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CONCEPTOSpDE MATEMATICA■ • o o o

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En este número:

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Esta loca, loca, m a t e 711 á tica moderna.

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CONCEPTOSiIMATEMATICA MODERNA ■' DE MATEMATICAler. año ciclo básico y Escuelas Nac. de Comercio

J. B. CosentinoAño I Enero - Febrero - Marzo 1967O. F. M. d© Paglilla N9.1A. M. Ceci

los problemas que presenta la enseñanza de esta su totalidad aplicando teoría de conjuntos, utili-

algebraicas. Se establecen inversas, poniendo de relieve los

Este libro adopta una posición clara frente a disciplina. El programa rcnovodo so interpreta en zándola para introducir nociones básicas sobre operaciones y en él, claramente, los diferencias ontre operaciones directas e distintos métodos de demostración queEl camino seguido es discretamente deductivo, apoyado muchas veces en relaciones numéricas. En todo momento se trata de afianzar la terminología y las notaciones modernas. La forma dialogado ha sido elegida para facilitar la comunicación con el adolescente que se inicia en un lenguajepoco natural para él.

CARTA AL LECTORestructuras

* La trascendental “revolución en la matemática' de nuestro tiempo ha provocado la imperiosa necesidad de analizar minuciosamente los planes y programas de la enseñanza de la asignatura y de resolver adecuadamente los múltiples problemas científicos, psicológicos y educativos que se presentan dondequiera.* Si los matemáticos han de indicar qué se debe enseñar en los distintos niveles y los psicólogos señalarán los problemas referentes a la edad mental del estudiante, corresponde a los docentes la delicada tarca de determinar cómo se desarrollará la labor en el aula.* Sabemos que para responder a esas exigencias los docentes tratan de actualizar sus conocimientos según los nuevos puntos de vista. Pero, muchas veces, lo dilatado del país les impide asistir a los cursos que organizan prestigiosas instituciones oficiales y privadas y, además, pese a algunas contribuciones muy loables, se

por ahora de bibliografía suficiente para su liad a con provecho.* CONCEPTOS nace con la finalidad de llevar información al docente, toda la que pueda y la mejor que consiga. Sus componentes tienen, además del deseo de ser útiles a sus colegas, una larga experiencia en el manejo de alumnos. Asimismo, cuentan con el concurso, valioso y desinteresado, de muchos matemáticos prestigiosos, de nuestro país y del exterior, lo que, sin duda, redundará en beneficio de sus lectores.* Pero eso no basta; CONCEPTOS aspira vínculo entre los docentes, quiere la efectiva colaboración de los mismos y tiene la seguridad de conseguirla. No aspira sólo a tener suscriptores —lo cual es muy importante— sino también a conocer sus ideas, sus necesidades, los resultados de su experiencia personal. Ello será muy valioso porque sabemos que muchos docentes tienen soluciones originales para muchas cuestiones y que su difusión beneficiaría a todos.* CONCEPTOS se complace en señalar la alta categoría del material que ofrece en su primer número. Santaló, Serváis, Sebastiao e Silva, Piene, Walusinshy, Félix y otros son autores que prestigian a cualquier publicación. Debemos agradecerles, pues, que nos hayan autorizado a publicar sus trabajos.

Lo saluda muy atentamente

CONCEPTOS DE MATEMATICA

las caracterizan.

Publicación trimestral Sede: Fernándoz Blanco 2045 - Bs. As.

Director - EditorJOSÉ BANFIEDITORIAL GUADALUPE

O84-6066MANSILLA 3865, Buenos Aires, T. E. 84-1160 y

Asesores: José Babini, Juan I. Blaquicr, Luis A. Santaló.

Redactores: Raúl A. Chiappa, Emilio De Ceceo, Haydée Fernández, Elsa Sab- batticllo, Andrés Valeiras y Cristina Verdaguer de Banfi.

Corresponsales: En el próximo número daremos a conocer el nombre de los mismos.

Suscripción anual: Argentina m$n. 600; Exterior, 4 dólares. Los giros postales o sobro bancos do Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre de

carece ser con-YA ESTAMOS TRABAJANDO PARA SU FUTURO

CONCEPTOS.

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nández Blanco 2045, Buenos Aires y en librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Editorial El Ateneo. Florida 340; Librería del Colegio, Alsina y Bolívar; Librería General de Tomás Pardo, Maipú 618, Buenos Aires.

Para colaboraciones, números atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse directamente al editor.

En el próximo número: Introducción a la lógica matemática; Números en colores; Probabilidades y estadística; Enseñanza de la Geometría.

a ser un

Cuando csic niño sea hombre y posea un automóvil, cuando utilice un tractor o cualquier otra maquinaria para su trabajo, el adelanto de la técnica exigirá para entonces nuevos combustibles, lubricantes y productos químicos derivados del petróleo, que paeden ser totalmente desconocidos hoyAdelantándose a las necesidades del

Idedicados a esas tarcas, que significan una cuantiosa inversión antotl de casi cien millones de dólares.Este intenso esfuerzo empresaao y cicntíiico, mira al futuro de los niños de hoy, extendiendo los beneficios de la investigación de SHELL a todos los países en que actúan sus tj*tprc- sas asociadas

mañana, la organización mundial de SHELL estudia y experimenta cons cantónente con miles de elementos y nuevos procesos, para estar a tono con las exigencias del progreso En 21 centros de investigación diseminados en varios países, unos 6.00J) técnicos y hombres de ciencia de la organización SHELL se encuentran

;*

Registro do la Propiedad Intelectual: En trámite.

i* ♦l Impreso en COGTAL

Rivadavia 767, CapitalEl DirectorAL SERVICIO DEL PAISMEDIO SIGLO DE SUPERACION

32

PROBLEMA TICA DE HOYLA SEMBLANZA

D reparación de los docentesStariccoD KAY PIENE A Noruega)] \ i

Lo que ahora expondré no es ni la nión ni la intersección de lodos los elementos de los conjuntos-respuestas. Soy el único responsable, aunque naturalmente he sido influido por las respuestas.

En primer término, algunas observaciones generales:

En algunos países —Suecia es uno— la palabra matemática comprende aritmética y matemática en el antiguo significado de Ja palabra. 7 + S ó 7 . S son en ellos parte de la matemática. Por mi parte, prefiero usar ambas palabras: matemática, cuando tenemos demostraciones y letras además de números; aritmética, cuando sólo tenemos números y reglas para las operaciones que definimos entre ellos. (Me siento tentado por el antiguo proverbio “Die Franzosen sagen pain, aber es ist doch Brot” para sustituir por los nombrados: suceso, matemática y aritmética).

El concepto de docente de matemática dista de ser único. Debemos conocer el tipo de escuela en que enseña.

En muchos países encontramos un sistema escolar con distintos niveles. Primero,

nivel de escuela primaria o elemental, con aritmética, pero donde puede comenzar la matemática. Mirando hacia atrás liamos esta tendencia: la matemática se está enseñando cada vez más en niveles más elementales. Lo que hace un siglo se enseñaba en las universidades, se enseña hoy en las escuelas secundarias.

De acuerdo con estos principios, hallamos ahora que, en muchos países, la matemática “real” comienza ya en la escuela primaria. Hoy, todos los futuros maestros de escuela primaria reciben durante su formación alguna instrucción matemática (y aritmética), pero esta situación les presentará nuevas exigencias.

En los primeros años de la escuela primaria debemos tener maestros que enseñen tocias las materias, pero más adelante se debe buscar la especialización. No todo

llace un tiempo encontré a un viejo amigo, maestro de matemática. Años atrás fuimos compañeros de universidad. Ahora es un maestro muy capaz. Me dijo “Veo que usted propicia un nuevo programa para la enseñanza de la matemática escolar”. “Sí”, respondí. “Si ese programa se introduce en nuestra escuela, yo ya no podré enseñar matemática”.

Creo que esta triste historia nos indica la importancia de la formación del docente de matemática.

reu-Sus cursos se caracterizaron por la claridad del esquema de ideas de sus partes sustantivas; por eso, suprimía las definiciones y tecnicismos superíluos que podían oscu-

la motivación y el objetivo, de modo luminosidad provenía de una clara

‘

recer que suinterconexión de las ideas. Se caracterizaban, además —lo que constituía un rasgo predominante de su personalidad — porque

estructura lograba hábilmente poner correspondencia diversos capítulos de la

matemática moderna y de la física actual, por ejemplo, espacios de Riemann y teoría de Hamilton, análisis funcional y mecánica cuántica, representación de grupos y partículas elementales. Esto significa un apreciable aporte de originalidad en nuestro tiempo, en el cual la física teórica plantea circunstancias que sólo en casos excepcionales se han podido resolver felizmente.

en suen

Cuando se me asignó la honrosa tarea de preparar un informe para esta conferencia sobre la preparación de los docentes de matemática, me di cuenta que debía basar mis comentarios sobre la información de los diversos países representados en el I.C.M.I. Por otra parte, también me di cuenta que lo que necesitamos no es información sobre cómo se preparan hoy los maestros. En verdad, nos interesa más saber cómo —en opinión de los expertos de esos países— debe ser organizada dicha preparación. Envié un cuestionario a las diversas subcomisiones nacionales de I. C. M. I. y obtuve respuestas de alrededor de una docena de países. Muchas eran largas y completas y dieron muchas ideas, aunque pudo acentuarse más el “aspecto ideal futuro”. Obtuve, además, valiosa inofrmación de otras fuentes. Por rara coincidencia, W.C.O.T.P. y F. I. P. E. S. O. (Confederación Mundial de Organizaciones de la Profesión Docente y Federación Internacional de Profesores de Enseñanza Secundaria Oficial) organizaron ese verano en Estocolmo congresos internacionales de maestros. Uno de los temas allí discutidos fue la Preparación de los Docentes Secundarios. He leido y empleado los informes de los distintos países y el resu men y las recomendaciones del Congreso.

'

El prestigio y la simpatía que el profesor Jorge P. Staricco había sabido conquistar entre colegas y amigos explican la doloro- sa repercusión que su fallecimiento ha provocado en nuestros medios científicos y educativos.

