Analiza 1 za smer Finančna matematika -

povzetek vsebine

Peter ŠemrlJadranska 21, kabinet 4.10peter.semrl@fmf.uni-lj.si

Izpitni režim: Za pozitivno oceno iz vaj je na kolokvijih potrebno zbrati vsaj50% vseh možnih točk, pri čemer je potrebno drugi kolokvij pisati vsaj 40%.Študenti, ki imajo pozitivno oceno iz vaj s kolokviji, se lahko prijavijo na ustniizpit na katerikoli izpitni rok. Če ustnega izpita ne opravijo, izgubijo pozitivnooceno iz vaj in morajo ponovno na pisni izpit, da bi pridobili pravico pristopak ustnemu izpitu.

Izpitni roki so trije, eden v zimskem izpitnem obdobju, eden v spomladanskemin eden v jesenskem. Kandidati se morajo pravočasno prijaviti. V 2-4 dneh popisnem izpitu se opravlja ustni izpit. Za ustni izpit se prijavite po e-pošti. Izpitje celota (pisni in ustni del izpita je potrebno opraviti v istem roku). Če študentustnega izpita ne opravi, je potrebno ponovno na pisni izpit.

Prepisovanja ne bomo tolerirali.Enkrat je možno popravljati pisno oceno iz kolokvijev tako, da se šteje bolǰsi

rezultat. Pri nadaljnih poizkusih obvelja zadnja ocena pisnega izpita.

1 Uvod

Pred vami so zapiski, ki vam bodo omogočili lažjo pripravo na izpit iz Analize1. Te zapiske je mogoče razumeti kot minimalen katalog znanja, ki ga moraštudent obvladati, da bi opravil izpit. Nikakor pa niso ti zapiski primerni kotsamostojen učbenik ali celo kot nadomestilo za predavanja. Definicije in trditveso podane vse preveč suhoparno z namenom, da bi bili ti zapiski čim kraǰsi.Ideje niso razložene, dokazi trditev (ali vsaj njihove skice) niso podani. Pravtako ni zgledov, ki bi utrdili razumevanje. Študentom priporočam redno obisko-vanje predavanj in vaj, kjer bo podana snov razložena, precej trditev dokazanih,definicije in izreki bodo ilustrirani s primeri in protiprimeri, z reševanjem nalogpa se bo še poglobilo razumevanje snovi.

1

2 Številske množice

Množica naravnih števil N = {1, 2, 3, . . .} je zaprta za seštevanje in množenje.

Princip popolne indukcije: Naj neka trditev T velja za število 1. Naj izveljavnosti trditve T za naravno število n sledi veljavnost trditve T za naravnoštevilo n+ 1. Potem trditev T velja za vsa naravna števila.

Naravnih števil ne moremo poljubno odštevati. Da bi odpravili to pomanj-kljivost, jih vložimo v množico celih števil

Z = {0} ∪ {−1,−2,−3, . . .} ∪ {1, 2, 3, . . .}.

Množica celih števil je zaprta za operacije seštevanja, odštevanja in množenja.Celih števil pa ne moremo poljubno deliti.

Množico celih števil vložimo v množico racionalnih števil Q. To so vsaštevila, ki jih lahko zapǐsemo kot ulomke. Množica racionalnih števil je zaprtaza vse štiri osnovne računske operacije (+,−, ·, :) z edino izjemo, da deljenje z0 ni definirano.

Vsako racionalno število je mogoče zapisati z decimalnim zapisom. Deci-malni zapis vsakega racionalnega števila je periodičen (torej neperiodičnih dec-imalnih števil ni v Q).

Trditev 2.1√

2 ni racionalno število.

Množico racionalnih števil vložimo v množico realnih števil R. Na R imamodefinirani dve računski operaciji: seštevanje in množenje. Seštevanje je komuta-tivno in asociativno, to je, za vsako trojico realnih števil x, y, z velja: x+y = y+xin (x + y) + z = x + (y + z). Število 0 je nevtralni element za seštevanje: zavsak realen x je x + 0 = x. K vsakemu realnem številu x obstaja natankoeno nasprotno število −x, to je tako število, da velja x+ (−x) = 0. Iz enakostia+x = a+y sledi x = y (pravilo kraǰsanja). Odštevanje definiramo s predpisomx− y = x+ (−y).

Množenje je komutativno in asociativno, to je, za vsako trojico realnih številx, y, z velja: xy = yx in (xy)z = x(yz). Število 1 je enota (nevtralni element)za množenje: za vsak realen x je 1x = x. K vsakemu realnem številu x 6= 0obstaja natanko eno recipročno (inverzno) število x−1 = 1x , to je tako število,

da velja x 1x = 1. Če je a 6= 0, potem iz enakosti ax = ay sledi x = y (pravilokraǰsanja). Deljenje definiramo s predpisom x : y = x 1y .

Obe računski operaciji veže zakon distributivnosti: za vsako trojico realnihštevil x, y, z velja x(y+ z) = xy+ xz. Zaradi vseh naštetih lastnosti je množicarealnih števil z operacijama seštevanja in množenja obseg.

Realna števila so urejena. Množico realnih števil je mogoče zapisati kotdisjunktno unijo množice {0}, množice pozitivnih števil in množice negativnih

2

števil. Za vsako neničelno realno število a je natanko eno od števil a in −a po-zitivno. Množica pozitivnih števil je zaprta za seštevanje in množenje. Relacija> je definirana s predpisom: a > b ⇐⇒ a− b je pozitvno število. Definiramoše: a ≥ b ⇐⇒ a > b ali a = b. Relaciji > in ≥ sta tranzitivni: a > b inb > c⇒ a > c in podobno za ≥. Za poljubna realna števila a, b, c, d velja:

a > b⇒ a+ c > b+ c,

a > b in c > 0⇒ ac > bc,

a > b in c < 0⇒ ac < bc

ina > b > 0 in c > d > 0⇒ ac > bd.

Realna števila si predstavljamo na številski premici. Ta je določena, ko si nanjej izberemo točki, ki predstavljata števili 0 in 1. Ponavadi številsko premiconarǐsemo vodoravno in točka 1 leži desno od točke 0. Potem točke desno od 0predstavljajo pozitivna števila, točke levo od nič pa negativna števila. Pozitivnoštevilo x je predstavljeno s točko, ki je od točke 0 oddaljena za x.

Absolutna vrednost realnega števila x je definirana s predpisom

|x| ={

x ; x ≥ 0−x ; x < 0

Absolutna vrednost |x| je oddaljenost točke x na številski premici od izhodǐsča(izhodǐsče je točka 0). Za vsak par realnih števil x, y velja

|x+ y| ≤ |x|+ |y|

in|xy| = |x| |y|.

Absolutna vrednost razlike |x − y| je razdalja med točkama x in y na številskipremici. Za vsako realno število x velja

√x2 = |x|.

Podmnožica A ⊂ R je navzgor omejena, če obstaja tako realno število M ,da za vsak x ∈ A velja x ≤M . V tem primeru številu M rečemo zgornja mejamnožice A.

