1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------

PHẠM XUÂN CÔNG

ỨNG DỤNG MÃ XYCLIC CỤC BỘ XÂY DỰNG HỆ MẬT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2010

2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------

PHẠM XUÂN CÔNG

ỨNG DỤNG MÃ XYCLIC CỤC BỘ XÂY DỰNG HỆ MẬT

Chuyên ngành: Bảo đảm toán học cho máy tính và hệ thống tính toán Mã số: 60.46.35

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. PHẠM VIỆT TRUNG

Hà Nội – 2010

MỤC LỤC

MỤC LỤC............................................................................................................. 1

CÁC CHỮ VIẾT TẮT.......................................................................................... 3

DANH MỤC BẢNG BIỂU ................................................................................... 4

DANH MỤC HÌNH VẼ ........................................................................................ 5

MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 6

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN VỀ HỆ MẬT ...................................................10

1.1. Khái quát chung hệ mật mã cổ điển ...........................................................10 1.1.1. Mô hình hệ thống truyền tin mật ...........................................................10 1.1.2. Một số hệ mật mã cổ điển điển hình......................................................11

1.2. Hệ mật khoá công khai...............................................................................13 1.2.1. Khái quát chung....................................................................................13 1.2.2. Nguyên tắc chung mã hoá với khoá công khai ......................................14 1.2.3. Quá trình phát triển của hệ mật mã khoá công khai ...............................14

1.3. Kết luận .....................................................................................................24

CHƯƠNG 2 - LÝ THUYẾT VỀ MÃ XYCLIC CỤC BỘ VÀ PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC ................................................................................25

2.1. Khái niệm mã xyclic và vành đa thức .........................................................25 2.1.1. Mã tuyến tính........................................................................................25 2.1.2. Vành đa thức.........................................................................................26 2.1.3. Mã xyclic..............................................................................................28 2.1.4. Mã hoá cho mã xyclic ...........................................................................30 2.1.5. Giải mã ngưỡng ....................................................................................31 2.1.6. Khái niệm mã xyclic cục bộ..................................................................34 2.1.7. Mối quan hệ giữa mã xyclic và xyclic cục bộ........................................34 2.1.8. Mã xyclic cục bộ xây dựng trên các nhóm nhân xyclic .........................35

2.2. Phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân xyclic.......................................35 2.2.1. Phân hoạch của vành theo các nhóm nhân xyclic ..................................35 2.2.2. Phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân xyclic đơn vị .......................37 2.2.3. Thuật toán xây dựng vành đa thức theo nhóm nhân xyclic đơn vị .........39

2.3. Kết luận .....................................................................................................41

CHƯƠNG 3 - XÂY DỰNG HỆ MẬT MCELIECE TRÊN MÃ XCB..........42

3.1. Tiêu chí lựa chọn bộ mã xyclic cục bộ và mô hình toán học để xây dựng hệ mật McEliece .........................................................................................................42

3.1.1. Tiêu chí lựa chọn bộ mã XCB để xây dựng hệ mật McEliece................42 3.1.2. Mô hình toán học xây dựng hệ mật McEliece với mã xyclic cục bộ ......42

2

3.2. Sơ đồ khối xây dựng hệ mật McEliece với mã xyclic cục bộ .......................43 3.2.1. Sơ đồ mã hoá ........................................................................................43 3.2.2. Sơ đồ giải mã........................................................................................46

3.3. Về một phương pháp xây dựng hệ mật McEliece trên mã XCB...................48 3.3.1. Phương pháp tạo khoá mã.....................................................................48 3.3.2. Thuật toán mã hoá ................................................................................50 3.3.3. Thuật toán giải mã ................................................................................53

3.4. Nghiên cứu thử nghiệm hệ mật McEliece trên mã xyclic cục bộ .................59 3.4.1. Quá trình tạo khoá ................................................................................59 3.4.2. Quá trình mã hoá ..................................................................................62 3.4.3. Quá trình giải mã ..................................................................................63

3.5. Đánh giá hệ mật McEliece trên mã xyclic cục bộ .......................................66 3.6. Kết luận .....................................................................................................67

KẾT LUẬN CHUNG...........................................................................................68

TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................69

3

CÁC CHỮ VIẾT TẮT

deg Bậc của đa thức (degree )

UCLN Ước chung lớn nhất (gcd)

ord Cấp (order)

XCB xyclic cục bộ

4

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1: Các mã xyclic trên vành Z2[x]/x7+1

Bảng 2.2: Phân hoạch vành Z2[x]/x5+1 theo nhóm nhân xyclic đơn vị

Bảng 2.3: Phân hoạch vành với a(x) = 1 + x + x2

Bảng 2.4: Kết quả phân hoạch vành đa thức trên máy tính core 2 duo 2.26GHz

Bảng 3.1: Phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân xyclic đơn vị với k =8

Bảng 3.2: Các lớp kề lựa chọn để xây dựng bộ mã (64,8,32)

Bảng 3.3: Ma trận G1 (8,64)

Bảng 3.4: Ma trận sinh G (7,64)

Bảng 3.5: Các dữ liệu nhị phân của 10 ký tự là: "1234567890"

Bảng 3.6: Đánh giá hiệu suất phần mềm mã hoá và giải mã

5

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Mô hình hệ thống truyền tin mật

Hình 2.1: Thiết bị mã hoá cho mã xyclic (n,k) có đa thức sinh g(x)

Hình 2.2: Cấu trúc vành Z2[x] / xn+1

Hình 2.3: Sơ đồ thuật toán tính phân hoạch vành theo nhóm nhân xyclic đơn vị

Hình 2.4. Chương trình tính phân hoạch vành theo nhóm nhân xyclic đơn vị

Hình 3.1: Sơ đồ khối xây dựng hệ mật McEliece với mã XCB – Sơ đồ mã hoá

Hình 3.2: Sơ đồ khối xây dựng hệ mật McEliece với mã XCB – Sơ đồ giải mã

Hình 3.3: Sơ đồ thuật toán mã hoá

Hình 3.4: Sơ đồ thuật toán giải mã

Hình 3.5: Chương trình phần mềm mã hoá và giải mã

6

MỞ ĐẦU

Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin và truyền

thông, máy tính và mạng máy tính đang ngày càng đóng vai trò thiết yếu trong mọi

lĩnh vực hoạt động của toàn xã hội. Dữ liệu trao đổi trên mạng chứa rất nhiều thông

tin quan trọng cần được bảo vệ nên an toàn thông tin truyền trên mạng đóng một vai

trò rất quan trọng. Trong những thập kỷ 70 và 80 của thế kỷ trước công nghệ mã

hoá thông tin đã có bước phát triển vượt bậc. Các công nghệ mã hoá hiện đại đều

không dựa vào khả năng giữ bí mật về công nghệ mã hoá (thuật toán là công khai)

mà chỉ dựa vào bí mật chìa khoá giải mã, một hệ mật như vậy được gọi là hệ mật

khoá công khai. Hệ mật này đáp ứng được đầy đủ đòi hỏi về bảo mật thông tin và

phù hợp cho các ứng dụng rộng rãi trong cộng đồng. Trong thời gian gần đây, nhiều

thuật toán tốt đã được xây dựng song song với tốc độ phát triển của công nghệ

thông tin nói chung, tuy nhiên đó là những thuật toán và công nghệ mã hoá do nước

ngoài cung cấp, do vậy để bảo vệ các thông tin, đặt biệt trong lĩnh vực an ninh quốc

phòng, chúng ta phải tự mình xây dựng các giải pháp cho bảo mật thông tin.

Ý tưởng về một hệ mật khoá công khai được Diffie và Hellman đưa ra vào

năm 1976, sau đó Rivesrt, Shamir và Adleman đưa ra hệ mật nổi tiếng RSA vào

năm 1977. Tiếp theo đó một số hệ mật dựa trên các thuật toán khác nhau ra đời,

trong đó, quan trọng nhất là các hệ mật khoá công khai sau:

- Hệ mật RSA: Độ bảo mật của hệ RSA dựa trên độ khó của việc phân tích ra thừa

số nguyên lớn.

- Hệ mật xếp ba lô Merkle – Hellman: Hệ này và các hệ liên quan dựa trên tính khó

giải của bài toán tổng các tập con (bài toán NP đầy đủ). Tuy nhiên, tất cả các hệ mật

xếp ba lô khác nhau đều đã chứng tỏ là không mật (ngoại trừ hệ mật Chor-Rivest).

- Hệ mật McEliece: Hệ mật này dựa trên lý thuyết mã hoá đại số và vẫn còn được

coi là an toàn. Hệ mật McEliece dựa trên bài toán giải mã cho các mã tuyến tính

(cũng là một bài toán NP đầy đủ).

7

- Hệ mật ElGamal: Hệ mật ElGamal dựa trên tính khó giải của bài toán logarithm

rời rạc trên các trường hữu hạn .

- Hệ mật Chor-Rivest: Hệ mật Chor-Rivest cũng được xem như một hệ mật xếp ba

lô, hiện nay nó vẫn được coi là an toàn.

- Hệ mật trên các đường cong Elliptic: Các hệ mật này là biến tướng của các hệ mật

khác (chẳng hạn như hệ mật ElGamal), chúng làm việc trên các đường cong Elliptic

chứ không phải là trên các trường hữu hạn. Hệ mật này đảm bảo độ mật với số khoá

nhỏ hơn các hệ mật khoá công khai khác.

Trong các hệ mật khoá công khai ở trên, duy nhất có hệ mật McEliece dựa

trên lý thuyết mã đại số để xây dựng hệ mật, với ứng dụng cụ thể là mã Goppa.

Từ năm 1987, GS.TSKH. Nguyễn Xuân Quỳnh và PGS.TS Nguyễn Bình

lần đầu tiên đề xuất phương pháp xây dựng mã xyclic cục bộ (XCB) [1][2][3][4],

cùng với các kết quả nghiên cứu của các nghiên cứu sinh [5][6], mở ra khả năng có

thể nghiên cứu phát triển tiếp lý thuyết về mã xyclic cục bộ. Các kết quả nghiên cứu

trước đây đã đưa ra các phương pháp phân hoạch tổng quát vành theo các nhóm

nhân xyclic khác nhau trong vành. Phương pháp giải mã cho xyclic cục bộ dùng

phương pháp giải mã ngưỡng biểu quyết theo đa số, giải mã ngưỡng một cấp hoặc

hai cấp ngưỡng. Việc cải tạo các mã xyclic cục bộ thành các mã tối ưu được sử

dụng theo các phương pháp sử dụng dấu kiểm tra chẵn, sử dụng dấu thông tin giả,

các lớp mã xyclic cục bộ tự trực giao và có khả năng trực giao đã được đưa ra.

Các ưu điểm nổi bật của mã xyclic cục bộ là khả năng lựa chọn mã phong

phú, thuật toán mã hoá và giải mã là tường minh, có hướng mở cho các nghiên cứu

kế tiếp. Chính vì vậy, chúng tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng mã xyclic cục bộ xây

dựng hệ mật” với mục đích ứng dụng khả năng của mã xyclíc cục bộ để xây dựng

một hệ mật khoá công khai dựa trên hệ mật McEliece.

8

Mục đích của luận văn

Xây dựng một hệ mật khoá công khai dựa trên lược đồ hệ mật McEliece sử

dụng mã xyclic cục bộ.

Đối tượng nghiên cứu

Lý thuyết về mật mã, hệ mật khoá công khai, lý thuyết số, đại số, lý thuyết

mã xyclic cục bộ.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn

Về khoa học: Nghiên cứu của luận văn góp phần làm phong phú thêm về lý

thuyết mã xyclic cục bộ, chứng minh một khả năng mới xây dựng hệ mật khoá công

khai dựa trên lý thuyết mã đại số.

Về thực tiễn: Kết quả nghiên cứu sẽ đưa ra một khả năng có thể ứng dụng

trong thực tế, góp phần nâng cao tính bảo mật của thông tin trên đường truyền.

Phương pháp tiếp cận: Dựa trên cơ sở toán học về lý thuyết đại số, lý

thuyết số học, các thuật toán để xây dựng các hệ mật khoá công khai, các giải thuật

lập trình.

Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết mới về mã xyclic cục bộ.

Ứng dụng các kết quả mới nhất về mã xyclic cục bộ vào hệ mật McEliece.

Nội dung của luận văn

- Tìm hiểu hệ mật khoá công khai McEliece

- Nghiên cứu về mã xyclic cục bộ, tìm hiểu một phương án phân hoạch tổng quát

vành theo nhóm nhân xyclic đơn vị.

- Xây dựng một hệ mật dựa trên lược đồ McEliece sử dụng mã xyclic cục bộ.

Nội dung của luận văn được chia thành các chương sau:

9

Chương 1. Nghiên cứu tổng quan về hệ mật: Khái quát chung về hệ mật mã cổ

điển, sự ra đời của hệ mật khoá công khai, phân tích hệ mật khoá công

khai dựa trên thuật toán McEliece.

Chương 2. Các nghiên cứu về mã xyclic cục bộ, nghiên cứu thuật toán phân

hoạch vành dựa trên nhóm nhân xyclic đơn vị. Viết chương trình và

chạy thử phân hoạch vành đa thức. Nghiên cứu phương án sử dụng

mã xyclic cục bộ xây dựng hệ mật khoá công khai dựa trên thuật toán

McEliece.

Chương 3. Xây dựng hệ mật McEliece trên mã xyclic cục bộ: Về một phương

pháp xây dựng hệ mật McEliece trên mã xyclic cục bộ, xây dựng

thuật toán mã hoá và giải mã. Xây dựng thuật toán và viết chương

trình thử nghiệm hệ mật.

Kết luận. Kết luận về kết quả nghiên cứu và kiến nghị về hướng phát triển tiếp

theo.

10

Chương 1 - TỔNG QUAN VỀ HỆ MẬT

Chương này trình bày tổng quan về quá trình hình thành và phát triển các

hệ mật cổ điển và hệ mật khoá công khai, trong đó đi sâu phân tích về hệ mật

McEliece làm tiền đề cho các chương tiếp theo.

