NLU/RG , pt. 4
Константин Соколов
Mathlingvo, СПбГУ, i-Free
http://nlu-rg.ru
Санкт-Петербург, 2013
План
• Домашнее задание (отображения и стрелки)• Рассел, пропозиции и дескрипции• Тарский, семантическая концепция истины• Начала теории моделей
1
Домашнее задание (1)
Сколько сюръекций
• f : A→ B - сюръекция• |A| = n, |B| = m, n ≥ m• Ответ: (сложнее, чем кажется)
2
Домашнее задание (2)
Сколько инъекций
• f : A→ B - инъекция• |A| = n, |B| = m, n ≤ m• Ответ:
(mn
)· n!
3
Домашнее задание (3)
Сколько биекций
• f : A→ B - биекция• |A| = n, |B| = m, n = m• Ответ: n!
4
Домашнее задание (4)
Если f : A→ B - изоморфизм групп, то |A| = |B|
• f как отображение - биективен и сюръективен, т.е. всеэлементы из A имеют образ в B и все элементы из Bимеют ровно один прообраз в A (при отображении f )
• т. е. A содержит столько же элементов, сколько B .
5
Домашнее задание (5)
Если f : A � B , то Dom(f ) ∼= Im(f )
• т. к. f - мономорфизм, прообраз f −1(a), a ∈ Cod(f )единственен, значит g : A→ Im(f ) - инъекция
• по построению, Cod(g) = Im(g), значит g - сюръекция• т. к. f - морфизм и сохраняет структуру, то Im(f ) снабженнеобходимой структурой (не уточняем, какой именно),значит g : A→ Im(f ) - тоже морфизм
• g - инъективный и сюръективный морфизм, т.е.изоморфизм
6
Рассел о пропозициях и дескрипциях
• Денотативная концепция значения• Пропозиция как форма выражения• Факт как объективный коррелят убеждения• Корреспондентская теория истины• Отношение между формой пропозиции и формой еёобъективного коррелята
• Истинность и ложность - свойства пропозиций• Одна реальность, один язык• Дескрипции и несуществующие объекты• Функции и переменные в формальном языке
7
Тарский о семантической концепции истины
• Формализованный язык - язык с точно заданнойструктурой
• Объектный язык и метаязык• Пропозициональные функции - выражения со свободнымипеременными
• Выполнимость - отношение между произвольнымиобъектами и пропозициональными функциями
• Предложение истинно, если оно выполняется всемиобъектами, и ложно в противном случае
• Понятие истины не совпадает с понятием доказуемости(непротиворечивость и полнота)
8
Начала теории моделей
• Теория моделей и теория доказательств• Логическое следование и выводимость
9
Начала теории моделей (сигнатура)
Сигнатура или тип подобия - это тройка σ = (Sfunc , Srel , ar)
• Sfunc - набор функциональных символов (напр.: +,×, 0, 1)• Srel - множество реляционных символов (напр.: ∈,≤)• ar - функция арности: Sfunc ∪ Srel → N
Сигнатура позволяет задать все нелогические символыформального языка.
10
Начала теории моделей (п.п.ф.)
• Правильно построенная формула (п.п.ф.) - формула,построенная “по правилам” из счетного множествасимволов переменных, символов сигнатуры и логическихсимволов (напр., логики первого порядка)
• Язык, порожденный сигнатурой - это все п.п.ф.,задаваемые данной сигнатурой
• Например, группу можно описать в языке с сигнатуройσgrp = {e,−1 , ·}, поле в языке с сигнатуройσfield = {0, 1,−,−1 ,+, ·}
11
Начала теории моделей (теория)
Теория - совместное множество аксиом и все выводимые изних п.п.ф.
Например, в языке с сигнатурой σgrp = {e,−1 , ·} можнопостроить теорию групп с аксиомами
• ∀ x . x · e = x ∧ e · x = x• ∀ x . x · x−1 = e ∧ x−1 · x = e• ∀ x ∀ y ∀ z . (x · y) · z = x · (y · z)
Её можно превратить в теорию абелевых групп, добавив кнабору аксиом ∀x ∀y . x · y = y · x
12
Начала теории моделей (предложение)
С помощью языка с сигнатурой можно формулироватьнекоторые “утверждения”, напр. в языке с сигнатурой σgrpможно записать:• a · a−1 = e• ∀a ∃a−1 . a · a−1 = e• a · b = c• a · b = b · a
Предложение или замкнутая формула - формула без свободныхпеременных.
13
Начала теории моделей (структура)
Структура - это тройка A = (A, σ, I ), где A - домен (носитель),σ - сигнатура, I - функция интерпретации сигнатуры в домене.
Например, группу GLn(R) можно задать как тройку (A, σgrp, I )
• A - множество матриц n × n с элементами из R• σgrp = {e,−1 , ·}• I сопоставляет символу e единичную матрицу n × n,символу −1 операцию обращения матрицы, символу ·операцию умножения матриц
14
Формальная семантика (1)
“Formal semantics is model-theoretic and truth-conditional”
• устранение идеальных сущностей из семантики• приверженность принципу композициональности• введение метаязыка• понимание смысла как условий истинности• интерпретация фрагментов языка в структурах,определенных с точностью до изоморфизма
• различные формализации для различных контекстов
15
Формальная семантика (2)
В принципе, что естественный язык можно изучать такимспособом - это вопрос установки.
“I reject the contention that an important theoretical differenceexists between formal and natural languages.” (R. Montague)
16
Спасибо!