1

NETWERKEN EN FILTERSRik Pintelon

Rik Pintelon, Brussel, oktober 2005Versie 28 september 2009

2

Inhoudstabel

DEEL I: Analyse van Netwerken 2

I a Lineaire Netwerken 41. Inleiding basiselementen 5

1.1. Definities 51.2. Ideale 1-poorten 61.3. Ideale 2-poorten 81.4. Ideale bronnen 91.6. Basisonderstellingen 10

2. Matriciële formulering van de KCL-, KVL- en VAL-wetten 122.1. Inleiding 122.2. Verband tussen een netwerk en een georiënteerde graf 132.3. KCL-wet 142.4. KVL-wet 162.5. VAL-wet 192.6. Samenvatting van de vergelijkingen 202.7. Verlagen van het aantal onbekenden 202.8. Overzicht van de vergelijkingen 212.9. Matriciële oplossing van netwerken 222.10. Interpretatie van de methode van de knooppuntpotentialen 232.11. Interpretatie van de methode van de maasstromen 272.12. Uitbreiding van de methode van de knooppuntpotentialen 272.13. Uitbreiding van de methode van de maasstromen 33

3. De stellingen van Thévenin en Norton 373.1. Probleemstelling 373.2. Stelling van Thévenin 373.3. Stelling van Norton 393.4. Toepassing op een actieve kring 403.5. Toepassing op kringen die niet vanuit rust vertrekken 43

4. Studie van 2-poorten 444.1. Definitie en basisvergelijkingen 444.2. Canonieke voorstellingen van 2-poorten 464.3. Verband tussen canonieke vormen van 2-poorten 504.4. Schakelen van tweepoorten 514.5. Reciprociteit van tweepoorten 574.6. Schalingseigenschap van een impedantie en een transfer functie 594.7. Efficiënt berekenen van tweepoorten 61

5. Gevoeligheidsstudie van 2-poorten 635.1. Definitie en eigenschappen van de gevoeligheid 635.2. Analytisch berekenen van de gevoeligheid 645.3. Numeriek berekenen van de gevoeligheden. 645.4. Berekenen van de groepdoorlooptijd 69

6. Switched capacitor netwerken 716.1. Inleiding 716.2. Elementaire bouwstenen. 736.3. Oplossen van switched capacitor netwerken 776.4. Eigenschappen van switched capacitor filters 78

3

6.5. Vermogen dissipatie van een switched capacitor netwerk 80

I b Niet-lineaire Netwerken 827. DC- analyse van niet lineaire netwerken 83

7.1. Definitie 837.2. Voorbeelden van niet lineaire elementen 837.4. Oplossen van de basisvergelijkingen 857.5. Netwerk- interpretatie van de numerieke oplossingsmethode 86

8. Transiënt analyse van niet lineaire netwerken 958.1. Inleiding 958.2. De toestandsveranderlijke methode 958.3. De kompanionmethode 101

Referentiewerken 112

4

DEEL I: ANALYSE VAN NETWERKENI A LINEAIRE NETWERKEN

5

1. Inleiding basiselementen

1.1. Definities

Een netwerk is een aaneenschakeling van éénpoorten, tweepoorten, …, n-poorten, diesymbolisch voorgesteld worden als:

Een aantal ideale 1-poort en 2-poort elementen zullen verderop besproken worden. Eenreële component zoals een batterij of een condensator bestaat uit een aaneenschakelingvan ideale componenten.

éénpoort:

Voorbeeld: spoel, condensator,weerstand

u

i

tweepoort

Voorbeeld: versterker

i2

u1

i1

u2

n-poort

Voorbeeld: 3-fasigetransformator

i1

i2

in

…

un

u2

u1

6

1.2. Ideale 1-poorten

Zoals uit de vergelijkingen in het Laplace-domein blijkt, bestaat er nietnoodzakelijkerwijs een evenredig verband tussen de Laplace-getransformeerden van despanning en de stroom. Bestaat er dan zoiets als een impedantie in het Laplace-vlak? Viade volgende equivalentie tonen we aan dat dit inderdaad zo is.

We bewijzen de equivalentie voor de condensator, het bewijs voor de spoel wordt alsoefening overgelaten aan de lezer.

De werkingsvergelijkingen van het rechterschema zijn:

(1)

Laplace-domeinTijdsdomein

weerstand i t( ) R

u t( ) u t( ) Ri t( )= U p( ) RI p( )=of

of

of

spoel

condensator

i t( )

i t( )

L

C

u t( )

u t( )

u t( ) Ltd

d i t( )=

i t( ) Ctd

d u t( )=

U p( ) L pI p( ) i 0-( )–( )=

I p( ) C pU p( ) u 0-( )–( )=

u t( )Elektrischequivalent

Elektrischequivalent

v t( ) v 0-( ), 0= u 0-( )

i t( )

i 0-( ) 0≠

u t( ) u 0-( ) 0≠,

i t( )

i 0-( )

j t( ) j 0-( ), 0=⇔

⇔

u t( )

L

C

Li t( )

Ci t( )

u t( )

i t( ) Ctd

d v t( )=

u t( ) v t( ) u 0-( )+=⎩⎪⎨⎪⎧ I p( ) CpV p( )=

U p( ) V p( ) u 0-( )p

-------------+=⎩⎪⎨⎪⎧

⇒

7

Eliminatie van in (1) geeft

wat het gestelde bewijst.

We besluiten dat het begrip impedantie bestaat in het Laplace-domein indien allebeginvoorwaarden nul zijn. Indien niet, dan moet men eerst alle geladen condensatorenvervangen door een ongeladen condensator in serie met een DC-spanningsbron, en allespoelen waardoor een stroom vloeit op t=0, vervangen door spoelen waardoor geenstroom vloeit op t=0 met parallel daarover een DC-stroombron.

Opmerkingen

1) inschakelgedrag ideale 1- poorten:

• condensator reageert op een plotse stroomverandering als een kortsluiting

• spoel reageert als een open klem op een plotse spanningsverandering

2)

V p( )

I p( ) Cp U p( ) u 0-( )p

-------------–⎝ ⎠⎛ ⎞ C pU p( ) u 0-( )–( )= =

Impedantie R

Impedantie Lp

Impedantie 1Cp-------

C

L

R

i t( ) Ctd

d u t( )= u t( ) is een continue functie⇒⎝ ⎠⎛ ⎞

u t( ) Ltd

d i t( )= i t( ) is een continue functie⇒⎝ ⎠⎛ ⎞

Reële spoel

Reële condensator

of

8

1.3. Ideale 2-poorten

De transformator

Tijdsdomein

Laplace-domein

De gyrator

electrisch equivalent (als oefening)

i1 t( ) i2 t( )

i1 0-( ) 0≠ i2 0-( ) 0≠;

i2 0-( )u2 t( )u1 t( ) i1 0-( )

M

u1 t( )

M

u2 t( )

i1 t( ) j1 t( ) j2 t( ) i2 t( )

L1 L2

L1 L2

u1 t( ) L1 tdd i1 t( ) M

tdd i2 t( )+=

u2 t( ) Mtd

d i1 t( ) L2 tdd i2 t( )+=⎩

⎪⎨⎪⎧

U1 p( ) L1pI1 p( ) MpI2 p( ) L1i1 0-( ) Mi2 0-( )+( )–+=

U2 p( ) MpI1 p( ) L2pI2 p( ) Mi1 0-( ) L2i2 0-( )+( )–+=⎩⎨⎧

u2 t( )

i2 t( )ri1 t( )

u1 t( )

9

Tijdsdomein

Laplace-domein

1.4. Ideale bronnen

a) onafhankelijke bronnen (spannings- en stroombronnen)

b) gestuurde bronnen (4 soorten)

In het eerste voorbeeld spreekt men van een spanningsgestuurde spanningsbron,vervolgens stroomgestuurde spanningsbron enz…

1.5. Rekenen met impedanties: éénvoudige voorbeelden

a) Voorbeeld 1: berekenen van de overgangsverschijnselen van de volgende kring

u1 t( ) ri2 t( )–=

u2 t( ) ri1 t( )=⎩⎨⎧

U1 p( ) rI2 p( )–=

U2 p( ) rI1 p( )=⎩⎨⎧

E0

E t( )

j0

soort bron soort stuurgrootheidspanningsbronspanningsbronstroomsbronstroombron

1.2.3.4.

spanningstroomspanningstroom

E

t 0=

u t( ) u 0-( ) 0≠,R

C

⇒

ER C

u 0-( )

v t( )u t( )

10

Gebruik makend van de wet van de spanningsdeler vinden we de Laplacegetransformeerde van de spanning in het equivalent schema

Gezien volgt hieruit het gezochte spanningsverloop

waarbij de invers Laplace getransformeerde voorstelt.

b) Voorbeeld 2: ingangsimpedantie van de gyrator belast met een condensator

In de onderstelling dat de initiële condities nul zijn, en gebruik makende van dewerkingsvergelijkingen van de gyrator, vinden we

Uit de vergelijking volgt dat een gyrator belast met een condensator zich gedraagt alseen spoel met waarde . In deel 2 van de cursus zullen we zien hoe een gyrator metbehulp van operationele versterkers, weerstanden, en condensatoren kan gemaaktworden.

1.6. Basisonderstellingen

De volgende onderstellingen zullen veelvuldig gemaakt worden: lineariteit,tijdsinvariantie, passiviteit, geconcentreerde elementen.

a) Lineariteit

Dit eist dat het netwerk vanuit rust vertrek (alle beginvoorwaarden zijn nul), zo nietheeft men GEEN evenredig verband tussen spanning en stroom. Let wel dat indien debeginvoorwaarden niet nul zijn de oplossing wel gevonden kan worden als desuperpositie van lineaire deelproblemen.

(Opmerking: lineariteit in systeemtheorie houdt in feite evenredigheid in)

V p( ) v t( )

V p( ) 1 Cp( )⁄1 Cp( )⁄ R+----------------------------- E

p--- u 0-( )

p-------------–⎝ ⎠

⎛ ⎞ E u 0-( )–p RCp 1+( )----------------------------= =

U p( ) V p( ) u 0-( ) p⁄+= u t( )

u t( ) L 1– U p( ) u 0-( ) E u 0-( )–( ) 1 e t RC( )⁄––( )+= =

L 1–

I2 p( )rI p( )

Z p( ) CU2 p( )U p( )

Z p( ) U p( )I p( )------------

rI2 p( )–

U2 p( ) r⁄--------------------- r2–

I2 p( )U2 p( )--------------- r2–( ) Cp–( ) r2Cp= = = = =

r2C

lineair

niet-lineair

i

u

11

b) Tijdinvariantie

Dit eist dat alle elementwaarden onafhankelijk van de tijd zijn: R, L, C, M, r, … zijnconstanten.

c) Passiviteit

Dit eist dat het netwerk op elk ogenblik niet meer energie teruggeeft aan debuitenwereld dan het ontvangen heeft.

Voor een n-poort wordt deze eis

(2)

Bijvoorbeeld voor een spoel wordt (2):

Bewijs als oefening dat de weerstand, de condensator, de transformator en de gyratorpassieve elementen zijn.

d) Geconcentreerde elementenIn deze cursus gaan we er vanuit dat de voortplantingssnelheid van deelektromagnetische golven oneindig groot is (= theorie van de geconcentreerdeelementen). Deze onderstelling is zinvol indien de golflengte geassocieerd aan dehoogste frequentie in de signalen veel groter is dan de fysische afmeting van hetnetwerk.

Voorbeeld 1:

Voorbeeld 2:

Indien de hypothese niet opgaat krijgt men effecten die aan de hand van detheorie met geconcentreerde elementen niet kan verklaren, zoals golfvoortplanting,huideffect (skineffect) in geleiders enz… (zie cursus elektromagnetisme).

vermogen p t( ) uk t( )ik t( )

k 1=

n

∑=

energie e t( ) p t( ) td

∞–

t

∫ 0≥=

e t( ) Ltd

d i t( )⎝ ⎠⎛ ⎞ i t( ) td

∞–

t

∫Li2 t( )

2-------------- 0≥= =

c 38×10 m/s=

f 10 GHz= ⎭⎬⎫

λ 3 cm=⇒

c 38×10 m/s=

f 50 Hz= ⎭⎬⎫

λ 6000 km=⇒

c ∞=

12

2. Matriciële formulering van de KCL-, KVL- en VAL-wetten

2.1. Inleiding

Het doel is om tot een matriciële formulering te komen van de 3 basisvergelijkingen vaneen netwerk:

1) KCL- wet (Kirchoff current law)

Som van de stromen naar een knoop (doorsnede) toe = 0.

2) KVL-wet (Kirchoff voltage law)

Som van de spanningen in een gesloten lus = 0.

3) VAL - wet (volt- ampère law)

Daar waar de KCL en KVL-wetten geldig zijn voor zowel lineaire als niet-lineairenetwerken, drukt de VAL-wet het lineaire gedrag van het netwerk uit.

i1i2

i3

i1 i2– i3– 0=

u1

u4 u3

u2

u1 u2– u3– u4+ 0=

U p( ) Z p( )I p( ) E p( )–=

E p( )I p( )

U p( )

Z p( )

13

2.2. Verband tussen een netwerk en een georiënteerde graf

We voeren de equivalentie tussen een netwerk en een georiënteerde graf, en een aantaldefinities in via een voorbeeld, namelijk een brugschakeling.

Definities en conventies

0

3

2

1

U2 U3

U5

U1

U4

U6

E6

Z6

I6

Z1

Z2 Z3

Z4

Z5

I1

I2

I3

I5

I4

Netwerk

0

31

2

Geörienteerde graf

t1

t6

t4

t3t2

t5

Γ6

Γ1 Γ4

Figuur 1

n 1+ = totaal aantal knopen in het netwerk n 3=( )t = aantal takken in netwerk n 6=( )

boom = verzameling van takken zodanig dat er tussen 2 willekeurig gekozenknopen slechts 1 pad bestaat dat hen verbindt.Dit moet opgaan voor elk gekozen knopenpaar ( boom = )t2 t3 t5, ,

twijg =liaan =

tak die tot de boom behoort t2 t3 t5, ,( )tak die niet tot de boom behoort t1 t4 t6, ,( )

14

Merk op:

Een boom bevat precies n twijgen

Er zijn bijgevolg lianen in een netwerk

Er zijn fundamentele lussen in een netwerk

De georiënteerde graf bevat alle informatie i.v.m de stroomzin en spanningszin van alletakken van het netwerk. De enige informatie die ontbreekt is het verband spanning/stroomin elke tak. We kunnen dus niet verwachten dat de georiënteerde graf de VAL- wetten zalkunnen beschrijven.

2.3. KCL-wet

a) De verbindingsmatrix of schakelmatrix

is een matrix

voorbeeld: de brugschakeling (zie Figuur 1 § 2.2.)

(3)

b) beschrijft de KCL- wetten in alle knopen.

I =

fundamentele lus =Γ lus die ontstaat door bij een boom een liaan toe te voegenΓ1 t1 t2 t5, , =

orientatie tak = zin van de stroom door de tak vector van de takstroomt 1× I1

I2

…I6

U = vector van de takspanningent 1× U1

U2

…U6

t n–

t n–

A

A n 1+( ) t×

A( )ij aij

1 i tj∈ en pijl uit knoop

1 – i tj∈ en pijl naar knoop

0 i tj∉⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

= =

A

1– 0 0 1– 1– 0

1 1 0 0 0 1–

0 1– 1– 0 1 0

0 0 1 1 0 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

0

1

2

3

t1 t3 t5 t6t4t2

AI 0=

15

Bewijs (aan de hand van een voorbeeld)

de -de rij van is

(4)

Een term van deze som is enkel verschillend van nul indien . Dit betekent datde knoop tot tak behoort. (4) herleidt zich dus tot

Nu is , , zodat

wat precies de KCL- wet is uitgedrukt in knoop .

c)

We zullen aantonen dat er precies lineaire onafhankelijke KCL- wetten zijn in eennetwerk.

Bewijs: Het bewijs gebeurt in 2 stappen. Eerst tonen we aan dat , nadientonen we aan dat waaruit we dan besluiten dat .

• Deel 1: bewijs, . We stellen de schakelmatrix op waarbij we dekolommen van zodanig schikken dat eerst de twijgen voorkomen en nadien delianen. Dit houdt in dat we een boom gekozen hebben.

De matrix wordt als volgt opgebouwd. Kies eerst een referentieknoop . Hieruitvertrekt een twijg en komt toe in een knoop die we nummeren.

Geörienteerde graftq

tr

tsi

i AI 0=

aikIk

k 1=

t

∑ 0=

aik 0≠i tk

aisIs airIr aiqIq+ + 0=

ais 1= air 1= aiq 1–=

Is Ir Iq–+ 0= of Is– Ir– Iq+ 0=

i

rang A( ) n=

n

rang A( ) n≥rang A( ) n≤ rang A( ) n=

rang A( ) n≥ AA

0 0 0 1±… … … ?

… 0 1± ?0 1± ?

1± ? ? ?

1± ? ? ?⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

tw1 tw2 tw3 … twn tl1 tl2 … tl t n–( )

…n

2

1

0

0tw1 1

tw10 1

16

Vanuit knoop of knoop moet er een andere twijg van de boom vertrekken(zo niet hebben we geen boom), bijvoorbeeld:

Twijg verbindt dus knoop met knoop of .

We gaan zo verder totdat alle twijgen opgebruikt zijn. Dit levert eendriehoeksmatrix op voor de eerste kolommen en eerste rijen van de matrixmet op de nevendiagonaal enkel . Bijgevolg is .