1.1. Khái quát chung hệ mật mã cổ điển

1.1.1. Mô hình hệ thống truyền tin mật Nhiệm vụ cơ bản của mật mã là tạo ra khả năng liên lạc trên một kênh

không mật cho hai người sử dụng sao cho người thám mã không thể hiểu được nội

dung thông tin được truyền đi. Thông tin mà người gửi muốn gửi cho người nhận có

cấu trúc tuỳ ý. Người gửi sẽ mã hoá bản tin (bản rõ) bằng một khoá đã được xác

định trước và gửi bản mã tới người nhận qua kênh thông tin. Người thám mã không

thể xác định được nội dung của bản rõ, nhờ có khoá mật KD người nhận có thể giải

mã và thu được bản rõ. Mô hình hệ thống truyền tin mật được mô tả trên hình sau:

Hình 1.1: Mô hình hệ thống truyền tin mật

Theo quan niệm toán học ta có định nghĩa về hệ mật như sau [11]:

Định nghĩa 1.1

Một hệ mật là bộ 5 (R, M, K, E, D) thoả mãn các điều kiện sau:

Nguồn tin

Thám mã

Bộ giải mã Bộ mã hoá Nhận tin

Kênh an toàn truyền khoá

Nguồn khoá

Bản rõ Bản rõ Bản mã

KE KD (Người gửi) (Người nhận)

(Người thám mã)

11

1. R là một tập hữu hạn các bản rõ có thể.

2. M là tập hữu hạn các bản mã có thể.

3. K (không gian khoá) là tập hữu hạn các khoá có thể.

4. Đối với mỗi k∈ K có một quy tắc mã ek ∈ E và một quy tắc giải mã tương ứng

dk ∈ D. Mỗi ek: R → M và dk: M → R là những hàm mà:

dk(ek(x)) = x với mọi bản rõ x ∈ R

Theo định nghĩa trên nếu một bản rõ x được mã hoá bằng ek và bản mã

nhận được giải mã bằng dk thì ta phải thu được bản rõ ban đầu x. Người nhận và

người gửi sẽ áp dụng thủ tục sau dùng hệ mật khoá riêng. Trước tiên, họ chọn một

khoá ngẫu nhiên k ∈ K. Tiếp theo, giả sử người gửi muốn gửi một thông báo cho

người nhận trên một kênh không mật và ta xem thông báo này là một chuỗi:

x = x1 x2 … xn

với số nguyên n ≥ 1 nào đó. Với xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, mỗi xi đều sẽ được mã hoá bằng

quy tắc mã ek với khoá k xác định trước. Người gửi sẽ tính:

yi = ek(xi), 1 ≤ i ≤ n

Chuỗi bản mã nhận được: y = y1 y2 … yn sẽ được gửi trên kênh. Khi nhận được y,

người nhận sẽ giải mã bằng dk và thu được bản rõ x = x1x2 … xn.

Hàm mã hoá ek phải là hàm ánh xạ một – một, nếu không việc giải mã sẽ

không thể thực hiện được một cách tường minh. Chú ý rằng nếu R = M thì mỗi hàm

mã hoá sẽ là một phép hoán vị, tức là nếu tập các bản mã và tập các bản rõ là đồng

nhất, thì mỗi một hàm mã sẽ là một sự sắp xếp lại (hay hoán vị) các phần tử của tập

này.

Hệ mật mã cổ điển (hệ mã bí mật hay hệ mã đối xứng) là hệ mã trong đó

việc mã hoá và giải mã cùng sử dụng chung một khoá bí mật.

1.1.2. Một số hệ mật mã cổ điển điển hình 1.1.2.1 Mã dịch vòng

12

Hệ mật được xây dựng dựa trên số học modulo. Ký hiệu m là số chữ cái của

bộ chữ xây dựng bản rõ R. Mã dịch vòng được định nghĩa như sau. Theo định nghĩa

1.1, cho R = M = K = Zm với 0 ≤ k ≤ (m - 1) và x, y ∈ Zm, ta định nghĩa:

ek(x) = (x + k) mod m

và dk(x) = (y – k) mod m

Các hệ mã hiện đại về thực chất là sự cải tiến của hệ mã dịch vòng. Về bản

chất, mã hoá một văn bản tiếng Anh thông thường là sự thiết lập sự tương ứng giữa

các chữ cái với các số theo modulo 26. Tính bảo mật của hệ mã dịch vòng nói

chung là không cao, người ta có thể dùng phương pháp tìm khoá vét cạn để xác định

bản rõ. Như vậy, điều kiện cần để một hệ mật an toàn là phép tìm khoá vét cạn

không thể thực hiện được.

1.1.2.2 Mã thay thế

Mã thay thế về bản chất là xem phép mã hoá và giải mã như các hoán vị

của các ký tự và được định nghĩa như sau. Theo định nghĩa 1.1, cho R= M = Z26 , K

chứa mọi hoán vị có thể của m ký hiệu. Với mỗi phép hoán vị π ∈ K, ta định nghĩa:

eπ(x) = π(x) và dπ(y) = π -1 (y), trong đó π-1 là hoán vị ngược của π.

Về mã này, với các văn bản tiếng Anh khi cần mã hoá, mỗi khoá của mã

thay thế là một trong số 26! hoán vị. Do vậy, áp dụng phương pháp tìm khoá vét cạn

sẽ khó khăn hơn. mã thay thế có thể dễ dàng bị thám mã bằng phương pháp thống

kê. Cả hai hệ mã dịch vòng và mã thay thế được gọi là hệ thay thế đơn biểu. Về cơ

bản, cả hai hệ đều xoay quanh phép thay thế.

1.1.2.3 Mã hoán vị

Về ý tưởng mã hoán vị là thay đổi vị trí giữa các ký tự của bản rõ. Mã hoán

vị được định nghĩa như sau: Cho m là một số nguyên dương xác định nào đó. Theo

định nghĩa 1.1, cho R = M = (Z26)m và K gồm tất cả các hoán vị π của {1, ..., m}.

Đối với một khoá π (tức là một hoán vị) ta xác định:

eπ(x1, ..., xm) = (xπ(1), ..., xπ(m)) và dπ(y1, ..., ym) = (yπ-1

(1), ..., yπ-1

(m))

13

1.1.2.4 Các hệ mã dòng

Trong các hệ mật nghiên cứu ở trên, các phần tử liên tiếp của bản rõ được

mã hoá bằng cùng một khoá k. Bản mã y nhận được có dạng:

y = y1y2 ... = eK(x1) eK(x2) ...

Các hệ mật thuộc dạng này thường được gọi là các mã khối. Trên một quan

điểm khác, người ta xây dựng các hệ mã dòng. Ý tưởng cơ bản ở đây là tạo ra một

dòng khoá z = z1z2z3... và dùng nó để mã hoá một xâu bản rõ x = x1x2x3... theo quy

tắc:

1 21 2 Z 1 Z 2y = y y ...= e (x )e (x )...

Về mặt toán học mã dòng theo [11] được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2

Mật mã dòng là một bộ (R, M, K, L, F, E, D) thoả mãn các điều kiện sau:

1. R là tập hữu hạn các bản rõ có thể.

2. M là tập hữu hạn các bản mã có thể.

3. K là tập hữu hạn các khoá có thể (không gian khoá).

4. L là tập hữu hạn bộ chữ của dòng khoá.

5. F = (f1f2 ...) là bộ tạo dòng khoá. Với i ≥ 1, fi: K × R-1 → L

6. Với mỗi z ∈ L có một quy tắc mã ez ∈ E và một quy tắc giải mã tương ứng dz

∈ D thoả mãn dz(ez(x)) = x với mọi bản rõ x ∈ R.

Ta có thể coi mã khối là một trường hợp đặc biệt của mã dòng khi dùng khoá không

đổi zi = K, với ∀i ≥ 1.

1.2. Hệ mật khoá công khai

1.2.1. Khái quát chung Việc xây dựng các hệ mật khoá công khai là thiết kế một hệ mật sao cho

khả năng tính toán để xác định quy tắc giải mã (dk) là rất thấp dù biết quy tắc mã

14

hoá ek. Vì vậy quy tắc mã hoá ek có thể được công khai rộng rãi. Ưu điểm của hệ

mật này là người gửi có thể gửi bản tin cho người nhận mà không cần thông tin

trước về khoá mật. Người nhận là người duy nhất có thể giải mã thông tin nhận

được nhờ sử dụng quy tắc giải mã dk.

Hàm mã khoá công khai ek là một hàm dễ tính toán. Việc tìm hàm ngược dk

(hàm giải mã) là cực kỳ khó khăn. Điều kiện cần thiết ek phải là hàm một chiều.

[11]

1.2.2. Nguyên tắc chung mã hoá với khoá công khai Trong hệ thống có N đối tượng cùng trao đổi thông tin mật. Từng đối tượng

chọn cho mình một khoá lập mã k và hàm mã hoá ek được công khai. Như vậy có N

khoá lập mã công khai k1 ,k2 ,k3, ..., kn. Khi đối tượng i muốn gửi thông tin cho đối

tượng j thì dữ liệu được chuyển thành từng khối với độ dài nào đó, mỗi khối P trong

văn bản được mã hoá bằng khoá lập mã jke của đối tượng j, thông tin gửi đi có dạng:

jkM = e (P) . Để giải mã, đối tượng j thực hiện: ( )j j jk k kd (M) = d e (P) = P .

Do jke và

jkd là khoá lập mã và giải mã của đối tượng j nên các đối tượng

khác trong hệ thống không thể tìm ra khoá giải mã jkd trong thời gian chấp nhận

được mặc dù biết jke .

1.2.3. Quá trình phát triển của hệ mật mã khoá công khai Các hệ mật khoá công khai được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ vào

cuối những năm 70 của thế kỷ trước. Các hệ mật điển hình đã được tập trung nghiên

cứu phát triển và đưa vào ứng dụng trong thực tế là hệ mật RSA, hệ mật RABIN, hệ

mật ELGAMAL, hệ mật CHOR-RIVEST, hệ mật McELIECE [11]..

1.2.3.1 Hệ mật RSA

Hệ RSA được xây dựng trên cơ sở mã mũ, trong đó khoá lập mã là cặp

(b,n), gồm số mũ b và mod n. Với n = p.q trong đó p và q là các số nguyên tố cực

lớn. Còn b được chọn là một số nguyên ngẫu nhiên sao cho UCLN(b,Φ(n)) = 1, với

15

Φ(n) là giá trị hàm Euler của n, ở đây Φ(n) = (p-1)(q-1). Đặt R = M = Zn và định

nghĩa K= {(n, p, q, a, b):

ab ≡ 1 (mod Φ(n))

Với k=(n, p, q, a, b) ta xác định

ek (x) = xb mod n và dk (y) = ya mod n

(x,y ∈ Zn). Các giá trị n và b được công khai và các giá trị p, q, a được giữ kín.

- Tạo khoá: Mỗi đối tượng trong hệ thống trao đổi thông tin cần tạo một khoá công

khai và một khoá riêng tương ứng theo các bước sau:

+ Tạo 2 số nguyên tố lớn ngẫu nhiên và khác nhau p và q.

+ Tính n = p.q và Φ(n) = (p - 1)(q - 1).

+ Chọn một số nguyên ngẫu nhiên b (0 < b < Φ(n)) sao cho: (b, Φ) = 1

+ Sử dụng thuật toán Euclide mở rộng để tính a = b-1 mod Φ(n).

+ Khoá công khai là cặp số (n,b). Khoá riêng bí mật là a.

- Mã hoá: B mã hoá một thông báo m để gửi cho A bản mã cần giải. B phải thực

hiện:

+ Thu nhận khoá công khai (n,b) của A.

+ Biểu diễn bản tin dưới dạng một số nguyên m trong khoảng [0,n - 1].

+ Tính c = mb mod n.

+ Gửi bản mã c cho A.

- Giải mã: Khôi phục bản rõ m từ c. A phải thực hiện phép tính sau bằng cách dùng

khoá riêng m = ca mod n.

- Đánh giá: Nếu ta chọn các số p và q vào khoảng 100 chữ số, thì n sẽ vào khoảng

200 chữ số như vậy hệ mật RSA được coi là an toàn. Để tránh bị rơi vào các trường

hợp đặc biệt (n bị phân tích nhanh nhờ những thuật toán mới) thì cần phải chọn (p –

1) và (q – 1) có toàn các ước nguyên tố nhỏ, UCLN (p – 1, q – 1) phải là số nhỏ.

16

Trong thực tế tốc độ mã hoá theo thuật toán RSA là rất chậm do vậy người

ta không ứng dụng hệ mật RSA cho mã hoá khối dữ liệu lớn mà thường chỉ tập

trung cho các vấn đề như: xác nhận chủ thể, tạo vỏ bọc an toàn cho văn bản mật..

1.2.3.2 Hệ mật ELGAMAL

Hệ mật ElGamal được xây dựng trên bài toán logarithm rời rạc. Việc mô tả

bài toán này được thiết lập trong trường hữu hạn Zp, p là số nguyên tố (Bài toán

logarithm rời rạc trong Zp) (Nhóm nhân *pZ là nhóm nhân xyclicvà phần tử sinh

của *pZ được gọi là phần tử nguyên thủy). Hệ mật ElGamal theo [11] được định

nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.5:

Cho p là một số nguyên tố sao cho bài toán logarithm rời rạc trong Zp là khó giải.

Cho α ∈ *pZ là phần tử nguyên thủy. Giả sử P = *

pZ , C = *pZ x *

pZ . Ta định nghĩa:

K = {(p, α, a, β): β ≡ α a (mod p)}

Các giá trị p, α, β được công khai, còn a giữ kín.

Với K = (p, α, a, β) và một số ngẫu nhiên bí mật k ∈ Zp, ta xác định:

ek(x, k) = (y1, y2)

trong đó: y1 = α k mod p

y2 = x βk mod p

với y1, y2 ∈ *pZ ta xác định:

dk(x, k) = y2 ( 1ay )-1 mod p

Bài toán logarithm rời rạc trong Zp

Đặc trưng của bài toán: I = (p, α, β) trong đó p là số nguyên tố, α ∈ Zp là phần tử

nguyên thủy, β ∈ *pZ .

Mục tiêu: Hãy tìm một số nguyên duy nhất a, 0 ≤ a ≤ p – 2 sao cho:

17

αa ≡ β (mod p)

Bài toán logarithm rời rạc trong Zp là đối tượng trong nhiều công trình

nghiên cứu và được xem là bài toán khó nếu p được chọn cẩn thận. Cụ thể là không

có một thuật toán thời gian đa thức nào cho bài toán logarithm rời rạc. Để gây khó

khăn cho các phương pháp tấn công đã biết, p phải có ít nhất 150 chữ số và (p - 1)

phải có ít nhất một thừa số nguyên tố lớn. Lợi thế của bài toán logarithm rời rạc

trong xây dựng hệ mật là khó tìm được các logarithm rời rạc, song bài toán ngược

lấy lũy thừa lại có thể tính toán hiệu quả theo thuật toán nhân và bình phương. Nói

cách khác, lũy thừa theo modulo p là hàm một chiều với các số nguyên tố p thích

hợp.

