18. listopada 2016.

18. listopada 2016. 1 / 13

Neprekidne funkcije

Vaznu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u

nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu u zavisnoj varijabli y = f (x).

Definicija

Kazemo da je funkcija f neprekidna u tocki x0 ako je

limx→x0

f (x) = f (x0).

Definicija neprekidnosti podrazumijeva da je:

1 f definirana na nekoj okolini tocke (x0 − δ, x0 + δ),

2 limx→x0 f (x) postoji,

3 limx→x0 f (x) i f (x0) su jednaki.

Ako bilo koji od ova tri uvjeta nije ispunjen, kazemo da f ima prekid u tocki x0.

18. listopada 2016. 2 / 13

Neprekidne funkcije

Vaznu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u

nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu u zavisnoj varijabli y = f (x).

Definicija

Kazemo da je funkcija f neprekidna u tocki x0 ako je

limx→x0

f (x) = f (x0).

Definicija neprekidnosti podrazumijeva da je:

1 f definirana na nekoj okolini tocke (x0 − δ, x0 + δ),

2 limx→x0 f (x) postoji,

3 limx→x0 f (x) i f (x0) su jednaki.

Ako bilo koji od ova tri uvjeta nije ispunjen, kazemo da f ima prekid u tocki x0.

18. listopada 2016. 2 / 13

Neprekidne funkcije

Vaznu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u

nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu u zavisnoj varijabli y = f (x).

Definicija

Kazemo da je funkcija f neprekidna u tocki x0 ako je

limx→x0

f (x) = f (x0).

Definicija neprekidnosti podrazumijeva da je:

1 f definirana na nekoj okolini tocke (x0 − δ, x0 + δ),

2 limx→x0 f (x) postoji,

3 limx→x0 f (x) i f (x0) su jednaki.

Ako bilo koji od ova tri uvjeta nije ispunjen, kazemo da f ima prekid u tocki x0.

18. listopada 2016. 2 / 13

Neprekidne funkcije

Vaznu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u

nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu u zavisnoj varijabli y = f (x).

Definicija

Kazemo da je funkcija f neprekidna u tocki x0 ako je

limx→x0

f (x) = f (x0).

Definicija neprekidnosti podrazumijeva da je:

1 f definirana na nekoj okolini tocke (x0 − δ, x0 + δ),

2 limx→x0 f (x) postoji,

3 limx→x0 f (x) i f (x0) su jednaki.

Ako bilo koji od ova tri uvjeta nije ispunjen, kazemo da f ima prekid u tocki x0.

18. listopada 2016. 2 / 13

Definicija

Funkcija f je neprekidna intervalu (a, b) ako je f neprekidna u svakoj tocki x0 ∈ (a, b).

C(D) ={f : D → R | f je neprekidna na D

}Vrste prekida funkcije

Uklonjivi prekid

Kazemo da funkcija f ima prekid prve vrste u tocki x0 ako limx→x0 f (x) postoji, ali

1 f nije definirana u tocki x0 ili

2 limx→x0 f (x) 6= f (x0).

U tom slucaju mozemo definirati prosirenje funkcije po neprekidnosti u tocki x0 sa

f (x) =

f (x), x 6= x0,

L, x = x0

gdje je L = limx→x0 f (x).

18. listopada 2016. 3 / 13

Definicija

Funkcija f je neprekidna intervalu (a, b) ako je f neprekidna u svakoj tocki x0 ∈ (a, b).

C(D) ={f : D → R | f je neprekidna na D

}Vrste prekida funkcije

Uklonjivi prekid

Kazemo da funkcija f ima prekid prve vrste u tocki x0 ako limx→x0 f (x) postoji, ali

1 f nije definirana u tocki x0 ili

2 limx→x0 f (x) 6= f (x0).

U tom slucaju mozemo definirati prosirenje funkcije po neprekidnosti u tocki x0 sa

f (x) =

f (x), x 6= x0,

L, x = x0

gdje je L = limx→x0 f (x).

18. listopada 2016. 3 / 13

Definicija

Funkcija f je neprekidna intervalu (a, b) ako je f neprekidna u svakoj tocki x0 ∈ (a, b).

C(D) ={f : D → R | f je neprekidna na D

}Vrste prekida funkcije

Uklonjivi prekid

Kazemo da funkcija f ima prekid prve vrste u tocki x0 ako limx→x0 f (x) postoji, ali

1 f nije definirana u tocki x0 ili

2 limx→x0 f (x) 6= f (x0).