• Deel 2 bewijs, . Gezien een tak juist 2 knopen met elkaar verbindt isde som van alle elementen van een kolom van = 0 (zie bijvoorbeeld (3)).Bijgevolg zijn de rijen van lineair afhankelijk en dus of

wat het gestelde bewijst.

d) Besluit

Er zijn juist lineair onafhankelijke KCL-vergelijkingen. Daarom beperkt men hetaantal rijen van de matrix tot . Dit houdt in dat men de KCL-wet in dereferentieknoop niet uitdrukt (is lineair afhankelijk van alle andere).

2.4. KVL-wet

a) De kringenmatrix

heeft kolommen en een aantal rijen dat overeenkomt met het totaal aantal lussendat gevonden kan worden in het netwerk.

voorbeeld: de brugschakeling (zie Figuur 1 § 2.2.)

Kies als boom dan krijgen we als fundamentele lussen , en .

1 0 tw2

of

tw1

tw2

0 1

2

10

2

tw1

tw2

tw2 2 0 1

n n A1± rang A( ) n≥

rang A( ) n≤A

A rang A( ) n 1+<rang A( ) n≤

nA n

0

B

B t

B( )ij bij

1 tj Γi∈ en takzin zin kring=

1– tj Γi∈ en takzin zin kring≠

0 tj Γi∉⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

= =

t2 t3 t5, , Γ1 Γ4 Γ6

17

, , en . De matrix gebouwdop deze fundamentele lussen is dan

b) beschrijft de KVL-wetten in alle lussen

Bewijs (aan de hand van een voorbeeld)

de -de rij van is

(5)

Een term van deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien . Ditbetekent dat tak tot lus behoort. (5) herleidt zich dus tot

Nu is , , zodat

wat juist de KVL-wet is uitgedrukt in lus .

c)

We tonen aan dat er juist lineair onafhankelijke KVL-wetten bestaan in eennetwerk.

Bewijs: Het bewijs gebeurt in 2 stappen.

Eerst tonen we aan dat . Nadien bewijzen we dat zodat we kunnen besluiten dat .

• Deel 1, . Hier maken we gebruik van de stelling van Sylvester:

indien met en dan (zie cursus lineaire algebra)

Γ1 t1 t5 t2, , = Γ4 t4 t5 t3, , = Γ6 t6 t2 t3, , = B

B1 1– 0 0 1– 0

0 0 1– 1 1– 0

0 1 1– 0 0 1⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

t1 t2 t3 t4

Γ1

t5 t6

Γ4

Γ6

BU 0=

tr

tqts

Ur

Us

Γi

Uq

i BU 0=

bikUk

k 1=

t

∑ 0=

bik 0≠tk Γi

birUr biqUq bisUs+ + 0=

bir 1= biq 1= bis 1–=

Ur Uq Us–+ 0= of Ur– Uq– Us+ 0=

Γi

rang B( ) t n–=

t n–

rang B( ) t n–≤ rang B( ) t n–≥rang B( ) t n–=

rang B( ) t n–≤

PQ 0= P r s× Q s q× rang P( ) rang Q( )+ s≤

18

We zullen aantonen dat waaruit dan volgt dat (stelling van Sylvester)

Gezien volgt hieruit dat

Het element op de -de rij, -de kolom van is

Een term uit deze som is verschillend van 0 indien

Gezien een lus vormt bestaat er dus een tak die knoop raakt (anders kande lus nooit gesloten worden).

Gevolg: er bestaat een term in de som, namelijk , die verschillend is vanvan nul. De som van deze 2 termen is nu gelijk aan:

De lezer kan als oefening nagaan dat dit resultaat onafhankelijk is van de gekozentakzinnen , en de gekozen kringzin .

ABT 0=

rang A( ) rang B( )+ t≤

rang A( ) n=

rang B( ) t n–≤

i j ABT

ABT( )ij aikbjk

k 1=

t

∑=

aikbjk 0≠i tk∈

tk Γj∈⎩⎨⎧

⇔

itk

Γj

Γj tk i

iti tk

Γj

2e ailbjl

aikbjk ailbjl+ 1–( ) 1–( ) 1–( ) 1( )+ 0= =

tl tk Γj

19

• Deel 2, . Via het opbouwen van aan de hand van fundamentelekringen tonen we aan dat er ten minste onafhankelijke lussen bestaan. Wekiezen een boom en schikken de kolommen van zodat de lianen eerst voorkomen.

Gezien de definitie van een fundamentele lus is het duidelijk dat liaan enkel totkring behoort en niet tot de andere fundamentele lussen. Dit verklaart deidentiteitsmatrix voor de eerste kolommen van . De rang van de aldusopgebouwde matrix is . Daar er nog andere onafhankelijke lussen kunnen zijnvolgt hieruit dat .

2.5. VAL-wet

Het verband spanning - stroom van tak is

Indien er (mutuele) koppelingen bestaan tussen de takken moeten we dit verbanduitbreiden tot:

(6)

waarbij in geval van mutuele koppelingen. Invoeren van de definitie laat toe (6) te herschrijven

Of in matrix gedaante

waarbij

rang B( ) t n–≥ Bt n–

B

B

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0 ?

… … … 0

… … … …0 0 0 1⎝ ⎠

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞

=

Γ1

Γ2

Γ3

…Γt n–

tl1 tl2 tl3 … tl t n–( ) tw1 tw2 … twn

tljΓj

t n– Bt n–

rang B( ) t n–≥

tk

Uk ZkIk Ek–=

EkIk

Uk

Zk p( )

Uk ZkIk ZklIl

l 1=l k≠

t

∑ Ek–+=

Zkl Mklp=Zkk Zk=

Uk ZklIl

l 1=

t

∑ Ek–=

U ZI E–=

Z t t× tak impedantiematrix=

E t 1× vector van de tak spanningsbronnen=

20

2.6. Samenvatting van de vergelijkingen

De matriciële vorm van de 3 wetten luidt

Er zijn dus vergelijkingen en onbekenden (alle takstromen en takspanningen)

Voor de brugschakeling (zie Figuur 1, § 2.2.) geeft dit een stelsel wat reeds vrijgroot is voor een éénvoudig netwerk. Gezien we meestal nooit in alle takspanningen en/of takstromen geïnteresseerd zijn loont het dus de moeite om na te gaan of we het aantalonbekenden niet beduidend kunnen verlagen. Dit is het doel van de volgende paragraaf.

2.7. Verlagen van het aantal onbekenden

a) De knooppuntpotentialen vormen een basis voor de takspanningen:

waarbij

Bewijs: beschouw de -de rij van

Voorbeeld, de brugschakeling (zie Figuur 1, § 2.2.) heeft 6 takken ( ) en 3 vrijeknopen ( ) zodat we van 6 naar 3 onbekenden gaan.

b) De liaanstromen vormen een basis voor de takstromen

waarbij vector van de liaanstromen

Bewijs: we vertrekken van de KCL-vergelijkingen

Deze worden zodanig geschikt dat

(7)

KCL: AI 0= (n vergelijkingen)

KVL: BU 0= (t n vergelijkingen)–VAL: U ZI E–= (t vergelijkingen)

2t 2t

12 12×

U ATVn=

Vn n 1 vector van de knooppuntpotentialen×=

k ATUn

ATVn( )k alkVl

l 1=

n

∑=

aikVi ajkVj +( )=

1( )Vi 1–( )Vj +( )=

Uk=

tk

Uk

i j

t 6=n 3=

I BTIl=

Il t n–( ) 1×=

AI 0=

Atw Al

Itw

Il

0=

twijgen lianen

21

Met

Uitwerken van (7) geeft

of

Zodat

(8)

Waarbij een identiteitsmatrix is. Nu moeten we nog aantonendat de matrix in het rechterlid in (8) precies is. Om dit aan te tonen maken wegebruik van :

(9)

(9) laat toe om te schrijven als

(10)

Via een geschikte nummering (zie bewijs, § 2.4.c) is zodat (8), (9) leidt tot

2.8. Overzicht van de vergelijkingen

De KCL-, KVL- en VAL-wetten vormen een stelsel van vergelijkingen

(11)

Atw n n× reguliere matrix

Al n t n–( )× matrix

Itw n 1× vector van de twijgstromen

Il t n–( ) 1× vector van de liaanstromen

( bewijs, zie §det A 0≠

AtwItw AlIl+ 0=

Itw Atw1–– AlIl=

IAtw

1– AlIl–

Il

Atw1– Al–

It n–

Il= =

It n– t n–( ) t n–( )×BT

ABT 0=

Atw Al Btw Bl

T0=

⇔ Atw Al

BtwT

BlT

0=

⇔ AtwBtwT AlBl

T+ 0=

⇔ BtwT Atw

1– AlBlT–=

BT

BT Atw

1– Al–

It n–

Bl=

Bl It n–=

I BTIl=

2t 2t×

AI 0=

BU 0=

U ZI E–=⎩⎪⎨⎪⎧

22

Het aantal onbekenden ( ) wordt sterk gereduceerd door de volgende betrekkingen:

(12)

namelijk van naar . Indien we nu enkel geïnteresseerd zijn in deknooppuntpotentialen, kunnen we dan de liaanstromen elimineren in (11), of omgekeerd,indien we enkel wensen, kan dan geëlimineerd worden?

De volgende paragraaf geeft een antwoord op deze vragen.

2.9. Matriciële oplossing van netwerken

a) Methode van de knooppuntspotentialen

We wensen hier tot een stelsel in te komen.

Manipulatie van de VAL-wet geeft:

Rekening houdend met de KCL-wet ( ) wordt dit:

Of nog (12)

We definieren

zodat

(13)

Opmerking: bij het afleiden van (13) hebben we stilzwijgend ondersteld dat bestaat. Dit houdt in dat het netwerk geen ideale transformatoren bevat noch idealespanningsbronnen (= bronnen met uitgangsimpedantie = 0). Achteraf zullen dezebeperkingen weggewerkt worden.

b) Methode van de maasstromen (lusstromen)

We wensen een stelsel in op te stellen. Hiertoe moeten we in (11), (12)elimineren.

Vermenigvuldig daartoe de VAL-wet links met :

Rekening houdend met de KVL-wet wordt dit

Of nog (12):

2t

U ATVn=

I BTIl=⎩⎨⎧

2t t

Il Vn

Vn

Z 1– U Z 1– ZI Z 1– E–=

AZ 1– U AI AZ 1– E–=

AI 0=AZ 1– U AZ 1– E–=

AZ 1– AT( )Vn AZ 1– E–=

AZ 1– AT Yn knoopadmittantiematrix= =

AZ 1– E– Jn knoopstroombronvector= =

YnVn Jn= (n n× stelsel)

Z 1– Y=

Il Vn

BBU BZI BE–=

0 BZI BE–=

23

(14)

We definieren

Zodat

Opmerking:

Bij het opstellen van (14) hebben we stilzwijgend ondersteld dat bestaat. Dit is niethet geval voor netwerken die bijvoorbeeld ideale stroombronnen (= bronnen metuitgangsimpedantie = ) bevatten. Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden.

2.10. Interpretatie van de methode van de knooppuntpotentialen

Om en te interpreteren zullen we een bijkomende onderstelling moeten invoeren,namelijk dat diagonaal is. Dit sluit koppelingen tussen verschillende takken uit.Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden.

a) de knoopadmittantiematrix

Het element op de -de rij, -de kolom van is ( )

• voor een hoofddiagonaalelement ( ) wordt dit:

BZBT( )Il BE=

BZBT Zm= kringimpedantiematrix=

BE Em= kringspanningsbronvector=

Il Im= vector van de lus- (maas-)stromen=

ZmIm Em= ( t n–( ) t n–( )× stelsel)

Z

∞

Yn JnZ

Yn AZ 1– AT=

i j Yn Z 1– Y=

Yn( )ij aikYklajl

k l, 1=

t

∑=

aikajkYk

k 1=

t

∑= Ykl Ykδkl=( )

i j=

Yn( )ii aik( )2Yk

k 1=

t

∑=

24

Een term uit deze som is verschillend van nul indien , wat betekent dat tak knoop moet raken. Bijvoorbeeld:

Hieruit volgt regel 1:

• voor een niet- diagonaal element ( ) krijgen we:

Een term uit deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien

Dit laatste resultaat is onafhankelijk van de gekozen takzin . We besluiten datenkel de takken gelegen tussen knopen en een bijdrage hebben tot de som.

Hieruit volgt regel 2:

b) De knoopstroombronvector .

Het -de element van de vector is:

Een term uit deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien

d.w.z. er moet een tak bestaan die knoop raakt en bovendien een spanningsbronbevat.

aik 0≠tk i

it3t1

t2

Yn( )ii 1–( )2Y1 1( )2Y2 1–( )2Y3+ + Y1 Y2 Y3+ += =

Yn( )ii = som van de admittanties van de takken die knoop rakeni

i j≠

Yn( )ij aikajkYk

k 1=

t

∑=

i jtk

i , j tk∈

aikajk 0≠

aikajk 1( ) 1–( ) 1–= =

tki j

Yn( )ij i j≠, = – (som van de admittanties van de takken gelegen tussenknopen en )i j

Jn AZ 1– E–=

i Jn

aik 0≠ en Ek 0≠

tk i

25

Bijvoorbeeld:

(merk op dat positief gerekend wordt indien bij het kortsluiten van de tak de stroomin de takzin doet vloeien)

Zodat en dus de bijdrage tot gelijk is aan . Dit is precies destroom geïnjecteerd in knoop door de stroombron van het Norton equivalent van detak:

Hieruit volgt regel 3:

Opmerking: om regel 3 toe te passen moeten we dus eerst het Norton equivalent vanalle spanningsbronnen tekenen. Dit gaat niet voor ideale spanningsbronnen, watmeteen de opgelegde beperking verklaart.

Jn( )i aikYklEl

k l, 1=

t

∑–=

aikYkEk

k 1=

t

∑–= Ykl Ykδkl=( )

i i jtk Ik Zk Ek

Geörienteerde graf Netwerk

Ek

aik 1–= Jn( )i YkEki

Ik

i

Zk

Ek

⇔ i

Thévenin Norton

Ek Zk⁄

Jn( )i = som van de stromen geïnjecteerd in knoop door destroombronnen. De bijdrage wordt positief gerekend indien destroom in de knoop vloeit. Ze wordt negatief gerekend indien ze uitde knoop vloeit.

i

26

c) Voorbeeld, de brugschakeling (zie Figuur 1, § 2.2.)

Oefening: stel de schakelmatrix op en bereken , via de definities in (13).

d) Besluit

Het is dus niet nodig om op te stellen en via de definities (13) , uit te rekenen.Met behulp van de 3 regels kunnen we en rechtstreeks uit het netwerk halen.

e) Opmerking

We kunnen de methode van de knooppuntpotentialen rechtstreeks uit de KCL-wet vaneen knoop halen:

KCL in :

Nu is

Zodat

Uitwerken geeft:

wat precies overeenkomt met de eerste vergelijking van . Het probleemmet deze afleidingsmethode is dat ze geen informatie geeft over de rang van het stelsel.De lange afleidingsmethode bewijst dat een regulier stelsel is.

Yn

Y1 Y2 Y6+ + Y2– Y6–

Y2– Y2 Y3 Y5+ + Y3–

Y6– Y3– Y3 Y4 Y6+ +

=

Jn

Y6E6

0

Y6E6–

=

A Yn Jn

A Yn JnYn Jn

2

1

3

4

Z2

Z3Z1 I1

I2

I3

E

1 I1 I2 I3+ + 0=

I1 Y1 V2 V1–( )=

I2 Y2 V3 V1–( )=

I3 Y3 V4 V1– E+( )=

Y1 V2 V1–( ) Y2 V3 V1–( ) Y3 V4 V1– E+( )+ + 0=

Y1 Y2 Y3+ +( )V1 Y1V2– Y2V3– Y3V4– Y3E=

YnVn Jn=

YnVn Jn=

27

2.11. Interpretatie van de methode van de maasstromen

Ook hier moeten we onderstellen dat diagonaal is. Dit sluit bijvoorbeeldtransformatoren uit. Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden.

a) De kringenimpedantiematrix

Regel 1

Regel 2

b) De kringenspanningsbronvector

Regel 3

Het bewijs van deze 3 regels wordt als oefening overgelaten aan de lezer (bewijsvoeringis analoog aan deze in § 2.10.)

c) Voorbeeld, de brugschakeling (Figuur 1, § 2.2.) met als boom

Oefening stel de kringenmatrix op en bereken , via de definities in (14).

d) Besluit

Het is dus niet nodig om op te stellen en via de definities (14) , uit te rekenen.Met behulp van de 3 regels kunnen we en rechtstreeks uit het netwerk afleiden.

2.12. Uitbreiding van de methode van de knooppuntpotentialen

Om tot de 3 de regels te komen om , rechtstreeks uit het netwerk af te leiden hebbenwe de volgende onderstellingen gemaakt:

1) Er zijn geen ideale spanningsbronnen, noch ideale transformatoren in het netwerk( bestaat)

Z

Zm BZBT=

Zm( )ii = som van de impedanties die men tegenkomt bij het doorlopenvan kring .Γi

Zm( )ij i j≠, = som van de impedanties gemeenschappelijk aan kringen, . De impedantie wordt positief gerekend indien

beide kringen ze in dezelfde zin doorlopen. Zoniet is debijdrage negatief.

Γi Γj

Em BE=

Em( )i = som van de spanningsbronnen die men tegenkomt bij hetdoorlopen van kring . De bijdrage is positief indien kringen spannningsbron dezelfde zin hebben . Zoniet is de bijdragenegatief.