Elgamal đã phát triển một hệ mật khóa công khai dựa trên bài toán

logarithm rời rạc. Hệ mật Elgamal là một hệ mật không tất định vì bản mã phụ

thuộc vào cả bản rõ x lẫn giá trị ngẫu nhiên do người mã hóa chọn. Bởi vậy, sẽ có

nhiều bản mã được mã từ cùng bản rõ.

1.2.3.3 Hệ mật xếp ba lô MERKLE – HELLMAN

Hệ mật xếp ba lô Merkle – Hellman nổi tiếng lần đầu được Merkle-

Hellman mô tả vào năm 1978. Mặc dù hệ mật này và một vài biến thể của nó đã bị

phá vào đầu những năm 1980, nhưng nó vẫn là một cống hiến có giá trị do sự tinh tế

về khái niệm và kỹ thuật thiết kế có tính nền tảng của mình. Hệ thống này xây dựng

trên cơ sở bài toán tổng tập con (là bài toán NP-đầy đủ).

Với một danh sách các cỡ (s1, s2, s3,.., sn) là một dãy siêu tăng nếu:

1

1

j

j ii

s s−

=

> ∑

với 2 ≤ j ≤ n. Nếu danh sách các cỡ là một dẫy siêu tăng thì dạng tìm kiếm của bài

toán tổng các tập con có thể giải rất dễ dàng với thời gian O(n) và nghiệm x (nếu

tồn tại) phải là nghiệm duy nhất.

Giả sử s = (s1,...,sn) là một dẫy siêu tăng, xét hàm

18

1

:{0,1} {0,..., }n

ns i

ie s

=

→ ∑

Hàm này được xác định như sau:

11

( ,..., )n

s n i ii

e x x x s=

= ∑

Từ đó có thể dùng es như một quy tắc mã hoá. Vì s là một dẫy siêu tăng nên

es là một đơn ánh và thuật toán để giải trường hợp siêu tăng của bài toán tổng các

tập con sẽ là thuật toán giải mã tương ứng. Tuy nhiên một hệ thống như vậy sẽ hoàn

toàn mất an toàn vì bất kỳ ai cũng có thể giải mã một bản tin theo cách trên. Vấn đề

cơ bản ở đây là biến đổi danh sách các cỡ theo cách sao cho nó không còn là dãy

siêu tăng nữa. Người nhận sẽ không thể áp dụng một phép biến đổi ngược để khôi

phục lại danh sách siêu tăng các cỡ. Mặt khác, người thám mã (không biết phép

biến đổi được dùng) phải đối mặt với bài toán tổng quát (là một bài toán khó của bài

toán tổng các tập con) trong khi cố gắng giải mã một bản mã.

Một kiểu biến đổi thích hợp là phép biến đổi theo modulo, điều này có

nghĩa là phép biến đổi modulo p được chọn sao cho:

0

n

ii

p s=

> ∑

Ta chọn thừa số a thoả mãn 1 ≤ a ≤ p-1. Sau đó xác định:

ti = a si mod p

1 ≤ i ≤ n. Danh sách các cỡ t = (t1,.., tn) là khoá công khai được dùng để mã hoá.

Các giá trị a, p dùng để xác định phép biến đổi theo modulo sẽ được giữ kín. Theo

[11] ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.6:

Cho s = (s1,....,sn) là một danh sách các số nguyên siêu tăng. Cho 1

n

ii

p s=

> ∑

là một số nguyên tố và 1 ≤ a ≤ p-1. Với 1 ≤ i ≤ n, ta xác định:

19

ti = a si mod p

và ký hiệu t = (t1,...,tn).

Giả sử P = {0,1}n, C = {0,...,n(p-1)} và cho K={(s,p,a,t)}. Trong đó s, a, p

và t là các số được xây dựng như trên t được công khai, còn p, a và s được giữ kín.

Với K ={(s,p,a,t)} ta định nghĩa:

11

( ,.. )n

K n i ii

e x x x t=

= ∑

với 0 ≤ y ≤ n(p-1) ta xác định z = a-1 y mod p và giải bài toán tập con (s1,..., sn,z), ta

sẽ được:

dK(y) = (x1,...,xn)

1.2.3.4 Hệ mật McEliece

Hệ mật McEliece [11] sử dụng nguyên lý tương tự như hệ mật Merkle-

Hellman. Phép giải mã là một trường hợp đặc biệt của bài toán NP đầy đủ. Trong hệ

thống này, bài toán NP được áp dụng ở đây là bài toán giải mã cho một mã sửa sai

(nhị phân) tuyến tính nói chung. Tuy nhiên, đối với nhiều lớp mã đặc biệt tồn tại các

thuật toán thời gian đa thức. Một trong những lớp mã này là mã Goppa, chúng được

dùng làm cơ sở cho hệ mật McEliece.

Định nghĩa 1.7

Coi k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Mã C[n,k] là một không gian con k

chiều của (Z2)n (không gian véc-tơ của tất cả các véc-tơ nhị phân n chiều). Ma trận

sinh của mã C[n,k] là ma trận nhị phân k n× , các hàng của ma trận này tạo nên cơ

sở của C.

Coi x,y ∈ (Z2)n, trong đó x = (x1, x2,..,xn) và y = (y1,…,yn). Ta xác định khoảng cách

Hamming:

d(x,y) = |{i: 1 ≤ i ≤ n, xi ≠ yi}|

tức là số các tọa độ mà ở đó x và y khác nhau.

20

Coi C là mã [n,k]. Khoảng cách mã C được định nghĩa như sau:

d(C) = min{d(x, y): x, y ∈ C, x ≠ y}

Mã [n, k] có khoảng cách d được ký hiệu là mã [n, k, d].

Mã sửa sai được dùng để sửa các sai ngẫu nhiên xảy ra khi truyền số liệu

qua kênh có nhiễu. Giả sử G là một ma trận sinh đối với mã [n, k, d], x là véc-tơ nhị

phân k chiều cần truyền. Người gửi sẽ mã hóa x thành một véc-tơ n chiều y = x.G

rồi truyền y qua kênh.

Giả sử người nhận nhận được véc-tơ n chiều r không giống y, người nhận

sẽ giải mã r bằng chiến thuật giải mã “người láng giềng gần nhất”. Theo chiến thuật

này, người nhận sẽ tìm thấy từ mã y’ có khoảng cách tới r nhỏ nhất. Sau đó sẽ giải

mã r thành y’, rồi xác định véc-tơ k chiều x’ sao cho y’ = x’G. Người nhận hy vọng

y’= y và bởi vậy x’= x (tức là người nhận tin rằng các sai số trên đường truyền đã

được sửa). Dễ dàng thấy rằng, nếu sai số trên đường truyền nhiều nhất là (d - 1)/2

thì sẽ sửa được tất cả các sai.

Trên thực tế, thuật toán giải mã này được thực hiện như sau: Vì |C| = 2k nên

người nhận so sánh r với mỗi từ mã phải kiểm tra, 2k véc-tơ là một số lớn theo hàm

mũ so với k. Nói cách khác, thuật toán này không phải là thuật toán thời gian đa

thức.

Một biện pháp khác (tạo cơ sở cho nhiều thuật toán giải mã thực tế) dựa

trên khái niệm về syndrom. Ma trận kiểm tra tính chẵn lẻ của mã C[n,k,d] - có ma

trận sinh G - là một ma trận nhị phân (n - k) x n chiều (ký hiệu là H). Các hàng của

H sẽ tạo cơ sở cho các phần bù trực giao của C (ký hiệu là C⊥) và được gọi là mã

đối ngẫu với C. Các hàng của H là những véc-tơ độc lập tuyến tính, còn GH⊥ là một

ma trận không, cấp k x (n-k).

Cho véc-tơ r∈(Z2)n, ta xác định syndrom của r là Hr⊥. Syndrom Hr⊥ là một

véc-tơ cột có (n-k) thành phần.

Định lý 1.1

21

Giả sử C là một mã [n, k] có ma trận sinh G và ma trận kiểm tra tính chẵn lẻ H. Khi

đó y ∈ (Z2)n là một từ mã khi và chỉ khi

T

00.

H.y = ..0

Hơn nữa nếu y ∈ C, e ∈ (Z2)n và r = y + e thì HrT = HeT.

Ta coi e là véc-tơ sai xuất hiện trong quá trình truyền từ mã y. Khi đó r biểu

diễn véc-tơ thu được. Định lý trên phát biểu rằng syndrom chỉ phụ thuộc vào các sai

số mà không phụ thuộc vào từ mã cụ thể nào được truyền đi. Điều này đưa tới một

cách giải mã gọi là giải mã theo syndrom:

- Tính s = HrT

- Nếu s là một véc-tơ toàn không, thì giải mã r thành r.

- Nếu không thì tính HeT cho từng véc-tơ sai (có trọng số 1).

- Nếu có một véc-tơ e nào đó thỏa mãn HeT = s thì giải mã r thành r-e.

- Ngược lại, tiếp tục tính HeT cho các véc-tơ sai có trọng số 2,3,..., [(d-1)/ 2] cho

đến khi thỏa mãn HeT = s thì giải mã r thành r-e.

Theo thuật toán này, có thể giải mã cho một véc-tơ nhận được trong nhiều

nhất t

in

i=0

C∑ bước (t là số sai có thể sửa được).

Phương pháp này làm việc trên một mã tuyến tính bất kỳ. Đối với một số

loại mã đặc biệt, thủ tục giải mã có thể nhanh chóng hơn. Tuy nhiên, trên thực tế,

cách giải quyết này cho chiến thuật giải mã “người láng giềng gần nhất” vẫn là một

bài toán NP đầy đủ. Như vậy, vẫn chưa có một thuật toán thời gian đa thức cho

22

trường hợp tổng quát cho chiến thuật giải mã người láng giềng gần nhất. (Khi số

các sai số không bị giới hạn bởi [(d-1)/2]).

Cũng giống như bài toán tổng hợp tập con, có thể chỉ ra một trường hợp đặc

biệt “dễ”, sau đó ngụy trang sao cho nó giống với bài toán chung “khó”. Một trường

hợp “dễ” được McEliece đề nghị là dùng một mã trong lớp các mã Goppa. Trên

thực tế, mã này có thuật toán giải mã hữu hiệu. Hơn nữa mã này rất dễ tạo và trong

cùng một lớp mã có thể tạo một số lượng lớn các mã khác nhau.

Các tham số của mã Goppa có dạng n = 2m, d = 2t +1 và k = n - mt. Để áp

dụng trong thực tế cho một hệ mật khóa công khai, McEliece đề nghị chọn m = 10

và t = 50. Điều này ứng với mã Goppa [1024,524,101]. Mỗi bản rõ là một véc-tơ

nhị phân có độ dài 524 và mỗi bản mã là một véc-tơ nhị phân độ dài 1024. Khóa

công khai là một ma trận nhị phân 524 x 1024.

Hệ mật McEliece được mô tả như sau:

Cho G là một ma trận sinh của một mã Goppa C[n, k, d], trong đó n = 2m, d =

2t+1 và k = n - mt.

Cho S là một ma trận khả nghịch cấp k k× trên Z2.

Giả sử P là một ma trận hoán vị cấp n n× , ta đặt G’ = SGP.

Cho P = (Z2)2, C = (Z2)n và ký hiệu: K = {(G, S, P, G’)}

Trong đó G, S, P được xây dựng như mô tả ở trên và được giữ kín, còn G’ được

công khai.

Với K = (G, S, P, G’), ta định nghĩa: ek(x, e) = x.G’ + e.

Ở đây, e ∈ (Z2)n là một véc-tơ ngẫu nhiên có trọng số t.

Người nhận giải mã bản mã y ∈ (Z2)n theo các bước sau:

1. Tính: y1 = yP-1.

2. Giải mã y1, người nhận tìm được: y1 = x1 + e1, x1∈C.

3. Tính x0 ∈ (Z2)k sao cho: x0G=x1

23

4. Tính x = x0S-1

Để minh họa cho các thủ tục mã và giải mã, ta xét ví dụ sau :

Ma trận

1 0 0 0 1 1 00 1 0 0 1 0 10 0 1 0 0 1 10 0 0 1 1 1 1

G

=

Là ma trận sinh của mã Hamming [7, 4, 3]. Giả sử người nhận chọn ma trận

S và ma trận P như sau:

1 1 0 11 0 0 10 1 1 11 1 0 0

S

=

và

0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0

P

=

Khi đó ma trận sinh công khai là :

1 1 1 1 0 0 01 1 0 0 1 0 0

'1 0 0 1 1 0 10 1 0 1 1 1 0

G

=

Giả sử người gửi mã hóa bản rõ x = (1,1,0,1) bằng cách dùng một véc-tơ sai

ngẫu nhiên trọng số 1 có dạng e = (0,0,0,0,1,0,0). Bản mã tính được là:

y = xG’ + e

=

1 1 1 1 0 0 01 1 0 0 1 0 0

(1,1,0,1) (0,0,0,0,1,0,0)1 0 0 1 1 0 10 1 0 1 1 1 0

+

= (0, 1, 1, 0, 0, 1, 0) + (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0)

= (0, 1, 1, 0, 1, 1, 0)

24

Khi người nhận nhận được bản mã y, trước hết tính:

11

0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1

(0,1,1,0,1,1,0) 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0

−

= =y yP = (1, 0, 0, 0, 1, 1, 1)

Tiếp theo người nhận giải mã y1 để nhận được x1 = (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0) (cần

để ý là e1 ≠ e do phép nhân với P-1). Sau đó lập x0 = (1, 0, 0, 0) (bốn thành phần đầu

tiên của x1). Cuối cùng người nhận tính:

10

1 1 0 11 1 0 0

(1,0,0,0) (1,1,0,1)0 1 1 11 0 0 1

−

= = =x S x

Đây chính là bản rõ cần nhận được.

1.3. Kết luận Trong chương này đã đề cập tới các nội dung về các hệ mật mã cổ điển và

các hệ mật mã khoá công khai, trên cơ sở phân tích các ưu nhược điểm của các hệ

mật, chúng ta nhận thấy rằng trong các hệ mật khoá công khai chỉ có hệ mật

McEliece là sử dụng lý thuyết mã đại số cụ thể là mã Goppa để xây dựng hệ mật.

Với sự phát triển của lý thuyết xây dựng mã xyclic cục bộ, chúng ta hoàn toàn có

thể tự xây dựng một hệ mật khoá công khai dựa trên lược đồ McEliece sử dụng mã

xyclic cục bộ.

