Nizovi

• 1, 2, 3, …, n, …

• 7,6,5,4,3,2,1,0

Def.Ako su elementi nekog skupa pridruženi skupu prirodnihbrojeva, tako da znamo koji je element zadanog skupaprvi, koji drugi itd., kažemo da je taj skup niz.

Def.Konačnim nizom realnih brojeva nazivamo funkciju

koju zapisujemo uređenom listombrojeva:

gdje je . Pri tome je opći član.na

Rka →},...,2,1{:

,,...,,, 321 kaaaa

( ) { }knnaan ,...,2,1, ∈=

Def.Beskonačnim nizom realnih brojeva nazivamo funkciju

kojoj je domena skup N, a kodomena skup R.

Primjer:1. Ispišite prvih 5 članova niza zadanog općim članom

(rekurzivnom formulom)

a)

b) pri čemu je 21 −=a

RNa →:

( ) nn

na 21 ⋅−=

nn aa ⋅−=+

21

Aritmetički niz

Niz je aritmetički ako je razlika između svakog člana (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d:

an - an-1 = d, n > 1.

Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza.

Primjer:

a) 7, 10, 13, 16, 19

b) 2, 0, -2 ,-4, -6

Opći član aritmetičkog niza:

Aritmetički niz dobio je naziv zato je što svaki njegov član, osim prvog i posljednjeg, aritmetička sredina dvaju njegovih susjednih članova.

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom:

Primjer:

Zbrojite prvih 100 prirodnih brojeva.

( )dnaan 11 −+=

2

11 −++

= nnn

aaa

( )nn aan

S += 12

• Zadaci:

1. Odredite aritmetički niz ako je:

a)

b)

2. Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza je 165. Ako je

koliki je n?

3 ,2 4673 =−=+ aaaa

5 ,7 62753 =+=++ aaaaa

1 ,10 41 −=−= aa

Kamatni račun

• Kamate su naknada koju plaća dužnik za posuđenu glavnicu (iznos

novca ili kakvog drugog dobra) na određeno vrijeme.

• Razdoblje ukamaćivanja je vremensko razdoblje za koje se obračunavaju kamate, npr. godišnji, polugodišnji, kvartalni...

• Obračun kamata može biti:– dekurzivni

– anticipativni

• Kamatnjak (godišnja kamatna stopa) je iznos kamata od 100 novčanih jedinica za neki vremenski interval.

• Kamate mogu biti: – jednostavne

– složene

Jednostavni dekurzivni kamatni

račun

• Kamate koje se izračunavaju za svako razdoblje kapitalizacije kroz vrijeme trajanja kapitalizacije od iste vrijednosti glavnice nazivaju se jednostavne kamate.

• Primjena: kratkoročni financijski poslovi (vrijednosni papiri, potrošački krediti…)

• Dekurzivni obračun kamata jest obračun kamata na kraju razdoblja ukamaćivanja od iste vrijednosti glavnice s početkom tog razdoblja.

• U jednostavnom kamatnom računu upotrebljavaju se oznake za slijedeće veličine:– C0 – glavnica

– p – godišnji dekurzivni kamatnjak (decimalni zapis)

– n – broj godina

– I – kamata

– Cn – konačna vrijednost glavnice (Cn = Co + I)

• Kamatu izračunavamo:

• Primjer:

1. Koliko iznose jednostavne kamate od glavnice 50.000,00kn za

razdoblje od tri godine i uz godišnji kamatnjak 8%? Obračun kamata je dekurzivan.

2. Dužnik je vratio nakon jedne godine i šest mjeseci posuđeni iznos

6.000,00kn i jednostavne kamate 801,0 kn. Koliki je bio godišnji

kamatnjak? Obračun kamata je dekurzivan.