Γi

t2 t3 t5, ,

Zm

Z1 Z5 Z2+ + Z5 Z2–

Z5 Z4 Z5 Z3+ + Z3

Z2– Z3 Z6 Z2 Z3+ +

=

Em

0

0E6

=

Γ1

Γ1 Γ4 Γ6

Γ4

Γ6

Γ1

Γ4

Γ6

B Zm Em

B Zm EmZm Em

Yn Jn

Z 1–

28

2) Er bestaan geen (mutuele) koppelingen tussen de takken van het netwerk ( isdiagonaal)

Deze beperkingen worden nu één voor één weggewerkt.

a) Ideale spanningsbronnen

Het probleem stelt zich wanneer er bijvoorbeeld een ideale spanningsbron tussenknopen en gelegen is.

De vergelijkingen die het netwerk in Figuur 2 beschrijven zijn:

(alle andere KCL- en VAL-wetten blijven ongewijzigd). Eliminatie van in de KCLvergelijkingen en van in de VAL-wetten geeft:

Z

i j

i j

r

s

Z3

Z4Ek

I1

I2

Ik

I3

I4

Figuur 2

KCL in i : I1 I2+ Ik=

KCL in j : Ik I3 I4+=

VAL tk: Ek Vi– Vj+=

VAL t3: Vj Vr– Z3I3=

VAL t2: Vj Vs– Z4I4=

IkVj

KCL: I1 I2+ I3 I4+=

VAL: Vi Vr– Z3I3 Ek–=

Vi Vs– Z4I4 Ek–=

29

Deze vergelijkingen komen juist overeen met de KCL-wet in knoop en de VAL-wetten in takken en van het volgende netwerk.

De overgang van figuur 2 naar figuur 3 noemt men de V-shift van een idealespanningsbron. Dit komt wiskundig neer op het elimineren van de stroom door deideale spanningsbron en van één van de knooppuntpotentialen van de tak waarin debron zich bevindt. Een V-shift verlaagt het aantal onbekende knooppuntpotentialenmet 1. Gezien de V-shift alle andere vergelijkingen ongewijzigd laat is de oplossingvan het netwerk dezelfde (op , die geëlimineerd zijn na).

Speciaal geval

it3 t4

I1 I3

I4I2

Ek

Ek Z3

Z4

i

r

s

Figuur 3

Ik Vj

⇒

Z3 Z3Ek

Ek

Ek

Z3

Ek

j0

j0

j0

30

b) (mutuele) koppelingen tussen de takken.

Het idee bestaat erin om de vergelijkingen van de gekoppelde takken op te lossen naarde stromen. Vervolgens vervangt men de koppeling in het netwerk doorspanningsgestuurde stroombronnen.

b.1 De transformator

met

Oplossen naar , onder de voorwaarde geeft

Waarbij . Het elektrisch equivalent schema van de transformator isdan

waarbij , door bovenstaande vergelijkingen functies zijn van , , , en .De spanningsgestuurde stroombronnen hebben geen rechtstreekse bijdrage tot .Hun bijdrage tot is:

MI1 I2

1

2 4

3

L1 L2U1 U2

U1 L1pI1 MpI2+=

U2 MpI1 L2pI2+=⎩⎨⎧

I1 I2 L1L2 M2≠

I1

L2

p∆-------U1

Mp∆-------U2–

L2

p∆------- V1 V2–( ) M

p∆------- V3 V4–( )–= =

I2

L1

p∆-------U2

Mp∆-------U1–

L1

p∆------- V3 V4–( ) M

p∆------- V1 V2–( )–= =

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

∆ L1L2 M2–=

I1 I2

1

2 4

3

I1 I2 V1 V2 V3 V4Yn

Jn

31

We zien nu dat een functie wordt van de onbekende knooppuntpotentialen. Dezebijdragen moeten dus naar het linkerlid van de vergelijking gebrachtworden.

Deze bijdrage in is dan:

Merk op dat de bijdrage tot symmetrisch is.

b.2 De gyrator

Jn

I1–

I1

I2–

I2

…

L2

p∆-------– V1 V2–( ) M

p∆------- V3 V4–( )+

L2

p∆------- V1 V2–( ) M

p∆------- V3 V4–( )–

L1

p∆-------– V3 V4–( ) M

∆p------- V1 V2–( )+

L1

p∆------- V3 V4–( ) M

p∆------- V1 V2–( )–

…

= =

JnYnVn Jn=

Yn

Yn

L2

p∆-------

L2

p∆-------– M

p∆-------–

Mp∆-------

L2

p∆-------–

L2

p∆------- M

p∆------- M

p∆-------–

Mp∆-------–

Mp∆-------

L1

p∆-------

L1

p∆-------–

Mp∆------- M

p∆-------–

L1

p∆-------–

L1

p∆-------

=

1 2 3 4

1

2

3

4

Yn

r1

4

3

2

I1 I2

U2U1

met U1 rI2–=

U2 rI1=

32

Oplossen naar , geeft:

Het elektrisch equivalent schema van de gyrator is dan:

waarbij , door bovenstaande vergelijkingen functies zijn van , , , en.

Oefening: bepaal de bijdrage van de gyrator tot de matrix (aanwijzing: volg deredenering van § b.1)

c) Toepassing

We berekenen de transfer functie van de volgende schakeling:

De opamp in de schakeling is ideaal ( , , ), zodat hetnetwerk kan hertekend worden als

I1 I2

I11r---U2

1r--- V3 V4–( )==

I21r---–= U1

1r--- V1 V2–( )–=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

1

2 4

3

I2I1

I1 I2 V1 V2 V3V4

Yn

T p( )Vin p( )Vout p( )-----------------=

VinC2

C1

R1 R21

23

OUT

Z1

Zin ∞= Zout 0= A ∞=

33

Toepassen van de V-shift op de ideale bron geeft:

Oplossen van dit laatste netwerk via de methode geeft:

of nog, na overbrengen van de onbekende naar het linkerlid

Oplossen van dit stelsel naar geeft na enig rekenen de volgende transfer functie( )

2.13. Uitbreiding van de methode van de maasstromen

3

C1

C2

R2R1

VinZ1

2

1

V2

Vout

2

1R1 R2

C2V2

C1

VinZ1

V2

YnVn Jn=

G1 G2 C1p+ + G2–

G2– C2p G2+

V1

V2

G1Vin C1PV2+

0=

V2

G1 G2 C1p+ + G2– C1p–

G2– C2p G2+

V1

V2

G1Vin

0=

V2Vout V2=

T p( ) 1R1R2C1C2p2 R1 R2+( )C2p 1+ +---------------------------------------------------------------------------------=

34

Om tot de 3 regels te komen die toelaten , rechtstreeks uit het netwerk af te leidenhebben we de volgende veronderstellingen gemaakt:

1) Er zijn geen ideale stroombronnen in het netwerk ( bestaat)

2) Er zijn geen (mutuele) koppelingen tussen de takken van het netwerk ( is diagonaal)

Deze beperkingen worden als volgt weggewerkt.

a) ideale stroombronnen

Het probleem stelt zich wanneer er in een lus een ideale stroom voorkomt,bijvoorbeeld:

Dit netwerk is elektrisch equivalent met:

Het bewijs wordt als oefening overgelaten aan de lezer (aanwijzing: volg de redene-ring van de V-shift in § 2.12.a)

De overgang van Figuur 4 naar Figuur 5 noemt men de I-shift.

Zm Em

Z

Z

Figuur 4

Z1 Z2Γ0

J0

Z1 Z2

Figuur 5

J0 J0

35

Speciaal geval

b) (mutuele) koppeling tussen de takken.

Het idee bestaat er hier in om de vergelijkingen die de koppelingen beschrijven op telossen naar de spanningen. Vervolgens vervangt men de koppelingen in het netwerkdoor stroomgestuurde spanningsbronnen, waarbij de stromen als functie van demaasstromen worden uitgedrukt.

J0

E0

J0 J0

J0

E0

E0

Z1

Z1

Z1

Im

36

b.1 De transformator

Oefening: bereken de bijdrage tot de matrix in de onderstelling dat takken , lianen zijn ( , zijn liaanstromen)

b.2 De gyrator

Oefening: bepaal de bijdrage van de gyrator tot onderstellende dat , lianenstromen zijn.

MI1 I2

U1 U2L2 L2

U1 L1pI1 MpI2+=

U2 MI1p L2pI2+=⎩⎨⎧

U2U1

Zm t1 t2I1 I2

rI1 I2

U1 rI2–=

U2 rI1=⎩⎨⎧

U2U1

U1 U2

Zm I1 I2

37

3. De stellingen van Thévenin en Norton

3.1. Probleemstelling

Stel dat we het volgend netwerk moeten oplossen:

en we enkel geïnteresseerd zijn in de spanningen en stromen van het rechterdeel (b).

Om de berekeningen te vereenvoudigen zal men trachten het linkerdeel (a) tevervangen door een elektrisch equivalent schema. Dit is het achterliggende idee van destellingen van Thévenin en Norton.

De enige onderstelling die we hier maken is dat de vergelijkingen die het netwerk be-schrijven lineair en tijdsinvariant zijn. De stellingen zijn dus ook geldig voor lineaireverdeelde systemen zoals transmissielijnen, antennes, resonantiecaviteiten enz… (ziecursus elektromagnetisme), en kunnen ook toegepast worden in de mechanica, deakoestiek, … voor zover de systemen maar lineair zijn.

3.2. Stelling van Thévenin

We doen het volgende gedachtenexperiment: vervang het rechterdeel in Figuur 6 dooreen onafhankelijke stroombron

Gezien alle vergelijkingen die het linkerdeel (a) beschrijven niet wijzigen enbovendien de spanning en de stroom in het punt dezelfde zijn als in hetoorspronkelijk netwerk is de oplossing van het netwerk in Figuur 7 dezelfde als dezein Figuur 6 (wat betreft de spanningen en stromen van deel (a)).

Nu passen we het superpositiebeginsel toe om het netwerk in Figuur 7 op te lossen.

Dit principe zegt dat de oplossing kan berekend worden door de bijdrage van elkeonafhankelijke bron apart te berekenen en deze deeloplossingen bij elkaar op te tellen.Het enige dat we hierbij eisen is dat de vergelijkingen lineair zijn.

Matricieel kunnen we het superpositiebeginsel als volgt aantonen. Stel dat het netwerk beschrijft waarbij de onbekende spanningen en stromen voorstelt, eenmatrix functie van de netwerkelementen en de afhankelijke bronnen (zie § 2.12.c), en

de vector die alle onafhankelijke bronnen bevat.

Afhankelijke+ onafhankelijkebronnen

Afhankelijke+ onafhankelijkebronnen

Vx

Ix x

(a) (b)Figuur 6

Ix

Afhankelijke+ onafhankelijkebronnen

Ux

Ixx

(a)Figuur 7

x

Cx b=x C

b

38

De vector wordt opgesplitst in de bijdrage van de onafhankelijke bronnen

De oplossing van het netwerk onder invloed van heten we

De som van de deeloplossingen is

wat de superpositiestelling bewijst.

We lossen nu het netwerk in Figuur 7 op door enerzijds de bijdrage van deonafhankelijke bronnen in (a) tot en anderzijds de bijdrage van de onafhankelijkestroombron tot apart te berekenen:

Experiment 1:

Experiment 2:

Gezien in experiment 2 er slechts 1 onafhankelijke bron aanwezig is, namelijk , moetde oplossing rechtevenredig zijn met deze stroom. Deze evenredigheidsfactorwordt, op het teken na, de uitgangsimpedantie van het deelnetwerk (a) genoemd.

De gezochte oplossing is nu gelijk aan de som van de spanningen uit de 2experimenten:

b K

b bi

i 1=

K

∑=

bi xi

xi C 1– bi=

xi

i 1=

K

∑ C 1– bi

i 1=

K

∑ C 1– b x= = =

UxIx Ux

Afhankelijke+ onafhankelijkebronnen

Ux∞

(a)

Afhankelijkebronnen

(a)

Ux2( )⇒ ZOUTIx–=IxUx

2( )

IxUx

2( )

ZOUT

Ux

Ux Ux∞ Ux

2( )+ Ux∞ ZOUTIx–= =

39

Men kan dit resultaat elektrisch als volgt voorstellen

waarbij de open klem spanning van het deelnetwerk (a) wordt genoemd.

Figuur 8 is het Thévenin equivalent van deelnetwerk (a) uit Figuur 6 en wordtgekenmerkt door 2 parameters:

3.3. Stelling van Norton

Op volledig dezelfde wijze toont men aan dat (als oefening)

IxZOUT

Figuur 8

Ux∞ Ux

Ux∞

1.

2.

de uitgangsimpedantie bekomen door in (a) alleonafhankelijke bronnen weg te laten

ZOUT

de open klem spanning die wordt bekomen door de bijdragevan alle bronnen in (a) tot te berekenen bij een oneindig grotelast in punt van Figuur 6.

Ux∞

Uxx

Opmerking: 1)

2)

een bron weglaten betekent de stroom van eenstroombron op nul zetten ( vervangen door openklem) en de spanningen van een spanningsbron nulmaken ( vervangen door een kortsluiting)

⇒

⇒in de superpositiestelling mag men de afhankelijkebronnen niet wijzigen, zoniet verandert men de -matrix en geldt de stelling niet meer. Daarom komen deafhanke-lijke bronnen in beide experimenten voor.

C

Afhankelijke+ onafhankelijkebronnen

(a)

Afhankelijkebronnen

(a)

Afhankelijke+ onafhankelijkebronnen

(a)

superpositie

Ux

Ux

Ix Ix0 Ix

2( )+=

Ix0 Ix

2( )

Ix

40

Met de kortsluitstroom van deelnetwerk (a) en

zodat

Men stelt dit resultaat elektrisch voor als

Figuur 9 is het Norton equivalent van deelnetwerk (a) uit Figuur 6 en wordtgekenmerkt door 2 parameters:

3.4. Toepassing op een actieve kring

We beschouwen de volgende actieve kring

waarbij de opamp de volgende karakteristieken heeft ; en de winst is eindig. We zullen de spanning over de weerstand op 2 manieren bereken:

eerst door het volledige netwerk via de methode op te lossen, en

Ix0

Ix2( ) Ux

ZOUT------------–=

Ix Ix0

Ux

ZOUT------------–=

Figuur 9

Ix0 ZOUT Ux

Ix

1.2.

de uitgangsimpedantie (zie stelling Thévenin)ZOUTde kortsluitstroom die wordt bekomen door de bijdrage vanalle bronnen in (a) tot te berekenen wanneer een kortsluiting inpunt wordt aan gebracht.

Ix0

Ixx

12

RLZ0

R1

Zi

Figuur 10

E VL

R2

Zi ∞= Z0 R0=A VL RL

YnVn Jn=

41

vervolgens door de stelling van Thévenin toe te passen op het linkerdeel van hetnetwerk gezien vanuit knoop .

a) Volledig oplossen van het netwerk

Het equivalent schema van de actieve kring is

met als overeenstemmende vergelijkingen

of nog

Oplossen van dit stelsel via de methode van Cramer geeft:

(15)

b) Toepassen van de stelling van Thévenin

Hier moeten we eerst de 2 volgende parameters berekenen: de open klem spanning inknoop en de uitgangsimpedantie .

Voor de open klem spanning moeten we het volgende netwerk oplossen

De oplossing van dit netwerk vinden we onmiddellijk als speciaal geval van (15)waarbij of , zodat

2

1 2R1 R2

R0

RE

AV1–

YnVn Jn=

G1 G2+ G2–

G2– G2 G0 GL+ +

V1

V2

G1E

G0AV1–=

G1 G2+ G2–

G2– G0A+ G2 G0 GL+ +

V1

V2

G1E

0=

VL V2G1E G2 G0A–( )

G1 G2+( ) G2 G0 GL+ +( ) G2 G2– G0A+( )+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------= =

2 ZOUT

AV1–

1R1 R2

R0

E

V2∞

RL ∞= GL 0=

42

(16)

De uitgangsimpedantie vinden we door de spanningsbron kort te sluiten( stellen) en door een stroom in knoop te injecteren:

De verhouding is dan de gezochte uitgangsimpedantie. Toepassen van de

methode geeft

of nog

We vinden

(17)

Tenslotte vinden we de gezochte spanning in Figuur 10 als oplossing van

(18)

Het is eenvoudig om na te gaan dat substitutie van (17) en (18) resultaat (15) levert.

V2∞ G1E G2 G0A–( )

G1 G2+( ) G2 G0+( ) G2 G2– G0A+( )+-------------------------------------------------------------------------------------------------=

ZOUT EE 0= j 2

AV1–

1 2R1 R2

R0

j

V2

j------

YnVn Jn=

G1 G2+ G2–

G2– G2 G0+

V1

V2

0

j G0AV1–=

G1 G2+ G2–

G2– G0A+ G2 G0+

V1

V2

0

j=

ZOUTV2

j------

G1 G2+

G1 G2+( ) G2 G0+( ) G2 G2– G0A+( )+-------------------------------------------------------------------------------------------------= =

VL

RL

ZOUT

VLV2∞

VL

RL

ZOUT RL+-------------------------V2

∞ 11 GLZOUT+-----------------------------V2

∞= =

43

3.5. Toepassing op kringen die niet vanuit rust vertrekken

Beschouw een spoel waarbij . In § 1.2. op blz. 6 hebben we aangetoond dezespoel elektrisch equivalent is met een spoel waarbij op tijdstip geen stroomdoorvloeit met parallel daarover een DC stroombron van

Gebruik makend van de Stelling van Thévenin, toon aan dat het elektrisch equivalentschema kan geschreven worden als

waarbij , en met de Dirac functie (Aanwijzing: werk in hetLaplace domein). Hoe kan je het resultaat verklaren, gezien

?