25

Chương 2 - LÝ THUYẾT VỀ MÃ XYCLIC CỤC BỘ VÀ

PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC

2.1. Khái niệm mã xyclic và vành đa thức

2.1.1. Mã tuyến tính a) Mã tuyến tính

Mã tuyến tính độ dài n là mã mà từ mã của nó có các dấu mã là các dạng

tuyến tính.

Mã tuyến tính (n,k) là mã tuyến tính độ dài n trong đó ta có thể chỉ ra được

vị trí của k dấu thông tin trong từ mã.

Mã tuyến tính ngẫu nhiên là mã tuyến tính có các dấu mã được chọn ngẫu

nhiên từ các dạng tuyến tính có thể có.

b) Ma trận sinh và ma trận kiểm tra

Để đơn giản cho việc mô tả mã tuyến tính người ta thường sử dụng ma trận

sinh G[k x n]. Ma trận này chứa k véc-tơ hàng độc lập tuyến tính tạo nên không gian

mã V(n,k). Trong đại số tuyến tính ta biết rằng với mỗi G sẽ tồn tại ma trận H[r x n]

thỏa mãn:

G . HT = 0, r = n - k

Ma trận H được gọi là ma trận kiểm tra của mã tuyến tính (n, k). Ta thấy

rằng H chứa r véc-tơ hàng trực giao với các véc-tơ hàng của G.

Hiển nhiên là nếu a là một véc-tơ mã a ∈ V(n,r) thì a.HT = 0. Ở đây, H cũng

là một ma trận sinh của một mã tuyến tính V(n,r) và G lại chính là ma trận kiểm tra

của mã này. Ta có thể viết ra r phương trình:

1

0, 1,2,..,n

j ijj

a h i r=

= =∑

Các phương trình này còn được gọi là các tổng kiểm tra của mã tuyến tính.

26

2.1.2. Vành đa thức

Nhóm hữu hạn <G,.>, với G = { αi, ∀i } thì G gọi là nhóm xyclic sinh bởi

α, và α được gọi là phần tử sinh của nhóm.

Vành đa thức là tập hợp các đa thức thực hiện được hai phép toán cộng (+)

và nhân (.) đa thức theo modulo xn + 1, trong đó < f(x), + > tạo thành một nhóm còn

< f(x), . > tạo thành nửa nhóm. Ký hiệu vành đa thức là Rn. Nếu xét trên trường nhị

phân GF(2) thì vành đa thức được kí hiệu dưới dạng Z2[x]/xn+1.

Trên vành đa thức Z2[x]/xn+1 ta định nghĩa phép nhân modulo như sau:

a(x), b(x) là các đa thức của vành, a(x).b(x) = c(x) (mod xn+1) cũng là một đa thức

của vành. Ví dụ, trên vành Z2[x]/x5+1: a(x) = 1 + x4, b(x) = x, phép nhân hai đa thức

này là c(x) = a(x).b(x)= (1+x4)(x)= x5+x = x+1 (mod x5+1).

Ideal I của vành đa thức gồm tập các đa thức a(x) là bội của một đa thức

g(x) thỏa mãn:

- g(x) là ước của xn + 1.

- deg g(x) = min deg a(x) với mọi a(x) ∈ I, a(x) ≠ 0.

Ký hiệu Ideal I trong vành đa thức là I = <g(x)>.

Xét trong vành đa thức, đa thức a(x) = 1

0

ni

ii

a x−

=∑ 0 1 1( , ,..., )na a a a −⇔ = . Nhân

a(x) với nhân tử x ta có: b(x) = a(x). x = x.(1

0

ni

ii

a x−

=∑ ) 1 0 2( , ,..., )n nb a a a− −⇔ = . Biểu

diễn của véc tơ b là dịch vòng sang phải một cấp so với của véc-tơ a.

* Phần tử đối xứng

a(x) được gọi là phần tử đối xứng của ( )a x nếu: 1

00

( ) ( ) ( )−

=

+ = = ∑n

i

ia x a x c x x

với: ( ) , ( )∈ ∈

= =∑ ∑i ji j

i I j Ja x a x a x a x ,

27

I ∪ J = S = {0,1,2,…,n-1} , I ∩ J = ∅

Định lý 2.1 (Với n lẻ): Trong vành luôn luôn tồn tại đa thức có bậc lớn nhất bằng

m. Ký hiệu: m = max deg fi(x).

Cấp lớn nhất của một đa thức trong vành được xác định:

max ord a(x) = 2m – 1, với ∀a(x) ∈ Rn.

Ví dụ: n = 9: x9 + 1 = (1+ x)(1 + x + x2)(1 + x3 + x6)

→ m = 6 → max ord a(x) = 26 – 1 = 63

Xét đa thức a(x) ∈ Rn ( Z2[x]/(xn+1) ).

* Nhóm nhân xyclic đơn vị

Nhóm nhân xyclic đơn vị là nhóm bao gồm mọi đơn thức có bậc <n (nhóm

có n phần tử).

Ký hiệu là : I = { x, x2 , x3 , …, xn-1 , 1 }

Nhóm nhân xyclic đơn vị I bao gồm n phần tử với phần tử sinh là x. Nhóm

nhân này nhóm nhân cấp n.

* Nhóm nhân xyclic với phần tử sinh a(x)

Nhóm nhân xyclic với phần tử sinh a(x) bao gồm các phần tử là luỹ thừa

của phần tử sinh và có thể viết:

A = { a(x), (a(x))2 , (a(x))3 , …}

* Cấp số nhân xyclic trên vành đa thức

Xét vành đa thức Z2[x]/ xn+1 với n lẻ, giả sử a(x) là số hạng đầu tiên của

cấp số nhân xyclic và q(x) là công bội của cấp số nhân. Cấp số nhân xyclic trên

vành đa thức là một tập con có dạng:

A(a,q) = { a(x), a(x).q(x), a(x).q2(x), …, a(x).qm-1(x)}

Trong đó, m là số số hạng của cấp số nhân này, a(x).qm(x) ≡ a(x) mod (xn+1).

28

2.1.3. Mã xyclic a) Định nghĩa

Định nghĩa 2.2

Mã xyclic (n, k) là ideal I = <g(x)> của vành đa thức Z2[x]/xn+1.

Mã xyclic là một bộ mã tuyến tính có tính chất sau: Nếu a(x) là một từ mã

thì dịch vòng của a(x) cũng là một từ mã thuộc bộ mã này.

Ví dụ: Xét các mã xyclic trên vành Z2[x]/x7+1, ta có 7 ideal tương ứng với 7 bộ mã

xyclic:

Ta có: x7+1 = (1+x)(1+x+x3)(1+x2+x3)

Bảng 2.1: Các mã xyclic trên vành Z2[x]/x7+1

Đa thức sinh g(x) Mã (n,k) Khoảng cách Hamming d0

1 (7,7) 1

1 + x (7,6) 2

1 + x + x3 (7,4) 3

1 + x2 + x3 (7,4) 3

1 + x + x2 + x4 (7,3) 4

1 + x2 + x3 + x4 (7,3) 4

1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 (7,1) 7

b) Ma trận sinh của mã xyclic

Vì mã xyclic (n, k) là một mã tuyến tính nên ta có thể mô tả nó thông qua

ma trận sinh G chứa k véc-tơ hàng độc lập tuyến tính. Ta có thể thiết lập G như

sau:

29

1

( )

. ( )

...

. ( )k

g x

x g xG

x g x−

=

Ví dụ: Mã xyclic (7,4) có đa thức sinh g(x) = 1 + x + x3, ma trận sinh của mã này có

thể mô tả như sau:

3

2 4

2 3 5

3 4 6

1 1 0 1 0 0 01

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 0 1

x x

x x xG

x x x

x x x

+ + + + = = + + + +

c) Ma trận kiểm tra của mã xyclic

Vì g(x) là ước của xn + 1 nên ta có thể viết g(x).h(x) = xn + 1. Đa thức h(x)

được gọi là đa thức kiểm tra. Vì g(x).h(x) ≡ 0 mod xn + 1 nên g(x) và h(x) được gọi

là các đa thức trực giao.

Ta có h(x) = 0

kj

jj

h x=∑ , với h0 = hk = 1, hj ∈ {0,1}, với j = 2,..,k-1.

Ma trận kiểm tra của mã xyclic sinh bởi g(x) là:

*

*

1 *

( )

. ( )

...

. ( )r

h x

x h xH

x h x−

=

Trong đó, r = n – k, và h*(x) là đa thức đối ngẫu của h(x): h*(x) = xdeg h(x).h(x-1).

Ví dụ: Ma trận mã kiểm tra cho mã xyclic (7,4) với đa thức sinh g(x) = 1+x+x3 là:

Ta có: h(x) = (x7+1)/(1+x+x3) = (1+x)(1+x2+x3) = x4+x2+x+1

h*(x) = 1+x2+x3+x4

Ma trận kiểm tra:

30

2 3 4

3 4 5

2 4 5 6

1 1 0 1 1 1 0 0

0 1 0 1 1 1 0

0 0 1 0 1 1 1

x x x

H x x x x

x x x x

+ + + = + + + =

+ + +

2.1.4. Mã hoá cho mã xyclic a) Mô tả từ mã

Mã xyclic (n,k) được gọi là mã xyclic hệ thống nếu ta có thể chỉ rõ vị trí

của các dấu thông tin và các dấu kiểm tra trong từ mã.

Thông thường thì các dấu thông tin được sắp xếp ở k vị trí bậc cao, còn lại

là dấu kiểm tra.

fn-1 fn-2 ... fr fr-1 fr-2 ... f0

k dấu thông tin r dấu kiểm tra

Ta có ( )1

0

. ( ) ( )n

i n ki

i

f x f x x a x r x−

−

=

= = +∑

b) Thuật toán mã hoá hệ thống

Thuật toán xây dựng từ mã xyclic như sau:

Đầu vào: Tin rời rạc ai ∈ A.

Đầu ra: Từ mã fi(x) tương ứng với ai.

Bước 1: Mô tả ai trong tập tin cần mã hoá (gồm 2k tin) bằng một đa thức ai(x) với

deg ai(x) không vượt quá k – 1.

Bước 2: Nâng bậc của ai(x) bằng cách nhân nó với xn-k.

Bước 3: Chia ai(x).xn-k cho đa thức sinh g(x) để tìm phần dư ri(x).

Bước 4: Xây dựng từ mã xyclic: fi(x) = ai(x).xn-k + ri(x).

c) Thiết bị mã hoá

31

Thiết bị mã hoá có cốt lõi là thiết bị chia cho g(x) để lấy dư, thực chất là

otomat nhớ dạng của g(x). Giả sử g(x) = 1

0

ri

ii

g x−

=∑ . Thiết bị mã hoá cho mã (n,k) với

đa thức sinh g(x) như hình sau:

Hình 2.1 : Thiết bị mã hoá cho mã xyclic (n,k) có đa thức sinh g(x)

Thiết bị này hoạt động như sau:

- k nhịp đầu (chia và tính phần dư): Mạch và V1 mở, V2 đóng, thiết bị hoạt động

như một bộ chia để tính dư. Kết thúc nhịp thứ k, toàn bộ phần dư nằm trong r ô nhớ

từ 1 đến r. Trong quá trình này, các dấu thông tin ai(x).xn-k được đưa qua mạch hoặc

H.

- r nhịp sau (đưa ra các dấu kiểm tra (phần dư) ra đầu ra). Mạch và V1 đóng, thiết

bị hoạt động như một thanh ghi dịch nối tiếp. Mạch và V2 mở, các dấu kiểm tra

được lần lượt đưa ra từ bậc cao tới bậc thấp. Kết thúc nhịp thứ n, toàn bộ từ mã

được đưa ra đầu ra.

2.1.5. Giải mã ngưỡng a) Hai thủ tục giải mã

Mọi phương pháp giải mã đều có thể tiến hành theo một trong 2 thủ tục giải

mã sau:

- Thủ tục 1: Dẫn ra bản tin từ dãy dấu nhận được.

1 2 r + + +

g1 g2 gr-1

V1 1,2,..,k

V2 k+1,..,n

ai(x).xn-k

Vào

Ra H

1,..,n

+

32

- Thủ tục 2: Dẫn ra véc-tơ sai từ dãy dấu nhận được.

b) Giải mã theo syndrom

Giả sử v ∈ V là mã xyclic (n,k) có đa thức sinh g(x). Ma trận sinh của V(n,k)

có dạng:

1

( )

. ( )

...

. ( )k

g x

x g xG

x g x−

=

Gọi h(x) = (xn + 1) / g(x), ta có deg g(x) = r, deg h(x) = k. Gọi h*(x) là đa

thức đối ngẫu của h(X), h*(x) = xdeg h(x). h(x-1). Khi đó, ma trận kiểm tra của mã

V(n,k) có dạng:

*

*

1 *

( )

. ( )

...

. ( )r

h x

x h xH

x h x−

=

Ta có G.HT = 0.

Với v ∈ V bất kì, ta có v.HT = 0.

Xét mô hình truyền tin sau:

u = v + e

Kênh Giải mã x x’

y = x + e

y

e

+ e’

Kênh Giải mã x x’

y = x + e

y

e

Kênh v

e u = (u0, u1, ..., un-1 )

33

Ta có S(u) = u.HT = (v+r).HT = e.HT = S(e). S(e) là một véc-tơ r chiều đặc trưng cho

véc-tơ sai e có n chiều. Ta gọi S(u) là syndrom của véc-tơ nhận được u. Quá trình

giải mã dựa trên việc phân tích trạng thái của S(u) được gọi là giải mã theo

syndrom.

Tập r tổng kiểm tra trong S(u) tạo nên hệ tổng kiểm tra. Mỗi tổng kiểm tra

trong hệ sẽ trong hệ sẽ chứa một thông tin nhất định về dấu cần giải mã ui, thông

tin đó có thể nhiều, ít hoặc không có gì. Ngoài ra mỗi tổng kiểm tra này còn chứa

thông tin về các dấu mã uj khác.

Để giải mã cho ui hiển nhiên rằng ta cần xây dựng một hệ tổng kiểm tra

chứa nhiều thông tin nhất về ui. Trên cơ sở đó ta đưa ra khái niệm hệ tổng kiểm tra

trực giao sau:

Định nghĩa: Hệ J tổng kiểm tra được gọi là trực giao với ui nếu:

- Mỗi tổng kiểm tra trong hệ đều chứa ui.

- Dấu mã uj (j≠i) chỉ nằm tối đa trong một tổng kiểm tra.

Nhận xét:

- Hệ tổng kiểm tra trực giao chứa nhiều thông tin về ui và chứa ít thông tin về các

dấu mã khác.