Naj bo množica A ⊂ R navzgor omejena. Potem je število M ∈ R natančnazgornja množice A, če

• za vsak x ∈ A velja x ≤M , in

• za vsako pozitivno število ε obstaja tak y ∈ A, da je y > M − ε.

3

Natančni zgornji meji množice A rečemo tudi najmanǰsa zgornja meja množice Aali supremum množice A. Oznaka: supA. Če velja supA ∈ A, potem natančnizgornji meji množice A rečemo maksimum množice A. Oznaka: maxA.

Podobno definiramo navzdol omejenost, spodnjo mejo, natančno spodnjomejo ali največjo spodnjo mejo ali infimum množice, in minimum množice.

Množica A ⊂ R je omejena, če je navzgor in navzdol omejena.Množica relanih števil je polna. To pomeni, da ima vsaka neprazna navzgor

omejena podmnožica realnih števil natančno zgornjo mejo. Realna števila imajoArhimedsko lastnost: za vsako realno število x obstaja tako naravno število n,da je n > x (za vsako pozitivno realno število x obstaja tako naravno število n,da je 1n < x).

3 Realna zaporedja

Definicija 3.1 Realno zaporedje je preslikava iz množice naravnih števil v množicorealnih števil.

Naj bo f : N→ R zaporedje. Realno število an = f(n) imenujemo n-ti členzaporedja, zaporedje pa ponavadi označimo s simbolom (an)

∞n=1 (ali kraǰse:

(an) ). Zaporedja običajno podamo na enega od sledečih načinov:

• zapǐsemo prvih nekaj členov, iz katerih je mogoče uganiti vse naslednje(Zgled: 1, 2, 4, 8, 16, ...),

• podamo formulo za izračun n-tega člena (Zgled: an = 2n−1),

• rekurzivno (Zgled: a1 = 1, an+1 = 2an). Poleg enočlenih rekurzij imamoše veččlene rekurzije.

Naj bo M realno število. Zaporedje (an) ima zgornjo mejo M , če za vsakonaravno število n velja an ≤M . Zaporedje je navzgor omejeno, če ima zgornjomejo. Tedaj natančno zgornjo mejo ali supremum zaporedja (an) označimo ssup an. Natančno spodnjo mejo navzdol omejenega zaporedja označimo z inf an.Zaporedje je omejeno, če je navzgor in navzdol omejeno.

Zaporedje (an) je monotono naraščajoče, če za vsako naravno število n veljaan+1 ≥ an. Zaporedje (an) je strogo monotono naraščajoče, če za vsako naravnoštevilo n velja an+1 > an. Podobno definiramo padajoča in strogo padajočazaporedja. Zaporedje je monotono, če je monotono naraščajoče ali monotonopadajoče.

Naj bo a realno število in ε pozitivno realno število. Odprtemu intervalu(a− ε, a+ ε) rečemo ε-okolica točke a.

Definicija 3.2 Število s je stekalǐsče zaporedja (an), če za vsako pozitivnoštevilo ε okolica (s− ε, s+ ε) vsebuje neskončno členov zaporedja.

4

Definicija 3.3 Število L je limita zaporedja (an), če za vsak ε > 0 obstaja takonaravno število n0, da iz n ∈ N in n ≥ n0 sledi |an − L| < ε.

Oznaka:L = lim

n→∞an.

Pogosto zapǐsemo kraǰse: L = lim an.Torej je L limita zaporedja (an) natanko tedaj, ko za vsak ε > 0 zunaj

ε-okolice L leži kvečjemu končno mnogo členov zaporedja (an).Če ima zaporedje (an) limito, mu rečemo konvergentno zaporedje. Sicer je

divergentno zaporedje.

Izrek 3.4 Vsako konvergentno zaporedje je omejeno.

Izrek 3.5 Konvergentno zaporedje ima eno samo limito.

Izrek 3.6 Vsako omejeno zaporedje ima stekalǐsče.

Izrek 3.7 Naj bo zaporedje (an) monotono naraščajoče in omejeno. Potem jekonvergentno in velja

lim an = sup an.

Naj bo (an) zaporedje realnih števil in (kn) strogo naraščajoče zaporedjenaravnih števil, 1 ≤ k1 < k2 < k3 < . . . Potem zaporedje (akn) imenujemopodzaporedje zaporedja (an).

Izrek 3.8 Realno število s je stekalǐsče zaporedja (an) natanko tedaj, ko obstajapodzaporedje zaporedja (an), ki konvergira k s.

Naj bosta (an) in (bn) konvergentni zaporedji in c realno število. Potem

• je tudi (an + bn) konvergentno zaporedje in velja

lim(an + bn) = lim an + lim bn,

• je tudi (an · bn) konvergentno zaporedje in velja

lim(anbn) = lim an · lim bn,

• je tudi (can) konvergentno zaporedje in velja

lim(can) = c lim an.

• Naj bo še lim bn 6= 0. Potem je tudi (an/bn) konvergentno zaporedje invelja

limanbn

=lim anlim bn

.

5

Velja:

lim cn =

0 ; −1 < c < 11 ; c = 1ne obstaja ; sicer

in

lim

(1 +

1

n

)n= lim

(1− 1

n

)−n= e.

4 Zaporedja v Rm in kompaktnost

Naj bosta x in y dve točki v Rm, x = (x1, . . . , xm) in y = (y1, . . . , ym). Razdaljomed njima definiramo s predpisom

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + . . .+ (xm − ym)2.

Za poljubno točko x ∈ Rm in poljubno pozitivno število ε definiramo ε-okolicotočke x kot množico vseh točk, ki so od x oddaljene manj kot ε. Torej, čeε-okolico točke x (rečemo ji tudi odprta krogla s polmerom ε in sredǐsčem x)označimo s K(x, ε), potem

K(x, ε) = {y ∈ Rm : d(x, y) < ε}.

Naj bo A ⊂ Rm. Točko x ∈ Rm imenujemo

• notranja točka množice A, če obstaja tak ε > 0, da je K(x, ε) ⊂ A,

• zunanja točka množice A, če obstaja tak ε > 0, da je K(x, ε) ∩ A praznamnožica,

• robna točka množice A, če za vsak ε > 0 odprta krogla K(x, ε) sekamnožico A in tudi njen komplement.

Množica A ⊂ Rm je odprta, če je vsak x ∈ A notranja točka množice A.Množica A ⊂ Rm je zaprta, če vsebuje vse svoje robne točke. Lahko je preveriti,da je množica zaprta natanko tedaj, ko je njen komplement odprt.

Množica A ⊂ Rm je omejena, če obstaja tako realno število M , da jed(x, 0) ≤ M za vsak x ∈ A. Tu smo z 0 = (0, 0, . . . , 0) označili izhodǐsčekoordinatnega sistema v Rm.

