, la

distribuzione di Boltzmann da il rapporto tra i due numeri

Nup

Ndown= exp

−NA (Uup − Udown)

R T

= exp(NA ∆U

R T

)(17)

dove ∆U e data dalla (14), T e la temperatura assoluta e

R = 8.314 J K−1 mol−1 e la costante dei gas.22

Risultando di fatto molto piccolo (ma positivo) il valore

dell’esponente, si trova per lo scostamento percentuale tra

i numeri Nup e Ndown l’espressione approssimata

Nup −NdownNup +Ndown

∼=NA ∆U

2 R T=NA γ h B◦

4π R T, (18)

che per B◦ = 1.5 T e T = 290 K vale circa 5 · 10−6.

Il vettore momento magnetico complessivo µ che si ma-

nifesta nell’oggetto posto nel campo esterno B◦ risulta la

somma vettoriale dei singoli µp.

La piccola, ma apprezzabile, eccedenza dei momenti nello

stato spin-up rispetto a quelli spin-down porta ad un’apprez-

zabile componente longitudinale del momento magnetico

macroscopico dell’oggetto orientata parallelamente a B◦.23

I singoli momenti µp durante il loro moto di precessione

avranno anche componenti trasverse (perpendicolari a B◦),

ma in ogni istante queste saranno orientate a caso e la loro

somma vettoriale si annullera per ragioni statistiche. Per-

tanto il momento magnetico macroscopico risultante sara

solo longitudinale.24