Infortunadamente, Staricco no tuvo tiempo o, quizás, no tuvo predisposición para llevar al artículo o al libro los fecundos resultados de su quehacer intelectual; es de esperar que sus ideas fructifiquen en los aportes de los numerosos discípulos formados por él.

Otro aspecto de la personalidad del amigo desaparecido merece ser destacada: su inmensa capacidad para comprender los problemas individuales y el desinterés de su actuación, mostrada elocuentemente cuando en 1955 se desempeñó como Interventor en la Dirección General de Enseñanza Secundaria, Normal, Especial y Superior y defendió ardorosamente el régimen de concursos jDara las designaciones en la enseñanza media argentina como la única manera de que la educación de los adolescentes estuviera a cargo de sus maestros más capaces.

Nuestro país ha perdido, pues, a uno de sus educadores y hombre de ciencia de mayor jerarquía.

Nacido en Buenos Aires en 1915, su vida se extinguió en 1966 luego de haber desarrollado intensísima actividad en la enseñanza; cursos de física teórica y mecánica cuántica en la Universidad de La Plata; de mecánica racional y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, en la Facultad de Ingeniería, y de análisis matemático para físicos y de física para matemáti-

la Facultad de Ciencias, de la Uni-

unme

encon-’

eos, enversidad de Buenos Aires; de análisis matemático, de teoría mecánica de circuitos y de electromagnetismo, en la Escuela Superior Técnica, y muchos otros, supieron del profesor incomparable cuyo influjo es difícil olvidar.

*

Porque, en efecto, Staricco era el docente nato, capaz de intuir las dificultades en la captación de los conceptos; por eso, su trato con los alumnos se alejaba del frío esquema tradicional para transformarse en fecundo intercambio de ideas.

I Q Informe presentado en el I.C.M.I. (Congreso Internacional de Matemáticos), Estocolmo, año 1962. (N. de R.)

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En primer término, está perfectamente claro que la cantidad de "qué” diferirá de mi nivel escolar a otro.

Hay otra cuestión no tan clara. En la mayoría de los países, los cursos académicos se dictan en universidades; en otros hay instituciones especiales para futuros maestros (Polonia).

Relativamente, en la actualidad

dictan cursillos, pero sólo uno, dos o tres exámenes abarcan un grupo de cursos.

Para nuestros problemas principales, creo que carece de sentido discutir cuál de estos sistemas es mejor. Como modelo, podemos considerar una organización universitaria donde sea posible seguir cursos de matemática a distinto nivel. El primer nivel A conrrespondería al nivel I para las escuelas, el segundo nivel B al nivel II y el tercer nivel C al nivel III. Supongo que los cursos de los niveles A y B tendrán exámenes que serán evaluados y que el nivel C comprenderá algún trabajo más largo que requiera días (o meses), vale decir, la redacción de alguna tesis o.la resolución de un problema extenso, o “mostrar la relación entre los resultados obtenidos por diversos autores”. (Informe holandés).

En todos los países! para obtener un título es necesario haber seguido cierto número de cursos y aprobado los exámenes correspondientes. Estos cursos comprenden sólo matemáticas, y uno o más cursos de otras materias.

Estudiar tan sólo matemática sería demasiado unilateral. Para el nivel C sugeriría una materia más, que aplicara matemática (física, biología, sociología, ideología), pero en este caso me gustaría dar a los alumnos libertad absoluta, y, por ejemplo, permitir que se eligiera matemática y una lengua extranjera, o matemática y filosofía, etcétera.

En el nivel B, con matemática como materia de menor importancia, sería posible seguir otra materia con más intensidad (¿física?) u otras dos de importancia equivalente.

Los estudiantes que se examinan en matemática en el nivel A tendrán sus intereses principales en otros campos. No es necesario discutir la organización de estos estudios.

tro. Pero podemos dar algunas condiciones, más o menos necesarias, que dividiré en cuatro grupos.

1. El maestro de matemática debe te- cierta educación general. No podemos

tener maestros con buenos conocimientos de matemática, pero que fuera de esta disciplina sean bastante ignorantes. Debe co

dos lenguas extranjeras, historia, ciencias sociales, políticas, por lo nos un arte, y estar preparado para partir los intereses de sus alumnos fuera de la matemática, cualesquiera sean.

Debe poderse dar esta educación general en la escuela secundaria, pero en la universidad el alumno debe tener la mente abierta y estar deseoso de ampliar sus conocimientos en estas y otras disciplinas, aunque yo no rios de educación general.

Sólo una excepción: si estos cursos no se dieran en la escuela secundaria, incluiría

el primer año universitario un curso de filosofía, especialmente de teoría del conocimiento, y otro de psicología general, que también podría proporcionar una visión de métodos de aprendizaje y estudio en una universidad.

2. Los dos grupos siguientes deben referirse a qué material enseñar y cómo enseñarlo. Podemos también usar nombres: formación académica y pedagógica. Ambos son necesarios. Primeramente, es obsoluta- mente necesario que el docente de matemática conozca no sólo el material que presenta a sus propios alumnos sino que su conocimiento sea más profundo.

Un sueco bien conocido, que representó por años a la matemática en el Ministerio de Educación de su país, dijo el otro día al retirarse de sus funciones: “Un maestro no sólo debe ser el mejor de su clase, debe ser soberano en el conocimiento de lo que enseña”. Debe ser capaz de contestar las preguntas de sus alumnos que apunten “más alto”, y también debe conocer los fundamentos de su materia, las estructuras; debe conocer los métodos de trabajo de la matemática, tener un conocimiento seguro de elementos tales como definiciones, postulados, teoremas, problemas, deducción y demostraciones, etcétera.

Comprendemos, pues, por qué gran parte de la formación debe estar dedicada a cursos académicos, especialmente desde que la matemática tiene sólida posición en las escuelas de la mayoría de los países.

maestro primario es capaz de enseñar matemática aún en ese nivel. Yo pienso que Dinamarca ha logrado una buena solución haciendo que en su programa de formación de maestros de escuela primaria haya una materia electiva. Los maestros a quienes gusta la matemática, pueden elegirla. También han desarrollado un buen plan para la matemática, que consta de tres partes:

1. Partes del plan de estudio de la escuela secundaria.

2. “Visión profesional y conocimiento más profundo” (lógica, teoría de conjuntos, etc.).

3. Un tratamiento, más profundo de algunos capítulos del programa escolar primario.

Pero no discutiré más la formación de maestros de escuela primaria. Volvamos a nuestro modelo del sistema escolar en los distintos países.

El nivel secundario, en su mayoría, tiene primero una sección más general, y luego una más especializada (gimnasio, liceo, colegio, etc.), desembocando en la universidad al mismo tiempo que da la educación general más elevada en el respectivo país.

La escuela secundaria superior, también en la mayoría de los países, está dividida en ramas —humanística, clásica, moderna, ciencias naturales, matemática, comercial, técnica, etc., con diferentes exigencia en matemática.

Para simplificar, supongo este modelo de escuela secundaria:

1. Un primer nivel indiviso (11 ó 12 -15 años).

2. Un segundo nivel (15 -18 ó 19 años).a) Con una rama especializada en

matemática.b) Y otras ramas que tienen matemá

tica como materia de menos importancia.

Es claro que estos tres niveles escolares deben, o pueden, tener diferentes maestros de matemática.

Nuestro objetivo final es dar a todos los países “buenos” docentes de matemática. No creo que sea fácil definir a un “buen” maestro-no puede hallarse una definición aceptable para todos. Por otra parte, no es un concepto indefinido. Tenemos, por lo menos, alguna idea de lo que queremos significar. Sabemos que algunos maestros son mejores que otros. Por tanto, también es imposible dar suficientes condiciones para la formación y educación de un buen maes-

ner

da vez menos los estudiantes universitarios de matemática que se dedican a la enseñanza. Los docentes pueden tener algunas necesidades específicas. Por tanto, es comprensible que algunos países hayan creado instituciones especiales para la formación de futuros maestros. Pero, yo creo que las personas que se dedican a la investigación o a la industria tienen más o menos las mismas necesidades que los futuros maestros; ellos también necesitan la matemática pura, y además no creo prudente obligar a los alumnos de apenas 18 años a elegir tro la docencia y otra carrera matemática.

Es muy importante que los cursos académicos sean dictados por matemáticos que hayan trabajado en investigación y que sean verdaderos científicos, y, en lo posible, que conozcan los problemas del aula. En antigüedad, este era el caso a menudo; dios profesores universitarios (como Weiers- trass) comenzaron sus carreras en la escuela secundaria.

nocer una ome-

com-

incluiría cursos universita-

en-en

mu-

Sería una solución que el tratamiento científico del material de la asignatura se suplementara con comentarios prácticos de un maestro de escuela experimentado y capaz de indicar la mejor manera de usar el material en el aula (como, por ejemplo, la introducción de los números positivos y negativos, o de los números complejos).

Pueden mantenerse algunos de los cursos académicos y pedagógicos. Italia tiene cursos basados en la obra de Klein, Matemática Elemental desde un punto de vista superior y en la de Enríquez, Enciclopedia de la Matemática Elemental. En otros países se dictan los llamados cursos fundamentales, que dan la preparación de los planes escolares. Maestros de escuela que al mismo tiempo sean matemáticos son los más aptos para dictarlos; pero en este punto cada país debo hallar su propia solución.

En algunos países hay un tipo de sistema atómico para los cursos académicos, c on muchos cursillos, cada uno de los cuales finaliza con un examen (en la mayoría de los casos escrito). En ortos, también se

!I

Dije antes que a cada curso de matemática escolar debe corresponder un curso mayor en la universidad. Acaso sea ir demasiado lejos. Si un maestro ha seguido un curso sólido sobre teoría de matrices debe poder enseñar teoría de determinantes sin un curso universitario sobre el tema. Es importante que, por lo menos, el maestro haya tenido un curso completo en una disciplina matemática en donde pueda ver todo el sistema con definiciones, axiomas, teoremas, deducciones, demostraciones, etc. Pero algunos cursos escolares son tan espe-

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I

:

.dominio. Durante los estudios se deben proponer y discutir ejercicios. ¡Sin ejercicios no hay estudio efectivo!