Ga analoog te werk voor de geladen condensator

waarbij (verklaar!).

i 0-( ) 0≠t 0=

i 0-( )

elektrischequivalent

i t( )

i 0-( ) 0≠

i 0-( )

j t( ) j 0-( ), 0=⇔

u t( )

L

Li t( )

u t( )

elektrischequivalent

i 0-( )

j t( ) j 0-( ), 0=⇔Li t( )

v t( ) Li 0-( )δ t( )

Li t( )

u t( )u t( )

V p( ) I p( )⁄ Lp= δ t( )V p( ) I p( )⁄ Lp=

i 0-( ) 0≠

elektrischequivalent

v t( ) v 0-( ), 0= u 0-( )u t( ) u 0-( ) 0≠,

i t( )⇔

C Ci t( )

u t( )

⇔elektrischequivalent

Cu 0-( )δ t( )

j t( ) C

i t( )

u t( )

U p( ) J p( )⁄ 1 Cp( )⁄=

44

4. Studie van 2-poorten

4.1. Definitie en basisvergelijkingen

Beschouw het volgende netwerk

Deze schakeling wordt een tweepoort genoemd indien er geen onafhankelijke bronnen inhet netwerk aanwezig zijn. Dit houdt in dat het netwerk vanuit rust moet vertrekken (allebeginvoorwaarden zijn nul).

, en , worden respectievelijk de poortspanningen en de poortstromengenoemd. We zullen aantonen dat voor elke 2-poort er 2 lineaire homogenevergelijkingen in deze poortgrootheden bestaan.

a) Stelling: voor elke tweepoort bestaan er 2 lineaire homogene vergelijkingen in , ,,

(19)

waarbij de coefficiënten , , , , enkel functie zijn van wat er in de2-poort zelf zit (en dus onafhankelijk van wat er extern aan beide poorten wordtaangesloten).

Bewijs: we lossen de 2-poort op met de methode en kiezen een boomzodanig dat de externe spanningsbronnen lianen zijn

We krijgen, nadat we de invloed van de afhankelijke bronnen naar het linkerlid hebbengebracht,

Dit stelsel kan opgesplitst worden in de onbekenden die ons interesseren, namelijk en , en de onbekenden die we wensen te elimineren, namelijk , , , :

U1 U2

I1 I2

U1 U2 I1 I2

I1 I2U1 U2

α1I1 β1I2 γ1U1 δ1U2+ + + 0=

α2I1 β2I2 γ2U1 δ2U2+ + + 0=⎩⎨⎧

αi βi γi δi i 1 2,=

ZmIm Em=

Γ2

Γ1

I1

U1

I2

U2

Zm

I1

I2

I3

…It n–

U1

U2

0

…0

=

I1I2 I3 I4 … It n–

45

(20)

waarbij een matrix is, , , en .

Stelsel (20) wordt herschikt als

Eliminatie van in dit stelsel levert

wat de stelling bewijst.

b) Opmerking: in het bewijs hebben we stilzwijgend ondersteld dat regulier is. Ditis niet zo voor elke 2-poort. In dat geval moet de stelling aangetoond worden via de

methode losgelaten op:

Dit wordt als oefening overgelaten aan de lezer.

c) Bijzondere gevallen

1. als dan blijft de redenering opgaan met

Zm11 Zm12

Zm21 Zm22

I1

I2

I

U1

U2

0

…0

=

Zm11 2 2× Zm22 t n– 2–( ) t n– 2–( )× Zm122 t n– 2–( )× Zm21 t n– 2–( ) 2× I t n– 2–( ) 1×

Zm11I1

I2

Zm12 I+U1

U2

=

Zm21I1

I2

Zm22 I+0

…0

=

⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧

I

Zm11 Zm12Zm221– Zm21–( )

I1

I2

U1

U2

=

Zm22

YnVn Jn=

U1 U2I1 I2

t n– 2= U 0=

46

2. als dan gaat de redenering niet meer op

De 2 lineaire homogene vergelijkingen zijn in dit geval:

4.2. Canonieke voorstellingen van 2-poorten

Al naargelang de wijze waarop de poortgrootheden , , en geschikt worden inde 2 lineaire homogene vergelijkingen (19), onderscheidt men de verschillendezogenaamde canonieke vormen.

a) -parameters

We schrijven de poortspanningen als functie van de poortstromen

(21)

waarbij , , en de zogenaamde -parameters zijn. en hebbeneen éénvoudige fysische betekenis. Inderdaad, uit (21) volgt onmiddellijk dat

m.a.w. is de ingangsimpedantie van de 2-poort bij open uitgang ( )

terwijl de uitgangsimpedantie is van de 2-poort bij open ingang ( )

t n– 1=

U1 U2

I1 I2Z

I1 I2–=

U1 U2– ZI1=⎩⎨⎧

I1 I2 U1 U2

Z

U1

U2

Z11 Z12

Z21 Z22

I1

I2

=

Z11 Z12 Z21 Z22 Z Z11 Z22

Z11U1

I1------

I2 0=

=

Z22U2

I2------

I1 0=

=

Z11 I2 0=

Z11

Z22 I1 0=

Z22

47

en zijn dus fysische impedanties. De koppelparameters en zijnfysisch moeilijker te interpreteren daar ze het resultaat van de deling van 2verschillende poortgrootheden zijn:

Het volgende equivalent schema

toont duidelijk aan dat de invloed van poort 1 op poort 2 weergeeft en deinvloed van poort 2 op poort 1.

Voorbeeld

Opmerking: voor actieve kringen gaat in het algemeen . Bijvoorbeeld, eenversterker ontwerpt men zodanig dat poort 2 volledig bepaald wordt door poort 1,terwijl poort 2 geen invloed heeft op poort 1 ( ).

b) -parameters

We schrijven de poortstromen als functie van de poortspanningen

(22)

Z11 Z22 Z12 Z21

Z12U1

I2------

I1 0=

=

Z21U2

I1------

I2 0=

=

I2U1

I1U2

Z11

U1

I1

Z12I2

Z22

U2

I2

Z21I1

Z21 Z12

Z1

Z3

Z2

Z11 Z1 Z3+=

Z22 Z2 Z3+=

Z12 Z21 Z3= =

Z12 Z21≠

Z12 0=

Y

I1

I2

Y11 Y12

Y21 Y22

U1

U2

=

48

waarbij , , en de zogenaamde -parameters zijn. en hebbeneen éénvoudige fysische betekenis. Inderdaad, uit (22) volgt dat

m.a.w. is de ingangsadmittantie van de 2-poort bij kortgesloten uitgang( )

terwijl de uitgangsadmittantie is van de 2-poort bij kortgesloten ingang ( )

Net zoals bij de -parameters hebben de koppelparameters en geenéénvoudige interpretatie

Het volgende equivalent schema

Y11 Y12 Y21 Y22 Y Y11 Y22

Y11I1

U1------

U2 0=

=

Y22I2

U2------

U1 0=

=

Y11U2 0=

Y11

Y22 U1 0=

Y22

Z Y12 Y21

I1

I2

U1

U2Y12

I1

U2------

U1 0=

=

Y21I2

U1------

U2 0=

=

Y11U1

I1

Y12U2 Y22U2

I2

Y21U1

49

toont duidelijk aan dat de invloed van poort 1 op poort 2 weergeeft en deinvloed van poort 2 op poort 1.

Voorbeeld

c) -parameters

We schrijven de uitgangsgrootheden als functie van de ingangsgrootheden

(23)

De parameter heeft ook een duidelijke fysische betekenis

m.a.w. de spanningswinst bij open ingang.

Voorbeeld

d) De hybride parameters

Hier schrijven we de ingangsstroom en de uitgangsspanning als functie van de 2 anderegrootheden of omgekeerd. Dit levert de zogenaamde - en -parameters.

en (24)

Sommige van deze hybride parameters zijn gemakkelijk te interpreteren,

Y21 Y12

Z1

Z3

Z2

Y11 Z2 Z3+( ) ∆⁄=

Y22 Z1 Z3+( ) ∆⁄=

Y12 Y21 Z– 3 ∆⁄= =

∆ Z1Z2 Z1Z3 Z2Z3+ +=

ABCD

U2

I2–

A B

C D

U1

I1

=

A

AU2

U1------

I1 0=

=

Z1

Z2

A 1=

B Z– 1=

C 1 Z2⁄–=

D 1 Z1 Z2⁄+=

H G

U1

I2

h11 h12

h21 h22

I1

U2

=I1

U2

g11 g12

g21 g22

U1

I2

=

50

Bijvoorbeeld:

m.a.w. de ingangsimpedantie bij kortgesloten uitgang en,

m.a.w. de stroomwinst bij kortgesloten uitgang.

e) Opmerking

In hoogfrequent technieken (zie cursus elektromagnetisme) gaat men combinaties vanpoortgrootheden als functie van elkaar schrijven. Dit levert de zogenaamde -para-meters.

4.3. Verband tussen canonieke vormen van 2-poorten

Men kan van 1 canonieke voorstelling overgaan naar een andere en omgekeerd,bijvoorbeeld uit (21) en (22) volgt onmiddellijk dat

(25)

Op dezelfde wijze vinden we

(26)

Oefening: bewijs het verband tussen de -parameters en de -parameters.

(aanwijzing: los (21) op naar , ).

h11

h11U1

I1------

U2 0=

=

I2

I1h21

I2

I1----

U2 0=

=

S

Y11 Y12

Y21 Y22

Z11 Z12

Z21 Z22

1–Z22 Z12–

Z21– Z11

Z11Z22 Z12Z21–( )⁄= =

g11 g12

g21 g22

h22 h– 12

h– 21 h11

h11h22 h12h21–-------------------------------------=

ABCD Z

A B

C D

Z22

Z12-------- Z21

Z11Z22

Z12----------------–

1Z12--------–

Z11

Z12--------

=

U2 I2–

51

Uit (25) en (26) ziet men dat de overgang niet altijd bestaat, bijvoorbeeld indien of indien . Dit betekent dat niet elke canonieke

voorstelling hoeft te bestaan voor een gegeven 2-poort.

Oefening:

1) ga na of de - en de -parameters bestaan van de volgende 2-poorten. Indien ja geefdan de parameters.

2) bewijs het verband tussen de - en de -parameters

(aanwijzing: los (24) op naar , )

4.4. Schakelen van tweepoorten

Het nut van de verschillende canonieke vormen wordt duidelijk bij het schakelen vantweepoorten. Bij het schakelen van 2-poorten moeten we altijd eerst goed nagaan of elke2-poort zich nog gedraagt als een 2-poort in de schakeling, namelijk dat de stroom die inelke poort vloeit ook gelijk is aan de stroom die eruit vloeit.

a) De cascade schakeling

De cascade schakeling garandeert de 2-poort werking van elke 2-poort apart. Gebruikmakende van de -parameters (23) vinden we voor tweepoort (2):

Z11Z22 Z12Z21= h11h22 h12h21=

Z Y

Z

Z H

Z11 Z12

Z21 Z22

h11h12h21

h22---------------–

h12

h22-------

h21

h22-------–

1h22-------

=

U1 U2

(1) (2)

I1 I' I'' I2

I1 I' I'' I2

U1 U' U2

ABCD

52

(27)

en voor tweepoort (1):

(28)

zodat (27) en (28)

Hieruit volgt de regel:

De matrix van een cascade van tweepoorten is gelijk aan het product van de matrices van de tweepoorten in omgekeerde volgorde (van uitgang naar

ingang)

Voorbeeld: het berekenen van de ABCD-matrix van een ladder netwerk

We splitsen het laddernetwerk op in elementaire tweepoorten, berekenen vervolgensde ABCD-matrix van elke tweepoort (zie § 4.2.), en maken tenslotte het product vande ABCD-matrices in omgekeerde volgorde:

b) De serie-serie schakeling

U2

I2–

A 2( ) B 2( )

C 2( ) D 2( )

U' I''

A 2( ) B 2( )

C 2( ) D 2( )

U' I'–

= =

U' I'–

A 1( ) B 1( )

C 1( ) D 1( )

U1

I1

=

U2

I2–

A 2( ) B 2( )

C 2( ) D 2( )

A 1( ) B 1( )

C 1( ) D 1( )

U1

I1

=

ABCDABCD

Z1

Z2

Z3

Z4

Z5

Z6

I II III

ABCD( )III ABCD( )II ABCD( )I

(1)

(2)

I1 I2

I' I''

I1 I2

U1 U2

53

De ingangspoorten en de uitgangspoorten zijn onderling in serie geschakeld. De serie-serie schakeling garandeert niet de tweepoort werking van (1) en (2). Inderdaad, hetenige dat via de KCL wet opgelegd wordt is dat wat in het algemeenniet inhoudt dat of . Om de 2-poort werking op te leggen moeten weeen ideale transformator aan één van de 4 poorten plaatsen. Doen we dit aan deingangspoort van (1) dan wordt de schakeling

Een serie-serie schakeling waarbij elk deelblokje zich nog steeds gedraagt als een 2-poort wordt evenwichtig genoemd. Voor een evenwichtige serie-serie schakelingvinden we met behulp van de -parameters (21) voor 2-poort (1):

en voor 2-poort (2):

Optellen van beide matrixvergelijkingen geeft

Hieruit volgt de regel:

De matrix van een evenwichtige serie-serie schakeling is gelijk aan de som van de-matrices.

I1 I2+ I' I''+=I1 I'= I2 I''=

(1)

(2)

I1 I2

I1 I2

U1 U2

I1

U11( )

U12( ) U2

2( )

U21( )

1:1

Z

U11( )

U21( )

Z111( ) Z12

1( )

Z211( ) Z22

1( )

I1

I2

=

U12( )

U22( )

Z112( ) Z12

2( )

Z212( ) Z22

2( )

I1

I2

=

U1

U2

Z111( ) Z12

1( )

Z211( ) Z22

1( )

Z112( ) Z12

2( )

Z212( ) Z22

2( )+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ I1

I2

=

ZZ

54

c) De parallel-parallel schakeling

De ingangspoorten en de uitgangspoorten zijn onderling in parallel geschakeld. Deparallel-parallel schakeling garandeert de 2-poortwerking van elk deelblokje nietgezien het enkel oplegt dat

zodat in het algemeen

Om de 2-poort werking te garanderen moet er een ideale transformator aan één van de4 poorten geplaatst worden. Kiezen we bijvoorbeeld de uitgangspoort van 2-poort (1)dan wordt de schakeling

Via de KCL wetten kan men inderdaad éénvoudig nagaan dat de 2-poortwerking vanelk deelblokje opgaat. Een parallel-parallel schakeling waarbij elk deelblokje zichgedraagt als een 2-poort wordt evenwichtig genoemd. Voor evenwichtige parallel-parallel schakeling vinden we met behulp van de -parameters (22) voor 2-poort (1):

(1)

(2)

I1 I2

I1 I2

U1 U2

I'1

I''2I''1

I'2

I'1 I'2+ I''1 I''2+=

I'1 I''1≠ en I'2 I''2≠

(1)

(2)

I1I2

I1

I2

U1 U2

1:1

I21( )

I21( )

I22( )

I22( )

I11( )

I11( )

I12( )

I12( )

Y

I11( )

I21( )

Y111( ) Y12

1( )

Y211( ) Y22

1( )

U1

U2

=

55

en voor 2-poort (2):

Optellen van beide matrixvergelijkingen geeft

Hieruit volgt de regel:

De matrix van een evenwichtige parallel-parallel schakeling is gelijk aan de som vande -matrices.

Speciaal geval

Het schakelen van 3-polen is altijd evenwichtig, en van deze eigenschap wordt gebruikgemaakt om feedback versterkers te analyseren (zie Gray et al., 2001). Voorbeeldparallel-parallel schakeling

(bewijs dit als oefening)

I12( )

I22( )

Y112( ) Y12

2( )

Y212( ) Y22

2( )

U1

U2

=

I1

I2

Y111( ) Y12

1( )

Y211( ) Y22

1( )

Y112( ) Y12

2( )

Y212( ) Y22

2( )+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ U1

U2

=

YY

(1)

(2)

I1 I2

I1 I2

U1 U2

56

Voorbeeld:

is de parallel-parallel schakeling van:

d) De serie-parallel schakeling

De ingangspoorten in serie, de uitgangspoorten parallel geschakeld. In het algemeen isdeze schakeling niet evenwichtig. Ze wordt evenwichtig door bijvoorbeeld een idealetransformator aan de uitgangspoort van 2-poort (2) te plaatsen.

en

(1)

(2)

I2

I2

U1 U2

I1

I1

(1)

(2)

I2

I2

U1 U21:1

I1

I1

57

Toon als oefening de volgende regel aan:

De -matrix van een evenwichtig serie-parallel schakeling is de som van de -matrices.

e) De parallel-serie schakeling

Toon als oefening de volgende regel aan:

De -matrix van een evenwichtig parallel-serie schakeling is de som van de -matrices.

f) Opmerking

De meest gebruikte 2-poortschakeling zijn de cascade en de parallel schakeling van 3-polen. Deze zijn altijd evenwichtig zodat er geen transformatoren moeten toegevoegdworden.

4.5. Reciprociteit van tweepoorten

Beschouw een eerste experiment waarbij men de ingang van de 2-poort verbindt met eenspanningsbron en de uitgang van de 2-poort kortsluit.

Experiment (I)

In een tweede experiment wordt de ingang kortgesloten en de uitgang verbonden metdezelfde spanningsbron .

Experiment (II)

H H

(1)

(2)

I1

I2

I1

I2

U1 U2

G G

I1 x

E

E

I2y

E

58

De tweepoort is nu per definitie reciprook indien de stroom in het eerste experimentgelijk is aan stroom in het tweede experiment.

Wat is de invloed van de reciprociteit op de canonieke voorstellingen van een 2-poort?Hiervoor lossen we de onbekende stromen en in beide experimenten op.

De reciprociteitseis is dus voldaan indien , m.a.w. de matrix van de-parameters moet symmetrisch zijn ( ).

Merk op dat de gevonden uitdrukkingen voor de stromen en enkel geldig zijn indien ( ).