U tom slucaju mozemo definirati prosirenje funkcije po neprekidnosti u tocki x0 sa

f (x) =

f (x), x 6= x0,

L, x = x0

gdje je L = limx→x0 f (x).

18. listopada 2016. 3 / 13

Definicija

Funkcija f je neprekidna intervalu (a, b) ako je f neprekidna u svakoj tocki x0 ∈ (a, b).

C(D) ={f : D → R | f je neprekidna na D

}Vrste prekida funkcije

Uklonjivi prekid

Kazemo da funkcija f ima prekid prve vrste u tocki x0 ako limx→x0 f (x) postoji, ali

1 f nije definirana u tocki x0 ili

2 limx→x0 f (x) 6= f (x0).

U tom slucaju mozemo definirati prosirenje funkcije po neprekidnosti u tocki x0 sa

f (x) =

f (x), x 6= x0,

L, x = x0

gdje je L = limx→x0 f (x).

18. listopada 2016. 3 / 13

Primjer

Funkcija

f (x) =sin(x)

x

ima uklonjivi prekid u tocki x = 0.

-15 -10 -5 5 10 15

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

18. listopada 2016. 4 / 13

Pokazimo da je

limx→0

sin(x)

x= 1.

18. listopada 2016. 5 / 13

Prekid prve vrste

Kazemo da funkcija f ima prekid prve vrste u tocki x0 ako jednostrani limesi u x0 postoje, ali

limx→x−0

f (x) 6= limx→x+

f (x).

U tom slucaju promjena funkcije u tocki x0 je dana sa

∆f = limx→x+

0

f (x)− limx→x−0

f (x).

18. listopada 2016. 6 / 13

Primjer

Funkcija

f (x) =

−x , x < 0,

x2 + 1, x > 0,

ima prekid prve vrste u tocki x = 0.

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

18. listopada 2016. 7 / 13

Prekid druge vrste

Kazemo da funkcija f ima prekid druge vrste u tocki x0 ako barem jedan od limesa

limx→x+

0

f (x) ili limx→x−0

f (x)

ne postoji.

Racionalna funkcija f (x) = p(x)q(x)

moze imati prekid druge vrste u nultockama polinoma q(x).

18. listopada 2016. 8 / 13

Primjer

Funkcija

f (x) =x + 2

x2 − 1

ima prekid druge vrste u tockama x = −1 i x = 1.

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

18. listopada 2016. 9 / 13

Naprekidnost funkcije je ocuvana kod algebarskih operacija na funkcijama.

Teorem

Neka su funkcije f i g neprekidne u tocki x0. Tada su funkcije

1 f (x) + g(x),

2 cf (x), c ∈ R,

3 f (x)g(x),

4f (x)g(x)

gdje je g(x0) 6= 0

neprekidne u x0.

Teorem (Neprekidnost kompozicije funkcija)

Neka je f neprekidna u tocki x0, i neka je g neprekidna u tocki f (x0). Tada je kompozicija

funkcija (g ◦ f )(x) = g(f (x)) neprekidna u tocki x0.

Ovaj teorem implicira da je

limx→x0

g(f (x)) = g( limx→x0

f (x)),

ako je f neprekidna funkcija.

18. listopada 2016. 10 / 13

Naprekidnost funkcije je ocuvana kod algebarskih operacija na funkcijama.

Teorem

Neka su funkcije f i g neprekidne u tocki x0. Tada su funkcije

1 f (x) + g(x),

2 cf (x), c ∈ R,

3 f (x)g(x),

4f (x)g(x)

gdje je g(x0) 6= 0

neprekidne u x0.

Teorem (Neprekidnost kompozicije funkcija)

Neka je f neprekidna u tocki x0, i neka je g neprekidna u tocki f (x0). Tada je kompozicija

funkcija (g ◦ f )(x) = g(f (x)) neprekidna u tocki x0.

Ovaj teorem implicira da je

limx→x0

g(f (x)) = g( limx→x0

f (x)),

ako je f neprekidna funkcija.

18. listopada 2016. 10 / 13

Naprekidnost funkcije je ocuvana kod algebarskih operacija na funkcijama.

Teorem

Neka su funkcije f i g neprekidne u tocki x0. Tada su funkcije

1 f (x) + g(x),

2 cf (x), c ∈ R,

3 f (x)g(x),

4f (x)g(x)

gdje je g(x0) 6= 0

neprekidne u x0.

Teorem (Neprekidnost kompozicije funkcija)

Neka je f neprekidna u tocki x0, i neka je g neprekidna u tocki f (x0). Tada je kompozicija

funkcija (g ◦ f )(x) = g(f (x)) neprekidna u tocki x0.