- Sai ở một dấu mã uj chỉ làm ảnh hưởng tới nhiều nhất là một tổng kiểm tra trong

hệ.

- Sai ở ui sẽ làm thay đổi tất cả các giá trị của các tổng kiểm tra trong hệ.

- Ta có thể sửa được sai cho dấu ui dựa trên thông tin về giá trị của các tổng kiểm

tra bằng phương pháp bỏ phiếu (giải mã ngưỡng theo đa số). Khi đó khoảng cách

mã Hamming đạt được theo phương pháp này sẽ thỏa mãn điều kiện:

d0 = J + 1.

Hệ tổng kiểm tra được gọi là có khả năng trực giao nếu nó là hệ tổng kiểm

tra trực giao với một tổ hợp tuyến tính nào đó các dấu mã.

34

Xét tổ hợp tuyến tính các dấu mã sau: 1 2

...mi i iU U Uα = + + + , khi đó hệ

tổng kiểm tra có khả năng trực giao sẽ gồm các tổng kiểm tra thỏa mãn điều kiện:

- α nằm trong tất cả các tổng kiểm tra trong hệ.

- Uj (j ≠ ik với Uik ∈ α ) chỉ nằm trong nhiều nhất là một tổng kiểm tra trong

hệ.

Nhận xét:

- Dựa trên hệ tổng kiểm tra có khả năng trực giao ta có thể giải mã được

cho giá trị của α bằng phương pháp ngưỡng.

- Để giải mã cho một dấu mã Uik cụ thể ta phải sử dụng nhiều bước (nhiều

cấp ngưỡng).

2.1.6. Khái niệm mã xyclic cục bộ Mã xyclic cục bộ là mã hệ thống tuyến tính (n,k), trong đó:

- k dấu thông tin được chọn là k đơn thức có dạng xi (với i = 0,1,..,k-1) và là

nhóm nhân xyclic cấp k của vành Z2[x]/xn + 1.

- r = n – k dấu kiểm tra được chọn là một tập con không rỗng tuỳ ý nào đó các

lớp kề của nhóm nhân này.

2.1.7. Mối quan hệ giữa mã xyclic và xyclic cục bộ Theo quan điểm xây dựng mã xyclic thông thường, mã xyclic là một Ideal

của vành đa thức, trong đó mỗi từ mã là một phần tử của Ideal đó trên vành đa thức.

Theo quan điểm xây dựng mã xyclic cục bộ, mỗi dấu mã là một phần tử của

Ideal, toàn bộ từ mã là một bộ phận của vành gồm n phần tử xác định của Ideal.

Như vậy, ta hoàn toàn có thể dùng lý thuyết xây dựng các đa thức sinh của

mã xyclic để tạo các trưởng lớp kề cho các mã xyclic cục bộ. Với quan điểm đó, lớp

kề được xây dựng theo cách sau đây sẽ tạo nên một mã xyclic:

35

Mã xyclic cục bộ được xây dựng từ trưởng lớp kề là một đa thức sinh g(x)

thỏa mãn:

- Đa thức sinh là ước của xn+1

- Bậc của đa thức sinh bằng r với r = n – k.

- Sử dụng r dấu thông tin giả khi tạo lớp kề này, tức là cho trước: 0 1 2 1... 0−= = = = =nx x x x .

Trên cơ sở phân tích như vậy thì mã xyclic là một lớp kề đặc biệt của mã

xyclic cục bộ, hay mã xyclic là một dạng đặc biệt của mã xyclic cục bộ.

2.1.8. Mã xyclic cục bộ xây dựng trên các nhóm nhân xyclic Trên Z2[x]/(xn + 1), xét nhóm nhân xyclic sau: A = {ai(x)}, i = 1,2,…

Giả sử ord a(x) = l. Mỗi nhóm nhân xyclic sẽ tạo nên một mã xyclic (l,k,d)

nào đó. Số các nhóm nhân xyclic tạo nên các mã (l, k, d) có cùng tham số là ϕ(l),

trong đó ϕ(l) là hàm Euler, ϕ(l) là số các số nguyên nguyên tố cùng nhau với l.

Bằng cách dịch vòng các phần tử trong mỗi nhóm nhân, ta cũng có thể tạo

ra các mã xyclic (l, k, d) có cùng tham số. Như vậy số các mã xyclic có cùng tham

số có thể tạo ra là: N = l.ϕ(l).

2.2. Phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân xyclic

2.2.1. Phân hoạch của vành theo các nhóm nhân xyclic Khi nghiên cứu các vành đa thức Z2[x]/ xn+1, chúng ta đã có những phát

triển mới trong phân hoạch vành đa thức để làm cơ sở xây dựng các mã xyclic cục

bộ và mã xyclic. Vành đa thức Z2[x]/ xn+1 có thể phân hoạch thành các lớp kề

tương ứng với các nhóm nhân xyclic nào đó. Các nhóm nhân này được gọi là cá

nhóm nhân sinh của phân hoạch hoặc là lớp kề sinh. Dựa vào các lớp kề này, chúng

ta có thể tạo ra được các mã xyclic cục bộ và các mã xyclic khác nhau.

Phân hoạch của vành là chia vành thành các tập con không giao nhau, với

mỗi tập con là một cấp số nhân xyclic và hợp của các tập con bằng vành. Phân

36

hoạch vành thành tập hợp các cấp số nhân xyclic khác nhau. Tuỳ theo cách chọn

a(x) mà có các phân hoạch khác nhau.

Phân hoạch vành đa thức được gọi là không suy biến nếu phân hoạch này

bao gồm tất cả các phần tử khác không của vành. Ngược lại, phân hoạch được gọi là

suy biến.

Ví dụ: xét vành R5; Z2[x]/ (x5+1) = (1+x)(1+x+x2+x3+x4). Trong ví dụ này, chúng

ta sử dụng số mũ của các hạng tử xuất hiện trong đa thức làm kí hiệu, chẳng hạn

q(x) = 1 + x + x2 được kí hiệu là (012).

Chọn a(x) = x, I = {xi, i = 0,1,2,3,4}. Phân hoạch vành R5 thành các phần tử:

Bảng 2.2: Phân hoạch vành Z2[x]/x5+1 theo nhóm nhân xyclic đơn vị

1 2 3 4 0

01 12 23 34 04

02 13 24 03 14

012 123 234 034 014

013 124 023 134 024

0123 1234 0234 0134 0124

01234

Trong vành này có 31 phần tử khác không và được phân hoạch thành 7 lớp

kề: có 6 lớp kề có cấp 5 và 1 lớp kề cấp 1.

Chọn phần tử khác làm phân hoạch: a(x) = 1 + x + x2 ~ (012). A = {(1 + x +

x2)i, i = 0,..,14}. Lúc này có phân hoạch khác:

Bảng 2.3: Phân hoạch vành với a(x) = 1 + x + x2

012 024 3 034 023 1 123 013 4 014 134 2 234 124 0

34 13 0124 12 14 0234 04 24 0123 23 02 0134 01 03 1234

01234

37

Đây là nhóm nhân xyclic cấp 15, có a(x) = 1+ x + x2.

Để phân hoạch vành Rn, trước tiên xác định nhóm nhân xyclic A, số phần tử

nhóm nhân nhiều nhất là max ord a(x) và các đa thức.

Các bước thực hiện:

- Chọn a(x) thuộc vành Rn.

- Xây dựng nhóm nhân xyclic A = {ai(x)}.

- Xây dựng các lớp kề của A. Về thực chất là xây dựng cấp số nhân xyclic

có công bội a(x), có phần tử sinh b(x) ∈ Rn, b(x) không thuộc A và không thuộc bất

cứ cấp số nhân nào chúng ta thiết lập.

Nhận xét: Với cách lựa chọn nhóm nhân khác nhau có thể lựa chọn xây dựng các

bộ mã khác nhau. Ví dụ với mã [15, 5] ta có số lượng các bộ mã có thể thiết lập

được như sau:

+ Phân hoạch theo nhóm nhân xyclic đơn vị [15, 5], ta có N1 = 3!.53 = 750 bộ mã

khác nhau cùng tham số.

+ Phân hoạch theo nhóm nhân xyclic cực đại (có cấp 15) ta có: N2 = 8.15 = 120 bộ

mã khác nhau cùng tham số.

+ Phân hoạch theo nhóm nhân xyclic cấp 3, ta có: N3 = 5!.35 = 120.243 = 29160.

Tổng số N1 + N2 + N3 = 30030 là số phân hoạch khác nhau của vành.

2.2.2. Phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân xyclic đơn vị Ta ký hiệu vành đa thức Z2[x]/xn+1 có nhóm nhân xyclic đơn vị được biểu

diễn: I = {x0, x1,.., xn-1} với hạt nhân phân hoạch chính là x. Phân hoạch của vành đa

thức theo nhóm nhân xyclic đơn vị được chỉ ra trên hình dưới:

38

Vấn đề cơ bản là phải xây dựng thuật toán xác định chính xác các lớp kề

cần có và các phần tử trong các lớp kề. Với cấu trúc trên hình 2.2, vành đa thức bao

gồm nhóm nhân xyclic đơn vị và các lớp kề được tạo từ nhóm nhân xyclic đơn vị I.

Việc xây dựng phân hoạch vành là phải xác định các lớp kề của vành, được thực

hiện như sau:

Bước 1. Chọn A(x) không thuộc nhóm nhân I, là tổ hợp của các đơn thức

trong nhóm nhân I, A(x) chính là trưởng lớp kề. Tiếp theo lần lượt xây dựng các

phần tử trong lớp kề này bằng cách nhân với hạt nhân phân hoạch.

Bước 2. Tiếp tục thực hiện bước 1 cho đến khi quét hết các lớp kề có thể có

của vành đa thức. Phân hoạch này có số phần tử của vành là (2n-1) đa thức khác 0.

Trong các nghiên cứu trước đây đều phân hoạch vành với k nhỏ, tuy nhiên để phân

hoạch được vành với các k lớn cần phải xây dựng một thuật toán tổng quát để tính

toán được hết các phần tử và các lớp kề của phân hoạch.

I = {x0, x1,.., xn-1}

Các lớp kề trên vành

Hình 2.2. Cấu trúc vành Z2[x] / xn+1

39

2.2.3. Thuật toán xây dựng vành đa thức theo nhóm nhân xyclic đơn vị

Bắt đầu

Tính trưởng lớp kề

Tính phần tử lớp kề

Kiểm tra tồn tại

Tính số đa thức trọng số i: Cik

n = Cik

Kết thúc

i = k

Đúng Sai

Đúng Sai

Đúng Sai

Hiển thị kết quả

n = n+1

Hình 2.3. Sơ đồ thuật toán tính phân hoạch vành theo nhóm nhân xyclic đơn vị

Nhập K, i = 0

i = i + 1

Lưu lớp kề ra tệp

40

Dựa vào thuật toán trên, ta có thể xây dựng chương trình phần mềm để thực

hiện phân hoạch vành đa thức.

Hình 2.4. Chương trình tính phân hoạch vành theo nhóm nhân xyclic đơn vị Đây là hình ảnh mô tả phần mềm thực hiện và đánh giá khả năng thực hiện

chương trình trên máy tính tốc độ cao.

Bảng 2.4: So sánh phân hoạch vành đa thức trên máy tính core 2 duo 2.26GHz

Stt Số dấu thông tin Thời gian tính toán Kích thước dữ liệu

1 k = 5 < 1s 108 byte 2 k = 7 < 1s 1008 byte 3 k = 8 < 1s 2.25 Kbyte 4 k = 9 < 1s 5 Kbyte 5 k = 12 < 1s 56 Kbyte 6 k = 16 ~ 7 s 1.281 Kbyte 7 k = 17 ~ 23 s 2.752 Kbyte

41

Với kết quả nghiên cứu ở trên mới chỉ ra khả năng phân hoạch của vành

theo nhóm nhân xyclic đơn vị. Tuy nhiên, để phát triển các lý thuyết về mã xyclic

cục bộ, chúng ta cần tìm các khả năng phân hoạch khác đem lại sự đa dạng cho lý

thuyết mã xyclic cục bộ.

2.3. Kết luận Trong chương này, chúng ta nghiên cứu xây dựng một thuật toán hoàn

chỉnh và viết chương trình máy tính để phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân

xyclic đơn vị, điều đó hỗ trợ rất nhiều cho nghiên cứu, phát triển mã xyclic cục bộ.

Phân hoạch vành với k lớn cho phép lựa chọn được lớp kề để lựa chọn, xây dựng

các bộ mã xyclic cục bộ, nhờ đớ ta có nhiều phương án lựa chọn mã xyclic cục bộ

để ứng dụng vào hệ mật McEliece. Chính vì vậy, việc ứng dụng mã xyclic cục bộ

để xây dựng hệ mật McEliece là có tính khả thi. Các kết quả của chương này làm

tiền đề cho việc xây dựng sơ đồ khối và các sơ đồ thuật toán của hệ mật McEliece

trên mã xyclic cục bộ ở chương sau.

42

Chương 3 - XÂY DỰNG HỆ MẬT McELIECE TRÊN MÃ

XCB

Hiện nay trên thế giới các hệ mật 40 bit được cung cấp miễn phí, hệ mật

128 bit được coi là hệ mật tốt. Chúng ta lựa chọn hệ mật 49 bit nằm trong khoảng

cho phép. Để ứng dụng mã xyclic cục bộ vào hệ mật McEliece, tránh các nhược

điểm của hệ mật McEliece sử dụng mã Goppa, chúng ta lựa chọn mã xyclic cục bộ

với phân hoạch k = 8 kết hợp với mã ghép Elias để đảm bảo tốc độ mã hoá và giải

mã. Theo các kết quả nghiên cứu đã đưa ra trong chương 2, chọn phân hoạch có

các lớp kề có cùng trọng số và có trọng số lẻ (trọng số bằng 3) để xây dựng các

thuật toán mã hoá và giải mã.

3.1. Tiêu chí lựa chọn bộ mã xyclic cục bộ và mô hình toán học để xây dựng hệ mật McEliece

3.1.1. Tiêu chí lựa chọn bộ mã XCB để xây dựng hệ mật McEliece + Mã xyclic cục bộ được lựa chọn phải tồn tại một thuật toán hiệu quả để sửa được t

lỗi.

+ Cấu trúc mã xyclic cục bộ cho phép sửa được t lỗi khi kết hợp với ma trận S và P

thì không tìm ra được cấu trúc của mã xyclic cục bộ đó.