Naj bo (xn) zaporedje1 v Rm. Točka s ∈ Rm je stekalǐsče zaporedja (xn), če

vsaka ε-okolica točke s, ε > 0, vsebuje neskončno mnogo členov tega zaporedja.Točka L ∈ Rm je limita zaporedja (xn), če je zunaj vsake ε-okolice točke L,ε > 0, kvečjemu končno mnogo členov tega zaporedja. Če ima zaporedje (xn)

1Tu imamo opravka z nekoliko nerodnimi oznakami; zgoraj smo z x in y označili točke vm-razsežnem prostoru, z x1, y1, . . . , xm, ym pa njihove koordinate, medtem, ko je tu xn (n-tičlen zaporedja) točka v m-razsežnem prostoru - vedno bo iz konteksta jasno ali xk označujetočko v večrazsežnem prostoru, ali pa k-to koordinato točke x.

6

limito L, pǐsemo limxn = L, in rečemo, da je zaporedje konvergentno. Sicer jedivergentno.

Zaporedje v Rm je konvergentno natanko tedaj, ko je konvergentno po kom-ponentah. Tako je zaporedje (an) ∈ R2, an = (xn, yn), konvergentno natankotedaj, ko sta konvergentni številski zaporedji (xn) in (yn) in tedaj velja

lim an = lim(xn, yn) = (limxn, lim yn).

Zaporedje (an) ∈ R3, an = (xn, yn, zn), je konvergentno natanko tedaj, ko sokonvergentna številska zaporedja (xn), (yn) in (zn) in tedaj velja

lim an = lim(xn, yn, zn) = (limxn, lim yn, lim zn).

Izrek 4.1 Podmnožica A ⊂ Rm je zaprta natanko tedaj, ko za vsako zaporedje(xn) ⊂ A in za vsako njegovo stekalǐsče s velja s ∈ A.

Definicija 4.2 Podmnožica K ⊂ Rm je kompaktna, če ima vsako zaporedje(xn) ⊂ K vsaj eno stekalǐsče, ki je vsebovano v K.

Izrek 4.3 Podmnožica K ⊂ Rm je kompaktna natanko tedaj, ko je zaprta inomejena.

5 Limita funkcije in zveznost

Naj bo A podmnožica Rn. Funkcija n spremenljivk z definicijskim območjem Aje predpis, ki vsaki točki iz množice A priredi natanko določeno realno število.Oznaka: f : A → R. Točki x = (x1, x2, . . . , xn) prirejeno realno številooznačimo f(x) = f(x1, x2, . . . , xn).

Odprte podmnožice D ⊂ Rn bomo imenovali območja. Če k območju do-damo vse njegove robne točke, dobimo zaprto območje. Definicijska območjafunkcij n spremenljivk, s katerimi se bomo ukvarjali, bodo ponavadi območja alipa zaprta območja (včasih pa tudi območje, ki smo mu dodali kakšno podmnožiconjegovih robnih točk).

Naj bo D ⊂ Rn in f : D → R funkcija n spremenljivk definirana na D. Graffunkcije f je podmnožica Rn+1 definirana s predpisom

G(f) = {(x, f(x)) : x ∈ D}.

Če je n = 1 in je funkcija f dovolj pohlevna, je njen graf krivulja v ravnini.Če je n = 2 in je funkcija f dovolj pohlevna, je njen graf ploskev v običajnemtrorazsežnem prostoru.

Ponovi sledeče pojme: monotono naraščajoča funkcija, strogo naraščajoča funkcija,padajoče funkcije, monotone funkcije, sode in lihe funkcije.

7

Definicija 5.1 Naj bo funkcija f definirana na nekem območju D ⊂ Rn, točkax0 ∈ Rn pa naj bo notranja ali robna točka območja D. Funkcija f ima v točkix0 limito L ∈ R (rečemo tudi, da ima f limito L, ko gre x proti x0), če zavsako pozitivno število ε obstaja tako pozitivno število δ, da iz x ∈ D \ {x0} ind(x, x0) < δ sledi |f(x)− L| < ε. V tem primeru zapǐsemo

limx→x0

f(x) = L.

Posebej, če je f funkcija ene spremenljivke definirana na odprtem intervalu I,razen morda v točki x0 iz tega intervala, potem ima f limito L, ko gre x protix0, natanko tedaj, ko za vsako pozitivno število ε obstaja tako pozitivno številoδ, da iz x ∈ I \{x0} in |x−x0| < δ sledi |f(x)−L| < ε. Nadalje, funkcija f imalevo limito L v točki x0 natanko tedaj, ko za vsako pozitivno število ε obstajatako pozitivno število δ, da iz x ∈ I, x < x0 in |x− x0| < δ sledi |f(x)−L| < ε.Tedaj pǐsemo

L = f(x0 − 0) = limx↑x0

f(x) = limx→x0−

f(x).

Podobno definiramo desno limito v x0. Oznaka: f(x0 + 0) = limx↓x0 f(x) =limx→x0+ f(x)

Izrek 5.2 Naj bo realna funkcija f ene spremenljivke definirana na neki okolicitočke x0 ∈ R, razen morda v točki x0. Potem ima funkcija f limito, ko gre xproti x0, natanko tedaj, ko ima v točki x0 levo limito in desno limito in sta tidve limiti enaki. Tedaj velja

limx→x0

f(x) = limx↑x0

f(x) = limx↓x0

f(x).

Izrek 5.3

limx→0

sinx

x= 1.

Izrek 5.4 Naj bosta funkciji f in g definirani na nekem območju D ⊂ Rn, točkax0 ∈ Rm pa naj bo notranja ali robna točka območja D. Denimo, da obstajatalimiti funkcij f in g, ko gre x proti x0. Naj bo c poljubno realno število. Potem

• obstaja tudi limita funkcije f + g, ko gre x proti x0, in velja

limx→x0

(f + g)(x) = limx→x0

f(x) + limx→x0

g(x),

• obstaja tudi limita funkcije f · g, ko gre x proti x0, in velja

limx→x0

(fg)(x) = limx→x0

f(x) · limx→x0

g(x),

• obstaja tudi limita funkcije cf , ko gre x proti x0, in velja

limx→x0

(cf)(x) = c limx→x0

f(x).

8

• Naj bo še limx→x0 g(x) 6= 0. Potem obstaja tudi limita funkcijefg , ko gre

x proti x0, in velja

limx→x0

f(x)

g(x)=

limx→x0 f(x)

limx→x0 g(x).

Definicija 5.5 Naj bo f funkcija definirana na poltraku (a,∞), torej f : (a,∞)→R. Funkcija f ima limito L, ko gre x proti neskončno, če za vsako pozitivnoštevilo ε obstaja tako število A ≥ a, da iz x > A sledi |f(x) − L| < ε. V temprimeru zapǐsemo:

limx→∞

f(x) = L.

Podobno definiramo limito funkcije, ko gre x proti minus neskončno.

Definicija 5.6 Naj bo f funkcija definirana na intervalu (a, b) razen v nekitočki x0 iz tega intervala. Funkcija f ima limito ∞, ko gre x proti x0, če zavsako število A obstaja tako pozitivno število δ, da iz x ∈ (a, b), x 6= x0 in|x− x0| < δ sledi f(x) > A. V tem primeru zapǐsemo:

limx→x0

f(x) =∞.

