NLU/RG , pt. 4

Константин Соколов

Mathlingvo, СПбГУ, i-Free

http://nlu-rg.ru

Санкт-Петербург, 2013

План

• Домашнее задание (отображения и стрелки)• Рассел, пропозиции и дескрипции• Тарский, семантическая концепция истины• Начала теории моделей

1

Домашнее задание (1)

Сколько сюръекций

• f : A→ B - сюръекция• |A| = n, |B| = m, n ≥ m• Ответ: (сложнее, чем кажется)

2

Домашнее задание (2)

Сколько инъекций

• f : A→ B - инъекция• |A| = n, |B| = m, n ≤ m• Ответ:

(mn

)· n!

3

Домашнее задание (3)

Сколько биекций

• f : A→ B - биекция• |A| = n, |B| = m, n = m• Ответ: n!

4

Домашнее задание (4)

Если f : A→ B - изоморфизм групп, то |A| = |B|

• f как отображение - биективен и сюръективен, т.е. всеэлементы из A имеют образ в B и все элементы из Bимеют ровно один прообраз в A (при отображении f )

• т. е. A содержит столько же элементов, сколько B .

5

Домашнее задание (5)

Если f : A � B , то Dom(f ) ∼= Im(f )

• т. к. f - мономорфизм, прообраз f −1(a), a ∈ Cod(f )единственен, значит g : A→ Im(f ) - инъекция

• по построению, Cod(g) = Im(g), значит g - сюръекция• т. к. f - морфизм и сохраняет структуру, то Im(f ) снабженнеобходимой структурой (не уточняем, какой именно),значит g : A→ Im(f ) - тоже морфизм

• g - инъективный и сюръективный морфизм, т.е.изоморфизм

6

Рассел о пропозициях и дескрипциях

• Денотативная концепция значения• Пропозиция как форма выражения• Факт как объективный коррелят убеждения• Корреспондентская теория истины• Отношение между формой пропозиции и формой еёобъективного коррелята

• Истинность и ложность - свойства пропозиций• Одна реальность, один язык• Дескрипции и несуществующие объекты• Функции и переменные в формальном языке

7

Тарский о семантической концепции истины

• Формализованный язык - язык с точно заданнойструктурой

• Объектный язык и метаязык• Пропозициональные функции - выражения со свободнымипеременными

• Выполнимость - отношение между произвольнымиобъектами и пропозициональными функциями

• Предложение истинно, если оно выполняется всемиобъектами, и ложно в противном случае

• Понятие истины не совпадает с понятием доказуемости(непротиворечивость и полнота)

8

Начала теории моделей

• Теория моделей и теория доказательств• Логическое следование и выводимость

9

Начала теории моделей (сигнатура)

Сигнатура или тип подобия - это тройка σ = (Sfunc , Srel , ar)

• Sfunc - набор функциональных символов (напр.: +,×, 0, 1)• Srel - множество реляционных символов (напр.: ∈,≤)• ar - функция арности: Sfunc ∪ Srel → N

Сигнатура позволяет задать все нелогические символыформального языка.

10

Начала теории моделей (п.п.ф.)

• Правильно построенная формула (п.п.ф.) - формула,построенная “по правилам” из счетного множествасимволов переменных, символов сигнатуры и логическихсимволов (напр., логики первого порядка)

• Язык, порожденный сигнатурой - это все п.п.ф.,задаваемые данной сигнатурой

• Например, группу можно описать в языке с сигнатуройσgrp = {e,−1 , ·}, поле в языке с сигнатуройσfield = {0, 1,−,−1 ,+, ·}

11

Начала теории моделей (теория)

Теория - совместное множество аксиом и все выводимые изних п.п.ф.

Например, в языке с сигнатурой σgrp = {e,−1 , ·} можнопостроить теорию групп с аксиомами

• ∀ x . x · e = x ∧ e · x = x• ∀ x . x · x−1 = e ∧ x−1 · x = e• ∀ x ∀ y ∀ z . (x · y) · z = x · (y · z)

Её можно превратить в теорию абелевых групп, добавив кнабору аксиом ∀x ∀y . x · y = y · x

12

Начала теории моделей (предложение)

С помощью языка с сигнатурой можно формулироватьнекоторые “утверждения”, напр. в языке с сигнатурой σgrpможно записать:• a · a−1 = e• ∀a ∃a−1 . a · a−1 = e• a · b = c• a · b = b · a

Предложение или замкнутая формула - формула без свободныхпеременных.

13

Начала теории моделей (структура)

Структура - это тройка A = (A, σ, I ), где A - домен (носитель),σ - сигнатура, I - функция интерпретации сигнатуры в домене.

Например, группу GLn(R) можно задать как тройку (A, σgrp, I )

• A - множество матриц n × n с элементами из R• σgrp = {e,−1 , ·}• I сопоставляет символу e единичную матрицу n × n,символу −1 операцию обращения матрицы, символу ·операцию умножения матриц

14

Формальная семантика (1)

“Formal semantics is model-theoretic and truth-conditional”

• устранение идеальных сущностей из семантики• приверженность принципу композициональности• введение метаязыка• понимание смысла как условий истинности• интерпретация фрагментов языка в структурах,определенных с точностью до изоморфизма

• различные формализации для различных контекстов

15

Формальная семантика (2)

В принципе, что естественный язык можно изучать такимспособом - это вопрос установки.

“I reject the contention that an important theoretical differenceexists between formal and natural languages.” (R. Montague)

16

Спасибо!