Hoy tenemos varias dificultades: D) escasez de docentes de matemática para las escuelas; 2,?) la competencia de la industria, computadoras, etc., se lleva los mejores matemáticos pagándoles más; 3^) los gramas escolares modernizados nuevas exigencias.

En algunos países se han introducido cursos de repaso en el verano o, también, por las tardes durante el año escolar, o por correspondencia.

El profesor O. Ore dijo en una conferen- “Una formación universitaria de 20

años de antigüedad es demasiado vieja sino se suplementa y

En EE.UU. se han preparado, o se prepararán, películas sobre probabilidades, cálculo diferencial, producidos tros de matemáticas.

Hace poco, un inteligente maestro detemática dijo: “¡Oh!, si me dieran permisopara volver a la universidad por medio

~ ?> ano .

también algunos más. No es fácil 3 El campo siguiente es la formación pedagógica o profesional, los cursos de “cómo”. Como ustedes saben, no siempre han sido parte de la formación de los docentes de matemáticas y, aún hoy, este aspecto de la formación parece no ser obligatorio en todos los países.

Estoy absolutamente convencido de que debe serlo. Muy pocos son maestros “natos”, pero la mayoría de los maestros puede sacar provecho de las instrucciones adecuadas de una formación profesional, y puede adquirir una visión de los problemas de la matemática escolar elemental para los cuales no le basta la sabiduría académica. Más adelante, deben estudiar distintos libros de texto (también de otros países), discutir exámenes y “tests” usados en matemática, el uso de tablas e instrumentos, el trabajo escolar en el hogar y muchos otros problemas que se deben discutir antes de comenzar la verdadera enseñanza. Además de los cursos metodológicos, los estudiantes deben conocer las leyes de la escuela y las reglas del país, teoría educativa, historia de la educación, psicología educativa (aprendizaje, desarrollo juvenil, inteligencia, etc.), e higiene, didáctica general, elementos de sociología, educación comparada, ayudas audiovisuales, instrucción programada. Además, deben observar la enseñanza en clases de la escuela y enseñar allí, siendo al final inspeccionados y calificados con una nota, grado o certificado que indique su habilidad para enseñar.

Una instrucción de este tipo se da en la mayoría de los casos en instituciones especiales que también pueden formar parte de la universidad. Los maestros de estas instituciones deben, naturalmente, tener experiencia en las escuelas; deben ser, o haber sido, maestros de escuela con sólida base en su materia.

Hemos encontrado que los cursos tienen diferente longitud —un semestre un año o más. Encontramos un curso de 2 años en el que la instrucción profesional está combinada con la enseñanza. Es un período de prueba, en el que se le paga al joven maestro. En este caso, la formación académica, se supone, habrá terminado antes. En otros casos, la formación académica y la profesional se desarrollan paralelamente, lo que puede ser sagaz. Por otro lado, considero que lo mejor es que las escuelas ob-

nar, vplanificarlos. Algunos estudiantes aprenden rápido, otros con lentitud. Unos siguen dos materias al mismo tiempo, otros trabajan a la par que estudian. Me atrevo a decir que

maestros del nivel 13 es necesario, por

cíficos, tan distintos de otros, que es necesario un curso equivalente en la universidad. Para poder enseñar cálculo diferencial en la escuela, ciertamente es necesario un curso de cálculo diferencial en la universidad. Esta vale también para probabilidad y estadística.

Creo haber mencionado un curso que debe ser obligatorio para todos los niveles — un curso sobre estructura de la matemática, los métodos de trabajo, etc. He visto un libro americano, que dará alguna idea sobre mi pensamiento, cuyos capítulos son los siguientes: Lenguaje, Símbolos, Juicios Compuestos, Argumentos y demostraciones, El Método Axiomático, Introducción a Conjuntos, Lógica y Conjuntos, La estructura de los Conjuntos, Conjuntos de Números, Condiciones sobre Conjuntos, Resolución de Problemas, Relaciones, Funciones, Contar, Probabilidad.

Algunos de estos capítulos pueden ser tratados luego en cursos especiales, pero un curso de este tipo debe ser muy buena introducción para el estudio de la matemática, y también ha de dar al estudiante ideas que debe tener si ha de ser buen maestro. Todos los futuros docentes de matemática debieran seguir un curso fundamental semejante y todos debieran seguir un curso de historia de la matemática.

Para los maestros del nivel A agregaría dos cursos, uno de geometría y otro de álgebra, que dieran los conocimientos para la enseñanza elemental en esas disciplinas. No debiera ser necesario dar planes detallados para los mismos. En el curso de álgebra, debemos incluir conceptos básicos de conjunto, frases, sentencias, ecuaciones, desigualdades, sistemas numéricos (racional, real, complejo), valores absolutos, conjuntos de verdad, gráficos, etc. En el curso de geometría, figuras definidas como conjuntos de puntos, la deducción y la teoría deductiva en geometría, medida, sistemas de coordenadas, transformaciones, intuición geométrica, vectores, etc. Lo que importa es dar a los docentes de matemática del primer nivel un conocimiento sólido y una visión de la materia que les permita ser buenos maestros. Estos cursos no deben ser una mera repetición de los similares de la escuela secundaria, sino que deben profundizar y elevarse más, y ser más ricos y más amplios.

Para un maestro del nivel B daría los tres mismos cursos que acabo de mencio-

paralo menos, un año de intenso estudio de la matemática, probablemente un año y medio.

propresentan

Estos estudios deben comprender un curso de álgebra lineal —conjuntos, grupos, anillos, dominios integrales, cuerpos de números reales y complejos, ecuaciones lineales, determinantes y matrices, serían algunos de sus capítulos. Luego, un curso de cálculo diferencial que diera especialmente las ideas básicas de función, sucesiones y series, límites, derivación, las dos integrales y algunas ecuaciones diferenciales simples. Un curso de geometría debe abarcar vectores, topología, transformaciones, fundamentos, quizás algo de geometría proyectiva y otras disciplinas.

Además, debiera poderse seguir algunos cursos electivos, por ejemplo, ecuaciones, diferenciales parciales, probabilidad y estadística, teoría de grupos, teoría elemental de los números, análisis numérico, teoría de la medida e integrales, mecánica racional, programación lineal, teoría de juegos, etc.

Para todos los maestros de nivel C debe ser obligatorio un curso de estadística y probabilidad. Aquí, debe dictarse también

de análisis matemático, funciones analíticas, cálculo diferencial avanzado ecuaciones diferenciales, funciones de una variable compleja, etc. Luego, un curso de teoría de números y quizás uno de álgebra; después, estudios en un campo más bien amplio, seleccionado por el mismo estudiante, y del cual tome “su tarea especial” — tesis, problemas, o lo que sea. Todos estos cursos deben ser fuertes c intensos, dictados por verdaderos científicos y matemáticos, no importa si en la universidad o en una institución especial para futuros maestros.

Presumo naturalmente que ninguna clase es sólo un recitado de un libro de texto. Las clases deben dar indicios, ideas e impulsos. Debe darse al estudiante la oportunidad de hacer comentarios v formular preguntas. Los exámenes no sólo deben solicitar la devolución de lo que ha sido mecánicamente memorizado sino que deben exigir una comprensión independiente y un

cia:

renueva.

X>ara maes-

ma-

Tenemos aquí un x^roblema muy impor- tante. ¡Si no x^odemos renovar la formación tic los docentes de matemática de, digamos, más de 30 años de edad, entonces no podemos reformar la enseñanza de la matemática escolar!

El informe de F.I.P.E.S.O. dice que prácticamente en todos los países los maestros en actividad han sentido la necesidad de cursos de repaso x^ara mantenerse al día con el reciente desarrollo de les canqpos académico y isagógico. La asistencia es optativa y los cursos son organizados, a menudo, por las asociaciones de docentes.

La conclusión del informe de F.I.P.E.S.O.

un curso

es esta:La formación de los maestros en activi

dad es un campo donde, en todos los x>aíses, debe considerarse indisx)ensable una íntima cooperación entre los maestros y sus organizaciones, por un lado, y las autoridades, por el otro. Esx)eremos que en un futuro no muy distante se considere la formación eficiente de los maestros en actividad, generosamente ayudada por el estado, como condición esencial para el mejoramiento del sistema escolar de un x>aís.

En las recomendaciones se dijo:Los maestros que asistan a tales cursos

deberían recibir subsidios adecuados x>ara atender sus gastos.

f

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2. Deben ser abiertos y libres, comprender a los alumnos y sus problemas con respecto a la matemática y, hasta cierto punto, también los ajenos a la matemática.

3. Muchos docentes de matemática necesitan un campo de conocimientos más amplio, más adaptado a los programas escolares, y también un conocimiento más profundó. Esto deberán proporcionarlo maestros que no sólo informen sino que al mismo tiempo inspiren a sus alumnos para el trabajo activo e independiente y la invención creadora, les den coraje para usar su imaginación y, en conjunto, les enseñen de la misma manera que esos estudiantes emplearán más tarde como maestros en sus propias clases.

4. La formación profesional pedagógica debe ser obligatoria en todos los países. Puede ser mejorada en muchos casos, especialmente discutiendo más de lo que se discute hoy todos los problemas que surjan en las clases de matemática de las escuelas. Las instituciones pedagógicas deben comenzar un trabajo de investigación con experiencias que puedan señalar los mejores métodos de enseñanza, y estudiando otros problemas de la instrucción matemática.

tengan maestros —aún maestros estudiantes— con un grado académico que puedan demostrar realmente que saben matemática.

Normalmente, debiera bastar un año del curso profesional o pedagógico. Si la duración es sólo de un semestre, todos los maestros jóvenes debieran tener consejeros, maestros mayores que puedan ayudarlos y que también, si hace falta, junto al director y/o un inspector evalúen su trabajo en la escuela para, si se desea, corregir la primera clasificación de habilidad docente.

