Fizyka 2 Wykad W7 1

Nierozróznialno czstek w mechanice kwantowej (copyright: wikszo ilustracji pochodzi ze strony www.aip.org/physnews/graphics oraz z Wikipediii)

Dotychczas rozpatrywalimy jedynie ukady zawierajce tylko 1 kwantow czstk.

Gdy mamy N czstek funkcja falowa układu zaley od wszystkich wspórzdnych wszystkich

czstek:

i,...N)(1,2,3,., ,

gdzie “i” oznacza wspórzdn przestrzenn oraz rzut momentu spinowego na wybran o (kierunek

w przestrzeni).

Hamiltonian takiego ukadu

i

ii

i VVTTW + V + T = H^^^^

;;ˆˆˆˆ

gdzie T jest operatorem energii kinetycznej, Vi jest jednoczstkowym operatorem energii

potencjalnej

)j i, (W = Winejji,

ˆˆ jest operatorem energii oddziaywania (te rodzaj energii potencjalnej)

Rozwizanie N-czstkowego równania Schrödingera z wyej opisanym hamiltonian w ogólnosci

okazuje si niezwykle trudne.

Konieczne s drastyczne przyblienia.

Podstawowe przybliżenie: przybliżenie jednoczstkowe:

zakada si, e ukad mona opisa kombinacjami liniowymi jednoczstkowych funkcji

falowych

(np. funkcji falowych wspólrzdnych tylko 1 elektronu)

Fizyka 2 Wykad W7 2

Tak wic

i,...N)(1,2,3,., zapisuje si (“konstruuje si”) za pomoc funkcji (i) ,

gdzie “i” s wspórzdnymi (wraz ze zmienn spinow)

dowolnej czstki w ukadzie.

Jest to bezporednia konsekwencja (wyraenie) zasady nieodrónialnoci czstek w mechanice

kwantowej - czstek nie da si ledzi jako czstka 1 lub 2 (“Marek” czy “Wacek”).

Skoro czstki s nierozrónialne to hamiltonian musi by niezmienniczy wzgldem wzajemnych

przestawie wspórzdnych czstek.

W konsekwencji:

Gsto prawdopodobiestwa musi te by niezmiennicza wzgldem takich przestawie.

|N)i,.....,j,....,,(1,2,3,...| = |N)j,.....,i,....,,(1,2,3,...|22

A inaczej: N)i,.....,j,....,,(1,2,3,... = N)j,.....,i,....,,(1,2,3,...

Zakaz Paulliego:

Paulli doszedł do wniosku, że znak jaki naley wybra zaley od spinu czstki

Dla fermionów (czstek, których rzut spinu na wyróniony kierunek jest wielokrotnoci 2

)

znak “-” co daje nam antysymetryczn funkcje falow

Fizyka 2 Wykad W7 3

Przykad dla dwóch fermionów

Dla elektronów w czsteczce skadajcej si z dwóch atomów „a” i „b”

funkcja falowa w przyblieniu jednoczstkowym

) (1)(2) (2)(1) ( 2

1 = (1,2)

baba

Widzimy, e fermionom odpwiada antysymetryczna funkcja falowa: (1,2) - = (2,1)

Uwaga: “1” oraz “2” to symboliczne oznaczenie wszystkich współrzędnych elektronu włącznie ze

współrzędną spinową.

Przykad: dla dwóch bozonów (np. dla fononów) funkcja falowa w przyblieniu jednoczstkowym

) (1)(2) + (2)(1) ( 2

1 = (1,2) baba

Widzimy, e bozonom odpowiada symetryczna funkcja falowa: (1,2) = (2,1)

Wniosek: zakaz Pauliego gdy „1” = „2” tzn wszystkie liczby kwantowe obu fermionów s równe -

funkcja falowa ukadu znika !

Fizyka 2 Wykad W7 4

Przykad: Fermiony i bozony w pobliżu temperatury bezwzględnego zera.

