Nepravidelné mnohoúhelníky

Mgr. Dalibor Kudela

Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizaceTento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK

1.5. Výuková sada – Matematika, DUM č.07

Mnohoúhelníky Mnohoúhelník je část roviny ohraničená úsečkami, které spojují určitý počet bodů (nejméně tři), z nichž žádné tři sousední body neleží na jedné přímce .

Body, které určují mnohoúhelník se nazývají vrcholy.Úsečky, které spojují sousední vrcholy se nazývají strany.Úsečky, které spojují nesousední vrcholy se nazývají úhlopříčky .Úhly, které svírají sousední strany jsou vnitřní úhly mnohoúhelníku.Počet vrcholů, stran a vnitřních úhlů je v jednom mnohoúhelníku stejný a tento počet určuje název mnohoúhelníku: trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník,...

A

B

C

D

E

Mnohoúhelník ABCDE

A,B,C,D,E – vrcholy

AB, BC, CD, DE, EA – strany

AC, AD, BD, BE, CE – úhlopříčky

EAB, ABC, BCD , CDE, DEA – vnitřní úhly

Rozdělení mnohoúhelníků

Pravidelné všechny strany mají stejnou délku všechny vnitřní úhly mají stejnou velikost

Nepravidelné strany mají různou délku vnitřní úhly mají různou velikost

Konvexnívšechny vnitřní úhly mají velikostmenší než 180°

Nekonvexníalespoň jeden vnitřní úhel má velikost větší než 180°

Nekonvexní vnitřní úhel

Nepravidelné mnohoúhelníky

A

C

B

Obsah nepravidelného mnohoúhelníku většinou vypočteme tak, že ho rozdělíme na několik nepřekrývajících se obrazců, jejichž obsah umíme vypočíst. Obsah mnohoúhelníku je pak součtem obsahů těchto obrazců.

DE

F

1S2S

3S4S

1 2 3 4S S S S S

21

4 36

2S cm

22

3 34,5

2S cm

23

4 24

2S cm

24

2 22

2S cm

1 2 3 436S S S S S 236 16,5 19,5S cm

Vypočtěte obsah daného mnohoúhelníku.

Řešený příklad

21

4 36

2S cm

22

3 34,5

2S cm

1S

2S3S

4S

5S

23 3 1 3S cm

24

4 24

2S cm

25

2 22

2S cm

21 2 3 4 5 19,5S S S S S S cm

Navrhněte jiný způsob výpočtu obsahu tohoto mnohoúhelníkuOd celkového obsahu čtverce S = 36 cm2 odečteme obsahy čtyř rohových pravoúhlých trojúhelníků.

K výpočtu obsahu mnohoúhelníku často používáme čtvercovou síť. Mnohoúhelník pak rozdělujeme na pravoúhlé trojúhelníky, čtverce, obdélníky případně lichoběžníky

1S

2S3S

4S

Vypočtěte obvod daného mnohoúhelníku.

Řešený příklad

2 24 2 4,47a cm

a

bc

d

e

2 22 2 2,83b cm

2 24 3 5c cm

2 23 3 4,24d cm

1e cm

17,54o a b c d e cm

K výpočtu použijeme Pythagorovu větu. Strana mnohoúhelníku je kromě strany evždy přeponou příslušného pravoúhlého trojúhelníku.

Navrhněte řešení

Příklady k procvičeníVypočtěte obvody a obsahy daných mnohoúhelníků.

1) 2)

3) 4)

Řešení

21) 22,02 33o cm S cm

22) 16,63 16,5o cm S cm 23) 23,56 26,5o cm S cm

24) 17,89 12o cm S cm

Příklady k procvičeníVypočtěte obsahy daných mnohoúhelníků.

8,5 m

6,4 m

5,2 m

12,6 cm

5,8 cm

3,9 cm2,5 cm

2 cm

29 m

32 m

17 m

18 m

14 m

9 m

2,6 cm

4 cm 0,7 cm

1,9 cm

1) 2)

3)4)

Řešení

21) 67,15S m

22) 60,68S cm

23) 931S m

24) 6,79S cm