Fizyka 2 Wykład 3 1

Równanie Schrödingera

Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną.

Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy reprezentację połoŜeniową i korzystamy z postulatów matematycznych.

Prowadzi to do zagadnienia własnego dla operatora energii:

Erwin Schrödinger

1887-1961

równanie Schrödingera dla stanów stacjonarnych Od funkcji falowej un(x) wymaga się aby była:

� ciągła wraz z pochodnymi

� nieosobliwa

� jednoznaczna

Fizyka 2 Wykład 3 2

Sens fizyczny funkcji falowej: Rozpatrzmy średnie połoŜenie cząstki w stanie un(x):

Uzasadnienie: bo xx =ˆ w reprezentacji połoŜeniowej a więc w rozpatrywanym przypadku kolejność działań nie jest istotna i moŜna zmienić kolejność pod całką

Wniosek: 2nu ma sens gęstości prawdopodobieństwa a warunek unormowania

funkcji własnych ∫∞

∞−=12dxun ma prosty sens matematyczny.

WaŜne:

przy takiej interpretacji faza funkcji falowej jest nie istotna i nie ma interpretacji fizycznej (!).

Fizyka 2 Wykład 3 3

Przykład:

Dana jest studnia potencjału o szerokości a i nieskończenie wysokich ścianach jak na rysunku.

Wewnątrz studni potencjał V(x) jest zerowy.

Rozpatrzmy dozwolone energie wewnątrz tej studni.

Równanie Schrödingera da się dla tej studni zapisać jako:

Warunki brzegowe: Ψ(x) = 0 dla x = 0 oraz dla x = a (Wyjaśnienie: w tych punktach V(x) osiąga ∞ a pozostałe wyrazy w równaniu są skończone).

Fizyka 2 Wykład 3 4

Ogólne rozwiązanie takiego równania róŜniczkowego jest:

MoŜna dobrać inna postać rozwiązania dobierając spośród moŜliwych superpozycji fal płaskich eikx

przy czym od razu widać, Ŝe B’ = 0 ze względu na Ψ(0) = 0.

A z warunku sin(kx)|x = a = 0 wynika k = n π/a dla n= 0,1,2,3,...

Tyle matematyka.

Fizyka 2 Wykład 3 5

A fizyka ?

� Rozwiązanie z k = 0 jest trywialne - studnia jest pusta

� Energie odpowiadające stanom n=1,2,3.... są

� skoro ogólnie ∫∞

∞−=12dxun to w naszym przypadku

bo na zewnątrz studni cząstki nie ma.

Aby tak było amplituda fali musi spełnić warunek

(Ćwiczenie do domu: proszę to sprawdzić!!! )

Rozwiązanie jest więc falą stojącą: śeby ona powstała wewnątrz studni musi zachodzić superpozycja fal biegnących w przeciwnych kierunkach oraz odbicia na krańcach studni.

Fizyka 2 Wykład 3 6

Fizyka 2 Wykład 3 7

Równania ruchu w mechanice kwantowej Postulat

czas jest zwykłą zmienną - nie jest operatorem

SpostrzeŜenie

a) wymiar iloczynu zmiennych E t = wymiar iloczynu zmiennych x oraz p

b) na mocy zasady komplementarności, w reprezentacji połoŜeniowej, gdy operatorem połoŜenia jest zmienna x

to operatorem pędu jest:

Czynimy więc załoŜenie:

energii odpowiada operator

(Uwaga: nie ma znaku ‘-‘ w przeciwieństwie do operatora pędu)

ZałoŜenie to jest równoznaczne z równością operatorową

gdzie H jest operatorem Hamiltona poznanym w poprzednim rozdziale.

Fizyka 2 Wykład 3 8

Równanie Schrödingera zaleŜne od czasu

Postulat o postaci operatora energii pozwala sformułować zagadnienie niestacjonarne w mechanice kwantowej Schrödingera:

gdzie opuściłem znak operatora nad zmienną połoŜenia.

Równanie to jest całkowicie postulowane - jedynym jego uzasadnieniem jest zgodność z doświadczeniem.

Jeśli potencjał nie jest funkcją czasu to moŜna dokonać separacji zmiennych pisząc .

Fizyka 2 Wykład 3 9

Po podstawieniu do równania Schrödingera zaleŜnego od czasu i podzieleniu obu stron przez Ψ i uporządkowaniu:

Lewa stron równania jest tylko funkcją czasu.

Prawa stron - tylko funkcją połoŜenia

Muszą być więc równe stałej –

z zagadnienia stacjonarnego (zagadnienie własne operatora Hamiltona H) wynika, Ŝe stałą jest energia.

Prowadzi to do separacji zmiennych.

Otrzymuje się dwa równania – jedno zaleŜne tylko do czasu a drugie – od zmiennych przestrzennych.

WaŜne: dla wszystkich zagadnień analizowanych w mechanice Schrödingera równanie dla części zaleŜnej od czasu jest identyczne! Dlatego w wielu podręcznikach, po jego omówieniu, juŜ się do niego nie wraca.

Fizyka 2 Wykład 3 10

Rozwiązaniem równania zaleŜnego tylko od czasu:

jest .

Ostatecznie więc rozwiązaniem zagadnienia niestacjonarnego jest

gdzie

n - zespół liczb kwantowych, które jednoznacznie numerują stany,

ψn jest rozwiązaniem zagadnienia stacjonarnego (patrz poprzedni rozdział).