Las instituciones pedagógicas serán, ciertamente, ampliadas en el futuro y tendrán nuevas tareas. No sólo deben formar a los futuros maestros sino también realizar trabajos de investigación tratando de encontrar los mejores métodos de enseñanza, de evaluar la instrucción programada, etc. Tratar de averiguar por qué algunos niños tienen dificultades en matemática, tratar de averiguar cómo aprenden los niños los conceptos matemáticos, a qué edad comprenden una demostración, y muchos otros problemas en los que la psicología y la matemática deben cooperar. Debe poder construirse una enseñanza de la matemática mucho mejor organizada y más efectiva que la que tenemos hoy.

4. Como ya se estableció, hay cuatro condiciones necesarias para ser buen maestro. El cuarto y último grupo es el más difícil de definir. ITay allí atributos y condiciones personales que no pueden ser fácilmente provocados o mejorados por la instrucción o la enseñanza. Lo que pienso es lo siguiente: El buen maestro debe comprender a los estudiantes, ser capaz de seguirlos, estar en contacto con ellos y ser abierto y libre. Son éstos, en gran parte, dones naturales, pero he visto estudiantes que han cambiado durante su curso profesional, y creo que puede hacerse más en ese sentido. Necesitamos docentes de matemática abiertos, libres y comprensivos, que

no teman ni al libro de texto ni a los alumnos.

En síntesis, he dicho lo siguiente:1. Los buenos docentes de matemática

no sólo deben conocer el contenido de su materia, sino que deben tener una preparación general más amplia en ciencias, humanidades y en las relaciones de la vida diaria.

¿Qué es la matemática moderna7A. B. EVENSON

(Canadá)

Hoy los educadores discuten mucho sobre matemática moderna. Acaso “matemá- lica moderna sea una expresión infortunada debido a sus connotaciones. Algunos pueden sentir que ella implica que antes la matemática no fue nunca moderna. Otros pueden inferir que la matemática tradicional no tiene ya nada que ofrecer. Ninguno de los dos puntos de vista está justificado. Generalizando: la matemática moderna es la matemática que se está desarrollando y aplicando en la actualidad, con especial significado en la segunda mitad del siglo AA.

Nuestro objetivo es presentar el punto de vista de la matemática moderna. Discutiremos, en primer término, unas pocas de sus características generales; para un esclarecimiento posterior, examinaremos algunas de sus características específicas y luego las relacionaremos, de ral, con el programa escolar.

verdad es útil para todos los fines. Aprendimos, por ejemplo, que las rectas paralelas no se cortan, y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180?. En realidad, la verdad de estos juicios depende de los postulados que aceptemos. En otros términos, los teoremas que desarrollemos dependen de los acuerdos hechos ini- cialmente. Estos incluyen ciertos términos no definidos y ciertos postulados.

Quizás otra razón para el desarrollo de nociones estereotipadas sobre la matemática sea el concepto que muchos tienen sobre la naturaleza de las definiciones. Por alguna razón, la mayoría de los estudiantes cree que cada palabra puede ser definida, y no hay duda que los perturbará el saber que eso no es verdad. Al construir un sistema deductivo es necesario seleccionar un número de conceptos que no se definen, tales como “punto” y “línea”, y definir otros conceptos mediante ellos.

La demostración deductiva, cuya importancia es mayor en la nueva matemática, se basa en términos no definidos y en postulados. Un sistema deductivo consiste en términos no definidos, postulados y teoremas que se demuestran en base a los postulados mediante la aplicación de las leyes de la lógica. Si partimos de nuevos y diferentes postulados, podemos formular nuevos teoremas.

A no dudarlo, muchos creen que todo el progreso científico se basa en la evidencia experimental y en la observación. Dentro de ciertos límites, esto es verdad. Sin embargo, muchas teorías científicas se originaron en métodos postulacionales. Así surgió, por ejemplo, la teoría molecular, y ganó adeptos al predecir satisfactoriamente muchos fenómenos físicos. No por esto es nuestro deseo concluir que la evidencia experimental y la observación caiecen de importancia en el desarrollo científico. Deseamos señalar, simplemente, que una dependencia completa de los métodos empíricos impondría serias limitaciones al progreso científico.

La matemática moderna se aleja del mun-

!

i

manera gene-

Los futuros docentes de matemática deben dedicar suficiente tiempo a la práctica de la enseñanza (tanto observaciones como esseñanza), y en sus primeros años de maestros deben recibir ayuda y guía de maestros mayores experimentados. Luego de ellos, se les debe asignar una clasificación o grado final por su aptitud para la enseñanza.

Podemos tener dificultades en los 5 ó 10 primeros años: tenemos muy pocos maestros y debemos renovar la formación de los maestros mayores de manera de capacitarlos para enseñar los nuevos programas. Soy optimista —digo que en 10 años a lo sumo tendremos un número suficiente

de buenos maestros de matemática bien preparados. Será necesario que haya cursos de repaso para maestros en actividad. Recordemos que en este momento en Dinamarca el 50 por ciento de todos los docentes de matemática siguió un curso de verano de matemática moderna de 14 días. Debe ser tarea del I. C. M. I. ver cómo organizar tales cursos de la manera más efectiva.

ALGUNAS CARACTERISTICAS GENERALES

El papel de los postulados

En el pasado, la matemática ha sido a menudo considerada como una asignatura- instrumento. Hoy se está haciendo evidente que la matemática es mucho más que eso, aunque todavía la mayoría se aferre al concepto más estrecho de la asignatura. Este punto de vista puede conducirnos a olvidar que la matemática es obra del hombre y, por tanto, no es ni infalible ni inmutable. Más aún, puede sugerirnos una razón por la cual continuamos confiando en ideas matemáticas descubiertas hace siglos, sin reconocer la necesidad de buscar conceptos nuevos. Infortunadamente, también oscurece la verdadera potencia y belleza de la disciplina.

Acaso nos hayan enseñado que la matemática es una ciencia estática cuya eterna

A. B. Evcnson, Superintendente de Educación secundaria de Albcrta, Canadá, publicó este trabajo como prólogo de su obra Módem Mathematics. (N. de R.)

10 11

I

obstante, puede usarse ventajosamente la noción o el concepto de conjunto para aclarar ytales como los de número cardinal, variable y relación. Cualquier teoría de conjuntos que se incluya en un programa de escuela secundaria debiera ser de naturaleza elemental, por ejemplo, el álgebra de juntos.

ALGUNAS CARACTERISTICAS ESPECIFICAS DE LA

MATEMATICA MODERNA RELACION CON UN PROGRAMA

ESCOLAR DE MATEMATICA

Unificación c integración de las ideas y procedimientos matemáticos.

Encontraremos que algunos de los modelos a que nos hemos referido son comunes a la aritmética, el álgebra y la geometría, lo que sugiere una más íntima integración entre ellas. En realidad, en un enfoque moderno del tema, el tratamiento separado de las distintas ramas de la matemática resulta más difícil e incluso no aconsejable.El acento sobre la estructura matemática implica muchos cambios. Sugiere que deben destacarse en forma creciente aquellos principios básicos y modelos inherentes a los sistemas de números y de numeración y a las propiedades de las operaciones de las que se extraen generalizaciones. Todos estos están integrados por conceptos uni- ficadores como la noción de conjunto, la noción de sistemas de números, la noción de condición matemática y la noción de relación.

do físico aunque ofrezca muchas aplicaciones, nuevas y prácticas. Vale decir, la matemática se está volviendo más abstracta. Se desarrolla bastante matemática sin el objetivo de una aplicación específica. A ellos esto parecerá un tipo inútil de actividad, pero, por raro que parezca, a menudo es productivo. Ilay ejemplos en los cuales un gran científico como Einstein recoge resultados matemáticos obtenidos sin pensar en su aplicación y los usa para formular una nueva teoría física.

En síntesis, podemos decir que se confía menos en lo que ha sido considerado como verdad evidente por sí misma, y que se da más importancia a la investigación de sistemas basados en postulados. Dos características del pensamiento moderno, especialmente en matemática superior, son el abandono de la idea de la existencia de un conjunto de axiomas o postulados evidentes por sí mismos, y la aceptación de una dependencia creciente de los métodos postu- lacionales.

derna ha tenido considerable influencia sobre nuestro vocabulario cotidiano. Muchas palabras que hoy aceptamos y usamos no existían hace algunos años, por ejemplo, transistores, orlon, pliofilm, borazón y sputnik. Podría esperarse que también en matemática se desarrolle una nueva terminología. En la matemática moderna se observa que muchas definiciones familiares han sido reemplazadas por otras nuevas que son más precisas. También se introdujeron algunos nuevos signos y notaciones.

En la nueva matemática debe dedicarse algún tiempo para familiarizarse con lo que podemos llamar su lenguaje. Muchos matemáticos creen que el progreso del estudiante en esta materia a menudo se ve demorado por su inhabilidad para expresarse exacta y concisamente. En muchos casos, no se trata de una falla del estudiante sino

pre-

En el pasado, muchas definiciones no eran precisas. Esto se debía en parte al hecho de que la matemática tradicional destacaba el uso de reglas en lugar de la formación de conceptos. En la matemática moderna se presta mayor atención a la precisión de los juicios; no hablamos de una “línea” cuando nos referimos a un ‘segmento lineal”. No decimos que “la línea A13 tiene 6 metros” cuando queremos decir que “la medida del segmento lineal AB es de 6 metros”. No definimos un ángulo como “la cantidad de giro o rotación en un plano alrededor de un punto” sino como “una figura o configuración formada por dos rayos con un punto terminal común”. En lugar de definir la raíz cuadrada como “uno de los dos factores iguales de un número” decimos que la raíz cuadrada de un número x, x ^ 0 es el número no negativo a tal que a2 = x. En lugar de definir el valor absoluto como el valor de un número con signo, decimos que el valor absoluto de x, lo que se escribe |ac|, es igual a x si x 0, o a — x si x < 0.