3. 25% neke glavnice uloženo je uz godišnji kamatnjak 5,2 na jedan kvartal, 30% uz godišnji kamatnjak 6 na 7 mjeseci, a ostatak uz godišnji kamatnjak 6,8 na jedan trimestar. Odredite iznos glavnice ako ukupne kamate na nju iznose 9.580,00 kn.

100

0npCI =

1. Za koje vrijeme glavnica od 6.000,00 ISK uložena uz godišnjikamatnjak 9 donese ukupne kamate u iznosu od:a) 1.080,00 kn (iskažite vrijeme u godinama); (2g)

b) 450,00 kn (iskažite vrijeme u mjesecima); (10 mjeseci)

2. Za koje se vrijeme glavnica od 7.500,00 kn uložena uz 8% godišnjihkamata uveća za 1.000,00 kn? Iskažite vrijeme u godinama,mjesecima i danima. (1 g 8 mj 0 d)

3. Za koje će vrijeme glavnica od 6.400,00kn uložena uz 7,5 godišnjukamatnu stopu donijeti isto toliko kamata kao i glavnica od4.000,00kn uložena uz kamatnjak 8 na 3 godine? (2)

4. Trećina neke glavnice uložena je na godinu dana uz godišnjukamatnu stopu 12%, šestina iste glavnice na jedno polugodište uzgodišnju kamatnu stopu 10%, a ostatak glavnice na jedan kvartaluz godišnju kamatnu stopu 8%. Odredite najmanji iznos uloženeglavnice tako da ukupan iznos kamata na nju bude najmanje5.000,00 kn. (85.714,29)

5. Neka osoba uložila je u dvije banke ukupno 14.000,00kn. Jednabanka koristi 7, a druga 7,5 kamatnjak. Koliko je uloženo u jednu, akoliko u drugu banku, ako su ukupne kamate 1.025,00kn?(5.000,00kn i 9.000,00kn)

6. Četvrtina glavnice uložena je uz 16% na 2 godine, trećina glavniceuz 10% na 6 mjeseci, a ostatak na 8 mjeseci uz 12%. Kolika jeglavnica ako su ukupne jednostavne kamate iznosile 3.900,00kn?(30.000,00kn)

7. Odredite konačnu vrijednost glavnice od 4.000,00 kn ukamaćenena:a) jedno polugodište uz godišnji kamatnjak 7; (4.140,00 kn)

b) tri kvartala uz godišnji kamatnjak 10; (4.300,00 kn)

c) sedam mjeseci uz godišnji kamatnjak 7,2; (4.168,00 kn)

d) 80 dana uz godišnji kamatnjak 10,95. (4.096,00 kn)

8. Odredite konačnu vrijednost glavnice od 10.000,00 USD uloženena dvije godine ako je godišnja kamatna stopa u prvoj godini 8%,a u drugoj 8,5%. (11.650,00 USD)

9. Mata je 13.05. posudio iznos od 15.000,00kn uz obračunjednostavnih dekurzivnih kamata i promjenjivu mjesečnukamatnu stopu. Dug treba vratiti 15.09. Mjesečni kamatnjak usvibnju je 1, u lipnju 1,5, u srpnju 2, u kolovozu 1,75 i u rujnu 2,2.Izračunajte veličinu duga na dan 15.09. (16.039,60kn)

10. Dvije glavnice su oročene istoga dana, ali na različito vrijemetrajanja kapitalizacije. Prva glavnica je za 20% manja od druge, aoročena je uz 10% veći godišnji kamatnjak. Kako se odnosevremena trajanja kapitalizacije tih glavnica ako:

a) obje glavnice donesu isti iznos kamata; (100:88)

b) prva glavnica donese 5% više kamata od druge; (119,32:100)

c) druga glavnica donese 5% više kamata od prve? (100:92,4)