+ Mã xyclic cục bộ (n,k) được xây dựng từ các lớp kề có cùng trọng số, và có trọng

số lẻ làm dấu kiểm tra, là mã xyclic cục bộ có khả năng trực giao.

+ Số lượng khóa tồn tại trong lớp mã phải đủ lớn.

3.1.2. Mô hình toán học xây dựng hệ mật McEliece với mã xyclic cục bộ 3.1.2.1 Tạo khoá

Mỗi đối tượng trong hệ thống trao đổi thông tin cần tạo ra một khoá công

khai và một khoá bí mật, khoá công khai là 'iG , khoá bí mật là Si, Gi, Pi.

Các bên tham gia hệ mật McEliece chia sẻ chung các tham số: n, k, t.

Khóa bí mật:

43

+ G là ma trận sinh của một mã XCB có khả năng sửa sai t lỗi theo phương

pháp giải mã ngưỡng, có số lượng phân phối khóa đủ lớn.

+ S là ma trận khả nghịch [k x k] trên Z2.

+ P là ma trận hoán vị [n x n] trên Z2.

Khóa công khai: (G’,t)

G’ = S.G.P

3.1.2.2 Mã hoá và giải mã

Mã hóa

x là bản rõ cần mã hoá có độ dài k bit.

y là bản mã hoá: y = ek(x,e) = x.G’ + e

e ∈ (Z2)n : véc-tơ ngẫu nhiên độ dài n và có trọng số t được lựa chọn từ bản

tin. Véc-tơ e chứa chính xác t bít 1.

Giải mã

Cần giải mã bản mã y ∈ (Z2)n

- Tính y1 = y.P-1

- Sử dụng phương pháp giải mã y1 để có được y1 = x1 + e1

- Tính x0 ∈ (Z2)k sao cho x

0.G = x

1

- Tính x = x0.S-1

3.2. Sơ đồ khối xây dựng hệ mật McEliece với mã xyclic cục bộ

3.2.1. Sơ đồ mã hoá Trong lược đồ mã hoá này, ta sử dụng mã XCB (64,7) để xây dựng ma trận

sinh G. Ma trận S là ma trận khả nghịch [7x7], ma trận đơn vị P là ma trận hoán vị

cấp [64x64]. Khoá công khai G' = S.G.P là ma trận [7x64].

44

Bản rõ m được tách ra thành từng đoạn dữ liệu 49 bit và lấy một đoạn dữ

liệu có chứa 31 bit 1 và có độ dài tối đa 512 bit làm véc-tơ sai e. Các đoạn dữ liệu

49 bit được sắp xếp thành ma trận [7x7], và được mã hoá bằng khoá công khai G'

tạo ra ma trận [8x64] với hàng thứ 8 bằng tổng các cột từ 1 đến 7. Từ ma trận này

được chuyển thành ma trận [1 x 512].

Véc-tơ sai e được cộng modulo 2 với ma trận [1x512] tạo thành dữ liệu mã

hóa: M1 = m.G’ + e.

Các phần dữ liệu tiếp theo tiếp tục được mã hoá theo chu trình trên cho đến

khi kết thúc.

45

Ma trận [7x7]

Ma trận sinh G’ [7 x 64]

Ma trận [8x64]

7

1

( ,8) ( , )j

i i j=

= ∑ Ma trận [1x512]

Bản rõ

Bản mã Hình 3.1. Sơ đồ khối mã hoá của hệ mật McEliece với mã XCB

Véc tơ sai [1xn] có chứa 31 bít 1 và n≤ 512

⊕

46

3.2.2. Sơ đồ giải mã Dữ liệu được lấy lần lượt 512 bít một lần để tạo thành ma trận [8x64]. Sau

đó ma trận này được nhân với ma trận P-1 [64x64] thành ma trận M2:

M2 = M1.P-1

Qua thuật giải mã xyclic cục bộ dựa trên phương pháp giải mã ngưỡng theo

đa số, ta thu được dữ liệu 49 bít mã hoá là ma trận M3. Sau khi nhân M3 với ma trận

S-1 [7x7] ta thu được m: m = M3.S-1 ta sẽ thu được 49 bít dữ liệu của bản rõ.

Để giải mã vectơ sai e có chứa 31 bít 1 được cộng thêm, ta lại tiếp tục thực

hiện mã hoá lại 49 bít đó theo phần 3.2.1 ta sẽ thu được 512 bít mã hoá. Sử dụng

512 bít này cộng modulo 2 với 512 bít đã mã hoá ban đầu ta thu được vectơ e có

chứa 31 bít 1 của bản rõ đã cộng thêm trong quá trình mã hoá.

Sơ đồ giải mã được trình bày trên hình 3.2. Phương án được lựa chọn với

mục đích nâng cao hiệu quả truyền tin của hệ mật mã hoá khoá công khai McEliece

với mã xyclic cục bộ.

47

Ma trận P-1 [64x64]

Ma trận [8x64]

Ma trận [7x7]

Ma trận [1x512]

Ma trận [8x64]

Ma trận tổng kiểm tra Ma trận S-1 [7x7]

Thực hiện mã hóa theo sơ đồ hình 3.1

Ma trận [1x n] có chứa tối đa 31 bít 1 và n≤ 512

Bản rõ

Bản mã

Hình 3.2. Sơ đồ khối giải mã của hệ mật McEliece với mã XCB

+

Giải mã 2 cấp ngưỡng

48

3.3. Về một phương pháp xây dựng hệ mật McEliece trên mã XCB

3.3.1. Phương pháp tạo khoá mã Hệ mật McEliece trên mã xyclic cục bộ sử dụng ma trận sinh G dựa trên

phân hoạch vành theo nhóm nhân xyclic đơn vị với k = 8 ta có:

0 1 2 3 4 5 6 7 01 12 23 34 45 56 67 07 02 13 24 35 46 57 06 17 03 14 25 36 47 05 16 27 04 15 26 37 012 123 234 345 456 567 067 017 013 124 235 346 457 056 167 027 014 125 236 347 045 156 267 037 015 126 237 034 145 256 367 047 016 127 023 134 245 356 467 057 024 135 246 357 046 157 026 137 025 136 247 035 146 257 036 147

0123 1234 2345 3456 4567 0567 0167 0127 0124 1235 2346 3457 0456 1567 0267 0137 0125 1236 2347 0345 1456 2567 0367 0147 0126 1237 0234 1345 2456 3567 0467 0157 0134 1245 2356 3467 0457 0156 1267 0237 0135 1246 2357 0346 1457 0256 1367 0247 0136 1247 0235 1346 2457 0356 1467 0257 0145 1256 2367 0347 0146 1257 0236 1347 0245 1356 01234 12345 23456 34567 04567 01567 01267 01237 01235 12346 23457 03456 14567 02567 01367 01247 01236 12347 02345 13456 24567 03567 01467 01257 01245 12356 23467 03457 01456 12567 02367 01347 01246 12357 02346 13457 02456 13567 02467 01357 01256 12367 02347 01345 12456 23567 03467 01457 01346 12457 02356 13467 02457 01356 12467 02357

012345 123456 234567 034567 014567 012567 012367 012347 012346 123457 023456 134567 024567 013567 012467 012357 012356 123467 023457 013456 124567 023567 013467 012457 012456 123567 023467 013457 0123456 1234567 0234567 0134567 0124567 0123567 0123467 0123457

01234567

49

Bảng 3.1. Phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân xyclic đơn vị với k =8

Trên cơ sở đó ta chỉ lựa chọn các lớp kề có trọng số là 3 để xây dựng bộ mã

(64,8,32).

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) a0

012 123 234 345 456 567 670 017 b0

023 134 245 356 467 057 016 127 c0

034 145 256 367 047 015 126 237 d0

045 156 267 037 014 125 236 347 e0

056 167 027 013 124 235 346 457 f0

024 135 246 357 046 157 026 137 g0

025 136 247 035 146 257 036 147 h0

Bảng 3.2. Các lớp kề lựa chọn để xây dựng bộ mã (64,8,32)

Số phần tử của các lớp kề có trọng số là 3 là:

38 56C =

Thông qua phân hoạch vành theo nhóm nhân xyclic đơn vị, xây dựng ma

trận G1 [8 x 64] được cho trong bảng 3.3.

(0) (012) (034) (045) (023) (056) (024) (025)

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1

1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1

Bảng 3.3. Ma trận G1 (8 x 64)

50

Từ ma trận G1[8 x 64] lấy giá trị của các hàng từ 1 đến 7 cộng với hàng cuối

cùng ta được ma trận sinh G [7 x 64]

1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1

1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1

1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1

Bảng 3.4. Ma trận sinh G(7,64)

Với bảng phân hoạch trên khi dịch vòng các phần tử trên cùng một lớp kề

hoặc hoán vị các lớp kề khác nhau ta xây dựng được các ma trận sinh G khác nhau.

Với lớp mã này ta có thể xây dựng được 88.8! ≅ 676 tỷ khóa .

Trên cơ sở lược đồ của hệ mật McEliece ta có khóa công khai G’=S.G.P,

ngoài việc hoán vị các vị trí trên phân hoạch để tạo ra các ma trận sinh G khác nhau,

ta còn có thể thay đổi ma trận S và P để tăng khả năng tạo khoá cho hệ mật.

3.3.2. Thuật toán mã hoá 3.3.2.1. Nguyên tắc chung

Để tăng khả năng tốc độ xử lý thông tin ta sử dụng mã XCB (64,7,32) kết

hợp với mã Elias (8,7,2): (512,49,64) = (64,7,32)(8,7,2)

Thông tin đầu vào được chia như sau:

7 bit 7 bit 7 bit 7 bit 7 bit 7 bit 7 bit Có chứa 31 bit 1 và độ dài ≤512 bit

Khi mã hoá ta sẽ mã hoá mỗi lần 7x7=49 bit chứa thông tin thông qua khóa

công khai G' = S.G.P

Trong đó: S là ma trận khả nghịch 7x7

G là ma trận sinh 7x64

P là ma trận hoán vị 64x64

Khi mã hoá ta nhân ma trận chứa thông tin M [7x7] với ma trận G'[7x64]

3.3.2.2. Thuật toán mã hoá

51

Sắp xếp về 512 bit

Mã hoá dữ liệu với Gi’

Ma trận (8,64)

Đúng

Sai

Hình 3.3. Sơ đồ thuật toán mã hoá

Kết thúc

512 bit đã mã hoá

Cộng modulo 2

K < T

Vectơ sai V lấy từ bản tin

Sai

Đúng

Chèn thêm dấu giả thông tin

Bắt đầu

Đọc khóa công khai Gi’ (Gi’= S.Gi.P)

K = 0

Đọc tệp dữ liệu Đọc kích thước tệp T

Phân tích dữ liệu theo bit - M(49 bit dữ liệu ) - V(vectơ sai chứa tối đa 31 bit 1 và độ dài ≤512 bit)

K=K+Len(M)+Len(V)

Có đủ 49 bit để mã hóa?

Ghi kết quả

52

Dữ liệu sau mã hoá là ma trận [8x64] với hàng thứ 8 là tổng kiểm tra của

các hàng trên.

00a 0

1a 02a 0

3a 04a 0

5a 06a 0

7a 00b 0

1b ............ 06h 0

7h

10a 1

7h

20a 2

7h

30a 3

7h

40a 4

7h

50a 5

7h

60a 6

7h

70a

.............................................

77h

Từ ma trận [8x64] thu được ta có thể đưa ra các tính chất sau:

6

70 0

0

k

ka a

=

= ∑ và 6

0 07

0k

ka a

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

....

6

77 7

0

k

ka a

=

= ∑ và 6

7 77

0k

ka a

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

6

70 0

0

k

kb b

=

= ∑ và 6

0 07

0k

kb b

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

....

6

77 7

0

k

kb b

=

= ∑ và 6

7 77

0k

kb b

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

6

70 0

0

k

kc c

=

= ∑ và 6

0 07

0k

kc c

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

....

6

77 7

0

k

kc c

=

= ∑ và 6

7 77

0k

kc c

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

6

70 0

0

k

kd d

=

= ∑ và 6

0 07

0k

kd d

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

....

6

77 7

0

k

kd d

=

= ∑ và 6

7 77

0k

kc c

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

53

6

70 0

0

k

ke e

=

= ∑ và 6

0 07

0k

ke e

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

....

6

77 7

0

k

ke e

=

= ∑ và 6

7 77

0k

kc c

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

6

70 0

0

k

kf f

=

= ∑ và 6

0 07

0k

kf f

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

....

6

77 7

0

k

kf f

=

= ∑ và 6

7 77

0k

kf f

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

6

70 0

0

k

kg g

=

= ∑ và 6

0 07

0k

kg g

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

....

6

77 7

0

k

kg g

=

= ∑ và 6

7 77

0k

kg g

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

6

70 0

0

k

kh h

=

= ∑ và 6

0 07

0k

kh h

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

....

6

77 7

0

k

kh h

=

= ∑ và 6

7 77

0k

kh h

=

= ∑ (theo tính chất của ma trận)

Sau khi mã xong 49 bit thông tin ta nhận được ma trận [8,64] thực hiện sắp

xếp lại thông tin thành 512 bit, sau đó lấy tiếp thông tin phía sau 49 bit đến khi có

31 dấu 1 và có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng 512 bít.

3.3.3. Thuật toán giải mã a) Nguyên tắc chung

Việc giải mã được thực hiện như sau:

- Từ 512 bit dữ liệu thu được khôi phục thành ma trận M1[8x64]

- Nhân ma trận M1 với ma trận nghịch đảo của P thu được ma trận M2.

M2 = M1.P-1

- Sử dụng các tổng kiểm tra giải mã cho M2 thu được ma trận M3[7x7]

512 bit đã mã hoá

Dữ liệu có chứa 31 bit 1 và có độ dài ≤ 512 bit

512 bít dữ liệu gửi đi ⊕

54

- Nhân ma trận M3 với ma trận nghịch đảo của S thu được ma trận M.

M = M3.S-1 với ma trận M [7x7] là ma trận chứa 49 bit thông tin mã hoá.

Do sử dụng vectơ sai chứa thông tin nên ta phải thực hiện thêm một số bước sau:

- Mã hoá lại ma trận M[7x7] thu được ma trận [8x64] chứa dữ liệu mã hoá

chưa có véc-tơ sai (hàng thứ 8 bằng tổng các hàng phía trên).

- Sắp xếp thành chuỗi 512 bit, sau đó thực hiện cộng modulo 2 với 512 bit thu

được ta sẽ thu được véc-tơ sai.

b) Xây dựng các tổng kiểm tra

Do sử dụng mã xyclic cục bộ nên ta sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng

cho nên ta phải xây dựng các tổng kiểm tra để giải mã.