Uit het verband volgt onmiddellijk dat een 2-poort reciprook is indien of (toon dit aan als oefening).

Oefening:

1) herneem het bewijs gebruik makende van de Y-parameters.

2) toon aan dat de 2- poort reciprook is indien

(aanwijzing: zoek eerst het verband tussen de -parameters en de -parametersen druk uit dat )

3) toon aan dat RLMC-netwerken altijd reciprook zijn.

(aanwijzing: stel eerst vast dat de kringenimpedantiematrix symmetrisch is en pasde redenering uit § 4.1. toe)

4) toon aan dat een 2-poort reciprook is indien

(aanwijzing: stel eerst het verband op tussen de -parameters en de -parameters endruk uit dat )

xy

x y

E

0

Z11 Z12

Z21 Z22

I1

x= 0

E

Z11 Z12

Z21 Z22

y

I2

=

Experiment (I) Experiment (II)

eliminerenI1 eliminerenI2

xZ21E

Z12Z21 Z11Z22–--------------------------------------= y

Z12E

Z12Z21 Z11Z22–--------------------------------------=

x y= Z21 Z12=Z ZT Z=

x ydet Z 0≠ Z11Z22 Z12Z21≠

Y Z 1–=Y YT= Y12 Y21=

det A B

C D1= AD BC– 1=⇔

Z ABCDZ12 Z21=

Zm

h12 h21–= of g12 g21–=

Z HZ12 Z21=

59

4.6. Schalingseigenschap van een impedantie en een transfer functie

a) Impedantie van een éénpoort

is opgebouwd uit verschillende elementen zoals bijvoorbeeld spoelen,weerstanden, opamps enz… .

We lossen dit netwerk op via waarbij met elk element juist een takovereenkomt. Dit geeft

waarbij de invloed van de afhankelijke bronnen reeds in is ingebracht ( bevatgeen onafhankelijke bronnen!). Via de regel van Cramer vinden we de waarde van

Waarbij en .

Bijgevolg

(29)

Nu is een homogene vorm in de admittanties van graad en eenhomogene vorm van graad . Om dit in te zien beschouw de determinant van een 2 bij2 en een 3 bij 3 matrix.

1

0

Z p( )UJ0

Z p( )

YnVn Jn=

Yn

V1

V2

…Vn

j0

0

…0

=

Yn Z p( )V1

V1

j0 Yn( )12 Yn( )13 … Yn( )1n

0

… …

0 Yn( )n2 … Yn( )nn

det Yn-----------------------------------------------------------------------------------------------

j0∆11

∆------------= =

∆11 cofactor element Yn( )11= ∆ det Yn=

Z p( ) Uj0----

∆11

∆--------= =

∆11 n 1–( ) ∆n

Y1 Y2

Y3 Y4

Y1Y4 Y2Y3–=

60

Indien we nu de impedantie van elk element waaruit opgebouwd isvermenigvuldigen met een functie dan wijzigt als

Regel: de impedantie van de éénpoort schaalt zoals alle elementen waaruit hetopgebouwd is.

b) Transfer functie van een tweepoort

Lossen we dit netwerk op via waarbij in elke tak juist 1 element zit dankrijgen we

waarbij reeds de invloed van de afhankelijke bronnen bevat (de 2-poort bevat geenonafhankelijke bronnen!).

Via de regel van Cramer vinden we de waarde van de knooppuntpotentialen , ,

met en .

Y1 Y2 Y3

Y4 Y5 Y6

Y7 Y8 Y9

Y1Y5Y9 Y2Y6Y7 Y3Y4Y8 Y3Y5Y7– Y1Y6Y8– Y2Y4Y9–+ +=

Z p( )f p( ) Z p( )

Znieuw p( )f n 1–( )– p( )∆11

f n– p( )∆--------------------------------- f p( )Z p( )= =

1

0 3

2

U1 U2J0

YnVn Jn=

Yn

V1

V2

…Vn

j0

0

…0

=

Yn

V1 V2V3

V1 J0

∆11

∆--------=

V2 J0

∆12

∆--------=

V3 J0

∆13

∆--------=

∆ij cofactor element Yn( )ij= ∆ det Yn=

61

Hieruit volgt dat de transfer functie gelijk is aan:

(30)

De transfer functie is dus de verhouding van homogene vormen van graad inde admittanties. Indien we nu de impedantie van elk element van een netwerkvermenigvuldigen met dan wordt de nieuwe transfer functie

m.a.w. de transfer functie wijzigt niet!

Van deze eigenschap zullen we veelvuldig gebruik maken in de synthese van filters.

Opmerking: voor de éénvoud hebben we de 2-poort onbelast gelaten. In geval de 2-poort wel belast wordt betekent dit dat we de belasting tot de 2-poort rekenen.

4.7. Efficiënt berekenen van tweepoorten

Stel dat we bijvoorbeeld de transfer functie van de 2-poort wensen uit te rekenen.Hiervoor moeten we het stelsel

oplossen ( bevat de invloed van de afhankelijke bronnen). Dit doen we via Gausseliminatie wat neer komt op een LU ontbinding van de matrix

(31)

waarbij

bevat de spillen gebruikt tijdens de Gauss eliminatie en is het eindresultaat van deGauss eliminatie.

T p( ) = U2

U1------

V2 V3–

V1------------------

∆12 ∆13–

∆11----------------------= =

n 1–( )

f p( ) Tnieuw p( )

Tnieuw p( )f n 1–( )– p( ) ∆12 ∆13–( )

f n 1–( )– p( )∆11

----------------------------------------------------- T p( )= =

1

0 3

2

J0

YnVn

j0

0…0

=

YnYn

Yn LU=

L0

een onderdriehoeksmatrix=

U

0

een bovendriehoeksmatrix=

L U

62

De ontbinding (31) brengt typisch complexe vermenigvuldigingen en delingen metzich mee.

Het verder oplossen gebeurt nu als volgt

(32)

Gezien en driehoekige matrices zijn nemen de voorwaartse eliminatie en deterugsubstitutie elk complexe vermenigvuldigingen en delingen.

De totale rekentijd is dus evenredig met

Door de externe knopen anders te nummeren kunnen we deze rekentijd reduceren.Inderdaad, neem als nummering

dan wordt (32):

De voorwaartse eliminatie en de terugsubstitutie zijn dus herleid tot een aantalbewerkingen dat onafhankelijk van is. In totaal (met de nieuwe nummering) hebben wedus bewerkingen ( ) wat een winst van betekent.

Opmerking: Wat we hier geïllustreerd hebben op transfer functies geldt natuurlijk ookvoor de berekeningen van andere tweepoorten zoals bijvoorbeeld de -parameters enz…

n3 3⁄

L UVn( ) Jn=

Of nog LX Jn=

UVn X=

voorwaartse eliminatie

terugsubstitutie

L Un2 2⁄

n3

3----- 2

n2

2-----⋅+ n3

3----- n2+=

n

n 2–

n 1–

J0

0

x1

x2

…xn 1–

xn

0

…0

0

j0

=

0

V1

…Vn 2–

Vn 1–

Vn

0

……0

xn

=

x1 x2 … xn 1– 0= = = =⇒

nn3 3⁄ × ÷, n2

Z

63

5. Gevoeligheidsstudie van 2-poorten

5.1. Definitie en eigenschappen van de gevoeligheid

a) Definities

Het doel hier is na te gaan wat de invloed is van een verandering van een elementwaarde(bijvoorbeeld, capaciteitswaarde) op een bepaalde 2-poort karakteristiek (bijvoorbeeld,transfer functie). De relatieve verandering die dit teweeg brengt voor een oneindig kleinerelatieve verandering van de elementwaarde wordt de gevoeligheid genoemd.

(33)

Waarbij de 2-poortgrootheid is, de elementwaarde en per definitie degevoeligheid van t.o.v. . Het berekenen van de gevoeligheid van bijvoorbeeld detransfer functie naar alle elementwaarden is zeer handig bij het afregelen van filters. Hetlaat toe om na te gaan welk element het meeste invloed heeft op de te verwezenlijkenkarakteristiek. Dit element moet dan met de meeste zorg gemaakt worden.

Voorbeeld: bij het ontwerp van een filter beslist men weerstanden met eennauwkeurigheid van 5% te gebruiken. Stel dat de gevoeligheid van de transfer functie t.o.v. deze weerstandswaarden 2 bedraagt. De te verwachten nauwkeurigheid van degerealiseerde transfer functie is dan

b) Eigenschappen van de gevoeligheid

b.1 Gevoeligheid van de transfer functie

met de amplitude van de transfer functie en de overeenstemmende fase.De gevoeligheid is dan

(34)

waaruit de definities volgen

b.2 Verband gevoeligheid t.o.v. admittantie en impedantie

(35)

De 2de gelijkheid volgt uit .

Sxλ =

λx---

λ∂∂x

ln λ∂∂ ln x=

x λ Sxλ

x λ

T

STR R

T---

R∂∂T ∆T( ) T⁄

∆R( ) R⁄--------------------≈=

∆TT

------- STR∆R

R-------≈⇒ 2 5%× 10%= =

ST jω( )λ λ

T---

λ∂∂T

ln λ∂∂ ln T= =

T jω( ) A ω( )ejϕ ω( )=

A ω( ) ϕ ω( )

ST jω( )λ

ln λ∂∂ ln A ω( ) j

ln λ∂∂ ϕ ω( )+=

SA ω( )λ

ln λ∂∂ ln A ω( )=

Sϕ ω( )λ

ln λ∂∂ ϕ ω( )=

SXY

ln Y∂∂X

ln Z∂∂ ln X– SX

Z–= = =

Y Z 1–=

64

b.3 Op dezelfde wijze als in b.2 toont men aan dat (als oefening)

(36)

5.2. Analytisch berekenen van de gevoeligheid

Om de gevoeligheden analytisch te kunnen uitrekenen moeten we expliciet de 2-poortgrootheid als functie van de elementwaarden kennen. Dit gaat enkel voornetwerken van beperkte omvang (zie bijvoorbeeld de synthese van actieve 2de ordesecties). We illustreren dit op een eenvoudig voorbeeld.

De gevoeligheid van naar de weerstandwaarde is dan

Bij lage frequenties ( ) wordt dit en bij hoge frequenties( ) is .

5.3. Numeriek berekenen van de gevoeligheden.

a) Basisformule

Voor middelgrote en grote netwerken is het onbegonnen werk om het analytischverband tussen de 2-poortgrootheid en de elementwaarden op te stellen. In dezeparagraaf en verder zullen we zien hoe we dit numeriek kunnen doen.

Merk eerst op dat alle 2-poortgrootheden van een 2-poort

SXLωj SX

L=

SXCωJ SX

C=

VOUT

R

CE

T p( )VOUT p( )

E p( )--------------------- 1 Cp( )⁄

R 1 Cp( )⁄+----------------------------- 1

1 RCp+--------------------= = =

T p( ) R

STR R

T---

R∂∂T RCp–

1 RCp+--------------------= =

RCω 1« STR RCjω–≈

RCω 1« STR 1–≈

n

n 2–

n 1–

I1

65

kunnen geschreven worden als functie van de uitwendige knooppuntpotentialen , en . Bijvoorbeeld:

Om de gevoeligheid van deze grootheden te berekenen moeten we dus de gevoeligheidvan de uitwendige knooppuntpotentialen kennen. Deze halen we uit de vergelijkingen.

waarbij de invloed van de afhankelijke bronnen bevat. Afleiden van dit stelsel naarde parameter geeft:

(37)

Merk op dat het oplossen van het stelsel (37) naar alle elementen bewerkingen vergt. De rekentijd kan enorm oplopen. Stel nu

dat , de admittantie van een tak gelegen tussen knopen en

De bijdrage van deze admittantie tot is

zodat

VnVn 1– Vn 2–

T p( )Vn 1– Vn 2––

Vn-------------------------------=

ZIN p( )Vn

I1------=

ZOUT p( )Vn 1– Vn 2––

I2-------------------------------=

YnVn Jn=

YnVn Jn

0

0

…I1

= =

Ynλ

λ∂∂YnVn Yn λ∂

∂Vn+ 0=

⇔

λ∂∂Vn Yn

1–λ∂

∂YnVn–=

n3 3⁄ n2 2⁄( ) t 1+( )+λ Y= k l

n

n 2–

n 1–

0 Y

Yn

lkI1

Yn

YnY Y–

Y– Y=

k

k

l

l

66

en

waarbij eenheidsvector met overal nullen behalve op de rij waar een 1 staat.Stelsel (37) wordt dan

(38)

Van de vector hebben we enkel de laatste 3 elementen nodig, namelijk,

Indien we de gevoeligheid berekenen naar de admittanties van alle takken( ) komt dit erop neer dat we de laatste 3 rijen van moetenkennen:

Dit gaan we niet doen via inversie van (berekentijd van de orde van ) maar viahet zogenaamde adjunctnetwerk theorema. Dit theorema laat toe om op een efficiëntemanier een rij van de inverse van te berekenen.

b) Adjunct netwerk theorema

Dit theorema laat toe de de rij van te berekenen zonder de inverse

expliciet te vormen. Noem de de rij van :

Y∂∂Yn 1 1–

1– 1=

k

k

l

l

Y∂∂YnVn

1 1–

1– 1

V1

V2

…Vn

Vk Vl –

Vk– Vl+= =

Vk Vl –( ) 11–

=

Vk Vl –( ) 1k 1l–( )=

k

k

k

l

l l

l

k

1r = r

Y∂∂Vn Vk Vl –( )Yn

1– 1k 1l–( )–=

λ∂∂Vn

λ∂∂Vn

λ∂∂Vn 1– en

λ∂∂Vn 2–,

k l, 1 2 … n, , ,= Yn1–

… =

–nn 2–n 1–n 2–n 2–

Yn n3

Yn

k Yn1–

WkT k Yn

1–

Wk = WkT =;

67

Per definitie is

of nog, na transponeren

m.a.w. de de rij van is de oplossing van het volgende netwerk

Het netwerk dat als knoopadmittantie matrix heeft wordt het adjunctnetwerkgenoemd. Indien de 2-poort reciprook is dan is en zijn beide netwerkenidentisch. Ze kunnen enkel van elkaar verschillen indien er afhankelijke bronnenaanwezig zijn. Het adjunct netwerk en het oorspronkelijk netwerk verschillen dusenkel in de positie van de gestuurde bronnen.

c) Efficiënt numeriek berekenen van de gevoeligheid

Via het adjunctnetwerk berekenen we de laatste 3 rijen van :

(39)

Gezien de 2-poort grootheden een functie zijn van en niet van en afzonderlijk (zie § 5.3. moeten we enkel

kennen en niet en apart. Dit betekent (zie (38)) dat we niet rijen

en van apart moeten kennen, maar enkel het verschil.

WkT 1k

TYn1–=

⇔

WkTYn 1k

T=

YnTWk 1k=

k Yn1–

n

n 2–

n 1–

0

YnT

k

1 A

YnT

YnT Yn=

Yn1–

YnTWn 2– 1n 2–=

YnTWn 1– 1n 1–=

YnTWn 1n=⎩

⎪⎨⎪⎧

Vn 1– Vn 2–– Vn 1–Vn 2–

Y∂∂ Vn 1– Vn 2– –( )

λ∂∂Vn 1–

λ∂∂Vn 2– n 2–

n 1– Yn1–

68

Bijgevolg kunnen we de eerste 2 vergelijkingen in (39) van elkaar aftrekken en moetenwe slechts 2 stelsels oplossen

Stellen we en dan wordt dit

We krijgen dan voor (38)

(40)

met , de knooppuntpotentialen van knopen en van het oorspronkelijknetwerk.

, de knooppuntpotentialen van knopen en van het adjunctienetwerkwaarbij een stroombron van 1 A aan de ingangspoort geschakeld is (zie (40)).

en tenslotte , de knooppuntpotentialen van knopen en van hetadjunctnetwerk met een stroombron van 1 A aan zijn uitgangspoort (zie (40))

YnT Wn 1– Wn 2––( ) 1n 1– 1n 2––=

YnTWn 1n=⎩

⎨⎧

Qn Wn 1– Wn 2––( )= Pn Wn=

YnTQn 1n 1– 1n 2––=

YnTPn 1n=⎩

⎨⎧

Y∂∂Vn Vk Vl –( ) Pk Pl –( )–=

Y∂∂ Vn 1– Vn 2– –( ) Vk Vl –( ) Qk Ql –( )–=

Vk Vl k l

n

n 2–

n 1–

0 Y

Yn lkYnVn

0

0

…I1

=I1

Wk Wl k l

n

n 2–

n 1–

0 Y

YnT

lkYn

TPn

0

0

…1

=1 A

Qk Ql k l

69

Het oplossen van deze 3 netwerken vergt op het eerste zicht be-werkingen: 3 maal een LU ontbinding + volledige terugsubstitutie vermits alleknooppuntpotentialen vereist zijn voor een volledige gevoeligheidsanalyse (zie § 4.7.).

Niets is echter minder waar: uit de LU ontbinding van halen we deze van :

zodat deze slechts 1 maal moet gebeuren. Om de adjunct netwerken op te lossenmoeten we dus enkel 2 terugsubstituties uitvoeren. De totale rekentijd is dus evenredigmet

Een volledige gevoeligheidsanalyse vergt slecht bijkomende berekeningen eens hetnetwerk volledig opgelost is! Voor reciproke netwerken is dit zelfs maar ( )

5.4. Berekenen van de groepdoorlooptijd

De groepdoorlooptijd is gedefinieerd als

(41)

waarbij de fase van de transfer functie is (zie deel II van de cursus voor een fysischeinterpretatie van deze grootheid). Formule (41) kan numeriek berekend worden door deafgeleide numeriek te benaderen, bijvoorbeeld als:

Dit vergt de kennis van de fase van de transfer functie bij 2 verschillende frequenties endus bewerkingen. ( ). Via een gevoeligheidsanalyse voor alle elementenwaarvan de impedantie frequentieafhankelijk is kunnen we echter (41) exact en veelsneller uitrekenen.