Distinción entre objetos y nombres de objetos

Otra característica de la matemática moderna es la cuidadosa distinción que se hace entre los objetos y sus nombres. De

unificar otros conceptos matemáticosEN

mu-

COll-

Lógica y metodología

La naturaleza de un sistema lógico es la clave para la metodología de la matemática moderna. La demostración matemática exige un tipo especial de razonamiento denominado deducción lógica. El matemático no dice, y siente que no puede hacerlo, que esto o aquello es verdad, sino que comienza una demostración por algún juicio tal como: “Si p es verdad, luego q es verdad”. De aquí, la demostración se prosigue mediante la lógica.

Por tanto, la lógica es un elemento importante porque rige el modelo de demostración deductiva mediante el cual se desarrolla la matemática. El uso de la lógica en matemática no es nuevo, pero durante los últimos 60 ó 70 años se ha acentuado el análisis de la estructura lógica de toda la matemática.

i

.

más bien de una falla de contenidos parados con descuido.

LA NOCION O EL CONCEPTO DE CONJUNTO

Ultimamente salieron a relucir varios sectores nuevos en la matemática. Los llamamos nuevos porque no habían sido incluidos en los programas escolares, no por haber sido desarrollados el año o el mes pasado. En realidad, el estudio de algunos “nuevos” sectores de la matemática comenzó hace muchos años. Por ejemplo, el álgebra de conjuntos se atribuye a George Boole, que falleció en 1S64. La primera publicación sobre teoría de juegos apareció en 192S, en un artículo de John von Neu- mann. La teoría de juegos ha hallado muchas aplicaciones importantes en los negocios y en la estrategia militar durante los últimos diez años. A fines del siglo pasado, David I-Iilbert, matemático alemán, corrigió serias lagunas en la geometría desarrollada por Euclides hace 2000 años.

Algunos matemáticos creen que la innovación singular más significativa en los últimos cien años es la teoría de conjuntos, cuyo desarrollo se debe en gran parte a otro matemático alemán, Georg Cantor (1845-1918). En su mayor parte, la teoría de conjuntos es demasiado avanzada para la matemática de escuela secundaria. No

Continuidadl y experiencia

El programa total de matemática debe cuidar la continuidad de la experiencia y la sucesión de los tópicos. Por ejemplo, el concepto de número no puede circunscribirse a ciertos cursos. Debe ser un tema que se desenvuelva gradualmente, paso a paso, del primer al último curso. En la mayoría de los programas escolares de matemática hay falta de continuidad, lo que es especialmente evidente en los últimos años de la enseñanza secundaria. Es difícil establecer continuidad cuando se coloca a la geometría en un compartimiento y al álgebra en otro sin mostrar mayor preocupación por el orden en que se enseñan. Al hacer esto se sabotea el desarrollo lógico y sucesivo de los temas.

Definiciones, terminología y notación más precisas.

Todo el mundo sabe que la ciencia mo-

Estructura matemática o modelo

Ciertas ideas fundamentales de la matemática ocurren repetidas veces. Estas originan estructuras básicas o modelos que ayudan a integrar o fortalecer otras ideas matemáticas. Puede decirse que el desarrollo de la nueva matemática es esencialmente una búsqueda de nuevos modelos. Hemos discutido brevemente la demostración deductiva. Al estudiar métodos de demostración se encontrarán modelos consistentes que resultarán útiles. Puede probarse que los sistemas numéricos tienen una estructura definida que facilita su uso en la resolución de problemas; todas las relaciones tienen un modelo común. En toda la matemática, el descubrimiento de modelos comunes facilita el aprendizaje y la aplicación. En la nueva matemática estas características se destacan; en lá tradicional o clásica tenían mucho menor significado.

f

12 13

te de las personas al conocer la matemática moderna. ¿Por que hay una revolución en la matemática? ¿Por qué las nuevas ideas para el mejoramiento de la matemática no se presentaron gradualmente? ¿Poiqué se presta tanta atención ahora matemática escolar?

Hay muchas razones para la evolución de la matemática:

1?. En los últimos años, sus aplicaciones han aumentado considerablemente. Su uso ha penetrado no sólo en la ciencia física sino también en las biológicas y sociales y en todas las ramas de la tecnología, del comercio y de la industria.

2r-1. La necesidad de una matemática va y más poderosa ha dado como resultado la creación y el uso de nuevos lores de la matemática.

3*. Entre los matemáticos, la consecuencia natural de esta extensión fue el cimiento de lo inadecuado de la matemática tradicional y, en muchos casos, la búsqueda de caminos para mejorar los programas tradicionales.

Ilay buenas razones que hacen pensar a muchos que la matemática moderna debe producir un impacto considerable en la matemática escolar. A consecuencia de esto se ha prestado mucha atención a este problema.

1. El desarrollo de la nueva matemática originó serias cuestiones en lo que se refiere

deben ser consideradas como suposiciones (juicios que se aceptan sin demostración). Como resultado, se ha destacado más el razonamiento deductivo, tanto en álgebra como en geometría, porque se ha visto que ambas se basan en un conjunto de suposi-

ella surgen muchas derivaciones para la matemática escolar. Por ejemplo, al considerar los números, es importante mantener la distinción entre números y numerales (nombres de los números). Esta distinción, a su vez, nos obliga a considerar otras, tales como la distinción entre juicio y sentencia.

No daremos aquí otros ejemplos porque sería difícil comprenderlos sin una explicación más detallada. Sin embargo, la matemática moderna establece clara diferencia entre los nombres de objetos o ideas y estos mismos.

Importancia de la demostración deductiva

La matemática siempre ha tenido por objetivo el desarrollo de la capacidad para razonar del estudiante, pero el programa típico no lo ha logrado totalmente. Un estudiante debe tener oportunidad de desarrollar su poder de raciocinio por el uso frecuente de los métodos inductivo y deductivo. De la experiencia de su uso en la ciencia física, muchos estudiantes tendrán algún conocimiento del método inductivo. La inducción es el tipo de razonamiento mediante el cual se alcanza una conclusión general en base a hechos obtenidos mediante el examen sistemático de muchos ejemplos que en algunos aspectos son similares. Gran parte de la geometría puede hacerse más vivaz y estimulante con el uso frecuente del método inductivo o del “descubrimiento”. Se debe, sin embargo, prevenir al estudiante que no confíe completamente en los métodos inductivos. A pesar de que la aparición de ciertas relaciones

número de ejemplos pueda conducir a una generalización, a veces esa generalización puede resultar falsa para otros ejemplos.

Gran parte de la nueva matemática superior se ha desarrollado mediante técnicas deductivas. Puesto que este proceso se basa en postulados (suposiciones), a menudo nos referimos a él como pensamiento postulacional. Durante centurias, los axiomas euelidianos fueron considerados verdades evidentes por sí mismas. Este punto de vista fue destruido por varios matemáticos, entre ellos Lobachevsky y Riemann en sus trabajos geométricos de hace 150 años. Mostraron en forma concluyente que esas “verdades evidentes por sí mismas”

a los programas tradicionales de la matemática escolar. Muchos creen que existe la posibilidad de que la matemática moderna

más fácil de enseñar y que, quizás, los alumnos puedan aprender más matemática en menos tiempo. También existe la posibilidad de que los alumnos que fallaban con los programas tradicionales puedan responder bien con un nuevo programa. Debemos averiguarlo.

2. Después de medio siglo de negligencia encontramos a los matemáticos de primera línea y a los educadores de la escuela pública cooperando más que nunca para mejorar el programa de la matemática escolar. Intentan proporcionar un programa coherente para toda la escuela.

3. Como este movimiento moderno de la matemática ha despertado el interés público, se ha proporcionado ayuda financiera para que los matemáticos y los educadores interesados den el tiempo y el esfuerzo suficientes para mejorar los progra-

escolares de la asignatura.4. En este momento, el mejoramiento de

la matemática goza del favor público. Las razones para esto, por lo menos en parte, son la escasez de matemáticos para llenar las necesidades actuales y la sensación de que muchos estudiantes que experimentan dificultades en matemáticas darían la bienvenida a una nueva presentación.

sea

a ladones.

Es un hecho interesante que ciertas generalizaciones descubiertas inductivamente fueron usadas más tarde como postulados en la demostración deductiva. Por ejemplo, al comenzar la escuela elemental, el niño descubre que a + b == b -|- a, y acepta ésto como una generalización. Sin embargo, en cursos posteriores considerará a a + b = b -f a como postulado, y lo usará como tal en la demostración deductiva. Aún más tarde, puede aprender a demostrar que a + b = b + a, basándose en las suposiciones de la teoría de conjun-

conjunto de postulados tales

.

nue-

sec-

recono-los o en un como

Importancia de la resolución de proble

Todas las conclusiones anteriores deben producir un impacto tremendo en la resolución de problemas en todos los niveles. Antes de que un problema pueda resolverse por métodos matemáticos debe ser traducido a símbolos matemáticos. Por tanto, los estudiantes deben tener una comprensión clara y completa de todos los símbolos temáticos que necesiten. Finalmente, deben ser diestros en los procesos de computación mediante el conocimiento de técnicas matemáticas y la adecuada práctica correspondiente.

En esta época de rápidos cambios, debe prestarse cuidadosa atención a las buenas técnicas de resolución de problemas. No podemos enseñar a los niños cómo resolver todos los distintos problemas que puedan encontrar, de manera que debemos asegurarnos el enseñarles los principios básicos de la matemática y de la resolución de problemas para que puedan aplicarlos correctamente en las distintas situaciones.

¿POR QUE SE PROPONEN CAMBIOS ACTUALMENTE?