Các tổng kiểm tra cấp 1 (Giải mã cho các cặp dấu)

A(0)

a0 + a1

A(1)

a1 + a2

A(2)

a2 + a3

A(3)

a3 + a4

A(4)

a4 + a5

A(5)

a5 + a6

A(6)

a6 + a7

A(7)

a7 + a0

Dựa trên phân hoạch vành theo nhóm nhân xyclic đơn vị với k=8 ta xây

dựng được 32 tổng kiểm tra cho cặp dấu A0(a0 + a1) là:

b0 + a2 = S0

f3 + a3 = S1

e0 + a4 = S2

d5 + a5 = S3

c6 + a6 = S4

b7 + a7 = S5

c0 + b1 = S6

b6 + f1 = S7

c5 + g5 = S8

d1 + c1 = S9

d4 + h7 = S10

e0 + d1 = S11

e3 + g7 = S12

f0 + e1 = S13

f2 + c7 = S14

g0 + f4 = S15

g4 + h4 = S16

g6 + d6 = S17

h0 + e5 = S18

h3 + g1 = S19

h6 + h1 = S20

b2 + b5 = S21

b3 + e2 = S22

b4 + d7 = S23

d3 + c2 = S24

c3 + h2 = S25

c4 + f5 = S26

d2 + e7 = S27

e6 + f7 = S28

f6 + h5 = S29

g2 + g3 = S30

a0 + a1 = S31

Đối với tính chất của mã (512,49,64) = (64,7,32) (8,7,2) ta thiết lập được

thêm 32 tổng kiểm tra cho cặp dấu 0 10 0a a+ :

55

7 7k k0 2 32

k=1 k=1b + = Sa∑ ∑

7 7

k k3 3 33

k=1 k=1 + = Sf a∑ ∑

7 7

k k4 4 34

k=1 k=1 + = Se a∑ ∑

7 7

k k5 5 35

k=1 k=1 + = Sd a∑ ∑

7 7

k k6 6 36

k=1 k=1 + = Sc a∑ ∑

7 7

k k7 7 37

k=1 k=1b + = Sa∑ ∑

7 7

k k0 1 38

k=1 k=1 + = Sc b∑ ∑

7 7

k k6 1 39

k=1 k=1b + = Sf∑ ∑

7 7

k k5 5 40

k=1 k=1 + = Sc g∑ ∑

7 7

k k1 1 41

k=1 k=1 + = Sd c∑ ∑

7 7

k k4 7 42

k=1 k=1 + = Sd h∑ ∑

7 7k k0 1 43

k=1 k=1 + = Se d∑ ∑

7 7

k k3 7 44

k=1 k=1 + = Se g∑ ∑

7 7

k k0 1 45

k=1 k=1 + = Sf e∑ ∑

7 7

k k2 7 46

k=1 k=1 + = Sf c∑ ∑

7 7

k k0 4 47

k=1 k=1 + = Sg h∑ ∑

7 7

k k4 4 48

k=1 k=1 + = Sg h∑ ∑

7 7

k k6 6 49

k=1 k=1 + = Sg d∑ ∑

7 7

k k0 5 50

k=1 k=1 + = Sh e∑ ∑

7 7

k k3 1 51

k=1 k=1 + = Sh g∑ ∑

7 7

k k6 1 52

k=1 k=1 + = Sh h∑ ∑

7 7k k2 5 53

k=1 k=1b + = Sb∑ ∑

7 7

k k3 2 54

k=1 k=1b + = Se∑ ∑

7 7

k k4 7 55

k=1 k=1b + = Sd∑ ∑

7 7

k k3 2 56

k=1 k=1 + = Sd c∑ ∑

7 7

k k3 2 57

k=1 k=1 + = Sc h∑ ∑

7 7

k k4 5 58

k=1 k=1 + = Sc f∑ ∑

7 7

k k2 7 59

k=1 k=1 + = Sd e∑ ∑

7 7

k k6 7 60

k=1 k=1 + = Se f∑ ∑

7 7

k k6 5 61

k=1 k=1 + = Sf h∑ ∑

7 7

k k2 3 62

k=1 k=1 + = Sg g∑ ∑

7 7

k k0 1 63

k=1 k=1 + = Sa a∑ ∑

Để giải mã cho từng cặp dấu từ A0 đến A7 sử dụng thuật toán:

For (i = 1..7) {

63

0

( ) ( )jj

N i S i=

= ∑

if ( N(i) ≥ 33 ) A(i) = 1 else A(i) = 0 }

56

Sau đó xây dựng 64 tổng kiểm tra cho cấp ngưỡng thứ 2 thông qua phân

hoạch vành theo nhóm nhân xyclic đơn vị với k=8 và tính chất của mã (512,49,64)

để giải mã cho từng dấu thông tin:

T0 = A(0) + a1 T32 = A(7) + A(6) + A(4) + 04b

T1 = A(0) + A(1) + a2 T33 = A(7) + A(6) + A(3) + 06f

T2 = A(7) + a7 T34 = A(7) + A(6) + A(2) + 06e

T3 = A(7) + A(6) + a6 T35 = A(7) + A(6) + A(1) + 06d

T4 = A(1) + b0 T36 = A(7) + A(6) + A(0) + 06c

T5 = A(2) + c0 T37 = A(0) + A(1) + A(7) + 02f

T6 = A(3) + d0 T38 = A(0) + A(2) + A(3) + 04f

T7 = A(4) + e0 T39 = A(0) + A(3) + A(4) + 01g

T8 = A(5) + f0 T40 = A(0) + A(4) + A(5) + 04h

T9 = A(6) + b6 T41 = A(0) + A(5) + A(6) + 05g

T10 = A(1) + A(2) + f3 T42 = A(7) + A(5) + A(4) + 04c

T11 = A(2) + A(3) + g0 T43 = A(7) + A(4) + A(3) + 03g

T12 = A(3) + A(4) + h3 T44 = A(7) + A(3) + A(2) + 02h

T13 = A(4) + A(5) + g4 T45 = A(7) + A(2) + A(1) + 07g

T14 = A(5) + A(6) + c5 T46 = A(1) + A(2) + A(3) + 04e

T15 = A(7) + A(0) + b7 T47 = A(2) + A(3) + A(4) + 00h

T16 = A(0) + A(2) + b1 T48 = A(3) + A(4) + A(5) + 06h

T17 = A(0) + A(3) + c1 T49 = A(4) + A(5) + A(6) + 04d

T18 = A(0) + A(4) + d1 T50 = 00a

T19 = A(0) + A(5) + e1 T51 = 7

01

k

k

a=

∑

57

T20 = A(0) + A(6) + f1 T52 = A(0) +7

11

k

k

a=

∑

T21 = A(7) + A(5) + b5 T53 = A(1) + 7

01

k

k

b=

∑

T22 = A(7) + A(4) + f7 T54 = A(2) + 7

01

k

k

c=

∑

T23 = A(7) + A(3) + e7 T55 = A(3) + 7

01

k

k

d=

∑

T24 = A(7) + A(2) + d7 T56 = A(4) + 7

01

k

k

e=

∑

T25 = A(7) + A(1) + c7 T57 = A(5) + 7

01

k

k

f=

∑

T26 = A(0) + A(1) + A(2) + a3 T58 = A(6) + 7

61

k

k

b=

∑

T27 = A(0) + A(1) + A(3) + b2 T59 = A(7) + 7

71

k

k

a=

∑

T28 = A(0) + A(1) + A(4) + e2 T60 = A(0) + A(1) + 7

21

k

k

a=

∑

T29 = A(0) + A(1) + A(5) + d2 T61 = A(0) + A(2) + 7

11

k

k

b=

∑

T30 = A(0) + A(1) + A(6) + e2 T62 = A(0) + A(3) + 7

11

k

k

c=

∑

T31 = A(7) + A(6) + A(5) + a5 T63 = A(0) + A(4) + 7

11

k

k

d=

∑

Để giải mã cho từng dấu từ a0 đến a7 sử dụng thuật toán: For ( i = 1 .. 7 ) {

63

0

( ) ( )jj

M i T i=

= ∑

if ( M(i) ≥ 33 ) a(i) = 1 else a(i) = 0 } 3.3.3.3. Thuật toán giải mã

58

Vectơ sai có chứa dữ liệu

Cộng Modulo 2

Kết thúc

Đọc tệp mã hóa Đọc kich thước tệp T

Hình 3.4. Sơ đồ thuật toán giải mã

Ghép dữ liệu

Đọc Gi' = Si.Gi.Pi

Sai

Đúng K < T

Giải mã dữ liệu M2 = M1 * Pi-1

M3 = Giải mã sửa sai M2 theo tổng kiểm tra 2 cấp ngưỡng

M = M3* Si-1

Sắp xếp thành 512 bít

Bắt đầu

Đọc Pi-1, Si

-1

Đọc ma trận tổng kiểm tra của Gi

K = 0

Phân tích dữ liệu theo bit M (512 bit dữ liệu mã hóa)

K=K+Len(M)

49 bit dữ liệu của bản tin

Ghi kết quả

Sắp xếp về ma trận M1(8,64)

Mã hóa lại dữ liệu với Gi’ tạo Ma trận (8,64)

59

3.4. Nghiên cứu thử nghiệm hệ mật McEliece trên mã xyclic cục bộ Phần này là ví dụ về xây dựng hệ mật McEliece trên mã xyclic cục bộ. Dữ

liệu được mã hoá là một chuỗi 10 ký tự là: "123456789012347". Chuỗi này theo mã

ASCII sẽ được đọc thành các giá trị là:

Ký tự Mã ASCII Giá trị nhị phân Xử lý bit trên máy tính

1 31 00110001 10001100 2 32 00110010 01001100 3 33 00110011 11001100 4 34 00110100 00101100 5 35 00110101 10101100 6 36 00110110 01101100 7 37 00110111 11101100 8 38 00111000 00011100 9 39 00111001 10011100 0 30 00110000 00001100

Bảng 3.5. Các dữ liệu nhị phân của 10 ký tự là: "1234567890" Dữ liệu đầu vào được xây dựng thành 1 ma trận M(7x7) và một đoạn dữ

liệu còn lại là 31 bit

1 0 0 0 1 1 00 0 1 0 0 1 10 0 1 1 0 0 1

(7 7) 1 0 0 0 0 1 01 1 0 0 1 0 10 1 1 0 0 0 11 0 1 1 0 0 1

M x

=

Đoạn dữ liệu cuối có chứa 31 bit 1 được xắp sếp như sau:

11011000001110010011100000011001000110001001100110011000010110011101100

3.4.1. Quá trình tạo khoá Quá trình tạo khoá được thực hiện từ phân hoạch vành theo nhóm nhân

xyclic đơn vị với k=8 và các lớp kề có trọng số bằng 3 để tạo ra ma trận sinh G và

các tổng kiểm tra để giải mã.

60

0 1 2 3 4 5 6 7 012 123 234 345 456 567 067 017 013 124 235 346 457 056 167 027 014 125 236 347 045 156 267 037 015 126 237 034 145 256 367 047 016 127 023 134 245 356 467 057 024 135 246 357 046 157 026 137 025 136 247 035 146 257 036 147

Từ phân hoạch trên ta xây dựng được ma trận [8x64] tương ứng với cách

sắp xếp của phân hoạch là:

(0) (012) (013) (014) (015) (016) (024) (025)

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1

Ta xây dựng ma trận sinh G[7x64] từ ma trận [8x64] (cộng từng hàng từ 1

đến 7 với hàng thứ 8):

1 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 1 0

1 1 1 0 0 1 1 1

0 1 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 0 1 1

0 0 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 1 1 0

1 1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 0 1 0

1 0 1 1 1 0 1 1

0 1 0 1 0 0 1 1

0 0 1 0 0 1 1 1

0 0 0 1 1 1 0 1

1 0 0 1 1 0 1 0

1 1 0 1 0 1 1 1

0 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 0 1 0 1

1 0 1 1 0 0 1 0

1 1 1 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 1 1 1

0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1 1 1 0 1 0

1 0 1 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 0 1

1 1 1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 1 1

0 0 1 0 1 0 1 1

0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 0 0 1

0 1 0 0 1 1 1 0

1 1 0 0 0 1 0 1

1 0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 0 0 0

1 0 1 1 0 1 1 1

0 1 0 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1 0 1

0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1

0 1 1 1 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 0 0

1 0 1 1 0 0 0 1

0 1 1 0 1 1 1 1

Nhân ma trận G với ma trận S và P ta được ma trận G':

G'= S. G .P

S là ma trận khả nghịch (7x7)

1 1 1 0 0 0 00 1 1 1 0 0 00 0 1 1 1 0 00 0 0 1 1 1 00 0 0 0 1 1 11 0 0 0 0 1 11 1 0 0 0 0 1

=

S và 1

0 0 1 1 0 1 01 1 0 1 1 0 10 1 1 0 1 1 11 1 1 1 0 1 00 0 1 1 1 0 01 1 0 1 1 1 01 1 1 0 1 1 0

S −

=

61

P là ma trận hoán vị [64 x 64]

1 0 0 ... 00 0 1 ... 00 1 0 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 1

=

P và 1

1 0 0 ... 00 0 1 ... 00 1 0 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 1

−

=

P

Ta có G' là ma trận [8x64]

1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0

0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0

Xây dựng các tổng kiểm tra cấp 1 theo vị trí của ma trận 8x64 cho các cặp

dấu

(0,0)+(0,1) (0,8)+(0,2) (0,14)+(0,22) (0,15)+(0,7)

(1-7,0)+(1-7,1) (1-7,8)+(1-7,2) (1-7,14)+(1-7,22) (1-7,15)+(1-7,7)

(0,28)+(0,36) (0,31)+(0,55) (0,32)+(0,5) (0,35)+(0,43)

(1-7,28)+(1-7,36) (1-7,31)+(1-7,55) (1-7,32)+(1-7,5) (1-7,35)+(1-7,43)

(0,48)+(0,17) (0,52)+(0,60) (0,54)+(0,33) (0,56)+(0,25)

(1-7,48)+(1-7,17) (1-7,52)+(1-7,60) (1-7,54)+(1-7,33) (1-7,56)+(1-7,25)

(0,12)+(0,34) (0,18)+(0,46) (0,19)+(0,61) (0,20)+(0,26)

(1-7,12)+(1-7,34) (1-7,18)+(1-7,46) (1-7,19)+(1-7,61) (1-7,20)+(1-7,26)