Stel dat de frequentieafhankelijkheid enkel door de spoelen en condensatoren bepaaldwordt dan is een functie van w via ( ) en ( )en

zodat

n

n 2–

n 1–

0 Y

YnT

lkYn

TQn

0

0

…1

=1 A

3 n3 3⁄ n2 2⁄+( )

Yn YnT

Yn LU= YnT UTLT=⇒

n3

3----- 3

n2

2-----+

n2

n2 2⁄Yn

T Yn= Wn Vn=⇒

τg

τg ω( )ωdd ϕ ω( )–=

ϕ ω( )

τg ω( ) ϕ ω ∆ω+( ) ϕ ω ∆ω–( )–2∆ω

------------------------------------------------------------–≈

2 n3 3⁄( ) × ÷,

ϕ ω( ) ω Lkω k 1 2 …, ,= Ckω k 1 2 …, ,=

ϕ ω( ) ϕ L1ω L2ω … C1ω C2ω …, , , , ,( )=

70

(42)

(zie (36) voor het bekomen van de laatste gelijkheid).

Uitrekenen van (42) vergt ten hoogste bewerkingen (degevoeligheidsberekening naar de weerstanden moet niet doorgevoerd worden.)

τg ω( )ωdd ϕ ω( )–

Lkωddϕ

ωdd Lkω

k∑–

Ckωddϕ

ωdd Ckω

k∑–= =

1ω---- Sϕ

Lkω

k∑–

1ω---- Sϕ

Ckω

k∑–=

1ω---- Sϕ

Lk

k∑ Sϕ

Ck

k∑+

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

–=

n3 3⁄ 3 n2 2⁄( )+

71

6. Switched capacitor netwerken

6.1. Inleiding

Switched capacitor netwerken zijn netwerken die uitsluitend capaciteiten, schakelaarsen opamps bevatten. De schakelaars worden gestuurd met behulp van een kloksignaal.Het geheel wordt in CMOS technologie onder geïntegreerde vorm verwezenlijkt.

We illustreren de werking van een switched capacitor netwerk aan de hand van eenvoorbeeld.

In deze schakeling stelt men

waarbij en complementaire kloksignalen zijn

Naargelang de stand van de 2 schakelaars onderscheidt men bijgevolg 2 topologieën inhet netwerk (= de zogenaamde fasen):

VOUT

C1

C2

E

Φ

Φ

Φ Φ

Φ

t

t

5 V

0 V

5 V

0 V

Ts

2-----

Ts

2-----

Ts

Ts

3Ts

2--------

3Ts

2--------

Φ

72

Fase 1:

Fase 2:

In de eerste fase laadt condensator zich op tot de spanning . Ondertussen blijft despanning over condensator constant en bijgevolg ook de uitgangsspanning .

In de tweede fase wordt de opgeladen condensator aan de opamp geschakeld enontlaadt zich. De uitgangsspanning is in deze fase evenredig met deoorspronkelijke spanning over condensator .

De equivalente schema 's zijn

Fase 1

VOUT

C1

C2

E t( )

VOUT

C1

C2

E t( )

C1 EC2 VOUT

C1VOUT

C1

VOUT cte=

E t( )C1

C2

73

Fase 2

Dit geeft het volgende spanningsverloop voor

De spanning is discontinu op de schakelmomenten. Dit is ook geldig voor de ladingenopgestapeld in de condensatoren ( ). Het begrip stroom heeft hier geen zingezien oneindig groot wordt op de schakelmomenten. De analyse vanswitched capacitor netwerken kan dus niet via de klassieke aanpak gebeuren. De exacteaanpak vereist het gebruik van de -getransformeerde (zie cursus complexe analyseen cursus systeem theorie). Dit zou ons echter te ver brengen, vandaar dat we in dezecursus gekozen hebben voor een benaderde analyse die echter alle fundamenteleeigenschappen (of bijna alle) van switched capacitor netwerken blootlegt. De aanpakis gebaseerd op het begrip equivalente stroom die weergeeft hoeveel lading er perklokperiode van 1 punt naar een ander is gevloeid:

Dit heeft zin indien de spanningen bijna niet variëren over een klokperiode (=beperking op de spectrale inhoud van de aangelegde signalen).

6.2. Elementaire bouwstenen.

De schakelaars en condensatoren worden niet zomaar lukraak bij elkaar gegooid. Mengaat ze in weldoordachte structuren bijeenbrengen en wel zodanig dat men telkens eensoort weerstand tracht te maken. We geven nu een lijst van veelgebruikte zogenaamdeswitched capacitorweerstanden.

C1

C2

ETs

2-----⎝ ⎠⎛ ⎞

VOUT

C1

C2------E

Ts

2-----⎝ ⎠⎛ ⎞–=

VOUT

Ts

2----- Ts

3Ts

2-------- 2Ts

t

VOUT t( )

Ts

2-----–

0

Q CU=i dQ dt⁄=

Z

Ts

ieq∆QTs--------=

74

a) De serieweerstand

De serieweerstand realiseert een weerstand tussen knopen en . De term serieduidt er hier op dat de condensator in “serie” staat met deze knopen. Om het equivalentschema te vinden, berekenen we de netto- ladingsoverdracht van knoop naar knoop

gedurende een periode .

Fase 1:

Er vloeit een lading van naar (de condensator was ongeladen op 'teinde van de vorige fase)

Fase 2:

De condensator is kortgesloten in deze zodat

Het bilan is dus

(43)

formule (43) komt overeen met onze intuïtie: hoe sneller we schakelen( ) hoe meer lading er overgepompt wordt van naar en dus hoe

i j

C

i j

ij Ts

i j

C

U

Q1

Q1 CU= i j

i jQ2

Q2 0=

∆Q Q1 Q2+ CU= =

ieq∆QT2-------- CfsU= =⇒

of nog U1

Cfs--------ieq=

m.a.w. Req1

Cfs--------=

fs1Ts-----=⎝ ⎠

⎛ ⎞

Ts 0→ fs ∞→⇒ i j

75

kleiner de equivalente weerstand. Ook hoe groter de capaciteit hoe meer lading erkan opgestapeld worden en dus hoe kleiner . Het equivalent schema wordt dan

b) De parallelweerstand

waarbij

De parallelweerstand realiseert een weerstand tussen knopen en . De termparallel duidt erop dat de condensator in “parallel” staat t.o.v. deze knopen. Weberekenen weer de netto-ladingsoverdracht van naar over 1 klokperiode .

Fase 1:

Fase 2:

CEeq

i j

Req1

Cfs--------=

i j

C

i j

i j Ts

i

C

Q1 Q1

Vj

Vj

CU

i

Q1 CU C Vi Vj –( )= =

j

C

Q2 Q2

Vi

Vi

CU

j

Q2 CU C Vi Vj –( )= =

76

De netto balans is dan

(44)

Merk op dat resultaat (44) bekomen werd door te onderstellen dat in beide fasen en dezelfde zijn. Zo niet en gaat de redenering niet op. Het equivalent

schema wordt

c) De bilineaire weerstand

Bewijs als oefening het equivalent schema.

d) Varianten

Bewijs als oefening deze equivalente schema's.

Q Q1 Q2 C Vi Vj –( )= = =

ieq CfsU=⇒

Req1

Cfs--------=⇒

ViVj Q1 Q2≠

i j

Req1

Cfs--------=

j

C ⇔i

i

Req1

4Cfs-----------=

j

C

i

j

Va

Vb

⇒i

j

Va Vb–

Req1

Cfs--------=

i

iVa

Va–

Req1

Cfs--------=

77

6.3. Oplossen van switched capacitor netwerken

Het oplossen van switched capacitor netwerken gebeurt in 2 stappen.

Eerst lokaliseren we de elementaire van switched capacitor bouwstenen en vervangenze door hun equivalente weerstand. Vervolgens lossen we het bekomen RC-netwerkop met de klassieke matriciële aanpak, bijvoorbeeld de methode.

a) 1e orde laagdoorlaat filter

Als transfer functie vinden we onmiddellijk (de uitgang is onbelast)

(45)

Het equivalent schema voor een switched capacitor weerstand is een goede benaderingvan het werkelijk gedrag indien de spanningen (quasi) niet varieren over 1 klokperiode

. Dit legt een beperking op de hoogste frequentie die aanwezig mag zijn in deaangelegde signalen, maar ook op de ingebouwde filtertijdskonstanten (zieovergangsverschijnselen).

De filtertijdconstante voor het 1e orde laagdoorlaat filter is

Indien nu dan is zodat de overgangsverschijnselen traag variërenover een klokperiode.

In dit geval voorspelt het RC equivalent schema goed de werkelijkheid.

Indien echter dan is en gedraagt het switched capacitor zich niet zoalshet RC- equivalent schema.

YnVn Jn=

C1

C2

IN OUT

IN OUT

C2Req

1C1fs----------=

T p( )VOUT p( )VIN p( )

--------------------- 11 ReqC2p+--------------------------- 1

1C2

C1------ p

fs---+

--------------------= = =

Ts

τ ReqC2

C2

C1------Ts= =

C2 C1» τ Ts»

C2 C1≈ τ Ts≈

78

b) 2e orde filter

Stel het equivalent RC netwerk op en toon aan dat:

(46)

6.4. Eigenschappen van switched capacitor filters

Uit de uitdrukkingen van de transfer functies (45) en (46) volgt dat

1. de coëfficiënten van de transfer functie zijn enkel functies van de verhouding vande capaciteitswaarden (homogene veeltermen in teller en noemer van dezelfdegraad), bijvoorbeeld:

2. is een functie van , m.a.w. de frequentie wordt geschaald met deklokfrequentie .

De gevolgen hiervan zijn

1. voor de eerste vaststelling:

1.1. switched capacitor netwerken hebben onder geïntegreerde vorm eenuitstekende temperatuurstabiliteit (~ ppm/°C ). Dit komt omdat ondergeïntegreerde vorm er voor elke capaciteitswaarde geldt dat

waarbij de waarde bij kamertemperatuur is en detemperatuursafhankelijkheid voorstelt. Deze is dezelfde voor alle

INOUT

C1

C2

C4

C6

C3

C5

T p( )VOUT p( )VIN p( )

---------------------

C1

C6------ p

fs---⎝ ⎠⎛ ⎞–

C2C5

C4C6------------- p

fs---⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 C3

C6------ p

fs---⎝ ⎠⎛ ⎞ 1+ +

----------------------------------------------------------= =

C2C5

C4C6-------------

T p( ) p fs⁄fs

T p( ) fpfs---⎝ ⎠⎛ ⎞=

Ck Ck0f T( )=

Ck0 f T( )

79

capaciteitswaarden daar ze allen door middel van hetzelfde integratieprocesgemaakt zijn en ze op dezelfde temperatuur staan (zie kleine afmetingenchip).

Bijgevolg is

temperatuursonafhankelijk en dus ook .

1.2. systematische integratiefouten op de capaciteitswaarden beïnvloeden detransfer functie niet. Inderdaad, gezien alle -waarden d.m.v. hetzelfdeproces gerealiseerd worden hebben ze dezelfde relatieve systematische fout

waarbij de gerealiseerde waarde is, de gewenste waarde en derelatieve afwijking.

Bijgevolg is

onafhankelijk van de integratiefout en dus ook .

2. we beschikken via over een lineaire schaalfactor van defrequentie, waarmee we naar believen de frequenties kunnen uittrekken of in-krimpen. Hierbij wijzigt de amplitude en fase karakteristiek niet.

Bijvoorbeeld,

Indien we de klokfrequentie halveren dan nemen we dezelfde amplitude waarbij de helft van de frequentie:

Hetzelfde geldt voor de fase. Als toepassing op het wijzigen van hebben we

C2C5

C4C6-------------

C20f T( )C50f T( )C40f T( )C60f T( )---------------------------------------

C20C50

C40C60------------------= =

T p( )

Ck

Ck Ck0λ=

Ck Ck0 λ

C2C5

C4C6-------------

C20λC50λC40λC60λ-------------------------

C20C50

C40C60------------------= =

λ T p( )

T p( ) f p fs⁄( )= ⇒ fs

f

A ω( ) : fs

: fs 2⁄

500 Hz 1 kHz 2 kHz 3 kHz

fs

Affs---⎝ ⎠⎛ ⎞ A

f 2⁄fs 2⁄----------⎝ ⎠⎛ ⎞=

fs1.2.

afregelen van het filterfilters met regelbare doorlaatband

80

Opmerking:

Het trapvormig karakter van het uitgangssignaal van een switched capacitor netwerkkan niet voorspeld worden met behulp van het RC- equivalent schema. Hiertoe moetmen de exacte aanpak via de -transformatie gebruiken. Correct gebruik van eenswitched capacitor filter vereist dus eerst laagdoorlaat filtering van het ingangssignaal(hypothese dat signaal niet varieert over een klokperiode moet voldaan zijn) enachteraf laagdoorlaat filteren van het uitgangssignaal (om de trappen weg te werken).

Om eenvoudig analoge filters (1e orde RC) te kunnen gebruiken als anti-alias enreconstructie filters heeft men er baat bij om de klokfrequentie veel groter dan debandbreedte van het switched capacitor filter te kiezen.

6.5. Vermogen dissipatie van een switched capacitor netwerk

Gezien een switched capacitor netwerk geen enkele weerstand bevat zou men op heteerste gezicht denken dat het geen vermogen dissipeert. Niets is echter minder waar.Het dissipeert evenveel vermogen als zijn RC- equivalent (voor zover de equivalentieopgaat). We tonen dit aan op het volgende éénvoudig netwerk.

Het equivalent schema voorspelt een vermogen dissipatie in de weerstand van

De gedissipeerde energie over één klok periode is dan

(47)

We zullen nu het vermogenverbruik over één klokperiode van het switchedcapacitornetwerk berekenen. Daarvoor voeren we een willekeurig kleine weerstand in (zo niet vloeit er op een oneindig grote stroom)

Z

anti-aliasfilter

Switchedcapacitor

filter

Reconstructiefilter

fsf0

fs

f0---- 1»

Req1

Cfs--------=

E E⇒

Req

P E2

Req-------- E2Cfs= =

PTs E2C=

δt 0=

81

Fase 1:

Het is éénvoudig na te gaan dat

De energie gedissipeerd over 1 klokperiode is dan

Stel nu

Fase 2:

De situatie van fase 2 is identiek aan deze in fase 1 zodat

De totale energie dissipatie is bijgevolg

en is identiek aan (47).

Eδ i t( )

C

i t( ) Eδ---e t δc⁄–=

P t( ) δi2 t( ) E2

δ------e 2t δc⁄–= =⇒

e1

Ts

2-----⎝ ⎠⎛ ⎞ P t( ) td

0

Ts 2⁄

∫CE2

2---------- 1 e Ts δc( )⁄––( )= =

δC Ts« e Ts δc( )⁄– 1«⇒

e1

Ts

2-----⎝ ⎠⎛ ⎞

δ 0→lim⇒ CE2

2----------=

E

δC

E

δ

e2

Ts

2-----⎝ ⎠⎛ ⎞

δ 0→lim⇒ CE2

2----------=

CE2

2---------- CE2

2----------+ CE2=

82

I B NIET-LINEAIRE NETWERKEN

83

7. DC- analyse van niet lineaire netwerken

7.1. Definitie

Onder DC analyse van niet lineaire netwerken verstaan we het berekenen van het regime-antwoord van het niet lineaire netwerk onder een constante excitatie. De spoelen wordenbijgevolg vervangen door een kortsluiting en de condensator door een open klem.

In DC regime bevat het netwerk enkel DC bronnen, weerstanden en niet lineaire(tijdsonafhankelijke) elementen.

7.2. Voorbeelden van niet lineaire elementen

a) De diode

De diode kan ook beschouwd worden als een niet lineaire spanningsgestuurdestroombron.

b) De bipolaire npn transistor

De bipolaire transistor kan beschouwd worden als 2 niet lineaire spanningsgestuurdestroombronnen.

⇒

⇒

i

U U

i is eq

kT------u

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

C

B

E C

B

E

iB

iC iE

iBiR iF

⇔

uCB uEB uCB uEB

iC iE

αFiF αRiR

iF isF eq

kT------uEB

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

iR isF eq

kT------uCB

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

iE iF αRiR– fe uEB uCB,( )= =

ic iR αFiF– fc uEB uCB,( )= =

84

c) Besluit

Daar we de niet lineaire elementen kunnen vervangen door niet lineairespanninggestuurde DC stroombronnen, wordt het DC analyse probleem herleid tot hetoplossen van een netwerk dat lineaire DC bronnen bevat (onafhankelijke enafhankelijke), weerstanden en niet-lineaire spanningsgestuurde DC stroombronnen.

7.3. Opstellen van de basisvergelijkingen

a) Het netwerk dat enkel lineair afhankelijk en/of afhankelijke DC stroombronnen bevatkan opgelost worden met de methode van de knooppuntpotentialen.

Dit geeft

(48)

waarbij de knoopconductantiematrix is die de bijdrage van de lineaire gestuurdeDC bronnen omvat, de bijdrage van de lineaire onafhankelijke bronnen bevat, en

de bijdrage van de niet lineaire spanningsgestuurde stroombronnen. (48) iseen niet-lineaire algebraïsche vergelijking in .

De volgende vragen stellen zich

Om het bestaan en de uniciteit van de oplossing te garanderen zullen we onderstellendat een bijectieve functie is. Achteraf zullen we nagaan wat er gebeurt indienhieraan niet voldaan is.

b) Voorbeeld

GnVn Jn Hn Vn( )+=

GnJn

Hn Vn( )Vn

2.1.