Jednostavni dekurzivni kamatni

račun – vježbe

1. Odredite konačnu vrijednost glavnice od 24.000,00 €ukamaćene na:

a) tri godine uz kvartalni kamatnjak 1; (26.880,00€)

b) sedam polugodišta uz kvartalni kamatnjak 1,25; (28.200,00 €)

c) dva trimestra uz kvartalni kamatnjak 1,5; (24.960,00 €)

d) tri kvartala uz kvartalni kamatnjak 1,75; (25.260,00 €)

e) 14 mjeseci uz kvartalni kamatnjak 2;(26.240,00 €)

f) 110 dana uz kvartalni kamatnjak 1,825. (24.528,00 €)

2. Crvenkapica je uložila u banku ukupno 30.000,00 €.Jedan dio uloga uložen je uz godišnju kamatnu stopu8,5%, a drugi uz godišnju kamatnu stopu 6,25%.Odredite iznos uložen uz manju godišnju kamatnu stopuako ukupne godišnje kamate za obje glavnice iznose2.280,00 €. (12.000,00 €)

3. Za koje se vrijeme neka glavnica uložena uz 10% godišnjih kamata:a) udvostruči; (10g)

b) uveća za 40%? (4g)

4. Pepeljuga je uložila 6.000,00 € na jedan trimestar. Mjesec danakasnije Trnoružica je uložila 7.200,00 € uz isti godišnji kamatnjakkao i Pepeljuga. Nakon isteka razdoblja kapitalizacije Pepeljuginauloga, konačna vrijednost Pepeljugina uloga bila je za 1.082,00 €manja od trenutne vrijednosti Trnoružičina uloga. Odredite stalangodišnji kamatnjak uz koji su uložene obje glavnice. (59%)

5. Glavnica od 18.000,00 kn uložena je na 10 mjeseci uz kvartalnikamatnjak 2. Uz koji trimestralni kamatnjak treba uložiti za 5%manju glavnicu na 20% dulje vrijeme tako da njezina konačnavrijednost bude jednaka konačnoj vrijednosti zadane glavnice?(4,0936)

6. Neka se glavnica ukamaćivala tijekom 10 godina. Pritom jegodišnji kamatnjak u prvih 6 godina bio za 1,5 manji odgodišnjega kamatnjaka u ostatku vremena trajanja kapitalizacije.Odredite godišnji kamatnjak u posljednje četiri godinekapitalizacije ako se po isteku cijeloga vremena trajanjakapitalizacije glavnica uvećala za 65%. (7,4)

7. Dvije glavnice uložene su istoga dana: prva uz stalan godišnjikamatnjak 8 na 3 godine, a druga uz stalan godišnji kamatnjak 6 na2 godine. Ako je druga glavnica za 1.200,00 kn veća od prve idonese za 25% više kamata od prve, odredite iznos veće glavnice.(2.000,00)

8. Severina je u dvije banke uložila ukupno 70.000,00 €. Prva banka primjenjuje godišnji kamatnjak 7, a druga 7,5. Odredite iznos koji je Severina oročila u svakoj banci ako je u obje banke podigla ukupno 5.125,00 € godišnjih kamata. (25.000,00 €, 45.000,00 €)

9. Mata je 13.05. posudio iznos od 15.000,00kn uz obračunjednostavnih dekurzivnih kamata i promjenjivu mjesečnukamatnu stopu. Dug treba vratiti 15.09. Mjesečni kamatnjak usvibnju je 1, u lipnju 1,5, u srpnju 2, u kolovozu 1,75 i u rujnu 2,2.Izračunajte veličinu duga na dan 15.09. (16.039,60kn)

10. Dvije glavnice su oročene istoga dana, ali na različito vrijemetrajanja kapitalizacije. Prva glavnica je za 20% manja od druge, aoročena je uz 10% veći godišnji kamatnjak. Kako se odnosevremena trajanja kapitalizacije tih glavnica ako:

a) obje glavnice donesu isti iznos kamata; (100:88)

b) prva glavnica donese 5% više kamata od druge; (119,32:100)

c) druga glavnica donese 5% više kamata od prve? (100:92,4)