Algunas personas pueden preguntarse poiqué justamente ahora se proponen tantos cambios en matemática. No hay duda que muchas otras preguntas surgirán en la men-

el de Peano.

masmas

ma-

LO UTIL, LO PRACTICOEL DIEDRO DE SPILEERS

El aparato está constituido por dos planchas de 50 cm. por 50 cm.} unidades con bisagra. Puede colgarse de la pared o co locarse sobre una mesa. Las dos planchas pue

den formar ángulos diedros cualesquiera. Las caras llevan ranuras grabadas que forman un cuadriculado de o cm por 5 cm. Los ver tices y los centros de los cuadrados están perforados para recibir varillas metálicas que por medio de un dispositivo provisto de articulación pueden colocarse perpendicular u oblicuamente a las

Los usos de este modelo son innumerables: iniciación en las coordenadas y en representación gráfica de los números complejos en un plano de Gauss; definición de las funciones circulares y relaciones entre argumentos asociados si se coloca un círculo de madera sobre una de las planchas; rotaciones y rebatimientos.

Está provisto de accesorios: pastillas metálicas imantadas para mantener unidos los extremos de las varillas si estas son las aristas de un ángulo poliedro; hilos elásticos para unir puntos, etc. Incluso las letras que designan los puntos pueden ser colocadas en los lugares adecuados, de manera que la demostración completa de un teorema pueda ser enteramente seguida sobre la figura del espacio.

en ununa

caras.

1

M. LIENARD (Bélgica)

14 15

EL PANORAMAEL HUMOR

sta oca, oca, matemática modernaMAE E. HAHVE-Y

EE. UU. a conterencia de Limalos puntales y soportes se aflojaron y desde entonces estoy flotando entre llaves y paréntesis.

¿Saben una cosa? Hasta me han tenido operando —a mí que no reconocería sala de operación si viera una—. A mí operando, cuando no soy cirujano ni único ni calificado. No obstante, para que no me crean tan ignorante quiero ofrecerles alguna garantía. Puedo “disjuntar” algunas partes de un pollo, pero sería extraordinario si pudiera “disjuntar” conjuntos. Luego raron con un par ordenado, y no me dijeron ni una palabra sobre qué hacer con él; antes de que pudiera decidir por mí misma vino rodando un número único para una operación binaria. Puesto que carecía de elemento idéntico, lo puse a un lado para

la formación de una disposi-

Informc de Luis A. SANTA LÓ (Argentina)

lo ya realizado y del alentador progreso obtenido, algunas de dichas recomendaciones pueden y deben ampliarse y especificarse de manera más detallada;

b) Que actualmente se dispone de abundante información y experimentación para poder establecer un programa ideal de la matemática moderna para la enseñanza media; •

c) Que en América Latina, ñor diversas razones, y en mayor o menor grado en cada país, el profesorado de matemática en la enseñanza media sigue teniendo una preparación inadecuada y que es grave la falta de educadores de matemática que estén en condiciones de escribir buenos textos escolares v de participar activamente en la redacción de planes de estudio modernos, lo que hace conveniente recer a las Universidades la necesidad de planear en forma eficiente y dinámica programas destinados al otorgamiento de grados académicos en matemática a fin de fortalecer el desarrollo de esta ciencia en cada país;

d) Que es necesario aprovechar en forma razonable los recursos académicos de las diversas Universidades de Latinoamérica a fin de que los adelantos de una beneficien a las demás y con ello contribuir a evitar el éxodo de los jóvenes científicos latinoamericanos, que, más que por razones económicas, salen al exterior en busca de un mejor ambiente de trabajo científico;

e) Que para acelerar el ritmo y la eficiencia de la reforma de la enseñanza de la matemática al nivel secundario, es muy importante la publicación de textos, guías y cualquier otro material bibliográfico, así como su difusión para que llegue a todo el profesorado;

f) Que para aumentar la eficacia del CIAEM es conveniente asegurar lación con grupos representativos de la actividad matemática en cada país;

Sentados más allá, en algún lado, hay una correspondencia biunívoca de doctores que han desencadenado un horrible alud que ha alcanzado, aquí abajo, a un manojo de maestros de los cuales yo soy un cle-

— perdón, quise decir un conjunto de maestros—; al cual se le dijo que aprendiera MATEMATICA MODERNA. Los complacientes elementos del conjunto hicieron lo que se les había dicho.

Ustedes comprenderán que somos elementos de un conjunto casi infinito, y chos de nosotros tienen 0 como número cardinal, porque somos miembros de un conjunto vacío (es decir, éramos vacíos en lo que se refería a trabajar con esta matemática moderna bajada directamente desde Marte).

No sé que tendrá que ver socialmente todo esto con nosotros, pero puedo decirles esto: Usted tiene poca capacidad para elegir su conjunto. O bien, usted es miembro del subconjunto, o, si es muy sofisticado, puede pertenecer al subconjunto propio, esto es, si usted es un elemento de la “élite”. Como imede verse claramente, hay algu-

> y otros < y sólo unos pocos verdaderamente =, mientras que hay otros r*

¿Se rompió alguna vez un brazo o una pierna? Yo tampoco. Pero, ahora estoy usando paréntesis y llaves (1), todo porque esos doctores dijeron que debía hacerlo. Hasta ahora no he decidido qué es lo que estoy sosteniendo o conteniendo, pero estoy bastante segura que no es con los propósitos usuales. Mis dientes están bastante derechos; también lo están mis brazos y piernas. Acaso sea mi cerebro. Pero les diré: cuando entré en esta clase de la así llamada matemática moderna, que tuvo su origen entre los hindúes y los árabes, todos

Del 4 al 12 de diciembre de 1966 tuvo lugar en Lima la Segunda Conferencia Interamericana de Educación Matemática. La Conferencia fue organizada por CIAEM (Comisión Interamericana de Educación Matemática, conocida también por 1ACME, Interamerican Committec for Mathematical Education), que preside el profesor Marshall PI. Stone y contó la ayuda de diversas instituciones, como la OEA, UNESCO, Fundación Nacional de Ciencias de los EE.UU., Fundación Ford y el Ministerio de Educación Pública del Perú. Asistieron representantes de todos los países americanos y también, especialmente invitados, los siguientes matemáticos europeos: Pedro Abellanas (España), Erik Kristensen (Dinamarca), Geor- ges Papy (Bélgica), Andró llevuz (Francia) y Hans-George Steiner (Alemania).

La Conferencia analizó la labor realizada en Jos distintos países americanos desde la Primera Conferencia de Bogotá (1961), de cuyo análisis resultó un alentador balance y un positivo progreso en cada uno de los diversos aspectos que presenta el problema de la reforma de la enseñanza do la matemática en sus distintos niveles (formación y perfeccionamiento de profesores, nuevos programas, cursos de ensayo, nuevos textos o guías, etcétera).

Se presentaron también diversas ponencias sobre cuestiones específicas relativas a la enseñanza de la matemática aprobaron finalmente las siguientes m endaciones.

una

mentó

con

me ti-mu-

cooperar en ción rectangular.

Tuve que cuidar la clausura a causa del principio conmutativo. Habría sido terrible si hubiera cambiado el orden de los nú-

los cuales se operaba sin obte- los mismos resultados.

Creo que deben pensar que estoy mejorando en mis operaciones porque ahora quieren conferirme el PRINCIPIO ASOCIATIVO, y les diré que hay pocos capaces de operar con tres o más al mismo tiempo.

Cuando termine con mis sumandos produciré la suma, que ha estado fastidiando a los elementos. Naturalmente, debo dar a dos de estos un número único y cerrar-

enea-

meros conner

nos

y se reco-

los.Sin embargo, hay más factores que és

tos implicados en obtener el producto. Por tanto, debo ser muy cuidadosa para ver que el conjunto esté completamente cerrado. Pero ¿de qué manera efectuaré dos operaciones inversas con éxito cuando una deshace a la otra?

Al paso que voy, probablemente no{Sigue en la pág. 20)

LA SEGUNDA CONFERENCIA IN- TERAMERICANA DE EDUCACION MATEMATICA CELEBRADA EN LIMA DEL 4 AL 12 DE DICIEMBRE DE 1966,

Considerando:a) Que muchas de las recomendaciones

de la Conferencia de Bogotá, que esta conferencia de Lima reitera, ya han sido llevadas a la práctica y que en vista de

■

O Esta muestra de sexto prado de Wintenville, North Carolina, Estados Unidos, hizo estas declaraciones para North Carolina Education, T. XXIV, 1965. (N. de R.)

su vmcu-me

1716

I

destinada a preparar a los futuros alumnos universitarios de cualquier especialidad. Para escuelas secundarias especiales (comerciales, industriales, magisterio...) algunos temas correspondientes a la edad 15-18 años pueden modificarse o suprimirse. No así, en cambio, los temas pondientes a la edad 12-15 años, que se estiman comunes a todo estudiante dario.

d) Para desarrollar el programa propuesto debe contarse con un programa de la escuela primaria que dé al estudiante una preparación sólida en el manejo de las operaciones aritméticas y un conocimiento intuitivo de las filmas geométricas. Los conceptos modernos no excluyen el uso de la calculatoria elemental aprendida en la escuela primaria, la cual debe ejercitarse continuamente, para que no sea olvidada por el alumno.

2. Que se procure reunir datos estadísticos en cada país acerca de los resultados de Jos ensayos referentes a posibles variantes de los programas de matemática, con el fin de poder evaluar de manera objetiva las ventajas o inconvenientes de cada una de ellos.

3. Que los programas de matemática para ingenieros y otras ramas de las ciencias aplicadas sean adaptadas a las necesidades del futuro usuario, distinguiendo un ciclo básico común y diversas variantes según cada nivel y cada especialidad.Ií. Sobre la preparación de los docentes

de matemática de la enseñanza me-

yor esfuerzo para producir suficientes docentes de matemática de enseñanza media con una adecuada formación científica y cuya preparación pedagógica esté directamente encaminada hacia su quehacer profesional.

b) Que entre los matemáticos y profesores de matemática se procure formar núcleos de expertos que además de una sólida formación científica posean la necesaria preparación metodológica para trabajar con eficiencia en la confección de programas, redacción de textos escolares y en la investigación didáctica.III. Sobre el perfeccionamiento de profe

sores de enseñanza secundaria en ejercicio.