(0,16)+(0,3) (0,21)+(0,29) (0,23)+(0,41) (0,24)+(0,4)

(1-7,16)+(1-7,3) (1-7,21)+(1-7,29) (1-7,23)+(1-7,41) (1-7,24)+(1-7,4)

(0,39)+(0,63) (0,40)+(0,6) (0,42)+(0,9) (0,47)+(0,53)

(1-7,39)+(1-7,63) (1-7,40)+(1-7,6) (1-7,42)+(1-7,9) (1-7,47)+(1-7,53)

(0,59)+(0,49) (0,62)+(0,57) (0,10)+(0,13) (0,11)+(0,30)

(1-7,59)+(1-7,49) (1-7,62)+(1-7,57) (1-7,10)+(1-7,13) (1-7,11)+(1-7,30)

62

(0,27)+(0,37) (0,38)+(0,44) (0,45)+(0,58) (0,50)+(0,51)

(1-7,27)+(1-7,37) (1-7,38)+(1-7,44) (1-7,45)+(1-7,58) (1-7,50)+(1-7,51)

Qua 64 tổng kiểm tra này, lần lượt sẽ tìm được các cặp dấu thông tin:

A(0)

0,0+0,1

A(1)

0,1+0,2

A(2)

0,2+0,3

A(3)

0,3+0,4

A(4)

0,4+0,5

A(5)

0,5+0,6

A(6)

0,6+0,7

A(7)

0,7+0,8

Xây dựng 64 tổng kiểm tra cấp 2 cho từng dấu thông tin

(0,0)

A(0)+(0,1)

A(1)+(0,8)

A(1)+(1-7,8)

A(2)+(0,42)

A(2)+(1-7,42)

A(3)+(0,35)

A(3)+(1-7,35)

A(4)+(0,28)

A(4)+(1-7,28)

A(5)+(21)

A(5)+(1-7,21)

A(6)+(0,14)

A(6)+(1-7,14)

A(7)+(0,7)

A(0)+A(1)+(0,2)

A(0)+A(1)+(1-7,2)

A(0)+A(2)+(0,9)

A(0)+A(3)+(0,43)

A(0)+A(4)+(0,36)

A(0)+A(5)+(0,29)

A(0)+A(6)+(0,22)

A(0)+A(7)+(0,15)

A(1)+A(2)+(0,16)

A(1)+A(2)+(1-7,16)

A(1)+A(7)+(0,41)

A(2)+A(3)+(0,48)

A(2)+A(3)+(1-7,48)

A(2)+A(7)+(0,34)

A(3)+A(4)+(0,59)

A(3)+A(4)+(1-7,59)

A(3)+A(7)+(0,27)

A(4)+A(5)+(0,52)

A(4)+A(5)+(1-7,52)

A(4)+A(7)+(0,20)

A(5)+A(6)+(0,47)

A(5)+A(6)+(1-7,47)

A(5)+A(7)+(0,13)

A(6)+A(7)+(0,6)

A(6)+A(7)+(1-7,6)

A(0)+A(1)+A(2)+(0,3)

A(0)+A(1)+A(3)+(0,10)

A(0)+A(1)+A(4)+(0,44)

A(0)+A(1)+A(5)+(0,37)

A(0)+A(1)+A(6)+(0,30)

A(0)+A(1)+A(7)+(0,23)

A(0)+A(6)+A(7)+(0,40)

A(1)+A(6)+A(7)+(0,33)

A(2)+A(6)+A(7)+(0,26)

A(3)+A(6)+A(7)+(0,19)

A(4)+A(6)+A(7)+(0,12)

A(5)+A(6)+A(7)+(0,5)

A(0)+A(2)+A(3)+(0,17)

A(0)+A(3)+A(4)+(0,49)

A(0)+A(4)+A(5)+(0,60)

A(0)+A(5)+A(6)+(0,53)

A(1)+A(2)+A(7)+(0,55)

A(2)+A(3)+A(7)+(0,58)

A(3)+A(4)+A(7)+(0,51)

A(4)+A(5)+A(7)+(0,46)

A(1)+A(2)+A(3)+(0,24)

A(2)+A(3)+A(4)+(0,56)

A(3)+A(4)+A(5)+(0,62)

A(4)+A(5)+A(6)+(0,39)

Qua các tổng kiểm tra này, ta tạo được khoá giải mã được cho từng cặp dấu

thông tin.

3.4.2. Quá trình mã hoá Quá trình mã hoá thực hiện các bước sau:

63

- Nhân ma trận chứa thông tin M[7x7] với ma trận G'[7x64] ta được ma trận

I[8x64] với hàng cuối cùng của I là tổng modulo 2 của các hàng ở trên (các hàng từ

1 đến 7).

0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

Sắp xếp ma trận này thành chuỗi 512 bit thông tin. Cộng modulo 2 chuỗi

này với chuỗi thông tin có chứa 31 bít 1 ở trên :

11011000001110010011100000011001000110001001100110011000010110011101100

ta được 512 bít đã được mã hoá và ghi vào tệp.

3.4.3. Quá trình giải mã - Đọc dữ liệu 512 bit thông tin

- Sắp xếp thành ma trận 8x64

1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

- Nhân ma trận 8x64 với ma trận P-1

- Sử dụng các tổng kiểm tra để tạo lại ma trận thông tin 7x7.

64

0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0

- Nhân ma trận này với ma trận S-1 thu được ma trận thông tin (7x7) ban

đầu

1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

M= 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1

- Thực hiện lại quá trình mã hoá nhân ma trận M[7x7] với ma trận G' ta thu

lại được ma trận I[8x64]

0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

Sắp xếp ma trận này thành chuỗi 512 bit thông tin. Cộng modulo 2 chuỗi

này với chuỗi 512 bit thu được ban đầu ta tìm được 31 bit chứa thông tin ban đầu.

65

Tiến hành ghép và sắp xếp ma trận M[7x7] và đoạn dữ liệu có chứa 31 bit

1, ta lưu dữ liệu lại vào tệp và thu được chuỗi ký tự ban đầu: "123456789012347".

Hình 3.5: Chương trình phần mềm mã hoá và giải mã

Bảng 3.6: Đánh giá mã hoá và giải mã trên máy tính core 2 duo 2.26GHz

Dạng tệp Kích thước bản rõ (Kb)

Kích thước bản mã (Kb)

Thời gian mã hoá

Thời gian giải mã

Tỷ lệ bản mã / bản rõ

.pdf 104 461 ~ 5s ~ 265 s 4.43 (461/104)

.txt 13 53 ~ 1s ~ 35 s 4.08 (53/13)

.exe 264 1182 ~ 12s ~ 735 s 4.48 (1182/264)

.doc 26 47 ~ 1s ~ 28 s 1.80 (47/26)

512 bit thu được

512 bit mã hoá lại

Véctơ sai có chứa 31

bít 1 ⊕

66

3.5. Đánh giá hệ mật McEliece trên mã xyclic cục bộ Ta nhận thấy nếu sử dụng thêm các chương trình nén dữ liệu phổ biến hiện

nay thì nâng cao được tốc độ truyền tin mật mà không ảnh hưởng đến độ chính xác

của bản tin. Chúng ta có thể sử dụng các hệ nén tự phát triển sẽ đem lại tính bảo mật

tốt hơn.

Phần mềm mã hoá và giải mã chạy thử nghiệm trên máy tính chip core 2

duo cho thấy dung lượng tệp mã hoá tăng lên 4 lần, quá trình giải mã tốn nhiều thời

gian từ 30 đến 60 lần mã hoá. Kết quả thử nghiệm cho thấy mã xyclic cục bộ hoàn

toàn có thể áp dụng vào được hệ mật McEliece.

Theo [7][9] đã chỉ ra rằng khả năng phá vỡ hệ mật McEliece là chưa có thể.

Trong quá khứ, một số nhà nghiên cứu mã đã đưa ra một số cách thức tấn công hệ

mật McEliece sử dụng mã Goppa [7][8][9].. Trong đó cách tấn công tốt nhất với độ

phức tạp ít nhất là lựa chọn lặp đi lặp lại một cách ngẫu nhiên k bít từ véc-tơ bản mã

n bít.

Để phá được hệ mật McEliece, người thám mã phải thực hiện một số công

việc tính toán như sau:

- Thực hiện n! phép chọn ma trận hoán vị và có n! ma trận P-1 (ma trận nghịch đảo

của P tương ứng).

- Thực hiện phép chọn ma trận S[kxk]: giả sử nk là số các hàng độc lập tuyến tính

có thể, số phép chọn k hàng trong nk sẽ là k

knC , khi chọn k hàng sẽ có k! cách sắp

xếp. Như vậy có tất cả k

knC .k! cách chọn S và cũng có

k

knC .k! S-1 tương ứng.

- Thực hiện chọn G[kxn]. Vì mỗi hàng có trọng số ≥ 3 do vậy có 3

ni

h ni

N C=

= ∑ cách

chọn hàng có thể và có Nh! / k!.(Nh-k)! cách chọn k hàng trong số Nh có thể có. Như

vậy sẽ có h h3

.(N ! / k!.(N -k)!)n

in

iC

=∑ khả năng phải lựa chọn.

67

- Thực hiện chọn véc-tơ sai với các trọng số có thể có, với số khả năng xảy ra là

1

nin

iC

=∑ .

- Việc thực hiện thám mã theo nguyên lý vét cạn có thể thực hiện một trong ba

phương án sau:

+ Vét cạn theo các dấu thông tin: Phải thực hiện 249 = 5.63x1014 phương án.

+ Vét cạn theo số khóa: Phải thực hiện 88.8!.64!.7! = 4.32x10104 khóa.

+ Vét cạn theo số các vectơ sai có thể có (thám mã theo phương pháp người

láng giềng gần nhất): Phải thực hiện thử các phương án sai có thể có, số các phương

án này là: 31

31512

0

ii

i

C −−

−∑ .

3.6. Kết luận Tóm lại với hệ mật McEliece sử dụng mã xyclic cục bộ ghép (512,49,64)

cùng với đề xuất sử dụng các giải thuật nén, sử dụng vectơ sai về bản chất là đoạn

dữ liệu có chứa 31 bit 1 của bản rõ cho phép nâng cao độ mật, tốc độ truyền tin.

Thuật toán mã hoá và giải mã là tường minh chứng minh sự đúng đắn về lý thuyết

của mã xyclic cục bộ.

Trong chương này, chúng tôi đã đưa ra một phương pháp mới xây dựng hệ

mật McEliece trên mã xyclic cục bộ. Trong đó có đề xuất cải tiến lược đồ mã hoá

của hệ mật McEliece bằng cách sử dụng các kỹ thuật nén dữ liệu trước khi mã hoá

dữ liệu và lựa chọn véc-tơ sai e được lấy từ nội dung bản rõ.

68

KẾT LUẬN CHUNG

Tóm tắt kết quả chính của luận văn

Với đề tài “Ứng dụng mã xyclic cục bộ xây dựng hệ mật”, luận văn này đã

được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy TS. Phạm Việt Trung. Luận

văn được hoàn thành dựa trên các ý tưởng và đề xuất mới của thầy giáo, kết hợp

khả năng nghiên cứu và tìm hiểu của học viên. Kết quả chính của luận văn được

tóm tắt như sau:

- Nghiên cứu một phương án xây dựng hệ mật McEliece trên mã xyclic cục bộ.

- Nghiên cứu sơ đồ thuật toán và xây dựng thành công chương trình máy tính để

phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân xyclic đơn vị để đưa ra các phân hoạch

vành với k lớn.

- Nghiên cứu đề xuất cải tiến lược đồ mã hoá của hệ mật McEliece bằng cách sử

dụng các kỹ thuật nén dữ liệu trước khi mã hoá dữ liệu và lựa chọn véc-tơ sai e

được lấy từ bản tin.

- Nghiên cứu thuật toán và xây dựng thành công chương trình mã hoá và giải mã

của mã xyclic cục bộ (64,7,32) trên cơ sở phân hoạch vành số dấu thông tin bằng 8,

xây dựng thành công phương pháp giải mã cho mã xyclic cục bộ theo phương pháp

giải mã ngưỡng theo đa số.

- Xây dựng hệ mật mã McEliece (512,49,64) trên cơ sở mã XCB (64,7,32) và mã

ghép (8,7,2).

Kiến nghị về các hướng phát triển tiếp

Kết quả nghiên cứu trên đây có thể được phát triển theo các hướng sau:

- Lựa chọn các bộ mã có khả năng sửa sai lớn hơn để xây dựng hệ mật có độ bảo

mật cao hơn.

- Xây dựng hệ mật trên cơ sở sử dụng lý thuyết hàm Hash để mã hoá bản tin.

- Xây dựng hệ mật trên cơ sở tìm kiếm các hàm một chiều để mã hoá bản tin.

69

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Nguyễn Bình (1996), Một số thuật toán xây dựng hệ mật mã McEliece, Tạp

chí Khoa học và kỹ thuật, số 77.

2. Nguyễn Bình (1998), Các mã xyclic cục bộ trên vành đa thức, Tạp chí KHKT

– HVKTQS.

3. Nguyễn Bình (2004), Giáo trình mật mã học, Nhà xuất bản Bưu Điện.

4. Nguyễn Xuân Quỳnh, Nguyễn Thế Truyện (1996), Thuật toán thiết lập hệ

Tổng kiểm tra trực giao cho mã xyclic cục bộ, Hội nghị tự động hoá toàn quốc

lần thứ 2.

5. Trần Đức Sự (2003), Mã xyclic cục bộ tự đối xứng - Đặc tính, thuật toán,

chương trình lập và giải mã, Luận văn tiến sĩ kỹ thuật.

6. Vũ Việt (2003), Đánh giá hiệu quả của mã xyclic cục bộ, Luận văn tiến sĩ kỹ

thuật.

7. A Kh. Al Jabri (1998), A new class of attacks on McEliece public-key and

related cryptosystems, Elect. Eng. Dept., King Saud University.

8. Kazukumi Kobara and Hideki Imai. (2003), On the one-wayness against

chosen-plaintext attacks of the loidreau’s modified McEliece PKC, IEEE

Transactions on information theory, Vol. 49, NO. 12.

9. Lee P.J and Brickell .E.F. (1998), An observaion on the security of

McEliece’s public-key cryptosystem, Bell Communications Research,

Morristown, N.J., 07960 U.S.A.

10. McEliece .R. (1978), A public - key cryptosystem based on algebraic coding

theory, DSN Progress Report, 42 - 44, pp 114 - 116.

11. Stinson Douglas R. (2002), Cryptography Theory and Practice, Chaman and

Hall/CRC.