Rysunek obok przedstawia obraz dwóch chmur

dwóch różnych (stabilnych) izotopów litu: litu 6 oraz

litu 7 wytworoznych w Rice University (USA) w

ultraniskich temperaturach. Lit 7 jest bozonem a lit 6

jest fermionem. Izotopy różnią się liczbą nukleonów

w jadrze (własności chemiczne natomiast są

identyczne).

nK to temperatura 10-9 K !

W eksperymencie (sławna kondensacja Bose-

Einsteina) ściskano obie chmury starając się

zmniejszyć ich rozmiary. Jak widać rozmiary chmury

bozonów można zmniejszyć o wiele łatwiej niż

chmurę fermionów. To właśnie zakaz Paulliego

uniemożliwia zbliżenie się fermionów do siebie:

gdyby nastąpiło dalsze zbliżenie funkcja falowa układu fermionów musiałaby zniknąć – czyli atomy

musiałyby przestać istnieć. Zakaz Paulliego obowiązuje jedynie fermiony i dlatego własności

statystyczne tych dwóch rodzajów cząstek są istotnie różne.

Fizyka 2 Wykad W7 5

Wybrane zastosowania mechaniki kwantowej Technologia mikrostruktur bardzo szybko si rozwija:

Przykad Nanogitara

Electron-microscope image of the

world's smallest guitar, based

roughly on the design for the Fender

Stratocaster, a popular electric

guitar. Its length is 10 millionths of a

meter-- approximately the size of a

red blood cell and about 1/20th the

width of a single human hair. Its

strings have a width of about 50

billionths of a meter (the size of

approximately 100 atoms). Plucking

the tiny strings would produce a

high-pitched sound at the inaudible frequency of approximately 10 megahertz. Made by Cornell

researchers with a single silicon crystal, this tiny guitar is a playful example of nanotechnology, in

which scientists are building machines and structures on the scale of billionths of a meter to perform

useful technological functions and study processes at the submicroscopic level. (Image courtesy

Dustin W. Carr and Harold G. Craighead, Cornell.)

Fizyka 2 Wykad W7 6

Najbardziej popularnym przykadem zastosowania efektu tunelowego jest póprzewodnikowa {hiperlink:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Z%C5%82%C4%85cze_p-n} dioda Zenera (zob. też złącze p-n {hiperlink:

http://pl.wikipedia.org/wiki/Z%C5%82%C4%85cze_p%C3%B3%C5%82przewodnikowe}):

Pod wpywem napicia przyoonego w

kierunku zaporowym efektywna szeroko

przerwy zabronionej staje si tak cienka, e

noniki tuneluj przez ni tak jak w

analizowanych przez nas symulacjach zjawiska

tunelowego.

Prowadzi to do

gwatownego wzrostu

natenia prdu pynacego przez diod (przebicie lawinowe – na

żółto).

Fizyka 2 Wykad W7 7

Przykad: Kwantowym tranzystor tunelowy (1997)

Quantum Tunneling Transistor

Schematic diagram of a quantum

tunneling transistor, an on-off

switch that exploits an electron's

ability to pass through normally

impenetrable energy barriers. The

various contacts and gates adjust

the voltage between the upper

quantum well (labelled "top QW")

and the lower quantum well

("bottom QW"), both made of

gallium arsenide and having

thicknesses of just 150 Angstroms (where 1 Angstrom equals 10-10 meters). Adjusting the voltage in

the right way allows the electrons in the top QW to "tunnel through" an ordinarily insurmountable

barrier (made of aluminum gallium arsenide, depicted as a sawtoothed energy barrier in the

leftmost diagram) to the bottom QW. Tunneling occurs when the top QW and bottom QW accept

electrons with the same energy and momentum states. (Figure courtesy Sandia National

Laboratories)

This research was described at the 1997 IEEE International Electron Device Meeting in Washington,

DC, December 7-10, 1997.

Fizyka 2 Wykad W7 8

Przykad: nanotrioda (1999) – lampa elektronowa o rozmiarach nanometrowych

Schematyczny rysunek pokazuje

przekrój triody opracowanej przez

Driskill-Smith et al., I

opublikowanej w Applied Physics

Letters, w listopadzie 1999

1 nm = 10-9 m

Std nawet bardzo mae napicie

daje ogromne pole wewntrz

elementu: 1 V napicia

przyoonego odpowiada 10 MV/m

natenia pola pomiedzy katod a

anod. Wewnątrz elementu jest

wysoka próżnia.