Definicija 5.7 Naj bo f funkcija definirana na intervalu (a, x0). Funkcija fima levo limito neskončno, ko gre x proti x0, če za vsako število A obstaja takopozitivno število δ, da iz a < x < x0 in x0 − x < δ sledi f(x) > A. V temprimeru zapǐsemo:

limx↑x0

f(x) =∞.

Podobno definiramo limite:

limx→x0

f(x) = −∞, limx↑x0

f(x) = −∞, limx↓x0

f(x) =∞ in limx↓x0

f(x) = −∞.

Definicija 5.8 Naj bo D odprto ali zaprto območje v Rn in naj bo x0 ∈ D.Funkcija f naj bo definirana na območju D, f : D → R. Funkcija f je zveznav točki x0, če za vsako pozitivno število ε obstaja tak δ > 0, da iz x ∈ D ind(x, x0) < δ sledi |f(x)− f(x0)| < ε.

Definicija 5.9 Funkcija f : D → R je zvezna na območju D, če je zvezna vvsaki točki tega območja.

Izrek 5.10 Funkcija f : D → R je v točki x0 ∈ D zvezna natanko tedaj, koobstaja limx→x0 f(x) in velja

limx→x0

f(x) = f(x0).

9

Izrek 5.11 Naj bosta f, g : D → R zvezni funkciji na območju D, c pa poljubnarealna konstanta. Potem so tudi funkcije f + g, cf in fg zvezne na D, funkcijafg pa je zvezna povsod na D, kjer je definirana (natanko v tistih točkah x iz

območja D, za katere velja g(x) 6= 0).

Izrek 5.12 Naj bo D območje v Rn in I interval na številski premici. Naj bostaf : D → R in g : I → R funkciji in naj bo x0 ∈ D in f(D) ⊂ I. Privzemimo,da je f zvezna v x0 in g zvezna v f(x0). Potem je kompozitum g ◦ f : D → Rzvezen v x0.

Izrek 5.13 Naj bo D odprto ali zaprto območje v Rn in naj bo x0 ∈ D. Funkcijaf : D → R je zvezna v točki x0 natanko tedaj, ko za vsako zaporedje (xm) ⊂ Dz lastnostjo limxm = x0 velja

limm→∞

f(xm) = f(x0).

Naj bo K ⊂ Rn in f funkcija definirana na K, f : K → R. Potem rečemo,da je f omejena na K, če obstaja tako število M , da za vsak x ∈ K velja|f(x)| ≤M .

Izrek 5.14 Naj bo K ⊂ Rn kompaktna množica in f : K → R zvezna funkcija.Potem je f omejena in obstajata taka x1, x2 ∈ K, da velja

f(x1) = supx∈K

f(x) in f(x2) = infx∈K

f(x).

Ta izrek na kratko povzamemo takole: vsaka zvezna funkcija na kompak-tni množici je omejena in doseže svoj maksimum in minimum. Seveda v temprimeru pǐsemo:

f(x1) = supx∈K

f(x) = maxx∈K

f(x) in f(x2) = infx∈K

f(x) = minx∈K

f(x).

Izrek 5.15 Naj bosta a in b realni števili, a < b, in naj bo f : [a, b] → Rzvezna funkcija. Označimo m = minx∈[a,b] f(x) in M = maxx∈[a,b] f(x). Naj bom ≤ y ≤M . Potem obstaja tak x ∈ [a, b], da velja

f(x) = y.

Ta izrek na kratko povzamemo takole: vsaka zvezna funkcija na zaprtemintervalu je omejena in doseže svoj minimum in maksimum ter vse vrednostivmes.

Izrek 5.16 Naj bo f : [a, b]→ R strogo monotono naraščajoča zvezna funkcija.Potem je f bijekcija intervala [a, b] na interval [f(a), f(b)]. Inverzna funkcijaf−1 : [f(a), f(b)]→ [a, b] je tudi strogo monotona naraščajoča in zvezna.

Elementarne funkcije (polinomi, racionalne funkcije, potence, eksponentnafunkcija in logaritem, kotne funkcije in njihovi inverzi, ter vse funkcije, ki jihiz naštetih dobimo s seštevanjem, množenjem, deljenjem ali komponiranjem) sozvezne.

10

6 Odvod

Definicija 6.1 Naj bo funkcija f definirana na intervalu I in naj bo x0 notranjatočka tega intervala. Če obstaja

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

,

potem rečemo, da je funkcija f v točki x0 odvedljiva, to limito pa imenujemoodvod funkcije f v točki x0. Oznaka:

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

Geometrijsko odvod pomeni smerni koeficient tangente na graf funkcije f v točki(x0, f(x0)).

Naj se točkasto telo giblje po številski premici. Njegov položaj na številskipremici v času t označimo s s(t). Če je funkcija s(t) v t0 odvedljiva, potem jes′(t0) trenutna hitrost točkastega telesa v času t0.

Izrek 6.2 Če je funkcija f v točki x0 odvedljiva, potem je f v x0 zvezna.

Funkcija f definirana na odprtem intervalu I je na I odvedljiva, če je odvedljivav vsaki točki tega intervala. V tem primeru je f ′ funkcija definirana na intervaluI. Če je tudi f ′ : I → R odvedljiva funkcija, potem jo lahko odvajamo. Dobimodrugi odvod, ki ga označimo f ′′. Podobno definiramo f ′′′,... Oznaka za n-tiodvod je f (n). Če za vsak x ∈ I obstaja f (n)(x), potem rečemo, da je funkcija fn-krat odvedljiva. Če je še f (n) zvezna funkcija, potem rečemo, da je f n-kratzvezno odvedljiva.

Odvod konstantne funkcije je enak nič.

Izrek 6.3 Naj bosta f in g odvedljivi funkciji na nekem odprtem intervalu, cpa poljubna realna konstanta. Potem je

• tudi f + g odvedljiva funkcija na tem imtervalu in velja (f + g)′ = f ′+ g′,

• tudi fg odvedljiva funkcija na tem imtervalu in velja (fg)′ = f ′g + fg′,

• tudi cf odvedljiva funkcija na tem imtervalu in velja (cf)′ = cf ′,

• tudi fg odvedljiva funkcija povsod tam, kjer je definirana (povsod na temintervalu, razen v ničlah funkcije g) in velja(

f

g

)′=f ′g − fg′

g2.

11

Pravilo za odvod produkta lahko razširimo na več faktorjev. Za tri odvedljivefunkcije velja

(fgh)′ = f ′gh+ fg′h+ fgh′

in to pravilo lahko z indukcijo posplošimo na poljubno število faktorjev.

Izrek 6.4 Naj bo funkcija g odvedljiva na intervalu I, funkcija f pa naj boodvedljiva na intervalu, ki vsebuje zalogo vrednosti funkcije g. Potem je tudikompozitum F (x) = f(g(x)) odvedljiv na intervalu I in velja

F ′(x) = f ′(g(x)) g′(x).