7. Que se organicen, o se intensifiquen donde ya existen, cursos y otras actividades de perfeccionamiento para profesores de matemática en servicio en la enseñanza media, y que se procure para ese fin el establecimiento en cada país de centros permanentes de perfeccionamiento vinculados a las Universidades. Para este perfeccionamiento deberán emplearse todos los medios que Ja técnica moderna dispone para la difusión en gran escala de los conocimientos, como la radio y la televisión.IV. Sobre preparación de textos y otro

material bibliográfico.S. Que se realice un esfuerzo para pu

blicar:a) monografías breves sobre temas es

pecíficos para actualizar los conocimientos de los profesores de enseñanza media teniendo en cuenta Jos nuevos currículos;

b) textos para alumnos de enseñanba media, así como las correspondientes guías para el profesor;

c) cuadernos de divulgación de algunos temas actuales, destinados a los alumnos de enseñanza media;

d) boletines con el propósito de difundir los resultados de experiencias pedagógicas sobre la renovación de la enseñanza de la matemática, de reseñar publicaciones de interés para los profesores y de dar cuenta de otras actividades importantes;

e) una revista latinoamericana que trate especialmente temas relacionados

con la enseñanza de la matemática al nivel medio.

10. Geometría métrica del plano. Producto escalar. Teorema de Pitágoras.

11. Geometría analítica en bases ortogonales (recta, circunferencia...)

12. Solución de sistemas de ecuaciones lineales.

g) Que es indispensable conocer con exactitud las posibilidades de estudio avanzado y de investigación que ofrecen las Universidades Latinoamericanas, así

la situación real en cada país de ladife-comoenseñanza de la matemática en sus

rentes niveles;h) Que es indispensable realizar reunio

nes periódicas entre profesores de matemática para discutir problemas y activar la renovación e intensificación de los cs-

corres-Edad 15 - 1S años:

1. Estudio de los números reales.2. Espacio euclidiano. Bases ortogona

les. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.3. Transformaciones lineales del plano.

Matrices de orden 2. El grupo do las transformaciones ortogonales. Seme-

secun-

todios matemáticos,RECOMIENDA:

a los Ministerios de Educación, a las Universidades e Instituciones edu

cacionales de cada país, a los organismos internacionales, como

la OEA y la UNESCO, que tienen entre sus fines el desarrollo científico,

y, en general, a todas las instituciones vinculadas con la enseñanza y la in

todos sus

janza.i. Números complejos.5. Trigonometría.6. Análisis combinatorio. Nociones de

probabilidad.7. Algoritmo de Euclides. Teorema de la

factorización única.S. Polinomios. Teorema del residuo.9. Introducción progresiva y descriptiva

de algunos conceptos topológicos. Los espacios topológicos usados en el análisis elemental.

10. Funciones continuas. Límites. Suce-

vestigación matemática en niveles:

I. Sobre los Currículos para la escuela media.

1. Que en los programas de matemáti- la escuela media se vayan intru siones.

11. Derivación de funciones de una variable real. Ejemplos de aplicación a otras ciencias.

.12. Integración (preferentemente mite de sumas).

13. Funciones elementales especiales (excircula-

ea paraducicndo de manera sucesiva y de acuerdo con las posibilidades de cada país, los temas del siguiente programa ideal:Edad 12 - 15 años:

1. Noción de conjunto. Operaciones conjuntos.

2. Relaciones, (función, equivalencia, orden, composición).

3. El anillo de los números enteros. Potencia. Divisibilidad.

4. Operación binaria. Ilustración del concepto de grupo. Solución de la ecuación a..x = b. Aplicaciones a la geometría y a los sistemas de números.

5. Introducción progresiva y descriptiva de los axiomas de la geometría. Incidencia, paralelismo, ordenación. Proyección paralela. Traslación.

6. Introducción progresiva y descriptiva del campo de los números racionales y de los reales. La ecuación lineal y la cuadrática.

7. El espacio vectorial del plano.8. Coordenadas. Ecuación de la recta.

Desigualdades. Semiplano. Algunas aplicaciones (programación lineal).

9. Algunas formas de representar una función (tabulación, gráfica, expresio-

analíticas...) Operaciones funciones numéricas.

como lí-con

ponenciales, logarítmicas,..)res.

14. Determinantes.15. Geometría del espacio usando el es

pacio vectorial euclidiano de 3 dimensiones. Geometría analítica en R\

16. Probabilidades y Estadística elementales.

1. a) Es conveniente su experimentación de manera completa, en cursos piloto, analizando cuidadosamente los resultados para decidir, en vista de ellos, acerca de la rapidez y ordenamiento de su introducción general.

b) La ordenación de los temas no supone que sea la más conveniente. Se ha presentado en forma muy general para que cada escuela o cada profesor tenga libertad en el orden y en la forma de presentación de los temas.

c) El programa se refiere a la escuela media llamada en general bachillerato,

día y de los profesores universitarios de los años básicos.

4. Que las Universidades presten especial atención a la constitución y mantenimiento de centros activos permanentes de docencia de alto nivel y de investigación matemática, dotados de todos los elementos necesarios para cumplir eficientemente su función;

5. Que se estimule el establecimiento de convenios multilaterales entre las Universidades de un mismo país o de diversos países, en virtud de los cuales estudiantes y profesores de una cualquiera de ellas puedan aprovechar de los recursos académicos de cualquiera de las otras, procurando para ese fin establecer un sistema de equivalencias de estudios que facilite él intercambio.6. a). Que se realice en cada país un macónnes

19.18

profesores secundarios invitados de otros países y también profesores de disciplinas conectadas con la matemática. Sería con-

LO DIDACTICOV. Sobre asuntos diversos.9. Que para una mejor coordinación do sus funciones el C1AEM auspicie, en cada país, la constitución de un comité que fomente en escala nacional o regional actividades conducentes al dcsarollo del medio matemático y que además preste la cooperación mencionada en las recomendaciones de la “Conferencia de Ministros de Educación y de Ministros encargados del planeamiento económico en los países de América Latina y del Caribe” reunida en Buenos Aires del 20 al 30 de junio de 1966. Estos comités deben ser representativos de toda la actividad matemática, incluyendo investigadores y profesores de los diversos niveles de la enseñanza.

10. Que se prepare y difunda una guía lo más completa posible de todas las instituciones latinoamericanas ¡que ofrecen programas de trabajo y estudio de alto nivel en el terreno de la matemática, indicando con precisión requisitos de ingreso, obtención de grados, becas disponibles de intercambio, etc. Estas informaciones deben ser puestas al día periódicamente.

11. Que los entidades competentes en cada país elaboren un censo de información precisa sobre el estado del desarrollo de la enseñanza matemática en los niveles elemental, medio y superior.

12. Que se organicen peródicamente congresos nacionales de profesores de matemática de enseñanza media, con la participación de profesores universitarios, de

veniente que en estos congresos participaran grupos de trabajo experimental en la enseñanza de la matemática al nivel medio; introducción a la ógica matemática

13. Que se organicen periódicamente coloquios nacionales o regionales de profesores e investigadores de matemáticas, con

J. SEBASTIÁO c SILVA (Portilml)

criatura está aprendiendo a hablar comienza por decir los nombres de las cosas, personas, etc., y sólo después intenta construir frases. Nombres y frases constituyen las dos especies principales de las expresiones en una lengua.Expresiones [ términos, nombres o

designaciones, frases

l. Signas y expresiones. Toda lengua, hablada o escrita, consiste de agrupaciones de signos elementales, (pie pueden ser sonoros (lenguaje hablado) o gráficos (lenguaje escrito).

Hay dos especies principales de escrituras: fonéticas e ideográficas. En las escri-

fonéticas, los signos elementales (letras) corresponden más o menos a los sonidos indescomponibles que pronunciamos. En las escrituras ideográficas, los signos ideográficos (ideogramas) representan dilectamente ideas, como ocurre, por ejemplo, en las escrituras chinas y japoneses.

Una escritura simbólica de matemática puede considerarse de tipo ideográfico. Así, cuando se escribe “tres más dos es igual a c inco”, la escritura es fonética; cuando se escribe “o +2 =5”, la escritura es ideográfica.

Entre todas las posibles agrupaciones de signos elementales de una lengua, unas tienen significado, otras no. Así, la sucesión de letras AMBO no tiene significado en la lengua castellana, pero lo tienen, por ejemplo, las agrupaciones ROMA, AMOR, MORA, etc. Análogamente, la agrupación de símbolos x - ) 2 (5 V no tiene significado en matemática, pero lo tiene, por ejemplo, la agrupación \/ 5 — (2 — x).

Es natural denominar signos compuestos a las agrupaciones de signos elementales que no se reduzcan a un signo aislado.A todos los signos, elementales o compuestos, podemos no obstante llamarlos expresiones, aun cuando este término se use, de preferencia, para los signos compuestos.

Los signos ideográficos de la matemática son también llamados símbolos, de allí la denominación de “escritura simbólica”.

2. Término y proposiciones. Cuando unaO El prestigioso matemático lusitano, represen

tante cíe su país en los Congresos Internacionales de la especialidad, escribió un Compendio de Matemática en forma de proyecto de modernización de Ja.enseñanza de la matemática; gentilmente nos lia autorizado a publicarlo pn castellano. (N. de R.)

participación de graduados, profeso- visitantes y profesores e investigado- de las ciencias en que la matemática

instrumento básico. En estos colo

resreses unquios tendrían lugar, entre otras actividades:

a) el dictado de cursos intensivos sobre temas especiales a nivel de graduados y de posl-graduados;

b) la realización de seminarios sobre temas matemáticos especializados y sobre problemas de la enseñanza superior;

c) la presentación de comunicaciones breves de trabajos de investigación.

14. Que se organicen sociedades nacionales de matemática en aquellos países donde no existen, en las que tomen parte los profesores de enseñanza secundaria y superior con objeto de promover el desarrollo matemático en el ámbito nacional y propiciar, en todos sus aspectos, mejores condiciones en el ejercicio profesional de sus miembros.

turas consignificado o proposiciones.