Fizyka 2 Wykad W7 9

Mikroskop tunelowy

Zjawisko tunelowe zostao wykorzystane w 1982 roku do budowy skanujcego mikroskopu

tunelowego.

Prd pyncy przez zcze tunelowe

(rzdu nA) zaley silnie (zaleno

ekspotencjalnie malejąca !) od

odlegoci czubka sondy od

powierzchni:

Zmiana o 0.1 nm (10-10 m) wywouje

10-krotn zmian natenia prdu.

Sond przesuwa si wzdu

powierzchni tak sterujc jej pooenie

aby natenie prdu byo stae.

Wymagania kontroli staoci prdu

mona przeliczy na odlego czyli

ksztat powierzchni.

Fizyka 2 Wykad W7 10

Tunelowy mikroskop skaningowy jest czuły na gsto elektronów na powierzchni badanego

materiau.

Fizyka 2 Wykad W7 11

Trzy nietypowe przykłady

Obraz obok przedstawia widok fal elektronowych

rozbijajacych si na 2 defektach o rozmiarach

pojedyczych atomów na powierzchni krysztau

miedzi.

Oczywiscie widzimy stay wzór przestrzenny bo

powstaj fale stojce dziki interferencji. Inaczej

nie było by nic widać bo fale elektronowe mają

dużą częstość i prędkośća obraz w mikroskopie

tunelowym powstaje powoli.

Czubkiem sondy mikroskopu tunelowego mona te

przemieszcza atomy i rozmieszcza je w dowolny sposób.

Liczydo z kulek atomów wgla (C60 tzw. fulleren) {hyperlink: http://en.wikipedia.org/wiki/Fullerene}

{hyperlink: http://www.ifw-dresden.de/institutes/iff/research/Carbon/fullerenes/introduction} Fulereny mają ciekawe własności elektronowe, optyczne oraz

mogą służyć jako mikronośniki przenoszące molekuły

farmaceutycznie czynne wewnątrz organizmu.

Fizyka 2 Wykad W7 12

„Stadion” z atomów elaza na powierzchni miedzi: stworzony dla obserwacji fal elektronowych w

obszarze ograniczonym

Fizyka 2 Wykad W7 13

Istniej wielorakie rozwinicia skaningowego mikroskopu

tunelowego:

Mikroskopia si atomowych

Mikroskopia si rezonansu magnetycznego:

Mikroskopia taka daje 3-wymiarowe, nieniszczce i bezwyjmowania

ze rodowiska rodzimego obrazy atomów, moleku, defektów cia

staych, domieszek w

póprzewodnikach oraz wirusów.

Delikatna dwignia z krzemu ma

na kocu sadowe iloci materiau

ferromagnetycznego.

Widoczna w tle cewka wywouje oddziaywania czubka sondy z

nawet ladowymi ilociami jonów w próbce, które posiadaj

moment magnetyczny - to wystarczy aby mikroskop si

rezonansu magnetycznego pozwoli zobrazowa próbk.

Mikroskop taki mierzy siy rzdu 10-18 N.

Fizyka 2 Wykad W7 14

Nadprzewodnictwo (szkic)

W metalach przewodzą elektrony w paśmie przewodnictwa.

Zgodnie z zakazem Paulliego wszystkie poziomy energetyczne tego pasma są zajęte

od dna pasma przewodnictwa do pewnego poziomu tzw. poziomu Fermiego.

Elektrony blisko wierzchołka pasma przewodnictwa (ale głębiej poniżej poziomu Fermiego) jest

trudno przyspieszyć (zwiększyć ich energię kinetyczną)

bo sąsiednie poziomy energetyczne są zajęte.

Elektrony w pobliżu poziomu Fermiego można przyspieszyć

bo nad nimi są wolne poziomy energetyczne.

Dlatego to elektrony w pobliżu poziomu Fermiego biorą udział w przewodnictwie.