Izrek 6.5 Odvod inverzne funkcije je recipročna vrednost odvoda prvotne funkcije.

Diferencial funkcije f je enak produktu odvoda funkcije in diferenciala neod-visne spremenljivke:

df = f ′(x)dx.

Za približno računanje funkcijske vrednosti odvedljive funkcije f v točki x+dx,kjer je dx majhen, lahko uporabimo formulo:

f(x+ dx) ≈ f(x) + f ′(x)dx.

Tabela odvodov elementarnih funkcij:

• (ax)′ = ax lnx,

• (ex)′ = ex,

• (loga x)′ = 1x ln a ,

• (lnx)′ = 1x ,

• (xr)′ = rxr−1,

• (sinx)′ = cosx,

• (cosx)′ = − sinx,

• (tanx)′ = 1cos2 x ,

• (cotx)′ = − 1sin2 x

,

• (arcsinx)′ = 1√1−x2 ,

• (arccosx)′ = − 1√1−x2 ,

• (arctanx)′ = 11+x2 ,

• (arccotx)′ = − 11+x2 .

12

Naj bo funkcija f definirana na intervalu I in naj bo x0 ∈ I. Funkcija f imav točki x0 lokalni maksimum, če obstaja tako pozitivno število δ, da za vsakx ∈ I iz |x − x0| < δ sledi f(x) ≤ f(x0). Funkcija f ima v točki x0 lokalniminimum, če obstaja tako pozitivno število δ, da za vsak x ∈ I iz |x− x0| < δsledi f(x) ≥ f(x0). Funkcija f ima v točki x0 lokalni ekstrem, če ima v x0lokalni maksimum ali lokalni minimum.

Izrek 6.6 Funkcija f naj bo definirana na neki okolici točke x0 in naj bo tamodvedljiva. Denimo, da ima f pri x0 lokalni ekstrem. Potem je

f ′(x0) = 0.

Izreka, ki sledita, se imenujeta Rolleov in Lagrangeov izrek.

Izrek 6.7 Naj bo f : [a, b] → R zvezna funkcija. Naj bo f na (a, b) odvedljivain naj velja f(a) = f(b). Potem obstaja tak x0 ∈ (a, b), da je f ′(x0) = 0.

Izrek 6.8 Naj bo f : [a, b] → R zvezna funkcija. Naj bo f na (a, b) odvedljiva.Potem obstaja tak x0 ∈ (a, b), da je

f ′(x0) =f(b)− f(a)

b− a.

Posledica 6.9 Naj bo f : [a, b]→ R zvezna funkcija, ki je odvedljiva na odprtemintervalu (a, b). Če je

• f ′(x) = 0 za vsak x ∈ (a, b), potem je f na intervalu [a, b] konstantnafunkcija,

• f ′(x) > 0 za vsak x ∈ (a, b), potem je f na intervalu [a, b] strogo naraščajočafunkcija,

• f ′(x) < 0 za vsak x ∈ (a, b), potem je f na intervalu [a, b] strogo padajočafunkcija.

Naj bo f : [a, b] → R zvezna funkcija in naj bo odvedljiva na odprtemintervalu (a, b). Potem vemo, da je omejena in da doseže maksimum in mini-mum. Za točko x0 ∈ (a, b) rečemo, da je stacionarna točka funkcije f , če veljaf ′(x0) = 0. Funkcija f doseže maksimum v kakšni od stacionarnih točk ali vkrajǐsču intervala [a, b]. Isto velja za minimum.

Izrek 6.10 Naj bo f na neki okolici točke x0 dvakrat zvezno odvedljiva in naj box0 stacionarna točka. Če je f

′′(x0) > 0, potem ima f pri x0 lokalni minimum.Če je f ′′(x0) < 0, potem ima f pri x0 lokalni maksimum.

Naj bo funkcija f odvedljiva na neki okolici stacionarne točke x0. Če je

13

• f ′(x0−h) > 0 in f ′(x0 +h) < 0 za vsak dovolj majhen pozitiven h, potemima f v x0 lokalni maksimum,

• f ′(x0−h) < 0 in f ′(x0 +h) > 0 za vsak dovolj majhen pozitiven h, potemima f v x0 lokalni minimum,

• f ′(x0−h) > 0 in f ′(x0 +h) > 0 za vsak dovolj majhen pozitiven h, potemf v x0 nima lokalnega ekstrema,

• f ′(x0−h) < 0 in f ′(x0 +h) < 0 za vsak dovolj majhen pozitiven h, potemf v x0 nima lokalnega ekstrema.

Naj bo funkcija f na odprtem intervalu I dvakrat zvezno odvedljiva. Najbo f ′′(x) > 0 za vsak x ∈ I. Potem je f na I konveksna, to je, tangenta na graffunkcije f v katerikoli točki tega intervala leži pod grafom funkcije f . Naj bof ′′(x) < 0 za vsak x ∈ I. Potem je f na I konkavna, to je, tangenta na graffunkcije f v katerikoli točki tega intervala leži nad grafom funkcije f .

Naslednja dva izreka (L’Hospitalova izreka) sta uporabna pri računanju limit.

Izrek 6.11 Naj bosta funkciji u(x) in v(x) odvedljivi v okolici točke a in naj bou(a) = v(a) = 0. Naj velja še v(x) 6= 0 in v′(x) 6= 0 za vse x 6= a iz te okolicetočke a. Če obstaja

limx→a

u′(x)

v′(x),

potem obstaja tudi limx→au(x)v(x) in velja

limx→a

u(x)

v(x)= limx→a

u′(x)

v′(x).

Izrek 6.12 Naj bo I odprt interval in a ∈ I. Funkciji u in v naj bosta odvedljivina I \ {a}. Naj velja

limx→a

u(x) = limx→a

v(x) = ±∞.

Če obstaja končna ali neskončna limita

limx→a

u′(x)

v′(x),

potem obstaja tudi limx→au(x)v(x) in velja

limx→a

u(x)

v(x)= limx→a

u′(x)

v′(x).

Podobna izreka veljata tudi v primeru, ko pogoj x → a nadomestimo spogojem x→∞ ali x→ −∞.

14

7 Taylorjeva formula

Dogovorimo se, da je 0! = 1 in f (0)(x) = f(x).

Izrek 7.1 Naj bo funkcija f (n+1)-krat zvezno odvedljiva na neki okolici točkea. Potem za vsak x iz te okolice velja

f(x) = f(a)+f ′(a)(x−a)+f′′(a)

2!(x−a)2+f

′′′(a)

3!(x−a)3+. . .+f

(n)(a)

n!(x−a)n+Rn(x) =

=

n∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k +Rn(x),

pri čemer je

Rn(x) =f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− a)n+1

za neko število ξ, ki leži med a in x.