Son términos en la lengua castellana: Lisboa, copo, Luis, alegría, etc.

Son términos matemáticos las expresiones: 3; 3 + 3 ; y 2, 2/3 ; 3,2 ; 107; etc.

De ese modo, los términos nombran o designan entes (cosas personas, números etc). En general, llámase ente (ser o entidad) a todo lo que se considera como existente y a quien, por eso, se le puede aplicar una designación. Ciertos entes son denominados concretos (objetos materiales, plantas, animales, personas, etc.); otros son considerados abstractos (cualidades, estados, títulos, números, etc.). En gramática, los términos son llamados sustantivos o expresiones sustantivas, según los casos.

Son proposiciones (o frases) en castellano, por ejemplo: “Lisboa es una ciudad”, “Vasco da Gama descubrió Brasil’, etc., siendo verdadera la primera y falsa la segunda.

puede decir que eso no es interesante. Les diré: no apruebo este agrupar y reagrupar. Están relacionados con el conjunto finito y el valor específico posicional. Simplemente, no quiere tener nada que ver con ellos. En verdad, creo que me llevarán por el mal camino. Y mi madre siempre me dijo que dejara tranquilas a estas cosas.

Me voy ahora, y apuntaré mi nariz en la debida dirección, volveré mi cabeza que contiene al conjunto vacío conocido como cerebro, recogeré mis dígitos, me sentaré sobre mi base, me hundiré más y más en Algoritmos, venderé mi propiedad Asociativa, volveré a nombrar mis sumandos y tranquilamente esperaré la llegada de las vacaciones que anhelo desusadamente largas. (1) En inglés, los vocablos que designan parén

tesis y llaves son los mismos que se emplean para designar puntales y soportes. (N. de R.)

(Viene de póg. 16)dejarán operar mucho más. Eso está bien, porque me estoy poniendo terriblemente confundida y cansada. Me pregunto si estas operaciones me prepararán para ser mejor ciudadana y maestra cuando los doctores y las otras potencias me dicen que podré manejar para ellos esas máquinas I.B.M. Sin embargo, hay una cosa que probablemente sería más fácil para mí. ¡Apuesto a que con mis diez dedos de las manos y mis diez dedos de los pies me sobran para contarlos!

De paso ¿han visto las nuevas formas? Hay dos, la desarrollada y la exponencial. Francamente, ninguna de las dos es muy atractiva y, por cierto, no las querría como mis mejores amigas. Me dicen que usan la notación científica, y cualquiera

En matemática, son proposiciones simbólicas, por ejemplo, las fórmulas:

2 + 3 = 7; V 8 < 3 ; etc. falsa la primera y verdadera la segunda.

Así, las proposiciones son expresiones respecto a las cuales tiene sentido decir (pie son verdaderas o falsas. Las proporciones trasmiten pensamientos, estos es, afirman hechos o expresan juicios que formamos con respecto a entes.

3. Distinción entre la designación y lo designado. Cuando se pretende designar una expresión, es costumbre escribirla entre comillas, para evitar confusiones. Consideremos, por ejemplo las dos frases siguientes:

Lisboa es la capital de Portugal.

con

2021

"dase cíe estrellas”. De ... presión ‘clase de estrella? mo un

Dos términos se dicen equivalentes o sinónimos cuando designan al mismo ente. Por ejemplo, “Lisboa” es equivalente a “capital de Portugal” ; “3 + 2” es equivalente a “5” y a “cinco”, etcétera.

Para indicar que dos términos no desig- al mismo ente, se escribe entre ambos

el signo =’= (léase “distinto de’' o “diferente de”). Por ejemplo:

2.3=!= “2 + 3 =!= 5”; etc.De este modo, los signos = y =!= expresan

dos relaciones lógicas contrarias entre sí, correspondientes a los pronombres “el mismo” y “otro”.

5. Individuos y clases; relación de pertenencia. En gramática, se clasifica a los sustantivos en propios y comunes. Un sustantivo es propio cuando se aplica a un sólo individuo; es común cuando se aplica indistintamente a todos los individuos de

misma clase. Por ejemplo, “Sol” es un sustantivo propio; “estrella” es un sustantivo común. La proposición.

El Sol es una estrella afirma que el Sol es un individuo de la clase de las estrellas o que pertenece a la clase de las estrellas.

Los conceptos de “individuo ’ y de clase” son indefinibles, puesto que, como se ve, están en la base del propio lenguaje y, por tanto, del pensamiento. Para indicar que un individuo a pertenece a una clase C, se escribe simbólicamente

a 6 C (léase “a pertenece a C”)Por ejemplo, si designamos con E a la

clase de las estrellas, podemos expresar la proposición anterior en la forma

Sol 6 EAnálogamente, si llamamos Pr a la clase

de los números primos, la frase “5 es un número primo”, puede expresarse simbólicamente por

5 £ Pr (léase “5 pertenece a Pr”)De este modo, el símbolo “6” expresa una

relación lógica —llamada relación de pertenencia— enteramente distinta de la relación lógica de identidad.

Para indicar que un individuo a no pertenece a una clase C, se escribe

a £ C (léase “a no pertenece a C”)Por ejemplo, con las notaciones anterio-

este modo, la ex- . .. compórtase co-

sustantivo propio, dado que desige’lte “• E» arelad, una clase, aun-

,,ue formada por varios individuos, es con- siderada como un lodo, esio es, como un individuo de un nuevo tipo. Este concepto sera desarrollado en el párrafo siguiente.

G. Relatividad de ¡os conceptos de individuo (o. elemento) y de clase (o conjunto). Universo lógica y tipos lógicos. En matemática, las palabras “elementos” y “conjunto” son generalmente usadas como sinónimos de individuo” y “clase”, respectivamente. As!, podemos decir “El Sol es un elemento del conjunto de las estrellas”, “5 os un elemento del conjunto de los mime- ros primos”.

mente. Por ejemplo, supongamos que el universo es el conjunto de los puntos en geometría elemental, y sea a un punto, C una recta que pasa por a y R el conjunto de todas las rectas. Recordt»mos que recta es un conjunto de puntos; entonces decir que una recta C pasa por el punto a significa que a es un punto del conjunto C. A su vez, C es un elemento del conjunto de todas las rectas. Tendremos así:

a 6 CEn este caso a es un individuo, C un con

junto y B un conjunto d econjuntos (o conjunto de tipo 2). También podemos decir (pie C es un conjunto de tipo 1 o un individuo de tipo 2. Esta noción de tipo lógico fue introducida por Berlrand Russell.

7. Dar o definir un conjunto. Comencemos con algunos ejemplos. Supongamos que el universo es el conjunto de los números naturales y sea Pr el conjunto de los números primos. Como se sabe, se dice que un número es primo cuando es diferente de 1 y sólo es divisible por sí mismo y por 1. Con esta definición, dado un número natural n, cualquiera que sea, estamos siempre habilitados para saber si es primo o no, esto es, si pertenece o no al conjunto Pr.2 Este hecho se expresa diciendo que el conjunto Pr. está definido (o dado).

Supongamos ahora que el universo es el conjunto de los seres vivos y sea P el conjunto de las plantas. Como se sabe, hay seres vivos con respecto a los cuales se vacila en decir si son plantas o animales. La verdad es que no existe una definición r/s garosa de “planta”; en otras palabras: el conjunto de las plantas no está definido. Lo mismo se puede decir respecto del conjunto de los animales, del conjunto de los árboles, del conjunto de los hombres calvos, etc. Viendo bien, desde que salimos del ámbito de la matemática, la mayor parte de los conjuntos de que hablamos no está definida, sino que estos conjuntos están apenas imperfectamente delimitados.

En resumen, se dice que un conjunto A está dado o definido en un universo, cuando se conoce una definición que permite siempre, con respecto a cualquier individuo t\ saber si c 6 A o si c & A (debiendo verificarse una y sólo una de estas hipótesis).2. Si el numero n es excesivamente grande puede

ser muy difícil, o hasta prácticamente imposible aún con los actuales recursos de la ciencia —computadoras electrónicas, etc,— saber si n es primo o no.

,'Lisboa,, es un sustantivo.Es claro que la segunda se refiere a la

palabra “Lisboa” (designación), en tanto que la primera se refiere a la ciudad de ese nombre (ente designado). Si la designación fuese lo mismo que lo designado, podríamos concluir que:

La capital de Portugal es un sustantivo. Lo que, evidentemente, es absurdo. De allí, la necesidad del uso de comilas.

Estas consideraciones se extienden al lenguaje simbólico de la matemática. Cuando, por ejemplo, escribimos:

“5” es un algoritmo árabe;5 es un número impar;

estamos refiriéndonos, en el primer caso, a un símbolo (designación) y en el segundo al número designado por ese símbolo, número que también puede ser designado por los símbolos “2 -j- 3”, etc., o por la palabra cinco.

Por eso, en toda lengua (escrita o hablada) hay que distinguir los términos, que escribimos o pronunciamos, de los entes que esos términos designan.

Nótese que para escribir una proposición también se la debe escribir entre comillas.

Ejemplo:La proposición “El Sol es una estrella”

es verdadera.Muchas veces, cuando no haya peligro

de confusión, evitaremos el uso de las comillas para simplificar la escritura.

4. Relación lógica de identidad. Para indicar que dos términos designan el mismo ente, se escribe entre ambos el signo =. De ese modo, cuando escribimos

3 + 2 = 5queremos indicar que los términos “3 + 2” y “5” designan al mismo ente. Análogamente, podríamos escribir:

Lisboa = capital de Portugal 25 = cuadrado de 5

Estos ejemplos muestran que el signo = sustituye a las expresiones “es el” o “es la” de la lengua castellana. Así, este signo que se lee usualmente “es igual a” debería más bien leerse “es lo mismo que” o “es idéntico a” (la palabra idéntico proviene del latín “idem”, que significa lo mismo). De aquí que se llame relación de identidad a la relación que se expresa mediante el signo =.

Pero esta relación se refiere a los entes desi