3. hoe berekenen we de oplossing(en)?is de oplossing uniek?bestaat er een oplossing?

Hn Vn( )

R1 L1

R2

R3CE

DC-analyse

R1

E

R2

R3

85

7.4. Oplossen van de basisvergelijkingen

In het algemeen kan (48) niet expliciet opgelost worden naar . Dit moet dan numeriekgebeuren met behulp van bijvoorbeeld de methode van Newton-Raphson (zie cursusnumerieke analyse). Deze methode lost het stelsel

op via de volgende iteratieve vergelijking

waarbij de schatting is van de oplossing in de de stap en de nieuwe schattingis. Toegepast op (48) met

geeft dit

of nog

(49)

(49) is de iteratieve Newton-Raphson formule voor (48).

1

2

E

R1

R2

R3

iDiD

iD is eq

kT------ V1 V2–( )

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

G1 G3+ 0

0 G2

V1

V2

G1E

0

is eq

kT------ V1 V2 –( )

1–⎝ ⎠⎛ ⎞–

is eq

kT------ V1 V2 –( )

1–⎝ ⎠⎛ ⎞

+=

Vn

F Vn( ) 0=

VnP 1+ Vn

P F' VnP( )[ ] 1– F Vn

P( )–=

VnP P Vn

P 1+

F Vn( ) GnVn Jn– Hn Vn( )–= en F' Vn( ) Gn ∂Hn Vn∂⁄–=

Gn VnP∂

∂Hn– VnP 1+ Vn

P–( ) GnVnP– Jn Hn Vn

P( )+ +=

Gn VnP∂

∂Hn– VnP 1+ Jn Hn Vn

P( )Vn

P∂

∂Hn VnP–+=

86

Merk op dat het rechterlid in (49) enkel functie is van net zoals de matrix in het linkerlid. We kunnen bijgevolg een netwerk interpretatie geven

aan vergelijking (49) (zie verder). Dit netwerk noemen we het kompanionnetwerk.

(49) convergeert naar de gezochte oplossing van (48) indien de startwaarden voldoende dicht bij de oplossing liggen (zie cursus numerieke analyse). In dat geval is deconvergentie bovendien kwadratisch. Via fysisch inzicht in de werking van het netwerkkunnen we meestal startwaarden vooropstellen die voldoende dicht in de buurt van deoplossing liggen.

7.5. Netwerk- interpretatie van de numerieke oplossingsmethode

We zullen in deze paragraaf aantonen dat met (49) een netwerk overeenstemt datonmiddellijk uit het oorspronkelijke netwerk kan afgeleid worden.

a) Niet-lineaire weerstand

De bijdrage van deze niet- lineaire weerstand tot is

(50)

met . De afgeleide van deze vector naar is

Rekening houdend met

wordt dit

(51)

Substitutie van (50) en (51) in (49) geeft:

VnP

Gn Hn∂ Vn∂⁄–

Vn0

⇔i h u( )=

uk l k lu

i h u( )=

Hn

Hn Vn( ) h u( )–

h u( )= k

l

u Vk Vl–= Vn

Vn∂∂ Hn Vn( )

Vk∂∂h–

Vl∂∂h–

Vk∂∂h

Vl∂∂h

=

l

l

k

k

Vk∂∂h

U∂∂ h U( )

Vk∂∂U

U∂∂ h U( ) = ˆ G U( )= =

Vl∂∂h

U∂∂ h U( )

Vl∂∂U

U∂∂ h U( )– G U( )–= = =

Vn∂∂ Hn Vn( ) G U( )– G U( )

G U( ) G U( )–=

87

(52)

(53)

waarbij , en .

We zien onmiddellijk dat (52) een weerstand met conductantie gelegen tussenknopen en is, en dat (53) een onafhankelijke DC stroombron voorstelt gelegentussen knopen en . Het kompanion netwerk is bijgevolg

Merk op dat het deel overeenkomstig de lineaire elementen van het oorspronkelijknetwerk ongewijzigd blijft. Enkel het niet-lineaire element wordt vervangen door zijnzogenaamde kompanionmodel. Voor een niet lineaire weerstand is dit

Het kompanion model is geen equivalent schema van het niet lineaire element. Het laatenkel toe om onmiddellijk het kompanion netwerk op te stellen vanuit hetoorspronkelijk netwerk. Oplossen van dit kompanion netwerk levert de iteratieveNewton-Raphson vergelijkingen (49).

Het kompanion model kan grafisch geïnterpreteerd worden als de raaklijn aan de nietlineaire curve in het punt :

VnP∂

∂Hn– GP GP–

GP– GP=

l

l

k

k

Hn VnP( )

VnP∂

∂Hn VnP– iP GPUP–( )–

iP GPUP–=

l

k

GP G UP( )= iP h UP( )= UP VkP Vl

P–=

GP

k lk l

k l

GP

kompanionnetwerk

up 1+

i'P 1+

iP GPuP–

uuP 1+

GP

niet-lineaire weerstand kompanionnetwerk

iP GPuP–

i h u( )=

i'P 1+

i h U( )= uP iP,( )

88

Inderdaad, de vergelijking van de raaklijn aan in het punt is

Deze raaklijn snijdt de as in

wat precies de stroom is van de stroombron in het kompanionmodel. Hetkompanionmodel is dus een lokale linearisatie (geldig voor kleine variaties) van deniet-lineaire weerstand wat verklaart.

Gezien echter bij nulspanning toch nog een stroom vloeit moet er parallel over dezeconductantie een stroombron geplaatst worden.

b) Niet lineaire weerstand functie van 2 spanningen

Op gelijkaardige wijze vinden we

i

i∗

uP

iPGP

i h u( )=

u0

i h u( )= uP iP,( )

i iP– GP u uP–( )=

u 0= i∗

i∗ iP GPuP–=

GP

i∗

⇔

u1k l k l

u2 u2r rs s

i h u1 u2,( )=i h u1 u2,( )=

u1

Hn Vn( )h u1 u2,( )–

h u1 u2,( )=

Vn∂∂Hn G1– G1 G2– G2

G1 G1– G2 G2–=

k

k

k

l

l

l r s

89

met

zodat

(54)

(55)

Toon als oefening aan dat (54) en (55) aanleiding geven tot het volgende kompanionmodel

waarbij een spanningsgestuurde stroombron is en een onafhankelijkestroombron. Dit kompanion model kan grafisch geïnterpreteerd worden als hetraakvlak in het punt aan de niet-lineaire karakteristiek

G1 G1 u1 u2,( )u1∂∂ h u1 u2,( )= =

G2 G2 u1 u2,( )u2∂∂ h u1 u2,( )= =

u1 Vk Vl–=

u2 Vr Vs–=

VnP∂

∂Hn–G1

P G– 1P G2

P G– 2P

G– 1P G1

P G– 2P G2

P=

k

k

l

l

r s

Hn VnP( )

VnP∂

∂Hn VnP–

iP G1PU1

P– G2PU2

P–( )–

iP G1PU1

P– G2PU2

P–=

k

l

k

r s

l

G1P

J1 G2U2P 1+=

J2 iP G1PU1

P– G2PU2

P–=

J1

J2

U2P 1+

U1P 1+

J1 J2

iP u1P u2

P, ,( ) i h u1 u2,( )=

90

.

c) Besluit

Om een DC-analyse uit te voeren volstaat het dus om elk niet lineair element tevervangen door zijn kompanionmodel en het bekomen kompanionnetwerk op te lossenvia de methode. Dit levert dan de iteratieve Newton-Raphsonvergelijkingen. De startwaarden voor het iteratief schema haalt men uit fysisch inzichtin het netwerk.

Merk op dat de diode als een niet lineaire weerstand kan beschouwd worden (§ a) ende bipolaire transistor als 2 weerstanden functie van 2 spanningen (§ b)

d) Voorbeeld 1:

Kompanionnetwerk

u1

u2

i

iP

u2P

u1P

0

i h u1 u2,( )=

Raakvlak

YnVn Jn=

E

R ii is e

qkT------u

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

u

GP qkT------ise

qkT------V1

P

=

iP is eq

kT------V1

P

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

E

R

GP

i'P 1+ V1P 1+

iP GPV1P–

1

91

Oplossen van dit netwerk geeft

of

(56)

Indien kunnen we als startwaarden nemen (diode in geleiding).

We kunnen dit netwerk ook grafisch oplossen via de vergelijkingen

Het kompanionmodel uitgerekend in de startwaarden is de raaklijn aan dediodekarakteristiek in het punt . Deze rechte snijdt de belastingslijn

in het punt . Dit is de oplossing van het eerstekompanionnetwerk (eerste iteratie in (56) met ).

Om de volgende iteratie stap te zetten berekenen we eerst en trekken de raaklijn doorhet punt enz… . We zien dat we zeer snel konvergeren naar het snijpunt van

Opmerking:

1. wanneer we uitgeconvergeerd zijn is ( ) d.w.z. dat de stroom diedoor het kompanionmodel vloeit gelijk is aan de werkelijke stroom door het nietlineaire element.

2. in geval van een tunneldiode is het verband spanning stroom niet bijectief. Dekompanion methode gaat nog steeds op doch we weten niet op voorhand hoeveeloplossingen er zijn.

G GP+( )V1P 1+ GE iP– GPV1

P+=

V1P 1+

GE iP– GPV1P+

G GP+----------------------------------------=

E 0> V10 0.6 V=

u E Ri–=

i is eq

kT------u

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

i

uE

i'1

G0

u0

i0

i1

u1

ER---

i is eq

kT------u

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

i E u–R

------------=

i i0 G0 u u0–( )+=

u0 i0,u0 i0,( )

u E Ri–= u1 i'1,( )P 0=

u1 i1,( )

u E Ri–=

i is eq

kT------u

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

i' i= i'∞ i∞=

92

e) Voorbeeld 2:

i

u

i h u( )=

Tunneldiode Belastingslijn

u

Niet bijectief verband i h u( )=

Belastingslijn

i h u( )=i

ER

2 1

D2R2

iD2

D1

R1

93

Vervangen we elke diode door zijn kompanionmodel dan krijgen we

Met als knooppuntvergelijkingen

Numeriek voorbeeld:

, , , ,

Als startwaarden kiezen we (de dioden geleiden).

Hieruit volgt dat

en dat

2 1

R1

G1P

G2PR2

RE

G1P q

kT------ise

qkT------u1

P

=

G2P q

kT------ise

qkT------u2

P

=

J1P iD1

P G1Pu1

P–=

J2P iD2

P G2Pu2

P–=

u1P V1

P V2P–=

u2P V2

P=

J1P

J2P

V2P 1+ V1

P 1+

G1 G1P G+ + G1– G1

P–

G1– G1P– G1 G2 G1

P G2P+ + +

V1P 1+

V2P 2+

GE J1P–

J1P J2

P–=

R 800Ω= R1 60Ω= R2 100Ω= E 10V=q

kT------ 40V 1–= en is 1nA=

u10 u2

0 0.4V= =

V20 0.4V= V1

0 0.8V=,

iD10 iD2

0 8.8861mA= =

G10 G2

0 0.35544Ω 1–= =

0.37336 0.37211–

0.37211– 0.73756

V11

V21

0.14579

0=

V11

V21

⇒ 0.78541V

0.39626V=

94

waaruit

en

De tweede iteratiestap levert ons

waaruit

en

De derde iteratiestap levert

Indien we het eindresultaat op 4 beduidende cijfers wensen kunnen we hier de iteratieafbreken.

u11 V1

1 V21– 0.38916V= =

u21 V2

1 0.39626V= =

iD11 5.7592mA= iD2

1 7.6505mA=,

G11 0.23037Ω 1–= G2

1 0.30602Ω 1–=,

0.24828 0.24703–

0.24703– 0.56305

V12

V22

96.390mA

29.721mA=

V12

V22

⇒ 0.78220V

0.39897V=

u12 V1

2 V22– 0.38623V= =

u22 V2

2 0.39597V= =

iD12 5.12303mA= iD2

2 7.56306mA=,

G12 0.20492Ω 1–= G2

2 0.302522Ω 1–=,

0.22284 0.22159–

0.22159– 0.53411

V13

V23

86.524mA

38.203mA=

V13

V23

⇒ 0.78203V

0.39597V=

95

8. Transiënt analyse van niet lineaire netwerken

8.1. Inleiding

Er zijn 3 mogelijke aanpakken met elk hun voor- en nadelen:

1. Uitschrijven van KCL, KVL en niet lineaire VAL wetten. Dit levert vergelijkingen met onbekenden. Indien gebruik gemaakt wordt vanintegratiemethoden die rekening houden met het groot aantal nullen in de KCLen KVL wetten (= schrale integratiemethoden) is het grote niet lineairedifferentiaal stelsel hanteerbaar.

Over deze aanpak zullen we niet verder uitwijden.

2. De toestandsveranderlijken methode (state variable approach). Het voordeel isdat we tot een differentiaalstelsel komen met minimale afmetingen:

met de vector van de toestandsvergelijkingen, de vector van detussenveranderlijken die niet expliciet geëlimineerd kunnen worden en devector van de onafhankelijke bronnen. Het nadeel is het opstellen van hetdifferentiaalstelsel.

3. de kompanionmethode die als voordeel heeft dat de vergelijkingen rechtstreeksuit het oorspronkelijke netwerk kan afgeleid worden. Wat het aantalvergelijkingen betreft ligt deze beduidend lager dan (1e aanpak), maar ligtmeestal hoger dan de toestandsveranderlijke methode.

8.2. De toestandsveranderlijke methode

a) Definitie:

De orde van een systeem (netwerk) is gelijk aan het totaal aantal onafhankelijkeenergiestokeringsmogelijkheden.

De orde van een systeem (netwerk) komt overeen met de orde van hetdifferentiaalstelsel dat het systeem (netwerk) beschrijft.

Voorbeeld:

2t2t

tddx F x y u u· t, , , ,( )=

G x y u u· t, , , ,( ) 0=⎩⎪⎨⎪⎧

x yu

2t

e t( )

R L

C U

i t( )

Magnetische energie Li2

2------- in spoel

Electrische energie Cu2

2--------- in condensator ⎭

⎪⎬⎪⎫

orde 2=⇒

96

b) Afhankelijke (oneigenlijke) energiestokeringsmogelijkheden

b.1 Afhankelijkheid in de stromen

is gekend en dus kunnen we bijvoorbeeld uitdrukken als functie van en :. Hieruit volgt dat de energie opgeslagen in spoel kan afgeleid

worden uit de energie opgeslagen in spoel en de waarde van de stroom :

We zeggen dat de eigenlijke spoel en de oneigenlijke spoel is (keuze kan netandersom gemaakt worden). De afhankelijkheid (oneigenlijkheid) treedt ook opwanneer een doorsnede gevonden wordt waar enkel spoelen en stroombronnen inaankomen

b.2 Afhankelijkheid in de spanningen

j0

L1 L2

i2i1

j0 i2 i1 j0i2 i1– j0–= L2

L1 j0

L2i22

2----------

L2 i1 j0+( )2

2----------------------------=

L2

L1-----

L1i12

2---------- 2

L2j0

L1

----------sgn i1( )L1i1

2

2----------

L2j02

2----------+ +=

L1 L2

L1

L2

L3

j0

u1

C1

C2u2e0 t( )

97

is gegeven en dus kunnen we bijvoorbeeld uitdrukken als functie van en : . Hieruit volgt dat de energie opgeslagen in condensator afgeleid kan worden uit deze opgeslagen in condensator en de waarde van despanning

We zeggen dat de oneigenlijke (afhankelijke) condensator en de eigenlijke(onafhankelijke) condensator is.

b.3 De meest voorkomende oneigenlijkheden zijn van het type b.1 en b.2. Netwerken diegestuurde (afhankelijkheden) bronnen bevatten kunnen oneigenlijkheden (afhankelijk-heden) hebben die niet tot het type b.1 en b.2 behoren.

c) Regels voor het opstellen van de toestandsvergelijkingen

1. Bepalen van de orde van het netwerk (opsporen van de oneigenlijkheden): ordeis gelijk aan de som van het aantal eigenlijke spoelen en condensatoren.

2. Keuze van de toestandsveranderlijken: neem de spanning over de eigenlijkecondensator en de stroom door de eigenlijke spoelen als toestandsveranderlijken.

3. Vervang de eigenlijke condensatoren en de spoelen door respectievelijkspanning- en stroombronnen:

4. Vervang de oneigenlijke condensatoren en de spoelen door respectievelijkstroom- en spanningsbronnen.

Voorbeeld 1: zie b.1.

Voorbeeld 2: zie b.2.

e0 t( ) u2 e0 t( )u1 u2 e0 t( ) u1–= C2

C1e0 t( )

C2u22

2------------

C2 e0 t( ) u1–( )2

2------------------------------------=

C2

2------e0

2 t( ) 2C1------C2e0 t( )sgn u1( )

C1u12

2------------–

C1

C2------

C1u12

2------------+=

C2 C1

⇒

⇒

uC uC

C

L

iL iL

⇒

uL2 L2 td

di1– L2 td

dj0–=i2 i1– j0–=

L2

⇒C2

iC2 C2 td

de0 C2 td

du1–=u2 e0 t( ) u1–=

98

5. los het resistieve netwerk op met de methode en bereken de stroomdoor elke weerstand.