Fizyka 2 Wykad W7 15

W niskich temperaturach, bliskich zera bezwzględnego, pojedyncze elektrony w trakcie

przewodzenia prądu elektrycznego zaburzają strukturę sieci krystalicznej:

ujemny ładunek elektronu przyciąga dodatnie jony sieci krystalicznej.

W ten sposób pod wpływem przepływem prądu po sieci krystalicznej rozchodzą się zaburzenia

w postaci fali – drgania sieci krystalicznej tzw. fonony.

Obecność fononu wysłanego przez jeden elektron wpływa na ruch

drugiego elektronu.

W normalnych temperaturach prowadzi to do wzrostu oporności

elektrycznej: ruch elektronów rozpraszany jest na fononach i średnia

prędkość elektronów maleje zmniejsza się natężenie prądu przy

stałym napięciu.

W niskich temperaturach i w takich materiałach, w których

oddziaływanie elektronu z siecią krystaliczną jest silne (słabe

przewodniki, duża oporność właściwa), może dojść do

przyciągającego oddziaływania dwóch elektronów za pośrednictwem

wysyłanych przez nie fononów.

Efekt jest złożony: aby doszło do przyciągania 2 elektronów między

sobą musi zostać zniwelowane odpychanie między nimi na skutek:

jednoimiennych ładunków obu elektronów na skutek

oddziaływania Kulomba

odpychającego oddziaływania ich spinów

Fizyka 2 Wykad W7 16

Pierwszego oddziaływania nie da się usunąć.

Drugie znika gdy spiny ustawią się antyrównolegle.

Wtedy elektrony w paśmie przewodnictwa o energiach

bliskich energii Fermiego

mogą łączyć się w pary (pary Coopera) ze spinami

ustawionymi antyrównolegle.

Elektron jest fermionem i podlega zakazowi Paulliego.

Para Coopera ma wypadkowy spin 0 i podwójny ładunek

elementarny (jest bozonem).

Nie podlega zakazowi Paulliego więc:

a) wszystkie pary gromadzą się na jednym poziomie

energetycznym i są oddzielone od reszty (niesparowanych)

elektronów wąską przerwą energetyczną Eg

b) tak zgrupowane w pary elektrony łatwo ulegają

przyspieszeniu pod wpływem zewnętrznego pola

elektrycznego i nie wykazują oporu elektrycznego.

Zjawisko to nazywa się nadprzewodnictwem {hyperlink: http://www-outreach.phy.cam.ac.uk/physics_at_work/2005/exhibit/irc.php}

Własności nadprzewodnictwa (przykład)

Inne zjawisko fizyki niskich temperatur zachodzi w ciekłym Helu w temp. ok. 2 K – to nadciekłość {hyperlink: http://www.youtube.com/watch?v=2Z6UJbwxBZI&feature=youtu.be }

Fizyka 2 Wykad W7 17

Nadprzewodnictwo znajduje wiele zastosowań m.in.:

a) nadprzewodzące uzwojenia magnesów rezonatorów MRI – dzięki zerowej oporności można

zmniejszyć straty na ciepło normalnie związane z przepływem prądu elektrycznego (ciepło Joule’a-

Lenza)

b) nadprzewodzące kable energetyczne – na razie w planach bo w takich kablach płyną bardzo duże

natężenia prądu i ich pole magnetyczne może zniszczyć stan nadprzewodnictwa (pole to zmienia

wzajemne ustawienie spinów pary Coopera w końcu niszcząc ją).

c) czułe magnetometry SQUID wykorzystujące nadprzewodzące złącza Josephsona –

wykorzystywane w magnetokardiografii i magnetoenecefalografii

d) niezwykle stabilne i niskoszumne generatory wysokiej częstotliwości stosowane m.in. w

technikach pomiarowych.

Od odkrycia w 1908 roku nadprzewodnictwa w rtęci

temperatura krytyczna, w której stan nadprzewodnictwa

ulega zniszczeniu na skutek rozerwania par Coopera pod

wpływem drgań cieplnych znacznie została podwyższona. Nowe materiały ceramiczne są nadprzewodzące już w

temperaturach ciekłego azotu.