Zgledi: Za vsak realen x in vsako naravno število n velja:

ex = 1 + x+x2

2!+ . . .+

xn

n!+

eξ

(n+ 1)!xn+1,

kjer je ξ neko število med 0 in x,

sinx = x− x3

3!+x5

5!− . . .+ (−1)n x

2n+1

(2n+ 1)!+R2n+2(x),

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− . . .+ (−1)n x

2n

(2n)!+R2n+1(x).

8 Nedoločeni integral

Definicija 8.1 Naj bo funkcija f(x) definirana na nekem intervalu I. Vsakofunkcijo F (x), definirano na I, za katero velja F ′(x) = f(x) za vsak x ∈ I,imenujemo primitivna funkcija funkcije f(x).

Izrek 8.2 Če je F (x) primitivna funkcija funkcije f(x), potem je za vsakorealno število C tudi funkcija F (x) + C primitivna funkcija funkcije f(x) inmnožica vseh takih funkcij je ravno množica vseh primitivnih funkcij funkcijef(x).

Tedaj zapǐsemo ∫f(x)dx = F (x) + C

15

in preberemo: F (x) je nedoločeni integral funkcije f(x). Funkciji f(x) pa rečemointegrand.

Iz tabele elementarnih odvodov takoj dobimo osnovno tabelo nedoločenihintegralov:

•∫xndx = x

n+1

n+1 + C, n 6= −1,

•∫dxx = ln |x|+ C,

•∫axdx = a

x

ln a + C,

•∫exdx = ex + C,

•∫

sinxdx = − cosx+ C,

•∫

cosxdx = sinx+ C,

•∫

dxcos2 x = tanx+ C,

•∫

dxsin2 x

= − cotx+ C,

•∫

dx1+x2 = arctanx+ C,

•∫

dx√1−x2 = arcsinx+ C,

•∫

dx√x2+a

= ln(x+√x2 + a) + C.

Če obstajata nedoločena integrala funkcij f in g, in je c realno število, potemobstajata tudi nedoločena integrala funkcij f + g in cf in velja∫

(f(x) + g(x))dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx

in ∫cf(x)dx = c

∫f(x)dx.

Če obstaja nedoločeni integral funkcije f(x) in je x = x(t) odvedljiva funkcija,potem velja ∫

f(x)dx =

∫f(x(t))x′(t)dt.

Kadar uporabimo to formulo, rečemo, da smo reševali integral z uvedbo novespremenljivke.

Pri integraciji uporabljamo še metodo integracije po delih (per partes). Den-imo, da sta f(x) in g(x) odvedljivi funkciji in da obstaja eden od integralov∫f(x)g′(x)dx ali

∫f ′(x)g(x)dx. Potem obstaja tudi drugi in velja∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−

∫f ′(x)g(x)dx.

16

Z vpeljavo oznak u = f(x) in v = g(x) to pravilo kraǰse zapǐsemo∫udv = uv −

∫vdu.

9 Osnovno o diferencialnih enačbah

Diferencialna enačba je enačba, v kateri nastopajo neodvisna spremenljivka,neznana funkcija y in njeni odvodi y′, y′′, . . . , y(n):

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0.

Rešiti enačbo pomeni poiskati vse tiste n-krat odvedljive funkcije y = y(x), kitej enačbi zadoščajo. Diferencialno enačbo imenujemo navadna diferencialnaenačba, če je neznana funkcija, ki v njej nastopa, funkcija ene spremenljivke.Red enačbe je n, če je n-ti odvod najvǐsji odvod neznane funkcije, ki nastopi venačbi. Tako je

yy′ = x2

navadna diferencialna enačba prvega reda,

y′′′ − 3y′′ + 2y = cosx

pa je zgled navadne diferencialne enačbe tretjega reda. Parcialne diferencialneenačbe so enačbe, v katerih je neznana funkcija odvisna od več spremenljivk.Tedaj v enačbi poleg te funkcije in neodvisnih spremenljivk nastopajo njeniparcialni odvodi.

Rešimo dva preprosta zgleda. Enačba

y′ = x

ima očitno rešitev y = x2

2 + C, medtem, ko rešitev enačbe y′′ = ex dobimo z

dvakratnim integriranjem:y′ = ex +A,

y = ex +Ax+B.

V prvem primeru imamo opravka z navadno diferencialno enačbo prvega reda inmnožica vseh rešitev je enoparametrična družina funkcij. V drugem primeru paimamo opravka z navadno diferencialno enačbo drugega reda in množica vsehrešitev je dvoparametrična družina funkcij. Pogosto se zgodi, da ima navadnadiferencialna enačba n-tega reda za rešitev n-parametrično družino funkcij.

Naj bo f(x, y) zvezna funkcija definirana na območju D ⊂ R2. Če skozipoljubno točko (x, y) območja D narǐsemo kratko daljico s smernim koeficientomf(x, y), potem bo rešitev y = y(x) diferencialne enačbe

y′ = f(x, y),

17

ki poteka skozi točko (x, y), v tej točki imela tangento določeno z daljico, kismo jo narisali v tej točki. Če območje D na gosto posejemo s točkami, inv teh točkah postavimo kratke daljice, kot je opisano zgoraj, dobimo grafičnopredstavitev polja smeri in je potem mogoče grafično uganiti približen potekrešitve y = y(x), ki poteka skozi izbrano točko.

Pogosto ima diferencialna enačba y′ = f(x, y) enoparametrično družinorešitev. Če si izberemo točko (x0, y0) ∈ D in ǐsčemo rešitev enačbe y′ = f(x, y),ki zadošča pogoju y(x0) = y0 (ǐsčemo tisto rešitev, katere graf poteka skozitočko (x0, y0)), potem ima ta naloga pri dokaj milih dodatnih pogojih natankoeno rešitev. To nalogo imenujemo Cauchyjeva naloga, pogoju y(x0) = y0 papravimo začetni pogoj.

Poglejmo si še tri najbolj preproste tipe navadnih diferencialnih enačb prvegareda. Rešiti enačbo

y′(x) = f(x)

pomeni poiskati nedoločeni integral funkcije f . Enačbo z ločljivima spremenljivkama

y′ = f(x)g(y)

rešimo z ločitvijo spremenljivk:

dy

dx= f(x)g(y)

dy

g(y)= f(x)dx,

nato pa obe strani tako dobljene enačbe integriramo.Navadna linearna diferencialna enačba prvega reda je enačba oblike

y′ + f(x)y = g(x), (1)

kjer sta f(x) in g(x) dani zvezni funkciji.Najprej rešimo ustrezno homogeno enačbo

y′ + f(x)y = 0.

Hitro se vidi, da je to enačba z ločljivima spremenljivkama. Rešitev je enopara-metrična družina funkcij oblike

y(x) = Au(x)

za neko funkcijo u(x). Če poznamo zgolj eno funkcijo yp(x), ki zadošča enačbi(1) (taki funkciji rečemo partikularna rešitev enačbe), potem je splošna rešitevenačbe (1) enoparametrična družina funkcij

y(x) = yp(x) +Au(x).