6. Bereken de stroom door elke eigenlijke condensator en de spanning over elkeeigenlijke spoel:

waarbij de termen , , en in het rechterlid enkelvoorkomen indien er oneigenlijkheden zijn.

d) Voorbeelden

d.1 Netwerken met oneigenlijkheden

Kies , als toestandsveranderlijken, zodat

Oplossen van het resistieve netwerk levert

En dus

YnVn Jn=

ic Ctd

duC f e0 t( ) j0 t( ) uC iL td

de0

td

dj0

td

duC

td

diL, , , , , , ,⎝ ⎠⎛ ⎞= =

uL Ltd

diL g e0 t( ) j0 t( ) uC iL td

de0

td

dj0

td

duC

td

diL, , , , , , ,⎝ ⎠⎛ ⎞= =

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

de0 dt⁄ dj0 dt⁄ duC dt⁄ diL dt⁄

e0 t( )

R1

R2C1

C2

C3uC1

uC2

uC3

Orde 2=

uC1 uC3

e0 t( ) uC1 uC3

iC1iC3

iR2

iR1R1

R2

1 2

j C2 td

duC1 C2 td

duC3–=

V1 uC1=

V2 uC3=

iR1e0 t( ) uC1–

R1--------------------------=

iR2uC3

R2--------=

99

De stromen door de eigenlijke condensatoren zijn te schrijven als functie van dezestromen.

Oplossen van dit stelsel naar en geeft

met

d.2 Netwerk zonder oneigenlijkheden

Als toestandsveranderlijken kiezen we en . Het netwerk wordt bijgevolg:

iC1 iR1 j–=

iC3 j iR2–=⎩⎨⎧

C1 td

duC1 e0 t( )R1

------------uC1

R1--------– C2 td

duC1– C2 td

duC3+=

C3 td

duC3 C2 td

duC1 C2 td

duC3–uC3

R2--------–=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

⇔

duC1 dt⁄ duC3 dt⁄

td

duC1 C2 C3+

R1∆-------------------uC1–

C2

R2∆----------uC3–

C2 C3+

R1∆-------------------e0 t( )+=

td

duC3 C2

R1∆----------uC1–

C1 C+ 2

R2∆-------------------uC3–

C2

R1∆----------e0 t( )+=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

∆ C1C2 C2C3 C1C3+ +=

1

e t( )

uC C

R1

R2

LiL

iR3Orde 2=

R3

uC iL

1

e t( )

uC

R1

R2

iR3Orde 2=

iR1iL

R3

100

Oplossen van dit resistieve netwerk via geeft

(57)

En

(58)

De stroom door de eigenlijke condensator en de spanning over de eigenlijke spoel isdan

(59)

Substitutie van (57) en (58) in (59) resulteert in

d.3 Niet-lineair netwerk

met

YnVn Jn=

G1 G2+( )V1 G1e t( ) G2uC iL–+=

iR1 G1 e t( ) V1 –( )=

iR2 G2 V1 uC–( )=

iR3 iL=

iC iR2=

uL V1 R3iR3–=

Ltd

diL R3R1R2

R1 R2+------------------+⎝ ⎠

⎛ ⎞ iL–R1

R1 R2+------------------uC

R2

R1 R2+------------------e t( )+ +=

Ctd

duC R1

R1 R2+------------------iL–

uC

R1 R2+------------------– e t( )

R1 R2+------------------+=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

e t( )

iL

uC

L

ROrde 2=

RuC

uLuD

iD

iCiR

e t( )

iL

iD is eq kT( )⁄ uD 1–( )=

101

8.3. De kompanionmethode

We zullen hier voor de eenvoud onderstellen dat de dynamische elementen lineair zijn.Uitbreiding van de theorie naar netwerken met niet-lineaire dynamische elementen iszonder meer mogelijk. Het idee van de kompanionmethode bestaat erin om de eerste ordedifferentiaalvergelijkingen die het verband tussen de stroom en de spanning van dedynamische elementen uitdrukken, numeriek te integreren. Dit numeriek integreren kanop een groot aantal manieren gebeuren (zie cursus numerieke analyse). Hier kiezen wevoor impliciete integratieformules. Beschouw bijvoorbeeld

integreren van naar geeft

Passen we de trapeziumregel toe op het rechterlid dan bekomen we

Stellen we nu met de integratiepas dan wordt dit

(60)

Dit is een impliciete formule gezien het een niet-lineaire vergelijking in is( ). We kunnen op een eenvoudige manier aantonen dat (60)een 2de orde integratie methode is.

Bewijs

iR

uC

R------=

iD iL=⎩⎪⎨⎪⎧

iC iL

uC

R------–=

uL e t( ) uD– uC–=⎩⎪⎨⎪⎧

⇒

Ctd

duC iL

uC

R------–=

Ltd

diL uC–kTq

------lniD

is----- 1+⎝ ⎠⎛ ⎞– e t( )+=

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧

⇒

tddx f x t,( )=

t1 t2

tddx

td

t1

t2

∫ f x t,( ) td

t1

t2

∫=

x t2( ) x t1( )– f x t2( ) t2,( ) f x t1( ) t1,( )+( )t2 t1–

2--------------≈

tk k h⋅= h

x t 1+( ) x t( ) h2--- x· t 1+( ) x· t( )+( )+≈

x t 1+( )x· t 1+( ) f x t 1+( ) t,( )=

102

Taylorreeksontwikkeling met restterm van en geeft

met . Trekken we nu van de eerste vergelijking keer de tweedeaf dan krijgen we

of nog

Gezien kunnen we de restterm benaderen door zodat

(61)

Vergelijken we nu (61) met (60) dan kunnen we besluiten dat de trapeziumregel exactis voor veeltermen tot en met graad 2. (de restterm is dan nul).

a) Kompanionmodel voor de condensator

Passen we integratieformule (60) toe op

dan vinden we

(62)

x t 1+( ) x· t 1+( )

x t 1+( ) x t( ) hx· t( ) h2

2-----x 2( ) t( ) h3

6-----x 3( ) ξ1( )+ + +=

x· t 1+( ) x· t( ) hx 2( ) t( ) h2

2-----x 3( ) ξ2( )+ +=

ξ1 ξ2, t t 1+,[ ]∈ h 2⁄

x t 1+( ) h2---x· t 1+( )– x t( ) hx· t( ) h2

2-----x 2( ) t( ) h3

6-----x 3( ) ξ1( )+ + +=

h2---x· t( )–

h2

2-----x 2( ) t( )–

h3

4-----x 3( ) ξ2( )–

x t 1+( ) x t( ) h2--- x· t 1+( ) x· t( )+( ) h3 1

6---x 3( ) ξ1( ) 1

4---x 3( ) ξ2( )–⎝ ⎠

⎛ ⎞+ +=

ξ1 ξ2 = ˆ ξ≅ h3 12⁄( )x 3( ) ξ( )–

x t 1+( ) x t( ) h2--- x· t 1+( ) x· t( )+( ) h3

12------x 3( ) ξ( )–+=

U C i Ctd

du=

tddu 1

C----i=⇒

i

ut 1+ ut–h

2C------- it 1+ it+( )=

103

In (62) zijn de onbekenden en gezien we (bij onderstelling) en reedskennen. We kunnen (62) interpreteren d.m.v. een netwerk

Dit netwerk noemen we het trapezoïdaal kompanionnetwerk van de condensator. Merkop dat een andere integratieregel aanleiding geeft tot een ander kompanionmodel. (zieverder)

b) Kompanionmodel voor de spoel

Toepassen van (60) geeft

of nog

(63)

Hiermee stemt het volgende netwerk overeen

Dit netwerk noemen we het trapezoïdaal kompanionmodel van de spoel. Een andereintegratieregel geeft een ander kompanionmodel (zie verder).

c) Oplossen van lineaire dynamische netwerken

Het idee bestaat erin om alle dynamische elementen op tijdstip te vervangendoor hun kompanionmodel. Op die manier wordt het dynamisch vraagstuk herleid tot

ut 1+ it 1+ ut it

u

i

h2C-------

ut 1+ h2C-------it 1+ ut h

2C-------it+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

ut h2C-------it+

u L

i

u Ltd

di=

tddi 1

L---u=⇒

it 1+ it–h

2L------ ut 1+ ut+( )=

it 1+ h2L------ut 1+ it h

2L------ut+⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

2Lh

------ it h2L------ut+

it 1+

ut 1+

t 1+

104

een statisch (DC) probleem met als onbekenden de waarde van de spanning en stromenop tijdstip en als gekenden de waarden van de spanningen en stromen op (alle)vorige tijdstippen :

Toepassen van de methode op dit netwerk geeft dan

(64)

waarbij de knoopconductantiematrix de bijdrage van de gestuurde bronnen omvat, de onafhankelijke bronnen weergeeft en de bijdrage is van de

kompanionmodellen. (64) is een recursieformule d.w.z. dat elke stap een oplossinggeeft, terwijl in een iteratieformule elke stap ons dichter bij de oplossing brengt.

De startwaarden van (64) worden als volgt berekend: alle condensatoren wordenvervangen door spanningsbronnen en alle spoelen door stroombronnen:

t 1+t t 1– … 0, , ,( )

Lineair dynamisch netwerk Lineair DC probleem op tijdstip t 1+

j t( )

e t( ) e t 1+( )

j t 1+( )

⇒

YnVn Jn=

GnVnt 1+ Jn

t 1+ jnt+=

GnJn

t 1+ jnt

GnVn0 Jn

0=

105

c.1 Voorbeeld

Met

i1 i2

i3

1Ω 1Ω1F 1F

2H

e t( )

1 2

jt

1 1

4h---h

2--- h

2---

et 1+u1

t u2t

1 2

t 1+

jt i3t h

4--- V1

t V2t–( )+=

u1t V1

t h2---i1

t+=

u2t V2

t h2---i2

t+=

1 2h--- h

4---+ + h

4---–

h4---– 1 2

h--- h

4---+ +

V1t 1+

V2t 1+

et 1+

0

2h---u1

t jt–

jt 2h---u2

t+

+=

106

De startwaarden worden bekomen als de oplossing van

We vinden

d) Oplossen van niet lineaire dynamische netwerken.

Het oplossen gebeurt in 2 stappen: eerst herleiden we het niet lineair DC probleem doorop tijdstip alle spoelen en condensatoren te vervangen door hunkompanionmodel. Het niet-lineaire DC probleem wordt vervolgens herleid tot eenlineair DC probleem door alle niet-lineaire elementen te vervangen door hunkompanionmodel (zie § 7.). Schematisch kunnen we dit als volgt voorstellen:

1 2

e0

V10 V2

01 1

i30

i20 i3

0 V20–=

i10 e0 V1

0– i30–=

t 1+

Niet-lineair dynamischnetwerk op tijdstip t

e t( )J t( )

107

Toepassen van de methode op dit netwerk geeft dan

waarbij de bijdragen omvat van de lineaire weerstanden, de weerstanden van detijdscompanionmodellen, de weerstanden van de companionmodellen van de nietlineaire elementen, de lineaire gestuurde bronnen, en eventueel gestuurde bronnen vande companionmodellen van de niet lineaire elementen (zie niet lineaire weerstandfunctie van twee spanningen op blz. 88); de onafhankelijke bronnen; debronnen in de tijdscompanionmodellen; en de bronnen in decompanionmodellen van de niet lineaire elementen.

Niet-lineair DC-probleemop tijdstip .Onbekende spanningen enstromen: , .

t 1+

ut 1+ it 1+

invoeren tijdskamponionmodel optijdstip t 1+

et 1+jt 1+

Lineair DC-probleem optijdstip , en iteratie

.Onbekende spanningen enstromen:

,

t 1+p 1+

ut 1+ p 1+, it 1+ p 1+,

kompanionmodel niet-lineaire elementen

et 1+jt 1+

YnVn Jn=

GnpVn

t 1+ p 1+, Jnt 1+ jn

t Int 1 p,++ +=

Gn

Jnt 1+ jn

t

Int 1 p,+

108

d.1 Voorbeeld

Met

Toepassen van de methode geeft

(65)

1

e t( )

iR t( ) R

C

iD t( ) iC t( )

V1 t( )

Niet-lineairdynamischnetwerk

1

Niet-lineairstatisch (DC)netwerk

t 1+

iRt 1+

iCt 1+V1

t 1+

iDt 1+

V1t h

2C-------iC

t+

et 1+

h2C-------

R

1

Lineair DCnetwerk

kompanionmodeldiode

i'Rt 1+ P 1+,

et 1+ jDt 1+ P,

i'Ct 1+ P 1+,V1

t 1+ P 1+,

GDt 1 P,+

V1t h

2C-------iC

t+

h2C-------

R

i'Dt 1+ P 1+,

jDt 1+ P, iD

t 1+ P, GDt 1+ P, V1

t 1+ P,–=

GDt 1+ P, q

kT------ise

qkT------V1

t 1+ P,

=

iDt 1+ P, is e

qkT------V1

t 1+ P,

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

YnVn Jn=

G GDt 1+ P, 2C

h-------+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞V1t 1+ P 1+, Get 1+ jD

t 1+ P,–2Ch

-------V1t iC

t+ +=

109

Dit is een recursieve iteratie formule: op het nieuwe tijdstip (= recursiestap)moeten we itereren over en de oplossing van het niet lineaire DC-probleem vinden.Als startwaarden voor de iteratie gebruiken we

Na convergentie van de iteratie over krijgen we . De stromen optijdstip berekenen we uit het kompanionmodel. Voor de condensator,

en voor een spoel (63),

Hiermee zijn alle gegevens beschikbaar om te vervangen door in (65) (=recursiestap). Als startwaarden voor de iteratie over gebruiken we

enz… tot dat we alle tijdstippen afgelopen hebben.

De startwaarden ( ) voor de recursie halen we uit

wat een niet-lineair DC probleem is dat iteratief opgelost wordt.

e) Uitbreidingen

e.1 Andere integratieregels

Gebruiken we Euler's regel om de afgeleide in

numeriek te benaderen dan krijgen we

t 1+P

V1t 1+ 0, V1

t=

iDt 1+ 0, is e

qkT------V1

t

1–⎝ ⎠⎛ ⎞=

G1t 1+ 0, is

qkT------e

qkT------V1

t

=

P V1t 1+ V1

t 1+ ∞,=t 1+

V1t 1+ V1

t h2C-------iC

t h2C-------iC

t 1++ +=

iCt 1+⇒ 2C

h------- V1

t 1+ V1t–( ) iC

t–=

it 1+ it h2L------ut+⎝ ⎠

⎛ ⎞ h2L------ut 1++=

t t 1+p

V1t 2+ 0, V1

t 1+=

t 0=

R

e0

iR0

iD0

V10

tddx f x t,( )=

xt 1+ xt–h

--------------------- f x t,( )=

110

of

Dit wordt voor de condensator

en voor de spoel

Dit zijn de zogenaamde Euler companionmodellen voor de condensator en de spoel.

Gebruiken we de methode van Gear om

te integreren dan krijgen we

Toon als oefening aan dat dit een 2e orde integratiemethode is. Het voordeel van dezemethode t.o.v. de trapeziumregel is dat ze geschikt is om netwerken op te lossenwaarvan de tijdsconstanten grote ordes van elkaar verschillen. Ze is echter nietzelfstartend.

De methode van Gear geeft voor de condensator:

xt 1+ xt hx· t+=

ut 1+ ut hC----it+= ⇔ ut 1+ ut h

C----it+

it hC----ut+

it 1+

⇔it 1+ it hL---ut+=

tddx f x t,( )=

xt 1+ 13---xt 1––

43---xt 2

3---hx· t 1++ +=

ut 1+ 13---ut 1––

43---ut+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 23--- h

C----it 1++= ⇔ ut 1+

it 1+

23--- h

C----

43---ut 1

3---ut 1––

111

en voor de spoel

e.2 Integratie methoden met veranderlijke pas

Meestal wensen we het antwoord te kennen op een zeker equidistant tijdsgrid. Dit gridkomt meestal niet overeen met de integratiepas die nodig is om de vergelijkingenmet een beperkte fout te integreren. Hiervoor gebruikt men dan methoden metveranderlijke integratiepas.

Het idee bestaat erin om 2 maal van naar te integreren: éénmaal met pas enéénmaal met pas . Dit levert 2 resultaten op voor :

Uit het verschil wordt dan een nieuweintegratiepas berekend

Indien nu dan betekent dit dat de integratie met pas binnen derekennauwkeurigheid liggen en dat we de stap kunnen zetten. Is echter dan zijnde integratiefouten met pas te groot t.o.v. de rekennauwkeurigheid en moeten we depas reduceren tot . De procedure wordt herhaald totdat aan het criterium voldaan is.

it 1+ 13---it 1––

43---it+⎝ ⎠

⎛ ⎞ 23--- h

L---ut 1++= ⇔

it 1+

43---it 1

3---it 1––

32---L

h---

h

t 1+ t 2+t

h

h 2⁄h 2⁄

t t 1+ hh 2⁄ x t 1+( )

h x t 1+ h,( )→h2--- x t 1+ h 2⁄,( )→

ε x t 1 h,+( ) x t 1 h 2⁄,+( )–=h

h f ε orde integratiemethode rekennauwkeurigheid, ,( )=

h h≥ hh h<

hh h h≥

112

REFERENTIEWERKEN

N. Balabanian, T.A. Bickart, Electrical Network Theory. John Wiley and Sons, New York(USA), 1969.W.K. Chen, The Analysis of Linear Systems. McGraw-Hill, New York, 1963.W. K. Chen (ed.), The Circuit and Filters Handbook. CRC Press & IEEE Press, 1995.M. Hasler and J. Neirynck, Nonlinear circuits. Artech House, Norwood, 1986.P. Gray, P. Hurst, S. Lewis and R. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits.John Wiley and Sons, fourth edition, 2001.S. Seshu and M.B. Reed, Linear Graphs and Electrical Networks. Addison-Wesley, London(UK), 1961.M.E. Van Valkenburg, Network Analysis. Prentice-Hall, 1964.J. Vlach, Computerized approximation and synthesis of Linear Networks. Joh Wiley & Sons,New York, 1969.A. Ralston and P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis. McGraw-Hill, Singapore,1984.