Fizyka 2 Wykad W7 18

Kropki kwantowe S to mae ograniczone obszary ciaa staego (np. póprzewodnika) o rozmiarach od kilku nm

do kilku mikronów. Nanotechnologia pozwala nam stosunkowo swobodnie ksztatowa ksztat i

rozmiary takich objektów.

Mieci si w nich od 1000 do 102 atomów wraz z ich elektronami. Oznacza to, e w przypadku

kropki kwantowej w póprzewodniku moe by (w zalenoci od rozmiaru i warunków

zewntrznych) od pojedynczego do kilku tysicy wolnych elektronów zamknitych w kropce jak w

pudeku.

Wasnoci elektronowe kropek kwantowych s nadspodziewanie podobne do wasnoci

elektronowych atomów. W szczególnoci ograniczenie rozmiarów we wszystkich trzech kierunkach

naraz oznacza skawntowane widmo energii kropki.

Z tego względu czsto mówimy o sztucznych atomach.

Fizyka 2 Wykad W7 19

Jeeli zaopatrzy kropk w kontakty to mona za

pomoc napicia zmienia liczb elektronów w

kropce (podobnie jak to byo w tranzystorze

tunelowym).

Oznacza to, e mona - zmieniajc napięcie

porusza si jakby po tablicy Mendelejewa {hyperlink:

http://www.pazdro.com.pl/zdjecia/322.jpg} wytwarzajc wewntrz

kropki rón liczb elektronów.

O tym jednak jakie wasnoci szczegóowe

bd miay elektrony wewntrz kropki kwantowej

decyduje symetria i posta funkcyjna potencjau

dziaajcego na nie.

Fizyka 2 Wykad W7 20

Przykad: dla kropki o podstawie okrgej na rysunku powyej potencja jaki dziaa na elektron jest

proporcjonalny do r2 a wic jest bardzo podobny oscylatorze harmonicznym.

Jednake jest to taki “2-wymiarowy” oscylator i to daje nieco inne wasnoci.

Funkcje falowe obliczone dla takiej kropki kwantowej s nastepujce:

Fizyka 2 Wykad W7 21

Na rysunku pokazano obok wasnoci sztucznego atomu jaki si

otrzymuje z kropki kwantowej o okrgej podstawie.

Na górnym rysunku wida jak zwikszanie napicia powoduje

skokowy wzrost prdu pyncego przez kropk (tunelowanie !)

na skutek tego, e energia elektronów zrównuje si z kolejnymi

poziomami energii dozwolonej kropki.

Prd tunelowy nie popynie dopóki nie zostanie dostarczona

energia na pokonanie kulombowskiego odpychania pomidzy

elektronami wewnątrz kropki a tymi, które maj do niej

wpyn.

Czsto wytwarza si te kropki kwantowe z gazu elektronów

swobodnych w strukturach póprzewodnikowych przez

przyożenie napicia o odpowiedniej symetrii przestrzennej

(drutu i kropki kwantowe). W takich ukadach jednak opis

zjawisk jest bardziej skomplikowany ze względu na bardziej

złożony rozkład potencjału (nie są to prostokątne studnie

potencjału).

Fizyka 2 Wykad W7 22

Obecnie technologia pozwala na samoczynne tworzenie si sieci kropek kwantowych w trakcie

chemicznych procesów technologicznych. Zamiast 1 kropki można na przykład uzyskać strukturę

rastrową jak na rysunku poniżej. Taki układ kropek kwantowych może być wykorzystany jaki panel

ekranu komputerowego lub telewizyjnego.

Kropki są położone tak blisko siebie, że

elektrony tunelują z jednej do drugiej.

Tworzy się wtedy wspólna struktura

elektronowa – tzw. supersieć: wewnątrz

kropki znajduje się wiele atomów ale

periodyczność makroskopowej struktury

ułożenia kropek powoduje wspólne pasma

energetyczne elektronów.

Oprócz supersieci wytworzonych z

kropek kwantowych można uzyskać

podobny efekt układając bardzo cienkie (1,

2 atomowe) warstwy różnych atomów jedne

na drugich. Poszczególne warstwy razem

tworzą też supersieć i posiadają nowe, niespotykane w przyrodzie własności.