Včasih nam uspe partikularno rešitev kar uganiti, lahko pa jo ǐsčemo z nas-tavkom y(x) = A(x)u(x). V tem primeru rečemo, da smo partikularno rešitevpoiskali z metodo variacije konstante.

18

10 Funkcije več spremenljivk

Naj bo z = f(x, y) funkcija dveh spremenljivk definirana na ravninskem območjuD in naj točka (a, b) leži v tem območju, (a, b) ∈ D.

Definicija 10.1 Če obstaja limita

limh→0

f(a+ h, b)− f(a, b)h

,

rečemo, da je funkcija f v točki (a, b) parcialno odvedljiva po x, to limito paimenujemo parcialni odvod funkcije f(x, y) po spremenljivki x v točki (a, b).Oznaka:

∂z

∂x(a.b) =

∂f

∂x(a.b) = fx(a, b) = lim

h→0

f(a+ h, b)− f(a, b)h

.

Podobno definiramo parcialni odvod funkcije f po spremenljivki y:

∂f

∂y(a.b) = fy(a, b) = lim

k→0

f(a, b+ k)− f(a, b)k

.

Funkcija f(x, y) je v točki (a, b) parcialno odvedljiva, če je f v (a, b) parcialnoodvedljiva po x in po y. Funkcija f je na D parcialno odvedljiva, če je parcialnoodvedljiva v vseh točkah tega območja. Če sta tudi parcialna odvoda zveznifunkciji na območju D, potem rečemo, da je f na D zvezno parcialno odvedljiva.

Funkcija f(x, y) je v točki (a, b) diferenciabilna, če obstajata taki števili Ain B, da je mogoče funkcijsko vrednost f(a+ h, b+ k) zelo dobro aproksimiratiz vsoto f(a, b) + Ah + Bk. V tem primeru izraz Ah + Bk imenujemo popolnidiferencial. Podajmo sedaj natančno definicijo diferenciabilnosti.

Definicija 10.2 Funkcija f(x, y) je v točki (a, b) diferenciabilna, če obstajatataki števili A in B, da je

lim(h,k)→(0,0)

f(a+ h, b+ k)− f(a, b)−Ah−Bk√h2 + k2

= 0.

Funkcija f je diferenciabilna na D, če je diferenciabilna v vsaki točki tegaobmočja.

Izrek 10.3 Če je f(x, y) v (a, b) diferenciabilna, je f v (a, b) parcialno odvedljiva(tedaj sta A in B ravno parcialna odvoda funkcije f po x in po y v točki (a, b)).Če je f na D zvezno parcialno odvedljiva, potem je f na D diferenciabilna.

Če je funkcija f na D zvezno parcialno odvedljiva, potem zapǐsemo totalnidiferencial v obliki

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy.

19

Za majhni spremembi dx in dy velja

f(x+ dx, y + dy) ≈ f(x, y) + fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy.

Seveda je vse to mogoče posplošiti na funkcije več spremenljivk. Npr.,

∂f

∂x2(a1, a2, a3, . . . , an) = lim

h→0

f(a1, a2 + h, a3, . . . , an)− f(a1, a2, a3, . . . , an)h

.

Funkcija f(x1, x2, . . . , xn) je v (a1, a2, . . . , an) diferenciabilna, če obstajajo takaštevila A1, A2, . . . , An, da je

lim(h1,...,hn)→(0,...,0)

f(a1 + h1, . . . , an + hn)− f(a1, . . . an)−A1h1 − . . .−Anhn√h21 + . . .+ h

2n

= 0.

Če je f na D ⊂ Rn zvezno parcialno odvedljiva, potem je f v vsaki točki(a1, a2, . . . , an) diferenciabilna in tedaj je Aj =

∂f∂xj

(a1, a2, . . . , an).

Naj bo funkcija z = f(u, v) zvezno parcialno odvedljiva in naj bosta u = u(x)in v = v(x) odvedljivi funkciji. Potem je funkcija z = z(x) = f(u(x), v(x))odvedljiva in velja

dz

dx=∂z

∂u

du

dx+∂z

∂v

dv

dx.

Kraǰsi zapis z diferenciali:

dz =∂z

∂udu+

∂z

∂vdv.

Naj bo sedaj z = f(u) in u = u(x, y). Parcialna odvoda funkcije z = z(x, y) =f(u(x, y)) izračunamo po formulah:

∂z

∂x=df

du

∂u

∂xin

∂z

∂y=df

du

∂u

∂y.

In končno, če je z = f(u, v) in u = u(x, y) ter v = v(x, y), potem sta parcialnaodvoda funkcije z = z(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)):

∂z

∂x=∂f

∂u

∂u

∂x+∂f

∂v

∂v

∂x

in∂z

∂y=∂f

∂u

∂u

∂y+∂f

∂v

∂v

∂y.

Bralec bo zlahka uganil formule za odvode posrednih funkcij več spremenljivk.

Naj bo f(x, y) zvezno prcialno odvedljiva na D in naj bosta tudi oba par-cialna odvoda parcialno odvedljiva na D. S ponovnim odvajanjem dobimo štiriparcialne odvode drugega reda:

∂

∂x

∂f

∂x,

∂

∂x

∂f

∂y,

∂

∂y

∂f

∂x,

∂

∂y

∂f

∂y.

20

Dejansko pa pri zelo milih pogojih dobimo le tri parcialne odvode drugega reda.Velja namreč:

Izrek 10.4 Če mešana odvoda

∂

∂x

∂f

∂yin

∂

∂y

∂f

∂x

obstajata in sta zvezni funkciji, potem sta enaka.

Tako imamo le tri odvode drugega reda, ki jih označimo takole:

∂2f

∂x2,

∂2f

∂x∂yin

∂2f

∂y2.

Bralec bo zlahka uganil posplošitve na funkcije več spremenljivk in na odvodevǐsjega reda.

11 Taylorjeva formula za funkcije več spremenljivk

Vpeljimo oznako: (∂f

∂xh+

∂f

∂yk

)(n)(a,b)

.

S tem simbolom označujemo izraz, ki ga dobimo, če(∂f

∂xh+

∂f

∂yk

)nformalno razvijemo z binomsko formulo za n-to potenco, potem pa vsak izraz(

∂f

∂x

)k (∂f

∂y

)n−knadomestimo z

∂nf

∂xk∂yn−k(a, b).

Izrek 11.1 Naj bo funkcija f(x, y) v okolici točke (a, b) zvezno parcialno odvedljivado (n+1)-tih parcialnih odvodov. Potem za vsako točko (a+h, b+k) iz te okolicevelja:

f(a+ h, b+ k) = f(a, b) +1

1!

(∂f

∂xh+

∂f

∂yk

)(a,b)

+

+1

2!

(∂f

∂xh+

∂f

∂yk

)(2)(a,b)

+ . . .+1

n!

(∂f

∂xh+

∂f

∂yk

)(n)(a,b)

+Rn,

21

kjer je

Rn =1

(n+ 1)!