Fizyka 2 Wykład 3 11

Przykład: Cząstka swobodna 0)( =rVr

Przeprowadzamy separacje zmiennych,

część zaleŜna od czasu jest zawsze taka sama

ale poziomy energii trzeba wyznaczyć z części przestrzennej równania Schrödingera (tj. z zagadnienia stacjonarnego):

ma rozwiązania w postaci oraz energie własne

Fizyka 2 Wykład 3 12

SpostrzeŜenia:

1) dla cząstki swobodnej energia oraz pęd przyjmują wartości ciągłe

2) dla cząstki swobodnej zawsze 0]ˆ,ˆ[ =pH

bo a operator pędu a stąd 0],[ 2 =∇∇

3) proszę sprawdzić (!) : gdzie

Bardzo waŜny wniosek ogólny

Jeśli dwa operatory komutują to mają wspólne funkcje własne.

Interpretacja fizyczna:

Jeśli dwa pomiary nie zakłócają się na wzajem to operatory odpowiadające tym pomiarom mają wspólne funkcje własne.

Fizyka 2 Wykład 3 13

Inny wniosek

Dla cząstki swobodnej

jak w fizyce klasycznej.

A ponadto:

Pełna funkcja falowa dla cząstki swobodnej da się zapisać jako:

jest to więc fala de Broglie’a o wektorze falowym

oraz częstości

� W tzw. starej teorii kwantów fala de Broglie’a była postulowana

� W mechanice Schrödingera postuluje się pewien aparat matematyczny i otrzymuje się właściwą postać fali de Broglie’a.

Fizyka 2 Wykład 3 14

Przykład:

Cząstka o masie m porusza się swobodnie po zamkniętej nici o długości L.

Znaleźć poziomy energetyczne tej cząstki.

Równanie ruchu ma postać:

Rozwiązaniem tego równania są fale płaskie ikxCex =)(ψ

a stałą C naleŜy wyznaczyć z warunku unormowania

(Proszę sobie stałą C wyznaczyć!).

Nić jest zamknięta tj. a stąd wynikają dozwolone poziomy energetyczne:

Widać, Ŝe gdy L → ∞, widmo energii staje się quasi-ciągłe i dyskretną strukturę poziomów energetycznych moŜna pominąć.

Fizyka 2 Wykład 3 15

Przykład:

Dla cząstki z poprzedniego przykładu znaleźć widmo operatora pędu.

Skorzystamy z zasady komplementarności:

Zbadamy komutator

a więc operator energii i operator pędu w omawianym przypadku mają wspólne funkcje własne tzn.

Fizyka 2 Wykład 3 16

� Paczka fal Rozwiązania w postaci funkcji harmonicznych nie mogą odpowiadać cząstkom zlokalizowanym

- gęstość prawdopodobieństwa z nimi związana jest jednakowa wszędzie.

Aby zbadać zachowanie się kwantowej cząstki naleŜy posłuŜyć się paczką fal. Wybierzemy funkcję widmową (amplitudę) w postaci funkcji Gaussa:

Taka postać jest wygodna ze względu na łatwość dokonywania obliczeń.

(Inne postacie funkcji widmowej moŜna wygenerować samemu pod adresem:

http://phys.educ.ksu.edu/vqm/index.html za pomocą programu Wave Packet Explorer) {hyperlink: http://phys.educ.ksu.edu/vqm/index.html}

Fizyka 2 Wykład 3 17

Nasza funkcja falowa przyjmie postać:

Dodaliśmy (płaskie) fale de Broglie’a z amplitudą f(p) zaleŜną od pędu p.

Proszę pamiętać, Ŝe p = ħ k, gdzie k = 2π/λ jest liczbą falową.

Przykład: zamiast całkować dodajmy do siebie tylko 15 takich fal zakładając, Ŝe dla n-tej fali (n=-7,-6,...,0,...6,7) pęd p =

p0 + n ∆p , gdzie ∆p jest stałą.

Rysunek po prawej: część rzeczywistą takiej paczki fal dla chwili t0 i t > t0.

Widać dosyć dobrze zlokalizowaną paczkę (poza pewnym obszarem jej amplituda jest znikoma) ale obwiednia jej silnie oscyluje. Ten efekt zmniejsza się gdy składników paczki fal jest więcej.

Fizyka 2 Wykład 3 18

Stopień lokalizacji fali zaleŜy teŜ od szerokości funkcji widmowej f(p).

Widać to poniŜej na wykresach części rzeczywistej i urojonej paczki fal dla dwóch róŜnych szerokości funkcji widmowej: wąska funkcja widmowa daje bardziej rozmytą paczkę. Jeszcze lepiej widać to na wykresie gęstości prawdopodobieństwa (kwadrat modułu paczki fal) po prawej gdzie pokazano te same paczki fal , odpowiednio. UWAGA: porównywać naleŜy wykresy dla t = 0 – w trakcie ewolucji w czasie paczka fal poszerza się (ulega „rozmyciu”).

Fizyka 2 Wykład 3 19

MoŜna scałkować wyraŜenie na paczkę falową po pędzie

(po to dobraliśmy f(p) w takiej postaci aby to całkowanie było moŜliwe analitycznie)

a wtedy .

Funkcja eksponencjalna to fala nośna szybkozmienna w czasie i przestrzeni.

Amplituda M(x,t):

gdzie paczka porusza się z prędkością grupową

Fizyka 2 Wykład 3 20

Przykład: paczka falowa w spoczynku Rozpływanie się paczki fal wynika z tego, Ŝe zawiera ona zarówno fale harmoniczne o dodatnich jak i ujemnych pędach.

Fizyka 2 Wykład 3 21

Przykład:

Demonstracja zasady nieoznaczoności Heisenberga

Dobieramy tak funkcje widmowe dla 3 paczek aby:

o ich prędkość grupowa v0 = p0/m była jednakowa

o ich szerokość w pędzie σp była róŜna

o w chwili t = 0 spełnione było