Ovaj teorem implicira da je

limx→x0

g(f (x)) = g( limx→x0

f (x)),

ako je f neprekidna funkcija.

18. listopada 2016. 10 / 13

Koristeci prethodna dva teorema i neke elementarne nejednakosti moze se pokazati da su

elementarne funkcije neprekidne na svojim prirodnim domenama.

1 Svaki polinom je neprekidan na R.

2 Svaka racionalna funkcija p(x)q(x)

je neprekidna na R osim u tockama gdje je q(x) = 0.

3 Eksponencijalna funkcija ex je neprekidna na R.

4 Logaritamska funkcija ln(x) je neprekidna na (0,∞).

5 Funkcije sin(x) i cos(x) su neprekidne na R.

6 Funkcija tg(x) je neprekidna na R \{π2

+ nπ | n ∈ Z}

.

7 Funkcija ctg(x) je neprekidna na R \{nπ | n ∈ Z

}.

18. listopada 2016. 11 / 13

Koristeci prethodna dva teorema i neke elementarne nejednakosti moze se pokazati da su

elementarne funkcije neprekidne na svojim prirodnim domenama.

1 Svaki polinom je neprekidan na R.

2 Svaka racionalna funkcija p(x)q(x)

je neprekidna na R osim u tockama gdje je q(x) = 0.

3 Eksponencijalna funkcija ex je neprekidna na R.

4 Logaritamska funkcija ln(x) je neprekidna na (0,∞).

5 Funkcije sin(x) i cos(x) su neprekidne na R.

6 Funkcija tg(x) je neprekidna na R \{π2

+ nπ | n ∈ Z}

.

7 Funkcija ctg(x) je neprekidna na R \{nπ | n ∈ Z

}.

18. listopada 2016. 11 / 13

Svojstva neprekidnih funkcija

Definicija

Funkcija f : I → R je ogranicena na intervalu I ako postoje M1,M2 ∈ R takva da je

M1 ≤ f (x) ≤ M2 ∀ x ∈ I . (1)

Promotrimo sljedeci problem:

Neka je funkcija f ogranicena na intervalu I . Uz koje uvjete postoje f ima minimum ili maksimum

na I?

Teorem o ekstremnim vrijednostima

Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b], tada postoje x1, x2 ∈ [a, b] takvi da je

f (x1) = maxx∈[a,b]

f (x) i f (x2) = minx∈[a,b]

f (x). (2)

18. listopada 2016. 12 / 13

Svojstva neprekidnih funkcija

Definicija

Funkcija f : I → R je ogranicena na intervalu I ako postoje M1,M2 ∈ R takva da je

M1 ≤ f (x) ≤ M2 ∀ x ∈ I . (1)

Promotrimo sljedeci problem:

Neka je funkcija f ogranicena na intervalu I . Uz koje uvjete postoje f ima minimum ili maksimum

na I?

Teorem o ekstremnim vrijednostima

Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b], tada postoje x1, x2 ∈ [a, b] takvi da je

f (x1) = maxx∈[a,b]

f (x) i f (x2) = minx∈[a,b]

f (x). (2)

18. listopada 2016. 12 / 13

Svojstva neprekidnih funkcija

Definicija

Funkcija f : I → R je ogranicena na intervalu I ako postoje M1,M2 ∈ R takva da je

M1 ≤ f (x) ≤ M2 ∀ x ∈ I . (1)

Promotrimo sljedeci problem:

Neka je funkcija f ogranicena na intervalu I . Uz koje uvjete postoje f ima minimum ili maksimum

na I?

Teorem o ekstremnim vrijednostima

Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b], tada postoje x1, x2 ∈ [a, b] takvi da je

f (x1) = maxx∈[a,b]

f (x) i f (x2) = minx∈[a,b]

f (x). (2)

18. listopada 2016. 12 / 13

Korolar

Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervaluj [a, b], onda je f ogranicena na [a, b].

Teorem o neprekidnosti inverzne funkcije

Ako je f : [a, b]→ [c, d ] bijektivna i neprekidna funkcija, tada je inverzna funkcija

f −1 : [c, d ]→ [a, b] neprekidna.

18. listopada 2016. 13 / 13

Korolar

Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom intervaluj [a, b], onda je f ogranicena na [a, b].

Teorem o neprekidnosti inverzne funkcije

Ako je f : [a, b]→ [c, d ] bijektivna i neprekidna funkcija, tada je inverzna funkcija

f −1 : [c, d ]→ [a, b] neprekidna.

18. listopada 2016. 13 / 13