(∂f

∂xh+

∂f

∂yk

)(n+1)(a+θh,b+θk)

za nek θ, 0 < θ < 1.

Taylorjeva formula za funkcije več spremenljivk se zapǐse takole:

f(a1 + h1, a2 + h2, . . . , an + hn) =

m∑k=0

1

k!

(∂f

∂x1h1 +

∂f

∂x2h2 + . . .+

∂f

∂xnhn

)(k)(a1,a2,...,an)

+Rm.

Pri tem bo bralec sam uganil pomen izraza

1

k!

(∂f

∂x1h1 +

∂f

∂x2h2 + . . .+

∂f

∂xnhn

)(k)(a1,a2,...,an)

in tudi formulo za m-ti ostanek Rm.

12 Implicitne funkcije

Izrek 12.1 Naj bo F (x, y) v okolici točke (a, b) zvezno parcialno odvedljivafunkcija. Naj bo F (a, b) = 0 in Fy(a, b) 6= 0. Potem obstajata taki okolica Utočke a in okolica V točke b, da za vsak x ∈ U obstaja natanko en tak y(x) ∈ V ,da je F (x, y(x)) = 0 (seveda velja y(a) = b). Funkcija x 7→ y(x), x ∈ U , jeodvedljiva in velja

y′(x) = −Fx(x, y)Fy(x, y)

.

.Posledica tega izreka pove, da se da zvezno odvedljivo funkcijo f(x) lokalno

obrniti povsod tam, kjer je njen odvod različen od nič.

Izrek 12.2 Naj bo F (x, y, z) v okolici točke (a, b, c) zvezno parcialno odvedljivafunkcija. Naj bo F (a, b, c) = 0 in Fz(a, b, c) 6= 0. Potem obstajata taki okolicaU točke (a, b) in okolica V točke c, da za vsak (x, y) ∈ U obstaja natanko entak z(x, y) ∈ V , da je F (x, y, z(x, y)) = 0 (seveda velja z(a, b) = c). Funkcija(x, y) 7→ z(x, y), (x, y) ∈ U , je parcialno odvedljiva in velja

∂z

∂x= −Fx(x, y, z)

Fz(x, y, z)in

∂z

∂y= −Fy(x, y, z)

Fz(x, y, z).

.

22

Izrek 12.3 Naj bosta F (x, y, z) in G(x, y, z) v okolici točke (a, b, c) zvezno par-cialno odvedljivi funkciji. Naj bo F (a, b, c) = G(a, b, c) = 0 in∣∣∣∣Gy FyGz Fz

∣∣∣∣(a,b,c)

6= 0.

Potem obstajajo take okolica U točke a, okolica V točke b in okolica W točkec, da za vsak x ∈ U obstajata natanko en tak y(x) ∈ V in natanko en takz(x) ∈ W , da je F (x, y(x), z(x)) = 0 in G(x, y(x), z(x)) = 0 (seveda veljay(a) = b in z(a) = c). Funkciji x 7→ y(x), x 7→ z(x), x ∈ U , sta odvedljivi invelja

y′ = −

∣∣∣∣ Fx FzGx Gz∣∣∣∣∣∣∣∣ Fy FzGy Gz∣∣∣∣ in z

′ = −

∣∣∣∣ Fy FxGy Gx∣∣∣∣∣∣∣∣ Fy FzGy Gz∣∣∣∣ .

.Vse izreke iz tega poglavja je mogoče razširiti na funkcije več spremenljivk.

13 Ekstremi funkcij več spremenljivk

Funkcija f(x1, x2, . . . , xn) naj bo definirana na območju D ⊂ Rn in naj boa = (a1, . . . , an) ∈ D. Funkcija f ima v točki a lokalni minimum, če obstajatak δ > 0, da je f(x) ≥ f(a) za vsak x ∈ D z lastnostjo d(x, a) < δ. Funkcijaf ima v točki a lokalni maksimum, če obstaja tak δ > 0, da je f(x) ≤ f(a) zavsak x ∈ D z lastnostjo d(x, a) < δ. Funkcija f ima v točki a lokalni ekstrem,če ima tam lokalni maksimum ali lokalni minimum.

Izrek 13.1 Naj bo a notranja točka definicijskega območja parcialno odvedljivefunkcije f . Če ima f pri a lokalni ekstrem, potem so vsi parcialni odvodi funkcijef v točki a enaki 0.

Točke, v katerih so vsi parcialni odvodi funkcije f enaki 0, imenujemo sta-cionarne točke funkcije f .

Izrek 13.2 Naj bo (a, b) stacionarna točka dvakrat zvezno parcialno odvedljivefunkcije f(x, y). Označimo

D =∂2f

∂x2(a, b)

∂2f

∂y2(a, b)−

(∂2f

∂x∂y(a, b)

)2.

• Če je D < 0, potem f pri (a, b) lokalnega ekstrema nima.

• Če je D > 0 in ∂2f∂x2 (a, b) < 0, potem ima f pri (a, b) lokalni maksimum.

23

• Če je D > 0 in ∂2f∂x2 (a, b) > 0, potem ima f pri (a, b) lokalni minimum.

Naj bo zvezna funkcija f definirana na omejenem in zaprtem območju in najbo parcialno odvedljiva v vseh notranjih točkah tega območja. Ker je omejenozaprto območje kompaktno, funkcija f zavzame svoj maksimum in minimum insicer v kaki notranji stacionarni točki ali pa na robu območja.

Poǐsčimo še ekstreme funkcije f(x, y), pri čemer pa smeta x in y zavzeti levrednosti, ki zadoščajo enačbi

g(x, y) = 0.

Pravimo, da ǐsčemo vezani ekstrem. Nalogo lahko rešujemo takole: Iz enačbeg(x, y) izrazimo y kot funkcijo x, y = y(x), in to vstavimo v f . Dobimo funkcijof(x, y(x)) ene spremenljivke in potem uporabimo metode, ki smo se jih naučiliv poglavju o odvodu funkcije ene spremenljivke.

Obstaja pa še ena metoda za iskanje vezanih ekstremov. Ogledali si jo bomokar za funkcije več spremenljivk. Če ǐsčemo ekstrem funkcije f(x1, x2, . . . , xn),kjer so spremenljivke vezane z enačbami

g1(x1, x2, . . . , xn) = 0

g2(x1, x2, . . . , xn) = 0

...

gm(x1, x2, . . . , xn) = 0,

potem tvorimo novo funkcijo n+m spremenljivk

F (x1, x2, . . . , xn, λ1, λ2, . . . , λm) = f(x1, x2, . . . , xn)+

+λ1g1(x1, x2, . . . , xn) + λ2g2(x1, x2, . . . , xn) + . . .+ λmgm(x1, x2, . . . , xn)

in poǐsčemo njene stacionarne točke. Dobimo n+m enačb, iz katerih izračunamox1, . . . , xn, λ1, . . . , λm. Če vezani ekstremi obstajajo, potem so doseženi v eniizmed dobljenih točk (x1, x2, . . . , xn).

24